MATEMATIKASTATISTIKA (MATHEMATICAL STATISTICS) UNIPA

MATEMATIKA STATISTIKA(MATHEMATICAL STATISTICS)GANGGA ANURAGA

STATISTIKA UNIPA SURABAYA

Materi :• Distribusi variabel random

• Teori Himpunan• Fungsi Himpunan• Fungsi Himpunan Peluang• Variabel Random• Fungsi Kepadatan Peluang• Fungsi Distribusi• Model Probabilitas• Ekspektasi Matematik

• Peluang bersyarat dan kebebasan stokastikSTATISTIKA UNIPA SURABAYA

Materi :• Beberapa distribusi khusus

• Distribusi binomial• Distribusi poisson• Distribusi Gamma dan Chi-square• Distribusi normal

• Distribusi Sampling dari fungsi variabel• Teori pengambilan sampel• Teknik fungsi pembangkit momen• Distribusi order statistik• Transformasi variabel randomSTATISTIKA UNIPA SURABAYA

Referensi :• Introduction to Mathematical Statistics: Hogg and Craig.

(Recommended)• Mood, A.M., Graybill,F.A. dan Boes, D.C. (1974). Introduction of the

Theory of Statistics. 4th ed. Mc-Graw Hill. Tokyo.• Rice, J.A. (1995). Mathematical Statistics and Data Analysis. Second

Ed. Duxbury Press. Belmont, California. (Recommended)• Rohatgi, V.K. (1976). An Introduction to Probability Theory and

Mathematical Statistics. Wiley & Sons. New York.• Bartoszynski, R dan Bugaj, M.N., (2008)., Probability and statistical

inference. Second Ed. A John Wiley & Sons, Inc., Publication. NewJersey. (Recommended)STATISTIKA UNIPA SURABAYA

Evaluasi• Nilai Tugas (30%)• Nilai UTS (20%)• Nilai UAS (50%)


PENDAHULUANMatematika Statistik

Dalam alam semesta pada dasarnya terdapat 2 aktivitas(percobaan).a. Percobaan deterministik : percobaan yang sudah pasti terjadi.

contoh : …………………b. Percobaan Stokastik / Acak / Random / Statistik / Probabilistik :

percobaan yang mempunyai sifat : Semua hasil yang terjadi dapat diketahui Hasil yang terjadi tidak dapat diketahui sebelum percobaan

tersebut dilakukan.STATISTIKA UNIPA SURABAYA

Berikut adalah contoh-contoh dari percobaan randomContoh 1 : Percobaan yang dilakukan dengan melemparkan

sebuah mata uang, terdapat 2 macam hasil A (angka) dan G(gambar). Jika diasumsikan bahwa mata uang tersebut dapatdilempar secara berulang-ulang maka pelemparan mata uangdiatas adalah contoh dari percobaan random dengan ruangsampel { A, G}.Contoh 2 : Pelemparan dua buah dadu yang bewarna merah dan

putih, Jika diasumsikan bahwa pelemparan tersebut dilakukansecara berulang-ulang. Ruang sampel terdiri dari.... Contoh 3 : Pada suatu proses produksi, pengamatan dilakukan

terhadap proses produksinya. Xi menyatakan hasil produksi ke – i, i= 1,2,3,...Contoh 4 : memilih bilangan secara random pada selang 0 < X < 1STATISTIKA UNIPA SURABAYA

Akibat percobaan random :1. Terdapat ruang sampel2. Terdapat event (kejadian / peristiwa)

- akibat dari (1) dan (2) muncul probabilitas suatu event / kejadianevent A :

* probabilitas aksiomatis

/ S

, ,A B C

disebut sebagai *"probabilitas klasik"n A

P An


3. Terdapat variabel random- variabel random : fungsi yang memetakan setiap anggota ruang

sampel ke bilangan real.* variabel random diskrit : variabel random yang menjalani bilangan

bulat* variabel random kontinu : variabel random yang menjalani

bilangan realContoh :

misalkan X = banyaknya pasien yang sembuh, tentukan bahwa Xadalah variabel random diskrit?

Dokter mengobati 3 pasien :

=

TTT TTS SST SSS

TST STS

STT TSS


4. Terdapat Fungsi distribusi probabilitas: suatu fungsi yang dapat menggambarkan sifat dasar / karakter dari

suatu variabel randoma) fungsi distribusi probabilitas diskritb) fungsi distribusi probabilitas kontinu Definisi :a) F disebut fungsi distribusi probabilitas diskrit untuk variabel

random x jika :

b) F disebut fungsi distribusi probabilitas kontinu untuk variabelrandom x jika :

0

1x

f x

f x

0

1

f x

f x


5. Terdapat Ekspektasi dan Variansi

6. Terdapat fungsi pembankit moment (MGF)

1

2

. variabel random diskrit

variabel random kontinu

b.

x

a E x x f x

E x x f x dx

Var x E x E x

1

-

variabel random diskrit

= variabel random kontinu

txx

tx

x

tx

M t E e

e f x

e f x


TERIMA KASIH


DISTRIBUSI VARIABEL RANDOMGANGGA ANURAGA


TEORI HIMPUNAN (SET THEORY)Jika A adalah sebuah himpunan, dan a berada didalam A,

maka dikatakan a sebagai anggota dari himpunan dan biasanya ditulis .

