Matem+ítica-prevestibular-2011

Matemtica _________________________________________________________________________________________________________________________

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SEE-AC Coordenao de Ensino Mdio Matemtica 66

*MDULO 1*

Conceitos fundamentais da lgebra

Neste tema, faremos um estudo de conceitos

fundamentais da lgebra.

Potenciao e radiciao

Potncia de expoente inteiro

Sendo um nmero real e um nmero inteiro, definimos:

Na potncia n, o nmero chamado de base da potncia e o nmero chamado de expoente.

Propriedades

Dados os nmeros reais e e os nmeros inteiros e , obedecidas as condies para que existam as potncias, temos:

Um nmero real no nulo est representado em

notao cientfica se est na forma 10m, em que um nmero inteiro e um nmero real tal que 1 k < 10.

Radiciao em

Sendo *, com par, e +, definimos:

Sendo , com mpar, e *, definimos:

Sendo um nmero real qualquer e um nmero natural mpar, temos a propriedade:

No radical

, o nmero chamado de ndice do

radical e o nmero chamado de radicando.

Sendo {n, k, p} * e {, } +, valem as seguintes propriedades:

Potncia de expoente racional

Sendo n e k nmeros inteiros, com n 1, e um nmero real positivo, definimos:

As propriedades das potncias para expoente inteiro

continuam vlidas para expoentes racionais.

Fatorao

Fatorar um polinmio significa represent-Io na forma

de uma multiplicao de fatores. Os principais casos de

fatorao so:

Fator comum: ax + bx = x (a + b)

Agrupamento: ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)

Diferena de quadrados:

a2 b2 = (a + b)(a b)

Quadrado perfeito:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 2ab + b2 = (a b)2

Cubo perfeito:

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

a3 3a2b + 3ab2 b3 = (a b)3

Soma e diferena de cubos:

a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2) a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2)

Razo e proporo

Seja {, , , } * e consideremos que as razes

e

sejam iguais. Assim, a igualdade

=

uma

proporo.

Na proporo

=

, e so chamados de meios e

e so chamados de extremos.

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Na proporo

=

, o produto dos meios igual ao

produto dos extremos; ou seja:

=

=

Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Dadas as sucesses de nmeros reais (,,, ) e (, , , ), dizemos que os elementos de uma so diretamente proporcionais (ou apenas proporcionais)

aos elementos correspondentes da outra se:

Dadas as sucesses de nmeros reais (,,, ) e (, , , ), dizemos que os elementos de uma so inversamente proporcionais aos elementos

correspondentes da outra se:

Porcentagem

As fraes com denominadores 100 so chamadas

fraes centesimais e podem ser representadas pela

porcentagem (%) do seguinte modo:

Mdias

A mdia aritmtica dos nmeros 1, 2, 3, ..., n,

representada por , dada por:

A mdia aritmtica ponderada dos nmeros 1, 2, 3, ..., n, com pesos 1, 2, 3, ..., n, respectivamente, dada por:

Diviso e divisibilidade em

Algoritmo da diviso em

Dados os nmeros inteiros e , com 0, existe uma nica maneira de expressar em funo de na forma = + , com , , e 0 < . Os nmeros e so chamados, respectivamente, de quociente e resto da diviso de por . Quando = 0, dizemos que a diviso exata e que divisvel por .

Mltiplos e divisores em

Dados os nmeros inteiros e , se, na diviso de por , o resto zero, ou seja, se existe um inteiro tal que = , dizemos que mltiplo de . Tambm dizemos que divisor de .

Um nmero inteiro primo se, e somente se, possui exatamente quatro divisores distintos, que

so:

1, 1, e

Os nmeros inteiros no nulos que possuem mais de

quatro divisores so chamados de nmeros

compostos.

Teorema Fundamental da Aritmtica

Todo nmero inteiro composto pode ser expresso na forma:

= 1 2 3 n em que 1, 2, 3, , n so nmeros primos positivos.

Mmc e mdc

O mximo divisor comum (mdc) entre os nmeros

inteiros 1, 2, 3, ..., n, no todos nulos, que indicamos por mdc (1, 2, 3, ..., n), o maior divisor que esses nmeros tm em comum.

O mnimo mltiplo comum (mmc) entre os nmeros

inteiros no nulos 1, 2, 3, ..., n, que indicamos por mmc (1, 2, 3, ..., n), o menor mltiplo positivo que esses nmeros tm em comum.

Se pelo menos um dos nmeros inteiros 1, 2, 3, ..., n igual a zero, definimos: mmc (1, 2, 3, ..., n) = 0

Dois ou mais nmeros inteiros so primos entre si

se, e somente se, o mximo divisor comum entre

eles o nmero 1.

Nmero par e nmero mpar

Um nmero par se, e somente se, existe um nmero tal que = 2.

Um nmero mpar se, e somente se, existe um nmero tal que = 2 + 1.

Equaes do 1 grau

Uma equao na varivel do 1. grau se pode ser representada como:

+ = 0, com , e 0

Resolver essa equao em um universo significa determinar o nmero , com , tal que + = 0.

Dizemos que o nmero raiz da equao ou que soluo da equao ou, ainda, que satisfaz a equao.

O conjunto = {} o conjunto soluo da equao.

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Resoluo de uma equao do 1 grau

Para resolver uma equao do 1. grau + = 0, isolamos a varivel , usando uma ou mais das seguintes propriedades da igualdade de nmeros reais:

P1. Propriedade reflexiva:

=

P2. Propriedade simtrica:

= =

P3. Propriedade transitiva:

= e = =

P4. Propriedade aditiva:

= + = +

P5. Propriedade multiplicativa:

= = , para 0

P6. Propriedade do produto nulo:

= 0 = 0 ou = 0

Equaes do 2 grau

Uma equao na varivel do 2. grau se pode ser representada como:

2 + + = 0, com , , e 0

Resoluo de uma equao do 2 grau

Para resolver uma equao do 2. grau, empregamos

a seguinte frmula:

Note que:

quando < 0, a equao no possui razes reais; quando = 0, a equao possui duas razes reais

iguais;

quando > 0, a equao possui duas razes reais distintas.

