Side 1 Matematikk – Forklaringer, oppgaver og bruksområder Tommy Odland Innhold Til leseren ............................................................................................................................................................................................ 2 Forklaringer ......................................................................................................................................................................................... 3 Tall og algebra ................................................................................................................................................................................ 3 Måling ............................................................................................................................................................................................. 6 Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk .................................................................................................................................... 7 Funksjoner ...................................................................................................................................................................................... 8 Treningsoppgaver ............................................................................................................................................................................. 10 Tall og algebra .............................................................................................................................................................................. 10 Måling ........................................................................................................................................................................................... 13 Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk .................................................................................................................................. 14 Funksjoner .................................................................................................................................................................................... 15 Blandede oppgaver ........................................................................................................................................................................... 16 Oppgaver basert på tidligere eksamener ..................................................................................................................................... 16 Utfordringer .................................................................................................................................................................................. 21 Bruksområder ................................................................................................................................................................................... 22 Programmering ............................................................................................................................................................................. 22 Energi i tyngdefeltet ..................................................................................................................................................................... 27 Termodynamikk ............................................................................................................................................................................ 28 Beviser og forklaringer ...................................................................................................................................................................... 29 Hva er pi? ...................................................................................................................................................................................... 29 Arealet av en sirkel ....................................................................................................................................................................... 30 Et tall opphøyd i 0 er lik 1 ............................................................................................................................................................. 31 Pytagorassetningen ...................................................................................................................................................................... 31 Kvadratsetningene........................................................................................................................................................................ 32 Fasit ................................................................................................................................................................................................... 33 Tall og algebra – Fasit ................................................................................................................................................................... 33 Måling – Fasit................................................................................................................................................................................ 34 Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk – Fasit ....................................................................................................................... 35 Funksjoner – Fasit ......................................................................................................................................................................... 35 Oppgaver basert på tidligere eksamener – Fasit .......................................................................................................................... 37 Utfordringer – Fasit ...................................................................................................................................................................... 43
43
Embed
Matematikk Forklaringer, oppgaver og bruksområder · Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk Statistikk Statistikk blir brukt til å beskrive datamengder. I statistikkfaget samler
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Side 1
Matematikk – Forklaringer, oppgaver og bruksområder Tommy Odland
Innhold Til leseren ............................................................................................................................................................................................ 2
Tall og algebra ................................................................................................................................................................................ 3
Tall og algebra .............................................................................................................................................................................. 10
Oppgaver basert på tidligere eksamener ..................................................................................................................................... 16
Energi i tyngdefeltet ..................................................................................................................................................................... 27
Beviser og forklaringer ...................................................................................................................................................................... 29
Hva er pi? ...................................................................................................................................................................................... 29
Arealet av en sirkel ....................................................................................................................................................................... 30
Et tall opphøyd i 0 er lik 1 ............................................................................................................................................................. 31
Oppgaver basert på tidligere eksamener – Fasit .......................................................................................................................... 37
Prosent, brøk og desimaltall Det er en klar sammenheng mellom prosent, brøk og desimaltall. La oss starte med prosent – som betyr
«hundredel». 20 % betyr derfor 20 / 100. La oss ta en kikk på sammenhengen:
20% = 20
100=
2 ∗ 10
10 ∗ 10=
2
10=
1 ∗ 2
5 ∗ 2=
1
5= 0,2
20% kan representeres som 20/100, 2/10 og 1/5. Den «beste» måten å skrive en brøk på er ofte den enkleste måten,
dvs. når brøken ikke kan faktoriseres (reduseres) mer. Husk at 𝑎 1⁄ = 𝑎. Regnereglene for brøk er:
Bokstavregning I matematikk bruker vi ofte bokstaver til å representere tall. Dette er for å utlede generelle løsninger på problemer.
La oss se på et eksempel: Visste du at en sirkel med radius 3,5 har et areal på 38,48? En sirkel med radius 2 har et
areal på 12,57! Men hvem bryr seg egentlig om disse to spesifikke tilfellene? Det som er viktig er jo sammenhengen
mellom radius og areal, denne sammenhengen er gitt ved:
𝐴 = 𝜋 ∗ 𝑟 ∗ 𝑟 = 𝜋𝑟2
Nå kan vi finne arealet til en hvilken som helst sirkel, så lenge vi vet radiusen. Dette er mer verdifullt enn å vite at en
sirkel med radius 3,5 har et areal på 38,48. Vi bruker bokstaver for å beskrive generelle egenskaper til tall, eller
utlede generelle løsninger på problemer i fysikk og matematikk.
Noter deg Vi bruker bokstaver i matematikken for å representere tall på en generell måte. Regnereglene for bokstavene (som ofte kalles variabler) er helt lik regnereglene som brukes for alle andre tall.
Likninger Når vi løser en likning, løser vi for en ukjent verdi. Ofte er det vanskelig å se hva denne verdien er, så vi prøver å få
den ukjente på en side. Vi kan gjøre hva som helst for å prøve å få til dette, men vi må følge en enkel regel: Vi må
gjøre det samme på begge sider av likhetstegnet. Formelen for areal av en sirkel er gitt ved 𝐴 = 𝜋𝑟2. Løser for 𝑟:
𝐴 = 𝜋𝑟2 →𝐴
𝜋=
𝜋𝑟2
𝜋→
𝐴
𝜋= 𝑟2 → √
𝐴
𝜋= √𝑟2 → √
𝐴
𝜋= 𝑟 → 𝑟 = √
𝐴
𝜋
Noter deg Når du løser likninger, gjelder det å få den ukjente på en side av likhetstegnet. Du har lov til å gjøre hva som helst, men du må gjøre det samme på begge sider av likhetstegnet.
