Matematika SMA

BENTUK PANGKAT DAN AKAR

A. PANGKAT BULAT POSITIF #(1)

a.a.a.a. DefinisiDefinisiDefinisiDefinisi Jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka :

a = bilangan pokok n = pangkat (eksponen) Contoh : 1. 73 = 7 x 7 x 7

2. 32

32

32

32

32

4

×××=

b.b.b.b. SifatSifatSifatSifat----Sifat EksponenSifat EksponenSifat EksponenSifat Eksponen

1. nmnm aaa += .

2. nmn

m

aa

a −=

3. mnnm aa =)(

4. 0, ≠=

b

b

a

b

an

mm

5. nmm baba ×=× )(

B. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL #(02)

• Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m bilangan bulat positif maka :

mm

aa

1=− atau mm

aa

=−1

maka berlaku juga mm

a

b

b

a

=

−

• Jika a bilangan real dan a ≠ 0 maka 10 =a

Contoh :

1. 8

1

2

12

33 ==−

444 3444 21n sebanyak

a.... aaana ×××=

1. )153(53 12121212 ++=××

2. 2575

7

333

3 == −

3. ( ) 1025 77 =

4. 2

44

2

3

2

3 =

5. ( ) 555 3232 ×=×

Contoh :

2. 8133

1 44

==−

3. 16

625

625

161

5

2

1

5

2

1

5

2

4

44

4

===

=

−

4. ( ) 123 0 =−

5. =

0

3

21

C. PANGKAT RASIONAL #(03)

Jika a bilangan real, m dan n bilangan asli dengan 2≥n maka :

1. nn aa =1

2. n mn

m

aa =

3. n m

n

m

aa

1=−

Contoh :

1. 2288 3 333

1

===

2. 5 25

2

55 =

3. 9818181 22

1

===

4. 4

1

16

1

16

116

2

12

1

===−

D. BILANGAN RASIONAL, IRASIONAL DAN BENTUK AKAR #(04)

a.a.a.a. Bilangan RasionalBilangan RasionalBilangan RasionalBilangan Rasional Bilangan rasional adalah bilangan yanga dapat dinyatakan sebagai pecahan

b

a dengan a,b bilangan bulat dan b ≠ 0.

Contoh :

1. 1

44 =

4. 39 =

2. 100

1313,0 =

5. 51253 =

3. 99

23....232323,0 =

b.b.b.b. Bilangan IrrasionalBilangan IrrasionalBilangan IrrasionalBilangan Irrasional Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai

pecahan b

a dengan a,b bilangan bulat dan b ≠ 0.

Contoh :

1. ......7320508,1

2. 5,17,2

3. 53 8,7

c.c.c.c. Bentuk AkarBentuk AkarBentuk AkarBentuk Akar Bentuk akar adalah akar suatu bilangan real positif yang hasilnya bukan bilangan rasional.

Contoh : 8,5,3

Berikut operasional dalam bentuk akar :

1. baba ×=×

2. cdabdbca =×

3. 0, ≠= bb

a

b

a

4. cb)(acbca +=+

5. cb)(acbca −=−

Contoh :

1. 153535 =×=×

2. 1585432 =×

Bilangan rasional

Bilangan irrasional

3. 5

3

5

3 =

4. 787)62(7672 =+=+

5. 767)82(7872 −=−=−

Berikut operasional akar bentuk khusus :

1. baabba +=++ 2)(

2. baabba −=−+ 2)( , dengan ba >

Contoh :

1. 57572)57(35212 +=×++=+

2. 3234342)34(2127 −=−=×−+=−

3. 23232)23(625645245 −×−+=−=⋅−=−

4. 26262)26(122834283228348 +=⋅++=+=⋅+=⋅+=+

d.d.d.d. Merasionalkan Merasionalkan Merasionalkan Merasionalkan Pecahan Pecahan Pecahan Pecahan #(05)#(05)#(05)#(05)

Merasionalkan bentuk akar adalah menjadikan penyebut pecahan bentuk akar menjadi bilangan rasional . Caranya kalikan penyebut dengan bentuk sekawannya :

1. b

ba

b

b

b

a

b

a =×=

2. ba

bac

ba

ba

ba

c

ba

c

−−=

−−×

+=

+ 2

)(

3. ba

bac

ba

ba

ba

c

ba

c

−+=

++×

−=

− 2

)(

4. ba

bac

ba

ba

ba

c

ba

c

−−=

−−×

+=

+)(

5. ba

bac

ba

ba

ba

c

ba

c

−+=

++×

−=

−)(

Contoh :

1. 3

32

3

3

3

2

3

2 =×=

2. 34

)32(5

32

32

32

5

32

5

−−

=−−×

+=

+3510)32(5 −=−=

3. 516

)54(3

54

54

54

3

54

3

−+=

++×

−=

− 11

5412

11

)54(3 +=+=

4. 36

)36(5

36

36

36

5

36

5

−−

=−−×

+=

+ 3

)36(5 −=

5. 25

)25(4

25

25

25

4

25

4

−−=

++×

−=

− 3

)25(4 −=

E. PERSAMAAN EKSOPONEN #(06)

1. pxf aa =)( maka pxf =)(

syarat : )1,0( ≠> aa

2. )()( xgxf aa = maka )()( xgxf =

syarat : )1,0( ≠> aa

3. )()( xfxf ba = maka 0)( =xf

syarat : ),1,0,1,0( babbaa ≠≠>≠>

4. )()( )}({)}({ xgxf xhxh = , maka berlaku :

a. )()( xgxf =

b. 1)( =xh

c. 0)( =xh , syarat 0)(&)( >xgxf

d. 1)( −=xh , syarat )(&)( xgxf keduanya genap atau )(&)( xgxf

keduanya ganjil

5. )()( )}({)}({ xhxh xgxf = , maka berlaku :

a. )()( xgxf =

b. 0)( =xh , syarat 0)(&)( ≠xgxf

Contoh :

1. Diketahui 84 12 =+x , maka nilai x nya adalah.... Pembahasan :

84 12 =+x

( ) 3122 22 =+x

324 22 =+x

2x + 2 = 3 4x = 3 – 2 4x = 1 x = ¼

2. Nilai x yang memenuhi persamaan 335 1255 +− = xx adalah..... Pembahasan :

335 1255 +− = xx 3335 )5(5 +− = xx

9335 55 +− = xx

3. 6565 2253 +−+− = xxxx Carilah nilai x yang memenuhi !

Pembahasan :

6565 2253 +−+− = xxxx

0652 =+− xx 0)3)(2( =−− xx

2=x dan 3=x

4. Nilai-nilai x yang mungkin dari persamaan 242 )2()2( xxx xx −−=−

adalah.... Pembahasan :

242 )2()2( xxx xx −−=−

)2( −x → kita anggap sebagai h(x)

2x → kita anggap sebagai f(x)

4x – x 2 → kita anggap sebagai g(x)

Maka berlaku : a. )()( xgxf =

242 xxx −=

042 2 =+− xxx

022 =− xx 0)2( =−xx

0=x atau 2=x b. 1)( =xh

12=−x

3=x c. 0)( =xh , syarat 0)(&)( >xgxf

02=−x

2=x

Masukan 2=x ke )(&)( xgxf xxf 2)( =

6)2(2)2( ==f , 0)( >xf (memenuhi)

24)( xxxg −=

9335 +=− xx

3935 +=− xx

122 =x

6=x

22)2(4)3( −=g

448 =−= , 0)( >xg (memenuhi)

Karena untuk 2=x memenuhi syarat 0)(&)( >xgxf maka 2=x

termasuk dalam penyelesaian. d. 1)( −=xh , syarat )(&)( xgxf keduanya genap atau )(&)( xgxf

keduanya ganjil. 1)( −=xh

12 −=−x

1=x

Masukan 1=x ke )(&)( xgxf xxf 2)( =

2)1(2)2( ==f ( genap ) 24)( xxxg −=

3141)1(4)2( 2 =−=−=g ( ganjil )

Karena untuk 1=x ternyata )(&)( xgxf keduanya menghasilkan

nilai genap dan ganjil maka 1=x tidak termasuk dalam penyelesaian.

Jadi semua nilai x yang memenuhi( himpunan penyelesaianya adalah {0,2,3}

5. Diberikan persamaan 2323 22)1()42( +−+− −=+ xxxx xx maka nilai-nilai x

memenuhi syarat adalah.... Pembahasan :

)42( +x → kita anggap sebagai f(x)

)1( −x → kita agnngap sebagai g(x)

232 +− xx → kita anggap sebagai h(x) Maka berlaku : a. )()( xgxf =

142 −=+ xx

412 −−=− xx

5−=x b. 0)( =xh , syarat 0)(&)( ≠xgxf

0232 =+− xx 0)1)(2( =−− xx

2=x atau 1=x

Masukan 2=x dan 1=x kedalam f(x) dan g(x) harus memenuhi syarat 0)(&)( ≠xgxf

Kita masukan 2=x ke f(x) dan g(x): 42)( += xxf

84)2(2)2( =+=f , f(x) ≠ 0 maka memenuhi syarat.

1)( −= xxg

112)2( =−=g , g(x) ≠ 0 maka memenuhi syarat.

Karena untu 2=x memenuhi syarat 0)(&)( ≠xgxf maka 2=x

adalah penyelesaian.

Kita masukan 1=x ke f(x) dan g(x): 42)( += xxf

64)1(2)1( =+=f , f(x) ≠ 0 maka memenuhi syarat.

1)( −= xxg

111)1( =−=g , g(x) = 0 maka tidak memenuhi memenuhi syarat.

Kareana untuk 1=x tidak memenuhi syarat untuk g(x) maka 1=x tidak termasuk dalam penyelesesaian. Maka nilai-nilai x yang merupakan penyeleseaian adalah { - 5, 2 }

F. GRAFIK FUNGSI EKSOPONEN #(07)

Fungsi eksponen adalah fungsi yang memetakan nilai x ke ax dengan bentuk umum :

Ada dua jenis bentuk grafik yaitu untuk 1>a dan untuk 10 << a

a. Grafiks eksponen untukGrafiks eksponen untukGrafiks eksponen untukGrafiks eksponen untuk 1>a

Kita punya persamaan xxf 2)( = , mari kita gambar dengan

menempatkan titik koordinat dengan bantuan tabel sebagai berikut : x - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4

)(xfy = 16

1

8

1

4

1

2

1 1 2 4 8 16

xaxf =)( dengan syarat 1,0 ≠> xa

4 3 2 1 -1 -2 -3 -4

Y

X

16

8

4

2

1

Nilai x semakin besar (semakin positif) maka nilai y dua kali lipat semakin besar.

Nilai x semakin kecil (semakin negatif) maka nilai y setengah kali lipat semakin kecil

xy 2=

b. Grafiks eksponen untuk Grafiks eksponen untuk Grafiks eksponen untuk Grafiks eksponen untuk 10 << a

Kita punya persamaan x

xf

=2

1)( , mari kita gambar dengan

menempatkan titik koordinat dengan bantuan tabel sebagai berikut : x - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4

)(xfy = 16 8 4 2 1 2

1

4

1

8

1

16

1

dengan penggambaran dua grafik diatas maka dapat disimpulkan bahwa

grafik xay = dapat digambarkan dengan :

X 4 3 2 1

16

8

4

2 1

Nilai x semakin kecil ( semakin negatif) maka nilai y dua kali lipat semakin besar. Nilai x semakin besar (semakin

positif) maka nilai y setengah kali lipat semakin kecil

-1 -2 -3 -4

Y

X

Y xay = xay =

untuk a > 1 untuk 0 < a < 1

SOALSOALSOALSOAL----SOAL LATIHANSOAL LATIHANSOAL LATIHANSOAL LATIHAN

1. Bentuk sederhana dari

1

2

431

2

3−

−

−−

ba

baadalah…

A. 5

5

3

2

b

a

B. 5

5

2

3

b

a

C. 5

5

6b

a

D. 5

56

b

a

E. 5

56

a

b

UN MAT IPS 2012 (A35-04)

2. Bentuk sederhana dari 35

35

−+

adalah…

A. 1524−

B. 154−

C. 154+

D. 1524+

E. 1528+

UN MAT IPS 2012 (A35-05)


19

55

32

2−

−

−

ba

baadalah …

A. ( )42ab .

B. ( )22ab

C. ab2

D. ( ) 12 −ab

E. ( ) 42 −ab UN MAT IPS 2011 (54 – 01)

4. Bentuk sederhana dari )2436)(2735( −+ adalah …

A. 32422− .

B. 622146+

C. 63422+

D. 62234+

E. 622146+ UN MAT IPS 2011 (54 – 02)

5. Bentuk sederhana dari ( )

...45

522

=⋅

⋅−

−

nm

nm

A. mn

B. n

m

C. m

n

D. n

m2

E. nm2

UN MAT IPS 2010 (XX-04)

6. Hasil dari )62)(622( +− adalah...

A. )21(2 −

B. )22(2 −

C. )13(2 −

D. )13(3 −

E. )132(4 +


7. Nilai dari 22

132

bca

cba−

−

, untuk 3,2 == ba dan 5=c adalah…

A. 125

81

B. 125

144

C. 125

1296

D. 125

432

E. 125

2596

UN MAT IPA 2012 (A35-03)


25

+−

adalah…

A. ( )1041113

1 +−−

B. ( )104113

11 +−−

C. ( )1041113

1 −

D. ( )1041113

1 +−

E. ( )1041113

1 +−

UN MAT IPA 2012 (A35-04)

9. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah…

A. xxf 2)( =

B. 12)( += xxf

C. 12)( += xxf

D. 13)( += xxf

E. xxf 3)( =

UN MAT IPA 2012 (A35-19) -1

1

2

3

1 X

Y

(1,3)

(0,2)

10. Bentuk sederhana dari ...84

7417

643

=−−−

−−

zyx

zyx

A. 3

1010

12y

zx

B. 34

2

12 yx

z

C. 2

510

12z

yx

D. 4

23

12x

zy

E. 23

10

12 zy

x

UN MAT IPA 2011 (D10-12)


325

−+

=…

A. 22

15520+

B. 22

15523−

C. 22

15520

−−

D. 22

15520

−+

E. 22

15523

−+

UN MAT IPA 2011 (D10-16)

12. Bentuk sederhana dari ��.��

��

�.�

�

adalah ...

A. ��

B. ��

C. ��

D. � ��

E. � ��

UN MAT IPA 2010 (D10-02)

13. Bentuk sederhana dari ��√��√��

��√� adalah ...

