Matematika Teknik Dasar-2 11 – Aplikasi Integral - 2 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan – Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar-211 – Aplikasi Integral - 2Sebrian Mirdeklis Beselly PutraTeknik Pengairan – Universitas Brawijaya
Momen Inersia
Energi yang dimiliki benda karena pergerakannya disebut Energi Kinetik
Dengan persamaan sebagai berikut 𝐸𝐾 =1
2𝑚𝑣2
Dalam bidang teknik banyak terapan benda yang berotasi: roda, bubungan(cam), poros, poros dynamo (armature), dsb.
Pergerakan dinyatakan dalam putaran per detik
Momen Inersia
Diperhatikan sebuah partikel P dengan massa m yang
berputar mengelilingi sumbu-x dengan kecepatan sudut
konstan radian per detik.
Berarti bahwa sudut di pusat lingkaran bertambah dengan kecepatan radian per detik.
Maka disimpulkan kecepatan linear P, v cm/s, bergantung pada dua kuantitas
a. Kecepatan sudut ( rad/s)
b. Seberapa jauh P dari pusat
Momen Inersia
Untuk mendapatkan sudut 1 radian dalam satu detik.
P harus bergerak pada lingkaran dengan jarak yang
sama dengan panjan 1 jari-jari, sebesar r (cm)
Jika bertambah dengan kecepatan 1 rad/s, P bergerak dengan kecepatan r cm/s
Jika bertambah dengan kecepatan 2 rad/s, P bergerak dengan kecepatan 2r cm/s
Jika bertambah dengan kecepatan 3 rad/s, P bergerak dengan kecepatan 3r cm/s
Momen Inersia
Maka dari maksud slide sebelumnya bisa disimpulkan bahwa kecepatan sudut P adalah rad/s, maka kecepatan linear, dari P adalah
= r
Dari sebelumnya didapatkan 𝐸𝐾 =1
2𝑚𝑣2
𝐸𝐾 =1
2𝑚 𝜔𝑟 2
𝐸𝐾 =1
2𝜔2. 𝑚𝑟2
Momen Inersia
Ada sebuah sistem yang tersusun dari partikel-partikel yang berotasi terhadap sumbu XX dengan kecepatan sudut sama sebesar rad/s, maka tiap partikel menyumbangkan energinya:
𝐸𝐾1 =1
2𝜔2. 𝑚1𝑟1
2
𝐸𝐾2 =1
2𝜔2. 𝑚2𝑟2
2
𝐸𝐾3 =1
2𝜔2. 𝑚3𝑟3
2
𝐸𝐾4 =1
2𝜔2. 𝑚4𝑟4
2
Momen Inersia
EK = EK1 + EK2 + EK3 + EK4 + ...
EK = 1
2𝜔2. 𝑚1𝑟1
2 + 1
2𝜔2. 𝑚2𝑟2
2 + 1
2𝜔2. 𝑚3𝑟3
2 + 1
2𝜔2. 𝑚4𝑟4
2 + ...
EK = σ1
2𝜔2. 𝑚𝑟2 (jumlah seluruh partikel)
EK =1
2𝜔2 σ.𝑚𝑟2 (karena adalah konstanta)
Momen Inersia
EK =1
2𝜔2 σ.𝑚𝑟2
Dapat disimpulkan dua faktor berbeda:
a.1
2𝜔2 dapat diubah-ubah dengan mempercepat atau memperlambat
laju rotasi
b. σ.𝑚𝑟2 adalah difat benda yang berotasi. Ini adalah sifat fisik dari benda dan disebut momen kedua dari massa, atau momen inersia (dinyatakan dengan simbol I)𝐼 = σ𝑚𝑟2 (untuk seluruh partikel)
Momen Inersia
𝐼 = σ𝑚𝑟2 (untuk seluruh partikel)
I = 2.32 + 1.12 + 3.22 + 4.22
I = 18 + 1 + 12 + 16 = 47 kg.m2
Jari-Jari Girasi
Jika dimisalkan massa total M berjarak k dari sumbu
Maka EK dari M akan sama dengan σ𝐸𝐾
1
2𝜔2. 𝑀𝑘2=
1
2𝜔2 σ.𝑚𝑟2
𝑀𝑘2= σ𝑚𝑟2
k disebut sebagai jari-jari girasi sebuah benda terhadap sumbu rotasi tertentu.