Sebagai contoh, A adalah himpunan bilangan riil dimana 0 1 atau dit

a A

x

ulis

1 1; 0 1 , maka adalah anggota dari A ( A), tetapi2 21 1

1 bukan anggota dari A 1 A .2 2

x x


BEBERAPA DEFINISI PENTING PADA TEORIHIMPUNAN

Definisi I :

Himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan secara lenkap

disebut sebagai himpunan semesta (space), yang biasanya dinotasikan

dengan huruf besar seperti S, , dll.

Definisi II :

Jika

c

S merupakan himpunan semesta dan A adalah himpunan bagian dari S

maka komplemen A ditulis A adalah himpunan yang memuat anggota-anggota

dari S tetapi tidak termuat dalam A.

contoh :

S = x ; x = 0, 1, 2, c

3, 4 dan A = x ; x = 0, 1

maka komplemen A atau A = x ; x = 2, 3, 4


1 2 1 2

1

2 1 2 1 2

1

Definisi III :

A merupakan himpunan bagian dari A (ditulis A A ) jika

dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x juga merupakan anggota

dari A ditulis : A A x A x A

contoh :

A = x

2 1 2 ; 0 x 1 , A = x ; 0 x 2 , maka A A

Gambarkan diagram Venn-nya ?

Definisi IV :

Himpunan A tidak mempunyai anggota, disebut himpunan kosong

A =

contoh :

A = x ; 0 < x < 1 dan x bilangan bulat ,

maka A = STATISTIKA UNIPA SURABAYA

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

Definisi V :

Gabungan dua himpunan A dan A ditulis A A yaitu

suatu himpunan yang anggotanya adalah semua anggota A dan A ,

ditulis A A = x | x A atau x A .

Gabungan dari himpunan-himpunan

1 2 3

1 2 3

1

2

1 2

A , A , A ,.....adalah

A A A ......

contoh :

A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

A = x ; x = 2, 3, 4, 5 atau 5 < x 10

Maka A A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 atau 5 < x 10


1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

Definisi VI :

Irisan dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah

suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari

A dan juga dari A ditulis : A A = x | x A dan x A

Irisan dar

1 2 3

1 2 3

1

2

1 2

1 2

i beberapa himpunan A , A , A ......adalah

A A A .....

Contoh :

A = x, y ; x, y = 0,0 , 0,1 , 1,1

A = x, y ; x, y = 1,1 , 1,2 , 2,1

maka A A x, y ; x, y = 1,1

Contoh :

A = x,y ; 0 x+y 1 , A = x,y ; 1

1 2

x+y

maka A A ....


1 2 1 2

1

2 1 2 1 2

1

Definisi VII :

Selisih dua himpunan A dan A ditulis A -A adalah

suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A

tetapi bukan anggota dari A A -A = x | x A dan x A

Contoh :

A = x

2

1 2

2 1

| x bilangan asli

A = x | x bilangan bulat

A -A =

A -A = x | x bilangan bulat tidak positif


1 2 1 2

1

2 1 2

1 2 1

Definisi VIII :

Jumlah dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah

suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota A atau

anggota A tetapi tidak termuat dalam A A .

A + A = x | x A

2 1 2

1 2 1 2 1 2

1

2

1 2

atau x A dan x A A .

Khusus untuk A dan A yang saling lepas, maka A A = A A .

Contoh :

A = x | x bilangan cacah

A = x | x bilangan bulat negatif

maka A + A = x | x bilangan bulat


BEBERAPA HAL PENTING DALAM TEORIHIMPUNAN


CONTOH :

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 1 1 2 3

2 2 3 4 5 3 3 4 5 8

c c c1 2 3 1 2 1 3 2 3

Suatu ruang sampel S = s ,s ,s ,s ,s ,s ,s ,s dan himpunan

A , A , dan A adalah sebagai berikut : A s ,s ,s ,

A s ,s ,s ,s ,A s ,s ,s ,s .

Tentukan A , A , A , A A ,A A , A A ,

1 2 3 1 2 1 3 1 2 3

c1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 1

A A A , A A ,A A , A A A ,

A - A , A - A , A - A ,A - A ,A - A , A .c


1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

c

1. Carilah himpunan gabungan dari A A dan interseksi A A

dimana A dan A adalah :

a A ; 0,1,2 , A ; 2,3,4

b A ;0 2 , A ;1 3

2. Carilah A dari himpunan A dengan ruang sampel

x x x x

x x x x

c c c c1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 3 k k+1

S sebagai berikut :

5 S ;0 1 ,A = ; 1

8

3. Buktikan bahwa A A A A dan A A A A

4. Jika A , A , A ,...adalah himpunan yang terdefinisikan bahwa A A ,

k = 1, 2, 3,...,

c c

x x x x

kk

1 2 3 kk

k

dan lim A didefinisikan sebagai himpunan gabungan

A A A . Carilah lim A jika :