A. 12 +√2

B. -12 + 8√2

C. -12 + √2

D. -12 - √2

E. -12 - 8√2 UN MAT IPA 2010 (D10-03)

14. Bentuk )18232(32243 −+ dapat disederhanakan menjadi…

A. 6

B. 62

C. 64

D. 66

E. 69 UN MAT IPA 2008 (D10-03)

15. Bentuk sederhana dari )504()231( −−+

A. 322 −−

B. 522 +−

C. 328 −

D. 328 +

E. 528 + UN MAT IPA 2007 (D9-01)

16. Jika a dan b adalah bilangan bulat positif yang memenuhi ab = 220 - 219. Maka

nilai a + b adalah...

A. 3

B. 7

C. 19

D. 21

E. 23

SNMPTN MATDAS 2012 (821-01)

17. Jika n memenuhi :

12525...252525 25,025,025,025,0 =xxxx , perkalian tersebut sebanyak n kali. Maka

nilai dari ...)2)(3( =+− nn

A. 36

B. 32

C. 28

D. 26

E. 24

SNMPTN MAT DAS 2010 (XX-02)

18. Jika 5

5

1

2

15

1

2

1

ba +=+

−, maka ...=+ ba

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 SNMPTN MAT DAS 2008(XX-05)

19. Dalam bentuk pangkat positif ...)( 2

22=−

−

−−

xy

yx

A. ))(( yxyx −+

B. ))(( yxyx −+−

C. 2)( yx −

D. )( yxx −

E. )( yxx −−

SNMPTNMAT DAS 2008 (XX-06)

20. Nilai x yang memenuhi persamaan 12

3 5

2

1

8

4+

−=

x

x adalah…

A. - 4 B. - 1 C. – 1/2 D. 1/4 E. 2 SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-18)

21. Jika ))(( 31

31

21

23 −

−+= xxxxp dan ))(( 31

21

21

xxxxq −+= −, maka ...=

q

p

A. 3 x

B. 3 2x

C. x

D. 3. xx

E. 3 2. xx SPMB MAT DAS 2006 (XX-01)

22. Jika 0,0 >> ba dan ba ≠ , maka ...))((

)()(1111

221=

−+−+

−−−−

−−−

baabba

baba

A. 2)(

1

ba +−

B. 2)( ba +

C. 2)( ba

ab

+−

D. ba

ab

+

E. ab SPMB MAT DAS 2006(XX-02)

23. Jika 322

8 =y

x

dan 2322.4 =yx , maka x + y = ….

A. 1 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8 SPMB MAT IPA 2006 (XX-15)

24. ( )

....1

1

6

3 26 2

=+⋅

+⋅

xx

xxx

A. 1+xx

B. x

C. 1

D. 6 2

1

x

E. 1+x

x

UM UGM MAT DAS 2008 (XX-11)

25. ( )( )

....322

232353

=−

−+

A. 23 −

B. 2233 −

C. 3322 −

D. 3223 −

E. 3324 −


26. Bentuk sederhana dari 487 + adalah ….

A. 78 +

B. 67 +

C. 18 +

D. 25 +

E. 34 +



1

54

16

1

32

1

2

1

13

72

1

3

24

−

−−

yxyx

yxyx

adalah ….

A. y

B. x

C. xy

D. y

x

E. x

y


28. Jika diketahui x dan y adalah bilangan riil dengan x > 1 dan y > 0. Jika xy = xy

dan ,5yxy

x = maka x2 + 3y = ….

A. 29

B. 28

C. 27

D. 26

E. 25

SIMAK UMI MAT DAS 2012 (221-03)

29. ....2223 =−+

A. 24

B. 23+

C. 2

D. 1

E. 0

SIMAK UI MAT DAS 2009 (911-01)

30. Jika 32

32

−+=a dan

32

32

+−=b maka a + b = ….

A. 0

B. 1

C. 8

D. 10

E. 14


LOGARITMA

A. DEFINISI #(01)

Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan atau eksponen, berikut contohnya : Catatan :

1. 01log =a berapapun bilangan pokoknya bila numerus logaritmanya 1,

maka hasilnya 0.

2. 1log =aa bila besar bilangan pokok dan numerus sama, maka hasilnya 1.

3. Dalam logaritma bila bilangan pokoknya 10 biasanya tidak perlu dituliskan,

misalnya 5log10 cukup ditulis dengan 5log .

B. SIFAT-SIFAT LOGARITMA #(02)

1. cb (b.c) aaa logloglog +=

2. cbc

b aaa logloglog −=

3. bmb ama log.log =

4. bn

b aanlog.

1log =

5. bn

mb aman

log.log =

6. a

bb

x

xa

log

loglog =

ditulis dalam logaritma

syarat logaritma :

a > 0, b >0 dan a ≠ 1

istilah logaritma

a disebut bilangan pokok

b disebut numerus

m disebut hasil logaritma

932 =

bam =

29log3 =

mba =log

7. a

bb

a

log

1log =

8. ccb aba loglog.log =

9. ba ba=log)(

Contoh : #(#(#(#(03030303))))

1. Nilai dari 3log3log75log48log 5252 −−+ adalah....

Pembahasan :

....3log3log75log48log 5252 =−−+

3log75log3log48log 5522 −+−=

3

75log

3

48log 52 +=

25log16log 52 +=

24 += 6=

2. Jika dietahui t=7log5 maka nilai dari 49log125 adalah....

Pembahasan :

25125 7log49log3

=

7log.3

2 5=

t3

2=

3. Diketahui p=2log5 dan r=7log2 maka nlai 20log14 dalam bentuk p

dan r adalah... Pembahasan :

14log

20log20log

2

214 =

2.7log

4.5log2

2

=

7log2log

5log4log22

22

+

+=

xba =log maka x

ab 1log = maka berlaku :

n

mb

nam ba =log)( maka berlaku :

bn

mb aman

log.log = ingat bro :

Ingat ini bro (sifat 6) :

xba =log maka x

ab 1log =

pp

15log2log 25 =→=

r

p

+

+=

1

12

p

p×

rpp

p

++= 12

4. Jika 1,1 >> qp dan 1>r maka rqp prq log.log.log 2 adalah...

Pembahasan:

rqp prq log.log.log 2 2

122

1

log.log.log rqp prq =

rqp prq log2

1.log.log

2

1 2. =

. .loglog.log.2

1.2.

2

1qrp rpq=

.log.2

1qq= )1.(

2

1=2

1=

5. Bentuk sederhana dari ....)8( 5log16=

Pembahasan :

5log35log4216

)2()8( =

4

3

5= atau 4 35

C. PERSAMAAN LOGARITMA #(04)

1. pxf aa log)(log = , maka pxf =)(

2. )(log)(log xgxf aa = , maka )()( xgxf =

3. )(log)(log xfxf ba = , maka 1)( =xf

4. )(log)(log )()( xgxf xhxh = , maka )()( xgxf =

Catatan :

Pembilang dan penyebut dikalikan

dengan (p) agar tidak muncul p1

ccb aba loglog.log =

jng lupain ini bro ( sifat 7 )

n

mm ba b

na=log)(

4,3

5,2

====

nm

ba

jng lupain ini bro ( sifat 9 )

Untuk persamaan seluruh persamaan logaritma berlaku syarat bilangan pokok dan numerus.

∆∇ log

Bilangan pokok harus > 0 dan ≠ 1 Numerus harus > 0

Contoh :

1. Himpunan penyelesaian dari 3log)2log( 22 =++ xx adalah....

Pembahasan :

3log)2log( 22 =++ xx

8log)2log( 22 =+ xx

Jadi : 8)2( =+ xx

0822 =−+ xx

0)2)(4( =−+ xx

4−=x atau 2=x Untuk pengecekan syarat bil pokok dan numerus kita masukan kembali -4 dan 2 ke soal :

Untuk 3)4log()2log(4 22 =−+−⇒−=x , x = -4 tidak memenuhi syarat bil

numerus.

Untuk 3)2log()4log(2 22 =+⇒=x , x = 2 memenuhi syarat numerus.

Maka Hp nya {2}.

2. Nilai x yang memenuhi )8log()log( 323 +=− xxx adalah....

Pembahasan :

)8log()log( 323 +=− xxx

Jadi :

82 +=− xxx

082 =−−− xxx

0822 =−− xx

0)2)(4( =+− xx

4=x atau 2−=x Nilai 4 dan – 2 kita masukkan ke soal kembali, harus memenuhi syarat bilangan pokok dan numerus :

)8log()log( 323 +=− xxx

Untuk )12log()12log(4 33 =⇒=x , memenuhi syarat karena bil pokok dan numerusnya positif.

Untuk )6log()6log(2 33 =⇒−=x , memenuhi syarat karena bil pokok dan numerusnya positif. Maka hpnya { - 2, 4 }

3. Himpunan penyelesaian dari )142log()142log( 2723 −−=−− xxxx

adalah.....

Catatan

3 kita rubah menjadi 8log2

, karena 38log2 =

-4 dan 2 adalah HP sementara

4 dan - 2 adalah HP sementara

Pembahasan:

)142log()142log( 2723 −−=−− xxxx

Jadi :

11422 =−− xx

01522 =−− xx 0)3)(5( =+− xx

5=x atau 3−=x khusus bentuk yang seperti ini tidak perlu di cek syarat numerusnya karena pasti hasilnya akan menghasilkan 1. Maka HP nya adalah { - 3, 5 }

4. Carilah himpunan penyelesaian dari )52log()34log( 222 −=+− −− xxx xx

.Pembahasan :

)52log()34log( 222 −=+− −− xxx xx

Jadi :

52342 −=+− xxx

052342 =+−+− xxx

0862 =+− xx 0)4)(2( =−− xx

2=x atau 4=x Nilai 2 dan 4 kita masukkan ke soal kembali untuk pengecekan bil pokok dan numerus .

Untuk )1log()1log(2 00 −=−⇒=x , x = 2 tidak memenuhi syarat bil pokok

dan numerus.

Untuk )3log()3log(4 22 =⇒=x , x = 4 memenuhi syarat bil pokok dan

numerus. Maka hp nya {4}

2 dan 4 adalah HP sementara

D. GRAFIK FUNGSI LOGARITMA #(05)

Grafik bentuk Logaritma adah kebalikan dari bentuk eksponen. Berikut adalah ilustrasinya :

Secara umum bentuk grafik logaritma adalah sebagai beriku :

a.a.a.a. Grafik untuk bilangan pokok a > 1Grafik untuk bilangan pokok a > 1Grafik untuk bilangan pokok a > 1Grafik untuk bilangan pokok a > 1

b.b.b.b. Grafik untuk bilangan pokok 0 < a < 1Grafik untuk bilangan pokok 0 < a < 1Grafik untuk bilangan pokok 0 < a < 1Grafik untuk bilangan pokok 0 < a < 1

xxf 2)( =

xxg log)( 2=

1

1

2

2

3

3

4

4

(1,0)

(2,1)

(4,2)

(0,1)

(1,2)

(2,4)

X

Y

1 X

Y

xxf a log)( = , untuk 1>a

1 X

Y

xxf a log)( = , untuk 10 << a

SOALSOALSOALSOAL----SOAL SOAL SOAL SOAL LATIHANLATIHANLATIHANLATIHAN

1. Diketahui p=2log3 . Nilai dari 12log8 sama dengan…

A. 3

2+p

B. 3

21 p+

C. p

p

21

3

+

D. p

p

3

12 +

E. p

p

3

2+

UNMAT IPS 2012 (A35-06)

2. Nilai dari ...54log2log.25log 359 =−

A. -3 B. -1 C. 0 D. 2 E. 3 UN MAT IPS 2011(XX-06)

3. Nilai dari ( ) ...25log8

1log4log5log

25252

1

=×××

A. 24

B. 12

C. 8

D. -4

E. -12


4. Diketahui x=3log2 dan y=10log2 . Nilai =120log6 ….

A. 1

2

+++

x

yx

B. 2

1

+++yx

x

C. 2+xy

x

D. x

xy 2+

E. 1

2

+x

xy

UNMAT IPA 2012 (A35-05)

5. Nilai x yang memenuhi persamaan 1log)3log( 2

122

1

−=−− xx adalah….

A. x = -1 atau x = 3 B. x = 1 atau x = -3 C. x = 1 atau x = 3 D. x = 1 saja E. x = 3 saja UN MAT IPA 2011 (D10-13)

6. Hasil dari ...3log12log

2log9log5log22

853

=−

+⋅

A. ��

B. ��

C. �

D. � �

E. ��

UN MAT IPA 2010 (D10-04)

7. Diketahui � log√12� + 4 = 3. Nilai 3x = ... A. 15 B. 5

C. �

D. �

E. ��

UN MAT IPA 2009 (D10-02)

8. Diketahui a=7log2 dan b=3log2 maka nilai dari 14log6 adalah…

A. ba

a

+

B. ba

a

++ 1

C. 1

1

++

b

a

D. )1( ba

a

+

E. )1(

1

ba

a

++

UN MAT IPA 2008 (D10-04)

9. Jika a=3log2 dan b=5log3 , maka ...20log15 =

A. a

2

B. )1(

2

ba

ab

++

C. 2

a

D. 12

1

++

ab

b

E. ab

ba

++

2

)1(

UN MAT IPA 2007 (D9-02)

10. Nilai x yang memenuhi persamaan : xx log1)32log(log 2122 +=++ adalah…

A. 3log2

B. 2log3

C. 3

2log

D. -1 atau 3 E. 8 atau ½ UN MAT IPA 2006 (D9-29)

11. Penyelesaian pertidaksamaan : )162log()8log()4log( +<++− xxxadalah… A. 6>x B. 8>x C. 64 << x D. 68 <<− x E. 86 << x UN MAT IPA 2006 (D9-30)

12. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan : 2log2)52log(log2 ++≤ xx

adalah…

A. 102

5 ≤<− x

B. 102 ≤≤− x

C. 100 ≤< x

D. 102 <<− x

E. 02

5 <≤− x

UN MAT IPA 2005 (D10-06)

13. Jika 4log 3 = k, maka 2log 27 adalah...

A. 6

k

B. k

C. 6k

D. 6 k

E. k6

SNMPTN MAT DAS 2012 (821-14)

14. 43241240 3)log(3)log)(3(6 =+ aa , maka nilai a adalah…

A. 8

1

B. 4

1

C. 4 D. 8 E. 16 SNMPTN MATDAS 2011 (XX-01)

15. Jika a=2log7 dan b=3log2 maka ...98log6 =

A. ba

a

+

B. 1

2

++

b

a

C. )1(

2

++

ba

a

D. 2

1

++

b

a

E. )1(

2

++

ab

a


16. Jika 0>a dan 1≠a memenuhi b

aa

−

= 13 4 , maka ...log2 =b

A. 1/3 B. 1/2 C. 2/3 D. 1 1/3 E. 1 1/2 SPMB MAT DAS 2007 (XX-01)

17. Jika 16log4 += m , maka ...8log9 =

A. 42

3

+m

B. 24

3

+m

C. 24

3

−m

D. 42

3

−m

E. 22

3

+m

SPMB MAT DAS 2006 (XX-15)

18. Jika 81

1log

1log

1log81 yx

yx== , maka ...32 =− yx

A. -162 B. -81 C. 0 D. 81 E. 162 SPMB MAT IPA 2006 (XX -08)

19. Jika 322 −=x , maka ...4log32 =+ x

A. – 2

B. – ½

C. 1

D. ½

E. 2

UM UGM MAT DAS 2010 (462-11)

20. Jika ayx =+ 2log dan byx =− 8log , dengan 0 < y < x, maka ...)log( 224 =− yx

A. ab

ba 3+

B. ab

ba

2

+

C. ab

ba

4

+

D. ab

ba

2

3 +

E. ab

ba

4

3 +

UM UGM MAT DAS 2010 (462-12)

21. Jika ax =2 dan by =2 dengan x , y > 0, maka ...2

32 =++

yx

yx

A. 3/5

B. 5/3

C. 2log1 abab+

D. baab 2log1+

E. abab log12

+

UM UGM MAT DAS 2009 (931-02)

22. Jika α dan β penyelesian persamaan ( )( ))3log(loglog

1)7log(log222

22

−+=++

xx

x maka α+β=...

