Matemática Básica Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 7 2 de maio de 2012 Aula 7 Matemática Básica 1
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Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 7
2 de maio de 2012
Aula 7 Matemática Básica 1
A reta numérica
Aula 7 Matemática Básica 2
A reta numérica
(Ir para o GeoGebra)
Aula 7 Matemática Básica 3
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1100
+ 5 · 11000
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1102 + 5 · 1
103 .
Como representar o número 4.375 em uma reta numérica?
Aula 7 Matemática Básica 4
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1100
+ 5 · 11000
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1102 + 5 · 1
103 .
Como representar o número 4.375 em uma reta numérica?
Aula 7 Matemática Básica 5
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1100
+ 5 · 11000
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1102 + 5 · 1
103 .
Como representar o número 4.375 em uma reta numérica?
Aula 7 Matemática Básica 6
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1100
+ 5 · 11000
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1102 + 5 · 1
103 .
Como representar o número 4.375 em uma reta numérica?
Aula 7 Matemática Básica 7
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1100
+ 5 · 11000
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1102 + 5 · 1
103 .
Como representar o número 4.375 em uma reta numérica?
Aula 7 Matemática Básica 8
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1100
+ 5 · 11000
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1102 + 5 · 1
103 .
Como representar o número 4.375 em uma reta numérica?
Aula 7 Matemática Básica 9
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4.375
Aula 7 Matemática Básica 10
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4.375
0 1
Aula 7 Matemática Básica 11
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4.375
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Aula 7 Matemática Básica 12
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Aula 7 Matemática Básica 13
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5
Aula 7 Matemática Básica 15
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5
Aula 7 Matemática Básica 16
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5
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Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5
Aula 7 Matemática Básica 18
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4.3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.4
Aula 7 Matemática Básica 19
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4.3 4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.4
Aula 7 Matemática Básica 20
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4.3 4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.4
Aula 7 Matemática Básica 21
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4.3 4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.4
Aula 7 Matemática Básica 22
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4.37 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.38
Aula 7 Matemática Básica 23
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4.37 4.371 4.372 4.373 4.374 4.375 4.376 4.377 4.378 4.379 4.38
Aula 7 Matemática Básica 24
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4.37 4.371 4.372 4.373 4.374 4.375 4.376 4.377 4.378 4.379 4.38
Aula 7 Matemática Básica 25
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
•
4
4.37 4.371 4.372 4.373 4.374 4.375 4.376 4.377 4.378 4.379 4.38
Aula 7 Matemática Básica 26
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1100
+ 3 · 11000
+ · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1102 + 3 · 1
103 + · · ·
= 3 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 3 ·
[1/10
1− (1/10)
]=
13.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Aula 7 Matemática Básica 27
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1100
+ 3 · 11000
+ · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1102 + 3 · 1
103 + · · ·
= 3 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 3 ·
[1/10
1− (1/10)
]=
13.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Aula 7 Matemática Básica 28
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1100
+ 3 · 11000
+ · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1102 + 3 · 1
103 + · · ·
= 3 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 3 ·
[1/10
1− (1/10)
]=
13.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Aula 7 Matemática Básica 29
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1100
+ 3 · 11000
+ · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1102 + 3 · 1
103 + · · ·
= 3 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 3 ·
[1/10
1− (1/10)
]=
13.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Aula 7 Matemática Básica 30
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1100
+ 3 · 11000
+ · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1102 + 3 · 1
103 + · · ·
= 3 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 3 ·
[1/10
1− (1/10)
]=
13.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Aula 7 Matemática Básica 31
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1100
+ 3 · 11000
+ · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1102 + 3 · 1
103 + · · ·
= 3 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 3 ·
[1/10
1− (1/10)
]=
13.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Aula 7 Matemática Básica 32
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1100
+ 3 · 11000
+ · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1102 + 3 · 1
103 + · · ·
= 3 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 3 ·
[1/10
1− (1/10)
]=
13.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Aula 7 Matemática Básica 33
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1100
+ 3 · 11000
+ · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1102 + 3 · 1
103 + · · ·
= 3 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 3 ·
[1/10
1− (1/10)
]=
13.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Aula 7 Matemática Básica 34
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1100
+ 3 · 11000
+ · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1102 + 3 · 1
103 + · · ·
= 3 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 3 ·
[1/10
1− (1/10)
]=
13.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Aula 7 Matemática Básica 35
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4.375
Aula 7 Matemática Básica 36
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4.375
0 1
Aula 7 Matemática Básica 37
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4.375
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Aula 7 Matemática Básica 38
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Aula 7 Matemática Básica 39
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Aula 7 Matemática Básica 40
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1
Aula 7 Matemática Básica 41
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Aula 7 Matemática Básica 42
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Aula 7 Matemática Básica 43
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Aula 7 Matemática Básica 44
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0.3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.4
Aula 7 Matemática Básica 45
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4
Aula 7 Matemática Básica 46
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4
Aula 7 Matemática Básica 47
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4
Aula 7 Matemática Básica 48
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0.33 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.34
Aula 7 Matemática Básica 49
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0.33 0.331 0.332 0.333 0.334 0.335 0.336 0.337 0.338 0.339 0.34
Aula 7 Matemática Básica 50
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
•
4
0.33 0.331 0.332 0.333 0.334 0.335 0.336 0.337 0.338 0.339 0.34
Aula 7 Matemática Básica 51
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
E assim por diante. . .
0.33 0.331 0.332 0.333 0.334 0.335 0.336 0.337 0.338 0.339 0.34
Aula 7 Matemática Básica 52
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1100
+ 9 · 11000
+ · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1102 + 9 · 1
103 + · · ·
= 9 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 9 ·
[1/10
1− (1/10)
]= 1.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Aula 7 Matemática Básica 53
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1100
+ 9 · 11000
+ · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1102 + 9 · 1
103 + · · ·
= 9 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 9 ·
[1/10
1− (1/10)
]= 1.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Aula 7 Matemática Básica 54
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1100
+ 9 · 11000
+ · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1102 + 9 · 1
103 + · · ·
= 9 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 9 ·
[1/10
1− (1/10)
]= 1.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Aula 7 Matemática Básica 55
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1100
+ 9 · 11000
+ · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1102 + 9 · 1
103 + · · ·
= 9 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 9 ·
[1/10
1− (1/10)
]= 1.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Aula 7 Matemática Básica 56
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1100
+ 9 · 11000
+ · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1102 + 9 · 1
103 + · · ·
= 9 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 9 ·
[1/10
1− (1/10)
]= 1.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Aula 7 Matemática Básica 57
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1100
+ 9 · 11000
+ · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1102 + 9 · 1
103 + · · ·
= 9 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 9 ·
[1/10
1− (1/10)
]= 1.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Aula 7 Matemática Básica 58
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1100
+ 9 · 11000
+ · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1102 + 9 · 1
103 + · · ·
= 9 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 9 ·
[1/10
1− (1/10)
]= 1.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Aula 7 Matemática Básica 59
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1100
+ 9 · 11000
+ · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1102 + 9 · 1
103 + · · ·
= 9 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 9 ·
[1/10
1− (1/10)
]= 1.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Aula 7 Matemática Básica 60
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1100
+ 9 · 11000
+ · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1102 + 9 · 1
103 + · · ·
= 9 ·
[1
10+
(1
10
)2
+
(110
)3
+ · · ·
](∗)= 9 ·
[1/10
1− (1/10)
]= 1.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Aula 7 Matemática Básica 61
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 1
Moral:existem números reais que possuemduas expressões decimais diferentes!
Aula 7 Matemática Básica 62
Expansões decimais
(Ir para o GeoGebra)
Aula 7 Matemática Básica 63
Expansões decimais
Exploraremos mais esse assunto posteriormente!
Aula 7 Matemática Básica 64
Números reais algebricamente(axiomaticamente): R é um corpo
Aula 7 Matemática Básica 65
Números reais algebricamente (axiomaticamente)
A partir do conjunto dos números naturais,é possível construir o conjunto dos números reais (R):
um corpo ordenado completo.
Não faremos esta construção aqui,mas explicaremos o significado de corpo ordenado completo.
Aula 7 Matemática Básica 66
Números reais algebricamente (axiomaticamente)
A partir do conjunto dos números naturais,é possível construir o conjunto dos números reais (R):
um corpo ordenado completo.
Não faremos esta construção aqui,mas explicaremos o significado de corpo ordenado completo.
Aula 7 Matemática Básica 67
Números reais algebricamente (axiomaticamente)
A partir do conjunto dos números naturais,é possível construir o conjunto dos números reais (R):
um corpo ordenado completo.
Não faremos esta construção aqui,mas explicaremos o significado de corpo ordenado completo.
Aula 7 Matemática Básica 68
Números reais algebricamente (axiomaticamente)
A partir do conjunto dos números naturais,é possível construir o conjunto dos números reais (R):
um corpo ordenado completo.
Não faremos esta construção aqui,mas explicaremos o significado de corpo ordenado completo.
Aula 7 Matemática Básica 69
Números reais algebricamente (axiomaticamente)
A partir do conjunto dos números naturais,é possível construir o conjunto dos números reais (R):
um corpo ordenado completo.
Não faremos esta construção aqui,mas explicaremos o significado de corpo ordenado completo.
Aula 7 Matemática Básica 70
Números reais algebricamente (axiomaticamente)
A partir do conjunto dos números naturais,é possível construir o conjunto dos números reais (R):
um corpo ordenado completo.
Não faremos esta construção aqui,mas explicaremos o significado de corpo ordenado completo.
