FACULTAT d' ECONOMIA UNIVERSITAT DE VALENCIA LICENCIATURA EN C.C. ACTUARIALES Y FINANCIERAS MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA ACTUARIOS CURSO 2003-2004 PRÁCTICAS.- (Documento 2) DEPARTAMENTO: ECONOMIA FINANCERA PROFESOR : MANUEL VENTURA MARCO http://www.uv.es/~ventura e-mail: [email protected]
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FACULTAT d' ECONOMIAUNIVERSITAT DE VALENCIA
LICENCIATURA EN C.C. ACTUARIALES Y FINANCIERAS
MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA ACTUARIOS
CURSO 2003-2004
PRÁCTICAS.- (Documento 2)
DEPARTAMENTO: ECONOMIA FINANCERA PROFESOR : MANUEL VENTURA MARCOhttp://www.uv.es/~venturae-mail: [email protected]
Tema 1EL PROCESO DE INTEGRACIÓN
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ü Alberca, P. (2000): "Prácticas con Mathematica. Álgebra y Cálculo, Cuaderno I". Ed. Aljibe,Archidona. Págs. 73 a 80.
S 681.3.06 ALB
ü Huang , C.J. and Crooke, P.S. (1997): "Mathematics and Mathematica for Economists".Blackwell. Págs. 16-27, 32-37, y 69 a 77.
S 681.3.06 HUA
ü Pérez, C. (1995): "Cálculo simbólico y numérico con Mathematica". Ed. RA-MA, Madrid. Págs.585 a 592, 609 a 640, y 671 a 679.
S 681.3.06 MATHEPER
à Funciones propias de Mathematica para calcular integrales
Las funciones básicas predefinidas para el cálculo integral son Integrate[] y NIntegrate[].Mientras Integrate[] permite cálculos de:
integral indefinida (aunque, ¡ojo!, no incluye en el resultado la constante de integración por lo que la mismadebe añadirse)
In[1]:= Integrate@Sqrt@xD + Log@xD, xD + k
Out[1]= k − x +2 x3ê23
+ x Log@xDexpresión en la que Sqrt[] significa raíz cuadrada y Log[] logaritmo neperiano, otras dos funciones propiasde Mathematica (recuerde que el argumento va entre corchetes),
de integral definida (especificando límites de integración) tanto simbólicos:
In[2]:= Integrate@x∗Sin@xD, 8x, a, b<DOut[2]= a Cos@aD − b Cos@bD − Sin@aD + Sin@bD
maa04D2.nb 2
donde Sin[] y Cos[] son las funciones propias seno y coseno, pudiendo observarse que el producto serepresenta mediante * (aunque opcionalmente puede dejar un espacio en blanco y Mathematica entiende tambiénque quiere multiplicar. Para los principiantes es recomendable el asterisco), como numéricos:
Para el cálculo de una integral definida en funciones discontinuas o funciones continuas pero no diferen-ciables se recomienda la aplicación de NIntegrate[] o alternativamente aplicar la función N[] o elcomando N sobre el resultado de Integrate[]. Por ejemplo, definimos la función
3 maa04D2.nb
In[7]:= signo@x_ ê; x < 0D := −1;signo@x_ ê; x == 0D := 0;signo@x_ ê; x > 0D := 1;Plot@signo@xD, 8x, −1, 1<,
Numerical integration stopping due to loss of precision. Achieved neither therequested PrecisionGoal nor AccuracyGoal; suspect one of the following:highly oscillatory integrand or the true value of the integral is 0. If yourintegrand is oscillatory try using the option Method−>Oscillatory in NIntegrate.
Numerical integration stopping due to loss of precision. Achieved neither therequested PrecisionGoal nor AccuracyGoal; suspect one of the following:highly oscillatory integrand or the true value of the integral is 0. If yourintegrand is oscillatory try using the option Method−>Oscillatory in NIntegrate.
Si queremos resolver el problema que se plantea con Integrate[] la solución consiste en dividir en subdo-minios tomando como referencia los puntos de discontinuidad:
En un primer acercamiento al proceso de integración este suele concebirse como inverso del proceso dederivación. Es decir, que si F[x] es una función real diferenciable tal que su derivada es f[x],
F'[x] = f[x],
5 maa04D2.nb
entonces F[x] es una primitiva o antiderivada (integral indefinida es el conjunto de antiderivadas: F[x] + K)de la función f[x]. Existen múltiples aplicaciones al campo económico de esta idea, que si además comporta laconsideración de un valor concreto para la constante de integración reciben, en términos de matemática aplicada,la denominación de poblemas de valor inicial.