A ;1/ 3 1/ , 1,2,3...;x k x k k

SOAL LATIHAN :


FUNGSI HIMPUNAN (SET FUNCTION)

1 3 2

Fungsi-fungsi di dalam kalkulus misalnya :

1 5 ,

2 , , 0 ,0

Akan mempunyai nilai untuk x yang tertentu :

1 1, maka 1 5

2 1 dan y 3, maka 1,3

Fungsi diatas dis

x y

f x x x

g x y e x y

x f

x g e e

ebut fungsi dari sebuah titik, karena

dihasilkan pada sebuah titik. Fungsi yang dihasilkan oleh

semua titik pada sebuah himpunan disebut "FUNGSI HIMPUNAN".STATISTIKA UNIPA SURABAYA

1

Contoh :

Untuk setiap himpunan A yang berdimensi satu, didefinisikan

2 1Q A dimana , 0,1,2,...

3 3

0 , lainnya

Jika A ; 0,1,2,3 , maka Q

x

A

f x f x x

x x

1A ...?


1 2

1 2

Contoh :

Untuk setiap himpunan A berdimensi satu, Q A

dimana 6 1 , 0 1

0 , lainnya

1 3 1jika A ; ,A ;

4 4 2

Tentukan Q A dan Q A ...?

A

f x dx

f x x x x

x x x x


TERIMA KASIH


VARIABEL RANDOM DAN FUNGSI KEPADATAN PELUANGGANGGA ANURAGA


VARIABEL RANDOM

- variabel random : fungsi yang memetakan setiap anggota ruang

sampel ke bilangan real.

* variabel random diskrit : variabel random yang menjalani bilangan

bulat

* variabel random kontinu : variabel random yang menjalani

bilangan real

Catatan : didalam statistik kita selalu lebih tertarik pada fungsi himpunan

peluang dari variabel random X dari ruang sampel


Bahwa x yang bertipe kontinu maupun diskrit dengan

peluang ( ) ditentukan sepenuhnya oleh fungsi .

Dalam hal ini disebut sebagai "fungsi kepadatan peluang"

(f.d.p

P X A f x

f x

FUNGSI KEPADATAN PELUANG (f.d.p)

/ ) dari variabel random x.probability density function


Variabel Random Diskrit

0

1

( )

x A

x A

f x

f x

P x A f x

DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM


4

Variabel Random Diskrit

Soal

X adalah variabel random yang bertipe diskrit dengan ruang sampel

S = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4 . ( ) dimana

4! 1 ( )

!(4 )! 2

A

P A f x

f xx x

DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM

, S.

Jika A = x ; x = 0,1 maka P(x A) ?

x


1

1

X adalah variabel random yang bertipe diskrit dengan

1ruang sampel ; 1, 2, 3, ...... dan ;

2

Jika ; 1, 3, 5, 7,...... merupakan himpunan bagian dari

ruang sampel maka tentukan .

Dike

x

x x f x x

x x

P A

1

tahui suatu variabel random X dengan fungsi kepadatan peluang

9 (f.d.p) : , 1, 2,... dan 0 untuk x lainnya.

10

Tentukan nilai konstanta c.

x

f x c x


Fungsi himpunan dari dua variabel random X dan Y

1 , dimana ( , ) ,

52

, , ; , 0,1 , 0,2 ,..., 0,13 , 1,1 ,..., 1,13 ,..., 3,13

Hitunglah ,

a). A = x,y ; , 0, 4 , 1,3 , 2,2

AP A f x y f x y

x y S x y x y

P A P X Y A

x y

b). A = x,y ; 4, x,yx y S


A

Variabel random kontinu

Jika S adalah ruang sampel dari variabel random X

dan fungsi himpunan peluang P(A) didefinisikan

sebagai :

P(A) = P(X A) = f x


2

1 2

1 2 1 2 1 2

Soal :

Fungsi himpunan peluang P(A) dari variabel random X

adalah :

3P(A) = , dimana

8

; 0 2

1; 0 , ;1 2 2

adalah himpunan bagian dari , maka tentukan

, , dan .

A

xf x dx f x

X x x

A x x A x x

P A P A P A A P A A


1

1

2

2

, ; 0 1 adalah ruang sampel dari dua variabel

random x dan y. Fungsi himpunan peluang adalah

2

1Jika , ; 12

maka tentukan .

1Jika , ; 1, 02

maka tentukan .

A

x y x y

P A dx dy

A x y x y

P A

A x y x y x

P A


1

A

1

Variabel random kontinu

Soal:

Dua variabel random X dan Y dengan ruang sampel

= , ;0 1 . Dan fungsi himpunan peluang

1P(A) = 2 . Tentukan A , ; 1

2

dimana A himpunan bagian dari

A x y x y

dx dy x y x y

A.

