1 MATEMÁTICA APLICADA À ANÁLISE DE CIRCUITOS [Exemplo demonstrativo da Apostila de Matemática Aplicada] OBJETIVOS: Fornecer, atualizar, capacitar, habilitar, desenvolver competências e aprimorar os conhecimentos relativos ao CÁLCULO MATEMÁTICO E ANÁLISE VETORIAL, aplicados às Áreas Elétrica e Eletrônica, fixando conceitos e ampliando a capacidade de análise em circuitos. Estudar de modo objetivo e prático, os recursos matemáticos, aplicando-os à solução de problemas práticos, permitindo um estudo e/ou tratamento mais profundo dos mesmos. NÚMEROS COMPLEXOS - REVISÃO 1. Números complexos - Revisão - Conceitos fundamentais. - Notação Retangular, Polar e Exponencial. - Representação no Plano Cartesiano. - Operações com números complexos. 2. Representação no domínio do tempo e da frequência de grandezas elétricas. - Impedância Complexa. - Conceito de fasor. 3. Conceitos fundamentais que devem ser observados para o traçado de um diagrama vetorial. 4. Resolução de problemas práticos de circuitos elétricos monofásicos e trifásicos. 1.1- CONCEITO DE IMAGINÁRIO PURO Sabe-se que as raízes de índice par dos números negativos não possuem um sentido numérico. assim, temos que: As raízes de 9 não podem ser + 3, nem - 3; visto que, (+3) 2 quanto (-3) 2 não produzirá respectivamente o radicando - 9. Há, em consequência, para dar-lhes sentido, a necessidade de se ampliar o conjunto numérico, criando-se o Conjunto dos Números Imaginários. Seja o desenvolvimento abaixo: 1 3 1 . 9 ) 1 ).( 9 ( 9 Generalizando: A raiz quadrada de um número negativo pode ser escrita sob a forma 1 . a O símbolo √ será representado por i, sendo denominado Unidade Imaginária, com a qual se formará o Conjunto dos Números Imaginários Puros, a saber: √ ... ; - 4i; -3i; -2i; -1j; 0; 1i; 2i; 3i; 4i; 5i; .... Na matemática o símbolo da unidade imaginária é a letra i, porém nos cálculos elétricos, para não se confundir a unidade imaginária i, com a intensidade de corrente, a qual é também representada pela letra i, substitui-se o símbolo i da unidade imaginária por j. Portanto, a unidade imaginária j é definida pela condição: √ j 2 = -1 e também, i 2 = -1 Exemplo: = (2)j .... pois: [(2)j] 2 = 4j 2 = 4(-1) = - 4
27
Embed
MATEMÁTICA APLICADA À ANÁLISE DE CIRCUITOSaceltec.com.br/doc/MAT_APLIC_SITE.pdf · 2016. 12. 9. · 1 o √ MATEMÁTICA APLICADA À ANÁLISE DE CIRCUITOS [Exemplo demonstrativo
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
MATEMÁTICA APLICADA À ANÁLISE DE CIRCUITOS
[Exemplo demonstrativo da Apostila de Matemática Aplicada]
OBJETIVOS:
Fornecer, atualizar, capacitar, habilitar, desenvolver competências e aprimorar os conhecimentos
relativos ao CÁLCULO MATEMÁTICO E ANÁLISE VETORIAL, aplicados às Áreas Elétrica e
Eletrônica, fixando conceitos e ampliando a capacidade de análise em circuitos.
Estudar de modo objetivo e prático, os recursos matemáticos, aplicando-os à solução de problemas
práticos, permitindo um estudo e/ou tratamento mais profundo dos mesmos.
NÚMEROS COMPLEXOS - REVISÃO
1. Números complexos - Revisão
- Conceitos fundamentais.
- Notação Retangular, Polar e Exponencial.
- Representação no Plano Cartesiano.
- Operações com números complexos.
2. Representação no domínio do tempo e da frequência de grandezas elétricas.
- Impedância Complexa. - Conceito de fasor.