Por otra parte, cuando f[x] es integrable Riemann en un intervalo [a, b] y posee primitiva F[x], laforma más sencilla y habitual para calcular la correspondiente integral de Riemann es mediante la Regla deBarrow
Ÿabf@xD x = F@bD − F@aDü Obtención de Funciones Totales a partir de Funciones Marginales
La estimación y cálculo de funciones totales (coste, ingreso, beneficios, consumo, etc.) a partir de funcionesmarginales es la aplicación más relevante de la idea de integral como antiderivada. Además, a la constante deintegración se le suele atribuir un claro significado económico (coste fijo, consumo autónomo, etc.).
ü Aplicación: Beneficio Total a partir de Beneficio Marginal
Definimos las funciones de ingreso marginal y de coste marginal:
Obtenemos la función de ingreso total integrando la función de ingreso marginal y con el supuesto de quetodos los ingreson por ventas (si q = 0 entonces IT = 0, por lo que la constante de integración será nula)
También podemos obtener el ingreso medio o función de demanda:
In[27]:= pd =Integrate@IMg@qD, qD
qêê Simplify
Out[27]= 2000 − 10 q − q2
Como el coste marginal se define como la variación en el coste total ante un cambio infinitesimal en laproducción, el coste total es el resultado de integrar la función de coste marginal, siendo la antiderivada deCMg[q] el coste variable CV[q] , mientras que la constante de integración se interpreta como el coste fijo, CF,que no depende del nivel de producción. Así pues,
ü Obtención de stocks a partir de flujos (funciones de acumulación)
ü Stock de capital e inversión
Cuando el proceso de formación de capital se considera continuo en el tiempo, la variación en el stock(existencias) de capital ante un cambio infinitesimal en la variable tiempo es, si no hay depreciación, lainversión neta: I(t). Por lo tanto, si I(t) es la tasa de cambio temporal en el stock de capital, K(t), entonces elstock de capital acumulado se obtiene como la antiderivada del flujo de inversión. Un ejemplo al respecto:
Por su parte, si en vez de determinar la trayectoria temporal del stock de capital lo que interesa es el nivel deformación de capital en un determinado intervalo temporal debemos recurrir a la integral definida
In[42]:= ∆K = ‡t0
t1Inv@tD t ê. 8a → 10, b → 2ê3, t0 → 1, t1 −> 5< êê N
Out[42]= 81.7205
maa04D2.nb 8
à Funciones sin antiderivada
La idea expuesta de la integración como proceso inverso al de derivación está limitado por existir funci-ones sin primitiva elemental (no existe ninguna función ni combinación de funciones algebrauicas y/o trascen-dentes que al derivarla de lugar a las mismas), lo que significa que no podemos aplicar el Tma. fundamental delcálculo ni la regla de Barrow. Algunas de estas funciones son:
E−x2 ,
Ex2 ,
Sin@xDx ,
Cos@xDx ,"###############################
1 − k2 Sin@xD2 ,
Ex
x ,
1Log@xD ,
Sin[Sin[x]]
De hecho, si procedemos a integrar mediante Mathematica alguna de estas funciones da resultados extranos parapersonas no habituadas a trabajar con las mismas
In[43]:= ‡ −x2 x
Out[43]=12è!!!π Erf@xD
donde Erf[x] es una función integral conocida como función de error
In[44]:= Erf@xD ==2è!!!!π
∗‡0
x
E−t2 t
Out[44]= True
Otro ejemplo relevante es
In[45]:= ‡ 1
Log@xD x
Out[45]= LogIntegral@xDdonde LogIntegral[x] es otra función integral conocida como la función logaritmointegral.
