MATEMàTIQUES Autors del llibre de l’alumne àngela Jané i Sanahuja Jordi Besora i Torradeflot Josep M. Guiteras i Piella Autors del material complementari Mireia Aran i Gràcia Antoni Giménez Esteban Helena Cusí Moner M. Rosa Vila Atienza Revisor tècnic Agustí Estévez Andreu Antoni Giménez Esteban 1 SOLUCIONARI BARCELONA - MADRID - BUENOS AIRES - CARACAS GUATEMALA - LISBOA - MÈXIC - NOVA YORK PANAMÀ - SAN JUAN - BOGOTÀ - SÃO PAULO AUCKLAND - HAMBURG - LONDRES - MILÀ - MONT-REAL NOVA DELHI - PARÍS - SAN FRANCISCO - SYDNEY - SINGAPUR SAINT LOUIS - TÒQUIO - TORONTO 001-004_Sol-Mates_Batx1-cat.indd1 1 20/2/08 19:15:52
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
S O L U C I O N A R Imatemàtiques
Autors del llibre de l’alumneàngela Jané i sanahujaJordi Besora i torradeflotJosep m. Guiteras i Piella
Autors del material complementarimireia aran i Gràciaantoni Giménez estebanHelena Cusí moner
m. Rosa Vila atienza
Revisor tècnicagustí estévez andreu
antoni Giménez esteban
1S O L U C I O N A R I
BARCELONA - MADRID - BUENOS AIRES - CARACASGUATEMALA - LISBOA - MÈXIC - NOVA YORKPANAMÀ - SAN JUAN - BOGOTÀ - SÃO PAULOAUCKLAND - HAMBURG - LONDRES - MILÀ - MONT-REALNOVA DELHI - PARÍS - SAN FRANCISCO - SYDNEY - SINGAPURSAINT LOUIS - TÒQUIO - TORONTO
No està permesa la reproducció total o parcial d’aquest llibre, ni el seu tractamentinformàtic,ni latransmissiódecapformaoperqualsevolmitjà, jasiguielectrònic,mecànic,perfotocòpia,perregistreod’altresmitjans,senseelpermispreviiperescritdelstitularsdelCopyright.
10. Una aixeta omple un dipòsit en 3 hores i una altra l’omple en 4. Quina part del dipòsit omplen en una hora les dues aixetes obertes alhora? Si el dipòsit està buit i s’obren si-multàniament les dues aixetes, quant trigaran a omplir-lo?
11. Una pastilla conté un 20 % d’aspirina, un 40 % de vitami- na C i la resta és excipient. Si pesa 2,5 grams, quants mil.li-grams conté de cada component?
412. Un tipus de llet produeix —— del seu pes en nata, i la nata
15 7els —— del seu pes en mantega. Quina fracció del pes de la 25llet representa la mantega? Quants quilograms de mantega es poden obtenir a partir de 175 kg d’aquesta llet?
13. Les accions d’una empresa que cotitza a la borsa van pujar un 2,5 % dilluns i un 4,8 % dimarts. Si quan va començar la sessió borsària de dilluns una acció d’aquesta empresa cos-tava 12,84 €, quin era el seu preu quan es va tancar la sessió de dimarts? Quants diners va guanyar en aquests dos dies un accionista que tenia títols de l’empresa per valor de 10 000 €?
En tancar la sessió de dimarts, una acció d’aquesta empresacostava:
14. Es col.loquen 2 500 € en una llibreta a termini que garan-teix un 4,2 % de rèdit anual durant 3 anys. Si en cap mo-ment se’n retiren els interessos, quants diners hi haurà a la llibreta un cop hagin transcorregut 3 anys des que es va fer la imposició?
Alallibretahihaurà2 500 ?1,042352 828,42€.
15. Resol les equacions següents:
a) (2 x 2 1)2 2 (2 x 1 1)2 5 24
3 (1 2 x) x 1 3b) 2 2 ———— 5 ———
14 7
x 2 5 2 x 1 3c) ———— 5 ————
2 x 1 1 4 x 1 7
d) Îã2 x 2 1 5 x 2Îã2 4 1 2 x
e) 1 2 ———— 5 0 13
a) (2 x21)22(2 x11)2524 f
f 4 x224 x1124 x224 x21524 f
f 28 x524 f x5 23
3(12x) x13b) 22—————5——— f
14 7
f 282313 x52 x16 f x5 219
x25 2 x13c) ————5———— f
2 x11 4 x17f (x25)(4 x17)5(2 x11)(2 x13) f
f 4 x217x220 x23554 x216 x12 x13 f 38f 213 x23558 x13 f 221 x538 f x52—— 21
d) Îã2 x215x2Îã2 f Îã2 x2x512Îã2 f
f (Îã221) x512Îã2 f
12Îã2 2(Îã221)f x5————5——————521 Îã221 Îã221
412 x 132422 xe) 12————50 f ——————50 f
13 13
9f 922 x50 f 2 x59 f x5— 2
16. Soluciona aquestes equacions, escrivint prèviament els seus primers membres en forma de producte de factors:
a) x2 2 6 x 5 0
b) x (x 2 5) 2 2 (x 2 5) 5 0
c) (x 1 2)2 2 (x 1 2) (3 x 2 1) 5 0 x50
a) x226 x50 f x(x26)50 x2650 f x56
b) x(x25)22(x25)50 f x2550 f x55f (x25)(x22)50 x2250 f x52
c) (x12)22(x12)(3 x21)50 f
f (x12)(x1223 x11)50 f
x1250 f x1522f (x12)(322 x)50 f 3 322 x50 f x25— 2
17. Sabem que x 5 2 i y 5 23 és una de les solucions de l’equa-ció 3 x 1 b y 5 10. Calcula b i troba una altra solució de l’equació.
x52,y5233 x1b y510 f 3 ? 21b ? (23)510 f 4f 623 b510 f b52— 3 10Respostaoberta.Perexemple: x5——,y50. 3
2 x 1 7 y 5 2324. El sistema és compatible determinat.
4 x 1 k y 5 26
iyt
Quins valors pot tenir k?
2 7Siéscompatibledeterminat,—Þ—.Pertant,kÞ14. 4 k
25. Troba la solució dels sistemes següents:
x 1 y 5 8a)
x y 5 15
iyt
x y 5 6b)
x 1 y 5 3 Îã3 iyt
2 x 2 y 5 6c) y 1 1
x 2 ——— 5 1
ieyut 4
x 1 y 5 8a)
x y 5 15
iyt
y582xx ? (82x)515 f 8 x2x2515 f x228 x11550
ã86ãÎãã642ãã60ã 862 x155x5—————————5——— 2 2 x253
Six55 f y53,isix53 f y55
x55,y53;x53,y55
x y5 6b)
x 1 y 5 3 Îã3 iyt
y53Îã32x
x(3Îã32x)56 f 3Îã3 x2x256 f
f x223Îã3 x1650
3Îã36Îã27ã2ãã24ã 3Îã36Îã3 2Îã3x5—————————5—————— 2 2 Îã3Six52Îã3 f y5Îã3 ;six5Îã3 f y52Îã3x52Îã3,y5Îã3 ; x5Îã3,y52Îã3 .
2 x 2 y 5 6c) y 1 1
x 2 ——— 5 1
ieyut 4
2 x2y56 f 2y5622 x f y52 x26
y11x2———51 f 4 x2y2154 f 4 x2y55 4
4 x2(2 x26)55 f 4 x22 x1655 f 2 x521 f
1 1f x52— f y5212—226527 2 2
26. Quants nombres de quatre xifres diferents es poden escriure amb les 9 xifres significatives?
V9,459 ? 8 ? 7 ? 653 024
27. Resol l’equació:
Vx, 3 2 VRx, 3 1 65 5 0
Recorda que x només pot ser un nombre natural.
Vx,32VRx,316550 f x(x21)(x22)2x316550
x15523 x212 x16550 f x5 13 x252—— 3
Noméséssoluciódel’equacióproposadax55.
28. Per fer l’alineació d’un equip de futbol necessitem 11 juga-dors i en tenim 22. Quantes alineacions es poden fer si cada jugador pot ocupar qualsevol posició? I si dos d’ells només poden jugar de porters i sis només poden fer de defenses?
29. En una cursa participen 8 corredors. De quantes maneres diferents poden creuar la línia d’arribada tenint en compte que no n’arriben dos al mateix temps? I en cas que dos arri-bin al mateix temps?
b) Indica en cada cas les xifres decimals correctes.
a5,325 b2,434
5,3245 a 5,32552,4335 b 2,4345
7,7580ab7,7600 → ab7,76
Sienllocdesumarmultipliquemordenadament,s’obté:
12,95717075a b12,96492975
Pertant,a b12,96.
3.Calcula la longitud dels segments indicats a continuació. Expressa’n el resultat de manera exacta i utilitza la calcula-dora per obtenir-ne una aproximació arrodonida a les centè-simes:
a) La diagonal d d’un rectangle de costats 3 i 5 cm.
Diagonal:d
d√32
52√
9
25
√34cm5,83cm
b) El diàmetre D d’una circumferència la longitud de la qual és 10 cm.
Diàmetre:D
L 10D———cm3,18cm
c) L’altura h d’un triangle equilàter de 4 cm de costat.
Altura:h
h√42
2
22√
12cm
2√3cm3,46cm
d) L’altura h' d’un con que mesura 6 cm de radi i 9 cm de generatriu.
Altura:h'
h' √92
2
62√
45cm
3√5cm6,71cm
4.El costat més petit d’un rectangle auri mesura 2 cm. Quant mesura l’altre costat? Expressa’n el resultat de manera exacta i amb una aproximació arrodonida a les dècimes.
Mesura2,ésadir,
1√5
2 1√5cm3,2cm
2
5.Sabent que PQ PS 1 dm, demostra que el segment QR 1 √
5
mesura dm (fig. 1.5). 2
1 5 √5
QO12—2
————dm 2 4 2
√5 1 √
51
QRQOOR———————dm 2 2 2
6.Classifica els nombres següents en racionals i irracionals:
a) 2,045
(
Racional.
b) 3,88080080008... Irracional.
c) 1,9
(
Racional.
113 d) —— 114
Racional.
e) 4,3131131113...
Irracional.
( f) 0,58421
Racional.
7. Indica quins d’aquests nombres són irracionals:
0,25 8.Per què el número no pot ser irracional? 0,16 No pot ser irracional perquè és el resultat de sumar i dividir
nombresquesónracionals.
9.Calcula l’àrea d’un cercle de 4 cm de radi prenent els se-güents valors de :
a) L’aproximació per defecte 3,1415.
A r23,14154250,264cm2
b) L’aproximació per excés 3,1416.
A r23,14164250,2656cm2
En quin dels dos casos has obtingut una millor aproximació a la mesura real de la superfície d’aquest cercle? Per què?
La segona aproximació és més bona que la primera, ja quel’aproximacióperexcèsdelnombreésmillorquel’aproximacióperdefecte.
10.Expressa de manera exacta:
a) La longitud d’una circumferència de 6 cm de diàmetre.
L 6cm
b) L’àrea lateral d’un cilindre de 2 cm de radi i 5 cm de ge-neratriu.
Alat2rg20cm2
c) El volum d’un con de 5 cm de radi i 13 cm de generatriu
L’alturadelconmesura:
h√g2
2
r2√
132
2
52
12cm
r2h 5212V———————100cm3
3 3
11.S’ha aconseguit determinar que el radi d’una circumfe- 4 rència mesura —— cm. Se’n pot conèixer amb exactitud la longitud? I l’àrea del cercle que limita? Justifica la resposta
26.Tot i que a primer cop d’ull no ho sembli, els resultats de les arrels següents són tots racionals. Calcula’ls.
8 a) —— 18 8 4 2
——— — 18 9 3
3 2 b) —— 16 2 1 1
——— — 16 8 2
50 c) —— 98 50 25 5
———— — 98 49 7
3 3 d) —— 81 3 1 1
3
——3
—— — 81 27 3
27.Expressa en forma de potència:
a) 3√7
7
1—3
b) 4√
a3
a
3—4
c) √10
10
1—2
d) 5√
(a
2)
2
(a2)
2—5
e) 6√
65
6
5—6
1 f) —— 5 1—
1—2
5
28.Expressa en forma d’arrel:
a) 25
1—3
3√25
b) 12
1—4
4√12
c) a
3—5
5√a3
1 d) —
2——3
23√22
e) b
2—7
7√b2
29.Les potències d’exponent fraccionari verifiquen totes i ca-dascuna de les propietats de les potències d’exponent enter. Aplica aquestes propietats per expressar en funció d’una sola potència:
40.Efectua aquestes operacions amb l’ajut de la calculadora. Expressa’n els resultats utilitzant la notació científica:
a) 2,5104 105 6,25103 1,1875105
b) (106 : 4103) : 5107 5
1,251012 1012
c) ———————— 1,6
(
10 1010 5109
d) (104 107)2 9,981013
41.Una estrella es troba a 4 anys llum de la Terra. Quina es la distància en quilòmetres que la separa del nostre planeta? Un any llum és la distància que recorre la llum en un any a la velocitat de 300000 km/s.
365dies 24h 3600s1any ———— ——— ————
1any 1dia 1h
31536000s
300000km1anyllum31536000s ——————
1s9,46081012km
4anysllum49,46081012
3,784321013km
42.Sabent que un mol d’àtoms de ferro conté 6,021023 àtoms d’aquest metall i que té una massa de 55,8 g, esbrina:
2.Calcula el costat, el perímetre i l’àrea d’un quadrat inscrit en una circumferència de 2 cm de radi. Quina de les tres mesu-res s’expressa mitjançant un nombre racional? Expressa les altres dues de manera exacta i amb una aproximació fins a les centèsimes.
3. Dibuixa un quadrat de 2 cm de costat. Determina els punts mitjans dels seus costats i uneix-los successivament. Quina figura n’obtens? Per què? Calcula’n l’àrea i el perímetre.
4. Considera un nombre positiu, eleva’l al quadrat, multiplica’l per 2 i, finalment, extreu-ne l’arrel quadrada. Demostra que el quocient de la divisió entre l’últim nombre i el primer és igual a √2.
x → x2 → 2x2 → x √2 → √2
L’últimpaséspossibleperquèx0.
5.Quina condició han de verificar els coeficients a, b i c de l’equació de segon grau ax2 bx c 0, per tal que les seves solucions siguin nombres reals?
17.Expressa de la manera més senzilla possible el resultat de les operacions següents:
a) √7 √28 √63
√7 √28 2 √63 √7 2√7 23√7
(1223) √3 0
b) √121 √169 √225
√121 √169 2 √225 11132159
c) √a 3√a2
√a 3√a2 a
1—2 a
2—3 a
7—6
6√a7 a
6√a
d) 4√b 3 : √b
4√b 3 : √bb
3—4 :b
1—2 b
1—4
4√b
18.Justifica aquestes igualtats:
a) 2√3 √12
2√3 √22 3 √12
b) 5√2 √50
5√2 √52 2 √50
1 c) —— √3 √
3—4
2
1 —√3 √ 1—2
2
3 √ 1—4
3 √
3—4 2
d) a2 n√a
n√a2n 1
a2 n√a
n√a2n a
n√a2n 1
19.Racionalitza:
20 a) —— √10
20 √10 20√10—— —————2√10
√10 √10 10
1 b) ———— √7 √5
1 √7 √5———— ————
√7 2√5 √7 √5
√7 √5 √7 √5 ———— ————
725 2
6 √6 c) ——— 6 √6
6√6 6√6 3612√6 6———— ———— ———————
62√6 6√6 3626
4212√6 72√6 ————— ————
30 5
20.Les solucions d’una inequació es troben a l’interval [5,2], i les d’una altra inequació, a l’interval [0, 4). Expressa mi-tjançant un interval les solucions comunes a totes dues in-equacions. Ajuda’t d’un gràfic.
8.Escriu tres nombres complexos que tinguin els seus afixos a la bisectriu del primer i el tercer quadrants. Quina relació hi ha entre la part real i la part imaginària de cadascun d’ells?
Activitats 1.Dibuixa una circumferència de 2 cm de radi, uns eixos de
coordenades amb origen en el centre de la circumferència, la bisectriu del primer i del tercer quadrants i la bisectriu del segon i del quart quadrants.
Un cop hagis dibuixat aquesta circumferència, respon el següent:
a) Indica la mesura de cadascun dels quatre angles que determinen aquestes bisectrius a partir de l’origen d’angles, el semieix positiu OX.
Elsanglesquedeterminenaquestesbisectriussón:
45°,135°,225°i315°
b) Pren les mesures necessàries per calcular les raons trigonomètriques de cadascun d’aquests angles. Compara els resultats que obtinguis amb els que et dóna la calculadora.
7.Relaciona les raons trigonomètriques de l’angle de 210° amb les d’un angle del primer quadrant.
Relacionem210°amb30°,jaque210°180°30°:
sin210° sin30°;cos210° cos30°;
tg210°tg30°
8.Considera un angle de 850°. Redueixlo a un angle més petit de 360° i relaciona’n les raons trigonomètriques amb les d’un angle del primer quadrant.
L’equivalent a 850° en la circumferència unitat és 130°, jaque:
116.Utilitza sin 30° — per calcular les raons trigonomètriques
2 de 15°. No utilitzis la calculadora i expressa els resultats en
forma exacta. Calcula prèviament cos 30°.
1 3 √3cos30°√
1—
2
√
——— 2 4 2
30° 1cos30°sin15°sin—— √
———––——
2 2
√3 1—— 2 √
2√3
√
————————— 2 2
30° 1cos30°cos15°cos——√
——————
2 2
√
2√3—————
2
sin15° 2√3tg15°————√
—————
cos15° 2√3
17.Sense utilitzar la calculadora, determina les raons trigonomètriques dels angles de 75° i 15° a partir de les raons trigonomètriques dels angles de 45° i 30°. Recorda que:
√2 cos 45° sin 45° —— 2 1 √3 sin 30° — cos 30° —— 2 2
sin75°sin(45°30°)
sin45°cos30°cos45°sin30°
√2 √3 √2 1sin75°—— —————
2 2 2 2
√6 √2————
4
cos75°cos(45°30°)
cos45°cos30°sin45°sin30°
√2 √3 √2 1cos75°—— —————
2 2 2 2
√6 √2————
4
sin75° √6 √2tg75°—————————
cos75° √6 √2
18.Si tg 2 i tg 3, calcula tg ( ), tg ( ), tg 2 i tg 2 .
tgtg 23 tg( )—————————— 1 1tg tg 12 3
tgtg 23 1 tg( )—————————— —— 1tg tg 12 3 7
2tg 2 2 4 4 tg2 —————————— — 1tg2 122 3 3
2tg 2 3 6 3 tg2 —————————— — 1tg2 132 8 4
19. Demostra que sin 90° 1 utilitzant l’expressió que obtinguis de sin 3 a partir de sin i cos i substituint després per 30°.
23.Considera dos angles i tals que sin sin . Comprova que es verifica la igualtat:
tg ——— sin sin 2
——————— ————— sin sin tg ——— 2
Desenvolupemlasegonapartdelaigualtat:
2sin———cos——— sin sin 2 2
——————————————————––––– sin sin 2cos———sin——— 2 2
sin——— cos——— 2 2
—————— —————— cos——— sin——— 2 2
Lasegonafraccióéslainversadetg———. 2 Pertant,esverifica: tg——— sin sin 2
———————————— sin sin tg——— 2
24.Si coneixem els tres angles d’un triangle, està determinat? Per què? Com són entre ells els diferents triangles que pots dibuixar amb aquestes dades?
32.Un dels angles aguts d’un triangle rectangle mesura 35° i un dels catets, 6 cm. Utilitza el teorema del sinus per resoldre aquest triangle i comprova que obtens els mateixos resultats que amb el procediment que coneixes de l’etapa anterior.
33.Resol el triangle en què a 24 cm, b 15 cm i A 125°. Calcula’n l’àrea.
24 15 15 sin125°—————— → sinB——————
sin125° sinB 24
0,51 → B30,8°
C180°(125°30,8°)24,2°
24 c—————————— →
sin125° sin24,2°
24 sin24,2°→ c———————12cm
sin125°
Peral’àrea:
1S—b csinA
2
1— 15 12sin125°73,8cm2
2
34. Dos motoristes surten d’un encreuament de dues carreteres sense corbes i que formen un angle de 55°. Els motoristes es desplacen amb velocitats constants de 90 i 120 km/h, respectivament. Quina distància els separarà després de tres minuts?
