5. Trigonometria 5. Trigonometria x y -4 -2 2 4 p 2 p 2 - -1 p 4 - p 4 1 x y Departamento de Matem´ atica (FCT/UNL) Matem´ atica 0 59 / 123
5. Trigonometria
5. Trigonometria
x
y
-4 -2 2 4
�
2
�
2
-
-1
�
4
-
�
4
1 x
y
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 59 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
C
A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A
B
B 1
B 2
B 3
B 4
B 5
B 6
A1B1
A1C=
A2B2
A2C= · · · = AB
AC
tangente do angulo ACB ↪→ AB
AC
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 60 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
C
A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A
B
B 1
B 2
B 3
B 4
B 5
B 6
A1B1
A1C=
A2B2
A2C= · · · = AB
AC
tangente do angulo ACB ↪→ AB
AC
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 60 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
C
A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A
B
B 1
B 2
B 3
B 4
B 5
B 6
A1B1
A1C=
A2B2
A2C= · · · = AB
AC
tangente do angulo ACB ↪→ AB
AC
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 60 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
CA
B
α
cateto oposto ao angulo α ↪→ [AB]
cateto adjacente ao angulo α ↪→ [AC ]
hipotenusa ↪→ [BC ]
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 61 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
CA
B
α
cateto oposto ao angulo α ↪→ [AB]
cateto adjacente ao angulo α ↪→ [AC ]
hipotenusa ↪→ [BC ]
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 61 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
CA
B
α
cateto oposto ao angulo α ↪→ [AB]
cateto adjacente ao angulo α ↪→ [AC ]
hipotenusa ↪→ [BC ]
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 61 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
CA
B
α
cateto oposto ao angulo α ↪→ [AB]
cateto adjacente ao angulo α ↪→ [AC ]
hipotenusa ↪→ [BC ]
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 61 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
CA
B
α
cateto oposto ao angulo α ↪→ [AB]
cateto adjacente ao angulo α ↪→ [AC ]
hipotenusa ↪→ [BC ]
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 61 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
CA
B
α
cateto oposto ao angulo α ↪→ [AB]
cateto adjacente ao angulo α ↪→ [AC ]
hipotenusa ↪→ [BC ]
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 61 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
CA
B
α
cateto oposto ao angulo α ↪→ [AB]
cateto adjacente ao angulo α ↪→ [AC ]
hipotenusa ↪→ [BC ]
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 61 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
CA
B
α
Definicao
Num triangulo rectangulo chama-se seno de
um angulo agudo a razao entre os
comprimentos do cateto oposto ao angulo e
da hipotenusa.
senα =AB
BC
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 62 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
CA
B
α
Definicao
Num triangulo rectangulo chama-se seno de
um angulo agudo a razao entre os
comprimentos do cateto oposto ao angulo e
da hipotenusa.
senα =AB
BC
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 62 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
CA
B
α
Definicao
Num triangulo rectangulo chama-se seno de
um angulo agudo a razao entre os
comprimentos do cateto oposto ao angulo e
da hipotenusa.
senα =AB
BC
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 62 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
CA
B
α
Definicao
Num triangulo rectangulo chama-se
co-seno de um angulo agudo a razao entre
os comprimentos do cateto adjacente ao
angulo e da hipotenusa.
cos α =AC
BC
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 63 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
CA
B
α
Definicao
Num triangulo rectangulo chama-se
co-seno de um angulo agudo a razao entre
os comprimentos do cateto adjacente ao
angulo e da hipotenusa.
cos α =AC
BC
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 63 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
CA
B
α
Definicao
Num triangulo rectangulo chama-se
co-seno de um angulo agudo a razao entre
os comprimentos do cateto adjacente ao
angulo e da hipotenusa.
cos α =AC
BC
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 63 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
CA
B
α
Definicao
Num triangulo rectangulo chama-se
tangente de um angulo agudo a razao entre
os comprimentos do cateto oposto ao
angulo e do cateto adjacente.
tg α =AB
AC
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 64 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
CA
B
α
Definicao
Num triangulo rectangulo chama-se
tangente de um angulo agudo a razao entre
os comprimentos do cateto oposto ao
angulo e do cateto adjacente.
tg α =AB
AC
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 64 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
CA
B
α
Definicao
Num triangulo rectangulo chama-se
tangente de um angulo agudo a razao entre
os comprimentos do cateto oposto ao
angulo e do cateto adjacente.
tg α =AB
AC
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 64 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
CA
B
α
Definicao
Num triangulo rectangulo chama-se
co-tangente de um angulo agudo a razao
trigonometrica inversa da tangente, isto e, a
razao entre os comprimentos do cateto
adjacente ao angulo e do cateto oposto.
co-tangente α =AC
AB
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 65 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
CA
B
α
Definicao
Num triangulo rectangulo chama-se
co-tangente de um angulo agudo a razao
trigonometrica inversa da tangente, isto e, a
razao entre os comprimentos do cateto
adjacente ao angulo e do cateto oposto.
co-tangente α =AC
AB
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 65 / 123
5. Trigonometria
5.1 Razoes Trigonometricas
CA
B
α
Definicao
Num triangulo rectangulo chama-se
co-tangente de um angulo agudo a razao
trigonometrica inversa da tangente, isto e, a
razao entre os comprimentos do cateto
adjacente ao angulo e do cateto oposto.
co-tangente α =AC
AB
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 65 / 123
5. Trigonometria
5.2 Amplitude de um Angulo - Sistemas de Medicao de
Angulos
O A
B
r
r
Definicao
Um radiano e a amplitude de um angulo ao
centro cujo arco correspondente tem um
comprimento igual ao raio da circunferencia.
_AB= r
A amplitude de AOB e 1 rad.
Um angulo nulo tem 0 rad;
Um angulo recto temπ
2rad.
Um angulo raso tem π rad;
Um angulo giro tem 2π rad;
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 66 / 123
5. Trigonometria
5.2 Amplitude de um Angulo - Sistemas de Medicao de
Angulos
O A
B
r
r
Definicao
Um radiano e a amplitude de um angulo ao
centro cujo arco correspondente tem um
comprimento igual ao raio da circunferencia.
_AB= r
A amplitude de AOB e 1 rad.
Um angulo nulo tem 0 rad;
Um angulo recto temπ
2rad.
Um angulo raso tem π rad;
Um angulo giro tem 2π rad;
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 66 / 123
5. Trigonometria
5.2 Amplitude de um Angulo - Sistemas de Medicao de
Angulos
O A
B
r
r
Definicao
Um radiano e a amplitude de um angulo ao
centro cujo arco correspondente tem um
comprimento igual ao raio da circunferencia.
_AB= r
A amplitude de AOB e 1 rad.
Um angulo nulo tem 0 rad;
Um angulo recto temπ
2rad.
Um angulo raso tem π rad;
Um angulo giro tem 2π rad;
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 66 / 123
5. Trigonometria
5.2 Amplitude de um Angulo - Sistemas de Medicao de
Angulos
O A
B
r
r
Definicao
Um radiano e a amplitude de um angulo ao
centro cujo arco correspondente tem um
comprimento igual ao raio da circunferencia.