9 maa04D2.nb
En estos casos de funciones sin antiderivada, o incluso con integrando complicado, uno de los procedimientosbásicos para poder obtener un resultado aceptable consiste en efectuar una aproximación polinómica mediantedesarrollos de Taylor. En Mathematica la función propia adecuada es
In[46]:= Clear@f, xD;Series@f@xD, 8x, a, 5<D
Out[47]= f@aD + f @aD Hx − aL +12f @aD Hx − aL2 +
16fH3L@aD Hx − aL3 +
124
fH4L@aD Hx − aL4 +1120
fH5L@aD Hx − aL5 + O@x − aD6Puede observarse que si pedimos un desarrollo de orden n = 5, en el output aparece un término que representa elresto o error, O[x-aD6 . Este término se puede suprimir mediante la función Normal[], anidando en la misma lafunción Series[],
In[48]:= Normal@Series@f@xD, 8x, a, 5<DDOut[48]= f@aD + H−a + xL f @aD +
12H−a + xL2 f @aD +
16H−a + xL3 fH3L@aD +
124
H−a + xL4 fH4L@aD +1
120H−a + xL5 fH5L@aD
En un caso concreto el procedimiento funciona de la siguiente forma
Puede observarse que hasta x = 1 las dos aproximaciones son bastante cerradas a la verdadera función, por lo quevamos a restringir el gráfico al intervalo [0, 1]
quedando claro que la aproximación de mayor orden es más cerrada y en general lo será más a mayor orden deldesarrollo de Taylor (en este caso de MacLaurin al ser en x = 0). Las aproximaciones polinómicas mediante losdesarrollos de Taylor tienen un determinado radio de convergencia en los que se mantienen aceptablemente cercade la función original, y que en nuestro ejemplo sería el intervalo [0, 1], por lo que
11 maa04D2.nb
‡0
1
f@xD x ≈ ‡0
1
aproximacion x
De hecho,
In[57]:= Ia1 = ‡0
1
aproximacion1 x
Out[57]=2635
In[58]:=
Ia2 = ‡0
1
aproximacion2 x
Out[58]=56517560
In[59]:=
IR = ‡0
1
f@xD x
Out[59]=12è!!!π Erf@1D
siendo el error cometido en términos absolutos
In[60]:= E1 = IR − Ia1 êê NOut[60]= 0.00396699
In[61]:=E2 = IR − Ia2 êê N
Out[61]= −0.00066264
y en términos relativos
In[62]:= ER1 = AbsA E1
IRE
Out[62]= 0.00531181
In[63]:=
ER2 = AbsA E2
IRE
Out[63]= 0.000887277
Dentro del radio de convergencia, se aconseja ir aumentando el orden de la aproximación para afinar más elresultado (es conveniente que repita el proceso que se ha descrito para desarrollos de Taylor de orden superior alos tratados, así como para otras funciones de las descritas sin antiderivada). Aunque depende de cada caso enconcreto a estudiar, suelen admitirse errores que van entre 0.001 y 10-10 , existiendo técnicas para acotar el errorconsiderando el último sumando de la primitiva de la aproximación en el extremo superior.
maa04D2.nb 12
à La Integral Definida como Área
ü Cálculo de áreas
Para una función no negativa el cálculo de la integral definida sabemos que representa el área que encierra elgrafo de la función, y = f(x), con el eje de abcisas, OX, entre los límites de integración, x = a y x = b. Así pues,a efectos prácticos podemos aplicar el Tma. fundamental del cálculo integral y en base a la Regla de Barrow
AREA =F[b]-F[a]=Ÿab f@xD x
En la Estadística Matemática, para las variables aleatorias continua, conocida la función de densidad f(x), elcálculo de P(a § X § b) equivale al cálculo del área, ya que
P Ha ≤ X ≤ bL = F@bD − F@aD = Ÿab f@xD x
donde ahora F(x) es la función de distribución.
ü Una aplicación actuarial
La distribución del coste de la siniestralidad de una cartera de seguros viene dada por la siguiente función dedensidad exponencial negativa
La definición de la función f[x] es diferida (:=). Por su parte, en la representación gráfica mdiante lafunción Plot[] se ha asignado etiquetas a los ejes.
La probabilidad de que el coste de un siniestro esté comprendido entre 120 y 600 u.m. se obtiene como
Matemáticamente es el área encerrada entre la gráfica de f[x],el eje de abcisas, y las recta x = 120 y x =600.