35.Una sequoia de Califòrnia es veu des d’un cert punt sota un angle de 36° i, si ens hi acostem 35 m, es veu sota un angle de 44°. Calcula l’alçària de l’arbre.
a 35——————— → a147,82m
sin36° sin8°
h—sin44° →
a
→ hasin44°102,68m
Lasequoiafa102,68m.
36.Calcula l’àrea d’un polígon regular de 15 costats si cada costat mesura 2 cm.
Descomposem el polígon en 15 triangles isòsceles iguals. En 360°
37.Les diagonals d’un paral.lelogram mesuren 16 cm i 12 cm respectivament. Un dels angles que determinen és de 40°. Calcula la longitud dels costats del paral.lelogram i el seu perímetre. Recorda que les diagonals dels paral.lelograms es tallen en el seu punt mitjà.
3.Si 90° 180° i cos 0,8, calcula: sin , tg , cos (), sin () i tg ().
L’angleésdelsegonquadrant:sin 0itg 0.
cos 0,8 → sin2 1cos2
1 (0,8)20,36 → sin 0,6
0,6tg ——— 0,75
0,8
cos()cos 0,8
sin() sin 0,6
tg() tg 0,75
4.Quins angles del segon, tercer i quart quadrant tenen les raons trigonomètriques relacionades amb les de l’angle 35°? Escriu totes les relacions possibles entre les raons trigonomètriques de cadascun d’aquests angles i les de 35°.
Segonquadrant:180°35°145°
sin145°sin35°;cos145° cos35°;
tg145° tg35°
Tercerquadrant:180°35°215°
sin215° sin35°;cos215° cos35°;
tg215°tg35°
Quartquadrant:360°35°325°
sin325° sin35°;cos325°cos35°;
tg325° tg35°
5.Calcula les raons trigonomètriques de l’angle de 15° en funció de les de l’angle de 30°. Després, comprova amb la calculadora que els resultats que has obtingut són correctes.
30°15°——
2
Utilitzemlesfórmulesdel’angleunitat:
1cos30°sin15°√
——————0,259
2
1cos30°cos15°√
——————0,966
2
0,259 tg15°——— 0,268. Cal fer-ne la comprovació amb la
0,966 calculadora.
6.Considera un angle del tercer quadrant tal que tg 2.
Indica a quin quadrant es troben els angles 2 i —. Calcula 2
cos sin2 cos2 1 → (2cos)2cos2 1 1 2 5cos2 1→ cos ——;sin ——→ √5 √5 → ésdeltercerquadrant.
2 1 4 sin2 2sincos 2 —— —— —— √5 √5
5
1coscos— √
————— 0,53
2 2
7.Demostra que sin 40° sin 20° cos 10°, aplicant la corresponent fórmula de transformació de suma en producte.
Hiapliquem: AB AB
sinAsinB2sin———cos——— 2 2
sin40°sin20°2sin30°cos10° 1
2 —cos10°cos10° 2
8.Demostra que la constant de proporcionalitat del teorema del sinus és 2 R, essent R el radi de la circumferència circumscrita al triangle. Per ferho, inscriu el triangle en una circumferència i compara’n els angles inscrits amb els d’un triangle en què un costat sigui un diàmetre de la circumferència.
EltriangleABCésrectangleperquèABésundiàmetre.
A
Aperquècomprènelmateixarc.
a asin
A sin
A— → ———d2 R d sin
A
9.Mirant des d’un cert punt, veiem el terrat d’un gratacels sota un angle de 60°. Amb quin angle el veuríem des d’una distància doble de l’anterior?
h Sihésl’alturaidladistància:tg60°— d h h
d———itg —— → tg60° 2 d h h h
→ 2 d—— → 2————— tg tg60° tg
2tg tg60° →
tg60°→ tg ——— → 40,89°
2
10.A un fuster li han encarregat un tauler triangular. Dos dels costats d’aquest triangle han de mesurar 1 m i 1,75 m i l’angle oposat al primer costat, 30°. Té dades suficients el fuster per fer el tauler? Raona la resposta.
11.El radar d’un vaixell detecta un objecte en direcció est a 8 km de distància i un altre objecte en direcció nordest a 6 km. Quina distància separa els dos objectes?
12.Per fixar un pal a terra se’l subjecta mitjançant dos cables per dos punts separats 20 m. Els cables formen amb el terra angles de 75° i 60°. Determina l’altura del pal.
a 20—————— → a27,32m
sin75° sin45°
hsin60°— →
a
→ ha sin60°23,66m
L’alturadelpalés:23,66m.
13.Un jugador de golf colpeja la pilota des de la posició de sortida per tal d’introduirla al forat, que es troba a 350 m. El cop no ha estat gaire precís i la pilota, que s’ha desviat 20° de la direcció correcta, només ha assolit una distància de 180 m. A quina distància del forat s’ha aturat la pilota?
15.Dues persones, separades una distància de 5 km, observen alhora un avió sota angles de 80° i 65° respectivament. Suposant que les persones i l’avió es troben en el mateix pla vertical, calcula l’altura a què vola l’avió.
19.Una parcel.la de 6 ha té forma de trapezi rectangle. Un dels costats paral.lels del trapezi mesura 500 m i l’angle adjacent, 60°. Calcula quants metres de tanca es necessiten per cercar la parcel.la.
20.Es vol construir un túnel que travessi una muntanya en línia recta. Per tal de determinarne la longitud, es considera un punt A d’una de les boques del túnel i un al tre punt B de l’altra boca, i es mesura la distància de cadascun d’aquests punts a un altre punt O. S’obtenen 315 m i 375 m, respectivament. Si les direccions OA i OB formen un angle de 46° 54, quina és la longitud del túnel?
21.Una torre de telecomunicacions es troba situada a la part més alta d’una muntanya. Situats en una plataforma, l’extrem de l’antena es veu sota un angle de 60°. Si ens apropem 13 m, l’extrem de l’antena es veu sota un angle de 68° i, des d’aquest mateix punt, es veu la base de la torre sota un angle de 57°. Amb aquestes dades, calcula l’alçada de la torre.
13 a—————— → a80,89m
sin8° sin60°
h 80,89———————→ h28,34m
sin11° sin147°
L’alturadelatorreésde28,34m.
Avaluació
1. La hipotenusa d’un triangle rectangle és el triple que un catet. Busqueu el valor dels angles d’aquest triangle i la relació entre la hipotenusa i l’altre catet.
Angles:
A90º(anglerecte).
B(angleagutentreelscostats3xix):
cos
B$ $1cos 70,53º
3 3x
B Bx
= = → =
B70,53º
C90º
B90º 70,53º 19,47º
Càlculdelcatetc:ApliquemelteoremadePitàgores:
( )22 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
3 9
9 8 8 2 2
a b c x x c x x c
c x x x c x x
= + → = + → = +
= − = → = =
Relacióentrelahipotenusail’altrecatet:
3 3 3 2 3 242 2 2 2 2 2 2
h xc x
= = = ⋅ =
2. Els costats d’un triangle són de longituds 8 cm, 11 cm i 13 cm. Calculeu el valor del sinus de l’angle més petit.
Anomenem:a=8cm,b=11cm,c=13cm
Apliquemelteoremadelcosinuspertrobarl’angle
A:
a2b2c22bc·cos
A
821121322·11·13·cos
A
64290 286·cos
A
290 64 226cos
A ————————— 0,79020979→
A 37,8º 286 286
Trobeml’angle
Bambelteoremadelsinus:
a b—————— sin
A sin
B
8 11 11·sin37,8º————————→ sin
B —————— sin37,8º sin
B 8
11·0,612907 6,74197759 —————— —————— 0,842747198→
B 57,4º 8 8
Deduïmquel’angleméspetitésl’
Aillavorssin
A 0,612907
1 3. D’un angle del primer quadrant coneixeu que sin — . 3
4. D’un triangle sabem que la suma de les longituds de dos costats a i b és d’11 m, que l’angle C oposat al tercer costat val 30º i que l’area és de 7 m2. Calculeu
a) La longitud de cada un dels costats del triangle.
4.Determina els components cartesians i el mòdul de cadascun dels vectors següents. En cada cas fesne la representació gràfica.
a) AB→
amb A (2, 4) i B (6, 10)
AB→
(6(2),104)(8,6)
AB→
√8262 10
b) CD→
amb C (6, 2) i D (3, 2)
CD→
(36,22)(3,4)
CD→
√(3)2(4)2 5
c) EF→
amb E (0, 0) i F (1, 3)
EF→
(1,3)
EF→
√(1)2(3)2 √10
d) GH→
amb G (1, 2) i H (4, 9)
GH→
(4(1),9(2))(3,7)
GH→
√(3)2(7)2 √58
5.Es pot definir el vector nul com aquell que té l’origen i l’extrem en el mateix punt. Quins són els components cartesians i el mòdul del vector nul?
41.Els punts A (1, 2), B (3, 5) i C (7, 4) són tres vèrtexs consecutius d’un paralel.logram. Troba les coordenades del quart vèrtex i les del punt intersecció de les diagonals. Fesne la representació gràfica.
AnomenemD(x,y)elquartvèrtexdelparal-lelogram.
AB→
DC→
→ (2,3)(7x,4y) →→ x5,y1 → D(5,1)
Lescoordenadesdelpuntintersecciódelesdiagonalsdelpa-ral.lelogram són les coordenades del puntmitjà del segmentd’extremsAiC,obé,BiD.
17 24M————,————(4,3)
2 2
42.Els punts P (3, 7) i Q (5, 13) són els extrems d’un dels diàmetres d’una circumferència. Determina’n les coordenades del centre i calcula’n el radi.
10. Donat el segment d’extrems els punts P (3, 5) i Q (6, 8), troba les coordenades del punt R d’aquest segment que verifica
3
→ PR ——
→ PQ.
10
Representemper(x,y)lescoordenadesdeR:
10PR→
3PQ→
→→ 10(x3,y5) 3(3,13) →
→ (10x30,10y50)(9,39) →
39 11x——;y——
10 10
39 11 LescoordenadesdeRsón——,——. 10 10
11. El baricentre d’un triangle se situa en el punt G (2, 0) i dos dels seus vèrtexs, en els punts A (3, 4) i B (6, 5). Troba les coordenades de l’altre vèrtex C del triangle.
AnomenemC(x,y)eltercervèrtex.
3(6)x2——————––– → x3
3
45y0————— → y9
3
LescoordenadesdeCsón(3,9).
12. Donat el segment que té com a extrems els punts A (3, 6) i B (6, 3), troba les coordenades del punt C, alineat amb A i B,
b 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − −uur uur
→
b2
4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − −uur uur
→
b 2
→
a·→
b 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − −uur uur
→
a·→
b·cos 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − −uur uur
→
a·2·cos60º 3
3 3
→
a ———————— 3 2cos60º 1 2·— 2→
a·→
a →
a2
32 9
4. Els punts A(1, 2), B(5, 3) i C(6, 5) són els tres vèrtexs consecutius d’un paral·lelogram. Troba les coordenades del quart vèrtex D i les del punt d’intersecció de les diagonals.
Elsvectors→ ABi
→ DCsónequipolents.
AnomenemD(x,y)
Llavors→ AB
→ DC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − −
uur uur
B A C D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − −
uur uur(5,3) (1,2)
(6,5) (x,y) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,3 1,2 6,5 , 4,1 6 ,5AB DC B A C D x y x y= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − −uur uur
(4,1) (6 x,5 y)
Tenimelsistema:
4 6
1 5
x
y
= − = −
Lasolucióés:x2iy4.
ElpuntbuscatésD(2,4).
El punt d’intersecció de les diagonals és el punt mig M delssegmentsACoBD:
( ) ( ) ( )1,2 6,5 7,7 7 7,
2 2 2 2 2A C
M++ = = = =
jUnitat5.Rectesenelpla
Activitats 1.Escriu les diferents equacions de la recta que passa pel punt
P(4, 1) i té com a vector director el vector →v (2, 5).
Indica’n el pendent i l’abscissa i l’ordenada a l’origen.
Vectorial: (x,y)(4,1)k(2,5)
x42k Paramètriques:5 y15k
x4 y1 Contínua: —————— 2 5
General: 5x2y220
5 Explícita: y—x11 2
x y Canònica: ————1 22 11 — 5
5 22 m— p—— n11 2 5
2.Considera la recta d’equació vectorial:
(x, y) (3, 2) k(2, 1)
Determina quin és el valor de b per tal que el vector →v (3, b) sigui un vector director de la recta.
9.Escriu l’equació general de la recta que passa pels punts P (4, 5) i Q (3, 2).
P(4,5) → PQ
→
→q
→p(7,3) →
Q(3,2)6
→v(7,3) x4 y5
—————— → P(4,5) 6 7 3
→ 3x7y230
10.Sense ferne la representació gràfica, esbrina si A(1, 2), B(3, 3) i C(1, 1) estan alineats.
A(1,2) AB
→
→
b→a(2,1) →
→v (2,1)
B(3,3)6
→v(2,1)6 x1
———y2 →→ A(1,2) 2
→ x2y30
C(1,1) → 1230
Estanalineats.
3 11.Determina l’equació de la recta de pendent m — que
4 passa pel punt A (1, 3). Tot seguit representala gràfi
cament.
3ymxn → y—xn
4
3 9A(1,3) → 3—(1)n → n—
4 4
3 9y—x—
4 4
12.Troba l’equació de la recta que passa per l’origen i té un angle d’inclinació 45°. Dibuixala.
mtg tg45° 1 → yxn
0(0,0) → yx
13.Comprova que els punts A(2, 3), B(2, 1) i C(5, 1) no estan alineats. Troba les equacions de les rectes que determinen el triangle, els vèrtexs del qual són els punts A, B i C.
22.Considera els punts P(3, 1) i Q(1, 2) i les rectes
r: 3x 4y 12 0 i s: x y 1 0
Troba l’equació de:
a) La recta paral.lela a r que passi pel punt mitjà del segment PQ.
3 M,puntmitjàdelsegmentPQ→M2,— 2 r:3x4y 120
Paral.lela → 3x4y C0
3 M2,— → 66C0 → C0 2
3x4y0
b) La recta que passa pel punt d’intersecció de r i s i té pendent m 2.
3x4y 1206 8 15 x —,y——; xy 10 7 7
8 15A—,—— 7 7
m2 → y2xn
8 15 15 16A—,—— → ————n →
7 7 7 7 31
→ n—— 7
31y2x—— → 14x7y310
7
c) La recta que passa per Q i és paral.lela a s.
s:xy 10
Paral.lela → xy C0
Q(1,2) → 12C0 → C3
xy30
d) La recta que passa per P i és paral.lela a r.
r:3x4y 120
Paral.lela → 3x4y C0
P(3,1) → 94C0 → C5
3x4y 50
Determina també les coordenades del punt on es tallen les rectes corresponents als apartats c) i d).
xy 30 17 4 x ——,y— 3x4y 50
6 7 7
17 4B——,— 7 7
23.Calcula els valors de q per tal que les rectes r i s siguin paral.leles:
r: qx 2y 4 0
s: x (q 3) y 7 0
2q ———
q3
q23q20 → q11,q22
24.Comprova que els punts A(1, 2), B(1, 0) i C(3, 4) són els vèrtexs d’un triangle rectangle. En quin dels tres punts està el vèrtex corresponent a l’angle recte? Justifica’n la resposta.
25.Determina l’equació de la recta perpendicular a la recta 3 y — x 6 i que passa pel punt on es tallen les rectes
4 x y 9 0 i x 2y 3 0.
xy 90 x 7,y 2 → x2y 306
→ P(7,2)
3y —x 6
4
4 Perpendicular:y —x n 3
4P(7,2) → 2—(7) n →
3
34→ n——
3
4 34y—x—— → 4x3y 340
3 3
26.Classifica els següents parells de rectes incidents segons siguin o no perpendiculars. Justifica’n les respostes.
a) 3x 5y 3 0 3x 5y 7 0
3x5y30 →→u(5,3) →
3x5y70 →→v(5,3)6
→→u•
→v259160
Nosónperpendiculars.
1 y 1 b) y —x 4 x 2 ——— 7 7
1 1 y—x4 → m — →
6 7 7
→→u(7,1)
y1 x2 x2——— → ——— 7 1 y1 ——— →
→v(1,7)
7→u•
→v77140
Nosónperpendiculars.
x 7 2h c) (x, y) k(5, 2) 5 y 1 5h
x72h →
→u(2,5)
y15h6 (x,y)k(5,2) →
→v(5,2)
6→u•
→v10100
Sónperpendiculars.
d) x 3y 8 0 9x 3y 13 0
x3y80 →→u(3,1)
→ 9x3y130 →
→v(1,3)6
→→u•
→v330
Sónperpendiculars.
27.Determina l’equació de la mediatriu del segment d’extrems els punts A(2, 3) i B(6, 1). Recorda que la mediatriu d’un segment és la recta perpendicular pel punt mitjà.
M,puntmitjàdelsegmentAB → M(2,1)
AB→
→b
→a(8,4) →
→n(2,1) →
→ 2xyC0
M(2,1) → 41C0 → C3
2xy30
28.Determina les coordenades del circumcentre i de l’ortocentre del triangle de vèrtexs A(2, 5), B(1, 1) i C(3, 2). El circumcentre és el punt on es tallen les mediatrius del triangle. L’ortocentre és el punt on es tallen les rectes que determinen les altures del triangle.
34.Determina les equacions de les rectes que formen un angle de 30° amb la recta 5x 2y 3 0 i passen pel punt P (x, 6), on P és un punt de la recta donada. Troba l’angle que formen aquestes rectes.
P(x,6) → 5x2y30
P(x,6) → 5x1230 → x3 → → P(3,6)
5x2y30 →→u(2,5)
→v(1,m)6
→u•
→v 25m √3
———cos30° → —————————
→u
→v √29√1m2 2
420m25m2 3—————————— →
29(1m2) 4
→ 1680m100m28787m2
13m280m 710 →
4029√3→ m———————
13
4029√3 m1———————6 13
P(3,6)
4029√3y 6———————(x 3)
13
4029√3 m2———————6 13 P(3,6)
4029√3y 6———————(x 3)
13
35.Donades les rectes
y x 3 r: x 2 — i s: y 3 ———, 3 2
determina l’angle que formen.
y r:x2 — →
→u(1,3)
3 x3 x3 y3 s:y3 ——— → —————— →6 2 2 1 →
→v(2,1)
→u•
→v 23 1
cos——————————— →
→u
→v √10√5 5√2
1→ arccos———81,87°
5√2
36.Calcula de dues maneres diferents la distància de l’origen de coordenades a la recta x 3y 7 0.
38.Els punts de la mediatriu d’un segment equidisten dels seus extrems. Tenint en compte aquesta propietat, determina l’equació de la mediatriu del segment d’extrems A(2, 5) i B(4, 7).
A(2,5)6 AX→
→x
→a(x 2,y 5)
X(x,y)
B(4,7)6 BX→
→x
→b(x 4,y 7)
X(x,y)
AX→
BX→
→ √(x 2)2 (y 5)2
√(x 4)2 (y 7)2
x24x4y210y25
x28x16y214y49
12x24y360 → x2y30
39.Determina les equacions de les bisectrius dels angles que formen les rectes r: x 2y 5 0 i s: 2x y 3 0. Comprova que són perpendiculars.
r:x2y506 s:2xy30
x2y5 2xy3————————————
√5 √5
x2y5 2xy3 → → xy8 0 →
→u(1,1)
x2y5 2xy3 → → 3x3y2 0 →
→v(3,3)
6→u•
→v3 3 0
40.Demostra que les dues bisectrius dels angles que formen dues rectes que es tallen són perpendiculars.