Soal :

Variabel random X mempunyai f.d.p :

2 ;0 1

0 ;untuk x yang lain

1 3 1 1Tentukan P( ) dan P(- )

2 4 2 2

x xf x

x x


TERIMA KASIH


FUNGSI DISTRIBUSI (CUMULATIVE DISTRIBUTION

FUNCTION)

GANGGA ANURAGA


FUNGSI DISTRIBUSI (CDF)

• Suatu fungsi yang dapat menggambarkan sifat dasar /

karakter dari suatu variabel random

• Fungsi distribusi probabilitas diskrit

• Fungsi distribusi probabilitas kontinu


-

Jika variabel random x dengan f.d.p f(x), x A

Definisi :

F(x) = Pr(X x)

1) Variabel Random X diskrit

F(x) =

t x

2) Variabel Random X Kontinu

F(x) =

F(x)

x

f t

f t dt

disebut fungsi distribusiSTATISTIKA UNIPA SURABAYA

Soal :

x, 1,2,3

1. Variabel Random X dengan f.d.p f(x) 6

0, untuk x lainnya

Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Grafiknya?

1, 02. Variabel Random X dengan f.d.p f(x)

0, untuk x la

x A

x

innya


1/3, 1,0,13. Variabel Random X dengan f.d.p f(x)

0, untuk x lainnya

Tentukan Fungsi Distribusi dari X dan Gambarkan Graf

x

iknya?

x/15, 1, 2,3,4.54. Variabel Random X dengan f.d.p f(x)

0, untuk x lainnya


x


3

Soal:

k,1

1. Variabel Random X dengan f.d.p f(x) x

0, untuk x lainnya

Carilah k agar memenuhi sifat f.d.p ?

Tentukan Fungsi distribusi dan gambarkan grafiknya ?

2. Variabel Random X dengan

x

2

3 1-x , 0 1f.d.p f(x)

0, untuk x lainnya

Tunjukkan bahwa f(x) memenuhi sifat f.d.p ?

Tentukan Fungsi distribusi dan gambarkan grafiknya ?

x


Soal:

0, 0

13. Variabel Random X dengan F(x) , 0 1

2

1 , 1

1 Hitung Pr -3 < x dan Pr x 0 ?2

0 , 1

24. Variabel Random X dengan F(x) , 1 1

4

1 ,1

1 1 Hitung Pr < x , Pr x 0 , Pr x 2 2

x

xx

x

x

xx

x

1 , Pr 2 < x 3 ?


sifat-sifat fungsi distribusi

1. F lim F x 1

F lim F x 0

2. 0 F x 1

3. suatu fungsi yang tak monoton turun

4. F x kontinyu ke kanan setiap x

x

x


• Distribusi binomial• Distribusi poisson


• Distribusi uniform• Distribusi normal


TERIMA KASIH


DISTRIBUSI GABUNGAN

DAN MARGINALGANGGA ANURAGASTATISTIKA UNIPA SURABAYA

DISTRIBUSI GABUNGAN / JOINT DISTRIBUTION

FUNCTION

Jika terdapat dua variabel random X dan Y,

maka distribusi peluang terjadinya X dan Y

secara serentak dinyatakan dengan fungsi (x, y).

Fungsi (x, y) disebut dengan Distribusi

Bersama / Distribusi Pel

f

f

uang Gabungan /

X dan Y. Joint Distribution Function


DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM DISKRET BERDIMENSI DUA


x y

Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Diskrit :

1. , 0 untuk semua x, y

2. , 1

3. , , . untuk setiap daerah A di bidang xy.

A merupakan himpunan bagian dari daerah a

A

f x y

f x y

P X Y A f x y

2 2

sal X dan Y.

Contoh 5.1:

Jika diketahui fungsi peluang gabungan dari variabel random X dan Y

adalah :

1,0,1,3 , 1,2,3,

0,

a. Carilah nilai konstanta k ?

b. Hitunglah P

k x y x yf x y

untuk x dan y yang lain

X = 0, Y 2 ?STATISTIKA UNIPA SURABAYA

DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM KONTINYU BERDIMENSI DUA

Variabel random X dan Y dikatakan variabel random kontinyu

berdimensi dua jika nilai-nilai dari X dan Y merupakan nilai-

nilai yang berupa interval.


Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Kontinnu :

1. , 0, untuk semua x, y

2. , 1

3. , ,

untuk setiap daerah A di bidang xy. A merupakan

himpunan bagi

A

f x y

f x y dx dy

P x y A f x y dx dy

an dari daerah asal X dan Y.

Contoh 5.2 :

Jika diketahui fungsi padat gabungan / fungsi densitas gabungan

variabel random X dan Y adalah :

1,

8

Hitunglah peluang P 0 x 1,1 y 2 ?

f x y x y


DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM DISKRIT

Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random diskrit X dan Y,

maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y .

g x ,

,

Berdasarkan contoh 5.1, tentukan distribusi peluang marginal X

d

y

x

f x y

h y f x y

an distribusi peluang marginal Y?


DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM KONTINU

Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random kontinu X dan Y,


,

,

Berdasarkan contoh 5.2, tentukan distribusi peluang margina

y

x

g x f x y dy

h y f x y dx

l X

dan distribusi peluang marginal Y?