3. Conceitos fundamentais que devem ser observados para o traçado de um diagrama vetorial.
4. Resolução de problemas práticos de circuitos elétricos monofásicos e trifásicos.
1.1- CONCEITO DE IMAGINÁRIO PURO
Sabe-se que as raízes de índice par dos números negativos não possuem um sentido numérico. assim,
temos que:
As raízes de 9 não podem ser + 3, nem - 3; visto que, (+3)2 quanto (-3)
2 não produzirá
respectivamente o radicando - 9. Há, em consequência, para dar-lhes sentido, a necessidade de se ampliar o conjunto numérico, criando-se o Conjunto dos Números Imaginários. Seja o desenvolvimento abaixo:
131.9)1).(9(9
Generalizando: A raiz quadrada de um número negativo pode ser escrita sob a forma 1. a
O símbolo √ será representado por i, sendo denominado Unidade Imaginária, com a qual se formará
o Conjunto dos Números Imaginários Puros, a saber: √
Na matemática o símbolo da unidade imaginária é a letra i, porém nos cálculos elétricos, para não se confundir a unidade imaginária i, com a intensidade de corrente, a qual é também representada pela letra i, substitui-se o símbolo i da unidade imaginária por j. Portanto, a unidade imaginária j é definida pela condição:
√ j2 = -1 e também, i
2 = -1
Exemplo: = (2)j .... pois: [(2)j]
2 = 4j
2 = 4(-1) = - 4
2
1.2- POTÊNCIAS DA UNIDADE IMAGINÁRIA j0 = 1
j1 = j
j2 = - 1
j3 = j
2 x j = (- 1) x j = - j
j4 = j
2 x j
2 = (- 1) x (- 1) = 1
j5 = j
4 x j = 1 x j = j
j6 = j
5 x j = j x j = j
2 = - 1
Observa-se que os valores das potências de j se repetem em intervalos de quatro em quatro! Assim sendo podemos escrever:
N 4 N = Q X 4 + R R Q
J23
23 4 Assim, temos: j23
= 5 x 4 + 3 j23
= j3 = - j
3 5 1.3 - CONCEITO DE NÚMERO COMPLEXO
Chama-se Número Complexo à expressão a jb, composta de um número real a e um imaginário puro jb. Os números a e b são denominados de componentes reais do número complexo. 1.4 - CONDIÇÕES DE IGUALDADE Postulado da Igualdade e Nulidade: a) Dois complexos são iguais quando suas componentes reais são iguais. Exemplo:
x + y + xyj = 5 + 6j x + y = 5 e xy = 6
b) Dois complexos são nulos, quando suas componentes reais são nulas. Exemplo:
a + jb = 0 a = 0 e b = 0
c) Módulo de um número complexo a + jb ao valor a + jb= √
Exemplo: 3 – 4j 3 - 4j = √ = √ = ± 5
d) NORMA de um número complexo: Denomina-se Norma de um número complexo a + jb, ao valor de a
2 + b
2; isto é, ao quadrado do seu
módulo. e) Complexos Conjugados: Dois complexos são conjugados, quando eles diferem apenas no sinal do termo imaginário puro.
Exemplo: N = 6 + 9j e Q = 6 - 9j O número Q é o complexo conjugado de N. Podemos utilizar as seguintes notações (forma de se escrever) para indicar representar um número complexo conjugado: N = 6 - 9j N = 6 - 9j f) Complexos opostos: Dois complexos são opostos, quando têm ambas as parcelas, real e imaginária, com sinais opostos. Exemplo: Z = 4 - 5j e N = - 4 + 5j 1.5 - REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA
Consideremos o eixo xx abaixo, de origem O e cujos pontos correspondem aos números reais. Tracemos o círculo de raio b e centro em O.
3
y
B h
x’ x C O b A y’
Consideremos o triângulo ABC, retângulo em B, visto ser um triângulo inscrito numa semi-circunferência. A altura h é média geométrica entre os segmentos que a mesma determina sobre a hipotenusa AC. Assim sendo teremos:
(OB)2 = (AO) x (OC) (OB)
2 = (+b) . (- b) = - b
2 (OB) = √ = √ = √ x √ = (± b) √
Sendo “b” o valor da raiz quadrada do termo b2.
e portanto: (± b) √ .... Podemos concluir que:
"Todo imaginário puro está situado sobre o eixo das ORDENADAS" Um número complexo P = a + jb define uma abscissa a e uma ordenada b, portanto, ao número complexo a + jb corresponde um ponto P, no plano xy, como mostrado na figura abaixo. j
x x 1.6 - REPRESENTAÇÃO TRIGONOMÉTRICA Seja a figura abaixo:
y jb
x o a x
y
Façamos: OP = , sendo o módulo do complexo. O ângulo chama-se Argumento do complexo. Do triângulo retângulo teremos:
6j 5j 4j 3j 2j 1j 0 - 1j - 2j - 3j - 4j - 5j - 6j
- 6 -5 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 5
P
P = 5 + 5,5j
a = 5 b = 5,5
P
4
a = .cos b = .sen ... que substituindo no número complexo a + jb, teremos:
a + jb = .cos + j.sen a + jb = ( cos + jsen ) ... que é a Forma Trigonométrica do
número complexo e apresenta-se também por cis ou . A forma a + jb é denominada Forma
Retangular, e a representação é chamada de Forma Polar. Um número complexo N será representado na Forma Polar com sendo:
N =
OBS.: O ângulo é considerado positivo quando no sentido anti-horário e negativo, quando considerado no sentido horário. 1.7 - NOTAÇÃO EXPONENCIAL Pode-se demonstrar através da Série de MacLaurin(a ser estudado em Fundamentos Matemáticos), que:
cos + jsen = ej
... Fórmula de Euler Logo, teremos como consequência:
ejn
= cos n + jsen n .... Fórmula de Moivre Em função da fórmula de Euler podemos representar um número complexo N na Forma Exponencial, ou seja:
N = ej
Através de considerações matemáticas chegamos a:
cos = (ej
+ e-j
)/2 sen = (ej
- e-j
)/2
1.8 - OPERAÇÕES MATEMÁTICAS COM NÚMEROS COMPLEXOS a) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO SÃO REALIZADAS NA FORMA RETANGULAR - Exemplo: I - (3 - j5) + (- 8 + j12) = 3 - j5 - 8 + j12 = - 5 + j7 II - (- 7 + j10) - (- 4 + j3) = - 7 + j10 + 4 - j3 = - 3 + j7 b) MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO, POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO E LOGARITMAÇÃO SÃO REALIZADAS NA
FORMA EXPONENCIAL OU POLAR - Exemplo:
I - MULTIPLICAÇÃO: A = 1 B = 2 A x B = 1 x 2 ( + )
A = 10 - 600 B = 5 20
0 A x B = 50 - 40
0
II - DIVISÃO: A = 1 B = 2 A B = (1 2 )( - )
A = 100 1600 B = 25 - 40
0 A B = 4 140
0)
III - POTENCIAÇÃO: A = (A)n =
n n x
A = [2(cos 300 + jsen 30
0)]
2 [2 e
j30]2 2
2 (e
j30)2 4e
j60 =8(cos60 + jsen60)
A = 3 - 600 (A)
3 = 27 - 180
0
IV - RADICIAÇÃO: A = √
= √ (2K + )/n K = 0;1;2;3;4; ... (n - 1)
A = 27 1200 32733 A
Cálculo do Argumento K irá variar de 0 a 2 .... para K = 0 = 400
5
para K = 1 = 1600 para K = 2 = 280
0 Assim sendo teremos para as raízes:
r1 = 3 400 r2 = 3 160
0 r3 = 3 280
0 .... Representação no plano complexo:
V - LOGARÍTMO: A = A = e
j
Log (A) = Log + Log ej
Log (A) = Log + j x Log e
e = 2,7182.... Sendo Log o Logarítmo Decimal (Base 10) de A .... ou ainda:
Ln (A) = Ln + j(Ln e) ... sendo Ln = Logarítmo Neperiano (Base e = 2,7182) de A; sendo Ln e = 1, teremos então:
Ln (A) = Ln + j 2 - REPRESENTAÇÃO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E DO TEMPO – FASORES Seja o circuito RL abaixo:
OBS.: No próximo capítulo mostraremos a razão dos sentidos adotados para os vetores representativos da corrente e das quedas de tensão no circuito! Pela fórmula de Euler v(t) possui um termo em seno e um termo em cosseno, ou seja:
v(t) = Vmejt
= v(t) = Vmcos t + jVmsen t
Aplicando-se a 1
ª Lei de Kirchhoff ao circuito temos:
Ri(t) + Ldi(t)/dt = Vmejt
A expressão anterior trata-se de uma Equação Diferencial Linear de 1
a Ordem, cuja solução veremos em
outra seção, porém, podemos resolvê-la intuitivamente, adotando-se uma solução particular para i(t), tal que i(t) seja:
i(t) = Kejt
Pelo estudo das Derivadas (a ser visto em oura seção) temos que di(t)/dt = KjVmejt
, assim sendo, substituindo i(t) e di(t)/dt pelos seus respectivos valores, temos:
RKejt
+ LKejt
.j = Vmejt
RK + LK j = Vm
K(R + j L ) = Vm k = Vm/(R + jL) Substituindo o valor de K na expressão de i(t), teremos a solução particular da equação diferencial:
R
L
i(t)
v(t) = Vmejt
VR VL
VR = R.i(t)
VL = Ldi(t)/dt VL
6
i(t) = Vm/(R + jL)ejt
Calculando a relação v(t)/i(t) temos:
Assim sendo temos:
Z = v(t)/i(t) = R + jL
Z = R + jL
"O quociente entre a tensão e a intensidade de corrente indica que a IMPEDÂNCIA (Z) é um número complexo expresso, neste caso, na forma retangular." 2.1 - CONCEITO DE FASOR
Consideremos as figuras abaixo, correspondendo a um circuito indutivo R - L:
j
Real
Na figura acima temos: i(t) = Im sen(t - /3) v(t) = Vm sen(t) sendo = 600 = /3
Consideremos uma tensão genérica v(t) = Vmej(t + )
, onde representa um ângulo de deslocamento de
fase qualquer. Aplicando-se esta tensão a uma impedância Z = zej
, sendo z o módulo de Z e o ângulo de
defasamento entre v(t) e i(t), sendo dado por: A intensidade de corrente i(t) é dada por:
A igualdade acima está no Domínio do Tempo. Devemos fazer duas modificações a fim de obtermos o a expressão em termos de FASORES.