REGNEREGEL EKSEMPEL
ADDISJON Finn fellesnevner. Pluss sammen tellerne.
3
5+
7
3=
3 ∗ 3
5 ∗ 3+
7 ∗ 5
3 ∗ 5=
9 + 35
15=
44
15
SUBTRAKSJON Finn fellesnevner. Trekk sammen tellerne.
2
3−
4
7=
2 ∗ 7
3 ∗ 7−
4 ∗ 3
7 ∗ 3=
14 − 12
21=
2
21
MULTIPLIKASJON Gang sammen teller og nevner.
2
3∗
3
5=
2 ∗ 3
3 ∗ 5=
2
5
DIVISJON Snu den siste brøken. Deretter gjør som multiplikasjon.
2
3:3
5=
2
3∗
5
3=
10
9
Side 5
Likningssett Likningssett er et sett med likninger og ukjente. I 10. klasse pensum innebærer dette 2 likninger, og 2 ukjente. Et
likningssett kan ikke løses dersom man har flere ukjente enn unike likninger. For å løse et likningssett gjør du slik:
1. Få en ukjent alene i en av likningene, dvs. på en side av likhetstegnet.
2. Sett inn i den andre likningen. Du har nå en likning med en ukjent.
3. Løs denne likningen.
4. Sett verdien du fikk inn i en av de 2 likningene du startet med.
5. Sjekk at det stemmer.
Et eksempel:
Likning A: 2𝑥 − 12 = 𝑦 − 2
Likning B: 2𝑥 + 2𝑦 = −2
Løsning med penn og papir
2𝑥 − 12 + 2 = 𝑦 − 2 + 2 Får y alene i likning A. (1)
𝑦 = 2𝑥 − 10 2𝑥 + 2𝑦 = −2 → 2𝑥 + 2(2𝑥 − 10) = −2 Setter inn i likning B. (2)
2𝑥 + 2(2𝑥 − 10) = −2 2𝑥 + 4𝑥 − 20 = −2
6𝑥 = −2 + 20
𝒙 =𝟏𝟖
𝟔= 𝟑
Vi har nå en ukjent i en likning, løser.
2𝑥 − 12 = 𝑦 − 2 2(3) − 12 = 𝑦 − 2
−6 = 𝑦 − 2 𝒚 = −𝟒
Setter verdien 𝑥 = 3 inn i en av likningene. (4) Vi setter inn i likning A.
2𝑥 − 12 = 𝑦 − 2 2𝑥 + 2𝑦 = −2
2(3) − 12 = (−4) − 2 2(3) + 2(−4) = −2
−6 = −6 −2 = −2
Sjekker at svaret stemmer. (5) 𝑥 = 3 og 𝑦 = −4 stemmer.
Grafisk løsning
Vi uttrykker likningene som funksjoner. Deretter lager vi en graf. Vi ser at x = 3 og y = - 4 er løsninger på figuren.
𝐿𝑖𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔 𝐴: 2𝑥 − 12 = 𝑦 − 2 → 𝑦 = 2𝑥 − 10
𝐿𝑖𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔 𝐵: 2𝑥 + 2𝑦 = −2 → 𝑦 = −𝑥 − 1
-5-4-3-2-1012345
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y-ak
sen
x-aksen
Side 6
Måling Det å kvantifisere (sette en tallverdi på) forskjellige ting er viktig både for forskere, ingeniører, og andre
yrkesgrupper. Det er også viktig for mennesker i dagliglivet. Det finnes 7 fundamentale enheter, disse kalles SI-
enhetene (SI: Le Système international d'unités). De fundamentale enhetene er:
Ampere (mål på elektrisk strøm)
Kilogram (mål på masse)
Meter (mål på lengde)
Sekund (mål på tid)
Kelvin (mål på temperatur)
Mol (mål på stoffmengde)
Candela (mål på lys)
Alle andre enheter stammer fra disse 7 fundamentale enhetene, det vil si at de er en kombinasjon av de
fundamentale enhetene. F.eks. vet du kanskje at fart måles i kilometer/time, eller meter/sekund. m/s er utledet fra
meter og sekund. Areal måles i m2, som er utledet fra meter ganget med meter.
Noter deg En viktig sammenheng er: 1 liter = 0,001 m3 = 10cm * 10 cm* 10cm. 1 liter med vann = 1kg
Når vi har store eller små tall, bruker vi ofte prefikser foran tallene. Noen vanlige
prefikser finner du i tabellen til venstre, du kan finne flere her. Noen eksempler:
Eks 1.
Hvor mange desiliter er det i 2 m3 ?
Vi vet at 1 𝐿 = 0,001𝑚3, og at 1 𝐿 = 10 𝑑𝐿. Setter disse to sammen og får:
Typetall (modus) er den observasjonen det er mest av. I eksempelet ovenfor er typetallet 5.