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6

UM UGM MAT IPA 2010 (452-14)

23. Jika x

xxf

log21

log)(

4

4

⋅−= , maka ...

2)2( =

+a

faf

A. – a

B. – 1

C. 0

D. 1

E. a

UM UGM MAT IPA 2010 (452-15)

24. Diketahui pc

ba =log dan qbca =2log , maka ....log =ba

A. 3

pq −

B. 3

2pq −

C. 3

pq +

D. 3

2pq +

E. 3

2qp −

UM UGM MAT IPA 2009 (XX-07)

25. Jika ,4loglog

142

=+ qp

maka p2q = ….

A. 2

3

B. 2

C. 2

1

D. 3

E. 4


26. Hasil perkalian dari nilai – nilai x yang memenuhi ( ) 8log2

2

10

10000

10000 −=

xx

x

adalah….

A. 210

B. 310

C. 410

D. 510

E. 710


27. Jika diketahui xyz = 26 dan ( )( ) ( )( ) 10loglogloglog 2222 =+ zyyzx dengan

,0,, ≥zyx maka ....logloglog 222222 =++ zyx

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6


28. Jika (p,q) merupakan penyelesaian dari sistem berikut :

( ) ( ) ,14loglog

4loglog2423

23

=−

=+

yx

yx

Maka nilai p – q = ….

A. 2

B. 4

C. 5

D. 9

E. 13


29. Nilai – nilai x yang memenuhi 02

1loglog

12 ≥

− xx adalah ….

A. 12

1 ≤≤ x

B. 21 ≤≤ x

C. 21 ≤< x

D. 12

1 ≤≤ x atau 2>x

E. 12

1 <≤ x atau 2≥x

SIMAK UI MATDAS 2009 (911-15)

30. 3log2log 93 =+ yx dan ,02

log3 =

− yxmaka x + y = ….

1) 72

2) 74−

3) 72−

4) 74


PERSAMAAN KUADRAT

A. DEFINISI #(1)

Persamaan kuadrat adalah sebuah persamaan yang mempunyai bentuk umum seperti berikut :

B. PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT #(2) Yang disebut penyelesaian persamaan kuadrat adalah mencari nilai - nilai yang membuat persamaan kuadrat itu menjadi nol. Nilai – nilai pembuat nol inilah yang biasa disebut dengan akar – akar. Contoh :

2 dan 3 adalah akar – akar dari persamaan 0652 =+− xx , kenapa ?. Karena :

2 dimasukan ke 652 +− xx akan menghasilkan 0 →

0610462.522 =+−=+−

3 dimasukan ke 652 +− xx akan menghasilkan 0 →

0615963.532 =+−=+−

Akar – akar persamaan kuadrat biasa disebut dengan 1x dan 2x walaupun bisa disebut dalam lambang yang lain, α dan β misalnya. Penyelesaian persamaan kuadrat ada 3 macam : c.c.c.c. MemfaktorkanMemfaktorkanMemfaktorkanMemfaktorkan

02 =++ cbxax dapat diuraikan 0))(( 21 =−− xxxx

Contoh :

1. Himpunan penyelesaian dari 0672 =+− xx adalah.... Pembahasan :

0672 =+− xx 0)6)(1( =−− xx

11=x atau 62=x Maka HP nya adalah {1,6}

2. Akar-akar dari 01572 2 =−+ xx adalah.... Pembahasan :

01572 2 =−+ xx

02 =++ cbxax dengan syarat Rcba ∈,, dan 0≠a

0)102)(32(2

1 =+− xx

0)5)(32( =+− xx

2

3=x atau 5−=x

Maka HP nya adalah

−5,2

3

d.d.d.d. Melengkapkan Kuadrat SempurnaMelengkapkan Kuadrat SempurnaMelengkapkan Kuadrat SempurnaMelengkapkan Kuadrat Sempurna

02 =++ cbxax dapat diubah menjadi a

c

a

b

a

bx −

=

+22

22

Contoh :

1. Penyelesaian dari persamaan 0862 =+− xx adalah... Pembahasan :

0862 =+− xx maka diketahui 1=a , 6−=b , 8=c , maka berlaku :

1

8

)1.(2

6

)1.(2

622

−

−=

−+x

( ) ( ) 833 22 −−=−x

( ) 893 2 −=−x

1)3( 2 =−x

1)3( ±=−x

13 ±=−x

131 +=x atau 132 −=x

41 =x atau 22 =x

e.e.e.e. Rumus ABCRumus ABCRumus ABCRumus ABC

02 =++ cbxax dapat diuraikan menjadi a

acbbx

2

42

2,1−±−=

Contoh :

1. Himpunan penyelesaian dari 0572 2 =+− xx adalah.... Pembahasan :

0572 2 =+− xx maka diketahui 5,7,2 =−== cba maka :

)2(2

)5)(2(4)7()7( 2

2,1−−±−−

=x

4

404972,1

−±=x

4

404972,1

−±=x

4

972,1

±=x

4

372,1

±=x

4

10

4

371 =+=x atau

4

4

4

372 =−=x

2

51 =x atau 12 =x

Maka HP nya adalah

1,

2

5

C. JENIS - JENIS AKAR #(3)

Ternyata tidak semua persamaan kuadrat mempunyai 2 akar, ada yang hanya mempunyai satu akar atau bahkan akar-akarnya tidak nyata / tidak real / irrasional / imaginer.

Untuk menentukan jenis akar dari persamaan kuadarat ditentukan dengan nilai deskiriminan (D).

Jenis- jenis akar tersebut adalah :

a. D > 0 ( mempunyai dua akar real berlainan) b. D = 0 ( mempunyai dua akar real sama/kembar) c. D < 0 ( akar – akarnya tidak real )

a.a.a.a. D > 0 ( mempunyai dua akar real berlainanD > 0 ( mempunyai dua akar real berlainanD > 0 ( mempunyai dua akar real berlainanD > 0 ( mempunyai dua akar real berlainan))))

Diberikan persamaan kuadrat 01072 =+− xx , ( 10,7,1 =−== cba ) mari

kita cek D nya :

acbD 42 −=

4049)10)(1(4)7( 2 −=−−=D

9=D

Penggabungan sifat a dan b maka : D ≥ 0 ( mempunayai akar real )

acbD 42 −=

Ternyata D nya mengasilkan 9 artinya D > 0 maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar berlainan. Sekarang mari kita cai 2 akar berlainan tersebut :

01072 =+− xx 0)5)(2( =−− xx

21 =x atau 52 =x .

Benar !!! persamaan mempunyai dua akar real berlainan yaitu 2 dan 5.

b.b.b.b. D = 0 ( D = 0 ( D = 0 ( D = 0 ( mempunyai dua akar real sama/kembar)mempunyai dua akar real sama/kembar)mempunyai dua akar real sama/kembar)mempunyai dua akar real sama/kembar)

Sutau persamaan kuadrat 0962 =+− xx , )9,6,1( =−== cba mari kita

cek D nya :

acbD 42 −=

3636)9)(1(4)6( 2 −=−−=D

0=D Ternyata D = 0 maka persamaan tersebut mempunyai akar sama/kembar. Mari kita lihat akar tersebut :

0962 =+− xx 0)3)(3( =−− xx

31 =x atau 32 =x

Benar !!! persamaan mempunyai akar yang sama yaitu 3.

c.c.c.c. D < 0 ( akar D < 0 ( akar D < 0 ( akar D < 0 ( akar –––– akarnya tidak real )akarnya tidak real )akarnya tidak real )akarnya tidak real )

Persamaan kuadrat 0752 =++ xx , )7,5,1( === cba mari kita cek D

nya :

acbD 42 −=

2825)7)(1(452 −=−=D

3−=D Ternyata D nya mengasilkan – 3, ini artinya D < 0 yang membuat akar – akar persamaan tersebut tida real / imaginer. Apa sih yang disebut tidak real itu ?, yuk kita cari akar-akar persamaan kuadrat tersebut untuk menngtahuinya (kita gunakan rumus ABC):

0752 =++ xx , )7,5,1( === cba

a

acbbx

2

42

2,1−±−=

)1(2

)7)(1(455 2

2,1−±−

=x

2

282552,1

−±−=x

2

352,1

−±−=x

2

351

−+−=x atau 2

351

−−−=x

Contoh : #(4)

1. Jika persamaan 042 =+− mxx mempunyai akar- akar real dan berlainan, maka nilai m yang memenuhi adalah : Pembahasan :

042 =+− mxx , )4,,1( =−== cmba

Syarat mempunyai akar rel berlainan adalah D > 0, maka :

0>D

042 >− acb

0)4)(1(4)( 2 >−−m

0162 >−m 0)4)(4( >−+ mm

41 −=m atau 42 =m

44 <<− m

2. Persamaan berikut 0243 2 =−+ pxx mempunyai akar kembar, maka nilai

p adalah.... Pembahasan :

0243 2 =−+ pxx , )2,4,3( pcba −===

Syarat mempunyai akar kembar D = 0, maka :

0=D

042 =− acb

++++ ---

-4 4

Catatan :

3− inilah yang menyebabkan akar tersebut disebut akarnya tidak real. bilangan dalam akar itu harus positif.

0)2)(3(442 =−− p

02416 =+ p

1624 −=p

24

16−=p

3

2−=p

D. OPERASI AKAR - AKAR #(5)

Persamaan kuadrat 02 =++ cbxax dengan rumus ABC mempunyai akar –

akar : a

acbbx

2

42

1−+−= dan

a

acbbx

2

42

2−−−= maka :

a

acbb

a

acbbxx

2

4

2

4 22

21−−−+−+−=+

a

bxx

2

221

−=+

a

bxx −=+ 21

Dengan cara yang sama maka akan didapat :

a

cxx =21.

a

Dxx ±=− 21

Rumus – rumus lainnya adalah :

1. 212

212

22

1 2)( xxxxxx −+=+

2. )(3)( 21213

213

23

1 xxxxxxxx +−+=+

3. 21

21

21 .

11

xx

xx

xx +

=+

4. )( 21212

2122

1 xxxxxxxx +=+

ab

xx 21 −=+

ac

x .x 21 =

aD

xx 21 ±=−

Inget bro !!!

Contoh :

1. Bila 1x dan 2x adalah akar – akar dari 0342 =−+ xx maka nilai 3

23

1 xx + adalah....

Pembahasan :

0342 =−+ xx

a

bxx −=+ 21

a

cxx =21.

1

421 −=+ xx

1

3. 21

−=xx

421 −=+ xx 3. 21 −=xx

)(3)( 21213

213

23

1 xxxxxxxx +−+=+

)4)(3(3)4( 3 −−−−=

3664−−= 100−=

2. Akar – akar persamaan kuadrat 082 =+− mxx , adalah α dan β . Jika

βα 3= maka nilai m adalah.....

Pembahasan :

082 =+− mxx dengan βα 3=

a

b−=+ βα a

c=βα .

1

83

−−=+ ββ 1

2.6m=

284 =→= ββ 12m =

βα 3= 6)2(3 =→= αα

E. SIFAT AKAR - AKAR PERSAMAAN KUADRAT #(6)

a. Mempunyai dua akar positif, syaratnya : 1. 0≥D

2. 021 >+xx

3. 0. 21 >xx b. Mempunyai dua akar negatif, syaratnya :

1. 0≥D

2. 021 <+ xx

3. 0. 21 >xx

c. Mempunyai dua akar berlainan tanda, syaratnya : 1. 0>D

2. 0. 21 <xx d. Mempunyai dua akar berlawanan, maka berlaku :

1. 0>D

2. 0 . 21 =xx

Contoh akar berlawanan adalah jika 31 =x , maka 32 −=x . e. Mempunyai dua akar berkebalikan, maka berlaku :

1. 0>D

2. 1 . 21 =xx

Contoh akar berkebalikan adalah jika 51 =x , maka 5

12 =x .

Contoh :

1. Persamaan 042 2 =+− mxx mempunyai dua akar real berlainan dan positif. Maka nilai a adalah... Pembahasan :

042 2 =+− mxx , nilai mcba =−== ,4,2 Syarat persamaan tersebut punya dua akar positif adalah : 1. 0>D

042 >− acb 0))(2(4)4( 2 >−− m

0816 >− m 168 −>− m 2<m

2. 021 >+ xx

0>−a

b

02

4 >−−

02>

3. 0. 21 >xx

0>a

c

02

>m

0>m

ruas kiri dan kanan dibagi - 8. Pertidaksamaan bila dibagi negatif atau dikali negatif tandanya berubah, dari ≥ menjadi ≤ , atau ≤ menjadi ≥

.

Tidak perlu digambar, karena tidak menganung variabel dan ini merupakan sudah merupakan pernyataan yang benar.

Kedua ruas dikali 2.

0

2

Gabungan syarat 1, 2 dan 3 adalah :

Maka nilai m yang memenuhi adalah 20 << m

2. Suatu persamaan kuadrat 05)4(3 2 =−++ xmx mempunyai akar – akar berlawanan, maka nilai m yang memenuhi adalah.... Pembahasan :

05)4(3 2 =−++ xmx , 5,4,3 −=+== cmba Syarat mempunyai dua akar yang berlawanan :

021 =+xx

0=−a

b

03

)4( =+− m

04=−−m 4=− m 4−=m

F. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT BARU #(7) Jika persamaan kuadrat mempunyai akar – akar 1x dan 2x maka cara meyusun persamaan kuadrat tersebut (ada 2 cara ) : 1. 0))(( 21 =−− xxxx

2. 0)( 21212 =++− xxxxxx atau bisa ditulis

0)((2 =+− akar kali hasilakar) jumlah xx

Contoh : 1. Persamaan kudrat ayang akar – akar nya 3 dan – 4 adalah.....