Primeiramente a igualdade será multiplicada por e-jt
, para eliminarmos o domínio do Tempo. Em seguida,
dividiremos ambos os membros por √ , afim de obtermos o Valor Eficaz de V e I. Assim teremos:
... visto que Vm/z = Im, portanto:
Imej(t - )
VMejt
7
Os valores de Im e Vm que estão divididos por √ representam os valores eficazes da corrente e da tensão I e V, respectivamente, logo:
... e finalmente, temos:
(B)
A equação A) é a equação transformada no DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA, visto que o Tempo não mais está contido na mesma. Em (B), I e V representam o VALOR EFICAZ DE I E V, respectivamente com seus ângulos de fase, recebendo então o nome de FASOR. Assim sendo, na representação do FASOR, nós apenas indicamos o MÓDULO E O ÂNGULO DE FASE DA GRANDEZA, como indicado em (B). 2.2 - REPRESENTAÇÃO VETORIAL
i(t) j v(t) t Real Domínio do Tempo Domínio da Frequência 3 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS QUE DEVEM SER OBSERVADOS PARA O TRAÇADO DE UM DIAGRAMA VETORIAL. Seja o circuito abaixo:
Embora a tensão VG seja uma tensão senoidal do tipo VG = Vm.sen t, estamos representado o circuito em um determinado instante de tempo t. Utilizando o SENTIDO CONVENCIONAL, vemos que os vetores que
representam as diferentes "quedas de tensão" nos terminais dos componentes (cargas), apontam () para o terminal de onde está vindo a corrente, ou seja, têm sua “seta” apontando para o ponto de maior
potencial (). Assim sendo, vemos que o sentido do vetor tensão é oposto ao sentido indicado da corrente, e portanto, em qualquer circuito temos que, uma vez definido o sentido de circulação da corrente teremos os vetores representativos das diversas tensões, indicados em sentido oposto ao sentido definido para a corrente, não se indicando mais as polaridades como acima, visto que para outro instante de tempo as mesmas já terão se invertido. Nota-se também que em cada vetor tensão, o índice subscrito possui a sua primeira letra como sendo a letra correspondente ao ponto de maior potencial, ou seja:
Vmej(t + )
Imej(t + - )
V
I ( - )
(A)
VG = Vae
- -
-
-
R1 R2
C
L
a b b c
e d
c d
i
-
8
Vab .... a letra a (terminal em relação ao terminal b ), vem em precedendo a letra b (terminal )
Vbc .... a letra b (terminal em relação ao terminal c ), vem precedendo a letra c (terminal ). Afim de elaborarmos o diagrama vetorial de um circuito devemos determinar a escala adequada para o mesmo, bem como representar no diagrama apenas os FASORES; isto é, módulos e argumentos(ângulos), correspondentes a cada grandeza elétrica considerada. A seguir, veremos diversos exemplos de circuitos resolvidos e com os respectivos diagramas vetoriais, afim de se fixar os conceitos apresentados, bem como desenvolver a habilidade em operações com números complexos.
4 - RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS PRÁTICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS MONOFÁSICOS E TRIFÁSICOS.
4.1 - Determinar para o circuito abaixo o ângulo de fase entre Vg e iT, bem como o valor da relação Vs/Vg.
Faça o diagrama vetorial das tensões e correntes:
Sendo:
Vg = 30000 [ V ]
R1 = R2 = R = 100 100 00 [ ]
F = 60Hz
C1 = C2 = C = 26,5 F XC = 1/2fC = 100 XC = 100- 900 [ ]
" Vs está em fase com VG e corresponde a 1/3 de VG "
VG/Vs = 3 VG = 3 x Vs
OBS.: A tensão Vs = Vcd, pode também ser determinada pela expressão:
Vs = Vcd = (VG x Z2)/( Z1 + Z2) ...... o qual é o critério do "divisor de tensão"
g) i1 = Vs/XC2 = 100 00/100 - 90
0 i1 = 1 90
0 [A ]
h) i2 = Vs/R2 = 100 00/100 0
0 i2 = 1 0
0 [A ]
É óbvio que i2 + i1 = iT 1 + j1 = 1,414 450
i) DIAGRAMA VETORIAL:
Para traçarmos o diagrama vetorial calcularemos também as tensões Vab e Vbc, afim de serem situadas
também no diagrama. Assim sendo temos:
Vab = R1 x iT = 100 00 x 1,414 45
0 = 141,4 45
0 Vab = 141,4 45
0 l V ]
Vbc = XC1 x iT = 100 - 900 x 1,414 45
0 = 141,4 - 45
0 Vbc = 141,4 - 45
0 [ V ]
4.2 - Considere o circuito abaixo, onde os componentes XL1, XL2 e XC, representam o circuito equivalente de uma linha de transmissão de RF, sendo ZL a impedância da carga.
a d
i1
i2 c
b
iT
Vs = Vcd
Vbc Vab
10
Seja:
EG = VAM = 30000 [ V ] XL1 = XL2 = 173,2190
0 [ ] XC = 346,41- 90
0 [ ]
ZL = 30000 [ ] ... Carga puramente resistiva
Determine o valor (módulo), bem como a fase dos parâmetros abaixo indicados: a) IE b) IC c) IL d) VAB e) VBM f) VBC g) VL = VCM SOLUÇÃO: I - Iremos calcular em primeiro lugar o valor da impedância total (ZT), ou impedância equivalente(ZEQ).
Consideremos Z1 a impedância representada na forma retangular por: Z1 = RL + jXL2 = 300 + j173,21
Convertendo Z1 para a forma polar teremos:
Z1 = 346,41300 []
II - Consideremos como Z2, a impedância equivalente ao paralelo de Z1 com a reatância capacitiva XC, e teremos então:
Z2 = (Z1 . XC)/(Z1 + XC)
Z2 = (346,41300).(346,41- 90
0)/( 346,4130
0+346,41- 90
0)
Z2 = 119999,89- 600/[(300 + j173,21)+(- j346,41)]
Z2 = 119999,89- 600/(300 - j173,21)
Z2 = 119999,89- 600/346,41- 30
0
Z2 = 346,41- 300 [] Z2 = 300 - j173,21
III - Consideremos agora o cálculo de ZT ou ZEQ:
ZT = XL1 + Z2
ZT = 173,21900 + 300 - j173,21 = 300
ZT = 30000 []
Considerando o resultado encontrado para ZT, podemos concluir que o circuito se comporta como um circuito resistivo puro, e veremos que IE estará em fase com EG e que toda o potência fornecida pelo gerador(fonte), estará integralmente aplicada ao terminais da carga ZL.
