1 Pontificia Universidad Católica Argentina Facultad de Derecho y Ciencias Sociales del Rosario Carrera de Martillero, Corredor Inmobiliario y Mobiliario, Administrador de Consorcios y Tasador MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA MATEMÁTICA FINANCIERA : CONCEPTUALIZACIÓN Cuando se dispone de una cierta cantidad de dinero se puede optar: destinarlo al consumo, esto es, comprar bienes y servicios que satisfagan necesidades presentes; o bien postergar el consumo, es decir, invertir ese dinero para recuperarlo en un futuro más o menos próximo, según se acuerde. Pero, para que alguien esté dispuesto a sacrificar parte de su consumo presente, deberá recibir a cambio una compensación económica que le resulte suficientemente atractiva; esto es lo que se conoce como Interés. Así, puede definirse al Interés como: ♦ retribución por el aplazamiento en el tiempo del consumo. o bien ♦ precio por el alquiler o uso del dinero durante un cierto tiempo. Esta compensación económica se exige, entre otras, por tres razones básicas: el riesgo que se asume la falta de disponibilidad que supone desprenderse del capital durante un cierto tiempo
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Matem+ítica Fciera y Estad+¡stica - CUADERNILLO 2.014
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Pontificia Universidad Católica Argentina
Facultad de Derecho y Ciencias Sociales del Rosario
Carrera de Martillero, Corredor Inmobiliario y Mobiliario, Administrador de Consorcios y Tasador
MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA
MATEMÁTICA FINANCIERA : CONCEPTUALIZACIÓN
Cuando se dispone de una cierta cantidad de dinero se puede optar:
destinarlo al consumo, esto es, comprar bienes y servicios que
satisfagan necesidades presentes;
o bien
postergar el consumo, es decir, invertir ese dinero para
recuperarlo en un futuro más o menos próximo, según se acuerde.
Pero, para que alguien esté dispuesto a sacrificar parte de su consumo presente,
deberá recibir a cambio una compensación económica que le resulte
suficientemente atractiva; esto es lo que se conoce como Interés.
Así, puede definirse al Interés como:
♦ retribución por el aplazamiento en el tiempo del consumo.
o bien
♦ precio por el alquiler o uso del dinero durante un cierto tiempo.
Esta compensación económica se exige, entre otras, por tres razones básicas:
el riesgo que se asume
la falta de disponibilidad que supone desprenderse del capital
durante un cierto tiempo
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la pérdida de valor o poder adquisitivo del dinero en el tiempo, lo
cual es más significativo en épocas inflacionarias
La cuantificación de dicha compensación económica (interés) depende de tres
variables, a saber:
• la cuantía del capital invertido
• el tiempo durante el cual se realiza la operación
• la tasa de interés que se pacta.
De lo expuesto o afirmarse que la Matemática Financiera, como su nombre lo
indica, es la aplicación de la Matemática a las finanzas y se centra en el estudio
del valor del dinero en el tiempo a partir de la combinación de tres variables:
capital, tiempo y tasa de interés, brindando así herramientas que permitan
tomar la decisión más correcta a la hora de realizar una inversión.
PORCENTAJE –BONIFICACIÓN - RECARGO
PORCENTAJE (O POR CIENTO)
Concepto
Se llama “porcentaje” o “por ciento” de una cantidad con respecto a otra a la
razón entre la primera y la segunda, expresada en centésimos.
Distintos casos
1º Caso: Determinar una cantidad que sea un tanto por ciento de otra
cantidad dada.
Ejemplo: Calcular el 20% de 550.
20% de 550 = 20% * 550 = 0,20 * 550 = 110
2º Caso: Determinar qué porcentaje representa una cantidad en relación a
otra cantidad dada.
Ejemplo: Calcular qué porcentaje es 2 con respecto a 8.
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Aplicando regla de tres simple:
8==============100% 1==============100%/8 2==============100%/8 * 2 =25% = 0,25 Resumidamente: 2/8 = 0,25 = 25% 3º Caso: Determinar una cantidad conociendo un porcentaje de la misma.
Precio realmente pagado = Precio original – Bonificación
Precio realmente pagado = 320.000 - 16.000
Precio realmente pagado = 304.000
Otra forma de resolverlo, pero abreviadamente:
Precio realmente pagado = 320.000 * (1 – 0,05)
Precio realmente pagado = 320.000 * 0,95
Precio realmente pagado = 304.000
Ejercicios de aplicación:
1. Calcular cuánto debe abonarse por unas mercaderías de $280.000 sobre
las cuales se otorga una bonificación del 4%.
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2. Determinar el importe realmente percibido por un comerciante que
vende mercaderías por $35.200 otorgando una bonificación del 8%.
RECARGO
Concepto
Se llama “recargo” a un cierto porcentaje que se suma a una determinada
cantidad. En las prácticas comerciales, el vendedor le aplica un recargo al
comprador generalmente expresada en un porcentaje del precio de las
mercaderías y ello ocurre cuando le otorga cierto plazo de financiación.
Ejemplo
Sobre unas mercaderías cuyo precio de contado es de $200.000, se aplica un
recargo del 6% por vendérselas a 45 días.