Aula 7 Matemática Básica 71
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Aula 7 Matemática Básica 72
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Aula 7 Matemática Básica 73
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Aula 7 Matemática Básica 74
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Aula 7 Matemática Básica 75
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Aula 7 Matemática Básica 76
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Aula 7 Matemática Básica 77
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Aula 7 Matemática Básica 78
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Aula 7 Matemática Básica 79
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Aula 7 Matemática Básica 80
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Aula 7 Matemática Básica 81
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Aula 7 Matemática Básica 82
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Aula 7 Matemática Básica 83
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Aula 7 Matemática Básica 84
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Aula 7 Matemática Básica 85
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Aula 7 Matemática Básica 86
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Aula 7 Matemática Básica 87
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Aula 7 Matemática Básica 88
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Aula 7 Matemática Básica 89
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Aula 7 Matemática Básica 90
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Aula 7 Matemática Básica 91
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
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R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
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R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
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Observações
A notaçãoab
significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).
O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.
Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:
~a =
[1 11 0
], ~b =
[1 10 1
], ~a · ~b 6= ~b · ~a.
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Observações
A notaçãoab
significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).
O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.
Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:
~a =
[1 11 0
], ~b =
[1 10 1
], ~a · ~b 6= ~b · ~a.
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Observações
A notaçãoab
significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).
O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.
Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:
~a =
[1 11 0
], ~b =
[1 10 1
], ~a · ~b 6= ~b · ~a.
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Observações
A notaçãoab
significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).
O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.
Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:
~a =
[1 11 0
], ~b =
[1 10 1
], ~a · ~b 6= ~b · ~a.
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Observações
A notaçãoab
significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).
O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.
Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:
~a =
[1 11 0
], ~b =
[1 10 1
], ~a · ~b 6= ~b · ~a.
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Observações
A notaçãoab
significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).
O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.
Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:
~a =
[1 11 0
], ~b =
[1 10 1
], ~a · ~b 6= ~b · ~a.
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Observações
A notaçãoab
significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).
O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.
Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:
~a =
[1 11 0
], ~b =
[1 10 1
], ~a · ~b 6= ~b · ~a.
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Observações
A notaçãoab
significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).
O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.
Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:
~a =
[1 11 0
], ~b =
[1 10 1
], ~a · ~b 6= ~b · ~a.
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Observações
A notaçãoab
significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).
O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.
Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:
~a =
[1 11 0
], ~b =
[1 10 1
], ~a · ~b 6= ~b · ~a.
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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]
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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]
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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]
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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]
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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]
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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]
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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]
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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]
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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]
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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]
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O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]
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O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]
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O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]
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Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]
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Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]
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Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]
Aula 7 Matemática Básica 119
Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]
Aula 7 Matemática Básica 120
Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
a · bc
= a · bc=
ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]
a + bc
=ac+
bc
, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]
−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]
−a + bc
=−a− b
c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]
Aula 7 Matemática Básica 121
Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
a · bc
= a · bc=
ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]
a + bc
=ac+
bc
, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]
−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]
−a + bc
=−a− b
c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]
Aula 7 Matemática Básica 122
Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
a · bc
= a · bc=
ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]
a + bc
=ac+
bc
, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]
−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]
−a + bc
=−a− b
c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]
Aula 7 Matemática Básica 123
Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
a · bc
= a · bc=
ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]
a + bc
=ac+
bc
, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]
−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]
−a + bc
=−a− b
c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]
Aula 7 Matemática Básica 124
Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
a · bc
= a · bc=
ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]
a + bc
=ac+
bc
, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]
−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]
−a + bc
=−a− b
c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]
Aula 7 Matemática Básica 125
Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
a · bc
= a · bc=
ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]
a + bc
=ac+
bc
, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]
−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]
−a + bc
=−a− b
c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]
Aula 7 Matemática Básica 126
Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
a · bc
= a · bc=
ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]
a + bc
=ac+
bc
, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]
−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]
−a + bc
=−a− b
c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]
Aula 7 Matemática Básica 127
Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
a · bc
= a · bc=
ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]
a + bc
=ac+
bc
, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]
−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]
−a + bc
=−a− b
c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]
Aula 7 Matemática Básica 128
Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
1a/b
=ba
, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA23]
a/bc/d
=ab· d
c, ∀a ∈ R, ∀b, c,d ∈ R− {0}. [PA24]
Aula 7 Matemática Básica 129
Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
1a/b
=ba
, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA23]
a/bc/d
=ab· d
c, ∀a ∈ R, ∀b, c,d ∈ R− {0}. [PA24]
Aula 7 Matemática Básica 130
Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
1a/b
=ba
, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA23]
a/bc/d
=ab· d
c, ∀a ∈ R, ∀b, c,d ∈ R− {0}. [PA24]
Aula 7 Matemática Básica 131
[PA01]
O elemento neutro da adição é único.
Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:
0′ (1)= 0′ + 0 (2)
= 0 + 0′ (3)= 0,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 132
[PA01]
O elemento neutro da adição é único.
Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:
0′ (1)= 0′ + 0 (2)
= 0 + 0′ (3)= 0,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 133
[PA01]
O elemento neutro da adição é único.
Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:
0′ (1)= 0′ + 0 (2)
= 0 + 0′ (3)= 0,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 134
[PA01]
O elemento neutro da adição é único.
Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:
0′ (1)= 0′ + 0 (2)
= 0 + 0′ (3)= 0,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 135
[PA01]
O elemento neutro da adição é único.
Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:
0′ (1)= 0′ + 0 (2)
= 0 + 0′ (3)= 0,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 136
[PA01]
O elemento neutro da adição é único.
Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:
0′ (1)= 0′ + 0 (2)
= 0 + 0′ (3)= 0,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 137
[PA01]
O elemento neutro da adição é único.
Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:
0′ (1)= 0′ + 0 (2)
= 0 + 0′ (3)= 0,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 138
[PA01]
O elemento neutro da adição é único.
Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:
0′ (1)= 0′ + 0 (2)
= 0 + 0′ (3)= 0,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 139
[PA01]
O elemento neutro da adição é único.
Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:
0′ (1)= 0′ + 0 (2)
= 0 + 0′ (3)= 0,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 140
[PA01]
O elemento neutro da adição é único.
Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:
0′ (1)= 0′ + 0 (2)
= 0 + 0′ (3)= 0,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 141
[PA02]
O elemento neutro da multiplicação é único.
Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:
1′ (1)= 1′ · 1 (2)
= 1 · 1′ (2)= 1,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 142
[PA02]
O elemento neutro da multiplicação é único.
Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:
1′ (1)= 1′ · 1 (2)
= 1 · 1′ (2)= 1,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 143
[PA02]
O elemento neutro da multiplicação é único.
Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:
1′ (1)= 1′ · 1 (2)
= 1 · 1′ (2)= 1,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 144
[PA02]
O elemento neutro da multiplicação é único.
Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:
1′ (1)= 1′ · 1 (2)
= 1 · 1′ (2)= 1,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 145
[PA02]
O elemento neutro da multiplicação é único.
Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:
1′ (1)= 1′ · 1 (2)
= 1 · 1′ (2)= 1,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 146
[PA02]
O elemento neutro da multiplicação é único.
Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:
1′ (1)= 1′ · 1 (2)
= 1 · 1′ (2)= 1,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 147
[PA02]
O elemento neutro da multiplicação é único.
Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:
1′ (1)= 1′ · 1 (2)
= 1 · 1′ (2)= 1,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 148
[PA02]
O elemento neutro da multiplicação é único.
Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:
1′ (1)= 1′ · 1 (2)
= 1 · 1′ (2)= 1,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 149
[PA02]
O elemento neutro da multiplicação é único.
Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:
1′ (1)= 1′ · 1 (2)
= 1 · 1′ (2)= 1,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 150
[PA02]
O elemento neutro da multiplicação é único.
Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:
1′ (1)= 1′ · 1 (2)
= 1 · 1′ (2)= 1,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 151
[PA03]
0 + a = a, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que:
0 + a (1)= a + 0 (2)
= a,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 152
[PA03]
0 + a = a, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que:
0 + a (1)= a + 0 (2)
= a,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 153
[PA03]
0 + a = a, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que:
0 + a (1)= a + 0 (2)
= a,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 154
[PA03]
0 + a = a, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que:
0 + a (1)= a + 0 (2)
= a,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 155
[PA03]
0 + a = a, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que:
0 + a (1)= a + 0 (2)
= a,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 156
[PA03]
0 + a = a, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que:
0 + a (1)= a + 0 (2)
= a,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 157
[PA03]
0 + a = a, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que:
0 + a (1)= a + 0 (2)
= a,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 158
[PA04]
1 · a = a, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que:
1 · a (1)= a · 1 (2)
= a,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 159
[PA04]
1 · a = a, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que:
1 · a (1)= a · 1 (2)
= a,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 160
[PA04]
1 · a = a, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que:
1 · a (1)= a · 1 (2)
= a,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 161
[PA04]
1 · a = a, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que:
1 · a (1)= a · 1 (2)
= a,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 162
[PA04]
1 · a = a, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que:
1 · a (1)= a · 1 (2)
= a,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 163
[PA04]
1 · a = a, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que:
1 · a (1)= a · 1 (2)
= a,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 164
[PA04]
1 · a = a, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que:
1 · a (1)= a · 1 (2)
= a,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 165
[PA05]
Cada número real possui um único elemento simétrico.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que
a′ (1)= 0 + a′ (2)
= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)
= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 166
[PA05]
Cada número real possui um único elemento simétrico.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que
a′ (1)= 0 + a′ (2)
= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)
= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 167
[PA05]
Cada número real possui um único elemento simétrico.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que
a′ (1)= 0 + a′ (2)
= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)
= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 168
[PA05]
Cada número real possui um único elemento simétrico.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que
a′ (1)= 0 + a′ (2)
= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)
= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 169
[PA05]
Cada número real possui um único elemento simétrico.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que
a′ (1)= 0 + a′ (2)
= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)
= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 170
[PA05]
Cada número real possui um único elemento simétrico.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que
a′ (1)= 0 + a′ (2)
= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)
= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 171
[PA05]
Cada número real possui um único elemento simétrico.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que
a′ (1)= 0 + a′ (2)
= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)
= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 172
[PA05]
Cada número real possui um único elemento simétrico.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que
a′ (1)= 0 + a′ (2)
= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)
= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 173
[PA05]
Cada número real possui um único elemento simétrico.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que
a′ (1)= 0 + a′ (2)
= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)
= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 174
[PA05]
Cada número real possui um único elemento simétrico.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que
a′ (1)= 0 + a′ (2)
= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)
= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 175
[PA05]
Cada número real possui um único elemento simétrico.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que
a′ (1)= 0 + a′ (2)
= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)
= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 176
[PA05]
Cada número real possui um único elemento simétrico.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que
a′ (1)= 0 + a′ (2)
= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)
= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 177
[PA06]
Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que
a′ (1)= a′ · 1 (2)
= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)
= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].
