IES LA DEHESILLA Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS II EXAMEN GLOBAL DE RECUPERACIÓN 9/6/20 Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas, indicando la propiedad o el teorema que se usa en cada caso. ÁLGEBRA LINEAL 1) (1 punto) Discutir el sistema según los valores del parámetro real λ : { λ x +3 y + z =λ x +λ y +λ z = 1 x + y − z =1 a) (0,75 puntos) El sistema se puede expresar como A· ( x y z ) = ( λ 1 1 ) siendo A la matriz de coeficientes. Determinar para qué valores de λ se puede resolver de esta forma: ( x y z ) = A −1 · ( λ 1 1 ) b) (0,75 puntos) Resolver el sistema para λ=2 . 2) (1,5 puntos) Encontrar un número real λ ≠0 y todas las matrices B de dimensión 2x2 (distintas de la matriz nula) tales que B· ( λ 0 3 1 ) =B· ( 3 0 9 3 ) a) (1 punto) Resuelve el siguiente sistema usando la regla de Cramer: ( 3 0 9 3 ) · ( x y ) = ( 1 2 ) GEOMETRÍA ANALÍTICA 3) (1,5 puntos) Hallar la ecuación implícita del plano que contiene a la recta r ≡ { x =1 +t y =−1 + 2 t z =t y es perpendicular al plano π ≡2 x + y − z= 2 . a) (1 punto) Hallar el punto de corte de la recta r con el plano π . 4) Dada la recta r ≡ { x =2− 3 λ y =1+ 2 λ z =4 −λ y los planos π ≡2−3 x + 2 y − z =0 , σ ≡3 +2 x + 2 y −2 z= 0 : a) (0,75 puntos) Determinar la posición relativa de r respecto al plano σ . b) (0,75 puntos) Hallar la distancia de r al plano σ . c) (1 punto) Determinar la posición relativa de la recta r respecto a la recta s intersección de los planos π y σ . ANÁLISIS 5) (1,25 puntos) Se considera la función f ( x )= ( 2 x −1 ) 2 4 x 2 +1 . Calcular ∫ 0 1 f ( x ) ·dx . a) (1,25 puntos) Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y área máxima.