Recargo = 6% de 200.000 = 0,06 * 200.000 = 12.000
Precio realmente pagado = Precio original + Recargo
Precio realmente pagado = 200.000 + 12.000
Precio realmente pagado = 212.000
Otra forma de resolverlo, pero abreviadamente:
Precio realmente pagado = 200.000 * (1 + 0,06)
Precio realmente pagado = 200.000 * 1,06
Precio realmente pagado = 212.000
Ejercicios de aplicación:
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1. Un determinado producto tiene un precio de venta al contado de $82. Si
se pago a 30 días, se cobrará un recargo por financiación del 5%. ¿Cuál es
el precio que debe pagarse en caso de optar por pagarlo a plazo?
2. Un electrodoméstico tiene un precio de $3.200 al contado y se pacta un
4% de recargo por pagarlo a 30 días. ¿Cuál es el precio realmente pagado
a los 30 días?
INTERÉS SIMPLE
Concepto de interés
En una operación comercial o financiera se llama “interés” al beneficio que
recibe una de las partes por haber dado en préstamo a la otra una determinada
cantidad de dinero, durante un cierto tiempo.
Fórmula de interés simple Teniendo en cuenta que el interés generado por un capital es directamente
proporcional a la cuantía de dicho capital, la razón o tasa de interés aplicable y
al tiempo durante el cual se extiende la operación, los problemas de interés
simple se resuelven atizando la fórmula ya conocida:
Is = C * R * T 100* UT donde:
• Is = importe de los intereses generados • C = capital colocado al inicio de la operación • R = razón = tanto por ciento = interés generado por un Capital de $100
durante un período de tiempo
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• i = tasa = tanto por uno = interés generado por un Capital de $1 durante un período de tiempo. Luego i= R/100
• T = n = tiempo durante el cual es colocado el capital. UT
Aclaración: i o R y n deben estar expresados en la misma unidad de tiempo De la fórmula anterior podemos plantear la siguiente: Is = C * R * T = C * i * n 100 UT En efecto: *un capital de $1====== en un período======Is = i (por definición de tasa de interés) *un capital de $C====== en un período======Is = C * i *un capital de $C====== en n períodos======Is = C * i * n Ejercicios de aplicación:
7. Hallar el interés producido por $100.000 que estuvieron colocados
durante 8 meses al 2% mensual.
8. Calcular el importe del interés generado por $250.000 durante un año y
medio al 12% semestral.
Fórmulas derivadas a partir de la de interés simple
Siendo: Is = C * i * n, se tiene que:
• C = Is
i * n • i = Is
C * n • n = Is
C * i
Ejercicios de aplicación:
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3. Determinar el valor del capital que, en cinco años y medio, produjo una
ganancia de $110.880 colocado al 6% trimestral d interés.
4. Determinar en cuántos años se gana un interés de $36.000 con un capital
inicial de $75.000 que genera intereses del 8% cuatrimestral.
5. ¿A qué tasa semestral de interés se colocó un capital de $67.500 que en 3
años se incrementó en $44.500?
6. ¿Cuál es el interés producido por $10.000 colocados al 3% mensual
durante 18 meses?
7. ¿Cuál es el capital que, colocado al 10,5% anual, al cabo de 24 meses
produjo $180 de interés?
8. ¿Cuál será el tiempo de un capital de $10.000 colocado al 10% anual que
produjo $2.000 de interés?
9. ¿Cuál es el tiempo, expresado en años, meses y días, necesario para que
un capital de $1.000 colocado al 8% anual produzca $95 de interés?
10. ¿Cuál será el interés producido por $8.000 colocados al 12% anual
durante un año y cuarto?
11. ¿Cuál será la tasa porcentual a que ha sido colocado un capital de $10.000
si al cabo de dos años y medio produjo $4.000 de interés?
12. ¿Cuál es la ganancia obtenida al colocar un capital de $8.000 durante 3
trimestres al 12% anual?
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MONTO A INTERÉS SIMPLE
Concepto de Monto
Se llama “monto” a la suma del capital inicial más el interés o beneficio
producido por dicho capital.
Fórmula de interés simple
Del concepto de monto se desprende que:
M = C + Is donde:
• M = monto • Is = importe de los intereses generados • C = capital colocado al inicio de la operación
Aclaración: i o R y n deben estar expresados en la misma unidad de tiempo
De la fórmula anterior podemos plantear la siguiente: Is = C * R * T = C * i * n 100 UT En efecto: *un capital de $1====== en un período======Is = i (por definición de tasa de interés) *un capital de $C====== en un período======Is = C * i *un capital de $C====== en n períodos======Is = C * i * n Ejercicios de aplicación:
1) Hallar el interés producido por $100.000 que estuvieron colocados durante 8
meses al 2% mensual.
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2) Calcular el importe del interés generado por $250.000 durante un año y
medio al 12% semestral.
Fórmulas derivadas a partir de la de interés simple
Siendo: Is = C * i * n, se tiene que:
• C = Is
i * n • i = Is
C * n • n = Is
C * i
Ejercicios de aplicación:
1) Determinar el valor del capital que, en cinco años y medio, produjo una
ganancia de $110.880 colocado al 6% trimestral d interés.
2) Determinar en cuántos años se gana un interés de $36.000 con un capital
inicial de $75.000 que genera intereses del 8% cuatrimestral.
3) ¿A qué tasa semestral de interés se colocó un capital de $67.500 que en 3
años se incrementó en $44.500?
4) ¿Cuál es el interés producido por $10.000 colocados al 3% mensual
durante 18 meses?
5) ¿Cuál es el capital que, colocado al 10,5% anual, al cabo de 24 meses
produjo $180 de interés?
6) ¿Cuál será el tiempo de un capital de $10.000 colocado al 10% anual que
produjo $2.000 de interés?