Aula 7 Matemática Básica 178
[PA06]
Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que
a′ (1)= a′ · 1 (2)
= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)
= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].
Aula 7 Matemática Básica 179
[PA06]
Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que
a′ (1)= a′ · 1 (2)
= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)
= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].
Aula 7 Matemática Básica 180
[PA06]
Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que
a′ (1)= a′ · 1 (2)
= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)
= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].
Aula 7 Matemática Básica 181
[PA06]
Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que
a′ (1)= a′ · 1 (2)
= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)
= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].
Aula 7 Matemática Básica 182
[PA06]
Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que
a′ (1)= a′ · 1 (2)
= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)
= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].
Aula 7 Matemática Básica 183
[PA06]
Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que
a′ (1)= a′ · 1 (2)
= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)
= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].
Aula 7 Matemática Básica 184
[PA06]
Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que
a′ (1)= a′ · 1 (2)
= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)
= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].
Aula 7 Matemática Básica 185
[PA06]
Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que
a′ (1)= a′ · 1 (2)
= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)
= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].
Aula 7 Matemática Básica 186
[PA06]
Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que
a′ (1)= a′ · 1 (2)
= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)
= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].
Aula 7 Matemática Básica 187
[PA06]
Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que
a′ (1)= a′ · 1 (2)
= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)
= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].
Aula 7 Matemática Básica 188
[PA06]
Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que
a′ (1)= a′ · 1 (2)
= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)
= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].
Aula 7 Matemática Básica 189
[PA07]
−a + a = 0, ∀a ∈ R.
Demonstração. Exercício.
Aula 7 Matemática Básica 190
[PA07]
−a + a = 0, ∀a ∈ R.
Demonstração. Exercício.
Aula 7 Matemática Básica 191
[PA07]
−a + a = 0, ∀a ∈ R.
Demonstração. Exercício.
Aula 7 Matemática Básica 192
[PA08]
(1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Aula 7 Matemática Básica 193
[PA08]
(1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Aula 7 Matemática Básica 194
[PA08]
(1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Aula 7 Matemática Básica 195
[PA09]
−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).
Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora
− a + a (1)= a + (−a) (2)
= 0,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C6).
Aula 7 Matemática Básica 196
[PA09]
−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).
Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora
− a + a (1)= a + (−a) (2)
= 0,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C6).
Aula 7 Matemática Básica 197
[PA09]
−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).
Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora
− a + a (1)= a + (−a) (2)
= 0,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C6).
Aula 7 Matemática Básica 198
[PA09]
−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).
Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora
− a + a (1)= a + (−a) (2)
= 0,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C6).
Aula 7 Matemática Básica 199
[PA09]
−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).
Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora
− a + a (1)= a + (−a) (2)
= 0,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C6).
Aula 7 Matemática Básica 200
[PA09]
−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).
Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora
− a + a (1)= a + (−a) (2)
= 0,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C6).
Aula 7 Matemática Básica 201
[PA09]
−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).
Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora
− a + a (1)= a + (−a) (2)
= 0,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C6).
Aula 7 Matemática Básica 202
[PA09]
−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).
Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora
− a + a (1)= a + (−a) (2)
= 0,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C6).
Aula 7 Matemática Básica 203
[PA09]
−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).
Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora
− a + a (1)= a + (−a) (2)
= 0,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C6).
Aula 7 Matemática Básica 204
[PA10]
1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).
Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora
(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)
= 1,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 205
[PA10]
1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).
Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora
(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)
= 1,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 206
[PA10]
1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).
Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora
(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)
= 1,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 207
[PA10]
1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).
Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora
(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)
= 1,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 208
[PA10]
1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).
Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora
(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)
= 1,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 209
[PA10]
1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).
Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora
(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)
= 1,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 210
[PA10]
1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).
Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora
(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)
= 1,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 211
[PA10]
1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).
Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora
(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)
= 1,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 212
[PA10]
1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).
Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora
(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)
= 1,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 213
[PA11]
(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.
Demonstração. Temos que
(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)
= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C4) e em (3) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 214
[PA11]
(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.
Demonstração. Temos que
(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)
= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C4) e em (3) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 215
[PA11]
(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.
Demonstração. Temos que
(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)
= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C4) e em (3) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 216
[PA11]
(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.
Demonstração. Temos que
(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)
= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C4) e em (3) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 217
[PA11]
(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.
Demonstração. Temos que
(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)
= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C4) e em (3) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 218
[PA11]
(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.
Demonstração. Temos que
(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)
= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C4) e em (3) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 219
[PA11]
(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.
Demonstração. Temos que
(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)
= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C4) e em (3) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 220
[PA11]
(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.
Demonstração. Temos que
(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)
= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C4) e em (3) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 221
[PA12]
a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que
0 (1)= a · 0− a · 0 (2)
= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0
(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)
= a · 0 + 0 (6)= a · 0,
onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.
Aula 7 Matemática Básica 222
[PA12]
a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que
0 (1)= a · 0− a · 0 (2)
= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0
(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)
= a · 0 + 0 (6)= a · 0,
onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.
Aula 7 Matemática Básica 223
[PA12]
a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que
0 (1)= a · 0− a · 0 (2)
= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0
(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)
= a · 0 + 0 (6)= a · 0,
onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.
Aula 7 Matemática Básica 224
[PA12]
a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que
0 (1)= a · 0− a · 0 (2)
= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0
(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)
= a · 0 + 0 (6)= a · 0,
onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.
Aula 7 Matemática Básica 225
[PA12]
a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que
0 (1)= a · 0− a · 0 (2)
= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0
(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)
= a · 0 + 0 (6)= a · 0,
onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.
Aula 7 Matemática Básica 226
[PA12]
a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que
0 (1)= a · 0− a · 0 (2)
= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0
(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)
= a · 0 + 0 (6)= a · 0,
onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.
Aula 7 Matemática Básica 227
[PA12]
a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que
0 (1)= a · 0− a · 0 (2)
= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0
(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)
= a · 0 + 0 (6)= a · 0,
onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.
Aula 7 Matemática Básica 228
[PA12]
a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que
0 (1)= a · 0− a · 0 (2)
= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0
(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)
= a · 0 + 0 (6)= a · 0,
onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.
Aula 7 Matemática Básica 229
[PA12]
a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que
0 (1)= a · 0− a · 0 (2)
= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0
(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)
= a · 0 + 0 (6)= a · 0,
onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.
Aula 7 Matemática Básica 230
[PA12]
a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que
0 (1)= a · 0− a · 0 (2)
= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0
(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)
= a · 0 + 0 (6)= a · 0,
onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.
Aula 7 Matemática Básica 231
[PA12]
a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que
0 (1)= a · 0− a · 0 (2)
= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0
(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)
= a · 0 + 0 (6)= a · 0,
onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.
Aula 7 Matemática Básica 232
[PA12]
a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que
0 (1)= a · 0− a · 0 (2)
= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0
(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)
= a · 0 + 0 (6)= a · 0,
onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.
Aula 7 Matemática Básica 233
[PA12]
a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que
0 (1)= a · 0− a · 0 (2)
= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0
(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)
= a · 0 + 0 (6)= a · 0,
onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.
Aula 7 Matemática Básica 234
[PA13]
(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.
Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que
a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)
= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)
= 0,
onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.
Aula 7 Matemática Básica 235
[PA13]
(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.
Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que
a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)
= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)
= 0,
onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.
Aula 7 Matemática Básica 236
[PA13]
(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.
Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que
a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)
= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)
= 0,
onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.
Aula 7 Matemática Básica 237
[PA13]
(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.
Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que
a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)
= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)
= 0,
onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.
Aula 7 Matemática Básica 238
[PA13]
(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.
Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que
a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)
= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)
= 0,
onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.
Aula 7 Matemática Básica 239
[PA13]
(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.
Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que
a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)
= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)
= 0,
onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.
Aula 7 Matemática Básica 240
[PA13]
(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.
Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que
a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)
= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)
= 0,
onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.
Aula 7 Matemática Básica 241
[PA13]
(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.
Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que
a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)
= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)
= 0,
onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.
Aula 7 Matemática Básica 242
[PA13]
(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.
Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que
a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)
= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)
= 0,
onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.
Aula 7 Matemática Básica 243
[PA13]
(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.
Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que
a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)
= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)
= 0,
onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.
Aula 7 Matemática Básica 244
[PA13]
(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.
Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que
a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)
= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)
= 0,
onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.
Aula 7 Matemática Básica 245
[PA13]
(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.
Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que
a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)
= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)
= 0,
onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.
Aula 7 Matemática Básica 246
[PA13]
(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.
Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que
a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)
= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)
= 0,
onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.