Soma e produto das razes

Sendo 1 e 2 as razes de uma equao do 2. grau, 2 + + , temos:

Fatorao do trinmio do 2 grau

Se 1 e 2 so as razes da equao do 2. grau 2 + + = 0, podemos escrever:

Inequaes do 1 grau

Sejam e nmeros reais, com 0. Inequaes do 1. grau so aquelas que podem ser representadas na

forma:

Resoluo de uma inequao do 1 grau

As inequaes com as relaes >, , < ou so resolvidas aplicando-se uma ou mais das seguintes

propriedades:

P1. Vale a propriedade transitiva para as desigualdades:

< e < <

P2. Adicionando-se ou subtraindo-se um mesmo nmero

de ambos os membros de uma desigualdade, o sentido

da desigualdade se mantm.

< + < +

P3. Multiplicando-se ou dividindo-se ambos os membros

de uma desigualdade por um nmero positivo, o sentido

da desigualdade se mantm.

< < , com > 0

P4. Multiplicando-se ou dividindo-se ambos os membros

de uma desigualdade por um nmero negativo, o sentido

da desigualdade fica invertido.

< > , com < 0

Equaes irracionais

Equaes que apresentam a incgnita sob um radical

so chamadas de equaes irracionais.

Resoluo de equaes irracionais

A resoluo desse tipo de equao fundamenta-se

nas propriedades:

= n = n, para quaisquer nmeros reais

, e , desde que existam as potncias n e n.

(

) = , e , com + e *

Propriedade do produto nulo na resoluo de equaes

O produto de dois ou mais nmeros reais

igual a zero se, e somente se, pelo menos um

dos fatores igual a zero.

Essa propriedade muito til na resoluo de

equaes que podem ser representadas na forma de

uma expresso fatorada igualada a zero.

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*********** ATIVIDADES ***********

1. (UPF-RS)

Simplificando a expresso 317 316

6

5

, obtm-se o

valor:

(A) 27 (C) 1

2

5

(E) 3

2

(B) 3

2

5

(D) 3

17

5 3

16

5

6

2. (UFV-MG)

Seja = 2 + 1 5 + 12 5

23 5 + 5 .

1 . Aps simplificar

a expresso, o valor de :

(A) 3

(B) 5

(C) 2

(D) 4

3. (INSPER-SP)

O valor de 2.0092 4

2.0092 + 2.009 2 igual a:

(A) 2.007

2.008 (C)

2.007

2.009 (E)

2.009

2.007

(B) 2.008

2.009

(D) 2.009

2.008

4. (UNIFESP)

Certo dia um professor de Matemtica desafiou seus

alunos a descobrirem as idades , , , em ano, de seus trs filhos, dizendo ser o produto delas igual a 40.

De pronto, os alunos protestaram: a informao

= 40 era insuficiente para uma resposta correta, em vista de terem encontrado 6 ternas de fatores

do nmero 40 cujo produto 40. O professor concordou

e disse, apontando para um dos alunos, que a soma

+ + das idades (em ano) era igual ao nmero que se podia ver estampado na camisa que ele estava

usando. Minutos depois, os alunos disseram continuar

impossvel responder com segurana, mesmo sabendo

que a soma era um nmero conhecido, o que levou o

professor a perceber que eles raciocinavam corretamente

(chegando a um impasse, provocado por duas ternas).

Satisfeito, o professor acrescentou ento duas

informaes definitivas: seus trs filhos haviam nascido

no mesmo ms e, naquele exato dia, o caula estava

fazendo aniversrio. Neste caso, a resposta correta :

(A) 1, 5, 8

(B) 1, 2, 20

(C) 1, 4, 10

(D) 1, 1, 40

(E) 2, 4, 5

5. (UNIOESTE-PR)

Trs scios (aqui denominados A, B e C) montaram um

negcio, sendo que A investiu R$ 8.000,00, B investiu R$

6.000,00 e C investiu R$ 4.000,00. Eles combinaram que

o lucro obtido seria dividido proporcionalmente aos

capitais investidos. Aps algum tempo, verificou-se um

lucro de R$ 7.200,00 a ser distribudo. Pode-se afirmar

que os valores a serem atribudos a A, B e C so,

respectivamente:

(A) R$ 3.500,00, R$ 2.600,00 e R$ 1.100,00

(B) R$ 3.300,00, R$ 2.100,00 e R$ 1.900,00

(C) R$ 2.900,00, R$ 2.500,00 e R$ 1.800,00

(D) R$ 3.200,00, R$ 2.400,00 e R$ 1.600,00

(E) R$ 3.100,00, R$ 2.300,00 e R$ 1.800,00

6. (FUVEST-SP)

Um automvel, modelo flex, consome 34 litros de

gasolina para percorrer 374 km. Quando se opta pelo uso

do lcool, o automvel consome 37 litros deste

combustvel para percorrer 259 km. Suponha que o litro

de gasolina custe R$ 2,20. Qual deve ser o preo do litro

de lcool para que o custo do quilmetro rodado por esse

automvel, usando somente gasolina ou somente lcool

como combustvel, seja o mesmo?

(A) R$ 1,00

(B) R$ 1,10

(C) R$ 1,20

(D) R$ 1,30

(E) R$ 1,40

7. (UDESC)

Resolva a equao: 2

2 1= 1 +

1

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8. (UFV-MG)

Seja o conjunto de nmeros reais que so solues da

equao 1 = 3. O nmero total de

subconjuntos de :

(A) 2

(B) 1

(C) 8

(D) 4

9. (UFV-MG)

A equao 122

7 42=

2

1+ possui:

(A) duas razes racionais.

(B) trs razes racionais.

(C) duas razes irracionais.

(D) trs razes irracionais.