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7) ¿Cuál es el tiempo, expresado en años, meses y días, necesario para que
un capital de $1.000 colocado al 8% anual produzca $95 de interés?
8) ¿Cuál será el interés producido por $8.000 colocados al 12% anual
durante un año y cuarto?
9) ¿Cuál será la tasa porcentual a que ha sido colocado un capital de $10.000 si al cabo de dos años y medio produjo $4.000 de interés?
10) ¿Cuál es la ganancia obtenida al colocar un capital de $8.000 durante 3
trimestres al 12% anual?
INTERÉS COMPUESTO Introducción
En régimen de interés simple, si se coloca un capital de $300.- al 10% anual
durante 2 años se tiene que:
al cabo del primer año= I = 300 . 0,10 .1 = 300. 0,10 = 30, los
cuales se retiran de modo que el capital al inicio del segundo
período sigue siendo $300.-
al cabo del segundo año= I = 300 . 0,10 .1 = 300. 0,10 = 30
Por lo tanto, el interés total obtenido al cabo de los 2 años es de $60.-
Pero, si los intereses producidos al cabo del primer año no se retiran sino que se
capitalizan, es decir, se agregan al capital inicial del segundo período, se tiene
que:
al cabo del primer año= I = 300 . 0,10 .1 = 300. 0,10 = 30, los
cuales se capitalizan de modo que el capital al inicio del segundo
período es de $330.-
al cabo del segundo año= I = 330 . 0,10 .1 = 330. 0,10 = 33
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Por lo tanto, el interés total obtenido al cabo de los 2 años es de $63.-
Concepto de Interés Compuesto
Se dice que un capital se coloca a régimen de interés compuesto anual,
semestral, trimestral, etc., cuando se capitalizan, es decir, se acumulan al mismo
los intereses obtenidos al final de cada año, semestre, trimestre, etc.
Fórmula de monto a interés compuesto
Período Capital al
inicio del
período
Interés del
período
Monto o capital al final del período
1 1 i 1+i
2 1+i (1+i) . i (1+i) +(1+i) . i = (1+i) .(1+i) = (1+i)
n (1+i) (1+i) . i (1+i) + (1+i) . i = (1+i) .(1+i) = (1+i)
Primer período:
• El capital al inicio del período es 1$ (que es el capital original de la
inversión).
• El interés del período es i, ya que la tasa i ha sido definida como el
interés generado por un capital de 1$ en un período.
• El monto es la suma del capital más el interés.
Segundo período:
• El capital al inicio del período es el monto al final del período anterior, es
decir, (1+i).
• El interés del período se obtiene multiplicando el capital inicial por la
tasa de interés, es decir, (1+i) . i.
• El monto es la suma del capital más el interés. Si se toma (1+i) como
factor común queda (1+i)
Período n:
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• El capital al inicio del período es el monto al final del período anterior
que fue (n – 1). Por lo tanto dicho capital inicial es (1+i) .
• El interés del período se obtiene multiplicando el capital inicial por la
tasa de interés, es decir, (1+i) . i.
• El monto es la suma del capital más el interés. Si se toma (1+i) como
factor común queda (1+i) .
Conclusión:
El monto a interés compuesto de un capital inicial de 1$ en n períodos a la tasa i
es: M = (1+i)
Y si el capital inicial, en vez de ser de 1$ es de C$, el monto es: M = C.(1+i)
Factor de capitalización
La expresión (1+i) recibe el nombre de factor de capitalización; en
consecuencia, se puede enunciar sintéticamente que el monto a interés
compuesto es igual al producto del capital inicial por el factor de capitalización.
Observación importante
La fórmula de monto a interés compuesto exige que el período de la tasa y el
número de períodos que dura la operación estén expresados en la misma
unidad que el régimen de capitalización. Ejemplos.
1. Si la capitalización es anual, la tasa debe ser anual y el tiempo debe estar
expresado en años.
2. Si la capitalización es semestral, la tasa debe ser semestral y el tiempo
debe estar expresado en semestres.
Ejemplo: Calcular el monto que se obtiene al depositar $10.000.- al 10% de
interés semestral, sabiendo que esa suma permanece depositada durante 4
semestres.
o M = x
o C = 10.000.-
o i = 0,10 semestral
o n = 4 semestres
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M = C . (1+i)
M = 10.000 . (1+0,10)
M = 14.461
Fórmula de monto a interés compuesto
Del concepto de interés se desprende que:
Ic = M - C donde:
• M = monto • Ic = importe de los intereses generados en régimen de interés compuesto • C = capital colocado al inicio de la operación
Aclaración: i o R y n deben estar expresados en la misma unidad de tiempo
Reemplazando a M por sula fórmula podemos plantear lo siguiente: Ic = C . (1 + i) - C Ic = C . (1 + i) - 1 Fórmulas derivadas del monto a interés compuesto
Los distintos elementos que componen la fórmula del monto a interés
compuesto se pueden calcular utilizando logaritmos.
a) Capital inicial
M = C . (1+i)
C = M (1+i)
Ejemplo: Determinar el capital que dio origen a un monto de $7.400,66 en 10
bimestres al 4% de interés bimestral.
