MATEMATIKA UNTUK KIMIA BILANGAN REAL, PERTIDAKSAMAAN, NILAI MUTLAK DAN PERTIDAKSAMAAN DALAM ILMU KIMIA KELOMPOK 1 1. Luh Aridarmaswari (1113031002) 2. Putu Gede Gita Naradipta (1113031012) 3. Ni Putu Sri Aprianti (1113031090) 4. Abdul Ajiz Mauliyana (1413031028) JURUSAN PENDIDIKAN KIMIA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA SINGARAJA 2014
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
MATEMATIKA UNTUK KIMIA
BILANGAN REAL, PERTIDAKSAMAAN, NILAI MUTLAK
DAN PERTIDAKSAMAAN DALAM ILMU KIMIA
KELOMPOK 1
1. Luh Aridarmaswari (1113031002)
2. Putu Gede Gita Naradipta (1113031012)
3. Ni Putu Sri Aprianti (1113031090)
4. Abdul Ajiz Mauliyana (1413031028)
JURUSAN PENDIDIKAN KIMIA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA
SINGARAJA
2014
A. SISTEM BILANGAN REAL
Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus
berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan real penting untuk
kita pahami terlebih dahulu. Sistem adalah himpunan dari bilangan-bilangan beserta sifat-
sifatnya, sedangkan himpunan bilangan real adalah sekumpulan bilangan-bilangan rasional
atau irrasional, sehingga sistem bilangan real adalah himpunan yang terdiri dari bilangan
real beserta sifat-sifat yang dimilikinya.
Berikut ini diberikan himpunan-himpunan penting dari sistem bilangan real.
a. Himpunan bilangan asli; {1, 2, 3, ...}, dinotasikan dengan ℕ = {1, 2, 3, ...}. Bilangan
asli biasa digunakan untuk menghitung. Himpunan bilangan asli biasa juga disebut
dengan himpunan bilangan bulat positif.
b. Himpunan bilangan bulat; {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, dinotasikan dengan ℤ = {..., -2, -1,
0, 1, 2, ...}.
c. Himpunan bilangan rasional; misalnya { ,3
2,
2
16dsb}, dinotasikan dengan ℚ. Secara
umum, bentuk bilangan rasional dituliskan sebagai ℚ =
nmn
m, ℤ, dan n≠ 0
d. Himpunan bilangan irasional; misalnya { ,2 ,73 π, dsb}, merupakan bilangan yang
tidak rasional. Bilangan irasional tidak dapat ditulis dalam bentuk n
m dengan m dan n
bilangan bulat dan n ≠ 0.
Himpunan bilangan real sering dinyatakan dengan R. Selanjutnya, berdasarkan
penjelasan himpunan dari sistem bilangan real di atas maka dapat diambil simpulan
bahwa bilangan real merupakan gabungan dari bilangan asli, bulat, rasional dan irasional.
Apabila dinyatakan dalam bentuk diagram Venn akan menghasilkan,
Keterangan:
N = Bilangan asli
Z = Bilangan bulat
Q = Bilangan rasional
I = Bilangan irasional
R = Bilangan real
Pada sistem bilangan real, kalau kita lakukan operasi penjumlahan dan perkalian,
maka hasilnya selalu bilangan real juga. Hal seperti ini dikatakan bahwa operasi
penjumlahan dan perkalian pada bilangan real bersifat “tertutup”. Beberapa aksioma
yang memberikan sifat-sifat tentang operasi penjumlahan dan perkalian di R, yaitu :
1. Sifat ketertutupan dan ketunggalan
Jika a, b ∈ R , maka terdapat satu dan hanya satu bilangan real yang dinyatakan
dengan a + b dan ab.
2. Sifat komutatif (pertukaran)
Jika a, b ∈R , maka a + b = b + a dan ab = ba
3. Sifat assosiatif (pengelompokan)
Jika a, b dan c ∈R , maka a + (b + c) = (a + b) + c dan a (bc) = (ab) c
N
Z
Gambar 1. Hubungan bilangan asli, bulat, rasional dan irasional dengan
bilangan Real
4. Sifat distributif (penyebaran)
Jika a, b dan c ∈R , maka a (b + c) = ab + ac , yaitu sifat penyebaran dari perkalian
terhadap penjumlahan.