_AB= r
A amplitude de AOB e 1 rad.
Um angulo nulo tem 0 rad;
Um angulo recto temπ
2rad.
Um angulo raso tem π rad;
Um angulo giro tem 2π rad;
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 66 / 123
5. Trigonometria
5.2 Amplitude de um Angulo - Sistemas de Medicao de
Angulos
O A
B
r
r
Definicao
Um radiano e a amplitude de um angulo ao
centro cujo arco correspondente tem um
comprimento igual ao raio da circunferencia.
_AB= r
A amplitude de AOB e 1 rad.
Um angulo nulo tem 0 rad;
Um angulo recto temπ
2rad.
Um angulo raso tem π rad;
Um angulo giro tem 2π rad;
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 66 / 123
5. Trigonometria
5.2 Amplitude de um Angulo - Sistemas de Medicao de
Angulos
O A
B
r
r
Definicao
Um radiano e a amplitude de um angulo ao
centro cujo arco correspondente tem um
comprimento igual ao raio da circunferencia.
_AB= r
A amplitude de AOB e 1 rad.
Um angulo nulo tem 0 rad;
Um angulo recto temπ
2rad.
Um angulo raso tem π rad;
Um angulo giro tem 2π rad;
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 66 / 123
5. Trigonometria
5.2 Amplitude de um Angulo - Sistemas de Medicao de
Angulos
O A
B
r
r
Definicao
Um radiano e a amplitude de um angulo ao
centro cujo arco correspondente tem um
comprimento igual ao raio da circunferencia.
_AB= r
A amplitude de AOB e 1 rad.
Um angulo nulo tem 0 rad;
Um angulo recto temπ
2rad.
Um angulo raso tem π rad;
Um angulo giro tem 2π rad;
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 66 / 123
5. Trigonometria
5.2 Amplitude de um Angulo - Sistemas de Medicao de
Angulos
O A
B
r
r
Definicao
Um radiano e a amplitude de um angulo ao
centro cujo arco correspondente tem um
comprimento igual ao raio da circunferencia.
_AB= r
A amplitude de AOB e 1 rad.
Um angulo nulo tem 0 rad;
Um angulo recto temπ
2rad.
Um angulo raso tem π rad;
Um angulo giro tem 2π rad;
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 66 / 123
5. Trigonometria
5.3 Generalizacao da Nocao de Angulo
A Representacao num Plano Cartesiano
O x
y
0º
30º
60º90º
120º
150º
180º α
A
B
O x
y
1º quadrante2º quadrante
4º quadrante3º quadrante
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 67 / 123
5. Trigonometria
5.3 Generalizacao da Nocao de Angulo
Angulos do 2o, 3o e 4o Quadrantes
O x
y
β
O x
y
β 2o
quadrante γ 3o
quadrante
γ
O x
y
4o
quadrante
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 68 / 123
5. Trigonometria
5.4 Prolongamento das Razoes Trigonometricas
Cırculo Trigonometrico
O x
y
P( , )x y
x 1
y
1
seno
co-seno
α
senα =y
1= y
cos α =x
1= x
tg α =y
x
cotg α =x
y.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 69 / 123
5. Trigonometria
5.4 Prolongamento das Razoes Trigonometricas
Cırculo Trigonometrico
O x
y
P( , )x y
x 1
y
1
seno
co-seno
α
senα =y
1= y
cos α =x
1= x
tg α =y
x
cotg α =x
y.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 69 / 123
5. Trigonometria
5.4 Prolongamento das Razoes Trigonometricas
Cırculo Trigonometrico
O x
y
P( , )x y
x 1
y
1
seno
co-seno
α
senα =y
1= y
cos α =x
1= x
tg α =y
x
cotg α =x
y.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 69 / 123
5. Trigonometria
5.4 Prolongamento das Razoes Trigonometricas
Cırculo Trigonometrico
O x
y
P( , )x y
x 1
y
1
seno
co-seno
α
senα =y
1= y
cos α =x
1= x
tg α =y
x
cotg α =x
y.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 69 / 123
5. Trigonometria
5.4 Prolongamento das Razoes Trigonometricas
Cırculo Trigonometrico
O x
y
P( , )x y
x 1
y
1
seno
co-seno
α
senα =y
1= y
cos α =x
1= x
tg α =y
x
cotg α =x
y.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 69 / 123
5. Trigonometria
5.4 Prolongamento das Razoes Trigonometricas
As Linhas Trigonometricas
O x
y
1
1
co-senos
α
eixo dos
eixo dos senos
eixo das tangentes
eixo das co-tangentes
senα
cos α
cotg α
tg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 70 / 123
5. Trigonometria
5.4 Prolongamento das Razoes Trigonometricas
O x
y
1
1
αsen α
cos α
cotg α
tg α
O x
y
1
1
α
sen α
cos α
cotg α
tg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 71 / 123
5. Trigonometria
5.5 Reducao ao 1o Quadrante
Angulos Suplementares (cuja soma e π)
O x
y
P( , )x y
α
Q(- , )x y- α
sen (π − α) = senα
cos(π − α) = − cos α
tg (π − α) = −tg α
cotg (π − α) = −cotg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 72 / 123
5. Trigonometria
5.5 Reducao ao 1o Quadrante
Angulos Suplementares (cuja soma e π)
O x
y
P( , )x y
α
Q(- , )x y- α
sen (π − α) = senα
cos(π − α) = − cos α
tg (π − α) = −tg α
cotg (π − α) = −cotg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 72 / 123
5. Trigonometria
5.5 Reducao ao 1o Quadrante
Angulos que Diferem de π
O x
y
P( , )x y
α
Q(- ,- )x y
+α
sen(π + α) = −senα
cos(π + α) = − cos α
tg(π + α) = tg α
cotg(π + α) = cotg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 73 / 123
5. Trigonometria
5.5 Reducao ao 1o Quadrante
Angulos que Diferem de π
O x
y
P( , )x y
α
Q(- ,- )x y
+α
sen(π + α) = −senα
cos(π + α) = − cos α
tg(π + α) = tg α
cotg(π + α) = cotg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 73 / 123
5. Trigonometria
5.5 Reducao ao 1o Quadrante
Angulos Simetricos
O x
y
P( , )x y
α
Q( ,- )x y
-α
sen (−α) = −senα
cos(−α) = cos α
tg(−α) = −tgα
cotg(−α) = −cotgα
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 74 / 123
5. Trigonometria
5.5 Reducao ao 1o Quadrante
Angulos Simetricos
O x
y
P( , )x y
α
Q( ,- )x y
-α
sen (−α) = −senα
cos(−α) = cos α
tg(−α) = −tgα
cotg(−α) = −cotgα
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 74 / 123
5. Trigonometria
5.5 Reducao ao 1o Quadrante
Angulos Complementares (cuja soma eπ
2)
O x
y
P( , )x y
α
Q( )y,x
-α
2
sen(π
2− α
)= cos α
cos(π
2 − α)
= senα
tg(π
2− α
)= cotg α
cotg(π
2− α
)= tg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 75 / 123
5. Trigonometria
5.5 Reducao ao 1o Quadrante
Angulos Complementares (cuja soma eπ
2)
O x
y
P( , )x y
α
Q( )y,x
-α
2
sen(π
2− α
)= cos α
cos(π
2 − α)
= senα
tg(π
2− α
)= cotg α
cotg(π
2− α
)= tg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 75 / 123
5. Trigonometria
5.5 Reducao ao 1o Quadrante
Angulos que Diferem deπ
2.