Para representar un área es conveniente cargar la función FilledPlot[] del paquete adicional Graphics,ya que el mismo no está en el Kernel básico de Mathematica. Podemos hacerlo de dos formas:
In[68]:= << Graphics`FilledPlot`
o alternativamente
Needs@"Graphics`FilledPlot`"Ddonde ` es la tilde del acento grave (abierto). Una vez cargada la función podemos aplicarla:
Si a partir de siniestros de cuantía 1000 u.m. existe un reaseguro del exceso sobre dicha cuantía (Excess ofLoss), el coste medio de un siniestro se puede calcular definiendo
In[70]:= F@a_D := Integrate@f@xD, 8x, 0, a<D;la función de distribución de f(x) para valores de x œ [ 0 , a), y luego mediante el cálculo de la esperanza
Se determinan los puntos de corte de las dos funciones. Si las dos funciones son polinómicas entonces lafunción Solve[] funciona muy bien, pero para otro tipo de funciones es más aconsejable utilizar Fin-Root[]. En nuestro caso las dos son polinómicas
Si representamos por n el número de individuos de una población y F[r] representa el % de dicha poblacióncuya renta es menor o igual al nivel r, entonces n*F[r] es el total de individuos con una renta menor o iguala r. Si f[r] es la función de densidad, entonces
n∗‡a
b
f@rD r
da el número de individuos con rentas en [a, b],
n∗‡a
b
r∗f@rD r
maa04D2.nb 18
da la renta total de los individuos cuyo nivel de renta está comprendido en [a, b], y
m =n∗ Ÿabr ∗f@rD r
n∗ Ÿabf@rD r
da la renta media de los individuos con rentas en el intervalo [a, b].
Por su parte, dada una función de distribución de la renta
F@rD = ‡0
r
f@sD s
tal que
F@0D 0
Limit@F@rD, r → ∞D 1
y tomamos la función inversa R:p∈[0, 1]→ R[p] = r, entonces se define la curva de Lorentz, que seusa para estudiar la concentración de la renta, como la gráfica de la función
L@pD =n∗ Ÿ0R@pDr∗f@rD r
n ∗ Ÿ0∞r∗f@rD r=Ÿ0R@pDr∗f@rD r
m
Observe que L[p]∈[0, 1]. El grado de desviación se mide por el coeficiente de desigualdad: área entrela curva y la diagonal dividida entre el área bajo la diagonal, o por el coeficiente de Gini
Gini = 2 ∗ikjjjj‡01p p − ‡
0
1
L@pD py{zzzz = 1 − 2∗‡
0
1
L@pD p
ü Una advertencia
Existen algunos conceptos económicos y financieros representables mediante el concepto de integraldefinida que no se ajustan a la interpretación como área: beneficios, saldos financieros o reservas, saldos decomercio exterior, etc. En general se trata de conceptos que se obtienen como resultado de dos flujos (netflow= inflow - outflow) de distinto signo en los que el stock final es positivo o negativo en función de la evoluciónde los flujos. A modo de ejemplo, considérese la determinación del beneficio acumulado durante el periodo[0, 10], así como el beneficio medio en dicho periodo a partir de la función de beneficio instantaneo
sin considerar el valor absoluto de la función en los tramos en los que toma valores negativos. Por lo tant, elbeneficio medio durante el periodo será
In[103]:= B¯
=B
10
Out[103]= 16.9349
à Métodos numéricos para Integración Definida (Cuadratura)
Se trata de métodos de aproximación que reemplazan el integrando por una expresión más facil deintegrar con la finalidad de obtener resultados bastante precisos sin un excesivo esfuerzo computacional cuandoel integrando no tiene antiderivada en términos de funciones elementales, tiene una expresión complicada o sóloes conocido su valor para ciertos valores tabulados de la variable de referencia, x (Un ejemplo pueden ser lastablas de mortalidad). Así pues, los métodos de integración numérica tienen por objetivo la aproximación deintegrales definidas mediante fórmulas tipo
‡a
b
f@xD x > ‚k=0
n
wk f@xkDdenominadas fórmulas de cuadratura en n+1 puntos: medias ponderadas de valores del integrando en puntos deuna partición del dominio de integración [a, b], 8x0, x1, ..., xn<denominados también puntos muestrales, nodos de integración o nodos de cuadratura; siendo los 8w0, w1, ..., wn<los pesos, coeficientes de ponderación o ponderaciones. A la diferencia entre el valor auténtico de la integral y dela aproximación se le denomina error de truncamiento.
maa04D2.nb 20
Cuando la aproximación se hace mediante interpolación polinómica de grado n (se utilizan n+1 puntos)
‡a
b
Pn@xD x
la formula resultante es de la familia Newton-Cotes: regla del trapecio, regla de Simpson, regla de Boole, etc. Sedice que las fórmulas son cerradas cuando a y b forman parte de la partición y abiertas si no es el caso. Por otraparte, señalar que la elección de una partición uniforme comporta pesos (coeficientes de ponderación) constantes,wk= h para todo k.