Pembahasan :

31 =x dan 41 −=x , maka

Cara I : Cara II :

0))(( 21 =−− xxxx 0)( 21212 =++− xxxxxx

0))4()(3( =−−− xx 0)4(3))4(3(2 =−+−+− xx

0)4)(3( =+− xx 012)1(2 =−−− xx

0122 =−+ xx 0122 =−+ xx

2. Jika 1x dan 2x adalah akar – akar 0522 =−− xx maka persamaan

kuadrat baru yang akar – akarnya 31 +x dan 32 +x adalah .....

0 2

Pembahasan : Cara I :

0522 =−− xx maka 5,2,1 −=−== cba

21

221 =−−=−=+

a

bxx

51

5. 21 −=−==

a

cxx

Penjumlahan akar baru : 6)3()3( 2121 ++=+++ xxxx

62+= 8= Perkalian akar baru :

933)3).(3( 212121 +++=++ xxxxxx

9)(3 2121 +++= xxxx

9)2(35 ++−=

965 ++−= 10= Maka persamaan kuadrat tersebut :

0)((2 =+− akar kali hasilakar) jumlah xx

( ) ( ) 01082 =+− xx

01082 =+− xx

Cara II (Cadas) :

Akar – akar barunya :

31 +x dan 32 +x , kita misalkan

3+= xy maka 3−= yx .

PK lama : 0522 =−− xx

PK Baru : 05)3(2)3( 2 =−−−− yy

0562962 =−+−+− yyy

01082 =+− yy

atau 01082 =+− xx


1. Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan persamaan kuadrat

01572 2 =++− xx dan 21 xx > . Nilai 6x1+4x2 sama dengan…

A. 11

B. 14

C. 16

D. 24

E. 29

UNMAT IPS 2012 (A35-12)

2. Diketahui x1 dan x2 akar-akar persamaan 0153 2 =−− xx . Persamaan

kuadrat yang akar-akar 3x1 dan 3x2 adalah…

A. 0952 =−− xx

B. 0352 =−− xx

C. 0132 =−− xx

D. 033 2 =−− xx

E. 0953 2 =−− xx

UNMAT IPS 2012 (A35-13)

3. Akar-akar persamaan kuadrat 07132 2 =−− xx adalah x1 dan x2. Jika x2 > x1 , Maka nilai 2x1 + 3x2 = … A. -12,5 B. -7,5 C. 12,5 D. 20 E. 22 UN MAT IPS 2011 (XX – 14)

4. Akar-akar persamaan kuadrat 093 2 =+− xx adalah x1 dan x2 . Nilai

...1

2

2

1 =+x

x

x

x

A. 27

53−

B. 27

3−

C. 27

1

D. 27

3

E. 27

54

UN MAT IPS 2011 (XX – 15)

5. Akar-akar persamaan 0322 =−− xx adalah 1x dan 2x . Jika 21 xx > , maka

nilai ...21 =− xx

A. – 4

B. – 2

C. 0

D. 2

E. 4


6. Akar-akar persamaan kuadrat 0352 =+− xx adalah α dan β . Nilai

...11 =+βα

A. – 5/3

B. – 3/5

C. 3/5

D. 5/3

E. 8/3


7. Persamaan kuadrat 042 =++ pxx mempunyai akar-akar 1x dan 2x . Jika

32221

221 =+ xxxx maka nilai p = ….

A. -4

B. -2

C. 2

D. 4

E. 8

UNMAT IPA 2012 (A35-06)

8. Persamaan kuadrat 0)33()22(2 =+++− mxmx mempunyai akar-akar tidak

real. Batas-batas nilai m yang memenuhi adalah…

A. 1−≤m atau 2≥m

B. 1−<m atau 2>m

C. 2−<m atau 1>m

D. 21 <<− m

E. 12 <<− m

UNMAT IPA 2012 (A35-07)

9. Akar-akar persamaan 02123 2 =+− xx adalah α dan β . Persamaan

kuadrat yang akar-akarnya )2( +α dan )2( +β adalah…

A. 038243 2 =+− xx

B. 038243 2 =++ xx

C. 038243 2 =−− xx

D. 024243 2 =+− xx

E. 024243 2 =−− xx UN MAT IPA 2011 (D10-04)

10. Akar-akar persamaan kudrat 0162 2 =++ mxx adalah α dan β. Jika α = 2β dan α , β positif, maka nilai m =…. A. -12 B. -6 C. 6 D. 8 E. 12 UN MAT IPA 2011 (D10-06)

11. Akar-akar persamaan 2�� − 6� + 2% − 1 = 0 adalah ' dan (. Jika '=2( maka nilai m adalah ... A. 3

B. ��

C. �

D. �

E. ��

UN MAT IPA 2009 (D10-04)

12. Jika p dan q adalah akar-akar persamaan �� − 5� − 1 = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2 q + 1 adalah ... A. �� + 10� + 11 = 0 B. �� − 10� + 7 = 0

C. �� − 10� + 11 = 0 D. �� − 12� + 7 = 0 E. �� − 10� − 11 = 0 UN MAT IPA 2009 (D10-05)

13. Akar-akar persamaan 5,�� + 5��, = 30adalah0dan(,makaα+ β = ⋯ A. 6 B. 5 C. 4 D. 1 E. 0 UN MAT IPA 2009 (D10-37)

14. Bila 1x dan 2x penyelesaian dari persamaan 0322.62 12 =+− +xx dengan

21 xx > , maka nilai ...2 21 =+ xx

A. 4

1

B. 2

1

C. 4 D. 8 E. 16 UN MAT IPA 2008 (D10-07)

15. Akar-akar persamaan 1log8log.6log 2222 =+− xx adalah 1x dan 2x . Nilai

...21 =+ xx

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 E. 20 UN MAT IPA 2008 (D10-09)

16. Persamaan kuadrat 0652 =+− xx mempunyai akar-akar 1x dan 2x .

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 31 −x dan 32 −x adalah…

A. 022 =− xx

B. 03022 =+− xx

C. 02 =+ xx

D. 0302 =−+ xx

E. 0302 =++ xx UN MAT IPA 2007 (D9-03)

17. Akar-akar persamaan 093.283 12 =+−+ xx adalah 1x dan 2x . Jika

21 xx > maka nilai ...3 21 =− xx

A. -5 B. -1 C. 4 D. 5 E. 7 UN MAT IPA 2007 (D9-06)

18. Akar-akar persamaan 0183.203.2 24 =+− xx adalah 1x dan 2x dan

...21 =+ xx

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 UN MAT IPA 2006 (D9-28)

19. Jika p+1 dan p-1 adalah akar-akar persamaan x2-4x+a=0 , maka nilai a

adalah...

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

E. 4


20. Jika 2 adalah satu-satunya akar persamaan kuadrat 04

1 2 =++ abxx , maka

nilai ba + adalah… A. 32 B. 2 C. 0 D. -2 E. -32 SNMPTN MAT DAS 2011 (XX-02)

21. Persamaan 0)1(2 =+−− aaxx mempunyai akar-akar 11 >x dan 12 <x

untuk...

A. 0>a

B. 0<a

C. 2−≠a

D. 2−>a

E. 02 <<− a


22. Jika kedua akar persamaan 1

12

+−=

−−

m

m

cax

bxx saling berlawanan tanda, tetapi

mempunyai nilai mutlak yang sama, maka nilai m sama dengan…

A. ba

ba

−+

B. cS

C. ba

ba

+−

D. 1/c

E. 1


23. Persamaan kuadrat 012 =+− axx mempunyai akar-akar 1x dan 2x . Jika

persamaan kuadrat 0)2(2 =+++ qxpx mempunyai akar-akar 2

31

x

xdan

1

32

x

x, maka ...=p

A. 44 24 −+− aa

B. 44 24 −−− aa

C. 44 24 −− aa

D. 44 24 −+ aa

E. 44 24 ++ aa SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-02)

24. Jumlah akar-akar persamaan 03||2|| 2 =−− xx sama dengan…

A. -10 B. -3 C. -1 D. 0 E. 4 SNMPTN MAT IPA 2008 (XX-02)

25. Jumlah nilai-nilai m yang mengakibatkan persamaan kuadrat

0)22()13(2 =+++− mxmmx mempunyai akar-akar dengan perbandingan

3:4 adalah…. A. 7/6 B. 13/5 C. 11/3 D. 3/2 E. 5/6 SNMPTN MAT IPA 2008 (XX-12)

26. Jika 2a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat 0)1( 22 =+−− bxbx .

Himpunan nilai ba + adalah… A. {-3,0,1,2} B. {-2,0,1,3} C. {-1,0,2,3} D. {0,1,2,3} E. {-2,-1,0,3} SNMPTN MAT IPA 2008 (XX-15)

27. Persamaan kuadrat 14 2 −=+ px ,mempunyai akar 1x dan 2x . Jika 2

11 =x ,

maka ...)( 22

21 =+ xxp

A. 2

11−

B. 4

11−

C. 1−

D. 2

1−

E. 4

1−


28. Jika 1x dan 2x adalah akar-akar persamaan 1000loglog)log25( =− xx ,

maka ...22

21 =+ xx

A. 0 B. 10 C. 100 D. 1000 E. 1100


29. Jika jumlah kuadrat akar-akar real persamaan kuadrat 02 =−− pxx sama

dengan kuadrat jumlah kebalikan akar-akar persamaan 012 =−− pxx , maka ...=p

A. 12 +

B. 12 −

C. 12 + atau 12 +−

D. 13− atau 13+

E. 22 − atau 22 + SPMB MAT IPA 2007 (XX-11)

30. Jika 1x dan 2x akar-akar persamaan kuadrat ,0132 =+− xx maka

persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1

11

xx + dan

22

1

xx + adalah…

A. 0692 =−+ xx

B. 0662 =−− xx

C. 0962 =+− xx

D. 0962 =++ xx

E. 0962 =−− xx SPMB MAT DAS 2006 (XX-05)

31. Jika 1x dan 2x solusi persamaan, maka 2899.3 1 =+ − xx , maka

...21 =+ xx

A. – 1/2 B. 0 C. 1/2 D. 1 E. 1 ½ SPMB MAT DAS 2006 (XX-21)

32. Syarat agar akar-akar persamaan kuadrat 012)2( 2 =−++− ppxxp

negatif dan berlainan adalah….

A. 2>p

B. 0p

C. 3

20 << p

D. 13

2 << p

E. 23

2 << p

SNMPTN MAT IPA 2006 (XX-12)

SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT

A. PERSAMAAN LINIER #(1)

1.1.1.1. Persamaan linier Persamaan linier Persamaan linier Persamaan linier satu variabelsatu variabelsatu variabelsatu variabel Bentuk umumnya :

cbax =+ dengan syarat 0≠a dan Rcba ∈,,

2.2.2.2. Persamaan linier dua Persamaan linier dua Persamaan linier dua Persamaan linier dua variabelvariabelvariabelvariabel

Bentunk umumnya :

cbyax =+ dengan syarat 0,0 ≠≠ ba dan Rcba ∈,,

B. SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL (SPLDV)

Dalam penyelesaian SPLDV minimal ada dua pesamaan seperti berikut :

222

111

cybxa

cybxa

=+=+

dengan syarat Rcbacba ∈ 222111 ,,,,,

Penyelesaian SPLDV dapat menggunakan beberapa metode :

1.1.1.1. Metode grafikMetode grafikMetode grafikMetode grafik Metode ini dilakukan dengan menggambar kedua garis kemudian ditentukan titik potongnya, maka titik potong itulah himpunan penyelesaiannya. Langkah – langkah nya adalah : 1. Gambar kedua garis tersebut. 2. Jika ada titik potong maka titik potong itu himpunan penyelesaianya. 3. Jika kedua garis sejajar maka tidak mempunyai himpunan

penyelesaianya. 4. Jika kedua garis berhimpit maka mempunyai himpunan penyelesian

yang tak berhingga. Contoh :

1. Himpunan penyelesaian dari dua persamaan linier 2432 =+ yx dan

3−=− yx adalah....

Pembahasan : Untuk menggambar grafik kita cari titik potong garis dengan sumbu X

dan sumbu Y. Memotong sumbu X saat Y = 0 dan memotong sumbu Y

saat X = 0.

X y ( x , y )

2432 =+ yx 0 8 (0,8)

12 0 (12,0)

3−=− yx 0 3 (0,3)

-3 0 (-3,0)

Jadi kalau kita gambar menjadi :

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 3, 6 } 2.2.2.2. Metode subtitusiMetode subtitusiMetode subtitusiMetode subtitusi

Metode ini dilakukan dengan cara merubah variabel x kebentuk y atau sebaliknya dari sebuah persamaan, kemudian kita subitusikan kepersamaan yang lain. Contoh :

1. Carilah himpunan penyelesaian dari 732 =+− yx dan 173 =+ yx .

Pembahasan :

732 =+− yx ..... (1)

173 =+ yx ...... (2)

Dari kedua persamaan yang lebih sederhana adalah persaman (2) ,

maka kita rubah :

173173 +−=⇔=+ xyyx

Kemudian kita subtitusikan ke persamaan (1) , maka :

4

4411

51711

75192

7)173(32

732

=−=−

−=−=+−−

=+−+−=+−

x

x

x

xx

xx

yx

Kemudian kita subtitusikan 4=x ke persamaan (2), mka :

12 2 -3

3

8 2x+3y=24

x – y = - 3

3

6 titik potong ( 3, 6 )

X

Y

5 1712

17)4(3

173

=+−=+−=

+−=

yy

y

xy

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 4, 5 }

3.3.3.3. Metode eliminasiMetode eliminasiMetode eliminasiMetode eliminasi Metode eliminasi adalah menghilangkan salah satu variabel x atau y. Untuk mencari nilai x kita hilangkan variabel ya dan sebaliknya, untuk lebih jelasnya kita lihat contoh berikut. Contoh :

1. Diketahui dua persamaan 123 −=− yx dan 3152 =+ yx , maka

himpunan penyelesaiannya adalah.... Pembahasan :

123 −=− yx x 2 246 −=− yx

3152 =+ yx x 3 93156 =+ yx

9519 −=− y

5=y

123 −=− yx x 5 51015 −=− yx

3152 =+ yx x 2 62104 =+ yx

5719 =x

3=x Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 3, 5}

4.4.4.4. Metode campuran ( Metode campuran ( Metode campuran ( Metode campuran ( eliminasi eliminasi eliminasi eliminasi ---- subtitusisubtitusisubtitusisubtitusi ))))

Metode ini merupakan penggabungan antara metode eliminasi dan subtitusi. Untuk mencari nilai variabel pertama kita gunakan eliminasi, kemudian untuk mencari nilai variabel kedua kita gunakan subtitusi.

