matematiksel iktisat ders notları (optimizasyon)

OPTOPTİİMMİİZASYONZASYON

İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan

seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını

maksimize edecek olan üretim miktarının belirlenmesi; bir

bireyin toplam faydasını maksimize edecek tüketim

miktarlarının belirlenmesi; belirli üretim kısıtı altında toplam

maliyetin minimize edilmesi gibi çok sayıda minimizasyon ya da

maksimizasyon seçenekleri birer optimal seçimdir.

Maksimizasyon ve minimizasyon durumlarına genel olarak

uçdeğer diyoruz.

22

Biz bu konu başlığı altında yalnızca kısıtsız optimizasyon

durumlarını inceliyoruz.

Bir optimizasyon probleminde yapılacak ilk iş, amaç

fonksiyonunun belirlenmesidir. Bundan sonraki aşamada,

amacımızı (bir maksimizasyon ya da minimizasyon)

gerçekleştirecek olan değerler bulunur.

33

44Örneğin bir firmanın toplam kârını maksimize etmek istediğini

varsayalım. Bu durumda amaç fonksiyonu şöyle oluşacaktır.

( ) ( ) ( )Q TR Q TC Qπ = −

Burada amacımız, kârı (π) maksimize eden üretim miktarının

(Q) belirlenmesidir. İlk olarak optimizasyon konusuna salt

matematiksel açıdan bakalım ve ardından iktisadi uygulamaları

yapalım. y=f(x) fonksiyonuna ilişkin bazı şekiller aşağıda yer

almaktadır.

Şekil 4.1a’da sabit bir fonksiyon vardır. Fonksiyonun üzerinde

farklı x değerlerine karşılık yer alan tüm y değerleri aynı

olduğundan, bu değerleri bir optimal olarak öne süremeyiz.

Şekil 4.1b’de D noktası bir mutlak minimumdur. Fonksiyon

monotonik artan olduğundan, bir maksimuma sahip değildir.

Şekil 4.1c’de ise fonksiyonun bir maksimumu (E noktası) bir de

minimumu (F noktası), yani iki uç değeri vardır.

55

66

ŞŞekil 4.1. Uekil 4.1. Uççdedeğğer Noktalarer Noktalarıınnıın Belirlenmesin Belirlenmesi

y

x0

y

x0

y

x0

•

•

E

F

• • •AB C

•D

( )a ( )b ( )c

77GGööreli Ureli Uççdedeğğer er İİççin Birinci Tin Birinci Tüürev Srev Sıınamasnamasıı

Üzerinde çalışacağımız y=f(x) fonksiyonunun, sürekli ve

türevlenebilir olduğunu varsayıyoruz. Öyle ki, bazı durumlarda

fonksiyonun birinci türevinin alınamadığı bir noktada bir

uçdeğer söz konusu olabilir. Örneğin aşağıdaki Şekil 4.2a’da A

ve B noktaları birer uçdeğer olmakla birlikte, bu noktada

fonksiyonun tanımlı türevi yoktur. Şekil 4.2b’de ise C ve D

noktalarında birer uçdeğer vardır ve bunu birinci ve ikinci türev

sınamalarıyla anlayabiliriz.

88ŞŞekil 4.2. Gekil 4.2. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesierlerin Belirlenmesi

y

x0

( )a

y

x0

•

•

A

B •

•

C

D

( )b

y=f(x) fonksiyonunun birinci türevi x=x0 noktasında sıfıra eşitse

ve;

1. Türevin işareti, x0 ’ın solundan sağına giderken pozitiften

negatife doğru işaret değiştiriyorsa göreli maksimum.

2. Türevin işareti, x0 ’ın solundan sağına giderken negatiften

pozitife doğru işaret değiştiriyorsa göreli minimum

3. Türevin işareti, x0 ’ın solundan sağına giderken değişmiyorsa

ne göreli maksimum ne de göreli minimum vardır.

99

f´(x)=0 eşitliğini sağlayan x0 değerine kritik dekritik değğerer, f(x0) değerine

de durgunluk dedurgunluk değğerieri diyoruz. Bu anlamda, Şekil 4.2b’de yer

alan C ve D noktaları, birer durgunluk değerine sahiptir.

Ancak tüm durgunluk noktaları, bir uç değer anlamına gelmez.

Şekil 4.3a ve b’de birer durgunluk noktası olmasına rağmen, bir

göreli uçdeğer yoktur. Buna karşın Şekil 4.3c ve d’deki

durgunluk noktalarında sırasıyla bir minimum ve maksimum

vardır.