O x
y
P( , )x y
α
Q(- )y,x
+α
2
sen(π
2+ α
)= cos α
cos(π
2+ α
)= −senα
tg(π
2+ α
)= −cotg α
cotg(π
2+ α
)= −tg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 76 / 123
5. Trigonometria
5.5 Reducao ao 1o Quadrante
Angulos que Diferem deπ
2.
O x
y
P( , )x y
α
Q(- )y,x
+α
2
sen(π
2+ α
)= cos α
cos(π
2+ α
)= −senα
tg(π
2+ α
)= −cotg α
cotg(π
2+ α
)= −tg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 76 / 123
5. Trigonometria
5.5 Reducao ao 1o Quadrante
Angulos que Diferem de3π
2.
O x
y
P( , )x y
α
Q( )y,-x
+α2
3
sen(
3π
2+ α
)= − cos α
cos
(3π
2+ α
)= senα
tg(
3π
2+ α
)= −cotg α
cotg(
3π
2+ α
)= −tg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 77 / 123
5. Trigonometria
5.5 Reducao ao 1o Quadrante
Angulos que Diferem de3π
2.
O x
y
P( , )x y
α
Q( )y,-x
+α2
3
sen(
3π
2+ α
)= − cos α
cos
(3π
2+ α
)= senα
tg(
3π
2+ α
)= −cotg α
cotg(
3π
2+ α
)= −tg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 77 / 123
5. Trigonometria
5.6 Formulas Trigonometricas
Relacoes Trigonometricas do Mesmo Angulo α
tg α =senα
cos α
cotg α =1
tgα=
cos α
senα
sen2α + cos2 α = 1 (formula fundamental da trigonometria)
1 + tg2α =1
cos2 α
1 + cotg2α =1
sen2α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 78 / 123
5. Trigonometria
5.6 Formulas Trigonometricas
Relacoes Trigonometricas do Mesmo Angulo α
tg α =senα
cos α
cotg α =1
tgα=
cos α
senα
sen2α + cos2 α = 1 (formula fundamental da trigonometria)
1 + tg2α =1
cos2 α
1 + cotg2α =1
sen2α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 78 / 123
5. Trigonometria
5.6 Formulas Trigonometricas
Relacoes Trigonometricas do Mesmo Angulo α
tg α =senα
cos α
cotg α =1
tgα=
cos α
senα
sen2α + cos2 α = 1 (formula fundamental da trigonometria)
1 + tg2α =1
cos2 α
1 + cotg2α =1
sen2α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 78 / 123
5. Trigonometria
5.6 Formulas Trigonometricas
Relacoes Trigonometricas do Mesmo Angulo α
tg α =senα
cos α
cotg α =1
tgα=
cos α
senα
sen2α + cos2 α = 1 (formula fundamental da trigonometria)
1 + tg2α =1
cos2 α
1 + cotg2α =1
sen2α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 78 / 123
5. Trigonometria
5.6 Formulas Trigonometricas
Relacoes Trigonometricas do Mesmo Angulo α
tg α =senα
cos α
cotg α =1
tgα=
cos α
senα
sen2α + cos2 α = 1 (formula fundamental da trigonometria)
1 + tg2α =1
cos2 α
1 + cotg2α =1
sen2α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 78 / 123
5. Trigonometria
5.6 Formulas Trigonometricas
Relacoes Trigonometricas do Mesmo Angulo α
tg α =senα
cos α
cotg α =1
tgα=
cos α
senα
sen2α + cos2 α = 1 (formula fundamental da trigonometria)
1 + tg2α =1
cos2 α
1 + cotg2α =1
sen2α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 78 / 123
5. Trigonometria
5.6 Formulas Trigonometricas
Formulas Trigonometricas Envolvendo Dois Angulos α e β
cos(α± β) = cos α cos β ∓ senα senβ
sen(α± β) = senα cos β ± cos α senβ
tg(α± β) =tg α± tg β
1∓ tg α tg β
cotg(α± β) =cotg α cotg β ∓ 1
cotg β ± cotg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 79 / 123
5. Trigonometria
5.6 Formulas Trigonometricas
Formulas Trigonometricas Envolvendo Dois Angulos α e β
cos(α± β) = cos α cos β ∓ senα senβ
sen(α± β) = senα cos β ± cos α senβ
tg(α± β) =tg α± tg β
1∓ tg α tg β
cotg(α± β) =cotg α cotg β ∓ 1
cotg β ± cotg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 79 / 123
5. Trigonometria
5.6 Formulas Trigonometricas
Formulas Trigonometricas Envolvendo Dois Angulos α e β
cos(α± β) = cos α cos β ∓ senα senβ
sen(α± β) = senα cos β ± cos α senβ
tg(α± β) =tg α± tg β
1∓ tg α tg β
cotg(α± β) =cotg α cotg β ∓ 1
cotg β ± cotg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 79 / 123
5. Trigonometria
5.6 Formulas Trigonometricas
Formulas Trigonometricas Envolvendo Dois Angulos α e β
cos(α± β) = cos α cos β ∓ senα senβ
sen(α± β) = senα cos β ± cos α senβ
tg(α± β) =tg α± tg β
1∓ tg α tg β
cotg(α± β) =cotg α cotg β ∓ 1
cotg β ± cotg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 79 / 123
5. Trigonometria
5.6 Formulas Trigonometricas
Formulas Trigonometricas Envolvendo Dois Angulos α e β
cos(α± β) = cos α cos β ∓ senα senβ
sen(α± β) = senα cos β ± cos α senβ
tg(α± β) =tg α± tg β
1∓ tg α tg β
cotg(α± β) =cotg α cotg β ∓ 1
cotg β ± cotg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 79 / 123
5. Trigonometria
5.6 Formulas Trigonometricas
Formulas de Duplicacao
cos(2α) = cos2 α− sen2α
sen (2α) = 2 senα cos α
tg (2α) =2 tg α
1− tg2α
cotg (2α) =cotg2α− 1
2 cotg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 80 / 123
5. Trigonometria
5.6 Formulas Trigonometricas
Formulas de Duplicacao
cos(2α) = cos2 α− sen2α
sen (2α) = 2 senα cos α
tg (2α) =2 tg α
1− tg2α
cotg (2α) =cotg2α− 1
2 cotg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 80 / 123
5. Trigonometria
5.6 Formulas Trigonometricas
Formulas de Duplicacao
cos(2α) = cos2 α− sen2α
sen (2α) = 2 senα cos α
tg (2α) =2 tg α
1− tg2α
cotg (2α) =cotg2α− 1
2 cotg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 80 / 123
5. Trigonometria