Aula 7 Matemática Básica 247
[PA14]
−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)
= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,
onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:
− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)
= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)
= (−b) ·a (8)= a · (−b),
onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 248
[PA14]
−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)
= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,
onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:
− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)
= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)
= (−b) ·a (8)= a · (−b),
onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 249
[PA14]
−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)
= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,
onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:
− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)
= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)
= (−b) ·a (8)= a · (−b),
onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 250
[PA14]
−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)
= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,
onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:
− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)
= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)
= (−b) ·a (8)= a · (−b),
onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 251
[PA14]
−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)
= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,
onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:
− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)
= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)
= (−b) ·a (8)= a · (−b),
onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 252
[PA14]
−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)
= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,
onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:
− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)
= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)
= (−b) ·a (8)= a · (−b),
onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 253
[PA14]
−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)
= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,
onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:
− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)
= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)
= (−b) ·a (8)= a · (−b),
onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 254
[PA14]
−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)
= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,
onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:
− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)
= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)
= (−b) ·a (8)= a · (−b),
onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 255
[PA14]
−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)
= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,
onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:
− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)
= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)
= (−b) ·a (8)= a · (−b),
onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 256
[PA14]
−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)
= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,
onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:
− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)
= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)
= (−b) ·a (8)= a · (−b),
onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 257
[PA14]
−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)
= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,
onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:
− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)
= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)
= (−b) ·a (8)= a · (−b),
onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 258
[PA14]
−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)
= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,
onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:
− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)
= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)
= (−b) ·a (8)= a · (−b),
onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 259
[PA14]
−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)
= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,
onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:
− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)
= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)
= (−b) ·a (8)= a · (−b),
onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 260
[PA14]
−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)
= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,
onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:
− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)
= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)
= (−b) ·a (8)= a · (−b),
onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 261
[PA14]
−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)
= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,
onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:
− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)
= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)
= (−b) ·a (8)= a · (−b),
onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 262
[PA14]
−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)
= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,
onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:
− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)
= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)
= (−b) ·a (8)= a · (−b),
onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 263
[PA14]
−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)
= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,
onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:
− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)
= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)
= (−b) ·a (8)= a · (−b),
onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).
Aula 7 Matemática Básica 264
[PA15]
(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Temos que:
(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)
= −(−(a · b)) (3)= a · b,
onde, em (1) usamos [PA14], em (2) usamos [PA14], e em (3) usamos[PA09].
Aula 7 Matemática Básica 265
[PA15]
(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Temos que:
(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)
= −(−(a · b)) (3)= a · b,
onde, em (1) usamos [PA14], em (2) usamos [PA14], e em (3) usamos[PA09].
Aula 7 Matemática Básica 266
[PA15]
(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Temos que:
(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)
= −(−(a · b)) (3)= a · b,
onde, em (1) usamos [PA14], em (2) usamos [PA14], e em (3) usamos[PA09].
Aula 7 Matemática Básica 267
[PA15]
(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Temos que:
(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)
= −(−(a · b)) (3)= a · b,
onde, em (1) usamos [PA14], em (2) usamos [PA14], e em (3) usamos[PA09].
Aula 7 Matemática Básica 268
[PA15]
(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Temos que:
(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)
= −(−(a · b)) (3)= a · b,
onde, em (1) usamos [PA14], em (2) usamos [PA14], e em (3) usamos[PA09].
Aula 7 Matemática Básica 269
[PA15]
(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Temos que:
(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)
= −(−(a · b)) (3)= a · b,
onde, em (1) usamos [PA14], em (2) usamos [PA14], e em (3) usamos[PA09].
Aula 7 Matemática Básica 270
[PA15]
(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Temos que:
(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)
= −(−(a · b)) (3)= a · b,
onde, em (1) usamos [PA14], em (2) usamos [PA14], e em (3) usamos[PA09].
Aula 7 Matemática Básica 271
[PA15]
(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.
Demonstração. Temos que:
(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)
= −(−(a · b)) (3)= a · b,
onde, em (1) usamos [PA14], em (2) usamos [PA14], e em (3) usamos[PA09].
Aula 7 Matemática Básica 272
[PA16]
a · bc
= a · bc=
ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
a · bc
(1)= (a · b) · 1
c(2)= a ·
(b · 1
c
)(3)= a · b
c,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.
Aula 7 Matemática Básica 273
[PA16]
a · bc
= a · bc=
ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
a · bc
(1)= (a · b) · 1
c(2)= a ·
(b · 1
c
)(3)= a · b
c,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.
Aula 7 Matemática Básica 274
[PA16]
a · bc
= a · bc=
ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
a · bc
(1)= (a · b) · 1
c(2)= a ·
(b · 1
c
)(3)= a · b
c,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.
Aula 7 Matemática Básica 275
[PA16]
a · bc
= a · bc=
ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
a · bc
(1)= (a · b) · 1
c(2)= a ·
(b · 1
c
)(3)= a · b
c,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.
Aula 7 Matemática Básica 276
[PA16]
a · bc
= a · bc=
ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
a · bc
(1)= (a · b) · 1
c(2)= a ·
(b · 1
c
)(3)= a · b
c,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.
Aula 7 Matemática Básica 277
[PA16]
a · bc
= a · bc=
ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
a · bc
(1)= (a · b) · 1
c(2)= a ·
(b · 1
c
)(3)= a · b
c,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.
Aula 7 Matemática Básica 278
[PA16]
a · bc
= a · bc=
ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
a · bc
(1)= (a · b) · 1
c(2)= a ·
(b · 1
c
)(3)= a · b
c,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.
Aula 7 Matemática Básica 279
[PA16]
a · bc
= a · bc=
ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
a · bc
(1)= (a · b) · 1
c(2)= a ·
(b · 1
c
)(3)= a · b
c,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.
Aula 7 Matemática Básica 280
[PA16]
a · bc
= a · bc=
ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
a · bc
(1)= (a · b) · 1
c(2)= a ·
(b · 1
c
)(3)= a · b
c,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.
Aula 7 Matemática Básica 281
[PA16]
a · bc
= a · bc=
ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
a · bc
(1)= (a · b) · 1
c(2)= a ·
(b · 1
c
)(3)= a · b
c,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.
Aula 7 Matemática Básica 282
[PA17]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− 1a
(1)= (−1) · 1
a(2)=−1a
,
onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(−a) · −1a
(3)= (−a) ·
(−1
a
)(4)= a · 1
a(5)= 1,
onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 283
[PA17]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− 1a
(1)= (−1) · 1
a(2)=−1a
,
onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(−a) · −1a
(3)= (−a) ·
(−1
a
)(4)= a · 1
a(5)= 1,
onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 284
[PA17]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− 1a
(1)= (−1) · 1
a(2)=−1a
,
onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(−a) · −1a
(3)= (−a) ·
(−1
a
)(4)= a · 1
a(5)= 1,
onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 285
[PA17]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− 1a
(1)= (−1) · 1
a(2)=−1a
,
onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(−a) · −1a
(3)= (−a) ·
(−1
a
)(4)= a · 1
a(5)= 1,
onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 286
[PA17]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− 1a
(1)= (−1) · 1
a(2)=−1a
,
onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(−a) · −1a
(3)= (−a) ·
(−1
a
)(4)= a · 1
a(5)= 1,
onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 287
[PA17]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− 1a
(1)= (−1) · 1
a(2)=−1a
,
onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(−a) · −1a
(3)= (−a) ·
(−1
a
)(4)= a · 1
a(5)= 1,
onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 288
[PA17]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− 1a
(1)= (−1) · 1
a(2)=−1a
,
onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(−a) · −1a
(3)= (−a) ·
(−1
a
)(4)= a · 1
a(5)= 1,
onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 289
[PA17]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− 1a
(1)= (−1) · 1
a(2)=−1a
,
onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(−a) · −1a
(3)= (−a) ·
(−1
a
)(4)= a · 1
a(5)= 1,
onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 290
[PA17]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− 1a
(1)= (−1) · 1
a(2)=−1a
,
onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(−a) · −1a
(3)= (−a) ·
(−1
a
)(4)= a · 1
a(5)= 1,
onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 291
[PA17]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− 1a
(1)= (−1) · 1
a(2)=−1a
,
onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(−a) · −1a
(3)= (−a) ·
(−1
a
)(4)= a · 1
a(5)= 1,
onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 292
[PA17]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− 1a
(1)= (−1) · 1
a(2)=−1a
,
onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(−a) · −1a
(3)= (−a) ·
(−1
a
)(4)= a · 1
a(5)= 1,
onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 293
[PA17]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− 1a
(1)= (−1) · 1
a(2)=−1a
,
onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(−a) · −1a
(3)= (−a) ·
(−1
a
)(4)= a · 1
a(5)= 1,
onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 294
[PA17]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− 1a
(1)= (−1) · 1
a(2)=−1a
,
onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(−a) · −1a
(3)= (−a) ·
(−1
a
)(4)= a · 1
a(5)= 1,
onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 295
[PA17]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− 1a
(1)= (−1) · 1
a(2)=−1a
,
onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(−a) · −1a
(3)= (−a) ·
(−1
a
)(4)= a · 1
a(5)= 1,
onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 296
[PA17]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− 1a
(1)= (−1) · 1
a(2)=−1a
,
onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(−a) · −1a
(3)= (−a) ·
(−1
a
)(4)= a · 1
a(5)= 1,
onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 297
[PA17]
−1a=−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− 1a
(1)= (−1) · 1
a(2)=−1a
,
onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(−a) · −1a
(3)= (−a) ·
(−1
a
)(4)= a · 1
a(5)= 1,
onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 298
[PA18]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a,b ∈ R− {0}.
Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(a·b)·(
1a· 1
b
)(1)= (b·a)·
(1a· 1
b
)(2)=
(b ·(
a · 1a
))·1b
(3)= (b·1)·1
b(4)= b·1
b(5)= 1,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 299
[PA18]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a,b ∈ R− {0}.
Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(a·b)·(
1a· 1
b
)(1)= (b·a)·
(1a· 1
b
)(2)=
(b ·(
a · 1a
))·1b
(3)= (b·1)·1
b(4)= b·1
b(5)= 1,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 300
[PA18]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a,b ∈ R− {0}.
Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(a·b)·(
1a· 1
b
)(1)= (b·a)·
(1a· 1
b
)(2)=
(b ·(
a · 1a
))·1b
(3)= (b·1)·1
b(4)= b·1
b(5)= 1,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 301
[PA18]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a,b ∈ R− {0}.
Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(a·b)·(
1a· 1
b
)(1)= (b·a)·
(1a· 1
b
)(2)=
(b ·(
a · 1a
))·1b
(3)= (b·1)·1
b(4)= b·1
b(5)= 1,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 302
[PA18]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a,b ∈ R− {0}.
Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(a·b)·(
1a· 1
b
)(1)= (b·a)·
(1a· 1
b
)(2)=
(b ·(
a · 1a
))·1b
(3)= (b·1)·1
b(4)= b·1
b(5)= 1,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 303
[PA18]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a,b ∈ R− {0}.
Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(a·b)·(
1a· 1
b
)(1)= (b·a)·
(1a· 1
b
)(2)=
(b ·(
a · 1a
))·1b
(3)= (b·1)·1
b(4)= b·1
b(5)= 1,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 304
[PA18]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a,b ∈ R− {0}.
Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(a·b)·(
1a· 1
b
)(1)= (b·a)·
(1a· 1
b
)(2)=
(b ·(
a · 1a
))·1b
(3)= (b·1)·1
b(4)= b·1
b(5)= 1,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 305
[PA18]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a,b ∈ R− {0}.
Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(a·b)·(
1a· 1
b
)(1)= (b·a)·
(1a· 1
b
)(2)=
(b ·(
a · 1a
))·1b
(3)= (b·1)·1
b(4)= b·1
b(5)= 1,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 306
[PA18]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a,b ∈ R− {0}.
Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(a·b)·(
1a· 1
b
)(1)= (b·a)·
(1a· 1
b
)(2)=
(b ·(
a · 1a
))·1b
(3)= (b·1)·1
b(4)= b·1
b(5)= 1,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 307
[PA18]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a,b ∈ R− {0}.
Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(a·b)·(
1a· 1
b
)(1)= (b·a)·
(1a· 1
b
)(2)=
(b ·(
a · 1a
))·1b
(3)= (b·1)·1
b(4)= b·1
b(5)= 1,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 308
[PA18]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a,b ∈ R− {0}.
Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(a·b)·(
1a· 1
b
)(1)= (b·a)·
(1a· 1
b
)(2)=
(b ·(
a · 1a
))·1b
(3)= (b·1)·1
b(4)= b·1
b(5)= 1,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 309
[PA18]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a,b ∈ R− {0}.
Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(a·b)·(
1a· 1
b
)(1)= (b·a)·
(1a· 1
b
)(2)=
(b ·(
a · 1a
))·1b
(3)= (b·1)·1
b(4)= b·1
b(5)= 1,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 310
[PA18]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a,b ∈ R− {0}.
Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(a·b)·(
1a· 1
b
)(1)= (b·a)·
(1a· 1
b
)(2)=
(b ·(
a · 1a
))·1b
(3)= (b·1)·1
b(4)= b·1
b(5)= 1,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).
Aula 7 Matemática Básica 311
[PA19]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.
Demonstração. Temos que:
a · bc · d
(1)= (a · b) ·
(1
c · d
)(2)= (a · b) ·
(1c· 1
d
)(3)= (a · b) ·
(1d· 1
c
)(4)= a ·
(b · 1
d
)· 1
c(5)= a · b
d· 1
c(6)= a · 1
c· b
d(7)=
ac· b
d,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.
Aula 7 Matemática Básica 312
[PA19]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.
Demonstração. Temos que:
a · bc · d
(1)= (a · b) ·
(1
c · d
)(2)= (a · b) ·
(1c· 1
d
)(3)= (a · b) ·
(1d· 1
c
)(4)= a ·
(b · 1
d
)· 1
c(5)= a · b
d· 1
c(6)= a · 1
c· b
d(7)=
ac· b
d,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.
Aula 7 Matemática Básica 313
[PA19]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.
Demonstração. Temos que:
a · bc · d
(1)= (a · b) ·
(1
c · d
)(2)= (a · b) ·
(1c· 1
d
)(3)= (a · b) ·
(1d· 1
c
)(4)= a ·
(b · 1
d
)· 1
c(5)= a · b
d· 1
c(6)= a · 1
c· b
d(7)=
ac· b
d,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.
Aula 7 Matemática Básica 314
[PA19]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.
Demonstração. Temos que:
a · bc · d
(1)= (a · b) ·
(1
c · d
)(2)= (a · b) ·
(1c· 1
d
)(3)= (a · b) ·
(1d· 1
c
)(4)= a ·
(b · 1
d
)· 1
c(5)= a · b
d· 1
c(6)= a · 1
c· b
d(7)=
ac· b
d,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.
Aula 7 Matemática Básica 315
[PA19]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.
Demonstração. Temos que:
a · bc · d
(1)= (a · b) ·
(1
c · d
)(2)= (a · b) ·
(1c· 1
d
)(3)= (a · b) ·
(1d· 1
c
)(4)= a ·
(b · 1
d
)· 1
c(5)= a · b
d· 1
c(6)= a · 1
c· b
d(7)=
ac· b
d,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.
Aula 7 Matemática Básica 316
[PA19]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.
Demonstração. Temos que:
a · bc · d
(1)= (a · b) ·
(1
c · d
)(2)= (a · b) ·
(1c· 1
d
)(3)= (a · b) ·
(1d· 1
c
)(4)= a ·
(b · 1
d
)· 1
c(5)= a · b
d· 1
c(6)= a · 1
c· b
d(7)=
ac· b
d,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.
Aula 7 Matemática Básica 317
[PA19]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.
Demonstração. Temos que:
a · bc · d
(1)= (a · b) ·
(1
c · d
)(2)= (a · b) ·
(1c· 1
d
)(3)= (a · b) ·
(1d· 1
c
)(4)= a ·
(b · 1
d
)· 1
c(5)= a · b
d· 1
c(6)= a · 1
c· b
d(7)=
ac· b
d,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.
Aula 7 Matemática Básica 318
[PA19]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.
Demonstração. Temos que:
a · bc · d
(1)= (a · b) ·
(1
c · d
)(2)= (a · b) ·
(1c· 1
d
)(3)= (a · b) ·
(1d· 1
c
)(4)= a ·
(b · 1
d
)· 1
c(5)= a · b
d· 1
c(6)= a · 1
c· b
d(7)=
ac· b
d,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.
Aula 7 Matemática Básica 319
[PA19]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.
Demonstração. Temos que:
a · bc · d
(1)= (a · b) ·
(1
c · d
)(2)= (a · b) ·
(1c· 1
d
)(3)= (a · b) ·
(1d· 1
c
)(4)= a ·
(b · 1
d
)· 1
c(5)= a · b
d· 1
c(6)= a · 1
c· b
d(7)=
ac· b
d,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.
Aula 7 Matemática Básica 320
[PA19]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.
Demonstração. Temos que:
a · bc · d
(1)= (a · b) ·
(1
c · d
)(2)= (a · b) ·
(1c· 1
d
)(3)= (a · b) ·
(1d· 1
c
)(4)= a ·
(b · 1
d
)· 1
c(5)= a · b
d· 1
c(6)= a · 1
c· b
d(7)=
ac· b
d,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.
Aula 7 Matemática Básica 321
[PA19]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.
Demonstração. Temos que:
a · bc · d
(1)= (a · b) ·
(1
c · d
)(2)= (a · b) ·
(1c· 1
d
)(3)= (a · b) ·
(1d· 1
c
)(4)= a ·
(b · 1
d
)· 1
c(5)= a · b
d· 1
c(6)= a · 1
c· b
d(7)=
ac· b
d,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.
Aula 7 Matemática Básica 322
[PA19]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.
Demonstração. Temos que:
a · bc · d
(1)= (a · b) ·
(1
c · d
)(2)= (a · b) ·
(1c· 1
d
)(3)= (a · b) ·
(1d· 1
c
)(4)= a ·
(b · 1
d
)· 1
c(5)= a · b
d· 1
c(6)= a · 1
c· b
d(7)=
ac· b
d,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.
Aula 7 Matemática Básica 323
[PA19]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.
Demonstração. Temos que:
a · bc · d
(1)= (a · b) ·
(1
c · d
)(2)= (a · b) ·
(1c· 1
d
)(3)= (a · b) ·
(1d· 1
c
)(4)= a ·
(b · 1
d
)· 1
c(5)= a · b
d· 1
c(6)= a · 1
c· b
d(7)=
ac· b
d,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.
Aula 7 Matemática Básica 324
[PA20]
a + bc
=ac+
bc
, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Aula 7 Matemática Básica 325
[PA20]
a + bc
=ac+
bc
, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Aula 7 Matemática Básica 326
[PA21]
−(a + b) = −a− b, ∀a,b,∈ R.
Demonstração. Exercício.
Aula 7 Matemática Básica 327
[PA21]
−(a + b) = −a− b, ∀a,b,∈ R.
Demonstração. Exercício.
Aula 7 Matemática Básica 328
[PA22]
−a + bc
=−a− b
c, ∀a,b,∈ R, ∀c ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Aula 7 Matemática Básica 329
[PA22]
−a + bc
=−a− b
c, ∀a,b,∈ R, ∀c ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Aula 7 Matemática Básica 330
[PA23]
1ab
=ba
, ∀a,b ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Aula 7 Matemática Básica 331
[PA23]
1ab
=ba
, ∀a,b ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Aula 7 Matemática Básica 332
[PA24]
abcd
=ab· d
c, ∀a ∈ R, ∀b, c,d ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Aula 7 Matemática Básica 333
[PA24]
abcd
=ab· d
c, ∀a ∈ R, ∀b, c,d ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Aula 7 Matemática Básica 334
[PA25]
∀a,b, c ∈ R, a = b ⇒ a + c = b + c e a = b ⇒ a · c = b · c.
Demonstração. Basta usar o princípio da substituição. Se a = b, entãoa + c = b + c. Do mesmo modo, se a = b, então a · c = b · c.
Aula 7 Matemática Básica 335
[PA25]
∀a,b, c ∈ R, a = b ⇒ a + c = b + c e a = b ⇒ a · c = b · c.
Demonstração. Basta usar o princípio da substituição. Se a = b, entãoa + c = b + c. Do mesmo modo, se a = b, então a · c = b · c.
Aula 7 Matemática Básica 336
[PA25]
∀a,b, c ∈ R, a = b ⇒ a + c = b + c e a = b ⇒ a · c = b · c.
Demonstração. Basta usar o princípio da substituição. Se a = b, entãoa + c = b + c. Do mesmo modo, se a = b, então a · c = b · c.