1010

1111ŞŞekil 4.3. Gekil 4.3. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesierlerin Belirlenmesi

y

x0

y

x0

y

x0

•A( )a

•D

y

x0

•B

•C

•D

0x 0x

0x 0x

( )b

( )c ( )d

ÖÖrnek 1:rnek 1:

fonksiyonunun göreli uçdeğer-

lerini bulalım.

3 2( ) 12 36 8y f x x x x= = − + +

1212

}

( ) ( )

( ) ( )

2

*2 1

*2

*1

*2

( ) 3 24 36 0

28 12 0

6

2 2 40 , 2 0

6 6 8 , 6 0

dy f x x xdx

xx x

x

x f f

x f f

′= = − + =

=− + =

=

′= → = =

′= → = =

1313

( ) ( )

( ) ( )

2 0 2 0

6 0 6 0

x f x ve x f x

x f x ve x f x

′ ′< → > > → <

′ ′< → < > → >

1414ŞŞekil 4.4. Gekil 4.4. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesi erlerin Belirlenmesi ((ÖÖrnek 1)rnek 1)

-2 2 4 6 8 10

-40

-20

20

40

60

80 3 2( ) 12 36 8y f x x x x= = − + +

y

x

•

•

1515ÖÖrnek 2:rnek 2:

ortalama maliyet fonksiyonunun

göreli uçdeğerlerini bulalım.

2( ) 5 8AC AC Q Q Q= = − +

( )

2

* *

( ) 5 8

( ) 2 5 0 2.5 , 1.75

2.5 ( ) 0 2.5 ( ) 0

AC AC Q Q Q

dAC AC Q Q Q AC QdQ

Q AC Q ve Q AC Q

= = − +

′= = − = → = =

′ ′< → < > → >

1616ŞŞekil 4.5. Gekil 4.5. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesi erlerin Belirlenmesi ((ÖÖrnek 2)rnek 2)

2 4 6 8 10

10

20

30

40

50

2( ) 5 8AC AC Q Q Q= = − +AC

Q•* 2.5Q =

1717ÖÖrnek 3:rnek 3:

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

3

2 *1,2

* *1 2

3 5

3 3 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1'de maksimum , 1'de minimum

y f x x x

f x x x

x f x ve x f x

x f x ve x f x

x x

= = − +

′ = − = → =

′ ′< − → > > > − → <

′ ′− < < → < > → >

= − =

∓

1818ŞŞekil 4.6. Gekil 4.6. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesi erlerin Belirlenmesi ((ÖÖrnek 3)rnek 3)

-4 -2 2 4

-2.5

2.5

5

7.5

10

12.5 ( ) 3 3 5y f x x x= = − +y

x

•

•

1919ÖÖrnek 4:rnek 4:

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

*1,22

* *1 2

1 , 0

11 0 1

1 0 0 1 0

0 1 0 1 0

1'de maksimum , 1'de minimum

y f x x xx

f x xx

x f x ve x f x

x f x ve x f x

x x

= = + ≠

′ = − = → =

′ ′< − → > > > − → <

′ ′− < < → < > → >

= − =

∓

2020

( ) 1 , 0y f x x xx

= = + ≠

y

x•

•

ŞŞekil 4.7. Gekil 4.7. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesi erlerin Belirlenmesi ((ÖÖrnek 4)rnek 4)

-4 -2 2 4

-15

-10

-5

5

10

15

2121İİkinci ve Daha Ykinci ve Daha Yüüksek Tksek Tüürevlerrevler

( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

2

2

12

12 3

3 , ..........,

n

n nn

n

y f x

dy f xdx

dydd ydx f x

dx dx

d yd y dddx dxd y d yf x f xdx dxdx dx

−

−

=

′=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ′′= =

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠′′′= = = =

2222ÖÖrnek 5:rnek 5:

( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2 2

3

4

54

, 11

1 1 11 1

2 1

6 1

24 1

xy f x xx

x xf x x

x x

f x x

f x x

f x x

−

−

−

−

= = ≠ −+

+ −′ = = = +

+ +

′′ = − +

′′′ = +

= − +

2323

Bir Fonksiyonda Birinci ve Bir Fonksiyonda Birinci ve İİkinci Tkinci Tüürevlerin revlerin

