MATEMATIKUS MESTERSZAK: ZÁRÓVIZSGAKÉRDÉSEK DIFFERENCIÁLT SZAKMAI ANYAG A differenciált szakmai anyagból a záróvizsgára legalább 3 tárgyból legalább 20 kre- ditnyi, a teljes záróvizsgára legalább 40 kreditnyi anyagot kell kiválasztani. C1. Fejezetek a csoportelméletből (kredit: 3+3)– Pálfy Péter Pál Témakör: ALGEBRA 1/1. Permutációcsoportok: Primitív permutációcsoportok, osztályozásuk (O’Nan–Scott- tétel). Kétszeresen tranzitív permutációcsoportok, maximális permutációcsoportok. 1/2. A reprezentációelmélet alkalmazásai: Involúciócentralizátorok. A szimmetrikus cso- portok és SU (2) ábrázolásai. 1/3. Végtelen torziócsoportok: Burnside-problémák. Végesség kis exponensekre. Tarski- monster. C2. Fejezetek a gyűrűelméletből (kredit: 3+3)– Ágoston István Témakör: ALGEBRA 2/1. Homologikus algebra. (Derivált funktorok konstrukciója, az Ext és a Tor funktor. Modulusok bővítései és a Yoneda-szorzat.) 2/2. Homologikus dimenziók. (Projektív, injektív és globális dimenzió. Nevezetes sejté- sek. Hilbert tétele; Auslander tétele.) 2/3. A reprezentációelmélet elemei. (Gráfalgebrák és algebrák Gabriel-gráfja. Majdnem fölhasadó sorozatok és irreducibilis morfizmusok. Algebrák Auslander–Reiten-gráfja. Az első Brauer–Thrall-sejtés.) C3. Kommutatív algebra (kredit: 3+3)– Károlyi Gyula Témakör: ALGEBRA 3/1. Lokalizáció. Ideálok primér felbontásának egyértelműsége. 3/2. Egész függőség és értékelések. Cohen–Seidenberg-tételek. 3/3. Noether- és Artin-gyűrűk. Hilbert bázistétele, Hilbert nullhelytétele. Primér fel- bontás Noether-gyűrűkben. C4. Lie-algebrák (kredit: 3+3)– Pálfy Péter Pál Témakör: ALGEBRA 1
22
Embed
MATEMATIKUS MESTERSZAK: …web.cs.elte.hu/~agoston/msc/mat_differencialt_szakmai_anyag.pdf · C1. Fejezetek a csoportelméletből (kredit: 3+3) – Pálfy Péter Pál ... Integrálok
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
MATEMATIKUS MESTERSZAK: ZÁRÓVIZSGAKÉRDÉSEK
DIFFERENCIÁLT SZAKMAI ANYAG
A differenciált szakmai anyagból a záróvizsgára legalább 3 tárgyból legalább 20 kre-ditnyi, a teljes záróvizsgára legalább 40 kreditnyi anyagot kell kiválasztani.
C1. Fejezetek a csoportelméletből (kredit: 3 + 3) – Pálfy Péter PálTémakör: ALGEBRA
2/3. A reprezentációelmélet elemei. (Gráfalgebrák és algebrák Gabriel-gráfja. Majdnemfölhasadó sorozatok és irreducibilis morfizmusok. Algebrák Auslander–Reiten-gráfja.Az első Brauer–Thrall-sejtés.)
Matematikus mesterszak Záróvizsgakérdések Differenciált szakmai anyag
4/1. Nilpotens és feloldható Lie-algebrák. Engel és Lie tételei. Killing-forma, Cartan-kritérium.
4/2. Féligegyszerű Lie-algebrák. Maximális tórikus részalgebra. Felbontás gyökterekdirekt összegére. Gyökrendszerek, Dynkin-diagramok. Klasszikus egyszerű Lie-algebrák a komplex test fölött.
7/2. Az (additív karaktereket tartalmazó) Vinogradov-lemma. a + b = cd megoldható-sága Zp nagy részhalmazaiban. Weil tétele additív karakterekre (bizonyítás nélkül).Kloostermann-összegek (részben bizonyítás nélkül).
7/3. Multiplikatív karakterek. Explicit alakjuk. Primitív karakterek. Gauss-összegekmultiplikatív karakterekkel, abszolút értékük primitív karakterekre. Formula addi-tív és multiplikatív karakterek kapcsolatára. A Pólya–Vinogradov-egyenlőtlenség, alegkisebb kvadratikus nemmaradék.
7/4. A nagy szita aritmetikai alakja, egy alkalmazás. A nagy szita analitikus alakja,Gallagher nagyobb szitája.