Sannsynlighetsregning Vi starter med å definere en stokastisk variabel: en stokastisk variabel er en variabel som kan ha flere verdier.
Dersom 𝑋 er antall øyne på en terning etter et terningkast, kan 𝑋 være {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Vi sier at verdimengden til
𝑋 er {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Vi vet ikke hva 𝑋 er før vi har trillet terningen. Sannsynligheten for et utfall er:
𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙
𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙
La oss f.eks. se på sannsynligheten for at antall øyne på en terning er høyere enn, eller lik 5.
𝑃(𝑋 ≥ 5) = 2
6=
1
3
Kombinatorikk Kombinatorikk handler om å telle. La oss definere fakultet til et tall. Fakultet betegnes med «!» , og betyr ganske
enkelt at vi ganger med alle tall nedover til 1. Matematisk sier vi at:
𝑛! = 𝑛 ∗ (𝑛 − 1) ∗ (𝑛 − 2) ∗ (𝑛 − 3) ∗ … ∗ 1
Eksempelvis så er 5! = 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 120. La oss se hva fakultet kan brukes til:
Anta at du har tre ting foran deg, en blyant (B), en penn (P) og et viskelær (H). På hvor mange måter kan du sortere
disse 3 tingene? Det viser seg at du kan sortere 3 ting på 6 forskjellige måter:
PBH PHB BPH BHP HPB HBP
Du kan selv prøve med 4 forskjellige ting. Du vil se at 4 ting kan sorteres på 24 forskjellige måter.
Noter deg n forskjellige ting kan sorteres på n! måter. n! uttales «n fakultet», og betyr at vi ganger n nedover til 1. Eksempelvis så kan 6 ting sorteres på 720 måter, fordi 6! = 6*5*4*3*2*1 = 720.
Side 8
Funksjoner Funksjoner er ekstremt viktige, og har mange bruksområder. Funksjoner er kanskje den viktigste delen av
mattepensum i 10. klasse. Du kan tenke på funksjoner på 2 måter, tenk slik det passer deg: (1) en funksjon beskriver
en sammenheng mellom to variabler (f.eks. pris og antall kjøpte varer), (2) en funksjon er som en maskin, vi sender
noe inn, og får noe ut. La oss se på funksjoner med utgangspunkt i begge måtene å tenke på:
(1) En funksjon er en sammenheng mellom variabler (noe er avhengig av noe annet)
Du skal kjøpe kinobilletter til deg selv og vennegjengen. Prisen er avhengig av antall kinobilletter du kjøper, og prisen
per kinobillett er 120 kr. Funksjonen
𝑃(𝑏) = 120 ∗ 𝑏
Er en funksjon som beskriver pris (P) som funksjon av billetter (b). Hvis du kjøper 3 billetter, blir prisen:
𝑃(3) = 120 ∗ 3 = 360
𝑃(𝑏) betyr at prisen (P) er avhengig av antall billetter (b) (det er jo ganske logisk!).
(2) En funksjon er som en maskin, vi sender noe inn, og får noe ut
La oss se på funksjonen 𝑓(𝑥) = 𝑥2 . Denne funksjonen tar et tall inn (x) og vi får et tall ut (f(x)). La oss sende inn
tallet 2, vi får: 𝑓(2) = 22 = 4. La oss sende inn flere verdier, og lage en tabell.
x f(x)
-4 16
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
Lineære funksjoner
Noter deg Lineære funksjoner er alltid på formen 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵, der A og B er tall. A kalles stigningstallet, og B er skjæringspunktet med y-aksen (den vertikale aksen). En lineær funksjon ser ut som en rett linje, som vist på de tre figurene under.
La oss ta en kikk på noen lineære funksjoner. Legg merke til skjæringspunktet (B) og stigningen (A).
𝑓(𝑥) = 1𝑥 + 0 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2 𝑓(𝑥) = −1𝑥 − 3
0
5
10
15
20
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f(x) = x^2
-5-4-3-2-1012345
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5-4-3-2-1012345
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5-4-3-2-1012345
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Side 9
For å tegne en lineær graf gjør du slik:
(1) Tegn inn et punkt på y-aksen for B (skjæringspunktet)
(2) Gå en enhet til høyre, deretter går du opp eller ned (opp dersom A er et positivt tall, ned dersom A er
negativt) en lengde A. Tegn et nytt punkt.
(3) Linja som går gjennom begge punktene er den lineære funksjonen 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵
Lineære funksjoner – et praktisk eksempel Tenk deg at du har fått jobb som selger. Når du blir ansatt, får du to alternativer for lønn: (1) fast lønn på 180 kroner
per time, eller (2) fastlønn på 120 kroner timen, pluss 30 kroner per salg. Hva bør du velge? Vi kan sette opp to
funksjoner for alternativene, og gjøre en liten analyse. Vi setter opp Lønn (L) som funksjon av antall salg (s), for de 2
alternativene får vi: (1) 𝐿1(𝑠) = 180 og (2) 𝐿2(𝑠) = 30𝑠 + 120 . La oss ta en kikk på funksjonene:
Vi ser at dersom man selger mindre enn 2 varer per time, bør man velge alternativ (1). Dersom man selger mer enn 2
varer per time, bør man velge alternativ (2). Dersom man selger akkurat 2 varer per time, har det ikke noe å si hvilket
alternativ man velger – man får en lønn på 180 kroner per time uansett.