EKSPEKTASI MATEMATIKGANGGA ANURAGA


Definisi :

Variabel random X dengan f.d.p f x dan u x adalah

suatu fungsi dari variabel random X, sedemikian hingga :

untuk variabel random kontinu

E u

untuk variabel random diskrit

x

u x f x dx

x

u x f x

Jika integral atau deret tersebut konvergen mutlak maka E u

disebut ekspektasi dari u x .

x


n

i i i i

i=1 1

Sifat - sifat dari ekspektasi matematik :

1. E (k) = k, k = konstanta

2. E [k u(x)] = k E[u(x)]

3. E k u (x) k E[u (x)] , n hingga ekspektasi bersifat liniern

i

2

2

2

2

Var u Var(x) = E(x - E(x))

(x - E(x)) untuk variabel random kontinu

=

(x - E(x)) untuk variabel random diskritx

x

f x dx

f x


2

3

Contoh 1.

Misal X dengan f.d.p

2 1 , 0 1

0 , untuk x yang lainnya

maka E 6x + 3x ....?

Contoh 2.

Misal X dengan f.d.p

/ 6 , 1,2,3

0 , untuk x yang lainnya

maka E (x ) ...?

x xf x

x xf x


2

Soal Latihan :

1. Variabel random memiliki fungsi kepadatan peluang

2 f.d.p ( ) , 2 4 dan 0 untuk yang lain.

18

Tentukan ( ) dan ( 2) .

2. Variabel random memiliki fungsi kepadat

x

xf x x x

E x E x

x

2 2

an peluang

1 f.d.p ( ) , 1, 2,3,4,5 dan 0 untuk yang lain.

5

Tentukan ( ), dan ( 2) .

3. Variabel random memiliki fungsi kepadatan peluang

1 f.d.p ( , ) , , 0,0 , 0,1 , 1,1 da

3

f x x x

E x E x E x

x

f x y x y

n

0 untuk , yang lain.

1 2 Tentukan .

3 3

x y

E x y


5. Variabel random dan memiliki fungsi kepadatan peluang

f.d.p ( , ) 2, 0 , 0 1 dan 0 untuk ,

yang lain. Didapatkan bahwa , ,

, dan , .

Tunjukkan bahwa ,

x y

f x y x y y x y

u x y x

v x y y w x y xy

E u x y

2

2

, ,

6. Misalkan X merupakan variabel random dengan f.d.p

f(x) = 3x , 0 < x < 1

maka tentukan E (x), E(x ), dan Var (x).

Jika variabel random y dengan y = 3x - 2

tentukan E

E v x y E w x y

(y) dan Var (y) ?STATISTIKA UNIPA SURABAYA

Fungsi Pembangkit Momen(Moment Generating Function)

Gangga Anuraga


Diberikan variabel random X dengan fungsi distribusi

probabilitas , MGF dari X didefinisikan sebagai

Kontinu

Diskrit

Fungsi pembangkit m

x

tx

tx

tx

tx

x

f x

M t E e

e f x

M t E e

e f x

omen secara lengkap menentukan

distribusi sampling dari suatu variabel random.

Karakteristik Fungsi Pembangkit Momen

t cx ct x

cx x cx x

t cx ddt

cx d x cx d

M t M ct M t E e E e M ct

M t e M ct M t E e

.ct xdt dt

xE e e e M ct STATISTIKA UNIPA SURABAYA

MGF dan Ekspetasi Matematik

0

0

0 00

0

merupakan turunan pertama dari MGF

dan

, 2,3,

merupakan turunan ke-n dari MGF

Catatan :

|

x t

nn

xn t

tx tx

x t tt

tx

t

dE x M t

dt

dE x M t n

dt

d d dM t E e E e

dt dt dt

E xe E x


2

Soal Latihan

1. Diketahui variabel random x dengan fungsi kepadatan

peluang , 0.

a) Carilah MGF

b) Tentukan , dan

c) Jika variabel random didefinisikan sebagai

x

x

f x e x

M t

E x E x Var x

y

2 3 .

- Tentukan MGF dan

2. Diketahui variabel random x dengan fungsi kepadatan

1 peluang , 1,2,3.....

2

a) Carilah MGF

b) Tentukan dan

y

x

x

y x

M t E y

f x x

M t

E x Var x


1

3. Diketahui x suatu variabel random berdistribusi poisson

dengan MGF .

Tentukan rata-rata dan varians dari variabel random ?

4. Diketahui x suatu variabel random berdistribusi BIN n,p

te

xM t e

x

dengan MGF

Tentukan rata-rata dan varians dari variabel random ?

nt

xM t pe q

x


DISTRIBUSI DAN EKSPEKTASI BERSYARATGANGGA ANURAGA


DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT

1 2

2 1 1 1

1 1

1 2

2 1 1 1 2 2 2

2 2

1 2 2

DEFINISI :

,| , 0 disebut f.d.p bersyarat

,dari x bila diketahui X , sejalan | , 0

disebut f.d.p bersyarat dari x bila diketahui X .

f x xf x x f x

f x

f x xx f x x f x

f x

x


DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT UNTUK VARIABEL RANDOM DISKRIT

1 2

1 21 2 1 2

1 2

Contoh :

Jika diketahui fungsi peluang gabungan

dari variabel random x dan x dengan f.d.p

sebagai berikut :