TanTanıımlanmasmlanmasıı

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

noktasında : 0 , 0

noktasında : 0 , 0

noktasında : 0 , 0

A f x f x

B f x f x

C f x f x

′ ′′> <

′ ′′= <

′ ′′< <

2424

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

noktasında : 0 , 0

noktasında : 0 , 0

noktasında : 0 , 0

D f x f x

E f x f x

F f x f x

′ ′′< >

′ ′′= >

′ ′′> >

2525ŞŞekil 4.8. Gekil 4.8. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesine erlerin Belirlenmesine Birinci ve Birinci ve İİkinci Tkinci Tüürev Yaklarev Yaklaşışımlarmlarıı

y

x0

A

y

x0

•

••

•

• •

B

C D

E

F( )( )

0

0

f x

f x

′ >

′′ <

( )( )

0

0

f x

f x

′ =

′′ <

( )( )

0

0

f x

f x

′ <

′′ <

( )( )

0

0

f x

f x

′ =

′′ >

( )( )

0

0

f x

f x

′ <

′′ >

( )( )

0

0

f x

f x

′ >

′′ >

( )a ( )b

2626ŞŞekil 4.9. Gekil 4.9. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesine erlerin Belirlenmesine Birinci ve Birinci ve İİkinci Tkinci Tüürev Yaklarev Yaklaşışımlarmlarıı

y

x0

y

x0

•K

•L

•M

( )( )

0

0

f x

f x

′ <

′′ >

( )( )

0

0

f x

f x

′ =

′′ =

( )( )

0

0

f x

f x

′ <

′′ <

•R

•P•N ( )

( )0

0

f x

f x

′ >

′′ <

( )( )

0

0

f x

f x

′ =

′′ =

( )( )

0

0

f x

f x

′ >

′′ >

( )a ( )b

GGööreli Ureli Uççdedeğğer er İİççin in İİkinci Tkinci Tüürev Srev Sıınamasnamasıı

Bir fonksiyonunun birinci türevi x=x0 noktasında sıfıra

eşitse ve;

( )y f x=

2727

( )

( )

0

0

maksimum

mini

0 göreli

mu0 görel mi

f x

f x

′′ < ⇒

′′ > ⇒

2828ÖÖrnek 6:rnek 6:

( )

( )

( ) ( )

( )

2

0

0

0 0

4

18 1 08

8 0

1 1, 'da minimum var.8 16

1.

2.

y f x x x

f x x x

f x f x

x f x

= = −

′ = − = → =

′′ ′′= = >

= =

2929ŞŞekil 4.10. Gekil 4.10. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesi erlerin Belirlenmesi ((ÖÖrnek 6)rnek 6)

-3 -2 -1 1 2 3

10

20

30 ( ) 24y f x x x= = −

y

x

3030ÖÖrnek 7:rnek 7:

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

3 2

2 * *1 2

* *1 2

* *1 1

* *2 2

3 2

3 6 0 0 , 2

6 6

0 6 0 , 2 6 0

0 , 0 2 'de maksimum var.

2 , 2 2 'de minimum var.

1.

2.

y f x x x

f x x x x x

f x x

f x f x

x f x

x f x

= = − +

′ = − = → = =

′′ = −

′′ ′′= = − < = = >

= = =

= = = −

3131ŞŞekil 4.11. Gekil 4.11. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesi erlerin Belirlenmesi ((ÖÖrnek 7)rnek 7)

-4 -2 2 4

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

( ) 3 23 2y f x x x= = − +

y

x

•

•

3232ÖÖrnek 8:rnek 8:

( )

( ) ( )

( )

3 2

2

5 20 10

3 10 20 0 reel kök yok

Ne maksimum nede minimum vard

1.

2.

ır.

106 10 0 1.676

y f x x x x

f x x x

f x x x

= = − + +

′ = − + =

′′ = − = → = =

x=1.67’de bir dönüm noktası vardır.

3333ŞŞekil 4.12. Gekil 4.12. Gööreli Ureli Uççdedeğğerlerin Belirlenmesi erlerin Belirlenmesi ((ÖÖrnek 8)rnek 8)

y

x

• Dönüm Noktası

-2 2 4 6

-50

50

100

150

3434İİktisadi ktisadi ÖÖrneklerrnekler

KKââr Maksimizasyonu Kor Maksimizasyonu Koşşullarullarıı

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1.