Krysningspunktet kan også regnes ut uten å bruke grafen. Funksjonene krysser når de har lik verdi.
𝐿1(𝑠) = 𝐿2(𝑠) → 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑗𝑜𝑛𝑒𝑛𝑒 𝑘𝑟𝑦𝑠𝑠𝑒𝑟
𝐿1(𝑠) = 𝐿2(𝑠)
180 = 30𝑠 + 120
180 − 120 = 30𝑠
60
30= 𝑠 = 2
Funksjonen har altså krysningspunkt når 𝑠 = 2 , men hva er da 𝐿1(𝑠) og 𝐿2(𝑠) ? Vi setter inn:
𝐿1(2) = 180
𝐿2(2) = 30(2) + 120 = 60 + 120 = 180
Med andre ord er 𝐿2(𝑠) = 𝐿1(𝑠) , når = 2. Og krysningspunktet er (2, 180).
Noter deg Selv om 𝑓(𝑥) er den vanligste måten å skrive om en funksjon på, er det ingenting spesielt med verken 𝑓 eller 𝑥 - 𝑃(𝑏) eller 𝐿(𝑠) er også tillatt. Du velger bokstaver som beksriver problemet bra. Høyden til et tre, som funksjon av tid kan f.eks skrives ℎ(𝑡) eller 𝑓(𝑥).
0
50
100
150
200
250
300
0 1 2 3 4 5 6
LØN
N
ANTALL SALG
L_1(s) L_2(s)
Side 10
Treningsoppgaver
Tall og algebra [Les om «Tall og algebra» før du gjør oppgavene] [Se fasit]
12. En venn av deg kjøpte en jakke for 1200 kroner. Du vil kjøpe en lik jakke, men når du kommer til butikken
koster jakken 2000 kroner. Hvor mange prosent var jakken på tilbud da vennen din kjøpte den?
13. Løs likningene.
a. x * 3 – 1 = 20
b. ( x * 8 ) / 4 = 10
c. X2 - 6 = 10
14. Du skal ro over en elv. Bredden på elven er 8 meter. For å ikke bli tatt av strømmen må du samtidig ro deg
mot strømmen. Du sikter deg 6 meter mot strømmen. Hvor langt må du ro før du kommer deg over elva?
(Hint: Tegn elva) (Hint: Pytagoras)
15. Løs oppgavene uten kalkulator.
a. 42 – 2( 3 + 5 ) =
b. (3/4) + (2/3) – (1/2) =
c. 25 =
16. En rettvinklet trekant består av katetene A og B, samt hypotenusen C. A = 4, B = 3.
a. Hva er arealet av trekanten?
b. Hva er lengden til C?
17. En terning har like lange sider. Hver side har lengde 2 cm. (Hint: Lag tegning)
a. Hva er volumet?
b. Hva er overflatearealet?
18. En terning har like lange sider. Hver side har lengde a cm. (Hint: Lag tegning)
a. Hva er volumet?
b. Hva er overflatearealet?
19. Løs ligningssettet med regning.
Ligning I: x + y = 3 Ligning II: 2x + 3y = 8
20. Tegn grafen til funksjonsuttrykket
y = 2x + 2
21. En kortstokk har 52 kort. Du trekker et tilfeldig kort.
a. Hva er sjansen for å trekke et rødt kort?
b. Hva er sjansen for å trekke et kort med bilde?
c. Hva er sjansen for å trekke en konge?
d. Hva er sjansen for å trekke kløverkonge?
22. Det har kommet nok en reform i skolesystemet, som har bestemt at en matteeksamen skal vare i
2 timer, 33 minutter og 31 sekunder. Bruk en kalkulator og finn ut hvor mange sekunder du har.
Side 18
23. Du kan velge mellom to typer eksamen, der oppgavene er like vanskelige.
a. 15 oppgaver på en time
b. 40 oppgaver på to timer og 15 minutter
Hvilken type eksamen gir deg mest tid per oppgave?
24. Løs likningen.
2(3 + x) - 4 = 5 + x
25. En dyreglad person eier 5 katter og 3 hunder. Hvor mange prosent av dyrene er hunder?
a. Ca 22 %
b. Ca 38 %
c. Ca 63 %
26. Hvis r er radius, og h er høyden til en sylinder. Hva er da formelen for
a. Volumet?
b. Overflatearealet?
27. Leger og sykepleiere bruker også matematikk. En del stoffer har halveringstid i kroppen, f.eks koffein (fra
kaffe) og medisiner. Halveringstid vil si tiden før halvparten av stoffet et brutt ned av kroppen. Har man f.eks
100mg koffein i kroppen, og halveringstiden er 4 timer, har man etter 4 timer 50mg, etter 8 timer 25mg,
etter 12 timer 12,5mg, og så videre.
a. Tegn en graf som viser koffein i kroppen (y-akse) og tid (x-akse).
b. Er dette en lineær funksjon?