2
Matematikus mesterszak Záróvizsgakérdések Differenciált szakmai anyag
8/1. A logikai szitaformula, számelméleti alkalmazásai. Az „egyszerű” Brun-szita kétalapelve. Az általános Brun-szita-tétel (bizonyítás nélkül), alkalmazásai. A számokpozitív százaléka p+ q alakú.
8/2. A Schnirelmann-sűrűség. Schnirelmann két tétele összegsorozat sűrűségére vonatko-zóan. Pozitív Schnirelmann-sűrűségű sorozat bázist alkot. Mann tetele (bizonyításnélkül).
8/3. {1, 2, . . . , 2N}-ből választható maximális primitív sorozat. Behrend tétele, Erdősprimitív sorozatokra vonatkozó tétele. Multiplikatív Sidon-sorozatok.
8/4. Van der Waerden és Szemerédi tételei (bizonyítások nélkül). Szemerédi tételének egyalkalmazása. Hilbert-kocka létezése sűrű sorozatokban, alkalmazás. Schur tétele, aFermat-kongruencia megoldhatósága.
9/4. Bevezetés az analitikus számelméletbe. (π(x), ϑ(x), ψ(x), Selberg-egyenlőtlenség, aprímszámtétel. ζ(s) és L(s, χ) Re s > 1-re, ζ(s) kiterjesztése Re s > 0-ra. 1/ζ(s),ζ ′(s)/ζ(s) Re s > 1-re. t 6= 0-ra ζ(1 + it) 6= 0.)
C10. Analitikus fejezetek a komplex függvénytanból (kredit: 3+0) – Szőke RóbertTémakör: ANALÍZIS
Matematikus mesterszak Záróvizsgakérdések Differenciált szakmai anyag
11/1. Unitér ábrázolások Hilbert-összege. Unitér ábrázolás felbontása ciklikusak Hilbert-összegére. Csoport algebrai duálisa. Topologikus csoportok és egyenletesen folytonosfüggvények. Unitér ábrázolás folytonosságának jellemzése.
11/2. Lokálisan kompakt tér feletti folytonos függvények speciális tulajdonságai. KomplexRadon-mértékek lokálisan kompakt tereken. Pozitív Radon-mértékek. A paraméte-res integrálok folytonosságának tétele. Elemi Lebesgue–Fubini-tétel.
11/3. Invariáns Radon-mértékek és azok ábrázoláselméleti jelentősége. Egyoldali Haar-mérték létezése és egyértelműsége lokálisan kompakt csoporton. Lokálisan kompaktcsoport moduláris függvénye.
11/4. Konvolúció és lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája. Delta-rendszerek. A mér-tékalgebra kommutativitásának és egységelemességének jellemzése. A harmonikusanalízis alaptétele.
11/5. A mértékalgebra hű ábrázolásának létezése. A harmonikus analízis Gelfand–Rajkov-tétele. Lokálisan kompakt csoport topologikus duálisa.
C12. Dinamikai rendszerek és differenciálegyenletek 1 (kredit: 3 + 3) – SimonPéterTémakör: ANALÍZIS
12/1. Dinamikai rendszerek ekvivalenciái. Lineáris rendszerek topologikus osztályozása.Normálforma-elmélet, a rezonancia fogalma.
12/2. Lokális vizsgálat egyensúlyi pontban. Hartman–Grobman-tétel. Stabil és instabilsokaság tétel. Centrális sokaság és redukciós tétel.
12/3. Periodikus megoldások. Feltételek periodikus pálya létezésére és nem létezésére kétdimenzióban. Periodikus pálya stabilitása. Az index alkalmazása a fáziskép vizsgá-latára.
12/4. Diszkrét dinamikai rendszer periodikus megoldásai. Periódus kettőződés. A kaoti-kus pálya fogalma. Szimbolikus dinamika alkalmazása kaotikus pálya létezésénekbizonyítására. A logisztikus és a sátor leképezés.
C13. Dinamikai rendszerek és differenciálegyenletek 2 (kredit: 3 + 0) – SimonPéterTémakör: ANALÍZIS
13/1. Bifurkáció fogalma, egyszerű bifurkációk. Lokális bifurkáció szükséges feltételei. Anyereg-csomó bifurkáció elégséges feltétele. Az Andronov–Hopf-bifurkáció normál-formája és elégséges feltétele.
13/2. Strukturális stabilitás fogalma, bifurkáció kodimenziója. Strukturális stabilitásszükséges és elégséges feltétele egy dimenzióban. Strukturálisan stabil rendszerekkét dimenzióban.