,

0

TR TR Q TC TC Q

Q TR Q TC Q

d Q TR Q TC QdQ

TR Q TC Q MR Q MC Q

= =

π = π = −

π ′ ′ ′= π = − =

′ ′= → =

3535

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

22. 0d Q TR Q TC QdQ

TR Q TC Q MR Q MC Q

π ′′ ′′ ′′= π = − <

′′ ′′ ′ ′< → <

3636ŞŞekil 4.13. Tam Rekabette Kekil 4.13. Tam Rekabette Kââr Maksimizasyonur Maksimizasyonu

•

•TR

TCTRTC

Q1Q 2Q *Q 4Q

TFC

0

A

B

3737ŞŞekil 4.14. Kekil 4.14. Kââr Fonksiyonu ve Maksimizasyonr Fonksiyonu ve Maksimizasyon

•

π

Q1Q 2Q *Q 4Q0 • •

•

•

( )Qπ

3838ŞŞekil 4.15. Kekil 4.15. Kââr Maksimizasyonu: r Maksimizasyonu: MCMC==MRMR

Q1Q *Q0

MC

MR• •

P

P AR MR= = 1E *E

3939KKââr Maksimizasyonuna Sayr Maksimizasyonuna Sayıısal sal ÖÖrnek: Tekelci Piyasarnek: Tekelci Piyasa

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2

3 2

2 3 2

3 2

1000 2

59 1315 2000

1000 2 59 1315 2000

57 315 2000

TR TR Q Q Q

TC TC Q Q Q Q

Q TR Q TC Q

Q Q Q Q Q Q

Q Q Q Q

= = −

= = − + +

π = π = −

π = − − − + +

π = − + − −

4040

( )

( )

( )

( )

( )

( )

3 2

2 * *1 2

* *1 1

* *2 2

* *2 2

57 315 2000

3 114 315 0 3 , 35

6 114

3 6 114 96 0

35 6 114 96 0

35 , 13925 'demaksimizasyon var.

Q Q Q Q

Q Q Q Q Q

Q Q

Q Q

Q Q

Q Q

π = − + − −

′π = − + − = → = =

′′π = − +

′′π = = − + = >

′′π = = − + = − <

= π =

4141ŞŞekil 4.16a. Tekelde Kekil 4.16a. Tekelde Kââr Maksimizasyonur Maksimizasyonu

10 20 30 40 50 60

20000

40000

60000

80000

( ) 21000 2TR Q Q Q= −

( ) 3 259 1315 2000TC Q Q Q Q= − + +

•

•

35Q

•

•

,TR TC

A

B

E

E ′

4242ŞŞekil 4.16b. Tekelde Kekil 4.16b. Tekelde Kââr Maksimizasyonur Maksimizasyonu

10 20 30 40 50 60

-30000

-20000

-10000

10000

( ) 3 257 315 2000Q Q Q Qπ = − + − −

π

Q

•

35

13925E

4343ŞŞekil 4.16c. Tekelde Kekil 4.16c. Tekelde Kââr Maksimizasyonur Maksimizasyonu

10 20 30 40 50 60

500

1000

1500

2000

••

353Q

MR

MC

*E

P

1E

SatSatışış Vergisi HasVergisi Hasıılatlatıınnıın Maksimizasyonun Maksimizasyonu

Bir tekelci piyasada devletin t ölçüsünde bir satış vergisi

uyguladığını varsayalım. Verginin ölçüsü ne olmalıdır ki,

devletin bu piyasadan toplayacağı satış hasılatı maksimize

olsun?

4444

( )

( )

2

2

, , 0

, , , 0

TR TR Q Q Q

TC TC Q aQ bQ c a b c

= = β − α α β >

= = + + >

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

* * 2

* 2

*

2 2

2

TC TC Q aQ bQ c tQ

TC Q aQ b t Q c

Q TR Q TC Q

Q Q Q aQ b t Q c

Q a Q b t Q c

= = + + +

= + + +

π = π = −

π = −α + β − + + +

π = − α + + β − − −

4545

4646

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

*

2*

*

2

2

2 02

2 0

2

2 02 2

1 0

b tQ a Q b t Qa

Q a

t bt tT tQa

dT b t btdt a

d Tadt

β − −′π = − α + + β − − = → =α +

′′π = − α + <

β − −= =

α +

β − − β −= = → =

α +

= − <α +

4747KKüübik Toplam Maliyet Fonksiyonunun bik Toplam Maliyet Fonksiyonunun İİncelenmesincelenmesi

( )

( ) ( )

3 2

2

Tüm değerleri için:

3

0

0

2 0 U

olmalıdır.

