Matematika Teknik Dasar-2 10 – Aplikasi Integral - 1 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan – Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar-210 – Aplikasi Integral - 1Sebrian Mirdeklis Beselly PutraTeknik Pengairan – Universitas Brawijaya
Volume Benda-Putar
Sebuah bentuk bidang yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu-x, dan ordinat-ordinat di x=a dan x=b, diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu-x, maka putaran ini akan membentuk sebuah benda yang simetris terhadapOX.
Volume Benda-Putar
Volume yang dibentuk oleh potongan kira-kira sama dengan volume yang dibentuk oleh empat-persegi panjang, atau 𝜹𝑽 = 𝒚𝟐. 𝒅𝒙
Volume Benda-Putar
Jika dibagi seluruh bentuk bidang menjadi sejumlah potongan tipis. Makamasing-masing akan menghasilkan cakram tipis dengan volume 𝜋𝑦2. 𝛿𝑥
∴ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙, 𝑉 =
𝑥=𝑎
𝑥=𝑏
𝜋𝑦2. 𝛿𝑥
Volume Benda-Putar
Dalam pendekatan model ini muncul kesalahan dikarenakan luas daerah di atas masing-masing adalah empat-persegi panjang, sehingga muncul polatangga.
Tetapi jika 𝛿𝑥 → 0, kesalahan akan hilang maka 𝑉 = 𝑎𝑏𝜋𝑦2. 𝛿𝑥
Contoh - 1
Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi olehy=5cos2x, sumbu-x dan ordinat-ordinat di x=0 dan x=/4, diputar satuputaran penuh mengelilingi sumbu-x
𝑉 = න0
𝜋/4
𝜋𝑦2. 𝛿𝑥 = 25𝜋න0
𝜋/4
𝑐𝑜𝑠22𝑥𝑑𝑥
Dinyatakan dalam bentuk sudut ganda (4x)
cos 2𝜃 = 2𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 1; 𝑐𝑜𝑠2𝜃 =1
21 + cos 2𝜃
𝑉 =25𝜋
4න0
𝜋/4
1 + cos 4𝑥 𝑑𝑥
Contoh - 2
Persamaan parametrik suatu kurva adalah x = 3t2, y = 3t – t2.
Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva, sumbu-x dan ordinat-ordinat yang bersangkutan dengan t=0 dan t=2, diputar mengelilingi sumbu-x
𝑉 = න𝑎
𝑏
𝜋𝑦2. 𝑑𝑥
𝑉 = න𝑡=0
𝑡=2
𝜋 3𝑡 − 𝑡2 2. 𝑑𝑥
x = 3t2, y= 3t-t2
c = 3t2
dx = 6t dt
Contoh - 2
𝑉 = 𝜋න0
2
9𝑡2 − 6𝑡3 + 𝑡4 6𝑡𝑑𝑡
𝑉 = 6𝜋න0
2
9𝑡2 − 6𝑡3 + 𝑡4 𝑑𝑡
𝑉 = 6𝜋9𝑡4
4−6𝑡5
5+𝑡6
60
2
𝑉 = 6𝜋 36 − 38,4 + 10,67𝑉 = 6𝜋 8,27
𝑉 = 156 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛3
Volume Benda-Putar
Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurvay=x2+5, sumbu-x, dan ordinat-ordinat di x=1 dan x=3, diputar mengelilingisumbu-y sampai satu putaran penuh.
Volume Benda-Putar
Pada kasus tersebut tidak memiliki rumus standar, karena rumus 𝑉 =
𝑎𝑏𝜋𝑦2. 𝑑𝑥 adalah rumus untuk rotasi mengelilingi sumbu-x.
Dibuat metode umum
Volume yang dibentuk oleh potongan =
Volume yang dibentuk oleh empat persegi
panjang (silinder tipis yang berongga)
Volume Benda-Putar
∴ 𝛿𝑉 ≈ 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑚𝑝𝑎𝑡 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 𝑥 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔𝛿𝑉 ≈ 𝑦𝛿𝑥. 2𝜋𝑥 ≈ 2𝜋𝑥𝑦. 𝛿𝑥
Maka untuk semua potongan seperti ini di antara x=1 dan x=3:
𝑉 ≈𝛿𝑉 ≈
𝑥=1
𝑥=3
2𝜋𝑥𝑦. 𝛿𝑥
Jika 𝛿𝑥 → 0, kesalahan akan hilang dan akan diperoleh
𝑉 = 2න1
3
𝜋𝑥𝑦 𝑑𝑡
Contoh - 3
Menggunakan soal yang diberikan pada pembahasan sebelumnya.
