MATEMATYKA I - Logika matematyczna

MATEMATYKA I

MATEMATYKA ILogika matematyczna

Anna Okopinska

Uniwersytet Jana Kochanowskiego w Kielcach

semestr zimowy 2012/13

MATEMATYKA I

Spis tresci

1 RACHUNEK ZDANZdania i schematy zdanioweWartosc logiczna formułPrawa rachunku zdan (tautologie)DowodzenieNiesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc

2 RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)Formy nazwoweFunkcje zdanioweKwantyfikatoryPrawa rachunku predykatówDowodzenieNiesprzecznosc i pełnosc rachunku predykatów

3 NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE

MATEMATYKA I

Literatura:

K.Kuratowski, Wstep do teorii mnogosci i topologii, PWN.

H. Rasiowa, Wstep do matematyki współczesnej, PWN.N.Gubareni, Logika dla studentów, Wydawnictwo PolitechnikiCzestochowskiej.W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogosci wzadaniach, PWN.

MATEMATYKA I

Literatura:

K.Kuratowski, Wstep do teorii mnogosci i topologii, PWN.H. Rasiowa, Wstep do matematyki współczesnej, PWN.

N.Gubareni, Logika dla studentów, Wydawnictwo PolitechnikiCzestochowskiej.W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogosci wzadaniach, PWN.

MATEMATYKA I

Literatura:

K.Kuratowski, Wstep do teorii mnogosci i topologii, PWN.H. Rasiowa, Wstep do matematyki współczesnej, PWN.N.Gubareni, Logika dla studentów, Wydawnictwo PolitechnikiCzestochowskiej.

W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogosci wzadaniach, PWN.

MATEMATYKA I

Literatura:

K.Kuratowski, Wstep do teorii mnogosci i topologii, PWN.H. Rasiowa, Wstep do matematyki współczesnej, PWN.N.Gubareni, Logika dla studentów, Wydawnictwo PolitechnikiCzestochowskiej.W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogosci wzadaniach, PWN.

MATEMATYKA I

Logika matematyczna (ang. mathematical logic)

Zaistniała jako samodzielna nauka w koncu XIX wieku.

Zajmuje sie badaniem rozumowan i ustalaniem kryteriów ichpoprawnosci przy uzyciu metod i narzedzi matematyki.Teoria jezyka bada jezyk, czyli system znaków, w jakim faktysa formułowane.Dwa podejscia:• syntaktyka (nauka o składni) - bada jezyk, abstrahujac odznaczenia symboli jezyka i tresci rozwazanych zdan.• semantyka (teoria oznaczania) - bada zwiazki miedzyjezykiem a rzeczywistoscia, do której wyrazenia sie odnosza.Teoria dowodu bada reguły dowodzenia i systemydowodzenia, pozwalajace na wyprowadzanie wniosków zprzyjetych załozen w podejsciu syntaktycznym.

MATEMATYKA I


Zaistniała jako samodzielna nauka w koncu XIX wieku.Zajmuje sie badaniem rozumowan i ustalaniem kryteriów ichpoprawnosci przy uzyciu metod i narzedzi matematyki.

Teoria jezyka bada jezyk, czyli system znaków, w jakim faktysa formułowane.Dwa podejscia:• syntaktyka (nauka o składni) - bada jezyk, abstrahujac odznaczenia symboli jezyka i tresci rozwazanych zdan.• semantyka (teoria oznaczania) - bada zwiazki miedzyjezykiem a rzeczywistoscia, do której wyrazenia sie odnosza.Teoria dowodu bada reguły dowodzenia i systemydowodzenia, pozwalajace na wyprowadzanie wniosków zprzyjetych załozen w podejsciu syntaktycznym.

MATEMATYKA I


Zaistniała jako samodzielna nauka w koncu XIX wieku.Zajmuje sie badaniem rozumowan i ustalaniem kryteriów ichpoprawnosci przy uzyciu metod i narzedzi matematyki.Teoria jezyka bada jezyk, czyli system znaków, w jakim faktysa formułowane.

Dwa podejscia:• syntaktyka (nauka o składni) - bada jezyk, abstrahujac odznaczenia symboli jezyka i tresci rozwazanych zdan.• semantyka (teoria oznaczania) - bada zwiazki miedzyjezykiem a rzeczywistoscia, do której wyrazenia sie odnosza.Teoria dowodu bada reguły dowodzenia i systemydowodzenia, pozwalajace na wyprowadzanie wniosków zprzyjetych załozen w podejsciu syntaktycznym.

MATEMATYKA I


Zaistniała jako samodzielna nauka w koncu XIX wieku.Zajmuje sie badaniem rozumowan i ustalaniem kryteriów ichpoprawnosci przy uzyciu metod i narzedzi matematyki.Teoria jezyka bada jezyk, czyli system znaków, w jakim faktysa formułowane.Dwa podejscia:• syntaktyka (nauka o składni) - bada jezyk, abstrahujac odznaczenia symboli jezyka i tresci rozwazanych zdan.

• semantyka (teoria oznaczania) - bada zwiazki miedzyjezykiem a rzeczywistoscia, do której wyrazenia sie odnosza.Teoria dowodu bada reguły dowodzenia i systemydowodzenia, pozwalajace na wyprowadzanie wniosków zprzyjetych załozen w podejsciu syntaktycznym.

MATEMATYKA I


Zaistniała jako samodzielna nauka w koncu XIX wieku.Zajmuje sie badaniem rozumowan i ustalaniem kryteriów ichpoprawnosci przy uzyciu metod i narzedzi matematyki.Teoria jezyka bada jezyk, czyli system znaków, w jakim faktysa formułowane.Dwa podejscia:• syntaktyka (nauka o składni) - bada jezyk, abstrahujac odznaczenia symboli jezyka i tresci rozwazanych zdan.• semantyka (teoria oznaczania) - bada zwiazki miedzyjezykiem a rzeczywistoscia, do której wyrazenia sie odnosza.

Teoria dowodu bada reguły dowodzenia i systemydowodzenia, pozwalajace na wyprowadzanie wniosków zprzyjetych załozen w podejsciu syntaktycznym.

MATEMATYKA I


Zaistniała jako samodzielna nauka w koncu XIX wieku.Zajmuje sie badaniem rozumowan i ustalaniem kryteriów ichpoprawnosci przy uzyciu metod i narzedzi matematyki.Teoria jezyka bada jezyk, czyli system znaków, w jakim faktysa formułowane.Dwa podejscia:• syntaktyka (nauka o składni) - bada jezyk, abstrahujac odznaczenia symboli jezyka i tresci rozwazanych zdan.• semantyka (teoria oznaczania) - bada zwiazki miedzyjezykiem a rzeczywistoscia, do której wyrazenia sie odnosza.Teoria dowodu bada reguły dowodzenia i systemydowodzenia, pozwalajace na wyprowadzanie wniosków zprzyjetych załozen w podejsciu syntaktycznym.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Zdania i schematy zdaniowe

ZdaniaZdanie logiczne(ang.sentence, proposition): zdanieoznajmujace, które jest albo prawdziwe albo fałszywe.

Zdanie atomowe (ang.atomic formula):podmiot (obiekt) + orzeczenie (predykat).np: ptak + ma skrzydłaZbiór zdan atomowych oznaczymy przez P.

Zmienne zdaniowe bedziemy oznaczac przez α, β, ....

Podstawienie: zdanie, które powstaje przez zastapienieα/konkretne zdanie

Wartosciowanie ang.(truth assignement) to funkcjaw : P → {0,1}, która kazdemu zdaniu przypisuje

wartosc logiczna: w(α) =

(1 gdy α jest prawdziwe (T)0 gdy α jest fałszywe (F)

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


ZdaniaZdanie logiczne(ang.sentence, proposition): zdanieoznajmujace, które jest albo prawdziwe albo fałszywe.Zdanie atomowe (ang.atomic formula):podmiot (obiekt) + orzeczenie (predykat).np: ptak + ma skrzydłaZbiór zdan atomowych oznaczymy przez P.






MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN








MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN








MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN








MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Spójniki zdaniotwórcze

Do łaczenia zdan atomowych (α, β, γ, ....) uzywamyspójników zdaniowych (ang.connectives).

spójnik jednoargumentowy:¬ nie.spójniki dwuargumentowe:∧ i∨ lub⇒ jesli . . ., to⇔ wtedy i tylko wtedy

Wartosc zdan utworzonych za pomoca spójników zalezy tylkood wartosci zdan elementarnych, a nie od ich sensu.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN




spójnik jednoargumentowy:

¬ nie.spójniki dwuargumentowe:∧ i∨ lub⇒ jesli . . ., to⇔ wtedy i tylko wtedy


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN




spójnik jednoargumentowy:¬ nie.

spójniki dwuargumentowe:∧ i∨ lub⇒ jesli . . ., to⇔ wtedy i tylko wtedy


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN




spójnik jednoargumentowy:¬ nie.spójniki dwuargumentowe:

∧ i∨ lub⇒ jesli . . ., to⇔ wtedy i tylko wtedy


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN




spójnik jednoargumentowy:¬ nie.spójniki dwuargumentowe:∧ i

∨ lub⇒ jesli . . ., to⇔ wtedy i tylko wtedy


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN




spójnik jednoargumentowy:¬ nie.spójniki dwuargumentowe:∧ i∨ lub

⇒ jesli . . ., to⇔ wtedy i tylko wtedy


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN




spójnik jednoargumentowy:¬ nie.spójniki dwuargumentowe:∧ i∨ lub⇒ jesli . . ., to

⇔ wtedy i tylko wtedy


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN






MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN






MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN






MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Negacja

Negacja: nieprawda ze

(¬α)w(α) w(¬α)

1 00 1

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Negacja

Negacja: nieprawda ze (¬α)

w(α) w(¬α)1 00 1

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Negacja

Negacja: nieprawda ze (¬α)w(α) w(¬α)

1 00 1

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Koniunkcja i alternatywa

Koniunkcja: i (α ∧ β)w(α) w(β) w(α ∧ β)

1 1 11 0 00 1 00 0 0

Alternatywa: lub (α ∨ β)w(α) w(β) w(α ∨ β)

1 1 11 0 10 1 10 0 0

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN



Koniunkcja: i

(α ∧ β)w(α) w(β) w(α ∧ β)

1 1 11 0 00 1 00 0 0


1 1 11 0 10 1 10 0 0

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN



Koniunkcja: i (α ∧ β)

w(α) w(β) w(α ∧ β)1 1 11 0 00 1 00 0 0


1 1 11 0 10 1 10 0 0

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN




1 1 11 0 00 1 00 0 0


1 1 11 0 10 1 10 0 0

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN




1 1 11 0 00 1 00 0 0

Alternatywa: lub

(α ∨ β)w(α) w(β) w(α ∨ β)

1 1 11 0 10 1 10 0 0

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN




1 1 11 0 00 1 00 0 0

Alternatywa: lub (α ∨ β)

w(α) w(β) w(α ∨ β)1 1 11 0 10 1 10 0 0

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN




1 1 11 0 00 1 00 0 0


1 1 11 0 10 1 10 0 0

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Implikacja

Implikacja: jesli . . ., to

(α⇒ β)↑ ↑

poprzednik nastepnikMówimy, zeα jest warunkiem wystarczajacym, by ββ jest warunkiem koniecznym, by α.

w(α) w(β) w(α⇒ β) na przykład1 1 1 6|N⇒ 3|n dla n=24 T0 1 1 6|N⇒ 3|n dla n=3 T0 0 1 6|N⇒ 3|n dla n=4 T1 0 0 (f ma 3 boki⇒ kwadrat) dla f=trójkat F

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Implikacja

Implikacja: jesli . . ., to (α⇒ β)↑ ↑

poprzednik nastepnik

Mówimy, zeα jest warunkiem wystarczajacym, by ββ jest warunkiem koniecznym, by α.


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Implikacja


poprzednik nastepnikMówimy, ze

α jest warunkiem wystarczajacym, by ββ jest warunkiem koniecznym, by α.


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Implikacja


poprzednik nastepnikMówimy, zeα jest warunkiem wystarczajacym, by β

β jest warunkiem koniecznym, by α.


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Implikacja




MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Implikacja




MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Równowaznosc

Równowaznosc: wtedy i tylko wtedy, gdy

(⇔)zachodzi gdy α⇒ β i β ⇒ α

w(α) w(β) w(α⇔ β)

1 1 11 0 00 1 00 0 1

a wiec α⇔ β gdy α i β maja taka sama wartosc logiczna α ≡ β.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Równowaznosc

Równowaznosc: wtedy i tylko wtedy, gdy (⇔)

zachodzi gdy α⇒ β i β ⇒ α


1 1 11 0 00 1 00 0 1


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Równowaznosc

Równowaznosc: wtedy i tylko wtedy, gdy (⇔)zachodzi gdy α⇒ β i β ⇒ α


1 1 11 0 00 1 00 0 1


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Równowaznosc



1 1 11 0 00 1 00 0 1


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Równowaznosc



1 1 11 0 00 1 00 0 1


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Kwadrat logiczny

¬α⇒¬β ¬β⇒¬α

α⇒β β⇒α

prosta odwrotna

przeciwstawnaprzeciwna

��@

@@@@@

Implikacje po przekatnych równowazne.

Jesli dwie implikacje wzdłuz boku prawdziwe, to α⇔ β.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Kwadrat logiczny

¬α⇒¬β ¬β⇒¬α

α⇒β β⇒α

prosta odwrotna


��@

@@@@@



MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Kwadrat logiczny

¬α⇒¬β ¬β⇒¬α

α⇒β β⇒α

prosta odwrotna


��@

@@@@@



MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Zestawienie spójników zdaniowych

α β α ∧ β α ∨ β α⇒ β α⇔ β ¬α T F1 1 1 1 1 1 0 1 01 0 0 1 0 0 0 1 00 1 0 1 1 0 1 1 00 0 0 0 1 1 1 1 0

Wszystkie funktory mozna zdefiniowac przez negacje i implikacje:(α ∨ β) = (¬α⇒ β)(α ∧ β) = ¬(α⇒ ¬β)(α⇔ β) = (α⇒ β) ∧ (β ⇒ α)

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Zestawienie spójników zdaniowych

α β α ∧ β α ∨ β α⇒ β α⇔ β ¬α T F1 1 1 1 1 1 0 1 01 0 0 1 0 0 0 1 00 1 0 1 1 0 1 1 00 0 0 0 1 1 1 1 0

Wszystkie funktory mozna zdefiniowac przez negacje i implikacje:(α ∨ β) = (¬α⇒ β)(α ∧ β) = ¬(α⇒ ¬β)(α⇔ β) = (α⇒ β) ∧ (β ⇒ α)

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Schematy zdaniowe

Schemat zdaniowy (formuła rachunku zdan)(ang.formula)to wyrazenie A(α1, α2, . . . , αn) poprawnie zbudowane ze zdanatomowych (zmiennych zdaniowych) przy uzyciu spójnikówzdaniowych i nawiasów.

Przykład:poprawnie: (α ∨ β) ∧ ¬γniepoprawnie: α⇒ γ∧Uwaga: fakt, ze schemat jest poprawnie zbudowany nieoznacza ze jest on prawdziwy!

Zbiór wszystkich formuł oznaczymy przez F .

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Schematy zdaniowe

Schemat zdaniowy (formuła rachunku zdan)(ang.formula)to wyrazenie A(α1, α2, . . . , αn) poprawnie zbudowane ze zdanatomowych (zmiennych zdaniowych) przy uzyciu spójnikówzdaniowych i nawiasów.Przykład:

poprawnie: (α ∨ β) ∧ ¬γniepoprawnie: α⇒ γ∧Uwaga: fakt, ze schemat jest poprawnie zbudowany nieoznacza ze jest on prawdziwy!


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Schematy zdaniowe

Schemat zdaniowy (formuła rachunku zdan)(ang.formula)to wyrazenie A(α1, α2, . . . , αn) poprawnie zbudowane ze zdanatomowych (zmiennych zdaniowych) przy uzyciu spójnikówzdaniowych i nawiasów.Przykład:poprawnie: (α ∨ β) ∧ ¬γ

niepoprawnie: α⇒ γ∧Uwaga: fakt, ze schemat jest poprawnie zbudowany nieoznacza ze jest on prawdziwy!


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Schematy zdaniowe

Schemat zdaniowy (formuła rachunku zdan)(ang.formula)to wyrazenie A(α1, α2, . . . , αn) poprawnie zbudowane ze zdanatomowych (zmiennych zdaniowych) przy uzyciu spójnikówzdaniowych i nawiasów.Przykład:poprawnie: (α ∨ β) ∧ ¬γniepoprawnie: α⇒ γ∧

Uwaga: fakt, ze schemat jest poprawnie zbudowany nieoznacza ze jest on prawdziwy!


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Schematy zdaniowe

Schemat zdaniowy (formuła rachunku zdan)(ang.formula)to wyrazenie A(α1, α2, . . . , αn) poprawnie zbudowane ze zdanatomowych (zmiennych zdaniowych) przy uzyciu spójnikówzdaniowych i nawiasów.Przykład:poprawnie: (α ∨ β) ∧ ¬γniepoprawnie: α⇒ γ∧Uwaga: fakt, ze schemat jest poprawnie zbudowany nieoznacza ze jest on prawdziwy!


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Schematy zdaniowe

Schemat zdaniowy (formuła rachunku zdan)(ang.formula)to wyrazenie A(α1, α2, . . . , αn) poprawnie zbudowane ze zdanatomowych (zmiennych zdaniowych) przy uzyciu spójnikówzdaniowych i nawiasów.Przykład:poprawnie: (α ∨ β) ∧ ¬γniepoprawnie: α⇒ γ∧Uwaga: fakt, ze schemat jest poprawnie zbudowany nieoznacza ze jest on prawdziwy!


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Podstawienie

Podstawieniem nazywamy kazde zdanie, które powstaje zpoprawnie zbudowanego wyrazenia rachunku zdan przezzastapienie wszystkich zdan atomowych konkretnymi zdaniami.

Przykład: dla schematu α⇒ β• podstawienie α/(5 > 6), β/(1 < 2)

daje zdanie (5 > 6)⇒ (1 < 2)• podstawienie α/(2|6), β/(3|15)

daje zdanie (2|6)⇒ (3|15) ∧ (3|6).

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Podstawienie

Podstawieniem nazywamy kazde zdanie, które powstaje zpoprawnie zbudowanego wyrazenia rachunku zdan przezzastapienie wszystkich zdan atomowych konkretnymi zdaniami.Przykład: dla schematu α⇒ β

• podstawienie α/(5 > 6), β/(1 < 2)daje zdanie (5 > 6)⇒ (1 < 2)

• podstawienie α/(2|6), β/(3|15)daje zdanie (2|6)⇒ (3|15) ∧ (3|6).

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Podstawienie

Podstawieniem nazywamy kazde zdanie, które powstaje zpoprawnie zbudowanego wyrazenia rachunku zdan przezzastapienie wszystkich zdan atomowych konkretnymi zdaniami.Przykład: dla schematu α⇒ β• podstawienie α/(5 > 6), β/(1 < 2)

daje zdanie (5 > 6)⇒ (1 < 2)

• podstawienie α/(2|6), β/(3|15)daje zdanie (2|6)⇒ (3|15) ∧ (3|6).

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Podstawienie

Podstawieniem nazywamy kazde zdanie, które powstaje zpoprawnie zbudowanego wyrazenia rachunku zdan przezzastapienie wszystkich zdan atomowych konkretnymi zdaniami.Przykład: dla schematu α⇒ β• podstawienie α/(5 > 6), β/(1 < 2)

daje zdanie (5 > 6)⇒ (1 < 2)• podstawienie α/(2|6), β/(3|15)

daje zdanie (2|6)⇒ (3|15) ∧ (3|6).

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Wartosc logiczna formuł

Metoda zero-jedynkowa

Wartosc logiczna zdania złozonego obliczamy podstawiajacwszystkie mozliwe wartosci logicznych zdan atomowych.

W ten sposób otrzymujemy tablice wartosci logicznych.Przykład: A(α, β, γ) = (α⇔ β ∧ ¬γ)α β γ ¬γ β ∧ ¬γ A0 0 0 1 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 1 01 0 0 1 0 01 1 0 1 1 11 0 1 0 0 00 1 1 0 0 11 1 1 0 0 0

Wartosc logiczna zdania złozonegozalezy od wartosci zdan atomowych.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN



Wartosc logiczna zdania złozonego obliczamy podstawiajacwszystkie mozliwe wartosci logicznych zdan atomowych.W ten sposób otrzymujemy tablice wartosci logicznych.

Przykład: A(α, β, γ) = (α⇔ β ∧ ¬γ)α β γ ¬γ β ∧ ¬γ A0 0 0 1 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 1 01 0 0 1 0 01 1 0 1 1 11 0 1 0 0 00 1 1 0 0 11 1 1 0 0 0


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN



Wartosc logiczna zdania złozonego obliczamy podstawiajacwszystkie mozliwe wartosci logicznych zdan atomowych.W ten sposób otrzymujemy tablice wartosci logicznych.Przykład: A(α, β, γ) = (α⇔ β ∧ ¬γ)

α β γ ¬γ β ∧ ¬γ A0 0 0 1 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 1 01 0 0 1 0 01 1 0 1 1 11 0 1 0 0 00 1 1 0 0 11 1 1 0 0 0


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN



Wartosc logiczna zdania złozonego obliczamy podstawiajacwszystkie mozliwe wartosci logicznych zdan atomowych.W ten sposób otrzymujemy tablice wartosci logicznych.Przykład: A(α, β, γ) = (α⇔ β ∧ ¬γ)α β γ ¬γ β ∧ ¬γ A0 0 0 1 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 1 01 0 0 1 0 01 1 0 1 1 11 0 1 0 0 00 1 1 0 0 11 1 1 0 0 0


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN



Wartosc logiczna zdania złozonego obliczamy podstawiajacwszystkie mozliwe wartosci logicznych zdan atomowych.W ten sposób otrzymujemy tablice wartosci logicznych.Przykład: A(α, β, γ) = (α⇔ β ∧ ¬γ)α β γ ¬γ β ∧ ¬γ A0 0 0 1 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 1 01 0 0 1 0 01 1 0 1 1 11 0 1 0 0 00 1 1 0 0 11 1 1 0 0 0


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Spełnialnosc i prawdziwosc formuł

Funkcje w : F → {0,1} nazywamy interpretacja.

Mówimy, ze formuła A jest:• spełniona, jesli w(A) = 1 dla danej interpretacji w .• spelnialna, jesli istnieje przynajmniej jedna interpretacja,

dla której w(A) = 1.• niespelnialna, jesli nie jest spełnialna, czyli w(A) = 0 dla

wszystkich interpretacji w .• prawdziwa (tautologia), jesli w(A) = 1 dla wszystkich

interpretacji w , |= A.• nieprawdziwa, jesli nie jest prawdziwa, czyli w(A)=0 dla

pewnej interpretacji w , 2 A.W rachunku zdan spełnianie kazdej formuły mozna sprawdzicmetoda zero-jedynkowa konstruujac tablice wartosci logicznych.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN



Funkcje w : F → {0,1} nazywamy interpretacja.Mówimy, ze formuła A jest:

• spełniona, jesli w(A) = 1 dla danej interpretacji w .• spelnialna, jesli istnieje przynajmniej jedna interpretacja,





MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN



Funkcje w : F → {0,1} nazywamy interpretacja.Mówimy, ze formuła A jest:• spełniona, jesli w(A) = 1 dla danej interpretacji w .

• spelnialna, jesli istnieje przynajmniej jedna interpretacja,dla której w(A) = 1.• niespelnialna, jesli nie jest spełnialna, czyli w(A) = 0 dla




MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN



Funkcje w : F → {0,1} nazywamy interpretacja.Mówimy, ze formuła A jest:• spełniona, jesli w(A) = 1 dla danej interpretacji w .• spelnialna, jesli istnieje przynajmniej jedna interpretacja,

dla której w(A) = 1.

• niespelnialna, jesli nie jest spełnialna, czyli w(A) = 0 dlawszystkich interpretacji w .• prawdziwa (tautologia), jesli w(A) = 1 dla wszystkich



MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN





wszystkich interpretacji w .

• prawdziwa (tautologia), jesli w(A) = 1 dla wszystkichinterpretacji w , |= A.• nieprawdziwa, jesli nie jest prawdziwa, czyli w(A)=0 dla


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN






interpretacji w , |= A.

• nieprawdziwa, jesli nie jest prawdziwa, czyli w(A)=0 dlapewnej interpretacji w , 2 A.

W rachunku zdan spełnianie kazdej formuły mozna sprawdzicmetoda zero-jedynkowa konstruujac tablice wartosci logicznych.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN







pewnej interpretacji w , 2 A.

W rachunku zdan spełnianie kazdej formuły mozna sprawdzicmetoda zero-jedynkowa konstruujac tablice wartosci logicznych.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN








MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Prawa rachunku zdan (tautologie)

Dowodzenie prawdziwosci tautologii

Dla poprawnego wnioskowania uzyteczne sa schematyprawdziwe (tautologie), zwane tez prawami rachunku zdan.

Dowodzenie prawdziwosci metoda zero-jedynkowa:sprawdzamy czy wartosciami w tablicy sa same jedynki.Przykład: ¬α⇒ (α⇒ β)α β ¬α α⇒ β ¬α⇒ (α⇒ β)

1 1 0 1 11 0 0 0 10 1 1 1 10 0 1 1 1

Tak wiec:|= ¬α⇒ (α⇒ β) .

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN




Dowodzenie prawdziwosci metoda zero-jedynkowa:

sprawdzamy czy wartosciami w tablicy sa same jedynki.Przykład: ¬α⇒ (α⇒ β)α β ¬α α⇒ β ¬α⇒ (α⇒ β)

1 1 0 1 11 0 0 0 10 1 1 1 10 0 1 1 1


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN




Dowodzenie prawdziwosci metoda zero-jedynkowa:sprawdzamy czy wartosciami w tablicy sa same jedynki.

Przykład: ¬α⇒ (α⇒ β)α β ¬α α⇒ β ¬α⇒ (α⇒ β)

1 1 0 1 11 0 0 0 10 1 1 1 10 0 1 1 1


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN





1 1 0 1 11 0 0 0 10 1 1 1 10 0 1 1 1


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN





1 1 0 1 11 0 0 0 10 1 1 1 10 0 1 1 1


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Uzyteczne tautologie

prawo tozsamosci dla implikacji:|= α⇒ α kazde zdanie implikuje siebie

prawo tozsamosci dla równowaznosci:|= α⇔ α kazde zdanie jest sobie równowazne

prawa idempotentnosci:|= α ∧ α⇔ α|= α ∨ α⇔ α

prawo wyłaczonego srodka (tertium non datur ):|= α ∨ ¬α z dwóch zdan sprzecznych jedno jest prawdziwe

prawo wyłaczonej sprzecznosci:|= ¬(α∧¬α) z dwóch zdan sprzecznych jedno jest fałszywe

prawa podwójnej negacji:|= α⇔ ¬¬α

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN









MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN









MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN





prawa idempotentnosci:|= α ∧ α⇔ α

|= α ∨ α⇔ αprawo wyłaczonego srodka (tertium non datur ):|= α ∨ ¬α z dwóch zdan sprzecznych jedno jest prawdziwe



MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN









MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN









MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN









MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN









MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Uzyteczne tautologie cd.

prawo negowania koniunkcji:|= ¬(α ∧ β)⇔ (¬α ∨ ¬β)

prawo negowania alternatywy:|= ¬(α ∨ β)⇔ (¬α ∧ ¬β)

prawade Morgana

prawo negowania implikacji:|= ¬(α⇒ β)⇒ (α ∧ ¬β)

prawo negowania równowaznosci:|= ¬(α⇔ β)⇒ (α ∧ ¬β) ∨ (¬α ∧ β)

prawo kontrapozycji (transpozycji):|= (α⇒ β)⇒ (¬β ⇒ ¬α)

jesli z jednego zdania wynika drugie, to z zaprzeczeniadrugiego wynika zaprzeczenie pierwszego

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN





prawade Morgana





MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN





prawade Morgana





MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN





prawade Morgana





MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN



prawa sylogizmu warunkowego:|= (α⇒ β)⇒ ((β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ))

|= (β ⇒ γ)⇒ ((α⇒ β)⇒ (α⇒ γ))|= (α⇒ β) ∧ (β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ)

|= (α⇒ β) ∧ (γ ⇒ δ)⇒{α ∧ γ ⇒ β ∧ δα ∨ γ ⇒ β ∨ δ

prawa pochłaniania:|= α⇒ (α ∨ β) inna postac: [α ∧ (α ∨ β)]⇔ α|= (α ∧ β)⇒ α inna postac: [α ∨ (α ∧ β)]⇔ α

zwiazek implikacji z alternatywa:|= (α⇒ β)⇔ (¬α ∨ β) lub |= (α ∨ β)⇔ (¬α⇒ β)

prawo eksportacji i importacji:|= (α ∧ β ⇒ γ)⇔ (α⇒ (β ⇒ γ))

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN



prawa sylogizmu warunkowego:|= (α⇒ β)⇒ ((β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ))|= (β ⇒ γ)⇒ ((α⇒ β)⇒ (α⇒ γ))

|= (α⇒ β) ∧ (β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ)

|= (α⇒ β) ∧ (γ ⇒ δ)⇒{α ∧ γ ⇒ β ∧ δα ∨ γ ⇒ β ∨ δ




MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN



prawa sylogizmu warunkowego:|= (α⇒ β)⇒ ((β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ))|= (β ⇒ γ)⇒ ((α⇒ β)⇒ (α⇒ γ))|= (α⇒ β) ∧ (β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ)

|= (α⇒ β) ∧ (γ ⇒ δ)⇒{α ∧ γ ⇒ β ∧ δα ∨ γ ⇒ β ∨ δ




MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN




|= (α⇒ β) ∧ (γ ⇒ δ)⇒{α ∧ γ ⇒ β ∧ δα ∨ γ ⇒ β ∨ δ




MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN




|= (α⇒ β) ∧ (γ ⇒ δ)⇒{α ∧ γ ⇒ β ∧ δα ∨ γ ⇒ β ∨ δ




MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN




|= (α⇒ β) ∧ (γ ⇒ δ)⇒{α ∧ γ ⇒ β ∧ δα ∨ γ ⇒ β ∨ δ




MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN




|= (α⇒ β) ∧ (γ ⇒ δ)⇒{α ∧ γ ⇒ β ∧ δα ∨ γ ⇒ β ∨ δ




MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


prawo przemiennosci koniunkcji:|= (α ∧ β)⇔ (β ∧ α)

prawo przemiennosci alternatywy:|= (α ∨ β)⇔ (β ∨ α)

prawo łacznosci koniunkcji:|= [(α ∧ β) ∧ r ]⇔ [α ∧ (β ∧ γ)]

prawo łacznosci alternatywy:|= [(α ∨ β) ∨ γ]⇔ [α ∨ (β ∨ γ)]

prawo rozdzielnosci konjunkcji wzgledem alternatywy:|= [α ∧ (β ∨ γ)]⇔ [(α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)]

prawo rozdzielnosci alternatywy wzgledem konjunkcji:|= [α ∨ (β ∧ γ)]⇔ [(α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)]

prawo Claviusa:|= (¬α⇒ α)⇒ α zdanie wynikajace ze swojego

zaprzeczenia jest prawdziwe

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN










MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN










MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN










MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN










MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN










MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN



prawo Dunsa Scottusa:|= ¬α⇒ (α⇒ β) jezeli zdanie jest fałszywe, to wynika z

niego kazde inne zdanie

prawo symplifikacji:|= α⇒ (β ⇒ α) jezeli zdanie jest prawdziwe, to wynika ono z

kazdego innegoprawo eliminacji implikacji:|= (α⇒ β)⇔ (¬α ∨ β)

prawo zaprzeczenia implikacji:|= ¬(α⇒ β)⇔ (α ∧ ¬β)

prawo sprowadzenia do sprzecznosci(reductio ad absurdum):|= [(¬α⇒ β) ∧ (¬α⇒ ¬β)]⇒ α

prawo Fregego:|= [α⇒ (β ⇒ γ)]⇒ [(α⇒ β)⇒ (α⇒ γ)]

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN




niego kazde inne zdanieprawo symplifikacji:|= α⇒ (β ⇒ α) jezeli zdanie jest prawdziwe, to wynika ono z

kazdego innego

prawo eliminacji implikacji:|= (α⇒ β)⇔ (¬α ∨ β)




MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN









MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN









MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN









MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN









MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Konstruowanie nowych praw

Twierdzenie Reguła podstawiania:

A(α1, α2, . . . , αn) jest prawem rachunku zdan,⇓

schemat otrzymany przez podstawienie α1/A1, . . . , αn/An,gdzie A1, . . . ,An dowolne schematy zdaniowetez jest prawem rachunku zdan.Przykład: W tautologii (α ∨ ¬α) podstawmy: α/(β⇒γ).Otrzymane zdanie: (β⇒γ) ∨ ¬(β⇒γ)tez jest prawem rachunku zdan.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN



Twierdzenie Reguła podstawiania:A(α1, α2, . . . , αn) jest prawem rachunku zdan,

⇓schemat otrzymany przez podstawienie α1/A1, . . . , αn/An,gdzie A1, . . . ,An dowolne schematy zdaniowetez jest prawem rachunku zdan.Przykład: W tautologii (α ∨ ¬α) podstawmy: α/(β⇒γ).Otrzymane zdanie: (β⇒γ) ∨ ¬(β⇒γ)tez jest prawem rachunku zdan.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN




⇓schemat otrzymany przez podstawienie α1/A1, . . . , αn/An,gdzie A1, . . . ,An dowolne schematy zdaniowetez jest prawem rachunku zdan.

Przykład: W tautologii (α ∨ ¬α) podstawmy: α/(β⇒γ).Otrzymane zdanie: (β⇒γ) ∨ ¬(β⇒γ)tez jest prawem rachunku zdan.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN




⇓schemat otrzymany przez podstawienie α1/A1, . . . , αn/An,gdzie A1, . . . ,An dowolne schematy zdaniowetez jest prawem rachunku zdan.Przykład: W tautologii (α ∨ ¬α) podstawmy: α/(β⇒γ).Otrzymane zdanie: (β⇒γ) ∨ ¬(β⇒γ)tez jest prawem rachunku zdan.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie

Reguły wnioskowania (dowodzenia)

Reguły wnioskowania to operacje prowadzace od zdanprawdziwych do prawdziwych

, które zapisujemy:

G1, . . . ,Gn

Alub {G1, . . . ,Gn} |= A

↑ ↑przesłanki (załozenia) wniosek (teza)

Schemat A nazywamy logiczna konsekwencja zbioru załozenG = {G1, . . . ,Gn}, jezeli przy kazdym podstawieniu wartoscilogicznych zmiennych zdaniowych, takim, ze wszystkie formułyG1, . . . ,Gn sa prawdziwe, zachodzi w(A) = 1.

A wiec:teza jest zdaniem prawdziwym, jesli przesłanki sa prawdziwe

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Reguły wnioskowania to operacje prowadzace od zdanprawdziwych do prawdziwych, które zapisujemy:

G1, . . . ,Gn

Alub {G1, . . . ,Gn} |= A




MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie



G1, . . . ,Gn

Alub {G1, . . . ,Gn} |= A




MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie



G1, . . . ,Gn

Alub {G1, . . . ,Gn} |= A




MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie

Reguły wnioskowania cd.

Przykład: Formuła A = α ∨ ¬β jest konsekwencja logicznazbioru załozen U1 = {α}

, czyli U1 |= A,jak i zbioru załozen U2 = {¬β}, czyli U2 |= A.Natomiast A nie jest konsekwencja logiczna zbioru załozenU3 = {¬α, β}, czyli U3 2 A.

Prawo rachunku zdan to schemat, który jest prawdziwy bezzadnych załozen, wiec∅ |= tautologia, co zapisujemy:|= tautologia.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Przykład: Formuła A = α ∨ ¬β jest konsekwencja logicznazbioru załozen U1 = {α}, czyli U1 |= A

,jak i zbioru załozen U2 = {¬β}, czyli U2 |= A.Natomiast A nie jest konsekwencja logiczna zbioru załozenU3 = {¬α, β}, czyli U3 2 A.


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Przykład: Formuła A = α ∨ ¬β jest konsekwencja logicznazbioru załozen U1 = {α}, czyli U1 |= A,jak i zbioru załozen U2 = {¬β}

, czyli U2 |= A.Natomiast A nie jest konsekwencja logiczna zbioru załozenU3 = {¬α, β}, czyli U3 2 A.


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Przykład: Formuła A = α ∨ ¬β jest konsekwencja logicznazbioru załozen U1 = {α}, czyli U1 |= A,jak i zbioru załozen U2 = {¬β}, czyli U2 |= A.

Natomiast A nie jest konsekwencja logiczna zbioru załozenU3 = {¬α, β}, czyli U3 2 A.


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Przykład: Formuła A = α ∨ ¬β jest konsekwencja logicznazbioru załozen U1 = {α}, czyli U1 |= A,jak i zbioru załozen U2 = {¬β}, czyli U2 |= A.Natomiast A nie jest konsekwencja logiczna zbioru załozenU3 = {¬α, β}, czyli U3 2 A.


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie



Prawo rachunku zdan to schemat, który jest prawdziwy bezzadnych załozen

, wiec∅ |= tautologia, co zapisujemy:|= tautologia.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie



Prawo rachunku zdan to schemat, który jest prawdziwy bezzadnych załozen, wiec∅ |= tautologia

, co zapisujemy:|= tautologia.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie

Zwiazek pomiedzy regułami dowodzenia a prawamirachunku zdan

Twierdzenie:Jesli G1, . . . ,Gn,A dowolne schematy zdaniowe, to(

G1∧. . .∧Gn⇒Ajest prawem rachunku zdan

)⇔( G1,...,Gn

Ajest reguła dowodzenia

)

Twierdzenie to pozwala z tautologii rachunku zdan, które majapostac (przesłanki⇒ wniosek) otrzymywac reguły dowodzenia.

Przykładprawo rachunku zdan reguła wnioskowania

B ∧ (B ⇒ A)⇒ A ⇔ B,B ⇒ AA

reguła odrywania

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




)⇔( G1,...,Gn


)Twierdzenie to pozwala z tautologii rachunku zdan, które majapostac (przesłanki⇒ wniosek) otrzymywac reguły dowodzenia.


B ∧ (B ⇒ A)⇒ A ⇔ B,B ⇒ AA

reguła odrywania

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




)⇔( G1,...,Gn


)Twierdzenie to pozwala z tautologii rachunku zdan, które majapostac (przesłanki⇒ wniosek) otrzymywac reguły dowodzenia.


B ∧ (B ⇒ A)⇒ A ⇔ B,B ⇒ AA

reguła odrywania

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie

Uzyteczne reguły wnioskowania

A, B, C, D - schematy zdaniowe

• reguła odrywania (modus ponendo ponens):

opuszczania implikacjiA,A⇒ B

BRO

Przykład

Przesłanki:(

4|84|n⇒ 2|n

)Wniosek: 2|8

• reguła symplifikacji:

dołaczania implikacjiA

B ⇒ A

PrzykładPrzesłanki: Ziemia krazy wokół SłoncaWniosek: Kot ma skrzydła⇒ Ziemia krazy wokół Słonca.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


A, B, C, D - schematy zdaniowe• reguła odrywania (modus ponendo ponens):


BRO

Przykład

Przesłanki:(

4|84|n⇒ 2|n

)Wniosek: 2|8



B ⇒ A


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




BRO

Przykład

Przesłanki:(

4|84|n⇒ 2|n

)

Wniosek: 2|8



B ⇒ A


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




BRO

Przykład

Przesłanki:(

4|84|n⇒ 2|n

)Wniosek: 2|8



B ⇒ A


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




BRO

Przykład

Przesłanki:(

4|84|n⇒ 2|n

)Wniosek: 2|8



B ⇒ A

PrzykładPrzesłanki: Ziemia krazy wokół Słonca

Wniosek: Kot ma skrzydła⇒ Ziemia krazy wokół Słonca.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




BRO

Przykład

Przesłanki:(

4|84|n⇒ 2|n

)Wniosek: 2|8



B ⇒ A


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie

Uzyteczne reguły wnioskowania cd.

• reguły dla równowaznosci:

opuszczania równowaznosciA⇔ BA⇒ B

,A⇔ BB ⇒ A

OE

dołaczania równowaznosciA⇒ B,B ⇒ A

A⇔ BDE

• reguła odrywania dla równowaznosci:

A,A⇔ BB

,B,A⇔ B

A

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




,A⇔ BB ⇒ A

OE


A⇔ BDE


A,A⇔ BB

,B,A⇔ B

A

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




,A⇔ BB ⇒ A

OE


A⇔ B

DE


A,A⇔ BB

,B,A⇔ B

A

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




,A⇔ BB ⇒ A

OE


A⇔ BDE


A,A⇔ BB

,B,A⇔ B

A

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




,A⇔ BB ⇒ A

OE


A⇔ BDE


A,A⇔ BB

,B,A⇔ B

A

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


• reguły sylogizmu warunkowego (stoicy greccy) :

A⇒B,B⇒CA⇒ C

,A⇒ B

(B⇒C)⇒(A⇒C),

B ⇒ C(A⇒B)⇒(A⇒C)

.

Przykład: dla n ∈ N

(8|n)⇒(4|n), (4|n)⇒(2|n)(8|n)⇒ (2|n)

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


• reguły sylogizmu warunkowego (stoicy greccy) :

A⇒B,B⇒CA⇒ C

,A⇒ B

(B⇒C)⇒(A⇒C),

B ⇒ C(A⇒B)⇒(A⇒C)

.

Przykład: dla n ∈ N

(8|n)⇒(4|n), (4|n)⇒(2|n)(8|n)⇒ (2|n)

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


• reguły dla koniunkcji:

dołaczaniaA,B

A ∧ B,

A,BB ∧ A

DK

opuszczaniaA ∧ B

A,

A ∧ BB

OK

A⇒B,A⇒CA⇒ (B ∧ C)

,A⇒B,C⇒D

(A ∧ C)⇒ (B ∧ D)

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie



dołaczaniaA,B

A ∧ B,

A,BB ∧ A

DK

opuszczaniaA ∧ B

A,

A ∧ BB

OK


,A⇒B,C⇒D

(A ∧ C)⇒ (B ∧ D)

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie



dołaczaniaA,B

A ∧ B,

A,BB ∧ A

DK

opuszczaniaA ∧ B

A,

A ∧ BB

OK


,A⇒B,C⇒D

(A ∧ C)⇒ (B ∧ D)

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie



dołaczaniaA,B

A ∧ B,

A,BB ∧ A

DK

opuszczaniaA ∧ B

A,

A ∧ BB

OK


,A⇒B,C⇒D

(A ∧ C)⇒ (B ∧ D)

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie



dołaczaniaA,B

A ∧ B,

A,BB ∧ A

DK

opuszczaniaA ∧ B

A,

A ∧ BB

OK


,A⇒B,C⇒D

(A ∧ C)⇒ (B ∧ D)

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


• reguły dla alternatywy:

dołaczaniaA

A ∨ B,

BA ∨ B

DA

opuszczaniaA ∨ B,¬A

B,A ∨ B,¬B

AOA

A⇒ C,B ⇒ C(A ∨ B)⇒ C

,A⇒B,C⇒D

(A ∨ C)⇒ (B ∨ D)

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie



dołaczaniaA

A ∨ B,

BA ∨ B

DA


B,A ∨ B,¬B

AOA

A⇒ C,B ⇒ C(A ∨ B)⇒ C

,A⇒B,C⇒D

(A ∨ C)⇒ (B ∨ D)

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie



dołaczaniaA

A ∨ B,

BA ∨ B

DA


B,A ∨ B,¬B

AOA

A⇒ C,B ⇒ C(A ∨ B)⇒ C

,A⇒B,C⇒D

(A ∨ C)⇒ (B ∨ D)

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie



dołaczaniaA

A ∨ B,

BA ∨ B

DA


B,A ∨ B,¬B

A

OA

A⇒ C,B ⇒ C(A ∨ B)⇒ C

,A⇒B,C⇒D

(A ∨ C)⇒ (B ∨ D)

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie



dołaczaniaA

A ∨ B,

BA ∨ B

DA


B,A ∨ B,¬B

AOA

A⇒ C,B ⇒ C(A ∨ B)⇒ C

,A⇒B,C⇒D

(A ∨ C)⇒ (B ∨ D)

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie



dołaczaniaA

A ∨ B,

BA ∨ B

DA


B,A ∨ B,¬B

AOA

A⇒ C,B ⇒ C(A ∨ B)⇒ C

,A⇒B,C⇒D

(A ∨ C)⇒ (B ∨ D)

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


• reguły Freggego:

A⇒(B ⇒ C),A⇒BA⇒ C

,A⇒(B ⇒C)

(A⇒ B)⇒ (A⇒ C)

• reguła Dunsa Scotusa:

¬AA⇒ B

.

• reguła Claviusa:¬A⇒ A

A•reguła apagogiczna (podstawa dowodów nie wprost):

¬A⇒ (B ∧ ¬B)

A

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




,A⇒(B ⇒C)

(A⇒ B)⇒ (A⇒ C)


¬AA⇒ B

.



¬A⇒ (B ∧ ¬B)

A

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




,A⇒(B ⇒C)

(A⇒ B)⇒ (A⇒ C)


¬AA⇒ B

.


A

•reguła apagogiczna (podstawa dowodów nie wprost):

¬A⇒ (B ∧ ¬B)

A

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




,A⇒(B ⇒C)

(A⇒ B)⇒ (A⇒ C)


¬AA⇒ B

.



¬A⇒ (B ∧ ¬B)

A

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie

Aksjomatyczne ujecie rachunku zdan, Frege 1879

Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.

Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B

B

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.

Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B

B

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:

1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B

B

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe

2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B

B

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F

3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B

B

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ F

Aksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B

B

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:

A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B

B

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)

A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B

B

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))

A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B

B

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)

A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B

B

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ A

Reguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B

B

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:

reguła odrywania: A,A⇒BB

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Zmienne zdaniowe: α1, α2, . . . , αi , . . ., gdzie i ∈ N.Funktory: ¬,⇒.Jezyk F , to najmniejszy zbiór schematów zdaniowych, który:1. zawiera zmienne zdaniowe2. A ∈ F ⇒ ¬A ∈ F3. A,B ∈ F ⇒ A⇒ B ∈ FAksjomaty dla dowolnych formuł A,B,C,D:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2. prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))A3. prawo Dunsa-Scotusa: ¬A⇒ (A⇒ B)A4. prawo Claviusa: (¬A⇒ A)⇒ AReguły dowodzenia:reguła odrywania: A,A⇒B

B

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie

Metody dowodzeniaDedukcja: przesłanki + ogólne zasady⇒ wniosek

Prawdziwosc wniosku zalezy od prawdziwosci przesłanek ipoprawnosci rozumowania. Badania zapoczatkowali Grecy(600 - 300 pne, Arystoteles, Tales, Pitagoras i inni).

Metody poprawnego wnioskowania:

• Rozstrzygniecie semantyczne przez sprawdzenie wartoscilogicznej formuły dedukcyjnej. Mozliwe gdy istnieje algorytmrozstrzygajacy czy dowolna formuła prawdziwa czy fałszywa.W rachunku zdan procedura decyzyjna jest metoda 0-1.Ale nie w kazdej teorii taka procedura decyzyjna istnieje.• Rozstrzygniecie syntaktyczne przez wyprowadzanie formułze zbioru aksjomatów. Jest to formalizacja rozumowaniadedukcyjnego, dowód stanowi zapis jego kolejnych kroków.Dowód syntaktyczny mozna w kazdej teorii aksjomatycznej.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Prawdziwosc wniosku zalezy od prawdziwosci przesłanek ipoprawnosci rozumowania.

Badania zapoczatkowali Grecy(600 - 300 pne, Arystoteles, Tales, Pitagoras i inni).



MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie





MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie





MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




• Rozstrzygniecie semantyczne przez sprawdzenie wartoscilogicznej formuły dedukcyjnej. Mozliwe gdy istnieje algorytmrozstrzygajacy czy dowolna formuła prawdziwa czy fałszywa.

W rachunku zdan procedura decyzyjna jest metoda 0-1.Ale nie w kazdej teorii taka procedura decyzyjna istnieje.• Rozstrzygniecie syntaktyczne przez wyprowadzanie formułze zbioru aksjomatów. Jest to formalizacja rozumowaniadedukcyjnego, dowód stanowi zapis jego kolejnych kroków.Dowód syntaktyczny mozna w kazdej teorii aksjomatycznej.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




• Rozstrzygniecie semantyczne przez sprawdzenie wartoscilogicznej formuły dedukcyjnej. Mozliwe gdy istnieje algorytmrozstrzygajacy czy dowolna formuła prawdziwa czy fałszywa.W rachunku zdan procedura decyzyjna jest metoda 0-1.

Ale nie w kazdej teorii taka procedura decyzyjna istnieje.• Rozstrzygniecie syntaktyczne przez wyprowadzanie formułze zbioru aksjomatów. Jest to formalizacja rozumowaniadedukcyjnego, dowód stanowi zapis jego kolejnych kroków.Dowód syntaktyczny mozna w kazdej teorii aksjomatycznej.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




• Rozstrzygniecie semantyczne przez sprawdzenie wartoscilogicznej formuły dedukcyjnej. Mozliwe gdy istnieje algorytmrozstrzygajacy czy dowolna formuła prawdziwa czy fałszywa.W rachunku zdan procedura decyzyjna jest metoda 0-1.Ale nie w kazdej teorii taka procedura decyzyjna istnieje.

• Rozstrzygniecie syntaktyczne przez wyprowadzanie formułze zbioru aksjomatów. Jest to formalizacja rozumowaniadedukcyjnego, dowód stanowi zapis jego kolejnych kroków.Dowód syntaktyczny mozna w kazdej teorii aksjomatycznej.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




• Rozstrzygniecie semantyczne przez sprawdzenie wartoscilogicznej formuły dedukcyjnej. Mozliwe gdy istnieje algorytmrozstrzygajacy czy dowolna formuła prawdziwa czy fałszywa.W rachunku zdan procedura decyzyjna jest metoda 0-1.Ale nie w kazdej teorii taka procedura decyzyjna istnieje.• Rozstrzygniecie syntaktyczne przez wyprowadzanie formułze zbioru aksjomatów. Jest to formalizacja rozumowaniadedukcyjnego, dowód stanowi zapis jego kolejnych kroków.

Dowód syntaktyczny mozna w kazdej teorii aksjomatycznej.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie





MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie

System Hilberta: wyprowadzanie formuł

Dowód formalny formuły B ze zbioru załozen G

Dowód formalny, to ciag formuł {D1, . . . ,Dn}, taki ze

1. D1 jest aksjomatem rachunku zdan lub formuła ze zbioru G2. Dj jest aksjomatem rachunku zdan lub formuła ze zbioru G

lub wynika z poprzednich i reguł wnioskowania3. ostatnim elementem jest B

Jesli mozna przeprowadzic dowód formalny, to formułe Bnazywamy twierdzeniem systemu,co zapisujemy G ` B.

Dowody formalne w teoriach aksjomatycznych

Zbiór aksjomatów teorii G uzyty jako zbiór załozen.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie



Dowód formalny, to ciag formuł {D1, . . . ,Dn}, taki ze1. D1 jest aksjomatem rachunku zdan lub formuła ze zbioru G

2. Dj jest aksjomatem rachunku zdan lub formuła ze zbioru Glub wynika z poprzednich i reguł wnioskowania

3. ostatnim elementem jest B




MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie



Dowód formalny, to ciag formuł {D1, . . . ,Dn}, taki ze1. D1 jest aksjomatem rachunku zdan lub formuła ze zbioru G2. Dj jest aksjomatem rachunku zdan lub formuła ze zbioru G

lub wynika z poprzednich i reguł wnioskowania

3. ostatnim elementem jest B




MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie








MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie





Jesli mozna przeprowadzic dowód formalny, to formułe Bnazywamy twierdzeniem systemu,

co zapisujemy G ` B.



MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie








MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie

Dowód formalny w rachunku zdan

Rozwazamy sam rachunek zdan: G = ∅.Formułe B dla której mozna przeprowadzic dowód formalny,nazywamy twierdzeniem rachunku zdan, co zapisujemy ` B.

Przykład: dowód formuły α⇒ α

Korzystmy z:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2.prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))Dowód:1. α⇒ ((α⇒ α)⇒ α) (A1)2. α⇒ (α⇒ α) (A1)3. (α⇒ ((α⇒ α)⇒ α))⇒ ((α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α)) (A2)4. (α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α) reg.odrywania5. α⇒ α reg.odrywania

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




Korzystmy z:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2.prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))

Dowód:1. α⇒ ((α⇒ α)⇒ α) (A1)2. α⇒ (α⇒ α) (A1)3. (α⇒ ((α⇒ α)⇒ α))⇒ ((α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α)) (A2)4. (α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α) reg.odrywania5. α⇒ α reg.odrywania

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




Korzystmy z:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2.prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))Dowód:

1. α⇒ ((α⇒ α)⇒ α) (A1)2. α⇒ (α⇒ α) (A1)3. (α⇒ ((α⇒ α)⇒ α))⇒ ((α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α)) (A2)4. (α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α) reg.odrywania5. α⇒ α reg.odrywania

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




Korzystmy z:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2.prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))Dowód:1. α⇒ ((α⇒ α)⇒ α) (A1)

2. α⇒ (α⇒ α) (A1)3. (α⇒ ((α⇒ α)⇒ α))⇒ ((α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α)) (A2)4. (α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α) reg.odrywania5. α⇒ α reg.odrywania

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




Korzystmy z:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2.prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))Dowód:1. α⇒ ((α⇒ α)⇒ α) (A1)2. α⇒ (α⇒ α) (A1)

3. (α⇒ ((α⇒ α)⇒ α))⇒ ((α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α)) (A2)4. (α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α) reg.odrywania5. α⇒ α reg.odrywania

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




Korzystmy z:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2.prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))Dowód:1. α⇒ ((α⇒ α)⇒ α) (A1)2. α⇒ (α⇒ α) (A1)3. (α⇒ ((α⇒ α)⇒ α))⇒ ((α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α)) (A2)

4. (α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α) reg.odrywania5. α⇒ α reg.odrywania

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




Korzystmy z:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2.prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))Dowód:1. α⇒ ((α⇒ α)⇒ α) (A1)2. α⇒ (α⇒ α) (A1)3. (α⇒ ((α⇒ α)⇒ α))⇒ ((α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α)) (A2)4. (α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α) reg.odrywania

5. α⇒ α reg.odrywania

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




Korzystmy z:A1.prawo symplifikacji: A⇒ (B ⇒ A)A2.prawo Fregego: (A⇒ (B ⇒ C))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C))Dowód:1. α⇒ ((α⇒ α)⇒ α) (A1)2. α⇒ (α⇒ α) (A1)3. (α⇒ ((α⇒ α)⇒ α))⇒ ((α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α)) (A2)4. (α⇒ (α⇒ α))⇒ (α⇒ α) reg.odrywania5. α⇒ α reg.odrywania

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie

System dedukcji naturalnej

Dedukcja naturalna to zgodny z intuicja system dowodzenia.W rachunku zdan zamiast aksjomatów, tylko rownowazne imreguły pierwotne: RO, DK, OK, DA, OA, DE, OE.

Dowód załozeniowy formuły B1 ⇒ (B2 ⇒ (. . .⇒ (Bm ⇒ B))),w której B1,B2 . . .Bm, nazywamy załozeniami dowodu, to ciagformuł {D1, . . . ,Dn} , takich ze:• Di = Bi , i = 1, ...,m• Di ,m < i < n otrzymane z jednego lub dwóch wczesniejszychzałozen na podstawie reguł pierwotnych systemu• Dn = B.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Dedukcja naturalna to zgodny z intuicja system dowodzenia.W rachunku zdan zamiast aksjomatów, tylko rownowazne imreguły pierwotne: RO, DK, OK, DA, OA, DE, OE.Dowód załozeniowy formuły B1 ⇒ (B2 ⇒ (. . .⇒ (Bm ⇒ B))),w której B1,B2 . . .Bm, nazywamy załozeniami dowodu, to ciagformuł {D1, . . . ,Dn} , takich ze:

• Di = Bi , i = 1, ...,m• Di ,m < i < n otrzymane z jednego lub dwóch wczesniejszychzałozen na podstawie reguł pierwotnych systemu• Dn = B.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Dedukcja naturalna to zgodny z intuicja system dowodzenia.W rachunku zdan zamiast aksjomatów, tylko rownowazne imreguły pierwotne: RO, DK, OK, DA, OA, DE, OE.Dowód załozeniowy formuły B1 ⇒ (B2 ⇒ (. . .⇒ (Bm ⇒ B))),w której B1,B2 . . .Bm, nazywamy załozeniami dowodu, to ciagformuł {D1, . . . ,Dn} , takich ze:• Di = Bi , i = 1, ...,m

• Di ,m < i < n otrzymane z jednego lub dwóch wczesniejszychzałozen na podstawie reguł pierwotnych systemu• Dn = B.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Dedukcja naturalna to zgodny z intuicja system dowodzenia.W rachunku zdan zamiast aksjomatów, tylko rownowazne imreguły pierwotne: RO, DK, OK, DA, OA, DE, OE.Dowód załozeniowy formuły B1 ⇒ (B2 ⇒ (. . .⇒ (Bm ⇒ B))),w której B1,B2 . . .Bm, nazywamy załozeniami dowodu, to ciagformuł {D1, . . . ,Dn} , takich ze:• Di = Bi , i = 1, ...,m• Di ,m < i < n otrzymane z jednego lub dwóch wczesniejszychzałozen na podstawie reguł pierwotnych systemu

• Dn = B.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Dedukcja naturalna to zgodny z intuicja system dowodzenia.W rachunku zdan zamiast aksjomatów, tylko rownowazne imreguły pierwotne: RO, DK, OK, DA, OA, DE, OE.Dowód załozeniowy formuły B1 ⇒ (B2 ⇒ (. . .⇒ (Bm ⇒ B))),w której B1,B2 . . .Bm, nazywamy załozeniami dowodu, to ciagformuł {D1, . . . ,Dn} , takich ze:• Di = Bi , i = 1, ...,m• Di ,m < i < n otrzymane z jednego lub dwóch wczesniejszychzałozen na podstawie reguł pierwotnych systemu• Dn = B.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Dedukcja naturalna to zgodny z intuicja system dowodzenia.W rachunku zdan zamiast aksjomatów, tylko rownowazne imreguły pierwotne: RO, DK, OK, DA, OA, DE, OE.Dowód załozeniowy formuły B1 ⇒ (B2 ⇒ (. . .⇒ (Bm ⇒ B))),w której B1,B2 . . .Bm, nazywamy załozeniami dowodu, to ciagformuł {D1, . . . ,Dn} , takich ze:• Di = Bi , i = 1, ...,m• Di ,m < i < n otrzymane z jednego lub dwóch wczesniejszychzałozen na podstawie reguł pierwotnych systemu• Dn = B.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie

Dowód załozeniowy: przykład

Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ ((β⇒γ)⇒(α⇒γ))

Dowód:1. α⇒ β zał2. β⇒γ zał3. α zał

4. β {RO: 1,3}γ {RO: 2,4}

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ ((β⇒γ)⇒(α⇒γ))Dowód:1. α⇒ β zał

2. β⇒γ zał3. α zał

4. β {RO: 1,3}γ {RO: 2,4}

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ ((β⇒γ)⇒(α⇒γ))Dowód:1. α⇒ β zał2. β⇒γ zał

3. α zał

4. β {RO: 1,3}γ {RO: 2,4}

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ ((β⇒γ)⇒(α⇒γ))Dowód:1. α⇒ β zał2. β⇒γ zał3. α zał

4. β {RO: 1,3}γ {RO: 2,4}

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie



4. β {RO: 1,3}γ {RO: 2,4}

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie



4. β {RO: 1,3}

γ {RO: 2,4}

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie



4. β {RO: 1,3}γ {RO: 2,4}

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie

Dowód załozeniowy nie wprost: przykład

Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ (∼ β ⇒∼ α)

Dowód:1. α⇒ β zał2. ¬β zał3. α zał dow. nie wprost

4. β {RO: 1,3}sprzecznosc {2,4}

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ (∼ β ⇒∼ α)Dowód:1. α⇒ β zał

2. ¬β zał3. α zał dow. nie wprost


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ (∼ β ⇒∼ α)Dowód:1. α⇒ β zał2. ¬β zał

3. α zał dow. nie wprost


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie


Twierdzenie: (α⇒ β)⇒ (∼ β ⇒∼ α)Dowód:1. α⇒ β zał2. ¬β zał3. α zał dow. nie wprost


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie



4. β {RO: 1,3}

sprzecznosc {2,4}

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Dowodzenie




MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN

Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc

Niesprzecznosc systemu

Zbiór formuł G nazywamy syntaktycznie sprzecznym

gdy ∃A : (G ` A) ∧ (G ` ¬A),czyli dla pewnej formuły A mozna z niego wyprowadzic A i ¬A.

Twierdzenie: G ` A⇔ zbiór formuł G ∪ ¬A jest sprzeczny.

Zbiór formuł G jest niesprzeczny

jesli nie jest sprzeczny, czyli ∀A : (G 0 A) ∨ (G 0 ¬A), czylidla zadnej formuły A nie mozna z niego wyprowadzic A i ¬A

Twierdzenie: Zbiór formuł G sprzeczny wtedy i tylko wtedy gdyG ` B, gdzie B jest dowolna formuła.Wniosek: Zbiór formuł G jest niesprzeczny⇔ ∃B : G 0 Bczyli teoria jest niesprzeczna jesli istnieje co najmniej jednateza, która nie jest jej konsekwencja.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN









MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN









MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN








Twierdzenie: Zbiór formuł G sprzeczny wtedy i tylko wtedy gdyG ` B, gdzie B jest dowolna formuła.

Wniosek: Zbiór formuł G jest niesprzeczny⇔ ∃B : G 0 Bczyli teoria jest niesprzeczna jesli istnieje co najmniej jednateza, która nie jest jej konsekwencja.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN








Twierdzenie: Zbiór formuł G sprzeczny wtedy i tylko wtedy gdyG ` B, gdzie B jest dowolna formuła.Wniosek: Zbiór formuł G jest niesprzeczny⇔ ∃B : G 0 B

czyli teoria jest niesprzeczna jesli istnieje co najmniej jednateza, która nie jest jej konsekwencja.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN









MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Poprawnosc i pełnosc systemu

Poprawnosc systemu: ` A ⇒ |= A.Wszystkie formuły, które mozna udowodnic sa prawdziwe.

Pełnosc systemu: ` A ⇐ |= A.Dla kazdej formuły prawdziwej mozna przeprowadzic dowódformalny.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Poprawnosc i pełnosc systemu

Poprawnosc systemu: ` A ⇒ |= A.Wszystkie formuły, które mozna udowodnic sa prawdziwe.

Pełnosc systemu: ` A ⇐ |= A.Dla kazdej formuły prawdziwej mozna przeprowadzic dowódformalny.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Pełnosc rachunku zdan:

Twierdzenie o pełnosci rachunku zdan (E.L.Post 1921r)

` A ⇔ |= AA jest twierdzeniem A jest prawem

Wnioski z twierdzenia o pełnosci rachunku zdan:

• Syntaktyczna i semantyczna konsekwencja zbioru formułpokrywaja sie, czyli

G ` A ⇔ G |= A

• Zbiór formuł jest syntaktycznie niesprzeczny⇔ semantycznieniesprzeczny.

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN







G ` A ⇔ G |= A


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN







G ` A ⇔ G |= A


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN







G ` A ⇔ G |= A


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc systemuSystem nazywamy:

• niesprzecznym (ang.consistent) jesli nie mozna z niegowydedukowac, ze A i ¬A sa równoczesnie prawdziwe• pełnym(ang.complete) jesli dla kazdego prawidłowozapisanego stwierdzenia tego systemu A, moznaprzeprowadzic dowód albo A albo jego zaprzeczenia ¬A, czyli zaksjomatów systemu dadza sie wyprowadzic wszystkie zdaniaprawdziwe w kazdym modelu.• rozstrzygalnym(ang.decidable) jesli dla danego stwierdzeniaA mozna w skonczonej liczbie kroków wydedukowac czy jestono prawdziwe.Tak wiec, jesli system jest rozstrzygalny to jest on pełny.

Rachunek zdan jest teoria niesprzeczna, pełna irozstrzygalna (metoda 0-1).

MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc systemuSystem nazywamy:• niesprzecznym (ang.consistent) jesli nie mozna z niegowydedukowac, ze A i ¬A sa równoczesnie prawdziwe

• pełnym(ang.complete) jesli dla kazdego prawidłowozapisanego stwierdzenia tego systemu A, moznaprzeprowadzic dowód albo A albo jego zaprzeczenia ¬A, czyli zaksjomatów systemu dadza sie wyprowadzic wszystkie zdaniaprawdziwe w kazdym modelu.• rozstrzygalnym(ang.decidable) jesli dla danego stwierdzeniaA mozna w skonczonej liczbie kroków wydedukowac czy jestono prawdziwe.Tak wiec, jesli system jest rozstrzygalny to jest on pełny.


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc systemuSystem nazywamy:• niesprzecznym (ang.consistent) jesli nie mozna z niegowydedukowac, ze A i ¬A sa równoczesnie prawdziwe• pełnym(ang.complete) jesli dla kazdego prawidłowozapisanego stwierdzenia tego systemu A, moznaprzeprowadzic dowód albo A albo jego zaprzeczenia ¬A, czyli zaksjomatów systemu dadza sie wyprowadzic wszystkie zdaniaprawdziwe w kazdym modelu.

• rozstrzygalnym(ang.decidable) jesli dla danego stwierdzeniaA mozna w skonczonej liczbie kroków wydedukowac czy jestono prawdziwe.Tak wiec, jesli system jest rozstrzygalny to jest on pełny.


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc systemuSystem nazywamy:• niesprzecznym (ang.consistent) jesli nie mozna z niegowydedukowac, ze A i ¬A sa równoczesnie prawdziwe• pełnym(ang.complete) jesli dla kazdego prawidłowozapisanego stwierdzenia tego systemu A, moznaprzeprowadzic dowód albo A albo jego zaprzeczenia ¬A, czyli zaksjomatów systemu dadza sie wyprowadzic wszystkie zdaniaprawdziwe w kazdym modelu.• rozstrzygalnym(ang.decidable) jesli dla danego stwierdzeniaA mozna w skonczonej liczbie kroków wydedukowac czy jestono prawdziwe.Tak wiec, jesli system jest rozstrzygalny to jest on pełny.


MATEMATYKA I

RACHUNEK ZDAN


Niesprzecznosc, pełnosc i rozstrzygalnosc systemuSystem nazywamy:• niesprzecznym (ang.consistent) jesli nie mozna z niegowydedukowac, ze A i ¬A sa równoczesnie prawdziwe• pełnym(ang.complete) jesli dla kazdego prawidłowozapisanego stwierdzenia tego systemu A, moznaprzeprowadzic dowód albo A albo jego zaprzeczenia ¬A, czyli zaksjomatów systemu dadza sie wyprowadzic wszystkie zdaniaprawdziwe w kazdym modelu.• rozstrzygalnym(ang.decidable) jesli dla danego stwierdzeniaA mozna w skonczonej liczbie kroków wydedukowac czy jestono prawdziwe.Tak wiec, jesli system jest rozstrzygalny to jest on pełny.


MATEMATYKA I

RACHUNEK PREDYKATÓW (kwantyfikatorów, funkcyjny)

Predykaty

Rachunek zdan nie jest dostatecznie bogaty, zeby wyrazic wnim teorie matematyczne formułowane dla dowolnych zbiorównp.N. Potrzebne formuły logiczne (predykaty), wyrazajacerelacje okreslone w dowolnych zbiorach.

MATEMATYKA I


Formy nazwowe

Formy nazwowe

Elementy przestrzeni X zwiemy nazwami.

Nazwa oznaczaprzedmiot: szczególna (jeden), ogólna (co najmniej dwa).Forma nazwowa f (x), o zakresie zmiennosci X , towyrazenie, które staje sie nazwa, gdy zmienna x zastapicnazwa przedmiotu a ∈ X . Nazywa sie to podstawieniem x/a.Przykłady:• Forma nazwowa: f (x) = x3 o zakresie zmiennosci x ∈ Z.Podstawienie x/2 daje 8• Forma nazwowa: x2 + y , o zakresie zmiennosci x , y ∈ Z.Podstawienie x/2 y/5 daje 9.

MATEMATYKA I


Formy nazwowe

Formy nazwowe

Elementy przestrzeni X zwiemy nazwami.Nazwa oznaczaprzedmiot: szczególna (jeden), ogólna (co najmniej dwa).

Forma nazwowa f (x), o zakresie zmiennosci X , towyrazenie, które staje sie nazwa, gdy zmienna x zastapicnazwa przedmiotu a ∈ X . Nazywa sie to podstawieniem x/a.Przykłady:• Forma nazwowa: f (x) = x3 o zakresie zmiennosci x ∈ Z.Podstawienie x/2 daje 8• Forma nazwowa: x2 + y , o zakresie zmiennosci x , y ∈ Z.Podstawienie x/2 y/5 daje 9.

MATEMATYKA I


Formy nazwowe

Formy nazwowe

Elementy przestrzeni X zwiemy nazwami.Nazwa oznaczaprzedmiot: szczególna (jeden), ogólna (co najmniej dwa).Forma nazwowa f (x), o zakresie zmiennosci X , towyrazenie, które staje sie nazwa, gdy zmienna x zastapicnazwa przedmiotu a ∈ X . Nazywa sie to podstawieniem x/a.

Przykłady:• Forma nazwowa: f (x) = x3 o zakresie zmiennosci x ∈ Z.Podstawienie x/2 daje 8• Forma nazwowa: x2 + y , o zakresie zmiennosci x , y ∈ Z.Podstawienie x/2 y/5 daje 9.

MATEMATYKA I


Formy nazwowe

Formy nazwowe

Elementy przestrzeni X zwiemy nazwami.Nazwa oznaczaprzedmiot: szczególna (jeden), ogólna (co najmniej dwa).Forma nazwowa f (x), o zakresie zmiennosci X , towyrazenie, które staje sie nazwa, gdy zmienna x zastapicnazwa przedmiotu a ∈ X . Nazywa sie to podstawieniem x/a.Przykłady:• Forma nazwowa: f (x) = x3 o zakresie zmiennosci x ∈ Z.

Podstawienie x/2 daje 8• Forma nazwowa: x2 + y , o zakresie zmiennosci x , y ∈ Z.Podstawienie x/2 y/5 daje 9.

MATEMATYKA I


Formy nazwowe

Formy nazwowe

Elementy przestrzeni X zwiemy nazwami.Nazwa oznaczaprzedmiot: szczególna (jeden), ogólna (co najmniej dwa).Forma nazwowa f (x), o zakresie zmiennosci X , towyrazenie, które staje sie nazwa, gdy zmienna x zastapicnazwa przedmiotu a ∈ X . Nazywa sie to podstawieniem x/a.Przykłady:• Forma nazwowa: f (x) = x3 o zakresie zmiennosci x ∈ Z.Podstawienie x/2 daje 8• Forma nazwowa: x2 + y , o zakresie zmiennosci x , y ∈ Z.Podstawienie x/2 y/5 daje 9.

MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe

Funkcje zdaniowe

Funkcja zdaniowa

to zalezne od zmiennej x wyrazenie ϕ(x), które staje siezdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy zamiast xpodstawimy dowolna nazwe a ∈ X ,co zapisujemyϕ(x), x ∈X .

Zmienna x nazywamy zmienna wolna. Mówimy, ze elementa ∈ X spełnia funkcje zdaniowa jesli ϕ(a) jest prawdziwe.

Przykłady:

• ϕ(x) = (x jest członkiem PO), gdzie x nalezy do zbioru politykówϕ(Tusk) = 1, ϕ(Kaczynski) = 0.• ϕ(x , y , z): równanie,np: x2 + y2 + z2 = 1, x , y , z ∈ RTa funkcja zdaniowa spełniona np. przez x = y = z = 1√

3.

• ϕ(x , y): nierównosc np. x < y .Ta funkcja zdaniowa jest spełniona np. przez x = 1, y = 2.

MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe

Funkcje zdanioweFunkcja zdaniowa

to zalezne od zmiennej x wyrazenie ϕ(x), które staje siezdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy zamiast xpodstawimy dowolna nazwe a ∈ X ,

co zapisujemyϕ(x), x ∈X .


Przykłady:


3.


MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




Przykłady:


3.


MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe



Zmienna x nazywamy zmienna wolna.

Mówimy, ze elementa ∈ X spełnia funkcje zdaniowa jesli ϕ(a) jest prawdziwe.

Przykłady:


3.


MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




Przykłady:


3.


MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




Przykłady:

• ϕ(x) = (x jest członkiem PO), gdzie x nalezy do zbioru polityków

ϕ(Tusk) = 1, ϕ(Kaczynski) = 0.• ϕ(x , y , z): równanie,np: x2 + y2 + z2 = 1, x , y , z ∈ RTa funkcja zdaniowa spełniona np. przez x = y = z = 1√

3.


MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




Przykłady:

• ϕ(x) = (x jest członkiem PO), gdzie x nalezy do zbioru politykówϕ(Tusk) = 1,

ϕ(Kaczynski) = 0.• ϕ(x , y , z): równanie,np: x2 + y2 + z2 = 1, x , y , z ∈ RTa funkcja zdaniowa spełniona np. przez x = y = z = 1√

3.


MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




Przykłady:

• ϕ(x) = (x jest członkiem PO), gdzie x nalezy do zbioru politykówϕ(Tusk) = 1, ϕ(Kaczynski) = 0.

• ϕ(x , y , z): równanie,np: x2 + y2 + z2 = 1, x , y , z ∈ RTa funkcja zdaniowa spełniona np. przez x = y = z = 1√

3.


MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




Przykłady:

• ϕ(x) = (x jest członkiem PO), gdzie x nalezy do zbioru politykówϕ(Tusk) = 1, ϕ(Kaczynski) = 0.• ϕ(x , y , z): równanie,np: x2 + y2 + z2 = 1, x , y , z ∈ R

Ta funkcja zdaniowa spełniona np. przez x = y = z = 1√3.


MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




Przykłady:


3.


MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




Przykłady:


3.

• ϕ(x , y): nierównosc np. x < y .

Ta funkcja zdaniowa jest spełniona np. przez x = 1, y = 2.

MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




Przykłady:


3.


MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe

Wyznaczanie podzbioru przez funkcje zdaniowa

Funkcja zdaniowa wyznacza w przestrzeni X podzbiór

Stanowi go zbiór elementów które ja spełniaja: A = {x : ϕ(x)}.

Mówimy, ze funkcja prawdziwa w zbiorze A: a ∈ A⇔ ϕ(a).

Przykłady:

• ϕ(x): równanie, np: x2 + 2x − 3 = 0, x ∈ RElementy −3 i 1 spełniaja te funkcje zdaniowa,czyli funkcjaprawdziwa w zbiorze {−3,1}.• ϕ(x)=(x jest parzyste, x ∈ N)Liczby podzielne przez 2 spełniaja te funkcje zdaniowa.Funkcja wyznacza podzbiór liczb parzystych.• nierównosc, np: x2 > 0, x ∈ RFunkcja ta wyznacza zbiór liczb róznych od zera.

MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe



Stanowi go zbiór elementów które ja spełniaja: A = {x : ϕ(x)}.Mówimy, ze funkcja prawdziwa w zbiorze A: a ∈ A⇔ ϕ(a).

Przykłady:


MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




Przykłady:


MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




Przykłady:

• ϕ(x): równanie, np: x2 + 2x − 3 = 0, x ∈ R

Elementy −3 i 1 spełniaja te funkcje zdaniowa,czyli funkcjaprawdziwa w zbiorze {−3,1}.• ϕ(x)=(x jest parzyste, x ∈ N)Liczby podzielne przez 2 spełniaja te funkcje zdaniowa.Funkcja wyznacza podzbiór liczb parzystych.• nierównosc, np: x2 > 0, x ∈ RFunkcja ta wyznacza zbiór liczb róznych od zera.

MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




Przykłady:

• ϕ(x): równanie, np: x2 + 2x − 3 = 0, x ∈ RElementy −3 i 1 spełniaja te funkcje zdaniowa,

czyli funkcjaprawdziwa w zbiorze {−3,1}.• ϕ(x)=(x jest parzyste, x ∈ N)Liczby podzielne przez 2 spełniaja te funkcje zdaniowa.Funkcja wyznacza podzbiór liczb parzystych.• nierównosc, np: x2 > 0, x ∈ RFunkcja ta wyznacza zbiór liczb róznych od zera.

MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




Przykłady:

• ϕ(x): równanie, np: x2 + 2x − 3 = 0, x ∈ RElementy −3 i 1 spełniaja te funkcje zdaniowa,czyli funkcjaprawdziwa w zbiorze {−3,1}.

• ϕ(x)=(x jest parzyste, x ∈ N)Liczby podzielne przez 2 spełniaja te funkcje zdaniowa.Funkcja wyznacza podzbiór liczb parzystych.• nierównosc, np: x2 > 0, x ∈ RFunkcja ta wyznacza zbiór liczb róznych od zera.

MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




Przykłady:

• ϕ(x): równanie, np: x2 + 2x − 3 = 0, x ∈ RElementy −3 i 1 spełniaja te funkcje zdaniowa,czyli funkcjaprawdziwa w zbiorze {−3,1}.• ϕ(x)=(x jest parzyste, x ∈ N)

Liczby podzielne przez 2 spełniaja te funkcje zdaniowa.Funkcja wyznacza podzbiór liczb parzystych.• nierównosc, np: x2 > 0, x ∈ RFunkcja ta wyznacza zbiór liczb róznych od zera.

MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




Przykłady:

• ϕ(x): równanie, np: x2 + 2x − 3 = 0, x ∈ RElementy −3 i 1 spełniaja te funkcje zdaniowa,czyli funkcjaprawdziwa w zbiorze {−3,1}.• ϕ(x)=(x jest parzyste, x ∈ N)Liczby podzielne przez 2 spełniaja te funkcje zdaniowa.

Funkcja wyznacza podzbiór liczb parzystych.• nierównosc, np: x2 > 0, x ∈ RFunkcja ta wyznacza zbiór liczb róznych od zera.

MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




Przykłady:

• ϕ(x): równanie, np: x2 + 2x − 3 = 0, x ∈ RElementy −3 i 1 spełniaja te funkcje zdaniowa,czyli funkcjaprawdziwa w zbiorze {−3,1}.• ϕ(x)=(x jest parzyste, x ∈ N)Liczby podzielne przez 2 spełniaja te funkcje zdaniowa.Funkcja wyznacza podzbiór liczb parzystych.

• nierównosc, np: x2 > 0, x ∈ RFunkcja ta wyznacza zbiór liczb róznych od zera.

MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




Przykłady:


MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe

Złozenia funkcji zdaniowych

Koniunkcja funkcji zdaniowych: ϕ(x) ∧ ψ(x)

Element a ∈ X spełnia ϕ(x) ∧ ψ(x)⇔

a spełnia ϕ(x)i

a spełnia ψ(x)

Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)∧ψ(x)}={x ∈X :ϕ(x)} ∩ {x ∈X :ψ(x)}na przykład:{x ∈ N : 2|x ∧ 5|x} = {x ∈ N : 2|x} ∩ {x ∈ N : 5|x}

MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




a spełnia ϕ(x)i

a spełnia ψ(x)


MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




a spełnia ϕ(x)i

a spełnia ψ(x)

Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)∧ψ(x)}={x ∈X :ϕ(x)} ∩ {x ∈X :ψ(x)}

na przykład:{x ∈ N : 2|x ∧ 5|x} = {x ∈ N : 2|x} ∩ {x ∈ N : 5|x}

MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




a spełnia ϕ(x)i

a spełnia ψ(x)


MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe

Złozenia funkcji zdaniowych cd

Alternatywa funkcji zdaniowych: ϕ(x) ∨ ψ(x)

Element a ∈ X spełnia ϕ(x) ∨ ψ(x)⇔

a spełnia ϕ(x)lub

a spełnia ψ(x)

Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)∨ψ(x)}={x ∈X :ϕ(x)} ∪ {x ∈X :ψ(x)}na przykład:{x ∈R :x<0 ∨ x>0}={x ∈R :x<0} ∪ {x ∈ R :x>0}

MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




a spełnia ϕ(x)lub

a spełnia ψ(x)


MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




a spełnia ϕ(x)lub

a spełnia ψ(x)

Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)∨ψ(x)}={x ∈X :ϕ(x)} ∪ {x ∈X :ψ(x)}

na przykład:{x ∈R :x<0 ∨ x>0}={x ∈R :x<0} ∪ {x ∈ R :x>0}

MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe




a spełnia ϕ(x)lub

a spełnia ψ(x)


MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe


Implikacja funkcji zdaniowych: ϕ(x)⇒ ψ(x)

Poniewaz w(A⇒ B)=w(¬A ∨ B), to

element a ∈ X spełnia ϕ(x)⇒ ψ(x)⇔

a nie spełnia ϕ(x)lub

a spełnia ψ(x)

Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)⇒ψ(x)}=C{x∈X:ϕ(x)} ∪ {x ∈X :ψ(x)}na przykład:{x ∈R :2|x ⇒ 3|x}=C{x∈N:2|x} ∪ {x ∈ N :3|x}

MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe






a spełnia ψ(x)


MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe






a spełnia ψ(x)

Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)⇒ψ(x)}=C{x∈X:ϕ(x)} ∪ {x ∈X :ψ(x)}

na przykład:{x ∈R :2|x ⇒ 3|x}=C{x∈N:2|x} ∪ {x ∈ N :3|x}

MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe






a spełnia ψ(x)


MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe


Równowaznosc funkcji zdaniowych: ϕ(x)⇔ ψ(x)

Poniewaz w(A⇔ B)=w(A⇒ B) ∧ w(B ⇒ A),to element a ∈ Xspełnia (ϕ(x)⇔ ψ(x))⇔ spełnia (ϕ(x)⇒ ψ(x)) ∧ (ψ(x)⇒ ϕ(x))

Dla zbiorów wyznaczanych przez te funkcje zachodzi:{x ∈X :ϕ(x)⇔ψ(x)}=(C{x∈X:ϕ(x)}∪{x ∈X :ψ(x)}

)∩(C{x∈X:ψ(x)}∪{x ∈X :ϕ(x)}

)Funkcje zdaniowe ϕ(x), x ∈Y i ψ(x), x ∈Y nazywamyrównowaznymi, jesli maja te sama wartosc logiczna dlawszystkich x ∈ Y .

MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe





)∩(C{x∈X:ψ(x)}∪{x ∈X :ϕ(x)}


MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe





)∩(C{x∈X:ψ(x)}∪{x ∈X :ϕ(x)}

)

Funkcje zdaniowe ϕ(x), x ∈Y i ψ(x), x ∈Y nazywamyrównowaznymi, jesli maja te sama wartosc logiczna dlawszystkich x ∈ Y .

MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe





)∩(C{x∈X:ψ(x)}∪{x ∈X :ϕ(x)}


MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe


Negacja funkcji zdaniowej ¬ϕ(x)

Element a ∈ X spełnia ¬ϕ(x)⇔ a nie spełnia ϕ(x)

Zachodzi:{x ∈ X : ¬ϕ(x)}= C{x∈X :ϕ(x)}

Przykład:{x ∈ N : ¬(x > 3)} = C{x∈N:x>3} = {0,1,2}

MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe






MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe






MATEMATYKA I


Funkcje zdaniowe






MATEMATYKA I


Kwantyfikatory

Kwantyfikatory i zmienne zwiazane

Rodzajem operacji logicznych, przy pomocy których moznałaczyc zdania sa kwantyfikatory:

• kwantyfikator ogólny: ∀x - dla kazdego x

• kwantyfikator szczegółowy: ∃x - istnieje takie x , ze...

Kwantyfikatory stosuje sie do nazw nalezacych do okreslonegozbioru X .

MATEMATYKA I


Kwantyfikatory






MATEMATYKA I


Kwantyfikatory






MATEMATYKA I


Kwantyfikatory






MATEMATYKA I


Kwantyfikatory






MATEMATYKA I


Kwantyfikatory

Wiazanie zmiennej kwantyfikatorem

Niech ϕ(x) bedzie funkcja zdaniowa zmiennej x o zakresiezmiennosci X 6= ∅.

Przez zastosowanie do ϕ(x) kwantyfikatora zmienna x staje siezmienna zwiazana i uzyskujemy zdanie prawdziwe lub fałszywe.

Przykłady:

•∀x∈R x2 + x + 3 = 0 zdanie fałszywe

•∃x∈R x2 + x − 3 = 0 zdanie prawdziwe

•∀x∈R x = x zdanie prawdziwe

•∃x∈Q : x /∈ N zdanie prawdziwe.

MATEMATYKA I


Kwantyfikatory




Przykłady:





MATEMATYKA I


Kwantyfikatory




Przykłady:





MATEMATYKA I


Kwantyfikatory




Przykłady:





MATEMATYKA I


Kwantyfikatory




Przykłady:





MATEMATYKA I


Kwantyfikatory




Przykłady:





MATEMATYKA I


Kwantyfikatory




Przykłady:





MATEMATYKA I


Kwantyfikatory




Przykłady:





MATEMATYKA I


Kwantyfikatory

Kwantyfikatory i funkcje zdaniowe wielu zmiennych

Funkcja zdaniowa n zmiennych: ϕ(x1, . . . , xn), x1 ∈ X1, . . . , xn∈ Xnpoprzedzona kwantyfikatorem:∀x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn

lub∃x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn

staje sie funkcja zdaniowa n−1 zmiennych wolnych: x2, ..., xn,natomiast x1 jest zmienna zwiazana.

Jesli wszystkie zmienne zostana zwiazane, to otrzymamyformułe, która jest zdaniem.

Przykłady:•Wyrazenie: xy = z, x , y , z∈N, jest f.zdaniowa trzech zmiennych•Wyrazenie: ∃x∈N xy = z jest f.zdaniowa dwóch zmiennych•Wyrazenie: ∀y ,z∈N∃x∈N xy = z jest zdaniem.

MATEMATYKA I


Kwantyfikatory


Funkcja zdaniowa n zmiennych: ϕ(x1, . . . , xn), x1 ∈ X1, . . . , xn∈ Xn

poprzedzona kwantyfikatorem:∀x1∈X1 ϕ(x1, . . . , xn), x2 ∈ X2, . . . , xn ∈ Xn





MATEMATYKA I


Kwantyfikatory







MATEMATYKA I


Kwantyfikatory







MATEMATYKA I


Kwantyfikatory







MATEMATYKA I


Kwantyfikatory







MATEMATYKA I


Kwantyfikatory






Przykłady:

•Wyrazenie: xy = z, x , y , z∈N, jest f.zdaniowa trzech zmiennych•Wyrazenie: ∃x∈N xy = z jest f.zdaniowa dwóch zmiennych•Wyrazenie: ∀y ,z∈N∃x∈N xy = z jest zdaniem.

MATEMATYKA I


Kwantyfikatory






Przykłady:•Wyrazenie: xy = z, x , y , z∈N, jest f.zdaniowa trzech zmiennych

•Wyrazenie: ∃x∈N xy = z jest f.zdaniowa dwóch zmiennych•Wyrazenie: ∀y ,z∈N∃x∈N xy = z jest zdaniem.

MATEMATYKA I


Kwantyfikatory






Przykłady:•Wyrazenie: xy = z, x , y , z∈N, jest f.zdaniowa trzech zmiennych•Wyrazenie: ∃x∈N xy = z jest f.zdaniowa dwóch zmiennych

•Wyrazenie: ∀y ,z∈N∃x∈N xy = z jest zdaniem.

MATEMATYKA I


Kwantyfikatory







MATEMATYKA I


Prawa rachunku predykatów


Schematy zbudowane z f.zdaniowych za pomoca funktorów ikwantyfikatorów, których prawdziwosc wynika ze strukturynazywamy tautologiami (prawami rachunku predykatów).

Twierdzenie o podstawieniach do funkcji zdaniowych:

Jesli A(α1, α2, . . . , αn) prawo rachunku zdan, to podstawienie:α1/ϕ1(x1), . . . , αn/ϕn(xn), gdzie ϕ1(x1), . . . , ϕn(xn) - funkcjezdaniowe zmiennych x1∈X1, . . . , xn∈Xn,daje funkcje zdaniowaB(x1, . . . , xn), która jest prawdziwa w X1 × . . .× Xn.

Reguła podstawiania generuje prawa rachunku predykatów.Przykład dla x , y ∈ R:|= (¬α ∨ β)⇔ (α⇒β)

podstawienie: α/(x 6= y), β/(x < y ∨ y < x),daje prawo|= ((x = y)∨ (x < y) ∨ (y < x))⇔((x 6= y)⇒((x < y) ∨ (y < x)).

MATEMATYKA I




Schematy zbudowane z f.zdaniowych za pomoca funktorów ikwantyfikatorów, których prawdziwosc wynika ze strukturynazywamy tautologiami (prawami rachunku predykatów).Twierdzenie o podstawieniach do funkcji zdaniowych:

Jesli A(α1, α2, . . . , αn) prawo rachunku zdan

, to podstawienie:α1/ϕ1(x1), . . . , αn/ϕn(xn), gdzie ϕ1(x1), . . . , ϕn(xn) - funkcjezdaniowe zmiennych x1∈X1, . . . , xn∈Xn,daje funkcje zdaniowaB(x1, . . . , xn), która jest prawdziwa w X1 × . . .× Xn.



MATEMATYKA I





Jesli A(α1, α2, . . . , αn) prawo rachunku zdan, to podstawienie:α1/ϕ1(x1), . . . , αn/ϕn(xn), gdzie ϕ1(x1), . . . , ϕn(xn) - funkcjezdaniowe zmiennych x1∈X1, . . . , xn∈Xn,

daje funkcje zdaniowaB(x1, . . . , xn), która jest prawdziwa w X1 × . . .× Xn.



MATEMATYKA I








MATEMATYKA I






Reguła podstawiania generuje prawa rachunku predykatów.

Przykład dla x , y ∈ R:|= (¬α ∨ β)⇔ (α⇒β)


MATEMATYKA I






Reguła podstawiania generuje prawa rachunku predykatów.Przykład dla x , y ∈ R:

|= (¬α ∨ β)⇔ (α⇒β)podstawienie: α/(x 6= y), β/(x < y ∨ y < x),daje prawo|= ((x = y)∨ (x < y) ∨ (y < x))⇔((x 6= y)⇒((x < y) ∨ (y < x)).

MATEMATYKA I








MATEMATYKA I







podstawienie: α/(x 6= y), β/(x < y ∨ y < x),

daje prawo|= ((x = y)∨ (x < y) ∨ (y < x))⇔((x 6= y)⇒((x < y) ∨ (y < x)).

MATEMATYKA I








MATEMATYKA I



Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów

• Dictum de omni- jesli wszyscy spełniaja, to dowolny tez:|= ∀x∈X ϕ(x)⇒∃x∈X ϕ(x)

• prawa de Morgana:

|=(¬∀x∈X ϕ(x)⇔ ∃x∈X ¬ϕ(x)¬∃x∈X ϕ(x)⇔ ∀x∈X ¬ϕ(x)

)definiuja kwantyfikator ogólny przez szczegółowy i odwrotnie.

• Prawa właczania i wyłaczania kwantyfikatorów (ψ niezalezne od x):|= ∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∀x∈X ϕ(x) ∨ ψ),|= ∃x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∃x∈X ϕ(x) ∨ ψ),|= ...

MATEMATYKA I









MATEMATYKA I







)

definiuja kwantyfikator ogólny przez szczegółowy i odwrotnie.


MATEMATYKA I









MATEMATYKA I








• Prawa właczania i wyłaczania kwantyfikatorów (ψ niezalezne od x):

|= ∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∀x∈X ϕ(x) ∨ ψ),|= ∃x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∃x∈X ϕ(x) ∨ ψ),|= ...

MATEMATYKA I








• Prawa właczania i wyłaczania kwantyfikatorów (ψ niezalezne od x):|= ∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∀x∈X ϕ(x) ∨ ψ),

|= ∃x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∃x∈X ϕ(x) ∨ ψ),|= ...

MATEMATYKA I








• Prawa właczania i wyłaczania kwantyfikatorów (ψ niezalezne od x):|= ∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∀x∈X ϕ(x) ∨ ψ),|= ∃x∈X (ϕ(x) ∨ ψ)⇔(∃x∈X ϕ(x) ∨ ψ),

|= ...

MATEMATYKA I









MATEMATYKA I



Inne uzyteczne prawa rachunku predykatów cd.

• Kwantyfikator ogólny rozdzielny wzgl.koniunkcji:|= ∀x∈X (ϕ(x)∧ψ(x))⇔(∀x∈X ϕ(x)∧∀x∈X ψ(x)),natomiast nierozdzielny wzgl.alternatywy.

• Kwantyfikator szczegółowy rozdzielny wzgl.alternatywy:|= ∃x∈X (ϕ(x)∨ψ(x))⇔(∃x∈X ϕ(x)∨∃x∈X ψ(x)).natomiast nierozdzielny wzgl.koniunkcji.

• Prawa przemianowywania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X ϕ(x)⇔∀y∈X ϕ(y)|= ∃x∈X ϕ(x)⇔∃y∈X ϕ(y)

• Prawa przestawiania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇔∀y∈Y∀x∈X ϕ(x , y)|= ∃x∈X∃y∈Y ϕ(x , y)⇔∃y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)|= ∃x ∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇒∀y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)

MATEMATYKA I




• Kwantyfikator ogólny rozdzielny wzgl.koniunkcji:

|= ∀x∈X (ϕ(x)∧ψ(x))⇔(∀x∈X ϕ(x)∧∀x∈X ψ(x)),natomiast nierozdzielny wzgl.alternatywy.




MATEMATYKA I




• Kwantyfikator ogólny rozdzielny wzgl.koniunkcji:|= ∀x∈X (ϕ(x)∧ψ(x))⇔(∀x∈X ϕ(x)∧∀x∈X ψ(x)),

natomiast nierozdzielny wzgl.alternatywy.




MATEMATYKA I








MATEMATYKA I





• Kwantyfikator szczegółowy rozdzielny wzgl.alternatywy:

|= ∃x∈X (ϕ(x)∨ψ(x))⇔(∃x∈X ϕ(x)∨∃x∈X ψ(x)).natomiast nierozdzielny wzgl.koniunkcji.



MATEMATYKA I





• Kwantyfikator szczegółowy rozdzielny wzgl.alternatywy:|= ∃x∈X (ϕ(x)∨ψ(x))⇔(∃x∈X ϕ(x)∨∃x∈X ψ(x)).

natomiast nierozdzielny wzgl.koniunkcji.



MATEMATYKA I








MATEMATYKA I






• Prawa przemianowywania kwantyfikatorów:

|= ∀x∈X ϕ(x)⇔∀y∈X ϕ(y)|= ∃x∈X ϕ(x)⇔∃y∈X ϕ(y)


MATEMATYKA I






• Prawa przemianowywania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X ϕ(x)⇔∀y∈X ϕ(y)

|= ∃x∈X ϕ(x)⇔∃y∈X ϕ(y)


MATEMATYKA I








MATEMATYKA I







• Prawa przestawiania kwantyfikatorów:

|= ∀x∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇔∀y∈Y∀x∈X ϕ(x , y)|= ∃x∈X∃y∈Y ϕ(x , y)⇔∃y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)|= ∃x ∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇒∀y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)

MATEMATYKA I







• Prawa przestawiania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇔∀y∈Y∀x∈X ϕ(x , y)

|= ∃x∈X∃y∈Y ϕ(x , y)⇔∃y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)|= ∃x ∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇒∀y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)

MATEMATYKA I







• Prawa przestawiania kwantyfikatorów:|= ∀x∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇔∀y∈Y∀x∈X ϕ(x , y)|= ∃x∈X∃y∈Y ϕ(x , y)⇔∃y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)

|= ∃x ∈X∀y∈Y ϕ(x , y)⇒∀y∈Y∃x∈X ϕ(x , y)

MATEMATYKA I








MATEMATYKA I


Dowodzenie

Reguły dowodzenia w rachunku predykatów

• reguły dowodzenia rachunku zdanobowiazuja w rachunku predykatów na mocy twierdzenia:jesli w regule wnioskowania A1,...,An

B , w przesłankach A1, . . . ,Ani wniosku B zastapic zmienne zdaniowe funkcjami zdaniowymizmiennej x ∈X : A1, . . . ,An → ϕ1(x), . . . , ϕn(x), oraz B → ψ(x),toϕ1(x), . . . , ϕn(x) prawdziwe⇒ ψ(x) prawdziwe.

• reguła uogólniania:

ϕ(x), x ∈X∀x∈X ϕ(x)

MATEMATYKA I


Dowodzenie


• reguły dowodzenia rachunku zdan

obowiazuja w rachunku predykatów na mocy twierdzenia:jesli w regule wnioskowania A1,...,An




MATEMATYKA I


Dowodzenie


• reguły dowodzenia rachunku zdanobowiazuja w rachunku predykatów na mocy twierdzenia:

jesli w regule wnioskowania A1,...,AnB , w przesłankach A1, . . . ,An

i wniosku B zastapic zmienne zdaniowe funkcjami zdaniowymizmiennej x ∈X : A1, . . . ,An → ϕ1(x), . . . , ϕn(x), oraz B → ψ(x),toϕ1(x), . . . , ϕn(x) prawdziwe⇒ ψ(x) prawdziwe.



MATEMATYKA I


Dowodzenie



B , w przesłankach A1, . . . ,Ani wniosku B zastapic zmienne zdaniowe funkcjami zdaniowymizmiennej x ∈X : A1, . . . ,An → ϕ1(x), . . . , ϕn(x), oraz B → ψ(x),

toϕ1(x), . . . , ϕn(x) prawdziwe⇒ ψ(x) prawdziwe.



MATEMATYKA I


Dowodzenie






MATEMATYKA I


Dowodzenie






MATEMATYKA I


Dowodzenie

Reguły dowodzenia w rachunku predykatów cd.

• reguła łaczenia kw.ogólnego wzgl.alternatywy:

∀x∈X ϕ(x) ∨ ∀x∈Xψ(x)∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ(x)

• reguła rozkł.kw.szczegółowego wzgl.koniunkcji:

∃x∈X (ϕ(x) ∧ ψ(x))∃x∈Xϕ(x) ∧ ∃x∈Xψ(x)

• reguła rozkł.implikacji:

∀x∈X (ϕ(x)⇒ ψ(x))∀x∈Xϕ(x)⇒ ∀x∈Xψ(x)

• ...Reguły te mozna uogólnic na funkcje wielu zmiennych.

MATEMATYKA I


Dowodzenie



∀x∈X ϕ(x) ∨ ∀x∈Xψ(x)∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ(x)


∃x∈X (ϕ(x) ∧ ψ(x))∃x∈Xϕ(x) ∧ ∃x∈Xψ(x)




MATEMATYKA I


Dowodzenie



∀x∈X ϕ(x) ∨ ∀x∈Xψ(x)∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ(x)


∃x∈X (ϕ(x) ∧ ψ(x))∃x∈Xϕ(x) ∧ ∃x∈Xψ(x)




MATEMATYKA I


Dowodzenie



∀x∈X ϕ(x) ∨ ∀x∈Xψ(x)∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ(x)


∃x∈X (ϕ(x) ∧ ψ(x))∃x∈Xϕ(x) ∧ ∃x∈Xψ(x)




MATEMATYKA I


Dowodzenie



∀x∈X ϕ(x) ∨ ∀x∈Xψ(x)∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ(x)


∃x∈X (ϕ(x) ∧ ψ(x))∃x∈Xϕ(x) ∧ ∃x∈Xψ(x)



• ...

Reguły te mozna uogólnic na funkcje wielu zmiennych.

MATEMATYKA I


Dowodzenie



∀x∈X ϕ(x) ∨ ∀x∈Xψ(x)∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ(x)


∃x∈X (ϕ(x) ∧ ψ(x))∃x∈Xϕ(x) ∧ ∃x∈Xψ(x)




MATEMATYKA I


Dowodzenie

Aksjomatyczne ujecie rachunku predykatów:

I. Prawa rachunku predykatów:1. Wszystkie podstawienia praw rachunku zdan przez

poprawnie zbudowane wyrazenia2. Prawa dotyczace równosci:∀x∈X x = x∀x ,y∈X (x = y)⇒ (ϕ(x)⇔ ϕ(y))

3. Prawa dotyczace kwantyfikatorów:(∀x∈X ϕ(x))⇒ ϕ(y), y ∈ X∀x∈X (ψ ⇒ ϕ(x))⇒ (ψ ⇒ ∀x∈Xϕ(x))

II. Reguły dowodzenia:1. reguła odrywania: ϕ,ϕ⇒ψ

ψ .2. reguła uogólniania: (ϕ(x), x ∈ X )⇒ ∀x∈X ϕ(x).

MATEMATYKA I


Dowodzenie


I. Prawa rachunku predykatów:

1. Wszystkie podstawienia praw rachunku zdan przezpoprawnie zbudowane wyrazenia

2. Prawa dotyczace równosci:∀x∈X x = x∀x ,y∈X (x = y)⇒ (ϕ(x)⇔ ϕ(y))




MATEMATYKA I


Dowodzenie



poprawnie zbudowane wyrazenia

2. Prawa dotyczace równosci:∀x∈X x = x∀x ,y∈X (x = y)⇒ (ϕ(x)⇔ ϕ(y))




MATEMATYKA I


Dowodzenie







MATEMATYKA I


Dowodzenie







MATEMATYKA I


Dowodzenie





II. Reguły dowodzenia:

1. reguła odrywania: ϕ,ϕ⇒ψψ .

2. reguła uogólniania: (ϕ(x), x ∈ X )⇒ ∀x∈X ϕ(x).

MATEMATYKA I


Dowodzenie






ψ .

2. reguła uogólniania: (ϕ(x), x ∈ X )⇒ ∀x∈X ϕ(x).

MATEMATYKA I


Dowodzenie







MATEMATYKA I


Niesprzecznosc i pełnosc rachunku predykatów

Pełnosc rachunku predykatów

Dowódformalny formuły B ze zbioru formuł G - tak jak w rachunku zdan.Twierdzenie o pełnosci rachunku predykatów, (1928r K.Gödel)Dla dowolnego zbioru formuł G i formuły AG ` A⇔ G |= A,

czyli syntaktyczna i semantyczna konsekwencja pokrywaja sie.Wniosek z twierdzenia o pełnosci:Twierdzenia i prawa rachunku predykatów sa równowazne,` A⇔|= A,

czyli istnieje dowód formalny wszystkich zdan prawdziwych.Nierozstrzygalnosc rachunku predykatów (1936r, A.Church)Schematy kwantyfikatorowe zawieraja zmienne których zakresemzmiennosci sa zbiory nieskonczone. Dla skomplikowanej formułynie istnieje algorytm rozstrzygajacy za pomoca skonczonejilosci kroków czy jest prawem rachunku predykatów.Rachunek predykatów stanowi system niesprzeczny,pełny, ale nierozstrzygalny.

MATEMATYKA I




Dowódformalny formuły B ze zbioru formuł G - tak jak w rachunku zdan.Twierdzenie o pełnosci rachunku predykatów, (1928r K.Gödel)

Dla dowolnego zbioru formuł G i formuły AG ` A⇔ G |= A,



MATEMATYKA I







MATEMATYKA I





czyli syntaktyczna i semantyczna konsekwencja pokrywaja sie.

Wniosek z twierdzenia o pełnosci:Twierdzenia i prawa rachunku predykatów sa równowazne,` A⇔|= A,


MATEMATYKA I





czyli syntaktyczna i semantyczna konsekwencja pokrywaja sie.Wniosek z twierdzenia o pełnosci:

Twierdzenia i prawa rachunku predykatów sa równowazne,` A⇔|= A,


MATEMATYKA I







MATEMATYKA I






czyli istnieje dowód formalny wszystkich zdan prawdziwych.

Nierozstrzygalnosc rachunku predykatów (1936r, A.Church)Schematy kwantyfikatorowe zawieraja zmienne których zakresemzmiennosci sa zbiory nieskonczone. Dla skomplikowanej formułynie istnieje algorytm rozstrzygajacy za pomoca skonczonejilosci kroków czy jest prawem rachunku predykatów.Rachunek predykatów stanowi system niesprzeczny,pełny, ale nierozstrzygalny.

MATEMATYKA I






czyli istnieje dowód formalny wszystkich zdan prawdziwych.Nierozstrzygalnosc rachunku predykatów (1936r, A.Church)

Schematy kwantyfikatorowe zawieraja zmienne których zakresemzmiennosci sa zbiory nieskonczone. Dla skomplikowanej formułynie istnieje algorytm rozstrzygajacy za pomoca skonczonejilosci kroków czy jest prawem rachunku predykatów.Rachunek predykatów stanowi system niesprzeczny,pełny, ale nierozstrzygalny.

MATEMATYKA I






czyli istnieje dowód formalny wszystkich zdan prawdziwych.Nierozstrzygalnosc rachunku predykatów (1936r, A.Church)Schematy kwantyfikatorowe zawieraja zmienne których zakresemzmiennosci sa zbiory nieskonczone.

Dla skomplikowanej formułynie istnieje algorytm rozstrzygajacy za pomoca skonczonejilosci kroków czy jest prawem rachunku predykatów.Rachunek predykatów stanowi system niesprzeczny,pełny, ale nierozstrzygalny.

MATEMATYKA I






czyli istnieje dowód formalny wszystkich zdan prawdziwych.Nierozstrzygalnosc rachunku predykatów (1936r, A.Church)Schematy kwantyfikatorowe zawieraja zmienne których zakresemzmiennosci sa zbiory nieskonczone. Dla skomplikowanej formułynie istnieje algorytm rozstrzygajacy za pomoca skonczonejilosci kroków czy jest prawem rachunku predykatów.

Rachunek predykatów stanowi system niesprzeczny,pełny, ale nierozstrzygalny.

MATEMATYKA I







MATEMATYKA I

NIEPEŁNOSC TEORII ZAWIERAJACYCH ARYTMETYKE

Program Hilberta

1900r, D.Hilbert na Miedz.Kongr.Matematycznym w Paryzuprzedstawił liste 23 nierozwiazanych zagadnien matematyki.Problem II - udowodnienie niesprzecznosci arytmetyki.

1920r - program Hilberta: sformalizowanie całej matematyki iwykazanie jej niesprzecznosci metodami logiki. Czy systemjest pełny i rozstrzygalny?Kroki realizacji:1920r, D.Hilbert wykazał, ze aksjomatyzacja geometriiEuklidesowej spełnia te zadania.1921r, E.L.Post udowodnił pełnosc rachunku zdan.1928r, K.Gödel udowodnił niesprzecznosc i pełnosc rachunkupredykatów.1936r, A.Church wykazał nierozstrzygalnosc rachunkupredykatów.

MATEMATYKA I


Program Hilberta

1900r, D.Hilbert na Miedz.Kongr.Matematycznym w Paryzuprzedstawił liste 23 nierozwiazanych zagadnien matematyki.Problem II - udowodnienie niesprzecznosci arytmetyki.1920r - program Hilberta: sformalizowanie całej matematyki iwykazanie jej niesprzecznosci metodami logiki.

Czy systemjest pełny i rozstrzygalny?Kroki realizacji:1920r, D.Hilbert wykazał, ze aksjomatyzacja geometriiEuklidesowej spełnia te zadania.1921r, E.L.Post udowodnił pełnosc rachunku zdan.1928r, K.Gödel udowodnił niesprzecznosc i pełnosc rachunkupredykatów.1936r, A.Church wykazał nierozstrzygalnosc rachunkupredykatów.

MATEMATYKA I


Program Hilberta

1900r, D.Hilbert na Miedz.Kongr.Matematycznym w Paryzuprzedstawił liste 23 nierozwiazanych zagadnien matematyki.Problem II - udowodnienie niesprzecznosci arytmetyki.1920r - program Hilberta: sformalizowanie całej matematyki iwykazanie jej niesprzecznosci metodami logiki. Czy systemjest pełny i rozstrzygalny?

Kroki realizacji:1920r, D.Hilbert wykazał, ze aksjomatyzacja geometriiEuklidesowej spełnia te zadania.1921r, E.L.Post udowodnił pełnosc rachunku zdan.1928r, K.Gödel udowodnił niesprzecznosc i pełnosc rachunkupredykatów.1936r, A.Church wykazał nierozstrzygalnosc rachunkupredykatów.

MATEMATYKA I


Program Hilberta

1900r, D.Hilbert na Miedz.Kongr.Matematycznym w Paryzuprzedstawił liste 23 nierozwiazanych zagadnien matematyki.Problem II - udowodnienie niesprzecznosci arytmetyki.1920r - program Hilberta: sformalizowanie całej matematyki iwykazanie jej niesprzecznosci metodami logiki. Czy systemjest pełny i rozstrzygalny?Kroki realizacji:1920r, D.Hilbert wykazał, ze aksjomatyzacja geometriiEuklidesowej spełnia te zadania.

1921r, E.L.Post udowodnił pełnosc rachunku zdan.1928r, K.Gödel udowodnił niesprzecznosc i pełnosc rachunkupredykatów.1936r, A.Church wykazał nierozstrzygalnosc rachunkupredykatów.

MATEMATYKA I


Program Hilberta

1900r, D.Hilbert na Miedz.Kongr.Matematycznym w Paryzuprzedstawił liste 23 nierozwiazanych zagadnien matematyki.Problem II - udowodnienie niesprzecznosci arytmetyki.1920r - program Hilberta: sformalizowanie całej matematyki iwykazanie jej niesprzecznosci metodami logiki. Czy systemjest pełny i rozstrzygalny?Kroki realizacji:1920r, D.Hilbert wykazał, ze aksjomatyzacja geometriiEuklidesowej spełnia te zadania.1921r, E.L.Post udowodnił pełnosc rachunku zdan.

1928r, K.Gödel udowodnił niesprzecznosc i pełnosc rachunkupredykatów.1936r, A.Church wykazał nierozstrzygalnosc rachunkupredykatów.

MATEMATYKA I


Program Hilberta

1900r, D.Hilbert na Miedz.Kongr.Matematycznym w Paryzuprzedstawił liste 23 nierozwiazanych zagadnien matematyki.Problem II - udowodnienie niesprzecznosci arytmetyki.1920r - program Hilberta: sformalizowanie całej matematyki iwykazanie jej niesprzecznosci metodami logiki. Czy systemjest pełny i rozstrzygalny?Kroki realizacji:1920r, D.Hilbert wykazał, ze aksjomatyzacja geometriiEuklidesowej spełnia te zadania.1921r, E.L.Post udowodnił pełnosc rachunku zdan.1928r, K.Gödel udowodnił niesprzecznosc i pełnosc rachunkupredykatów.

1936r, A.Church wykazał nierozstrzygalnosc rachunkupredykatów.

MATEMATYKA I


Program Hilberta

1900r, D.Hilbert na Miedz.Kongr.Matematycznym w Paryzuprzedstawił liste 23 nierozwiazanych zagadnien matematyki.Problem II - udowodnienie niesprzecznosci arytmetyki.1920r - program Hilberta: sformalizowanie całej matematyki iwykazanie jej niesprzecznosci metodami logiki. Czy systemjest pełny i rozstrzygalny?Kroki realizacji:1920r, D.Hilbert wykazał, ze aksjomatyzacja geometriiEuklidesowej spełnia te zadania.1921r, E.L.Post udowodnił pełnosc rachunku zdan.1928r, K.Gödel udowodnił niesprzecznosc i pełnosc rachunkupredykatów.1936r, A.Church wykazał nierozstrzygalnosc rachunkupredykatów.

MATEMATYKA I


Niewykonalnosc programu HilbertaTwierdzenia Gödla, 1931 r

I Twierdzenie Gödla: o niepełnosci systemów aksjomatycznychDowolny system zawierajacy w sobie aksjomaty arytmetykiliczb naturalnych, jest albo pełny albo niesprzeczny, ale niemoze miec obu tych własnosci jednoczesnie.

Wniosek: Kazda niesprzeczna teoria matematycznazawierajaca arytmetyke l.naturalnych jest niepełna. Zbiór zdanprawdziwych nie jest tozsamy ze zbiorem twierdzen tej teorii:G |= S ; G ` S,

czyli teoria zawiera zdania prawdziwe, ktore nie dadza siewywiesc z jej aksjomatów.

Przykład: pewne r.algebraiczne dane przez wielomian nie marozwiazan wsród l.całkowitych.

MATEMATYKA I



I Twierdzenie Gödla: o niepełnosci systemów aksjomatycznych

Dowolny system zawierajacy w sobie aksjomaty arytmetykiliczb naturalnych, jest albo pełny albo niesprzeczny, ale niemoze miec obu tych własnosci jednoczesnie.




MATEMATYKA I







MATEMATYKA I




Wniosek: Kazda niesprzeczna teoria matematycznazawierajaca arytmetyke l.naturalnych jest niepełna.

Zbiór zdanprawdziwych nie jest tozsamy ze zbiorem twierdzen tej teorii:G |= S ; G ` S,



MATEMATYKA I







MATEMATYKA I







MATEMATYKA I







MATEMATYKA I


Niewykonalnosc programu Hilberta cd

Niepełnosc arytmetyki jest zasadnicza, gdyz nie da sie jejusunac przez wprowadzenie dodatkowych aksjomatow.Wszystkie teorie zawierajace arytmetyke sa niepełne:niemozliwe udowodnienie wszystkiego co jest prawda przyuzyciu ustalonego zespołu reguł.

II Twierdzenie Gödla: o niedowodliwosci niesprzecznosciNie mozna udowodnic niesprzecznosci systemówzawierajacych arytmetyke za pomoca srodkow tych systemow.

Nie oznacza to wadliwosci teorii. Twierdzenia, które nie daja siewywiesc na gruncie arytmetyki, mozna udowodnic na gruncieteorii obszerniejszej od tej, która chcemy udowodnic, np.posługujac sie aparatem teorii mnogosci.

MATEMATYKA I



Niepełnosc arytmetyki jest zasadnicza, gdyz nie da sie jejusunac przez wprowadzenie dodatkowych aksjomatow.

Wszystkie teorie zawierajace arytmetyke sa niepełne:niemozliwe udowodnienie wszystkiego co jest prawda przyuzyciu ustalonego zespołu reguł.



MATEMATYKA I






MATEMATYKA I






MATEMATYKA I





Nie oznacza to wadliwosci teorii.

Twierdzenia, które nie daja siewywiesc na gruncie arytmetyki, mozna udowodnic na gruncieteorii obszerniejszej od tej, która chcemy udowodnic, np.posługujac sie aparatem teorii mnogosci.

MATEMATYKA I






MATEMATYKA I - Logika matematyczna

Documents