La evaluación numérica de integrales mediante los métodos de punto medio, trapecios, Simpson (tanto seansimples como compuestos) comienza mediante los siguientes pasos:
1) Partición uniforme de [a, b] con x0= a y xn = b
2) h = (b-a)/n
3) xk = a+k*h
a partir de aquí cada método realiza la evaluación de forma distinta.
ü Métodos de rectangulo: extremo inferior, extreno superior y punto medio
En realidad son un caso especial de Sumas de Riemann en las que la partición se toma con todos los subinterva-los de la misma longitud y los puntos de evaluación de la función son respectivamente el extremo inferior, elextremo superior y el punto medio de cada subintervalo:
‡a
b
f@xD x ≈ ‚k=1
n
f@a + Hk − 1L ∗hD ∗h
‡a
b
f@xD x ≈ ‚k=1
n
f@a + k ∗hD ∗h
‡a
b
f@xD x ≈ ‚k=1
n−
fAa + Hk − 1L ∗h +h
2E∗h
Las dos primeras reglas son adecuadas cuando las funciones son monótonas, decreciente y creciente respectiva-mente, mientras que la regla del punto medio suele aplicarse en funciones cuya expresión es complicada y/opresentan tanto tramos crecientes como decrecientes.
ü Ejemplo
Cálculo de
21 maa04D2.nb
‡0
1
f@xD x
mediante las reglas del extremo inferior, extremo superior y punto medio con n = 10 para la función
In[104]:= Clear@f, xD;f@x_D := Exp@−x2D
In[106]:= 8a = 0, b = 1, n = 10<;h =
b − a
n;
REI = ‚k=1
n−1
f@a + Hk − 1L ∗hD ∗h êê NOut[108]= 0.733331
In[109]:= 8a = 0, b = 1, n = 10<;h =
b − a
n;
RES = ‚k=1
n−1
f@a + k∗ hD ∗h êê NOut[111]= 0.677817
In[112]:= 8a = 0, b = 1, n = 10<;h =
b − a
n;
RPM = ‚k=1
n−1
fAa + Hk − 1L ∗h +h
2E ∗h êê N
Out[114]= 0.706575
Si ahora consideramos n = 100
In[115]:= 8a = 0, b = 1, n = 100<;h =
b − a
n;
REI = ‚k=1
n−1
f@a + Hk − 1L ∗hD ∗h êê NOut[117]= 0.746226
In[118]:= 8a = 0, b = 1, n = 100<;h =
b − a
n;
RES = ‚k=1
n−1
f@a + k∗ hD ∗h êê NOut[120]= 0.739979
maa04D2.nb 22
In[121]:= 8a = 0, b = 1, n = 100<;h =
b − a
n;
RPM = ‚k=1
n−1
fAa + Hk − 1L ∗h +h
2E ∗h êê N
Out[123]= 0.743112
ü Regla compuesta del trapecio (método trapezoidal)
Es similar al método del punto medio pero usando el segmento (cuerda) que une dos puntos sucesivos de lafunción, de ahí que se denomine también método de interpolación lineal
‡a
b
f@xD x ≈ ‚k=1
n−1
f@a + k ∗hD ∗h +h
2∗Hf@aD + f@bDL
Cuando f[x] œ 2 [ a, b], su grado de precisión es 1 (quiere decir que es exacta para funciones lineales), siendoel error de truncamiento
Error =−h2
12∗Hb − aL ∗f''@cD
donde c ∈ (a, b), pudiéndose acotar por
Error ≤ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ M ∗
Hb − aL312∗ n2
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒdonde M es un mayorante de f''[a,b].