10. (UNIFESP)

Se 1

3 + + 1=

27

37, ento

1

3 + + 2 igual a:

(A) 27

84 (C)

27

38 (E)

64

27

(B) 27

64

(D) 28

37

11. (FUVEST-SP)

Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de

final de ano, devendo cada um contribuir com R$ 135,00

para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola

antes da arrecadao e as despesas permaneceram as

mesmas, cada um dos estudantes restantes teria de

pagar R$ 27,00 a mais. No entanto, o diretor, para

ajudar, colaborou com R$ 630,00. Quanto pagou cada

aluno participante da festa?

(A) R$ 136,00

(B) R$ 138,00

(C) R$ 140,00

(D) R$ 142,00

(E) R$ 144,00

12. (UNIOESTE-PR)

Um produtor rural possui dois audes, A e B, de igual

capacidade, utilizados para armazenagem de gua para

irrigao. Durante o perodo de estiagem, o aude A

estava com 1

4 de sua capacidade e o aude B com

apenas 1

5. Para reduzir custos de manuteno, o produtor

resolveu passar 3

4 da gua do aude B para o aude A e

trabalhar apenas com este ltimo. Aps essa operao,

sendo litros as capacidades destes audes quando

esto cheios, ento, para que o aude A ficasse

completo, faltam:

(A) 3

4 litros (C)

2

3 litros (E)

4

3 litros

(B) 2

5 litros

(D) 3

5 litros

13. (UFAC)

O famoso pingado, mistura de caf com leite, bem

conhecido e consumido em todo o Brasil. As quantidades

de caf e leite que compem a mistura dependem do

gosto pessoal. Considere-se que o caf representa

sempre 25% de qualquer amostra da mistura. Em se

tendo 0,420 litro de leite, a quantidade de caf que se

deve juntar ao leite para se ter uma mistura como a

estabelecida :

(A) 0,100 litro (D) 0,180 litro

(B) 0,200 litro (E) 0,140 litro

(C) 0,150 litro

14. (UFAC)

A afirmao: a grandeza ou varivel inversamente proporcional ao quadrado da grandeza ou varivel , significa dizer que, para alguma constante no nula :

(A) = 2 (D) =

2

(B) =

(E) =

(C) =

________________________________________________ *Anotaes*

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*MDULO 2*

Conjuntos

A teoria dos conjuntos unificou a linguagem em todos

os ramos da Matemtica.

Representao de um conjunto

Na representao tabular, os elementos so

apresentados entre chaves e separados por vrgula

ou por ponto e vrgula.

= {0, 2, 4, 6}

Na representao por um diagrama de Venn os

elementos so simbolizados por pontos interiores a

uma regio plana, delimitada por uma linha fechada

que no se entrelaa.

Os elementos de um conjunto tambm podem ser

descritos por meio de uma propriedade que os

determina.

= { um nmero par menor que 8}

Alguns conjuntos fundamentais

Conjunto unitrio aquele formado por um nico

elemento.

Conjunto vazio aquele que no possui elemento

algum.

Representa-se o conjunto vazio por ou {. }.

Um conjunto finito se for vazio ou se, ao contar

seus elementos um a um, chega-se ao fim da

contagem.

Conjunto infinito todo conjunto que no finito.

Conjunto universo de um estudo, representado por

, aquele ao qual pertencem todos os elementos relacionados a esse estudo.

Conceitos fundamentais

Subconjunto

Um conjunto subconjunto de um

conjunto se todos os elementos de tambm so elementos de . Indicamos esse fato por:

(lemos: est contido em ).

Conjunto das partes

O conjunto das partes de um conjunto , que indicamos por (), o conjunto cujos elementos so todos os subconjuntos de .

Se um conjunto possui elementos, ento () possui 2 elementos.

Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos, e , so iguais se, e somente se, e .

Operaes com conjuntos

A unio de dois conjuntos e , que indicamos por . o conjunto cujos elementos so todos aqueles que pertencem a ou a .

A interseco de dois conjuntos, e , que indicamos por , o conjunto cujos elementos so todos aqueles que pertencem a e a .

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A diferena de dois conjuntos, e , nessa ordem, que indicamos por , o conjunto cujos elementos so todos aqueles que pertencem a e no pertencem a .

Sendo e dois conjuntos tais que , o complementar de em relao a , que indicamos por*CA, o conjunto cujos elementos so todos por**B

aqueles que pertencem a e no pertencem a , ou seja, o conjunto .

Classificao dos nmeros

Conjunto dos nmeros naturais

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, }

Conjunto dos nmeros inteiros

= { , 4, 3,2,1, 0, 1, 2, 3, 4, }

Conjunto dos nmeros racionais

Nmero racional todo aquele que pode ser

representado por uma razo entre dois nmeros inteiros,

sendo o segundo no nulo.

=

e

Conjunto dos nmeros irracionais

Nmero irracional todo nmero que, em sua forma

decimal, uma dzima no peridica, assim:

= { dzima no peridica}

Conjunto dos nmeros reais

Qualquer nmero racional ou irracional chamado

nmero real.

= { nmero racional ou irracional}

ou

=

Relao de incluso entre os conjuntos numricos

Intervalos reais

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*********** ATIVIDADES ***********

1. (UDESC)

Uma editora estuda a possibilidade de relanar a

publicao das obras Helena e Iracema, de Machado de

Assis e de Jos de Alencar, respectivamente. Para isso,

efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que, em

cada 1.000 pessoas consultadas, 395 leram Helena, 379

leram Iracema e 321 no tinham lido nenhuma dessas

obras. Calcule o nmero de pessoas que leu as duas

obras.

2. (UDESC)

Se = { nmero par e 3 < < 10}, = {

divisor natural de 15} e = { mltiplo natural de

5 e < 20}, determine .

3. (UFSCar-SP)

Nas eleies do dia 1. de outubro passado, dos eleitores

que compareceram s urnas em uma determinada

cidade, 29% deles votaram, para prefeito, no candidato

U, 36% no candidato V, 25% no candidato W e os 20.000

eleitores restantes votaram em branco ou anularam seus

votos. Com base nesses dados, pode-se afirmar que o

nmero de eleitores que votou no candidato V foi:

(A) 50.000

(B) 58.000

(C) 72.000

(D) 180.000

(E) 200.000

4. (UDESC)

O que os brasileiros andam lendo?