IV - Cálculo de IE:
IE = EG/ZT IE = 30000/3000
0 IE = 10
0 [A]
A B C
M
VAM
VAB
VBM
VBC
VCM = VL ZL
XL1
XL2
XC EG
IL
IC
IE
11
V - Cálculo de VAB:
VAB = XL1.IE VAB = 173,21900.10
0 VAB = 173,2190
0 [V]
VI - Cálculo de VBM:
1 processo de cálculo de VBM VBM = EG - VAB VBM = 30000 - 173,2190
0 VBM = 300 - j173,21
VBM = 346,41- 300 [V]
2processo de cálculo de VBM
VBM = IE.Z2 VBM = 100. 346,41- 30
0 VBM = 346,41- 30
0 [V]
3processo de cálculo de VBM (Utilizando-se do conceito de divisor de tensão) VBM = (EG.Z2)/(XL1+Z2)
VBM = (30000).(346,41- 30
0)/(173,2190
0 + 346,41- 30
0)
VBM = (103923,00- 300)/(j173,21 + 300 - j173,21)
VBM = 103923,00- 300/3000
0 VBM = 346,41- 30
0 [V]
VII - Cálculo de IL:
IL = VBM/(XL2 + ZL) ou IL = VBM/Z1 IL = 346,41- 300/346,4130
0 IL = 1- 60
0 [A]
VIII - Cálculo de VBC:
VBC = XL2.IL VBC = 173,21900.1- 60
0 VBC = 173,2130
0 [V]
IX - Cálculo de VCM = VL Tensão nos terminais da Carga VCM = VL = ZL.IL VCM = VL = 30000.1- 60
0
VCM = VL = 300- 600 [V]
Observar que o ângulo de fase de VL é idêntico ao de IL, o que implica em que teremos apenas Potência Ativa(Watts) na carga!
X - Diagrama vetorial: Escala de tensão 20V/cm Escala de corrente 0,2A/cm
4.2 – Determine o diagrama vetorial para as tensões do sistema trifásico. Represente também o diagrama
funicular das tensões. Considerar:
VAM M
B
IL
IE
IC
C
A
VAB
VBC
VCM
12
a) v1, v2 e v3 ... tensões simples (Fase-Neutro). b) V12, V23 e V31 ... tensões de linha (Fase-Fase).
Sendo ainda: ... v1 = 120900 ... v2 = 120- 30
0 ... v3 = 120- 150
0 ... V12 = 2080
0 ... V23 = 208- 120
0
V31 = 2081200
A relação entre as tensões de linha e as tensões simples = V/v = √ Escala: 1 cm = 25V
XIV - DIAGRAMA VETORIAL: Escala: 1 cm = 50 V 1 cm = 2 A 4.5 – CONSIDERAÇÕES SOBRE O CIRCUITOS TRIFÁSICOS TRIÂNGULO/ESTRELA: I – Conversão Triângulo para Estrela:
Zx = (Za x Zc)/(Za + Zb + Zc) Zy = (Za x Zb)/(Za + Zb + Zc) Zw = (Zb x Zc)/(Za + Zb + Zc) Podemos substituir o circuito triângulo por um circuito estrela equivalente. No qual teremos:
OBS: Se Za= Zb= Zc = Z e a = b = c = Zx = Zy = Zw = Z/3 VAN = VBN = VCN = Tensões FASE-NEUTRO DO SISTEMA TRIFÁSICO.
VAB = VBC = VCA = Tensões de linha(FASE- FASE) DO SISTEMA TRIFÁSICO.
IA = ia IB = ib IC = ic
I1
I2
VG
c
IT
Vbc
b d
Vdc
a
Vad Vab
Vbd
Za
Zb
Zc
Zx
Zy
Zw
N
A B
C
A B
C
IA
IB
IC
Ia
ib
iN
iA
iB
iC
1
2
3
15
As potências ATIVA(P), REATIVA(Q) E APARENTE(S), SERÃO IDÊNTICAS EM AMBOS OS CIRCUITOS, assim sendo, podemos substituir o circuito triângulo pela representação equivalente de apenas uma fase do sistema estrela equivalente. No caso do cálculo das potências totais P, Q e S, multiplicaremos por 3 cada uma das potências calculadas afim de se encontrar as potências totais, no caso de sistema trifásico EQUILIBRADO. Para sistemas triângulo desequilibrados, faremos a representação equivalente individual para cada fase, e teremos para as potências totais:
Considerações: a) Observando o diagrama vetorial representativo das tensões FASE–NEUTR0, e das tensões FASE–
FASE, notamos que: V1N está atrasada de 30
0 da
respectiva tensão V12. V2N está atrasada de 30
0 da
respectiva tensão V23. V3N está atrasada de 30
0 da
respectiva tensão V31. Assim sendo, ao determinarmos o ângulo de defasamento de V1N, teremos apenas de adicionar ao mesmo o valor de 30
0, para encontrarmos o ângulo de V12, e assim respectivamente para V23 e V31, como veremos
nos exercícios a serem resolvidos. b) Para as correntes de LINHA, a saber: IA, IB, IC e as respectivas correntes de FASE iA, iB, iC, teremos as
seguintes relações em um sistema equilibrado: Observando do diagrama vetorial das correntes vemos que: - Corrente de linha IA está atrasada de 30
0 em relação à corrente de carga(ou de fase) iA.
- Corrente de linha IB está atrasada de 30
0 em relação à corrente de carga( ou de fase) iB.