C = x
M = 7.400,66
n = 10 bimestres
i = 0,04 bimestral
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C = M
(1+i) C = 7.400,66
1,04 C = 5.000.-
b) Tiempo
M = C . (1+i)
M = (1+i) C
log M = log (1+i) C
log M n = C log (1+i) n= log M – log C log (1+i)
Ejemplo: Calcular el tiempo durante el cual estuvo colocado un capital de
$8.200.- que, depositado al 8% de interés cuatrimestral, produjo un monto de
$20.649.-
n = x
C = 8.200
i = 0,08 bimestral
M = 20.649
n= log M – log C log (1+i)
n = log 20.649 – log 8.200 log 1,08
n = 4,31490 – 3,91381 0,03342
n = 12 cuatrimestres
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c) Tasa de interés
M = C . (1+i)
M = (1+i) C
M = (1+i) C
M - 1 = i C
Ejemplo: Calcular la tasa de interés a la que se colocó un capital de $10.000.-
que, al cabo de 12 bimestres, produjo un monto de $17.750.-
i = x
C = 10.000
n = 12 bimestres
M = 17.750
i = 17.750 - 1 10.000
i = 0,049 bimestral
EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO
EEjjeerrcciittaacciióónn IInniicciiaall 1.- ¿Cuál de las siguientes opciones es la correcta?
1. El 25% de la mitad de $63.000.- es:
a) $2.520.-
b) S126.000.-
c) $15.750.-
d) $7.875.-
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2. $500.- representan un porcentaje de la suma $7.000.-.Dicho porcentaje es:
a) 0,07%
b) 0,14%
c) 7,14%
d) 1,4%
e) ninguna de las opciones anteriores
3. En un cuatrimestre un capital de $25.000.- produce $750.- de interés si se
lo coloca a plazo fijo al:
a) 0,0075% mensual
b) 0,45% semestral
c) 0,03% cuatrimestral
d) 9% anual
e) ninguna de las opciones anteriores
4. $25.000.- producen $5.000.- de interés en dos meses; ¿qué capital
produce, a la misma tasa, $10.000.- de interés en ocho meses?
a) $50.000.-
b) $100.000.-
c) $200.000.-
d) $150.000.-
e) ninguna de las opciones anteriores
2.- Una persona que tiene un capital de $28.000.000.- colocó una parte del
mismo al 5% mensual y el resto, al 6% mensual, obteniendo un interés total de
$1.570.000.- en un mes. ¿Qué sumas colocó en cada operación?
3.- Cierta suma de dinero colocada a plazo fijo arrojó un monto de $3.900.000.-
durante seis meses a una tasa de interés mensual del 5%. Si se la hubiese
colocado durante diez meses a la misma tasa, el monto hubiese sido de
$4.500.000.- ¿Cuál es la suma que se invirtió inicialmente?
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4.- Hallar la tasa de rendimiento de una operación inmobiliaria mediante la cual
se efectuó una compra de u$s 23.000.- y una venta a los 180 días por u$s 40.000.-
5.- Se quieren reunir $42.000.- con un plazo fijo cuyo capital inicial es de
$30.000.-. Si el interés bancario es del 12% trimestral, ¿cuál es el plazo de
colocación?
EEjjeerrcciittaacciióónn NNºº 11 1.- Calcular el capital final que produjo un capital inicial de $ 12000 que se
colocó durante 7 meses al 18% anual.
2.- Calcular el valor inicial que, en 9 meses, colocado al 8% trimestral produjo
un importe final de $ 40250
3.- ¿Cuál es la tasa bimestral al que se colocaron $ 38650 en 10 bimestres
arrojando como resultado $ 54110?
4.- El 15 de abril se colocaron $ 32000 al 21% anual. Determinar el total retirado
el 15 de diciembre.
5.- Las 2/3 partes del capital de $ 10500 se colocaron durante 6 meses al 10%
anual mientras que el resto del capital se colocó durante el mismo lapso a una
tasa de interés distinta. Si el interés producido por ambas partes del capital es
de $ 560. ¿Cuál es la tasa a la que se colocó la parte restante?
6.- En cuanto tiempo $ 25000 se incrementan en $ 7800 si permanecieron
colocados al 20% anual.
EEjjeerrcciittaacciióónn NNºº 22 1.- Calcular el interés que producen $ 13000 en 9,5 meses al 2% mensual.
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2.- ¿Cuál es el interés producido por $ 14500 en 3 meses al 1,5% mensual?
3.- Calcular el beneficio que se ha ganado una colocación de $ 17000 que
permaneció invertida durante 15 meses al 12% semestral.
4.- Determinar cual es el importe inicial que en 120 días producen $ 1224 de
interés al 18% anual.
5.- Calcular el capital que en 5 meses y 20 días producen $ 1020 de interés al
18% anual.
6.- Si las 2/3 partes de un capital producen $ 3300 de interés en 7 meses y 10
días al 24% anual ¿Cuál es el valor del mencionado capital?
7.- Calcular el capital inicial de un depósito si el duplo del mismo produce, en 5
meses y 20 días un interés de $ 2720 al 18% anual.
8.- El 15 de marzo se coloca la tercera parte de un capital al 20% anual de interés
durante 9 meses. El resto de ese capital se coloca a la misma fecha al 24% anual
el mismo lapso. Si el interés total al 15 de diciembre es de $ 120000 ¿Cuál es el
capital originario?
9.- ¿A qué porcentaje anual se colocaron $ 23000 si en 14 meses ganaron $
5903,33?
10.- ¿A qué tasa de interés anual se colocó un capital de $ 46885 que en 7 meses
y 15 días se incrementó en $ 7032,75?
EEjjeerrcciittaacciióónn NNºº 33
1.- ¿Cuánto puedo retira al cabo de 4 meses habiendo depositado $ 2200 al
1,20% mensual?
a.- Trabajarlo a régimen de interés simple.
b.- Trabajarlo a régimen de interés compuesto.