O brasileiro l, em mdia, 4,7 livros por ano. Este

um dos principais resultados da pesquisa Retratos da

Leitura no Brasil, encomendada pelo Instituto Pr-Livro

ao Ibope Inteligncia, que tambm pesquisou o

comportamento do leitor brasileiro, as preferncias e as

motivaes dos leitores, bem como os canais e a forma

de acesso aos livros.

Fonte: Associao Brasileira de Encadernao e Restauro (adapt.).

Supe-se que, em uma pesquisa envolvendo 660

pessoas, cujo objetivo era verificar o que elas esto

lendo, obtiveram-se os seguintes resultados: 100

pessoas leem somente revistas, 300 pessoas leem

somente livros e 150 pessoas leem somente jornais.

Supe-se ainda que, dessas 660 pessoas, 80 leem livros

e revistas, 50 leem jornais e revistas, 60 leem livros e

jornais e 40 leem revistas, jornais e livros.

Em relao ao resultado dessa pesquisa, so feitas as

seguintes afirmaes:

I. Apenas 40 pessoas leem pelo menos um dos

trs meios de comunicao citados.

II. Quarenta pessoas leem somente revistas e

livros, e no leem jornais.

III. Apenas 440 pessoas leem revistas ou livros.

Assinale a alternativa correta.

(A) Somente as afirmativas I e III so verdadeiras.

(B) Somente as afirmativas I e II so verdadeiras.

(C) Somente as afirmativas I, II e III so verdadeiras.

(D) Somente a afirmativa II verdadeira.

(E) Somente a afirmativa I verdadeira.

5. (UFPel-RS)

Um levantamento epidemiolgico foi realizado em

cinco praias paulistas frequentadas por grande nmero

de famlias com crianas menores de 10 anos. Os

principais aspectos do estudo foram relacionar a

incidncia de doenas gastrintestinais em banhistas com

os ndices de contaminao fecal das praias do litoral

paulista. A pesquisa, feita com 2.100 pessoas, teve por

objetivo detectar o nmero de pessoas com sintomas de

vmitos (V), diarreia (D) e febre (F), conforme o quadro

abaixo.

D F V D e V D e F F e V D, V e F

127

136

137

46

52

51

22

Revista Discutindo Cincia, ano 1, n. 1 (adapt.).

Matemtica _________________________________________________________________________________________________________________________

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Com base nos textos e em seus conhecimentos,

correto afirmar que o nmero de pessoas entrevistadas

que no apresentaram nenhum dos sintomas

pesquisados :

(A) 1.529

(B) 2.078

(C) 1.827

(D) 1.951

(E) 1.929

6. (UFT-TO)

Em uma populao de 400 pessoas foram realizados

exames para detectar a anemia e exames para detectar

a verminose. Dos resultados obtidos observou-se que:

80% das pessoas que possuem anemia possuem

tambm verminose.

50% das pessoas que possuem verminose possuem

tambm anemia.

220 pessoas no possuem nem verminose nem

anemia.

Das 400 pessoas, a porcentagem correspondente ao

nmero de pessoas que possuem anemia :

(A) 30%

(B) 27%

(C) 25%

(D) 32%

(E) 35%

7. (INSPER-SP)

No diagrama abaixo, U representa o conjunto de todos os

alunos de uma escola. Esto tambm representados os

seguintes subconjuntos de U:

Q: alunos da escola que gostam de quiabo;

D: alunos da escola com mais de dezesseis anos de

idade;

P: alunos da escola que gostam do professor Pedro;

M: alunos da escola que gostam de Matemtica.

Em todas as regies do diagrama, identificadas com um

nmero de 1 a 8, h pelo menos um aluno representado.

Ento, correto concluir que:

(A) Se um aluno gosta de quiabo, ento ele no tem

mais do que dezesseis anos.

(B) Pelo menos um aluno que gosta de Matemtica tem

mais do que dezesseis anos e gosta de quiabo.

(C) Se um aluno gosta do professor Pedro, ento ele

gosta de Matemtica.

(D) Todo aluno que gosta de Matemtica e tem mais do

que dezesseis anos gosta do professor Pedro.

(E) Se um aluno com mais de dezesseis anos no gosta

do professor Pedro, ento ele no gosta de quiabo.

8. (INSPER-SP)

Considere as duas afirmaes seguintes, feitas a

respeito de trs conjuntos de nmeros inteiros , e :

1) Se elemento de , ento elemento de .

2) um nmero par pertencente a se, e somente

se, elemento de .

Para que as duas afirmaes sejam verdadeiras para

todo inteiro, os conjuntos , e podem ser dados

por:

(A) A = 3, 4, 5, 10 , B = {3, 4, 5, 10} e C = {3, 4, 5, 10}

(B) A = {3, 4, 5, 10}, B = {3, 4, 10} e C = {4, 10}

(C) A = {3, 10}, B = {3, 4, 5, 10} e C = {4, 10}

(D) A = 3, 10 , B = {4, 10} e C = {4, 10}

(E) A = {3, 10}, B = {3, 4, 10} e C = {4, 5, 10}

9. (UFBA)

Assinale as proposies verdadeiras e some os nmeros

a elas associados. Sobre nmeros reais, correto

afirmar:

(01) O produto de dois nmeros racionais quaisquer

um nmero racional.

(02) O produto de qualquer nmero inteiro no nulo

por um nmero irracional qualquer um nmero

irracional.

(04) O quadrado de qualquer nmero irracional um

nmero irracional.

(08) Se o quadrado de um nmero natural par, ento

esse nmero tambm par.

(16) Todo mltiplo de 17 um nmero mpar ou

mltiplo de 34.

(32) A soma de dois nmeros primos quaisquer um

nmero primo.

(64) Se o mximo divisor comum de dois nmeros

inteiros positivos igual a 1, ento esses

nmeros so primos.

Qual a soma obtida? _____________________________

________________________________________________ *Anotaes*

Matemtica _________________________________________________________________________________________________________________________

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10. (UFF-RJ)

Considere , tal que e so nmeros pares.