13/3. Reakciódiffúzió egyenletek. Stacionárius megoldás fogalma. A stacionárius megoldásmeghatározása és stabilitásának vizsgálata egydimenziós térbeli tartomány esetén.
4
Matematikus mesterszak Záróvizsgakérdések Differenciált szakmai anyag
14/3. Topologikusan konjugált rendszerek. Kezdeti feltételektől való érzékeny függés. Ka-otikusság. Strukturális stabilitás.
14/4. Dinamikus rendszerek és fraktálok. A Mandelbrot halmaz. A Hausdorff mérték ésdimenzió definíciója. Iterált függvény rendszerek. Kapcsolat dinamikus rendszerek-kel. Önhasonló halmazok.
15/1. Példák és azok tulajdonságai: Em, a topologikus Bernoulli-shift, irracionális forga-tások. A kör homeomorfizmusai, forgatási szám, ω-limesz halmazok.
15/2. Invariáns mértékek. Krylov-Bogolubov tétel. Minimális homeomorfizmusok és in-variáns mértékek. Kompakt Abel-csoportok forgatásai, egyféleképpen ergodikustranszformációk és minimalitás.
15/3. Unimodális leképezések. Gyúró sorozat (kneading sequence). Szimbolikus pályákelőjeles lexikografikus rendezése. A megengedett szimbolikus pályák halmazánakkarakterizációja.
15/4. A topologikus entrópia definíciói és tulajdonságai. Intervallumleképezések cikk-cakkszáma. Markov-gráfok, Sharkovszkij-tétel. Az ergodelmélet alapjai.
16/3. Keverés. Rényi tétele erősen keverő transzformációkról. Koopman–von Neumann-lemma. Gyenge keveréssel ekvivalens tulajdonságok. Példák erősen és gyengénkeverő transzformációkra.
16/4. Banach-elv. Integrálok differenciálása. Wiener lokális ergodtétele. Lebesgue terek.A feltételes várható érték tulajdonságai. Felosztás és egy transzformáció metrikusentrópiájának definíciója. Bernoulli shift entrópiája.
16/5. Feltételes információ és entrópia. Tulajdonságok. Nulla feltételes entrópiával ekvi-valens állítás. Véges mérhető felosztások függetlenségével ekvivalens tulajdonságok.Entrópia metrika. h(α, T ) ekvivalens megadásai. Kolmogorov–Szináj tétele generá-torokról.
5
Matematikus mesterszak Záróvizsgakérdések Differenciált szakmai anyag
C17. Geometriai fejezetek a komplex függvénytanból (kredit: 3+0) – Sigray IstvánTémakör: ANALÍZIS
18/1. Determinisztikus és véletlen fraktálok. (Önhasonlóság. Hasonlósági-, Hausdorff-,box- és pakolási dimenzió. Szorzatok dimenziói. Mandelbrot-halmaz. Julia-halmaz.Brown-mozgás. Mandelbrot-féle fraktál perkoláció, fázisátmenet.)
18/2. Kakeya halmazok. (Körner konstrukciója. A Kakeya–Besicovitch–Nikodym–Cunningham–Davies-tételkör. Falconer napóra tétele. A síkbeli Besicovitch-halmazok Hausdorff-dimenziója.)
18/3. Vetítési tételek. (Frostman-lemma. Az s-dimenziós energia. Mértékek Fourier-transzformáltja. Alkalmazás a vetület Hausdorff-dimenziójának kiszámítására. Rek-tifikálhatóság ekvivalens definíciói.)
18/4. Lefedési tételek, maximáloperátorok és integrálok differenciálása. (Az 5r lefedésitétel. Maximálegyenlőtlenség. Integrálok differenciálása és sűrűségi tételek a re-guláris, az erős és a téglalap bázis szerint. A Vitali- és a Besicovitch-féle lefedésitétel.)
19/2. Holomorf fixpontformula. Nevezetes sűrű részhalmazok a Julia-halmazban. Her-man-gyűrűk. Polinomok iterációja. A Mandelbrot-halmaz. A Newton-iteráció.
21/1. Lengyel terek és kompakt metrikus terek, Baire kategóriatétele. (Ekvivalens definí-ciók, példák, alterek, szorzatok, két értelemben maximális terek. Cantor-halmazok,perfekt sémák, Cantor–Bendixson tétel. Baire kategória tétele, tipikus objektumok,Baire-tulajdonság, Kuratowski–Ulam-tétel és alkalmazásai.)