TC TC Q aQ bQ cQ d

Q

MC Q aQ bQ c biçimli eğri

d TFC

a

= = + + +

= +

>

+ >

= >

4848

( ) ( )

2

2

*

22* *

min

2

min

MC'nin minimum değeri:

6 2 0 03

3 2 3 23

0

3 0 0

,

3

3 03

, 0 , 0 , 3 0

dMC baQ b QdQ a

b bMC a Q b Q c a b c

b

ac

a a

ac bM b c

a c d

C

b ac

a

b

<

−

= + = → = − > →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−= > →

>

→> >

< − >

4949ŞŞekil 4.17. Toplam Maliyet Fonksiyonuekil 4.17. Toplam Maliyet Fonksiyonu

TC

Q

TFC

0

( ) 3 2

2, , 0 , 0 , 3 0a

TC TC Q a

c d b a

Q

b

Q c

c

b Q d

> <

= +

−

= +

>

+

5050ÇÇeeşşitli Fonksiyonlaritli Fonksiyonlarıın n İİncelenmesincelenmesi

ÖÖrnek 9:rnek 9:

( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

2

3

3 3

2 1,1 2 2

2 01 2

8 01 2

1 11 2 0 1 2 02 2

xy f x xx

f xx

f xx

x x ve x x

= = ≠−

′ = >−

′′ = >−

− > → < − < → >

5151

( )

1 12 2

2 2lim , lim1 2 1 2

12

2 2lim 1 , lim 11 2 1 2

1

x x

x x

x xx x

x düşey asimptot

x xx x

f x yatay asimptot

− +→ →

→−∞ →∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +∞ = −∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= −

5252ŞŞekil 4.18. Fonksiyon Analizi (ekil 4.18. Fonksiyon Analizi (ÖÖrnek 9)rnek 9)

-4 -2 2 4

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5( ) 2

1 2

12

xy f xx

x

= =−

≠

5353ÖÖrnek 10:rnek 10:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

3

2 2

3 3

3 0 , 3 0 0, 0

6

0 0 ; 0 0

lim , limx x

y f x x

f x x f x x x y

f x x

x f x x f x

x x→−∞ →∞

= =

′ ′= > = = → = =

′′ =

′′ ′′> → > < → <

= −∞ = ∞

5454ŞŞekil 4.19. Fonksiyon Analizi (ekil 4.19. Fonksiyon Analizi (ÖÖrnek 10)rnek 10)

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

3y x=

5555ÖÖrnek 11:rnek 11:

( )

( )

( ) } ( )( )

3

4

5

3 3

3 30 0

1 , 0

3 0 , durgunluk değeri yok.

0 012

0 0

1 1lim 0 , lim 0

1 1lim , lim

x x

x x

y f x xx

f x x

x f xf x x

x f x

x x

x x− +

−

−

→−∞ →∞

→ →

= = ≠

′ = − <

′′> → >′′ =

′′< → <

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −∞ = ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5656ŞŞekil 4.20. Fonksiyon Analizi (ekil 4.20. Fonksiyon Analizi (ÖÖrnek 11)rnek 11)

-4 -2 2 4

-150

-100

-50

50

100

150

( ) 3

1 , 0y f x xx

= = ≠

5757Kuvvet Serileri ve UKuvvet Serileri ve Uççdedeğğerin Belirlenmesierin Belirlenmesi

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 30 1 2 3

2 3 11 2 3 4

2 22 3 4

2 33 4 5

.....

2 3 4 .....

2 6 12 ..... 1

6 24 60 ..... 2 1

......................................................

nn

nn

nn

nn

f x a a x a x a x a x

f x a a x a x a x n a x

f x a a x a x n n a x

f x a a x a x n n n a x

−

−

−

= + + + + +

′ = + + + + +

′′ = + + + + −

′′′ = + + + + − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

...................

1.2.3.4..... 3 2 1nnf x n n n n a= − − −

Yukarıdaki çokterimliyi ve türevlerini, x=0 için değerlendirelim:

5858

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

1 1

2 2

3 3

4 44 4

0 0 0!

0 0 1!

0 2 0 2!

0 6 0 3!

0 24 0 4!

.............................

0 1.2.3..... 3 2 1 0 !n nn n

f x a f a

f x a f a

f x a f a

f x a f a

f x a f a

f x n n n n a f n a

= = → =

′ ′= = → =

′′ ′′= = → =

′′′ ′′′= = → =

= = → =

= = − − − → =

5959

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

0 0

1 1

2 2

3 3

00 0!

0!

00 1!

1!

00 2!