- - Corrente de linha IC está atrasada de 30
0 em relação à corrente de carga( ou de fase) iC.
Pela observação do circuito triângulo, temos:
1. Aplicando-se a 2ª Lei de Kirchhoff no nó 1, podemos escrever: IA + iC = iAc IA = iA - iC
IA = iA - iC ou IA = iA + (- iC)
2. Aplicando-se a 2ª Lei de Kirchhoff no nó 2, podemos escrever: IB + iA = iB IB = iB - iA
IB = iB - iA ou IB = iB + (- iA)
3. Aplicando-se a 2ª Lei de Kirchhoff no nó 3, podemos escrever: IC + iB = iC IC = iC - iB
IC = iC - iB ou IC = iC + (- iB)
17
A relação Ilinha/Ifase(corrente na carga) = √ Notação: I ..... Corrente de Linha. i ..... Corrente de fase ou corrente na carga DIAGRAMA FUNICULAR DAS CORRENTES:
2. Dado o circuito abaixo, representar o seu equivalente, referindo-se à fase A do sistema trifásico adotado. Calcular os parâmetros do mesmo e traçar o diagrama vetorial das tensões e correntes, bem como o diagrama funicular das correntes IA, IB e IC.
Sendo dados: RA = RB = RC = 90 = 90 00
XA = XB = XC = 10 = 10 900 Ra = Rb = Rc = 10 = 10 0
0
VAN = 12000 VN = 120-120
0 VCN = 120120
0
Circuito equivalente à fase A:
RESOLUÇÃO:
a) ZAN = RA // Ra ZAN = (3000 x 100
0)/(30 + 10) = 300/40 = 7,5 0
0
A B
C
IA
IB
IC
A
B
C
IB
IA
IC
IA
IB
IC
ia
ib
ic
XA
XB
XC
Ra Rb Rc
RA
RC
RB
VAA
VBB
VCC
N
VAN
VBN VCN
VAB
VBC
VCA
VA’N
18
ZAN = 7,5 00 [ ]
b) ZT = ZAN = ZA’N + XA = 7,5 + 10900 = 7,5 + j10 = 12,553
VAN = 72,21- 530 [ V ] ... consequentemente VBN = 72,21- 173
0 [ V ] VCN = 72,2167
0 [ V ]
f) IA = VAN/Ra = 72,21- 530/100
0 = 7,22- 53
0 IA = 7,22- 53
0 [ A ] ou IA = 4,35 – j5,77
g) IA = VAN/RA = 72,21- 530/300
0 = 2,41- 53
0 IA = 2,41- 53
0 [A] ou IA = 1,45 – j1,92
... e também IB = 2,41- 1730 [ A ] IC = 2,4167
0 [ A ]
VERIFICAÇÃO:
IA = IA + IA = 4,35 – j5,77 + 1,45 – j1,92 = 5,80 – j7,69 = 9,63- 52,980 9,6- 53
0
IA = 9,60- 530 [A]
g) Em termos de módulo, termos para VAB:
VAB = VA N x ..... tendo um ângulo de fase de 300 em avanço em relação a VA N . Portanto:
VAB = 124,92- 230 125- 23
0 [V] e teremos em consequência:
VBC = 125- 1430 [V] VCA = 12597
0 [V]
h) Em termos de módulo, teremos para ia:
ia = IA / , tendo um ângulo de fase de 300 em avanço em relação a IA. Portanto:
ia = 2,41/1,73 = 1,39 ia = 1,39- 230 [A] e teremos em consequência :
ib = 1,39- 1430 [A] ic = 1,3997
0 [A]
Lembramos que há um defasamento de 1200, entre as tensões VAB, VBC, VCA, bem entre as correntes ia, ib
e ic.
i) As tensões VAA,VBB e VCC, estão igualmente defasadas de 1200 entre si, e portanto, teremos:
VAA = 96370 [V] VBB = 96- 83
0 [V] VCC = 96157
0 [V]
j) Para o cálculo das potências ST, PT e QT, sabe-se que:
S = V x I = P jQ, sendo que o termo I representa o conjugado da corrente. Isto faz com que ao efetuarmos o calculo Potências Reativas Indutivas e Capacitivas, os sinais encontrados para as mesmas fiquem coerentes com a normalização(ou convenção) adotada, saber:
19
+Q = Potência Reativa Positiva Potência Reativa Indutiva O circuito é Indutivo.
- Q = Potência Reativa Negativa Potência Reativa Capacitiva O circuito é Capacitivo. Assim sendo, teremos:
1 Processo para o cálculo da potências totais: Calculamos a potência de uma fase somente e multiplicamos por 3, para encontrar o valor total.