28. Her er to kjente formler fra elektronikken, der I = Strøm, V = Spenning, R = Motstand og P = Effekt.
𝐼 = 𝑉
𝑅 𝑃 = 𝐼 ∗ 𝑉
Vis at om dette er sant, må nødvendigvis også følgende være sant:
𝑃 = 𝑉2
𝑅
29. Fem kilo epler koster 90 kroner. Tre kilo pærer koster 45 kroner. Hva er billigst å kjøpe per kilo?
30. Du betaler 600 kroner for en ipod, og du har fått 20% rabatt. Hva var den originale prisen?
31. Ifølge utdanning.no får dataingeniører gjennomsnittlig en lønn på 575 000 kroner per år. Vi regner med at
skatten er på 40%. Hvor mye kan en dataingeniør forvente å få utbetalt per måned?
32. Etter å ha jobbet med dette oppgaveheftet i en time og 40 minutter, har jeg kommer til oppgave 32. Jeg har
tenkt å lage 50 oppgaver basert på tidligere eksamener. Anslå hvor lang tid vil det ta å lage alle de 50
oppgavene.
33. Du jobber på verksted. Sjefen din vil vite hvor mye en bolt veier, og hvor mye en mutter veier. Problemet er
at alle mutterne og boltene sitter fastlåst. Du veier opp fastlåste bolter og muttere:
En bolt med 3 muttere veier 74 gram
En bolt med 7 muttere veier 106 gram
Hvor mye veier en bolt? Hvor mye veier en mutter?
Side 19
34. I vennegjengen din er høydene på deg og vennene dine følgende
158 cm 166 cm 173 cm 165 cm 178 cm
a. Hva er gjennomsnittshøyden?
b. Hva er medianen?
c. Hva er forskjellen mellom høyeste og laveste person?
35. Gjør uttrykkene så enkle som mulig
a. 6a – (2a + 3a)
b. 3(2a - 5) + 2(-2a + 8)
c. (3a + 2b)2
36. En husvegg måler 2 meter i høyden og 5 meter i lengden. Plankene du skal bruke til å dekke veggen er 20
centimeter i bredden, og koster 8 kroner per meter.
a. Hva er arealet av veggen?
b. Hvor mange meter med planke trenger du får dekke alt?
c. Hvor mye vil det koste deg å dekke veggen?
37. Epler koster 50 kroner per kilo. Pærer koster 70 kroner per kilo.
Et eple veier omlag 200 gram. En pære veier omlag 150 gram.
a. Hvor mye koster 4 epler og 7 pærer?
38. En kalkulator koster vanligvis 800 kroner. Men du får 30% rabatt av butikken. Hvor mye får du i rabatt, og
hva må du betale? Denne oppgaven regnes selvsagt uten kalkulator, da du ikke har kjøpt kalkulatoren enda.
39. Du kaster en terning. Hva er sjansen for å få en sekser?
Du har to terninger, som du kaster på likt. Hva er sjansen for å få to seksere?
40. En bil kjører med farten 72 kilometer per time. Hvor langt kommer bilen på fem timer?
41. Du løper 60 meteren på 8 sekunder. Hva er farten din i meter per sekund og kilometer per time?
42. Du begynner på sprint. Første gang du løper 300 meter klarte du det på et minutt. Hva var farten din i meter
per sekund? Treneren sier at etter et halvt år med hard trening er det vanlig å redusere tiden med 20
prosent. Hva er tiden din da? Hva blir farten din da?
43. Du får oppgitt følgende tabell.
x Y
0 -2
1 -1
2 2
3 7
Hvilken funksjon representerer denne tabellen?
a) Y = 2x – 2 b) Y = x2 – 2 c) Y = x2 + 2
Side 20
44. I en 30° − 60° − 90° trekant er det korteste katetet lik 3.
a. Hva er lengden til hypotenusen?
b. er lengden til det lengste katetet?
45. To kaster to terninger. Hva er sjansen for at summen av øynene er større en, eller lik, 8?
(Hint: Tegn opp tabell som viser alle utfall)
46. Sorter tallene i stigende rekkefølge:
5 𝜋 √27 9
2
7
2
47. En sirkel har et areal på 𝜋 ∗ 2,5 ∗ 2,5. Hva er diameteren til sirkelen?
48. Du har 2 grønne drops og 4 røde drops i en bolle.
a. Du tar en tilfeldig drops. Hva er sjansen for å ta en grønn?
b. Du har 2 drops. Hva er sjansen for å ta begge de grønne?
49. Skriv de neste to tallene i Fibonacci-tallfølgen
1 1 2 3 5 8 13 21 __ __
50. En pizza har en diameter på 40 centimeter, og en høyde på 2 centimeter. Et pizzastykke er 1/6 av pizzaen.
Hva er volumet til et pizzastykke?
Side 21
Utfordringer Nedenfor er noen utfordrende oppgaver. [Se fasit]
1. Summen av de 10 første positive heltallene er lik 55:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55
Hva er summen av de 100 første positive heltallene?
1 + 2 + 3 + ⋯ + 100 = ?
2. En bensinstasjon har tre forskjellige tilbud for kaffe:
a. Kunden betaler 10 kroner for hver kaffekopp.
b. Kunden betaler 150 kroner for et kaffekort, og 5 kr per kaffekopp.
c. Kunden betaler 1 krone for første kaffe, 2 kroner for neste, deretter 3 kroner, osv..
Hva er billigst dersom man kjøper 10 kaffekopper?
Hva er billigst dersom man kjøper 25 kaffekopper?
Hva er billigst dersom man kjøper 50 kaffekopper?