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2.- Calcular el monto que un ahorrista puede retirar luego de tener depositado $
4000 durante 45 días al 10% anual.
3.- Hace 35 días efectué un depósito que me permite retirar hoy la suma de $
5563,29. La operación se hizo al 12% anual. Se desea saber la suma inicial
invertida y el total de beneficio obtenido.
4.- ¿A qué tasa mensual de interés se colocó un capital de $ 3500 que en un
trimestre produjo un monto de $ 3657,60?
5.- ¿A qué tasa anual de interés se colocó un capital de $ 3000 si en 21 días se
pudo retirar un monto de $ 3022,44?
6.- ¿Cuál es el capital que en 7,5 meses produjo un monto de $ 72875 al 60%
anual de interés?
7.- Calcular el capital que colocado al 66%anual durante 4 meses y 10 días
produjo un monto de $ 43961
EEjjeerrcciittaacciióónn NNºº 44
1.- Las 15/24 partes de un capital de $ 12161,14 fueron impuestas en un régimen
a interés compuesto, con la aplicación de una tasa del 0,078 trimestral.
Paralelamente el resto del importe total que posee el inversionista es ubicado en
otra institución con dos puntos menos de interés pero en este caso a régimen de
interés simple. En el primer caso el tiempo de vigencia de la operación fue de
36,8 quincenas; mientras que en el segundo de 10,2 meses.
Se solicita: averiguar cada uno de los beneficios, el beneficio total, cada uno de
los montos obtenidos y el monto total.
2.- La resta de dos capitales diferentes es igual a $ 80000. Este es dividido en dos
partes desiguales y cada una de ellas es ubicada en una financiera. La primera
ofrece el 0,95% de interés mensual compuesto y la segunda al 15,68% anual
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simple. Ambas colocaciones se producen durante 3 años 7 meses y 19 días,
habiéndose retirado al término del mismo una suma final total de $ 132000.
Utilizar el año comercial.
Determinar:
a.- Los importes individuales de cada capital sometido a inversión.
b.- Verificar lo afirmado en el enunciado.
3.- Se pretende que la cifra final alcanzada por una inversión, tras haber
colocado un capital de $ 15000 a una tasa cuatrimestral compuesta del 4,82%; se
equipare a otra, habiéndose invertido en esta ocasión un capital de $ 17000
durante un lapso de 1 año más 178 días, con la aplicación de una tasa anual
simple del 14,75%. Se necesita conocer el tiempo de exposición necesario a tal
fin (expresarlo en días)
4.- Las 3/5 partes de una suma de dinero fueron impuestas en un régimen de
interés compuesto, con la aplicación de una tasa del 15,8% semestral.
Paralelamente el resto del importe total que posee el inversionista es ubicado en
otra institución con dos punto más de interés (semestral también), pero en este
caso sometido a un régimen de interés simple. En el primer caso el tiempo de
vigencia de la operación fue de 18 quincenas y 12 días; en el segundo de 2,55
cuatrimestres. Se sabe que la diferencia de los intereses arrojados por ambos
capitales fue de $ 4436.
Determinar:
a.- el importe del capital total.
b.- Las cifras parciales del capital.
c.- Los intereses correspondientes a cada porción de capital.
Los montos parciales.
El monto total.
Verificar la afirmación expresada en el último párrafo.
5.- La suma de dos capitales diferentes es igual a $ 10000. Cada una de ellas, es
colocada en diferentes entidades financieras. La primera ofrece el 17,72%
semestral de interés compuesto; y el 6,42% trimestral compuesto la segunda.
22
Ambas sumas de dinero se colocaron en un lapso de 36 meses; habiéndose
retirado al finalizar dicho período, la cifra final total de $ 22000. Definir:
a.- ¿Cuáles son los importes correspondientes a cada uno de los capitales
invertidos?
b.- Compruebe fehacientemente el resultado de la suma de los montos a la que
hace referencia el problema.
6.- Un inversor pretende que uno de sus hijos (A) retire dentro de un año y
medio, la mitad de lo que su otro hijo (B) retirará dentro de 2 años y 4 meses;
para lo cual deposita $ 8000 en total, al 3,36% bimestral compuesto. Se desea
saber:
a.- Que importe inicial fue destinado a cada uno de los beneficiados.
b.- Que cantidad de dinero le corresponderá a cada uno de los hijos, una vez
transcurrido el plazo prefijado.
7.- Si se coloca un capital durante 14 trimestres, se obtienen $22609; mientras
que si es colocado durante 5 trimestres más, el monto que se logra es de $ 30256.
Determinar:
a.- El capital depositado.
b.- La tasa de interés compuesta utilizada a tal fin expresándola con un ritmo
cuatrimestral.
8.- La suma de dos capitales diferentes es igual a $ 30000; cada porción es
ubicada en una institución cambiaria. La primera ofrece el 2,953% de interés
mensual compuesto y la segunda el 25,68% anual simple. Ambas colocaciones
se producen durante 12 trimestres y 23 días, habiéndose retirado al término del
mismo una suma final total de $ 62000.
a.- Se necesita conocer los importes individuales de cada capital sometido a
inversión.
b.- Verificar también lo afirmado en el final del enunciado.
EEjjeerrcciittaacciióónn NNºº 55
23
1.- Se invierten $ 10000 durante 195 días, obteniéndose un monto de $ 12325. Si
se trabajó en régimen de interés simple, aplicando año calendario, calcular:
a.- la tasa diaria.
b.- la tasa cada 65 días.
c.- la tasa anual.