Contoh :

1. Jika hasil dari

=+−=−732

1543

yx

yxadalah 0x dan 0y , maka ....00 =+ yx

Pembahasan :

1543 −=− yx x 2 3086 −=− yx

732 =+ yx x 3 2196 =+ yx

5117 −=− y

3=y

-

+

-

1

22

972

792

7)3(32

732

−=−=

−==+=+=+

x

x

x

x

x

yx

Jadi 10 −=x dan 30 =y maka 23100 =+−=+ yx

C. SISTEM PERSAMAAN LINIER TIGA VARIABEL (SPLTV)#(2)

Variabel SPLTV biasanya dalam bentuk x, y dan z sehingga dalam penyelesaiannya minimal harus ada ada tiga persamaan sebagai berikut :

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

=++=++

=++ dengan syarat Rcbacbacba ∈ 333222111 ,,,,,,,,

Penyelesaian SPLTV ini bisa dilakukan seperti dalam penyelesaian SPLDV. Cara paling mudah adalah penggabungan cara eliminasi dan subtitusi. Contoh : 1. Diberikan persamaan sebagai berikut :

7524

743

1053

−=−+=+−=−+

zyx

zyx

zyx

, maka himpunan penyelesaiannya adalah...

Pembahasan :

....(3)

)........(2

......(1)

7524

743

1053

−=−+=+−=−+

zyx

zyx

zyx

Eliminasi (1) dan (2) menghilangkan x : : 1053 =−+ zyx x1 1053 =−+ zyx

743 =+− zyx x3 211293 =+− zyx

111314 −=− zy ...(4)

Eliminasi (2) dan (3) menghilangkan x

743 =+− zyx x4 2816124 =+− zyx 7524 −=−+ zyx x1 7524 −=−+ zyx

352114 =+− zy ....(5)

−

−

Eliminasi (4) dan (5) menghilangkan y : 111314 −=− zy

352114 =+− zy

3

248

==

z

z

Maka HP nya adalah {1,2,3}

D. SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT (SPLK)#(3)

Secara umum bentuk SPLK adalah sebagai berikut :

++=

+=

parabola) (beruparqxpxy

garis) (berupabaxy

2

, dengan syarat Rrqpba ∈,,,,

Langakah penyelesaian SPLK adalah :

1. Subtitusikan baxy += ke ke rqxpxy ++= 2 sehingga terbentuklah

persamaan kuadrat.

2. Dari persamaan kuadrat tersebut kita cari akar-akarnya yaitu 1x dan 2x .

3. 1x dan 2x kita subtitusikan ke baxy += maka didapat 1y dan 2y ,

maka himpunan penyelesaiannya adalah )},(),,{( 2211 yxyx .

Himpunan Penyelesaian SPLK tergantung nilai D(deskriminan) setalah dua persamaan tersebut disubtitusikan (digabungkan) :

1. D > 0 , artinya garis dan parabola tersbut berpotongan di dua titik, maka mempuyai dua himpunan penyelesian.

2. D = 0 , artinya garis dan parabola bersinggunan di satu titik, maka hanya mempunyai satu himpuan penyelesaiaan.

3. D < 0 , artinya garis dan parabola tidak berpotongan/bersinggunan, maka tidak mempunyai himpunan penyelesaian.

Contoh :

1. Dari persamaan

+−=

−=

12

222 xxy

xy, himpunan penyelesaiaanya adalah....

+

1

1267

7126

7)3(4)2(3

....743

=−+=

=+−=+−

=+−

x

x

x

x

zyx

(2)

2

2814

113914

113914

11)3(1314

...111314

==

−=−=−−=−−=−

y

y

y

y

y

zy

(4)

Pembahasan :

......(2)

(1)

......

12

222 +−=

−=

xxy

xy

Kita subtitusikan persamaan satu ke persamaan dua, maka :

1222 2 +−=− xxx

01222 2 =−+−− xxx

034 2 =−+− xx

Kita subtitusikan 11 =x dan 32 =x kepersamaan (1) yaitu 22 −= xy , maka :

42)3(23

02)1(21

22

11

=−=⇒==−=⇒=

yx

yx

Maka himpunan penyelesaiannya adalah {(1,0),(3,4)}

E. SISTEM PERSAMAAN KUADRAT (SPK) #(4)

Sistem persamaan SPK ini secara umum bisa ditulis :

++=

++=

rqxpxy

cbxaxy2

22

, dengan syarat Rrqpcba ∈,,,,,

Langkah penyelesaiannya adalah :

1. Subtitusikan persamaan satu ke persamaan yang lain. 2. Cari akar – akar dari hasil punggabungan persamaan kuadrat tersebut

yaitu 1x dan 2x

3. 1x dan 2x disubtitusikan ke salah satu persamaan kuadrat maka didapat

1y dan 2y , maka himpunan penyelesaiannya adalah )},(),,{( 2221 yxyx

Sifat – sifat penyelesaiannya SPK setelah dua persamaan digabungkan adalah :

1. D > 0, artinya kedua parabola berpotongan di dua titik , maka SPK tersebut mempunyai dua himpunan penyelesaian.

2. D = 0, artinya kedua parabola bersinggungan di satu titik, maka SPK tersebut mempunyai satu himpunan penyelesaian.

3 1

0)3)(1(

0 34

21

2

===−−=+

xx

xx

x-x

atau

3. D < 0, artinya kedua parabola tidak berpotongan/bersinggunan, maka SPK tersebut tidak mempunyai himpunan penyelesaian.

Contoh :

1. Diberikan persamaan

−+=

−+=

13

3222

2

xxy

xxy, maka himpunan

penyelesaiannya adalah.....

Pembahasan :

.....(2)

.....(1)

13

3222

2

−+=

−+=

xxy

xxy

Kita subtitusikan persamaan satu ke persamaan duan, maka :

21

0)2)(1(

02

013322

13322

21

2

22

22

=−==−+=−−

=+−−−+

−+=−+

xx

xx

xx

xxxx

xxxx

atau

Kita subtitusikan 11 −=x dan 22 =x ke persamaan (2) yaitu

132 −+= xxy maka :

91641)2(3)2(2

31311)1(3)1(12

22

211

=−+=−+=⇒=

−=−−=−−+−=⇒−=

yx

yx

Maka himpunan penyelesaiannya adalah {(-1, -3), (2, 9)}


1. Ditentukan x1 dan y1 memenuhi sistem persamaan linier 3x+4y=24 dan

x+2y=10. Nilai dari ...22

111 =+ yx

A. 4

B. 6

C. 7

D. 8

E. 14

UNMAT IPS 2012(A35-15)

2. Wati membeli 4 donat dan 2 coklat seharga Rp6.000,00, Tari membeli 3

donat dan 4 coklat dengan harga Rp10.000,00. JIka Andi membeli sebuah

donat dan sebuah coklat dengan membayar Rp5.000,00, maka kembalian

Andi adalah…

A. Rp2.200,00

B. Rp2.400,00

C. Rp2.600,00

D. Rp2.800,00

E. Rp4.600,00

UNMAT IPS 2012(A35-16)

3. Nilai x yang memenuhi sistem persamaan

=−

=+

2635

1011

yx

yx adalah…

A. 3

2−

B. 6

1−

C. 7

1

D. 2

1

E. 4

3


4. Diketahui m dan n merupakan penyelesaian dari sistem persamaan

=+=+

832

1723

yx

yx. Nilai dari m + n =....

A. 9

B. 8

C. 7

D. 8

E. 5


5. Pak Temon bekerja dengan perhitungan 4 hari lembur dan 2 hari tidak lembur

serta mendapat gaji Rp740.000,00 sedangkan Pak Abdel bekerja 2 hari

lembur dan 3 hari tidak lembur dengan gaji Rp550.000,00. Jika Pak Eko

bekerja dengan perhitungan lembur selama lima hari , maka gaji yang

ditermia Pak Eko adalah..

A. Rp450.000,00

B. Rp650.000,00

C. Rp700.000,00

D. Rp750.000,00

E. Rp1.000.000,00


6. Bimo membeli 3 bungkus kecap manis, 1 bungkus kecap asin, dan 2 bungkus

kecap ikan ia membayar Rp 20.000,00. Santi membeli 1 bungkus kecap

manis, 2 bungkus kecap asin, dan 1 bungkus ikan harus membayar sebesar

Rp 12.500,00. Dan Darmin membeli 2 bungkus kecap manis, 1 bungkus

kecap asin, dan 2 bungkus kecap ikan harus membayar sebesar Rp

16.000,00. Jika Tamara membeli 1 bungkus kecap manis, 1 bungkus kecap

asin dan 1 bungkus kecap ikan maka ia harus membayar….

A. Rp 11.500,00

B. Rp 12.000,00

C. Rp 12.500,00

D. Rp 13.000,00

E. Rp 14.000,00

UN MAT IPA 2012 (A35-08)

7. Harga 2 koper dan 5 tas adalah Rp.600.000,00 sedangkan harga 3 koper dan 2 tas yang sama adalah Rp. 570.000,00. Harga sebuah koper dab 2 tas adalah ... A. Rp240.000,00 B. Rp270.000,00 C. Rp330.000,00 D. Rp390.000,00 E. Rp400.000,00 UN MAT IPA 2010 (D10-12)

8. Uang Adinda Rp40.000,00 lebih banyak dari uang Binary ditambah dua kali uang Cindy. Jumlah uang Adinda, Binary dan Cindy Rp200.000,00, selisih uang Binary dan Cindy Rp10.000, 00. Jumlah uang Adinda dan Binary ... A. Rp122.000, 00 B. Rp126.000, 00 C. Rp156.000, 00 D. Rp162.000, 00 E. Rp172.000, 00 UN MAT IPA 2009 (D10-24)

9. Perbandingan umur Ali dan Badu 6 tahun yang lalu adalah 5:6. Hasil kali umur keduanya sekarang adalah 1.512. Umur Ali sekarang adalah… A. 30 tahun B. 35 tahun C. 36 tahun D. 38 tahun E. 42 tahun UN MAT IPA 2008 (D10-10)

10. Pada toko buku “Murah”, Adi membeli 4 buku, 2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp.26.000. Bima membeli 3 buku, 3 pulpen dan 1 pensil dengan harga Rp.21.500. Citra membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp.12.500. Jika Dina membeli 2 pulpen dan 2 pensil, maka ia harus membayar… A. Rp.5.000 B. Rp.6.500 C. Rp.10.000 D. Rp.11.000 E. Rp.13.000 UN MAT IPA 2008 (D10-13)

11. Ani, Nia dan Ina pergi bersama-sama ke toko buah. Ani membeli 2 kg apel, 2 kg anggur dan 1 kg jeruk dengan harga Rp.67.000. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur dan 1 kg jeruk dengan harga Rp61.000. Ina 1 kg apel, 3 kg anggur dan 2 kg jeruk dengan harga Rp.80.000. Harga 1 kg apel, 1 kg anggur dan 4 kg jeruk seluruhnya adalah… A. Rp.37.000

B. Rp.44.000 C. Rp.51.000 D. Rp.55.000 E. Rp.58.000 UN MAT IPA 2007 (D9-09)

12. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan luas 180m2. Jika perbandingan panjang dan lebarnya sama dengan 5 berbanding 4, maka panjang diagonal bidang tanah tersebut adalah… A. 9 m

B. 413 m

C. 416 m

D. 419 m E. 81m UN MAT IPA 2006 (D10-01)

13. Suatu area berbentuk persegi panjang, di tengahnya terdapat kolam renang berbentuk persegi panjang yang luasnya 180 m2. Selisih panjang dan lebar kolam adalah 3m. Disekeliling kolam renang dibuat jalan selebar 2m. Maka luas jalan tersebut adalah… A. 24 m2 B. 54 m2 C. 68 m2 D. 108 m2 E. 124 m2 UN MAT IPA 2006 (D10-02)

14. Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk dan 1 kg anggur adalah Rp.70.000 dan harga 1kg mangga, 2kg jeruk dan 2 kg anggur adalah Rp.90.000. Jika harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk dan 3 kg anggur Rp.130.000 maka harga 1 kg jeruk adalah… A. Rp. 5.000 B. Rp. 7.500 C. Rp.10.000 D. Rp.12.000 E. Rp.15.000 UN MAT IPA 2006 (D10-03)

15. Tujuh tahun yang lalu umur ayah sama dengan 6 kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur ayah sama dengan 5 kali umur Budi ditambah 9 tahun. Umur ayah sekarang adalah…. A. 39 tahun B. 43 tahun C. 49 tahun D. 54 tahun

E. 78 tahun UN MAT IPA 2005 (D10-03)

16. Jika 2x – z = 2, x + 2y = 4 dan y + z = 1, maka nilai 3x + 4y + z adalah...

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

E. 8


17. Sistem persamaan linier

=+=+−

=+

44

13

3

byax

yx

yx

mempunyai penyelesaian. Jika

ba 2+ adalah… A. 4 B. 2 C. 0 D. -1 E. -2 SNMPTN MAT DAS 2011 (XX-06)

18. Karyawan pada suatu perusahaan dibedakan menjadi tiga golongan. Karyawan golongan A akan memperoleh gaji per bulan sebesar sepertiga dari gaji karyawan gologan B, sedangkan karyawan golongan C dibayar per bulan sebersar setengah dari gaji karyawan golongan B. Penghasilan karyawan golongan C selama 4 bulan akan sama dengan penghasilan karyawan golongan A selama…

A. 3

8 bulan

B. 3 bulan C. 4 bulan

D. 3

14bulan

E. 6 bulan SNMPTN MAT DAS 2011 (XX-12)

19. Jika Penyelesaian sistem persamaan

=−+=+−

0)2(

0)2(

yax

yxa , tidak hanya

(x,y)=(0,0) saja. Maka nilai ....342 =+− aa

A. 0

B. 1

C. 4

D. 9

E. 16


20. Diketahui a dan badalah dua bilangan bulat positif yang memenuhi

36

1311 =+ba

. Nilai )( baab + adalah…

A. 368

B. 448

C. 468

D. 49

E. 36


21. Pak Rahman mempunyai sekantong permen yang akan dibagikan kepada anak-anak. Jika tiap anak diberi 2 permen, maka di dalam kantong masih tersisa 4 permen. Namun, bila tiap anak diberi 3 permen, akan ada 2 anak yang tidak mendapat permen dan 1 anak mendapat 2 permen. Jika x menyatakan banyak permen dalam kantong dan y menyatakan banyak anak, maka sistem persamaan yang mewakili masalah diatas adalah….

A.

=−=+

yx

yx

37

24

B.

=+=−

yx

yx

27

34

C.

=+=−

yx

yx

7

34

D.

=−=+

yx

yx

27

4

E.

