spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] w liceum
- matura z matematyki - zadaniamatematyka w przykadach - zadania z
penymi rozwizaniami - arkusze maturalne rozwizane krok po
krokuWitam! Tenfacet na zdjciuoboktoja JakubGrzegorzek. Odkilkulat
pomagamwnaucemate-matyki. Czsto widziaem sytuacj, e czowiek
czytazadaniai ciana. Zupenieniewie, zktrej stronyje ugry. Co wtedy?
Otwierasz mj ebook i szukaszpodobnegozadania. Czytasz rozwizaniei
najegopodstawie prbujesz wymyle swoje. Dlatego zawar-em w ebooku
moliwie du liczb przykadw. Mamnadziej, e znajdziesz, to co szukasz.
Klinij poniej.pom mi spopularyzowa ten ebookMatematykaw liceumspis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] przegldaj strona
po stronie !!!!!Nie uywaj rolki w myszce !!!!!Po tym ebooku naley
porusza si TYLKO klikajc oznaczony na niebiesko tekst.Jak chcesz si
cofn, kliknij niebiesk strzak.Zacznij jeszcze raz. Kliknij
tutajspis trecispis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] treci:liczby i
wyraenia algebraiczne trygonometriazbiory, warto bezwgldna,
indukcja geometria na paszczyniefunkcja i jej wasnoci geometria
analitycznafunkcja liniowa geometria w przestrzenifunkcja
kwadratowa kombinatoryka, prawdopodobiestwo,wielomiany elementy
statystykifunkcje wymiernefunkcja wykadnicza MATURAlogarytmycigi i
ich granice bloggranica funkcji w pom mi spopularyzowa ten
ebookgranica w punkcie i pochodna funkcjiza dua czcionka? jak ja to
napisaem gra w kropki przegldanie drukowanie MatTVkontakt z
autorem: [email protected] luty 2007r.spis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] przegldaj strona
po stronie !!!!!Nie uywaj rolki w myszce !!!!!Po tym ebooku naley
porusza si TYLKO klikajc oznaczony na niebiesko tekst.Jak chcesz si
cofn, kliknij niebiesk strzak.Zacznij jeszcze raz. Kliknij
tutajspis trecispis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 1 2 4ABDla
przedziawA = (3, 2`iB = (1, 4`wyznaczA B, A B, A ` B,B ` A, A
,B
.Zaznaczamy przedziay na osi liczbowej i odczytujemy
rozwizanie:suma: A B = (3, 4`cz wsplna: A B = (1, 2`rnica: A` B =
(3, 1`rnica: B ` A = (2, 4`dopenienie: A
= (, 3` (2, )dopenienie: B
= (, 1` (4, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wymagania maturalne
zdajcy potra: wyznaczy sum, iloczyn, rnic, dopenienieprzedziaw
liczbowych oraz innych podzbiorw zbioruliczb rzeczywistych Dla
przedziaw A = (3, 2` i B = (1, 4` wyznacz A B, A B, A` B, B `
A,A
, B
.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz
i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 52 52 52
525Przedziay liczbowePrzykady:'2, 5` Przedzia obustronnie domknity,
zawiera liczby od 2 do 5.(2, 5) Przedzia obustronnie otwarty,
zawiera liczby od 2 do 5, bez 2 i 5.'2, 5) Przedzia lewostronnie
domknity, zawiera liczby od 2 do 5,bez 5.(2, 5` Przedzia
prawostronnie domknity, zawiera liczby od 2 do 5,bez 2.Nawiasy przy
zawsze okrge'2, ) Przedzia lewostronnie domknity, zawiera liczby
wikszelub rwne 2.(, 5) Przedzia prawostronnie otwarty, zawiera
liczby mniejsze od 5.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 2 3 4AB1 2 3 4AB1
2 3 4AB1 3AA
A
Dziaania na przedziaachsuma: A BSuma przedziaw A i Bto przedzia
zawierajcy wszystkie liczby z przedziaw A i B.przykad:A = (1, 3) B
= (2, 4) A B = (1, 4)cz wsplna (iloczyn): A BCz wsplna przedziaw A
i Bto przedzia zawierajcy liczby wsplne dla przedziaw Ai
B.przykad:A = (1, 3) B = (2, 4) A B = (2, 3)Rnica : A` BRnica
przedziaw A i Bto przedzia zawierajcy liczby nalece do przedziau A,
ale nienalece do przedziau B.przykad:A = (1, 3) B = (2, 4) A` B =
(1, 2`Dopenienie: A
DopenienieprzedziauAtoprzedzia lubsumaprzedziawzawierajcaliczby,
ktrenienale do przedziau A.przykad:A = (1, 3) A
= (, 1` '3, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wymagania maturalne
zdajcy potra: zaznacza na osi liczbowej zbiory opisaneza pomoc rwna
i nierwnoci z wartoci bezwzgldntypu: [x a[ = b, [x a[ < b, [x a[
> bRozwi rwnania: [x[ = 3[x + 1[ = 2[x 3[ = 0 [x + 4[ = 5
(x + 5)2= 4Rozwi nierwnoci: [x[ < 3[x 4[ < 2[8 2x[ 4 [x[
> 2[2x 6[ ` 4spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] rwnanie:[x[ =
3Warto bezwzgldna z 3 i 3 jest rwna 3, a wic:x = 3 lub x = 3spis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] rwnanie:[x +
1[ = 2Warto bezwzgldna z 2 i 2 jest rwna 2, a wic:x + 1 = 2 lub x +
1 = 2x = 2 1 x = 2 1x = 3 x = 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj
do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i
k [email protected] rwnanie:[x
3[ = 0Warto bezwzgldna tylko z 0 jest rwna 0, a wic:x 3 = 0x =
3spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] rwnanie:[x +
4[ = 5Warto bezwzgldna nie moe by ujemna, a wic rwnanie nie
marozwizania.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] rwnanie:
(x + 5)2= 4Zgodnie ze wzoremx2= [x[ moemy napisa
(x + 5)2= [x + 5[.[x + 5[ = 4Warto bezwzgldna z 4 i 4 jest rwna
4, a wic:x + 5 = 4 lub x + 5 = 4x = 4 5 x = 4 5x = 9 x = 1spis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 330 55warto
bezwzgldnawarto bezwzgldna z dowolnej liczby jest dodatnia lub rwna
zero.[x[ =
x gdy x ` 0x gdy x < 0przykady:[4[ = 4 [ 4[ = 4 [0[ = 0[ 5[ =
5 [12[ =12interpretacja geometryczna wartoci bezwzgldnejwarto
bezwzgldna liczby jest rwna jej odlegoci od zera na osi
liczbowejprzykady:[ 3[ = 3 [5[ = 5wasnoci wartoci bezwzgldnej[x[ `
0 [ x[ = [x[x2= [x[[xy[ = [x[[y[ [x[ = [y[ x = y lub x = y
xy
=|x||y|[x +y[ [x[ +[y[spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 3Rozwi
nierwno:[x[ < 3Nierwno z wartoci bezwzgldn mona zastpi ukadem
nierwnoci bez wartoci bez-wzgldnej.x < 3 i x > 3Rozwizaniem
jest cz wsplna przedziaw:x (3, 3)spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 6Rozwi nierwno:[x
4[ < 2Nierwno z wartoci bezwzgldn mona zastpi ukadem nierwnoci
bez wartoci bez-wzgldnej.x 4 < 2 i x 4 > 2x < 2 + 4 x >
2 + 4x < 6 x > 2Rozwizaniem jest cz wsplna przedziaw:x (2,
6)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 6Rozwi nierwno:[8
2x[ 4Nierwno z wartoci bezwzgldn mona zastpi ukadem nierwnoci bez
wartoci bez-wzgldnej.8 2x 4 i 8 2x ` 42x 4 8 2x ` 4 82x 4 / : (2)
2x ` 12 / : (2)x ` 2 x 6Rozwizaniem jest cz wsplna przedziaw:x '2,
6`spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 2Rozwi
nierwno:[x[ > 2Nierwno z wartoci bezwzgldn mona zastpi ukadem
nierwnoci bez wartoci bez-wzgldnej.x > 2 lub x < 2Rozwizaniem
jest suma przedziaw:x (, 2) (2, )spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 5Rozwi nierwno:[2x
6[ ` 4Nierwno z wartoci bezwzgldn mona zastpi ukadem nierwnoci bez
wartoci bez-wzgldnej.2x 6 ` 4 lub 2x 6 42x ` 4 + 6 2x 4 + 62x ` 10
/ : 2 2x 2 / : 2x ` 5 x 1Rozwizaniem jest suma przedziaw:x (, 1`
'5, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz
i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
funkcjiFunkcjaf: X Y toprzyporzdkowanie,ktrekademuelementowi
zbioruXprzypo-rzdkowuje dokadnie jeden element ze zbioru Y .x -
argumenty (liczby nalece do X)y- wartoci (liczby naleace do Y
)Funkcj przedstawiamy najczciej za pomoc wzoru lub wykresu.Moliwe
zapisy wzoru funkcji:y = x2f(x) = x2spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 5 xyDziedzina
funkcjiDziedzinafunkcji tozbirzawierajcywszystkieliczby,
ktremoemypodstawidowzorufunkcji. Moemy j te odczyta z wykresu
funkcji.Oznaczenia: D DfXPrzykady:y = x D = '0, ), poniewa nie mona
pierwiastkowa liczb ujemnych.y =1xD = R` 0, poniewa nie mona dzieli
przez 0 (1x= 1 : x).D = '2, 5)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj
do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i
k [email protected]
matematycznex '0, ) x naley do przedziau '0, )R liczby rzeczywiste,
czyli wszystkie jakie znaszx R` 0 x naley do liczb rzeczywistych
oprcz 0.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wartoci
(przeciwdziedzina)Zbir wartoci to zbir zawierajcy wszystkie liczby,
ktre moemy otrzyma ze wzoru funkcji.Moemy go te odczyta z wykresu
funkcji.Oznaczenia: D1YWfPrzykady:y = x2D1= '0, ), poniewa podnoszc
do kwadratuotrzymujemy liczby nieujemne.y = x + 1 D1= R, poniewa
moemy otrzyma dowoln liczbwstawiajc odpowiedni za x.D1= '2, 4)spis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
zeroweMiejsce zerowe to liczba, ktra podstawiona do wzoru funkcji
daje warto rwn 0. Miejscezerowe moemy te odczyta z wykresu
funkcji.Przykady:y = x + 2 x0 = 2, poniewa podstawiajc 2 za x
otrzymujemy 0.y = 2x 6 x0 = 3, poniewa podstawiajc 3 za x
otrzymujemy 0.x0 = 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected](x1)f(x2)xyx2x1f(x2)f(x1)xycMonotonicznoMonotoniczno
oznacza najczciej, e funkcja jest rosnca, malejca lub
staa.Przykady:Funkcja Denicjarosnca: Dla kadego x1< x2: f(x1)
< f(x2)Funkcja Denicjamalejca: Dla kadego x1< x2: f(x1) >
f(x2)Funkcja Denicjastaa: Dla kadego x: f(x) = cspis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
31RnowartociowoFunkcja jest rnowartociowa, jeeli nie ma takich dwch