Aula 7 Matemática Básica 337
[PA25]
∀a,b, c ∈ R, a = b ⇒ a + c = b + c e a = b ⇒ a · c = b · c.
Demonstração. Basta usar o princípio da substituição. Se a = b, entãoa + c = b + c. Do mesmo modo, se a = b, então a · c = b · c.
Aula 7 Matemática Básica 338
[PA25]
∀a,b, c ∈ R, a = b ⇒ a + c = b + c e a = b ⇒ a · c = b · c.
Demonstração. Basta usar o princípio da substituição. Se a = b, entãoa + c = b + c. Do mesmo modo, se a = b, então a · c = b · c.
Aula 7 Matemática Básica 339
[PA25]
∀a,b, c ∈ R, a = b ⇒ a + c = b + c e a = b ⇒ a · c = b · c.
Demonstração. Basta usar o princípio da substituição. Se a = b, entãoa + c = b + c. Do mesmo modo, se a = b, então a · c = b · c.
Aula 7 Matemática Básica 340
[PA25]
∀a,b, c ∈ R, a = b ⇒ a + c = b + c e a = b ⇒ a · c = b · c.
Demonstração. Basta usar o princípio da substituição. Se a = b, entãoa + c = b + c. Do mesmo modo, se a = b, então a · c = b · c.
Aula 7 Matemática Básica 341
[PA25]
∀a,b, c ∈ R, a = b ⇒ a + c = b + c e a = b ⇒ a · c = b · c.
Demonstração. Basta usar o princípio da substituição. Se a = b, entãoa + c = b + c. Do mesmo modo, se a = b, então a · c = b · c.
Aula 7 Matemática Básica 342
[PA26]
∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.
Demonstração. Observe:
a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,
onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c(6)⇒ a · (c · 1
c) = b · (c · 1
c)
(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,
onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 343
[PA26]
∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.
Demonstração. Observe:
a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,
onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c(6)⇒ a · (c · 1
c) = b · (c · 1
c)
(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,
onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 344
[PA26]
∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.
Demonstração. Observe:
a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,
onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c(6)⇒ a · (c · 1
c) = b · (c · 1
c)
(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,
onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 345
[PA26]
∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.
Demonstração. Observe:
a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,
onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c(6)⇒ a · (c · 1
c) = b · (c · 1
c)
(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,
onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 346
[PA26]
∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.
Demonstração. Observe:
a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,
onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c(6)⇒ a · (c · 1
c) = b · (c · 1
c)
(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,
onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 347
[PA26]
∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.
Demonstração. Observe:
a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,
onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c(6)⇒ a · (c · 1
c) = b · (c · 1
c)
(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,
onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 348
[PA26]
∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.
Demonstração. Observe:
a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,
onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c(6)⇒ a · (c · 1
c) = b · (c · 1
c)
(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,
onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 349
[PA26]
∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.
Demonstração. Observe:
a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,
onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c(6)⇒ a · (c · 1
c) = b · (c · 1
c)
(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,
onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 350
[PA26]
∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.
Demonstração. Observe:
a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,
onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c(6)⇒ a · (c · 1
c) = b · (c · 1
c)
(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,
onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 351
[PA26]
∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.
Demonstração. Observe:
a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,
onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c(6)⇒ a · (c · 1
c) = b · (c · 1
c)
(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,
onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 352
[PA26]
∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.
Demonstração. Observe:
a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,
onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c(6)⇒ a · (c · 1
c) = b · (c · 1
c)
(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,
onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 353
[PA26]
∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.
Demonstração. Observe:
a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,
onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c(6)⇒ a · (c · 1
c) = b · (c · 1
c)
(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,
onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 354
[PA26]
∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.
Demonstração. Observe:
a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,
onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c(6)⇒ a · (c · 1
c) = b · (c · 1
c)
(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,
onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 355
[PA26]
∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.
Demonstração. Observe:
a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,
onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c(6)⇒ a · (c · 1
c) = b · (c · 1
c)
(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,
onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 356
[PA26]
∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.
Demonstração. Observe:
a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,
onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c(6)⇒ a · (c · 1
c) = b · (c · 1
c)
(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,
onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 357
[PA26]
∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.
Demonstração. Observe:
a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,
onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c(6)⇒ a · (c · 1
c) = b · (c · 1
c)
(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,
onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).
Aula 7 Matemática Básica 358
Observação
Na Passo (5) da demonstração dada para [PA26], o certo seria escrever
a · c = b · c e c 6= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c,
no lugar de simplesmente
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c.
Note que a condição c 6= 0 foi indicada anteriormente e, então, ela ficousubentendida. Essa é uma prática comum. Moral: fique atento ao que foisuposto anteriormente!
Aula 7 Matemática Básica 359
Observação
Na Passo (5) da demonstração dada para [PA26], o certo seria escrever
a · c = b · c e c 6= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c,
no lugar de simplesmente
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c.
Note que a condição c 6= 0 foi indicada anteriormente e, então, ela ficousubentendida. Essa é uma prática comum. Moral: fique atento ao que foisuposto anteriormente!
Aula 7 Matemática Básica 360
Observação
Na Passo (5) da demonstração dada para [PA26], o certo seria escrever
a · c = b · c e c 6= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c,
no lugar de simplesmente
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c.
Note que a condição c 6= 0 foi indicada anteriormente e, então, ela ficousubentendida. Essa é uma prática comum. Moral: fique atento ao que foisuposto anteriormente!
Aula 7 Matemática Básica 361
Observação
Na Passo (5) da demonstração dada para [PA26], o certo seria escrever
a · c = b · c e c 6= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c,
no lugar de simplesmente
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c.
Note que a condição c 6= 0 foi indicada anteriormente e, então, ela ficousubentendida. Essa é uma prática comum. Moral: fique atento ao que foisuposto anteriormente!
Aula 7 Matemática Básica 362
Observação
Na Passo (5) da demonstração dada para [PA26], o certo seria escrever
a · c = b · c e c 6= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c,
no lugar de simplesmente
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c.
Note que a condição c 6= 0 foi indicada anteriormente e, então, ela ficousubentendida. Essa é uma prática comum. Moral: fique atento ao que foisuposto anteriormente!
Aula 7 Matemática Básica 363
Observação
Na Passo (5) da demonstração dada para [PA26], o certo seria escrever
a · c = b · c e c 6= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c,
no lugar de simplesmente
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c.
Note que a condição c 6= 0 foi indicada anteriormente e, então, ela ficousubentendida. Essa é uma prática comum. Moral: fique atento ao que foisuposto anteriormente!
Aula 7 Matemática Básica 364
[PA27]
∀a,b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b.
Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].
Aula 7 Matemática Básica 365
[PA27]
∀a,b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b.
Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].
Aula 7 Matemática Básica 366
[PA27]
∀a,b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b.
Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].
Aula 7 Matemática Básica 367
[PA27]
∀a,b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b.
Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].
Aula 7 Matemática Básica 368
[PA27]
∀a,b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b.
Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].
Aula 7 Matemática Básica 369
[PA28]
∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}, a · c = b · c ⇔ a = b.
Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].
Aula 7 Matemática Básica 370
[PA28]
∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}, a · c = b · c ⇔ a = b.
Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].
Aula 7 Matemática Básica 371
[PA28]
∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}, a · c = b · c ⇔ a = b.
Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].
Aula 7 Matemática Básica 372
[PA28]
∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}, a · c = b · c ⇔ a = b.
Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].
Aula 7 Matemática Básica 373
[PA28]
∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}, a · c = b · c ⇔ a = b.
Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].
Aula 7 Matemática Básica 374
[PA29]
∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,
a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)
=⇒ b · a · 1a= 0 · 1
a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)
=⇒ b = 0,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.
Aula 7 Matemática Básica 375
[PA29]
∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,
a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)
=⇒ b · a · 1a= 0 · 1
a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)
=⇒ b = 0,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.
Aula 7 Matemática Básica 376
[PA29]
∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,
a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)
=⇒ b · a · 1a= 0 · 1
a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)
=⇒ b = 0,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.
Aula 7 Matemática Básica 377
[PA29]
∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,
a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)
=⇒ b · a · 1a= 0 · 1
a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)
=⇒ b = 0,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.
Aula 7 Matemática Básica 378
[PA29]
∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,
a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)
=⇒ b · a · 1a= 0 · 1
a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)
=⇒ b = 0,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.
Aula 7 Matemática Básica 379
[PA29]
∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,
a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)
=⇒ b · a · 1a= 0 · 1
a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)
=⇒ b = 0,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.
Aula 7 Matemática Básica 380
[PA29]
∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,
a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)
=⇒ b · a · 1a= 0 · 1
a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)
=⇒ b = 0,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.
Aula 7 Matemática Básica 381
[PA29]
∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,
a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)
=⇒ b · a · 1a= 0 · 1
a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)
=⇒ b = 0,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.
Aula 7 Matemática Básica 382
[PA29]
∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,
a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)
=⇒ b · a · 1a= 0 · 1
a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)
=⇒ b = 0,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.
Aula 7 Matemática Básica 383
[PA29]
∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,
a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)
=⇒ b · a · 1a= 0 · 1
a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)
=⇒ b = 0,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.
Aula 7 Matemática Básica 384
[PA29]
∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,
a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)
=⇒ b · a · 1a= 0 · 1
a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)
=⇒ b = 0,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.
Aula 7 Matemática Básica 385
[PA29]
∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,
a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)
=⇒ b · a · 1a= 0 · 1
a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)
=⇒ b = 0,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.
Aula 7 Matemática Básica 386
[PA29]
∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,
a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)
=⇒ b · a · 1a= 0 · 1
a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)
=⇒ b = 0,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.
Aula 7 Matemática Básica 387
[PA29]
∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,
a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)
=⇒ b · a · 1a= 0 · 1
a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)
=⇒ b = 0,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.
Aula 7 Matemática Básica 388
[PA29]
∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,
a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)
=⇒ b · a · 1a= 0 · 1
a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)
=⇒ b = 0,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.