2.- Un comerciante debe saldar una deuda de $ 45000 durante 18 meses. Cuenta
con $ 30000 en efectivo, por lo que concurre a diversas instituciones financieras
para realizar una inversión que le permita reunir la suma mencionada. Calcule
si con alguna de las siguientes operaciones alcanzará su objetivo:
a.- Institución A ofrece una tasa del 2,5% mensual.
b.- Institución B ofrece una tasa del 14% semestral.
c.- Institución C ofrece una tasa del 35% anual.
3.- Un capital de $ 7000 fue colocado al 12% semestral y, simultáneamente otro
capital de $ 10000 se colocó al 8,6% semestral. Si el monto obtenido cuadruplicó
la inversión original, determine cuánto tiempo duró la inversión.
4.- Un capital de $ 3000 es invertido durante 10 meses al 7% bimestral y luego
durante 4 bimestres al 8% bimestral. Determinar la ganancia obtenida y el
capital final.
5.- Determine a qué tasa anual será necesario mantener un depósito de $ 12000,
si se desea ganar en concepto de intereses una suma de $ 953, 42 luego de 145
días de inversión (trabajar con año calendario)
6.- Un capital de $ 19000 fue colocado durante un año al 5% trimestral, luego al
6% trimestral durante determinado tiempo, y finalmente durante 9 meses al
7,5% trimestral. Si el monto alcanzado por la operación fue de $ 38394,19
determine cuánto tiempo duró la segunda etapa (régimen compuesto).
24
7.- Se realiza un depósito en una entidad financiera al 2,5% bimestral. Al cabo
de 8 meses la tasa cambia al 3,5% bimestral y 6 meses más tarde se retira el
depósito. Sabiendo que el importe de los intereses ganados en la segunda etapa
es de $ 2400,08 calcule el valor del capital invertido. (régimen compuesto).
8.- Se invierten $ 1000 durante 60 días a una tasa del 16% anual. Determinar:
a.- beneficio a régimen simple.
b.- monto a régimen simple.
c.- beneficio a régimen compuesto.
d.- monto a régimen compuesto.
9.- Un capital de $ 20000 será invertido durante 4 meses al 2% mensual,
posteriormente se coloca durante 6 meses al 5% trimestral. ¿Cuál es el monto
final obtenido?
a.- Régimen simple.
b.- Régimen compuesto.
DESCUENTO
Operaciones de Descuento Son aquellas en las cuales se recibe en forma inmediata un capital que, de otro
modo, sería disponible dentro de un cierto tiempo. En otras palabras, se puede
decir que se trata de situaciones en las que, por ejemplo, se entregan a terceros
los documentos a cobrar que se tienen y que vencerán dentro de un tiempo,
recibiendo hoy una suma menor a la del importe escrito de tales documentos.
La diferencia entre:
• el valor futuro expresado en los documentos (valor nominal)
y
• el importe menor que se recibe hoy por su canje
25
representa el interés que se abona para poder contar con el dinero
anticipadamente y recibe el nombre de “Descuento”.
Nomenclatura:
• Descuento = D = interés que se abona para poder contar con el dinero
anticipadamente
• Valor nominal = N = valor futuro = valor escrito en el documento y que
tiene implícitos los intereses.
• Valor actual = V = importe que efectivamente se percibe hoy, después de
restarle los intereses al valor futuro.
Fórmulas de Descuento:
Descuento = Valor futuro – Valor presente
Descuento = Valor Nominal – Valor actual
D = N - V De donde se deduce que:
==== N = D+V
==== V= N-D
DESCUENTO COMERCIAL Concepto
Es el interés (simple o compuesto) que se calcula sobre el valor nominal o
futuro de un documento; por lo tanto, aplica una tasa de descuento “d” y no
una tasa de interés. De lo expuesto se deduce que las fórmulas de interés
simple y compuesto y sus derivadas son analógicas a las de este tipo de
descuento.
26
Este tipo de descuento es el que habitualmente se aplica en la práctica por lo
que se lo llama “descuento comercial, simple o usual”.
DESCUENTO COMERCIAL A INTERÉS SIMPLE
Fórmula de descuento comercial a interés simple Dc = N . d . n donde:
• Dc = descuento comercial, es decir, importe de los intereses soportados • N = valor nominal, escrito o futuro del documento • d = tasa de descuento utilizada en interés comercial; se trata de una tasa
adelantada • n = tiempo durante el cual es adelantado el capital.
Fórmulas derivadas a partir de la de descuento comercial en
régimen de interés simple
Siendo: Dc = N . d . n, se tiene que:
• N = Dc d . n
• d = Cc N . n
• n = Dc N . d
Fórmula de valor actual y sus derivadas
Ya dijimos que Dc = N – V; por lo tanto se tiene que:
V = N – Dc
Reemplazando Dc por su fórmula, se tiene que:
V = N – N. d. n
Sacando factor común N:
V = N. (1- d.n)
De donde se desprenden las fórmulas de N, d y n:
N= V 1-d.n
27
Luego: V = N . (1 – d.n) V = 1 – d.n (#1) N V = (1- d.n) N V - 1= -d . n N V – N = - d . n N Multiplicando a ambos miembros de la igualdad por (-1), se tiene: (-1) . V – N = (-1) . (- d . n) N -V + N = d. n N d = N- V N. n n = N - V N. d
DESCUENTO COMERCIAL A INTERÉS COMPUESTO Fórmula de valor actual y sus derivadas
V = N. (1 - d)
De donde se desprenden las fórmulas de N, d y n:
N= V (1-d) (1 - d) = V (#2) N Aplicando raíz enésima a ambos miembros de la igualdad se tiene:
28
(1 - d) = V N d = 1 - V N Volviendo a (#2): (1 - d) = V N Aplicando logaritmo a ambos lados de la igualdad se tiene: log (1- d) = log V N n. log (1-d) = log V N V n= log N log (1 –d)
DESCUENTO RACIONAL Concepto
Es el interés (simple o compuesto) que se calcula sobre el valor actual de un
documento; por lo tanto, aplica una tasa de interés “i” y no una tasa de
descuento.