, , 1, 2,3 ; 1,221

0 , untuk , yang lain

cari terlebih dahulu f.d.p margin

x xf x x x x

x x

1 2

1 2 2 1

al untuk dan

kemudian tentukan | dan |

x x

f x x f x xSTATISTIKA UNIPA SURABAYA

DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT UNTUK VARIABEL RANDOM KONTINU

1 2

1 2 1 2

1 2 2 1

Contoh :

Misalkan x dan x mempunyai f.d.p :

f x , x 2 ,0 x x 1

0 , untuk yang lain

cari terlebih dahulu f.d.p marginalnya

kemudian tentukan | dan |f x x f x x


2

2 1

2 2 2 1

2 2 1 2

2 1

2 2 1

2

2 1 2 2 1

2

2 2 1 22

|

Ekspektasi Fungsi U(x)

1. U(x ) = X , maka mean dari variabel random X | X :

| kontinu

E |

| diskrit

2. Var u | = E x - E( | )

(x - E( | ))

=

x

x x

x f x x dx

x x

x f x x

x x x x

x x f x

1 2

2

2 2 1 2 1

| kontinu

( - E( | )) | diskritx

x dx

x x x f x x


FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN

DAN MARGINAL

GANGGA ANURAGASTATISTIKA UNIPA SURABAYA

FUNGSI DISTRIBUSI GABUNGAN / JOINT

DISTRIBUTION FUNCTION

Jika terdapat dua variabel random X dan Y,

maka distribusi peluang terjadinya X dan Y secara serentak

dinyatakan dengan fungsi kepadatan peluang / f.d.p (x, y).

Fungsi (x, y) disebut dengan Distribusi

f

F Bersama

/Distribusi Peluang Gabungan/ X dan Y

/ .

Joint Distribution Function

Joint d.f



VARIABEL RANDOM DISKRIT

x y

Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Diskrit :

1. , 0 untuk semua x, y

2. , 1

3. , , . untuk setiap daerah A di bidang xy.

A merupakan himpunan bagian dari daerah a

A

f x y

f x y

P X Y A f x y

sal X dan Y.


Latihan Soal

Untuk setiap variabel random x dan y dengan nilai 0, 1, 2 dan 3.

Dan peluang bersama / joint probability dari f.d.p antara variabel x dan y

disajikan sebagai berikut :

a. Tentukan nilai peluang 2, 1 ?

b. Tentukan nilai peluang 2 3,0 2 ?

P x y

P x y


Diberikan tabel probabilitas dari f.d.p , adalah

sebagai berikut :

f x y

Tentukan Fungsi Distribusi gabungan / 1, 2 ,

1.5,2 dan 5,7 .

Joint d.f F

F F


2 2

Jika diketahui fungsi peluang gabungan dari variabel random X dan Y

adalah :

1,0,1,3 , 1,2,3,

0,

a. Carilah nilai konstanta k ?

b. Hitunglah P X = 0, Y 2 ?

k x y x yf x y

untuk x dan y yang lain


DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM DISKRIT

Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random diskrit X dan Y,


g x ,

,

y

x

f x y

h y f x y



VARIABEL RANDOM KONTINU

Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Kontinu :

1. , 0, untuk semua x, y

2. , 1

3. , ,A

f x y

f x y dx dy

P x y A f x y dx dy


Jika diketahui fungsi padat gabungan / fungsi densitas gabungan

variabel random X dan Y adalah :

1,

8

Hitunglah peluang P 0 x 1,1 y 2 ?

f x y x y


DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM KONTINU

Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random kontinu X dan Y,


,

,

y

x

g x f x y dy

h y f x y dx


DISTRIBUSI FUNGSI VARIABEL RANDOM DENGAN METODE MGFGANGGA ANURAGA


MOMENT GENERATING FUNCTIONS (MGF)

• Merupakan salah satu metode yang digunakan untuk

membangun inferensi tentang parameter populasi dan

mendapatkan distribusi sampling dari estimator yang

distribusi populasinya diketahui.


SIFAT-SIFAT DARI MGF :

1

1 2 n

1

1 2 n

a. jika a R maka

b. jika variabel random X ,X ,...,X saling independen

maka,

c. jika a, b R maka :

d. jika variabel random X ,X ,...,X independe

ni

i

i

ax x

n

xiX

tb

ax b x

M t M at

M t M t

M t e M at

1

n identik maka :

n

i

i

n

xX

M t M t


2 21

2 2

Latihan Soal :

Jika X variabel random berdistribusi normal dengan mean

dan varians , maka MGF dari X addalah .

Tentukan :

a. MGF dan fungsi probabilitas variabel random Y = X - .

b. MGF dan

t t

xM t e

Xfungsi probabilitas variabel random W =

X -c. MGF dan fungsi probabilitas variabel random Z =


2

1

2

1. MGFdari distribusi Chi -Square 1 2

rata - rata

Variance 2

2. MGFdari distribusi Eksponensial 1

rata - rata

Variance

13. MGFdari distribusi Gamma 1

1

v

x

x

x

M t t

v

M t t

M t tt

2

rata - rata

Variance


1

Latihan Soal :

Jika X variabel random berdistribusi eksponensial dengan mean

dan MGF dari X addalah 1 .