AxByC AxByC———————————————
√ A2B2
√ A2B2
A√ A2B2xB√ A2B2y
C√ A2B2
A√ A2B2xB√ A2B2 y
C√ A2B2
(A√ A2B2A√ A2B2)x
(B√ A2B2B√ A2B2)y
C√ A2B2C√ A2B20
→u(B√ A2B2B√ A2B2,
A√ A2B2A√ A2B2)
A√ A2B2xB√ A2B2y
C√ A2B2
A√ A2B2xB√ A2B2 y
C√ A2B2
(A√ A2B2A√ A2B2)x
(B√ A2B2B√ A2B2)y
C√ A2B2C√ A2B20→v(B√ A2B2B√ A2B2,
A√ A2B2A√ A2B2)→u•
→v(B√ A2B2B√ A2B2)
(B√ A2B2B√ A2B2)
(A√ A2B2A√ A2B2)
(A√ A2B2A√ A2B2)
(B√ A2B2)2(B√ A2B2)2
(A√ A2B2)2(A√ A2B2)2
B2(A2B2)B2(A2B2)
A2(A2B2)A2(A2B2)
B2A2B2B2B2A2
B2B2A2A2A2B2
A2A2A2B20
41.L’incentre d’un triangle és el punt on es tallen les bisectrius dels angles interiors del triangle. Troba les coordenades de l’incentre del triangle determinat per les rectes:
3. Determina l’equació de la recta que passa pel punt P(2, 4), tal que la seva perpendicular per l’origen de coordenades forma un angle de 45° amb l’eix d’abscisses.
45° → mtgtg45°16 yx O(0,0)
r:xy0
sr,s:xy C0
P(2,4) → 24 C0 → C6
xy 60
4. Els punts O(0, 0), P(4, 2) i Q(2, 6) són els vèrtexs d’un triangle. Troba el baricentre (B), el circumcentre (C) i l’ortocentre (A).
c)La distància de C a cada vèrtex és la mateixa.→CO(1,3),d(C,O)CO
→
√ 19√10u
CP→
(3,1),d(C,P)CP→
√ 91√10u
CQ→
(1,3),d(C,Q)CQ→
√ 19√10u
5. Escriu l’equació de la recta perpendicular a x 3y 1 0 que es troba a distància 3 del punt P (1, 1).
r:x3y 10
sr,s:3xy C0
31 Cd(P,s)3 → ——————3 →
√10
4 C C13√10 4 → ————3 √10 C23√ 10 4
s13xy 3√ 10 40
s23xy 3√ 10 40
6. Els punts A (0, 2) i B (4, 0) són dos vèrtexs d’un triangle rectangle isòsceles d’hipotenusa AB. Calcula les coordenades del tercer vèrtex C i l’àrea del triangle.
7. Determina les equacions de les rectes que tallen la recta 2x y 3 0 en el punt d’abscissa x 3 i formen amb ella un angle de 60°.
x3 → 6y30 → y3
P(3,3)
r:2xy30 →→u(1,2)6 →v(1,m)
→u•
→v 12m 1
———cos60° → ————————
→u
→v √ 5√ 1m2 2
14m4m2 1————————— →
5(1m2) 4
→ 416m16m255m2
8 5 √ 3 11m216m10 → m—————— 11
P(3,3) 8 5 √ 3 m1——————6 11
8 5 √ 3y3——————(x3)
11
P(3,3) 8 5 √ 3 m2——————6 11
8 5 √ 3y3——————(x3)
11
8. Troba l’incentre del triangle determinat per les rectes 2x 3y 8 0, 3x 2y 25 0 i 2x 3y 4 0. Comprova que l’incentre equidista dels tres costats del triangle.
12. Un paral.lelogram OABC té els seus vèrtexs en els punts O(0, 0), A(3, 1) i C(1, 2). Calcula les coordenades del vèrtex B i l’àrea del paral.lelogram.
OA→
(3,1)
C(1,2)
B(x,y)6 CB
→
→
b→
c(x1,y2)
CB→
OA→
→ (x1,y2)(3,1)
x13 → x4 B(4,3) y21 → y36 bOA
→
√ 91√ 10u →
uOA→
(3,1)6 x —y → r: x3y0 O(0,0) 3
16 5hd(C,r) → ——————u
√ 10 √ 10
5Sbh√ 10——5u2
√ 10
13. Determina l’equació de les rectes que contenen les altures del triangle de vèrtexs A(2, 1), B(0, 2) i C(4, 0).
14. Dos dels vèrtexs oposats d’un rombe es troben situats en els punts A (2, 4) i C (0, 2) i el vèrtex B és un punt de l’eix d’abscisses. Determina les coordenades dels vèrtexs B i D i calcula l’àrea del rombe.
15. Troba el punt en què es tallen les diagonals del quadrilàter que està format pels eixos de coordenades i les rectes x y 4 0 i 2x y 3 0.
O(0,0)
r:xy 406 x4,y0 → A(4,0) y0
r: xy 40 1 11 x—,y—— → s:2xy 306 3 3
1 11→ B—,—— 3 3
s:2xy 306 x0,y3 → C(0,3) x0
1 11 OB
→—,—— →
→u(1,11)6 3 3
O(0,0)
yx—— → 11xy0
11
AC→
→c
→a(4,3) →
→v(4,3)6 A(4,0)
x4 y———— → 3x4y 120
4 3
11xy0 12 132 x——,y—— → 3x4y 1206 47 47
12 132→ D——,—— 47 47
16. Calcula l’àrea del quadrilàter de vèrtexs els punts: A(3, 2); B, simètric del punt A respecte de la recta x y; C, simètric del punt B respecte de l’eix d’ordenades, i D, simètric de C respecte de l’eix d’abscisses.
17. Els vèrtexs corresponents al costat desigual d’un triangle isòsceles se situen en els punts A(1, 1) i B(4, 0). El tercer vèrtex C és un punt de la recta x 2y 8 0. Troba les coordenades de C i calcula el perímetre i l’àrea del triangle.
A(1,1)6 AB→
(5,1) B(4,0)
M,puntmitjàdelsegmentAB, → 3 1
→ M—,— 2 2 →
n(5,1) → 5xyC0
3 1 15 1M—,— → ———C0 →
2 2 2 2
→ C7
5xy 70
r:x2y806 6 47 6 47
x——,y—— → C——,—— 11 11 11 11
17 58AC→
→c
→a——,——
11 11
17 58AC→
√
—2
—2
11 11
2893364 √ 3653√
——————————u
112 11
bAB→
√ 251√ 26u
pAB→
2AC→
2√ 3653√26——————u
11
21 105MC→
→c
→m——,——
22 22
21 105hMC
→
√
——2
——2
22 22
44111025 √ 11466√
————————————
222 22
21√26————u
22
1S—bh
2
1 21√26 273—√26 ——————u2
2 22 22
18. Determina les bisectrius interiors dels angles del triangle de vèrtexs A (4, 5), B (5, 7) i C (4, 7).
19. Dos dels vèrtexs d’un triangle rectangle són els punts B(5, 2) i C(1, 5). Calcula l’ordenada de l’altre vèrtex A sabent que la seva abscissa és x 3 i que
A 90°.
A(3,y)6 AB→
→
b→
a(2,2y) B(5,2)
A(3,y)6 AC→
→c
→a(2,5y)
C(1,5)
A90° → AB→
•AC→
0 →→ 4107yy20 →
→ y27y60 → y11,y26
A1(3,1),A2(3,6)
20. Determina les coordenades de l’ortocentre, el baricentre i el circumcentre del triangle que té per vèrtexs els punts A(4, 2), B(10, 6) i C(6, 1).
A(4,2)6 AB→
→
b→
a(6,4) B(10,6)
A(4,2)6 AC→
→
c→
a(2,3)6
C(6,1)
AB→
• AC→
12120 →
A90°
Ortocentre:elvèrtexA(4,2)
4106 261 Baricentre:——————,————— → 3 3
20 7→ G——,— 3 3
Circumcentre:puntmitjàdelsegmentBC → 5 → M8,— 2
21. Les equacions de les rectes que contenen dos dels costats d’un paral.lelogram de centre el punt C(2, 2) són y 2x i x 2y. Troba’n les coordenades dels quatre vèrtexs.
22. El costat desigual d’un triangle isòsceles mesura 4 i es troba sobre la recta d’equació y x. El vèrtex oposat és el punt C (0, 4). Determina les coordenades dels vèrtexs A i B del triangle.
yx → xy0
Perpendicular:xyC0
C(0,4) → 4C0 → C4
xy40 xy406 x2,y2 → M(2,2) xy0
A(x,x) AM
→
→m
→a(2x,2x)
M(2,2)6 AM
→
2
√ (2x)2(2x)22
2(44xx2)4
44xx22
x24x20 → x2√2
A(2 √2,2 √2),B(2 √2,2 √2)
23. El catet AB d’un triangle rectangle en A es troba sobre la recta 2x 5y 4 0 i el punt C(4, 2) és un vèrtex del triangle. Calcula les coordenades del vèrtex A i la longitud del catet AC.
10.Escriu les equacions de les circumferències següents:
Encadacasaplicareml’equaciógeneral:
(xa)2(yb)2r2
a) C(0, 2), r 2
x2(y2)24
b) C(2 ,0), r 2
(x2)2y24
c) C(2, 2), r 4
(x2)2(y2)216
d) C(1, 1), r √2
(x1)2(y1)22
11.Determina l’equació de la circumferència circumscrita al triangle de vèrtexs A(2, 0), B(0, 4) i O(0, 0).
El circumcentre d’aquest triangle es pot trobar gairebé d’una manera immediata. Recordes com ferho? Representa els punts en uns eixos cartesians i ho veuràs.
Els tres punts determinen un triangle rectangle d’hipotenusaAB.ElcircumcentredeltriangleéselpuntmitjàdeAB.
22.Dibuixa la circumferència de centre l’origen de coordenades i radi 3. Sense fer cap càlcul localitza un punt interior, un d’exterior i un de la circumferència. Hi pot haver algun punt de la circumferència amb abscissa 4? Raona la resposta.
Respostaoberta.
Perexemple:
Punt interior: (1, 1); punt exterior (4, 3); punt de la cir-cumferència:(3,0).
25.Considera el feix de rectes que passen pel punt P(0, 2). Troba les dues rectes del feix que són tangents a la circumferència de centre C(1, 1) i radi √2.
ElfeixderectesquepassaperPés
ymx2
Equaciódelacircumferència:
(x1)2(y1)22 →
→ x2y22x2y0
Procedimcomenl’exercicianterior:
x2(mx2)22x2(mx2)0 →
→ 0 → m11,m2 7
Lesrectessón: yx2 i y 7x2.
26.Una circumferència té com a tangents els eixos de coordenades. En quina recta es troba el seu centre?
27.Calcula la potència del punt P(2, 3) respecte d’una circumferència de centre l’origen de coordenades i radi 4. Quina és la posició del punt respecte de la circumferència?
Lapotènciaescalculasubstituintlescoordenadesdelpuntenl’equació de la circumferència, ja que correspon a l’expressió pd2r2.
Equaciódelacircumferència:
x2y240
p22(3)249
Elpuntésexterioralacircumferència,jaquep90.
28.Considera la circumferència tangent a la bisectriu del segon i quart quadrants i de centre el punt (0, 3) i la circumferència d’equació x2 y2 14x 8y 56 0. Troba l’equació de l’eix radical de les dues circumferències. Comprova que l’eix radical és perpendicular a la recta que determinen els centres de les dues circumferències. Fesne un dibuix.
29.Intenta trobar l’eix radical de dues circumferències concèntriques de centre el punt (1, 1) i de radis 3 i 4, respectivament. Què observes? Raona la resposta.
30.Determina l’equació que verifiquen tots els punts P(x, y) del pla que tenen potència 12 respecte de la circumferència x2 y2 4x 2y 1 0. Quina figura determinen?
31.Fes una construcció geomètrica de l’eix radical de dues circumferències tangents, exteriors i secants.
L’eixradicaléslarectaperpendicularaladelscentrespelpuntde tangència. Si les circumferències són secants, és la rectadeterminadapelsdospuntsd’intersecció.
32.Determina el focus i la directriu de les paràboles d’equacions:
34.Troba el valor del paràmetre p de la paràbola d’equació x2 2py, sabent que el punt P(4, 2) pertany a la paràbola.
P(4,2) → (4)22p2 → p4
35.Representa gràficament aquestes paràboles i determina’n els diferents elements:
a) y2 4x
F(1,0)
d:x1
b) x2 6y
3 F0,— 2
3 d:y— 2
c) y x2 4x
15 F2,—— 4
17 d:y —— 4
36.Escriu l’equació de les dues paràboles que verifiquen aquestes condicions: tenen el vèrtex a l’origen de coordenades, els eixos coincideixen amb els eixos de coordenades i ambdues passen pel punt (4, 4). Representa gràficament aquestes paràboles i indica’n el focus i la directriu.
La paràbola que té com a eix el d’abscisses té una equa-ciódel tipusy22px.Sipassapelpunt(4,4)tindrem: 16 8p → p 2.
Equació:y2 4x.Focus:(1,0);directriu:x1.
Laparàbolaquetécomaeixeldelesordenadestéunaequa-ciódel tipusx22py.Sipassapelpunt(4,4)tindrem: 16 8p → p 2.
Equació:x2 4y.Focus(0,1);directriu:y1.
37.Determina els semieixos, els vèrtexs, els focus i l’excentricitat de l’el.lipse d’equació:
38. Escriu l’equació de l’el.lipse centrada a l’origen de coordenades, amb un focus en el punt (12, 0) i de semieix gran 13.
Siunfocusés(12,0) → c12ia13.Pertrobarbhiapliquem:
132b2122 → b225
x2 y2
Equació:————1 169 25
39.Calcula els paràmetres a, b, c i e de l’el.lipse d’equació 9x2 16y2 144.
Dividiml’equació9x216y2144per144ilasimplifiquem:
x2 y2
————1 → a4ib3; 16 9
a2b2c2 →169c2 → c√7
√7e——
4
40.Troba l’equació de l’el.lipse de centre l’origen de coordenades sabent que un dels focus se situa en el punt (2 √ 7, 0) i que passa pel punt (4, 3 √ 3).
F(2√7,0)iF(–2√7,0),P(4,3√3).EnserPunpuntdel’el.
lipseesverifica:
16 27————1 i
a2 b2
a2b2(2√7)2b228
Resolemelsistema,ambincògnitesa2ib2.
a2b228 16 27
————1 6 a2 b2
Lessolucionssón:b236ia264
x2 y2
L’equació: ————1 64 36
41.Escriu l’equació de la circumferència principal de l’el.lipse de l’exercici anterior.
Lacircumferènciaprincipaltécentre(0,0)ira8.
Equació:x2y264
42.Determina els paràmetres a, b i c i l’excentricitat de la hipèrbola que té l’equació següent:
x2 y2
—— — 1 16 9
x2 y2
Enl’equació————1, 16 9
a4ib3;c2a2b225 → c5.
c 5 Excentricitat:e—— a 4
43.Determina l’equació d’una hipèrbola equilàtera un dels focus de la qual se situa al punt (√ 2, 0). Calcula’n l’excentricitat.
Enunahipèrbolaequilàtera,abil’equacióés:x2y2a2.
F(√ 2,0) → c√ 2 →→ c2a2b22a2 →→ (√ 2)22a2 → a1
Equació:x2y21
44.Troba els valors de a, b, c i e a la hipèrbola d’equació 2x2 3y2 12.
Dividimelstermesdel’equacióper12isimplifiquem:
x2 y2
2x23y212 → ————1 → 6 4
→ a√ 6 ib2
c2a2b26410 → √ 10 √ 5
→ c√ 10ie———— √ 6 √ 3
45.El semieix real d’una hipèrbola és 3 i la semidistància focal, 10. Escriune l’equació reduïda.
Les dades que ens dóna l’enunciat ens permeten deduir que a3ic10.
10232b2 → b291
x2 y2
Equació: ————1 9 91
46.Demostra que l’excentricitat de totes les hipèrboles equilàteres és e √ 2.
c Excentricitat:e—.Enunahipèrbolaequilàtera,c2 2a2→ a √2a → c√ 2a → e——√ 2. a
Activitatsfinals
1.Esbrina si els punts P(1, 2), Q(2, 1) i R(0, 0) es troben en una mateixa circumferència. Si és així, determina’n el centre, el radi i l’equació.
5. Una circumferència és tangent a la recta y x 1 en el punt d’abscissa 3. Se sap que la circumferència també passa pel punt A(3, 1). Troba l’equació d’aquesta circumferència.
Elcentredelacircumferènciaestrobaenlaintersecciódelarectaperpendicularalatangentenelpunt(3,4)ilamedia-triudelsegmentdeterminatperaquestpuntiel(3,1).Lesequacionsd’aquestesrectessón,respectivament:y x 7 i 3
6.L’incentre d’un triangle és el centre de la circumferència inscrita en el triangle. Si els vèrtexs d’un triangle són els punts (0, 0), (0, 4) i (4, 0), quina és l’equació de la circumferència inscrita? Fesne un dibuix.
Considera el punt P(3, 1). Troba la potència i la posició d’aquest punt respecte de la circumferència. Troba el punt més proper i el més llunyà a P que pertanyin a la circumferència.
12.Des d’un punt exterior a una circumferència es poden traçar dues rectes tangents a la circumferència. Considera el punt P(2, 0) i la circumferència x2 y2 6x 4y 9 0. Traça les rectes tangents a la circumferència des del punt P. Determina les equacions d’aquestes dues rectes.
13. Calcula la potència de l’origen de coordenades respecte de la circumferència que té el centre a la recta d’equació 2x y 0 i és tangent a l’eix d’ordenades i a la recta d’equació x y 3 0.
14.Determina la interpretació geomètrica de la potència del punt P respecte d’aquesta circumferència. Observa el triangle rectangle que es forma a la figura 6.27 i calcula la longitud del segment PT.
17.El punt P(0, 1) és de la circumferència: x2 y2 3x 2y 3 0? Troba l’equació de la recta
tangent a la circumferència per aquest punt.
El punt pertany a la circumferència perquè al substituir enl’equaciósesatisfà la igualtat.Cal trobarel centrede lacir-cumferènciaqueambelpuntP(0,1)determinenunarecta.Laperpendicularperaquestpuntéslarectatangent.
18.Determina l’equació del lloc geomètric dels punts del pla tals que la distància al punt (2, 0) és sempre la meitat de la distància a la recta y x 8.
21.Troba l’equació de l’el.lipse els focus de la qual són els punts (6, 0) i (6, 0) sabent que la suma de distàncies d’un punt qualsevol de l’el.lipse als focus és constant i igual a 20.
Apartirdelesdadespodemdeduirquec6ia10.
a2b2c2 → b21003664
x2 y2
Equaciódel’el.lipse:————1 100 64
22.Escriu l’equació de la hipèrbola centrada a l’origen de coordenades sabent que un dels focus és el punt (6, 0) i que el semieix real és 5.
33.Una circumferència té el centre en la bisectriu dels segon i quart quadrants i passa pels punts (0, 3) i (1, 2). Determina’n el centre i el radi. Quina és l’equació d’aquesta circumferència?
1. Donades tres circumferències, quants punts existeixen de forma que tinguin la mateixa potència respecte de les tres circumferències? Raona la resposta.
Existeixunúnicpuntque té lamateixapotència respectedecadascunadelescircumferències.S’anomenacentreradicaldelestrescircumferències.Estrobafentlaintersecciódedosdelstreseixosradicalsquelestrescircumferènciesdeterminen.
2. Troba l’equació de l’el·lipse que té un focus al punt F(2, 0) i un vèrtex al punt A(5, 0).
( ) ( )( ) ( )
,0 2,0 2
,0 5,0 5
F c F c
A a A a
→ → =
→ → =2 2 2 2 2 2 2 25 2 25 4 21a b c b b b− = → − = → − = → =
Aleshoresl’equacióés:2 2
125 21x y+ =
3. Determina els elements característics de la hipèrbola d’equació x2 y2
———— 1. 16 9
2
2
16 4
9 3
a a
b b
= → =
= → =
Vèrtexs: ( ) ( )'4,0 4,0A i A − .
Focus: 2 2 2 2 2 24 3 16 9 25 5c a b c c= + → = + = + = → =
( ) ( )5,0 ' 5,0F i F − .
Excentricitat:54
ce
a= = .
4. Donades les circumferències C1 : x
2 y2 9 0 i C2 : x2 y2 2x 6y 3 0.
a) Troba la potència i posició del punt P(1, –3) respecte a 1C .
b) Troba l’eix radical de les dues circumferències.
c) Comprova que l’eix radical és perpendicular a la recta que uneix els dos centres.
10.En una divisió, el divisor és el polinomi x3 2x2 3, el quocient és x22x1 i el residu és 8x2. Quin és el grau del dividend? Pots calcular-lo? Fes-ho.