Jadi I = σ𝑚𝑟2; Mk2 = I, dengan M = σ𝑚
Contoh -1
Cari momen inersia (I) dan jari-jari girasi (k) dari sebuah batang tipis homogen terhadap sebuah sumbu yang melalui salah satu ujung yang tegak lurus terhadap panjang batang tersebut.
Misal = massa per satuan panjang batang
massa dari elemen PQ = .x
Momen kedua dari massa PQ terhadap XX = massa x (jarak)2
= .x.x2 = x2.x
Momen kedua total untuk semua elemen ditulis 𝐼 ≈ σ𝑥=0𝑎 𝜌𝑥2. 𝛿𝑥
Contoh -1
Tanda aproksimasi () dipakai karena x adalah jarak sampai ke sisi kiri dari elemen PQ
Jika x 0, maka menjadi:
𝐼 = න0
𝑎
𝜌𝑥2. 𝑑𝑥 = 𝜌𝑥3
30
𝑎
=𝜌𝑎3
3
Digunakan Mk2=I digunakan untuk mencari k. Awal mula ditentukan massa total M.
𝑀 = 𝑎𝜌
Contoh -1
𝐼 =𝜌𝑎3
3𝑀 = 𝑎𝜌
Mk2 = I ∴ 𝑎𝜌. 𝑘2 =𝜌𝑎3
3
k2 = 𝑎2
3∴ 𝑘 =
𝑎
3
I = 𝜌𝑎3
3
Contoh -2
Carilah I untuk sebuah pelat empat-persegi panjang terhadap sebuah sumbu melalui pusat massanya yang sejajar dengan salah satu sisi.
Misal = massa per satuan luas dari pelat
Massa dari potongan PQ = b.x.
Momen kedua massa dari massa potongan terhadap XX
bx. (massa x jarak2)
Momen kedua total untuk seluruh potongan
𝐼 = σ𝑥=𝑑/2𝑥=𝑑/2
𝑏𝜌𝑥2. 𝛿𝑥
Contoh -2
Jika x 0
𝐼 = න−𝑑/2
−𝑑/2
𝑏𝜌𝑥2. 𝛿𝑥 = 𝑏𝜌𝑥3
3−𝑑/2
𝑑/2
𝐼 = 𝑏𝜌𝑑3
24− −
𝑑3
24=𝑏𝜌𝑑3
12
Massa total M=bd, I=𝑀𝑑2
12
𝐼 =𝑏𝜌𝑑3
12=
𝑀𝑑2
12dan 𝑘 =
𝑑
12=
𝑑
2 3
Contoh - 3
Carilah I untuk sebuah pelat emapt-persegi-panjang, 20cm x 10cm, dengan massa 2kg. Terhadap sumbu yang berjarak 5cm dari sisi yang panjangnya 20cm.
Jawaban:
Diambil sebuah potongan sejajar dengan sumbu.
Diperhatikan pada contoh ini:
𝜌 =2
10.20=
2
200= 0,01
Maka = 0,01 kg/cm2
Contoh - 3
= 0,01 kg/cm2
Luas potongan = 20.x
Massa potongan = 20.x.
Momen kedua dari massa potongan terhadap XX 20.x..x2
Momen kedua total dari masssa= 𝐼𝑥=5𝑥=15
20𝜌𝑥2. 𝑑𝑥
Jika x 0, 𝐼 = 51520𝜌𝑥2. 𝑑𝑥 = 20𝜌
𝑥3
3 5
15
=20𝜌
33375 − 125 = 217 kg.cm2
Contoh - 3
Nilai k
Mk2=I dan M=2kg
2k2 = 217 k2=108,5
k = 108,5 = 10,4 cm
Kesimpulan
Tahapan mencari nilai I
▪ Ambil sebuah potongan yang sejajar sumbu rotasi pada jarak x dari sumbu tersebut
▪ Bentuklah sebuah pernyataan untuk momen kedua dari massa terhadap sumbu
▪ Jumlahkan seluruh potongan
▪Ubah menjadi bentuk integral dan dihitung
Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar
▪ Jika I terhadap sebuah sumbu yang melalui pusat massa sebuah benda diketahui, maka dengan mudah menuliskan nilai I terhadap sumbu lain yang sejajar dan diketahui jaraknya dari sumbu yang pertama.
Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar
Misalkan G adalah pusat massa
Misalkan m = massa potongan PQ
𝐼𝐺 =𝑚𝑥2
𝐼𝐴𝐵 =𝑚 𝑥 + 1 2
Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar
∴ 𝐼𝐴𝐵 =𝑚 𝑥2 + 3𝑙𝑥 + 𝑙2
𝐼𝐴𝐵 =𝑚𝑥2 +2𝑚𝑥𝑙 +𝑚𝑙2
𝐼𝐴𝐵 =𝑚𝑥2 + 2𝑙𝑚𝑥 + 𝑙2𝑚
σ𝑚𝑥2 = 𝐼𝐺 ; σ𝑚 = 𝑀
IAB = IG + Ml2
Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar
∴ 𝐼𝐴𝐵 =𝑚 𝑥2 + 3𝑙𝑥 + 𝑙2
𝐼𝐴𝐵 =𝑚𝑥2 +2𝑚𝑥𝑙 +𝑚𝑙2
𝐼𝐴𝐵 =𝑚𝑥2 + 2𝑙𝑚𝑥 + 𝑙2𝑚
σ𝑚𝑥2 = 𝐼𝐺 ; σ𝑚 = 𝑀
IAB = IG + Ml2
Contoh - 4
Dicari I untuk terhadap sumbu AB untuk pelat empat-persegi-panjang di bawah ini:
Contoh - 4
Jawaban:
𝐼𝐺 =𝑀𝑑2
12=3.16
12= 4 𝑘𝑔. 𝑐𝑚2
𝐼𝐴𝐵 = 𝐼𝐺 +𝑀𝑙2
𝐼𝐴𝐵 = 4 + 3.25𝐼𝐴𝐵 = 4 + 75 = 79 𝑘𝑔. 𝑐𝑚2
Contoh - 5
Sebuah pintu terbuat dari logam, 40cm x 60cm, mempunyai massa 8kg dan diberi engsel pada salah satu sisi dengan panjang 60cm.
Hitunglah:
a. I terhadap XX, yaitu sumbu yang melalui pusat massa
b. I terhadap garis yang melalui engsel, AB
c. K terhadap AB
Contoh - 5
Jawaban:
Soal a
𝐼𝐺 =𝑀𝑑2
12=
8.40
12=
3200
12=1067 kg cm2
Soal b
𝐼𝐴𝐵 = 𝐼𝐺 +𝑀𝑙2= 1067 + 8.202 = 1067 + 3200 = 4267 kg cm2
Soal c
Mk2 = IAB ; 8k2=4267 ; k2 = 533,4 ; k=23,1 cm
Teorema Sumbu Sumbu Tegak Lurus (untuk pelat tipis)
Misalkan m adalah suatu massa kecil di P
Maka IX σ𝛿𝑚. 𝑦2
dan Iy σ𝛿𝑚. 𝑥2
Misalkan ZZ adalah sumbu yang tegak lurus dengan sumbu XX dan YY
Iz = σ𝛿𝑚. 𝑂𝑃 2
Iz = σ𝛿𝑚. 𝑥2 + 𝑦2 2
Iz = σ𝛿𝑚. 𝑦2 + σ𝛿𝑚. 𝑥2
Iz = Ix + Iy
Teorema Sumbu Sumbu Tegak Lurus (untuk pelat tipis)
Dicari I dari cakram lingkaran terhadap salah satu diameternya sebagai sumbu
Ditetapkan bahwa 𝐼𝑧 =𝜋𝑟4𝜌
2=
𝑀.𝑟2
2
Misalkan XX dan YY adalah dua diameter yang
saling tegak lurus
Diketahui bahwa Ix + Iy = Iz = 𝑀.𝑟2
2
Dengan seluruh diameter identik
IX = IY 2IX = 𝑀.𝑟2
2IX =
𝑀.𝑟2
4
Contoh - 6
Carilah I untuk sebuah cakram lingkaran berdiameter 40cm dan massa 12 kg
a. Terhadap sumbu normal (z)
b. Terhadap diameter sebagai sumbu
c. Terhadap garis singgung sebagai sumbu
Contoh - 6
a. 𝐼𝑧 =𝑀.𝑟2
2=
12.202
2= 2400 kg cm2
b. 𝐼𝑋 =𝑀.𝑟2
4=
12.202
4= 1200 kg cm2
c. IX = 1200 kg cm2
Dengan teorema sumbu sejjar
IT = IX + Ml2
IT = 1200 + 12.202
IT = 6000 kg cm2
Kesimpulan - 1
1. 𝐼 = σ𝑚𝑟2; Mk2=I
2. Pelat empat-persegi-panjang ( = massa/ satuan luas)
𝐼𝐺 =𝑏𝑑3𝜌
12=
𝑀𝑑2
12
Kesimpulan - 1
3. Cakram lingkaran
𝐼𝑧 =𝜋𝑟4𝜌
2=
𝑀.𝑟2
2
𝐼𝑥 =𝜋𝑟4𝜌
4=
𝑀.𝑟2
4
Kesimpulan - 1
4. Teorema sumbu-sumbu sejajar
𝐼𝐴𝐵 = 𝐼𝐺 +𝑀𝑙2
Kesimpulan - 1
5. Teorema sumbu-sumbu tegak-lurus
𝐼𝑍 = 𝐼𝑋 + 𝐼𝑌
Contoh - 7
Carilah I untuk batang berongga terhadap sumbu utamanya jika massa jenis benda adalah 0,008 kg.cm-3
