Materi 6-Analisis Komponen Utama 2

Analisis MultivariatAnalisis Komponen Utama

Pengamatan Peubah Gandamemerlukan sumberdaya lebih, dalam analisisinformasi tumpang tindih pada beberapa peubah

Apa itu Komponen UtamaMerupakan kombinasi linear dari peubah yang diamati informasi yang terkandung pada KU merupakan gabungan dari semua peubah dengan bobot tertentuKombinasi linear yang dipilih merupakan kombinasi linear dengan ragam paling besar memuat informasi paling banyakAntar KU bersifat ortogonal tidak berkorelasi informasi tidak tumpang tindih

Analisis Komponen UtamaGugus peubah asal{X1, X2, , Xp}Gugus KU{KU1, KU2, , KUp}Hanya dipilih k < p KU saja, namun mampu memuat sebagian besar informasi

Ilustrasi Komponen UtamaUntuk menceritakan bagaimana wajah pacar kita waktu SMA, tidak perlu disebutkan hidungnya mancung, kulitnya halus, rambutnya indah tergerai dan sebagainya. Tapi cukup katakan Pacar saya waktu SMA orangnya cantik. Kata cantik sudah mampu menggambarkan uraian sebelumnya.

Bentuk Komponen UtamaKU1 = a1x = a11x1 + + a1pxp Jika gugus peubah asal {X1, X2, , Xp} memiliki matriks ragam peragam maka ragam dari komponen utama adalah

= a1a1 =

Tugas kita adalah bagaimana mendapatkan vektor a1 sehingga ragam di atas maksimum (vektor ini disebut vektor koefisien)

Mendapatkan KU pertamaVektor a1 merupakan vektor ciri matriks yang berpadanan dengan akar ciri paling besar.Kombinasi linear dari {X1, X2, , Xp} berupa KU1 = a1x = a11x1 + + a1pxp dikenal sebagai KU pertama dan memiliki ragam sebesar 1 = akar ciri terbesar

KU keduaBentuknya KU2 = a2x = a21x1 + + a2pxp Mencari vektor a2 sehingga ragam dari KU2 maksimum, dan KU2 tidak berkorelasi dengan KU1a2 tidak lain adalah vektor ciri yang berpadanan dengan akar ciri terbesar kedua dari matriks .

Komponen UtamaMisalkan 1 2 p > 0 adalah akar ciri yang berpadanan dengan vektor ciri a1, a2, , ap dari matriks , dan panjang dari setiap vektor itu masing masing adalah 1, atau aiai = 1 untuk i = 1, 2, , p. Maka KU1 = a1x, KU2 = a2x, , KUp = apx berturut-turut adalah komponen utama pertama, kedua, , ke-p dari x. Lebih lanjut var(KU1) = 1, var(KU2) = 2, , var(KUp) = p, atau akar ciri dari matriks ragam peragam adalah ragam dari komponen-komponen utama.

Kontribusi setiap KURagam dari setiap KU sama dengan akar ciri , yaitu iTotal ragam peubah asal seluruhnya adalah tr(), dan ini sama dengan penjumlahan dari seluruh akar ciriJadi kontribusi setiap KU ke-j adalah sebesar

Interpretasi setiap KUInterpretasi setiap KU didasarkan pada nilai pada vektor aj, karena nilai ini berhubungan linear dengan korelasi antara X dengan KUInformasi pada KU didominasi oleh informasi X yang memiliki koefisien besar.

Permasalahan Umum dalam AKUPenentuan KU menggunakan matriks ragam-peragam vs matriks korelasiPenentuan banyaknya KU

Menggunakan matriks korelasi atau ragam peragam?Secara umum ini adalah pertanyaan yang sulit. Karena tidak ada hubungan yang jelas antara akar ciri dan vektor ciri matriks ragam peragam dengan matriks korelasi, dan komponen utama yang dihasilkan oelh keduanya bisa sangat berbeda. Demikian juga dengan berapa banyak komponen utama yang digunakan.