Dividend:
(x32x23)(x22x1)(8x2)x53x3x22x1
Eldividendésdegrau5.
x32x2 3 x22x1
x32x2 32x44x3 6x
x52x4 3x2
x5 3x3 x26x38x2
x5 3x3 x22x1
11.Determina els valors de a i b, de manera que quan dividim 1
3x4 12x2 ax b per x3 2x2 3 el residu sigui —. 2
3x4 12x2axb x32x23 3x46x3 9x 3x6
6x312x2(a9)x b6x312x2 18
1 (a9)xb18— → 2 a90 → a9 →5 1 37 b18— → b—— 2 2
12.En una divisió exacta, el dividend és x51 i el quocient, x4x3 x2 x 1. Calcula’n el divisor.
x5 1 x4x3x2x1 x5x4x3x2x x1
x4x3x2x1x4x3x2x1
Divisor:x1
13.Determina el valor de k per tal que la divisió
(2x3 x2 k): (x 2) sigui exacta.
2x3 x2 k x2 2x3 4x2 2x25x10
5x2 k 5x210x
10x k10x 20
k200 → k20
14.Tria el mètode que consideris més convenient per trobar el valor numèric d’aquests polinomis per al valor que s’indica:
3 a) —x4 5x3 4x 2 per a x 12 2
Pelteoremadelresidu:
3 — 5 0 4 2
2 12 18 276 3312 39696 3
— 23 276 3308 39698 2
Valornumèric:39698
b) x6 x4 √ 2x3 x2 per a x √ 2 Substituint:
(√ 2)6(√ 2)4√ 2(√ 2)3(√ 2)2
844210
Valornumèric:10
2 1 3 c) —x3 —x2 —x 1 per a x 5 5 5 5
Substituint:
2 1 3—(5)3—(5)2—(5)1
5 5 5
5053147
Valornumèric:47
15.Calcula el residu de la divisió (2x3 3) : (x 2). Fes-ho mitjançant els dos procediments que hem analitzat. Explica quin és el més ràpid.
Fentladivisió:
2x3 3 x2 2x3 4x2 2x24x8
4x2 34x2 8x
8x 3 8x 16
13
R13
Pelteoremadelresidu:223313
Ésmésràpidfer-hopelteoremadelresidu.
16.Determina el valor de k per tal que la divisió (x3 3x2 5x k) : (x 3) sigui exacta.
51.Donat el polinomi 2( ) 2 4C x x x= − , calcula [C(x)]3.
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
32
3 2 2 32 2 2
6 5 4 3
2 4
3 3 3 32 2 4 2 4 4
0 1 2 3
8 48 96 64
x x
x x x x x x
x x x x
− =
= + − + − + − =
= − + −
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
32
3 2 2 32 2 2
6 5 4 3
2 4
3 3 3 32 2 4 2 4 4
0 1 2 3
8 48 96 64
x x
x x x x x x
x x x x
− =
= + − + − + − =
= − + −
Activitatsfinals
1.Expressa en forma de polinomi ordenat en potències decreixents de x els resultats d’aquestes operacions:
1 a)4(x 2)x — 3
1 20 84(x2)x—4x2——x—
3 3 3
b) (x √2)2 x2
(x√2)2x2(x22√2x2)x2
x42√2x32x2
1 3x3 x2
c)— ————— x 1 3x
1 3x3x2 x2(3x1)————————————x
x 13x x(13x)
d) x3 (1 x)2
x3(1x)2x3(12xx2)
x52x4x3
2. Considera els polinomis A(x) x2 2x 3 i B(x) (x 1) (x 3). Calcula’n el valor numèric per a x 1 i x 2. Poden ser iguals aquests dos polinomis? Raona la teva resposta i comprova-ho.
A(1)1234
A(2)(2)22(2)35
B(1)2(2)4
B(2)1(5)5
Ambaixònohihaprouperquè2polinomissiguiniguals.
3.Escriu dos polinomis de tercer grau la suma dels quals sigui un polinomi de segon grau.
Respostaoberta.Perexemple:
A(x)2x33x21 → B(x)2x3x2x
→ A(x)B(x)2x2x1
4. Troba el polinomi que sumat a P(x) x4 3x2 5x dóna com a resultat el polinomi R(x) x3 1.
Elpolinomiqueesbuscaés:R(x)P(x).
R(x)P(x)x31x43x25x
x4x33x25x1
5.Calcula a, b i c per tal que es verifiqui la igualtat:(x3 2x a)(bx c)
6.Explica la relació que hi ha entre els graus dels polinomis factors i el grau del polinomi producte. Quina relació hi ha entre els graus dels polinomis dividend, divisor i residu en una divisió de polinomis?
El grau del dividend és la suma dels graus del divisor i delquocient.Elgraudelresiduésmenorqueelgraudeldivisor.
7.La potència de polinomis es defineix com a productes repetits de la base tantes vegades com indica l’exponent. (3x2 2)5és un polinomi. De quin grau? Quin és el coeficient que acompanya el terme de grau més gran? Quin és el terme independent?
En la potència (3x2 2)5, el primer terme del polinomi és (3x2)5243x10ieltermeindependent:(2)532.Pertant,elgraudelpolinomiés10.
1 8.Si A(x)3x2 — x 2, B(x)2x 3 i C(x)x33, 2 calcula:
10. Calcula el coeficient de x5 en el desenvolupament de (x 2)12.
Elcoeficientdex5éseltermedeldesenvolupament:
12 x12h ·2h→ 12h 5→ h7 h
12Coeficient: ·27101376 7
11.Determina el coeficient de x14 en el desenvolupament de (x2 x)10.
Delamateixamaneraqueal’exercicianterior:
10 (x2)10h ·(x)h→ h
→ x202h ·xh x20h x14→
→ 20 h14→ h6
10Coeficient: (1)6210 6
12.Hi ha algun polinomi que multiplicat per x 4 doni com a resultat el polinomi 2x2 5x 12? Si la resposta és afirmativa, quin és?
Elpolinomiéselquocientdeladivisió:
(2x25x12):(x4)
Siésexacta,existiràaquestpolinomi:
2 5 12 4 8 12
2 3 0
Elpolinomiés:2x3
13.Donat el polinomi A(x) 2x3 x2 4x 1, determina, si existeix, un altre polinomi C(x) tal que el quocient de la divisió A(x) : C(x) sigui 2x 3 i el residu, 4.
A(x) C(x) ... 2x3
...4
A(x)C(x)(2x3)(4)
C(x)[A(x)4] :(2x3)x22x21
2x3 x24x3 2x3 2x33x2 x22x1
4x24x 34x26x
2x32x3
14.Troba el dividend d’una divisió en què el quocient és 3x2 2x 1; el divisor, 2x2 x i el residu, x 1.
D(x) (2x2 x)(3x22x1)(x1)
6x4x32x1
3x22x 1 2x2 x
3x32x2 x 6x44x32x2
6x4 x3 xx 1
6x4 x3 2x 1
15.Calcula m per tal que la divisió següent sigui exacta:
(x4 x3 2x2 x 7m) : (x2 x 1)
x4 x32x2 x 7m x2x1 x4 x3 x2 x21
x2 x 7m x2 x 1m
7m 1m
1 7m10 → m— 7
16.Efectua aquestes divisions. Aplica la regla de Ruffini sempre que sigui possible.
a) En restar dos polinomis de tercer grau obtenim un polino-mi de segon grau. Quina relació hi ha entre els coeficients de més grau dels dos polinomis?
Elsdoscoeficientsdegraumésaltsónoposats.
b) Un polinomi P(x) és divisible per x + 1. Per a quin valor es verifica P(x) = 0?
Perax=–1esverificaP(–1)=0.
c) El grau d’un polinomi P(x) és 3. Quin és el grau del poli-nomi [P(x)]2?
Elgraude[P(x)]2és6=3·2.
d) Si x = 2 és una arrel de P(x), que podem afirmar sobre el valor de P(2)?
Six =2ésunaarreldeP(x) → P(2)=0.
2. Comprova les igualtats següents:
7 7 7 7a) … 27
0 1 2 7
17213535217112827
8 8 9b) 5 6 6
8 8·7·6·5·4 —————— 56 5 5·4·3·2
8 8·7·6·5·4·3 —————— 28 6 6·5·4·3·2
9 9·8·7·6·5·4 ——————— 845628 6 6·5·4·3·2
15 15c) 1 14
15 15! 15!·14! ——— ———15 1 1!·14! 1!·14!
15 15·14! ——— 15 14 14!
1515
3. Determina el valor de k per tal que P(x) = x4 – 2x3 + 7x + k sigui divisible per x + 1.
Si P(x) és divisible per x + 1, llavors P(–1) = 0 i per tant1+2–7+k=0 → k=4.
7.Determina, si existeixen, les fites superior i inferior de cadascuna de les successions de l’activitat anterior.
a)Fitesinferiors:k0.
Fitessuperiors:K1.
b)Fitesinferiors:k1.
Notéfitasuperior.
c) Fitesinferiors:k0.
Fitessuperiors:K1.
1 d)Fitesinferiors:k—. 3 Notéfitasuperior.
e)Notéfitainferior.
Fitessuperiors:K0.
f )Fitesinferiors:k23.
Notéfitasuperior.
8.Escriu el terme general de la successió dels múltiples de 5. El nombre 6000 és una fita superior d’aquesta successió? Raona la resposta. Està fitada inferiorment aquesta successió?
an5 n; a 12006 000
Ambn1200, an6 000.
Noésunafitasuperior.
Lafitainferiorés5iqualsevolk5.
9.Calcula els termes avançats d’aquestes successions per poder-ne establir el límit en cada cas:
14.Considera les successions {an}: 1, 4, 9, 16, 25... i 1 1 1 1
{bn}: 1, —, —, —, —... 2 3 4 5
a) Troba el terme general de an i bn.
1ann2; bn—
n
b) Determina els cinc primers termes i el terme general de cadascuna de les successions següents:
{an bn} {an bn} {anbn}
an{n bn} 5—— {bn an} bn
n31{anbn}———— →
n
9 28 65 126→ 2,—,——,——,——
2 3 4 5
n31{anbn}———— →
n
7 26 63 124→ 0,—,——,——,——
2 3 4 5
{anbn}n → 1,2,3,4,5
{n bn}1 → 1,1,1,1,1
an5——n3 → 1,8,27,64,125 bn
1n3
{bnan}——— → n
7 26 63 124→ 0,——,——,——,——
2 3 4 5
15.Escriu els deu primers termes de la successió {an}n, en què
n 1 an ———. n
n1 9 64 625 7776——— n
→ 2;—;——;——;————; n 4 27 256 3125
2,522;2,546;2,565;2,581;2,594...
16.Calcula quin és el límit de cadascuna de les successions següents:
2 n1 n a) an ——— ——— n n 1
2 n1 n—————— ⇒
n n1
⇒ 213(sumadelímits)
1 1 b) bn —— : — n 2 n
1 1 n 1——:———— → 0
n2 n n2 n
1 1 c) cn —— — n 2 n
1 1 nn2 1n————————— → 0
n2 n n3 n2
1 d) dn 5 : — n
15:—5 n →
n
17.Escriu els termes generals de dues successions convergents el límit de les quals sigui zero. Calcula el límit de les dues possibles successions quocient.
1.La successió 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... és la successió de Fibonacci. Aquesta successió té una regla recurrent que permet, a partir d’un cert valor de n, determinar-ne qualsevol terme si es coneixen els anteriors. Escriu-ne cinc termes més i indica la recurrència enunciada.
2.Dibuixa triangles equilàters successius a partir dels punts mitjans del triangle equilàter immediatament anterior. Si el primer triangle mesura 1 cm de costat, comprova que la seva √
3
àrea és —— cm2. 4 Calcula els termes a2, a4 i a7 de la successió de les àrees.
Pots escriure l’expressió del terme general an d’aquesta successió? Té límit la successió d’aquestes àrees? Quin és?
8.El límit d’una successió, el terme general de la qual és una fracció algèbrica, és 1. Explica la relació que hi ha entre els graus dels polinomis numerador i denominador, i entre els coeficients dels termes que determinen aquests graus.
La successió dels nombres parells també és una progressióaritmèticaded2
2,4,6,8,10…
Lasumadelsdos-centsprimersnombresés
200
2 400·200 40200
2S
+= =·20040200.
jUnitat9.Funcions
Activitats 1.Defineix la variable independent i la variable dependent en
els casos següents:
a) L’import que cal pagar en una benzinera i els litres de benzina que hi comprem.
x: litresdebenzina
y: importeneuros
b) El pes d’una persona i la seva edat.
x: edat
y: pes
c) L’espai recorregut per un cotxe i la velocitat a què circula.
x: velocitat
y: espairecorregut
d) El volum d’una esfera i la longitud del diàmetre.
x: longituddeldiàmetre
y: volumdel’esfera
2.Representa la variable independent per x i la variable dependent per f (x) i troba, sempre que sigui possible, l’expressió algèbrica de cadascuna de les funcions de l’exercici anterior.
a) f (x)p x,essentpelpreud’unlitredebenzinaen€.
b) Noéspossible.
c) Caldriasabereltipusdemoviment.
d) f (x)— x3
6
3.Escriu l’expressió algèbrica i troba el domini de les funcions següents:
a) A cada valor del radi d’una esfera li assignem la seva superfície.
b) Comprova que les funcions f 1 i g1 són les inverses de f i g respectivament.
x4(f 1 f ) (x)f 1(f (x))f 1——— x2
x4 42——— x2
—————— x4 ———1 x2
4 x82 x8 ———————— x2
———————— x4x2 —————— x2 2 x
——x 2
42 x(f f 1) (x)f (f 1(x))f ———— x1
42 x 4 2 x4 x 4 ———4 ————————– x1 x1
——————————————— 42 x 4 2 x2 x 2 ———2 ————————– x1 x1
2 x——x
2
3 x(g1 g) (x)g1(g (x))g1——— x1
3 x 3 x ——— ——— x1 x1
————————————— 3 x 3 x33 x 3——— ————— x1 x1
3 x——x
3
x(g g1) (x)g (g1(x))g——— 3x
x 3 x 3——— ——— 3x 3x
——————————— x x3x ———1 ———— 3x 3x
3 x——x
3
Activitatsfinals
1.En una certa zona, la quantitat de sofre que hi ha a l’atmosfera, en parts per milió, evoluciona d’acord amb la funció s (t) 2,1 0,2 t 0,03 t 2, on t és el temps expressat en anys. Determina la presència de sofre en l’actualitat i quants anys han de transcórrer perquè s’assoleixi novament el valor actual.
s (0)2,1.Actualmenthiha2,1partspermiliódesofre.
s (t)2,1 → 2,10,2 t0,03 t 22,1 →→ 0,03 t 20,2 t0
t0
t (0,03 t0,2)0 → 0,03 t0,2 0 → 0,2
→ 0,03 t0,2 → t———6,6
(
anys 0,03
2.Defineix la funció que expressa la suma de dos nombres enters tals que el seu producte és 18. Troba’n el domini.
18 x218S (x)x——————
x x
Ds{18,9,6,3,2,1,1,2,3,6,9,18}
3.En un triangle, la suma de les longituds de la base i l’altura és 15 cm. Expressa l’àrea del triangle en funció de la longitud de la base. Troba el domini d’aquesta funció.
x (15x) 1 15S (x)—————— x2——x encm2
2 2 2
Ds(0,15)
4.Volem construir una capsa sense tapa amb una cartolina quadrada de 12 cm de costat. Per fer-ho, retallem quadrats iguals de costat x cm en cadascuna de les quatre cantonades de la cartolina. Determina l’expressió algèbrica que ens dóna el volum de la capsa (fig. 9.9), en funció del valor de x. Indica el domini d’aquesta funció.
5. Troba el domini de la funció que expressa l’àrea d’un rectangle de 30 cm de perímetre en funció de la longitud d’un dels costats.
2 x2 y30 → xy15 → y15x
Sx yx(15x)15 xx 2
S (x)15 xx 2encm2, Ds(0,15)
6.L’altura d’un cilindre és el triple del radi de la base. Escriu l’expressió del volum del cilindre en funció del radi de la base. Quin serà el volum del cilindre per a un radi de 5 cm? Quin és el valor del radi de la base si el volum del cilindre és de 24 cm3? Troba el domini de la funció suposant que el volum màxim és de 3,75 105 cm3.
V r 2h r 2 3 r3 r 3 → V (r)3 r 3
V (5)3 53375 cm3
24 3 r 3 → r 38 → r3√
82cm
3,75 1053 r 3 → 3,75 105 375 000
→ r 3———————— 3 3
125 000cm3 → r50cm
Dv(0,50)
7.Dos nombres naturals sumen 20. Expressa’n el producte en funció d’un d’ells. Troba el domini d’aquesta funció. Comprova que 15 és del domini, i que 28 no ho és.
P (x)x (20x)20 xx 2
Dp{x 1<x<19}
15 Dp, 28 Dp
8.Es vol construir una finestra formada per un quadrat i un semicercle de radi x (fig. 9.10). Troba les expressions del perímetre i de l’àrea de la finestra en funció de x. Indica el domini de cadascuna d’aquestes funcions.
2 xp (x)6 x———6 x x(6) x
2
x2 x2 8S (x)(2 x)2——4 x2————x2
2 2 2
DpDs(0,)
9.El radi d’una taca d’oli circular creix a un ritme de 3 cm per minut i el centre es troba a 9 cm del marge de la taula.
a) Expressa la funció que assigna a cada instant t el valor del radi de la taca.
r (t)3 t, tenminir (t)encm.
b) Quant trigarà la taca d’oli a arribar al marge de la taula?
3 t9 → t3min
c) Escriu l’expressió algèbrica de la funció que assigna a cada instant t el valor de l’àrea de la taca d’oli.
S r 2 (3 t)2 9 t 29 t 2
S (t)9 t 2 encm2
d) Calcula l’àrea en l’instant en què la taca arriba al marge de la taula.
S (3)9 3281 cm2
10.Suposem que establir una trucada telefònica costa 0,50 € i, a partir d’aquest moment, el preu és de 0,30 € per minut. Troba l’expressió algèbrica de la funció que ens determina l’import d’una trucada telefònica en funció de la seva durada. Quant costarà una trucada de 8 minuts? Quants minuts ha durat una trucada l’import de la qual és de 5,30 €?
f (t)0,50,3 t,tenmin,f (t)en€
f (8)0,50,3 80,52,42,9€
0,50,3 t5,3 → 0,3 t4,8 → t16min
11.La funció f (t)2 t 25 t expressa la distància recorreguda per un mòbil en funció del temps, on t s’expressa en segons i f (t), en metres. Troba la distància recorreguda pel mòbil entre els instants t1 s i t2 s. Quant de temps trigarà el mòbil a recórrer una distància de 75 m?
f (2)f (1)2 225 225
8102511m
2 t 25 t75 → 2 t 25 t750 →→ t5 s
12.En mesurar la temperatura a diferents alçades, s’ha observat que la temperatura disminueix 1 °C cada 200 m d’alçada. Si en un dia determinat la temperatura arran de terra és de 12 °C, escriu l’expressió algèbrica de la funció t (h), essent h l’alçada en metres i t (h) la temperatura en °C. Quina temperatura hi haurà a 6 km d’alçada? A quina alçada hi haurà una temperatura de 50 °C?
13.Dividim un segment de 10 cm de longitud en dues parts. Expressa la suma de les àrees dels triangles equilàters construïts sobre cadascuna d’aquestes dues parts (fig. 9.11), en funció del costat d’un dels triangles. Troba’n el domini.