Aula 7 Matemática Básica 389
[PA29]
∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,
a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)
=⇒ b · a · 1a= 0 · 1
a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)
=⇒ b = 0,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.
Aula 7 Matemática Básica 390
[PA29]
∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,
a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)
=⇒ b · a · 1a= 0 · 1
a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)
=⇒ b = 0,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.
Aula 7 Matemática Básica 391
[PA29]
∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,
a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)
=⇒ b · a · 1a= 0 · 1
a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)
=⇒ b = 0,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.
Aula 7 Matemática Básica 392
[PA29]
∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,
a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)
=⇒ b · a · 1a= 0 · 1
a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)
=⇒ b = 0,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.
Aula 7 Matemática Básica 393
[PA29]
∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.
(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,
a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)
=⇒ b · a · 1a= 0 · 1
a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)
=⇒ b = 0,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.
Aula 7 Matemática Básica 394
[PA30]
∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.
(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.
Aula 7 Matemática Básica 395
[PA30]
∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.
(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.
Aula 7 Matemática Básica 396
[PA30]
∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.
(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.
Aula 7 Matemática Básica 397
[PA30]
∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.
(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.
Aula 7 Matemática Básica 398
[PA30]
∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.
(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.
Aula 7 Matemática Básica 399
[PA30]
∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.
(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.
Aula 7 Matemática Básica 400
[PA30]
∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.
(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.
Aula 7 Matemática Básica 401
[PA30]
∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.
(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.
Aula 7 Matemática Básica 402
[PA30]
∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.
(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.
Aula 7 Matemática Básica 403
[PA30]
∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.
(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.
Aula 7 Matemática Básica 404
[PA30]
∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.
(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.
Aula 7 Matemática Básica 405
[PA31]
ab=
cd⇔ a · d = b · c, ∀a, c ∈ R, ∀b,d ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Aula 7 Matemática Básica 406
[PA31]
ab=
cd⇔ a · d = b · c, ∀a, c ∈ R, ∀b,d ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Aula 7 Matemática Básica 407
[PA32]
ab+
cd
=a · db · d
+b · cb · d
=a · d + b · c
b · d, ∀a, c ∈ R, ∀b,d ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Aula 7 Matemática Básica 408
[PA32]
ab+
cd
=a · db · d
+b · cb · d
=a · d + b · c
b · d, ∀a, c ∈ R, ∀b,d ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Aula 7 Matemática Básica 409
Usando os axiomas e as propriedadesde números reais para resolver
equações
Aula 7 Matemática Básica 410
Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!
2 · x − 5 = 9
[PA27]
⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5
(C3)
⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 = 14
(C5)
⇐⇒ 2 · x = 14
[PA28]
⇐⇒ 12· (2 · x) = 1
2· 14
(C3)
⇐⇒(
12· 2)· x =
12· 14
[PA08]
⇐⇒ 1 · x =12· 14
[PA04]
⇐⇒ x = 7.
Aula 7 Matemática Básica 411
Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!
2 · x − 5 = 9
[PA27]
⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5
(C3)
⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 = 14
(C5)
⇐⇒ 2 · x = 14
[PA28]
⇐⇒ 12· (2 · x) = 1
2· 14
(C3)
⇐⇒(
12· 2)· x =
12· 14
[PA08]
⇐⇒ 1 · x =12· 14
[PA04]
⇐⇒ x = 7.
Aula 7 Matemática Básica 412
Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!
2 · x − 5 = 9
[PA27]
⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5
(C3)
⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 = 14
(C5)
⇐⇒ 2 · x = 14
[PA28]
⇐⇒ 12· (2 · x) = 1
2· 14
(C3)
⇐⇒(
12· 2)· x =
12· 14
[PA08]
⇐⇒ 1 · x =12· 14
[PA04]
⇐⇒ x = 7.
Aula 7 Matemática Básica 413
Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!
2 · x − 5 = 9
[PA27]
⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5
(C3)
⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 = 14
(C5)
⇐⇒ 2 · x = 14
[PA28]
⇐⇒ 12· (2 · x) = 1
2· 14
(C3)
⇐⇒(
12· 2)· x =
12· 14
[PA08]
⇐⇒ 1 · x =12· 14
[PA04]
⇐⇒ x = 7.
Aula 7 Matemática Básica 414
Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!
2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5
(C3)
⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 = 14
(C5)
⇐⇒ 2 · x = 14
[PA28]
⇐⇒ 12· (2 · x) = 1
2· 14
(C3)
⇐⇒(
12· 2)· x =
12· 14
[PA08]
⇐⇒ 1 · x =12· 14
[PA04]
⇐⇒ x = 7.
Aula 7 Matemática Básica 415
Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!
2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5
(C3)
⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 = 14
(C5)
⇐⇒ 2 · x = 14
[PA28]
⇐⇒ 12· (2 · x) = 1
2· 14
(C3)
⇐⇒(
12· 2)· x =
12· 14
[PA08]
⇐⇒ 1 · x =12· 14
[PA04]
⇐⇒ x = 7.
Aula 7 Matemática Básica 416
Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!
2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 = 14
(C5)
⇐⇒ 2 · x = 14
[PA28]
⇐⇒ 12· (2 · x) = 1
2· 14
(C3)
⇐⇒(
12· 2)· x =
12· 14
[PA08]
⇐⇒ 1 · x =12· 14
[PA04]
⇐⇒ x = 7.
Aula 7 Matemática Básica 417
Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!
2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5
[PA07]
⇐⇒ 2 · x + 0 = 14
(C5)
⇐⇒ 2 · x = 14
[PA28]
⇐⇒ 12· (2 · x) = 1
2· 14
(C3)
⇐⇒(
12· 2)· x =
12· 14
[PA08]
⇐⇒ 1 · x =12· 14
[PA04]
⇐⇒ x = 7.
Aula 7 Matemática Básica 418
Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!
2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 = 14
(C5)
⇐⇒ 2 · x = 14
[PA28]
⇐⇒ 12· (2 · x) = 1
2· 14
(C3)
⇐⇒(
12· 2)· x =
12· 14
[PA08]
⇐⇒ 1 · x =12· 14
[PA04]
⇐⇒ x = 7.
Aula 7 Matemática Básica 419
Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!
2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 = 14
(C5)
⇐⇒ 2 · x = 14
[PA28]
⇐⇒ 12· (2 · x) = 1
2· 14
(C3)
⇐⇒(
12· 2)· x =
12· 14
[PA08]
⇐⇒ 1 · x =12· 14
[PA04]
⇐⇒ x = 7.
Aula 7 Matemática Básica 420
Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!
2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 = 14
(C5)⇐⇒ 2 · x = 14
[PA28]
⇐⇒ 12· (2 · x) = 1
2· 14
(C3)
⇐⇒(
12· 2)· x =
12· 14
[PA08]
⇐⇒ 1 · x =12· 14
[PA04]
⇐⇒ x = 7.
Aula 7 Matemática Básica 421
Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!
2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 = 14
(C5)⇐⇒ 2 · x = 14
[PA28]
⇐⇒ 12· (2 · x) = 1
2· 14
(C3)
⇐⇒(
12· 2)· x =
12· 14
[PA08]
⇐⇒ 1 · x =12· 14
[PA04]
⇐⇒ x = 7.
Aula 7 Matemática Básica 422
Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!
2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 = 14
(C5)⇐⇒ 2 · x = 14
[PA28]⇐⇒ 1
2· (2 · x) = 1
2· 14
(C3)
⇐⇒(
12· 2)· x =
12· 14
[PA08]
⇐⇒ 1 · x =12· 14
[PA04]
⇐⇒ x = 7.
Aula 7 Matemática Básica 423
Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!
2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 = 14
(C5)⇐⇒ 2 · x = 14
[PA28]⇐⇒ 1
2· (2 · x) = 1
2· 14
(C3)
⇐⇒(
12· 2)· x =
12· 14
[PA08]
⇐⇒ 1 · x =12· 14
[PA04]
⇐⇒ x = 7.
Aula 7 Matemática Básica 424
Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!
2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 = 14
(C5)⇐⇒ 2 · x = 14
[PA28]⇐⇒ 1
2· (2 · x) = 1
2· 14
(C3)⇐⇒
(12· 2)· x =
12· 14
[PA08]
⇐⇒ 1 · x =12· 14
[PA04]
⇐⇒ x = 7.
Aula 7 Matemática Básica 425
Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!
2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 = 14
(C5)⇐⇒ 2 · x = 14
[PA28]⇐⇒ 1
2· (2 · x) = 1
2· 14
(C3)⇐⇒
(12· 2)· x =
12· 14
[PA08]
⇐⇒ 1 · x =12· 14
[PA04]
⇐⇒ x = 7.
Aula 7 Matemática Básica 426
Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!
2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 = 14
(C5)⇐⇒ 2 · x = 14
[PA28]⇐⇒ 1
2· (2 · x) = 1
2· 14
(C3)⇐⇒
(12· 2)· x =
12· 14
[PA08]⇐⇒ 1 · x =
12· 14
[PA04]
⇐⇒ x = 7.
Aula 7 Matemática Básica 427
Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!
2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 = 14
(C5)⇐⇒ 2 · x = 14
[PA28]⇐⇒ 1
2· (2 · x) = 1
2· 14
(C3)⇐⇒
(12· 2)· x =
12· 14
[PA08]⇐⇒ 1 · x =
12· 14
[PA04]
⇐⇒ x = 7.
Aula 7 Matemática Básica 428
Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!
2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 = 14
(C5)⇐⇒ 2 · x = 14
[PA28]⇐⇒ 1
2· (2 · x) = 1
2· 14
(C3)⇐⇒
(12· 2)· x =
12· 14
[PA08]⇐⇒ 1 · x =
12· 14
[PA04]⇐⇒ x = 7.