5.6 Formulas Trigonometricas
Formulas de Duplicacao
cos(2α) = cos2 α− sen2α
sen (2α) = 2 senα cos α
tg (2α) =2 tg α
1− tg2α
cotg (2α) =cotg2α− 1
2 cotg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 80 / 123
5. Trigonometria
5.6 Formulas Trigonometricas
Formulas de Duplicacao
cos(2α) = cos2 α− sen2α
sen (2α) = 2 senα cos α
tg (2α) =2 tg α
1− tg2α
cotg (2α) =cotg2α− 1
2 cotg α
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 80 / 123
5. Trigonometria
5.6 Formulas Trigonometricas
Outras Formulas
senα + senβ = 2 senα + β
2cos
α− β
2
senα− senβ = 2 senα− β
2cos
α + β
2
cos α + cos β = 2 cosα + β
2cos
α− β
2
cos α− cos β = −2 senα− β
2sen
α + β
2
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 81 / 123
5. Trigonometria
5.6 Formulas Trigonometricas
Outras Formulas
senα + senβ = 2 senα + β
2cos
α− β
2
senα− senβ = 2 senα− β
2cos
α + β
2
cos α + cos β = 2 cosα + β
2cos
α− β
2
cos α− cos β = −2 senα− β
2sen
α + β
2
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 81 / 123
5. Trigonometria
5.6 Formulas Trigonometricas
Outras Formulas
senα + senβ = 2 senα + β
2cos
α− β
2
senα− senβ = 2 senα− β
2cos
α + β
2
cos α + cos β = 2 cosα + β
2cos
α− β
2
cos α− cos β = −2 senα− β
2sen
α + β
2
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 81 / 123
5. Trigonometria
5.6 Formulas Trigonometricas
Outras Formulas
senα + senβ = 2 senα + β
2cos
α− β
2
senα− senβ = 2 senα− β
2cos
α + β
2
cos α + cos β = 2 cosα + β
2cos
α− β
2
cos α− cos β = −2 senα− β
2sen
α + β
2
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 81 / 123
5. Trigonometria
5.6 Formulas Trigonometricas
Outras Formulas
senα + senβ = 2 senα + β
2cos
α− β
2
senα− senβ = 2 senα− β
2cos
α + β
2
cos α + cos β = 2 cosα + β
2cos
α− β
2
cos α− cos β = −2 senα− β
2sen
α + β
2
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 81 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Seno
f : R → Rx → sen x
x
y
Df = RD
′f = [−1, 1]
sen(2π + x) = sen x , ∀x ∈ Rsen(−x) = −sen x , ∀x ∈ R.
crescente nos intervalos]−π
2 + 2kπ, π2 + 2kπ
[, k ∈ Z.
decrescente nos intervalos]π2 + 2kπ, 3π
2 + 2kπ[, k ∈ Z.
maximos: x =π
2+ 2kπ, k ∈ Z.
mınimos: x = −π
2+ 2kπ, k ∈ Z.
zeros: x = kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 82 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Seno
f : R → Rx → sen x
x
y
Df = RD
′f = [−1, 1]
sen(2π + x) = sen x , ∀x ∈ Rsen(−x) = −sen x , ∀x ∈ R.
crescente nos intervalos]−π
2 + 2kπ, π2 + 2kπ
[, k ∈ Z.
decrescente nos intervalos]π2 + 2kπ, 3π
2 + 2kπ[, k ∈ Z.
maximos: x =π
2+ 2kπ, k ∈ Z.
mınimos: x = −π
2+ 2kπ, k ∈ Z.
zeros: x = kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 82 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Seno
f : R → Rx → sen x
x
y
Df = RD
′f = [−1, 1]
sen(2π + x) = sen x , ∀x ∈ Rsen(−x) = −sen x , ∀x ∈ R.
crescente nos intervalos]−π
2 + 2kπ, π2 + 2kπ
[, k ∈ Z.
decrescente nos intervalos]π2 + 2kπ, 3π
2 + 2kπ[, k ∈ Z.
maximos: x =π
2+ 2kπ, k ∈ Z.
mınimos: x = −π
2+ 2kπ, k ∈ Z.
zeros: x = kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 82 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Seno
f : R → Rx → sen x
x
y
Df = RD
′f = [−1, 1]
sen(2π + x) = sen x , ∀x ∈ Rsen(−x) = −sen x , ∀x ∈ R.
crescente nos intervalos]−π
2 + 2kπ, π2 + 2kπ
[, k ∈ Z.
decrescente nos intervalos]π2 + 2kπ, 3π
2 + 2kπ[, k ∈ Z.
maximos: x =π
2+ 2kπ, k ∈ Z.
mınimos: x = −π
2+ 2kπ, k ∈ Z.
zeros: x = kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 82 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Seno
f : R → Rx → sen x
x
y
Df = RD
′f = [−1, 1]
sen(2π + x) = sen x , ∀x ∈ Rsen(−x) = −sen x , ∀x ∈ R.
crescente nos intervalos]−π
2 + 2kπ, π2 + 2kπ
[, k ∈ Z.
decrescente nos intervalos]π2 + 2kπ, 3π
2 + 2kπ[, k ∈ Z.
maximos: x =π
2+ 2kπ, k ∈ Z.
mınimos: x = −π
2+ 2kπ, k ∈ Z.
zeros: x = kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 82 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Seno
f : R → Rx → sen x
x
y
Df = RD
′f = [−1, 1]
sen(2π + x) = sen x , ∀x ∈ Rsen(−x) = −sen x , ∀x ∈ R.
crescente nos intervalos]−π
2 + 2kπ, π2 + 2kπ
[, k ∈ Z.
decrescente nos intervalos]π2 + 2kπ, 3π
2 + 2kπ[, k ∈ Z.
maximos: x =π
2+ 2kπ, k ∈ Z.
mınimos: x = −π
2+ 2kπ, k ∈ Z.
zeros: x = kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 82 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Seno
f : R → Rx → sen x
x
y
Df = RD
′f = [−1, 1]
sen(2π + x) = sen x , ∀x ∈ Rsen(−x) = −sen x , ∀x ∈ R.
crescente nos intervalos]−π
2 + 2kπ, π2 + 2kπ
[, k ∈ Z.
decrescente nos intervalos]π2 + 2kπ, 3π
2 + 2kπ[, k ∈ Z.
maximos: x =π
2+ 2kπ, k ∈ Z.
mınimos: x = −π
2+ 2kπ, k ∈ Z.
zeros: x = kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 82 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Seno
f : R → Rx → sen x
x
y
Df = RD
′f = [−1, 1]
sen(2π + x) = sen x , ∀x ∈ Rsen(−x) = −sen x , ∀x ∈ R.
crescente nos intervalos]−π
2 + 2kπ, π2 + 2kπ
[, k ∈ Z.
decrescente nos intervalos]π2 + 2kπ, 3π
2 + 2kπ[, k ∈ Z.
maximos: x =π
2+ 2kπ, k ∈ Z.
mınimos: x = −π
2+ 2kπ, k ∈ Z.