Pode-se afirmar que:

(A) ( + 1) mltiplo de 4

(B) mpar

(C) + primo

(D) 2 2 par

(E) ( + 1) mpar

11. (PUC-SP)

O valor de 0,444 :

(A) 0,222...

(B) 0,333...

(C) 0,444...

(D) 0,555...

(E) 0,666...

12. (UNIR-RO)

Sejam = [2,9] e = ] 7, + [. Se um nmero real

no pertence ao conjunto , ento pode-se afirmar

que pertence ao conjunto:

(A) ] , 2]

(B) ] , 2[

(C) [2, +]

(D) ]2, +[

(E) ]7,9]

________________________________________________ *Anotaes*

*MDULO 3*

Introduo ao estudo das funes

A importncia do estudo de funes no especfica

da Matemtica, fazendo parte tambm do universo de

outras cincias, como a Fsica e a Qumica. Quando

lemos um jornal ou uma revista, muitas vezes nos

deparamos com um grfico, que nada mais que uma

relao entre duas grandezas representada

geometricamente.

Sistema de coordenadas

O sistema cartesiano ortogonal de coordenadas

formado por dois eixos, (eixo das abscissas) e

(eixo das ordenadas), perpendiculares entre si no ponto

(origem).

Para localizar um ponto no plano, traamos por as

perpendiculares a e , obtendo nos eixos as

coordenadas de , que so dois nmeros chamados de

abscissa e ordenada do ponto , respectivamente.

Se a abscissa de e a ordenada de , o par

ordenado (, ) representa . Indicamos:

O conceito de funo

Dados dois conjuntos no vazios, e , chama-se

relao de em qualquer conjunto de pares

ordenados (, ) com e .

Matemtica _________________________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________


Sejam e conjuntos no vazios. Uma relao de

em funo se, e somente se, qualquer

elemento de estiver associado, atravs de , a um

nico elemento de . Para indicar que uma

funo de em , adotamos a notao:

: Domnio, contradomnio e conjunto imagem

Dada uma funo : :

O domnio da funo o conjunto = .

O contradomnio da funo o conjunto = .

O conjunto imagem da funo o conjunto formado

pelos elementos de que tm correspondente em ,

ou seja: = { (, ) }.

Imagem de pela funo

Se (, ) pertence a uma funo , dizemos que a

imagem de pela funo . Indicamos esse fato por: = ()

Grfico de uma funo

O grfico de uma funo a reunio de todos os

pontos (, ) do plano cartesiano que pertencem

funo.

Raiz de uma funo

Chama-se raiz (ou zero) de uma funo real de

varivel real, = (), todo nmero do domnio de

tal que = 0.

Graficamente, a raiz de uma funo a abscissa do

ponto em que o grfico cruza o eixo .

Estudo do sinal de uma funo

Uma funo positiva para um elemento de seu

domnio se, e somente se, > 0.

Uma funo negativa para um elemento de seu

domnio se, e somente se, < 0.

Uma funo se anula para um elemento de seu

domnio se, e somente se, = . Nesse caso,

raiz da funo.

Variao de uma funo

Uma funo crescente em um subconjunto do

domnio de se, e somente se, para quaisquer

nmeros 1 e 2 de , tivermos:

2 > 1 (2) > (1)

Uma funo decrescente em um subconjunto

do domnio de se, e somente se, para quaisquer

nmeros 1 e 2 de , tivermos:

2 > 1 (2) < (1)

Uma funo constante em um subconjunto do

domnio de se, e somente se, para qualquer

nmero de , tivermos:

= , sendo uma constante real

Funo par e funo mpar

Uma funo de domnio par se, e somente se:

= (), para qualquer

Assim, as partes do grfico de para 0 e para

0 so simtricas em relao ao eixo .

Uma funo de domnio mpar se, e somente

se:

= (), para qualquer

Assim, as partes do grfico de para 0 e para

0 so simtricas em relao origem do

sistema de eixos.

Matemtica _________________________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________


Funo injetora, sobrejetora e bijetora

Uma funo : injetora se, e somente se,

para quaisquer 1 e 2 do domnio de , for

obedecida a condio:

1 2 1 (2)

Ou seja, injetora se no existirem elementos

distintos do domnio de com a mesma imagem.

Uma funo : sobrejetora se, e somente se,

para todo elemento do conjunto existir no

conjunto tal que = . Ou seja, sobrejetora

se o seu contradomnio coincidir com o seu conjunto

imagem.

Uma funo : bijetora se, e somente se,

injetora e sobrejetora.

Funo composta

Sejam , e conjuntos no vazios e sejam as

funes : e : . A funo composta de

com a funo : tal que:

= ( )() = (())

Funo inversa

A inversa de uma funo bijetora : a funo

1: tal que:

= 1 =

para quaisquer e , com e .

Se uma funo admite inversa, dizemos que ela

invertvel.

Obteno da funo inversa

Se uma funo real de varivel real = ()

invertvel, sua inversa obtida do seguinte modo:

I. Trocamos por e por , obtendo = ().

II. Isolamos a varivel , aps a mudana de

variveis efetuada em (I), obtendo = 1().

*********** ATIVIDADES ***********

1. (MACKENZIE-SP)

Considere as sentenas abaixo, relativas funo

= (), definida no intervalo 3,11

2 e representada,

graficamente, na figura.

I. Se < 0, ento () < 0.

II. (1) + (3) = (4).

III. A imagem de o intervalo [4, 3].

correto afirmar que:

(A) Apenas III verdadeira.

(B) Apenas I e II so verdadeiras.

(C) Apenas I e III so verdadeiras.

(D) Apenas II e III so verdadeiras.

(E) Todas as sentenas so verdadeiras.

2. (VUNESP)

Numa fazenda havia 20% de rea de floresta. Para

aumentar essa rea, o dono da fazenda decidiu iniciar

um processo de reflorestamento. No planejamento do

reflorestamento, foi elaborado um grfico fornecendo a

previso da porcentagem de rea de floresta na fazenda

a cada ano, num perodo de dez anos.