2!

00 3!

3!

.......................................................

00 !

!

nn

n n

ff a a

ff a a

ff a a

ff a a

ff n a a

n

= → =

′′ = → =

′′′′ = → =

′′′′′′ = → =

= → =

6060

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 30 1 2 3

2

3

.....

0 0 00! 1! 2!

0 0.....

3! !

nn

nn

n

f x a a x a x a x a x

f f ff x x x

f fx x R

n

= + + + + +

′ ′′= + +

′′′+ + + +

Maclaurin Serisi (ya da x=0 etrafında Taylor

kuvvet serisi açılımı)

6161Bir Bir ÇÇokterimlinin Taylor Serisiokterimlinin Taylor Serisi

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 30 1 2 3

20 0 00 0

30 00 0

.....

0! 1! 2!

.....3! !

nn

nn

n

f x a a x a x a x a x

f x f x f xf x x x x x

f x f xx x x x R

n

= + + + + +

′ ′′= + − + − +

′′′− + + − +

6262ÖÖrnek 12:rnek 12:

Aşağıdaki fonksiyonun x0=1 noktasında n=4 açılımını yapalım.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

20

30

40

54 40

1 111 2

11 14

12 1 14

36 1 18

324 1 14

f x f xx

f x x f x

f x x f x

f x x f x

f x x f x

−

−

−

−

= → = =+

′ ′= − + → = = −

′′ ′′= + → = =

′′′ ′′′= − + → = = −

= + → = =

6363

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

20 0

3 40 0 4

2 3 44

1 11 4 42 1! 2!

3 38 43! 4!

31 13 1 3 132 16 2 16 32

f x x x x x

x x x x R

f x x x x x R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + − + −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ − + − +

= − + − + +

6464ŞŞekil 4.21. Kuvvet Serisi Aekil 4.21. Kuvvet Serisi Aççııllıımlarmlarıı ((ÖÖrnek 12)rnek 12)

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

( ) 2 3 431 13 1 3 132 16 2 16 32

f x x x x x= − + − +

( ) 11

f xx

=+

x0=1 ’de açılım

ÖÖrnek 13:rnek 13:

Aşağıdaki fonksiyonun x0=−2 noktasında n=4 açılımını yapalım.

6565

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

20

30

40

54 40

1 2 11

1 2 1

2 1 2 2

6 1 2 6

24 1 2 24

f x f xx

f x x f x

f x x f x

f x x f x

f x x f x

−

−

−

−

= → = − = −+

′ ′= − + → = − = −

′′ ′′= + → = − = −

′′′ ′′′= − + → = − = −

= + → = − = −

6666

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 3 44

2 3 44

1 2 2 2 2

31 49 31 9

f x x x x x R

f x x x x x R

= − − + − + − + − + +

= − − − − − +

6767ŞŞekil 4.21. Kuvvet Serisi Aekil 4.21. Kuvvet Serisi Aççııllıımlarmlarıı ((ÖÖrnek 13)rnek 13)

-4 -2 2 4

-40

-30

-20

-10

10

20

( ) 11

f xx

=+

( ) 2 3 431 49 31 9f x x x x x= − − − − −

x0=−2 ’de açılım

6868Taylor Serisi ve GTaylor Serisi ve Gööreli Ureli Uççdedeğğerin Belirlenmesierin Belirlenmesi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

200 0 0 0

30 00 0

200 0 0 0

30 00 0

2!

.....3! !

2!

.....3! !

nn

nn

f xf x f x f x x x x x

f x f xx x x x

n

f xf x f x f x x x x x

f x f xx x x x

n

′′′= + − + − +

′′′− + + −

′′′− = − + − +

′′′− + + −

6969ŞŞekil 4.22. Kuvvet Serileri ve Uekil 4.22. Kuvvet Serileri ve Uççdedeğğerin erin