5. Adanya unsur identitas (satuan)
Ada dua bilangan real 0 dan 1 sedemikian sehingga a + 0 = a dan a.1 = a
6. Adanya negatif atau invers terhadap penjumlahan
Untuk setiap bilangan real a, ada suatu bilangan real yang dinamakan negatif dari a,
dinyatakan dengan –a (dibaca “ negatif dari a”) sehingga a + ( -a ) = 0
7. Adanya kebalikan atau invers terhadap perkalian
Untuk setiap bilangan real a, kecuali 0 ada suatu bilangan real yang dinamakan
kebalikan dari a dinyatakan dengan a-1
atau a
1 sehingga a.
a
1= 1
B. PERTIDAKSAMAAN
Pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka yang menggunakan relasi <, >, ,
atau . Penyelesaian suatu pertidaksamaan adalah semua bilangan yang memenuhi
pertidaksamaan tersebut yang biasanya merupakan interval atau gabungan interval-
interval.
Interval terbuka (a,b) adalah himpunan bilangan rill yang lebih besar dari a dan
kurang dari b. Jadi (a,b) = {x| a < x < b}. Sedangkan interval tertutup [a,b] adalah
himpunan semua bilangan rill yang lebih besar atau sama dengan a dan kurang atau sama
dengan b. Jadi [a,b] = {x| a x b}. Beberapa interval ditunjukkan dalam daftar berikut.
Tabel 1. Penyajian Himpunan dalam Notasi Himpunan, Interval, dan Garis Bilangan
Notasi Himpunan Interval Garis Bilangan Rill
{ x|a< x < b } (a,b)
{ x|a x < b } [a,b)
{ x|a < x b } (a.b]
{ x|a x b } [a.b]
{ x|x b } (-, b]
{ x|x < b } (-, b)
{ x|x a } [a, )
{ x|x > a } (a, )
R
(-, )
Contoh pertidaksamaan
1) 2x – 7 < 4x – 2
2) -5 2x + 6 < 4
3) x2 – x – 6 < 0
4) 3x2 – x – 2 > 0
5) 1
Menyelesaikan pertidaksamaan
Sama halnya dengan persamaan, langkah-langkah untuk menyelesaikan
pertidaksamaan terdiri atas pengubahan pertidaksamaan satu langkah sampai himpunan
pemecahan jelas. Kita dapat melakukan operasi-operasi tertentu pada suatu
pertidaksamaan tanpa mengubah himpunan pemecahannya, khususnya:
a b
a b
b a
a b
b
b
a
a
a
a
b
b
1. Suatu pertidaksamaan jika kedua ruas ditambahkan dengan bilangan positif atau
bilangan negatif yang sama maka tanda pertidaksamaannya tidak berubah.
2. Suatu pertidaksamaan jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan positif yang sama,
maka tanda pertidaksamaannya tidak akan berubah.
3. Suatu pertidaksamaan jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan negatif yang sama,
maka tanda pertidaksamaannya akan berubah.
Contoh 1:
Selesaikan pertidaksamaan berikut: 2x – 7 < 4x – 2 dan perlihatkan grafik himpunan.
Penyelesaian:
2x – 7 < 4x – 2
2x < 4x + 5 (tambahkan 7)
-2x < 5 (tambahkan -4)
x > (kalikan dengan - )
-3 -1 0 1 2 3
-2
Hp: interval ( )
Contoh 2.
Selesaikan -5 2x + 6 < 4 dan perlihatkan grafik himpunan.
Penyelesaian:
- 5 2x + 6 4
- 11 2x -2 (tambahkan -6)
- x < -1 (kalikan dengan )
-7 -6 -4 -3 -2 -1 0 1
-5
Hp: [ , -1) = {x| < x < -1}
Sebelum menangani pertidaksamaan kuadrat, dapat ditunjukan bahwa suatu faktor
linear berbentuk x – a adalah positif untuk x > a dan negatif untuk x < a. Ini berarti bahwa
hasil kali (x – a)(x – b) dapat berubah dari bernilai positif menjadi negatif, atau sebaliknya.
Titik-titik ini pada suatu faktor disebut titik-titik pemecah. Titik-titik ini merupakan kunci
)
(
untuk menentukan himpunan pemecahan dari pertidaksamaan kuadrat atau tingkat yang lebih
tinggi.
Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 – x < 6
Penyelesaian:
x2 – x < 6
x2 – x – 6 < 0 (tambahkan -6)
(x – 3) (x + 2) < 0 (faktorkan)
Pada penyelesaian di atas, -2 dan 3 adalah titik-titik pemecah: titik-titik ini membagi garis riil
menjadi tiga interval (-, -2), (-2, 3), dan (3, ). Pada tiap interval ini, (x – 3)(x + 2) bertanda
tetap, yakni selalu positif atau selalu negatif. Untuk mencari tanda ini dalam tiap interval,
misalnya -3, 0 dan 5. Hasilnya adalah sebagai berikut.