21/2. Borel-halmazok és Baire-függvények. (Borel-hierarchia, univerzális halmazok, re-dukció és szeparáció, Borel- és Baire-függvényosztályok, Baire-1 függvények, Gra-fikon tétel, Borel-izomorfizmusok, sztenderd Borel-terek. Borel-halmaz számosságaés Borel-halmazok rendszerének számossága. Borel-halmazok injektív Borel-képe.)
21/3. Analitikus halmazok (Ekvivalens definíciók, szeparáció-tétel, univerzális halmazok,finomabb topológiák módszere és alkalmazásai, játékok módszere és alkalmazásai.)
21/4. További fejezetek. (Determináltság, Martin tételei, teljes analitikus és koanalitikushalmazok, példák, uniformizációs tételek, koanalitikus rangok, Silver tétele.)
24/2. Megoldhatósági eredmények (nemlineáris operátoregyenletek potenciálos és nem po-tenciálos esetben, nemlineáris parciális direnciálegyenletek, a p-Laplace-egyenlet).
Matematikus mesterszak Záróvizsgakérdések Differenciált szakmai anyag
27/3. Uniformizációs tétel. (Hiperbolikus és parabolikus Riemann-felületek, egyszere-sen összefüggő Riemann-felületek osztályozása, holomorf és meromorf 1-formákRiemann-felületen, reziduum tétel, véges sok helyen megadott értékeket felvevő me-romorf függvény konstrukciója.)
27/4. Algebrai görbék és Riemann-felületek. (Irreducibilis polinom Riemann-felülete,kompakt Riemann-felületeken a meromorf függvények teste, mint a racionális függ-vénytest véges bővítése, kompakt Riemann-felület, mint algebrai görbe.)
C28. Speciális függvények (kredit: 3 + 0) – Tóth Árpád (Bíró András)Témakör: ANALÍZIS
Matematikus mesterszak Záróvizsgakérdések Differenciált szakmai anyag
31/1. Sokaságok fogantyúfelbontásai. 3-sokaságok Heegaard-felbontása és Heegaard-diagramok. A Reidemeister–Singer-tétel azon Heegaard-diagramokról, melyek dif-feomorf sokaságot határoznak meg.
31/2. 4-sokaságok metszetformája, szingatúrája. Kirby-diagramok és Kirby-mozgások.Kirby tétele azon Kirby-diagramokról, melyek diffeomorf sokaságot határoznak meg.Példák.
31/4. Csomók, vetületeik, Reidemeister-mozgások és Reidemeister tétele. Seifert-felületek,a Seifert-génusz és a Seifert-forma. Az Alexander-polinom. Az Alexander-polinomáltal adott becslés a Seifert-génuszra. Tórusz-csomók.
40/1. A Riemann-sokaságon értelmezett Levi-Civita konnexió, a Koszul-formula. Párhu-zamos eltolás egy görbe mentén. Holonómiacsoport. A Riemann-féle görbületi ten-zor szimmetriái, Bianchi-azonosságok. A síkálláshoz tartozó szekcionális görbület.Ricci-görbület, skalárgörbület, Weyl-tenzor.
40/2. Geodetikus görbék. Exponenciális leképezés. Ívhosszra vonatkozó első variációs for-mula. Gauss-lemma. Geodetikusan konvex környezetek. Az összefüggő Riemann-sokaság teljességével kapcsolatos Hopf–Rinow-tétel. Az ívhosszra vonatkozó máso-dik variációs formula. Jacobi-mezők, konjugált pontok. Morse-féle indexforma ésindextétel.
41/1. Myers tétele. Hadamard-sokaságok, Cartan–Hadamard-tétel. A Cartan–Ambrose–Hicks-tétel. A teljes, egyszeresen összefüggő, állandó görbületű terek osztályozása.
41/2. Részsokaságon indukált konnexió. Konnexió a részsokaság normális nyalábján.A második alapforma, a Weingarten-egyenlet, a Gauss- és Codazzi–Mainardi-egyenletek. A térfogat első variációja, minimál-részsokaságok.
C42. Sűrűségi problémák a diszkrét geometriában (kredit: 2+2) – Naszódi MártonTémakör: GEOMETRIA
42/1. Rácsszerű elrendezések, fedési és pakolási kérdések a síkon: alsó és felső becslések.Minkowski alaptétele, Fáry, Dowker és Fejes Tóth László tételei.
42/2. Politópokkal közelítés: Sas és Macbeath tételei. Bárány–Füredi és Elekes tételei.Számítástudományi következmények.
42/3. John tétele konvex testben található legnagyobb ellipszoid érintési pontjairól,Brascamp–Lieb-egyenlőtlenség, affin izoperimetrikus probléma. Fedési sűrűség defi-níciója. Rogers fedési tételének különböző megközelítései.