SA = VAN x IA = 12000 x 9,6053
0 = 115253
0 = 693,29 + j920,03 SA = 115253
0 [ VA ] ... teremos
Ainda que:
SA = 1152 [ VA ] PA = 693,29 [ W ] QA = 920,03 [ VAR ] .... o que nos dará para potências totais, respectivamente:
ST = 3 x 1152 = 3456 [ VA ] PT = 693,29 x 3 = 2079,87 [ W ] QT = 920,03 x 3 = 2760,09 [ VAR ]
VERIFICAÇÃO:
a) Potência Ativa Total do circuito estrela P1 = 3 x Ra x (IA)2 = 3 x 10 x (7,22)
2 = 1563,85 W
b) Potência Ativa Total do circuito triângulo P2 = 3 x RA x (ia)2 = 3 x 90 x (1,39)
2 = 561,67 W
Potência Ativa Total = PT = P1 + P2 = 1563,85 + 561,67 = 2125,52 PT = 2125,52 W
PT = 2125,52 [ W ] ... Há uma diferença de apenas 45,65 W, devido às aproximações provocadas por este método de cálculo!
c) Potência Reativa Total QT = 3 x XA x (IA)2 = 3 x 10 x (9,60)
2 = 2764,80 QT = 2764,80 [ VAR ]
E teremos para ST:
ST = = = 3487,40 ST = 3487,40 [ VA ] .... com uma diferença de apenas 31,40 [VA], também devido às aproximações provocadas por este método de cálculo.
c) 2 processo para o cálculo das potências totais:
PT = 3 x VAN x IA x cos = 3 x 120 x 9,60 x cos 530 = 3 x 120 x 9,60 x 0,60 = 2073,60 [ W ]
QT = 3 x VAN x IA x sen = 3 x 120 x 9,60 x sen 530 = 3 x 120 x 9,60 x 0,80 = 2764,80 [ VAR ]
ST = 3 x VAN x IA = 3 x 120 x 9,60 = 3456,00 [ VA ] ST = = = 3456,00 [ VA ]
Fator de Potência resultante FP = cos ; portanto:
= 53
0 (como era de se esperar!).
Ainda poderíamos considerar:
ST = √ VI = 1,73 x 208 x 9,6 = 3458,56 [ VA ]
PT = √ VI cos = 3458,56 x 0,6 = 2075,14 [ W ]
20
QT = √ VI sen = 3458.56 x 0,8 = 2766,85 [ VAR ]
DIAGRAMA VETORIAL: Escala 1 cm = 1,5 A 1 cm = 40 V
Por outro lado temos:
IA + ic = ia IA = ia – ic = 1,39- 230 – 1,3997
0 = (1,28 – j0,54) – (- 0,17 + j1,38)
IA = 1,28 – j0,54 + 0,17 - j1,38 = 1,45 – j1,92 = 2,41- 530 IA = 2,41- 53
IC = - 0,17 + j1,38 + 1,11 + j0,84 = 0,94 + j2,22 = 2,41670 IC = 2,4167
0 [ A }
DIAGRAMA VETORIAL COMPLETO: ESCALA: 1 cm = 1 A
DIAGRAMA FUNICULAR DAS CORRENTES IA, IB e IC: ESCALA: 1 cm = 0,5A
IC
21
4.7 – CONSIDERAÇÕES SOBRE O SISTEMA TRIFÁSICO ESTRELA DESEQUILIBRADO SEM O CONDUTOR NEUTRO Estaremos considerando a geração do nosso sistema trifásico como sendo perfeitamente equilibrada. Seja o sistema abaixo indicado:
Vemos que as tensões na carga irão de deslocar, não guardando mais o defasamento de 1200 e são
diferentes entre si em módulo, porém, as tensões nos terminais do gerador (fonte) se mantêm equilibradas e com sua soma vetorial igual a zero. O ponto O ou foi considerado arbitrário para o nosso estudo. Assim sendo teremos: Para se obter a tensão de deslocamento do neutro VON, escreveremos as correntes de linha em termos das tensões e admitâncias, lembrando-se que a admitância é o inverso da impedância.
IA = VAO . YA IB = VBO . YB IC = VCO . YC
Aplicando-se a 1ª Lei de Kirchhoff ao ponto O, teremos: IA + IB + IC = 0 (I) Logo teremos : VAO x YA + VBO x YB + VCO x YC = 0 (II) ... indicamos os vetores sobre os termos apenas para indicar que se trata de operação vetorial. Para efeitos didáticos omitiremos esta notação, embora a mesma esteja implícita! Pelo diagrama vetorial podemos escrever que : VAN = VAO + VON VBN = VBO + VON VCN = VCO + VON
VAO = VAN - VON VBO = VBN - VON VCO = VCN - VON
Substituindo as expressões em (II), temos:
(VAN - VON) . YA + (VBN - VON) . YB + (VCN - VON) . YC = 0 (III) Tirando o valor de VON da expressão (III), temos:
A
B C
O N
A B C N
O
ZA
ZB
ZC
IA
IB
IC
VAO
VBO
VCO
VON
22
4.8 – Calcular as tensões VAO, VBO, VCO e VON para o circuito abaixo, bem como as correntes em cada fase. Determine as potências ST, PT e QT. Faça o diagrama vetorial das tensões e correntes. Determine as correntes nas fases com o neutro conectado ao ponto O.
VON = ?
Sendo dados:
ZA = 2000(Resistivo) ZB = 60- 30
0(Capacitivo) ZC = 8060
0(Indutivo)
VAN = 120900 VBN = 120- 30
0 VCN = 120- 150
0
VAB = 2081200 VBC = 2080
0 VCA = - 120
0
a) Cálculo das admitâncias: OBS.: É conveniente, para melhor exatidão fixarmos quatro casas decimais no cálculo das admitâncias. Para os valores de correntes e tensões fixaremos apenas duas casas decimais, em função da classe de exatidão dos instrumentos utilizados na prática de um modo geral.