BelirlenmesiBelirlenmesi

y

x0

y

x0

•••

••

•( )1f x

( )0f x

( )2f x

( )1f x ( )0f x

( )2f x

0x1x 2x 0x1x 2x

( )y f x=

( )y f x=

( )a ( )b

7070

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

0 11 0 2

0 2

0 11 0 2

0 2

0 11 0 2

0 2

0 11 0 2

0 2

0, Maksimum

0

0, Minimum

0

0, Dönüm Noktası

0

0, Dönüm Noktası

0

f x f xx x x

f x f x

f x f xx x x

f x f x

f x f xx x x

f x f x

f x f xx x x

f x f x

− >< < ⇒

− >

− << < ⇒

− <

− >< < ⇒

− <

− << < ⇒

− >

7171

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

f x

f x f x f x x x

f x f x f x x x

f x f x f x x x

f x f x f x x x

+ +

+ −

− +

− −

′ ≠

′− = − >

′− = − <

′− = − <

′− = − >

1. Durum:1. Durum:

72722. Durum:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

210 0 02

210 0 02

210 0 02

210 0 02

0 , 0

0

0

0

0

f x f x

f x f x f x x x

f x f x f x x x

f x f x f x x x

f x f x f x x x

+ +

+ +

− +

− +

′ ′′= ≠

′′− = − >

′′− = − >

′′− = − <

′′− = − <

2. Durum:

MinimumMinimum

MaksimumMaksimum

73734. Durum:4. Durum:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

10 0 0 0

10 0 0!

10 0 0!

10 0 0!

10 0 0!

..... 0 , 0

0

0

0

0

n n

nnn

nnn

nnn

nnn

f x f x f x f x

f x f x f x x xn tek

sayı ise f x f x f x x x

f x f x f x x xn tek

sayı ise f x f x f x x x

−

+ +

+ −

− +

− −

′ ′′= = = = ≠

− = − >⎫⎪⎬⎪⎭ − = − <

− = − <⎫⎪⎬⎪⎭ − = − >

DDöönnüüm m NoktasNoktasıı

DDöönnüüm m NoktasNoktasıı

74744. Durum (Devam4. Durum (Devamıı):):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

10 0 0!

10 0 0!

10 0 0!

10 0 0!

0çift

sayı ise 0

0çift

sayı ise 0

nnn

nnn

nnn

nnn

f x f x f x x xn

f x f x f x x x

f x f x f x x xn

f x f x f x x x

+ +

+ +

− +

− +

− = − >⎫⎪⎬⎪⎭ − = − >

− = − <⎫⎪⎬⎪⎭ − = − <

MinimumMinimum

MaksimumMaksimum

7575ÖÖrnek 14:rnek 14:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

4

30

3

2

4 4

0

7

4 7 0 7

4 7 7 0

12 7 7 0

24 7 7 0

24 24 0

7 , 0 noktasında minimum var.

y f x x

f x x x

f x x f

f x x f

f x x f

f x f x

x y

= = −

′ = − − = → =

′ ′= − − → =

′′ ′′= − → =

′′′ ′′′= − − → =

= → = >

= =

7676ŞŞekil 4.23. Kuvvet Serileri ve Uekil 4.23. Kuvvet Serileri ve Uççdedeğğerin erin

Belirlenmesi (Belirlenmesi (ÖÖrnek 14)rnek 14)

( ) ( )47y f x x= = −

•2 4 6 8 10 12 14

100

200

300

400

7777ÖÖrnek 15:rnek 15:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

6 50

5

4

3

4 42

5 5

6 6

0

5 6 0 0

6 0 0

30 0 0

120 0 0

360 0 0

720 0 0

720 0 720 0

0 , 5 noktasında minimum var.

y f x x f x x x

f x x f

f x x f

f x x f

f x x f

f x x f

f x f

x y

′= = + → = = → =

′ ′= → =

′′ ′′= → =

′′′ ′′′= → =

= → =

= → =

= → = >

= =

7878ŞŞekil 4.24. Kuvvet Serileri ve Uekil 4.24. Kuvvet Serileri ve Uççdedeğğerin erin

Belirlenmesi (Belirlenmesi (ÖÖrnek 15)rnek 15)

-3 -2 -1 1 2 3

10

20

30

40

50

60

•

( ) 6 5y f x x= = +

7979İİki Seki Seççim Deim Değğiişşkenli Durumda Taylor Serisikenli Durumda Taylor Serisi

( ) ( ) ( )

( )

2 200 10 01 20 11 02

10 ( 1),1 0

, .....

..... ..... .....n n nn n n

z f x y a a x a y a x a xy a y

a x a x y a y−−

= = + + + + + +

+ + + + +

İlk olarak bu iki seçim değişkenli n. dereceden polinomun (0,0)

noktası için Taylor açılımını yapalım. Tüm türevlerin (0,0)

noktasında değerlendirileceğine dikkat edelim.

8080

( ) 00

10 20 11 100

01 11 02 010

0,0

2 .....

