Primer evaluación de: Examen Parcial. ALUMNOS: Núñez Meza Manuel Garibay Jiménez Brian Unidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología I N S T I T U T O P O L I T E C N I C O N A C I O N A L PROFESORES: Cesar Guadarrama Uribe Marín Albino María del Carmen Buenos días a todos
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Materia de Aplicaciones matematicas, problema de optimizacion
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Primer evaluación de: Examen Parcial.
ALUMNOS:Núñez Meza ManuelGaribay Jiménez Brian
Unidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología
I N S T I T U T O P O L I T E C N I C O N A C I O N A L
PROFESORES:Cesar Guadarrama Uribe
Marín Albino María del Carmen
Buenos días a todos
RETO 1: En la siguiente figura se muestra un sector
circular con radio cm y ángulo central radianes. El perímetro del sector es de cm.
1. - Exprese el área, , del sector como función
del radio .
2. - Determine el valor del radio que maximiza el área 3. - ¿Cuál es el correspondiente valor del ángulo ?
θ
r
r
aA
Comencemos… (1)Exprese el área, , del sector en función del radio .
1 Plantearemos una ecuación global:
Para esto, utilizaremos… la formula par calcular la circunferencia y la longitud de la circunferencia.
Entonces establecemos la
igualdad…
2 Ecuación que nos da el valor del perímetro de la figura que nos interesa:
12 Despejamos “a”
Entonces sustituimos “a” en la ecuación para manejar la relación del área en
función del radio.
Que reduciendo nos queda:
“Esto es la Ec. del área en función del radio”
Continuamos…(2)Determine el valor del radio que maximiza el área
1 Para este paso, utilizaremos la ecuación del área en función del radio y la derivaremos para después igualar a 0.
Ecuación: 1er derivada: Entonces… : El valor de “r” que hace 0 la
ecuación es cuando r = 3 y es una única circunstancia.
Y Calculando la 2da derivada que seria: con lo que decimos que r = 3 es un máximo porque – 2 < 0.
Entonces es cuando r = 3 cuando el radio maximizará el área.
2 Entonces si utilizamos podremos calcular el valor de “a” y
sustituyendo el valor de “r =3 ” resulta que a = 6.
Nos queda ahora una pregunta: ¿Cuál es el
correspondiente valor del ángulo ?
Entonces finalizamos con…(3)¿Cuál es el correspondiente valor del ángulo ?
1 Para este sencillo calculo establecemos una relación y los sujetamos a las circunstancias siguientes…
La formula del perímetro es: 2πr. Esta formula nos proporcionará la longitud TOTAL de la circunferencia, esto significa que si el perímetro total es por ejemplo 10 y plantemos que…
al sustituir “r” y dividir, el resultado será 1. por que 10 es el valor del perímetro total.
Sabiendo lo anterior, podemos considerar…
Que como 6 es solo una sección del perímetro de la circunferencia
entonces si establecemos esto: entenderemos que solo es una
fracción y menor a 1 en este caso. Entonces es la misma situación con θ
pues 2π radianes es equivalente a toda la circunferencia y si planteo:
entenderemos que solo es una fracción y menor a 1 en este caso.
Entonces…(3)¿Cuál es el correspondiente valor del ángulo ?
Sujetaremos a ambas ecuaciones fraccionarias igualándolas y calcularemos el valor de θ despejándolo.
2 radianes es igual a 114.592°
114.5°
3 cm
6 cm
3 cm
RETO 1: Escriba el número 15 como la suma de tres enteros
positivos. Determine el valor de dichos enteros de modo tal que su producto sea máximo.
Planteamos que…: X + Y + Z = 15
X · Y · Z= Máximo
Entonces… Se emplea el método de
multiplicadores de LaGrange para resolver este reto, ya que en él existe una función condicionante.
Establecemos: M=Maximo
Realizamos las derivadas parciales respectivas de cada variable.
Establecemos: entonces entonces entonces
Entonces:
Por lo que finalizamos… Entonces: Como X puede tener el valor tanto
de Y como de Z, facilitamos los cálculos y consideramos a
Por lo tanto: Finalizamos el reto con:
X=Y=Z=5
Esto resulta: X + Y + Z = 15
5+5+5=15
X · Y · Z= Máximo (5)(5)(5)=125
“No entiendes realmente algo a menos que seas capaz de explicárselo a tu abuela.”