Este tipo de descuento da lugar a operaciones reversibles: colocando el valor
actual del documento a la tasa de interés “i” durante los “n” períodos que dura
la transacción, ya sea a régimen de interés simple o compuesto, se obtiene el
valor nominal.
Este tipo de descuento es llamado también “descuento matemático” y es el que
en realidad debería aplicarse en la práctica ya que calcula los intereses sobre la
suma de dinero llamada valor actual.
29
DESCUENTO RACIONAL A INTERÉS SIMPLE Fórmula de descuento racional a interés simple Dr = V . i . n donde:
• Dr = descuento racional, es decir, importe de los intereses soportados • V = valor actual del documento • i = tasa de interés; se trata de una tasa vencida • n = tiempo durante el cual es adelantado el capital
Fórmulas derivadas a partir de la de descuento comercial en régimen de interés simple
Siendo: Dr = V . i . n, se tiene que:
• V = Dr
i .n
• i = Dr
V . n
• n = Dr
V . i
Fórmula de valor nominal y sus derivadas
Ya dijimos que Dr = N – V; por lo tanto se tiene que:
V = N – Dr
Reemplazando Dr por su fórmula, se tiene que:
V = N – V. i. n
V + V. i . n = N
Sacando factor común V:
N = V. (1+ i. n)
De donde se desprenden las fórmulas de V, i y n:
V= N (1+ i .n)
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1+ i. n = N V i . n = N -1 V i . n = N - V V n = N - V V . i i = N - V V . n
DESCUENTO RACIONAL A INTERÉS COMPUESTO Fórmula de valor nominal y sus derivadas
N = V. (1+i)
De donde se desprenden las fórmulas de V, i y n:
V= N (1+ i)
(1+ i ) = N V Aplicando raíz enésima a ambos miembros de la igualdad se tiene: (1+ i ) = N (#3) V (1+ i ) = N V i = N - 1 V Volviendo a (#3): (1+ i ) = N V Aplicando logaritmo a ambos lados de la igualdad se tiene:
31
log (1+ i ) = log N V n . log (1+i) = log N V log N n = V log (1+i)
EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE DESCUENTO
Ejercitación Nº 1
1) Calcular cuánto se recibe al descontar 2 meses antes de vencer un documento de
$3.800.- al 18% anual.
a) DCIS
b) DCIC
2) ¿Cuál es el valor actual de un documento firmado por $4.960.- a 45 días de plazo, si
se lo descuenta al 9% trimestral?
a) DCIS
b) DCIC
3) Un documento de $1.400.- se descontó 3 meses antes de vencer recibiendo $1.232.-.
Calcular la tasa que se utilizó para efectuar dicho descuento.
4) ¿Cuántos meses antes de vencer se descontó un documento de $800.- al que se le
aplicó 15% bimestral si el valor recibido fue de $730.-?
5) Un documento de $3.217.- se descontó al 32% anual percibiéndose un valor actual
de $3.199,72. Calcular cuántos días antes de vencer se realizó dicha operación
(aplicar año civil):
a) DCIS
b) DCIC
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Ejercitación Nº 2
1) Calcular cuántos meses antes de vencer se descontó un documento de $4.300.-
sabiendo que se aplicó el 22,5% anual y se recibió un valor de $3.600.-
a) DCIS
b) DCIC
2) Hallar el valor nominal de un documento que vencerá dentro de 35 días al 31%
anual por el que se percibió un valor de $5.800.-
a) DRIS
b) DRIC
3) Calcular la tasa anual que cobraron al descontar por 28 días un documento de
$6.800.- sabiendo que se recibió por el mismo $6.619,20 (aplicar año comercial).
a) DCIS
b) DCIC
4) Un documento vence dentro de 15 días. El mismo se firmó por $2.250.- ¿Cuánto
se recibe hoy si se lo descuenta al 38,5% semestral?
a) DRIS
b) DRIC
5) Hallar la tasa vencida a la que corresponde la tasa adelantada del 7,5% anual.
Ejercitación Nº 3
1) ¿Qué suma se puede recibir hoy si se descuenta un documento de $5.000.- que
vencerá dentro de 7 meses, por el cual se cobra un 10,5% trimestral?
a) DRIS
b) DRIC
2) Un cliente me pagó una deuda comercial con un documento que vence dentro de 45
días y, por necesidades de liquidez financiera, lo descuento en una entidad que me
cobra una tasa del 30% anual entregándome en efectivo la suma de $3.880.-. Se desea
conocer el importe por el cual mi cliente me firmó el documento descontado.
33
3) Calcular a qué tasa mensual se descontó un documento de $3.052.- si 4 meses antes
de vencer permitió obtener un valor actual de $2.800.- (aplicar año comercial).
a) DRIS
b) DRIC
4) Una deuda de $4.138,10 se documentó al 28% anual. Al descontarla, se percibió un
valor de $4.000.- ¿Cuántos días antes de vencer se ha negociado este documento?
