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det M = 4 . (–1) . (12 + 4 – 6 – 16) det M = 4 . (–1) . (–6) det M = 24
det M–1 = 1
24
04. Incorreta. (A + B) . (A – B) = A2 – AB + BA – B2
08. Incorreta. det B = det A
16. Incorreta. O sistema é impossível e não tem solução.
32. Correta. Propriedade da matriz triangular.
UFSCMatemática (Amarela)
Resposta: 13
01. Correta. Podemos verificar que a alternativa é verdadeira por geometria, imaginando a e b como partes de um diâmetro (a + b) de uma circunferência.
Observe que o triângulo ABC está inscrito numa semicircunferência. Logo, ABC é um triângulo retângulo com altura h. Das relações métricas no triângulo retângulo, temos que h2 = a . b, ou seja, h = a . b .
Como foi dito que a < b, então o segmento CH terá média sempre menor que o raio da circunferência, logo:
h < raio → a . b < a + b
2
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02. Incorreta. O oitavo termo de qualquer sequência é igual à soma dos oito primeiros termos da sequência menos a soma dos sete primeiros termos da sequência:
a8 = S8 – S7
a8 = (82 – 3 . 8) – (72 – 3 . 7) = 40 – 28 = 12
04. Correta.
x2
3 5
90
2
x
x
Sejam N(x) = x2 – 3x + 5 e D(x) = 9 – x2. Estudando os sinais dessas funções, temos:
Logo, N xD x
( )( )
será positivo ou igual a zero no intervalo aberto e limitado –3 < x < 3.
08. Correta. Já que a circunferência dada é trigonométrica, seu raio mede QO = 1.
Por trigonometria no triângulo retângulo, PQO temos:
tg 60 = o CO
CAx
x 31
3
cos 60 = o CA
Hip yy 1
21
2
Logo, o perímetro de PQO será: 2p = x + y + 1 = 3 + 2 + 1 = 3 + 3 u.c.
16. Incorreta.
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Resposta: 10 01. Incorreta. Volume total da piscina: V = (500 dm) . (250 dm) . (30 dm) = 3 750 000 dm3 ou litros. Logo, faltam 100 000 litros para completar a piscina.
02. Correta. V = a3
216 = a3
a = 6 dm
Área lateral = 4 . a2 = 4 . 62 = 144 dm2
04. Incorreta. A altura, o apótema da base e o apótema da pirâmide formam um triângulo retângulo, logo:
x = 2 não pode, pois o apótema da base seria negativo
x = 10 OK
08. Correta.
V = πR2 . H Área lateral = A = 2πR . H = 2πR . V
Rπ 2
H = V
Rπ 2 A = 2VR
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Resposta: 14
01. Incorreta. Seja o conjunto dos estados das Misses Brasil M = {C; G; P; R; S} . Como no primeiro sorteio foi sorteada do estado da Paraíba, temos um novo espaço amostral para o 2o sor-
teio: M' = {C; G; R; S}.
Como queremos a probabilidade de ser da Região Sul do Brasil, os casos favoráveis são: Rio Grande do Sul ou Santa Catarina, portanto:
P A( ) , %= = = =2
412
0 5 50
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02. Correta. Usando apenas os algarismos A = {2; 3; 5} é possível formar números de três algarismos, dois al-garismos ou ainda um único algarismo (note que devem ser números distintos menores que 1000, não que os algarismos devam ser distintos!). Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos:
Números com três algarismos: 3 . 3 . 3 = 27 Números com dois algarismos: 3 . 3 = 9 Números com um algarismo: 3 = 3 Total de números 27 + 9 + 3 = 39.
04. Correta. Comissões formadas com políticos do partido A (sem separá-los): 3! = 6. Comissões formadas com políticos do partido B: 1! = 1. Comissões formadas com políticos do partido C (sem separá-los): 2! = 2.
Dispondo os seis políticos em 3 blocos indissolúveis (A, B e C, nessa ordem): 6
. 1
. 2
= 12A B C
. Podemos
ainda trocar a ordem dos partidos (mantendo agrupados os de mesmo partido) de 3! = 6 formas distintas.
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem 6 . 12 = 72.
08. Correta. Os pontos A e B são os dois primeiros zeros que a função f(x) = 2 sen(x) – 1 possui. Então: 0 = 2 sen(x) – 1 2 sen(x) = 1
sen(x) =
12
Logo, x
x
’
"
656
. Assim, os pontos A e B têm coordenadas A6
; 0
e B56
; 0
, o que define o comprimen-
to do segmento AB 56 6
46
23
u.c.
16. Incorreta. Se x é racional e y é irracional, queremos mostrar que (x + 1) . y não é racional.
Por outro lado, temos: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) (1 + i)3 – 13 = (1 + i – 1) [(1 + i)2 + (1 + i) . 1 + 12] (1 + i)3 – 1 = i . [(1 + i)2 + (1 + i) + 1]
(1 + i) 13 −i
= (1 + i)2 + (1 + i) + 1 (ii)
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Substituindo (ii) em (i): M = 1000 . (1 + i) 1
T
3
i
02. Incorreta.
O Montante gerado pelo Capital no sistema de Juros Simples é mais vantajoso quando n < 1, em que:
MJ. simples > MJ. composto
04. Incorreta. Sejam A não nulo e B = C = ∅ subconjuntos do universo U, temos: A ∪ (B – C) = (A ∪ B) – (A ∪ C) A ∪ (∅ – ∅) = (A ∪ ∅) – (A ∪ ∅) A ∪ ∅ = A – A A = ∅