√
3 √
3S (x)——x2——(10x)2
4 4
√
3 √
3——x2——(10020 xx2)
4 4
√
3 √
3——x225√
35√
3x——x2
4 4
√
3——x25√
3x25√
3encm2
2
Ds(0,10)
14.Troba el domini de les funcions següents:
2 a) f (x)———————— x 2 10 x 16
Df{x x210 x160}
{2,8}
2 b) g (x) √
— x 8
3
2Dg5x —x80 3
(,12]
c) h(x)3√
8 x5
Dh
7 x d) k (x)———— 3 x 2 3
Dk
15.Defineix una funció que tingui per domini els conjunts:
Respostesobertes,perexemple:
a) Df {2, 7} 1
f (x)——————— x29 x14
b) Dg {x x 0}
1g (x)———
√
x
c) Dh (, 3]
h(x)√
x3
d) Dq q (x)x2x4
e) Dp {x x 2, x 0}
10p (x)————
x22 x
16.Determina el domini de cadascuna de les funcions següents:
2 x a) f (x)———— √
3 x
Df{x 3x0}(,3)
4 x 1 b) g (x)———— x 2 7 x
Dg{x x27 x0} {0,7}
2 x 1 c) h (x)—————
3√
8 x3
Dh{x 8x30} {2}
x ——— si x 0 x 1 d) k (x) 5 3 x 1 ———— si x 0 2 x 5
Dk{x x10 i 2 x50}
5 51,—
2
17.Donades les funcions f (x)3 x24 i g (x)3 (x1)2, troba:
18.Troba el domini de la funció representada en cadascuna de les gràfiques (fig. 9.12).
a) b)
a)Df[3,1] [0,3)
b)Dg(3,2]
19.Defineix una funció a trossos que tingui per domini
Df {x x 0}.
Respostaoberta,perexemple:
1 — six1 x f (x) 5 x six1
20. Calcula f(3), f(1), f(0), f(1) i f(2), i troba el domini de:
2 x 3 x 1
x2 1 f (x) 5 ——— 1 x 1 x 2
√
x 3 x 1
f (3)2(3) 3639
(1)21 2f (1)——————
12 3
1f (0)—
2
11f (1)———2
12
f(2)√
5
Df
21.El nombre d’articles n produïts en una empresa un dia qualsevol, t hores després de l’inici de la feina, és
n (t) t2 20 t, amb una jornada laboral de vuit hores diàries. Si el cost de producció de n articles és, en euros, c(n) 5 6n, determina l’expressió de la funció c(t) que en dóna el cost en funció del temps. Indica’n el domini.
c (t)c (n (t))c (t 220 t)
56 (t 220 t)56 t 2120 t
6 t 2120 t5
Dc(0,8]
2 x 1 x 2 122.Siguin f (x) ———— i g (x) ———— x 1 3 x
f a) Troba les funcions: f g, f g, —, f f, g g, f 1. g
4. Un venedor té un salari mensual que està determinat per un sou fix més un cert percentatge sobre el volum de vendes que ha fet durant el mes. Si ven per valor de 2000 €, el seu salari és de 1200 € i, si ven per valor de 2500 €, el salari és de 1300 €. Trobeu el percentatge que guanya sobre el total de vendes i el sou fix.
5.Per calcular alguns límits cal utilitzar el mètode del doble conjugat. Consisteix a multiplicar el numerador i el denominador pel conjugat de cadascun d’ells. Tot emprant el mètode del doble conjugat, calcula:
15.Troba el domini i estudia la continuïtat de les funcions irracionals:
a) f (x) √ x 1
Df{x x10}[1,)
/∃ x→1lim (√ x1)
x→1lim (√ x1)0
f (1)0
Ésdiscontínuaenx1.
b) g (x) √ 4 x 2
Dg{x 4x 20}[2,2]
/∃ x→2lim √ 4x 2
x→2lim √ 4x20
g (2)0
Ésdiscontínuaenx2.
x→2lim √ 4x20
/∃ x→2lim √ 4x2
g (2)0
Ésdiscontínuaenx2.
16.Estudia la continuïtat de la funció següent:
3 x 9f (x) —————
2 x 2 18
Df{x 2 x 2180}{3,3}
3 x9 18
x→3lim ———————
2 x 218 0
3 x9 18
x→3lim ——————— 2 x 218 0
/∃f (3)jaquex3Df
Discontinuïtatasimptòticaenx3.
3 x9 3 (x3)
x→3lim —————
x→3lim —————————
2 x 218 2 (x3) (x3)
3 1
x→3lim ——————
2 (x3) 4
3 x9 3 (x3)
x→3lim —————
x→3lim —————————
2 x 218 2 (x3) (x3)
3 1
x→3lim ——————
2(x3) 4
/∃f (3),jaquex3Df.
Discontinuïtatevitableenx3,s’evitadefinint:
f (x) x3 g (x) 5 1 — x3 4
17.A partir de la gràfica, descriu tots els punts de discontinuïtat de la funció partentera, definida per a tot nombre real x com la funció f (x) que hi fa correspondre el nombre enter més gran n tal que n x.
A partir de la gràfica s’observa que x , hi ha unadiscontinuïtatdesaltiéscontínuaenelsaltrespunts.
18.Descriu el domini i les discontinuïtats de les funcions següents:
20.Estudia la continuïtat de la funció f (x) x 2 1 en els punts x 1 i x 1.
f (x)x 21espotdefinir:
x 21 si x1 o x1 f (x) 5 1x 2 si 1x1
x→1lim f (x)
x→1lim (x21)0 x→1
lim f (x)x→1lim (1x2)0
f (1)0
Contínuaenx1.
x→1lim f (x)
x→1lim (1x 2)0 x→1
lim f (x)x→1lim (x 21)0
f (1)0
Contínuaenx1.
21.El novembre de 1999, el preu del franqueig d’una carta en funció del seu pes era:
Fins a 20 g 0,21 Més de 20 g fins a 50 g 0,27 Més de 50 g fins a 100 g 0,45 Més de 100 g fins a 200 g 0,75 Més de 200 g fins a 350 g 1,35 Més de 350 g fins a 1 kg 1,95 Més d’1 kg fins a 2 kg 3,01
a) Representa per x la variable pes i per f (x) la variable preu i escriu l’expressió algèbrica de la funció.
30. En una entitat bancària es dipositen 15025 al 3% d’interès compost anual. Quin és el benefici que s’obtindrà al cap de cinc anys? Repeteix el problema suposant que l’interès sigui continu. Compara’n els resultats obtinguts.
Compost→ CC0(1r)t15025(10,03)5
150251,03517418,09
b17418,09150252393,09
Continu→CC0ert15025e0,035
15025e0,1517456,56
b17456,56150252431,56
31. El pH d’una dissolució és 11,25. Quina és la concentració d’ions hidrogen que hi ha a la dissolució? I la d’ions hidroxil?
pH11,25 → log[H3O]11,25 →
→ log[H3O]11,25
[H3O]1011,255,62341331012mol/L
pOH14pH1411,252,75 →→ log[OH]2,75
[OH]102,751,7783103mol/L
o [H3O][OH]1014 →
1014 1014
→ [OH]————————————— [H3O
] 5,62341331012
1,7783103mol/L
Activitatsfinals 1.Dibuixa en uns mateixos eixos de coordenades les funcions
6. Hem rebut a casa una carta que ens augura bona sort si n’enviem una fotocòpia a cinc persones. En cas contrari, si trenquem la cadena, la sort se’ns girarà en contra. Quina funció expressa el nombre de persones que rebran la carta successivament, si no es trenca la cadena?
0 1 25 ,5 ,5 ,...,5( ) 5
x
xf x =
7. Determina el punt en què la gràfica de cadascuna d’aquestes funcions talla l’eix de les abscisses:
a)f(x) log (x 3)
f(x)0 → log(x3)0 →
→ x31 → x2 → (2,0)
b)g(x) ln (2x 5)
g(x)0 → ln(2x5)0 →
→ 2x51 → 2x6 →
→ x3 → (3,0)
c)h(x) log3 √ 3x
h(x)0 → log3√ 3x0 →
→ √ 3x1 → 3x1 →
1 1→ x— → —,0 3 3
5 d) p(x) log5 — x
5 5p(x)0 → log5—0 → —1 →
x x
→ x5 → (5,0)
8. Calcula els logaritmes següents sense utilitzar la calculadora:
17. Determina el valor de a per tal que quan incrementem en tres unitats el logaritme en base a de 6, obtinguem el logaritme en base a de 48.
loga63loga48 →
→ loga6logaa3loga48
loga(6a3)loga48 → 6a348 →
→ a38 → a2
18. En el país dels nombres es poden escoltar converses molt estranyes. Fixa’t en aquesta i intenta identificar-ne els dos personatges.
y: Sóc el teu logaritme decimal.
x: Ep! Sóc deu vegades més gran que tu.
x10, y1
19. Resol els sistemes d’equacions següents:
log x log y 3 a) 5 2 log x 2 log y 1
5 4logx 5 → logx— → x10
5—4
4
7 4logy 7 → logy— → y10
7—4
4
log x log y 1 b) 5 3x 5y 35
x —10 y x10, y1 3x5y35
log x 3 log y 5 c) x2
5 log — 3 y
7logx14 → logx2 → x100
7logy7 → logy1 → y10
x2 y2 11 d) 5 log x log y 1
x2y211
10 1 x——, y— 3 3 x —10 y
2 log y 3 log x 1 e) 5 log (x y) 3
5logx5 → logx1 → x10
5logy10 → logy2 → y100
logx (y 18) 2 f) 1
5 logy (x 3) —
2
x2y18 3 81 x—, y—— 2 4 √ yx3
20. El pare de l’Albert i el Jordi és matemàtic. Quan li pregunten
les edats dels seus fills, respon: «La potència de base 2 i exponent l’edat del Jordi és igual a la potència de base 8 i exponent 5 menys l’edat de l’Albert. D’altra banda, el logaritme en base l’edat de l’Albert de 64 és igual a l’edat del Jordi». Quina és l’edat de cadascun dels dos nois?
x:edatdel’Albert;y:edatdelJordi;x,ynaturals.
2y85x 2y(23)5x 2y2153x logx64y xy64 xy64
y153x xy64
x4anys, y3anys
21. La taxa de despoblació d’una ciutat és del 1,5% anual. Suposant que aquesta taxa no es modifica, quants anys hauran de transcórrer perquè la població actual es redueixi a la meitat? Si actualment aquesta ciutat té 100000 habitants, quants en tindrà d’aquí a set anys?
a)Situa, raonadament, entre dos nombres enters consecutius el valor de x que és solució de l’equació.
1500001,08x200000 → 200000
→ 1,08x————1,3
)
150000
1,08x1,3
)
; 1,0831,259712;
1,0841,360489; 3x4
b)Aïlla x, utilitzant el tipus de funció matemàtica que consideris adient.
1,08x → 1,3
)
→ xlog1,081,3
)
c)Calcula el valor de x.
log1,3
)
0,1249387xlog1,081,3
)
———————— log1,08 0,0334237
3,7380221
23. El radi és un element radioactiu. Una mostra de radi es descompon per emissió de radiacions d’acord amb l’equació:
m 10 e4,36104t
on m és la massa de la mostra expressada en grams i t el temps expressat en anys.
a)Quina és la massa de radi (en grams) que hi ha inicialment a la mostra?
m10e4,36104010e010g
b)Quans grams de radi hi haurà d’aquí a 1000 anys?
m10e4,36104100010e4,36101
10e0,4366,466177g
c)El període de semidesintegració d’un element radioactiu es defineix com el temps que triga una determinada quantitat d’aquest element a reduir-se a la meitat. Determina el període de semidesintegració del radi.
510e4,36104t→e4,36104t
0,5 → 4,36104tln0,5
ln0,5 0,6931471t————————————
4,36104 0,000436
1590anys
d)Demostra que aquest període de semidesintegració és independent de la massa inicial de la mostra de radi.
m0——m0e4,36104t →
2
→ e4,36104t0,5
ln0,5t—————— → Nodependem
4,36104
24. El nivell d’intensitat del so es mesura en decibels segons l’ex-
pressió: 0
10logI
DI
= , on I0 10–12 W/m2 és la intensitat del so
anomenada llindard’audició i I, la intensitat del so de la qual en volem determinar el nivell d’intensitat.
a) Calcula els decibels (dB) que li corresponen a la intensi-tat del llindar d’audició.
0
0 0
10log 10log 10log1 0I I
DI I
= = = =
b) Si la intensitat del so que produeix un reactor és de I 8 · 102 W/m2, calcula el seu nivell d’intensitat.
214
120
8 1010log 10log 10log8 10 149,031dB
10I
DI −
⋅= = = ⋅ =
c) El so que es coneix com el llindardeldolor li corresponen 120 dB, quina intensitat té aquest so?
12 12 212
120 10log 10 10 1W/m10
II −
−= → = ⋅ =
Avaluació
1. Fes una taula de valors i representa gràficament en els ma-teixos eixos de coordenades cadascuna de les funcions se-güents:
f(x) 3x
g(x) log3 x
Elabora també una llista de les característiques de cada cor-ba i compara-les.
y 2x 4 → substituint a la primera equaciólog x log (2x 8) 1 → log(2x2 8x) log 10 →2x28x100→ x1,x5(notésentit)→y2.
3. Si log3 p 5 i log3 q 2, calcula els resultats de les ope-racions següents aplicant les propietats dels logaritmes:
a) log3 (p· q)
log3plog3q523
b) log3 p2
2log3p10
c) log3 (p· q3 )
log3p3log3q561
p5
d) log3 —— q
5log3plog3q25227
4. La datació de restes arqueològiques es pot fer a partir de la quantitat de carboni 14 (14C) que contenen. La quantitat re-sidual de 14C que trobem al fòssil segueix la llei exponencial:
q(t) q0 · 2q
5700
on q0 és la quantitat inicial de 14C que contenia el fòssil quan era viu, q és la quantitat de 14C que trobem al fòssil i t el temps en anys.
a) Escriu la funció que es fa servir per datar restes arqueo-lògiques, és a dir, la funció que s’utilitza per determinar l’edat d’un fòssil en funció de la quantitat de 14C que conté en relació amb la d’un ésser viu.
57002 2
0 0 0
( ) ( ) ( )2 log 5700·log
5700
tq t q t t q tt
q q q
− −= → = → = −
b) Quina és l’edat d’una mòmia si la quantitat de 14C que presenta és la meitat de la que tindria si la persona fos viva?
11.Aplica a la gràfica de l’exercici anterior una translació de dues unitats en la direcció de l’eix d’ordenades i en el sentit positiu d’aquest eix. Quina és l’expressió algèbrica de la funció que correspon a aquesta gràfica?
L’expressiódelafuncióés:f(x)tgx2.
1312. Determina els límits laterals de la funció y tg x en x ——. 2 13 x——noésdeldominidelafunció. 2
13
x→ —— 2
lim tgx 13
x→ —— 2
lim tgx
13.Raona per què les funcions y arc sin x i y arc cos x tenen el domini restringit a l’interval [1, 1].
Lesfuncionsyarcsinusxiyarccosx teneneldominirestringit a [1, 1] perquè són les funcions respectivamentinversesdeysinxiycosxquetenenderecorregut[1,1].
14.Considera la funció y arc tg x. Indica l’interval en què els valors que assoleix la funció són més grans que 1.
180 180 L’intervalés:——,,jaquearctg——1.
15.Representa a la circumferència trigonomètrica l’angle que 2 mesura —— rad. Dibuixa les sis raons trigonomètriques 3 d’aquest angle i mesura-les. Compara els resultats experi-
mentals amb els que obtens amb la calculadora. En cas que hi hagi diferències, justifica-les.
25.Identifica tots els angles compresos entre 0 i 2 que no tenen cotangent.
Elsanglesquenotenencotangentsónelsquetenenelssinusigual cos a0 → cotg———. sin
sin0 → 0 i
26.Expressa el domini de cadascuna de les funcions f(x) cosec x, f(x) sec x i f(x) cotg x. Indica’n les discontinuïtats i classifica-les. Quin és el recorregut de cada funció?
4.El període de la funció f(x) cos kx és —. Calcula k. 2 Elperíodedef(x)cosxés2;elperíodedef(x)coskx
serà:
2 2 —— → ——— → k4
k k 2
5.Se sap que cotg 2. A quins quadrants pot situar-se l’angle ? Determina les restants raons trigonomètriques de l’angle per a cadascun dels possibles quadrants.
6.Defineix la funció f(x) arc cotg x com la funció inversa de la funció f(x) cotg x i indica’n el domini i el recorregut. Dibuixa la gràfica de la primera funció a partir de la gràfica de la segona tenint en compte que, pel fet de ser funcions inverses, aquestes gràfiques han de ser simètriques respecte de les bisectrius del primer i tercer quadrants.
8. Representa gràficament la funció d 40t 5t2 corresponent al moviment del cos de l’exemple anterior. Quant triga a assolir l’altura màxima? Quin és el valor d’aquesta altura? Quant triga a tornar al punt de llançament?
23. Donada la funció f(x) x4, calcula f(x) de dues maneres diferents:
a) Aplicant la definició de funció derivada.
(xh)4x4
f(x)lim—–––––––——— h→0 x
x44x3h6x2h24xh3h4x4
lim———–––––—––——––––––––––––––—— h→0 h
h(4x36x2h4xh2h3)lim———––––––––––––––––––——
h→0 h
lim(4x36x2h4xh2h3)4x3
h→0
b) A partir de la segona regla que acabem de veure.
f(x)4x3
24. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents:
1 a)f(x)— x4
4f(x)4x5—
x5
b)f(x)x7
f(x)7x6
1 c) f(x) –––– √ x
1 1 1f(x)—x3/2—––——––—
2 2√ x3 2x√ x
d) f(x) 3
√ x2
2 2f(x)—·x1/3––––––
3 33
√ x
e) f(x) 5
√ 2
f(x)0
1 f) f(x)— x6
6f(x)6x7—
x7
25. Donada la funció f(x) x3, calcula f(1) i f(1). Indica si la funció és creixent o decreixent en aquests dos punts, i en cas que hi presenti el mateix tipus de variació, digues on és més ràpida aquesta variació.
31. Demostra que la derivada de la funció polinòmica de segon grau f(x) ax2 bx c s’anul·la per al valor de x corresponent al vèrtex de la paràbola que en resulta de representar-la gràficament.
f(x)2axb b
f(x)0 → 2axb0→2axb→x=––– 2a
32. La distància d’un mòbil a un punt de referència ve donada per l’expressió d f(t) 10 12t t2, d en metres i t en segons.
a) Determina l’expressió de la funció que permet calcular la velocitat del mòbil en qualsevol instant.
vf(t)122tm/s.
b) Indica raonadament si en algun moment aquest mòbil canvia el sentit del seu moviment.
33. Troba l’equació d’una funció f(x) que tingui per derivada la funció f(x) representada en la gràfica (fig. 13.12). Pots trobar-ne més d’una? Per què?
Compleixen la condició que s’estableix a l’enunciat totes lesfuncionsdeltipusf(x)xK,ambK∈.
Activitatsfinals
1. Aplicant la definició, calcula la derivada de cadascuna de les funcions següents en x 3:
4. En la gràfica (fig. 13.15) hem representat la funció f(x), derivada d’una certa funció f(x). Quina és l’expressió algèbrica de f(x)? I la de f(x)? Pots trobar-ne més d’una?
5(√ x h √ x )(√ x h √ x )lim————–––––––––––––––––———
h→0 h(√ x h √ x )
5(x h x) 5hlim———–––––––––— lim——––––—–––––—
h→0h(√ x h √ x ) h→0h(√ x h √ x )
5 5lim——––––––––––— —––—
h→0 √ x h √ x 2√ x
7. Indica raonadament el signe de la funció f(x) corresponent a la funció f(x) representada en la gràfica de la figura 13.16, en cadascun dels intervals següents:
12. Representa gràficament les funcions f(x) 2x 3 i g(x) 2x 3. Què obtens?
Quina de les dues funcions creix més de pressa al voltant de x 0? I al voltant de x 10? Procura respondre les dues últimes qüestions sense fer cap càlcul i argumenta’n la resposta.
5.Amb les dades de la taula 14.3, comprova les propietats de la mitjana, la variància i la desviació típica. Per ferho, suma 2 i multiplica per 3 cada valor de la variable.