=+=−

yx

yx

37

24


22. Jika sistem persamaan

=−=+383

8

qyx

qypx memiliki penyelesaian (x,y)=(2,4), maka

nilai p adalah…

A. 40

B. 22,5

C. 21,5

D. 20

E. 8


23. Garis 0=++ cbyax melalui titik A(,1,-2), B(-5,2) dan C(10,-8), maka

...=++ cba A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11 SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-03)

24. Jika byax == , dan cz = adalah penyelesaian dari sistem persamaan linier

5

4

3

=+=+=+

zy

zx

yx

Maka nilai 222 cba ++ sama dengan….

A. 6 B. 9 C. 11 D. 14 E. 19 SNMPTN MAT IPA 2008 (XX-06)

25. Agung mempunyai satu bundel tiket piala dunia untuk dijual. Pada hari pertama terjual sepuluh lembar tiket, hari kedua terjual setengah dari tiket yang tersisa, dan pada hari ketiga terjual 5 lembar tiket. Jika tersisa 2 lembar tiket, maka banyaknya tiket dalam satu bundel adalah… A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 E. 24 SPMB MAT DAS 2007 (XX-06)

26. Jika (a,b,c) adalah solusi sistem persamaan liniar

=−+=−+

=++

0563

1342

92

zyx

zyx

zyx

Maka a+b+c =… A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10 SPMB MAT DAS 2007 (XX-07)

27. Salah satu nilai x yang memenuhi sistem persamaan 02 =+ yxy dan

32 =− yx adalah...

A. – 1

B. 0

C. 1

D. 2

E. 4

UM UGM MAT DAS 2010 (462-13)

28. Jika x dan y memenuhi 2

5=+y

x

x

y dan x – 3y = 1 maka 5x + 5y = ...

A. – 15 atau – 3

B. – 3 atau – 3/5

C. – 3 atau 15

D. 3 atau 3/5

E. 3 atau 15

UM UGM MATDAS 2010 (462-14)

29. Jika garis (a+b)x + 2by = 2 dan garis ax – (b – 3a)y = -4 berpotongan di ( 1, -

1), maka a+ b = ...

A. – 2

B. – 1

C. 0

D. 1

E. 2

UM UGM MAT DAS 2009 (931-06)

30. Agar ketiga garis 3x + 2y + 4 = 0, x – 3y + 5 = 0, dan 2x + (m+1)y – 1 = 0

berpotongan di satu titik maka nilai m haruslah....

A. -3

B. 2

C. 3

D. 4

E. 6


FUNGSI KUADRAT

A. DEFINISI #(1)

Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat tertinggi variabelnya adalah dua.

Bentuk Umumnya :Bentuk Umumnya :Bentuk Umumnya :Bentuk Umumnya :

B. SKETSA GRAFIK

C. CARA MENGGAMBAR SKETSA GRAFIK #(2)

Langkah menggambar sketsa garafik adalah : 1. Menentukan titik potong dengan sumbu X 2. Menentukan titik potong dengan sumbu Y 3. Menentukan sumbu simetri 4. Menentukan titik puncak 5. Menambahkan titik-titik lain

Contoh :

Buatlah sketsa grafik dari fungsi kuadrat 322 −−= xxy .

Pembahasan : 1. Menentukan titik potong dengan sumbu X

322 −−= xxy

)3)(1(0 −+= xx Grafik memotong sumbu X saat Y = 0

cbxaxxfy ++== 2)( dengan Rcba ∈,, dan 0≠a

titik puncak

sumbu simetri titik potong

sumbu Y

X

Y

titik potong sumbu X

1−=x atau 3=x titik potong dengan sumbu X adalah (-1,0) dan (3,0)

2. Menentukan titik potong dengan sumbu Y

322 −−= xxy

3)0(202 −−=y

3−=y

titik potong dengan sumbu Y adalah (0, - 3) 3. Menentukan sumbu simetri

Rumus sumbu simetri adalah : a

bxs 2

−=

322 −−= xxy maka 3,2,1 −=−== cba

a

bxs 2

−=

1.2

2−−=sx

1=sx

4. Menentukan titik puncak

Titik puncak ),( pp yx , dengan a

bxp 2

−= dan a

Dy p 4

−=

322 −−= xxy maka 3,2,1 −=−== cba

a

bxp 2

−=

)1(2

2−−=px

2

2=px

1=px

Maka titik puncaknya (1,-4)

5. Menambakan titik – titik lain Langkah ini sebenarnya hanya untuk memperhalus gambar grafik, misalnya kita ambil empat titik lain sembarang :

Untuk fungsi xxxy 322 −−= kita masukan x bernilai -2, 0 , 2 dan 4

x -2 0 2 4 y 5 -3 -3 5

Koordinat (-2,5) (0,-3) (2,-3) (4,5)

Grafik memotong sumbu Y saat X = 0

a

Dyp 4

−=a

acb

4

42 −−=

)1(4

)3)(1(4)2( 2 −−−−=py4

16

4

124 −=+−=

4−=py

Maka gambar grafiknya adalah :

D. SIFAT - SIFAT FUNGSIKUADRAT #(3)

Dari fungsi kuadrat cbxaxy ++= 2 , kita akan melihat sifat-sifat a,b, c dan D

fungsi tersebut :

1.1.1.1. SifatSifatSifatSifat----sifat nilai sifat nilai sifat nilai sifat nilai aaaa

a. 0>a , kurva terbuka keatas (senyum)

b. 0<a , kurva terbuka kebawah (cemberut)

2.2.2.2. SifatSifatSifatSifat----sifat nilai sifat nilai sifat nilai sifat nilai bbbb

a. Jika a > 0 : puncak di kiri sumbu Y maka b > 0 puncak di kanan sumbu Y maka b < 0 puncak tepat di sumbu Y maka b = 0

b. Jika a < 0 : puncak di kanan sumbu Y maka b > 0 puncak di kiri sumbu Y maka b < 0 puncak tepat di sumbu Y maka b = 0

a > 0

a < 0

(3,0) (-1,0)

(0,-3)

(1,-4)

(2,-3)

(-2,5) (4,5)

X

Y

a.b > 0 puncak di kiri sumbu Y

a.b < 0 puncak di kanan sumbu Y

a..b = 0 puncak tepat di sumbu Y

Cadas (cara cerdas) :

3.3.3.3. SifatSifatSifatSifat----sifat nilai sifat nilai sifat nilai sifat nilai cccc

Untuk mengetahui nilai c lihat titik potong grafik dengan sumbu Y :

a. c > 0, jika titik potong kurva dengan sumbu Y di atas sumbu X ( Y positif)

b. c < 0, jika titik potong kurva dengan sumbu Y di bawah sumbu X ( Y negatif)

c. c = 0, jika titik potong kurva dengan sumbu Y tepat di titik pusat(0,0)

4.4.4.4. sifatsifatsifatsifat----sifat nilai sifat nilai sifat nilai sifat nilai DDDD

a. D > 0, grafik memotong sumbu X di dua titik b. D = 0, grafik menyinggung sumbu X disatu titik c. D < 0, grafik tidak memotong ataupun menyinggung sumbu X

sbsb- untuk a > 0 untuk a < 0

b>0

b=0

b<0

b>0

b=0

b<0

x

Y

c>0

x

Y

c<0

x

Y

c=0

a>0 D>0

a>0 D=0

a>0 D<0

a<0 D>0

a<0 D=0

a<0 D<0

sb- X

sb- X

bentuk a>0 dan D<0 membuat nilai Y selalu positif (DEFINIT POFITIF)

bentuk a<0 dan D<0 membuat nilai Y selalu negatif (DEFINIT NEGATIF)

Contoh :

1. Fungsi kuadrat cbxaxy ++= 2 dengan gambar sebagai berikut :

Tentukanlah tanda-tanda nilai a, b, c dan D nya !

Pembahasan :

• Tanda a , karena membuka kebawah (cemberut) maka a < 0

• Tanda b, puncak dikiri sumbuk X maka a.b > 0 (positif). Karena a < 0 (negatif) , agar perkalian a.b menghasilkan nilai positif maka b < 0 (negatif)

• Tanda c, karena grafik memotong sumbu Y dibagian atas (sumbu Y positif) maka c > 0

• Tanda D, karenan grafik memotong sumbu X memotong di dua titik maka D > 0

Jadi hasilnya a < 0, b < 0 , c > 0 dan D > 0

E. MENENTUKAN PERSAMAAN FUNGSI KUADRAT #(4)

a.a.a.a. Diketahui dua Diketahui dua Diketahui dua Diketahui dua titik potong dengantitik potong dengantitik potong dengantitik potong dengan sumbu sumbu sumbu sumbu X dan satu titik lainX dan satu titik lainX dan satu titik lainX dan satu titik lain

Contoh :

1. Diketahui suatu fungsi kuadrat memotong sumbu X di (2,0) dan (3,0) serta melalui titik (1,2) maka persamaan itu adalah :

X

Y

X

Y

))(( 21 xxxxay −−=

Pembahasan :

))(( 21 xxxxay −−= melalui (2,0) dan (3,0) jadi 21 =x dan 32 =x, maka :

)3)(2( −−= xxay , dan titik tersebut melalui (1,2) , kita subtitusian

x=1 dan y = 2, maka :

1

22

)2)(1(2

)32)(21(2

==

−−=−−=

a

a

a

a

b.b.b.b. Diketahui Diketahui Diketahui Diketahui sebuah titik singgung dengan sumbu X dan satu titik sebuah titik singgung dengan sumbu X dan satu titik sebuah titik singgung dengan sumbu X dan satu titik sebuah titik singgung dengan sumbu X dan satu titik lainlainlainlain

Contoh :Contoh :Contoh :Contoh :

Suatu fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di titik (3,0) dan melalui titik lain (2,2), maka persamaan fungsi tersebut adalah....

Pembahasan :

21)( xxay −= , menyinggung (3,0) jadi 31 =x , maka :

2)3( −= xay , karena grafik melalui (2,2) jasi x = 2 dan y = 2 maka :

2

)1(2

)32(22

2

=−=

−=

a

a

a

c.c.c.c. Diketahui titik puncak dan satu titik lainDiketahui titik puncak dan satu titik lainDiketahui titik puncak dan satu titik lainDiketahui titik puncak dan satu titik lain

, , , , dengan puncak ),( pp yx

18122

)96(2

)3(

2

2

2

+−=

+−=

−=

xxy

xxy

xay

65

)65(1

)3)(2(

2

2

+−=

+−=

−−=

xxy

xxy

xxay

21)( xxay −=

pp yxxay +−= 2)(

Contoh :

1. Perhatikan grafik fungsi berikut !

Maka persamaan garafiknya adalah...

Pembahasan :

puncak (1,4) jadi 1=px dan 4=py maka :

32

4)12(1

1

43

4)10(3

4)1(

)(

2

2

2

2

2

++−=

++−−=

−=+=

+−=

+−=

+−=

xxy

xxy

a

a

a

xay

yxxay pp

: jadi ,

d.d.d.d. Diketahui 3 titik Diketahui 3 titik Diketahui 3 titik Diketahui 3 titik sembarangsembarangsembarangsembarang

Contoh :

Persamaan sutau fungsi kuadrat melaui titik A(2,11) , B(1,4) dan C(-2,7) adalah....

Pembahasan :

cbxaxy ++= 2

Eliminasi (1) dan (2) :

1124 =++ cba

4=++ cba

73 =+ ba ... (4)

Melaui (0,3) jadi x = 0, y =3 maka :

cbxaxy ++= 2

(1) ....... cba

cba

++=++=

2411

)2()2(11 2

(2) ....... cba

cba

++=++=

4

)1()1(4 2

(3) ....... cba

cba

+−=+−+−=

247

)2()2(7 2

melaui A(2,11)

melaui B(1,4)

melaui C(-2,7)

-

Eliminasi (1) dan (3) :

1124 =++ cba

724 =+− cba

1

44

==

b

b

-

(1,4

3

X

Y

73 =+ ba karena b = 1

2

63

713

==

=+

a

a

a

1

412

)1.....(4

==++=++

c

c

cba

Karena a = 2, b = 1 dan c = 1, maka cbxaxy ++= 2 adalah :

12 2 ++= xxy

SOAL SOAL SOAL SOAL –––– SOAL LATIHANSOAL LATIHANSOAL LATIHANSOAL LATIHAN

1. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat 232 2 −+= xxy dengan sumbu-X

dan sumbu-Y berturut-turut adalah..

A. (0,1/2), (2,0) dan (0,-2)

B. (0, -1/2), (2,0) dan (0,2)

C. (1/2,0), (-2,0) dan (0,-2)

D. (1/2,0), (2,0) dan (0,-2)

E. (-1/2,0) , (-2,0) dan (0,-2)

UNMAT IPS 2012 (A35-07)

2. Koordinat titik balik grafik fungsi 2618 xxy −−= adalah…

A. (3,27)

B. (3,-27)

C. (-3,27)

D. (-3,-9)

E. (-3,9)

UNMAT IPS 2012 (A35-08)

3. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (-1,4) dan melalui

titik (0,3) adalah…

A. 322 −+−= xxy

B. 322 ++−= xxy

C. 322 +−−= xxy

D. 522 −−−= xxy

E. 522 +−−= xxy

UNMAT IPS 2012 (A35-09)

4. Persamaan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat 1205 2 +−= xxy

A. 4=x

B. 2=x

C. 2−=x

D. 3−=x

E. 4−=x UN MAT IPS 2011 (XX-03)

5. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu X

dan Y adalah…

A. (-1,0), dan (0,2)

B. ,(1,0) dan (0,-2)

C. ,(1,0) dan

D. ,(-1,0) dan (0,-1)

E. ,(1,0) dan (0,3)


6. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (1,0) dan (3,0) serta melalui titik (-1,-16) adalah…

A. 682 2 +−= xxy

B. 2142 −+= xxy

C. 542 −+= xxy

D. 682 2 −+−= xxy

E. 1042 2 −+−= xxy

UN MAT IPS 2011 (XX – 11)

7. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (1,0) dan (3,0) serta melalui titik (-1,-16) adalah…

A. 682 2 +−= xxy

B. 2142 −+= xxy

C. 542 −+= xxy

D. 682 2 −+−= xxy

E. 1042 2 −+−= xxy


8. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat ( ) 41)( 2 −−= xxf dengan sumbu

X adalah....

A. (1,0) dan (3,0)

B. (0,1) dan (0,3)

C. (-1,0) dan (3,0)

D. (0,-1) dan (0,3)

23 2 −−= xxy

)0,3

2(

)0,3

2(−

)0,2

3(− )

3

2,0( −

)0,2

3(−

)0,2

3(

E. (-1,0) dan (-3,0)


9. Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang persamaanya

( )( )26 +−= xxy adalah...

A. (-2,0)

B. (-1,-7)

C. (1,-15)

D. (2,-16)

E. (3,-24)


10. Persamaan grafik fungsi kuadrat mempunyai titik ekstrim (-1,4) dan melalui

(0,3) adalah...