Esse grfico foi modelado pela funo = + 200

+ ,

que fornece a porcentagem de rea de floresta na

fazenda a cada ano , onde , e so constantes

reais. Com base no grfico, determine as constantes ,

e e reescreva a funo com as constantes

determinadas.

Matemtica _________________________________________________________________________________________________________________________

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3. (UFAL)

O tringulo retngulo , regio cinza na figura abaixo,

tem rea igual a 3.

Ento, o valor de () :

(A) 2

(B) 4

(C) 6

(D) 8

4. (UFSCar-SP)

A figura representa, em sistemas coordenados com a

mesma escala, os grficos das funes reais e , com

= 2 e = .

Sabendo que a regio poligonal demarca um trapzio

de rea igual a 120, o nmero real :

(A) 0,5

(B) 1

(C) 2

(D) 1,5

(E) 2

5. (UNIFOR-CE)

O conjunto imagem da funo real de varivel real dada

por = 3 2 + (2 4 + 4) :

(A) +

(B)

(C) 2

3

(D) 2

3 y 4

(E) {4}

6. (UNIFESP)

Uma forma experimental de insulina est sendo injetada

a cada 6 horas em um paciente com diabetes. O

organismo usa ou elimina a cada 6 horas 50% da droga

presente no corpo. O grfico que melhor representa a

quantidade da droga no organismo como funo do

tempo , em um perodo de 24 horas, :

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

7. (INSPER-SP)

Sendo e nmeros reais positivos, sabe-se que a

funo = +

, definida para > 0, assume seu

valor mnimo quando =

.

Um grupo de amigos alugou por R$ 6.000,00 um salo

para fazer uma festa. Este valor ser dividido por todos

que estiverem presentes na festa. Como o dia do

aniversrio de Jos Carlos, um dos integrantes deste

grupo, coincide com o dia da festa, ele decidiu que a

comida ser por conta dele. A empresa que prestar este

servio ir lhe cobrar R$ 15,00 por pessoa presente na

festa. Ento, o nmero de integrantes do grupo de

amigos que minimiza o gasto de Jos Carlos somando o

custo total da comida com a parte dele no aluguel do

salo de:

(A) 5 pessoas

(B) 10 pessoas

(C) 15 pessoas

(D) 20 pessoas

(E) 25 pessoas

8. (FGV-SP)

Sejam e duas funes de em tais que = 2

e = 2 . Ento, o grfico cartesiano da funo

+ (()):

(A) Passa pela origem.

(B) Corta o eixo no ponto (4,0).

(C) Corta o eixo no ponto (6,0).

(D) Tem declividade positiva.

(E) Passa pelo ponto (1,2).

Matemtica _________________________________________________________________________________________________________________________

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9. (INSPER-SP)

Suponha que os trs grficos abaixo estejam na mesma

escala, em que a distncia entre duas marcas

consecutivas sobre os eixos seja igual a 1. Se , e

so as funes nestes trs grficos, respectivamente,

ento (((1))) igual a:

(A) 4 (B) 2 (C) 1 (D) 2 (E) 4

10. (MACKENZIE-SP)

Dada a funo () = + 2, , se (2) = , (3) =

, (4) = e assim por diante, ento o

valor de (102)(1) :

(A) 103 (B) 205 (C) 307 (D) 199 (E) 249

11. (UFMA)

Sendo uma funo par e uma funo mpar, e

sabendo-se que = 2 e 2 = , pode-se

concluir que ( 2) igual a:

(A) 2

(B)

(C) 2

(D)

(E) 2 ________________________________________________ *Anotaes*

12. (FGV-SP)

A figura indica o grfico da funo , de domnio [7,5],

no plano cartesiano ortogonal.

O nmero de solues da equao = 6 :

(A) 2

(B) 4

(C) 5

(D) 6

(E) 7

13. (MACKENZIE-SP)

As funes e , ambas de domnio [0,4], esto

representadas graficamente abaixo. O nmero de

elementos do conjunto soluo da equao = 1

:

(A) 6

(B) 7

(C) 4

(D) 2

(E) 3

14. (UNIFESP)

Seja : uma funo crescente e sobrejetora, onde

o conjunto dos nmeros inteiros. Sabendo-se que

2 = 4, uma das possibilidades para () :

(A) () = 2( 4) (B) () = 6 (C) () = 2 (D) () = (E) = 2

Matemtica _________________________________________________________________________________________________________________________

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15. (UFU-MG)

Considere a funo mpar real de varivel real definida

no intervalo [1,1], cujo grfico est desenhado na figura

abaixo.

Assinale a alternativa que corresponde ao grfico da

funo = 1 , em que 1 a inversa da funo .

(A)

(B)

(C)

(D)

16. (UFT-TO)

Seja : ] , 2] [1, +[ definida por = 2

4 + 3. Ento a funo inversa 1 :

(A) 1 = 2 + 1 (C) 1 = + 1

(B) 1 = + 1

2 (D)

1 = 2 + + 1

17. (UFT-TO)

Cada um dos grficos abaixo representa uma funo

= () tal que : [3, 4]; [3, 4]. Qual deles

representa uma funo bijetora no seu domnio?

(A)

(B)

(C)

(D)

18. (ITA-SP)

Sejam , : tais que par e mpar. Das

seguintes afirmaes:

I. mpar.

II. par.

III. mpar.

(so) verdadeira(s):

(A) Apenas I. (D) Apenas I e II.

(B) Apenas II. (E) Todas.

(C) Apenas III.

________________________________________________ *Anotaes*

Matemtica _________________________________________________________________________________________________________________________

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*MDULO 4*

Funo afim

Algumas funes relacionam duas grandezas em que

a variao de uma proporcional variao da outra.

Quando isso ocorre, dizemos que a funo afim.

A funo afim

Funo afim ou funo polinomial do 1. grau toda

funo do tipo:

O grfico de toda funo afim uma reta. Para

constru-Io, basta representar dois pontos distintos

da funo no plano cartesiano e traar a reta que

passa por eles.

Pontos de interseco do grfico da funo afim com os eixos coordenados

O grfico da funo afim intercepta o eixo no

ponto

, 0 .