2XTentukan : MGF dan fungsi probabilitas variabel random Y = .

xM t t


MGF UNTUK VARIABEL RANDOM DENGAN LEBIH DARI SATU VARIABELGANGGA ANURAGA


1 2 n

1 2 n

1

Ingat kembali sifat - sifat MGFMisalkan X , X ,..., X variabel random independendengan MGF , t R selanjutnya diberikan variabel random :

Y = X + X +...+ X ,

a. Buktikan MGF dari Y adalah

i

i

X

n

Y Xi

M t

M M t

i

1 2 n

i i

X

b. Jika X , X ,...,X independen dan identik maka : ...

c. Jika X , , i = 1,2...., k dan X independen identik

dengan MGF M , dengan q = 1- p. Maka

dapatkan

i

Y X X

nX

i

nt

M M t M t

M t

B n p

t pe q

1 2 ndistribusi probabilitas Y = X + X +...+ X .


1

i

1 2 n

i X

n

ii=1

Misalkan X , X ,..., X variabel random independen

berdistribusi poisson dengan parameter , MGF M .

Diberikan pula suatu transformasi variabel random Y = X

a. Dapatkan MGF dari Yb. Tentuka

ti et e

n distribusi dari Y


2 2

i i

i

1 2 n2

i i1n tμ + σ t2

i i Xi=1

Misalkan X , X ,...,X variabel random independen masing - masing berdistribusi N ︵μ ,σ ︶

dan Y = X .MGF dari X adalah M t = e

Tentukan distribusi dari Y.


2 2i i

n2 2

i ii=1

* *

2

Kasus -kasus khusus :i jika μ = μ dan σ = σ

yaitu X :N μ,σ maka Y = X :N nμ,nσ

ii jika diberikan variabel random Y = X maka Y berdistribusi : N μ,σ /n


GANGGA ANURAGA

2

DISTRIBUSI SAMPLING DAN

DISTRIBUSI X dan S


PENGANTAR

• Inferensi statistika pada dasarnya adalah proses menduga

(mengestimasi) suatu parameter populasi yang tidak diketahui

dengan menggunakan sampel yang diambil dari populasi tersebut.

• Hasil estimasi dinamakan estimator dari parameter tersebut.

• Inferensi dari estimator, memerlukan distribusi dari estimator.

• Estimator didapat dari proses pengambilan sampel, maka distribusi

yang diperoleh dinamakan sebagai distribusi sampling suatu

parameter.

• Distribusi sampling suatu estimator merupakan fungsi dari suatu

sampel X1 , X2 , ..., Xp


PENGANTAR

1 2 3

1 2 3 1 2 3

1

Jika diberikan suatu parameter populasi θ Ω,

maka estimator dari ditulis , dapat dinyatakan sebagai fungsi

dari , , , , yaitu :

, , , , , , , ,

dengan menyatakan fungsi dari ,

n

n n

X X X X

X X X X X X X X

X X

2 3, , , .

Oleh karena itu, distribusi dari estimator sangat tergantung dari

distribusi populasinya.

nX X


DISTRIBUSI SAMPLING KOMBINASI LINIER POPULASI NORMAL

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 1

Misalkan , , , , sampel random yang diambil dari

populasi berdistribusi , maka dapat diharapkan estimator

diperoleh dari kombinasi linier sampel random , , , , :

, , , ,

n

n

n

X X X X

F x

X X X X

X X X X

a X a

2 2 3 3

dengan , 1, 2, , .

n n

i i

X a X a X

a R i n


DISTRIBUSI SAMPLING KOMBINASI LINIER POPULASI NORMAL

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

Beberapa kejadian khusus yang penting dari

kombinasi linier diatas adalah :

1i Jika a ,

(rata - rata sampel)

ii Jika a 1,

(kombinasi li

n

n

n

n

i

a a a makan

X X X X

n

X

a a a maka

X X X X

X

1

nier dengan koefisien - koefisien satu)n

i


1 2 3

2

1 2 3

1 1 2 2

Misalkan , , , , sampel random independen

yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan

dan , 1, 2, , .

Berdasarkan suatu metode didapat estimator :

, , , ,

n

i

n

X X X X

mean i n

X X X X

a X a X a

3 3

*

1 2 3

*

,

Tentukan distribusi sampling dari estimator dan .

n n i

n

X a X a R

dan

X X X X


1 2 3

2 2

i

1 1 2

1 22

Misalkan , , , , sampel random independen

yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan

dan , 1, 2, , .

Dapatkan distribusi dari variabel random

a. 2

b.

n

i

X X X X

mean i n

W

W X X

X XW

3

1 23

2c.

nX X

n

X XW

n


1 2 3

1

Misalkan , , , , sampel random yang diambil

dari populasi berdistribusi normal standar

a. Tentukan MGF dari ,

kemudian dapatkan mean dan variansinya.

b. Tentukan syarat untuk aga

n

n

i i

i

i

X X X X

U a X

a

r berdistribusi normal standarU


DISTRIBUSI SAMPLING POPULASI GAMA DAN CHI-KUADRATGANGGA ANURAGA


• Dalam beberapa kasus mungkin tidak ditemui bahwa asumsi populasi berdistribusi normal.

