MATEMÁTICA II (10026) 02 Función de una y varias variables EJERCICIOS RESUELTOS 1) Determinar qué tipo de curvas son las curvas de nivel de las siguientes funciones. Justificar la respuesta. a) 2 2 2 2 ) , ( y x y x f Solución: Por definición, las curvas se obtienen intersecando la función f con los planos paralelos al plano xy, es decir, de la forma c z Entonces 2 2 2 2 ) , ( 2 2 2 2 2 2 c y x c y x c y x c y x f Si 0 ; 0 , 0 0 2 2 y x y x c Si 2 0 2 2 c y x c Observación: como los coeficientes que acompañan a x e y son iguales, sabemos que las curvas son Circun- ferencias de centro (0,0) y radio 2 c r ; 0 c Ejemplos: Si c=8 entonces 2 + 2 = 8 2 circunferencia de centro (0,0) y radio 2 Si c=18 entonces 2 + 2 = 18 2 circunferencia de centro (0,0) y radio 3 Si c=2 entonces 2 + 2 = 2 2 circunferencia de centro (0,0) y radio 1
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MATEMÁTICA II (10026)
02 Función de una y varias variables EJERCICIOS RESUELTOS
1) Determinar qué tipo de curvas son las curvas de nivel de las siguientes funciones. Justificar la respuesta.
a) 22 22),( yxyxf
Solución:
Por definición, las curvas se obtienen intersecando la función f con los planos paralelos al plano xy, es decir, de
la forma cz
Entonces 2
222),( 222222 cyxcyxcyxcyxf
Si 0;0,00 22 yxyxc
Si 2
0 22 cyxc
Observación: como los coeficientes que acompañan a x e y son iguales, sabemos que las curvas son Circun-
ferencias de centro (0,0) y radio 2
cr ; 0c
Ejemplos:
Si c=8 entonces 𝑥2 + 𝑦2 =8
2 circunferencia de centro (0,0) y radio 2
Si c=18 entonces 𝑥2 + 𝑦2 =18
2 circunferencia de centro (0,0) y radio 3
Si c=2 entonces 𝑥2 + 𝑦2 =2
2 circunferencia de centro (0,0) y radio 1
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02 Función de una y varias variables EJERCICIOS RESUELTOS
b) 2),( yxyxf
Solución:
Por definición, las curvas se obtienen intersecando la función f con los planos paralelos al plano xy, es decir, de
la forma cz
Entonces cyxcyxcyxf 22),(
Cualquiera sea Rc , las curvas son parábolas cóncavas hacia la derecha simétrica con respecto al eje “x”.
Ejemplos:
Si c=1 entonces 𝑥 = 𝑦2 + 1, parábola cóncava hacia la derecha con vértice en (1,0)
Si c=-1 entonces 𝑥 = 𝑦2 − 1, parábola cóncava hacia la derecha con vértice en (-1,0)
Si c=0 entonces 𝑥 = 𝑦2, parábola cóncava hacia la derecha con vértice en (0,0)
c) 223),( yxyxf
Solución:
Por definición, las curvas se obtienen intersecando la función f con los planos paralelos al plano xy, es decir, de
la forma cz
Entonces cyxcxf 223)(
Si 0;0,030 22 yxyxc
Si cyxc 2230
Observación: como los coeficientes que acompañan a x e y son distintos, sabemos que las curvas son elipses,
buscamos los valores de los semiejes a y b :
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1
3
322
22 c
y
c
xcyx
Luego, las curvas son Elipses de semiejes 3
ca y cb y centro (0,0)
Ejemplos:
Si c=1 entonces 3𝑥2 + 𝑦2 = 1, elipse de centro (0,0), semieje 𝑎 = √1
3 y 𝑏 = 1
Si c=27 entonces 3𝑥2 + 𝑦2 = 27, elipse de centro (0,0), semieje 𝑎 = √27
3 y 𝑏 = √27
Si c=9 entonces 3𝑥2 + 𝑦2 = 9, elipse de centro (0,0), semieje 𝑎 = √9
3 y 𝑏 = 3
Si c=48 entonces 3𝑥2 + 𝑦2 = 48, elipse de centro (0,0), semieje 𝑎 = √48
3 y 𝑏 = √48
d) yxyxf 23),(
Solución:
Por definición, las curvas se obtienen intersecando la función f con los planos paralelos al plano xy, es decir, de
la forma cz
Entonces 22
3
2
323),(
cx
xcycyxcyxf
Cualquiera sea Rc , las curvas son Rectas paralelas con pendiente positiva.