A. 322 −+−= xxy

B. 322 ++−= xxy

C. 322 +−−= xxy

D. 522 −−−= xxy

E. 522 +−−= xxy


11. Grafik 4)2(2 +−++= pxppxy memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas

nilai p yang memenuhi adalah…

A. 2−p

B. 5

2p

C. 2p

D. 25

2 << p

E. 102 << p

UN MAT IPA 2011 (D10-07)

12. Grafik fungsi kuadrat f(x) = �� + 5� + 4 menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang memenuhi adalah ... A. -4 B. -3 C. 0

D. 3 E. 4 UN MAT IPA 2011 (D10-05)

13. Jika grafik fungsi 67�8 = �� + 9� + 5 menyinggung garis 2x + y = 1 dan p > 0. Maka nilai p yang memenuhi adalah ... A. – 6 B. – 4 C. – 2 D. 2 E. 4 UN MAT IPA 2009 (D10-03)

14. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum (1,2) dan melalui titik (2,3) adalah…

A. 122 +−= xxy

B. 322 +−= xxy

C. 122 −+= xxy

D. 122 ++= xxy

E. 322 −−= xxy

UN MAT IPA 2008(D10-05)

15. Perhatikan gambar!

Gambar tersebut adalah grafik fungsi kuadrat….

A. 322 ++= xxy

B. 322 −−= xxy

C. 322 −+−= xxy

D. 322 +−−= xxy

E. 322 ++−= xxy

UN MAT IPA 2007 (D9-04)

16. Jika f adalah fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titi (1,0), (4,0) dan (0,-4)

maka nilai f(7) adalah...

A. -16

4

3 1 -1

B. -17

C. -18

D. -19

E. -20


17. Jika grafik fungsi kuadrat cbxaxxf ++= 2)( dengan titik puncak (5,-

4)memotong sumbu-X positif dan sumbu-X negatif, maka… A. 0>− ca

B. 0<+ ca

C. 0=+ ca

D. 0>+ ca

E. 0<− ca SNMPTN MATDAS 2011 (XX-05)

18. Persamaan axxxf += 2)( mempunyai grafik seperti berikut

Grafik fungsi 5)( 2 +−= axxxg adalah….

A. D.

B. E.

C.


19. Grafik fungsi 76)( 2 +−= xxxf dapat diperoleh dengan cara menggeser

grafik fungsi 2)( xxf = kearah…

A. Kanan sumbu X sejauh 2 satuan dan ke arah bawah sumbu Y sejauh 3

satuan

B. Kiri sumbu X sejauh 3 satuan dan ke arah atas sumbu Y sejauh 2 satuan

C. Kanan sumbu X sejauh 3 satuan dan ke arah bawah sumbu Y sejauh 2

satuan

D. Kanan sumbu X sejauh 6 satuan dan ke arah bawah sumbu Y sejauh 7

satuan

E. Kiri sumbu X sejauh 2 satuan dan ke arah atas sumbu Y sejauh 3 satuan


20. Fungsi kuadrat axaxy ++= 2 definit negatif untuk konstata a yang

memenuhi…

A. 21−<a atau

21>a

B. 21

21 <<− a

C. 21

0 << a

D. 0<a

E. 21−<a


21. Garis g melalui titik (8,28) dan memotong parabola 103 2 −+= xxy di titik A

dan B. Jika A(2,4) dan B(x,y), maka nilai x+y=… A. -6 B. -7 C. -8 D. -9 E. 10 SPMB MAT DAS 2006 (XX-03)

22. Grafik fungsi kuadrat y = f(x) mempunyai puncak (-1,8) dan memotong

sumbu X di (x1,0) dan (x2,0). Jika x1.x2 = -3, maka grafik tersebut memotong

sumbu Y di...

A. (0, - 10)

B. (0, -2)

C. (0, 4)

D. (0, 6)

E. (0, 10)

UM UGM MAT IPA 2010 (462-07)

23. Jika garis g melalui titik P(-2,1) dan memotong 342 +−= xxy di titik Q(x,y)

dan R(4,3) maka y – 5x = ...

A. – 1/3

B. – 1/9

C. 1/9

D. 1/3

E. 2/3


24. Grafik fungsi mxmxmxf 2)1()3()( 2 −−+−= memotong sumbu Y di titik A

dan mempunyai sumbu simetri garis x = -1. Gradien garis yang melalui

puncak kurva dan titik A adalah...

A. -3

B. -2

C. 0

D. 1

E. 2


25. Sebuah garis h yang melalui titik asal memotong kurva 2y = 3x2 – 2x + 1 di

dua titik di mana jumlah nilai x- nya adalah 10, maka gradien dari garis h

adalah ….

A. -1

B. 2

3

C. 6

D. 14

E. 15


PERTIDAKSAMAAN

A. SIFAT - SIFAT #(1)

1. Jika ba > maka ab <

2. Jika ba > maka berlaku :

a. cbca +>+

b. cbca −>−

c. kbka ⋅>⋅ dan k

b

k

a > dengan 0>k

d. kbka ⋅<⋅ dan k

b

k

a < dengan 0<k

e. nn ba > dengan n bilangan ganjil

3. Jika 0>> ba maka berlaku :

a. nn ba >

b. ba

11 <

4. Jika ba > dan dc > maka berlaku :

a. dbca +>+

b. dbca −>−

5. Jika ba > dan dc > maka dbca ⋅>⋅

6. Jika 0>a dan 0<b maka 0<ab

B. CARA PENGGABARAN PERTIDAKSAMAAN DI GARIS BILANGAN #(2)

Berikut adalah beberapa contohnya : 1. ax <.

2. bx ≥

3. ax < atau bx ≥

4. bxa ≤<

b a

b a

a → artinya a tidak termasuk dalam penyelesaian

b →artinya b termasuk dalam

penyelesaian

C. PERTIDAKSAMAAN LINIER #(3)

Langkah penyelesaian pertidaksamaan linier adalah 1. Letakkan semua bilangan yang mengandung variabel di ruas kiri dan

bilangan yang tidak mengandung variabel di sebelah kanan. 2. Sederhanakan, sehingga koefisien variable disebelah kiri menjadi satu.

Contoh :

1. Himpunan penyelesaian dari 2284 +>+ xx adalah.... Pembahasan :

3

62

8224

2284

−>−>

−>−+>+

x

x

xx

xx

Jadi HP nya adalah }3|{ −>xx

2. Himpunan penyelesaian dari 305183 +≤+ xx adalah... Pembahasan :

6

122

183053

305183

−≤≤−

−≤−+≤+

x

x

xx

xx

Jadi HP nya adalah }6|{ −≤xx

3. Hasil dari pertidaksamaan xxx −<−<− 4243 adalah.... Pembahasan :

xxx −<−<− 4243 bisa dipisah menjadi 243 −<− xx dan xx −<− 42, maka :

243 −<− xx dan xx −<− 42

423 +−<− xx 24+<+ xx

22 <x 62 <x

1<x 3<x

Jika digabungkan menjadi :

Daerah yang terkena arsiran dua kali adalah 1<x maka HP nya { 1<x }

1 3

3 1

D. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT #(4)

Langkah penyelesaiannya adalah : 1. Jadikan ruas kanan menjadi nol 2. Faktorkan/cari pembuat nol dari fungsi sebelah kiri 3. Letakkan pembuat nol dalam garis bilangan dan tentukan daerah

+(positif) dan – (negatif) 4. Tentukan daerah himpunan penyelesaiana, bila pertidaksamaanya

berupa > atau ≥ maka daerah hasilnya adalah daerah + (positif), dan jika pertidaksamaannya berupa < atau ≤ maka daerah penyelesaiannya adalah daerah – (negatif).

Cara menentukan daerah + (positif) dan – (negatif) bisal dilakukan dengan salah satu cara berikut :

1. Pilih salah satu bilangan di daerah tersebut, kemudian kemudian nilai tersebut dimasukkan ke fungsi , jika hasil + (positif) maka daerah tersebut daerah + (positif) dan jika hasilnya – (negatif) maka daerah tersebut adalah daerah negatif.

2. Lihat koefisien dari pangkat pertiggi fungsi, jika koefisiennya + (positif) maka daerah tersebut daerah + (positif), dan jika koefisiennya negatif maka daerah tersebut adalah daerah – (negatif).

Contoh :

1. Himpunan penyelesaian dari 062 <−− xx adalah....

Pembahasan :

23

0)2)(3(

062

−==<+−

<−−

xx

xx

xx

atau

HP nya adalah { - 2 < x < 3 }

3 -2

+++ +++ ---

Kita masukan sebuah nilai, misalnya 4. Kita masukan 4 ke

664166446 22 =−−=−−⇒−− xx , karena 6 adalah +, maka daerah tersebut +. Daerah berikutnya adalah selang seling - dan + .

Atau bisa dilihat dari 62 −− xx karena

2x (koefisien pangkat tertingginya) positif,

maka daerah yang paling kanan adalah + (positif). Berikutnya selang seling + dan - .

Karena di soal yang ditanyakan adalah “ < ”, maka daerah yang diarsir adalah daerah – (negatif).

E. PERTIDAKSAMAAN PANGKAT TINGGI #(5)

Cara penyelesaian pertidaksamaan pangkat tinggi pada dasarnya sama seperti pertidaksamaan kuadrat. Contoh :

1. Carilah himpunan penyelesaian dari 086 23 ≥+− xxx . Pembahasan :

420

0)4)(2(

0)86(

0862

23

=∪=∪=≥−−≥+−

≥+−

xxx

xxx

xxx

xxx

HP nya adalah { 0 ≤ x ≤ 2 atau x ≥ 4 }

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 0)6)(2( 2 <−+− xxx

adalah... Pembahasan :

232

0)2)(3)(2(

0)6)(2( 2

=∪−=∪=<−+−

<−+−

xxx

xxx

xxx

Maka HP nya adalah { x < - 3 }

F. PERTIDAKSAMAAN PECAHAN #(6)

Langkah – langkah penyelesaiannya adalah : 1. Pindahkan semua ke ruas kiri, sehingga ruas kanan menjadi nol 2. Sederhanakan ruas kiri 3. Faktorkan bentuk ruas kiri 4. Tentukan pembuat nol nya * 5. Tuliskan nilai – nilai tersebut pada garis bilangan 6. Tentukan tanda +/- pada setiap interval 7. Tentukan daerah himpunan penyelesaiaanya

*nilai pembuat nol dari penyebut tidak termasuk dalam himpunan penyelesaian.

0 2 4

+++ +++ --- ---

2

Dikasih pembatas (air mancur) karena ada akar kembar yaitu x = 2 .

-3

+++ --- +++ ---

Jumlah air mancur sesuai jumlah akar kembarnya.

Contoh :

1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 13

22 ≤−+

x

x adalah....

Pembahasan :

13

22 ≤−+

x

x

013

22 ≤−−+

x

x

03

3

3

22 ≤−−−

−+

x

x

x

x

03

322 ≤−

+−+x

xx

03

5 ≤−+

x

x

Pembuat nol 5−=x dan 3=x Jadi HP nya }35{ <≤− x

2. Carilah himpunan penyelesaian 078

42

>+−

+xx

x !

Pembahasan :

078

42

>+−

+xx

x

0)7)(1(

4 >−−

+xx

x

Pembuat nol 1,4 =−= xx dan 7=x

HP nya adalah }714{ ><<− xx atau

3. Himpunan penyelesaian dari 3

5

7

3

+≤

− xx adalah...

Pembahasan :

3

5

7

3

+≤

− xx

03

5

7

3 ≤+

−− xx

+++ +++ ---

-4 1 7

---

3 pembuat nol tetapi tidak termasuk dalalm HP karena penyebut tidak boleh o.

, artinya -5 masuk dalam HP karena soal “ ≤ ”

+++ +++ ---

-5 3

0)3)(7(

)7(5)3(3 ≤+−

−−+xx

xx

0)3)(7(

35593 ≤+−+−+

xx

xx

0)3)(7(

442 ≤+−

+−xx

x

0)3)(7(

)22(2 ≤+−

−−xx

x

Pembuat nol 3,7,22 −=== xxx

HP nya adalah }2273{ ≥<<− xx atau

G. PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKAR #(7)

Langkah penyelesaian bentuk akar adalah : 1. Tentukan syarat akar, yaitu nilai di dalam akar harus ≥ 0 2. Kuadratkan kedua ruas sehinga akarnya hilang 3. Pindahkan keruas kiri semua 4. Tentukan nilai-nilai pembuat nol 5. Letakkan nilai pembuat nol di garis bilangan 6. Tentukan daerah penyelesaian ( digabung dengan syarat akar, lihat

nomor 1 )

Contoh :

1. Penyelesaian dari 462 >−x adalah... Pembahasan :

462 >−x

Syarat 1 (syarat akar) :

3

62

062

≥≥≥−

x

x

x

Syarat 2 :

462 >−x

( ) 22462 >−x

1662 >−x

6162 +>x

--- --- +++

-3 7 22

+++

3

222 >x

11>x Penggabungan syarat (1) dan (2) : HP nya adalah { x > 11 }

2. Carilah himpunan penyelesaian dari 622 −>+ xx !

Pembahasan :

622 −>+ xx

Syarat 1 ( syarat akar ) :

2

02

−≥≥+

x

x

Syarat 2 ( syarat akar ) :

3

62

062

≥≥≥−

x

x

x

Syarat 3 :

622 −>+ xx

( ) ( )22622 −>+ xx

622 −>+ xx

262 −−>− xx

8−>− x

8<x

Penggabungan syarat 1,2 dan 3 :

Daerah HP adalah daera yang terkena arsiran tiga kali yaitu }82{ <≤ x

11

3 11

3

-2

8

8 -3 2

Daerah yg terkena arsiran 3 kali.

H. PERTIDAKSAMAAN BENTUK MUTLAK #(8)

Sifat dalam pertidaksaan harga mutlaka adalah :

1. kxf <)( maka penyelesaiannya adalah kxfk <<− )(

2. kxf >)( maka penyelesaiannya adalah kxf −<)( atau kxf >)(

3. )()( xgxf > maka penyelesaiannya adalah )()( 22 xgxf >

Contoh :

1. Penyelesaian dari 732 <−x adalah....

Pembahasan :

732 <−x

7327 <−<− x

73237 +<<+− x

1024 <<− x

52 <<− x

Maka HP nya adala { 52 <<− x }

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3352 ≥++ xx adalah....