O grfico da funo afim intercepta o eixo no

ponto , .

Funo linear

Toda funo da forma = , com ,

chamada funo linear.

O grfico de uma funo linear = uma reta

que passa pela origem do sistema de coordenadas.

Em toda funo linear = , os valores

correspondentes das variveis e so diretamente

proporcionais.

Anlise da funo afim

Taxa de variao

A taxa de variao da funo afim = + a

constante , no nula, obtida da seguinte maneira:

Se duas funes afins tm a mesma taxa de

variao, ento as retas que as representam so

paralelas.

Crescimento e decrescimento

Dada a funo = + , temos:

Estudo do sinal da funo afim

Inequao-produto e Inequao-quociente

Para resolver inequaes-produto ou inequaes-

-quociente, estudamos o sinal de cada funo e

construmos um quadro de sinais, no qual os sinais da

ltima linha so obtidos pela regra de sinais da

multiplicao ou da diviso.

________________________________________________ *Anotaes*

Matemtica _________________________________________________________________________________________________________________________

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*********** ATIVIDADES ***********

1. (MACKENZIE-SP)

Os grficos das funes = + 2 e = + 6 definem,

com os eixos, no primeiro quadrante, um quadriltero de

rea:

(A) 12

(B) 16

(C) 10

(D) 8

(E) 14

2. (UDESC)

Sabemos que a receita total de certo produto

produzido por uma famlia de agricultores dada pela

funo = + 2, em que a quantidade de

unidades do produto. Determine a funo do primeiro

grau, custo total deste produto; sabendo que,

quando a quantidade do produto de 3 unidades, o custo

total de R$ 4,00; e que, quando a quantidade do

produto de 4 unidades, a receita total igual ao custo

total. Faa o esboo do grfico das funes e

.

3. (UFpel-RS)

Muitos brasileiros sonham com empregos formais. Na

falta destes, cada vez mais as pessoas precisam buscar

formas alternativas de conseguir uma renda. Para isso,

uma famlia decidiu montar uma malharia. O grfico

abaixo mostra o custo mensal de produo dessa

empresa.

Sabendo que as peas so vendidas por R$ 19,50 e que

a famlia almeja um lucro mensal de R$ 4.200,00, o

nmero de peas produzidas e vendidas, para atingir

esse fim, dever ser:

(A) 215

(B) 400

(C) 467

(D) 525

(E) 494

(Nota: Admita que o custo para peas

produzidas uma funo afim.)

4. (MACKENZIE-SP)

A figura mostra os esboos dos grficos das funes

() e (), que fornecem os preos que as copiadoras,

e , cobram para fazer cpias de uma folha. Para

fazer 360 cpias, a copiadora cobra:

(A) R$ 7,00 a menos que .

(B) R$ 5,00 a mais que .

(C) R$ 10,00 a menos que .

(D) 3

2 do que cobra .

(E) O mesmo preo cobrado por .

5. (UNIR-RO)

Duas empresas ( e ), locadoras de veculos de

passeio, apresentaram o valor da locao de um mesmo

carro pelos grficos abaixo.

Considere o valor pago, em real, pela locao desse

veculo e a quantidade de quilmetros rodados. A partir

dessas informaes, correto afirmar:

(A) A empresa cobra 0,50 centavos por quilmetro

rodado acrescidos de uma taxa fixa de 50 reais.

(B) A empresa cobra somente a quilometragem

rodada.

(C) Para rodar 400 km, o valor cobrado pela empresa

igual ao cobrado pela .

(D) Para rodar uma distncia de 300 km mais

vantajoso alugar o carro da empresa .

(E) Para rodar uma distncia de 500 km mais

vantajoso alugar o carro da empresa .

________________________________________________ *Anotaes*

Matemtica _________________________________________________________________________________________________________________________

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6. (UFSCar-SP)

O grfico esboado representa a massa mdia, em

quilograma, de um animal de determinada espcie em

funo do tempo de vida, em ms.

Para 0 10 o grfico um segmento de reta.

a) Determine a expresso da funo cujo grfico esse

segmento de reta e calcule a massa mdia do animal

com 6 meses de vida.

b) Para 10 meses, a expresso da funo que

representa a massa mdia do animal, em

quilogramas, =120 1.000

+ 10. Determine o

intervalo de tempo para o qual 10 < () 70.

7. (PUC-SP)

Quantos nmeros inteiros e estritamente positivos

satisfazem a sentena 1

20

1

12 ?

(A) dezesseis

(B) quinze

(C) quatorze

(D) treze

(E) menos de treze

8. (UNESP)

Um laboratrio farmacutico tem dois depsitos, 1 e 2.

Para atender a uma encomenda, deve enviar 30 caixas

iguais contendo um determinado medicamento drogaria

e 40 caixas do mesmo tipo e do mesmo medicamento

drogaria . Os gastos com transporte, por cada caixa

de medicamento, de cada depsito para cada uma das

drogarias, esto indicados na tabela.

A

B

D1 R$ 10,00 R$ 14,00

D2 R$ 12,00 R$ 15,00

Seja a quantidade de caixas do medicamento, do

depsito 1, que dever ser enviada drogaria e a

quantidade de caixas do mesmo depsito que dever ser

enviada drogaria .

a) Expressar:

em funo de , o gasto com transporte para

enviar os medicamentos drogaria ;

em funo de , o gasto com transporte para

enviar os medicamentos drogaria ;

em funo de e , o gasto total para atender

as duas drogarias.

b) Sabe-se que no depsito 1 existem exatamente 40

caixas do medicamento solicitado e que o gasto total

para se atender a encomenda dever ser de

R$ 890,00, que o gasto mnimo nas condies

dadas. Com base nisso, determine, separadamente,

as quantidades de caixas de medicamentos que

sairo de cada depsito, 1 e 2, para cada drogaria,

e , e os gastos e .