Karena y=x2 + 5, maka dapat mensubstitusikan y:
𝑉 = 2න1
3
𝜋𝑥𝑦 𝑑𝑥 = 2𝜋න1
3
𝑥 𝑥2 + 5 𝑑𝑥 = 2𝜋න1
3
𝑥3 + 5𝑥 𝑑𝑥
𝑉 = 2𝜋𝑥4
4+5𝑥2
21
3
𝑉 = 2𝜋81
4+45
2−
1
4+5
2
Sentroid dari Suatu Bentuk Bidang
Sentroid dapat dicari posisinya dengan cara mengambil satu potonganelementer dan kemudiann menghitung momennya (a) terhadap OY untukmencari ҧ𝑥, dan (b) terhadap OX untuk mencari ത𝑦.
𝐴 ҧ𝑥 ≈ σ𝑥=𝑎𝑥=𝑏 𝑥. 𝑦𝛿𝑥
𝐴ത𝑦 ≈ σ𝑥=𝑎𝑥=𝑏 𝑦
2. 𝑦𝛿𝑥
Yang menghasilkan ҧ𝑥 =𝑎𝑏𝑥𝑦𝑑𝑥
𝑎𝑏𝑦𝑑𝑥
, ത𝑦 =1
2𝑎𝑏𝑦2𝑑𝑥
𝑎𝑏𝑦𝑑𝑥
Contoh - 4
Carilah posisi sentroid dari daerah yang dibatasi oleh y=e2x, sumbu-x, sumbu-y, dan ordinat di x=2
Jawaban:
Langkah pertama dicari ҧ𝑥
ҧ𝑥 =𝑎𝑏𝑥𝑦𝑑𝑥
𝑎𝑏𝑦𝑑𝑥
, yang kemudian dihitung kedua integral
secara terpisah.
Contoh - 4
Misalkan, ҧ𝑥 =𝐼1
𝐼2
Maka 𝐼1 = 02𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥
𝑒2𝑥
2−
1
2 𝑒2𝑥𝑑𝑥
0
2
𝐼1 =𝑥𝑒2𝑥
2−𝑒2𝑥
40
2
𝐼1 = 𝑒4 −𝑒4
4− −
1
4
𝐼1 =3𝑒4
4+1
4=3𝑒4 + 1
4
Contoh - 4
Maka 𝐼2 = 02𝑒2𝑥𝑑𝑥 =
𝑒2𝑥
2 0
2
=𝑒4
2−
1
2=
𝑒4−1
2
Sehingga ҧ𝑥 =𝐼1
𝐼2=
3𝑒4+1
4.
2
𝑒4−1=
3𝑒4+1
2 𝑒4−1=
3 54,60 +1
2 54,60−1=
163,8+1
109,2−2=
164,8
107,2
ҧ𝑥 = 1,537
Kemudian dicari ത𝑦
ത𝑦 =02 12𝑦2𝑑𝑥
02𝑦𝑑𝑥
=𝐼3𝐼2
Contoh - 4
𝐼3 = න0
2 1
2𝑦2𝑑𝑥
𝐼3 =1
2න0
2
𝑦2𝑑𝑥 =1
2න0
2
𝑒4𝑥𝑑𝑥 =1
2
𝑒4𝑥
20
2
=1
8𝑒8 − 1
ത𝑦 =𝐼3𝐼2=
18𝑒8 − 1
12𝑒4 − 1
=1
4𝑒4 − 1 =
1
454,60 + 1 = 13,90
Maka sentroidnya adalah di ҧ𝑥 = 1,537 dan ത𝑦 = 13,90
Pusat Massa Suatu Benda Putar
Akan dicari posisi pusat massa (centre of gravity) dari suatu benda yang terbentuk apabila bentuk bidang yang dibatasi kurva y=f(x), sumbu-x, dnaordinat-ordinat di x=a dan x=b, diputar mengelilingi sumbu-x
Jika diambil cakram-cakram elementer danmenjumlahkan seluruh momen volumenya (ataumomen massanya) terhadap OY, maka kita dapatmenghitung ҧ𝑥.