liczb, dla ktrych warto funkcjiwynosi tyle samo.Przykady:funkcja
rnowartociowafunkcja nie jest rnowartociowa, poniewadla 4 i 3 warto
wynosi tyle samo.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected], denicje,
twierdzenia:PodstawyFunkcja kwadratowaWielomianyFunkcje
wymierneFunkcja wykadniczaLogarytmyCigi i ich graniceGranica i
pochodna funkcjiTrygonometriaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] czcionka
wydaje ci si zbyt dua, zmie rozmiar okna. Kliknij w prawym grnym
rogui wskanikiem myszki przecignij prawy dolny rg. Wraz z rozmiarem
okna zmienisz rozmiartekstu.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 32xy-5
5-44Parzysto i nieparzystoFunkcjajest parzysta, jeeli
dladowolnychliczbprzeciwnychwartofunkcji wynosi tylesamo. Lewa
strona wykresu jest odbiciem prawej.f(x) = f(x)Funkcja parzysta,
poniewa dla liczb przeciwnych(np 3, 3) warto wynosi tyle
samo.Funkcja jest nieparzysta, jeeli dla dowolnych liczb
przeciwnych wartoci funkcji s te prze-ciwne. Lewa strona wykresu
jest odwrconym odbiciem prawej.f(x) = f(x)Funkcja nieparzysta,
poniewa dla liczb przeciwnych(np 5, 5) wartoci te s
przeciwne.dalejspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] nie jest
ani parzysta, ani nieparzysta.Tak jest z wikszoci funkcji.spis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
funkcjiFunkcja jest okresowa, jeeli jej wykres da si podzieli na
nieskoczenie wiele identycznychczci.Okres funkcji - dugo jednej
czci na jakie zosta podzielony wykres.spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wymagania
maturalne zdajcy potra: okrela z wykresu funkcji: dziedzin,zbir
wartoci, warto majc dany argument, argument majcdan warto, miejsca
zerowe, przedziay monotonicznoci, zbirdla ktrych wartoci s dodatnie
(ujemne), najmniejszi najwiksz warto funkcji
Dlapowyszychfunkcji okrel dziedzin, zbir wartoci, miejscazerowe,
monotoniczno,rnowartociowo, parzysto, okresowo.spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] dziedzin
funkcji.f(x) = 3x + 9Rozwizanie:Wyznaczamy dziedzin wiedzc, e liczb
ujemnych nie moemy pierwiastkowa.3x + 9 ` 03x ` 9 / : 3x ` 3Odp. D
= '3, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] dziedzin
funkcji.f(x) = 4 2xRozwizanie:Wyznaczamy dziedzin wiedzc, e liczb
ujemnych nie moemy pierwiastkowa.4 2x ` 02x ` 4 / : (2)x 2Odp. D =
(, 2`spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz
i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] dziedzin
funkcji.f(x) =52x + 6Rozwizanie:dziedzina funkcjiMianownik nie moe
by rwny 0, poniewa nie wolno dzieli przez 0.2x + 6 = 02x = 6 / : 2x
= 3Odp. D = R` 3spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] dziedzin
funkcji.f(x) =4x(x + 3)Rozwizanie:dziedzina funkcjiMianownik nie
moe by rwny 0, poniewa nie wolno dzieli przez 0.x(x + 3) = 0x = 0
lub x + 3 = 0x = 3Odp. D = R` 0, 3spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]:dziedzina
D = Rzbir wartoci D1= (, 3`miejsce zerowe x0 3 lub x0 1,
5monotoniczno funkcja jest przedziaami monotonicznarosnca w
przedziale (, 1)malejca w przedziale (1, )rnowartociowo funkcja nie
jest rnowartociowaparzysto funkcja nie jest ani parzysta ani
nieparzystaokresowo funkcja nie jest okresowaspis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]:dziedzina
D = '3, 4)zbir wartoci D1= '4, 3`miejsce zerowe x0 2 lub x0 =
3monotoniczno funkcja jest przedziaami monotonicznamalejca w
przedziale '3, 1)staa w przedziale (1, 1)rosnca w przedziale (1,
4)rnowartociowo funkcja nie jest rnowartociowaparzysto funkcja nie
jest ani parzysta ani nieparzystaokresowo funkcja nie jest
okresowaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]:dziedzina
D = '3, )zbir wartoci D1= '4, )miejsce zerowe x0 2, 1 lub x0 = 0
lub x0 2, 1monotoniczno funkcja jest przedziaami monotonicznarosnca
w przedziale '3, 1)malejca w przedziale (1, 1)rosnca w przedziale
(1, )rnowartociowo funkcja nie jest rnowartociowaparzysto funkcja
nie jest ani parzysta ani nieparzystaokresowo funkcja nie jest
okresowaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]=2x+3a >
0xy11y=13x+1a < 0xy12y = 2a = 0xyfunkcja liniowafunkcja liniowa
to funkcja dana wzoremy = ax +ba wspczynnik kierunkowymonotoniczno:
a > 0 rosnca a < 0 malejca a = 0 staab wsprzdna punktu
przecicia z osi Oy: (0, b)wykres funkcji liniowej:wspczynnik
kierunkowy:a = 2 a = 13a = 0monotoniczno:rosnca malejca staapunkt
przecicia wykresu z osi Oy:(0, 3) (0, 1) (0, 2)spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]=2x1y=2x+2xy113y=12x1y=2x3xyproste
rwnolege i prostopadeProste rwnolege majten sam wspczynnik
kierunkowy.Proste prostopade majwspczynniki kierunkowe speniajce
wzr:a1a2 = 1np. 2 12= 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wymagania maturalne
zdajcy potra: podawa wzr funkcji liniowej o zadanychwasnociach
Znajd rwnanie funkcji liniowej, ktrej wykres jest rwnolegy do y =
2x+4 i przechodziprzez punkt A(3, 7).Znajd rwnanie funkcji
liniowej, ktrej wykres jest prostopady do y = 3x2 i przechodziprzez
punkt A(6, 3).spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] -11-2-5xyDla
funkcjiy = 3x 2narysuj wykres, podaj dziedzin, zbir wartoci,
miejsce zerowe, monotoniczno.Rozwizanie:Dla wybranych dowolnie x
np. 1,0,1 liczymy y:x = 1 y = 3(1) 2 = 3 2 = 5x = 0 y = 30 2 = 2x =
1 y = 31 2 = 1x 1 0 1y 5 2 1dziedzina D = Rzbir wartoci D1=
RMiejsce zerowe liczymy wstawiajc 0 za y.0 = 3x 23x = 2/ : (3)x0
=23monotoniczno funkcja jest rosncaspis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] rwnanie
funkcji liniowej, ktrej wykres jest rwnolegy do y = 2x + 4 i
przechodziprzez punkt A(3, 7).Rozwizanie:y = ax +bMusimy znale a i
b.a = 2, poniewa szukana funkcja jest rwnolega do y = 2x + 4.y = 2x
+bWstawiajc do rwnania wsprzdne A(3, 7) znajdujemy b.7 = 23 +b7 6 =
bb = 1Odp. y = 2x + 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] rwnanie
funkcji liniowej, ktrej wykres jest prostopady do y = 3x 2 i
przechodziprzez punkt A(6, 3).Rozwizanie:y = ax +bMusimy znale a i
b.Wspczynnik kierunkowy a liczymy ze wzoru.a1 a2= 13a = 1/ : 3a =
13y = 13x +bWstawiajc do rwnania wsprzdne punktu A(6, 3) znajdujemy
b.3 = 136 +b3 = 2 +b3 + 2 = bb = 5Odp. y = 13x + 5spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
wektorwWektor rysujemy w postaci strzaki. w = [a, b]Rysowanie
wektora:Zaznaczamy pocztek w dowolnym miejscu. Na podstawie
wsprzdnych [a, b] znajdujemykoniec.Przykady:[2, 3] 2 w prawo 3 do
gry[3, 1] 3 w prawo 1 do gry[2, 1] 2 w lewo 1 do gry[3, 2] 3 w
prawo 2 do dou[0, 2] 2 do gry[3, 0] 3 w lewospis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wykresu
funkcjiWykres funkcjif(x a) +botrzymujemy przez narysowanie funkcji
f(x) i przesuniciu jej o wektor [a, b].Przykady:y = [x 3[ + 2
rysujemy y = [x[ i przesuwamy o wektor [3, 2]y = (x 2)24 y =x2[2,
4]y = (x + 1)3+ 2 y =x3[1, 2]y = (x + 5)23 y =x2[5, 3]y = x2+ 1 y
=x2[0, 1]y = (x 2)2y =x2[2, 0]y =2x+31 y=2x[3, 1]Pierwsza wsprzdna
wektora ma przeciwny znak ni liczba przy x, druga wsprzdna maznak
taki sam jak liczba na kocu.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] Narysuj wykres
funkcji: y = (x 2)2+ 1y = (x + 4)3 y =1x+1 2 y = [x 3[ + 2spis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wykres
funkcji:y = (x 2)2+ 1Rozwizanie:Wykres y = (x 2)2+ 1 otrzymujemy
przez przesunicie y = x2o wektor [2, 1].x -2 -1 0 1 2y = x24 1 0 1
4spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wykres
funkcji:y = (x + 4)3Rozwizanie:Wykres y = (x + 4)3otrzymujemy przez
przesunicie y = x3o wektor [4, 0].x -2 -1 0 1 2y = x3-8 -1 0 1
8spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wykres
funkcji:y =1x + 1 2Rozwizanie:Wykres y =1x+12 otrzymujemy przez
przesunicie y =1xo wektor [1, 2].x -2 -1 -12121 2y =1x-12-1 -2 2
112spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wykres
funkcji:y = [x 3[ + 2Rozwizanie:Wykres y = [x 3[ + 2 otrzymujemy
przez przesunicie y = [x[ o wektor [3, 2].x -2 -1 0 1 2y = [x[ 2 1
0 1 2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz
i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] = b 2ax2 = b
+2ax1 = b2aRwnanie kwadratoweax2+bx +c = 0 a = 0Najpierw liczymy
(delta). = b24acPierwiastki rwnania kwadratowego liczymy w zalenoci
od znaku delty. > 0 dwa pierwiastki = 0 jeden pierwiastek < 0
nie ma pierwiastkwPierwiastki rwnania ax2+bx+c =0 s miejscami
zerowymi funkcji kwadratowejy = ax2+bx +c.spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] skrconego
mnoeniaWzry: Przykady:(a +b)2= a2+ 2ab +b2(x + 3)2= x2+ 2x3 + 32==
x2+ 6x + 9(a b)2= a22ab +b2(3x 4)2= (3x)223x4 + 42== 9x224x + 16(a
b)(a +b) = a2b2(3x 2)(3x + 2)= (3x)222= 9x24x29= (x 3)(x + 3)x25=
(x 5)(x +5)(a +b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+b3(x + 2)3= x3+ 3x2 2 + 3x22+
23== x3+ 6x2+ 12x + 8(a b)3= a33a2b + 3ab2b3(2x 1)3= (2x)33(2x)2
1++32x1213== 8x312x2+ 6x 1a3+b3= (a +b)(a2ab +b2) x3+ 27= x3+ 33==