Númerodecalçat Nombred’alumnes
353637384042
415172010 4
yx2
6
i1
yini
2777y——————— 39,67x2 n 70
6
i1
y2ini
y
2—————y2 n
110377————1573,8222 2,992
y
2
70
y√2,992 1,73x
z3x
6
i1
zi2ni
7911z——————— 113,013x n 70
6
i1
zj2ni
z
2————z2 n
895941————12772,23 26,9271
70
9x
232x
2
z√ 26,9271 5,193x
6.Les dades del consum de carburant d’una flota de camions al llarg d’un dia es poden observar a la taula de freqüències següent (taula 14.5):
8.La classificació final de la lliga de futbol de primera divisió de la temporada 19981999, després de 38 jornades, va ser:
Equips PG PE PP
1. Barcelona
2. R. Madrid
3. Mallorca
4. València
5. Celta
6. Deportivo
7. Espanyol
8. Athlètic
9. Saragossa
10. R. Societat
11. Betis
12. Valladolid
13. Atlético
14. Oviedo
15. Racing
16. Alavès
17. Extremadura
18. Vilareal
19. Tenerife
20. Salamanca
24
21
20
19
17
17
16
17
16
14
14
13
12
11
10
11
9
8
7
7
7
5
6
8
13
12
13
9
9
12
7
9
10
12
12
7
12
12
13
6
7
12
12
11
8
9
9
12
13
12
17
16
16
15
16
20
17
18
18
25
Representa el diagrama de dispersió de les distribucions bidimensionals següents. Quin tipus de relació, directa o inversa, hi ha entre les dues variables en cadascun dels tres casos?
9.Calcula xy de l’exemple de la taula 14.6 utilitzant la primera de les expressions de la covariància.
5
i1
(xix)(yiy)ni
21,8xy———————————
n 50
0,436
10.Donada la taula:
xi 4 6 8 12
yi 2 3 4 6
Justifica mitjançant el càlcul de r, i sense dibuixar el núvol de punts, que els punts del diagrama de dispersió de la distribució se situen en una línia recta creixent.
xy 4,375r——————————————
xy 2,95803991,4790199
4,375———1
4,375
Elnúvoldepuntssónelspuntsd’unarectacreixent.
11.A partir d’aquest experiment amb dues variables:
xi 0 4 6 8 12 14 16 22 26
yi 4 3 8 6 7 13 2 11 0
a) Calcula la covariància i el coeficient de correlació lineal.
9
i1
xiyi
648xy————xy——126
n 9
72720
xy 0r——————0
xy xy
b) Dibuixa el diagrama de dispersió.
c) Relaciona el valor del coeficient amb els punts del diagrama de dispersió.
Nohiharelació,jaquer0.
12.Les alçades en polzades de 12 pares i els seus fills són les següents:
Pares 65 63 67 64 68 62
Fills 68 66 68 65 69 66
Pares 70 66 68 67 69 71
Fills 68 65 71 67 68 70
Calcula el coeficient de correlació lineal i extreu conclusions sobre la relació entre les dues variables estudiades.
xy 3,3611111r———————————0,7027
xy 2,65621,80085
La relació entre lesdues variables és linealdirecta i bastantforta.
b) Multiplica cada valor de xi de la taula per 2 i sumali 6; multiplica cada valor de yi per 3 i restali 15. Troba el coeficient de correlació entre els dos nous sistemes de valors i explica per què s’obté o no el mateix resultat que abans.
17.Els pesos i les alçades de 12 alumnes són els que figuren en la taula següent:
Pesenkg Alçadaencm
706372606670746562676568
155150180135156168178160132145139152
a) Calcula el coeficient de correlació lineal.
X:«pes»,Y:«alçada»
xy 51,361275r———————————
xy 3,9965314,88754
0,8632
b) Escriu l’equació de cadascuna de les dues rectes de regressió.
xyyy———(xx)
x
2
51,361113y154,16
(
————(x66,83
(
) → 15,9723
→ y3,22x60,75
xyxx———(yy)
y
2
51,361113x66,83
(
————(y154,16
(
) → 221,639
→ x0,23y31,11
c) Dedueix l’alçada d’un o d’una alumna que pesa 64 kg.
x64kg
y3,226460,75145,1cm
d) Estima el pes d’un o d’una alumna que mesura 162 cm.
y162cm
x0,2316231,1168,6kg
18.Un centre comercial sap els clients que el poden visitar en funció de la distància, en quilòmetres, a què se situï d’un nucli de població, segons les dades que figuren a la taula següent:
Nre.declients(centenars)
8 7 6 4 2 1
Distància(quilòmetres)
15 19 25 23 34 40
X:«distància»,Y:«nombredeclients»
a) Calcula la covariància i el coeficient de correlació lineal.
6
i1
xiyi
xy————xy n
603——264,6
(
20,8333 6
xyrxy———
xy
20,8333————————0,95017
8,56352,5604
b) Dibuixa el diagrama de dispersió.
c) Si el centre comercial se situa a 30 km, quants clients pot tenir?
20.L’alçada mitjana d’una mostra de pares és d’1,68 m, amb una desviació tipus de 5 cm, i l’alçada mitjana d’una mostra dels seus fills és d’1,70 m, amb una desviació tipus de 7,5 cm. El coeficient de correlació entre les alçades de pares i fills és 0,7.
21.En una fàbrica de components electrònics s’han seleccionat 12 treballadors, entre els que havien entrat a treballar durant els tres últims mesos, s’ha observat el nombre de peces defectuoses que havien produït, i se n’ha obtingut la taula següent:
Nombredesetmanestreballades(X)
Nombredepecesdefectuoses( Y)
7 9 614 81210 4 211 1 8
262028162318242638223225
a) Determina l’equació de la recta de regressió y ax b.
xyyy———(xx)
x
2
19,72
(
y24,83
(
———(x7,6
(
) → 14,2219
→ y 1,39x35,46
b) Estima el nombre de peces defectuoses que produiria un treballador amb cinc setmanes d’experiència.
x5 → y 1,39 535,46
29pecesdefectuoses
22.Per què els quocients de les divisions entre els coeficients de x i de y de les rectes de regressió donen sempre com a resultat un nombre positiu? Què passaria en el cas que tots dos quocients fossin iguals a 1? Raona les respostes.
Perquèelscoeficientsaictenenelmateixsigne.
Lesduesvariablestindrienlamateixadesviaciótipus:
a y
2
—1 → ——1 c
x
2
x
2y
2 → xy
23.Les equacions de les rectes de regressió d’una distribució bidimensional són:
11y 7x 6, la de Y sobre X
2x 3y 1, la de X sobre Y
a) Troba r i indica el tipus de relació que hi ha entre les dues variables.
11y 7x6 → 7 6 → y——x—— →
6 11 11 xy 7 → a—— ——
x
2 11
2x 3y1 → 3 1 → x—y— → 2 2 xy 3 → c—— —
y
2 2
7 3r√ ac√
——— 11 2
21√
——0,977
22
Larelacióéslinealdirectamoltforta.
b) Calcula la mitjana de cadascuna de les variables.
7 6 y ——x—— 11 11 3 1 x —y— 6 2 2
3 7 6 1x ———x———
2 11 11 2 21 9 1
x——x——— 22 11 2 1 29
——x —— → x 29 → y19 22 22
x 29 , y19
c) Dedueix quina de les dues variables té una desviació típica més gran.
24.De dues variables, X i Y, es té la informació següent: la variància de X és 3, la mitjana i la desviació tipus de Y són 1 i 2, respectivament, i l’equació de la recta de regressió de Y sobre X és 2x 3y 6.
x
23 , y1 , y2 ,
22x3y6 → y —x2
3
Troba:
a) La mitjana de X. 2y1 → 1 —x2 → 3 3 3
→ x— → x— 2 2
b) La covariància de X i Y.
xy 2a——— →
x
2 3
2 2→ xy —
x
2 —3 2 3 3
c) El coeficient de correlació lineal.
xy 2 1r————— —— 0,57735
xy √32 √ 3 d) L’equació de la recta de regressió de X sobre Y.
xyxx———(yy) →
y
2
3 2→ x— ——(y1)
2 4
3 1x— —(y1) →
2 2
3 1 1→ x— —y— →
2 2 2
1→ x —y2
2
Activitatsfinals 1.Els 30 alumnes d’una classe de primer de batxillerat van
obtenir les notes següents en dues proves diferents de matemàtiques:
La primera nota de cada parell correspon a la primera prova, que està puntuada sobre 100 punts, i la segona nota és de la segona prova, puntuada sobre 50 punts.
a) Dibuixa el diagrama de dispersió.
b) Calcula el coeficient de correlació lineal.
xy 103,36779r—————————— 0,7737
xy 17,61917,5828
c) Compara els dos resultats per donar la màxima informació sobre la relació existent entre les dues notes.
La relacióentre lesduesnotesés lineal,directa ibastantforta.
2.A partir de la taula de valors següent, calcula el coeficient de correlació lineal i analitza’n el significat. Escriu l’equació de cadascuna de les dues rectes de regressió.
b) Quina predicció podem fer sobre el consum d’energia per càpita a Grècia si sabem que en aquest país la renda és de 4,4 milers de dòlars? És fiable la predicció obtinguda?
YsobreX: xy
yy———(xx)
x
2
2,5078y4,36
(
————(x8,63
(
) → 6,0755
→ y 0,413x0,803
x4,4 → y0,4134,40,803
2,6milersdekWh
Laprediccióésmoltfiable,jaquer1.
6.A partir d’un estudi estadístic realitzat a una mostra de 100 estudiants, s’ha observat una alçada mitjana de 155 cm, amb una desviació tipus de 15,5 cm. A més, es va obtenir la recta de regressió de X (pes en quilograms) sobre Y (alçada en centímetres):
2 160x —y ——
3 3
Determina:
a) El pes mitjà dels 100 estudiants.y155cm →
2 160→ x—155——50 →
3 3
→ x50kg
b) La covariància de X i Y.
2 xy——— → 3
y
2
2 2→ xy—
y
2—15,52160,16
(
3 3
c) El signe del coeficient de correlació entre el pes i l’alçada.
r0perquèxy0.
7.A les biblioteques de sis poblacions s’ha analitzat l’afluència de lectors (X en milers de persones) i el nombre de llibres prestats (Y). Les dades es recullen en la taula següent:
X 0,5 1 1,3 1,7 2 2,5
Y 180 240 250 300 340 400
a) Quina és la mitjana del nombre de llibres prestats en el conjunt de totes les biblioteques?
6
i1
yi 1710y——————285llibres
n 6
b) Escriu la recta de regressió que expressa el nombre de llibres que hi ha en préstec en funció de l’afluència de lectors.
YsobreX: xy
yy———(xx)
x
2
46,6
(
y285———(x1,5) → 0,43
→ y 108,53x122,21
c) Si acudissin 1500 lectors a una biblioteca, quants llibres es deixarien en préstec?
8.La creixent inclinació de la torre de Pisa ha generat nombrosos estudis sobre la seva futura estabilitat. En la taula següent es presenten les mesures de la seva inclinació entre els anys 1978 i 1982. Les dades d’inclinació s’han codificat com a dècimes de mil.límetre que depassen els 2,9 m, de manera que la inclinació l’any 1978, que va ser de 2,9667 m, apareix en la taula com a 667.
Any Inclinació Any Inclinació
19781979198019811982
667673688696698
19831984198519861987
713717725742757
X:«anys»;Y:«inclinació»
a) Creus que la inclinacio de la torre té una tendència lineal que augmenta amb el temps? Justifica’n la resposta.
c) El 1918 la inclinació de la torre era de 2,9071 m. Quin seria el valor ajustat segons la recta que has obtingut en l’apartat anterior? A què és deguda la diferència entre els dos valors?
11.En una mostra de dotze individus s’han estudiat dues variables, de les quals sabem que:
x 6 , x √ 6 ,
12
i1
yi2 380
Al mateix temps, se sap que l’equació de la recta de regressió que expressa X en funció de Y és:
x 0,89y 1,55
Calcula:
a) La mitjana i la variància de la variable Y.x6 → 60,89y1,55 →
4,45→ 0,89y4,45 → y———5 →
0,89
→ y5
yi
2 380
y
2——y2——256,6
(
n 12
b) La covariància i el coeficient de correlació lineal.
xy xyc—— → 0,89—— →
y
2 y
2
→ xy0,89y
20,896,6
(
5,93
(
xy 5,93(
r———————— 0,93814 xy √ 6√ 6,6
(
c) L’equació de la recta de regressió de Y sobre X. xy
yy———(xx) →
x
2
5,93
(
→ y5———(x6) 6
y5 0,98
(
(x6) →
→ y5 0,98
(
x5,93
(
y0,98
(
x0,93
(
Avaluació
1. Si estudiem les qualificacions de matemàtiques i educació física dels alumnes d’un centre obtenim un coeficient de correlació entre dues variables igual a 0.02. Com interpretaries aquest resultat?
El signe negatiu indica una posició decreixent dels punts, elvalortantpropera0indicamoltpocacorrelaciólineal.
2. Explica què significa distribució bidimensional, posa’n un exemple.
Respostaoberta.
3. La mitjana dels pesos d’una població és de 65 kg i la de les altures és de 170 cm, les desviacions típiques són de 5 kg i 10 cm, respectivament, i la covariància d’ambdues variables és de 40. Calcula la recta de regressió dels pesos respecte de les altures. Què pots preveure que pesarà un individu de 180 cm d’alçada?
y0,4x3
Perunindividude180cmd’alçadaelpesseria69kg.
4. En 4 viatges del trajecte BarcelonaGirona un conductor ha observat les velocitats mitjanes i els consums de gasolina següents:
Activitats 1.Escriu l’espai de successos S associat a l’experiment aleatori
E: «llançar una moneda enlaire».
S{{c},{x},{c,x},∅}
2.Utilitzant nombres combinatoris, demostra que el nombre de successos associats a un experiment aleatori de 3, 4 i n elements és, respectivament, 8, 16 i 2n.
3.Es consideren els successos A: «obtenir un nombre primer» i B: «obtenir un nombre més petit que 10» de l’experiment aleatori E: «treure una bola d’una urna amb 20 boles numerades de l’1 al 20».
a) Defineix A i B per extensió.
A{2,3,5,7,11,13,17,19}
B{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
b) Troba els successosA,
B, A B, A B,
A B,
A B,A B i B A
A{1,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20}
B{10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
AB{1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,13,17,19}
AB{2,3,5,7}
AB{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,15,16,
18,20}
AB{2,3,5,7,10,11,12,13,14,15,16,17,18,
19,20}
AB{11,13,17,19}
BA{1,4,6,8,9}
c) Defineix els successos de l’apartat b) per comprensió.
A:«obtenirunnombrecompost»
B:«obtenirunnombremajorque9»
AB:«obtenirunnombreprimeroméspetitque10»
AB:«obtenirunnombrecompostoméspetitque10»
AB:«obtenirunnombrecompostoméspetitque10»
AB:«obtenirunnombreprimeromajorque9»
AB:«obtenirunnombreprimeromajorque10»
BA:«obtenirunnombreméspetitque10inoprimer»
4. Justifica raonadament:
a) A B A i A B B SemprequeesverificaABesverificaA iesverificaB,
aleshoresABAiABB.
b) A A B i B A B SemprequeesverificaAesverificaAB,aleshoresAA
B,isemprequeesverificaBesverificaAB;pertant,BAB.
c) A B A B SemprequeesverificaABesverificaAiesverificaB,ales-
horestambéesverificaAB;pertant,ABAB.
d) A A, A i B Qualsevolsuccèsestàinclosensímateix.Elsuccèsimpossi-
bleestainclòssempreenqualsevolsuccès.
5.Demostra que A B i B A constitueixen successos incompatibles.
(AB)(BA)(AB)(B
A)
A(BB)
AA
A
6. Justifica mitjançant diagrames les igualtats següents:
a) A B A (A B) A B
b) B A B (A B) A B
7.Demostra gràficament la propietat 7 de les operacions amb successos.
8.Si A i B són dos successos tals que A B, justifica que:
9.En l’experiment aleatori E: «llançar dos dardells a la diana», considerem els successos A: «fa diana amb el primer» i B «fa diana amb el segon». Expressa en funció d’A i B els successos:
a) Fa diana amb el primer, però no amb el segon.
AB
b) Fa diana amb algun dels dos.
AB
c) Falla tots dos.A
B
d) Fa diana amb només un.
(AB)(BA)
10.En l’experiment aleatori «extreure una carta d’una baralla de 48 cartes», calcula la probabilitat dels successos següents:
22.Indica la probabilitat de la unió de dos successos independents.
p(AB)p(A)p(B)p(AB)
p(A)p(B)p(A)p(B/A)
p(A)p(B)p(A)p(B)
23.Calcula la probabilitat p(B/A) en aquests casos:
a) A B
AB → ABA →→ p(AB)p(A)
D’on: p(AB)
p(B/A)—————1 p(A)
b) A B
AB → p(AB)0
D’on: p(AB)
p(B/A)—————0 p(A)
24.Tenim una caixa amb 5 cargols de capçal rodó, dos dels quals són defectuosos, i 8 cargols de capçal quadrat, dels quals només 3 són correctes. Escollim un cargol a l’atzar. Calcula la probabilitat:
Q:«obteniruncargoldecapçalquadrat»
D:«obteniruncargoldefectuós»
a) Que sigui de capçal quadrat, si sabem que és correcte. 3 —— p(Q
D) 13 1
p(Q/D)—————————
p(D) 6 2
—— 13
b) Que sigui defectuós, si sabem que és de capçal rodó.
2 —— p(D
Q) 13 2
p(D/Q)—————————
p(Q) 5 5
—— 13
25.Disposem de 2 bosses amb boles blanques, vermelles i negres. En una bossa hi ha 3 boles blanques, 4 vermelles i 5 negres. L’altra bossa conté 5 boles blanques, 7 vermelles i 2 negres. Si agafem una bola de cada bossa, quina probabilitat hi ha que siguin del mateix color?
B:«obtenirbolablanca»
V:«obtenirbolavermella»
N:«obtenirbolanegra»
S:«obtenirlesduesbolesdelmateixcolor»
p(S)
p(B1B2)p(V1V2)p(N1N2)
p(B1)p(B2)p(V1)p(V2)
1 5 1 1p(N1)p(N2)—————
4 14 3 2
5 1———
12 7
5 1 5 53———————
56 6 84 168
26.A les últimes eleccions municipals, a la ciutat A els grocs han obtingut el 20% dels vots; els verds el 30%, i els grisos el 50%. A la ciutat B, els percentatges respectius han estat: 40%, 45% i 15%. Escollim una de les dues ciutats a l’atzar i una persona que hi visqui. Quina probabilitat hi ha que aquesta persona hagi votat el partit groc? Suposant que la persona escollida hagi votat efectivament el partit groc, quina probabilitat hi ha que visqui a la ciutat A?
27.Un joier compra els rellotges a dues cases proveïdores. La primera li serveix el 60% dels rellotges, dels quals el 0,4% són defectuosos. La segona li proporciona la resta, essentne defectuosos l’1,5%. Un dia, el joier, quan es disposa a vendre un rellotge, observa que no funciona. Troba la probabilitat que el rellotge procedeixi de la segona casa proveïdora. Si el rellotge venut funcionés correctament, troba la probabilitat que provingui del primer proveïdor.
A: «escollirunrellotgedelaprimeracasaproveïdora»
B: «idemdelasegonacasaproveïdora»
D: «escollirunrellotgedefectuós»
p(B) p(D/B)
p(B/D)—————————————— p(A)p(D/A)p(B)p(D/B)
0,40,015———————————
0,60,0040,40,015
0,006———0,7143
0,0084
p(A)p(D/A)
p(A/D)——————————————
p(A)p(D/A)p(B)p(
D/B)
0,60,996 0,5976——————————————0,6027
0,60,9960,40,985 0,9916
28.En un institut s’organitza una excursió a una estació d’esquí. El 65% dels alumnes viatjarà en un autobús gran i la resta ho farà en un de petit. Es coneix que el 90% dels alumnes que viatja a l’autobús petit sap esquiar, mentre que dels alumnes que viatgen a l’autobús gran saben esquiar el 60%. S’escull un o una alumne/na a l’atzar i resulta que no sap esquiar. Quina probabilitat hi ha que viatgi a l’autobús petit? I si sap esquiar, quina probabilitat hi ha que viatgi al gran?
G:«escollirunalumnedel’autobúsgran»
S:«escollirunalumnequesapesquiar»
0,6 S
0,65 G
0,4S
0,9 S
0,35G
0,1S
p(G)p(
S/
G)
p(G/
S)——————————————
p(G)p(S/G)p(
G)p(
S/
G)
0,350,1 0,035——————————————0,1186
0,650,40,350,1 0,295
p(G)p(S/G)p(G/S)——————————————
p(G)p(S/G)p(G)p(S/
G)
0,650,6 0,39——————————————0,553
0,650,60,350,9 0,705
Puntfinal
Aplicant els continguts de la probabilitat estudiats en aquesta unitat, calcula les probabilitats dels successos plantejades pel cavaller De Méré a Blaise Pascal, és a dir, la probabilitat d’obtenir almenys un sis quan llancem un dau quatre vegades, i la probabilitat d’obtenir almenys un doble sis quan llancem dos daus 24 vegades.
