Matematisk morfologi V - aurdalweb.com · Vannskilletransformen • DeﬁnisjonenavX h min+1 erbasertpaanalyseavoversvømmelsesprosessen˚ opp til niva˚ h min +1. • En av to ting

Matematisk morfologi V

Lars AurdalNorsk regnesentral

[email protected]

4. desember 2003

Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR

Oversikt, kursdag 5

• Segmentering:

– Watershedtransformen.

Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 1

Hva er segmentering

• Segmentering: En prosess som tar utgangspunkt i et bilde (somkan være multispektralt) og som har som mal a generere et nyttbilde der hvert piksel i det opprinnelige bildet er tilordnet en etikettsom indikerer dens tilhørighet til en gruppe piksler som deler eneller annen egenskap. Tilhørigheten kan avgjøres ut fra mangekriterier:

– Pikslene i en gruppe kan ha tilnærmet samme spektralegens-kaper.

– Pikslene i en gruppe kan ha spektralegenskaper som tilfredss-tiller et eller annet høyere-ordens statistisk kriterium (tekstur).


Hva er segmentering

• Segmentering er ikke ikke det samme som klassifisering.

– Segmentering har som mal a gi hver piksel en etikett som siernoe om denne pikselens tilhørighet til en eller annen gruppe avpiksler (gruppe 1, gruppe 2, etc.).

– Klassifisering har som mal a gi hver slik gruppe en fornuftig fy-sisk tolkning.

– Klassifiseringsprosessen avhenger ofte av segmenteringspro-sessen som et preprosesseringstrinn.


Hva er segmentering

• En veldig enkel (den enkleste?) formen for segmentering er ter-skling:

Figur 1: Gratonebilde og bandtersklet versjon. Segmenteringen erbasert pa enkeltpikslers gratoneverdi.


Hva er segmentering

• Det finnes et hav av ulike segmenteringsmetoder fra de aller en-kleste til uhyre komplekse.

• Segmentering er et av de store gjenværende hindrene for a lykkesmed a etablere maskinsyn.

• Vi skal ta for oss en bestemt segmenteringsmetode, den sakaltewatershed transformen (norsk: vannskilletransformen).


Vannskilletransformen

• La oss betrakte et gratonebilde som et topografisk relieff, det vil siat gratoneverdier betraktes som høyder over ’havet’.

• En regndrape som faller pa en slik flate vil renne (i en retning bes-temt av den største gradienten) i retning av nærmeste lokale mini-mum.

• Alle punkter i det topografiske relieffet som har det til felles aten regndrape som faller i punktet vil na ett og samme minimumutgjør et vannfangbasseng.

• Vannskiller er punkter som ligger pa kantene mellom slike bas-senger.



Figur 2: Digitalt terreng.



Figur 3: Digitalt terreng med vannskiller.



• Algoritmene for beregning av vannskilletransformen tar utgangs-punkt i ’oversvømmelsesmetoden’.

• La den minste verdien f har i sitt definisjonsomrade være hmin ogden største verdien hmax.

• Et vannfangbasseng assosiert med et minimum M betegner vimed CB(M).



• Punktene i CB(M) med høyde mindre enn eller lik h betegner viCBh(M):

CBh(M) = {p ∈CB(M)| f (p) ≤ h} = CB(M)∩Tt≤h( f )

• La oss videre betegne med Xh subsettet av alle fangbassengenesom har gratoneverdier mindre enn eller lik h:

Xh =⋃

i

CBh(Mi)



• La oss til slutt betegne alle punktene som tilhører regionale minimamed høyde h med RMINh( f ).



• Vannfangbassengene bygges na opp ved a simulere oversvømmelsesprosessen.

• De først punktene som nas av vannet er de med lavestgratoneverdi.

• Disse punktene tilhører de regionale minima av bildet ved niva hmin.

• De er ogsa lik Xhmin:

Xhmin = Thmin = RMINhmin( f )



• Definisjonen av Xhmin+1 er basert pa analyse av oversvømmelsesprosessenopp til niva hmin +1.

• En av to ting kan skje:

1. Enten ekspanderer vannet et allerede eksisterende basseng2. eller sa begynner det a fylle et nytt basseng ved niva hmin +1.



• Det finnes (som figuren i neste transparent viser) tre ulike forholdmellom en sammenhengende komponent Y av Tt≤hmin+1( f ) og snit-tet mellom Y og Xhmin.



Y Y Y

Figur 4: Fylling av vannfangbassenger, tre ulike muligheter. Til ven-stre tilfellet der Y ∩Xhmin = /0, videre tilfellet der Y ∩Xhmin �= /0 og Xhmin

er sammenhengende og sist tilfellet der Y ∩Xhmin �= /0 og Xhmin er ikkesammenhengende.