(x + 3)(x23x + 9)a3b3= (a b)(a2+ab +b2) x35= x3(35)3== (x
35)(x2+35x +325)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wymagania maturalne
zdajcy potra: rozwizywa rwnania kwadratowe z jednniewiadomrozwi
rwnania: x24 = 02x216 = 0x2+ 9 = 0 x23x = 02x2+ 6x = 0rozwi
rwnania: x24x 5 = 0x2+ 6x + 9 = 0x2+ 2x + 5 = 0 x2+ 3x + 4 = 02x2+
3x 1 = 0spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] rwnanie:x24 =
0Rozwizanie:x24 = 0x2= 4x = 2 lub x = 2spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] rwnanie:2x216
= 0Rozwizanie:2x216 = 02x2= 16/ : 2x2= 8x = 8 lub x = 8x = 42 x =
42x = 22 x = 22spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] rwnanie:x2+ 9
= 0Rozwizanie:x2+ 9 = 0x2= 9rwnanie nie ma rozwizaniaspis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] rwnanie:x23x =
0Rozwizanie:x23x = 0x(x 3) = 0x = 0 lub x 3 = 0x = 3spis treciwicej
w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] rwnanie:2x2+
6x = 0Rozwizanie:2x2+ 6x = 0x(2x + 6) = 0x = 0 lub 2x + 6 = 02x =
6/ : (2)x = 3spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] rwnanie:x24x 5
= 0Rozwizanie:x24x5 = 0Korzystamy ze wzorw na pierwiastki rwnania
kwadratowego.a = 1 b = 4 c = 5 = (4)241(5) = 16 + 20 = 36 = 36 =
6x1 = (4) 621=4 62= 22= 1x2 = (4) + 621=4 + 62=102= 5spis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] rwnanie:x2+ 6x
+ 9 = 0Rozwizanie:x2+ 6x + 9 = 0Korzystamy ze wzorw na pierwiastki
rwnania kwadratowego.a = 1 b = 6 c = 9 = 62419 = 36 36 = 0x1 =621=
62= 3spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz
i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] rwnanie:x2+ 2x
+ 5 = 0Rozwizanie:x2+ 2x + 5 = 0Korzystamy ze wzorw na pierwiastki
rwnania kwadratowego.a = 1 b = 2 c = 5 = 22415 = 4 20 = 16rwnanie
nie ma pierwiastkwspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] rwnanie:x2+ 3x
+ 4 = 0Rozwizanie:x2+ 3x + 4 = 0Korzystamy ze wzorw na pierwiastki
rwnania kwadratowego.a = 1 b = 3 c = 4 = 324(1)4 = 9 + 16 = 25 = 25
= 5x1 = 3 52(1)= 82= 4x2 = 3 + 52(1)=22= 1spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] rwnanie:2x2+
3x 1 = 0Rozwizanie:2x2+ 3x1 = 0Korzystamy ze wzorw na pierwiastki
rwnania kwadratowego.a = 2 b = 3 c = 1 = 3242(1) = 9 + 8 = 17 =
17x1 = 3 1722= 3 174x2 = 3 +1722= 3 +174spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
kwadratowawzory, twierdzenia, denicjeRwnanie kwadratowePosta oglna,
kanoniczna, iloczynowaWykres funkcji kwadratowejNierwnoci
kwadratowerozwizane zadaniaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected], warto
bezwzgldna, indukcjawzory, twierdzenia, denicjezbiorydziaania na
zbiorachwasnoci dziaa na zbiorachzbiory liczboweprzedziay
liczbowedziaania na przedziaachzdanie w logicekwantykatoryrachunek
zdaprawa logicznewarto bezwzgldnaodlego liczb na osi
liczbowejindukcja matematycznarozwizane zadaniaspis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] oglna,
kanoniczna, iloczynowaPosta oglna: przykady:y = ax2+bx +c y = 3x2+
5x 2y = 4x2+ 6xy = x2+ 5Posta kanoniczn otrzymujemy liczc najpierw
delt, a nastpnie p i q.y = a(x p)2+q y = 6(x + 3)24y = 2(x 5)2p =
b2aq = 4ay = x2+ 3Postailoczynowotrzymujemyzpostaci oglnej
poobliczeniupierwiastkw. Jej wygldzaley od delty. > 0 y = a(x
x1)(x x2) y = 2(x 3)(x + 4)y = x(x + 5) = 0 y = a(x x1)2y = (x 3)2y
= 4x2 < 0 nie istniejespis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wymagania maturalne
zdajcy potra: przedstawia funkcj kwadratow w rnychpostaciach:
oglnej, iloczynowej, kanonicznejSprowad do postaci kanonicznej: y =
x2+ 4x 3y = 2x2+ 8xy = 3(x 1)(x + 4)Sprowad do postaci iloczynowej:
y = x2+ 2x 8y = 3x26y = 5x22xSprowad do postaci oglnej: y = 2(x +
3)24y = 2(x 3)(x + 4)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] do postaci
kanonicznej:y = x2+ 4x3Rozwizanie:liczymy delt:a = 1 b = 4 c = 3 =
4241(3) = 16 + 12 = 28Wykorzystujemy wzory na p i q.p =421= 2 q =
2841= 7Posta kanoniczna:y =
x (2)
2+ (7)y = (x + 2)27spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] do postaci
kanonicznej:y = 2x2+ 8xRozwizanie:liczymy delt:a = 2 b = 8 c = 0 =
824(2)0 = 64 0 = 64Wykorzystujemy wzory na p i q.p =82(2)= 84= 2 q
=644(2)= 648= 8Posta kanoniczna:y = 2(x 2)2+ 8spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] do postaci
kanonicznej:y = 3(x 1)(x + 4)Rozwizanie:Najpierw sprowadzamy do
postaci oglnej:3(x 1)(x + 4) = 3(x2+ 4x x 4) = 3(x2+ 3x 4) = 3x2+
9x12liczymy delt:a = 3 b = 9 c = 12 = 9243(12) = 81 + 144 =
225Wykorzystujemy wzory na p i q.p =923= 32q = 22543= 754=
1834Posta kanoniczna:y = 3
x
32
2+
1834
y = 3
x + 32
21834spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] do postaci
iloczynowej:y = x2+ 2x8Rozwizanie:liczymy delt:a = 1 b = 2 c = 8 =
2241(8) = 4 + 32 = 36 = 36 = 6liczymy pierwiastki.x1 = 2 621x2 = 2
+ 621x1 = 82x2 =42x1 = 4 x2 = 2Posta iloczynowa:y =
x (4)
(x 2)y = (x + 4)(x 2)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] do postaci
iloczynowej:y = 3x26Rozwizanie:Prociej jest nie liczy z delty,
tylko przeksztaca:y = 3(x22)Korzystamy ze wzoru a2b2= (a b)(a +b):y
= 3(x 2)(x +2)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] do postaci
iloczynowej:y = 5x22xRozwizanie:Prociej jest nie liczy z delty,
tylko przeksztaca:y = 5x
x 25
spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] do postaci
oglnej:y = 2(x + 3)24Rozwizanie:Korzystamy ze wzoru (a +b)2= a2+
2ab +b2:y = 2(x2+ 2x3 + 32) 4y = 2(x2+ 6x + 9) 4y = 2x2+ 12x + 18
4y = 2x2+ 12x + 14spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] do postaci
oglnej:y = 2(x 3)(x + 4)Rozwizanie:2(x 3)(x + 4) = 2(x2+ 4x 3x 12)
= 2(x2+x 12) = 2x2+ 2x 24y = 2x2+ 2x 24spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] > 0 < 0xa
> 0 = 0xa > 0 > 0xa < 0 < 0xa < 0 = 0xa < 0
> 0xWykres funkcji kwadratowejWykresem funkcji kwadratowej jest
parabola.Pooenie wykresu wzgldem osi x zaley od delty i a.y =
ax2+bx +cWsprzdne wierzchoka W(p, q) paraboli dane s wzorem:p =
b2aq = 4aNajatwiej wsprzdne wierzchoka odczyta z postaci
kanonicznej.Przykad:y = 3(x 5)2+ 4 W(5, 4)y = 2(x + 3)21 W(3, 1)y =
(x + 4)2W(4, 0)y = x26 W(0, 6)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj
do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i
k [email protected] wymagania
maturalne zdajcy potra: sporzdza wykresy funkcji
kwadratowychodczytywa wasnoci z wykresu, okrela
przedziaymonotonicznoci funkcji kwadratowejNarysuj wykres funkcji
kwadratowej i podaj jej wasnoci: y = x24x + 3y = 2x28x 5y = x26x +
10spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wykres
funkcji kwadratowej i podaj jej wasnoci:y = x24x +
3Rozwizanie:Sprowadzamy funkcj do postaci kanonicznej: y = (x
2)21Rysujemy wykres y = x2i przesuwamy go o wektor [2, 1].x -2 -1 0
1 2y = x24 1 0 1 4dziedzina D = Rzbir wartoci D1= '1, )miejsce
zerowe x0 = 1 lub x0 = 3monotoniczno funkcja jest przedziaami
monotonicznamalejca w przedziale (, 2)rosnca w przedziale (2,
)wierzchoek W(2, 1)najmniejsza warto ymin = 1 dla x = 2najwiksza
warto nie istniejernowartociowo funkcja nie jest
rnowartociowaparzysto funkcja nie jest ani parzysta ani
nieparzystaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] = x24x + 3a = 1 b
= 4 c = 3 = (4)2413 = 16 12 = 4p = (4)21=42= 2 q =441= 44= 1posta
kanoniczna:y = (x 2)21spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wykres
funkcji kwadratowej i podaj jej wasnoci:y = 2x28x
5Rozwizanie:Sprowadzamy funkcj do postaci kanonicznej: y = 2(x +
2)2+ 3Rysujemy wykres y = 2x2i przesuwamy go o wektor [2, 3].x -2
-1 0 1 2y = 2x2-8 -2 0 -2 -8dziedzina D = Rzbir wartoci D1= (,
3`miejsce zerowe x0 3, 2 lub x0 0, 8monotoniczno funkcja jest
przedziaami monotonicznarosnca w przedziale (, 2)malejca w
przedziale (2, )wierzchoek W(2, 3)najwiksza warto ymax = 3 dla x =
2najmniejsza warto nie istniejernowartociowo funkcja nie jest
rnowartociowaparzysto funkcja nie jest ani parzysta ani
nieparzystaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] = 2x28x 5a = 2 b =
8 c = 5 = (8)24(2)(5) = 64 40 = 24p =(8)2(2)=84= 2 q =244(2)= 248=
3posta kanoniczna:y =
x (2)
23y = 2(x + 2)2+ 3spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wykres
funkcji kwadratowej i podaj jej wasnoci:y = x26x +
10Rozwizanie:Sprowadzamy funkcj do postaci kanonicznej: y = (x 3)2+
1Rysujemy wykres y = x2i przesuwamy go o wektor [3, 1].x -2 -1 0 1
2y = x24 1 0 1 4dziedzina D = Rzbir wartoci D1= '1, )miejsce zerowe
nie istniejmonotoniczno funkcja jest przedziaami
monotonicznamalejca w przedziale (, 3)rosnca w przedziale (3,
)wierzchoek W(3, 1)najmniejsza warto ymin = 1 dla x = 3najwiksza
warto nie istniejernowartociowo funkcja nie jest
rnowartociowaparzysto funkcja nie jest ani parzysta ani
nieparzystaspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] = x26x + 10a = 1 b
= 6 c = 10 = (6)24110 = 36 40 = 4p = (6)21=62= 3 q = (4)41=44=
1posta kanoniczna:y =
x 3