Ejemplos:
Si c=2 resulta 𝑦 =3
2𝑥 − 1 recta cuya pendiente es
3
2 y ordenada al origen -1
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Si c=-2 resulta 𝑦 =3
2𝑥 + 1 recta cuya pendiente es
3
2 y ordenada al origen 1
Si c=6 resulta 𝑦 =3
2𝑥 − 3 recta cuya pendiente es
3
2 y ordenada al origen -3
Si c=-6 resulta 𝑦 =3
2𝑥 + 3 recta cuya pendiente es
3
2 y ordenada al origen 3
e) xyyxf ),(
Solución:
Por definición, las curvas se obtienen intersecando la función f con los planos paralelos al plano xy, es decir, de
la forma cz
Entonces cxycyxf ),(
Observación: Como c es el resultado de una raíz de índice par, entonces 0c
Si 0000 yoxxyc
Si x
cycxyc
2
0 cuyas curvas sonHipérbolas en el primer y tercer cuadrante.
Ejemplos:
Si c=1 resulta 𝑦 =1
𝑥 hipérbolas en el primer y tercer cuadrante
Si c=2 resulta 𝑦 =4
𝑥 hipérbolas en el primer y tercer cuadrante
Si c=3 resulta 𝑦 =9
𝑥 hipérbolas en el primer y tercer cuadrante
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f) yxyxf 2),(
Solución:
Por definición, las curvas se obtienen intersecando la función f con los planos paralelos al plano xy, es decir, de
la forma cz
Entonces cyxcyxf 2),(
Observación: Como c es el resultado de una raíz de índice par, entonces 0c
Luego
222 cxycyx
Cuyas curvas son Parábolas cóncavas hacia arriba simétricas con respecto al eje “y”.
Ejemplos:
Si c=0 resulta 𝑦 = 𝑥2 parábola cóncava hacia arriba con vértice en (0,0)
Si c=1 resulta 𝑦 = 𝑥2 − 1 parábola cóncava hacia arriba con vértice en (0,-1)
Si c=2 resulta 𝑦 = 𝑥2 − 4 parábola cóncava hacia arriba con vértice en (0,-4)
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Si c=√2 resulta 𝑦 = 𝑥2 − 2 parábola cóncava hacia arriba con vértice en (0,-2)
2) Escribir la ecuación de la curva de nivel de la función 2225),( yxyxf , que pasa por el punto (3,4).
Solución:
Las curvas de nivel son 2225 yxc o sea cyx 2522 , cuando x = 3 e y = 4 el valor de c debe ser c = 0, pues
02543 22 . En consecuencia la curva de nivel que pasa por el punto (3,4) es 2522 yx se trata de una circunfe-
rencia de centro (0,0) y radio r = 5.
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3) Escribir la función h como composición de dos funciones:
a) 1)( xxh
Solución:
Considerando las funciones básicas o elementales: xxf )( y 1)( xxg resulta
1)1())(()()( xxfxgfxfogxh
b) 115959)(2333 xxxxxh
Solución:
Considerando las funciones: 11)( 23 xxxf y xxxg 59)( 3 resulta
115959)59())(()()( 3233 xxxxxxfxgfxfogxh
c) 3
1)(
2
x
xxh
Solución:
Considerando las funciones básicas o elementales: xxf )( y 3
1)(
2
x
xxg resulta
3
1
3
1))(()()(
22
x
x
x
xfxgfxfogxh
4) Un expendio de café vende una libra de café a 9,75 UM. Los gastos mensuales son de 4500 UM más 4,25 UM por cada libra de café vendida. a) Escribir la fórmula para la función )(xrr que calcula el ingreso mensual total en función de la cantidad de
libras de café vendidas. b) Escribir la fórmula de la función )(xee que calcula los gastos mensuales totales en función de la cantidad de
libras de café vendidas. c) Escribir la fórmula de la función er . ¿Qué calcula esta función? Solución:
a) Sabemos que la función ingreso depende del precio y de la cantidad, por lo tanto xxrr 75,9)( don-
de cafédelibrasx :
b) Como los gastos mensuales son 4500 UM más 4,25 UM por cada libra de café vendida entonces xxee 25,44500)(
c) 450050,525,4450075,9)()( xxxxexrer
Esta función calcula el beneficio obtenido. 5) Un fabricante determina que el número total de unidades de producción por día, q, es una función del número de empleados, m, donde
4
40)(
2mmmfq
El ingreso total, r, que se recibe por la venta de q unidades está dado por
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qqgr 40)(
Determinar mgof . ¿Qué describe esta función?
Solución:
2222
1040040.104
40.40
4
40mmmm
mmmmgmgof
Esta función describe el ingreso por día que recibe el fabricante.
6) Para las siguientes funciones de oferta y demanda determine analítica y gráficamente la cantidad y el precio de
equilibrio del mercado:
a) {𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑝 = 2𝑥 + 20
𝑑𝑒𝑚𝑎𝑚𝑑𝑎 𝑝 = 200 − 𝑥2
Primero buscamos el punto de equilibrio, sabemos que en él el precio de la oferta y la demanda coinciden: