MATEMATİKSEL İKTİSAT - İstanbul Üniversitesiauzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/iktisat_ue/matiktisat.pdfmatematik dili kullanılarak gösterilebilir ve matematiksel teknikler kullanılarak

İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ

AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ

MATEMATİKSEL İKTİSAT

İKTİSAT

PROF. DR. DÜNDAR MURAT DEMİRÖZ





İKTİSAT LİSANS PROGRAMI

MATEMATİKSEL İKTİSAT

PROF. DR. DÜNDAR MURAT DEMİRÖZ

Yazar Notu

Elinizdeki bu eser, İstanbul Üniversitesi Açık ve Uzaktan Eğitim Fakültesi’nde okutulmak için

hazırlanmış bir ders notu niteliğindedir.

I

ÖNSÖZ

II

İÇİNDEKİLER

ÖNSÖZ ............................................................................................................................ I

İÇİNDEKİLER .............................................................................................................. II

KISALTMALAR ......................................................................................................... IX

YAZAR NOTU ............................................................................................................. X

1. GİRİŞ VE MATEMATİKSEL İKTİSADİ MODELLER .......................................... 1

Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? ................................................................................... 2

Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular......................................................................... 3

Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri ........................................... 4

Anahtar Kavramlar ......................................................................................................... 5

Giriş ................................................................................................................................ 6

1.1.Matematiksel İktisadın Anlamı ................................................................................ 7

1.2. Matematiksel Modellerin Bileşenleri ...................................................................... 8

1.2.1.Değişkenler .................................................................................................... 8

1.2.3.Reel Sayılar .................................................................................................... 9

1.2.4.Kümeler .......................................................................................................... 9

1.2.5.Grafikler ve Fonksiyonların Grafik İle Gösterimi ....................................... 15

Uygulamalar ................................................................................................................. 18

Uygulama Soruları........................................................................................................ 19

Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti .................................................................................. 20

Bölüm Soruları ............................................................................................................. 21

2. İKTİSADİ DENGE VE STATİK ANALİZ ............................................................. 22

Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? ................................................................................. 23

Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular....................................................................... 24

Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri ......................................... 25

Anahtar Kavramlar ....................................................................................................... 26

Giriş .............................................................................................................................. 27

2.1. Ekonomide Arz ve Talep Taraflarının Hesaplanması ........................................... 28

2.1.1. Kısa Dönemli Piyasa Analizinde Denge ..................................................... 30

2.1.2. Doğrusal Olmayan Modellerde Piyasa Dengesi ......................................... 33

2.1.3.Genel Piyasa Dengesi ................................................................................... 34

2.1.4. İki Mallı Piyasalarda Denge ........................................................................ 35

III

2.1.5. Millî Gelir Dengesi ..................................................................................... 37

Uygulamalar ................................................................................................................. 39



Bölüm Soruları ............................................................................................................. 42

3. KARŞILAŞTIRMALI STATİK ANALİZ VE TÜREV KAVRAMI ...................... 43





Giriş .............................................................................................................................. 48

3.1. Karşılaştırmalı Statik Analizin Doğası .................................................................. 49

3.2. Değişim Oranı (Fark Bölümü) Ve Türev .............................................................. 50

3.3. Türev ve Bir Eğrinin Eğimi ................................................................................... 52

3.4. Bir Fonksiyonun Sürekliliği Ve Türev Alınabilirliği ............................................ 54

Uygulamalar ................................................................................................................. 55



Bölüm Soruları ............................................................................................................. 58

4. TÜREV ALMA KURALLARI ................................................................................ 59





Giriş .............................................................................................................................. 64

4.1. Sabit Fonksiyonların Türevi .................................................................................. 65

4.2. Doğrusal Fonksiyonların Türevi............................................................................ 65

4.3. Kuvvet Fonksiyonlarının Türevi ........................................................................... 66

4.4. Toplama Ve Çıkarma Kuralı ................................................................................. 67

4.5. Çarpım Kuralı ........................................................................................................ 68

4.6. Bölme Kuralı ......................................................................................................... 68

4.7. Zincir Kuralı .......................................................................................................... 69

4.8. Genelleştirilmiş Kuvvet Fonksiyonu ..................................................................... 70

IV

4.9. Yüksek Dereceden Türevler .................................................................................. 70

Uygulamalar ................................................................................................................. 72



Bölüm Soruları ............................................................................................................. 75

5. TÜREV ALMA KURALLARI II ............................................................................ 76





Giriş .............................................................................................................................. 81

5.1. Kâr Fonksiyonu ve Marjinal Kâr ........................................................................... 82

5.2. Ortalama Gelirden Marjinal Gelirin Üretilmesi .................................................... 83

5.3.Marjinal Maliyet Ve Ortalama Maliyet İlişkisi ...................................................... 84

5.4.Piyasa Dengesinde Değişimin Analizi ................................................................... 85

Uygulamalar ................................................................................................................. 88



Bölüm Soruları ............................................................................................................. 91

6. TEK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA OPTİMİZASYON ............................. 92





Giriş .............................................................................................................................. 97

6.1. Optimizasyon Ve Ekstremum Noktaları ............................................................... 98

6.2. Kısa Dönemde Toplam Ürün Fonksiyonunun Maksimum Ve Minimum Noktaları ................................................................................................................................................ 102

6.3. Kısa Dönemde Ortalama Maliyet Fonksiyonunun Maksimum Ve Minimum Noktaları ................................................................................................................................. 103

Uygulamalar ............................................................................................................... 105

Uygulama Soruları...................................................................................................... 106

Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti ................................................................................ 107

Bölüm Soruları ........................................................................................................... 108

V

7. BİRDEN FAZLA DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA OPTİMİZASYON ...... 109

Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? ............................................................................... 110

Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular..................................................................... 111

Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri ....................................... 112

Anahtar Kavramlar ..................................................................................................... 113

Giriş ............................................................................................................................ 114

7.1. Çok Değişkenli Fonksiyonlar ve Kısmi Türevler ................................................ 115

7.2. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Optimizasyon ................................................... 118

7.3. İki Mallı Firma Dengesi ...................................................................................... 119

Uygulamalar ............................................................................................................... 120



Bölüm Soruları ........................................................................................................... 123

8. KISIT ALTINDA OPTİMİZASYON .................................................................... 124





Giriş ............................................................................................................................ 129

8.1. Kısıt ve Kısıt Altında Optimizasyonun Anlamı .................................................. 130

8.2. Kısıt Altında Optimizasyon Ve Yöntemleri ........................................................ 131

8.2.1. İkame Yöntemi .......................................................................................... 131

8.2.2. Legrance Çarpanı Yöntemi ....................................................................... 133

8.3. Tüketicinin Fayda Maksimizasyonu .................................................................... 135

8.4. Firmanın Maliyet Minimizasyonu ....................................................................... 137

Uygulamalar ............................................................................................................... 139



Bölüm Soruları ........................................................................................................... 142

9. İKTİSADİ DİNAMİKLER VE İNTEGRAL ANALİZİ ........................................ 143




VI


Giriş ............................................................................................................................ 148

9.1. İntegralin Anlamı Ve İktisat Biliminde Kullanım Alanları ................................. 149

9.2. İntegral İşlemlerinde Kurallar ............................................................................. 150

9.2.1. Kuvvet Kuralı ............................................................................................ 150

9.2.2. Üs Kuralı ................................................................................................... 151

9.2.3. Logaritma Kuralı ....................................................................................... 151

9.2.4. Toplam Kuralı ........................................................................................... 151

9.2.5. Çarpım Kuralı............................................................................................ 152

9.2.6. İkame Kuralı.............................................................................................. 153

9.2.7. Parçalı İntegral Kuralı ............................................................................... 153

Uygulamalar ............................................................................................................... 154



Bölüm Soruları ........................................................................................................... 157

10. İNTEGRAL ANALİZİNİN İKTİSADİ UYGULAMALARI .............................. 158





Giriş ............................................................................................................................ 163

10.1.İntegralin İktisat Biliminde Kullanım Alanları .................................................. 164

10.2. Marjinal Fonksiyonlardan Toplam Fonksiyonların Türetilmesi ....................... 164

10.2.1. Marjinal Ürün ve Toplam Ürün .............................................................. 164

10.2.2. Marjinal Maliyet Ve Toplam Maliyet ..................................................... 165

10.3. Kapalı İntegral Hesapları Ve Eğrinin Altında Kalan Alanın Hesaplanması ..... 166

10.3.1. Kapalı İntegral Hesapları ........................................................................ 166

10.3.2.Tüketici Artığının Hesaplanması ............................................................. 167

10.3.3. Üretici Artığının Hesaplanması............................................................... 171

Uygulamalar ............................................................................................................... 174



Bölüm Soruları ........................................................................................................... 177

VII

11. BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER.......................... 178





Giriş ............................................................................................................................ 183

11.1İktisadi Analizde Zaman Boyutu ......................................................................... 184

11.2. Sabit Terim ve Katsayılı Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler ........... 185

11.2.1.Homojen Durum Ve Çözümü .................................................................. 185

11.2.2. Homojen Olmayan Durum ve Çözümü .................................................. 187

Uygulamalar ............................................................................................................... 189



Bölüm Soruları ........................................................................................................... 192

12. BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER II ...................... 193





Giriş ............................................................................................................................ 198

12.1.Değişken Terim Ve Katsayılı Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler .... 199

12.1.1. Homojen Durum Ve Çözümü ................................................................. 199

12.1.2.Homojen Olmayan Durum ve Çözümü ................................................... 200

12.2. Diferansiyel Denklemler ve İktisadi Anlamı ..................................................... 201

12.2.1. Sabit Katsayılı ve Terimli Diferansiyel Denklemler ............................... 202

12.2.2. Değişken Katsayı ve Terimli Diferansiyel Denklemler .......................... 203

Uygulamalar ............................................................................................................... 204



Bölüm Soruları ........................................................................................................... 207

13. DİNAMİK PİYASA DENGESİ VE SOLOW BÜYÜME MODELİ .................. 208



VIII



Giriş ............................................................................................................................ 213

13.1. Sabit Katsayılı Ve Terimli Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemlerde Genel Çözüm Formülü ...................................................................................................................... 214

13.2. Piyasa Dengesine Fiyatın Dinamik İntibakı ...................................................... 215

13.3. Solow Büyüme Modeli ...................................................................................... 217

Uygulamalar ............................................................................................................... 221



Bölüm Soruları ........................................................................................................... 224

14. DİNAMİK DIŞ BORÇ MODELİ ........................................................................ 225





Giriş ............................................................................................................................ 230

14.1.Değişken Terim Ve Katsayılı Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler .... 231

14.2. Dinamik Dış Denge Modeli............................................................................... 231

14.2.1. Temel Model ........................................................................................... 231

14.2.2. Dış Borcun Dinamik İntibak Mekanizması ............................................ 232

Uygulamalar ............................................................................................................... 234



Bölüm Soruları ........................................................................................................... 237

KAYNAKÇA ............................................................................................................. 238

IX

KISALTMALAR

X

YAZAR NOTU

1

1. GİRİŞ VE MATEMATİKSEL İKTİSADİ MODELLER

2

Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz?

1.1. Matematiksel İktisadın Anlamı

1.2. Matematiksel Modellerin Bileşenleri

1.2.1. Değişkenler

1.2.2. Reel Sayılar

1.2.3. Kümeler

1.2.3.1. Küme Teorisine Dair Temel Kavramlar

1.2.3.2. Küme İşlemler

1.2.4. Fonksiyonlar

1.2.5. Grafikler ve Fonksiyonların Grafik İle Gösterimi

3

Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular

4

Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri

Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği

5

Anahtar Kavramlar

6

Giriş

Bu haftaki dersimizde iktisatta kullanılan temel matematiksel kavramları inceleyecek ve iktisat biliminde matematiksel modellemenin hem yöntemsel hem de kuramsal önemini tartışacağız. Bölümde matematiksel iktisadın hangi amaçlar doğrultusunda geliştiğini ve bu amaçlara ulaşmak için gerekli bulunan araçları yani temel bileşenleri ele alınmaktadır. Değişkenler, sabitler, parametreler, reel sayılar ve kümeler gibi temel konular bu bölümde incelenmektedir. Bunun yanı sıra, iktisadi değişkenlerin birbirlerini etkileme sürecinde karşılaştıkları karmaşık ilişkiler matematiksel modeller ile açık ve anlaşılır bir hâle getirilmeye çalışılmıştır. Modellerin esas yapısını oluşturan fonksiyonlar, tek ve çok değişkenli olarak ele alınarak başlangıç düzeyinde sabit, doğrusal, kuadratik ve kübik olarak gösterilmiştir. Fonksiyonların grafikle gösterimi ve ayrıca belirli grafik özellikleri belirtilmiştir.

7

1.1.Matematiksel İktisadın Anlamı

Matematiksel iktisat esas olarak, iktisadi olayların karmaşık yapılarının basit bir model hâline

getirilmesini ve böylece iktisadi analizlerin matematik dili ile çözümünü amaçlamaktadır.

Günümüzde gerek lisans gerekse de lisansüstü iktisat eğitiminde kullanılan modern analitik

iktisadın gelişiminde matematiksel yöntemler oldukça önemli bir rol oynamıştır. Buna bağlı

olarak, iktisadi değişkenler arasındaki ilişkilerin açık bir şekilde anlaşılması ve düzenlenmesi

amacıyla çeşitli varsayımlarla meydana getirilen matematiksel dil büyük bir öneme sahip

bulunmaktadır.

Mevcut iktisadi koşulların hangi faktörler tarafından ne ölçüde şekillendirildiğini belirten çeşitli

genel özellikleri belirtmesi, gerçek iktisadi dünyanın bir modelini elde etme isteğini

belirtmektedir. İktisadın açıklamak üzere ele aldığı konuların karmaşıklaşması ile bu konuların

daha iyi anlaşılması ve değerlendirilmesinde kullanılan matematiksel araçlar daha sofistike bir

hâle gelmektedir. Modern mikro iktisadın ve makro iktisadın temelini oluşturan yapılar

optimizasyon problemlerini içermektedir. Bu dersin öncelikli amacı iktisadi olayların karmaşık

yapılarının net ve açık bir dil olan matematik ile bu olayların içyapılarının en iyi şekilde

anlaşılmasıdır.

Matematiksel modellemenin iktisat içerisindeki önemi, özellikle marjinalist okul ile oldukça

artmış ve bu süreçten itibaren modern analizlerde en sık kullanılan araç olarak karşımıza

çıkmaktadır. Matematiksel işlemler sadece ilişkileri tanımlamamakta aynı zamanda da iktisadi

yeni teorik yapıların meydana getirilmesinde de büyük bir öneme sahip bulunmaktadır. Ancak,

teorik yapıların kesin doğruluğu veya yanlışlığı üzerinde çalışılan verilerin doğrudan bir şekilde

gözlemler sonucunda elde edilmemesinden dolayı kesin olarak test edilemez. İktisadi

modellerin kurulmasındaki başlıca amaç karmaşık iktisadi ilişkilerin meydana getirdiği bir

olayın anlaşılabilir bir hâle gelmesini sağlamaktır.

Gerçek hayatta meydana gelen iktisadi olayların karmaşık ve çok boyutlu olmasına bağlı olarak,

bu olayların ortaya çıkmasını sağlayan özelliklerin daha küçük bir boyutta ele alınması ile elde

edilecek modeller sayesinde anlaşılmasına gerek duyulur. Buna bağlı olarak, matematiksel

iktisadi modeller, gerçekleşmiş olduğu kadar gerçekleşme olasılığına sahip olaylar üzerinde

tahminlerde bulunulmasını sağlamaktadır.

Matematiksel yöntemler, ekonomik analizlerin anlaşılmasında net ve kesinlik, teorik yapıların

8

varsayımlarının açık bir şekilde ele alınmasını ve çok sayıda değişken için uygulanabilir

olmasını sağlamaktadır. Böylece birçok modern makro ve mikro iktisadi model ve problem

matematik dili kullanılarak gösterilebilir ve matematiksel teknikler kullanılarak

çözümlenebilir.

1.2. Matematiksel Modellerin Bileşenleri

Temel olarak bir iktisadi modelin matematiksel olarak ifade edilmesi, ele alınan olguların

değişken olarak belirtilmesi bu değişkenler arasındaki ilişkileri gösteren denklemlere bağlı

bulunmaktadır. Ele alınan modellerde değişkenlerin farklılıklar göstermesi söz konusu

olabilmektedir. Farklı iktisadi modeller için çeşitli değişkenler farklı biçimlerde ortaya

konulabilir.

1.2.1.Değişkenler

Değişkenler, matematiksel analizin en temel ham bileşenidirler. Genel olarak, harf veya diğer

sembollerle gösterilirler. Değişken, farklı değerler alabileceğimizi varsaydığımız bir değerler

kümesini temsil eden bir semboldür. Diğer yandan, ele alınan bu değerler kümesini temsil eden

sembol değişiklik göstermemekte ve sürekli olarak aynı kalmakta ise sabit olarak

tanımlanmaktadır.

Mandalinanın kilo fiyatının farklı dükkânlarda 2, 4, 5 TL olduğunu varsayalım. Eğer, p

sembolünü mandalinanın bu dükkânlardaki fiyatı olarak tanımlarsak, p bizim değişkenimiz

olacak ve temsil ettiği fiyatlar olan 2, 4, 5 ise p’nin alabileceği değerler olacaktır. Ancak,

mandalinanın kilo fiyatı tüm dükkânlarda 4 TL olarak aynı bulunmakta ise, p değişkeni bir sabit

olacaktır.

İktisatta ve burada ele alacağımız iktisadi modellerde genellikle gelir, maliyet, fiyat, yatırım,

tüketim, ithalat ve ihracat gibi değerleri göstermek amacıyla kullanılmaktadır. Her bir değişken,

içinde bulunduğu modelde belirli bir sembol tarafından temsil edilmektedir. Örneğin; tasarruf

S ile gösterilmekte iken, hükümet harcamaları G, fiyat P ve miktar Q ile gösterilmektedir.

Bazı değişkenler, model tarafından belirlenmekte olup bu tür değişkenlere endojen

(içsel)değişkenler ve diğer yandan bazı değişkenler ise modelin dışındaki olgular tarafından

belirlendiği varsayılmakta olup bu tür değişkenlere egzojen (dışsal) değişkenler denilmektedir.

9

Burada göz önünde bulundurulması gereken önemli nokta, bir değişken bir modelde endojen

olarak tanımlanmakta iken bir başka modelde egzojen olarak tanımlanabilir. Örneğin; bir

ürünün fiyatının belirlenmesinde fiyat (P) endojen bir değişken iken, bu ürünü satın alan bir

tüketicinin harcama modelinde bu fiyat değişkeni bir egzojen değişken durumundadır.

Değişkenler birçok iktisadi modelde sabit değerler ile de gösterilmekte olup, değişmeyen bir

değer kümesini belirtmektedir. Eğer bir sabit değer bir değişkeni tanımlamakta ise bu değer,

değişkenin katsayısı veya parametresi olarak belirtilebilir. Parametre bazen sabit bazen de

değişken olarak modellerde bulunabilir. 8x + 4 fonksiyonunda 8 ve 4 sabit değerler ve x ise

değişken olup ax + 4 fonksiyonunda 4 sabit değer, x değişken ve a ise parametredir. Parametrik

sabitler ise genel olarak a, b, c, x, y, ve z olarak veya α, β, γ gibi Yunan harflerinden de

gösterilebilir.

1.2.3.Reel Sayılar

Matematiksel bir modelin temel bileşenleri değişkenler ve denklemler olup kullanılan ana

değerler genel olarak reel sayılar olarak tanımlanmaktadır.

Tamsayılar kendi içlerinde 1, 2, 3 gibi sıklıkla değerlerin hesaplanmasında kullanılan sayılar

olmak üzere pozitif tamsayılar ve bu değerlerin –1, –2, –3 negatif ölçümleri negatif tamsayılar

ile sıfırın birleşimi olmak üzere tanımlanmaktadır. Pozitif ve negatif tamsayıların tümü

tamsayılar kümesini meydana getirmektedir. Tamsayıların bölünmesiyle elde edilen rasyonel

sayılar da ½, ¾ gibi pozitif ve – ½, – ¾ gibi negatif olmak üzere rasyonel sayılar kümesini

oluşturmaktadır.

1.2.4.Kümeler

Küme teorisi, matematiğin en temel yapıtaşı olarak bulunmaktadır. Matematiğin pek çok farklı

dalı küme teorisi konusuna ait başlıca düşüncelerden kaynaklanmaktadır. Küme, belirli bir

özelliğe sahip değerlerin bir araya gelmesinden oluşan matematiksel bir yapıdır. Genellikle

günlük hayatımızda aynı özelliklere sahip çeşitli objeleri sınıflandırırız. Matematik dersini alan

öğrenciler bir kümeyi belirtmekte iken, aynı şekilde bir küme 4, 7 ve 9 gibi sadece sayılardan

da oluşabilir. İktisadi olarak, 100 işçiden fazla eleman çalıştıran firmalar veya 2010 yılında

10.000 TL üzerinde vergi verenler sınıflandırılabilir.

Matematikte yukarıda belirtildiği gibi meydana getirilen toplamlar küme olarak adlandırılır.

10

Böylelikle kümede bulunan değerler, o kümenin elemanları veya üyeleri olarak

tanımlanmaktadırlar. Kümeler, ayrıntılı ve açıklamalı olmak üzere iki farklı şekilde

belirtilebilir. Buna göre, yukarıda belirtilen örnek birinci örnek şu şekilde A = {4, 7, 9} ve ikinci

örnek ise şu şekilde M = {x│x matematik dersini alan öğrenciler} gösterilebilir. Bunlara ek

olarak, kümelerin genellikle büyük harf ile gösterildiğini belirtmek gerekir.

Bir kümenin elemanı sembolü ile gösterilmekte olup, kümenin elemanı olduğu anlamına

gelmektedir. Böylece, yukarıdaki kümeyi eleman sembolü ile 4 A, 7 A, 9 A şeklinde

gösterebilir. Bir değerin kümeye ait olmama durumu ise sembolü ile gösterilir. Buna göre, 3

{4, 7, 9} ilişkisi 3’ün {4, 7, 9} kümesine ait bir eleman olmadığını belirtmektedir.

1.2.4.1.Küme Teorisine Dair Temel Kavramlar

Eşit Kümeler

Kümeler, sahip oldukları elemanlara bağlı olarak çeşitli ilişkilere sahip olabilirler. Buna göre,

eğer iki küme aynı elemanlara sahip ise, bu kümelerin aşağıda gösterildiği gibi eşit olduğu

söylenebilir:

A = {1, 4, 6, b}

B = {1, 4, 6, b} ise A = B’dir.

Altkümeler

Kümeler arasında görülebilecek başka bir ilişki ise, bir kümenin diğer kümenin alt kümesi

olmasıdır. Buna göre, eğer D = {a, b, d, m, k} gibi bir küme ve B = {b, k} başka bir küme ise,

diğer bir ifadeyle, B kümesinin tüm elemanları aynı zamanda D kümesinin elemanı ise B

kümesi D kümesinin alt kümesi olarak tanımlanır. D kümesinin B kümesini kapsadığı şu şekilde

gösterilir:

B D [ ]x B x D

Burada sembolü, bir elemanın kümeye ait olduğunu ve sembolü ise bir altkümenin

kümeye ait olduğunu göstermektedir. Buna göre D kümesinin olası en küçük altkümesi hiçbir

elemana sahip olmayacak ve boş küme olarak adlandırılarak veya { } sembolleri ile

gösterilecektir.

11

1.2.4.2.Küme İşlemleri

Kümeler üzerinde gerçekleşebilecek temel işlemler olarak; kümelerin birleşimi, kesişimi,

tamlanmasını ele alacağız. Küme işlemleri genel olarak aşağıda verilen şemada

gösterilmektedir:

Tablo 1.1

Gösterim İşlem Açıklama

A B

A birleşim B

A ve B kümelerinin birleşimindeki tüm

elemanlar

A B A kesişim B

A ve B kümelerinin her ikisinde de

bulunan eleman

\A B

A’nın B’nin

farkı

A kümesine ait ancak B kümesine ait

olmayan eleman

Kümelerin birleşimini uygulamak için aşağıda G ve Z gibi belirtilen iki kümeye sahip

olduğumuzu varsayalım:

G = {2, 3, 5, 7, 8, 9} ve Z = {1, 3, 4, 5, 6}

Bu iki kümenin birleşim kümesi, kümelere ait tüm elemanların bir araya gelmesi ile meydana

gelecek yeni bir kümeyi tanımlamakta ve G Z şeklinde gösterilir:

G Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Diğer yandan iki küme arasındaki kesişim kümesinin bulunması ise bu iki kümeye ait elemanlar

arasında ortak olanların belirlenmesini sağlamaktadır. Buna göre, yukarıda belirtilen G ve Z

kümeleri için kesişim kümesi GZ şeklinde gösterilir:

GZ = {3, 5}

G kümesine bulunup Z kümesinde bulunmayan elemanlar ise yukarıda tabloda belirtildiği üzere

12

şu şekilde gösterilir:

\G Z = {2, 7, 8, 9}

Bunun yanı sıra, A = {-1, 2, 7} ve B = {4, 5, 6, 9} gibi ortak bir elemana sahip olmayan iki

kümenin kesişim kümesi bulunmaz ve AB = şeklinde gösterilir.

Kümelerin Venn Diyagramı ile Gösterimi

Kümelerin diyagramlarla gösterimi kümelerin oldukça açık ve anlaşılır bir şekilde ele

alınmasını sağlar. Tanımlardan veya Venn diyagramlarından da görülebileceği üzere, kümeler

arasındaki ilişkiler ayrıca başka genel özelliklere de sahip bulunmaktadır. Buna göre, iki

kümenin kesişimi hangi kümenin sembolü başa gelirse gelsin aynı sonucu verecektir:

A B B A veya A B B A

Böylelikle, kümeler arasındaki ilişkilerin açıklamalarıyla zor olabilecek dağılma özelliği gibi

bir takım ilişkiler Venn diyagramı sayesinde net bir şekilde görülebilir:

( ) ( ) ( )A B C A B A C

Aşağıda, kümelerin Venn diyagram ile gösterimleri bulunmakla beraber, şimdiye kadar verilen

basit küme bilgisi ileride detaylı bir şekilde ele alınacak olan iktisadi ilişkilerin matematiksel

yöntemler ile açıklanmasına dair yeterli bir temel oluşturmaktadır.

1.1.1. Fonksiyonlar

İktisat teorisinin temel amaçlarından biri iktisadi değişkenler arasındaki ilişkileri gösterebilmek

13

ve anlamak olduğundan dolayı bu ilişkiler matematiksel olarak fonksiyonlar ile temsil

edilmektedirler. Hükümet harcamaları gibi bir iktisadi değişkenin GSMH gibi bir başka iktisadi

değişken üzerindeki etkisini ölçmek için tek-değişkenli fonksiyon olarak tanımlanan

matematiksel analiz ile gösterilebilir.

Genel olarak f sembolü ile gösterilen fonksiyon, bir A kümesinin her bir x elemanının tam olarak

B kümesinin y elemanına karşılık geldiğini belirtmektedir. A kümesi fonksiyonun tanım

kümesidir. B kümesinin y elemanı f fonksiyonu içerisinde x elemanının yansımasını veya f(x)

şeklinde yazılabilecek olan f fonksiyonunun x noktasındaki değerini göstermektedir. B

kümesinin altkümesi olarak varsayımsal bir R kümesi A kümesinin elemanlarının tüm

yansımalarını kapsamakta ve fonksiyonun değer kümesini tanımlamaktadır.

İktisadi değişkenler arasındaki ilişkilere dair başlıca unsur bir değişkende gerçekleşen

değişikliğin diğer değişkeni ne kadar etkileyeceğidir. Bir kişinin gelirinde yaşanılacak bir

artışın kişinin tüketim harcamalarında ne kadar değişime yol açacağı bu türden bir ilişkiye

örnek olarak verilebilir. Eğer değişkenler arasındaki ilişki doğrusal (lineer) bir fonksiyon

tarafından tanımlanıyor ise, fonksiyonun eğimi değişikliğin etkisini gösterecektir. Doğrusal

olmayan fonksiyonlar daha ilerideki bölümlerde ele alınacaktır.

Tek Değişkenli Fonksiyonlar

Tek değişkenli fonksiyonlar genel olarak fonksiyonun girdisi olarak x ve fonksiyonun çıktısı

olarak y sembolleri ile gösterilmektedir. Genel olarak fonksiyonlar, f, g, F ile gösterilirler. Eğer

f bir fonksiyon ise, sıklıkla f’in x’teki değerini y sembolü ile aşağıda belirtildiği gibi gösteririz:

y = f(x)

Buna göre, x bağımsız değişken ve bu x’in alacağı değerlere bağlı olduğundan dolayı y bağımlı

değişken olarak tanımlanır. İktisadi modellerde ise, x egzojen değişken ve y endojen değişken

olarak adlandırılır.

Diğer yandan bir fonksiyon f: A B gösterimi ile de belirtilebilir. Böylece, fonksiyonun A’nın

herhangi bir elemanı üzerindeki etkisi f: x f(x) şeklinde yazılabilir. Aşağıdaki şekil bu

fonksiyonel ilişkiyi göstermektedir:

14

f

A B

Şekil 1.1. f: A’dan B’ye Tanımlı Fonksiyon

Fonksiyon Türleri

Sabit Fonksiyonlar: Tanım kümesi sadece tek bir elemanı içeren fonksiyonlar sabit fonksiyon

olarak adlandırılırlar. Örneğin; y = f(x) = 4 gibi bir fonksiyon x değişkeninin değeri ne olursa

olsun y değişkeni aynı kalan bir değere sahip bulunmaktadır. Böyle bir fonksiyon, koordinat

düzleminde y değişkeninin gösteren değer düzeyinde yatay bir doğru olarak görülecektir.

Polinomlar: Polinom kelimesi çok terime sahip olma anlamına gelmekte olup, tek değişkene

sahip bir polinom fonksiyonun veya polinomun genel görünümü şu şekildedir:

2

0 1 2 ... n

ny a a x a x a x

Terimlerde (n)’nin değerine bağlı olarak polinomların alt türlerini görebiliriz:

00:n y a ; Sabit fonksiyon

0 11:n y a a x ; Doğrusal fonksiyon

2

0 1 22 :n y a a x a x ; Kuadratik fonksiyon

2 3

0 1 2 33:n y a a x a x a x ; Kübik fonksiyon

Çok Değişkenli Fonksiyonlar

Bir bağımlı değişken, tek bir bağımsız değişkene bağlı olmanın yanı sıra diğer faktörlere de

bağlı olabilir. Buna göre, y = f(x) şeklindeki tek değişkenli fonksiyon iki veya daha fazla

değişkene sahip olduğunda z = g(x, y) fonksiyonuna dönüşecektir. Böylelikle, x ve y

değerlerinin belirlediği z bağımlı değişkeni şu şekilde gösterilebilir:

z ax by veya açık hâliyle 2 2

0 1 2 1 2z a a x a x b y b y

x

Y

y

15

İktisadi olarak sermaye ve emek girdilerine sahip bir üretim fonksiyonu çok değişkenli

fonksiyonlara örnek verilebilir. Sermaye (K) ve emek (L) tarafından belirlenen üretim

miktarının belirleyen genel fonksiyon Q = Q (K, L) şeklinde gösterilebilir.

1.2.5.Grafikler ve Fonksiyonların Grafik İle Gösterimi

İktisadi değişkenler arasındaki ilişkinin çözümlenmesinde fonksiyonun belirlenmesi esas

olmak üzere analiz edilen fonksiyonların grafik ile gösterimi ayrı bir öneme sahip

bulunmaktadır. Buna bağlı olarak, koordinat sisteminde herhangi iki değişkenin birlikte nasıl

gösterildiğini öncelikle grafiklerin genel yapılarını ele almak üzere ve daha sonra

fonksiyonların grafik ile gösterimlerini inceleyeceğiz.

Bir f fonksiyonunun grafiği, x’in fonksiyonu tanımladığı tüm ( , ( ))x f x noktalarının kümesi

olup, genel olarak y = f(x) denkleminin grafiğidir. Denklem bir doğru şeklinde olabileceği gibi

bir parabolik bir eğriye de sahip olabilir.

Koordinat Sistemi

Herhangi bir reel sayı çifti bir düzlem üzerinde gösterilebilir. Yatay (x) ve dikey (y) eksenlerin

dik bir şekilde kesişmeleri ile meydana gelen bir düzlemde, iki doğrunun kesişim noktası Orijin

(O) olarak adlandırılmaktadır. Her bir doğru reel sayılar ile ölçülmekte ve x ile x+1 arasındaki

değer, y ile y+1 arasındaki değere eşit olmak durumundadır. Böyle bir düzlem, Kartezyen,

koordinat veya x y–düzlemi olarak adlandırılmaktadır. Bir araya gelen doğrular şekilde

görüldüğü gibi düzlemi dört çeyrek alana ayırmaktadır. Buna göre, herhangi bir H noktası (a,

b) reel sayı çifti tarafından gösterilmektedir. Bu rakamlar ise, eksenlere dik olarak çekilen

doğrular ile elde edilir. (a, b) reel sayı çifti ile tanımlanan nokta, x = a’da bulunan dikey eğri

ile y = b’de bulunan yatay eğri ile kesişimde ortaya çıkmaktadır. Elde edilen herhangi bir reel

sayı çifti tek bir noktayı göstermektedir.

16

y

2. Çeyrek 1. Çeyrek

x (–), y(+) x(+), y(+)

x

3. Çeyrek 4. Çeyrek

x(–), y(–) x(+), y(–)

Şekil 1.2:Koordinat Düzlemi

Koordinat Sisteminde Noktaların Gösterimi

Koordinat sisteminde (2, 5) sayı çiftinden oluşan bir C noktasının gösterimi, x = 2 ve y = 5

doğrularının kesişimine denk gelmektedir. Buna göre, C noktası, x ve y eksenlerinin eşit

birimlere ayrıldığı varsayımına dayanarak y ekseninde yukarı doğru 5 birim ve x ekseninde sağ

tarafa doğru 2 birimin elde edildiği yerde bulunmaktadır. Buna göre, (2, 5) sayı çiftine c

noktasının koordinatları denir.

y

5

C = (2, 5)

x

2

Şekil 1.3: (2, 5) sayı çiftine c noktasının koordinatları

İki Değişkenli Denklemlerin Grafikle Gösterimi

x ve y gibi iki değişkene sahip denklemlerin çözüm kümesi, x için a ve y için b değerini veren

(a, b) sayı çiftidir. Böyle bir denklemin çözüm kümesi tüm olası çözümler olup grafik üzerinde

göstermek istediğimiz takdirde çözüm kümesini sağlayan tüm sayı çiftlerinin bir araya gelmesi

17

ile elde edilen eğri koordinat sistemi üzerinde bize bu denklemin grafiği gösterecektir.

İki Nokta Arasındaki Uzaklık

C1 ve C2 gibi iki nokta arasındaki uzaklık d harfi ile gösterilecek olursa, aşağıda belirtilen

uzaklık formülünü sağlaması gerekmektedir. 1 1( , )x y ve

2 2( , )x y noktaları arasındaki uzaklık

şu şekilde hesaplanmaktadır:

2 2

1 2 1 2( ) ( )d x x y y

Burada dikkat edilmesi gereken önemli nokta, 2 2

1 2 2 1( ) ( )x x x x olduğunun ve aynı

zamanda 2 2

1 2 2 1( ) ( )y y y y olduğunun bilinmesidir. Buna bağlı olarak noktalar arasındaki

uzaklık değişim göstermeyecektir.

Bir Doğru Denkleminin Elde Edilmesi

Eğer bir doğrunun sadece eğim değeri ve bu doğrunun geçtiği nokta bilinmekte ise bu doğrunun denklemi nokta-eğim formülüne bağlı olarak bulunabilir. Buna göre; y – y1 = m(x –

x1) denkleminde, doğrunun geçtiği (x1, y1) noktasının değerleri ve doğrunun eğim değeri olan m yerine konularak hesaplandığı takdirde doğrunun genel denklemi meydana gelecektir

18

Uygulamalar

19

Uygulama Soruları

20

Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti

21

Bölüm Soruları

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

22

2. İKTİSADİ DENGE VE STATİK ANALİZ

23


2.1. Ekonomide Arz ve Talep Taraflarının Hesaplanması

2.1.1. Kısa Dönemli Piyasa Analizinde Denge

1.1.2. Doğrusal Olmayan Modellerde Piyasa Dengesi

1.1.3. Genel Piyasa Dengesi

1.1.4. İki Mallı Piyasalarda Denge

2.1.5. Milli Gelir Dengesi

24


25



26

Anahtar Kavramlar

27

Giriş

Bu haftaki dersimizde, iktisat biliminde rastlanılan farklı denge modellerini inceleyeceğiz. Burada esas olan; belli bir anda, dengeye getirici değişkenin dengeye intibakıyla arz ve talebin eşitlenmesi ve egzojen değişkenlerden hepsinin sabit olduğu varsayılmasıdır. Buna göre bir denge noktası, sabit parametre ve egzojen değişkenlerin bileşkesi olarak ortaya çıkmaktadır.

28

2.1. Ekonomide Arz ve Talep Taraflarının Hesaplanması

İktisadi analizin temelinde arz ve talep kavramları bulunmaktadır. Ekonomide mal ve hizmet

üreticileri tarafından sağlanan arzın doğrusal bir fonksiyon ile gösterimi sonucunda elde edilen

arz eğrisi ile yine ekonomide üretilen bu mal ve hizmetlere tüketiciler tarafından gerçekleşen

talebin doğrusal bir fonksiyon ile gösterimi sonucunda elde edilen talep eğrisinin kesişimi,

üzerinde analiz yapılan ekonominin hangi mal veya hizmet için ele alınıyorsa denge fiyat ve

üretim miktarını belirtmektedir.

Genel olarak iktisadi denge; kısmi, yani statik veya durağan ve dinamik denge olarak ele

alınmaktadır. Bu bölümde ve ilerleyen bölümlerde kalkülüs hesabına kadar iktisadi denge,

statik denge analizi çerçevesinde incelenecektir.

İki matematiksel terimin birbirine eşit bir şekilde çözümlenmesi işlemi denklem olarak

tanımlanır. Denklem çözümleri, matematiksel işlemlerin esasını oluşturmakta olup

matematiksel iktisat içerisinde oldukça önemli bir yer tutmaktadırlar. Buna göre eğer

denklemde bilinmeyen değişkenin üssel değeri 1’e eşit ise ele alınan denkleme doğrusal veya

lineer denklem denir ve şu şekilde örnek verilebilir:

6x + 12 = 24

4 – 2x = 3x + 11

gibi denklemler, tek bir çözüme sahip olup bilinmeyen değişken olan x’in üssel değeri 1

olduğundan dolayı doğrusal denklemler olarak ele alınırlar.

Örneğin; 12 63 21

2

xx

gibi tek değişkenli bir doğrusal denklemin sonucu bulunurken

öncelikle eşitlik tekrar düzenlenerek x’in sadeleştirilmesi sağlanır ve şu forma dönüştürülür:

12 6 2x(3 21)x x

(2x3) (2x21)x

6 42x

12 6 6 42x x

29

Bilinmeyen değişken olan x’e sahip terimleri tek bir yerde toplayıp her iki tarafı da 6 ile

böldüğümüz takdirde;

12 6 6 42x x

6 48x

8x

sonucu elde edilecektir. Özetle, bu denklemin çözümü x=8’dir.

Eş Anlı Doğrusal Denklemlerin Çözümü

Bütçe doğrusu, arz-talep analizi veya çok mallı piyasa modelleri gibi birçok iktisadi model, eş

anlı doğrusal denklem konusu içerisinde ele alınmakta ve buna bağlı olarak çözümleri

sağlanmaktadır.

İktisadi denge analizleri, denklem sistemleri tarafından elde edilecek çözümlere gereksinim

duymaktadır. Aşağıda x ve y iki bilinmeyen değişkene sahip doğrusal denklemler sisteminin

genel biçimi aşağıdaki gibidir:

1 1 1a x b y c

2 2 2a x b y c

Bu denklemler sisteminde a1, b1, c1, a2, b2 ve c2 sabit değerlerdir. Bu denklemler sistemi için

eliminasyon (yok etme) yöntemi kullanılarak çözüm sağlanır. x bilinmeyen değişkenini bulmak

için öncelikle y bilinmeyen değişkenini aşağıda belirtildiği şekilde yok etmemiz gerekmektedir.

Bunun için önce 1. denklemi b2 ve 2. denklemi ise b1 ile çarparak y değişkeninin sahip olduğu

katsayıyı eşitleriz:

2 1 1 2 1( )b a x b y b c

1 2 2 1 2( )b a x b y b c

Çarpımları açtığımız takdirde;

2 1 2 1 2 1b a x b b y b c

1 2 1 2 1 2b a x bb y bc olur.

30

Böylelikle, y bilinmeyen değişkenine ait katsayının aynı olduğunu görebiliriz. Bu noktadan

hareketle iki denklemin birbirinden çıkarılması ile

2 1 1 2 2 1 1 2( )b a b a x b c b c

denklemini elde ederiz. Bu denklemi sadeleştirdiğimiz takdirde;

2 1 1 2

2 1 1 2

b c b cx

b a b a

sonucuna ulaşırız. Burada dikkat edilmesi gereken önemli nokta, bu sonucun 2 1 1 2( ) 0b a b a

koşulu ile geçerli olmasıdır.

Aynı şekilde, y bilinmeyen değişkenini bulmak için x bilinmeyen değişkeni yok etme yöntemi

ile denklemden çıkarıp y değişkenini bulabiliriz. Yukarıdaki değişkenler ve sabit değerler ile y

bilinmeyen değişkeni şu şekildedir:

2 1 1 2

2 1 1 2

c a c ay

b a b a

2.1.1. Kısa Dönemli Piyasa Analizinde Denge

Bir piyasa modelinin arz ve talep olmak üzere iki tarafı bulunmaktadır. Piyasa modelinin kısa

dönem analizinde arz ve talebin eşitlendiği nokta piyasanın temizlendiğini veya bir başka

deyişle piyasanın denge düzeyini belirtmektedir. Piyasanın denge düzeyi, piyasanın denge

fiyatının denge miktarına eşit olduğu değeri ifade etmektedir. Bunun için, öncelikle piyasada

arz ve talep miktarlarının birbirine eşit olması gerekmektedir, 0D S

Q Q durumudur. Bu

düzeyde, piyasa temizlenmektedir, yani piyasada söz konusu mala dair arz veya talep fazlası

veya eksikliği bulunmamaktadır.

QD olarak gösterilen sembol, piyasanın talep tarafını göstermekte olup, fiyat ile ters orantılı

olduğu varsayılmaktadır. Buna göre, fiyat arttıkça talep miktarı azalacak veya fiyat azaldıkça

talep miktarı artacaktır. Bu durum esasen, talep miktarının (QD) fiyatın (P) azalan bir doğrusal

fonksiyonu olduğunu da belirtmektedir.

Diğer yandan, piyasa modelinin kısa dönemli analizinde arz tarafının ise QS sembolü ile

31

gösterilmekte ve fiyat ile doğru orantılı olduğu varsayılmaktadır. Böylelikle, fiyat arttıkça arz

miktarı da artacak veya fiyat azaldıkça arz miktarı da azalacaktır. Bu durumda, arz miktarının

(QS) fiyatın (P) artan bir doğrusal fonksiyonu olduğunu göstermektedir.

Genel olarak bir piyasadaki talep ve arz tarafları doğrusal birer fonksiyon olmak üzere şu

şekilde gösterilebilir:

D a bP

S P

Burada, a ve b pozitif tamsayı olmak üzere talep fonksiyonunun (D) ve α ve β yine pozitif

tamsayı olmak üzere arz fonksiyonunun (S) parametreleridir.

Bu denklemlere bağlı olarak, denge fiyat Pe, arz ve talebi eşitlemek veya dengelemek

durumunda olup fiyatın denge fiyat düzeyinde olduğu noktada (P = Pe) arz ve talebin

birbirlerine eşit olduğu D = S şeklinde belirtilebilir. Denge fiyat ve miktar daha detaylı olarak

şu şekilde gösterilebilir:

e ea bP P

Dengenin her iki tarafına da ebP değerinin eklenmesi ile,

e e e ea bP bP P bP

( ) ea b P

sonucuna ulaşabiliriz. Buna karşılık denge miktar değeri e eQ a bP şeklinde meydana

gelecektir. Dolayısıyla denge fiyat ve miktarı;

,e aP

b

ve e a a bQ a b

b b

düzeylerinde gerçekleşecektir. Buna göre; eğer dört parametrede bilinmekte ise, kısa dönemli

piyasa modeli tamamlanmış olacak ve denge fiyat ve miktar düzeyleri hesaplanabilecektir.

32

Böyle bir piyasada meydana gelen denge fiyat ve miktar düzeyini aşağıdaki grafikte şu şekilde

gösterebiliriz:

,D S

Q Q

a S

Q c dP

e

D SQ Q Q ( , )e e

P Q

DQ a bP e

P

c eP

Piyasa Dengesinde Değişiklik

Yukarıda gösterdiğimiz kısa dönemli piyasa denge fiyat ve miktarını bulmamıza yardımcı

olacak doğrusal denklem sistemlerine dayanarak, arz veya talep fonksiyonunda gerçekleşecek

herhangi bir değişikliğin denge fiyat ve miktar düzeyini nasıl etkileyeceğini gösterebiliriz.

Arz eğrisinde bir artış olarak belirtebileceğimiz bir değişiklik gerçekleştiği varsayımı altında,

olmak üzere yeni arz fonksiyonu S P şeklinde belirtilebilir. Böylece, yeni denge

fiyat ve miktar düzeyleri:

e aP

b

ve e a bQ

b

Bu denge düzeylerinde e eP P ve e e

Q Q olmak üzere:

e eP P

b

( )

( )e e e ebQ Q b P P

b

Arz fonksiyonundaki değişiklik arz eğrisini sağa doğru kaydırmış ve talep eğrisi aynı kalmak

33

üzere denge noktasını da değiştirmiştir.

P

D a bP S P

S P

eP

eP

, ,Q D S

eQ

eQ

2.1.2. Doğrusal Olmayan Modellerde Piyasa Dengesi

Piyasaların arz ve talep tarafları her zaman doğrusal fonksiyonlara sahip olmayabilir. Kuadratik

fonksiyonlara sahip arz ve talep taraflarının bulunduğu piyasa modellerinde denge fiyat ve

miktar düzeyleri, doğrusal denklem sistemlerindeki gibi fiyat ve miktar düzeylerinin birbirine

eşit olduğu noktada ortaya çıkar. Buna göre, arz fonksiyonunun doğrusal olduğu ve buna karşın

talep fonksiyonunun kuadratik (2. dereceden) olduğu bir piyasa modelini aşağıdaki şekilde

gösterecek olursak;

216D

Q P

8 4S

Q P

Bu arz ve talep fonksiyonlarına sahip piyasa modelinde denge fiyat ve miktar düzeyleri iki

kesimlerinin birbirine eşit olmasını sağlayan değerde bulunmaktadır. Buna göre;

D SQ Q

216 8 4P P

2 8 20 0P P

1 2P ; 2 10P

1 2 8(2) 4 12P

sonucu ortaya çıkacaktır. Negatif değerlerin alınmaması durumunda aşağıdaki grafikte de

34

görüleceği gibi, (2, 12) noktası denge fiyat ve miktar düzeyini sağlayarak piyasayı temizleyen

değerlerdir.

Genel olarak kuadratik fonksiyonların köklerinin nasıl bulunmasına dair aşağıdaki yöntem

kullanılabilir: 2 0ax bx c

şeklindeki bir kuadratik fonksiyonun - ( 0)a olmak üzere- kökleri:

2

* *

1 2

( 4 ),

2

b b acx x

a

formülünden bulunabilir. Elde edilecek sonuçlardan (+) değere sahip (pozitif) kök, *

1x ; ve (–

) değere sahip (negatif) kök, *

2x olarak tanımlanır.

Böylelikle, kuadratik fonksiyona sahip bir piyasa modelini grafiksel olarak gösterebiliriz:

,D S

Q Q 8 4S

Q P

(2,12)

P

216D

Q P

İki eğrinin kesiştiği nokta, yukarıda belirtildiği gibi kısa dönemli piyasada oluşan denge

düzeyleridir.

2.1.3.Genel Piyasa Dengesi

Birden çok malın bulunduğu piyasalarda genel denge, her bir mal için dengenin sağlanması

35

koşuluna dayanmaktadır. Buna göre n tane mala sahip bir piyasa için;

0i di si

E Q Q ( 1,2,..., )i n

şeklinde n tane eşitliğin bulunması gerekmektedir. Böyle bir piyasanın denge düzeylerinin

sahip olduğu denge fiyat kümesi *

iP ve denge miktar kümesi *

iQ şeklinde gerçekleşecektir.

2.1.4. İki Mallı Piyasalarda Denge

İki malın bulunduğu bir piyasada oluşacak denge, arz ve talep fonksiyonlarının doğrusal olduğu

varsayımı altında, her iki mala da olan talep iki malın fiyatına bağlı olmak üzere, talep

fonksiyonları şu şekilde olacaktır:

1 1 1 1 1 2dQ a b P c P

2 2 2 1 2 2dQ a b P c P

Bu denklemlerde i

P ve d t

Q malın fiyat ve talep miktarını göstermekte olup i

a , i

b ve i

c

değerleri modelin sabit değişkenleridir. İlk denklemde 1 0a olması, her iki malın fiyatı sıfır

olduğunda pozitif bir talep olduğunu göstermekte, diğer yandan 1 0b durumu ise malın

fiyatının yükselmesi durumunda talebinin düşeceğini belirtmektedir. Eğer iki mal arasında

ikame etkisi bulunmakta ise 2. malın fiyatında gerçekleşecek bir artış, tüketicileri 2. maldan 1.

mala yönlendirecek ve 1d

Q ’in artmasına neden olacaktır. Bununla birlikte ikame mallar

arasında, 1c pozitif bir değere sahip bulunmaktadır. Diğer yandan eğer bu iki mal, tamamlayıcı

nitelikte ise herhangi bir malın fiyatındaki artış, diğer malın da talebinin düşmesine neden

olacak olup 2a ,

2b ve 2c sabitlerini aynı şekilde etkileyecektir.

Konunun daha iyi anlaşılması için aşağıdaki örnek gözden geçirilmelidir.

Örnek: Birbirinden bağımsız iki mal için arz ve talep fonksiyonları aşağıdaki gibidir:

1 1 2145 2

dQ P P

1 145s

Q P

2 1 230 2d

Q P P

36

2 240 5s

Q P

Bu arz ve talep denklemlerine sahip piyasanın denge fiyat ve miktar düzeyleri ne olacaktır? Bu

iki mal arasında ikame edici veya tamamlayıcı bir özellik bulunmakta mıdır?

Çözüm:

Öncelikle denge düzeyinde her iki mal için de arz edilen miktar ile talep edilen miktar birbirine

eşit olmak durumundadır. Buna göre:

1 1d s

Q Q ve 2 2d s

Q Q

şeklinde gerçekleşecektir.

1 1 2145 2Q P P

1 145Q P

Ve böylece

1 2 1145 2 45P P P

1 23 190P P

2. mal için ise;

2 1 230 2Q P P

2 240 5Q P

1 2 230 2 40 5P P P

1 27 70P P

Her iki mala ait denklemin bir araya getirilmesi ile;

1 23 190P P

1 27 70P P

37

Ve böylece 1

2

70

20

P

P

denge fiyat düzeyleri ve 1

2

25

60

Q

Q

denge miktar düzeyleri sonucuna

ulaşılmaktadır. 1. malın talebinin 2. malın fiyatını arttırmasından dolayı her iki mal arasında

ikame etkisi bulunduğu belirtilebilir.

2.1.5. Millî Gelir Dengesi

Makro iktisadın en temel ilişkisi Keynes’in genel teoride formüle ettiği toplam harcamalar

millî gelir dengesidir. Keynes bir millî ekonomide genel dengenin basit piyasa dengesinde

olduğu gibi fiyat intibakı ile değil ama miktar intibakı ile gerçekleşeceğini temel varsayım

olarak ele almıştı. Bununla birlikte toplam değişkenlerle çalışmanın getirdiği bir zorunluluk

olarak millî gelir muhasebe denkliğini kullanarak bir model oluşturmuştu. Bu tercihinin birden

fazla nedeni vardı:

(i) Hocası Alfred Marshall’ın piyasalarda dengeye intibakın fiyat yerine miktardaki

dalgalanmalarla sağlandığına yönelik düşünceleri,

(ii) Hindistan Maliye Bakanlığı ve Britanya bürokrasisinde geçirdiği mesailer,

(iii) Büyük Buhran’ın bütün dünyayı sarsan etkileri,

(iv) Wicksel’in para piyasası ve faizin doğasına yönelik fikirleri.

Bu temellere dayanarak Keynes, millî ekonomide harcama denkliklerini kullanarak dengeye

getirici değişkenin millî gelir olduğu bir model kurdu. Biz de bu modeli inceleyeceğiz. Burada

dışa kapalı ve karma bir ekonomide oluşan millî gelir dengesini analiz etmeye çalışacağız.

Problemi basitleştirmek için hükümetin vergi almadığını varsayacağız. Aşağıdaki denklemde

Tüketim (C) millî gelirin doğrusal bir fonksiyonudur. Yatırım (I) ve kamu (G) harcamaları

otonomdur. Millî gelir (Y) de muhasebe denkliği gereğince toplam harcamalara eşittir. Bu

durumda tüketim (C) ve millî gelir (Y) fonksiyonları şu şekildedir:

Tüketim fonksiyonunu (C), millî gelir denkleminde yerine koyarsak:

38

Denklem 2.26’da mal ve hizmetler piyasasında dengeyi sağlayan millî gelir düzeyini

görmektesiniz.

Bu millî gelir düzeyinde denge tüketim miktarı da şudur:

39

Uygulamalar

40

Uygulama Soruları

41


42

Bölüm Soruları

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

43

3. KARŞILAŞTIRMALI STATİK ANALİZ VE TÜREV KAVRAMI

44


3.1. Karşılaştırmalı Statik Analizin Doğası 3.2. Değişim Oranı (Fark Bölümü) ve Türevi 3.3. Türev ve Bir Eğrinin Eğimi 3.4. Bir Fonksiyonun Sürekliliği ve Türev Alınabilirlili

45


46



47

Anahtar Kavramlar

48

Giriş

Bu haftaki dersimizde karşılaştırmalı statik analizde kullanılan türev kavramı, onun menşei ve matematiksel yöntemlerle tanımlanmasını inceleyeceğiz. Değişim oranı veya fark bölümünden yola çıkarak bir fonksiyonun türevinin nasıl hesaplanacağı ve o fonksiyonun eğimi ile ilgisi analiz edilecektir. Daha sonra bir fonksiyonun sürekliliği ve türev alınabilirliğini tartışacağız.

49

3.1. Karşılaştırmalı Statik Analizin Doğası

İktisadi olaylar, birbiri ile farklı kaynaklardan gelen ve farklı yönde hareket eden çeşitli güçlerin

bileşkesinden oluşmaktadır. Geçen hafta incelediğimiz denge kavramı, işte bu güçlerin

bileşkesini tek bir anda belirlemek, tanımlamak ve ölçmek amacıyla kullanılmaktadır. Bütün

toplumsal olaylar gibi iktisadi olaylar da birden çok farklı dinamiğin bileşkesi olduğu ve

laboratuvar ortamı benzeri kontrollü bir gözleme tabi tutulamayacağı için doğaları itibarıyla

çok karmaşık dinamikler sergiler. Bu yüzden denge kavramı, bu dinamik davranışın yol

taşlarını belirlemek için önemli bir kriter olmaktadır. Ancak, yukarıda bahsettiğimiz gibi, devre

kavramı özü itibarıyla tek anlık bir durağan durumu göstermektedir. Bu da örneğin; basit piyasa

dengesinde tüketici geliri, tüketicilerin tercih ve beğenileri, diğer malların fiyatları gibi talep

bileşenleri ile faktör fiyatları, ara girdi ve ham madde fiyatları ve teknoloji düzeyi gibi arz

bileşenlerini sabit varsayarsak, bu durumda talep edilen ve arz edilen miktarları eşitleyecek

denge fiyatlarını hesaplamak şeklinde gerçekleşmektedir. Yine eklemek gerekir ki iktisat

biliminde denge noktaları sabit parametre değerleri ile egzojen bağımsız değişkenlerin bir

bileşkesi olmak zorundadır. Ancak hepimizin bildiği gibi bütün bu arz ve talep değişkenleri

sürekli değişmekte ve birbirlerini de etkilemektedirler. Bu durumda sadece tek bir evrensel

denge noktasından bahsedebilmek mümkün değildir. İşte karşılaştırmalı statik analiz, değişen

iktisadi etkenlerin denge durumları üzerinde nasıl bir etki yarattığını incelemek amacıyla

kullanılmaktadır.

Karşılaştırmalı statik analiz: Bir dengeyi belirleyen egzojen değişkenlerin bir veya birkaç

tanesinde meydana gelen değişimlerin denge noktasını nasıl, ne kadar ve ne yönde etkilediğini

ölçmede kullanılan matematiksel analize karşılaştırmalı statik analiz adı verilir.

Karşılaştırmalı statik analizde işin doğası gereği türev işlemleri bir araç olarak kullanılacaktır.

Bu açıdan türev kavramının matematiksel açıdan ne ifade ettiği ve iktisadi anlamı üzerinde

durmamız gerekmektedir. Bu hafta bu noktalar üzerinde tartışacağız. Öncelikle değişim oranı

ve türev arasındaki ilişkiyi irdeleyelim.

50

3.2. Değişim Oranı (Fark Bölümü) Ve Türev

Varsayalım ki ilgilendiğimiz iktisadi olgu -bağımlı/endojen değişken- (y), tek bir

egzojen/bağımsız değişkene (x) bağlı olsun. O zaman y’yi x’in bir fonksiyonu olarak

yazabiliriz. Bu da 𝑦 = 𝑓(𝑥)………(3.1)

denklem 3.1’deki fonksiyon basit/ilkel fonksiyon olarak tanımlanabilir. Bunun iktisat

modellerindeki karşılıkları olarak aşağıdaki fonksiyonları örnek gösterebiliriz:

𝑈(𝑋, 𝑌) = 𝑋𝑎𝑌1∗𝑎; 𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 𝐹𝑎𝑦𝑑𝑎 𝐹𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢 𝑌 = 𝐹(𝐾, 𝐿); 𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 Ü𝑟𝑒𝑡𝑖𝑚 𝐹𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢 𝑇𝐶 = 𝐶(𝑌); 𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 𝑀𝑎𝑙𝑖𝑦𝑒𝑡 𝐹𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛

Bu fonksiyonlardaki egzojen değişkenlerin değişimine bağlı olarak gerçekleşecek değişimlerin

yönünü ve büyüklüğünü hesaplamak iktisadi olayın doğası, karar alıcıların nasıl seçim

yaptıkları ve hedef fonksiyonların nasıl optimize edildiği sorularını cevaplama açısından önem

arz etmektedir. İsterseniz denklem 3.1’e dayanarak egzojen değişkendeki değişim ile ilkel

fonksiyondaki değişim arasındaki ilişkiyi gözlemleyelim:

∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0 𝑣𝑒 ∆𝑦 = 𝑦1 − 𝑦0 = 𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0) 𝑖𝑘𝑒𝑛; ∆𝒚∆𝒙 = 𝒅𝒆ğ𝒊ş𝒊𝒎 𝒐𝒓𝒂𝒏𝚤 𝒗𝒆𝒚𝒂 𝒇𝒂𝒓𝒌 𝒃ö𝒍ü𝒎ü 𝒐𝒍𝒂𝒓𝒂𝒌 𝒂𝒅𝒍𝒂𝒏𝒅𝚤𝒓𝚤𝒍𝚤𝒓.

Bu da denklem 3.2’yi doğurmaktadır:

∆𝑦∆𝑥 = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)∆𝑥 ………(3.2)

ÖRNEK SORU 1: y = f(x) = x3 + 2x2 -1 ilkel fonksiyon iken fark bölümünü x0 ve 𝑓x’in bir fonksiyonu olarak

tanımlayınız.

51

ÖRNEK ÇÖZÜM 1: ∆𝑦∆𝑥 = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)∆𝑥 ; ∆𝑦∆𝑥 = [(𝑥0 + ∆𝑥)3 + 2(𝑥0 + ∆𝑥)2 − 1] − [𝑥03 + 2𝑥02 − 1]∆𝑥 ; ∆𝑦∆𝑥 = [(𝑥03 + 3𝑥02∆𝑥 + 3𝑥01(∆𝑥)2 + (∆𝑥)3) + 2(𝑥02 + 2𝑥0∆𝑥 + (∆𝑥)2) − 1]∆𝑥− [𝑥03 + 2𝑥02 − 1]∆𝑥 ; ∆𝑦∆𝑥 = (𝑥03 − 𝑥03) + (2𝑥02 − 2𝑥02) − (1 − 1) + (3𝑥02 + 2𝑥0)∆𝑥 + (3𝑥0 + 1)(∆𝑥)2 + (∆𝑥)3∆𝑥

∆𝑦∆𝑥 = (3𝑥02 + 2𝑥0)∆𝑥 + (3𝑥0 + 1)(∆𝑥)2 + (∆𝑥)3∆𝑥 ; ∆𝒚∆𝒙 = (𝟑𝒙𝟎𝟐 + 𝟐𝒙𝟎) + (𝟑𝒙𝟎 + 𝟏)∆𝒙 + (∆𝒙)𝟐

Değişim oranı veya fark bölümü iki farklı denge noktası arasında değişimi sergilemek için

kullanılır. Bunun için egzojen değişkenin (x) ihmal edilemeyecek bir miktarda değişmesi

gerekmektedir. Varsayalım ki egzojen değişken (x), çok düşük bir oranda, ihmal edilebilecek

bir miktarda değişmektedir (𝑓x0). Bu durumda değişim oranı, tek bir noktada egzojen

değişkendeki çok küçük bir değişimin endojen değişkende ne yönde ve ne kadar bir değişim

yaratacağını gösterir. Yani denklemin temsil ettiği eğrinin belli bir noktada yatay eksenle

gösterdiği değişim eğilimini simgeler. Matematiksel olarak ifade edersek:

lim∆𝑥→0∆𝑦∆𝑥 = lim∆𝑥→0 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)∆𝑥 = 𝑑𝑦𝑑𝑥 ………(3.3)

Denklem 3.3’teki ifade (dy/dx) türev fonksiyonu olarak tanımlanmaktadır.

Türev fonksiyonu: Bir ilkel fonksiyonun bütün noktalarında egzojen değişkenlerden birinin

ihmal edilebilecek küçüklükte bir değişimine bağlı olarak endojen değişkenin geçirdiği değişim

miktarını gösteren fonksiyona türev fonksiyonu adı verilir.

ÖRNEK SORU 2:

y = f(x) = x3 + 2x2 -1 ilkel Fonksiyon iken türev fonksiyonunu tanımlayınız.

52

ÖRNEK ÇÖZÜM 1: ∆𝑦∆𝑥 = (3𝑥02 + 2𝑥0) + (3𝑥0 + 1)∆𝑥 + (∆𝑥)2; 𝑑𝑦𝑑𝑥 = lim∆𝑥→0[(3𝑥02 + 2𝑥0) + (3𝑥0 + 1)∆𝑥 + (∆𝑥)2] ; 𝑑𝑦𝑑𝑥 = lim∆𝑥→0[(3𝑥02 + 2𝑥0)] + lim∆𝑥→0[(3𝑥0 + 1)∆𝑥] + lim∆𝑥→0[(∆𝑥)2] ; 𝑑𝑦𝑑𝑥 = lim∆𝑥→0[(3𝑥02 + 2𝑥0)] + (3𝑥0 + 1) lim∆𝑥→0[∆𝑥] + lim∆𝑥→0[(∆𝑥)2] ; 𝑑𝑦𝑑𝑥 = (3𝑥02 + 2𝑥0)+[(3𝑥0 + 1) ×0] + 0 = 3𝑥02 + 2𝑥0; 𝒅𝒚𝒅𝒙 = 𝟑𝒙𝟎𝟐 + 𝟐𝒙𝟎 → 𝒇′(𝒙) = 𝒅𝒚𝒅𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙

Türev fonksiyonlara iktisat modellerinden aşağıdaki örnekleri verebiliriz:

- Marjinal Fayda

- Marjinal Ürün

- Marjinal Maliyet

3.3. Türev ve Bir Eğrinin Eğimi

Türev fonksiyonlarının ilgili bir noktada yatay eksene göre bağımlı değişkenin artış eğilimini

ölçtüğünü yukarıda bildirmiştik. Bu tanım, geometrik düzlemde fonksiyonun görüntü kümesi

olan eğrinin ilgili noktadaki eğimine karşılık gelmektedir. Daha formel olarak şöyle

tanımlanabilir:

Eğrinin eğimi: Bir eğrinin herhangi bir noktasında o eğriye teğet olan doğrunun yatay eksenle

yaptığı açının tanjantı o eğrinin eğimini ifade eder.

Yukarıdaki tanım, bir eğrinin her noktadaki eğimlerinin o eğrinin arkasındaki ilkel fonksiyonun

türev fonksiyonu tarafından tanımlandığını göstermektedir. Yani eğrinin eğimi, türev

fonksiyonunun değerine eşittir.

ÖRNEK SORU 3: İlkel fonksiyon “y = 2x-x2+5” iken;

(a) Türev fonksiyonunu “Değişim Oranı / Fark Bölümü”nün limitini kullanarak hesaplayınız.

53

(b) “x=2” olduğu noktada ilkel fonksiyonun değeri ve bu noktadaki eğrinin eğimini bulunuz.

ÖRNEK ÇÖZÜM 3: (a) İlk önce fark bölümünü hesaplayalım:

∆𝑦∆𝑥 = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)∆𝑥 ; ∆𝑦∆𝑥 = [2(𝑥0 + ∆𝑥) − (𝑥0 + ∆𝑥)2 + 5] − [2𝑥0 − 𝑥02 + 5]∆𝑥

∆𝑦∆𝑥 = [2(𝑥0 − 𝑥0) − (5 − 5) + 𝑥02 − (𝑥0 + ∆𝑥)2 + 2∆𝑥]∆𝑥

∆𝑦∆𝑥 = 2 + [+𝑥02 − (𝑥02 + 2𝑥0∆𝑥 + (∆𝑥)2)]∆𝑥

∆𝒚∆𝒙 = 2 − 2𝑥0∆𝑥∆𝑥 − (∆𝑥)2∆𝑥 = 𝟐(𝟏 − 𝒙𝟎) − ∆𝒙

Şimdi denklem 3.3’e uygun bir şekilde fark bölümünün limitini hesaplayalım:

lim∆𝑥→0∆𝑦∆𝑥 = lim∆𝑥→0 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)∆𝑥 = 𝑑𝑦𝑑𝑥 ………(3.3) 𝒅𝒚𝒅𝒙 = lim∆𝑥→0∆𝑦∆𝑥 = lim∆𝑥→0[2(1 − 𝑥0) − ∆𝑥] = 2(1 − 𝑥0) − lim∆𝑥→0∆𝑥 = 𝟐(𝟏 − 𝒙)

(b) Eğer x=2 ise ilkel fonksiyonun değeri şudur:

𝑦 = 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 − 5; 𝑦 = 𝑓(2) = −4 + 4 − 5 = −5

Buna dayanarak (2,-5) noktasındaki eğim türev fonksiyonunun “x=2” olduğu durumdaki

değerine eşittir. Yani;

𝐸ğ𝑟𝑖𝑛𝑖𝑛 𝑒ğ𝑖𝑚𝑖 = 𝑓′(𝑥) = 2(1 − 𝑥) → 𝒇′(𝟐) = 𝟐(1 − 2) = 2 × (−1) = −𝟐

(2,-5) noktasında eğrinin eğimi -2’dir.

54

3.4. Bir Fonksiyonun Sürekliliği Ve Türev Alınabilirliği

Bir ilkel fonksiyonun türevinin alınabilmesi için iki şart geçerli olmalıdır:

(a) Fonksiyonun sürekli olması, yani; lim𝑥→𝑁 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑁)………(3.4) Denklem 3.4 bir fonksiyonun egzojen değişkeni bir noktaya (xN) yaklaşırken ki limitinin o

fonksiyonun o noktadaki değerine (f(N)) eşit olması demektir. Eğer bu özellik her noktada

sağlanıyorsa fonksiyon süreklidir. Ancak bir fonksiyonun türevinin var olması için sadece bu

koşul yetmemektedir ve bu yüzden ikinci bir koşul bulunmaktadır.

(b) Fonksiyonun türev alınabilir olması, yani; 𝑓′(𝑁) = lim𝑥→𝑁 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑁)𝑥 − 𝑁 …………(3.5)

Denklem 3.5 (N,f(N)) noktasında fark bölümünün her iki taraftan da limitinin türev

fonksiyonun bu noktadaki değerine eşit olmasıdır.

Kısaca özetlersek, eğer bir fonksiyonun geometrik düzlemdeki izdüşümü olan eğrinin türevinin var olması gerekiyorsa fonksiyonun hem bütün x değerleri için belli bir değere sahip olması ve eğrinin hiçbir yerinde dirsek noktasının bulunmaması gerekmekte hem de her nokta da fark bölümünün sağdan veya soldan türevlerinin birbirine eşitliğine ihtiyaç duyulmaktadır. Yani, egzojen değişken artsa da azalsa da toplam fonksiyonun eğiminin değişmemesi gerekir

55

Uygulamalar

56

Uygulama Soruları

57


58

Bölüm Soruları

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

59

4. TÜREV ALMA KURALLARI

60


4.1. Sabir Fonksiyonların Türevi 4.2. . Doğrusal Fonlsiyonların Türevi 4.3. Kuvvet Fonksiyonlarının Türevi 4.4. Toplama ve Çıkarma Kuralı 4.5. Çarpım Kuralı 4.6. Bölme Kuralı 4.7. Zincit Kuralı 4.8. . Genelleştirilmiş Kuvvet Fonksiyonu

4.9. Yüksek Dereceden Türevler

61


62



63

Anahtar Kavramlar

64

Giriş

Bu bölümde, matematiksel iktisadın maliyet ve gelir fonksiyonlarında sıklıkla kullanılan marjinal, ortalama, toplam fonksiyonların hesaplanmasında ve kâr veya maliyet fonksiyonlarının maksimum veya minimum değerlerinin elde edilmesinde önemli bir yeri olan türev kavramını ele alarak yukarıda bahsedilen fonksiyonların türev alma kuralları çerçevesinde nasıl elde edileceğini inceleyerek göreceğiz.

65

4.1. Sabit Fonksiyonların Türevi

“a” sabit bir değer olmak üzere, ( )f x a gibi bir sabit fonksiyonun türevi aşağıdaki

gösterildiği şekilde elde edilir:

0

( ) ( )( ) lim

x

f x x f xf x

x

0limx

k k

x

0

0limx x

0

Sabit Fonksiyonun Türevi: Sabit fonksiyon, bağımsız değişken hangi değere sahip olursa

olsun bağımlı değişkenin her zaman aynı değere sahip olduğu fonksiyondur. Bu yüzden sabit

fonksiyonlarda değişim oranı veya fark bölümü her zaman sıfırdır. Değeri her zaman ‘sıfır’

olan bir matematiksel ifadenin limiti ise yine her zaman ‘sıfır’dır. Dolayısıyla fark bölümü

‘sıfır’ olan sabit fonksiyonların her zaman türev fonksiyonu da ‘sıfır’dır.

Sabit Fonksiyonun Türevinin Örnekleri:

Görüleceği üzere, ( )f x a gibi bir sabit fonksiyonun türevi ( ) 0f x ’dır.

( ) 4f x ( ) 0f x

( ) 97f x ( ) 0f x

4.2. Doğrusal Fonksiyonların Türevi

“a” ve “b” sabit değerlerine sahip doğrusal bir “ ( )f x ax b ” fonksiyonun türevi şu şekilde

elde edilir:

0

( ) ( )( ) lim

x

f x x f xf x

x

0

( ( ) ) ( )limx

a x x b ax b

x

0limx

a x

x

66

0limx

a

a

Doğrusal Fonksiyonun Türevi: Doğrusal fonksiyonlar iki bölümden oluşur. İlk kısım sabit

fonksiyondur. Yukarıdaki örnekte ‘b’ katsayısı ile gösterilen kısım budur. Bu kısmın türevi

‘sıfır’dır. İkinci kısım bağımsız değişkendeki artışın sabit bir oranı kadar bağımlı değişkende

bir artışa yol açmaktadır. Bu da doğrusal fonksiyonun fark bölümünün ‘sabit’ bir değer içerdiği

anlamına gelir. Yukarıdaki örnekte bu değer ‘a’ katsayısı ile gösterilmektedir. Sonuç olarak ‘a’

katsayısı yukarıdaki doğrusal fonksiyonun türevi olmaktadır.

Doğrusal Fonksiyonun Türevinin Örnekleri:

Kısaca, ( )f x ax b gibi doğusal bir fonksiyonun türevi ( )f x a olarak tanımlanır.

( ) 6 2f x x ( ) 6f x

( ) 84 3f x x ( ) 84f x

4.3. Kuvvet Fonksiyonlarının Türevi

“k” ’nın bir sabit ve “n” ’nin ise herhangi bir reel sayı olduğu varsayımı altında, ( ) nf x kx

gibi bir kuvvet fonksiyonunun türevi şu şekilde ifade edilir:

1( ) nf x knx

Kuvvet Fonksiyonunun Türevi: ‘k’ yukarıdaki fonksiyonda ‘sabit katsayıyı’ göstermektedir.

‘n’ ise ‘kuvvet katsayısı’ olarak adlandırılır. ‘n’ nin değeri burada önemlidir. Çünkü

fonksiyonun açık ifadesi olan ‘denklemin derecesini’ göstermektedir. Kuvvet fonksiyonunun

türevi kuvvet fonksiyonunun derecesini bir mertebe düşürerek yine ‘kuvvet katsayısı ile

çarpımı’ yolu ile elde edilir.

Kuvvet Fonksiyonunun Türevinin Örnekleri:

Örneğin, 4( ) 6f x x gibi bir kuvvet fonksiyonunun 1. dereceden türevi;

4 1( ) (6).(4)f x x

67

324x ’tür.

5( )f x x gibi kuvvet fonksiyonunun türevi ise;

5 1( ) 5f x x

4( ) 5f x x ’tür.

4.4. Toplama Ve Çıkarma Kuralı

g ve h gibi iki üslü fonksiyonun toplanması veya çıkarılmasına eşit olan ( ) ( ) ( )f x g x h x

biçimindeki bir f fonksiyonu, türev alma kurallarına bağlı olarak şu şekilde ifade edilebilir:

0

( ) ( )( ) lim

x

f x x f xf x

x

0

( ( ) ( ) ( ( ) ( ))limx

g x x h x x g x h x

x

0

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))limx

g x x g x h x x h x

x

0 0

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))lim limx x

g x x g x h x x h x

x x

= ( ) ( )g x h x

Kısaca, ( ) ( ) ( )f x g x h x ise, ( ) ( ) ( )f x g x h x olarak belirtilmektedir. Diğer yandan

çıkarma işlemi de aynı şekilde olacak olup şöyle ifade edilebilir:

( ) ( ) ( )f x g x h x ( ) ( ) ( )f x g x h x

Toplama Çıkarma Kuralı: “Eğer bir fonksiyon aynı bağımsız değişkene bağlı iki farklı

fonksiyonun toplamından oluşmaktaysa o zaman bu fonksiyonun türev fonksiyonu da toplamı

oluşturan fonksiyonların türev fonksiyonlarının toplamından ibarettir”

Toplama Çıkarma Kuralının Örnekleri:

Örneğin, aşağıdaki toplama ve çıkarma işlemleri rakamsal olarak şu şekildedir: 2 6( ) 10 4f x x x 2 1 6 1( ) (10).(2) (4).(6)f x x x

68

520 24x x

2 4( ) 20 8f x x x 2 1 4 1( ) (20).(2) (8).(4)f x x x

340 32x x

4.5. Çarpım Kuralı

g ve h gibi iki fonksiyonun çarpımının ( ) ( ). ( )f x g x h x türevi şu şekilde gösterilebilir:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x g x h x

Çarpım Kuralının Örnekleri:

Örneğin 2( ) 6g x x ve 3( ) 4 2h x x olsun. Bu iki fonksiyonun çarpımının türevi şu

şekildedir:

2 3( ) (6 ).(4 2)f x x x

2 1 3 2 3 1( ) ((6).(2) ).(4 2) (6 )((4).(3)f x x x x x

3 2 2(12 )(4 2) (6 )(12 )x x x x

4 448 2 72x x

4120 2x

4.6. Bölme Kuralı

Aynı şekilde g ve h gibi üslü iki fonksiyonun arasındaki bölünme işleminin türevi şu şekilde

gerçekleşecektir:

( )( )

( )

g xf x

h x

2

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ( ))

g x h x g x h xf x

h x

Bölme Kuralının Örnekleri:

Örneğin 2( ) 6g x x ve 3( ) 4 2h x x fonksiyonlarını içeren f(x) fonksiyonunun türevi şöyle

ifade edilir:

2

3

6( )

4 2

xf x

x

69

2 1 3 2 3 1

3 2

((6).(2) )(4 2) (6 )((4)(3) )( )

(4 2)

x x x xf x

x

3 2 2

3 2

(12 )(4 2) (6 )(12 )

(4 2)

x x x x

x

4 4

3 2

48 2 72

(4 2)

x x

x

4

3 2

24 2

(4 2)

x

x

4.7. Zincir Kuralı

( )y f u ve ( )u g x olmak üzere, [ ( )]y f x fonksiyonu biçiminde meydana gelen bir bileşik

fonksiyon söz konusu ise y’nin x’e göre türevi şu şekilde ifade edilmektedir:

. ( ) ( )dy dy du

f u g xdx du dx

Buna göre, ulaşılmak istenen türevin değeri yukarıdaki birinci fonksiyonun u’ya göre türevi

ile ikinci fonksiyonun x’e göre türevinin çarpımına eşit olmaktadır. Zincir kuralı iç içe

tanımlanmış fonksiyonlarda kullanılmaktadır.

Zincir Kuralının Örnekleri:

Örneğin 2 5( 3 2)y x x ve 2 3 2u x x olmak üzere y şöyle gösterilebilir:

5y u 45

dyu

du

2 3du

xdx

.dy dy du

dx du dx

45 (2 3)u x

2 45( 3 2) (2 3)x x x

şeklinde sonuç elde edilir.

70

4.8. Genelleştirilmiş Kuvvet Fonksiyonu

( )g x gibi bir fonksiyon ve n herhangi bir reel sayı olmak üzere, ( ) [ ( )]nf x g x şeklindeki bir

fonksiyonun türevi şu şekilde gösterilebilir:

1( ) [ ( )] . ( )nf x n g x g x

Örnek: 𝑓 ( 𝑥 ) = [3𝑥2 − 5𝑥 + 5]2 𝑖𝑠𝑒 𝑔(𝑥) = 3𝑥2 − 5𝑥 + 5 𝑜𝑙𝑢𝑟; 𝑜 𝑧𝑎𝑚𝑎𝑛; 𝑓 ′(𝑥) = 2[3𝑥2 − 5𝑥 + 5 ](6𝑥 − 5) 𝑜𝑙𝑢𝑟.

4.9. Yüksek Dereceden Türevler

Bir fonksiyonun sahip olduğu kuvvet değerine bağlı olarak, bu fonksiyona dair yüksek

dereceden türevleri bulunabilir. Esas olarak, fonksiyona ait elde edilen birinci dereceden türev,

kaçıncı dereceden isteniyorsa tekrar türevi alınarak sağlanabilir:

Birinci dereceden türev: ( )f x

İkinci dereceden türev: ( )f x

Üçüncü dereceden türev: ( )f x

Dördüncü dereceden türev: (4) ( )f x

Örnek:

Örneğin; 4 3 2( ) 2 4 6f x x x x olmak üzere bu fonksiyonun yüksek dereceden türevlerini

bulmak istersek, şu şekilde gösterebiliriz: 3 2( ) 8 12 12f x x x x

2( ) 24 24 12f x x x

( ) 48 24f x x

(4) ( ) 48f x

(5) ( ) 0f x

71

72

Uygulamalar

73

Uygulama Soruları

74


75

Bölüm Soruları

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

76

5. TÜREV ALMA KURALLARI II

77


5.1. Kâr Fonksiyonu ve Marjinal Fonksiyon

5.2. Ortalama Gelirden Marjinal Gelirin Üretilmesi

5.3. Marjinal Maliyet ve Ortalama Maliyet İlişkisi

5.4. Piyasa Dengesinde Değişimin Analizi

78


79


Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya

geliştirileceği

80

Anahtar Kavramlar

81

Giriş

Bu hafta, türev alma kurallarını iktisat modellerinden örnekler vererek açıklayacağız. İlk önce kâr fonksiyonu ve marjinal kâr ilişkisini toplama çıkarma kuralı çerçevesinde inceleyeceğiz. Daha sonra ortalama gelirden marjinal gelirin üretilmesini çarpım kuralı ve marjinal maliyet ve ortalama maliyet ilişkisini bölme kuralı vasıtasıyla açıklayacağız. Daha sonra arz ve talep bileşenlerindeki değişimin piyasa dengesinde yarattığı değişimi analiz edeceğiz. En son olarak da kapalı ekonomi de millî gelir dengesindeki değişimin sebeplerini tartışacağız.

82

Bu hafta, türev alma kurallarını iktisat modellerinden örnekler vererek açıklayacağız. İlk önce

kâr fonksiyonu ve marjinal kâr ilişkisini toplama çıkarma kuralı çerçevesinde inceleyeceğiz.

Daha sonra ortalama gelirden marjinal gelirin üretilmesini çarpım kuralı ve marjinal maliyet ve

ortalama maliyet ilişkisini bölme kuralı vasıtasıyla açıklayacağız. Daha sonra arz ve talep

bileşenlerindeki değişimin piyasa dengesinde yarattığı değişimi analiz edeceğiz. En son olarak

da kapalı ekonomi de millî gelir dengesindeki değişimin sebeplerini tartışacağız.

5.1. Kâr Fonksiyonu ve Marjinal Kâr

– Toplam Maliyet (TC)” formülü firmanın

toplam

üretimin (Q) bir fonksiyonu olarak şu şekilde tanımlanır:

Π(𝑄) = 𝑇𝑅(𝑄) − 𝑇𝐶(𝑄)………(5.1)

Yine bildiğimiz gibi marjinal gelir (MR) toplam gelirin (TR), marjinal maliyet (MC) de toplam

maliyetin (TC) toplam üretime (Q) göre türevidir. Yani:

𝑀𝑅(𝑄) = 𝑑𝑇𝑅(𝑄)𝑑𝑄 𝑣𝑒 𝑀𝐶(𝑄) = 𝑑𝑇𝐶(𝑄)𝑑𝑄 ………(5.2)

arttıracağını gösteren fonksiyondur. Dolayısıyla TOPLAMA –ÇIKARMA KURALInı

kullanarak aşağıdaki sonuca ulaşırız:

𝑀Π(𝑄) = 𝑑Π(𝑄)𝑑𝑄 = 𝑑(𝑇𝑅(𝑄) − 𝑇𝐶(𝑄))𝑑𝑄 = 𝑑𝑇𝑅(𝑄)𝑑𝑄 − 𝑑𝑇𝐶(𝑄)𝑑𝑄 ………(5.3) 𝑀Π(𝑄) = 𝑀𝑅(𝑄) − 𝑀𝐶(𝑄)………(5.4)

ÖRNEK: TR(Q) = AQ-bQ2 ve TC(Q) = C0

hesaplayınız.

83

𝑴𝑹(𝑸) = 𝑑𝑇𝑅(𝑄)𝑑𝑄 = 𝑑(𝐴𝑄)𝑑𝑄 − 𝑑(𝑏𝑄2)𝑑𝑄 = 𝑨 − 𝟐𝒃𝑸 𝑴𝑪(𝑸) = 𝑑𝑇𝐶(𝑄)𝑑𝑄 = 𝑑𝐶0𝑑𝑄 + 𝑑(𝑐𝑄)𝑑𝑄 = 0 + 𝑐 = 𝒄

𝑴𝚷(𝑸) = 𝑀𝑅(𝑄) − 𝑀𝐶(𝑄) = 𝐴 − 2𝑏𝑄 − 𝑐 = (𝑨 − 𝒄) − 𝟐𝒃𝑸

5.2. Ortalama Gelirden Marjinal Gelirin Üretilmesi

Ortalama gelir (AR) bir firmanın birim üretim başına toplam gelirini (TR) gösterir. Yani:

𝐴𝑅(𝑄) = 𝑇𝑅(𝑄)𝑄 → 𝑇𝑅(𝑄) = 𝑄. 𝐴𝑅(𝑄)… (5.5)

Yukarıdaki ifadeye göre sadece ortalama gelirden (AR) yola çıkarak marjinal gelire (MR)

ulaşabilmektedir. Şöyle ki;

𝑀𝑅(𝑄) = 𝑑𝑇𝑅(𝑄)𝑑𝑄 = 𝑑(𝐴𝑅(𝑄). 𝑄)𝑑𝑄 ………(5.6)

Çarpım kuralını işletirsek:

𝑀𝑅(𝑄) = 𝑑𝐴𝑅(𝑄)𝑑𝑄 𝑄 + 𝐴𝑅(𝑄)𝑑𝑄𝑑𝑄 = (𝑑𝐴𝑅(𝑄)𝑑𝑄 𝑄 + 𝐴𝑅(𝑄))………(5.7)

ÖRNEK: Firmanın ortalama gelir fonksiyonu [AR(Q) = A – bQ] şeklinde ise; marjinal gelir fonksiyonunu

(MR(Q)) hesaplayınız.

𝒅𝑨𝑹(𝑸)𝒅𝑸 = 𝑑(𝐴 − 𝑏𝑄)𝑑𝑄 = 𝑑𝐴𝑑𝑄 − 𝑏 𝑑𝑄𝑑𝑄 = 0 − 𝑏 = −𝒃

84

𝑴𝑹(𝑸) = 𝑑𝐴𝑅(𝑄)𝑑𝑄 𝑄 + 𝐴𝑅(𝑄) = −𝑏𝑄 + 𝐴 − 𝑏𝑄 = 𝑨 − 𝒃𝑸

5.3.Marjinal Maliyet Ve Ortalama Maliyet İlişkisi

Ortalama maliyet (AC) bir firmanın üretilen birim başına maliyetini gösterirken, marjinal

maliyet (MC) üretilen en son birimin toplam maliyete katkısını simgeler. Yani, matematiksel

olarak ifade edecek olursak:

𝐴𝐶(𝑄) = 𝑇𝐶𝑄 ;𝑀𝐶(𝑄) = 𝑑𝑇𝐶(𝑄)𝑑𝑄 ………(5.8)

Ortalama maliyet fonksiyonunun (AC(Q)) şekli toplam üretime (Q) göre eğimine bağlıdır. Bu

yüzden ortalama maliyet fonksiyonunun (AC(Q)) toplam üretime (Q) göre türev fonksiyonunu

analiz etmemiz gerekmektedir. Bu da bize BÖLME KURALInı kullanarak aşağıdaki ilişkiyi

vermektedir:

𝑑𝐴𝐶(𝑄)𝑑𝑄 = (𝑑𝑇𝐶(𝑄)𝑑𝑄 𝑄) − (𝑇𝐶(𝑄) 𝑑𝑄𝑑𝑄)𝑄2 = (𝑀𝐶(𝑄). 𝑄) − (𝐴𝐶(𝑄). 𝑄)𝑄2 ………(5.9) 𝒅𝑨𝑪(𝑄)𝒅𝑸 = (𝑴𝑪(𝑄) − 𝑨𝑪(𝑄))𝑸 … (5.10)

Denklem (5.10)’a göre marjinal maliyet (MC(Q)) ortalama maliyetin (AC(Q)) üstünde ise;

ortalama maliyet (AC(Q)) artmakta, marjinal maliyet (MC(Q)) ortalama maliyetin (AC(Q))

altında ise ortalama maliyet (AC(Q)) azalmaktadır. Marjinal maliyetin (MC(Q)) ortalama

maliyete (AC(Q)) eşit olduğu yerde ise ortalama maliyet (AC(Q)) minimum düzeydedir.

Aşağıda Denklem (5.11) bu durumu özetlemektedir:

𝑑𝐴𝐶𝑑𝑄 = (𝑀𝐶 − 𝐴𝐶)𝑄 { 𝑴𝑪 < 𝑨𝑪 → 𝒅𝑨𝑪𝒅𝑸 < 0𝑴𝑪 = 𝑨𝑪 → 𝒅𝑨𝑪𝒅𝑸 = 𝟎𝑴𝑪 > 𝑨𝑪 → 𝒅𝑨𝑪𝒅𝑸 > 0… (5.11)

ÖRNEK: Ortalama maliyet fonksiyonu [AR(Q) = 100 + 5(Q-40)2] olarak tanımlanmıştır. Ortalama

85

maliyet ve marjinal maliyet arasındaki ilişkiyi gösterin.

Denklem (5.8)’den yola çıkarak toplam ve marjinal maliyetleri hesaplayabiliriz:

𝑻𝑪(𝑸) = 𝑄. 𝐴𝐶(𝑄) = 𝑄. (100 + 5𝑄2 − 400𝑄 + 1600) = 𝟏𝟕𝟎𝟎𝑸 − 𝟒𝟎𝟎𝑸𝟐 + 𝟓𝑸𝟑

𝑴𝑪(𝑸) = 𝑑𝑇𝐶(𝑄)𝑑𝑄 = 𝟏𝟕𝟎𝟎 − 8𝟎𝟎𝑸 + 𝟏𝟓𝑸𝟐

Yukarıdaki verileri kullanarak Denklem (5.11) gereğince aşağıdaki sonuca ulaşırız:

𝑀𝐶(𝑄) = 𝐴𝐶(𝑄) → 1700 − 800𝑄 + 15𝑄2 = 1700 − 400𝑄 + 5𝑄2 10𝑄2 = 400𝑄 → 𝑸 = 𝟒𝟎

40 birim üretimin birim maliyeti yani ortalama maliyet ile 40’ıncı birimin maliyeti yani marjinal

maliyet birbirine eşittir. Aynı zamanda 40 birim üretimde, ortalama maliyet minimum

düzeydedir. Bu durumda;

𝑑𝐴𝐶𝑑𝑄 = (𝑀𝐶 − 𝐴𝐶)𝑄 { 𝑸 < 𝟒𝟎 → 𝒅𝑨𝑪𝒅𝑸 < 0𝑸 = 𝟒𝟎 → 𝒅𝑨𝑪𝒅𝑸 = 𝟎𝑸 > 𝟒𝟎 → 𝒅𝑨𝑪𝒅𝑸 > 0

5.4.Piyasa Dengesinde Değişimin Analizi

Aşağıda arz ve talep denklemleri verilmektedir:

𝑄𝐷 = 𝑎 − 𝑏𝑃 𝑣𝑒 𝑄𝑆 = −𝑐 + 𝑑𝑄; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 > 0………(5.12)

Bu durumda daha önceki haftalarda gördüğümüz gibi denge parametreler cinsinden şu şekilde

tanımlanmaktadır:

𝑃∗ = 𝑎 + 𝑐𝑏 + 𝑑 𝑣𝑒 𝑄∗ = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐𝑏 + 𝑑 ………(5.13)

86

Denklem (5.13)’e göre dengede fiyat ve miktar (P* ve Q*) arz ve talep parametrelerinin

fonksiyonu olarak karşımıza çıkar. Arz ve talep parametrelerinde gerçekleşen değişimler ki

bunlara arz ve talep şoku adı verilir, dengenin de değişmesine yol açar. Bu durumda değişimi

analiz etmek için kısmi türev analizi kullanılır. Burada her bir parametre için denge fiyat ve

miktarının ayrı ayrı türevini alırız. Bu türev işleminde de aşağıdaki denklemlerde görülen

sembol kullanılır:

𝜕𝑃∗𝜕𝑎 = 1𝑏 + 𝑑 ; 𝜕𝑄∗𝜕𝑎 = 𝑑𝑏 + 𝑑………(5.14)

Denklem (5.14)’ e göre talep doğrusunu yukarı kaydıran bir şok olursa hem denge fiyatı hem

de denge miktarı artar. Örneğin; tüketici tercihlerinde olumlu bir değişim olması, ikame

malların fiyatının artması ve/veya tamamlayan malların fiyatının düşmesi veya gelirin artması

gibi. Tersi durumda hem denge fiyatı hem de denge miktarı düşer. Örneğin; tüketici

tercihlerinde olumsuz bir değişim olması, ikame malların fiyatının düşmesi ve/veya

tamamlayan malların fiyatının artması veya gelirin düşmesi gibi.

𝜕𝑃∗𝜕𝑏 = −(𝑎 + 𝑐)(𝑏 + 𝑑)2 ; 𝜕𝑄∗𝜕𝑏 = −(𝑎 + 𝑐)𝑑(𝑏 + 𝑑)2 ………(5.15)

Denklem (5.15)’ e göre talep doğrusunun eğiminin yatıklaşması hem denge fiyatının hem de

denge miktarının düşmesine yol açar. Tersi durumda ise hem denge fiyatı hem de denge miktarı

artar.

𝜕𝑃∗𝜕𝑐 = 1𝑏 + 𝑑 ; 𝜕𝑄∗𝜕𝑐 = −𝑏𝑏 + 𝑑………(5.16)

Denklem (5.16)’ ya göre arz doğrusunu yukarı kaydıran bir şok denge fiyatının artmasına ve

denge miktarının düşmesine yol açar. Ara girdi ve faktör fiyatlarında artışlar buna örnektir.

Tersi durumda ise denge fiyatı düşerken denge miktarı artar. Buna da ara girdi ve faktör

fiyatlarında gerçekleşen düşüşler örnektir.

87

𝜕𝑃∗𝜕𝑑 = −(𝑎 + 𝑐)(𝑏 + 𝑑)2 ; 𝜕𝑄∗𝜕𝑑 = 𝑏(𝑎 + 𝑐)(𝑏 + 𝑑)2………(5.17)

Denklem (5.17)’de görüldüğü üzere, arz eğrisinin yatıklaşması hâlinde denge fiyatı düşerken

denge miktarı artacaktır. Tersi durumda ise denge fiyatı artar ve denge miktarı düşer.

88

Uygulamalar

89

Uygulama Soruları

90


91

Bölüm Soruları

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

92

6. TEK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA OPTİMİZASYON

93


6.1. Optimizasyon ve Ekstremum

6.2. Kısa Dönemde Toplam Ürün Fonksiyonunun Maksimum ve Minimum Noktaları

6.3.Kısa Dönemde Ortalama Maliyet Fonksiyonunun Maksimum ve Minimum Noktaları

94


95



96

Anahtar Kavramlar

97

Giriş

Bu hafta, tek değişkenli fonksiyonlarda optimizasyon konusunu işleyeceğiz. İktisat biliminde toplam ürün fonksiyonu ve ortalama maliyet fonksiyonu gibi fonksiyonların ekstremum noktalarının bulunduğu örneklerle konuyu ayrıntılandıracağız.

98

6.1. Optimizasyon Ve Ekstremum Noktaları

Bildiğimiz gibi tek değişkenli fonksiyonlar eğer doğrusal fonksiyon değilse; her noktada türev

fonksiyonları farklı değerler alır. Bu durumda, bazen fonksiyonların eğimleri belli aralıklarda

negatif ve belli aralıklarda pozitif değerler alabilirler. Fonksiyonun şeklini ve hangi aralıklarda

negatif, hangi aralıklarda pozitif değer alacağını görmek amacıyla türev fonksiyonları

kullanılır. Bu amaçla türev fonksiyonlarının kullanıldığı analize “optimizasyon analizi” adı

verilir.

Aşağıda Şekil 1.1’de “y = f(x) = -x2+6x-4” fonksiyonunun grafiği görülmektedir.

99

Şekil 1.1’de A ve B noktaları bağımsız değişken x’in 3 değerinden daha düşük olduğu yerdeki

(x<3), y = f(x) = -x2+6x değerlerini göstermektedir. Bu noktalarda, y = f(x) = -x2+6x

fonksiyonunun grafiğine teğet olan yeşil renkli doğruların eğimi, dolayısıyla türev fonksiyonu

pozitif değerdedir, (f ’(x) = -2x+6> 0). Yine D ve E noktaları bağımsız değişken x’in 3

değerinden daha yüksek olduğu yerdeki (x>3), y = f(x) = -x2+6x değerlerini göstermektedir.

Bu noktalarda y = f(x) = -x2+6x fonksiyonunun grafiğine teğet olan mavi renkli doğruların

eğimi, dolayısıyla türev fonksiyonu negatif değerdedir (f ’(x) = -2x+6< 0). C noktasında

bağımsız değişken “x” 3 değerindedir, (x=3). Bu noktada y = f(x) = -x2+6x fonksiyonunun

grafiğine teğet olan kırmızı renkli doğrunun eğimi, dolayısıyla türev fonksiyonu “0”

değerindedir (f ’(x) = -2x+6= 0). Görüldüğü üzere y = f(x) = -x2+6x fonksiyonunun grafiği C

noktasından önce pozitif eğimli ve C noktasından sonra da negatif eğimli bir eğri olduğu

anlaşılmaktadır. Net olarak görüleceği üzere C noktasında eğim sıfıra eşittir ve y = f(x) = -

x2+6x fonksiyonu grafiğinin maksimum noktasıdır.

Yine Şekil 1.2’de y = f(x) = x2-8x+17 fonksiyonunun grafiği sergilenmektedir.

100

Şekil 1.2’de A ve B noktaları bağımsız değişken x’in 4 değerinden daha düşük olduğu yerdeki

(x<4), y = f(x) = x2-8x+17 değerlerini göstermektedir. Bu noktalarda y = f(x) = x2-8x+17

fonksiyonunun grafiğine teğet olan mavi renkli doğruların eğimi, dolayısıyla türev fonksiyonu

negatif değerdedir (f ’(x) = 2x-8< 0). Yine D ve E noktaları bağımsız değişken x’in 4 değerinden

daha yüksek olduğu yerdeki, (x>4), y = f(x) = x2-8x+17 değerlerini göstermektedir. Bu

noktalarda y = f(x) = x2-8x+17 fonksiyonunun grafiğine teğet olan yeşil renkli doğruların eğimi,

dolayısıyla türev fonksiyonu pozitif değerdedir (f ’(x) = 2x-8> 0). C noktasında bağımsız

değişken “x” 4 değerindedir; (x=4). Bu noktada y = f(x) = x2-8x+17 fonksiyonunun grafiğine

teğet olan kırmızı renkli doğrunun eğimi, dolayısıyla türev fonksiyonu “0” değerindedir; (f ’(x)

= 2x-8= 0). Görüldüğü üzere y = f(x) = x2-8x+17 fonksiyonunun grafiği C noktasından önce

negatif eğimli ve C noktasından sonra da pozitif eğimli bir eğri olduğu anlaşılmaktadır. Net

olarak görüleceği üzere C noktasında eğim sıfıra eşittir ve y = f(x) = x2-8x+17 fonksiyonunun

grafiğinin minimum noktasıdır.

C noktası Şekil 1.1’de maksimum ve Şekil 1.2’de minimum noktasını göstermektedir. Her

ikisinin de ortak özelliği bu noktalardaki türev fonksiyonların, yani grafiklerin eğimlerinin

değerinin sıfıra eşit olmasıdır. Bu noktalara “yerel ekstremum noktaları” adı verilir.

101

Yerel ekstremum noktası: 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑏𝑖𝑟 𝑖𝑙𝑘𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛 𝑖𝑘𝑒𝑛, 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑓′(𝑥) = 0 𝑒ş𝑖𝑡𝑙𝑖ğ𝑖𝑛𝑖 𝑠𝑎ğ𝑙𝑎𝑦𝑎𝑛 (𝑥, 𝑦) 𝑛𝑜𝑘𝑡𝑎𝑙𝑎𝑟𝚤 𝑦𝑒𝑟𝑒𝑙 𝑒𝑘𝑠𝑡𝑟𝑒𝑚𝑢𝑚 𝑛𝑜𝑘𝑡𝑎𝑠𝚤𝑑𝚤𝑟. 𝐷𝑎ℎ𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑙 𝑜𝑙𝑎𝑟𝑎𝑘; 𝑍 = 𝑦𝑒𝑟𝑒𝑙 𝑒𝑘𝑠𝑡𝑟𝑒𝑚𝑢𝑚 𝑛𝑜𝑘𝑡𝑎𝑙𝑎𝑟𝚤 𝑘ü𝑚𝑒𝑠𝑖 𝑖𝑘𝑒𝑛, 𝑍 = {∀(𝑥, 𝑦)| 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑓′(𝑥) = 0 }………(6.1)

Yerel ekstremum noktaları iki kategoriye ayrılır:

(i) Maksimum Noktaları

(ii) Minimum Noktaları

Şekil 1.1’de C noktası bir yerel ekstremum noktasıdır; çünkü denklem (6.1)’i sağlamaktadır.

Ancak bunun yerel ekstremum noktası bunun maksimum nokta olduğunu göstermeye

yetmemektedir. Çünkü Şekil 1.2’de C noktası da denklem (6.1)’i sağlamaktadır; fakat Şekil

1.1’in tersine maksimum değil, minimum noktasıdır. Bu durumu tanımlamak gerekmektedir.

Yerel maksimum noktası: 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑏𝑖𝑟 𝑖𝑙𝑘𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛 𝑣𝑒 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑓′(𝑥) 𝑡ü𝑟𝑒𝑣 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢 𝑖𝑘𝑒𝑛, 𝑍 = 𝑦𝑒𝑟𝑒𝑙 𝑒𝑘𝑠𝑡𝑟𝑒𝑚𝑢𝑚 𝑛𝑜𝑘𝑡𝑎𝑙𝑎𝑟𝚤 𝑘ü𝑚𝑒𝑠𝑖 𝑣𝑒 𝐺 = 𝑦𝑒𝑟𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑛𝑜𝑘𝑡𝑎𝑙𝑎𝑟𝚤 𝑘ü𝑚𝑒𝑠𝑖𝑑𝑖𝑟. 𝐷𝑎ℎ𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑙 𝑜𝑙𝑎𝑟𝑎𝑘; 𝐺 = {∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑍| 𝑑2𝑦𝑑𝑥2 = 𝑓′′(𝑥) < 0}………(6.2)

Şekil 6.1’de C noktasında “y = f(x) = -x2+6x-4” fonksiyonunun birinci türev fonksiyonu

denklem 6.1’e uygun olarak “sıfıra” eşit, (f ’(x) = -2x+6= 0) ve ikinci türev fonksiyonu da

denklem (6.2)’ye uygun olarak negatif (f’’(x) = -2 < 0) değerdedir. Dolayısıyla Şekil 1.1’de C

noktası “yerel maksimum noktası”dır.

Yerel minimum noktası:

102

𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑏𝑖𝑟 𝑖𝑙𝑘𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛 𝑣𝑒 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑓′(𝑥) 𝑡ü𝑟𝑒𝑣 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢 𝑖𝑘𝑒𝑛, 𝑍 = 𝑦𝑒𝑟𝑒𝑙 𝑒𝑘𝑠𝑡𝑟𝑒𝑚𝑢𝑚 𝑛𝑜𝑘𝑡𝑎𝑙𝑎𝑟𝚤 𝑘ü𝑚𝑒𝑠𝑖 𝑣𝑒 𝐻 = 𝑦𝑒𝑟𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑛𝑜𝑘𝑡𝑎𝑙𝑎𝑟𝚤 𝑘ü𝑚𝑒𝑠𝑖𝑑𝑖𝑟. 𝐷𝑎ℎ𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑙 𝑜𝑙𝑎𝑟𝑎𝑘; 𝐻 = {∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑍| 𝑑2𝑦𝑑𝑥2 = 𝑓′′(𝑥) > 0}………(6.3)

Şekil 1.2’de C noktasında “y = f(x) = x2-8x+17” fonksiyonunun birinci türev fonksiyonu

denklem (6.1)’e uygun olarak “sıfıra” eşit, (f ’(x) = 2x-8= 0) ve ikinci türev fonksiyonu da

denklem (6.3)’e uygun olarak pozitif (f’’(x) = 2 > 0) değerdedir. Dolayısıyla Şekil 1.2’de C

noktası “yerel minimum noktası”dır.

Denklemler (6.1), (6.2) ve (6.3)’e dayanarak optimizasyon problemi iki aşamada çözülür.

Optimizasyon problemi çözüm aşamaları aşağıda özetlenmiştir.

Optimizasyon Problemi Çözüm Aşamaları: 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑏𝑖𝑟 𝑖𝑙𝑘𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛 𝑖𝑘𝑒𝑛, 𝑏𝑖𝑟 (𝑥0, 𝑦0) 𝑛𝑜𝑘𝑡𝑎𝑠𝚤 𝑒ğ𝑒𝑟 (𝟏. 𝑨Ş𝑨𝑴𝑨) 𝑓′(𝑥0) = 0 𝑖𝑠𝑒 (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝑍 "𝒀𝑬𝑹𝑬𝑳 𝑬𝑲𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑼𝑴"𝑑𝑢𝑟 𝑣𝑒 (𝟐. 𝑨Ş𝑨𝑴𝑨) {𝑓′′(𝑥0) < 0 (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝐺 "𝒀𝑬𝑹𝑬𝑳 𝑴𝑨𝑲𝑺İ𝑴𝑼𝑴"𝑑𝑢𝑟.𝑓′′(𝑥0) > 0 (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝐻 "𝒀𝑬𝑹𝑬𝑳 𝑴İ𝑵İ𝑴𝑼𝑴"𝑑𝑢𝑟.

6.2. Kısa Dönemde Toplam Ürün Fonksiyonunun Maksimum Ve Minimum Noktaları

Toplam ürün fonksiyonu (Q) kısa dönemde iş gücünün (L) bir fonksiyonudur, (Q=F(L)).

Aşağıda denklem (6.4)’te örnek toplam ürün fonksiyonu bulunmaktadır: 𝑄 = 𝐹(𝐿) = −𝐿3 + 6𝐿2………(6.4) Denklem (6.4)’teki toplam ürün fonksiyonunun “yerel ekstremum” noktaları 1. aşama

sonucunda bulunur:

(𝟏. 𝑨Ş𝑨𝑴𝑨): 𝑑𝑄𝑑𝐿 = 𝐹′(𝐿) = −3𝐿2 + 12𝐿 = 0 →

103

3𝐿(−𝐿 + 4) = 0 → 𝑳𝟏 = 𝟎; 𝑳𝟐 = 𝟒,𝑸𝟏 = 𝟎,𝑸𝟐 = −64 + 96 = 𝟑𝟐……(6.5)

Yani formel olarak;

𝒁 = {(𝟎, 𝟎), (𝟒, 𝟑𝟐)}………(6.6)

Yerel ekstremum noktalarından maksimum ve minimum noktaları ayrışması için 2. aşama

uygulanır. Aşağıda denklem (6.7)’de 2. aşama sergilenmektedir:

(𝟐. 𝑨Ş𝑨𝑴𝑨): 𝑑2𝑄𝑑𝐿2 = 𝐹′′(𝐿) = −6𝐿 + 12 →

{ 𝐹′′(𝐿1) = 𝐹′′(0) = −(6.0) + 12 = 12 > 0𝐹′′(𝐿1) = 𝐹′′(4) = −(6.4) + 12 = −24 + 12 = −12 < 0……(6.7)

Yani formel olarak

𝐺 = {(𝟎, 𝟎)} 𝑣𝑒 𝐻 = {(𝟒, 𝟑𝟐)}………(6.8)

6.3. Kısa Dönemde Ortalama Maliyet Fonksiyonunun Maksimum Ve Minimum Noktaları

Ortalama maliyet fonksiyonu (AC) kısa dönemde üretimin (Q) bir fonksiyonudur, (AC=F(Q)).

Aşağıda Denklem (6.9)’da örnek ortalama maliyet fonksiyonu bulunmaktadır:

𝐴𝐶 = 𝐹(𝑄) = 𝑄2 − 40𝑄 + 410………(6.9)

Denklem (6.9)’daki Ortalama maliyet fonksiyonunun “yerel ekstremum” noktaları 1. aşama

sonucunda bulunur:

(𝟏𝑨Ş𝑨𝑴𝑨): 𝑑𝐴𝐶𝑑𝑄 = 𝐹′(𝑄) = 2𝑄 − 40 = 0 → 2(𝑄 − 20) = 0 → 𝑸𝟏 = 𝟐𝟎, 𝑨𝑪𝟏 = 400 − 800 + 810 = 𝟏𝟎……(6.10)

104

Yani formel olarak;

𝒁 = {(𝟐𝟎, 𝟏𝟎)}……… (6.11)

Yerel ekstremum noktasının maksimum veya minimum noktası olup olmadığını anlamak için

2. aşama uygulanır. Aşağıda Denklem (6.12)’de 2.AŞAMA sergilenmektedir:

(𝟐. 𝑨Ş𝑨𝑴𝑨): 𝑑2𝑄𝑑𝐿2 = 𝐹′′(𝑄) = 2 → 𝐹′′(𝑄1) = 𝐹′′(20) = 2 > 0……(6.12)

Yani formel olarak 𝐻 = {(𝟐𝟎, 𝟏𝟎)}……… (6.13)

105

Uygulamalar

106

Uygulama Soruları

107


108

Bölüm Soruları

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

109

7. BİRDEN FAZLA DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA OPTİMİZASYON

110


7.2..Çok Değişkenli Fonksiyonlar ve Kismi Türevleri 7.3. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Optimizasyon

7.4. İki Mallı Firma Dengesi

111


112



113

Anahtar Kavramlar

114

Giriş

Bu hafta, birden fazla değişkenli fonksiyonlarda optimizasyon konusunu işleyeceğiz. İktisat biliminde bu yöntemin kullanımına ait örnek olarak fayda fonksiyonu ve iki mallı firma dengesi incelenecektir

115

7.1. Çok Değişkenli Fonksiyonlar ve Kısmi Türevler

İktisadi hayatta gözlemlenen olgular çoğunlukla birden fazla bağımsız değişkenin

fonksiyonudur. Örneğin; üretim fonksiyonu birden fazla üretim faktörü ve girdisinin bir

fonksiyonudur. Aynı şekilde tüketicinin fayda fonksiyonu da birden fazla malın tüketimine

bağlıdır. Bunun gibi birçok örnek bize geçen hafta anlattığımız tek değişkenli fonksiyonların

optimizasyonundan daha karmaşık bir olguyla karşı karşıya kaldığımızı gösterir. Bu yüzden

birden fazla değişkenli fonksiyonlarda türev işlemini tanımlamalıyız.

𝑍 = 𝐹(𝑋, 𝑌) 𝑏𝑖𝑟 𝑖𝑙𝑘𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛 𝑜𝑙𝑠𝑢𝑛, 𝑜 ℎâ𝑙𝑑𝑒; 𝝏𝑭(𝑿, 𝒀)𝝏𝑿 = 𝒁𝑿 → 𝑍′𝑛𝑖𝑛 𝑋′𝑒 𝑔ö𝑟𝑒 𝑘𝚤𝑠𝑚𝑖 𝑡ü𝑟𝑒𝑣𝑖𝝏𝑭(𝑿,𝒀)𝝏𝒀 = 𝒁𝒀 → 𝑍′𝑛𝑖𝑛 𝑌′𝑦𝑒 𝑔ö𝑟𝑒 𝑘𝚤𝑠𝑚𝑖 𝑡ü𝑟𝑒𝑣𝑖 𝑜𝑙𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑙𝑎𝑛𝑑𝚤𝑟𝚤𝑙𝚤𝑟 ……… (𝟕. 𝟏)

Denklem (7.1)’de görüldüğü üzere iki değişkenli bir fonksiyonda türev işlemi her bir bağımsız

değişken için ayrı ayrı ele alınır. Örneğin; X’e göre kısmi türev alınırken Y değerlerini içeren

ifadeler sabit katsayı muamelesine tabi olur, Y’ye göre kısmi türev alınırken X değerlerini

içeren ifadeler sabit katsayı muamelesine tabidir.

ÖRNEK 1: U=U(X,Y) = X0,2Y0,8 bir fayda fonksiyonu olsun. X ve Y’de ilgili mallardan yapılan tüketim

miktarını simgelesin. Bu durumda fayda fonksiyonunun X ve Y tüketim miktarlarına bağlı

olarak ayrı ayrı kısmi türevinin alınması gerekmektedir. Nitekim;

𝝏𝑼(𝑿,𝒀)𝝏𝑿 = 𝑼𝑿 → 0,2. 𝑌0,8. 𝑋0,2−1 = 𝟎, 𝟐. 𝒀𝟎,𝟖𝑿𝟎,𝟖 = 𝑴𝑼𝑿𝝏𝑼(𝑿,𝒀)𝝏𝒀 = 𝑼𝒀 → 0,8. 𝑋0,2. 𝑌0,8−1 = 𝟎, 𝟐. 𝑿𝟎,𝟐𝒀𝟎,𝟐 = 𝑴𝑼𝒀 ………(𝟕. 𝟐)

Denklem (7.2)’de mikro iktisat derslerinden hatırlayacağınız malların tüketimlerinin marjinal

faydaları, kısmi türevlere güzel bir örnektir. Denklem (7.2)’de dikkat edilirse, X’in marjinal

faydası hesaplanırken “Y0,8” ifadesi sabit katsayı gibi işleme tabi tutulmuştur. Aynı şekilde

Y’nin marjinal faydası hesaplanırken de “X0,2” ifadesi sabit katsayı gibi işleme tabi tutulmuştur.

116

Denklem (7.1)’deki genel tanımda “Z = F(X,Y)” fonksiyonundaki toplam değişim X ve Y’deki

değişimlerin toplam etkisinden oluşur. Yani;

𝑑𝑌 = 𝑌′𝑑𝑒𝑘𝑖𝑑𝑒ğ𝑖ş𝑖𝑚 𝑚𝑖𝑘𝑡𝑎𝑟𝚤 𝑣𝑒 𝑑𝑋 = 𝑋′𝑑𝑒𝑘𝑖 𝑑𝑒ğ𝑖ş𝑖𝑚 𝑚𝑖𝑘𝑡𝑎𝑟𝚤 𝑜𝑙𝑠𝑢𝑛. 𝑂 𝑧𝑎𝑚𝑎𝑛, 𝑍′𝑑𝑒𝑘𝑖 𝑑𝑒ğ𝑖ş𝑖𝑚 𝑚𝑖𝑘𝑡𝑎𝑟𝚤: 𝒅𝒁 = 𝝏𝒁𝝏𝑿𝒅𝑿 + 𝝏𝒁𝝏𝒀𝒅𝒀………(𝟕. 𝟑)

Denklem (7.3) “Euler Denklemi”dir. İlkel fonksiyondaki toplam değişimi kısmi türev

fonksiyonları ve ilgili değişkenlerdeki değişimlerin çarpımlarının toplamı olarak tanımlar.

Euler denkleminin iktisatta güzel bir örneğini göstermek için kayıtsızlık eğrisinin eğiminin

hesaplanmasını ele alalım.

ÖRNEK 2: Örnek 1’deki fayda fonksiyonunun toplam değişimini denklem (7.3)’te bahsedilen euler

denklemini kullanarak tanımlayalım:

𝑑𝑈 = 𝜕𝑈(𝑋, 𝑌)𝜕𝑋 𝑑𝑋 + 𝜕𝑈(𝑋, 𝑌)𝜕𝑌 𝑑𝑌 = 𝑈𝑋𝑑𝑋 + 𝑈𝑌𝑑𝑌 = 𝑀𝑈𝑋𝑑𝑋 + 𝑀𝑈𝑌𝑑𝑌; 𝐾𝑎𝑦𝚤𝑡𝑠𝚤𝑧𝑙𝚤𝑘 𝑒ğ𝑟𝑖𝑠𝑖𝑛𝑖𝑛 ü𝑠𝑡ü𝑛𝑑𝑒 ℎ𝑒𝑟 𝑛𝑜𝑘𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 𝑓𝑎𝑦𝑑𝑎 𝑎𝑦𝑛𝚤 𝑜𝑙𝑑𝑢ğ𝑢 𝑖ç𝑖𝑛 → 𝑑𝑈 = 0 𝑜𝑙𝑎𝑐𝑎𝑘𝑡𝚤𝑟. 𝐵𝑢 𝑑𝑎 𝑑𝑈 = 𝑀𝑈𝑋𝑑𝑋 + 𝑀𝑈𝑌𝑑𝑌 = 0 → 𝑑𝑖𝑘𝑒𝑦 𝑒𝑘𝑠𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑌 𝑣𝑒 𝑦𝑎𝑡𝑎𝑦 𝑒𝑘𝑠𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑋 𝑣𝑎𝑟 𝑖𝑘𝑒𝑛, 𝒅𝒀𝒅𝑿|𝒅𝑼=𝟎 = − 𝑴𝑼𝑿𝑴𝑼𝒀 = 𝑀𝑅𝑆………(𝟕. 𝟒)

Tabiidir ki birinci türevler her bağımsız değişken için ayrı ayrı ele alınabilirken, aynı şey ikinci

türevler içinde geçerlidir. Denklem (7.1)’de gösterilen ilkel fonksiyonun ikinci kısmi türevlerini

bu bağlamda inceleyelim:

𝑍 = 𝐹(𝑋, 𝑌) 𝑏𝑖𝑟 𝑖𝑙𝑘𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛; 𝝏𝑭(𝑿,𝒀)𝝏𝑿 = 𝒁𝑿 𝑍′𝑛𝑖𝑛 𝑋′𝑒 𝑔ö𝑟𝑒 𝑏𝑖𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖 𝑘𝚤𝑠𝑚𝑖 𝑡ü𝑟𝑒𝑣𝑖,

117

𝝏𝑭(𝑿, 𝒀)𝝏𝒀 = 𝒁𝒀 → 𝑍′𝑛𝑖𝑛 𝑌′𝑦𝑒 𝑔ö𝑟𝑒 𝑏𝑖𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖 𝑘𝚤𝑠𝑚𝑖 𝑡ü𝑟𝑒𝑣𝑖 𝑜𝑙𝑠𝑢𝑛. 𝑂 ℎâ𝑙𝑑𝑒; 𝝏𝟐𝑭(𝑿, 𝒀)𝝏𝑿𝟐 = 𝝏(𝝏𝑭(𝑿, 𝒀)𝝏𝑿 )𝝏𝑿 = 𝝏𝒁𝑿𝝏𝑿 = 𝑼𝑿𝑿 =𝝏𝟐𝑭(𝑿, 𝒀)𝝏𝒀𝟐 = 𝝏(𝝏𝑭(𝑿, 𝒀)𝝏𝒀 )𝝏𝒀 = 𝝏𝒁𝒀𝝏𝒀 = 𝒁𝒀𝒀𝝏𝟐𝑭(𝑿, 𝒀)𝝏𝑿𝝏𝒀 = 𝝏 (𝝏𝑭(𝑿, 𝒀)𝝏𝑿 )𝝏𝒀 = 𝝏 (𝝏𝑭(𝑿, 𝒀)𝝏𝒀 )𝝏𝑿 = 𝝏𝒁𝑿𝝏𝒀 = 𝝏𝒁𝒀𝝏𝑿 = 𝒁𝑿𝒀𝑜𝑙𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑙𝑎𝑛𝑑𝚤𝑟𝚤𝑙𝚤𝑟 ………(𝟕. 𝟓)

Denklem (7.5)’te kısmi ikinci türevlerin tanımları verilmiştir. Bunların iktisadi bir örnek

üzerinde uygulamasını yapalım. Yine fayda fonksiyonunu inceleyelim:

ÖRNEK 3: Denklem (7.5)’i U=U(X,Y) = X0,2Y0,8 fayda fonksiyonu üzerinde analiz edersek;

𝝏𝟐𝑼(𝑿, 𝒀)𝝏𝑿𝟐 = 𝜕 (𝜕𝑈(𝑋, 𝑌)𝜕𝑋 )𝜕𝑋 = 𝜕𝑀𝑈𝑋𝜕𝑋 = 𝑈𝑋𝑋 = −𝟎, 𝟖. 𝟎, 𝟐. 𝒀𝟎,𝟖. 𝑿−𝟏,𝟖𝝏𝟐𝑼(𝑿, 𝒀)𝝏𝒀𝟐 = 𝜕 (𝜕𝑈(𝑋, 𝑌)𝜕𝑌 )𝜕𝑌 = 𝜕𝑀𝑈𝑌𝜕𝑌 = 𝑈𝑌𝑌 = −𝟎, 𝟐. 𝟎, 𝟖. 𝒀−𝟏,𝟐. 𝑿𝟎,𝟐𝝏𝟐𝑼(𝑿, 𝒀)𝝏𝑿𝝏𝒀 = 𝜕 (𝜕𝑈(𝑋, 𝑌)𝜕𝑋 )𝜕𝑌 = 𝜕𝑀𝑈𝑋𝜕𝑌 = 𝑈𝑋𝑌 = 𝟎, 𝟖. 𝟎, 𝟐. 𝑿−𝟎,𝟖. 𝒀−𝟎,𝟐𝝏𝟐𝑼(𝑿,𝒀)𝝏𝑿𝝏𝒀 = 𝜕 (𝜕𝑈(𝑋, 𝑌)𝜕𝑌 )𝜕𝑋 = 𝜕𝑀𝑈𝑌𝜕𝑋 = 𝑈𝑌𝑋 = 𝟎, 𝟖. 𝟎, 𝟐. 𝑿−𝟎,𝟖. 𝒀−𝟎,𝟐

𝑜𝑙𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑙𝑎𝑛𝑑𝚤𝑟𝚤𝑙𝚤𝑟 ………(𝟕. 𝟔)

Denklem (7.5)’te belirtilen kısmi ikinci türev kurallarına dayanarak “Z=F(X,Y)” ilkel

fonksiyonun ikinci toplam türevini bulabiliriz. Aşağıda denklem (7.7) bu durumu

göstermektedir:

𝒅𝟐𝒁 = 𝑑(𝑑𝑍) = 𝑑 ( 𝜕𝑍𝜕𝑋 𝑑𝑋 + 𝜕𝑍𝜕𝑌 𝑑𝑌) =

118

𝑑2𝑍 = 𝜕 ( 𝜕𝑍𝜕𝑋 𝑑𝑋 + 𝜕𝑍𝜕𝑌 𝑑𝑌)𝜕𝑋 𝑑𝑋 + 𝜕 ( 𝜕𝑍𝜕𝑋 𝑑𝑋 + 𝜕𝑍𝜕𝑌 𝑑𝑌)𝜕𝑌 𝑑𝑌 =

𝑑2𝑍 = (𝑍𝑋𝑋𝑑𝑋 + 𝑍𝑌𝑋𝑑𝑌)𝑑𝑋 + (𝑍𝑋𝑌𝑑𝑋 + 𝑍𝑌𝑌𝑑𝑌)𝑑𝑌 =

𝑑2𝑍 = 𝑍𝑋𝑋𝑑𝑋2 + 𝑍𝑌𝑋𝑑𝑌𝑑𝑋 + 𝑍𝑋𝑌𝑑𝑋𝑑𝑌 + 𝑍𝑌𝑌𝑑𝑌2 =

𝑑2𝑍 = 𝒁𝑿𝑿𝒅𝑿𝟐 + 𝟐𝒁𝑿𝒀𝒅𝑿𝒅𝒀 + 𝒁𝒀𝒀𝒅𝒀𝟐………(𝟕. 𝟕)

Denklem (7.7) iki değişkenli fonksiyonlarda maksimum ve minimumu noktalarını bulabilmek

için gerekli olan ikinci aşama şartlarının dayanacağı temel denklemdir. Şimdi çok değişkenli

fonksiyonlarda optimizasyon problemini inceleyelim.

7.2. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Optimizasyon

Denklem (7.1)’i tekrar referans noktası alırsak “Z=F(X,Y)” olarak tanımlanan ilkel

fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini bulmak için; Z fonksiyonunun birinci ve

ikinci değişimlerini dikkate almalıyız. Tek değişkenli fonksiyonlarda optimizasyon

probleminin çözümünde nasıl iki aşamalı bir süreç var idiyse çok değişkenli fonksiyonlarda da

iki aşamalı bir süreç bulunmaktadır. Aşağıda bu özetlenmektedir:

𝑍 = 𝐹(𝑋, 𝑌)𝑏𝑖𝑟 𝑖𝑙𝑘𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛 𝑖𝑘𝑒𝑛 𝟏. 𝑨Ş𝑨𝑴𝑨 (𝐺𝐸𝑅𝐸𝐾𝐿İ 𝐾𝑂Ş𝑈𝐿): 𝜕𝑍𝜕𝑋 = 𝒁𝑿 = 𝟎 𝑣𝑒 𝜕𝑍𝜕𝑌 = 𝒁𝒀 = 𝟎………(𝟕. 𝟖)

Birinci aşama optimizasyon için gerekli koşulu oluşturmakta ve bu koşul gerçekleşmeden

optimizasyon da gerçekleşmez. Denklem (7.8) bize kısmi birinci türevlerin 0’a eşit olduğu

noktaların muhtemel maksimum ve minimum noktaları olduğudur. Ancak ikinci kısmi türevlere

bakarak bu noktaları net olarak belirleyebiliriz. Bunun için yeterli koşulları, 2. aşamada

inceleyelim:

𝑍 = 𝐹(𝑋, 𝑌)𝑏𝑖𝑟 𝑖𝑙𝑘𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛 𝑖𝑘𝑒𝑛, ∀(𝑿, 𝒀, 𝒁) ∈ {(𝑋, 𝑌, 𝑍)|𝒁𝑿 = 𝟎; 𝒁𝒀 = 𝟎 } 𝑖ç𝑖𝑛;

119

𝟐. 𝑨Ş𝑨𝑴𝑨 (𝑌𝐸𝑇𝐸𝑅𝐿İ 𝐾𝑂Ş𝑈𝐿): 𝒁𝑿𝑿 < 0 𝑣𝑒 𝒁𝒀𝒀 < 0 𝑖𝑘𝑒𝑛 𝒁𝑿𝑿𝒁𝒀𝒀 > 𝒁𝑿𝒀𝟐 𝑖𝑠𝑒 (𝑿, 𝒀, 𝒁) 𝒎𝒂𝒌𝒔𝒊𝒎𝒖𝒎 𝒏𝒐𝒌𝒕𝒂𝒔𝚤𝒁𝑿𝑿 > 0 𝑣𝑒 𝒁𝒀𝒀 > 0 𝑖𝑘𝑒𝑛 𝒁𝑿𝑿𝒁𝒀𝒀 > 𝒁𝑿𝒀𝟐 𝑖𝑠𝑒 (𝑿, 𝒀, 𝒁) 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒎𝒖𝒎 𝒏𝒐𝒌𝒕𝒂𝒔𝚤 } 𝑜𝑙𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑡𝑎𝑛𝚤𝑚𝑙𝑎𝑛𝚤𝑟(𝟕. 𝟗)

7.3. İki Mallı Firma Dengesi

İlk örneğimiz iki mal üreten ve her iki mal piyasasında da tam rekabetçi olan bir firmanın kâr

maksimizasyonunu sağladığı denge noktasını bulmak olacaktır. Mallar (Q1 ve Q2) olarak

tanımlanırken, veri rekabetçi piyasa fiyatı (P1 ve P2) olmaktadır. Her iki mal için bileşik bir

toplam maliyet fonksiyonu verilmiştir.

𝑇𝑅(𝑄1, 𝑄2) = 𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 𝐺𝑒𝑙𝑖𝑟 = 𝑃1𝑄1 + 𝑃2𝑄2; 𝑇𝐶(𝑄1, 𝑄2) = 𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 𝑀𝑎𝑙𝑖𝑦𝑒𝑡 = 4𝑄12 + 𝑄1𝑄2 + 4𝑄22 ; Π(𝑄1, 𝑄2) = 𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 𝐾â𝑟 = (𝑃1𝑄1 + 𝑃2𝑄2) − (4𝑄12 + 𝑄1𝑄2 + 4𝑄22); 𝟏. 𝑨Ş𝑨𝑴𝑨: Π1 = 𝑃1 − 8𝑄1 − 𝑄2 = 0Π2 = 𝑃2 − 8𝑄2 − 𝑄1 = 0} → 𝑄1 = (𝑃1 + 𝑃29 ) − 𝑄2; 𝑄2 = (8𝑃2 − 𝑃163 ) ; 𝑄1 = (8𝑃1 − 7𝑃263 ) 𝟐. 𝑨Ş𝑨𝑴𝑨: Π11 = −8 < 0Π22 = −8 < 0} → Π12 = Π21 = −1 < 0; Π11. Π22 > Π12 → (−8). (−8) > (−1)2 → 64 > 1 →

𝑴𝑨𝑲𝑺İ𝑴𝑼𝑴 𝑵𝑶𝑲𝑻𝑨𝑺𝑰

120

Uygulamalar

121

Uygulama Soruları

122


123

Bölüm Soruları

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

124

8. KISIT ALTINDA OPTİMİZASYON

125


8.1. Kısıt ve Kısıt Altında Optimizasyonun Anlamı

8.2. Kısıt Altında Optimizasyon ve Yöntemleri

8.2.1. İkame Yöntemi

8.2.2. Legrance Çarpanı Yöntemi

8.3. Tüketicinin Fayda Maksimizasyonu

8.4. Firmanın Maliyet Minimizasyonu

126


127


Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde

edileceği veya geliştirileceği

128

Anahtar Kavramlar

129

Giriş

Bu hafta birden fazla değişkenli fonksiyonlarda, fonksiyonun bağımsız değişkenler arasındaki veriye bir ilişki durumunda uygulanan optimizasyon işlemlerini inceleyeceğiz. İktisat biliminde bu yöntemin kullanımına ait örnekler olarak fayda maksimizasyonu ve maliyet

minimizasyonu problemleri incelenecektir.

130

8.1. Kısıt ve Kısıt Altında Optimizasyonun Anlamı

İki veya daha fazla değişkenli bir ilkel fonksiyonu herhangi bir optimizasyon işlemine tabi

tutuğumuzda bağımsız değişkenler arasında herhangi bir ilişki olmadığı varsayılmaktadır.

Hayatın birçok alanında farlı değişkenler arasındaki ilişkileri yansıtan fonksiyonların bağlı

olduğu bağımsız değişkenler, aynı zamanda birbirleri ile de doğrusal veya doğrusal olmayan

ilişkiler içindedirler. İktisadi hayatta da hiçbir değişken birbirinden tam olarak bağımsız

olamaz.

İktisadi faktörler temel üretim, tüketim, yatırım ve tasarruf gibi kararları alırken belli bazı

ilişkilerle birbirini belirleyen etkenlerden bazılarının miktarlarının ne olacağına karar verirler.

Geçen kısımda, bunların fonksiyonların bağımsız değişkenleri olduğunu görmüştük.

Dolayısıyla, iktisadi faktörler temel kararlarını verirken kendilerine göre belirlenmiş bir amaç

fonksiyonunu optimize etmek isterler. Bunu da bağımsız değişkenlerin miktarını belirleyerek

gerçekleştirirler. Ancak, eğer bağımsız değişkenler arasında daha önceden belirlenmiş ve

iktisadi faktörün değiştiremeyeceği bazı fonksiyonel ilişkiler olabilir. O zaman iktisadi faktör,

kendi iradesi dışında oluşmuş fonksiyonel ilişki tarafından kısıtlanacaktır. İşte bizim bu hafta

anlatacağımız nokta bu kısıt altında optimizasyonun nasıl yapılacağıdır. Bu durumda yapılacak

optimizasyon işlemlerine “kısıt altında optimizasyon” adı verilmektedir.

İktisat biliminde bir çok alanda ve modelde “kısıt altında optimizasyon” kullanılmıştır ve

kullanılmaktadır. Buna örnek olarak:

Tüketicinin fayda maksimizasyonu

Tüketicinin harcama minimizasyonu

Üreticinin gelir maksimizasyonu

Üreticinin maliyet minimizasyonu

İşçinin zamanlar arası fayda maksimizasyonu

Yatırımcının zamanlar arası maliyet minimizasyonu gibi birçok model sıralanabilir.

Biz bu hafta kısıt altında optimizasyona örnek olarak “tüketicinin fayda maksimizasyonu” ve

“üreticinin maliyet minimizasyonu”nu inceleyeceğiz.

131

8.2. Kısıt Altında Optimizasyon Ve Yöntemleri

Aşağıda tanımlandığı gibi iki fonksiyon olduğunu varsayalım:

𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) → 𝑡𝑒𝑚𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛;𝒄 = 𝒈(𝒙, 𝒚) → 𝑐 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡 𝑏𝑖𝑟 𝑘𝑎𝑡𝑠𝑎𝑦𝚤 𝑜𝑙𝑚𝑎𝑘 ü𝑧𝑒𝑟𝑒 𝑘𝚤𝑠𝚤𝑡 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢 ………(8.1)

Denklem (8.1)’deki fonksiyonlardan “f(x,y) fonksiyonu” optimize edilecek ilişkiyi gösteren

temel fonksiyondur. “g(x,y) fonksiyonu” ise sabit bir değer içeren kısıt fonksiyonudur. Bu

genel fonksiyonun dikte ettiği gerçek, “g(x,y)=c” fonksiyonel ilişkisinin “y ile x” arasında

önceden tanımlanmış ve iktisadi aktörün değiştiremeyeceği bir kurallar bütününü gösterdiğidir.

Bu şartlar altında “kısıt altında optimizasyon” problemi şu şekilde ifade edilir:

𝒎𝒂𝒙 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) ö𝑦𝑙𝑒 𝑘𝑖 𝒄 = 𝒈(𝒙, 𝒚)𝒎𝒊𝒏 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) ö𝑦𝑙𝑒 𝑘𝑖 𝒄 = 𝒈(𝒙, 𝒚) 𝑒ğ𝑒𝑟 𝑏𝑖𝑟 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑠𝑦𝑜𝑛 𝑖𝑠𝑒𝑒ğ𝑒𝑟 𝑏𝑖𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑠𝑦𝑜𝑛 𝑖𝑠𝑒 }………(8.2)

Bu problemi çözmek için iki yöntem vardır:

1. İkame Yöntemi

2. Legrance Çarpanı Yöntemi

8.2.1. İkame Yöntemi

Denklem (8.1)’de “g(x,y) fonksiyonunun” kısıt fonksiyonu olduğunu, bu fonksiyonel ilişkinin

“y ile x” arasında önceden tanımlanmış olduğu ve iktisadi faktörün değiştiremeyeceği bir

kurallar bütününü gösterdiğini daha önce vurgulamıştık. Bu şartlar altında optimizasyon

yapılacaksa, bu optimizasyon işlemini temel fonksiyon olan “z = f(x,y) fonksiyonunu” tek

değişkenli bir fonksiyon hâline getirerek ve türev almanın zincir kuralını kullanarak

çözebiliriz. Bu yönteme ikame yöntemi adı verilir.

Denklem (8.1)’deki “g(x,y) fonksiyonunu” dikkate alırsak:

𝑐 = 𝑔(𝑥, 𝑦) → 𝒚 = 𝜸(𝒙); 𝑐 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡 𝑘𝑎𝑡𝑠𝑎𝑦𝚤………(8.3)

Denklem (8.3), “g(x,y) fonksiyonunu” “y değişkenini” bağımlı değişken ve “ x değişkenini”

bağımsız değişken olarak tanımlayabileceğimiz “ ” dönüştürebileceğimizi

132

göstermektedir. Bu durumda “z = f(x,y) fonksiyonunu” tekrar tanımlarsak aşağıdaki denklem

(8.4)’e ulaşırız: 𝒛 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝒇(𝒙, 𝜸(𝒙))………(8.4)

Denklem (8.4)’te iki değişkenli “z = f(x,y) fonksiyonunu” tekrar tanımlanarak sadece “x”

değişkeninin bir fonksiyonu olarak tek değişkenli hâle dönüştürülmüştür. Bundan sonrası tek

değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi iki aşamalı bir optimizasyon sürecinden ibarettir.

Denklem (8.5) bunu göstermektedir:

𝟏. 𝑨Ş𝑨𝑴𝑨: 𝑑𝑧𝑑𝑥 = 𝜕𝑧𝜕𝑥 + 𝜕𝑧𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 = 𝒇𝒙 + 𝒇𝜸𝜸𝒙 = 𝟎𝟐. 𝑨Ş𝑨𝑴𝑨: 𝑑2𝑧𝑑𝑥2 = 𝜕2𝑧𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑧𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑥 + 𝜕𝑧𝜕𝑦 𝜕2𝑦𝜕𝑥2 = 𝒇𝒙𝒙 + 𝒇𝜸𝒙𝜸𝒙 + 𝒇𝜸𝜸𝒙𝒙{<𝑜→ 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚>0 → 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚}… (8.5)

ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ 1:

𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 𝒇𝒐𝒏𝒌𝒔𝒊𝒚𝒐𝒏𝒖𝒏𝒖𝒏 𝟏𝟎 = 𝒙 + 𝒚 𝒌𝚤𝒔𝚤𝒕 𝒇𝒐𝒏𝒌𝒔𝒊𝒚𝒐𝒏𝒖 𝒂𝒍𝒕𝚤𝒏𝒅𝒂 𝒆𝒌𝒔𝒕𝒓𝒆𝒎𝒖𝒎 𝒏𝒐𝒌𝒕𝒂𝒍𝒂𝒓𝚤𝒏𝚤 𝒃𝒖𝒍𝒖𝒏. 𝒚 = 𝜸(𝒙) = 𝟏𝟎 − 𝒙 𝒊𝒔𝒆 𝒛 = 𝑓(𝑥, 𝛾(𝑥)) = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙(𝟏𝟎 − 𝒙) + (𝟏𝟎 − 𝒙)𝟐 𝑜𝑙𝑢𝑟. 𝐵𝑢 𝑑𝑢𝑟𝑢𝑚𝑑𝑎 𝟏. 𝑨Ş𝑨𝑴𝑨: 𝑓𝑥 + 𝑓𝛾𝛾𝑥 = 0 (𝑧𝑖𝑛𝑐𝑖𝑟 𝑘𝑢𝑟𝑎𝑙𝚤) → 2𝑥 + 5(10 − 𝑥) + (2(10 − 𝑥) + 5𝑥)(−1) = 0 → −6𝑥 + 30 = 0 → 𝒙∗ = 306 = 𝟓; 𝒚∗ = 𝛾(𝑥∗) = 10 − 𝑥∗ = 10 − 5 = 𝟓 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑜𝑙𝑎𝑟𝑎𝑘; 𝒛 = 𝑓(𝑥, 𝛾(𝑥)) = 𝑥2 + 5𝑥(10 − 𝑥) + (10 − 𝑥)2 → −𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝟎𝒙 + 𝟏𝟎𝟎 = 𝒇(𝒙) = 𝒛 → 𝒅𝒛𝒅𝒙 = 𝒇′(𝒙) = −𝟔𝒙 + 𝟑𝟎 = 𝟎 →

133

𝒙∗ = 306 = 𝟓 𝒗𝒆 𝒚∗ = 𝛾(𝑥∗) = 10 − 𝑥∗ = 10 − 5 = 𝟓

𝟐. 𝑨Ş𝑨𝑴𝑨: 𝒇𝒙𝒙 + 𝒇𝜸𝒙𝜸𝒙 + 𝒇𝜸𝜸𝒙𝒙 = (2) + (5)(−1) + (2𝑦∗ + 5𝑥∗)(0) → 2 − 5 = −𝟑 < 0 → 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑛𝑜𝑘𝑡𝑎𝑠𝚤 → 𝒛∗ = 𝑥2 + 5𝑥𝑦 + 𝑦2 = (25) + 5(5)(5) + (25) = 𝟏𝟕𝟓 → (𝒙∗, 𝒚∗, 𝒛∗) = (𝟓, 𝟓, 𝟏𝟕𝟓) 𝒏𝒐𝒌𝒕𝒂𝒔𝚤 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒇𝒐𝒏𝒌𝒔𝒊𝒚𝒐𝒏𝒖𝒏𝒖𝒏 𝟏𝟎 = 𝒙 + 𝒚 𝒌𝚤𝒔𝚤𝒕𝚤 𝒂𝒍𝒕𝚤𝒏𝒅𝒂 𝑴𝑨𝑲𝑺İ𝑴𝑼𝑴 𝒏𝒐𝒌𝒕𝒂𝒔𝚤𝒅𝚤𝒓.

8.2.2. Legrance Çarpanı Yöntemi

Legrance çarpanı yöntemi ikame yönteminden daha karmaşık olmakla birlikte ikiden fazla

bağımsız değişken varsa ikame yöntemine göre daha pratik olmaktadır. Bu yöntemde kısıt

fonksiyonunu sıfıra eşitleyerek, temel fonksiyonun düzeyde değişmemesi ancak, birinci

türevler düzeyinde farklı değer alması amaçlanmaktadır. Burada üç değişkene ayrı ayrı kısmi

türevler alınacaktır. Aşağıda Denklem (8.6)’da bu durum gösterilmektedir:

𝓛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) + 𝝀[𝒄 − 𝒈(𝒙, 𝒚)]………(8.6)

Denklem (8.6)’da lagrange fonksiyonu gösterilmektedir. Burada “ ” katsayısının yanındaki

köşeli parantez içindeki ifade “0” değerindedir ve hesaplanacak “x ve y” değerlerinin kısıt

fonksiyonunu sağlaması gerektiğini ifade etmektedir. Yani;

𝝀[𝒄 − 𝒈(𝒙, 𝒚)] = 𝟎 çü𝑛𝑘ü 𝑡𝑎𝑛𝚤𝑚 𝑖𝑡𝑖𝑏𝑎𝑟ı𝑦𝑙𝑎 𝑐 = 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑣𝑒 𝓛 = 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝜆[𝑐 − 𝑔(𝑥, 𝑦)] = 𝒇(𝒙, 𝒚) }………(8.7)

Denklem (8.7)’deki lagrange fonksiyonu, “x,y ve λ” değişkenlerinin bir fonksiyonudur ve “λ”

değişkeni legrance çarpanı olarak tanımlanır. Legrance çarpanı bir gölge değişkendir ve iktisadi

modelin özelliğine göre çeşitli şekillerde yorumlanabilir. Ancak işlem sırasında “λ”

değişkeninin bertaraf edilmesi gerekir.

Lagrange fonksiyonu, “x,y ve λ” değişkenlerinin bir fonksiyonu olduğu için 7. haftada anlatılan

optimizasyon işlemleri uygulanacaktır. Ancak biraz farklılıkla:

134

1. 𝐴Ş𝐴𝑀𝐴 →{ 𝜕𝓛𝜕𝑦 = 𝑓𝑥 − 𝝀𝒈𝒙 = 𝟎𝜕𝓛𝜕𝑦 = 𝑓𝑦 − 𝝀𝒈𝒚 = 𝟎𝜕𝓛𝝏𝝀 = 𝒄 − 𝒈(𝒙, 𝒚) = 𝟎………

(8.8)

Eğer Denklem (8.8)’deki değerleri sağlayan bir veya daha fazla nokta varsa bunlar lagrange

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarıdır. Ancak bunları maksimum veya minimum

noktalarından hangisi olduklarını anlayabilmemiz için 2. aşamayı görmemiz gerekir:

2. 𝐴Ş𝐴𝑀𝐴 {𝓛𝑥𝑥 < 0; 𝓛𝑦𝑦 < 0 𝑖𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚𝓛𝑥𝑥 > 0; 𝓛𝑦𝑦 > 0 𝑖𝑠𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 ………(8.9)

ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ 2: 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟎,𝟐𝒚𝟎,𝟖 𝒇𝒐𝒏𝒌𝒔𝒊𝒚𝒐𝒏𝒖𝒏𝒖𝒏 𝟑𝟔 = 𝒙 + 𝒚 𝒌𝚤𝒔𝚤𝒕 𝒇𝒐𝒏𝒌𝒔𝒊𝒚𝒐𝒏𝒖 𝒂𝒍𝒕𝚤𝒏𝒅𝒂 𝒆𝒌𝒔𝒕𝒓𝒆𝒎𝒖𝒎 𝒏𝒐𝒌𝒕𝒂𝒍𝒂𝒓𝚤𝒏𝚤 𝑳𝒂𝒈𝒓𝒂𝒏𝒈𝒆 ç𝒂𝒓𝒑𝒂𝒏𝚤 𝒚ö𝒏𝒕𝒆𝒎𝒊𝒏𝒊 𝒌𝒖𝒍𝒍𝒂𝒏𝒂𝒓𝒂𝒌 𝒃𝒖𝒍𝒖𝒏. 𝓛 = 𝒙𝟎,𝟐𝒚𝟎,𝟖 + 𝝀[𝟑𝟔 − (𝒙 + 𝒚 )] 𝒊𝒔𝒆

1. 𝐴Ş𝐴𝑀𝐴 →{ 𝜕𝓛𝜕𝑥 = 0,2𝑥0,2𝑦0,8𝑥 − 𝜆 = 0,2𝑧𝑥 − 𝜆 = 0 → 𝒙∗ = 𝟎, 𝟐𝒛𝝀𝜕𝓛𝜕𝑦 = 0,8𝑥0,2𝑦0,8𝑦 − 𝜆 = 0,8𝑧𝑦 − 𝜆 = 0 → 𝒚∗ = 𝟎, 𝟖𝒛𝝀𝜕𝓛𝝏𝝀 = 𝟑𝟔 − (𝒙∗ + 𝒚∗) = 𝟎 → 𝒙∗ + 𝒚∗ = (𝟎, 𝟐𝒛𝝀 ) + (𝟎, 𝟖𝒛𝝀 ) = 𝒛𝝀 = 𝟑𝟔

𝒙∗ = 0,2𝑧𝜆 = 0,2 × 36 = 𝟕, 𝟐 = 𝒙∗; 𝒚∗ = 0,8𝑧𝜆 = 0,8 × 36 = 𝟐𝟖, 𝟖 𝓛𝑥𝑥 = −0,2 × 0,8 × 𝑥−1,8𝑦0,8 < 0; 𝓛𝑦𝑦 = −0,2 × 0,8 × 𝑥0,2𝑦−1,2 < 0 (𝒙∗, 𝒚∗) = (7,2 , 28,8) 𝑛𝑜𝑘𝑡𝑎𝑠𝚤 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑛𝑜𝑘𝑡𝑎𝑠𝚤𝑑𝚤𝑟.

135

8.3. Tüketicinin Fayda Maksimizasyonu

Tüketicinin fayda fonksiyonu U(X,Y) ile tanımlanırsa:

𝑈(𝑋, 𝑌) = 𝑋𝑎𝑌1−𝑎; 0 < 𝑎 < 1 𝑣𝑒 𝑋 ≥ 0; 𝑌 ≥ 0;………(8.10)

Ve bütçe doğrusunun denklemi de;

𝐵 = 𝑃𝑋𝑋 + 𝑃𝑌𝑌;……… (8.11)

ise tüketicinin amacı bütçe kısıtı altında faydasını maksimize etmektir. Yani, parası elverdiği

ölçüde en yüksek faydayı sağlayan tüketim bileşimine ulaşmaktır. Bunun cebirsel yolda ispatı

için öncelikle aşağıdaki denklemleri inceleyelim. Denklem (8.11)’den yola çıkarsak

𝐵 − 𝑃𝑋𝑋 − 𝑃𝑌𝑌 = 0………(8.12) olduğunu görürüz.

O zaman, ℒ = 𝑈(𝑋, 𝑌) + 𝜆(𝐵 − 𝑃𝑋𝑋 − 𝑃𝑌𝑌) = 𝑈(𝑋, 𝑌)………(8.13)

olacaktır. Çünkü denklem (8.12)’e göre; “𝐵 − 𝑃𝑋𝑋 − 𝑃𝑌𝑌 = 0” olacaktır. Denklem (8.13)’te

ifade edilen fonksiyon lagrange fonksiyonudur. Bunun maksimum değer aldığı nokta aynı

zamanda, faydanın da maksimum olduğu yer olacaktır.

“Bütçe Kısıtı Altında Faydayı Maksimize” etmek demek, eldeki parayla toplam faydayı en

yüksek düzeye çıkaracak tüketim bileşimine ulaşmak demektir. Tanım itibarıyla bu, seçim

noktasının bütçe doğrusu üzerinde olacağı anlamına gelir. Nitekim Denklem (8.13)’te de bu

amaçla lagrange katsayısı ile çarpılan parantez içindeki ifade bize Denklem (8.12)’deki bütçe

doğrusunun denklemini vermektedir. Denklem (8.13)’te “λ” ile ifade edilen legrance çarpanı,

tüketim miktarlarının dengeye uyarlanma hızını vermektedir. Sonuç olarak; tüketici dengesini,

yani veri bütçe ve veri fiyat düzeylerinde oluşan bütçe kısıtı altında fayda maksimizasyonunu

sağlayan tüketim bileşimini, bulmak için lagrange fonksiyonunun mallara ve “λ” ile ifade edilen

lagrange katsayısına göre; kısmi türevlerini alıp 0’a eşitlemek gerekecektir. Bu üç denkliği

136

sağlayan X ve Y değerleri, eğer lagrange fonksiyonunun ikinci kısmi türevleri negatifse

tüketiciye fayda maksimizasyonu noktasını verecektir. O zaman Denklem (8.13)’teki lagrange

fonksiyonunun kısmi birinci türevlerini alarak işlemin birinci aşamasını gerçekleştirelim.

BİRİNCİ AŞAMA: 𝜕ℒ𝜕𝑋 = 𝜕𝑈𝜕𝑋 − 𝜆𝑃𝑋 = 0 → 𝑀𝑈𝑋 = 𝜆𝑃𝑋 → 𝑎𝑈𝑋 = 𝜆𝑃𝑋 → 𝑷𝑿𝑿𝑬 = 𝒂𝑼𝝀 ……… (8.14. 𝑎) 𝜕ℒ𝜕𝑌 = 𝜕𝑈𝜕𝑌 − 𝜆𝑃𝑌 = 0 → 𝑀𝑈𝑌 = 𝜆𝑃𝑌 → (1 − 𝑎)𝑈𝑌 = 𝜆𝑃𝑌 → 𝑷𝒀𝒀𝑬 = (𝟏 − 𝒂)𝑼𝝀 (8.14. 𝑏) 𝜕ℒ𝜕𝜆 = 𝑩 − 𝑷𝑿𝑿𝑬 −𝑷𝒀𝒀𝑬 = 𝟎 ……………(8.14. 𝑐)

Denklemler (8.14.a) ve (8.14.b)’deki “XE” ve “YE” değerlerini Denklem (8.14.c.) içinde yerine

koyar ve bunları “U/λ” için çözersek:

𝑃𝑋𝑋𝐸 + 𝑃𝑌𝑌𝐸 = 𝐵 → 𝑎 𝑈𝜆 + (1 − 𝑎)𝑈𝜆 = 𝐵 → 𝑼𝝀 = 𝑩………(8.14. 𝑑)

Soyut olan ve sayılamayacak fayda “U” ve lagrange katsayısı “ ” değerlerinin oranının “𝑼𝝀”

bütçe değeri gibi “B” somut, ölçülebilen ve sayılabilen bir değere eşit olduğunu görürüz.

Buradan hareketle, dengede “XE” ve “YE” değerlerini hesaplarız: 𝑃𝑋𝑋𝐸 = 𝑎𝑈𝜆 → 𝑿𝑬 = 𝒂 𝑩𝑷𝑿 ; 𝑃𝑌𝑌𝐸 = (1 − 𝑎)𝑈𝜆 → 𝒀𝑬 = (𝟏 − 𝒂) 𝑩𝑷𝒀 ; ……… . (8.15)

Denklem (8.15)’in bize bildirdiği önemli bir nokta, bir malın bireysel tüketici talebinin;

Tüketicinin tercih ve beğenilerinin (X için “a”, Y için “1-a”),

Tüketicinin gelirinin (B),

Malın fiyatının (PX ve PY)

bir fonksiyonu olmasıdır. Ancak faydanın maksimize edildiğinden emin olmak için ikinci

aşamayı da gerçekleştirmek gerekir.

137

İKİNCİ AŞAMA: İkinci aşamada Denklem (5.4)’teki lagrange fonksiyonunun ikinci kısmi türevlerini X ve Y

mallarına göre almak ve negative olduğunu göstermek gerekir. Yani;

𝜕2ℒ𝜕𝑋2 = 𝜕𝑀𝑈𝑋𝜕𝑋 < 0………(8.16. 𝑎) 𝜕2ℒ𝜕𝑌2 = 𝜕𝑀𝑈𝑌𝜕𝑌 < 0………(8.16. 𝑏)

Denklemler (8.16.a) ve (8.16.b) bize ikinci aşamanın geçerli olması ve kısıt altında faydanın

maksimize edilmesi için hem X hem de Y mallarının marjinal faydalarının azalan bir fonksiyon

olması gerektiğini söylemektedir. Zaten bu durumda azalan marjinal faydalar kanunu ile

sabittir.

8.4. Firmanın Maliyet Minimizasyonu

Firmanın belli bir üretim düzeyini gerçekleştireceğini varsayalım (Q=Q0). Bu düzeyi

gerçekleştirecek alternatif emek (L) ve sermaye (K) bileşimlerinden en düşük maliyete sahip

olanını seçmesi gerekmektedir. Bu firmanın maliyet minimizasyonu problemidir. Matematiksel

olarak ifade edersek

𝑇𝐶 = 𝑤𝐿 + 𝑟𝐾 𝑣𝑒 𝑄0 = 𝐹(𝐿, 𝐾) 𝑖𝑘𝑒𝑛 𝑚𝑎𝑥𝐿,𝐾𝑇𝐶 ö𝑦𝑙𝑒 𝑘𝑖 𝑄0 − 𝐹(𝐿, 𝐾) = 0………(8.17) olur.

Bu problemin çözümünde, kısıt altında minimizasyon yöntemi olarak legrance çarpanını

kullanacağız. Üretim kısıtımız altında toplam maliyeti minimum düzeye getiren sermaye (K)

ve emek (L) miktarlarını şu yöntemle bulacağız:

ℒ = 𝑤𝐿 + 𝑟𝐾 + 𝜆(𝑄0 − 𝐹(𝐿, 𝐾)) = 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒 𝐹𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢 ………(8.18)

Lagrange fonksiyonu toplam maliyet (TC) fonksiyonuna özdeştir. Çünkü; 𝑄0 − 𝐹(𝐿, 𝐾) = 0

138

Dolayısıyla denklem (8.18)’in L ve K’ya göre minimum değerini belirlediğimiz de aynı

zamanda maliyetin de minimum değerini hesaplamış olacağız. Bunun için iki aşamalı bir işlem

yapmak zorundayız:

{ 𝜕ℒ𝜕𝐿 = 0, 𝜕ℒ𝜕𝐾 = 0 𝑣𝑒 𝜕ℒ𝜕𝜆 = 0 → 1. 𝐴Ş𝐴𝑀𝐴 𝜕2ℒ𝜕𝐿2 > 0; 𝜕2ℒ𝜕𝐾2 > 0 → 2. 𝐴Ş𝐴𝑀𝐴…(8.19)

BİRİNCİ AŞAMA:

1. 𝐴Ş𝐴𝑀𝐴{ 𝜕ℒ𝜕𝐿 = 𝑤 − 𝜆 𝜕𝑄𝜕𝐿 = 0 → 𝑀𝑃𝐿(𝐿𝐸 , 𝐾𝐸) = 𝑤𝜆𝜕ℒ𝜕𝐾 = 𝑟 − 𝜆 𝜕𝑄𝜕𝐾 = 0 → 𝑀𝑃𝐾(𝐿𝐸 , 𝐾𝐸) = 𝑟𝜆𝜕ℒ𝜕𝜆 = 𝑄0 − 𝐹(𝐿𝐸 , 𝐾𝐸) = 0 → 𝑀𝑃𝐿(𝐿𝐸 , 𝐾𝐸)𝑀𝑃𝐾(𝐿𝐸 , 𝐾𝐸) = 𝑤𝑟

………(8.20. 𝑎)

Denklem (8.20.a)’yı sadeleştirir ve özetlersek;

𝑀𝑅𝑇𝑆𝐸 = − 𝑀𝑃𝐿(𝐿𝐸 , 𝐾𝐸)𝑀𝑃𝐾(𝐿𝐸 , 𝐾𝐸) = −𝑤𝑟 (8.20. 𝑏)

Denklem (8.20.b) denge noktası eş maliyet doğrusu ve eş ürün eğrisinin eğimlerinin eşit olması

gerektiğini gösteriyor.

İKİNCİ AŞAMA:

2. 𝐴Ş𝐴𝑀𝐴{ 𝜕2ℒ𝜕𝐿2 > 0 → 𝜕2ℒ𝜕𝐿2 = −𝜆 𝜕𝑀𝑃𝐿(𝐿𝐸 , 𝐾𝐸)𝜕𝐿 > 0 → 𝜕𝑀𝑃𝐿(𝐿𝐸 , 𝐾𝐸)𝜕𝐿 < 0;𝜕2ℒ𝜕𝐾2 > 0 → 𝜕2ℒ𝜕𝐾2 = −𝜆 𝜕𝑀𝑃𝐿(𝐿𝐸 , 𝐾𝐸)𝜕𝐾 > 0 → 𝜕𝑀𝑃𝐿(𝐿𝐸 , 𝐾𝐸)𝜕𝐾 < 0

İkinci aşamanın bize söylediği şey hem sermayenin hem de emeğin marjinal ürünün

kendilerinin azalan bir fonksiyonu olması gerektiği ve her ikisini de sağlayan noktaların eş ürün

eğrisi üzerinde A ve B noktaları arasında kalan eğri parçasıdır.

139

Uygulamalar

140

Uygulama Soruları

141


142

Bölüm Soruları

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

143

9. İKTİSADİ DİNAMİKLER VE İNTEGRAL ANALİZİ

144


9.1. İntegralin Anlamı ve İktisat Biliminde Kullanım Alanları

9.2. İntegral İşlemlerinde Kurallar

9.2.1. Kuvvet Kuralı

9.2.2. Üs Kuralı

9.2.3. Logaritma Kuralı

9.2.4. Toplam Kuralı

9.2.5. Çarpım Kuralı

9.2.6. İkame Kuralı

9.2.7. Parçalı İntegral Kuralı

145


146



147

Anahtar Kavramlar

148

Giriş

Bu hafta, integral analizine giriş mahiyetinde olacaktır. Burada ilk olarak integralin anlamı, iktisadi dinamiklerle integralin kullanım alanlarının çakıştığı durumlar ve integralin iktisatta hangi amaçla kullanıldığı tartışılacaktır. Daha sonra integral alma kurallarını inceleyeceğiz.

149

9.1. İntegralin Anlamı Ve İktisat Biliminde Kullanım Alanları

İntegral işlemleri en genel ifade ile belli bir fonksiyonun bağımlı değişkenlerinin olası her

değerinde elde edeceği değerlerin sürekli toplamı anlamına gelir. Daha basit bir ifade ile türev

işleminin tersini ifade eder. Denklem (9.1)’de bu noktayı anlatmaktayız:

𝐹(𝑥) 𝑏𝑖𝑟 𝑖𝑙𝑘𝑒𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛 𝑖𝑘𝑒𝑛; 𝑓(𝑥) = 𝑑𝐹(𝑥)𝑑𝑥 𝑡ü𝑟𝑒𝑣 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢𝑑𝑢𝑟; 𝑏𝑢 ℎâ𝑙𝑑𝑒 ∫ 𝑖ş𝑙𝑒𝑚𝑖 𝐹(𝑥) 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢𝑛𝑢 𝑓(𝑥) 𝑐𝑖𝑛𝑠𝑖𝑛𝑑𝑒𝑛 𝑖𝑓𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑡𝑚𝑒𝑘 𝑎𝑚𝑎𝑐𝚤𝑦𝑙𝑎 𝑘𝑢𝑙𝑙𝑎𝑛𝚤𝑙𝚤𝑟. 𝑌𝑎𝑛𝑖 𝑭(𝒙) + 𝒄 = ∫𝒇(𝒙)𝒅𝒙………(𝟗. 𝟏) 𝑓(𝑥)′𝑖𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢𝑑𝑢𝑟.

ÖRNEK 1: 𝑦 = 𝐹(𝑥) = 𝑥2 𝑖𝑠𝑒, 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝐹′(𝑥) = 2𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑜𝑙𝑎𝑐𝑎𝑘𝑡𝚤𝑟. 𝑌𝑖𝑛𝑒 𝑦 = 𝐹(𝑥) = 𝑥2 + 5 𝑖𝑠𝑒, 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝐹′(𝑥) = 2𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑜𝑙𝑎𝑐𝑎𝑘𝑡𝚤𝑟. 𝐸𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑙 𝑜𝑙𝑎𝑟𝑎𝑘, 𝑐 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡 𝑏𝑖𝑟 𝑠𝑎𝑦𝚤 𝑜𝑙𝑚𝑎𝑘 ş𝑎𝑟𝑡𝚤𝑦𝑙𝑎 ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐 𝑜𝑙𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑖𝑓𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑑𝑖𝑙𝑖𝑟.

İntegral işlemleri, iktisat biliminde çeşitli amaçlarla kullanılır. Bunlar kısaca özetlemek

gerekirse:

Marjinal fonksiyonlardan toplam fonksiyonları üretme,

Belli aralıklarda eğri altında kalan alanı hesaplama,

Büyüme oranlarından stok değişkenleri hesaplama,

Şimdiki değer hesapları.

Bunları onuncu haftada inceleyeceğiz. Ancak bundan önce integral işlemlerindeki kuralları

görmemiz gerekmektedir.

150

9.2. İntegral İşlemlerinde Kurallar

İntegral işlemleri için çok sayıda kural üretilebilir. Denebilir ki her fonksiyon için ayrı bir

integral fonksiyonu ve dolayısıyla ayrı bir integral kuralı olabilir. Ancak bütün bu kurallar yedi

temel kuralın türevleridir. Bunlar:

(i) Kuvvet Kuralı

(ii) Üs Kuralı

(iii) Logaritma Kuralı

(iv) Toplam Kuralı

(v) Çarpım Kuralı

(vi) İkame Kuralı

(vii) Parçalı İntegral Kuralı

Şimdi sırayla bu kuralları inceleyeceğiz.

9.2.1. Kuvvet Kuralı

∫𝑥𝑛𝑑𝑥 = 1𝑛 + 1𝑥𝑛+1 + 𝑐; (𝑛 ≠ 1)………(9.2)

Denklem (9.2), kuvvet fonksiyonunun türev kuralının tersini vermektedir. Bunu bir örnekle

inceleyelim:

ÖRNEK 2: x5 fonksiyonunun integralini bulunuz?

∫𝑥5𝑑𝑥 = 16 𝑥6 + 𝑐

ÖRNEK 3: y= x2/3 fonksiyonunun integralini bulunuz?

151

∫𝑥2/3𝑑𝑥 = 153 𝑥5/3 + 𝑐 = 35𝑥5/3 + 𝑐

9.2.2. Üs Kuralı

∫𝑒𝑎𝑥𝑑𝑥 = 1𝑎 𝑒𝑎𝑥 + 𝑐; (𝑛 ≠ 1)………(9.3) 𝑑𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 𝑣𝑒 𝑑𝑙𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 1𝑥 (𝑥 > 0)

Denklem (9.3), özellikle hem büyüme problemlerinde büyüme oranını göstermek hem de

şimdiki değer hesabında iskonto oranını göstermek için kullanılan üssel fonksiyonun integralini

verir.

9.2.3. Logaritma Kuralı

∫1𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑐; (𝑥 > 0)………(9.4)

Logaritma kuralı, özellikle büyüme problemlerinde ve doğrusal ve doğrusal olmayan

diferansiyel denklem sistemleri çözümlerinde kullanılır.

9.2.4. Toplam Kuralı

∫(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ………(9.5) Kuvvet kuralı, üs kuralı, logaritma kuralı ve toplam kuralını kullanarak aşağıdaki örnekleri

çözelim:

ÖRNEK 4: 𝐹(𝑥) = ∫(𝑥5 + 𝑥3 + 𝑥 − 1𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = ? 𝐹(𝑥) = ∫(𝑥5) 𝑑𝑥 + ∫(𝑥3) 𝑑𝑥 + ∫(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫(1𝑥) 𝑑𝑥 + 2∫ 𝑑𝑥 (𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚)

152

16 𝑥6 + 14𝑥4 + 12𝑥2 − 𝑙𝑛(𝑥) + 2𝑥 + 𝑐

ÖRNEK 5:

𝐹(𝑥) = ∫(3𝑒3𝑥 − 3𝑥2 + 2𝑥𝑥3 + 𝑥2 ) 𝑑𝑥 = ?

Bu örneği çözerken dikkat etmemiz gereken iki kural vardır ki bunlar, üs kuralı ve logaritma

kuralının birer varyantıdır. Şöyle ki;

∫𝑓 ′(𝑥)𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒𝑓(𝑥) + 𝑐∫𝑓 ′(𝑥)𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ln(𝑓(𝑥)) + 𝑐; (𝑓(𝑥) > 0)}………(9.6)

Buna dayanarak problemi çözelim:

𝐹(𝑥) = ∫(3𝑒3𝑥) 𝑑𝑥 − ∫(3𝑥2 + 2𝑥𝑥3 + 𝑥2 ) 𝑑𝑥 (𝑻𝒐𝒑𝒍𝒂𝒎 𝑲𝒖𝒓𝒂𝒍𝚤) 𝐹(𝑥) = 𝑒3𝑥(𝟗. 𝟔) − ln(𝑥3 + 𝑥2) + 𝑐 (𝟗. 𝟔) 16 𝑥6 + 14𝑥4 + 12𝑥2 − 𝑙𝑛(𝑥) + 2𝑥 + 𝑐

9.2.5. Çarpım Kuralı

∫𝛼(𝑓(𝑥))𝑑𝑥 = 𝑎∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥………(9.7)

Çarpım kuralının geçerli olması için “ ” olması gerekir. Buradan

hareketle birçok integralin hesaplanmasında çok büyük kolaylık sağlanmaktadır.

153

9.2.6. İkame Kuralı

𝐸ğ𝑒𝑟 𝑢 = 𝑢(𝑥) 𝑖𝑠𝑒,∫ (𝑓(𝑢) 𝑑𝑢𝑑𝑥) 𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝑐 ………(9.8)

İkame kuralını kullanarak birçok karmaşık görünümlü polinomun integrali kolaylıkla

hesaplanabilir. Bunu dilerseniz bir örnekle inceleyelim:

ÖRNEK 6: ∫(2𝑥3 + 5)6𝑥2𝑑𝑥 =? 𝑢 = 2𝑥3 + 5 𝑣𝑒 𝑑𝑢𝑑𝑥 = 6𝑥2 𝑖𝑠𝑒; ∫(𝟐𝒙𝟑 + 𝟓)𝟔𝒙𝟐𝒅𝒙 = ∫(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑢22 + 𝑐 = (𝟐𝒙𝟑 + 𝟓)𝟐𝟐 + 𝒄

9.2.7. Parçalı İntegral Kuralı

∫ 𝑣𝑑𝑢 = 𝑢𝑣 − ∫𝑢𝑑𝑣………(9.9)

154

Uygulamalar

155

Uygulama Soruları

156


157

Bölüm Soruları

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

158

10. İNTEGRAL ANALİZİNİN İKTİSADİ UYGULAMALARI

159


10.1.İntegralin İktisat Biliminde Kullanım Alanları

10.2. Marjinal Fonksiyonlardan Toplam Fonksiyonların Türetilmesi

10.2.1. Marjinal Ürün ve Toplam Ürün

10.2.2. Marjinal Maliyet ve Toplam Maliyet

10.3. Kapalı İntegral Hesapları ve Eğrinin Altında Kalan Alanın Hesaplanması

10.3.1. Kapalı İntegral Hesapları

10.3.2. Tüketici Artığının Hesaplanması

10.3.3. Üretici Artığının Hesaplanması

160


161



162

Anahtar Kavramlar

163

Giriş

Bu hafta, integral analizine giriş mahiyetinde olacaktır. Burada ilk olarak integralin anlamı, iktisadi dinamiklerle integralin kullanım alanlarının çakıştığı durumlar ve integralin iktisatta hangi amaçla kullanıldığı tartışılacaktır. Daha sonra integral alma kurallarını inceleyeceğiz.

164

10.1.İntegralin İktisat Biliminde Kullanım Alanları

İntegral işlemleri iktisat biliminde matematiksel modelleme ve bunların analitik

değerlendirmesinde kullanılır. Geçen kısımda bahsedildiği gibi integral işlemleri türev alma

işlemlerinin tersini ifade etmektedir. Bu sebeple en önemli kullanım alanlarından birisi marjinal

fonksiyonlardan toplam fonksiyonların elde edilmesindedir. Kısım 1.2’de buna dair örnekler

verilecektir. Özellikle mikro iktisat disiplininde kullanılan kısmi türevler ve bu bağlamda

optimizasyon işlemlerinde tanımlanan marjinal ürün, marjinal maliyet gibi kavramların

integralleri toplam ürün ve toplam maliyet fonksiyonlarını vermektedir.

Bilindiği gibi integralin önemli bir kullanım alanı da eğrilerin altında kalan alanları bulmaktır.

İktisat biliminde tüketici ve üretici artığı gibi değerlerin hesaplanmasında integral analizi

kullanılmaktadır. Kısım 1.3’te buna dair örnekler verilecektir. Ancak bu kısımda kapalı

integrallerin hesaplanmasını da inceleyeceğiz.

10.2. Marjinal Fonksiyonlardan Toplam Fonksiyonların Türetilmesi

10.2.1. Marjinal Ürün ve Toplam Ürün 𝑀𝑃𝐿 = 𝑓(𝐿) = −3𝐿2 + 30𝐿 ………(10.1)

Eğer bir firma için emeğin marjinal ürünü yukarıdaki denklem (10.1)’le tanımlanmışsa toplam

ürünü nasıl tanımlayabiliriz?

Biliyoruz ki; 𝑑𝑄𝑑𝐿 = 𝑀𝑃𝐿 = 𝑓(𝐿) → 𝐹(𝐿) + 𝐶 = 𝑄 = ∫𝑓(𝐿)𝑑𝐿………(10.2)

Denklem (10.2) integralin genel kuralını bize göstermektedir.

O zaman;

𝑄 = ∫𝑓(𝐿)𝑑𝐿 = ∫(−3𝐿2 + 30𝐿)𝑑𝐿 𝑄 = −∫3𝐿2𝑑𝐿 + ∫30𝐿𝑑𝐿 ; (𝑻𝑶𝑷𝑳𝑨𝑴 𝑲𝑼𝑹𝑨𝑳𝑰)………(10.3)

165

𝑄 = −3∫𝐿2𝑑𝐿 + 30∫𝐿𝑑𝐿 ; (Ç𝑨𝑹𝑷𝑰𝑴 𝑲𝑼𝑹𝑨𝑳𝑰)………(10.4) 𝑄 = −3 [(13) 𝐿2] + 30 [(12) 𝐿2] + 𝐶; (𝑲𝑼𝑽𝑽𝑬𝑻 𝑲𝑼𝑹𝑨𝑳𝑰)………(10.5) 𝑸 = 𝐹(𝐿) + 𝐶 = −𝑳𝟑 + 𝟏𝟓𝑳𝟐 + 𝑪; 𝐹(𝐿) = −𝐿3 + 15𝐿2………(10.6)

İktisat biliminde kullanılan girdilerden biri sıfır düzeyindeyse üretimin gerçekleşmeyeceği

bilinmektedir. 𝐿 = 0 → 𝑄 = 𝑂 → 𝐹(𝐿) = 0 → 𝐶

Bu ise bize toplam ürün fonksiyonunu verir:

𝑄 = 𝐹(𝐿) + 0 = 𝑸 = −𝑳𝟑 + 𝟏𝟓𝑳𝟐 = 𝑭(𝑳)………(10.7)

10.2.2. Marjinal Maliyet Ve Toplam Maliyet

SORU 1: Aşağıda bir firma için marjinal maliyet fonksiyonu (MC(Q)) verilmektedir.

𝑀𝐶(𝑄) = 𝑄2 − 10𝑄 + 31………(10.8) Bu bilgiye göre;

(a) Toplam maliyeti (TC(Q)) hesaplayınız.

(b) Toplam değişken maliyeti (TVC(Q)) hesaplayınız.

(c) TC(3) = 92 ise toplam sabit maliyeti (TFC) hesaplayınız.

CEVAP 1:

(a) Toplam maliyeti (TC(Q)) marjinal maliyetin toplam ürüne (Q) göre integralini alarak

hesaplayabiliriz: 𝑇𝐶(𝑄) = ∫𝑀𝐶(𝑄)𝑑𝑄 = ∫(𝑄2 − 10𝑄 + 31)𝑑𝑄

𝑇𝐶(𝑄) = ∫𝑄2𝑑𝑄 − ∫10𝑄𝑑𝑄 +∫31𝑑𝑄 ; (𝑻𝑶𝑷𝑳𝑨𝑴 𝑲𝑼𝑹𝑨𝑳𝑰)…… (10.9) 𝑇𝐶(𝑄) = ∫𝑄2𝑑𝑄 − 10∫𝑄𝑑𝑄 + 31∫𝑑𝑄 . ; (Ç𝑨𝑹𝑷𝑰𝑴 𝑲𝑼𝑹𝑨𝑳𝑰)………(10.10) 𝑇𝐶(𝑄) = (13𝑄3) − 10 (12𝑄2) + 31(𝑄) + 𝐶; (𝑲𝑼𝑽𝑽𝑬𝑻 𝑲𝑼𝑹𝑨𝑳𝑰)……(10.11)

166

𝑻𝑪(𝑸) = 𝑸𝟑𝟑 − 𝟓𝑸𝟐𝟐 + 𝟑𝟏𝑸 + 𝑪………(10.12)

(b) Toplam maliyetin içindeki toplam ürün tarafından belirlenen kısım, toplam değişken

maliyet (TVC(Q)) olarak adlandırılmaktadır. Denklem (10.12)’de sabit katsayıyı çıkarırsak

toplam değişken maliyete (TVC(Q)) ulaşırız:

𝑻𝑽𝑪(𝑸) = 𝑇𝐶(𝑄) − 𝐶 = 𝑄33 − 5𝑄22 + 31𝑄 + 𝐶 − 𝐶 = 𝑸𝟑𝟑 − 𝟓𝑸𝟐𝟐 + 𝟑𝟏𝑸…(10.13)

(c) Eğer TC(3)=92 ise toplam sabit maliyeti (TFC) şu şekilde hesaplarız:

𝑇𝐹𝐶(𝑄) = 𝑇𝐶(𝑄) − 𝑇𝑉𝐶(𝑄) = 𝐶 𝑇𝐶(3) = (3)33 − 5(3)22 + 31(3) + 𝐶 = 92 →

𝑇𝐶(3) = 273 − 452 + 93 + 𝐶 = 92 → 𝑇𝐹𝐶 = 𝐶 = 22,5 − 9 + 92 − 93 → 𝑻𝑭𝑪 = 22,5 − 10 = 𝟏𝟐, 𝟓………(10.14)

10.3. Kapalı İntegral Hesapları Ve Eğrinin Altında Kalan Alanın Hesaplanması

10.3.1. Kapalı İntegral Hesapları

Herhangi bir “f(x)” fonksiyonunun integrali “F(x) +C” olarak tanımlansın. Eğer x’in [b,a] gibi

bir aralıkta aldığı değerlere bağlı olarak “F(a)-F(b)” farkını “f(x)” fonksiyonuna bağlı olarak

tanımlamak istiyorsak kapalı integralleri kullanırız. Kapalı integral, kabaca şu şekilde gösterilir:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 = {(𝐹(𝑎) + 𝐶) − (𝐹(𝑏) + 𝐶) = 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑏)𝑦𝑎 𝑑𝑎 𝐹(𝑥)|𝑏𝑎 = 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑏) ………(10.15)

Kapalı integrallerin en çok kullanıldığı alan, eğrilerin altında kalan alanın hesaplanmasıdır.

Buradan yola çıkarak hacim hesaplaması da yapılabilir. Ancak bu, bizim konumuz değildir.

Aşağıda Şekil 1.1’de, kapalı integralin geometrik anlamı gösterilmektedir:

167

Yukarıdaki şekilde x değişkeninin “b” ile “a” aralığında eğrinin yatay eksenle arasındaki alan,

kutucukta gösterildiği gibi “F(a)-F(b)” değeri kadardır. Denklem (10.15)’te görüldüğü üzere

bu değer, kapalı integralin değerini vermektedir. Burada “a” kapalı integralin “üst limiti”, “b”

ise “alt limitidir”. Dolayısıyla bağımsız değişkenin [b,a] aralığında bir fonksiyonu temsil eden

bir eğrinin altındaki alanı hesaplamak için “b” “alt limit” ve “a” “üst limit” olmak koşulu ile

o fonksiyonun kapalı integralini çözmek gerekmektedir.

Eğri veya doğruların altında kalan alanların hesaplanması, iktisat biliminde tüketici artığı (CS)

ve üretici artığının (PS) ölçülmesinde kullanılır.

10.3.2.Tüketici Artığının Hesaplanması

Tüketici artığı, geometrik olarak bir talep eğrisi ile piyasa fiyatı arasında kalan alan kadardır.

Örneğin aşağıdaki Şekil 10.2’yi inceleyelim:

y

x 0

Şekil 1.1: Eğrinin Altında Kalan Alan ve İntegral

y = f(x)

f(b)

f(a)

b a

F(a)-F(b)

168

Yukarıdaki şekilde Q değişkeninin 0 ile Q* aralığında talep eğrisinin yatay eksenle arasındaki

alan kutucukta gösterildiği gibi “ 𝑪𝑺 = ∫(𝑷(𝟎) − 𝑷(𝑸))𝒅𝑸 ” değeri kadardır. Denklem

(10.16)’da görüldüğü gibi:

𝑪𝑺 = ∫(𝑷(𝟎) − 𝑷(𝑸))𝒅𝑸 = 𝑇ü𝑘𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖 𝐴𝑟𝑡𝚤ğ𝚤 ……… (10.16)

Eğer doğrusal bir talep eğrisi olsaydı ne olurdu? Dilerseniz bu durumu, bir örnekle inceleyelim:

SORU 2:

“P = 100 – 2Q” talep denklemi iken

(a) P=20 iken tüketici artığı ne kadardır?

(b) P=40 iken tüketici artığı ne kadardır?

P

Q 0

Şekil 1.2: Talep Eğrisi ve Tüketici Artığı

P

P(0)

Q*

E

𝐶𝑆 = ∫(𝑃(0) − 𝑃(𝑄))𝑑𝑄

P(Q)=Talep Eğrisi

169

CEVAP 2:

(a) 𝑃(𝑄) = 100 − 2𝑄 → 𝑷(𝟎) = 100 − 2(0) = 𝟏𝟎𝟎………(10.17) 𝑄∗ → 𝑃(𝑄) = 100 − 2𝑄 = 20 → 𝑸∗ = 𝟒𝟎 → 𝐾𝑎𝑝𝑎𝑙𝚤 İ𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑖𝑛 ü𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖 𝑇ü𝑘𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖 𝐴𝑟𝑡𝚤ğ𝚤 = 𝑪𝑺 = ∫ (𝑷(𝟎) − 𝑷(𝑸))𝒅𝑸𝑸∗

𝟎 = ∫ (100 − 100 + 2𝑄)𝑑𝑄400

𝐶𝑆 = ∫ (2𝑄)𝑑𝑄400 = 2∫ (𝑄)𝑑𝑄40

0 →

𝑪𝑺 = 122𝑄2|040 = (40)2 − (0)2 = 𝟏𝟔𝟎𝟎………(10.18)

(b) 𝑃(𝑄) = 100 − 2𝑄 → 𝑷(𝟎) = 100 − 2(0) = 𝟏𝟎𝟎 𝑄∗ → 𝑃(𝑄) = 100 − 2𝑄 = 40 → 𝑸∗ = 𝟑𝟎 → 𝐾𝑎𝑝𝑎𝑙𝚤 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑖𝑛 ü𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖 𝑇ü𝑘𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖 𝐴𝑟𝑡𝚤ğ𝚤 = 𝑪𝑺 = ∫ (𝑷(𝟎) − 𝑷(𝑸))𝒅𝑸𝑸∗

𝟎 = ∫ (100 − 100 + 2𝑄)𝑑𝑄300

𝐶𝑆 = ∫ (2𝑄)𝑑𝑄300 = 2∫ (𝑄)𝑑𝑄30

0 →

𝑪𝑺 = 122𝑄2|030 = (30)2 − (0)2 = 𝟗𝟎𝟎………(10.19)

SORU 3:

“P = Q2-20Q+75” talep denklemi iken

(a) P=24 iken tüketici artığı ne kadardır?

(b) P=39 iken tüketici artığı ne kadardır?

170

CEVAP 3:

(a) 𝑃(𝑄) = 𝑄2 − 20𝑄 + 75 → 𝑷(𝟎) = (0) − 20(0) + 75 = 𝟕𝟓 𝑄∗ → 𝑃(𝑄) = 𝑄2 − 20𝑄 + 75 = 24 →

𝑄2 − 20𝑄 + 51 = 0 → (𝑄 − 3)(𝑄 − 17) = 0;𝑸∗ = 𝟑 → 𝐾𝑎𝑝𝑎𝑙𝚤 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑖𝑛 ü𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖 𝑇ü𝑘𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖 𝐴𝑟𝑡𝚤ğ𝚤 = 𝑪𝑺 = ∫ (𝑷(𝟎) − 𝑷(𝑸))𝒅𝑸𝑸∗

𝟎 →

𝐶𝑆 = ∫ (75 − 𝑄2 + 20𝑄 − 75)𝑑𝑄30 →

𝐶𝑆 = ∫ (−𝑄2 + 20𝑄)𝑑𝑄30 → 𝐶𝑆 = −13𝑄3|03 + 1220𝑄2|03 →

𝑪𝑺 = −((273 ) − (03)) + 10 ((92) − (02)) = 90 − 9 = 𝟖𝟏………(10.20)

(b) 𝑃(𝑄) = 𝑄2 − 20𝑄 + 75 → 𝑷(𝟎) = (0) − 20(0) + 75 = 𝟕𝟓 𝑄∗ → 𝑃(𝑄) = 𝑄2 − 20𝑄 + 75 = 39 →

𝑄2 − 20𝑄 + 36 = 0 → (𝑄 − 2)(𝑄 − 18) = 0;𝑸∗ = 𝟐 → 𝐾𝑎𝑝𝑎𝑙𝚤 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑖𝑛 ü𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖 𝑇ü𝑘𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖 𝐴𝑟𝑡𝚤ğ𝚤 = 𝑪𝑺 = ∫ (𝑷(𝟎) − 𝑷(𝑸))𝒅𝑸𝑸∗

𝟎 →

𝐶𝑆 = ∫ (75 − 𝑄2 + 20𝑄 − 75)𝑑𝑄20 →

171

𝐶𝑆 = ∫ (−𝑄2 + 20𝑄)𝑑𝑄20 → 𝐶𝑆 = −13𝑄3|02 + 1220𝑄2|02 →

𝑪𝑺 = −((83) − (03)) + 10((42) − (02)) = 40 − 2,66 = 𝟑𝟕, 𝟑𝟑………(10.21)

10.3.3. Üretici Artığının Hesaplanması

Üretici artığı, geometrik olarak bir arz eğrisi ile piyasa fiyatı arasında kalan alan kadardır.

Örneğin aşağıdaki Şekil 1.3’ü inceleyelim:

Yukarıdaki şekilde Q değişkeninin 0 ile Q* aralığında arz eğrisinin denge fiyat düzeyiyle

arasındaki alan kutucukta gösterildiği gibi “𝑷𝑺 = ∫ (𝑷(𝑸) − 𝑷(𝟎))𝒅𝑸𝑸∗𝟎 ” değeri kadardır.

Denklem (10.22)’da görüldüğü gibi:

𝑷𝑺 = ∫ (𝑷(𝑸) − 𝑷(𝟎))𝒅𝑸𝑸∗𝟎 = 𝑇ü𝑘𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖 𝐴𝑟𝑡𝚤ğ𝚤 ……… (10.22)

P

Q 0

Şekil 1.3: Arz Eğrisi ve Üretici Artığı

P

P(0)

Q*

E

𝑃𝑆 = ∫(𝑃(𝑄) − 𝑃(0))𝑑𝑄

P(Q)=Arz Eğrisi

172

Eğer doğrusal bir arz eğrisi olsaydı ne olurdu? Dilerseniz bu durumu bir örnekle inceleyelim:

SORU 4:

“P = 10 + 2Q” arz denklemi iken

(a) P=32 iken üretici artığı ne kadardır?

(b) P=54 iken üretici artığı ne kadardır?

CEVAP 4:

(a) 𝑃(𝑄) = 10 + 2𝑄 → 𝑷(𝟎) = 10 + 2(0) = 𝟏𝟎………(10.23) 𝑄∗ → 𝑃(𝑄) = 10 + 2𝑄 = 32 → 𝑸∗ = 𝟏𝟏 → 𝐾𝑎𝑝𝑎𝑙𝚤 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑖𝑛 ü𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖

Ü𝑟𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖 𝐴𝑟𝑡𝚤ğ𝚤 = 𝑷𝑺 = ∫ (𝑷(𝑸) − 𝑷(𝟎))𝒅𝑸𝑸∗𝟎 = ∫ (10 + 2𝑄 − 10)𝑑𝑄11

0

𝑃𝑆 = ∫ (2𝑄)𝑑𝑄110 = 2∫ (𝑄)𝑑𝑄11

0 →

𝑷𝑺 = 122𝑄2|011 = (11)2 − (0)2 = 𝟏𝟐𝟏………(10.24)

(b) 𝑃(𝑄) = 10 + 2𝑄 → 𝑷(𝟎) = 10 + 2(0) = 𝟏𝟎 𝑄∗ → 𝑃(𝑄) = 10 + 2𝑄 = 54 → 𝑸∗ = 𝟐𝟐 → 𝐾𝑎𝑝𝑎𝑙𝚤 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑖𝑛 ü𝑠𝑡 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖

Ü𝑟𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖 𝐴𝑟𝑡𝚤ğ𝚤 = 𝑷𝑺 = ∫ (𝑷(𝑸) − 𝑷(𝟎))𝒅𝑸𝑸∗𝟎 = ∫ (10 + 2𝑄 − 10)𝑑𝑄22

0

𝑃𝑆 = ∫ (2𝑄)𝑑𝑄220 = 2∫ (𝑄)𝑑𝑄22

0 →

𝑷𝑺 = 122𝑄2|022 = (22)2 − (0)2 = 𝟒𝟖𝟒………(10.25)

173

174

Uygulamalar

175

Uygulama Soruları

176


177

Bölüm Soruları

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

178

11. BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER

179


11.1İktisadi Analizde Zaman Boyutu

11.2. Sabit Terim ve Katsayılı Diferansiyel Denklemler

11.2.1. Homojen Durum ve Çözümü

11.2.2. Homojen Olmayan Durum ve Çözümü

180


181



182

Anahtar Kavramlar

183

Giriş

Bu hafta, iktisat modellemesinde çok önemli kullanım alanları olan diferansiyel denklemlerin mantığı, çözüm yöntemleri ve sonuçlarını inceleyeceğiz. Bu haftaki dersimiz ileride dinamik iktisat modellerini anlamada çok önemli ipuçları sağlayacaktır

184

11.1İktisadi Analizde Zaman Boyutu

İktisat eğitimi müfredatında, genellikle statik modellere yer verilmektedir. Bu, belli bir anda

belli ekonomik etkenler arasındaki iktisadi ilişkilerin fotoğrafını çekmek anlamına gelir. Bu

durumu anlatan en güzel tabir “ceteris paribus”tur. Gerçek hayatta ise bireyler ve toplumların

davranışları sürekli bir değişim ve evrimle hâlindedir. Dolayısıyla iktisadi faaliyete ait anlık

fotoğraflar, gerçeği anlamak açısından araştırmacıya çok şey kazandırmamaktadır. Bu sorunun

bertaraf edilmesi için iktisadi faaliyetin fotoğrafı yerine filminin çekilmesi gerekmektedir.

Ancak böyle bir işlem için zaman boyutunun modele dâhil edilmesi gerekir.

İktisat modellemesinden bir örnek vererek bu durumu açıklayalım.

Örnek 1: Makro İktisatta Otonom Harcamalar

Makro iktisadi analizde mal ve hizmet piyasasında efektif talebin oluşumunda millî gelirden

bağımsız olan harcama bileşenleri otonom olarak adlandırılmaktaydı. Örneğin; kamu

harcamaları, yatırım harcamaları ve ihracat harcamaları gibi. Bu durum ise, ister istemez bu

harcama bileşenlerinin zaman içinde de sabit olduğu gibi bir yanılsamayı da doğurmaktaydı.

Hâlbuki gerçek hayata baktığımızda, ekonomiler sadece kendi içsel mekanizmalarından

kaynaklanan etkenlerle hareket etmezler. Birçok iktisadi faaliyet dışı etkenler kapitalist üretim

sisteminin genişlemesine ve iktisadi faaliyet düzeyinin bir trende bağlı olarak artmasına yol

açar. Mesela; nüfuz artış hızı, teknoloji gelişme hızı, enerji kaynaklarının tükenme hızı gibi. Bu

yüzden otonom olarak kabul edilen bu değişkenler millî gelir düzeyinden bağımsız olmakla

birlikte belli bir zaman trendine bağlı olarak büyürler. Bu yüzden, millî gelir gibi sisteme içsel

ve sistemin içinde belirlenen değişkenlerdeki büyüme trendleri de bu dışsal etkenler tarafından

belirlenir. İster istemez sürekli büyüme trendine sahip bu veri kümelerini inceleyen araştırmacı,

bu büyüme olgusunu analize dâhil edecek matematiksel yöntemlere ihtiyaç duyar. İşte bu

yöntem “diferansiyel denklem” çözümüdür.

Bir diferansiyel denklem pek çok mertebeden olabilir. Ancak çok geniş bir alana hitap eden bu

konuyu dersimizin sınırları ve lisans müfredatının kapsamı çerçevesinde ele almak zorundayız.

Bu nedenle sadece birinci mertebeden doğrusal diferansiyel denklemlerini inceleyeceğiz. Bu

bile bize birçok iktisadi modeli analiz etme yetkinliği kazandıracaktır. Birinci mertebeden

doğrusal diferansiyel denklemin en genel tanımı aşağıdaki gibidir:

185

𝒅𝒚𝒅𝒕 + 𝒖(𝒕) = 𝒘(𝒕); 𝑡 = 𝑧𝑎𝑚𝑎𝑛 𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖; 𝑢, 𝑣 𝑧𝑎𝑚𝑎𝑛 𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑𝑙𝑖 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑙𝑎𝑟 ………(11.1)

Diferansiyel denklemler en genel şekliyle sadece zamana göre değil, bir fonksiyonun her hangi

bir değişkene göre değişimi ile yine o değişkenin başka fonksiyonları arasındaki ilişkiyi

gösterir. İktisat yazınında, diferansiyel denklemler çoğunlukla zaman içinde değişim ve

büyümenin incelenmesi için kullanıldığından ana bağımsız değişken olan “t – zaman trendini”

kullandık.

11.2. Sabit Terim ve Katsayılı Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler

Varsayalım ki “u(t)” fonksiyonu sabit bir fonksiyon ve “w(t)” fonksiyonu sıfıra eşit olsun. O

zaman denklem (11.1) şu hâli alır:

𝒅𝒚𝒅𝒕 + 𝒂𝒚 = 𝟎; 𝑢(𝑡) = 𝑎;𝑤(𝑡) = 0………(11.2)

Bu duruma homojen durum adı verilir.

11.2.1.Homojen Durum Ve Çözümü

Denklem (11.2)’yi ele alalım:

𝒅𝒚𝒅𝒕 + 𝒂𝒚 = 𝟎………(11.2)

Amaç y fonksiyonunu zaman trendi “t” cinsinden tanımlamaktır. Bu denklemi, diferansiyeli sol

tarafa alarak çözebiliriz:

𝑑𝑦𝑑𝑡 = −𝑎𝑦 → 1𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑡 = −𝑎………(11.3) Denklem (11.3)’te sabit değere sahip bir türev fonksiyonu ile karşı karşıyayız. Bu durumda

temel fonksiyonu bulmak ana amaç olacaktır. Bunun yolu da denklemin her iki tarafının da

integralini almaktır.

186

1𝑦 𝑑𝑦 = −𝑎𝑑𝑡 → ∫1𝑦 𝑑𝑦 = ∫−𝑎𝑑𝑡 → 𝑙𝑛(𝑦) = −𝑎𝑡 + 𝐶 ………(11.4)

Eğer denklemin her iki tarafını da üssel fonksiyon içinde tanımlarsak sol tarafta “y” değişkenini

yalnız bırakmış oluruz:

𝑒𝑙𝑛(𝑦) = 𝑒−𝑎𝑡+𝐶 → 𝑦 = 𝑒𝐶𝑒−𝑎𝑡 → 𝒚 = 𝑨𝒆−𝒂𝒕; 𝐴 = 𝑒𝐶 ………(11.5)

SORU 1: 𝒅𝒚𝒅𝒕 + 𝟒𝒚 = 𝟎 𝑣𝑒 𝒚(𝟎) = 𝟐 𝑖𝑠𝑒 𝑦(𝑡) =?

CEVAP 1: 𝑑𝑦𝑑𝑡 + 4𝑦 = 0 → 𝑑𝑦𝑑𝑡 = −4𝑦 → 1𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑡 = −4 →

1𝑦 𝑑𝑦 = −4𝑑𝑡 → ∫1𝑦 𝑑𝑦 = −4∫𝑑𝑡 →

𝑙𝑛(𝑦) = −4𝑡 + 𝐶 → 𝑦(𝑡) = 𝑒−4𝑡+𝐶 = 𝐴𝑒−4𝑡; 𝑦(0) = 2 = 𝐴𝑒−4.0 → 𝐴 = 2 →

𝒚(𝒕) = 𝟐𝒆−𝟒𝒕

SORU 2: 𝒅𝒚𝒅𝒕 − 𝟑𝒚 = 𝟎 𝑣𝑒 𝒚(𝟎) = 𝟏 𝑖𝑠𝑒 𝑦(𝑡) =?

CEVAP 2: 𝑑𝑦𝑑𝑡 − 3𝑦 = 0 → 𝑑𝑦𝑑𝑡 = 3𝑦 → 1𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑡 = 3 →

187

1𝑦 𝑑𝑦 = 3𝑑𝑡 → ∫1𝑦 𝑑𝑦 = 3∫𝑑𝑡 →

𝑙𝑛(𝑦) = 3𝑡 + 𝐶 → 𝑦(𝑡) = 𝑒3𝑡+𝐶 = 𝐴𝑒3𝑡; 𝑦(0) = 1 = 𝐴𝑒3.0 → 𝐴 = 1 →

𝒚(𝒕) = 𝒆𝟑𝒕


Denklem (11.1)’de w(t) fonksiyonu da “b” gibi bir sabit katsayıya eşit olsun. O zaman denklem

(11.2) şu şekli alır:

𝒅𝒚𝒅𝒕 + 𝒂𝒚 = 𝒃………(11.6)

Bu durum homojen olmayan durum olarak adlandırılır. Amaç y fonksiyonunu zaman trendi “t”

cinsinden tanımlamaktır. Bu yüzden denklem “tamamlayıcı fonksiyon - yc” ve “özel integral –

yp” olmak üzere iki parçaya ayrılır.

𝒚𝒄 = 𝑨𝒆−𝒂𝒕 → 𝑑𝑒𝑛𝑘𝑙𝑒𝑚𝑖𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑗𝑒𝑛 𝑘𝚤𝑠𝑚𝚤𝑛𝚤𝑛 çö𝑧ü𝑚ü𝒚𝑷 = 𝒃𝒂 → 𝑑𝑦𝑑𝑡 = 0 𝑖𝑘𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑘𝑙𝑒𝑚𝑖𝑛 çö𝑧ü𝑚ü}………(11.7)

Bu denklemi, diferansiyeli sol tarafa alarak çözebiliriz:

𝒚(𝒕) = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 = 𝑨𝒆−𝒂𝒕 + 𝒃𝒂………(11.8)

SORU 3: 𝒅𝒚𝒅𝒕 + 𝟏𝟎𝒚 = 𝟏𝟓 𝑣𝑒 𝒚(𝟎) = 𝟓 𝑖𝑠𝑒 𝑦(𝑡) =?

CEVAP 3:

188

𝒚(𝒕) = 𝑨𝒆−𝟏𝟎𝒕 + 𝟏𝟓𝟏𝟎 →

𝑦(0) = 5 = 𝐴𝑒−10.0 → 𝐴 = 5 →

𝒚(𝒕) = 𝟓𝒆−𝟏𝟎𝒕 + 𝟏, 𝟓

SORU 4: 𝟐𝒅𝒚𝒅𝒕 + 𝟒𝒚 = 𝟔 𝑣𝑒 𝒚(𝟎) = 𝟏, 𝟓 𝑖𝑠𝑒 𝑦(𝑡) =?

CEVAP 4: 𝟐𝒅𝒚𝒅𝒕 + 𝟒𝒚 = 𝟔 → 𝒅𝒚𝒅𝒕 + 𝟐𝒚 = 𝟑 → 𝒚(𝒕) = 𝑨𝒆−𝟐𝒕 + 𝟑𝟐 →

𝑦(0) = 1,5 = 𝐴𝑒−2.0 → 𝐴 = 1,5 →

𝒚(𝒕) = 𝟏, 𝟓𝒆−𝟐𝒕 + 𝟏, 𝟓

189

Uygulamalar

190

Uygulama Soruları

191


192

Bölüm Soruları

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

193

12. BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER II

194


12.1. Değişken Terim ve Katsatılı Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler

12.1.1. Homojen Durum ve Çözümü


12.2. Diferansiyel Denklemler ve İktisadi Anlamı

12.2.1. Sabit Katsayılı ve Terimli Diferansiyel Denklemler

12.2.2. Değişken Katsayı ve Terimli Diferansiyel Denklemler

195


196



197

Anahtar Kavramlar

198

Giriş

Bu hafta, geçen haftadan kalan konularımıza devam edeceğiz. Birinci mertebeden diferansiyel

denklemleri tamamladığımızda, bunların iktisadi açıdan ne mana ifade ettiğini inceleyeceğiz.

199

12.1.Değişken Terim Ve Katsayılı Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler

Birinci mertebeden doğrusal diferansiyel denklemin en genel tanımını geçen hafta şöyle

belirlemiştik:

𝒅𝒚𝒅𝒕 + 𝒖(𝒕)𝒚 = 𝒘(𝒕); 𝑡 = 𝑧𝑎𝑚𝑎𝑛 𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖; 𝑢, 𝑣 𝑧𝑎𝑚𝑎𝑛 𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑𝑙𝑖 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑙𝑎𝑟 ………(12.1)

Diferansiyel denklemler en genel şekliyle sadece zamana göre değil, bir fonksiyonun herhangi

bir değişkene göre değişimi ile yine o değişkenin başka fonksiyonları arasındaki ilişkiyi

gösterir. Böyle bir denklemle karşılaştığımızda da yine hem homojen hem homojen olmayan

durumların çözümünü incelememiz gerekmektedir.

12.1.1. Homojen Durum Ve Çözümü

Denklem (12.1)’e göre homojen durum şu şeklide oluşur:

𝒅𝒚𝒅𝒕 + 𝒖(𝒕)𝒚 = 𝟎………(12.2)

Amaç, y fonksiyonunu zaman trendi “t” cinsinden tanımlamaktır. Bu denklemi, diferansiyeli

sol tarafa alarak çözebiliriz:

𝑑𝑦𝑑𝑡 = −𝒖(𝒕)𝑦 → 1𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑡 = −𝒖(𝒕)………(12.3)

Denklem (12.3)’te, zamana bağlı değişken değere sahip bir türev fonksiyonu ile karşı

karşıyayız. Bu durumda temel fonksiyonu bulmak ana amaç olacaktır. Bunun yolu da

denklemin her iki tarafının da integralini almaktır.

1𝑦 𝑑𝑦 = −𝒖(𝒕)𝑑𝑡 → ∫1𝑦 𝑑𝑦 = ∫−𝒖(𝒕)𝑑𝑡 → 𝑙𝑛(𝑦) = −∫𝒖(𝒕)𝑑𝑡 + 𝐶 ………(12.4)

Eğer denklemin her iki tarafını da üssel fonksiyon içinde tanımlarsak sol tarafta “y” değişkenini

yalnız bırakmış oluruz:

200

𝑒𝑙𝑛(𝑦) = 𝑒−∫𝒖(𝒕)𝑑𝑡 +𝐶 → 𝑦 = 𝑒𝐶𝑒∫𝒖(𝒕)𝑑𝑡 → 𝒚 = 𝑨𝒆−∫𝒖(𝒕)𝑑𝑡 ; 𝐴 = 𝑒𝐶 ………(12.5) SORU 1: 𝒅𝒚𝒅𝒕 + 𝟑𝒕𝟐𝒚 = 𝟎 𝑣𝑒 𝒚(𝟎) = 𝟓 𝑖𝑠𝑒 𝑦(𝑡) =?

CEVAP 1: 𝑑𝑦𝑑𝑡 + 3𝑡2𝑦 = 0 → 𝑑𝑦𝑑𝑡 = −3𝑡2𝑦 → 1𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑡 = −3𝑡2 →

1𝑦 𝑑𝑦 = −3𝑡2𝑑𝑡 → ∫1𝑦 𝑑𝑦 = −3∫𝑡2𝑑𝑡 →

𝑙𝑛(𝑦) = −𝑡3 + 𝐶 → 𝑦(𝑡) = 𝑒−𝑡3+𝐶 = 𝐴𝑒−4𝑡; 𝑦(0) = 5 = 𝐴𝑒−03 → 𝐴 = 5 →

𝒚(𝒕) = 𝟓𝒆−𝒕𝟑

12.1.2.Homojen Olmayan Durum ve Çözümü

Denklem (12.1)’de “w(t)” fonksiyonu da var olduğunda genel çözüm ne olacaktır? Denklem

(12.1)’in genel çözümü şu şekli alır:

𝒚(𝒕) = 𝒆−∫𝒖(𝒕)𝒅𝒕 (𝐴 + ∫𝑤(𝑡)𝑒∫𝒖(𝒕)𝒅𝒕𝑑𝑡)………(12.6)

Bu durum, homojen olmayan durum olarak adlandırılır. Amaç, y fonksiyonunu zaman trendi

“t” cinsinden tanımlamaktır. Denklem (12.6), homojen olmayan durum da diferansiyel

denklemin genel çözümünü verir.

SORU 2: 𝒅𝒚𝒅𝒕 + 𝟐𝒕𝒚 = 𝒕 𝑖𝑠𝑒 𝑦(𝑡) =? CEVAP 2: 𝑢(𝑡) = 2𝑡;𝑤(𝑡) = 𝑡;

201

𝑦(𝑡) = 𝑒−∫2𝑡𝑑𝑡 (𝐴 + ∫ 𝑡𝑒∫2𝑡𝑑𝑡𝑑𝑡) →

𝑦(𝑡) = 𝑒−(𝑡2+𝐾) (𝐴 + ∫ 𝑡𝑒𝑡2+𝐾𝑑𝑡) →

𝑑𝑒𝑡2𝑑𝑡 = 2𝑡𝑒𝑡2 →

𝑦(𝑡) = 𝐴𝑒−(𝑡2+𝐾) + 𝑒−(𝑡2+𝐾)𝑒𝐾∫122𝑡𝑒𝑡2𝑑𝑡 →

𝑦(𝑡) = 𝐴𝑒−(𝑡2+𝐾) + 𝑒−𝑡2+𝐾−𝐾 12 𝑒𝑡2 + 𝐶 →

𝑦(𝑡) = 𝐴𝑒−𝑡2𝑒−𝐾 + 𝑒−𝑡2 (12 𝑒𝑡2 + 𝐶) →

𝑦(𝑡) = 𝑒−𝑡2 (𝐴𝑒−𝐾 + 12 𝑒𝑡2 + 𝐶) →

𝑦(𝑡) = (𝐴𝑒−𝐾 + 𝐶)𝑒−𝑡2 + 12 →

𝒚(𝒕) = 𝑩𝒆−𝒕𝟐 + 𝟏𝟐 ;𝑩 = (𝑨𝒆−𝑲 + 𝑪)

12.2. Diferansiyel Denklemler ve İktisadi Anlamı

Gerek geçen hafta gerekse bu hafta incelediğimiz konular, yüzeysel olarak bakıldığında

iktisatla pek alakalı değilmiş gibi görünmektedir. Ancak, iktisat modellemesinde birinci

mertebeden diferansiyel denklemler önemli bir yere sahiptir. Bunu anlayabilmemiz için bu

denklem çözümlerinin iktisadi anlamını anlatmamız gerekecektir. Bundan önce belirtmemiz

gereken önemli bir nokta, gerçek hayatta dinamik ilişkiler –istisnai hâller dışında- homojen

olmayan durumu gösterir. Ancak homojen durum ve çözümü, bütün diğer diferansiyel denklem

çözümleri için hayatidir.

202

12.2.1. Sabit Katsayılı ve Terimli Diferansiyel Denklemler

Sabit katsayı ve terimli diferansiyel denklemler, aslında herhangi bir iktisadi olgunun denge

değerinin belli bir zaman trendine bağlı olarak değişmediği durumları anlatmak için

kullanılır. Örneğin; bir piyasada denge fiyatı, arz ve talebin kesiştiği noktada gerçekleşir. Eğer

piyasa fiyatı bu denge değerinden farklı bir düzeydeyse fiyatların piyasa mekanizması

gereğince dengeye intibak etmesi gerekir. Ancak her zaman fiyat dengeye intibak etmez.

Fiyatın dengeye yaklaştığı mı yoksa dengeden uzaklaştığı mı sorusuna verilecek yanıt

denklemin homojen durum çözümünde saklıdır. Genel olarak “y”, herhangi bir “x” iktisadi

değişkeninin düzeyi ile denge değeri arasındaki farkı göstersin. Yani;

𝑦 = 𝑥 − 𝑥∗; 𝑥∗ = 𝑥 ′𝑖𝑛𝑑𝑒𝑛𝑔𝑒 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟𝑖; 𝑦 = 0 → 𝑥 = 𝑥∗………(12.7)

O zaman,

𝐸ğ𝑒𝑟 𝑑𝑦𝑑𝑡 + 𝑎𝑦 = 0 𝑑𝑒𝑛𝑘𝑙𝑒𝑚𝑖𝑛𝑑𝑒 "a" parametresi {< 0 → 𝑥 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑢𝑧𝑎𝑘𝑙𝑎ş𝚤𝑟.> 0 → 𝑥 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑒𝑦𝑒 𝑦𝑎𝑘𝑙𝑎ş𝚤𝑟. (12.8)

Eğer homojen durumdaki “a” parametresinin işareti (+ veya -) bize x’in dengeden

uzaklaşacağını veya dengeye yaklaşacağını gösteriyorsa, “a” parametresinin mutlak değerinin

büyüklüğü ise bu hareketin hızını vermektedir. Ancak burada dikkat edilmesi gereken olgu esas

ilgilendiğimiz değişkenin “y” değil x olmasıdır. Yani;

𝑥 = 𝑦 + 𝑥∗ → 𝑑𝑥𝑑𝑡 = 𝑑𝑦𝑑𝑡 + 𝑑𝑥∗𝑑𝑡 = (−𝑎𝑦) + (0) = −𝑎(𝑥 − 𝑥∗) →

𝑑𝑥𝑑𝑡 + 𝑎𝑥 = 𝑎𝑥∗ → 𝑑𝑥𝑑𝑡 + 𝑎𝑥 = 𝑏; 𝑏 = 𝑎𝑥∗; 𝑏𝑎 = 𝑎𝑥∗𝑎 = 𝑥∗………(12.9)

Denklem (12.9)’a göre bir denklemin homojen olmayan duruma göre çözümünde özel integral

değeri – “yp” denklemin denge değerini vermekte, tamamlayıcı fonksiyon – “yc”ise denklemin

özel integral ile tanımlanan dengeye intibak hızı ve yönünü vermektedir. Onun için homojen

durum ve çözümü bize dengeye yaklaşma veya dengeden uzaklaşma hızını vermektedir. Tabii

203

ki temel varsayım bu dengenin zaman içinde değişmediği yönündedir.

12.2.2. Değişken Katsayı ve Terimli Diferansiyel Denklemler

Değişken katsayı ve terimli diferansiyel denklemler denge değerinin zaman içinde belli bir trende bağlı olarak değiştiği durumlarda kullanılır. Örneğin; makro iktisatta millî gelirin –“Y”

nihai dengesi potansiyel üretim düzeyi –“Y*” ile tanımlanır. Bu düzey ders kitaplarında veri

olarak kabul edilir. Ancak, gerçek verilerle çalışırken iş biraz daha karmaşıktır. Çünkü iktisadi

olaylardan bağımsız olarak potansiyel üretim düzeyi nüfus artış hızına, teknolojinin gelişme

hızına ve iklim gibi bir kısım doğal etkenler bağlıdır. Bu da belli bir zaman trendine bağlı olarak

büyüdüğü anlamına gelmektedir. Yani sabit bir denge değeri yoktur. Dolayısıyla denklemin

homojen çözümü de yani millî gelirin “Y” potansiyel üretim düzeyinde “Y*” intibak hızı da bu

intibak gerçekleştiğindeki denge değeri de değişecektir. Yani;

𝑑𝑦𝑑𝑡 + 𝑢(𝑡)𝑦 = 𝑤(𝑡) 𝑖𝑠𝑒

{(𝑨𝒆−∫𝒖(𝒕)𝒅𝒕) 𝒚′𝒏𝒊𝒏 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒆𝒚𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒊𝒃𝒂𝒌 𝒉𝒂𝒓𝒆𝒌𝒆𝒕𝒊𝒏𝒊(∫𝑤(𝑡)𝑑𝑡) 𝒚′𝒏𝒊𝒏 𝒅𝒆ğ𝒊ş𝒆𝒏 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒆 𝒅ü𝒛𝒆𝒚𝒊𝒏𝒊 𝑔ö𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑟. (12.10)

{𝑑𝑦𝑑𝑡 − 𝑢(𝑡)𝑦 = 𝑤(𝑡) → 𝒚 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒆𝒅𝒆𝒏 𝒖𝒛𝒂𝒌𝒍𝒂ş𝚤𝒓𝑑𝑦𝑑𝑡 + 𝑢(𝑡)𝑦 = 𝑤(𝑡) → 𝒚 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒆𝒚𝒆 𝒚𝒂𝒌𝒍𝒂ş𝚤𝒓 ………(12.11)

204

Uygulamalar

205

Uygulama Soruları

206


207

Bölüm Soruları

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

208

13. DİNAMİK PİYASA DENGESİ VE SOLOW BÜYÜME MODELİ

209


13.1 Sabit Katsayılı ve Terimli Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemlerde Genel Çözüm

Formülü

13.2. Piyasa Dengesine Fiyatın Dinamik İntibakı

13.3. Solow Büyüme Modeli

210


211



212

Anahtar Kavramlar

213

Giriş

Bu hafta, basit piyasa dengesine fiyat intibakını ve yine solow büyüme modelindeki sermaye hasıla oranının doğal büyüme hızına intibakını inceleyeceğiz. Burada sabit terim ve katsayılı birinci mertebeden diferansiyel denklem çözümlerini kullanacağız.

214

13.1. Sabit Katsayılı Ve Terimli Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemlerde Genel Çözüm Formülü

11. haftada sabit katsayılı ve terimli birinci mertebeden diferansiyel denklemlerde homojen

olmayan durumun çözümünü şu şekilde tanımlamıştık:

𝒅𝒚𝒅𝒕 + 𝒂𝒚 = 𝒃………(13.1) 𝒚𝒄 = 𝑨𝒆−𝒂𝒕 → 𝑑𝑒𝑛𝑘𝑙𝑒𝑚𝑖𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑗𝑒𝑛 𝑘𝚤𝑠𝑚𝚤𝑛𝚤𝑛 çö𝑧ü𝑚ü𝒚𝑷 = 𝒃𝒂 → 𝑑𝑦𝑑𝑡 = 0 𝑖𝑘𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑘𝑙𝑒𝑚𝑖𝑛 çö𝑧ü𝑚ü

}………(13.2) 𝒚(𝒕) = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 = 𝑨𝒆−𝒂𝒕 + 𝒃𝒂………(13.3)

Denklem (13.3)’teki çözümü daha genelleştirmemiz gerekirse “t = 0” olduğunda “y(t)” değeri

şu şekli alır:

𝑡 = 0 → 𝑦(𝑡) = 𝒚(𝟎) = 𝐴𝑒−𝑎0 + 𝑏𝑎 = 𝐴. 1 + 𝑏𝑎 = 𝑨 + 𝒃𝒂………(13.4)

Denklem (13.3) için hayati bir yer teşkil eden “A” katsayısı yukarıdaki Denklem (13.4)

kullanılarak y’nin başlangıç (y(0)) ve denge (y*) değerleri cinsinden tekrar tanımlanabilir:

𝒚∗ = 𝒃𝒂 ; 𝑦(0) = 𝐴 + 𝑏𝑎 → 𝑨 = 𝒚(𝟎) − 𝒚∗………(13.5)

Bu bilgiler ışığında denklem (13.1)’in genel çözümü, denklem (13.3)’ün içine denklem

(13.5)’teki bilgiler ikame edilerek şu şekli alır:

𝒚(𝒕) = 𝐴𝑒−𝑎𝑡 + 𝑏𝑎 = (𝒚(𝟎) − 𝒚∗)𝒆−𝒂𝒕 + 𝒚∗………(13.6)

Bundan sonra inceleyeceğimiz iki modelde ve bu modellere ait örnek problemlerde denklem

(13.6)’daki çözüm formülünü kullanacağız.

215

13.2. Piyasa Dengesine Fiyatın Dinamik İntibakı

Aşağıda standart bir piyasa modeli verilmiştir. Arz (QS) yukarı doğru eğimli ve talep (QD) aşağı

doğru eğimlidir:

𝑃𝑖𝑦𝑎𝑠𝑎 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑖 → {𝑸𝑫 = 𝜶 − 𝜷𝑷;𝑇𝑎𝑙𝑒𝑝 𝐷𝑜ğ𝑟𝑢𝑠𝑢𝑸𝑺 = −𝜸 + 𝜹𝑷; 𝐴𝑟𝑧 𝐷𝑜ğ𝑟𝑢𝑠𝑢 ………(13.7)

Bu piyasada fiyatın dengeye intibakı arz ve talebi eşitleyecek ve piyasa dengeye gelecektir. Bu

mekanizmayı anlatmak için piyasada arz veya talep fazlasına fiyatın nasıl tepki göstereceğini

tanımlamak gerekmektedir:

𝒅𝑷𝒅𝒕 = 𝝁(𝑸𝑫 − 𝑸𝑺) → { 𝑇𝑎𝑙𝑒𝑝 𝐹𝑎𝑧𝑙𝑎𝑠𝚤 → 𝑸𝑫 > 𝑸𝑺 → 𝑑𝑃𝑑𝑡 > 0 → 𝑷 ↑𝐷𝑒𝑛𝑔𝑒 → 𝑸𝑫 = 𝑸𝑺 → 𝑑𝑃𝑑𝑡 = 0 → 𝑷 = 𝑷∗𝐴𝑟𝑧 𝐹𝑎𝑧𝑙𝑎𝑠𝚤 → 𝑸𝑫 < 𝑸𝑺 → 𝑑𝑃𝑑𝑡 < 0 → 𝑷 ↓ ; 𝜇 > 0………(13.8)

Piyasada denge koşulu aşağıdaki gibi gerçekleşir:

𝑑𝑃𝑑𝑡 = 0 = 𝜇((𝛼 − 𝛽𝑃)—𝛾 + 𝛿𝑃) = 𝜇((𝛼 + 𝛾) − (𝛽 + 𝛿)𝑃) = 0 →

𝑷 = 𝑷∗ = (𝜶 + 𝜸)(𝜷 + 𝜹)………(13.9)

Diferansiyel denklemi denklem (13.1)’deki şekilde ifade etmek istersek;

𝑑𝑃𝑑𝑡 = 𝜇((𝛼 − 𝛽𝑃)—𝛾 + 𝛿𝑃) = 𝜇((𝛼 + 𝛾) − (𝛽 + 𝛿)𝑃) →

𝑑𝑃𝑑𝑡 + 𝜇(𝛽 + 𝛿)𝑃 = 𝜇(𝛼 + 𝛾) →

𝒅𝑷𝒅𝒕 + 𝒂𝑷 = 𝒃; 𝒂 = 𝜇(𝛽 + 𝛿); 𝒃 = 𝜇(𝛼 + 𝛾)……(13.10)

216

Denklem (13.10), bize modeldeki temel dinamik dengeye intibak mekanizmasını denklem

(13.1)’deki şekilde ifade etmektedir. O zaman denklem (13.10)’un genel çözümü de aşağıdaki

gibi olacaktır:

𝑷(𝒕) = (𝑷(𝟎) − 𝑷∗)𝒆−𝒂𝒕 + 𝑷∗; 𝑃∗ = (𝛼 + 𝛾)(𝛽 + 𝛿) ; 𝑎 = 𝜇(𝛽 + 𝛿)………(𝟏𝟑. 𝟏𝟏)

Burada başlangıç fiyatı önemli bir yer almaktır. Denklem (13.8)’de anlatıldığı gibi, eğer

başlangıçta fiyat dengenin üstündeyse düşecektir (P(0)>P* P) ve eğer altındaysa

yükselecektir (P(0)<P* P). Eğer başlangıçta fiyat dengedeyse o zaman fiyatta değişim

beklenmemelidir (P(0)=P* (dP/dt)=0).

ÖRNEK PROBLEM 1: 𝑃𝑖𝑦𝑎𝑠𝑎 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑖 → {𝑸𝑫 = 𝟐 − 𝟑𝑷;𝑇𝑎𝑙𝑒𝑝 𝐷𝑜ğ𝑟𝑢𝑠𝑢𝑸𝑺 = −𝟏𝟎 + 𝑷;𝐴𝑟𝑧 𝐷𝑜ğ𝑟𝑢𝑠𝑢

𝒅𝑷𝒅𝒕 = 𝟎, 𝟐(𝑸𝑫 − 𝑸𝑺); 𝑷(𝟎) = 𝟓 ?

Yukarıdaki piyasa modelinde fiyatın dengeye intibak mekanizmasını hesaplayın?

ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ 1: 𝑷∗ = (𝟐 − (−𝟏𝟎))(𝟑 + 𝟏) = (𝟐 + 𝟏𝟎)(𝟑 + 𝟏) = 𝟏𝟐𝟒 = 𝟑

𝑑𝑃𝑑𝑡 + (0,2.4)𝑃 = (0,2.12) = 𝒅𝑷𝒅𝒕 + 𝟎, 𝟖𝑷 = 𝟐, 𝟒 𝑑𝑒𝑛𝑘𝑙𝑒𝑚𝑖𝑛 𝑎𝑛𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢

𝑷(𝒕) = (5 − 3)𝑒−0,8𝑡 + 5 = 𝟐𝒆−𝟎,𝟖𝒕 + 𝟓; 𝑏𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎" − 𝟎, 𝟖" "FİYATIN İNTİBAK KATSAYISI" 𝑜𝑙𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑡𝑎𝑛𝚤𝑚𝑙𝑎𝑛𝚤𝑟.

217

13.3. Solow Büyüme Modeli

Bir ekonominin uzun dönemde sağlayacağı doğal büyüme trendini bulmak ve bu trendden

sapmaların sebeplerini ortaya koymak büyüme iktisadının araştırma konusudur. Dolayısıyla

büyüme iktisadı uzun dönemle ilgilenir. Uzun dönem ise sermaye stokunun, potansiyel gelirin,

tam istihdam millî gelir düzeyinin ve üretim kapasitesinin değiştiği dönemdir.

Büyüme iktisadının kendine özgü kavramları bulunmaktadır. Bunlardan en önemlisi “doğal

büyüme oranıdır”. Doğal büyüme oranı, bir ekonominin bütün kaynaklarını istihdam ettiği

takdirde sağladığı denge büyüme hızıdır ki nüfus artış hızı, teknoloji ve emek verimliliği artış

hızlarının toplamından oluşur. Solow büyüme modeli, iki soruya cevap arar:

(i) Bir ekonomi, kendi dinamiklere tam istihdam hâlinde doğal büyüme hızına ulaşabilir mi?

(ii) Eğer 1. soruya olumlu cevap veriyorsak bu ekonomi doğal büyüme hızına nasıl ulaşabilir?

Tabii ki solow bir neoklasik okul mensubu olarak birinci soruya “evet” demekte ve modelini

bunu sağlayan dinamikleri oluşturacak şekilde kurmaktadır. İkinci soruya verdiği cevap ise,

uzun dönemde sermaye hasıla katsayısının (K/Y) değişimiyle, yani sermayenin ortalama

ürününün tersindeki (1/APK) değişimle ulaşacağını söylemektedir. Modelde istenmeyen

sonuçların engellenmesi için yatırım fonksiyonu ihmal edilmektedir. Bunun yerine gelirden

belli bir oran olarak ayrılan tasarrufların ( ) doğrudan yatırıma dönüştüğü (S=I) varsayımı

kabul edilmektedir. Bu da varsayıldığı gibi kapalı ve özel bir ekonomide Say’ın Mahreçler Kanunu’nu tanım itibarıyla veri kabul etmek anlamına gelir.

Model Ekonomi 𝑌 = 𝐾𝛼𝐿1−𝛼 = 𝑆𝑎𝑏𝑖𝑡 𝐺𝑒𝑡𝑖𝑟𝑖𝑙𝑖 Ü𝑟𝑒𝑡𝑖𝑚 𝐹𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢; 𝑆 = 𝜎𝑌 = 𝑇𝑎𝑠𝑎𝑟𝑟𝑢𝑓 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢

𝐾 = 𝐹𝑖𝑧𝑖𝑘𝑖 𝑆𝑒𝑟𝑚𝑎𝑦𝑒 𝑆𝑡𝑜𝑘𝑢; 𝐿 = 𝐸𝑚𝑎𝑘 𝐻𝑎𝑐𝑚𝑖; 0 < 𝛼 < 1; 0 < 𝜎 < 1

218

𝒚 = 𝒀𝑳 → 𝐾𝑖ş𝑖 𝐵𝑎ş𝚤𝑛𝑎 Ü𝑟𝑒𝑡𝑖𝑚𝒌 = 𝑲𝑳 → 𝐾𝑖ş𝑖 𝐵𝑎ş𝚤𝑛𝑎 𝑆𝑒𝑟𝑚𝑎𝑦𝑒 𝒔 = 𝑆𝐿 = 𝜎 𝑌𝐿 = 𝝈𝒚 = 𝐾𝑖ş𝑖 𝐵𝑎ş𝚤𝑛𝑎 𝑇𝑎𝑠𝑎𝑟𝑟𝑢𝑓} → 𝒚 = 𝐾𝛼𝐿1−𝛼𝐿 = 𝐾𝛼𝐿𝛼 𝐿1−𝛼𝐿1−𝛼 = 𝒇(𝒌) = 𝒌𝜶;

𝒔 = 𝝈𝒌𝜶 = 𝝈𝒇(𝒌)

Dinamik İntibak Mekanizmaları 𝑑𝐾𝑑𝑡 = 𝐼 − 𝛿𝐾; 𝐼 = 𝑌𝑎𝑡𝚤𝑟𝚤𝑚; 𝛿 = 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑠𝑚𝑎𝑛 𝑂𝑟𝑎𝑛𝚤; 0 < 𝛿 < 1; 𝐼 = 𝑆 = 𝜎𝑌; 𝑑𝐿𝑑𝑡 = 𝑛𝐿; 𝑛 = 𝑁ü𝑓𝑢𝑠 𝐴𝑟𝑡𝚤ş 𝐻𝚤𝑧𝚤; 0 < 𝑛 < 1; 𝑡𝑒𝑘𝑛𝑜𝑙𝑜𝑗𝑖 𝑣𝑒 𝑒𝑚𝑒ğ𝑖𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑚𝑙𝑖𝑙𝑖ğ𝑖 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡 𝑣𝑎𝑟𝑠𝑎𝑦𝚤𝑙𝑚𝑎𝑘𝑡𝑎𝑑𝚤𝑟. 𝑑𝑘𝑑𝑡 = 𝑑 (𝐾𝐿)𝑑𝑡 = (𝑑𝐾𝑑𝑡 ) 𝐿 − 𝐾 (𝑑𝐿𝑑𝑡)𝐿2 = (𝐼 − 𝛿𝐾)𝐿𝐿2 − 𝐾(𝑛𝐿)𝐿2 = 𝐼𝐿 − 𝛿𝑘 − 𝑛𝑘 →

𝑑𝑘𝑑𝑡 = 𝜎𝑌𝐿 − (𝛿 + 𝑛)𝑘 = 𝜎𝑓(𝑘) − (𝛿 + 𝑛)𝑘 →

𝒅𝒌𝒅𝒕 + (𝜹 + 𝒏)𝒌 = 𝝈𝒇(𝒌)

Yukarıdaki denklem bizim standart tanımlarımıza uymamaktadır. Bu durumu çözebilmek için

yeni bir değişken tanımlayalım:

𝑧 = 𝑘1−𝛼 𝑦𝑎𝑛𝑖 𝑘 = 𝑧 11−𝛼; 𝑜 𝑧𝑎𝑚𝑎𝑛; 𝑑𝑧𝑑𝑡 = 𝑑𝑧𝑑𝑘 . 𝑑𝑘𝑑𝑡 = (1 − 𝛼)𝑘−𝛼(𝜎𝑘𝛼 − (𝛿 + 𝑛)𝑘) = (1 − 𝛼)(𝜎 − (𝛿 + 𝑛)𝑘1−𝛼) →

219

𝑑𝑧𝑑𝑡 = (1 − 𝛼)𝜎 − (1 − 𝛼)(𝛿 + 𝑛)𝑧 → 𝒅𝒛𝒅𝒕 + (𝟏 − 𝜶)(𝜹 + 𝒏)𝒛 = (𝟏 − 𝜶)𝝈 →

𝒛(𝒕) = [𝒛(𝟎) − 𝒛∗]𝒆−(𝟏−𝜶)(𝜹+𝒏)𝒕 + 𝒛∗ → 𝒛(𝒕)𝒊ç𝒊𝒏 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒍 çö𝒛ü𝒎; 𝑘1−𝛼(𝑡) = [𝑘1−𝛼(0) − 𝑘∗1−𝛼]𝑒−(1−𝛼)(𝛿+𝑛)𝑡 + 𝑘∗1−𝛼 →

𝑧∗ = 𝑘∗1−𝛼 = (1 − 𝛼)𝜎(1 − 𝛼)(𝛿 + 𝑛) = 𝜎(𝛿 + 𝑛) →

𝒌∗ = [ 𝝈(𝜹 + 𝒏)]( 𝟏𝟏−𝜶) = 𝒖𝒛𝒖𝒏 𝒅ö𝒏𝒆𝒎 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒆 𝒌𝒊ş𝒊 𝒃𝒂ş𝚤 𝒔𝒆𝒓𝒎𝒂𝒚𝒆 𝒔𝒕𝒐𝒌𝒖

𝒌(𝒕) = 𝑧(𝑡) 11−𝛼 = [[𝑘1−𝛼(0) − 𝑘∗1−𝛼]𝑒−(1−𝛼)(𝛿+𝑛)𝑡 + 𝑘∗1−𝛼] 11−𝛼 ; −(1 − 𝛼)(𝛿 + 𝑛) = 𝒌′𝒏𝚤𝒏𝒅𝒆𝒏𝒈𝒆𝒚𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒊𝒃𝒂𝒌 𝒌𝒂𝒕𝒔𝒂𝒚𝚤𝒔𝚤

ÖRNEK PROBLEM 2: 𝑌 = 𝐾0,25𝐿0,75 = 𝑆𝑎𝑏𝑖𝑡 𝐺𝑒𝑡𝑖𝑟𝑖𝑙𝑖 Ü𝑟𝑒𝑡𝑖𝑚 𝐹𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢; 𝑆 = 0,4𝑌 = 𝑇𝑎𝑠𝑎𝑟𝑟𝑢𝑓 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢

𝐾 = 𝐹𝑖𝑧𝑖𝑘𝑖 𝑆𝑒𝑟𝑚𝑎𝑦𝑒 𝑆𝑡𝑜𝑘𝑢; 𝐿 = 𝐸𝑚𝑒𝑘 𝐻𝑎𝑐𝑚𝑖; 𝑑𝐿𝑑𝑡 = 0,02𝐿; 𝑛 = 0,02 = 𝑛ü𝑓𝑢𝑠 𝑎𝑟𝑡𝚤ş ℎ𝚤𝑧𝚤; 𝛿 = 0,18 = 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑠𝑚𝑎𝑛 𝑜𝑟𝑎𝑛𝚤 𝑣𝑒 𝑘(0) = 2,5 𝑖𝑠𝑒; 𝐾𝑖ş𝑖 𝐵𝑎ş𝚤 𝑆𝑒𝑟𝑚𝑎𝑦𝑒 𝑆𝑡𝑜𝑘𝑢′𝑛𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑒𝑦𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑖𝑏𝑎𝑘 𝑚𝑒𝑘𝑎𝑛𝑖𝑧𝑚𝑎𝑠𝚤𝑛𝚤 ℎ𝑒𝑠𝑎𝑝𝑙𝑎𝑦𝚤𝑛𝚤𝑧.

220

ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ 2: 𝑦 = 𝑓(𝑘) = 𝑘0,25; 𝑠 = 0,4𝑘0,25; 𝑑𝑘𝑑𝑡 + (0,18 + 0,02)𝑘 = 0,4𝑘0,25 = 𝒅𝒌𝒅𝒕 + 𝟎, 𝟐𝒌 = 𝟎, 𝟒𝒌𝟎,𝟐𝟓 →

𝑧 = 𝑘0,75 → 𝑑𝑧𝑑𝑡 + (0,75)(0,2)𝑧 = (0,75)0,4 →

𝑑𝑧𝑑𝑡 + 0,15𝑧 = 0,3

𝑧(𝑡) = [𝑧(0) − 𝑧∗]𝑒−0,3𝑡 + 𝑧∗ → { 𝒛∗ = 0,30,15 = 𝟐𝒛(𝟎) = 𝑘(0)0,75 = 2,50,75 = 𝟏, 𝟗𝟗 →

𝒛(𝒕) = [𝟏, 𝟗𝟗 − 𝟐]𝒆−𝟎,𝟑𝒕 + 𝟐 → 𝒛(𝒕)𝒊ç𝒊𝒏 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒍 çö𝒛ü𝒎; 𝑘(𝑡) = 𝑧(𝑡) 10,75 = [[1,99 − 2]𝑒−0,3𝑡 + 2] 10,75 →

𝒌(𝒕) = [𝟐 − 𝟎, 𝟎𝟏𝒆−𝟎,𝟑𝒕]𝟏,𝟑𝟑 → 𝒌(𝒕)𝒊ç𝒊𝒏 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒍 çö𝒛ü𝒎 𝒌∗ = 𝟐𝟎,𝟕𝟓 = 𝟏, 𝟔𝟖 = 𝒌′𝒏𝚤𝒏𝒖𝒛𝒖𝒏 𝒅ö𝒏𝒆𝒎 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒆 𝒅𝒆ğ𝒆𝒓𝒊; 𝒌′𝒏𝚤𝒏 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒆𝒚𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒊𝒃𝒂𝒌 𝒉𝚤𝒛𝚤 = −𝟎, 𝟑

221

Uygulamalar

222

Uygulama Soruları

223


224

Bölüm Soruları

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

225

14. DİNAMİK DIŞ BORÇ MODELİ

226


14.1. Değişken Terim ve Katsayılı Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler

14.2. Dinamik Dış Denge Modeli

14.2.1. Temel Model

14.2.2. Dış Borcun Dinamik İntibak Mekanizması

227


228



229

Anahtar Kavramlar

230

Giriş

Bu hafta, 12. haftada işlediğimiz değişken terim ve katsayılı diferansiyel denklemlere bir örnek olarak dışa açık ekonomide dış borç dinamiklerini ve dış borcun zaman içinde elde ettiği trendleri inceleyeceğiz.

231

14.1.Değişken Terim Ve Katsayılı Birinci Mertebeden Diferansiyel

Denklemler

Birinci mertebeden doğrusal diferansiyel denklemin en genel tanımını 12. haftada şöyle

belirlemiştik:

𝒅𝒚𝒅𝒕 + 𝒖(𝒕)𝒚 = 𝒘(𝒕); 𝑡 = 𝑧𝑎𝑚𝑎𝑛 𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖; 𝑢, 𝑣 𝑧𝑎𝑚𝑎𝑛 𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑𝑙𝑖 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑙𝑎𝑟 ………(14.1)

Denklem (14.1) için de genel çözüm ise şu şekildedir:

𝒚(𝒕) = 𝒆−∫𝒖(𝒕)𝒅𝒕 (𝐴 + ∫𝑤(𝑡)𝑒∫𝒖(𝒕)𝒅𝒕𝑑𝑡)………(14.2)

Şimdi bu formülleri kullanarak “Dinamik Dış Denge Modeli”ni analiz edelim.

14.2. Dinamik Dış Denge Modeli

14.2.1. Temel Model 𝑋𝑡 = 𝑋𝑜𝑒𝑚𝑡 = 𝑡 𝐷ö𝑛𝑒𝑚𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑖 İℎ𝑟𝑎𝑐𝑎𝑡 𝐺𝑒𝑙𝑖𝑟𝑖; 𝑋𝑜 = (𝑡 = 0)𝐷ö𝑛𝑒𝑚𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑖 İℎ𝑟𝑎𝑐𝑎𝑡; 𝑚 = İℎ𝑟𝑎𝑐𝑎𝑡𝚤𝑛 𝐴𝑟𝑡𝚤ş 𝐻𝚤𝑧𝚤; 𝑍𝑡 = 𝑧𝑌𝑡 = 𝑡 𝐷ö𝑛𝑒𝑚𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑖 İ𝑡ℎ𝑎𝑙𝑎𝑡 𝐺𝑖𝑑𝑒𝑟𝑖, 𝑧 = 𝑀𝑎𝑟𝑗𝑖𝑛𝑎𝑙 İ𝑡ℎ𝑎𝑙𝑎𝑡 𝐸ğ𝑖𝑙𝑖𝑚𝑖; 𝑌𝑡 = 𝑌0𝑒𝑛𝑡 = 𝑡 𝐷ö𝑛𝑒𝑚𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑖 𝑀𝑖𝑙𝑙î 𝐺𝑒𝑙𝑖𝑟. 𝑌𝑜 = (𝑡 = 0)𝐷ö𝑛𝑒𝑚𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑖 𝑀𝑖𝑙𝑙î 𝐺𝑒𝑙𝑖𝑟;

232

𝑛 = 𝑀𝑖𝑙𝑙î 𝐺𝑒𝑙𝑖𝑟𝑖𝑛 𝐴𝑟𝑡𝚤ş 𝐻𝚤𝑧𝚤 𝑑𝐵𝑑𝑡 = 𝑍𝑡 − 𝑋𝑡 + 𝑟𝐵𝑡 = 𝐷𝚤ş 𝐵𝑜𝑟ç 𝐵𝑖𝑟𝑖𝑘𝑖𝑚 𝐷𝑒𝑛𝑘𝑙𝑒𝑚𝑖; 𝐵𝑡 = 𝑡 𝐷ö𝑛𝑒𝑚𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑖 𝐷𝚤ş 𝐵𝑜𝑟ç 𝑆𝑡𝑜𝑘𝑢; 𝑟 = 𝐷𝚤ş 𝐵𝑜𝑟ç 𝐹𝑎𝑖𝑧𝑖.

14.2.2. Dış Borcun Dinamik İntibak Mekanizması 𝑑𝐵𝑑𝑡 = 𝑍𝑡 − 𝑋𝑡 + 𝑟𝐵𝑡 = 𝑧𝑌0𝑒𝑛𝑡 − 𝑋𝑜𝑒𝑚𝑡 + 𝑟𝐵𝑡 →

𝒅𝑩𝒅𝒕 − 𝒓𝑩𝒕 = (𝒛𝒀𝟎𝒆𝒏𝒕 − 𝑿𝒐𝒆𝒎𝒕); 𝒖(𝒕) = −𝒓;𝒘(𝒕) = (𝒛𝒀𝟎𝒆𝒏𝒕 − 𝑿𝒐𝒆𝒎𝒕)

Denklem (14.2)’de verdiğimiz genel çözümü yerine koyarsak:

𝑩(𝒕) = 𝒆−∫—𝒓𝒅𝒕 (𝐴 + ∫(𝒛𝒀𝟎𝒆𝒏𝒕 − 𝑿𝒐𝒆𝒎𝒕)𝑒∫(−𝒓)𝒅𝒕𝑑𝑡) ; 𝐵𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑙𝑘 ö𝑛𝑐𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑟𝑖𝑛 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟𝑙𝑒𝑟𝑖𝑛𝑖 ℎ𝑒𝑠𝑎𝑝𝑙𝑎𝑦𝑎𝑙𝚤𝑚: ∫(−𝒓)𝒅𝒕 = −𝒓∫𝒅𝒕 = −𝒓𝒕 + 𝑲; −∫(−𝒓)𝒅𝒕 = ∫𝒓𝒅𝒕 = 𝒓𝒕 + 𝑳; 𝑲 𝒗𝒆 𝑳 𝒔𝒂𝒃𝒊𝒕 𝒌𝒂𝒕𝒔𝒂𝒚𝚤𝒍𝒂𝒓𝒅𝚤𝒓. (𝑧𝑌0𝑒𝑛𝑡 − 𝑋𝑜𝑒𝑚𝑡)𝑒∫(−𝑟)𝑑𝑡 = (𝑧𝑌0𝑒𝑛𝑡 − 𝑋𝑜𝑒𝑚𝑡)𝑒−𝑟𝑡+𝐾 = (𝑧𝑌0𝑒(𝑛−𝑟)𝑡 − 𝑋𝑜𝑒(𝑚−𝑟)𝑡)𝑒𝐾

∫(𝑧𝑌0𝑒(𝑛−𝑟)𝑡 − 𝑋𝑜𝑒(𝑚−𝑟)𝑡)𝑒𝐾𝑑𝑡 = 𝑒𝐾 (𝑧𝑌0∫𝑒(𝑛−𝑟)𝑡𝑑𝑡 − 𝑋𝑜∫𝑒(𝑚−𝑟)𝑡𝑑𝑡)

233

→ 𝑒𝐾 (𝑧𝑌0𝑒(𝑛−𝑟)𝑡(𝑛 − 𝑟) − 𝑋𝑜𝑒(𝑚−𝑟)𝑡(𝑚 − 𝑟) ) +𝑀; 𝑀 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡 𝑏𝑖𝑟 𝑘𝑎𝑡𝑠𝑎𝑦𝚤𝑑𝚤𝑟.

𝐵(𝑡) = 𝑒𝑟𝑡+𝐿 (𝐴 + 𝑒𝐾 (𝑧𝑌0𝑒(𝑛−𝑟)𝑡(𝑛 − 𝑟) − 𝑋𝑜𝑒(𝑚−𝑟)𝑡(𝑚 − 𝑟) ) +𝑀) →

𝐵(𝑡) = 𝑒𝐿 (𝐴𝑒𝑟𝑡 + 𝑒𝐾 (𝑧𝑌0𝑒(𝑛−𝑟+𝑟)𝑡(𝑛 − 𝑟) − 𝑋𝑜𝑒(𝑚−𝑟+𝑡)𝑡(𝑚 − 𝑟) ) +𝑀𝑒𝑟𝑡) →

𝐵(𝑡) = 𝑒𝐿 ((𝐴 +𝑀)𝑒𝑟𝑡 + 𝑒𝐾 ( 𝑧𝑌0𝑒𝑛𝑡(𝑛 − 𝑟) − 𝑋𝑜𝑒𝑚𝑡(𝑚 − 𝑟))) →

𝐵(𝑡) = (𝐴 +𝑀)𝑒𝐿𝑒𝑟𝑡 + 𝑒𝐾𝑒𝐿 ( 𝑧𝑌0𝑒𝑛𝑡(𝑛 − 𝑟) − 𝑋𝑜𝑒𝑚𝑡(𝑚 − 𝑟)) →

𝐵(𝑡) = 𝐵1𝑒𝑟𝑡 + 𝐶1(𝐶2𝑒𝑛𝑡 − 𝐶3𝑒𝑚𝑡) →

𝑩(𝒕) = 𝑩𝟏𝒆𝒓𝒕 + 𝑩𝟐𝒆𝒏𝒕 −𝑩𝟑𝒆𝒎𝒕; { 𝑩𝟏 = (𝐴 +𝑀)𝒆

𝑳𝑪𝟏 = 𝒆𝑲𝒆𝑳𝑪𝟐 = 𝒛𝒀𝟎(𝒏 − 𝒓)𝑪𝟑 = 𝑿𝒐(𝒎 − 𝒓)𝑩𝟐 = 𝑪𝟏. 𝑪𝟐𝑩𝟑 = 𝑪𝟏. 𝑪𝟑

234

Uygulamalar

235

Uygulama Soruları

236


237

Bölüm Soruları

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Cevaplar

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

238

KAYNAKÇA

MATEMATİKSEL İKTİSAT - İstanbul Üniversitesiauzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/iktisat_ue/matiktisat.pdfmatematik dili kullanılarak gösterilebilir ve matematiksel teknikler kullanılarak

Documents