ҧ𝑥 =𝑎𝑏𝑥𝑦2𝑑𝑥
𝑎𝑏𝑥𝑦2𝑑𝑥
, sedangkan ത𝑦 = 0
Contoh - 5
Carilah posisi pusat massa dari benda yang terbentuk apabila bentukbidang yang dibatasi oleh kurva x2 + y2 = 16, sumbu-x, dan ordinat-ordinatdi x=1 dan x=3 diputar mengelilingi sumbu-x
𝐼1 = න1
3
𝑥 16 − 𝑥2 𝑑𝑥 = න1
3
16𝑥 − 𝑥3 𝑑𝑥 = 8𝑥2 −𝑥4
41
3
𝐼1 = 72 −81
4− 8 −
1
4= 64 − 20 = 44 ∴ 𝐼1 = 44
Contoh - 5
𝐼2 = න1
3
16 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 16𝑥 −𝑥3
31
3
𝐼1 = 48 − 9 − 16 −1
3= 23
1
3∴ 𝐼2 = 23
1
3
ҧ𝑥 =𝐼1𝐼2=44
1.3
70=132
70= 1,89
Jadi ҧ𝑥 = 1,89 dan ത𝑦 = 0
Panjang Kurva
Akan dicari panjang busur suatu kurva y=f(x) diantara x=a dan x=b
Misalkan P adalah titik (x,y) dan Q adalah suatu titik pada kurva di dekat P. misalkan 𝛿𝑥= panjang busur kecil PQ.
Panjang Kurva
Maka:
𝛿𝑠 2 ≈ 𝛿𝑥 2 + 𝛿𝑦 2 ∴𝛿𝑠 2
𝛿𝑥 2≈ 1 +
𝛿𝑦 2
𝛿𝑥 2
𝛿𝑠
𝛿𝑥
2
≈ 1 +𝛿𝑦
𝛿𝑥
2
∴𝛿𝑠
𝛿𝑥≈ 1 +
𝛿𝑦
𝛿𝑥
2
Jika 𝛿𝑥 → 0𝑑𝑠
𝑑𝑥= 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2∴ 𝑠 = 𝑎
𝑏1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2. 𝑑𝑥
Contoh - 6
Carilah panjang dari kurva y=10 cosh𝑥
10diantara x=-1 dan x=2
Jawaban:
y=10 cosh𝑥
10𝑠 = 1−
21 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2. 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥= sinh
𝑥
10∴ 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
= 1 + 𝑠𝑖𝑛ℎ2𝑥
10= 𝑐𝑜𝑠ℎ2
𝑥
10
∴ 𝑠 = න−1
2
𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑥
10. 𝑑𝑥 = න
−1
2
cosh𝑥
10𝑑𝑥 = 10 sinh
𝑥
10 −1
2
Contoh - 6
𝑠 = 10 (sinh 0,2 − sinh(−0,1)) sinh −𝑥 = −sinh 𝑥𝑠 = 10 (sinh 0,2 + sinh 0,1) = 10(0,2013 + 0,1002)
𝑠 = 10 0,3015 = 3,015 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛
Panjang Kurva – Persamaan Parametrik
Daripada dilakukan proses perubahan variable integral seperti yang dilakukan sebelumnya jika kurva dinyatakan dalam persamaan parametrik, dapat dibuat suatu bentuk kurva yang akan memudahkan pekerjaan.
Misalkan 𝑦 = 𝑓 𝑡 , 𝑥 = 𝐹(𝑡)
Seperti sebelumnya:
𝛿𝑠 2 = 𝛿𝑥 2 + 𝛿𝑦 2
Bagi kedua sisi dengan 𝛿𝑡 2
∴𝑑𝑠
𝑑𝑡
2=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
2+
𝑑𝑦
𝑑𝑡
2
Panjang Kurva – Persamaan Parametrik
Jika t 0, ini mejadi:
𝑑𝑠
𝑑𝑡
2=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
2+
𝑑𝑦
𝑑𝑡
2
𝑑𝑠
𝑑𝑡=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
2+
𝑑𝑦
𝑑𝑡
2∴ 𝑠 = 𝑡=𝑡1
𝑡=𝑡2 𝑑𝑥
𝑑𝑡
2+
𝑑𝑦
𝑑𝑡
2. 𝑑𝑡
Contoh 7
Carilah panjang dari kurva 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠2𝜃, 𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛3𝜃 di antara titik-titik yang berkorespondensi dengan =0 dan =/2
Ingatlah 𝑠 = 0𝜋/2 𝑑𝑥
𝑑𝜃
2+
𝑑𝑦
𝑑𝜃
2. 𝑑𝜃
Kita memiliki 𝑑𝑥
𝑑𝜃= 6𝑐𝑜𝑠2𝜃 − sin 𝜃 = −6𝑐𝑜𝑠2𝜃 sin 𝜃
𝑑𝑦
𝑑𝜃= 6𝑠𝑖𝑛2𝜃 cos 𝜃
∴𝑑𝑥
𝑑𝜃
2
+𝑑𝑦
𝑑𝜃
2
= 36 𝑐𝑜𝑠4𝜃 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 36𝑠𝑖𝑛4𝜃𝑐𝑜𝑠2𝜃
Contoh 7
∴𝑑𝑥
𝑑𝜃
2
+𝑑𝑦
𝑑𝜃
2
= 36 𝑐𝑜𝑠4𝜃 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 36𝑠𝑖𝑛4𝜃𝑐𝑜𝑠2𝜃
𝑑𝑥
𝑑𝜃
2
+𝑑𝑦
𝑑𝜃
2
= 36 𝑠𝑖𝑛2𝜃 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑖𝑛2𝜃
𝑑𝑥
𝑑𝜃
2
+𝑑𝑦
𝑑𝜃
2
= 36 𝑠𝑖𝑛2𝜃 𝑐𝑜𝑠2 𝜃
∴𝑑𝑥
𝑑𝜃
2
+𝑑𝑦
𝑑𝜃
2
= 6 sin 𝜃 cos 𝜃 = 3 sin 2𝜃
Luas Permukaan Benda Putar
Jika busur suatu kurva diputar mengelilingi sebuah sumbu, maka putaran ini akan membentuk suatu permukaan.
Carilah luas permukaan benda-putar yang terjadi jika busur suatu kurva y=f(x) diantara x=x1 dan x=x2 diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu-x.
Luas Permukaan Benda Putar
Jika kita memutar sebuah elemen busur kecil dengan panjang 𝛿𝑠 satuan, maka putaran ini akan membentuk pita tipis dengan luas A.
Maka 𝛿𝐴 ≈ 2𝜋𝑦. 𝛿𝑠
Dengan membagi kedua sisi dengan x
kita peroleh 𝑑𝐴
𝑑𝑥= 2𝜋𝑦
𝑑𝑠
𝑑𝑥
Seperti yang telah kita lihat sebelumnya 𝑑𝑠
𝑑𝑥= 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
Contoh 8
Carilah luas permukaan yang terbentuk jika busur dari parabola y2=8x di antara x=0 dan x=2 diputar mengelilingi sumbu-x
Jawaban
𝐴 = න0
2
2𝜋𝑦 1 +𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
. 𝑑𝑥
𝑦2 = 8𝑥 ∴ 2 2𝑥1/2 ∴𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥1/2 ∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
=2
𝑥
∴ 1 +𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
= 1 +2
𝑥=𝑥 + 2
𝑥
Contoh 8
∴ 𝐴 = න0
2
2𝜋2 2 𝑥1/2𝑥 + 2
𝑥. 𝑑𝑥
𝐴 = න0
2
4 2. 𝜋. 𝑥1/2𝑥 + 2 1/2
𝑥1/2𝑑𝑥
𝐴 = 4 2. 𝜋න0
2
𝑥 + 2 1/2 𝑑𝑥
𝐴 = 4 2. 𝜋𝑥 + 2 3/2
3/20
2
Luas Permukaan Benda-Putar – Persamaan Parametrik
Telah dilihat bahwa jika kita memutar sebuah busur kecil s, maka luas A dari pita tipis yang terbentuk diberikan oleh:
𝛿𝐴 ≈ 2𝜋𝑦. 𝛿𝑠
Jika dibagi semua sisi dengan , maka didapatkan𝛿𝐴
𝛿𝜃≈ 2𝜋𝑦.