3. 10 ukjente personer møtes på en fest. Hvor mange håndtrykk må til for at alle skal hilse på alle?
4. I en fotballturnering er det 37 påmeldte lag. Hvor mange kamper må minst spilles for å finne en vinner?
5. Tallrekka 1 +1
2+
1
4+
1
8+
1
16+
1
32+
1
64+ ⋯ kan skrives på denne måten:
∑1
2𝑛
∞
𝑛=0
=1
20+
1
21+
1
22+
1
23+
1
24+ ⋯
1
2𝑛
Hva blir summen av rekka dersom vi lar 𝑛 gå mot evig? Med andre ord: hva blir summen dersom vi tar med
evig mange ledd?
6. Vi har fem bokstaver: A, B, C, D og E i en boks. Vi trekker ut alle fem i en tilfeldig rekkefølge. På hvor mange
forskjellige måter kan vi trekke ut A, B, C, D og E?
7. Dersom man kaster tre terninger, er den laveste summen 1 + 1 + 1 = 3 og den høyeste er 6 + 6 + 6 = 18.
Noen summer kan man få på flere måter, f.eks. gir både 4 + 5 + 5 og 5 + 5 + 4 summen 14. Du har tre
terninger, og kaster dem på likt. Hvor mange utfall gir en sum som er over 15?
8. Gitt at 𝐴 → 𝐷, 𝐷 → 𝐺, 𝐸 → 𝐻. Hvilken melding skuler seg i teksten:
𝐺𝑦 ℎ𝑢 𝑖𝑜𝑙𝑞𝑛 𝑙 𝑝𝑑𝑥𝑥ℎ
9. Løs ligningssystemet nedenfor, som inneholder 3 ukjente verdier, og 3 likninger.
I: 2𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = −8
II: −3𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 12
III: 𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 5
Side 22
Bruksområder
Programmering Datamaskiner har utallige bruksområder i dagens samfunn, og det kan være veldig nyttig å kunne litt
programmering. I tillegg er programmering veldig gøy når du forstår hvordan det fungerer. I denne seksjonen vil vise
litt programmering med programmeringsspråket Python (oppkalt etter Monty Python). Python er ganske lett å lese
og forstå, og brukes i stor grad til vitenskapelige utregninger. For å følge denne seksjonen anbefales det at du kjører
eksempelkoden min, og prøver å skrive litt kode selv.
Installer Python Gå til http://winpython.sourceforge.net/ og installer WinPython 2.x.x til din datamaskin, enten 32 bit eller 64 bit. I mappen du har installert åpner du programmet Spyder. Dersom du ikke ønsker å installere Python, kan du kjøre programmer på nettet her:
Klarer du få finne ut hvilket tall som dukker opp flest ganger?
Side 25
Numeriske metoder i Python
Noter deg En analytisk løsning kan gjøres med penn og papir. En numerisk løsning krever en datamaskin. I virkeligheten må vi ofte bruke numeriske metoder for å løse en likning.
Vi kan løse likninger på 2 måter: (1) analytisk eller (2) numerisk. Likningen 2𝑥 − 4 = 0 kan løses analytisk. Når vi
løser en likning analytisk samler vi den ukjente på en side. La oss ta en kikk på en vanskeligere likning:
2𝑥 − 4𝑥 = 0
Det er umulig å få x på en side – men vi kan allikevel gjette. Dersom vi prøver med x = 4 ser vi at dette er en løsning
på likningen, men det finnes 2 løsninger. Ta en kikk på grafen til funksjonen 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4 :
Grafen har like mange nullpunkter som 2𝑥 − 4𝑥 = 0 har løsninger. Vi kan lage et program i Python som løser denne
likningen. Logikken er slik:
1. Vi starter på x = 1, og hopper en distanse D til venstre (f.eks D = 1)
a. Dersom funksjonen er positiv, har vi gått for langt – vi hopper D/2 til høyre.
b. Dersom funksjonen er negativ, hopper vi D/2 videre til venstre.
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
Side 26
# -*- coding: utf-8 -*-
#Vi henter inn divisjon
from __future__ import division
#Vi definerer startverdiene våre
x = 1
f = 2**x - 4*x
D = 1
while f < -0.0001 or f > 0.0001:
#Koden fra nå av vil kjøre helt til f(x) er nær null
if f < 0: #Dersom funksjonen er lavere enn null
x = x - D #Trekker vi fra verdien D i x
if f > 0: #Dersom funksjonen er høyere enn null
x = x + D #Legger vi til verdien D i x
f = 2**x - 4*x #Vi regner ut f(x) på nytt med ny x-verdi
D = D/2 #Vi halverer verdien D
print 'f(x) = {} når x = {}'.format(f, x) #Vi printer ut info
Vi får x = 0.3099 som svar, noe som stemmer bra.
Dersom du forsto dette eksempelet, er du veldig flink. (Dersom du ikke forsto det kan du trøste deg med at det er
langt over ungdomsskolenivå.) Prøve å finn løsningene til likningen 3𝑥 − 8𝑥 − 1 = 0 .
Dersom du liker programmering, kan du lese mer om Python her https://docs.python.org/2/tutorial/. Om du leser
fra kap 1 til og med kap 5 kan du allerede veldig mye.
Energi i tyngdefeltet Termodynamikkens første lov sier at energi ikke kan forsvinne eller bli
skapt, den kan bare endre form. Basert på dette kan vi utlede en formel,
som vi kan bruke til å regne på energi i tyngdefeltet. Når vi bruker denne
formelen, ser vi bort ifra all friksjon, luftmotstand, etc.
Kinetisk energi er «fartsenergi», og er gitt ved:
𝐾𝐸 = 1
2𝑚𝑣2
Potensiell energi er potensialet som et legeme har ved en viss høyde, gitt ved:
𝑃𝐸 = 𝑚𝑔ℎ
Energien i tyngdefeltet består av kinetisk energi (farten) og potensiell energi (høyden), og er alltid lik:
𝐸1 = 𝐸2
𝐾𝐸1 + 𝑃𝐸1 = 𝐾𝐸2 + 𝑃𝐸2
1
2𝑚𝑣1
2 + 𝑚𝑔ℎ1 =1
2𝑚𝑣2
2 + 𝑚𝑔ℎ2
Høyden (h) kan være målt fra hvor som helst, men vi må bruke samme utgangspunkt for høyden på begge sider av
likhetstegnet. Massen (m) finnes i alle ledd, vi kan derfor dele på massen i alle ledd og kvitte oss med m, dersom
massen ikke endrer seg. Gravitasjonen (g) er konstant lik 9,81 m/s2 på jordkloden. Farten (v) betegnes med v på
grunn av det engelske ordet velocity (fart).
Eks 1.
En stuper hopper fra 5 meteren, hva er farten til stuperen når han treffer vannet?
Løsning: Vi setter basen for høyden vår på vannflaten. I starten har vi ingen fart (kinetisk energi), men vi har
potensiell energi. Når stuperen treffer vannet har han ingen potensiell energi (vi valgte h = 0 på vannet), men han
har kinetisk energi.
1
2𝑚𝑣1
2 + 𝑚𝑔ℎ1 =1
2𝑚𝑣2
2 + 𝑚𝑔ℎ2
𝑚𝑔ℎ1 =1
2𝑚𝑣2
2
Massen er lik før og etter, så vi kan dele på m. Deretter snur vi likningen for løser for v.
𝑣2 = √2𝑔ℎ1 = √2 ∗ 9,81 ∗ 5 = 9,9 𝑚/𝑠
Eks 2.
En syklist har en startfart på 12 m/s (43,2 kilometer / time). Han sykler til starten av en bakke (se bildet på toppen av
denne siden) og slutter å gi fart når han når bakken, hvor langt opp kan han komme før han triller bakover?
Løsning: Vi setter basen for høyden før bakken. Syklisten har da kinetisk energi før han når bakken, men ingen
potensiell energi. Rett før han triller bakover har han ingen kinetisk energi, men han har potensiell energi.
1
2𝑚𝑣1
2 + 0 = 0 + 𝑚𝑔ℎ2
ℎ2 =𝑣1
2
2𝑔=
122
2 ∗ 9,81= 7,34𝑚
Side 28
Termodynamikk Termodynamikkens første lov sier at energi verken kan forsvinne, eller bli skapt. Energi er med andre ord bevart,
men endrer form (f.eks. fra elektrisk energi til varmeenergi i en varmeovn). Alle stoffer har en tallverdi som kalles
spesifikk varmekapasitet. Et stoffs spesifikke varmekapasitet er hvor mye energi man trenger for å varme 1 kg opp
med 1 grad celcius. Grunnen til at det føles kaldere å sitte på en steinbenk kontra en trebenk, selv om begge har
samme temperatur, er fordi stein har høyere spesifikk varmekapasitet. Det kreves med andre ord en del energi for å
varme steinbenken opp til kroppstemperatur, og denne energien kommer fra kroppen til personen som sitter på
benken. Energi måles i Joule, der en Joule er energimengden man brukes hvis man utøver en kraft på 1 Newton langs
en distanse på 1 meter.
Eks 1. Se for deg at vi har en bøtte med vann, som inneholder 30 L vann, med en temperatur på 90 grader celsius.
Bøtta står i et varmeisolert rom som måler 5m x 5m x 2m. Romtemperaturen er 18 grader celsius. Når systemet
(rommet og bøtta) oppnår samme temperatur, hva vil temperaturen til rommet og vannet være? Luft har en
massetetthet på 1,24kg/m3, og en spesifikk varmekapasitet på 1005 J/(kg*C). Vann har en spesifikk varmekapasitet
på 4180 J/(kg*C).
𝐸𝑓ø𝑟 = 𝐸𝑒𝑡𝑡𝑒𝑟
𝐸𝑣𝑎𝑛𝑛 + 𝐸𝑙𝑢𝑓𝑡 = 𝐸𝑣𝑎𝑛𝑛 + 𝐸𝑙𝑢𝑓𝑡
𝑚𝑣𝑐𝑣𝑇𝑣 + 𝑚𝑙𝑐𝑙𝑇𝑙 = 𝑚𝑣𝑐𝑣𝑇 + 𝑚𝑙𝑐𝑙𝑇
𝑚𝑣𝑐𝑣𝑇𝑣 + 𝑚𝑙𝑐𝑙𝑇𝑙 = 𝑇 ( 𝑚𝑣𝑐𝑣 + 𝑚𝑙𝑐𝑙)
𝑇 =𝑚𝑣𝑐𝑣𝑇𝑣 + 𝑚𝑙𝑐𝑙𝑇𝑙
( 𝑚𝑣𝑐𝑣 + 𝑚𝑙𝑐𝑙)
Vi må finne massen til vannet, og massen til luften. Siden 1L vann har en masse på 1kg, er massen til vannet lik 30kg.
