Matemática ANÁLISE COMBINATÓRIA€¦ · Quantos anagramas possui a palavra AMOR. Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação dessas letras, de modo a

Matemática

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Professor Dudan

Análise Combinatória

Permutação Simples É caracterizada por envolver todos os elementos , nunca deixando nenhum de fora.Muito comum em questões que envolvem anagramas de palavras. Fórmula: Pn = n! Dica: A PERMUTAÇÃO embaralha TUDO!


Exemplo Resolvido Quantos anagramas possui a palavra AMOR. Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação dessas letras, de modo a formar ou não palavras. Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição. Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 . 3 . 2 . 1 = 24 possibilidades ou 24 anagramas. Pela própria fórmula faremos P4 = 4! = 4.3.2.1= 24 anagramas. Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . .


Exemplo Quantos são os anagramas da palavra APROVEI com as vogais juntas?


Exemplo Quantos são os anagramas da palavra APROVEI com as vogais juntas e nessa ordem?


E se houver elementos repetidos?

Assim temos a Permutação com Repetição na qual deveremos “descontar “ os elementos repetidos pois a troca de posição entre dois elementos repetidos não evidencia uma nova estrutura.


Exemplo Calcule a quantidade de anagramas da palavra BANANA.


Arranjo É uma seleção (não se usam todos ao mesmo tempo) onde a ordem FAZ diferença. Muito comum em questões de criação de senhas, números, telefones, placas de carro, competições, disputas, onde houver hierarquia. Fórmula: Dica: O ARRANJO ordena !

Dica: pode ser resolvido usando o P. F da Contagem


Exemplo Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: primeiro lugar, Brasil; segundo lugar, Nigéria; terceiro lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir? (A) 69 (B) 2024 (C) 9562 (D) 12144 (E) 13824


Combinação É uma seleção (até pode usar todos ao mesmo tempo) onde a ordem NÃO faz diferença. Muito comum em questões de criação de grupos, comissões, agrupamentos onde não há distinção pela ordem dos elementos escolhidos. Fórmula: Dica: A COMBINAÇÃO agrupa !


Exemplo Resolvido Uma prova consta de 5 questões das quais o aluno deve resolver 2. De quantas formas ele poderá escolher essas questões? Solução: Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que se trata de um problema de combinação. Aplicando a fórmula chegaremos a: C5,2 = 5! / [(5-2)! . 2!] = 5! / (3! . 2!) = 5.4.3.2.1. / 3.2.1.2! = 20/2 = 10 E não tem um atalho?


Método Prático Esse método agilizará a resolução das questões. Para isso basta usar a regra: rebobinar o “n” até o total de “p” itens e divide pelo “p” fatorial. Exemplos: C5, 2 = C10, 4 = C8, 1 = C7, 5 =


Exemplo Uma lanchonete dispõe de seis frutas tropicais diferentes para a venda de sucos. No cardápio é possível escolher sucos com três ou quatro frutas misturadas. O número máximo de sucos distintos que essa lanchonete poderá vender é de: (A) 720 (B) 70 (C) 150 (D) 300 (E) 35


ANÁLISE COMBINATÓRIA

COMO A FUNDATEC

COBRA ISSO?

A partir dos elementos do conjunto S={2,3,5,7}, quantos números de dois algarismos distintos podemos formar?

A) 6 B) 8. C) 12. D) 16. E) 24.

PREF DE FOZ DO IGUAÇU/PR - 2016

O número de anagramas formados com as letras da palavra MOLDE de maneira que as vogais OE sempre estejam juntas e nessa ordem é:

A) 24. B)30. C) 60. D)72. E)120.

BRDE - 2015

Utilizando a palavra FLORESTA, quantos anagramas podem ser formados considerando que as letras FLR sempre apareçam juntas e nessa ordem?

A) 520. B) 660. C) 720. D) 1.580. E) 2.160.

SISPREM - 2015

Uma empresa prestadora de serviços na área de limpeza dispõe de 8 empregados. De quantas maneiras diferentes é possível formar uma equipe com 4 pessoas para realizar a limpeza de um condomínio?

A) 42. B) 54. C) 65. D) 70. E) 82.

PREF DE LIBERATO SALZANO/RS - 2015

Em uma empresa, trabalham 6 mecânicos e 3 técnicos. Quantas comissões diferentes compostas por 4 mecânicos e 2 técnicos podem ser formadas para prestar assistência técnica a um cliente?

A) 30. B) 36. C) 40. D) 45. E) 48.

PREF DE TORRES/RS - 2016

Uma loja vende 5 modelos diferentes de blusões e 6 modelos diferentes de calças. De quantas maneiras distintas é possível realizar uma compra com 3 blusões diferentes e 3 calças diferentes?

A) 80. B) 120. C) 140. D) 160. E) 200.

PREF DE VIAMÃO/RS - 2017

Dona Alice pediu ajuda a seus nove netos para realizar duas tarefas.Cinco netos iriam limpar o quintal e os outros quatro iriam limpar o quarto.O número de maneiras que os netos de Dona Alice podem se organizar para realizar essas duas tarefas é igual a :

A)2. B)9. C)126 D)720 E)181440.

POLICIA MILITAR/RS - 2014

GABARITOS Questões FUNDATEC: C-A-C-D-D-E-C

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