Diperhatikan potongan dari batang, dengan jarak x dari sumbu
Massa kulit 2𝜋𝑥. 𝛿𝑥. 40𝜌 (kg)
Momen kedua terhadap XX ≈ 2𝜋𝑥. 𝛿𝑥. 40𝜌. 𝑥2
≈ 80𝜋𝜌𝑥3. 𝛿𝑥
Contoh - 7
Momen kedua total = σ𝑥=4𝑥=8 80𝜋𝜌𝑥3. 𝛿𝑥
Jika x 0, 𝐼 = 80𝜋𝜌 48𝑥3 𝑑𝑥 = 80𝜋𝜌
𝑥4
4 4
8
𝐼 =80𝜋𝜌
4642 − 162
I = 20.48.80 = 20.48.80.0,008
I = 614,4 = 1930 kg.cm2
Pusat Tekanan
Tekanan pada sebuah titik P dengan kedalaman z di bawah permukaan suatu cairan
Sebuah cairan yang sempurna, tekanan di P, atau
gaya dorong pada luas satuan P disebabkan
berat dari kolom cairan yang terletak setinggi z
di atasnya
Tekanan P adalah p=wz, dengan w=berat dari volume satuan cairan.
Dan tekanan P sama besar ke segala arah
Pusat Tekanan
dalam pembahasan ini tekanan atmosfer yang
bekerja pada permukaan cairan diabaikan.
Maka, tekanan pada sembarang titik dalam cairan
sebanding dengan kedalaman titik di bawah
permukaan.
Pusat Tekanan
Gaya dorong total pada sebuah pelat vertikal yang dicelupkan ke dalam cairan
Diperhatikan sebuah potongan tipis pada kedalaman z di bawah permukaan cairan
Tekanan pada P=wz
Gaya dorong pada potongan
PQ wz (luas potongan)
PQ w.z.a.x
Pusat Tekanan
Total gaya dorong di seluruh pelat
≈
𝑧=𝑑1
𝑧=𝑑2
𝑎𝑤𝑧𝛿𝑧
Jika z 0, gaya dorong total = 𝑑1𝑑2 𝑎𝑤𝑧𝑑𝑧 = 𝑎𝑤
𝑧2
2 𝑑1
𝑑2=
𝑎𝑤
2𝑑22 − 𝑑1
2
Gaya dorong total = 𝑎𝑤
2𝑑2 − 𝑑1 𝑑2 + 𝑑1
= 𝑤𝑎 𝑑2 − 𝑑1𝑑2+𝑑1
2
Pusat Tekanan
Gaya dorong total = 𝑤𝑎 𝑑2 − 𝑑1𝑑2+𝑑1
2
𝑑2+𝑑1
2dinyatakan sebagai ҧ𝑧
Gaya dorong total = 𝑤𝑎 𝑑2 − 𝑑1 ҧ𝑧 = 𝑎 𝑑2 − 𝑑1 𝑤 ҧ𝑧
𝑎 𝑑2 − 𝑑1 adalah luas total pelat, maka
Gaya dorong total = luas pelat x tekanan di pusat massa pelat
Contoh - 8
Jika w adalah berat per volume satuan dari cairan, hitunglah gaya dorong total pada pelat a dan b berikut ini:
Contoh - 8
Pelat a
Luas = 6 x 8 = 48cm2
Tekanan di G = 7w
Gaya dorong total = 48.7w = 336 w
Contoh - 8
Pelat b
Luas = (10 x 6)/2 = 30 cm2
Tekanan di G = 6w
Gaya dorong total = 30.6w = 180 w
Pusat Tekanan
Jika pelat membentuk sudut terhadap bidang horizontal, maka:
Kedalaman dari G = 𝑑1 +𝑏
2sin 300 = 𝑑1 +
𝑏
4
Pusat Tekanan
Tekanan di G = 𝑑1 +𝑏
4𝑤
Luas total = ab
Gaya Dorong Total = ab 𝑑1 +𝑏
4𝑤
Bisa disimpulkan
Gaya dorong total = luas permukaan x tekanan pada pusat massa
Kedalaman Pusat Tekanan
Tekanan pada sebuah pelat yang dicelupkan
bertambah terhadap kedalaman
Resultan gaya-gaya yang bekerja adalah sebuah gaya dengan magnitudo yang sama dengan gaya dorong total T, dan bekerja pada sebuah titik Z
yang disebut pusat tekanan pelat.