ü Ejemplo
Para el mismo ejemplo que antes
In[124]:= 8a = 0, b = 1, n = 10<;h =
b − a
n;
CTRAPECIO = ‚k=1
n−1
f@a + k∗ hD ∗h +h
2∗Hf@aD + f@bDL êê N
Out[126]= 0.746211
Si n = 100,
In[127]:= 8a = 0, b = 1, n = 100<;h =
b − a
n;
CTRAPECIO = ‚k=1
n−1
f@a + k∗ hD ∗h +h
2∗Hf@aD + f@bDL êê N
Out[129]= 0.746818
23 maa04D2.nb
ü Regla compuesta de Simpson (regla 1/3 o de interpolación cuadrática)
En la regla de Simpson 1/3 (hay otra que es la 3/8) se realiza una interpolación cuadrática entre tres puntosconsecutivos de la gráfica de la función, por lo que n, el número de subintervalos ha de ser par al involucrar enel cálculo a los subintervalos de dos en dos. Considerando que n = 2*m
‡a
b
f@xD x ≈h
3 ikjjjjjf@aD + f@bD + 2∗
ikjjjjj‚k=1
m−1
f@a + 2∗k∗hDy{zzzzz + 4∗ikjjjjj‚k=1
m
f@a + H2∗k − 1L∗hDy{zzzzzy{zzzzzCuando f[x] œ 4 [ a, b], el grado de precisión es 3 (es una fórmula exacta para funciones cúbicas) y el error detruncamiento es
El concepto de integral impropia es una extensión del concepto de integral Riemann a funciones definidas endominios no acotados y/o a funciones no acotadas en el dominio de integración. Se define una integral impropiade primera especie como
Ÿa∞f@xD x = LimitAŸabf@xD x, b → ∞EŸ−∞
b f@xD x = LimitAŸab f@xD x, a → −∞ESi el límite existe entonces se dice que la integral es convergente, interpretándose como el área total de la regióncomprendida entre la gráfica y = f[x], el eje de abcisas, y la correspondiente línea vertical: x = a o x = b
Mathematica también calcula integrales impropias directamente de forma correcta, advirtiendo que no convergen
In[138]:= ‡−∞
∞
x3 x
Integrate::idiv : Integral of x3 does not converge on 8−∞, ∞<.Integrate::idiv : Integral of x3 does not converge on 8−∞, ∞<.
Out[138]= ‡−∞
∞
x3 x
u ofreciendo su valor en el caso en que sí sean convergentes
In[139]:= ‡1
∞ Log@xDx2
x
Out[139]= 1
También puede ofrecer el Valor principal de Cauchy si se le indica esta ópción dentro de la función propiaIntegrate[]. Por ejemplo
De cara al análisis de la convergencia o divergencia, dos ejemplos especialmente relevantes son:
In[142]:= ‡0
∞−a∗x x
Out[142]= IfARe@aD > 0, 1a, ‡
0
∞−a x xE
25 maa04D2.nb
In[143]:= ‡1
∞ 1
xr x
Out[143]= IfARe@rD > 1,1
−1 + r, ‡
1
∞
x−r xEObserve que el hecho de que el integrando sea convergente no garantiza que lo sea la integral impropia:
In[144]:= 9LimitA 1x, x → ∞E, ‡
1
∞ 1
x x=
Integrate::idiv : Integral of1x
does not converge on 81, ∞<.Out[144]= 90, ‡
1
∞ 1x
x=Una integral impropia de segunda especie surge cuando f[x] no está acotada en x = a, x = b o en
algún punto intermedio: Ÿabf@xD x = LimitAŸa+σ
bf@xD x, σ → 0EŸabf@xD x = LimitAŸab−σf@xD x, σ → 0EŸabf@xD x = LimitAŸac−σ
f@xD x, σ → 0E + LimitAŸc+γ
b f@xD x, γ → 0ESi el límite existe entonces se dice que la integral es convergente, en otro caso será divergente. El ejemplo másimportante de cara al análisis de convergencia o divergencia es
In[145]:= Clear@x, a, b, rD;‡a
b 1Hx − aLr x
Out[146]= IfAa < b && b > 0 && Re@rD < 1, H−a + bL1−r
1 − r, ‡
a
bH−a + xL−r xEPor ser de mayor interés a nuestros propósitos, en lo que sigue nos centraremos en el análisis de convergencia enintegrales impropias de primera especie, advirtiendo que también existen análisis similares para las de segundaespecie.
In[157]:= TrueQ@Limit@f@xD, x → ∞D ≤ Limit@g@xD, x → ∞DDOut[157]= True
Podemos concluir que en como en x∈[1, ∞) la integral de g[x] converge y la función g[x] mayora af[x], entonces la integral en x∈[1, ∞) de f[x] también es convergente.