2+ 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 4 215ABWZnajd
najmniejsz i najwiksz warto funkcjiy = x24x + 5na przedziale '1,
4`.Rozwizanie:Znajdujemy wartoci funkcji na kracach przedziau:x = 1
y = 1241 + 5 = 1 4 + 5 = 2 A(1, 2)x = 4 y = 4244 + 5 = 16 16 + 5 =
5 B(4, 5)znajdujemy wsprzdne wierzchoka: W(2, 1).Rysujemy
przybliony wykres funkcji na podstawie punktw A(1, 2) B(4, 5) W(2,
1).Z wykresu odczytujemy, e w przedziale '1, 4`:- najmniejsza warto
ymin = 1 dlax = 2- najwikszawartoymax = 5 dla x = 4spis treciwicej
w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] = x24x + 5a = 1 b
= 4 c = 5 = (4)2415 = 16 20 = 4wsprzdne wierzchoka:p = (4)21=42= 2
q = (4)41=44= 1W(2, 1)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 4
13-1-6ABWZnajd najmniejsz i najwiksz warto funkcjiy = x2+ 2x + 2na
przedziale '1, 4`.Rozwizanie:Znajdujemy wartoci funkcji na kracach
przedziau:x = 1 y = (1)2+ 2(1) + 2 = 1 2 + 2 = 1 A(1, 1)x = 4 y =
42+ 24 + 2 = 16 + 8 + 2 = 6 B(4, 6)znajdujemy wsprzdne wierzchoka:
W(1, 3).Rysujemy przybliony wykres funkcji na podstawie punktw A(1,
1) B(4, 6) W(1, 3).Z wykresu odczytujemy, e w przedziale '1, 4`:-
najmniejsza warto ymin = 6 dla x = 4- najwikszawartoymax=3dlax =
1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] = x2+ 2x + 2a = 1
b = 2 c = 2 = 224(1)2 = 4 + 8 = 12wsprzdne wierzchoka:p =22(1)= 22=
1 q =124(1)= 124= 3W(1, 3)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 1-53ABWZnajd
najmniejsz i najwiksz warto funkcjiy = x2+ 4x 2na przedziale '1,
1`.Rozwizanie:Znajdujemy wartoci funkcji na kracach przedziau:x = 1
y = (1)2+ 4(1) 2 = 1 4 2 = 5 A(1, 5)x = 1 y = 12+ 41 2 = 1 + 4 2 =
3 B(1, 3)znajdujemy wsprzdne wierzchoka: W(2, 6).Rysujemy
przybliony wykres funkcji na podstawie punktw A(1, 5) B(1, 3)W(2,
6).Z wykresu odczytujemy, e w przedziale '1, 1`:- najmniejsza warto
ymin = 5 dla x = 1- najwikszawartoymax=3dlax =1spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] = x2+ 4x 2a = 1 b
= 4 c = 2 = 4241(2) = 16 + 8 = 24wsprzdne wierzchoka:p =421= 42= 2
q = 2441= 244= 6W(2, 6)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
kwadratowePrzykady:x2+ 3x 5 > 0 2x2+ 4x + 2 0 x25x ` 0 3x2+ 4x +
2 < 0Nierwnoci kwadratowe rozwizujemy najczciej tak:1. liczymy
delt2. znajdujemy miejsca zerowe, jeli s3. rysujemy parabol
przechodzc przez miejsca zerowedla a > 0 ramiona w grdla a <
0 ramiona w d4. zaznaczamy na zielono dla znakw:< cz wykresu pod
osi x> ` cz wykresu nad osi x5. dla znakw ` zaznaczamy w
miejscach zerowych< > zaznaczamy w miejscach zerowych6.
rysujemy przedzia odpowiadajcy zielonej czci wykresu7. zapisujemy
rozwizaniespis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wymagania maturalne
zdajcy potra: rozwizywa nierwnoci kwadratowe z jednniewiadomrozwi
nierwnoci: x23x 10 < 0x23x 10 > 0x23x 10 ` 0 x2+ 2x + 3 `
02x2x + 3 < 0rozwi nierwnoci: x23x ` 02x2+ 5x > 0x27 <
0rozwi nierwnoci: 3x2+ 6x + 10 > 02x2+ 8x 8 ` 0x2+ 2x + 5 <
0spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 5Rozwi
nierwno:x23x 10 < 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 1 b = 3 c
= 10 = (3)241(10) = 9 + 40 = 49 = 49 = 7x1 = (3) 721=3 72= 2 x2 =
(3) + 721=3 + 72= 5rozwizaniem jest przedzia:x (2, 5)spis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 2 5Rozwi
nierwno:x23x 10 > 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 1 b = 3 c
= 10 = (3)241(10) = 9 + 40 = 49 = 49 = 7x1 = (3) 721=3 72= 2 x2 =
(3) + 721=3 + 72= 5rozwizaniem jest suma dwch przedziaw:x (, 2) (5,
)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 5Rozwi
nierwno:x23x 10 ` 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 1 b = 3 c =
10 = (3)241(10) = 9 + 40 = 49 = 49 = 7x1 = (3) 721=3 72= 2 x2 = (3)
+ 721=3 + 72= 5rozwizaniem jest suma dwch przedziaw:x (, 2` '5,
)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 3Rozwi
nierwno:x2+ 2x + 3 ` 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 1 b = 2 c
= 3 = (2)24(1)3 = 4 + 12 = 16 = 16 = 4x1 = 2 42(1)= 62= 3 x2 = 2 +
42(1)=22= 1rozwizaniem jest przedzia:x '1, 3`spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
nierwno:2x2x + 3 < 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 2 b = 1 c
= 3 = (1)24(2)3 = 1 + 24 = 25 = 25 = 5x1 = (1) 52(2)=1 54= 44= 1 x2
= (1) + 52(2)=64=32= 32rozwizaniem jest suma dwch przedziaw:x
, 32
(1, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 3Rozwi
nierwno:x23x ` 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowezamiast liczy delt
prociej jest policzy pierwiastki w ten sposb:x23x ` 0x(x 3) ` 0x1 =
0 lub x 3 = 0x2 = 3rozwizaniem jest suma dwch przedziaw:x (, 0` '3,
)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 212Rozwi
nierwno:2x2+ 5x > 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowezamiast liczy
delt prociej jest policzy pierwiastki w ten sposb:2x2+ 5x >
02
x2 52x
> 02x
x 52
> 0x1 = 0 lub x 52= 0x2 =52= 212rozwizaniem jest
przedzia:x
0, 212
spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] nierwno:x27
< 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowezamiast liczy delt prociej
jest policzy pierwiastki korzystajc ze wzorua2b2= (a b)(a +b):x27
< 0(x 7)(x +7) < 0x 7= 0 lub x +7= 0x1= 7 x2= 7rozwizaniem
jest przedzia:x
7,7
spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] nierwno:3x2+
6x + 10 > 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 3 b = 6 c = 10 =
624310 = 36 120 = 84 < 0, a wic nie ma miejsc zerowych.wszystkie
liczby speniaj t nierwnox Rspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] nierwno:2x2+
8x 8 ` 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 2 b = 8 c = 8 =
824(2)(8) = 64 64 = 0x1 =82(2)= 84= 2rozwizanie:x = 2spis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] nierwno:x2+
2x + 5 < 0Rozwizanie:nierwnoci kwadratowea = 1 b = 2 c = 5 =
22415 = 4 20 = 16 < 0, a wic nie ma miejsc zerowych.nie ma liczb
speniajcych t nierwnox spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
ijakub@matematyka.pisz.plwww.matematyka.pisz.plWielomianyPrzykady:y
= x52x3+ 5x + 4 wielomian stopnia 5y = 2x3+ 4x22 wielomian stopnia
3y = x23x + 5 wielomian stopnia 2y = 5x 2 wielomian stopnia 1y = 8
wielomian stopnia 0spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
wielomianwZ dzieleniem wielomianw jest tak samo, jak z dzieleniem
liczb:6 : 3 = 2 poniewa 23 = 6(x38x2+ 15x 8) : (x 1) = x27x + 8
poniewa(x27x + 8)(x 1) = x3x27x2+ 7x + 8x 8 = x38x2+ 15x 8Dzielenie
krok po kroku:Krok I(x38x2+15x8) : (x 1) zaczynamydalejspis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] II(x38x2+15x8)
: (x 1) = x2dzielimy x3na xKrok III(x38x2+15x8): (x 1) = x2x3+
x2mnoymy x2razy x 1wyniki zapisujemy z przeciwnymiznakamiKrok
IV(x38x2+15x8) : (x 1) = x2x3+ x2= 7x2+15xdodajemy i spisujemy
15xdalejspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] V(x38x2+15x8) :
(x 1) = x27xx3+ x2= 7x2+15xdzielimy 7x2na xKrok VI(x38x2+15x8) : (x
1) = x27xx3+ x2= 7x2+15x7x2 7xmnoymy 7x razy x 1wyniki zapisujemy z
przeciwnymiznakamiKrok VII(x38x2+15x8) : (x 1) = x27xx3+ x2=
7x2+15x7x2 7x= 8x8dodajemy i spisujemy 8dalejspis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
VIII(x38x2+15x8) : (x 1) = x27x + 8x3+ x2= 7x2+15x7x2 7x=
8x8dzielimy 8x na xKrok IX(x38x2+15x8) : (x 1) = x27x + 8x3+ x2=
7x2+15x7x2 7x= 8x88x+8mnoymy 8 razy x 1wyniki zapisujemy z
przeciwnymiznakamiKrok X(x38x2+15x8) : (x 1) = x27x + 8x3+ x2=
7x2+15x7x2 7x= 8x88x+8==dodajemynie otrzymalimy resztyspis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected],
twierdzenia, denicjewielomianypierwiastek wielomianudzielenie
wielomianwrozkad wielomianu na czynnikitwierdzenie
Bezouttwierdzenie o pierwiastkach wymiernychkrotno pierwiastka
wielomianunierwno wielomianowarozwizane zadaniaspis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wymagania maturalne
zdajcy potra: wykonywa dzielenie wielomianu przez wielomianWykonaj
dzielenie: (x3+x222x 40) : (x 5)(2x35x2+ 8x 3) : (2x 1) (6x319x2+
13x 2) : (3x 2)(x45x3+ 10x215x + 9) : (x 3) (2x314x2+ 14x + 30) :
(x22x 3)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
dzielenie:(x3+x222x 40) : (x 5)Rozwizanie:dzielenie wielomianw(x3+
x222x40) : (x 5) = x2+ 6x + 8x3+5x2= 6x222x6x2+30x= 8x408x+40=
=spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
dzielenie:(2x35x2+ 8x 3) : (2x 1)Rozwizanie:dzielenie
wielomianw(2x35x2+8x3) : (2x 1) = x22x + 32x3+x2=4x2+8x4x22x=
6x36x+3==spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
dzielenie:(6x319x2+ 13x 2) : (3x 2)Rozwizanie:dzielenie
wielomianw(6x319x2+13x2) : (3x 2) = 2x25x + 16x3+
4x2=15x2+13x15x210x= 3x23x+2==spis treciwicej w MatTVsymboledodaj
do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i
k [email protected]
dzielenie:(x45x3+ 10x215x + 9) : (x 3)Rozwizanie:dzielenie
wielomianw(x45x3+10x215x+9) : (x 3) = x32x2+ 4x 3x4+3x3=
2x3+10x22x3 6x2= 4x215x4x2+12x= 3x+93x9==spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wielomianu na
czynnikiRozwizujc rwnanie wielomianowe lub nierwno wielomianow
rozkadamy wielomian nailoczyn czynnikw, do ktrych zaliczamy:
wyraenia liniowe np. (x + 3), (x 5), (2x 1) wyraenia kwadratowe z
< 0 np. (x2+ 9), (x2+ 7), (x2+ 2x + 8) potgi x np. x, x2, x3Z
wielomianu rozoonego na czynniki atwo jest odczyta
pierwiastki.Przykady:x3x217x 15 = (x 5)(x + 3)(x + 1)pierwiastki:
x1 = 5 x2 = 3 x3 = 1x4+ 6x3+ 16x2+ 32x = x(x + 4)(x2+ 2x +
8)pierwiastki: x1 = 0 x2 = 4 nie ma ( < 0)x54x4+ 9x336x2= x2(x2+
9)(x 4)pierwiastki: x1 = 0 nie ma x2 = 4spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
wielomianuPierwiastekwielomianutomiejsce
zerowewielomianu,czyliliczbadlaktrejwartowielo-mianu jest rwna
zero.Przykady:w(x) = x4x2x0 = 1 poniewa w(1) = 1412= 1 1 = 0w(x) =
x38 x0 = 2 poniewa w(2) = 238 = 8 8 = 0w(x) = x5x4+x2+x x0 = 0
poniewa w(0) = 0504+ 02+ 0 = 0Najatwiej jest odczyta pierwiastki z
wielomianu rozoonego na czynniki.spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
BezoutJeeli x0jest pierwiastkiem wielomianu w(x), to wielomian w(x)
dzieli si przez x x0.Jeeli wielomian w(x) dzieli si przez x x0, to
x0jest pierwiastkiem wielomianu w(x).Przykad:w(x) = x3+x22 w(1) =
13+ 122 = 1 + 1 2 = 0Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu x3+x22,
a wic ten wielomian moemy podzielina x 1 i nie otrzymamy
reszty.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] o
pierwiastkach wymiernychJeeli wielomianw(x) = ax3+bx2+cx
+dmawspczynniki
a,b,c,dcakowite,tojegopierwiastkwcakowitychnaleyszukapo-rd
dzielnikw ostatniego wspczynnika d. Twierdzenie to jest prawdziwe
dla wielomianwdowolnego stopnia.Przykad:w(x) = x32x2+ 3x 6dzielniki
6 to: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 6, 6Jeeli wielomian w(x) ma pierwiastek
cakowity, to jest nim jeden z tych dzielnikw.Jeeli wielomianw(x) =
ax3+bx2+cx +dma wspczynniki a, b, c, d cakowite, to jego
pierwiastkw wymiernych naley szuka pordliczb postacipqp dzielnik
ostatniego wspczynnika dq dzielnik pierwszego wspczynnika aspis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wymagania maturalne
zdajcy potra: rozwizywa rwnania wielomianoweRwnanie kwadratowe to
rwnanie wielomianowe stopnia drugiego.Rozwi przeksztacajc rwnanie:
x35x2= 0x39x = 0x3+ 4x = 0 x3+ 3x2+ 2x = 02x3+ 2x212x = 0Rozwi
przeksztacajc rwnanie: x3+ 1 = 0x38 = 02x4+ 4x = 0spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] przeksztacajc
rwnanie:x35x2= 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na czynniki:x35x2=
0x2(x 5) = 0pierwiastki: x1 = 0 x2 = 5spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] przeksztacajc
rwnanie:x39x = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na czynniki:x39x =
0x(x29) = 0x(x232) = 0Korzystamy z a2b2= (a b)(a +b).x(x 3)(x + 3)
= 0pierwiastki: x1 = 0 x2 = 3 x3 = 3spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] przeksztacajc
rwnanie:x3+ 4x = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na czynniki:x3+ 4x
= 0x(x2+ 4) = 0pierwiastki: x1 = 0 nie maspis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] przeksztacajc
rwnanie:x3+ 3x2+ 2x = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na
czynniki:x3+ 3x2+ 2x = 0x(x2+ 3x + 2) = 0x2+ 3x + 2 = 0=32412 = 9 8
= 1 = 1 = 1x1=3121=42= 2x2=3+121=22= 1posta iloczynowa:
x (2)
x (1)
= (x + 2)(x + 1)x(x + 2)(x + 1) = 0pierwiastki: x1 = 0 x2 = 2 x3
= 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] przeksztacajc
rwnanie:2x3+ 2x212x = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na
czynniki:2x3+ 2x212x = 02(x3+x26x) = 02x(x2+x 6) = 0x2+x 6 =
0=1241(6) = 1 + 24 = 25 = 25 = 5x1=1521=62= 3x2=1+521=42= 2posta
iloczynowa:
x (3)
(x 2) = (x + 3)(x 2)2x(x + 3)(x 2) = 0pierwiastki: x1 = 0 x2 = 3
x3 = 2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] przeksztacajc
rwnanie:x3+ 1 = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na czynniki:x3+ 1 =
0x3+ 13= 0Korzystamy z a3+b3= (a +b)(a2ab +b2)(x + 1)(x2x + 1) =
0x2x + 1 = 0=(1)2411 = 1 4 = 3 < 0, nie ma pierwiastkw(x +
1)(x2x + 1) = 0pierwiastki: x1 = 1 nie maspis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] przeksztacajc
rwnanie:x38 = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na czynniki:x38 =
0x323= 0Korzystamy z a3b3= (a b)(a2+ab +b2)(x 2)(x2+ 2x + 4) = 0x2+
2x + 4 = 0=22414 = 4 16 = 12 < 0, nie ma pierwiastkw(x 2)(x2+ 2x
+ 4) = 0pierwiastki: x1 = 2 nie maspis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] przeksztacajc
rwnanie:2x4+ 4x = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na czynniki:2x4+
4x = 02(x4+ 2x) = 02x(x3+ 2) = 02x
x3+ (32)3
= 0Korzystamy z a3+b3= (a +b)(a2ab +b2)2x
x +32
x232x +
32
2
= 02x
x +32
x232x +34
= 0x232x +34 = 0=
32
241 34 =34 434 = 334 < 0, nie ma pierwiastkw2x
x +32
x232x +34
= 0pierwiastki: x1 = 0 x2 = 32 nie maspis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] przeksztacajc
rwnanie:x3+ 2x2+ 3x + 6 = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na
czynniki:x3+ 2x2+ 3x + 6 = 0x2(x + 2) + 3(x + 2) = 0(x2+ 3)(x + 2)
= 0pierwiastki: nie ma x1 = 2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] przeksztacajc
rwnanie:2x36x24x + 12 = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na
czynniki:2x36x24x + 12 = 02x2(x 3) 4(x 3) = 0(2x24)(x 3) =
02(x22)(x 3) = 02
x2(2)2
(x 3) = 0Korzystamy z a2b2= (a b)(a +b)2(x 2)(x +2)(x 3) =
0pierwiastki: x1 = 2 x2 = 2 x3 = 3spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] korzystajc z
dzielnikw:x32x25x + 6 = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na
czynniki, korzystajc z twierdzenia o pierwiastkach
wymiernych.x32x25x + 6 = 0Dzielniki 6 to: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 6,
6w(1) = (1)32(1)25(1) + 6 = 1 2 + 5 + 6 = 8w(1) = 1321251 + 6 = 1 2
5 + 6 = 0Liczba1jestpierwiastkiemwielomianu,
awiczgodnieztwierdzeniemBezoutwielomianx32x25x + 6 dzieli si na x 1
bez reszty.(x32x25x + 6) : (x 1) = x2x 6x32x25x + 6 = (x 1)(x2x
6)(x 1)(x2x 6) = 0x2x 6 = (x + 2)(x 3)(x 1)(x + 2)(x 3) =
0pierwiastki: x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected](x32x25x+6) : (x 1)
= x2x 6x3+x2= x25xx2x=6x+66x6==spis treciwicej w MatTVsymboledodaj
do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i
k [email protected] 6 = 0 =
(1)241(6) = 1 + 24 = 25 = 25 = 5x1= (1) 521=1 52= 42= 2x2= (1) +
521=1 + 52=62= 3posta iloczynowa:
x (2)
(x 3) = (x + 2)(x 3)x2x 6 = (x + 2)(x 3)spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] korzystajc z
dzielnikw:x34x23x + 18 = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na
czynniki, korzystajc z twierdzenia o pierwiastkach
wymiernych.x34x23x + 18 = 0Dzielniki 18 to: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 6, 6,
9, 9, 18, 18w(1) = (1)34(1)23(1) + 18 = 1 4 + 3 + 18 = 16w(1) =
1341231 + 18 = 1 4 3 + 18 = 12w(2) = (2)34(2)23(2) + 18 = 8 16 + 6
+ 18 = 0Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu, a wic zgodnie z
twierdzeniem Bezout wielomianx34x23x + 18 dzieli si na x (2) = x +
2 bez reszty.(x34x23x + 18) : (x + 2) = x26x + 9x34x23x + 18 = (x +
2)(x26x + 9)(x + 2)(x26x + 9) = 0x26x + 9 = (x 3)2(x + 2)(x 3)2=
0pierwiastki: x1 = 2 x2 = 3spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected](x34x2 3x+18) : (x +
2) = x26x + 9x32x2= 6x2 3x6x2+12x= 9x+189x18= =spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] + 9 = 0 =
(6)2419 = 36 36 = 0x1= (6)21=62= 3posta iloczynowa: (x 3)2x26x + 9
= (x 3)2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] korzystajc z
dzielnikw:x3x23x 9 = 0Rozwizanie:Rozkadamy wielomian na czynniki,
korzystajc z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.x3x23x9 =
0Dzielniki -9 to: 1, 1, 3, 3, 9, 9w(1) = (1)3(1)23(1) 9 = 1 1 + 3 9
= 8w(1) = 131231 9 = 1 1 3 9 = 12w(3) = (3)3(3)23(3) 9 = 27 9 + 9 9
= 35w(3) = 333233 9 = 27 9 9 9 =
0Liczba3jestpierwiastkiemwielomianu,
awiczgodnieztwierdzeniemBezoutwielomianx3x23x 9 dzieli si na x 3
bez reszty.(x3x23x 9) : (x 3) = x2+ 2x + 3x3x23x 9 = (x 3)(x2+ 2x +
3)(x 3)(x2+ 2x + 3) = 0x2+ 2x + 3 = 0= 22413 = 4 12 = 8 < 0, nie
ma pierwiastkw(x 3)(x2+ 2x + 3) = 0pierwiastki: x1 = 3 nie maspis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected](x3 x23x9) : (x 3) =
x2+ 2x + 3x3+3x2= 2x23x2x2+6x= 3x93x+9==spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
liczboweliczby naturalne: N0,1,2,3,4,. . .liczby cakowite:
C0,-1,1,-2,2,-3,3,. . .liczby wymierne: Wliczby, ktre moemy
przedstawi w postacipq, gdzie p i qs liczbami cakowitymi.przykady:
0, 5, 4,12, 23, 415liczby niewymierne: R`Wprzykady:2,5, , 1 7liczby
rzeczywiste: Rwszystkie liczby jakimi si posugujemy w szkole
redniej.liczby pierwsze to liczby naturalne wiksze od 1, ktre dziel
si tylko przez 1 i sam siebie:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, . . .spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
wielomianowaPrzykady:x42x3+ 5x > 0 2x3+ 3x24 0 x(x 3)2(x +
4)3> 0Nierwnoci wielomianowe rozwizujemy najczciej tak:1.
rozkadamy wielomian na czynniki2. odczytujemy pierwiastki3.
odczytujemy krotno pierwiastkw4. zaznaczymy pierwiastki na osi
liczbowej5. rysujemy przybliony wykres wielomianu zaczynajc zawsze
od prawejstronyod gry, jeeli wielomian zaczyna si od liczby
dodatniejod dou, jeeli wielomian zaczyna si od liczby ujemnej6.
rysowany wykresprzecina o dla pierwiastkw o krotnoci
nieparzystejodbija si od osi dla pierwiastkw o krotnoci parzystej7.
zaznaczamy na zielono dla znakw:< cz wykresu pod osi x> ` cz
wykresu nad osi x8. dla znakw ` zaznaczamy w miejscach zerowych<
> zaznaczamy w miejscach zerowych9. rysujemy przedzia
odpowiadajcy zielonej czci wykresu10. zapisujemy rozwizaniespis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] pierwiastka
wielomianuKrotnopierwiastkatowartopotgiprzyxlubnawiasie,jeeliwielomianjestrozoonyna
czynniki.Przykady:x2(x + 1)3(x 2)4pierwiastki: x1 = 0 x2 = 1 x3 =
2krotno: 2 3 4x(x 2)5(x + 3)pierwiastki: x1 = 0 x2 = 2 x3 =
3krotno: 1 5 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wymagania maturalne
zdajcy potra: okrela krotno pierwiastka wielomianuRozwi nierwnoci:
x(x 3)(x + 2) > 0x(x + 1)2(x 2)3` 0 x2(x 1) < 02x(x + 1)(x +
5)4(x 3) 0Rozwi nierwnoci: x3+ 2x23x > 0x3+ 3x2+ 3x + 9 0 2x3+
18x248x + 32 > 0spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 0 3Rozwi
nierwno:x(x 3)(x + 2) > 0Rozwizanie:Nierwnoci wielomianowex(x
3)(x + 2) > 0pierwiastki: x1 = 0 x2 = 3 x3 = 2krotno: 1 1 1x (2,
0) (3, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 0 2Rozwi
nierwno:x(x + 1)2(x 2)3` 0Rozwizanie:Nierwnoci wielomianowex(x +
1)2(x 2)3` 0pierwiastki: x1 = 0 x2 = 1 x3 = 2krotno: 1 2 3x (, 0`
'2, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz
i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 1Rozwi
nierwno:x2(x 1) < 0Rozwizanie:Nierwnoci wielomianowex2(x 1) <
0pierwiastki: x1 = 0 x2 = 1krotno: 2 1x (1, )spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] -1 0 3Rozwi
nierwno:2x(x + 1)(x + 5)4(x 3) 0Rozwizanie:Nierwnoci
wielomianowe2x(x + 1)(x + 5)4(x 3) 0pierwiastki: x1 = 0 x2 = 1 x3 =
5 x = 3krotno: 1 1 4 1x 5 '1, 0` '3, )spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 0 1Rozwi
nierwno:x3+ 2x23x > 0Rozwizanie:Nierwnoci wielomianowex3+ 2x23x
> 0x(x2+ 2x 3) > 0x2+ 2x 3 = (x + 3)(x 1)x(x + 3)(x 1) >
0pierwiastki: x1 = 0 x2 = 3 x3 = 1krotno: 1 1 1x (3, 0) (1, )spis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]+ 2x 3 = 2241(3) =
4 + 12 = 16 = 16 = 4x1= 2 421= 62= 3x2= 2 + 421=22= 1posta
iloczynowa:
x (3)
(x 1) = (x + 3)(x 1)x2+ 2x 3 = (x + 3)(x 1)spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] nierwno:x3+
3x2+ 3x + 9 0Rozwizanie:Nierwnoci wielomianowex3+ 3x2+ 3x + 9 0x2(x
+ 3) + 3(x + 3) 0(x2+ 3)(x + 3) 0pierwiastki: nie ma x1 = 3krotno:
1x (, 3`spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 4Rozwi
nierwno:2x3+ 18x248x + 32 > 0Rozwizanie:Nierwnoci
wielomianowe2x3+ 18x248x + 32 > 02(x39x2+ 24x 16) > 0x39x2+
24x 16 = (x 1)(x28x + 16)2(x 1)(x28x + 16) > 0x28x + 16 = (x
4)22(x 1)(x 4)2> 0pierwiastki: x1 = 1 x2 = 4krotno: 1 2x (,
1)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wielomian
na czynniki, korzystajc z twierdzenia o pierwiastkach
wymiernych.x39x2+ 24x16Dzielniki -16 to: 1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 8,
16, 16w(1) = (1)39(1)2+ 24(1) 16 = 1 9 24 16 = 50w(1) = 13912+ 241
16 = 1 9 + 24 16 = 0Liczba1jestpierwiastkiemwielomianu,
awiczgodnieztwierdzeniemBezoutwielomianx39x2+ 24x 16 dzieli si na x
1 bez reszty.(x39x2+24x16) : (x 1) = x28x + 16x3+x2= 8x2+24x8x28x=
16x1616x+16= =x39x2+ 24x 16 = (x 1)(x28x + 16)spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] + 16 = (8)24116
= 16 16 = 0x1= (8)21=82= 4posta iloczynowa: (x 4)2x28x + 16 = (x
4)2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
wymierneFunkcja wymierna to funkcja postaci:y =w(x)p(x)w(x), p(x)
wielomianyPrzykady:y =x2+ 3x23x + 1y =x + 5x 2y =x3+x215x2+ 4spis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] funkcji
wymiernejDziedzin funkcji wymiernej wyznaczamy znajdujc pierwiastki
mianownika.Przykady:y =5x 2dla x = 2 mianownik jest rwny 0D = R` 2
wszystkie liczby rzeczywiste oprcz 2.y =2x + 4x29dla x = 3 lub x =
3 mianownik jest rwny 0D = R` 3, 3 wszystkie liczby rzeczywiste
oprcz 3, 3.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
ijakub@matematyka.pisz.plwww.matematyka.pisz.plxyxyxyHiperbolaNajprostsze
funkcje wymierne.Przykady:y =1xy =2xy = 2xWykres tych funkcji to
hiperbola.Asymptota to prosta do ktrej wykres si zblia, lecz jej
nie dotyka.O x to asymptota pozioma hiperboli.O yto asymptota
pionowa hiperboli.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wymagania maturalne
zdajcy potra: rozwizywa rwnania i nierwnoci zwizanez funkcj
homogracznRozwi rwnania:
6x+1= 2 4x +6x+1= 4 x+2x+2x5x4=4x2Rozwi nierwnoci:
10x+3 ` 2 2xx+1 x + 24x x > 2 + 13x > 3 / : 3x > 1spis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] nierwno:(0,
125)x` 4x3Rozwizanie:Wykorzystujc wzory, naley doprowadzi potgi w
nierwnoci do jednakowych podstaw:
1251000
x` (22)x3
18
x` 22(x3)(81)x` 22x68x` 22x6(23)x` 22x623x` 22x6Podstawy potg s
jednakowe i wiksze od 1. Funkcja wykadnicza jest wic rosnca,
dlategonie odwracamy znaku nierwnoci.3x ` 2x 63x 2x ` 65x ` 6 / :
(5)x 65x 115spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] nierwno:
23
4x2>
94
2x3Rozwizanie:Wykorzystujc wzory, naley doprowadzi potgi w
nierwnoci do jednakowych podstaw:
23
4x2>
94
2x3
23
4x2>
32
2
2x3
23
4x2>
32
2(2x3)
23
4x2>
32
4x6
23
4x2>
23
1
4x6
23
4x2>
23
1(4x6)
23
4x2>
23
4x+6Podstawypotgsjednakowei mniejszeod1. Funkcjawykadniczajest
wicmalejca,dlatego odwracamy znak nierwnoci.4x 2 < 4x +
6dalejspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 2 < 4x + 64x +
4x < 6 + 28x < 8 / : 8x < 1spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
nierwno:4(8)x3
2216
1xRozwizanie:Wykorzystujc wzory, naley doprowadzi potgi w
nierwnoci do jednakowych podstaw:4(8)x3
2216
1x22 (812)x3
221224
1x22 812(x3)
21+1224
1x22 (23)12(x3)
211224
1x22 232(x3) (21124)1x22+32x92 (2212)(1x)22+32x412
2212(1x)Podstawy potg s jednakowe i wiksze od 1. Funkcja wykadnicza
jest wic rosnca, dlategonie odwracamy znaku nierwnoci.2 +32x 412
212(1 x)dalejspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] + 32x 412 212(1
x)2 412 + 32x 212 + 212x212 + 32x 212 + 212x32x 212x 212 + 21232x
52x 022x 0x 0 / : (1)x ` 0spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected],
twierdzenia, denicjelogarytmwykres funkcji
logarytmicznejwzoryrozwizane zadaniaspis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]:log2
8 logarytm o podstawie 2 z 8log4 16 logarytm o podstawie 4 z 16log
1000 logarytm dziesitny z 1000 (ma w podstawie 10)logarytm o
podstawie a z liczby b:logabwarunki dla podstawy a: a > 0 i a =
1warunki dla liczby b: b > 0Denicja logarytmu:logab = x jeeli
ax= bPrzykady:log2 8 = 3 dlatego, e 23= 8log4 16 = 2 dlatego, e 42=
16log 1000 = 3 dlatego, e 103= 1000spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]:
Przykady:loga 1 = 0 log3 1 = 0 log121 = 0logaa = 1 log3 3 = 1
log1212= 1logaak= k log2 23= 3 log5 53= 3logaxk= k logax log3 25= 5
log3 2 log 34= 4 log 3aloga x= x 3log3 5= 5 (12)log 127= 7loga(xy)
= logax + logay log2(35) = log2 3 + log2 5log3(93) = log3 9 +
log33logaxy= logax logay log235= log2 3 log2 5log339= log33 log3
9logab =logcblogcalog2 3 =log11 3log11 2c dowolna liczba speniajca
warunki log2 3 =log15 3log15 2logab =1logbalog3 8 =1log8 3spis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] funkcji
logarytmicznejWykres funkcji logarytmicznej:y = logaxzaley od
podstawy a.Dla a > 1 funkcja logarytmiczna jest
rosnca:Przykady:y = log2xy = log5xy = log2xDla 0 < a < 1
funkcja logarytmiczna jest malejca:Przykady:y = log0,3xy =