5) Por descontar un documento 60 días antes de su vencimiento al 12,5% semestral, he
percibido un valor actual de $5.100.-. ¿Cuál es el valor del documento descontado?
a. DRIS
b. DRIC
6) Calcular la tasa adelantada a la que corresponde una tasa vencida del 8% mensual.
34
ESTADÍSTICA
IMPORTANCIA EN LA VIDA ACTUAL
La fuerte presencia de la Estadística en la sociedad es una realidad que no
puede ignorarse; basta con prestar atención a los medios de comunicación
masiva los cuales utilizan términos estadísticos a diario.
En efecto, si bien surgió como una herramienta útil para los hombres de
Estado, actualmente ha ampliado notablemente su ámbito de aplicación e
interviene en campos muy diversos como la Biología, la Medicina, la
Agronomía, la Sociología, la Psicología aplicada, etc.; también es utilizada en
las encuestas públicas, en los procesos industriales, en el mundo de los
negocios, etc.
SÍNTESIS DE LA EVOLUCIÓN A TRAVÉS DEL TIEMPO
Desde que los pueblos se organizaron como Estados, sus gobernantes
necesitaron estar informados sobre aspectos relativos a la cantidad o
distribución de población, nacimientos o defunciones, producción agrícola o
ganadera, bienes muebles o inmuebles, efectivos militares y muchos otros, con
el objeto de recaudar impuestos o de analizar las condiciones de vida de la
población. Así, la Estadística se convierte en un importante instrumento del
Estado.
Se atribuye a Achenwall (1.719-1.772), profesor de la Universidad de
Göttingen, la introducción del término “Estadística”, que deriva del vocablo
latín “Status”, para designar a esta “ciencia de las cosas que pertenecen al
Estado”.
Hasta el siglo XVIII solo se habla de recuento, es decir, de datos pasivos. Es a
partir del estudio de los juegos de azar de la época (dados, cartas, monedas),
cuando los matemáticos comienzan a cartearse para intercambiar opiniones
sobre las posibilidades de ganar que existían en cada juego, surgiendo así una
rama particular de la Matemática que es el Cálculo de Probabilidad, lo que
35
vino a dar a la Estadística la justificación teórica y los métodos de
investigación.
CONCEPTO
Si bien no existe una única y precisa definición, puede decirse que Estadística
es la disciplina que proporciona técnicas y métodos para la recolección,
sistematización y análisis de datos, convirtiéndose así en una
herramienta útil para la toma de decisiones en situaciones de
incertidumbre.
OBJETIVO
El objetivo de la Estadística es hacer inferencias (predecir, estimar, proyectar,)
acerca de un conjunto de datos generalmente grande, llamado “población”, en
base a la información suministrada por una “muestra”.
RAMAS
La estadística se divide en dos grandes campos que no están separados, ya
que hay que realizar una para poder pasar a la otra. Ellos son la Estadística
Descriptiva y la Estadística Inferencial o Inferencia Estadística.
*Estadística Descriptiva
• Tal como su nombre lo indica, describe un conjunto de datos.
• Se ocupa de las técnicas para recopilar, organizar, presentar y analizar
datos.
• En los estudios descriptivos sólo se pretende mostrar las características
del fenómeno que se quiere estudiar.
• Como ya se señaló, la Estadística Descriptiva no es más que el trabajo
preliminar para la Inferencia Estadística.
*Estadística Inferencial o Inferencia Estadística
• Generaliza para la población las conclusiones a las que arribó la
Estadística Descriptiva, a partir de la muestra.
36
• Va de lo particular, que es la muestra, a lo general, que es la población,
por lo que también se la llama Estadística Inductiva.
ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA
Toda investigación estadística consta de cuatro pasos o etapas a fin de llegar
al enunciado de conclusiones mediante el camino de la inferencia estadística.
1º etapa: Recuento, relevamiento o compilación de datos.
Esta etapa inicial consiste en la recolección de datos referidos a la situación
que se investiga, los cuales generalmente son muy numerosos y brindan
información sobre las características de los individuos pertenecientes a la
población objeto de estudio.
2º etapa: Tabulación y graficación de datos.
En esta etapa, los datos recogidos son convenientemente ordenados,
clasificados, tabulados, es decir, dispuestos en tablas que facilitan la lectura.
También se pueden realizar gráficos, los cuales permiten una interpretación
de los hechos simple y rápida y, por otra parte, pueden conducir a la elección
de los métodos más adecuados para el análisis de los datos.
3º etapa: Medición de datos.
En esta etapa, comienza la elaboración matemática y medición de los datos.
Se observa que los datos tienden a centrarse en torno a ciertos valores
llamados parámetros o medidas de posición (promedio, mediana, modo).
Luego se analiza la dispersión de los datos con respecto a esos valores
centrales. Se definen entonces los parámetros o medidas de dispersión
(desvíos, desviación estándar).
4º etapa: Inferencia estadística.
Después de la medición de los datos, la Teoría de la Probabilidad acude en
ayuda de la Estadística.
Se deducen las llamadas leyes de inferencia que permiten predecir el
comportamiento futuro de la población investigada.
37
POBLACIÓN Y MUESTRA
En el ámbito estadístico se manejan ciertos conceptos claves, a saber:
♦ Población o universo: es el conjunto de todas las observaciones
realizadas; es decir, es el conjunto de todos los individuos que se