ü Estudio de la convergencia de función de error
La función E-x2 no tiene antiderivada pero es integrable Riemann por ser continua. Por otra parte sabemosque es una función simétrica respecto del eje de ordenadas
dará un valor real (es un área definida), por lo que la comparación ha de establecerse en el intervalo [1, ¶), enel que
E−x ≥ E−x2 ≥ 0
por lo que
In[163]:= ‡1
∞
Exp@−x2D x ≤ ‡1
∞
g@xD x
Out[163]= True
ü Criterio o Test del Cociente
Si f[x] es no negartiva e integrable Riemann en [a, M] y g[x] es no negativa e integrable Riemann en [b,M], entonces cuando x→∞
aL Límx→∞ f@xDg@xD = 0,
bL Límx→∞ f@xDg@xD = c ∈ ++,
cL Límx→∞ f@xDg@xD = ∞,
entonces
aL Si Ÿb∞ g@xD x es convergente, Ÿa∞ f@xD x es también convergente,
bL Ÿb∞ g@xD x es convergente ↔ Ÿa∞ f@xD x también converge,
cL Si Ÿb∞ g@xD x es divergente, Ÿa∞ f@xD x es también divergente.
ü Un ejemplo
Queremos estudiar la convergencia de la integral
‡1
∞ 3
Ex + 5 x.
Dado que sabemos que
maa04D2.nb 30
‡1
∞
E−x x
es convergente, entonces
In[164]:= SimplifyA 3Ex+51Ex
EOut[164]=
3 x
5 + x
In[165]:= Limit@%, x → ∞DOut[165]= 3
Por lo que
‡1
∞ 3
Ex + 5 x
es también convergente
ü Test de comparación para funciones con cambio de signo: Convergencia Absoluta o Incondicional
Por funciones con cambio de signo entendemos funciones que a lo largo del dominio de integración toman tantovalores positivos como negativos. En dicho caso podemos aplicar el siguiente test
Si Ÿa∞ »f@xD » x es convergente, entonces Ÿa∞f@xD x es absolutamente convergente.
In[173]:= TrueQ@Abs@f@xDD ≤ g@xD ê. x → 2DOut[173]= True
In[174]:= TrueQ@Abs@f@xDD ≤ g@xD ê. x → 5DOut[174]= True
In[175]:= TrueQ@Abs@f@xDD ≤ g@xD ê. x → 8DOut[175]= True
In[176]:= TrueQ@Abs@f@xDD ≤ g@xD ê. x → 10DOut[176]= True
maa04D2.nb 32
In[177]:= TrueQ@Abs@f@xDD ≤ g@xD ê. x → ∞DOut[177]= True
En conclusión, como el valor absoluto de la función está mayorada por una función de comparación conver-gente, entonces la integral impropia de la función es absolutamente convergente.
Una advertencia: hay integrales impropias que son convergentes pero no absolutamente convergentes, tal es elcaso de Ÿ1∞ Sin@xD
x x
aunque no entraremos en detalles.
ü Una aplicación de las integrales impropias: el cuerno o trompeta de Gabriel.
Una aplicación geométrica de la integración impropia es la siguiente:
ü Aplicación estadística: la distribución de Cauchy
En Estadística Matemática los momentos para las variables aleatorias continuas se definen como integralesimpropias de primera especie
αr = E@xrD = ‡−∞
∞
xr f@xD x
µr = E@Hx − α1LrD = ‡−∞
∞Hx − α1Lr f@xD x
maa04D2.nb 34
donde a1 es esperanza, media o valor esperado o medio y m2 es la varianza. Además, recuerde que dada lafunción de densidad se obtiene la función de distribución como
In[190]:= F@x_D := ‡−∞
x
f@yD y
La distribución de Cauchy es una distribución continua de probabilidades de apariencia muy similar a laNormal estándar pero con momentos radicalmente diferentes. Si analizamos su función de densidad
In[191]:= fCauchy@x_D :=1
Pi∗
1
1 + x2;
vemos que cumple que es positiva
In[192]:= Plot@fCauchy@xD, 8x, −5, 5<D;
-4 -2 2 4
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
y además
In[193]:= ‡−∞
∞
fCauchy@xD x
Out[193]= 1
Sin embargo
In[194]:= α1 = ‡−∞
∞
x∗ fCauchy@xD x
Integrate::idiv : Integral ofx
1 + x2does not converge on 8−∞, ∞<.
Integrate::idiv : Integral ofx
1 + x2does not converge on 8−∞, ∞<.
Out[194]=Ÿ−∞
∞ x1+x2 x
π
la media de la distribución es divergente, lo que podemos apreciar gráficamente