zeros: x = kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 82 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Seno
f : R → Rx → sen x
x
y
Df = RD
′f = [−1, 1]
sen(2π + x) = sen x , ∀x ∈ Rsen(−x) = −sen x , ∀x ∈ R.
crescente nos intervalos]−π
2 + 2kπ, π2 + 2kπ
[, k ∈ Z.
decrescente nos intervalos]π2 + 2kπ, 3π
2 + 2kπ[, k ∈ Z.
maximos: x =π
2+ 2kπ, k ∈ Z.
mınimos: x = −π
2+ 2kπ, k ∈ Z.
zeros: x = kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 82 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Seno
f : R → Rx → sen x
x
y
Df = RD
′f = [−1, 1]
sen(2π + x) = sen x , ∀x ∈ Rsen(−x) = −sen x , ∀x ∈ R.
crescente nos intervalos]−π
2 + 2kπ, π2 + 2kπ
[, k ∈ Z.
decrescente nos intervalos]π2 + 2kπ, 3π
2 + 2kπ[, k ∈ Z.
maximos: x =π
2+ 2kπ, k ∈ Z.
mınimos: x = −π
2+ 2kπ, k ∈ Z.
zeros: x = kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 82 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Co-seno
g : R → Rx → cos x
y
x
Dg = RD
′g = [−1, 1]
cos(2π + x) = cos x , ∀x ∈ Rcos(−x) = cos x , ∀x ∈ R.
crescente nos intervalos
]π + 2kπ, 2π + 2kπ[ , k ∈ Z.
decrescente nos intervalos
]2kπ, π + 2kπ[ , k ∈ Z.
maximos: x = 2kπ, k ∈ Z.
mınimos: x = π + 2kπ, k ∈ Z.
zeros: x =π
2+ kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 83 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Co-seno
g : R → Rx → cos x
y
x
Dg = RD
′g = [−1, 1]
cos(2π + x) = cos x , ∀x ∈ Rcos(−x) = cos x , ∀x ∈ R.
crescente nos intervalos
]π + 2kπ, 2π + 2kπ[ , k ∈ Z.
decrescente nos intervalos
]2kπ, π + 2kπ[ , k ∈ Z.
maximos: x = 2kπ, k ∈ Z.
mınimos: x = π + 2kπ, k ∈ Z.
zeros: x =π
2+ kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 83 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Co-seno
g : R → Rx → cos x
y
x
Dg = RD
′g = [−1, 1]
cos(2π + x) = cos x , ∀x ∈ Rcos(−x) = cos x , ∀x ∈ R.
crescente nos intervalos
]π + 2kπ, 2π + 2kπ[ , k ∈ Z.
decrescente nos intervalos
]2kπ, π + 2kπ[ , k ∈ Z.
maximos: x = 2kπ, k ∈ Z.
mınimos: x = π + 2kπ, k ∈ Z.
zeros: x =π
2+ kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 83 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Co-seno
g : R → Rx → cos x
y
x
Dg = RD
′g = [−1, 1]
cos(2π + x) = cos x , ∀x ∈ Rcos(−x) = cos x , ∀x ∈ R.
crescente nos intervalos
]π + 2kπ, 2π + 2kπ[ , k ∈ Z.
decrescente nos intervalos
]2kπ, π + 2kπ[ , k ∈ Z.
maximos: x = 2kπ, k ∈ Z.
mınimos: x = π + 2kπ, k ∈ Z.
zeros: x =π
2+ kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 83 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Co-seno
g : R → Rx → cos x
y
x
Dg = RD
′g = [−1, 1]
cos(2π + x) = cos x , ∀x ∈ Rcos(−x) = cos x , ∀x ∈ R.
crescente nos intervalos
]π + 2kπ, 2π + 2kπ[ , k ∈ Z.
decrescente nos intervalos
]2kπ, π + 2kπ[ , k ∈ Z.
maximos: x = 2kπ, k ∈ Z.
mınimos: x = π + 2kπ, k ∈ Z.
zeros: x =π
2+ kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 83 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Co-seno
g : R → Rx → cos x
y
x
Dg = RD
′g = [−1, 1]
cos(2π + x) = cos x , ∀x ∈ Rcos(−x) = cos x , ∀x ∈ R.
crescente nos intervalos
]π + 2kπ, 2π + 2kπ[ , k ∈ Z.
decrescente nos intervalos
]2kπ, π + 2kπ[ , k ∈ Z.
maximos: x = 2kπ, k ∈ Z.
mınimos: x = π + 2kπ, k ∈ Z.
zeros: x =π
2+ kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 83 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Co-seno
g : R → Rx → cos x
y
x
Dg = RD
′g = [−1, 1]
cos(2π + x) = cos x , ∀x ∈ Rcos(−x) = cos x , ∀x ∈ R.
crescente nos intervalos
]π + 2kπ, 2π + 2kπ[ , k ∈ Z.
decrescente nos intervalos
]2kπ, π + 2kπ[ , k ∈ Z.
maximos: x = 2kπ, k ∈ Z.
mınimos: x = π + 2kπ, k ∈ Z.
zeros: x =π
2+ kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 83 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Co-seno
g : R → Rx → cos x
y
x
Dg = RD
′g = [−1, 1]
cos(2π + x) = cos x , ∀x ∈ Rcos(−x) = cos x , ∀x ∈ R.
crescente nos intervalos
]π + 2kπ, 2π + 2kπ[ , k ∈ Z.
decrescente nos intervalos
]2kπ, π + 2kπ[ , k ∈ Z.
maximos: x = 2kπ, k ∈ Z.
mınimos: x = π + 2kπ, k ∈ Z.
zeros: x =π
2+ kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 83 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Co-seno
g : R → Rx → cos x
y
x
Dg = RD
′g = [−1, 1]
cos(2π + x) = cos x , ∀x ∈ Rcos(−x) = cos x , ∀x ∈ R.
crescente nos intervalos
]π + 2kπ, 2π + 2kπ[ , k ∈ Z.
decrescente nos intervalos
]2kπ, π + 2kπ[ , k ∈ Z.
maximos: x = 2kπ, k ∈ Z.
mınimos: x = π + 2kπ, k ∈ Z.
zeros: x =π
2+ kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 83 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Co-seno
g : R → Rx → cos x
y
x
Dg = RD
′g = [−1, 1]
cos(2π + x) = cos x , ∀x ∈ Rcos(−x) = cos x , ∀x ∈ R.
crescente nos intervalos
]π + 2kπ, 2π + 2kπ[ , k ∈ Z.
decrescente nos intervalos
]2kπ, π + 2kπ[ , k ∈ Z.
maximos: x = 2kπ, k ∈ Z.
mınimos: x = π + 2kπ, k ∈ Z.
zeros: x =π
2+ kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 83 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Tangenteh : R → R
x → tg x
33 x
y
Dh = R \ {π2 + kπ, k ∈ Z}
D′h = R
tg(π + x) = tg x , ∀x ∈ Dh.
tg(−x) = −tg x , ∀x ∈ Dh.
crescente nos intervalos]−π
2 + kπ, π2 + kπ
[, k ∈ Z.