Menggunakan matriks korelasi atau ragam peragam?Perbedaan satuan pengukuran yang umumnya berimplikasi pada perbedaan keragaman peubah, menjadi salah satu pertimbangan utama penggunaan matriks korelasi. Meskipun ada juga beberapa pendapat yang mengatakan gunakan selalu matriks korelasi.

Menggunakan matriks korelasi atau ragam peragam?Penggunaan matriks korelasi memang cukup efektif kecuali pada dua hal. Pertama, secara teori pengujian statistik terhadap akar ciri dan vektor ciri matriks korelasi jauh lebih rumit. Kedua, dengan menggunakan matriks korelasi kita memaksakan setiap peubah memiliki ragam yang sama sehingga tujuan mendapatkan peubah yang kontribusinya paling besar tidak tercapai.

Penentuan Banyaknya KUMetode 1didasarkan pada kumulatif proporsi keragaman total yang mampu dijelaskan. Metode ini merupakan metode yang paling banyak digunakan, dan bisa diterapkan pada penggunaan matriks korelasi maupun matriks ragam peragam.Minimum persentase kergaman yang mampu dijelaskan ditentukan terlebih dahulu, dan selanjutnya banyaknya komponen yang paling kecil hingga batas itu terpenuhi dijadikan sebagai banyaknya komponen utama yang digunakan. Tidak ada patokan baku berapa batas minimum tersebut, sebagian bukau menyebutkan 70%, 80%, bahkan ada yang 90%.

Penentuan Banyaknya KUMetode 2hanya bisa diterapkan pada penggunaan matriks korelasi. Ketika menggunakan matriks ini, peubah asal ditransformasi menjadi peubah yang memiliki ragam sama yaitu satu. Pemilihan komponen utama didasarkan pada ragam komponen utama, yang tidak lain adalah akar ciri. Metode ini disarankan oleh Kaiser (1960) yang berargumen bahwa jika peubah asal saling bebas maka komponen utama tidak lain adalah peubah asal, dan setiap komponen utama akan memiliki ragam satu. Dengan cara ini, komponen yang berpadanan dengan akar ciri kurang dari satu tidak digunakan. Jollife (1972) setelah melakukan studi mengatakan bahwa cut off yang lebih baik adalah 0.7.

Penentuan Banyaknya KUMetode 3penggunaan grafik yang disebut plot scree. Cara ini bisa digunakan ketika titik awalnya matriks korelasi maupun ragam peragam. Plot scree merupakan plot antara akar ciri k dengan k. Dengan menggunakan metode ini, banyaknya komponen utama yang dipilih, yaitu k, adalah jika pada titik k tersebut plotnya curam ke kiri tapi tidak curam di kanan. Ide yang ada di belakang metode ini adalah bahwa banyaknya komponen utama yang dipilih sedemikian rupa sehingga selisih antara akar ciri yang berurutan sudah tidak besar lagi. Interpretasi terhadap plot ini sangat subjektif.

Kegunaan Lain KUPlot skor KU dua dimensi sebagai alat awal diagnosis pada analisis gerombolKU yang saling bebas mengatasi masalah multikolinear dalam analisis regresi

Contoh Penerapan AKU

Ilustrasi berikut menggunakan catatan waktu pada olimpiade Los Angeles tahun 1984 untuk berbagai nomor lari putri di cabang atletik. Ada tujuh nomor yang dicatat, yaitu lari 100 meter, 200 meter, 400 meter, 800 meter, 1500 meter, 3000 meter, dan maraton. Tiga nomor pertama catatan waktu dalam satuan detik, sedangkan empat nomor yang lain dalam menit. Data yang tersedia ada 55 negara peserta.

Masalah yang ingin dipecahkan adalah memeringkatkan negara berdasarkan performa dari keseluruhan nomor. Cara yang paling sederhana sebenarnya adalah dengan cara merata-ratakan catatan ketujuh nomor, setelah terlebih dahulu menyamakan satuan menjadi detik (atau menit). Namun seperti yang dibahas sebelumnya, rata-rata tidak mampu memberikan informasi sebanyak jika menggunakan komponen utama. Pemilihan komponen utama pertama, namapaknya cukup beralasan.