• Tilfelle 1: Y ∩Xhmin = /0.

– I dette tilfellet er Y et nytt regionalt minimum av f pa niva hmin +1.

• Tilfelle 2: Y ∩Xhmin �= /0 og Xhmin er sammenhengende.

– I dette tilfellet fortsetter fyllingen av et bestemt basseng.

• Tilfelle 3: Y ∩Xhmin �= /0 og Xhmin er ikke sammenhengende.

– I dette tilfellet har vann fra to ulike bassenger møttes.



• Dette siste tilfellet byr pa litt problemer, hvor skal na grensen gamellom de to bassengene.

• I dette tilfellet innser vi at Y ma inneholde mer enn et minimum avf pa niva hmin. Betegn disse Z1,Z2, . . . ,Zk og la Zi være ett av dem.

• I dette tilfellet er den beste approksimasjonen for CBhmin+1(Zi) inn-flytelsessonen til Zi inne i Y :

CBhmin+1(Zi) = IZY(Zi)


Sidesprang: Hva er en influenssone?

• Definisjon: Settet av piksler i et binært bilde som er nærmere engitt sammenhengende komponent enn noen annen sammenhen-gende komponent er denne sammenhengende komponentens in-nflytelsessone.

K1

K2

K3

Figur 5: En sammenhengende komponent og dens influenssone.



• De to tilfellene der Y ∩Xhmin �= /0 og Xhmin er sammenhengende ogY ∩Xhmin �= /0 og Xhmin er ikke sammenhengende tilsvarer situasjonermed ekspansjonen av fangbassengene som allerede er nadd avvannet.

• Disse ekspanderte regionene kan defineres ut fra en enkelt influ-enssone, influenssonen til Xhmin innen Tt≤hmin+1.

• Derfor er Xhmin+1 definert som unionen av influenssonene med denye regionale minimaene.



• Følgende rekursjon holder for alle nivaer h:

Xhmin+1 = RMINhmin+1( f )∪ IZTt≤hmin+1( f )(Xhmin)

• Settet av fangbassenger for et bilde f er lik settet Xhmax, det vil sinar alle bassengene er fylt:

(i) Xhmin = Thmin( f )(ii) ∀h ∈ [hmin,hmax−1],Xh+1 = RMINh+1( f )∪ IZTt≤h+1( f )(Xh)


Vannskilletransformen, anvendelser

• Ga gjennom andre del av eksemplet som ble brukt i første foreles-ning.



• Virkelige terrengmodeller, husk den digitale elevasjonsmodellen visa første forelesningsdag:

Figur 6: DEM.



Figur 7: DEM med inntegnet watershed.



• Problemet i forrige bilde er at man i terrenget kan ha masse sma,regionale minima som pavirker watershedtransformen.

• Vi vet at vannet renner til havet.

• Det vil si at vannet alltid renner mot et minimum et sted pa kantenav bildet (vann kan tross alt ikke akkumuleres et eller annet stedi terrenget dersom vi antar at alt vann flyter i overflaten).

• Hvordan oppnar vi at de eneste minima finnes langs kanten avbildet.


Minima-patrykking (minima imposition), etlite sidesprang

• Minima-patrykking er en algoritme for a innføre minima i bildet dervi ønsker dem.

• Vi trenger først en markør for a definere hvor i bildet vi ønskerregionale minima.

• Vi definerer derfor et markørbilde som følger:

fm(x) ={

0, dersom x tilhører en markørtmax ellers


Minima-patrykking (minima imposition), etlite sidesprang

• Minima-patrykking er sa en prosess i to trinn:

1. Beregn først det punktvise minimum mellom input-bildet f +1 ogmarkørbildet fm: ( f +1)∧ fm.

2. Gjør sa en morfologisk rekonstruksjon under erosjon av ( f +1)∧fm fra markørbildet fm:

R∗[( f+1)∧ fm]( fm)



0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figur 8: Digitalt 1D signal med markør, innføring av minima og endeligresultat av minima-patrykking.



Figur 9: DEM etter fylling av interne regionale minima.



Figur 10: DEM med inntegnet watershed beregnet etter fylling av in-terne minima.


Øving 10

• Ga gjennom eksemplet du finner ved a se pa help watershed iMATLAB.


Matematisk morfologi V - aurdalweb.com · Vannskilletransformen • DeﬁnisjonenavX h min+1 erbasertpaanalyseavoversvømmelsesprosessen˚ opp til niva˚ h min +1. • En av to ting

Documents