log12xFunkcja logarytmiczna jest rnowartociowaspis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wymagania maturalne
zdajcy potra: posugiwa si wasnociamifunkcji logarytmicznejoblicz:
log3 9log313 log2 0, 5log4 4 log55log3 1log 100log 0, 1 log1000log5
0, 04oblicz: log2 22log3 927log5525 log10101000oblicz: log4 8log25
5log10 100log22 4spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]:log3
9Rozwizanie:Wykoszystujc wzory, doprowadzamy logarytm do postaci:
logaak= klog3 9 = log3 32= 2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]:log313Rozwizanie:Wykoszystujc
wzory, doprowadzamy logarytm do postaci: logaak= klog313= log3 31=
1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]:log2 0,
5Rozwizanie:Wykoszystujc wzory, doprowadzamy logarytm do postaci:
logaak= klog2 0, 5 = log212= log2 21= 1spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]:log4
4Rozwizanie:Wykoszystujc wzory, doprowadzamy logarytm do postaci:
logaak= klog4 4 = log4 41= 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]:log55Rozwizanie:Wykoszystujc
wzory, doprowadzamy logarytm do postaci: logaak= klog55 = log5
512=12spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]:log3
1Rozwizanie:Wykoszystujc wzory, doprowadzamy logarytm do postaci:
logaak= klog3 1 = log3 30= 0spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]:log
100Rozwizanie:Wykoszystujc wzory, doprowadzamy logarytm do postaci:
logaak= klog 100 = log 102= 2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]:log 0,
1Rozwizanie:Wykoszystujc wzory, doprowadzamy logarytm do postaci:
logaak= klog 0, 1 = log110= log 101= 1spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]:log1000Rozwizanie:Wykoszystujc
wzory doprowadzamy logarytm do postaci: logaak= klog1000 = log
100012= log(103)12= log 1032=32spis treciwicej w MatTVsymboledodaj
do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i
k [email protected]:log5 0,
04Rozwizanie:Wykoszystujc wzory doprowadzamy logarytm do postaci:
logaak= klog5 0, 04 = log54100= log5125= log5 251= log5(52)1= log5
52= 2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz
i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]:log2
22Rozwizanie:Wykorzystujemy loga(xy) = logax + logay, a nastpnie za
pomoc wzorw, doprowa-dzamy logarytm do postaci: logaak= klog2 22 =
log2 2 + log22 = 1 + log2 212= 1 + 12= 112spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]:log3
927Rozwizanie:Wykorzystujemy loga(xy) = logax + logay, a nastpnie
za pomoc wzorw, doprowa-dzamy logarytm do postaci: logaak= klog3
927 = log3 9 + log327 = log3 32+ log3 2712= 2 + log3(33)12== 2 +
log3 332= 2 + 32= 2 + 112= 312spis treciwicej w MatTVsymboledodaj
do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i
k
[email protected]:log5525Rozwizanie:Wykorzystujemy
logaxy= logax logay, a nastpnie za pomoc wzorw,
doprowadzamylogarytm do postaci: logaak= klog5525= log55 log5 25 =
log5 512log5 52=12 2 = 112spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]:log
10101000Rozwizanie:Wykorzystujemy logaxy= logax logayi loga(xy) =
logax + logay,anastpnieza pomoc wzorw, doprowadzamy logarytm do
postaci: logaak= klog 10101000= log 1010 log 1000 = log 10 + log10
log 103== 1 + log 10123 = 1 + 12 3 = 112 3 = 112spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]:log4
8Rozwizanie:Wykorzystujemy logab =logcblogca, a nastpnie za pomoc
wzorw,doprowadzamy logarytm do postaci: logaak= klog4 8 =log2 8log2
4=log2 23log2 22=32spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]:log25
5Rozwizanie:Wykorzystujemy logab =logcblogca, a nastpnie za pomoc
wzorw,doprowadzamy logarytm do postaci: logaak= klog25 5 =log5
5log5 25=1log5 52=12spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]:log10
100Rozwizanie:Wykorzystujemy logab =logcblogca, a nastpnie za pomoc
wzorw,doprowadzamy logarytm do postaci: logaak= klog10 100 =log
100log10=log 102log 1012=212= 2 :12= 2 21= 4spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]:log22
4Rozwizanie:Wykorzystujemy logab =logcblogcaloga(xy) = logax +
logay, a nastpnie za pomocwzorw, doprowadzamy logarytm do postaci:
logaak= klog22 4 =log2 4log2 22=log2 22log2 2 + log22=log2 22log2 2
+ log2 212=21 +12== 2 : 112= 2 :32= 2 23=43= 113spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected], denicje,
twierdzenia (Logarytmy)LogarytmWzoryWykres funkcji
logarytmicznejspis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wymagania maturalne
zdajcy potra: rozwizywa rwnania logarytmiczneRozwi rwnanie: log2x =
3log0,5x = 4Rozwi rwnanie: 2 + log3(2x + 1) = log3(5x + 22)log2(x +
1) + log2(x + 3) = 3 log5(x 1) log5(4x + 1) = log5x55spis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] rwnanie:log2x
= 3Rozwizanie:Korzystamy z denicji logarytmu:log2x = 3x = 23x =
8spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
rwnanie:log0,5x = 4Rozwizanie:Korzystamy z denicji
logarytmu:log0,5x = 4x = 0, 54x =
12
4x =116spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
rwnanie:2 + log3(2x + 1) = log3(5x + 22)Rozwizanie:Zaczynamy od
wyznaczenia dziedziny. Logarytmowa moemy tylko liczby dodatnie,
dlatego:2x + 1 > 0 i 5x + 22 > 02x > 1 / : 2 5x > 22 /
: 5x > 12x > 225x > 425D = (12, )2 + log3(2x + 1) =
log3(5x + 22)x = 1Rozwizanie naley do dziedziny.Odp. x = 1spis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] + log3(2x + 1) =
log3(5x + 22)Korzystamy z logaak= klog3 32+ log3(2x + 1) = log3(5x
+ 22)log3 9 + log3(2x + 1) = log3(5x + 22)Korzystamy z loga(xy) =
logax + logay:log3 9(2x + 1) = log3(5x + 22)Funkcja logarytmiczna
jest rnowartociowa, wic moemy opuci logarytmy:9(2x + 1) = 5x +
2218x + 9 = 5x + 2218x 5x = 22 913x = 13 / : 13x = 1spis treciwicej
w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] -1Rozwi
rwnanie:log2(x + 1) + log2(x + 3) = 3Rozwizanie:Zaczynamy od
wyznaczenia dziedziny. Logarytmowa moemy tylko liczby dodatnie,
dlatego:x + 1 > 0 i x + 3 > 0x > 1 x > 3D = (1, )log2(x
+ 1) + log2(x + 3) = 3x1 = 5 x2 = 1Tylko x1 = 1 naley do
dziedziny.Odp. x = 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected](x + 1) + log2(x
+ 3) = 3Korzystamy z loga(xy) = logax + logay:log2(x + 1)(x + 3) =
3Korzystamy z denicji logarytmu:(x + 1)(x + 3) = 23(x + 1)(x + 3) =
8x2+ 3x +x + 3 = 8x2+ 3x +x + 3 8 = 0x2+ 4x 5 = 0 = 4241(5) = 16 +
20 = 36 = 36 = 6x1= 4 621= 102= 5x2= 4 + 621=22= 1x1 = 5 x2 = 1spis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 5Rozwi
rwnanie:log5(x 1) log5(4x + 1) = log5x 55Rozwizanie:Zaczynamy od
wyznaczenia dziedziny. Logarytmowa moemy tylko liczby dodatnie,
dlatego:x 1 > 0 i 4x + 1 > 0 ix55> 0 /5x > 1 4x > 1
/ : 4 x 5 > 0x > 14x > 5D = (5, )log5(x 1) log5(4x + 1) =
log5x 55x1 = 0 x2 = 6Tylko x2 = 6 naley do dziedziny.Odp. x = 6spis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected](x 1) log5(4x +
1) = log5x 55log5(x 1) = log5x 55+ log5(4x + 1)Korzystamy z
loga(xy) = logax + logay:log5(x 1) = log5x 55 (4x + 1)Funkcja
logarytmiczna jest rnowartociowa, wic moemy opuci logarytmy:x 1 =x
55 (4x + 1) /55(x 1) = (x 5)(4x + 1)5x 5 = 4x2+x 20x 55x 5 = 4x219x
55x 5 4x2+ 19x + 5 = 04x2+ 24x = 04(x26x) = 04x(x 6) = 0x1 = 0 x2 =
6spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wymagania maturalne
zdajcy potra: rozwizywa nierwnoci logarytmiczneRozwi nierwnoci:
log3(x 3) > 2log0,5(3x 2) ` 1 log3(2x 7) 2 log3(8 x)log13(4x +
1) > 2 log13(2x 3)spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 12Rozwi
nierwno:log3(x 3) > 2Rozwizanie:Zaczynamy od wyznaczenia
dziedziny. Logarytmowa moemy tylko liczby dodatnie, dlatego:x 3
> 0x > 3D = (3, )log3(x 3) > 2x (12, )Zaznaczamy na jednym
rysunku dziedzin i rozwizanie nierwnoci:Rozwizanie to cz wsplna:x
(12, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected](x 3) >
2Korzystamy z logaak= klog3(x 3) > log3 32Podstawy logarytmw s