Misalkan ҧ𝑧 adalah kedalaman dari pusat tekanan
Kedalaman Pusat Tekanan
Untuk mencari ҧ𝑧 diambil momen-momen gaya terhadap sumbu dimana bidang pelat memoton permukaan cairan. Dilihat sebuah pelat empat-persegi-panjang.
Kedalaman Pusat Tekanan
Luas potongan PQ = a.z
Tekanan permukaan PQ = zw
Gaya dorong potongan PQ = a.z.z.w
Momen gaya dorong terhadap sumbu pada permukaan adalah
=awz.z.z = awz2.z
Jumlah momen gaya pada seluruh potongan = σ𝑑1
𝑑2 𝑎𝑤𝑧2𝛿𝑧
Jika z 0, jumlah momen = 𝑑1𝑑2 𝑎𝑤𝑧2𝑑𝑧
Kedalaman Pusat Tekanan
Gaya dorong total x ҧ𝑧 = jumlah momen dari seluruh gaya dorong
න𝑑1
𝑑2
𝑎𝑤𝑧 𝑑𝑧 𝑥 ҧ𝑧 = න𝑑1
𝑑2
𝑎𝑤𝑧2𝑑𝑧
Gaya dorong total x ҧ𝑧 = w𝑑1𝑑2 𝑎𝑧2𝑑𝑧 = wI
ҧ𝑧 = 𝑤𝐼
𝑔𝑎𝑦𝑎 𝑑𝑜𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙=
𝑤𝐴𝑘2
𝐴𝑤 ҧ𝑧
Ӗ𝑧 =𝑘2
ҧ𝑧
Contoh – 9
Pada sebuah dinding penahan tanah yang memiliki bentuk persegi-panjang vertikal, 40m x 20m, dengan sisi atas dinding sama dengan tinggi permukaan air. Carilah kedalaman dari pusat tekanan
Dalam soal ini ҧ𝑧 = 10m
Mencari k2 terhadap AB
Contoh – 9
Mencari k2 terhadap AB
𝐼𝐶 =𝐴𝑑2
12=
40.20.400
12=
80000
3m4
𝐼𝐴𝐵 = 𝐼𝐶 + 𝐴𝑙3 =80000
3+ 800.100 =
4
3. 80000
Ak2= I ∴ 𝑘2 =4
3
80000
800=
400
3
Ӗ𝑧 =𝑘2
ҧ𝑧=
40
3= 13,33𝑚
Contoh – 10
Outlet dari sebuah tangki ditutup dengan penutup bundar yang tergantung secara vertikal. Diameter penutup = 1m dan bagian atas penutup berada 2,5m di bawah permukaan cairan. Carilah kedalaman pusat tekanan dari penutup.
a. Kedalaman sentroid = ҧ𝑧 = 3m
b. Mendapatkan k2 terhadap AB
Contoh – 10
𝐼𝐶 =𝐴𝑟2
4=
𝜋1
2
2.1
2
2
4=
𝜋
64
𝐼𝐴𝐵 =𝜋
64+ 𝐴. 32
𝐼𝐴𝐵 =𝜋
64+ 𝜋
1
2
2. 9
𝐼𝐴𝐵 =𝜋
64+
9𝜋
4=
145𝜋
4
Untuk tinjauan AB; k2=𝐼𝐴𝐵
𝐴=
145𝜋
4.4
𝜋=
145
6
Ӗ𝑧 =𝑘2
ҧ𝑧=
145
6.1
3=
145
18= 3,02m