Nao tem maximos nem mınimos.
zeros: x = kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 84 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Tangenteh : R → R
x → tg x
33 x
y
Dh = R \ {π2 + kπ, k ∈ Z}
D′h = R
tg(π + x) = tg x , ∀x ∈ Dh.
tg(−x) = −tg x , ∀x ∈ Dh.
crescente nos intervalos]−π
2 + kπ, π2 + kπ
[, k ∈ Z.
Nao tem maximos nem mınimos.
zeros: x = kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 84 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Tangenteh : R → R
x → tg x
33 x
y
Dh = R \ {π2 + kπ, k ∈ Z}
D′h = R
tg(π + x) = tg x , ∀x ∈ Dh.
tg(−x) = −tg x , ∀x ∈ Dh.
crescente nos intervalos]−π
2 + kπ, π2 + kπ
[, k ∈ Z.
Nao tem maximos nem mınimos.
zeros: x = kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 84 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Tangenteh : R → R
x → tg x
33 x
y
Dh = R \ {π2 + kπ, k ∈ Z}
D′h = R
tg(π + x) = tg x , ∀x ∈ Dh.
tg(−x) = −tg x , ∀x ∈ Dh.
crescente nos intervalos]−π
2 + kπ, π2 + kπ
[, k ∈ Z.
Nao tem maximos nem mınimos.
zeros: x = kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 84 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Tangenteh : R → R
x → tg x
33 x
y
Dh = R \ {π2 + kπ, k ∈ Z}
D′h = R
tg(π + x) = tg x , ∀x ∈ Dh.
tg(−x) = −tg x , ∀x ∈ Dh.
crescente nos intervalos]−π
2 + kπ, π2 + kπ
[, k ∈ Z.
Nao tem maximos nem mınimos.
zeros: x = kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 84 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Tangenteh : R → R
x → tg x
33 x
y
Dh = R \ {π2 + kπ, k ∈ Z}
D′h = R
tg(π + x) = tg x , ∀x ∈ Dh.
tg(−x) = −tg x , ∀x ∈ Dh.
crescente nos intervalos]−π
2 + kπ, π2 + kπ
[, k ∈ Z.
Nao tem maximos nem mınimos.
zeros: x = kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 84 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Tangenteh : R → R
x → tg x
33 x
y
Dh = R \ {π2 + kπ, k ∈ Z}
D′h = R
tg(π + x) = tg x , ∀x ∈ Dh.
tg(−x) = −tg x , ∀x ∈ Dh.
crescente nos intervalos]−π
2 + kπ, π2 + kπ
[, k ∈ Z.
Nao tem maximos nem mınimos.
zeros: x = kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 84 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Tangenteh : R → R
x → tg x
33 x
y
Dh = R \ {π2 + kπ, k ∈ Z}
D′h = R
tg(π + x) = tg x , ∀x ∈ Dh.
tg(−x) = −tg x , ∀x ∈ Dh.
crescente nos intervalos]−π
2 + kπ, π2 + kπ
[, k ∈ Z.
Nao tem maximos nem mınimos.
zeros: x = kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 84 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Co-tangente
i : R → Rx → cotg x
20 x
y
Di = R \ {kπ, k ∈ Z}D
′i = R
cotg(π + x) = cotg x , ∀x ∈ Di .
cotg(−x) = −cotg x , ∀x ∈ Di .
decrescente nos intervalos
]kπ, π + kπ[ , k ∈ Z.
Nao tem maximos nem mınimos.
zeros: x =π
2+ kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 85 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Co-tangente
i : R → Rx → cotg x
20 x
y
Di = R \ {kπ, k ∈ Z}D
′i = R
cotg(π + x) = cotg x , ∀x ∈ Di .
cotg(−x) = −cotg x , ∀x ∈ Di .
decrescente nos intervalos
]kπ, π + kπ[ , k ∈ Z.
Nao tem maximos nem mınimos.
zeros: x =π
2+ kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 85 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Co-tangente
i : R → Rx → cotg x
20 x
y
Di = R \ {kπ, k ∈ Z}D
′i = R
cotg(π + x) = cotg x , ∀x ∈ Di .
cotg(−x) = −cotg x , ∀x ∈ Di .
decrescente nos intervalos
]kπ, π + kπ[ , k ∈ Z.
Nao tem maximos nem mınimos.
zeros: x =π
2+ kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 85 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Co-tangente
i : R → Rx → cotg x
20 x
y
Di = R \ {kπ, k ∈ Z}D
′i = R
cotg(π + x) = cotg x , ∀x ∈ Di .
cotg(−x) = −cotg x , ∀x ∈ Di .
decrescente nos intervalos
]kπ, π + kπ[ , k ∈ Z.
Nao tem maximos nem mınimos.
zeros: x =π
2+ kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 85 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Co-tangente
i : R → Rx → cotg x
20 x
y
Di = R \ {kπ, k ∈ Z}D
′i = R
cotg(π + x) = cotg x , ∀x ∈ Di .
cotg(−x) = −cotg x , ∀x ∈ Di .
decrescente nos intervalos
]kπ, π + kπ[ , k ∈ Z.
Nao tem maximos nem mınimos.
zeros: x =π
2+ kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 85 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Co-tangente
i : R → Rx → cotg x
20 x
y
Di = R \ {kπ, k ∈ Z}D
′i = R
cotg(π + x) = cotg x , ∀x ∈ Di .
cotg(−x) = −cotg x , ∀x ∈ Di .
decrescente nos intervalos
]kπ, π + kπ[ , k ∈ Z.
Nao tem maximos nem mınimos.
zeros: x =π
2+ kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 85 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Co-tangente
i : R → Rx → cotg x
20 x
y
Di = R \ {kπ, k ∈ Z}D
′i = R
cotg(π + x) = cotg x , ∀x ∈ Di .
cotg(−x) = −cotg x , ∀x ∈ Di .
decrescente nos intervalos
]kπ, π + kπ[ , k ∈ Z.
Nao tem maximos nem mınimos.
zeros: x =π
2+ kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 85 / 123
5. Trigonometria
5.7 Funcoes Trigonometricas - Co-tangente
i : R → Rx → cotg x
20 x
y
Di = R \ {kπ, k ∈ Z}D
′i = R
cotg(π + x) = cotg x , ∀x ∈ Di .
cotg(−x) = −cotg x , ∀x ∈ Di .
decrescente nos intervalos
]kπ, π + kπ[ , k ∈ Z.
Nao tem maximos nem mınimos.
zeros: x =π
2+ kπ, k ∈ Z.