• Mungkin saja populasi yang diselidiki berdistribusi agak menceng, misal Gama dan Chi-Kuadrat.

2

1

MGF :

Distibusi Chi - Kuadrat

1 2

Distribusi Gama

1

1

Distribusi Eksponensial

1

v

x

x

x

M t t

M tt

M t t


1 2

i

SOAL :

Dapatkan distribusi probabilitas dari kombinasi linier

Jika X masing - masing berdistribusi Gama, Eksponensial,

dan Chi - Kuadrat.

nY X X X


22 2 2

2

2

2 2

1

1

2

1 22

2

2

2 2

1

jika X~N(0,1) maka X ~

1

2

1 1 2

1 2 2

11

1 2

1 1 11 2 , ,

1 2 1 2

maka X ~

xtx tx tx

x

xt

M t E e e f x dx e e dx

te dx

t

t

tt t


1

2

2

1

2 2

SOAL

a. Jika ~ , 1,2, , independen, buktikan

V = ~

b. Jika diketahui variabel - variabel random saling independen

~ dan ~ , m > n

Tentukan distribusi Z = X + Y

c.

i

n

i

i

i v

n

ivi

m n

Y i n

Y

X Y

2

2

Misalkan diberikan variabel random ~

dan ~ .

Tentukan distribusi dari variabel random W = V - U ?

m

m n

U

V U Z


2

1 2

2n

i 2

2i=1

2

2

12

Misalkan , ,..., ~ , . Buktikan bahwa

X(i) ~

n X(i) ~

n

n

X X X N


DISTRIBUSI t, F

GANGGA ANURAGASTATISTIKA UNIPA SURABAYA

PENGANTAR

Distribusi sampling yang sangat penting peranannya dalam

inferensi statistika, khususnya distribusi sampling yang

diperoleh dari populasi berdistribusi normal, yaitu

distribusi t (Student t), dan F (Snedecor’s F).

Distribusi t diperoleh dari ratio antara dua variabel

random independen yang berdistribusi normal standar

dan chi-kuadrat.

Distribusi F diperoleh dari ratio dua variabel random

independen yang masing-masing berdistribusi chi-kuadrat.


Distribusi Student t

2

2 2

1

1 2

Beberapa pengertian berikut, yang berkaitan dengan distribusi t :

i jika variabel random ~ , maka variabel random

~ 0,1

ii jika ~ 0,1 maka W = ~

iii jika , ,..., variabel random inn

X N

XZ N

Z N Z

Z Z Z

2

1

* 2

1

depeden identik berdistribusi

maka variabel random :

~

Tiga pernyataan diatas menjadi landasan dasar dari pembentukan distribusi

sampling t dan F.

n

i ni

W Z


2

k

Teorema :

Jika X variabel random yang berdistribusi N(0,1) dan

Y variabel random berdistribusi , X dan Y saling independen

maka variabel random :

~k

XT t

Y

k


1 2

2

1 2

2

Misalkan , , , variabel random independen berdistribusi

, dan , , , variabel random independen berdistribusi

, .

a. Tentukan distribusi probabilitas dari

b. Tentukan distribus

n

n

X X X

N Y Y Y

N

XZ

i probabilitas dari /

c. Tentukan distribusi probabilitas dari

YW

n

ZU

W


Distribusi F

2 2

Berikut diberikan komponen - komponen variabel random yang

berkaitan dengan pembentukan distribusi F. Jika variabel random

~ dan ~ . X dan Y independen maka variabel random :

/ ~

/

n mX Y

X nF F n

Y m

,m


2

2 2

1 2 12

Teorema :

n -1jika , , , berdistribusi , maka ~n n

SX X X N

2

2

12

2 2 22

2 2 2 21 1 1

2

2

2 21

2

22 2

2 21

1 2 3

22

2 2

1 2 32 2 21

1~

Bukti :

1 1

1

1 1, dengan

1

Misalkan :

1~ , , ~

n

n n ni ii

i i i

n

i

i

n

i

i

ni

ni

n S

X X X X X n XX

n XnX X

n

n XnS S X X

n

V V V

n XX nV V S V

2

1

Untuk selanjutnya gunakan MGF


1 2 1 2

2

2 2

2 2

Contoh :

Misalkan , , , dan , , , variabel random independen

berdistribusi , , X dan Y saling independen.

a. Tentukan distribusi dari :

n -1 n -1 dan

b. Tentukan distribusi dari

n n

X Y

X X X Y Y Y

N

S S

22

2

21

22

1

1 F = dengan

1

1 dan

1

nX

X i

iY

n

Y i

i

SS X X

S n

S Y Yn


1 2

2

2

2

22

21

Diberikan sampel random , , , berdistribusi

, . Dapatkan :

a. Distribusi dari X

b. Distribusi dari : dan / /

1c. Distribusi dari : , dengan

1

n

n

i

i

X X X

N

X X

n n

n XF S X X

S n


MATEMATIKASTATISTIKA (MATHEMATICAL STATISTICS) UNIPA

Documents