43/1. A homogén Riemann-tér fogalma. A Lie-csoport és részcsoportja által meghatáro-zott hányadostér, a differenciálhatósági struktúra értelmezése. A hányadostéren acsoporthatással szemben invariáns Riemann-metrika létezésének a feltétele. A biin-variáns Riemann-metrikával ellátott kompakt Lie-csoport.
43/2. A szimmetrikus Riemann-tér fogalma. A Riemann-féle szimmetrikus hármas, azinvariáns Riemann-metrikával ellátott hányadostér, mint szimmetrikus tér. Az ex-ponenciális leképezés és a görbületi tenzor jellemzése. Kompakt típusú, nemkompakttípusú és euklideszi típusú szimmetrikus terek.
12
Matematikus mesterszak Záróvizsgakérdések Differenciált szakmai anyag
46/1. Információelméleti mennyiségek (entrópia, kölcsönös információ, divergencia) végesértékkészletű valószínűségi változókra, Fano-egyenlőtlenség. Diszkrét források egyér-telműen megfejthető, illetve prefix kódolása. A differenciális entrópia és a kölcsönösinformáció abszolút folytonos eloszlású valószínűségi változókra.
46/2. Információstabilis források állandó hosszúságú kódolása hibával. A hibaexponensmeghatározása emlékezet nélküli forrásra. A Slepian–Wolf-tétel megosztott forrásokkódolására (véletlen választás módszere).
46/3. Emlékezet nélküli csatorna kapacitása, az Arimoto–Blahut-algoritmus. Csatornakó-dolási tétel. Visszacsatolásos csatorna. A bináris szimmetrikus csatorna hibaexpo-nense. Az additív Gauss-zajú csatorna kapacitása.
48/2. Nyilvános kulcsú rendszerek; az RSA algoritmus matematikai alapjai és gyengeségeirossz paraméterválasztások mellett (pl. kis e, kis d, fix pontok, Simmons–Norrisiterációs támadása,. . . ), faktorizáciás támadások (quadratikus szita módszere, B-smooth számok, a számelméleti szita műveletigénye); az elliptikus görbék kripto-gráfiai alkalmazásai; elektronikus aláírási rendszerek (elemei, algoritmusai, hash-függvényekkel szembeni követelmények, kapcsolat a hash függvények birthday attacktámadása és az elektronikus aláírás hamisítása között).
49/1. Hipotézisvizsgálat exponenciális családban: egy- és kétoldali ellenhipotézis, aNeyman-Pearson lemma általánosítása, zavaró paraméterek, hasonló próbák, Ney-man struktúra. A normális eloszlás paramétereire vonatkozó klasszikus próbák op-timalitása.
49/2. Az általánosított likelihood-hányados próba és kapcsolata a khi-négyzet próbákkal.
49/3. Konfidenciahalmazok, kapcsolat a hipotézisvizsgálattal. Likelihoodon alapulóaszimptotikus konfidenciahalmazok. Konfidenciasáv az eloszlásfüggvényre eltolás-és skálaparaméteres családban. Alsó konfidenciahatár diszkrét statisztikai mezőn.
67/1. Primál-duál séma az approximációs algoritmusok tervezésében. Approximációs algo-ritmusok a (i) halmazfedés, (ii) „többszörös vágások-, és többtermékes folyam fákon”problémákra.
67/2. Approximációs algoritmusok gráfproblémákra: (i) Steiner-fa, (ii) metrikus K-központ probléma.
%67/3. Véletlent használó approximációs algoritmusok. A Max-SAT probléma: (i) 1/2-
approximáció, (ii) 1 − 1/e approximáció, (iii) derandomizálás.
67/4. Approximációs sémák. (i) Teljesen polinomiális idejű approximációs séma a hátizsákfeladatra, (ii) Polinomiális idejű asszimptotikus approximációs séma a ládapakolásifeladatra.
73/3. Az Arrow tétel, a Vickrey-Clarke-Groves mechanizmusok, taktikázásbiztosság,Clarke szabály. Az újraelosztási feladat, Pareto-optimális ill., magmegoldás, a felsőkörcsere algoritmus.
79/3. Dikin affin skálázású algoritmusa. Iránykereső segédfeladat, megengedett lépéshossz,centralitás mértéke, dualitás rés és csökkenésének mértéke, konvergenciatétel. (B,N)partíció előállítása, nagy és kis változók.
85/1. Sztochasztikus modellek áttekintése. A korlátok és célok különböző megfogalmazá-sai. Az adódó sztochasztikus programozási feladatok matematikai jellemzése. Log-konkáv mértékek alaptétele.