Yang menjadi permasalah dalam penggunaan komponen utama adalah, matriks ragam peragam ataukah matriks korelasi yang harus digunakan untuk mendapatkannya. Perbedaan satuan pada peubah yang ada menyebabkan pemilihan korelasi merupakan ide yang lebih baik. Penggunaan matriks ragam peragam akan menyebabkan dominasi dari catatan di nomor maraton, karena ragamnya paling besar.

Correlation Matrix

m100 m200 m400 m800 m1500 m3000 marathonm100 1.0000 0.9528 0.8350 0.7277 0.7163 0.7417 0.5423m200 0.9528 1.0000 0.8572 0.7241 0.7029 0.7099 0.5444m400 0.8350 0.8572 1.0000 0.8981 0.7757 0.7776 0.5507m800 0.7277 0.7241 0.8981 1.0000 0.8260 0.8636 0.6545m1500 0.7163 0.7029 0.7757 0.8260 1.0000 0.9031 0.6996m3000 0.7417 0.7099 0.7776 0.8636 0.9031 1.0000 0.7966marathon 0.5423 0.5444 0.5507 0.6545 0.6996 0.7966 1.0000

Eigenvalues of the Correlation Matrix Eigenvalue Difference Proportion Cumulative1 5.53319890 4.81746883 0.7905 0.79052 0.71573007 0.35411502 0.1022 0.89273 0.36161505 0.15335511 0.0517 0.94444 0.20825995 0.11607781 0.0298 0.97415 0.09218213 0.04086896 0.0132 0.98736 0.05131317 0.01361245 0.0073 0.99467 0.03770072 0.0054 1.0000

Plot Scree

Penentuan Banyaknya KUMetode 1: Menggunakan 2 KU sudah mencapai proporsi keragaman 89.27%Metode 2: Hanya 2 KU yang memiliki akarciri lebih besar dari 0.7Metode 3: Pada k = 2 terlihat gambar scree plot sangat curam di kiri tapi landai di kanan. Jadi 2 KU yang digunakan sudah mencukupi.

Eigenvectors Prin1 Prin2 Prin3 Prin4 Prin5 Prin6 Prin7m100 0.378202 -.426104 0.359297 -.165099 -.331229 0.225902 0.598584 m200 0.376416 -.452874 0.363819 -.011005 0.175249 0.037974 -.698982 m400 0.391311 -.272232 -.325636 0.378804 0.371464 -.556664 0.274544 m800 0.390624 0.067673 -.512111 0.402954 -.250932 0.579870 -.137794 m1500 0.385043 0.230072 -.245359 -.680608 0.481480 0.195655 0.072641 m3000 0.395890 0.308242 -.074146 -.249112 -.615938 -.509888 -.203317 marathon 0.323383 0.621855 0.551857 0.376128 0.217762 0.056004 0.110204

KU PertamaDengan menggunakan matriks korelasi sebagai dasar analisis, diperoleh bahawa akar ciri pertama sebesar 5.53 (yang juga merupakan ragam komponen pertama), dan mampu menerangkan keragaman data sebesar 79.05%. Akar ciri pertama yang berpadanan dengannya adalah(0.378202, 0.376416, 0.391311, 0.390624, 0.385043, 0.395890, 0.323383)memiliki nilai yang semua positif dan hampir sama besar, bisa diartikan sebagai ukuran performa keseluruhan nomor. Perhatikan bahwa karena peubah asalnya adalah catatan waktu di berbagai nomor, maka negara dengan nilai yang lebih kecil merupakan negara yang memiliki pelari lebih cepat.