Enllançarundauquatrevegades,esdefineix:
A: «obteniralmenysunsis»
453652451p(A)———————————
64
500150201 671—————————————0,5177
1296 1296
Enllançardosdaus24vegadesesdefineix:
B:«obteniralmenysundoblesis»
35p(B)1——
24
10,50860,4914 36
p(A)p(B)
Activitatsfinals
1.Si A i B són dos successos tals que p(A) 0,4; p(
2.Suposem que A i B són dos successos independents tals que la probabilitat que succeeixi algun dels dos és de 0,7 i la probabilitat que succeeixin tots dos alhora és de 0,2. Calcula p(A) i p(B).
p(AB)p(A)p(B)p(AB) →→ p(A)p(B)p(AB)p(AB)
0,70,20,9
Enserindependents:
p(AB)p(A)p(B) →→ p(A)p(B)0,2
p(A)p(B)0,9 6 p(A)p(B)0,2
p(A)0,5,p(B)0,4 o
p(A)0,4,p(B)0,5
3.Dels successos A i B sabem que
1p(
A
B) —;
5 2 3
p(A) —; p(B) —
3 4
Calcula:
a) p(A B)
p(AB)1p(
AB)
1 41p(
A
B)1——
5 5 b) p(A B)
p(AB)p(A)p(B)p(AB) →
→ p(AB)
p(A)p(B)p(AB)
2 1 4 7—————
3 4 5 60 c) p(B/A)
7 —— p(AB) 60 7
p(B/A)—————————— p(A) 2 40 — 3 d) p(A/B)
p(AB)p(A/B)—————
p(B)
7 —— 60 7
————— 1 15 — 4
e) p(A/B)
p(A/B)1p(A/B)
7 81————
15 15 f) p(A/
B)
p(AB)
p(A/B)—————
p(B)
2 7 ——— p(A)p(AB) 3 60
——————————————— p(
B) 3
— 4 11 —— 20 11
————— 3 15 — 4
4.Demostra que, si A i B són dos successos independents, també ho són els successos
A i
B.
p(A
B)p(
AB)1p(AB)
1[p(A)p(B)p(AB)]
1[p(A)p(B)p(A)p(B)]
1{1p(A)1p(
B)
[1p(A)][1p(
B)]}
p(A)1p(
B)[1p(
A)][1p(
B)]
p(A)1p(
B)1p(
A)p(
B)
p(A)p(
B)p(
A)p(
B)
5.Calcula la probabilitat que en llançar quatre vegades un mateix dau la suma dels punts obtinguts sigui diferent de 4 i de 24.
A:«obtenirunasumadepuntsiguala4o24»
A{(1,1,1,1),(6,6,6,6)}
2 2 1p(A)—————— →
64 1296 648
1 647→ p(
A)1p(A)1————
648 648
6. En una sala en què hi ha 20 persones, 14 de les quals llegeixen el diari, 10 prenen cafè i 8 fan totes dues coses. Si seleccionem dues persones a l’atzar, calcula la probabilitat que:
a) Totes dues prenguin cafè i no llegeixin el diari.
A:«duespersonesprenguincafèinollegeixineldiari»
C2,2 1p(A)———————
C20,2 2019 ——— 2
1 1—————
1019 190
b) Totes dues només facin una de les dues coses.
B:«lesduesnomésfacinunacosa»
C6,2C2,262p(B)—————————
C20,2
65 ——112 2 15112
—————————————— 1019 190
28 14————
190 95
c) Cap de les dues no faci res.
C:«capdelesduesnofacires»
43 —— C4,2 2 23
p(C)——————————— C20,2 1019 1019
3 3—————
519 95
d) Totes dues facin ambdues coses.
D:«lesduesfacinlesduescoses»
87 —— C8,2 2 47
p(D)——————————— C20,2 1019 1019
27 14—————
519 95
7.Determina la probabilitat d’obtenir a la Loteria primitiva 6 encerts, 5 encerts i el complementari, i 4 encerts jugant una sola combinació de 6 nombres.
A:«6encerts» 1 1
p(A)———————— C49,6 13983816
B:«5encertsielcomplementari»
C6,51 6 1p(B)————————————
C49,6 13983816 2330636
C:«4encerts»
C6,4C43,2 13545 645p(C)——————————————
C49,6 13983816 665896
8.Calcula la probabilitat que en llançar un dau la suma dels punts de les cares visibles sigui més gran que 18.
9.D’una caixa que conté 5 boles numerades de l’1 al 5:
a) Extraiem una bola rere l’altra fins a treureles totes. Quina probabilitat hi ha que surtin en l’ordre natural?
A:«quesurtinenordrenatural»
1 1 1p(A)—————
P5 5! 120 b) S’extreu una bola i es retorna a la caixa, i es repeteix
això cinc vegades. Quina és ara la probabilitat que surtin en l’ordre natural? Quina probabilitat hi ha que surti les cinc vegades la mateixa bola?
1 1 1p(A)———————
VR5,5 55 3125
B:«quesurtilamateixabola»
5 5 1 1p(B)———————
VR5,5 55 54 625
10.Cinc persones es troben a l’interior d’un ascensor situat a la planta baixa d’un edifici que consta de planta baixa i sis pisos. Suposant que totes tenen la mateixa probabilitat de baixar en qualsevol dels sis pisos, calcula les probabilitats següents:
a) Que totes les persones baixin al mateix pis.
A: «quetotesbaixinenelmateixpis»
1 6 1p(A)6—5
—— 6 65 64
1———0,000772
1296
b) Que no baixi ningú als tres primers pisos.
B: «quenobaixiningúalstresprimerspisos»
5 5 5p(B)—5
—5
—5
6 6 6
5—15
0,0649 6 c) Que als cinc primers pisos baixi una persona a cada pis.
12.a) Quan llancem dos daus, quina probabilitat hi ha d’obtenir un nombre de punts la suma dels quals sigui 9? I que la suma sigui múltiple de 3?
A:«sumadepuntsiguala9»
4 1p(A)———
36 9
B:«sumasiguimúltiplede3»
12 1p(B)———
36 3
b) Si en llançar dos daus ha sortit un nombre de punts la suma dels quals és un múltiple de 3, calcula la probabilitat que la suma sigui 9.
4 —— p(AB) 36
p(A/B)———————— p(B) 12 —— 36
4 1———
12 3
13.En una facultat universitària, el 25% dels estudiants ha suspès les matemàtiques, el 15% ha suspès la química i el 10% ha suspès totes dues assignatures. Si seleccionem un alumne o una alumna a l’atzar, determina la probabilitat que:
M:«hagisuspèslesmatemàtiques»
Q:«hagisuspèslaquimica»
1 3 1p(M)—, p(Q)——, p(MQ)——
4 20 10
a) Suspengui les matemàtiques, si ha suspès la química. 1 —— p(MQ) 10 2
p(M/Q)————————— p(Q) 3 3 —— 20
b) Suspengui la química, si ha suspès les matemàtiques. 1 —— p(MQ) 10 2
p(Q/M)————————— p(M) 1 5 — 4
c) Suspengui les matemàtiques o la química.
p(MQ)p(M)p(Q)p(MQ)
1 3 1 6 3—————————
4 20 10 20 10
14.Un automòbil, abans de sortir al mercat, se sotmet a tres controls de qualitat: mecànic, elèctric i de planxa. La probabilitat que fallin els controls és, respectivament, 0,02, 0,01 i 0,07. Si la fàbrica treu al mercat 500 cotxes cada any, quants automòbils sortiran amb algun defecte?
15.Disposem d’una moneda trucada, en la qual la probabilitat que surti cara és el doble de la probabilitat que surti creu; una caixa A amb 5 boles vermelles, 3 de blanques i 4 de grogues i una altra caixa B amb 4 boles vermelles, 2 de blanques i 6 de grogues. Llancem la moneda enlaire, si surt cara traiem 2 boles consecutivament de la caixa A, i si surt creu les traiem de la caixa B. Calcula la probabilitat que:
a) Surti creu quan llancem la moneda.
p(C)p(X)1 6 p(C)2p(X)
2p(X)p(X)1 → 3p(X)1 →
1 2→ p(X)—,p(C)—
3 3
b) Surtin dues boles del mateix color.
S:«lesduesbolesdelmateixcolor»
2 5 4 1 2p(S)————————
3 12 11 4 11
1 3 1 1 3———————
3 11 3 3 11
1 1 1 5—————— 6 11 2 11
2 5 1 1——————— 3 33 22 11
1 1 1 5——————— 3 11 66 22
2 19 1 1 19 1————————
3 66 3 3 99 9
30 10————
99 33
c) Surtin una bola blanca i l’altra groga.
T:«surtinunabolablancail’altragroga»
2 1 4 1 3p(T)———————
3 4 11 3 11
1 1 6 1 2——————— 3 6 11 2 11
2 1 1 1 1 1—————————— 3 11 11 3 11 11
2 2 1 2——————
3 11 3 11
2 1 2 2——————
3 3 11 11
d) Surtin una bola vermella i una altra blanca, en aquest ordre.
16.Un ordinador personal està contaminat per un virus i està carregat amb dos programes antivirus P1 i P2, que actuen independentment, l’un després de l’altre. El programa P1 detecta la presència del virus amb una probabilitat de 0,9 i el programa P2 el detecta amb una probabilitat de 0,8. Quina probabilitat hi ha que no es detecti el virus?
A:«noesdetectielvirus» → AP1
P2
p(A)p(P1
P2)p(
P1)p(
P2)
0,10,20,02
17.Disposem de dues caixes A i B. La caixa A conté 4 boles blanques i 2 boles negres i a la caixa B hi ha 3 boles blanques i 5 de negres. Escollim una caixa a l’atzar i traiem una bola, a continuació, la introduïm a la caixa no escollida i traiem una altra bola d’aquesta caixa. Calcula la probabilitat que:
18.Es realitza un sorteig entre tres alumnes. Per establirne el guanyador, s’escriu en un paper la paraula premi i es deixen dos paperets en blanc. Què és preferible, escollir primer, segon o tercer?
Si:«treurepremiescollitenellloci»,i1,2,3
1 1r → p(S1)— 3
2n → p(S1S2)
2 1 1 p(
S1)p(S2/
S1)———
3 2 3
3r → p(S1
S2S3)
p(
S1
S2)p(S3/(
S1
S2))
p(
S1)p(
S2/
S1)p(S3/(
S1
S2))
2 1 1 ——1— 3 2 3
Noimporta,jaquelaprobabilitatéslamateixa.
19.a) Calcula la probabilitat que la suma dels punts obtinguts sigui 4 quan llancem un dau, quan en llancem 2, quan en llancem 3 i, finalment, quan en llancem 4.
A:«obtenir4punts»
1 Enllançarundau:P(A)— 6
3 1 Enllançardosdaus:P(A)———— 36 12
3 1 Enllançartresdaus:P(A)———— 216 72
1 Enllançarquatredaus:P(A)——— 1296
b) Un senyor ha llançat un nombre desconegut de daus, entre 1 i 4, i la suma dels punts obtinguts ha estat 4. Quina probabilitat hi ha que hagi llançat dos daus?
20.D’una cistella en què hi ha 20 pomes, 4 de les quals estan macades, en cau una en una altra cistella en què hi havia 6 pomes macades i 18 en bon estat. Escollim una poma de la segona cistella i no està macada. Quina probabilitat hi ha que la poma que ha caigut de la primera cistella fos bona?
21.En un institut el 65% dels alumnes són noies. El 10% dels nois no practica cap esport, mentre que el 70% de les noies fa esport. Escollim un o una alumne/na a l’atzar i resulta que fa esport. Quina probabilitat hi ha que sigui noia? I que sigui noi si no fa esport?
22.Disposem de tres monedes. La primera té dues cares; a la segona la probabilitat de sortir cara i de sortir creu és la mateixa, i a la tercera la probabilitat que surti cara és del 30%. S’escull una d’aquestes tres monedes a l’atzar i es llança enlaire. Sabent que ha sortit cara, calcula la probabilitat que la moneda escollida hagi estat la primera.
p(M1/C)
p(M1)p(C/M1)——————————————————————
p(M1)p(C/M1)p(M2)p(C/M2)p(M3)p(C/M3)
1 —1 3
—————————————— 1 1 1 1 3 —1————— 3 3 2 3 10
1 1 — — 3 3 5
———————————— 1 1 1 3 9 ———— — 3 6 10 5
23.En una determinada fàbrica d’electrodomèstics s’ha detectat que un de cada 100 frigorífics té un defecte al sistema de congelació. Per solucionar el problema, es posa en marxa un dispositiu per poder detectar aquest defecte abans que el frigorífic surti al mercat. No obstant això, aquest dispositiu no és fiable del tot, concretament, si el frigorífic té el defecte, el dispositiu el detecta en el 95% dels casos, mentre que si no el té, el dispositiu el dóna com a defectuós en un 2% de les vegades. Si el dispositiu de control indica que un frigorífic és defectuós, quina probabilitat hi ha que el frigorífic no tingui cap defecte?
D:«quesiguidefectuós»
S:«quedetectieldefecte»
p(D)p(S/
D)
p(D/S)——————————————
p(D)p(S/
D)p(D)p(S/D)
0,990,02———————————
0,990,020,010,95
0,0198————0,675768
0,0293
24.En una població, el 30% dels habitants pateix una malaltia. Es realitza una prova per diagnosticarla i s’anomenen A i B els dos únics resultats possibles de la prova. Se sap que si la prova es fa a un individu que té la malaltia, la probabilitat que el resultat sigui A és del 90%, però si es fa a un individu sa, la probabilitat que el resultat sigui A és del 5%.
M:«quetinguilamalatia»
a) Es fa la prova a un individu seleccionat a l’atzar. Quina probabilitat hi ha que el resultat sigui B?
p(B)p(MB) p(MB)
p(M)p(B/M)p(M)p(B/
M)
0,30,10,70,95
0,030,6650,695
b) Es fa la prova a una persona i s’obté com a resultat B. Quina probabilitat hi ha que no tingui la malaltia?
p(MB)
p(M/B)—————
p(B) p(
M)p(B/
M) 0,70,95
———————————— p(B) 0,695
0,665———0,95683
0,695
Avaluació
1. D’una baralla espanyola de 48 cartes en traiem una a l’atzar. Són independents els esdeveniments “treure un rei” i “treure una espasa”? Raona la resposta.
p(rei)4 148 12
=
p(espasa)12 148 4
= → p(rei)·p(espasa) p(rei ∩ espasa)
Sí,elsdosesdevenimentssónindependents.
p(rei ∩ espasa)148
2. Tenim una urna amb 4 boles blanques, 4 de negres i 2 de vermelles. En traiem 3 consecutivament, i retornem cada vegada la bola a la urna abans de treure la següent. Calcula la probabilitat que almenys dues siguin blanques
3. Un producte està format per tres parts A, B i C. En el procés de fabricació s’ha comprovat que la probabilitat que aparegui un defecte a A és 0,03, un defecte a B és 0,02 i un defecte a C és 0,01. Si sabem que els tres esdeveniments són independents, calcula la probabilitat que un producte elegit a l’atzar no tingui cap dels defectes.
DA:esdevenimenttenirundefecteenA
p(DA)0,03i ( )Ap D 0,97
DB:esdevenimenttenirundefecteenB
p(DB)0,02i ( )Bp D 0,98
DC:esdevenimenttenirundefecteenC
p(DC)0,01i ( )cp D 0,99
( )A B Cp D D D∩ ∩0,97·0,98·0,990,9411
4. En una cadena de muntatge hi ha una etapa on 3 robots A, B i C solden peces. La probabilitat que la soldadura sigui defectuosa i el percentatge de peces que solda ens la dóna la taula següent:
Robots Probabilitatdesoldaduradefectuosa
Pecesquesoldaelrobot
A 0,002 18%B 0,005 42%C 0,001 40%
Quin és el percentatge de soldadures defectuoses? Si escollim una peça i és defectuosa en la soldadura, quina és la probabilitat que l’hagi soldat el robot C?
a)Sianomenemd:esdevenimentdefectuósenlasoldadura
p(d)p(A)·p(d|A)p(B)·p(d|B)p(C)·p(d|C)
0,18·0,0020,42·0,0050,40·0,0010,00286
b)AplicantelteoremadeBayes
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) |( | )
| | |0,40 0,001 0,0004
0,13990,4 0,001 0,18 0,002 0,42 0,005 0,00286
p C p d Cp C d
p C p d C p A p d A p B p d B
⋅= =
⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅ = =
⋅ + ⋅ + ⋅
jUnitat16.Distribuciódeprobabilitat
Activitats 1.Llancem una moneda enlaire quatre vegades. Definim la va
riable aleatòria X com el nombre de cares que surtin.
a) Determina la funció de probabilitat i la funció de distribució de la variable X.
1 1p[X0]——; p[X1]—;
16 4
3 1p[X2]—; p[X3]—;
8 4
1p[X4]——
16
0 six0
1 —— si0x1 16
5 —— si1x2
F(x)
5 16
11 —— si2x3 16
15 —— si3x4 16
1 six4
b) Representa gràficament la funció de probabilitat i la funció de distribució.
c) Calcula l’esperança matemàtica i la desviació típica.
2.En l’experiment aleatori de llançar dos daus enlaire definim la variable aleatòria X com X(a, b) max(a, b), on (a, b) són els resultats que mostren els dos daus. Determina la funció de probabilitat i calcula l’esperança matemàtica.
xi1 2 3 4 5 6
pi
1——36
1——12
5——36
7——36
1—4
11——36
1 1 5
6
i1
xipi1——2——3——
36 12 36
7 1 11 1 14——5—6—————
36 4 36 36 6
5 7 5 11 161————————4,472
(
12 9 4 6 36
3.La funció de probabilitat d’una variable aleatòria discreta està expressada en aquesta taula:
xi2 1 0 2 4
pi
1—8
1—6
1—8
1—4
1—3
a) Determina la funció de distribució i representala gràficament.
0 six 2
1 — si2x1 8
7 —— si1x0
F(x)
5 24
5 —— si0x2 12
2 — si2x4 3
1 six4
b) Troba l’esperança, la variància i la desviació típica.
1 1 1
5
i1
xipi 2—1—0—
8 6 8
1 12—4—
4 3
1 1 1 4 17 ——————1,416
(
4 6 2 3 12
2 5
i1
xi
2pi 2
1 1 1 (2)2—(1)2—02—
8 6 8
1 1 17 22—42———2
4 3 12
1 1 16 289 ——1————
2 6 3 144
719—— 4,99305
(
144
719 √ 719√
—————2,2345
144 12
4.La variable aleatòria discreta uniforme és aquella que pren valors 1, 2, 3… n, amb probabilitats:
1pi — i 1, 2, 3... n
n
Calcula la funció de distribució, l’esperança i la desviació típica d’aquesta variable.
8.Una família de Tarragona té cinc fills. Suposant que la probabilitat que un dels fills sigui nen és 0,45, calcula la probabilitat que siguin:
X:«númerodenens» → B(5;0,45)
a) Tres nens i dues nenes.
5p[X3] 0,4530,552
3
100,0911250,30250,27565
b) Menys nens que nenes.
p[X2]p[X0]p[X1]p[X2]
5 5 5 0,555 0,450,554 0,4520,553 0 1 2
0,05032840,2058890,3369094
0,59313
c) Una sola nena.
5p[X4] 0,4540,55
4
50,04100630,550,11277
d) Cap nen. 5
p[X0] 0,5550,05033 0
9.El 2% dels articles produïts en una fàbrica és defectuós. Calcula el nombre esperat i també la desviació tipus d’articles defectuosos en una comanda de 10000 unitats.
1 X:«númerod’articlesdefectuosos» → B10000,—— 50
1 10000np10000—————
50 50
200articlesdefectuosos
1 49√ npq√
10000————
50 50
10472 1027 1007√
——————————
502 50 50
14articlesdefectuosos
10.Determina el nombre esperat de nenes en una família de vuit fills, si suposem igualment probable la distribució de sexes. Quina és la probabilitat que la família tingui el nombre esperat de nenes?