Massen til luften regner vi ut slik:
𝑚𝑙 = (5𝑚 ∗ 5𝑚 ∗ 2𝑚) ∗ 1,24𝑘𝑔
𝑚3= 62𝑘𝑔
Vi kan nå sette inn verdier og løse for T:
𝑇 =30 ∗ 4180 ∗ 90 + 62 ∗ 1005 ∗ 18
(30 ∗ 4180 + 62 ∗ 1005)= 66,1°𝐶
Merk deg at dersom du utfører et slikt eksperiment, vil temperaturen neppe nå 66,1°𝐶 , fordi energi vil også forlate
rommet. Gjenta mine utregninger, men gjør to endringer:
Bruk et overslag på rommet du befinner deg i, i stedet for 5m * 5m * 2m.
Tenk deg at i stedet for en stor bøtte, så har du en kaffekopp med 0,2 liter vann.
Virker svaret realistisk? Alt etter hvor stort rommet er, får du nok et svar på mellom 0,5 og 2 grader.
Side 29
Beviser og forklaringer
Hva er pi? Pi er rett og slett forholdet mellom diameteren (d) og omkretsen (O) til en
sirkel. Dette er definisjonen av pi:
𝜋 ≡𝑂
𝑑
Legg merke til at vi bruker «≡» tegnet i stedet for «=». Det nye tegnet betyr
at det er en definisjon, og ikke et resultat fra som stammer fra andre
utregninger. Skolebøkene liker å gange denne definisjonen med 𝑑 på begge
sider, vi får da:
𝑂 = 𝑑𝜋 = 2𝑟𝜋
Dette fordi 𝑑 = 2𝑟 (diameteren er alltid det dobbelte av radiusen). Den
kjente formelen 𝑂 = 2𝑟𝜋 er altså bare et resultat av å snu rundt på en definisjon.
La oss gå tilbake til tallet pi. Det rare med pi er at det er et irrasjonelt tall, det vil si at det ikke kan uttrykkes som en
brøk. Videre er det et transcendentalt tall, noe som betyr at det ikke kan uttrykkes med hjelp av f.eks en kvadratrot.
Hvordan regner vi ut desimaltallene i pi? Den enkleste måten er å tegne et stor, pen sirkel på et ark. Mål omkretsen til sirkelen, mål deretter diameteren. Du
får nok noe som ligner på 3,14. For de aller fleste praktiske bruksområder er 3,14 nøyaktig nok. Dersom du ønsker å
finne ut flere desimaler, kan man bruke en datamaskin. F.eks kan det være interessant å vite at:
𝜋 = 4(1 −1
3+
1
5−
1
7+
1
9−
1
11+
1
13− ⋯ )
Dersom vi forsetter med evig mange ledd, ender vi opp med pi!
Det viktigste å huske er at pi ikke er et magisk tall, det er kun forholdet mellom omkretsen og diameteren til en
sirkel. For de aller fleste praktiske formål holder det med et par desimalverdier av pi, det kan allikevel være
interessant å vita at det finnes matematiske metoder for å regne ut millioner av desimaltall.
Side 30
Arealet av en sirkel Ta en kikk på bildet til venstre. Vi deler en sirkel opp i «kakestykker», dersom vi
har 8 kakestykker (slik som på bildet) ligner det litt på en sirkel. Desto flere
kakestykker, desto mer ligner det på en sirkel. Arealet av et kakestykke er
𝐴𝑘 =𝑠 ∗ ℎ
2
Hvor mange kakestykker har vi? Vi vet at lengden 𝑠, ganget antallet, er lik 2𝜋𝑟
dersom vi har veldig mange kakestykker. Vi skriver dette som en formel:
𝑠 ∗ 𝑎 = 2𝜋𝑟
For ryddighetens skyld snur vi på formelen over, og løser for antall:
𝑎 = 2𝜋𝑟
𝑠
Hva er arealet av en sirkel? Arealet til et kakestykke, ganget med antall kakestykker(nå kakestykkene er veldig små)!
𝐴𝑠𝑖𝑟𝑘𝑒𝑙 = 𝐴𝑘 ∗ 𝑎 = (𝑠 ∗ ℎ
2) ∗ (
2𝜋𝑟
𝑠) = 𝜋𝑟ℎ = 𝜋𝑟𝑟 = 𝜋𝑟2
Den ant siste likheten kommer av at 𝑟 = ℎ.
Enda et bevis Vi arrangerer kakestykkene slik som bildet til venstre viser. Dersom du tar
store kakestykker, stemmer det ikke veldig godt. Desto mindre
kakestykker du velger, desto lettere er det å forstå og se at arealet blir lik
𝜋𝑟2. Høyden i parallellogrammet lik 𝑟, omkretsen er lik 2𝜋𝑟 – men siden
bunnen av parallellogrammet er halvparten av omkretsen, er bunnen av