KU PertamaJika skor komponen pertama ini diurutkan maka diperoleh hasil 10 terbaik adalahObs country Prin1 Prin21 USSR -3.46947 0.297982 USA -3.33124 0.504013 Czech -3.10484 0.975374 FRG -2.93434 0.346715 GB&NI -2.79248 0.442746 Poland -2.69963 0.706267 Canada -2.61758 0.531968 GDR -2.54492 3.071449 Finland -2.19832 0.5213410 Italy -2.12838 -0.34299

KU KeduaKomponen utama kedua memiliki ragam sebesar akar ciri terbesar kedua yaitu 0.71 dan memberikan kontribusi keragaman total 10.22%. Sehingga jika digunakan dua komponen utama akan didapatkan keragaman total yang mampu dijelaskan keduanya adalah 89.27%. Akar ciri dari komponen kedua ini adalah(-.426104, -.452874, -.272232, 0.067673, 0.230072, 0.308242, 0.621855)Komponen kedua ini bisa diartikan sebagai kontras antara catatan waktu nomor jarak dekat dengan jarak menengah dan jauh. Negara dengan nilai skor komponen utama kedua mendekati nol, berarti memiliki kemampuan yang merata di kedua jenis nomor.

Plot Skor KU

CONTOH APLIKASI REGRESI KOMPONEN UTAMAREGRESI PENGARUH SIFAT SIFAT KUANTITATIF PADI SAWAH TERHADAP HASIL

MasalahBanyak PeubahSulit dalam AnalisisMultikolinearitasKesimpulan tidak Valid

Langkah-Langkah Analisis Hub antar Peubah Pemeriksaan Multikolinearitas Analisis KU Regresi KU dengan Peubah Respon Y Transformasi Regresi KU ke Peubah Baku Z Transformasi Regresi Z ke Peubah Asal X

Korelasi Antar Peubah Bebas

Sheet1

X1X2X3X4X5X6X7

X11,0000.80610.85110.90150.9157-0.83970.7843

0.00.00010.00010.00010.00010.00010.0001

X20.80611,0000.62790.73610.8448-0.66240.7592

0.00010.00.00530.00050.00010.00270.0003

X30.85110.62791,0000.842440.70182-0.80790.70844

0.00010.00530.00.00010.00120.00010.0010

X40.90150.73610.842441,0000.8538-0.77670.8297

0.00010.00050.00010.00.00010.00010.0001

X50.91570.84480.701820.85381,000-0.77920.8536

0.00010.00010.00120.00010.00.00010.0001

X6-0.8397-0.6624-0.8079-0.7767-0.77921,000-0.6512

0.00010.00270.00010.00010.00010.00.0034

X70.78430.75920.708440.82970.8536-0.65121,000

0.00010.00030.00100.00010.00010.00.0

X1X2X3X4X5X6X7

Nilai VIF (deteksi multikolinearitas)

Sheet1

Peubah Bebas (Xi)Varians Inflantion Factor (VIF)

X116.40

X23.70

X36.80

X47.60

X514.20

X64.20

X75.40

Analisis Komponen Utama

Sheet1

PeubahKomponen Utama

K1K2K3K4K5K6K7

Z10.4030.0830.1340.0630.4470.410-0.664

Z20.358-0.5210.4390.556-0.227-0.2160.006

Z30.3650.541-0.2610.506-0.2160.3080.329

Z40.3920.096-0.3390.0240.473-0.7020.069

Z50.393-0.2930.142-0.3870.2940.3570.613

Z6-0.364-0.453-0.4930.4510.3840.2540.082

Z70.368-0.368-0.588-0.279-0.4930.074-0.253

Akar ciri (Ragam )57,3450.50380.29930.18900.15020.08970.0336

Proporsi0.8190.0720.0430.0270.0210.0130.005

Proporsi kumulatif0.8190.8910.9340.9610.9820.9951,000

Analisis Regresi dengan 4 KU PertamaY = 6.66 + 0.634 K1 0.424 K2

Sheet1

PeubahKoefSt.devt-studentP

Konstan6.6650.093271.530.000

K1-0.63390.040015.830.000

K2-0.42390.1351-3.140.011

K3-0.07830.1753-0.450.664

K4-0.41000.2206-1.860.093

Transformasi ke peubah ZTransformasi ke peubah asal XY = 6.66 + 0.112 Z1 + 0.351 Z2 + 0.096 Z3 + 0.102 Z4 + 0.267 Z5 0.059 Z6 + 0.286 Z7Y = 18.47 + 0.0166 X1 + 0.139 X2 + 0.013 X3 + 0.059 X4 + 0.0158 X5 0.009 X6 + 0.140 X7