Aula 7 Matemática Básica 429
Resolvendo equações. . .
x · x = x
[PA27]
⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)
⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)
⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)
⇐⇒ x · (x − 1) = 0
[PA29]
⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 7 Matemática Básica 430
Resolvendo equações. . .
x · x = x
[PA27]
⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)
⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)
⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)
⇐⇒ x · (x − 1) = 0
[PA29]
⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 7 Matemática Básica 431
Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)
⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)
⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)
⇐⇒ x · (x − 1) = 0
[PA29]
⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 7 Matemática Básica 432
Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)
⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)
⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)
⇐⇒ x · (x − 1) = 0
[PA29]
⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 7 Matemática Básica 433
Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)
⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)
⇐⇒ x · (x − 1) = 0
[PA29]
⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 7 Matemática Básica 434
Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)
⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)
⇐⇒ x · (x − 1) = 0
[PA29]
⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 7 Matemática Básica 435
Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)
⇐⇒ x · (x − 1) = 0
[PA29]
⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 7 Matemática Básica 436
Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)
⇐⇒ x · (x − 1) = 0
[PA29]
⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 7 Matemática Básica 437
Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0
[PA29]
⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 7 Matemática Básica 438
Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0
[PA29]
⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 7 Matemática Básica 439
Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 7 Matemática Básica 440
Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0
[PA27]
⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 7 Matemática Básica 441
Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0[PA27]⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 7 Matemática Básica 442
Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0[PA27]⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)
⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 7 Matemática Básica 443
Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0[PA27]⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 7 Matemática Básica 444
Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0[PA27]⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]
⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 7 Matemática Básica 445
Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0[PA27]⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1[PA07]⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 7 Matemática Básica 446
Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0[PA27]⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1[PA07]⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)
⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 7 Matemática Básica 447
Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x
(C6)⇐⇒ x · x − x = 0
(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0
(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0[PA27]⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1
(C3)⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1[PA07]⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1
(C5)⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Aula 7 Matemática Básica 448
O que está errado neste argumento?
x = 1
⇐⇒
x2 = x
⇐⇒
x2 − 1 = x − 1
⇐⇒
(x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒
(x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒
x + 1 = 1
⇐⇒
x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
#
#
Aula 7 Matemática Básica 449
O que está errado neste argumento?
x = 1 ⇐⇒ x2 = x
⇐⇒
x2 − 1 = x − 1
⇐⇒
(x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒
(x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒
x + 1 = 1
⇐⇒
x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
#
#
Aula 7 Matemática Básica 450
O que está errado neste argumento?
x = 1 ⇐⇒ x2 = x
⇐⇒ x2 − 1 = x − 1
⇐⇒
(x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒
(x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒
x + 1 = 1
⇐⇒
x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
#
#
Aula 7 Matemática Básica 451
O que está errado neste argumento?
x = 1 ⇐⇒ x2 = x
⇐⇒ x2 − 1 = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒
(x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒
x + 1 = 1
⇐⇒
x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
#
#
Aula 7 Matemática Básica 452
O que está errado neste argumento?
x = 1 ⇐⇒ x2 = x
⇐⇒ x2 − 1 = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒
x + 1 = 1
⇐⇒
x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
#
#
Aula 7 Matemática Básica 453
O que está errado neste argumento?
x = 1 ⇐⇒ x2 = x
⇐⇒ x2 − 1 = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒ x + 1 = 1
⇐⇒
x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
#
#
Aula 7 Matemática Básica 454
O que está errado neste argumento?
x = 1 ⇐⇒ x2 = x
⇐⇒ x2 − 1 = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒ x + 1 = 1
⇐⇒ x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
#
#
Aula 7 Matemática Básica 455
O que está errado neste argumento?
x = 1 ⇐⇒ x2 = x
⇐⇒ x2 − 1 = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒ x + 1 = 1
⇐⇒ x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
#
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Aula 7 Matemática Básica 456
O que está errado neste argumento?
x = 1 ⇐⇒ x2 = x
⇐⇒ x2 − 1 = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒ x + 1 = 1
⇐⇒ x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
#
#
Aula 7 Matemática Básica 457
O que está errado neste argumento?
x = 1 ⇐⇒ x2 = x
⇐⇒ x2 − 1 = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒ x + 1 = 1
⇐⇒ x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
#
#
Aula 7 Matemática Básica 458
O que está errado neste argumento?
x = 1 ⇐⇒ x2 = x
⇐⇒ x2 − 1 = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒ x + 1 = 1
⇐⇒ x = 0
É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
#
#
Aula 7 Matemática Básica 459
Resolvendo equações. . .
Verdadeiro ou falso?
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐⇒
2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐=
2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
=⇒
2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐⇒
2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
#
#
!
!
Aula 7 Matemática Básica 460
Resolvendo equações. . .
Verdadeiro ou falso?
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐=
2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
=⇒
2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐⇒
2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
#
#
!
!
Aula 7 Matemática Básica 461
Resolvendo equações. . .
Verdadeiro ou falso?
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐=
2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
=⇒
2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐⇒
2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
#
#
!
!
Aula 7 Matemática Básica 462
Resolvendo equações. . .
Verdadeiro ou falso?
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐= 2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
=⇒
2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐⇒
2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
#
#
!
!
Aula 7 Matemática Básica 463
Resolvendo equações. . .
Verdadeiro ou falso?
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐= 2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
=⇒
2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐⇒
2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
#
#
!
!
Aula 7 Matemática Básica 464
Resolvendo equações. . .
Verdadeiro ou falso?
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐= 2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐⇒
2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
#
#
!
!
Aula 7 Matemática Básica 465
Resolvendo equações. . .
Verdadeiro ou falso?
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐= 2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐⇒
2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
#
#
!
!
Aula 7 Matemática Básica 466
Resolvendo equações. . .
Verdadeiro ou falso?
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐= 2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
#
#
!
!
Aula 7 Matemática Básica 467
Resolvendo equações. . .
Verdadeiro ou falso?
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐= 2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
#
#
!
!
Aula 7 Matemática Básica 468
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
=⇒
2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒
x · (2 · x − 5) = 0
=⇒
x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒
x = 0 ou x =52
Cuidado!
Toda solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,
mas nem toda solução de 2 · x2 − 5 · x = 0 é solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Aula 7 Matemática Básica 469
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒
x · (2 · x − 5) = 0
=⇒
x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒
x = 0 ou x =52
Cuidado!
Toda solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,
mas nem toda solução de 2 · x2 − 5 · x = 0 é solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Aula 7 Matemática Básica 470
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒
x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒
x = 0 ou x =52
Cuidado!
Toda solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,
mas nem toda solução de 2 · x2 − 5 · x = 0 é solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Aula 7 Matemática Básica 471
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒
x = 0 ou x =52
Cuidado!
Toda solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,
mas nem toda solução de 2 · x2 − 5 · x = 0 é solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Aula 7 Matemática Básica 472
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒ x = 0 ou x =52
Cuidado!
Toda solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,
mas nem toda solução de 2 · x2 − 5 · x = 0 é solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Aula 7 Matemática Básica 473
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒ x = 0 ou x =52
Cuidado!
Toda solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,
mas nem toda solução de 2 · x2 − 5 · x = 0 é solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Aula 7 Matemática Básica 474
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒ x = 0 ou x =52
Cuidado!
Toda solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,
mas nem toda solução de 2 · x2 − 5 · x = 0 é solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Aula 7 Matemática Básica 475
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒ x = 0 ou x =52
Cuidado!
Toda solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,
mas nem toda solução de 2 · x2 − 5 · x = 0 é solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Aula 7 Matemática Básica 476
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒ x = 0 ou x =52
Cuidado!
Você pode usar implicações (⇒) para resolver equações, mas
nem todo número obtido no final pode ser solução da equação original.
Aula 7 Matemática Básica 477
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒ x = 0 ou x =52
Cuidado!
Você pode usar implicações (⇒) para resolver equações, mas
nem todo número obtido no final pode ser solução da equação original.
Aula 7 Matemática Básica 478
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒ x = 0 ou x =52
Cuidado!
É preciso tirar a “prova real”!
x = 0 não é solução da equação2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Aula 7 Matemática Básica 479
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒ x = 0 ou x =52
Cuidado!
É preciso tirar a “prova real”!
x = 0 não é solução da equação2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Aula 7 Matemática Básica 480
Cuidado com as implicações e equivalências!
Usando-se equivalências, esta particularidade não aparece!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐⇒
2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
⇐⇒
x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0
⇐⇒
x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0
⇐⇒
[x = 0 ou x =
52
]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1
]
⇐⇒
x =52
Aula 7 Matemática Básica 481
Cuidado com as implicações e equivalências!
Usando-se equivalências, esta particularidade não aparece!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0
⇐⇒
2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
⇐⇒
x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0
⇐⇒
x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0
⇐⇒
[x = 0 ou x =
52
]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1
]
⇐⇒
x =52
Aula 7 Matemática Básica 482
Cuidado com as implicações e equivalências!
Usando-se equivalências, esta particularidade não aparece!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
⇐⇒
x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0
⇐⇒
x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0
⇐⇒
[x = 0 ou x =
52
]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1
]
⇐⇒
x =52
Aula 7 Matemática Básica 483
Cuidado com as implicações e equivalências!
Usando-se equivalências, esta particularidade não aparece!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0
⇐⇒
x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0
⇐⇒
[x = 0 ou x =
52
]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1
]
⇐⇒
x =52
Aula 7 Matemática Básica 484
Cuidado com as implicações e equivalências!
Usando-se equivalências, esta particularidade não aparece!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0
⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0
⇐⇒
[x = 0 ou x =
52
]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1
]
⇐⇒
x =52
Aula 7 Matemática Básica 485
Cuidado com as implicações e equivalências!
Usando-se equivalências, esta particularidade não aparece!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0
⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0
⇐⇒[x = 0 ou x =
52
]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1
]
⇐⇒
x =52
Aula 7 Matemática Básica 486
Cuidado com as implicações e equivalências!
Usando-se equivalências, esta particularidade não aparece!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0
⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0
⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0
⇐⇒[x = 0 ou x =
52
]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1
]⇐⇒ x =
52
Aula 7 Matemática Básica 487
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