YA = 1/ZA 100/200
0 = 0,05000
0 YA = 0,05000
0 [ S ]
YB = 1/ZB 100/60- 30
0 = 0,016730
0 YB = 0,016730
0 [ S ]
YC = 1/ZC 100/8060
0 = 0,0125- 60
0 YC = 0,0125- 60
0 [ S ]
Na forma retangular teremos : YA = 0,0500 [ S ] YB = 0,0145 + j0,0084 [ S ] YC = 0,0063 – j0,0108 [ S ]
Observa-se que haverá SUB-TENSÃO, na fase com MAIOR POTÊNCIA instalada e SOBRE-TENSÃO, na fase com MENOR POTÊNCIA instalada. Cálculo das correntes IA, IB e IC com o neutro interrompido:
IA = YA . VAO = 0,050000 . 24,21106
0 = 1,21106
0 IA = 1,21106
0 [A ] Valor de IA com
condutor neutro interrompido.
IA = - 0,33 + j1,16
IB = YB . VBO = 0,0167300 . 184,42- 58
0 = 3,08- 28
0 IB = 3,08- 28
0 [ A ]
Valor de IB com
condutor neutro interrompido.
IB = 2,72 – j1,45
IC = YC . VCO = 0,0125- 600 . 191,90- 125
0 = 2,40-185
0 IC = 2,40-185
0 [A ] Valor de IC com
condutor neutro interrompido.
IC = - 2,39 + j0,21 VERIFICAÇÃO:
IA + IB + IC = 0 IA + IB + IC = - 0,33 + j1,16 + 2,72 – j1,45 - 2,39 + j0,21
IA + IB + IC = - 0,00 + j0,08 = 0,08900 ... vemos que o módulo da corrente resultante é de aproximadamente
80mA. e) Cálculo das correntes com o neutro interligado:
IA = YA . VAN = 0,050000 . 12090
0 = 6,0090
0 j6,00 Valor de IA com condutor neutro ligado.
24
IB = YB . VBN = 0,0167 300 . 120- 30
0 = 2,000
0 2,00 Valor de IA com condutor neutro ligado.
IC = YC . VCN = 0,0125- 600 . 120- 150
0 = 1,50- 210
0 - 1,30 + j0,75 Valor de IC com condutor neutro
ligado.
f) Corrente resultante com o neutro interligado:
IA + IB + IC = j6,00 + 2,00 - 1,30 + j0,75 = 0,07 + j6,75 = 6,75890 ... portanto IN = 6,7589
0
g) Cálculo das potências com o neutro interrompido:
Fator de potência resultante: Cos = PT/ST = 752,59/761,24 = 0,99 Cos = 0,99 = 8,70
DIAGRAMA VETORIAL COM O NEUTRO INTERROMPIDO: Escala : 1 cm = 40 V 1 cm = 0,8 A
25
4.8 – Calcular as tensões VAO, VBO, VCO e VON para o circuito abaixo, bem como as correntes em cada fase. Determine as potências ST, PT e QT. Faça o diagrama vetorial das tensões e correntes. Determine as correntes nas fases com o neutro conectado ao ponto O.
e) Cálculo das correntes IA, IB e IC com o neutro interrompido:
IA = YA . VAO = 0,0100 . 18918
0 = 1,8918
0
IB = YB . VBO = 0,0100 . 50,40- 102
0 = 0,50- 102
0
IC = YC . VCO = 0,01900 . 171,0893
0 = 1,71183
0
e) Cálculo das correntes IA, IB e IC com o neutro interligado:
IA = YA . VAN = 0,0100 . 1270
0 = 1,270
0
IB = YB . VBN = 0,0100 . 127-120
0 = 1,17- 120
0
IC = YC . VCN = 0,01900 . 127120
0 = 1,170
0210
0
DIAGRAMA VETORIA COM NEUTRO INTERROMPIDO: Escala: 1cm = 25 V 1 cm = 0,5 A
f) Cálculo das potências com o neutro interrompido:
SA = VAO . IA = 189180 . 1,89- 18
0 =357,210
0 PA = 357,21 [W] QA = 0 [VAR]
SB= VBO . IB = 50,40- 1020 . 0,50102
0 = 25,200
0 PB = 25.20 [W] QB = 0[VAR]
SC = VCO . IC = 171,08930 . 1,71- 183
0 = 292,55- 90
0 = - j292,55 ... e teremos, portanto:
PC = 0 [W] QC = 292,55 [VAR] Capacitivo PT = PA + PB = 382,41 [W] VERIFICAÇÃO: PA = RA (IA)
2 = 100 . (1,89)
2 = 357,21 [W]
PB = RB . (IB)
2 = 100 . (0,50)
2 = 25,00 [W] PT = PA + PB =382,21 [W]
QC = QT = XC . (IC)
2 = 100 . (1,71)
2 = 292,41 [VAR]
B
C
A
O
N
IA
IB
IC
27
ST = PT – jQT = 481,24- 370 [VA]
OBS.: O sinal negativo na parte imaginária se deve ao fato da potência reativa ser CAPACITIVA. g) Triângulo das potências: ESCALA: 1cm = 40 Unidades de potência.
4.9 – Calcule as correntes e tensões VAO, VBO, VCO, IA, IC e faça os diagramas vetoriais respectivos:
vetoriais respectivos: Teremos então:
ZA = RA + j XA = 36 + j48 = 60530 [] ZC = - jXC = - j90 = 90- 90