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 85 / 123
5. Trigonometria
5.8 Equacoes Trigonometricas
Equacoes do tipo sen x = senα
sen x = senα ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = π − α + 2kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo cos x = cos α
cos x = cos α ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = −α + 2kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo tg x = tg α
tg x = tg α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo cotg x = cotg α
cotg x = cotg α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 86 / 123
5. Trigonometria
5.8 Equacoes Trigonometricas
Equacoes do tipo sen x = senα
sen x = senα ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = π − α + 2kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo cos x = cos α
cos x = cos α ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = −α + 2kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo tg x = tg α
tg x = tg α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo cotg x = cotg α
cotg x = cotg α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 86 / 123
5. Trigonometria
5.8 Equacoes Trigonometricas
Equacoes do tipo sen x = senα
sen x = senα ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = π − α + 2kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo cos x = cos α
cos x = cos α ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = −α + 2kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo tg x = tg α
tg x = tg α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo cotg x = cotg α
cotg x = cotg α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 86 / 123
5. Trigonometria
5.8 Equacoes Trigonometricas
Equacoes do tipo sen x = senα
sen x = senα ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = π − α + 2kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo cos x = cos α
cos x = cos α ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = −α + 2kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo tg x = tg α
tg x = tg α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo cotg x = cotg α
cotg x = cotg α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 86 / 123
5. Trigonometria
5.8 Equacoes Trigonometricas
Equacoes do tipo sen x = senα
sen x = senα ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = π − α + 2kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo cos x = cos α
cos x = cos α ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = −α + 2kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo tg x = tg α
tg x = tg α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo cotg x = cotg α
cotg x = cotg α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 86 / 123
5. Trigonometria
5.8 Equacoes Trigonometricas
Equacoes do tipo sen x = senα
sen x = senα ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = π − α + 2kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo cos x = cos α
cos x = cos α ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = −α + 2kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo tg x = tg α
tg x = tg α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo cotg x = cotg α
cotg x = cotg α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 86 / 123
5. Trigonometria
5.8 Equacoes Trigonometricas
Equacoes do tipo sen x = senα
sen x = senα ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = π − α + 2kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo cos x = cos α
cos x = cos α ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = −α + 2kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo tg x = tg α
tg x = tg α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo cotg x = cotg α
cotg x = cotg α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 86 / 123
5. Trigonometria
5.8 Equacoes Trigonometricas
Equacoes do tipo sen x = senα
sen x = senα ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = π − α + 2kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo cos x = cos α
cos x = cos α ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = −α + 2kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo tg x = tg α
tg x = tg α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
Equacoes do tipo cotg x = cotg α
cotg x = cotg α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 86 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversasf : R → R
x → sen x
x
y
Nao e injectiva em R.
E injectiva nos intervalos[−π
2 , π2
],[
π2 , 3π
2
],[
3π2 , 5π
2
], . . . ,
[−π
2 + kπ, π2 + kπ
], k ∈ Z.
Restricao principal do seno
g :[−π
2,π
2
]→ [−1, 1]
x → sen x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 87 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversasf : R → R
x → sen x
x
y
Nao e injectiva em R.
E injectiva nos intervalos[−π
2 , π2
],[
π2 , 3π
2
],[
3π2 , 5π
2
], . . . ,
[−π
2 + kπ, π2 + kπ
], k ∈ Z.
Restricao principal do seno
g :[−π
2,π
2
]→ [−1, 1]
x → sen x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 87 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversasf : R → R
x → sen x
x
y
Nao e injectiva em R.
E injectiva nos intervalos[−π
2 , π2
],[
π2 , 3π
2
],[
3π2 , 5π
2
], . . . ,
[−π
2 + kπ, π2 + kπ
], k ∈ Z.
Restricao principal do seno
g :[−π
2,π
2
]→ [−1, 1]
x → sen x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 87 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversasf : R → R
x → sen x
x
y
Nao e injectiva em R.
E injectiva nos intervalos[−π
2 , π2
],[
π2 , 3π
2
],[
3π2 , 5π
2
], . . . ,
[−π
2 + kπ, π2 + kπ
], k ∈ Z.
Restricao principal do seno
g :[−π
2,π
2
]→ [−1, 1]
x → sen x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 87 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversasf : R → R
x → sen x
x
y
Nao e injectiva em R.
E injectiva nos intervalos[−π
2 , π2
],[
π2 , 3π
2
],[
3π2 , 5π
2
], . . . ,
[−π
2 + kπ, π2 + kπ
], k ∈ Z.
Restricao principal do seno
g :[−π
2,π
2
]→ [−1, 1]
x → sen x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 87 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversasf : R → R
x → sen x
x
y
Nao e injectiva em R.
E injectiva nos intervalos[−π
2 , π2
],[
π2 , 3π
2
],[
3π2 , 5π
2
], . . . ,
[−π
2 + kπ, π2 + kπ
], k ∈ Z.
Restricao principal do seno
g :[−π
2,π
2
]→ [−1, 1]
x → sen x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 87 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas - Arco-seno
g−1 : [−1, 1] →[−π
2,π
2
]x → arcsen x
Para quaisquer y ∈[−π
2,π
2
]e
x ∈ [−1, 1]
x = sen y ⇔ y = arcsen x .
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 88 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas - Arco-seno
g−1 : [−1, 1] →[−π
2,π
2
]x → arcsen x
Para quaisquer y ∈[−π
2,π
2
]e
x ∈ [−1, 1]
x = sen y ⇔ y = arcsen x .
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 88 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas - Arco-seno
g−1 : [−1, 1] →[−π
2,π
2
]x → arcsen x
Para quaisquer y ∈[−π
2,π
2
]e
x ∈ [−1, 1]
x = sen y ⇔ y = arcsen x .
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 88 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas - Arco-seno
g−1 : [−1, 1] →[−π
2,π
2
]x → arcsen x
Para quaisquer y ∈[−π
2,π
2
]e
x ∈ [−1, 1]
x = sen y ⇔ y = arcsen x .
x
y
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 88 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas
f : R → Rx → cos x
y
x
Nao e injectiva em R.
E injectiva nos intervalos[−π, 0], [0, π], . . . , [0 + kπ, π + kπ], k ∈ Z.
Restricao principal do co-seno
g : [0, π] → [−1, 1]x → cos x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 89 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas
f : R → Rx → cos x
y
x
Nao e injectiva em R.
E injectiva nos intervalos[−π, 0], [0, π], . . . , [0 + kπ, π + kπ], k ∈ Z.
Restricao principal do co-seno
g : [0, π] → [−1, 1]x → cos x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 89 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas
f : R → Rx → cos x
y
x
Nao e injectiva em R.
E injectiva nos intervalos[−π, 0], [0, π], . . . , [0 + kπ, π + kπ], k ∈ Z.
Restricao principal do co-seno
g : [0, π] → [−1, 1]x → cos x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 89 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas
f : R → Rx → cos x
y
x
Nao e injectiva em R.
E injectiva nos intervalos[−π, 0], [0, π], . . . , [0 + kπ, π + kπ], k ∈ Z.
Restricao principal do co-seno
g : [0, π] → [−1, 1]x → cos x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 89 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas
f : R → Rx → cos x
y
x
Nao e injectiva em R.
E injectiva nos intervalos[−π, 0], [0, π], . . . , [0 + kπ, π + kπ], k ∈ Z.
Restricao principal do co-seno
g : [0, π] → [−1, 1]x → cos x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 89 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas
f : R → Rx → cos x
y
x
Nao e injectiva em R.
E injectiva nos intervalos[−π, 0], [0, π], . . . , [0 + kπ, π + kπ], k ∈ Z.