jednakowe i wiksze od 1. Funkcja logarytmiczna jest wic
rosnca,dlatego nie odwracamy znaku nierwnoci.x 3 > 32x 3 > 9x
> 9 + 3x > 12x (12, )spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
nierwno:log0,5(3x 2) ` 1Rozwizanie:Zaczynamy od wyznaczenia
dziedziny. Logarytmowa moemy tylko liczby dodatnie, dlatego:3x 2
> 03x > 2 / : 3x >23D=
23,
log0,5(3x 2) ` 1x
, 113
Zaznaczamy na jednym rysunku dziedzin i rozwizanie
nierwnoci:Rozwizanie to cz wsplna:x
23, 113
spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected],5(3x 2) `
1Korzystamy z logaak= klog0,5(3x 2) ` log0,5 0, 51Podstawy
logarytmw s jednakowe i mniejsze od 1. Funkcja logarytmiczna jest
wic male-jca, dlatego odwracamy znak nierwnoci.3x 2 0, 513x 2
12
13x 2 2 3x 2 + 23x 4 / : 3x 43x 113x
, 113
spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 6128Rozwi
nierwno:log3(2x 7) 2 log3(8 x)Rozwizanie:Zaczynamy od wyznaczenia
dziedziny.D =
312, 8
log3(2x 7) 2 log3(8 x)x (, 5`
612,
Zaznaczamy na jednym rysunku dziedzin i rozwizanie
nierwnoci:Rozwizanie to cz wsplna:x
312, 5
612, 8
spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected](2x 7) 2
log3(8 x)Wyznaczamy dziedzin. Logarytmowa moemy tylko liczby
dodatnie, dlatego:2x 7 > 0 i 8 x > 02x > 7 / : 2 x > 8
/ : (1)x >72x < 8x > 312D =
312, 8
spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected](2x 7) 2 log3(8
x)log3(2x 7) + log3(8 x) 2Korzystamy z loga(xy) = logax +
logay:log3(2x 7)(8 x) 2Korzystamy z logaak= klog3(2x 7)(8 x) log3
32Podstawy logarytmw s jednakowe i wiksze od 1. Funkcja
logarytmiczna jest wic rosnca,dlatego nie odwracamy znaku
nierwnoci.(2x 7)(8 x) 32(2x 7)(8 x) 916x 2x256 + 7x 916x 2x256 + 7x
9 02x2+ 23x 65 0x (, 5`
612,
spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] 6122x2+ 23x 65
0Rozwizujemy nierwno kwadratow: = 2324(2)(65) = 529 520 = 9 = 9 =
3x1= 23 32(2)= 264= 624= 612x2= 23 + 32(2)= 204= 5x (, 5`
612,
spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected]
nierwno:log13(4x + 1) > 2 log13(2x 3)Rozwizanie:Zaczynamy od
wyznaczenia dziedziny.D=
112,
log13(4x + 1) 2 log13(2x 3)x
34, 2
Zaznaczamy na jednym rysunku dziedzin i rozwizanie
nierwnoci:Rozwizanie to cz wsplna:x
112, 2
spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected](4x + 1)
> 2 log13(2x 3)Wyznaczamy dziedzin. Logarytmowa moemy tylko
liczby dodatnie, dlatego:4x + 1 > 0 i 2x 3 > 04x > 1 / : 4
2x > 3 / : 2x > 14x >32x > 112D =
112,
spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i
nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected](4x + 1) > 2
log13(2x 3)log13(4x + 1) + log13(2x 3) > 2Korzystamy z loga(xy)
= logax + logay:log13(4x + 1)(2x 3) > 2Korzystamy z logaak=
klog13(4x + 1)(2x 3) > log13
13
2Podstawy logarytmw s jednakowe i mniejsze od 1. Funkcja
logarytmiczna jest wic male-jca, dlatego odwracamy znak
nierwnoci.(4x + 1)(2x 3) 0Przykady:3, 6, 9, 12,. . . an = 3n1, 4,
9, 16,. . . an = n21, 3, 5, 7,. . . an = 2n 1Denicja cigu
malejcegoDla kadego n naturalnego: an+1 an< 0Przykady:3, 6, 9,
12, . . . an = 3n1, 4, 9, 16, . . . an = n21, 3, 5, 7, . . . an =
2n + 1spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] arytmetycznya1
pierwszy wyraz cigur rnica cigu arytmetycznegoDenicja:Kolejny wyraz
cigu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego rnicy
r.an+1 = an +rPrzykady:a1 = 2 r = 3 2, 5, 8, 11, 14, 17, . . .a1 =
4 r = 2 4, 2, 0, 2, 4, 6, . . .a1 = 5 r = 4 5, 1, 3, 7, 11, 15, . .
.nty wyraz cigu arytmetycznegoan = a1 + (n 1)rsuma npocztkowych
wyrazw cigu arytmetycznegoSn =a1 +an2 nwasno cigu arytmetycznegoan
=an1 +an+12spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] i ich
granicewzory, twierdzenia, denicjemonotoniczno cigucig
arytmetycznycig geometrycznykapitalizacja odseteknieskoczony cig
geometrycznyproste granice cigurozwizane zadaniaspis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] wymagania maturalne
zdajcy potra: bada czy cig jest arytmetycznyZbadaj, czy cig jest
arytmetyczny. an = 3n + 2an = n2spis treciwicej w MatTVsymboledodaj
do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i
k [email protected] poniszych cigw
arytmetycznych podaj pierwszy wyraz a1i rnic r. Oblicz wartoa30i
a40.2, 5, 8, 11, 14, . . .Rozwizanie:a1 = 2Korzystamy z denicjia2 =
a1 +r5 = 2 +r5 2 = rr = 3Korzystamy z an = a1 + (n 1)ra30 = 2 + (30
1)3 = 2 + 293 = 89a40 = 2 + (40 1)3 = 2 + 393 = 119spis treciwicej
w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] poniszych cigw
arytmetycznych podaj pierwszy wyraz a1i rnic r. Oblicz wartoa30i
a40.10, 7, 4, 1, 2, . . .Rozwizanie:a1 = 10Korzystamy z denicjia2 =
a1 +r7 = 10 +r7 10 = rr = 3Korzystamy z an = a1 + (n 1)ra30 = 10 +
(30 1)(3) = 10 + 29(3) = 10 87 = 77a40 = 10 + (40 1)(3) = 10 +
39(3) = 10 117 = 107spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] poniszych cigw
arytmetycznych oblicz sum pierwszych dwudziestu wyrazw.3, 5, 7, 9,
11, . . .Rozwizanie:Korzystamy z Sn =a1 +an2 nS20 =a1 +a202 20a1 =
3a20liczymy korzystajc z an = a1 + (n 1)r.Najpierw trzeba jednak
policzy r.a2= a1 +r5 = 3 +r5 3 = rr = 2a20 = 3 + (20 1)2 = 3 + 192
= 41S20 =a1 +a202 20 =3 + 412 20 =442 20 = 2220 = 440spis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] poniszych cigw
arytmetycznych oblicz sum pierwszych dwudziestu wyrazw.4, 1, 2, 5,
8, . . .Rozwizanie:Korzystamy z Sn =a1 +an2 nS20 =a1 +a202 20a1 =
4a20liczymy korzystajc z an = a1 + (n 1)r.Najpierw trzeba jednak
policzy r.a2= a1 +r1 = 4 +r1 + 4 = rr = 3a20 = 4 + (20 1)3 = 4 +
193 = 53S20 =a1 +a202 20 = 4 + 532 20 =492 20 = 4910 = 490spis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected], czy cig jest
arytmetyczny.an = 3n + 2Rozwizanie:Korzystamy z denicjian+1 = an
+rr = an+1anCig jest cigiem arytmetycznym, jeeli an+1 anjest stae
(niezalene od n).an = 3n + 2an+1 = 3(n + 1) + 2 = 3n + 3 + 2 = 3n +
5an+1 an = 3n + 5 (3n + 2) = 3n + 5 3n 2 = 5 2 = 3Odp. Cig an = 3n
+ 2 jest arytmetyczny.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected], czy cig jest
arytmetyczny.an = n2Rozwizanie:Korzystamy z denicjian+1 = an +rr =
an+1anCig jest cigiem arytmetycznym, jeeli an+1 anjest stae
(niezalene od n).an = n2an+1 = (n + 1)2= n2+ 2n + 1 an+1 an = n2+
2n + 1 n2= 2n + 1 (zalene od n)Odp. Cig an = n2nie jest
arytmetyczny.spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo
bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] monotoniczno
cigu arytmetycznego.an = 5n 2Rozwizanie:Korzystamy z denicjian = 5n
2an+1 = 5(n + 1) 2 = 5n + 5 2 = 5n + 3an+1 an = 5n + 3 (5n 2) = 5n
+ 3 5n + 2 = 3 + 2 = 5 > 0Odp. Cig an = 5n 2 jest rosncy.spis
treciwicej w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie
ma?20 luty 2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] monotoniczno
cigu arytmetycznego.an = 3 2nRozwizanie:Korzystamy z denicjian = 3
2nan+1 = 3 2(n + 1) = 3 2n 2 = 1 2nan+1 an = 1 2n (3 2n) = 1 2n 3 +
2n = 1 3 = 2 < 0Odp. Cig an = 3 2n jest malejcy.spis treciwicej
w MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] cig
arytmetyczny majc dane.a2 = 5 a3 = 7Rozwizanie:Wyznaczy cig
arytmetyczny oznacza, e naley poda jego pierwszy wyraz a1i rnic
r.Korzystamy z denicjia3 = a2 +r7 = 5 +r7 5 = rr = 2a2 = a1 +r5 =
a1 + 25 2 = a1a1 = 3Odp. a1 = 3 r = 2spis treciwicej w
MatTVsymboledodaj do drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty
2007pobierz nowszyk s i k
[email protected] cig
arytmetyczny majc dane.a5 = 18 a6 = 21Rozwizanie:Wyznaczy cig
arytmetyczny oznacza, e naley poda jego pierwszy wyraz a1i rnic
r.Korzystamy z denicjia6 = a5 +r21 = 18 +r21 18 = rr = 3a1policzymy
z an = a1 + (n 1)ra5 = a1 + (5 1)r18 = a1 + 4318 = a1 + 1218 12 =
a1a1 = 6Odp. a1 = 6 r = 3spis treciwicej w MatTVsymboledodaj do
drukowaniazgo bdszukasz i nie ma?20 luty 2007pobierz nowsz