1 X:«númerodenenes» → B8,— 2 1
np8—4nenes 2
8 1 70 35 35p[X4] —8
—————— 4 2 28 27 128
11.Tenim un dau en forma de tetràedre, és a dir, amb quatre cares que són triangles equilàters. Numerem les cares de l’1 al 4 i considerem la variable aleatòria X: «nombre d’1» per a n 5.
a) Estudia la distribució binomial corresponent.
1 1p— → B5,— 4 4
b) Defineix les funcions de probabilitat i de distribució.
c) Calcula’n l’esperança i la desviació típica. 1 5
np5——1,25 4 4
1 3√ npq√
5——
4 4
√ 15——0,968246
4
12.El 3% de les peces elaborades per una màquina és defectuós. Les peces es venen en caixes de 25 unitats cadascuna. Quina és la probabilitat que una caixa contingui com a màxim una peça defectuosa?
3 X:«nombredepecesdefectuoses» → B25,—— 100
p[X1]p[X0]p[X1]
25 97 25 3 97 ——
25
————24
0 100 1 100 100
0,46697470,36106290,82804
13.Una determinada malaltia té un índex de mortalitat del 20 %. Si en un hospital hi ha sis persones afectades, calcula la probabilitat que almenys la meitat dels pacients sobrevisqui.
14.El 55 % dels treballadors d’un organisme oficial són dones. Per llei, el 25 % dels alts càrrecs han de ser dones. Si es trien 5 funcionaris a l’atzar, quina és la probabilitat que 3 siguin dones? I si la elecció només es fa entre els alts càrrecs?
11 X:«nombrededones» → B5,—— 20
5 11 9p[X3] ——
3
——2
3 20 20
113 92 107811010————————
203 202 205
1078110 107811—————————0,33691
3200000 320000
1 X:«nombrededones» → B5,— 4
5 1 3p[X3] —
3
—2
3 4 4
1 32 90 9010—————————
43 42 45 1024
45——0,08789
512
15.Si X representa una variable aleatòria contínua:
a) Demostra que f(x) és una funció de densitat:
1 — si 0 x 2 f(x) 5 2
0 si x [0, 2]
1. Per la mateixa definició de f(x), tenim que f(x) 0, x.
22.Tenint en compte que l’àrea que es dóna fa referència a una distribució normal N(0, 1), determina el valor o els valors de la variable Z en cadascun dels casos següents:
23. En una població s’estableixen dos grups A i B. Els quocients intel.lectuals d’ambdós grups es distribueixen segons N(100, 30) i N(120, 35), respectivament. S’escull un individu de cada grup de manera aleatòria i independent. Calcula:
X:«quocientintel.lectual grupA»
Y:«quocientintel.lectual grupB»
a) La probabilitat que l’individu del grup A tingui un quocient intel.lectual superior a 90.
p[X90]p[Z0,33]
p[Z0,33]0,6293
b) La probabilitat que l’individu del grup B tingui un quocient intel.lectual superior a 90.
p[Y90]p[Z0,86]
p[Z0,86]0,8051
c) La probabilitat que ambdós tinguin un quocient intel.lectual superior a 90.
p[X90]p[Y90]
0,62930,80510,50665
24.Suposem que el pes dels atletes de marató segueix una distribució normal N(62, 3,4).
X:«pesenkg»
a) Calcula la probabilitat que un atleta pesi més de 65 kg.
p[X65]p[Z0,88]
1p[Z0,88]10,81060,1894
b) El 70% dels atletes no supera un determinat pes. Quin és aquest pes?
p[Xx]0,7
p[Zz]0,7 → z0,52 →→ xz3,40,5262
63,768kg
25.Calcula la probabilitat d’obtenir entre 4 i 7 creus, ambdues incloses, en fer 12 llançaments d’una moneda utilitzant:
X:«nombredecreus»
a) La distribució binomial.
1 B12,— 2
p[4X7]p[X4]p[X5]p[X6]p[X7]
12 1 12 1 12 1 12 1 —12
—12
—12
—12
4 2 5 2 6 2 7 2 1 12 12 12 12
—— 212 4 5 6 7 1 3003 3003
——(495792924792)—————— 212 212 4096
0,73315
b) L’aproximació normal de la distribució binomial. 1 1 B12,—; np12—6; 2 2
26.Es llança un dau 180 vegades. Troba la probabilitat d’obtenir el número 6 entre 29 i 32 vegades (ambdues incloses).
1 B180,—; X:«nombrede6» 6 1 np180—30; 6 6
1 5 √ npq√
180——√ 255
6 6 N(30,5)
p[28,5X32,5]p[0,3Z0,5]
p[Z0,5]p[Z0,3]
p[Z0,5]p[Z0,3]
p[Z0,5](1p[Z0,3])
0,6915(10,6179)
0,69150,38210,3094
27.Tirem enlaire 500 vegades una moneda que ha estat trucada, 2 de manera que la probabilitat d’obtenir creu és —. Calcula 5 la probabilitat que el nombre de cares no difereixi de 300:
32.La probabilitat que un vaporitzador d’insecticida mati un mosquit és 0,75. Si dirigim el vaporitzador contra 100 mosquits, quina és la probabilitat de matarne almenys 75? I de matarne menys de 50?
B(100;0,75); X:«nombredemosquitsmorts»
np1000,7575;
√ npq√ 1000,750,25 √ 18,754,33
N(75;4,33)
p[X74,5]p[Z0,12]
p[Z0,12]0,5478
p[X50,5]p[Z5,66]0
Puntfinal
1Llancem una moneda p q — 200 vegades (n 200) i 2definim la variable X: «nombre de cares».
1X:«nombredecares» → B200,— 2 1np200—100 2
1 1√ npq√
200——7,07
2 2
N(100;7,07)
a) Quin serà el risc per a un interval de confiança d’amplitud 2l 20?
2l20 → l10
p[90X110]p[1,41Z1,41]2(p[Z1,41]0,5)2(0,92070,5)
20,42070,8414 →→ 10,84140,1586
d’ontenimque15,86%.
b) Si fem una predicció amb un risc del 5%, quin serà l’interval de confiança?
5% → p[100l1X100l1]
0,95peral1z1
p[X100l1]0,975
p[Zz1]0,975 →
→ z11,96 →
→ l17,071,9613,86
L’intervaldeconfiançaés:
(86,14;113,86)
c) Calcula el valor de l de l’interval de confiança per a 2,5 %.
2,5% → p[X100l2]0,9875
peral2z2
p[Zz2]0,9875 →
→ z22,24 →
→ l27,072,2415,84
Activitatsfinals 1. Troba la probabilitat d’obtenir:
a) Dos èxits mitjançant la distribució 1 B4, —. 3 X:«nombred’èxits» 4 1 2
p[X2]—2
—2
2 3 3
1 22 24 8 86———————
32 32 34 33 27 1 b) Més de tres èxits mitjançant la distribució B6, —. 2
p[X3]
p[X4]p[X5]p[X6]
6 1 6 1 6 1—6
—6
—6
4 2 5 2 6 2
1 22 11 11—6
(1561)—————— 2 26 25 32
1 c) Menys de dos fracassos mitjançant la distribució B4, —. 4
p[X2]p[X3]p[X4]
4 1 3 4 1—3
——4
3 4 4 4 4
1 3 1 12 14——————
43 4 44 44 44
13 13————
44 256
2 2.Un equip A té una probabilitat p — de guanyar un partit. 3 Si l’equip juga 6 partits, calcula la probabilitat que:
3. Llancem 10 daus alhora. Definim la variable aleatòria X: «nombre de daus en què s’obté la cara 1». Calcula:
1 B10, — 6
a) p[X 3]
10 1 5p[X3]—3
—7
3 6 6
1 57
120——0,15505 63 67
b) p[X 7]
p[X7]p[X7]
p[X8]p[X9]p[X10]
10 1 5 10 1 5—7—3
—8—2
7 6 6 8 6 6
10 1 5 10 1—9
——10
9 6 6 10 6
0,0002480,00001860,0000008
0,000000020,0002674
c) p[X 5]
p[X5]p[X0]p[X1]
p[X2]p[X3]p[X4]
10 5 10 1 5—10
——9
0 6 1 6 6
10 1 5 10 1 5—2—8
—3—7
2 6 6 3 6 6
10 1 5—4
—6
4 6 6
0,16150560,32301120,29071
0,15504540,05426590,98454
4.Determina el nombre esperat de respostes correctes en un examen tipus test de 10 preguntes. Cada pregunta consta de 4 possibles respostes, de les quals, només una és correcta i se suposa que cada pregunta es contesta a l’atzar.
1 B10,—;perX:«nombrederespostescorrectes» 4
1 np10—2,5respostescorrectes 4
5.Se sap que un determinat medicament millora els símptomes d’una malaltia en dos de cada tres pacients. Si administrem aquest medicament a set malalts, calcula la probabilitat que:
6.Estudis recents han confirmat que el 70% dels portadors del virus de la SIDA ha consumit algun tipus de droga. A la sala d’espera d’una consulta especialitzada en aquesta malaltia s’hi troben, en un cert moment, sis persones portadores del virus. Determina la probabilitat que cap de les sis persones hagi consumit drogues.
7.Se sap que només el 5% de les persones que visiten un logopeda són de classe social baixa. Si a la consulta d’un logopeda hi ha cinc persones, troba la probabilitat que:
X:«nombredepersonesdeclassesocialbaixa»
B(5;0,05)
a) Cap sigui de classe social baixa.
5p[X0]0,9550,773781
0
b) Almenys dues no siguin de classe social baixa.
p[X3]1p[X3]
1(p[X4]p[X5])
5 510,0540,950,055
4 5
1 (0,00002970,0000003)
10,00003000,99997
8.Sigui X una variable aleatòria contínua que segueix una distribució normal N(, ). Determina:
3p — X 2 2
3p— X 2
2
3p—Z2
2
p[Z2]p[Z 1,5]
p[Z2]p[Z1,5]p[Z2](1p[Z1,5])
0,9772(10,9332)0,97720,0668
0,9104
9.Demostra que el 99,74% del total de l’àrea de recinte que determina la funció de densitat amb l’eix OX en una distribució normal N(, ) es troba a l’interval:
( 3, 3)
p[3X3]p[3Z3]
2(p[Z3]0,5)2(0,99870,5)
20,49870,9974 → 99,74%
10.Troba la probabilitat que una variable cotínua prengui valors compresos entre 32 i 40 en una distribució N(50, 5).
p[32X40]p[3,6Z2]
p[2Z3,6]p[Z3,6]p[Z2]
0,999840,97720,02264
11.La durada de l’embaràs de les dones segueix una distribució normal, amb una mitjana de 266 dies i una desviació tipus de 16 dies. Calcula el percentatge d’embarassos amb una durada màxima de 244 dies.
X:«duradadel’embaràsendies» → N(266,16)
p[X244]p[Z1,38]p[Z1,38]
1p[Z1,38]10,91620,0838
El8,38%d’embarassos.
12.La mitjana de pes de 500 persones és 70 kg i la desviació típica, 3 kg. Suposant que el pes es distribueixen normalment, determina el nombre de persones que pesa:
X:«pesenkg» → N(70,3)
a) Entre 60 i 75 kg.
p[60X75]p[3,33Z1,67]
p[Z1,67]p[Z3,33]
p[Z1,67]p[Z3,33]
p[Z1,67](1p[Z3,33])
0,9525(10,99957)
0,95250,000430,95207
5000,95207476personespesenentre60i75kg.
b) Més de 90 kg.
p[X90]p[Z6,67]0
50000 → cappersonapesamésde90kg.
c) Menys de 64 kg.
p[X64]p[Z 2]p[Z2]
1p[Z2]10,97720,0228
5000,022811personespesenmenysde64kg.
13.La nota mitjana de les proves d’accés a una facultat va ser de 5,8 amb una desviació típica d’1,75. Si van ser admesos tots els estudiants amb una nota superior a 6 i considerant que la distribució és normal:
X:«notes» → N(5,8;1,75)
a) Quin va ser el percentatge d’estudiants admesos?
p[X6]p[Z0,11]
1p[Z0,11]
10,54380,4562 → 45,62%
b) Quina és la probabilitat que exactament quatre de cada deu estudiants fossin admesos?
B(10;0,4562);Y:«nombred’estudiantsadmesos»
10p[Y4]0,456240,54386
4
0,23522
c) Si haguessin admès el 55% dels estudiants, quina hauria estat la nota de tall en aquesta facultat?
14.La data de caducitat d’un medicament és el 31 de desembre d’un determinat any. Sabem que, després d’aquesta data, l’efectivitat del medicament segueix una distribució normal la mitjana de la qual és de 300 dies i la desviació típica, de 100 dies.
X:«diesquepassendeladatadecaducitat» → N(300,100)
a) Calcula la probabilitat que no sigui efectiu el 31 de desembre de l’any següent.
p[X365]p[Z0,65]0,7422
b) Quin dia s’haurà de consumir si volem tenir un 80% de probabilitat que sigui efectiu?
p[Xx]0,8 → p[Zz]0,8 →
→ p[Zz]0,8 → z0,84
z 0,84 → xz
100(0,84)300216dies
216diesdesprésdeladatadecaducitat.
15.En un estadi esportiu es volen instal.lar focus per il.luminar el terreny de joc. El temps de funcionament dels focus segueix una distribució normal, amb una mitjana de 40 hores i una desviació típica de 4 hores.
X:«tempsdefuncionamentdelsfocusenhores» → N(40,4)
a) Si escollim un focus a l’atzar, quina és la probabilitat que il.lumini un mínim de 30 hores?
p[X30]p[Z 2,5]
p[Z2,5]0,9938
b) Si es compren 1500 focus, quants podem esperar que funcionin 30 hores com a mínim?
15000,99381490,71491focus
16.Per aprovar unes oposicions es necessita obtenir en una prova 100 punts com a mínim. Sabem que la distribució dels punts obtinguts és normal, amb una mitjana de 110 punts i una desviació típica de 15 punts.
X:«nombredepuntsobtinguts» → N(110,15)
a) Quina és la probabilitat que aprovi un opositor?
p[X100]p[Z0,67]
p[Z0,67]0,7486
b) Si es presenten 1000 opositors i només es disposa de 300 places, quants punts s’hauran d’aconseguir per guanyar una d’aquestes places?
p[Xx]0,3 → p[Zz]0,3 →→ p[Zz]0,7 → z0,52
x z
150,52110117,8punts
17.El percentatge d’espanyols amb estudis mitjans és del 35%. Si triem vuit persones a l’atzar, calcula la probabilitat que entre 3 i 5 (ambdós inclosos) tinguin estudis mitjans, aplicant:
X:«nombred’espanyolsquetenenestudismitjans»
a) La distribució binomial.
B(8;0,35)
p[3X5]
p[X3]p[X4]p[X5]
8 8 80,3530,6550,3540,6540,3550,653
3 4 5
0,27858580,18750970,08077340,5468689
b) L’aproximació normal a la binomial.
np80,352,8
√ npq√ 80,350,651,35
B(8;0,35) → N(2,8;1,35)
p[2,5X5,5]p[0,22Z2]p[Z2]p[Z0,22]p[Z2]p[Z0,22]
p[Z2](1p[Z0,22])0,9772(10,5871)0,97720,41290,5643
18.El nombre de fulls que empaqueta una màquina segueix una distribució normal, amb una mitjana de 1000 fulls i una desviació típica de 10 fulls. Un paquet de fulls s’accepta si en té entre 995 i 1005. Es demana:
X:«nombredefulls» → N(1000,10)
a) La probabilitat que un paquet sigui acceptat.
p[995X1005]p[0,5Z0,5]2(p[Z0,5]0,5)
2(0,69150,5)20,19150,383
b) La probabilitat que exactament dos paquets de cada deu siguin acceptats.
B(10;0,383);Y:«nombredepaquetsacceptats»
10p[Y2]0,38320,6178
20,13864
c) Si el 65% dels paquets té més d’un determinat nombre de fulls, quants fulls té cadascun d’aquests paquets?
19.Es llança 100 vegades un dau. Calcula la probabilitat d’obtenir el número 5:
X:«nombredevegadesquesurtel5»
1 B100,— 6
1 np100—16,6
(
6
1 5 √ npq√
100——3,73 6
6 6
N(16,6
(
;3,73)
a) Menys de 18 vegades.
p[X18,5]p[Z0,49]0,6879
b) Més de 14 vegades.
p[X13,5]p[Z0,85]
p[Z0,85]0,8023
c) Exactament 20 vegades.
p[19,5X20,5]
p[0,76Z1,03]
p[Z1,03]p[Z0,76]
0,84850,77640,0721
20.El temps que es necessita perquè una ambulància arribi a l’hora a un hospital es distribueix normalment amb una mitjana de 12 minuts i una desviació típica de 3 minuts.
X:«tempsquenecessital’ambulància» → N(12,3)
a) Determina la probabilitat que el temps que trigui a arribar es trobi entre 10 i 19 minuts.
p[10X19]p[0,67Z2,33]
p[Z2,33]p[Z0,67]
p[Z2,33]p[Z0,67]
p[Z2,33](1p[Z0,67])
0,9901(10,7486)
0,99010,25140,7387
b) Calcula el temps en minuts per al qual la probabilitat que l’ambulància es retardi sigui del 15%.
p[Xx]0,15 → p[Zz]0,15 →→ p[Zz]0,85 → z1,04
z 1,04 → xz
3(1,04)128,88minuts
21.La mitjana del pes dels habitants d’una ciutat és de 65 kg, amb una desviació típica de 5 kg. Suposant una distribució normal dels pesos, és zero la probabilitat que en escollir una persona a l’atzar pesi més de 100 kg? Justifica’n la resposta.
X:«pesenkg» → N(65,5)
p[X100]p[Z7]0.Sí,észero.
22.Se sap que les notes d’un determinat examen segueixen una distribució normal. El 17,5% dels alumnes que s’han examinat ha obtingut una nota que supera els 7 punts, mentre que la nota del 15,7% no arriba als 5 punts. Calcula:
24.Suposem una distribució normal N(50, ) en què p[X 70] 0,0228. Determina el valor de i calcula p[X 45].
p[X70]0,0228
p[Zz]0,0228 → p[Zz]0,9772 →→ z2
7050 70502———— → ————10
2
N(50,10)
p[X45]p[Z0,5]p[Z0,5]
1p[Z0,5]10,69150,3085
25.Dues variables aleatòries contínues X i Y segueixen una distribució normal la mitjana de la qual és zero. A més, p[X 2] p[Y 3] 0,1587. Calcula’n les variàncies corresponents.
0enambdues.
p[X2]0,1587
p[Zz]0,1587 → p[Zz]0,8413 →→ z1
p[Y3]0,1587
21— → 12 →
1
24,delavariableX 1
31— → 23 →
2
29,delavariableY 2
Avaluació
1. Quina diferència hi ha entre variable estadística i variable aleatòria? Quines condicions ha de complir una distribució perquè segueixi el model binomial?
Respostaoberta.
2. Tenim una moneda trucada de manera que la probabilitat de treure cara és quatre vegades la de treure creu. Tirem 6 vegades la moneda. Calcula la probabilitat de:
a) Treure dues vegades creu.
b) Treure com a màxim dues vegades creu.
a)p[x2]0,24576
b)p[x≤2]0,90112
3. De 1 000 mesures de talles se’n va obtenir una mitjana de 165 cm i una desviació típica de 8 cm. Se suposa que la distribució és normal i es demana:
a) Quantes mesures són més petites de 157 cm?
b) Quantes estan entre 167 i 181 cm?
a)1000·p[x≤157]1000·0,1587 ≈ 159
b)1000·p[167≤x≤181]1000·0,3785378
4. En un gran estadi esportiu es volen instal·lar focus per il·luminar el camp de joc. El subministrador assegura que el temps de vida dels focus segueix, aproximadament, una distribució normal amb mitjana de 40 h i desviació tipus de 4 h.
a) Escollim un focus a l’atzar. Quina és la probabilitat que duri com a mínim 30 h?
b) Si es compren 1 500 focus, quants es pot esperar que durin com a mínim 30 h?
c) Si es comprova que només 1 400 focus dels 1 500 comprats duren més de 30 h, és cert el que assegura el subministrador?
a)p[x≥30]0,9938
b) 1500 · 0,9938 1490,7. És a dir, aproximadament 1491focus.