Restricao principal do co-seno
g : [0, π] → [−1, 1]x → cos x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 89 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas - Arco co-seno
g−1 : [−1, 1] → [0, π]
x → arccos x
Para quaisquer y ∈ [0, π] ex ∈ [−1, 1]
x = cos y ⇔ y = arccos x .
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 90 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas - Arco co-seno
g−1 : [−1, 1] → [0, π]
x → arccos x
Para quaisquer y ∈ [0, π] ex ∈ [−1, 1]
x = cos y ⇔ y = arccos x .
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 90 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas - Arco co-seno
g−1 : [−1, 1] → [0, π]
x → arccos x
Para quaisquer y ∈ [0, π] ex ∈ [−1, 1]
x = cos y ⇔ y = arccos x .
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 90 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas - Arco co-seno
g−1 : [−1, 1] → [0, π]
x → arccos x
Para quaisquer y ∈ [0, π] ex ∈ [−1, 1]
x = cos y ⇔ y = arccos x .x
y
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 90 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas
f : R \ {π2 + kπ, k ∈ Z} → R
x → tg x33 x
y
Nao e injectiva no seu domınio.
E injectiva nos intervalos]−π
2 , π2
[,]
π2 , 3π
2
[, . . . ,
]−π
2 + kπ, π2 + kπ
[, k ∈ Z.
Restricao principal da tangente
g :]−π
2,π
2
[→ R
x → tg x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 91 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas
f : R \ {π2 + kπ, k ∈ Z} → R
x → tg x33 x
y
Nao e injectiva no seu domınio.
E injectiva nos intervalos]−π
2 , π2
[,]
π2 , 3π
2
[, . . . ,
]−π
2 + kπ, π2 + kπ
[, k ∈ Z.
Restricao principal da tangente
g :]−π
2,π
2
[→ R
x → tg x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 91 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas
f : R \ {π2 + kπ, k ∈ Z} → R
x → tg x33 x
y
Nao e injectiva no seu domınio.
E injectiva nos intervalos]−π
2 , π2
[,]
π2 , 3π
2
[, . . . ,
]−π
2 + kπ, π2 + kπ
[, k ∈ Z.
Restricao principal da tangente
g :]−π
2,π
2
[→ R
x → tg x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 91 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas
f : R \ {π2 + kπ, k ∈ Z} → R
x → tg x33 x
y
Nao e injectiva no seu domınio.
E injectiva nos intervalos]−π
2 , π2
[,]
π2 , 3π
2
[, . . . ,
]−π
2 + kπ, π2 + kπ
[, k ∈ Z.
Restricao principal da tangente
g :]−π
2,π
2
[→ R
x → tg x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 91 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas
f : R \ {π2 + kπ, k ∈ Z} → R
x → tg x33 x
y
Nao e injectiva no seu domınio.
E injectiva nos intervalos]−π
2 , π2
[,]
π2 , 3π
2
[, . . . ,
]−π
2 + kπ, π2 + kπ
[, k ∈ Z.
Restricao principal da tangente
g :]−π
2,π
2
[→ R
x → tg x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 91 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas
f : R \ {π2 + kπ, k ∈ Z} → R
x → tg x33 x
y
Nao e injectiva no seu domınio.
E injectiva nos intervalos]−π
2 , π2
[,]
π2 , 3π
2
[, . . . ,
]−π
2 + kπ, π2 + kπ
[, k ∈ Z.
Restricao principal da tangente
g :]−π
2,π
2
[→ R
x → tg x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 91 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas - Arco-tangente
g−1 : R →]−π
2,π
2
[x → arctg x
y ∈]−π
2,π
2
[e x ∈ R
x = tg y ⇔ y = arctg x .
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 92 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas - Arco-tangente
g−1 : R →]−π
2,π
2
[x → arctg x
y ∈]−π
2,π
2
[e x ∈ R
x = tg y ⇔ y = arctg x .
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 92 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas - Arco-tangente
g−1 : R →]−π
2,π
2
[x → arctg x
y ∈]−π
2,π
2
[e x ∈ R
x = tg y ⇔ y = arctg x .
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 92 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas - Arco-tangente
g−1 : R →]−π
2,π
2
[x → arctg x
y ∈]−π
2,π
2
[e x ∈ R
x = tg y ⇔ y = arctg x .
-4 -2 2 4
�
2
�
2
-
-1
�
4
-
�
4
1 x
y
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 92 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas
f : R \ {kπ, k ∈ Z} → Rx → cotg x
20 x
y
Nao e injectiva no seu domınio.
E injectiva nos intervalos]− π, 0[, ]0, π[, . . . , ]0 + kπ, π + kπ[, k ∈ Z.
Restricao principal da co-tangente
g :]0, π[ → Rx → cotg x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 93 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas
f : R \ {kπ, k ∈ Z} → Rx → cotg x
20 x
y
Nao e injectiva no seu domınio.
E injectiva nos intervalos]− π, 0[, ]0, π[, . . . , ]0 + kπ, π + kπ[, k ∈ Z.
Restricao principal da co-tangente
g :]0, π[ → Rx → cotg x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 93 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas
f : R \ {kπ, k ∈ Z} → Rx → cotg x
20 x
y
Nao e injectiva no seu domınio.
E injectiva nos intervalos]− π, 0[, ]0, π[, . . . , ]0 + kπ, π + kπ[, k ∈ Z.
Restricao principal da co-tangente
g :]0, π[ → Rx → cotg x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 93 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas
f : R \ {kπ, k ∈ Z} → Rx → cotg x
20 x
y
Nao e injectiva no seu domınio.
E injectiva nos intervalos]− π, 0[, ]0, π[, . . . , ]0 + kπ, π + kπ[, k ∈ Z.
Restricao principal da co-tangente
g :]0, π[ → Rx → cotg x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 93 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas
f : R \ {kπ, k ∈ Z} → Rx → cotg x
20 x
y
Nao e injectiva no seu domınio.
E injectiva nos intervalos]− π, 0[, ]0, π[, . . . , ]0 + kπ, π + kπ[, k ∈ Z.
Restricao principal da co-tangente
g :]0, π[ → Rx → cotg x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 93 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas
f : R \ {kπ, k ∈ Z} → Rx → cotg x
20 x
y
Nao e injectiva no seu domınio.
E injectiva nos intervalos]− π, 0[, ]0, π[, . . . , ]0 + kπ, π + kπ[, k ∈ Z.
Restricao principal da co-tangente
g :]0, π[ → Rx → cotg x
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 93 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas - Arco co-tangente
g−1 : R → ]0, π[
x → arccotg x
y ∈]0, π[ e x ∈ R
x = cotg y ⇔ y = arccotg x .
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 94 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas - Arco co-tangente
g−1 : R → ]0, π[
x → arccotg x
y ∈]0, π[ e x ∈ R
x = cotg y ⇔ y = arccotg x .
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 94 / 123
5. Trigonometria
5.9 Funcoes Trigonometricas Inversas - Arco co-tangente
g−1 : R → ]0, π[
x → arccotg x
y ∈]0, π[ e x ∈ R
x = cotg y ⇔ y = arccotg x .
Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 94 / 123