2 .....

f a

f fa a x a y ax x

f fa a x a y ay y

=

∂ ∂⎛ ⎞= + + + → =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂= + + + → =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Benzer biçimde diğer türevleri de bulup sıfır noktasında

değerlendirirsek, aşağıdaki terimleri yazabiliriz.

8181

2 2 2

20 11 022 20 0 0

1 1, ,2! 2!

f f fa a ax yx y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Diğer tüm terimleri de (a katsayılarını) aynı yöntemle

belirledikten sonra, bu katsayıları polinomdaki yerlerine yazıp

düzenlersek, (0,0) noktasındaki Taylor açılımını elde etmiş

oluruz.

8282

( ) ( )0 0

2 2 22 2

2 20 0 0

3 3 3 33 2 2 3

3 2 2 30 0 0 0

, 0,0

1 22!

1 3 33!

.....

f ff x y f x yx y

f f fx xy yx yx y

f f f fx x y xy yx x y x y y

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

+

8383

Bu açılımı (0,0) noktası dışındaki herhangi bir noktada da

yapabiliriz. Şimdi açılımı (x0 , y0) gibi rasgele bir nokta için de

yazalım. Tüm türevlerin (x0 , y0) noktasında değerlendirildiğine

dikkat edelim.

8484

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0 0 0

2 2 22 2

0 0 0 02 2

3 33 2

0 0 03 2

3 32 3

0 0 02 3

, ,

1 22!

313!

3

f ff x y f x y x x y yx y

f f fx x x x y y y yx yx y

f fx x x x y yx x y

f fx x y y y yx y y

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + − − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂− + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂

+ − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣

.....

⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

+

8585ÖÖrnek 16:rnek 16:

fonksiyonunun (1,1) noktasındaki Taylor açılımını

yapalım.

yz x=

( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 1 2

, ln , 1

ln , ln

1 1 1 1 .....

y y yx y xx

y y yxy yy

y

z yx z x x z y y x

z x yx x z x x

x x x y

− −

− −

′ ′ ′= = = −

′′ ′′= + =

= + − + − − +

Örneğin,

( ) ( ) ( )1.031.04 1 0.04 0.04 0.03 1.0412yz x= = ≈ + + =

8686

CES CES ÜÜretim Fonksiyonunun Doretim Fonksiyonunun Doğğrusallarusallaşşttıırrıılmaslmasıı ya da ya da

Birinci SBirinci Sııra Taylor Ara Taylor Aççııllıımmıı

( )

( )

( )

1

ln ln ln 1

f

Q A K L

Q A K L

µρ−−ρ −ρ

−ρ −ρ

ρ

⎡ ⎤= δ + − δ⎣ ⎦

µ ⎡ ⎤− = − δ + − δ⎣ ⎦ρ

teriminin etrafındaki birinci sıra Taylor açılımını

yapalım.

( )f ρ 0ρ =

8787

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( )

0

2

0 0

00 ( ' )0

lim ln 1 ln 1 ln

ln 1 ln 1 ln 1

1

f f f

f L Hopital Kuralını Kullanalım

K L K L

L K K L K L K Lf

K L

−ρ −ρ

ρ→

ρ ρ ρ ρ −ρ −ρ

ρ ρ

′ρ = + ρ

= →

⎛ ⎞µ ⎡ ⎤− δ + − δ = −µ δ + − δ⎜ ⎟⎣ ⎦ρ⎝ ⎠

⎡ ⎤µ δρ − δ − ρ − δ − − δ δ + − δ⎣ ⎦′ ρ =δ − − δ ρ

8888

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( )

( )

( )( ) ( ) ( )

2

2

0

1 ln ln 1 ln 1

1

00 ( ' )0

1lim 1 ln ln2

K L L K K L K Lf

K L

f L Hopital Kuralını Kullanalım

f K L

ρ ρ ρ ρ −ρ −ρ

ρ ρ

ρ→

⎡ ⎤µ δ − ρ − δρ + δ − − δ δ + − δ⎣ ⎦′ ρ =δ − − δ ρ

′ = →

′ ρ = − − δ δµ −

8989

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

2

0 0

1ln 1 ln 1 ln ln2

1ln ln ln 1 ln 1 ln ln2

1ln ln ln 1 ln 1 ln ln2

f f f

f K L K L

Q A f K L K L

Q A K L K L

′ρ = + ρ

⎡ ⎤⎡ ⎤ρ = µ δ + − δ + − − δ δµ − ρ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤− = ρ = −µ δ + − δ + − − δ δµ − ρ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + µδ + µ − δ − − δ δµρ −