9. (UNICAMP-SP)

Na dcada de 1960, com a reduo do nmero de

baleias de grande porte, como a baleia-azul, as baleias

minke antrticas passaram a ser o alvo preferencial dos

navios baleeiros que navegam no hemisfrio sul. O

grfico abaixo mostra o nmero acumulado aproximado

de baleias minke antrticas capturadas por barcos

japoneses, soviticos/russos e brasileiros, entre o final de

1965 e o final de 2005.

Obs.: 41.840 Japo; 34.200 URSS/Rssia; 13.500 Brasil.

Matemtica _________________________________________________________________________________________________________________________

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a) A seguir, trace a curva que fornece o nmero

aproximado de baleias caadas anualmente por

barcos soviticos/russos entre o final de 1965 e o

final de 2005. Indique tambm os valores numricos

associados s letras e para que seja possvel

identificar a escala adotada para o eixo vertical.

b) Calcule o nmero aproximado de baleias caadas

pelo grupo de pases indicado no grfico entre o final

de 1965 e o final de 1990.

10. (UFAC)

Uma pesquisa foi realizada com estudantes do ensino

mdio para saber em qual rea eles pretendem estudar

na Universidade. Os resultados foram os seguintes:

40% pretendem estudar na rea de humanas;

30% querem estudar na rea de tecnologia;

20% optaram por exatas; e

10% no pretendem prosseguir estudando.

Relativamente aos resultados da pesquisa, os que tm

inteno de estudar na rea de exatas representam,

aproximadamente, quanto por cento do universo dos que

pretendem prosseguir estudando?

(A) 22,2%

(B) 20%

(C) 20,5%

(D) 25%

(E) 10%

11. (UFAC)

O Sr. Afonso realizou uma reforma em sua casa e o

entulho produzido foi retirado por uma empresa, que

utilizou caixas coletoras com igual capacidade e deu um

desconto de R$ 10,00 pela retirada de cada caixa de lixo,

a partir da terceira.

Sabendo-se que nessa limpeza foram utilizadas 10

caixas coletoras e que o preo pago pelo servio foi R$

670,00, o valor que essa empresa cobra pela utilizao

de uma caixa coletora igual a:

(A) R$ 70,00.

(B) R$ 65,00.

(C) R$ 75,00.

(D) R$ 55,00.

(E) R$ 85,00.

12. (UFAC)

Uma empresa de terraplanagem, comprometida com a

causa ambiental, usa 10% de borracha de pneus velhos

na produo de cada metro cbico de asfalto. O material

de um pneu aro 15, triturado, equivale, em mdia, a

0,012 m3. Se, em mdia, um pneu aro 13 fornece o

equivalente a 79% do material de um pneu aro 15, a

mdia de pneus aro 13 que essa empresa usa para

asfaltar 7 km de uma estrada, cobrindo-os com uma

camada de 12 m de largura e 7 cm de espessura, mais

prxima de:

(A) 19.600.

(B) 62.025.

(C) 70.000.

(D) 37.500.

(E) 27.600.

13. (UFAC)

Simplificando a expresso (1 5)5 (1 + 5)5

160 5 , obtemos o

valor:

(A) 2 5.

(B) 1.

(C) 1.

(D) 5.

(E) 0.

14. (UFAC)

Dois nmeros e que satisfazem a equao

2 10 = 3

+ so:

(A) = 0 e um inteiro menor que 10.

(B) um inteiro quadrado perfeito e = 0.

(C) = 8 e = 3.

(D) = 27 e um nmero racional.

(E) = 8 e um nmero inteiro negativo.

________________________________________________ *Anotaes*

Matemtica _________________________________________________________________________________________________________________________

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15. (ENEM)

No monte de Cerro Armazones, no deserto de

Atacama, no Chile, car o maior telescpio da superfcie

terrestre, o Telescpio Europeu Extremamente Grande

(E-ELT). O E-ELT ter um espelho primrio de 42 m de

dimetro, o maior olho do mundo voltado para o cu.

Disponvel em: http://www.estadao.com.br,

27 abr. 2010 (adaptado).

Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora

fez uma suposio de que o dimetro do olho humano

mede aproximadamente 2,1 cm.

Qual a razo entre o dimetro aproximado do olho

humano, suposto pela professora, e o dimetro do

espelho primrio do telescpio citado?

(A) 1 : 20

(B) 1 : 100

(C) 1 : 200

(D) 1 : 1.000

(E) 1 : 2.000

16. (ENEM)

Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de

desmatamento, conforme o grco, da chamada

Amaznia Legal, integrada por nove estados.

Disponvel em: www.folhaonline.com.br, 30 abr. 2010 (adaptado).

Considerando-se que at 2009 o desmatamento cresceu

10,5% em relao aos dados de 2004, o desmatamento

mdio por estado em 2009 est entre

(A) 100 km2 e 900 km2.

(B) 1.000 km2 e 2.700 km2.

(C) 2.800 km2 e 3.200 km2.

(D) 3.300 km2 e 4.000 km2.

(E) 4.100 km2 e 5.800 km2.

17. (ENEM)

A classicao de um pas no quadro de medalhas nos

Jogos Olmpicos depende do nmero de medalhas de

ouro que obteve na competio, tendo como critrios de

desempate o nmero de medalhas de prata seguido do

nmero de medalhas de bronze conquistados. Nas

Olimpadas de 2004, o Brasil foi o dcimo sexto colocado

no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de

ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de

medalhas reproduzida a seguir.

Disponvel em: http://www.quadroademedalhas.com.br,


Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de

prata e 10 de bronze, sem alterao no nmero de

medalhas dos demais pases mostrados no quadro, qual

teria sido a classicao brasileira no quadro de

medalhas das Olimpadas de 2004?

(A) 13.

(B) 12.

(C) 11.

(D) 10.

(E) 9.

18. (ENEM)

Os dados do grco foram coletados por meio da

Pesquisa Nacional por Amostra de Domiclios.

Fonte: IBGE. Disponvel em: http://www.ibge.gov.br,


Supondo-se que, no Sudeste, 14.900 estudantes foram

entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuam

telefone mvel celular?

(A) 5.513

(B) 6.556

(C) 7.450

(D) 8.344

(E) 9.536

Matem+ítica-prevestibular-2011

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