𝛿𝑠
𝛿𝜃
Dan jika 0, ini menjadi:𝑑𝐴
𝑑𝜃≈ 2𝜋𝑦.
𝑑𝑠
𝑑𝜃
Luas Permukaan Benda-Putar – Persamaan Parametrik
Ketika membahas tentang panjang kurva, maka:
𝑑𝑠
𝑑𝜃=
𝑑𝑥
𝑑𝜃
2
+𝑑𝑦
𝑑𝜃
2
∴𝛿𝐴
𝛿𝜃= 2𝜋𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝜃
2
+𝑑𝑦
𝑑𝜃
2
∴ 𝐴 = න𝜃1
𝜃2
2𝜋𝑦𝑑𝑥
𝑑𝜃
2
+𝑑𝑦
𝑑𝜃
2
. 𝑑𝜃
Contoh 9
Carilah luas permukaan yang dihasilkan ketika kurva x=a(- sin ), y=a(1 -cos) antara =0 dan = diputar mengelilingi sumbu-x sampai satu putaran penuh.
Disini 𝑑𝑥
𝑑𝜃= 𝑎 1 − cos 𝜃 ∴
𝑑𝑥
𝑑𝜃
2= 𝑎2 1 − 2 cos 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃
𝑑𝑦
𝑑𝜃= 𝑎 sin 𝜃 ∴
𝑑𝑦
𝑑𝜃
2
= 𝑎2𝑠𝑖𝑛2𝜃
∴𝑑𝑥
𝑑𝜃
2
+𝑑𝑦
𝑑𝜃
2
= 𝑎2 1 − 2 cos 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑖𝑛2𝜃
Contoh 9
∴𝑑𝑥
𝑑𝜃
2
+𝑑𝑦
𝑑𝜃
2
= 2𝑎2 1 − cos 𝜃 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑖 cos 𝜃 = 1 − 2𝑠𝑖𝑛2𝜃
2
𝑑𝑥
𝑑𝜃
2
+𝑑𝑦
𝑑𝜃
2
= 4𝑎2𝑠𝑖𝑛2𝜃
2
Diselesaikan integralnya dan dicari luas permukaan yang terbentuk
𝐴 = න0
𝜋
2𝜋𝑦𝑑𝑥
𝑑𝜃
2
+𝑑𝑦
𝑑𝜃
2
. 𝑑𝜃
Contoh 9
𝐴 = 2𝜋න0
𝜋
𝑎 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 . 2𝑎 sin𝜃
2. 𝑑𝜃 = 2𝜋න
0
𝜋
𝑎 2𝑠𝑖𝑛2𝜃
2. 2𝑎 sin
𝜃
2. 𝑑𝜃
𝐴 = 8𝜋𝑎2න0
𝜋
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃
2. sin
𝜃
2. 𝑑𝜃
𝐴 = 8𝜋𝑎2න0
𝜋
𝑠𝑖𝑛𝜃
2− 𝑐𝑜𝑠2
𝜃
2sin
𝜃
2. 𝑑𝜃
𝐴 = 8𝜋𝑎2 −2 cos𝜃
2+2𝑐𝑜𝑠3𝜃/2
30
𝜋
𝐴 = 8𝜋𝑎2 0 − −2 + 2/3
𝐴 = 8𝜋𝑎2 4/3 =32𝜋𝑎2
3𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛2
Aturan-Aturan Pappus
Ada dua aturan yang bermanfaat dan perlu diketahui:
1. Jika busur dari suatu kurva bidang diputar mengelilingi sebuah sumbu dalam bidang tersebut, maka luas permukaan yang terbentuk akan sama dengan panjang kurva tersebut dikalikan dengan jarak yang ditempuh oleh sentroidnya
2. Jika suatu bentuk bidang diputar mengelilingi sebuah sumbu putar dalam bidang tersebut, maka volume yang terbentuk akan sama dengan luas bentuk tersebut dikalikan dengan jarak yang ditempuh oleh sentroidnya.