Pembahasan :

3352 ≤++ xx , maka penyelesaiannya :

3352 −≤++ xx atau 3352 ≥++ xx

03352 ≤+++ xx 03352 ≥−++ xx

0652 ≤++ xx 052 ≥+ xx 0)3)(2( ≤++ xx 0)5( ≥+xx

32 −=∪−= xx 50 −=∪= xx Maka HP nya adalah }0523{ ≤≤−−≤≤− xx atau

3. Nilai x yang memenuhi 1243 −<− xx adalah....

Pembahasan :

1243 −<− xx

22 )12()43( −<− xx

14416249 22 +−<+− xxxx

-2 -3

+++

+++

---

-5 0

+++

+++

---

011642449 22 <−++−− xxxx

015205 22 <+− xx

0342 <+− xx

0)3)(1( <−− xx

31 =∪= xx

Maka HP nya adalah }31{ << x

+++

+++

---

1 3

SOAL SOAL SOAL SOAL –––– SOAL SOAL SOAL SOAL LATIHANLATIHANLATIHANLATIHAN

1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 01282 ≤+− xx adalah…

A. }26|{ −≤≤− xx

B. }62|{ ≤≤− xx

C. }26|{ ≤≤− xx

D. }62|{ ≤≤ xx

E. }121|{ ≤≤ xx

UNMAT IPS 2012 (A35-14)

2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 05112 2 ≥−+− xx adalah…

A. 5|{ −≤xx atau },2

1Rxx ∈−≥

B. },2

15|{ Rxxx ∈−≤≤−

C. },52

1|{ Rxxx ∈≤≤−

D. 2

1|{ ≤xx atau },5 Rxx ∈≥

E. },52

1|{ Rxxx ∈≤≤


3. Himpunan penyelesaian dari Rxxx ∈<+− ,021102 adalah...

A. };7atau 3|{ Rxxxx ∈><

B. };3atau 7|{ Rxxxx ∈>−<

C. };37|{ Rxxx ∈<<−

D. }73|{ Rxxx ∈<<−

E. }73|{ Rxxx ∈<<


4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 03.2893 12 >−++ xx , Rx∈ adalah…

A. x > -1 atau x > 2

B. x< - 1 atau x < 2

C. x< 1 atau x > 2

D. x< -1 atau x > 2

E. x> -1 atau x < -2

UN MAT IPA 2012 (A35-18)

5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen :

442

2

27

19

−−

≥x

x adalah…

A. }3

102|{ ≤≤− xx

B. }23

10|{ ≤≤− xx

C. atauxx3

10|{ −≤ }2≥x

D. atauxx 2|{ −≤ }3

10≥x

E. }23

10|{ −≤≤− xx

UN MAT IPA 2008 (D10-08)

6. Semua nilai x yang memenuhi (x + 3) (x – 1) ≤ ( x – 1) adalah...

A. 1 ≤ x ≤ 3

B. x ≤ -2 atau x ≥ -1

C. -3 ≤ x ≤ -1

D. -2 ≥ x atau x ≥ 3

E. -1 ≥ x atau x ≥ 3


7. Semua nilai x yang memenuhi 0)1)(352(

322

2

≤+−−

+−xxx

xxadalah…

A. 32

1 <<− x

B. 2

13 <≤− x

C. 2

1−≤x atau 3>x

D. 2

1−<x atau 3>x

E. 3−<x atau 3

1≥x

SNMPTN MATDAS 2011 (XX-07)

8. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 11

1

−>

++

x

x

x

x adalah..

A. 1<x

B. 1−>x

C. 11 <≤− x

D. 1−<x atau 11 <<− x

E. 1−<x atau 1>x


9. Jika 3−q , maka nilai ...=− pq

A. Lebih besar daripada 9

B. Lebih besar daripada 7

C. Lebih kecil daripada 8

D. Lebih kecil daripada 2

E. Lebih kecil daripada -2


10. Diketahui 3−<x . Bentuk yang setara dengan x311 +− adalah…

A. x3

B. x3−

C. x32−

D. x32+−

E. x32−−


11. Bentuk 5|55| <− x setara dengan

A. |55|5 −<− x

B. 1|1| <−x

C. 555 <−x

D. 555 −>−x

E. 5550 <−< x


12. Jika 0, ≥ba , maka pernyataan dibawah ini yang benar adalah….

A. 2

baab

+≤

B. abab ≤

C. 2

abab ≤

D. baab ≥

E. abab ≤ SNMPTN MAT IPA 2009 (XX-01)

13. Solusi pertaksamaan 020

)6)(2(2

2>

−+−+−

xx

xxx adalah…

A. 5−<x atau 23 <<− x

B. 3−<x atau 42 << x

C. 35 −<<− x atau 2>x

D. 35 −<<− x atau 4>x

E. 23 <<− x atau 4>x SPMB MAT DAS 2007 (XX-08)

14. Solusi pertaksamaan 016

322

2<

−+−+

xx

xxadalah…

A. 12

1 <<− x

B. 2

11 <<− x atau 1>x

C. 3

1

2

1 <<− x

D. 2

1

2

11 −<<− x atau 1

3

1 << x

E. 2

11−<x atau

3

1>x


15. Nilai-nilai x yang memenuhi pertaksamaan 202|2| +≥− xx adalah…

A. 1022 <≤∪−≤<∞− xx

B. ∞<≤∪−≤<∞− xx 22

C. ∞<≤∪−<<∞− xx 82

D. ∞<≤∪−≤≤− xx 8210

E. ∞<≤∪≤≤− xx 8210 SPMB MAT IPA 2007 (XX-12)

16. Grafik xx

y 23 −= terletak di atas garis xy = untuk x yang memenuhi…

A. 1−<x

B. 11 <<− x

C. 1−<x atau 1>x

D. 1−<x atau 10 << x

E. 01 <<− x atau 1>x SPMB MAT DAS 2006 (XX-04)

17. Solusi pertaksamaan 0932 2 ≤−+ xx yang bukan solusi pertaksamaan

0102 2 ≥−− xx adalah…

A. 23 −<<− x

B. 2

113 ≤≤− x

C. 2

12

2

11 <≤ x

D. 2

112 ≤<− x

E. 2−≤x atau2

12≥x


18. Jika π≤≤ x0 , maka himpunan penyelesaian pertaksamaan

02sincos <− xx adalah…

A.

<<

26

ππxx

B.

<<

<< ππππ

xxxx6

5

26U

C.

<<

34

ππxx

D.

≤<

<< ππππ

xxxx6

5

36U

E.

≤<

<< ππππ

xxxx6

5

26U

SPMB MAT IPA 2006 (XX-11)

19. Himpunan penylesaian dari 08622 ≥−−+ xx adalah...

A. }1|{ −≥xx

B.

≥

3

4| xx

C.

≤

2

5| xx

D.

≥

2

5| xx

E.

≤≤

2

5

3

4| xx

UM UGM MAT DAS 2010 (462-16)

20. Pertaksamaan xx

x 1

3

42

≤+

mempunyai penyelesaian...

A. 31 ≤≤ x

B. 31 ≤≤ x atau 3≥x

C. 1≤x atau 3≥x

D. 10 ≤< x atau 3≥x

E. 10 ≤≤ x atau 3≥x

UM UGM MAT DAS 2009 (931-07)

21. Nilai semua x positif yang memenuhi xx aa log28log2 ⋅+≥ , dengan bilangan

a > 1, adalah....

A. 42 axa ≤≤

B. 2ax ≤ atau 4ax ≥

C. 4

1

ax ≤ atau 2ax ≥

D. 2

1

ax ≤ atau 4ax ≥

E. 2−≤x atau 4≥x


22. Pertaksamaan 132

2 <+

−x

x dapat ditulis sebagai bax >+4 dengan nilai a dan

b berturut-turut adalah....

A. 7 dan 13

B. 13 dan 7

C. 6 dan 13

D. 13 dan – 6

E. -13 dan 7


23. Pertidaksamaan

2

222

3

27

13

xxkxx

−+−

≥ mempunyai penyelesaian 5

81 ≤≤− x ,

jika k =....

A. 4

B. – 4

C. 12

D. – 8

E. 8


24. Jika persamaan x2 - 4x + k – 1 = 0 mempunyai akar-akar real α dan β, maka

nilai k yang memenuhi 111

22<+

βα adalah...

A. 17−<k atau 17>k

B. 17−<k atau 517 << k

C. 18−<k atau 18>k

D. 18−<k atau 518 << k

E. 517 << k


25. Semua nilai x yang memenuhi pertaksamaan 0322 >−+ xx dan xx 36 >−

adalah....

A. 3−<x atau 2

30 <≤ x

B. 2

3<x

C. 3−<x atau 2

31 << x

D. 3−<x atau 2

3>x

E. 2

30 << x


26. Nilai – nilai x yang memenuhi xx 212 −≤− adalah ….

A. Semua bilangan riil

B. 1−≥x atau 2

1≤x

C. 11 ≤≤− x

D. 1−≤x atau 1≥x

E. 2

1≤x atau 1≥x

SIMAK UI MAT IPA 2012 (521-03)

27. Bilangan bulat terkecil yang memenuhi pertidaksamaan

8

1

2

2

32

13

5

2

<

−x

x

adalah ….

A. –9

B. -8

C. -7

D. 6

E. 7


28. ,34

5

23

322 +−

<+− xxxx

benar untuk ….

A. 2

1>x

B. 2>x

C. 3>x

D. 32

1 << x

E. 32 << x

SIMAK UI MATDAS 2009 (911-07)

29. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 231 22 −+≤− xxx adalah .

A. { 1−≤xx atau

≥

2

1x

B. { 1≥xx atau }1−≤x

C. { }1−≤xx

D. { }11 ≤≤− xx

E.

≤≤ 1

2

1xx


TRIGONOMETRI

A. PERBANDINGAN TRIGONO #(1)

a.a.a.a. Perbandingan Trigono Dalam SegitigaPerbandingan Trigono Dalam SegitigaPerbandingan Trigono Dalam SegitigaPerbandingan Trigono Dalam Segitiga Siku Siku Siku Siku ––––sikusikusikusiku

)(

)(sin

ring

pan

r

y

mide==α

)(

)(

sin

1cos

pan

ring

y

rec

demi===

αα

)(

)(cos

ring

mping

r

x

misa==α

)(

)(

sin

1sec

mping

ring

x

r

sami===

αα

)(

)(tan

mping

pan

x

y

sade==α

)(

)(

tan

1cot

pan

mping

y

x

desa===

αα

Catatan : αtan juga bisa didefinisikan sebagai : ααα

cos

sintan =

Contoh :

1. Jika diketahui 13

5cos =α , maka nilai αsin dan αtan adalah....

Pembahasan :

)(

)(

13

5cos

miring

depan==α

Nilai y didapat dari :

13

12sin ==

miring

depanα

5

12tan ==

samping

depanα

2. Diketahui k=βtan , maka nilai βsec adalah...

Pembahasan :

k=βtan bisa ditulis samping

depank ==1

tanβ

11

1sec 2

2+=+== k

k

samping

miringβ

kebalikanya

kebalikanya

kebalikanya

α

y

x

r sisi depansisi depansisi depansisi depan terhadap α

sisi sampingsisi sampingsisi sampingsisi samping terhadap α

sisi miringsisi miringsisi miringsisi miring

12

14425169513 22

==−=−=

y

y

β x=1

r= 12 +k y=k

α x=5

r=13 y=12

b.b.b.b. Sudut Sudut Sudut Sudut –––– sudut Istimewasudut Istimewasudut Istimewasudut Istimewa #(2)

0o 30o 45o 60o 90o

Sin αo 0 2

1 2

2

1 3

2

1 1

Cos αo 1 32

1 2

2

1

2

1 0

Tan αo 0 33

1 1 3 ~

c.c.c.c. Kuadran Kuadran Kuadran Kuadran #(3)

0o atau 360o

90o

180o

270o

Kuadran I Kuadran II

Kuadran III Kuadran IV

ssssemua +emua +emua +emua + sinsinsinsin ++++

tan tan tan tan ++++ coscoscoscos ++++

0o atau 360o

90o

180o

270o

x -x

y

-y

r r

r r

α α

α α

)(xy

tanα

)(rx

cosα

)(ry

sinα

+→=

+→=

+→=

)(tan

)(cos

−→−

=

−→−=

+→=

x

yr

x

α

α

)(r

ysinα

)(tan

)(sin

−→−=

+→=

−→−=

x

y

r

y

α

α

)(rx

cosα

)(xy

tanα +→−−=

−→−=

−→−=

)(cos

)(sin

r

xr

y

α

α

Kuadran :

)360

)270

)180

)90

oo

oo

oo

oo

<<

<<

<<

<<

α

α

α

α

(270IV kuadran

(180 III kuadran

(90 II kuadran

(0 I kuadran

d.d.d.d. Sudut BerelasiSudut BerelasiSudut BerelasiSudut Berelasi #(4) Sudut berelasi menjelaskan hubungan nilai – nilai trigono antara sudut satu dengan sudut yang lain dalam sebuah kuadran. Berikut akan dijelaskan secara penjabaranya sekaligus diberi teknik penghitungan secara mudahnya. 1. Sudut Berelasi Kuadran I

Berikut akan dibahas hubungan sudut α dan (90 – α) , dengan α sudut lancip(0< α< 90 ).

r

y=αsin r

y=− )90cos( α

r

x=αcos r

x=− )90sin( α

x

y=αtan x

y=− )90tan( α

Contoh :

1. Nilai dari oo

oo

50sin70sin

40cos20cos

++

adalah....

Pembahasan :

150sin70sin

50sin70sin

50sin70sin

40cos20cos =++=

++

oo

oo

oo

oo

perhatikan

perhatikan

perhatikan

0o x

y

α (90-α)

r

90o

180o

270o

Kesimpulan :

)90cot(tan

)90sin(cos

)90cos(sin

αααααα

−=−=−=

2. Sudut Berelasi Kuadran II Berikut akan dibahas hubungan sudut (90 + α) dan (180 – α) , dengan α sudut lancip )900( << α .

r

y==− αα sin)180sin( r

y===+ βαβ cossin)90sin(

r

x−==− αα cos)180cos( r

x−===+ βαβ sincos)90cos(

x

y

−==− αα tan)180tan(

x

y

−===+ βαβ cottan)90tan(

Jadi bisa disimpulkan menjadi :

3. Sudut Berelasi Kuadran III Dengan cara yang sama seperti pada kuadran II, maka pada kuadran III didapat :

Besar sudut garis h terhdap sumbu X positif adalah (180 – α) atau α terhadap sumbu X negatif.

Besar sudut garis h terhdap sumbu X positif adalah (90+ β )

atau α terhadap sumbu X negatif.

α (180-α)

-x

y

0

90

180

270

garis h

r (90+ β )

β 0

90

180

270

garis h

-x

y

α

β r

αα sin)180sin( =− ββ cos)90sin( =+

αα cos)180cos( −=− ββ sin)90cos( −=+

αα tan)180tan( −=− ββ tan)90tan( −=+

αα sin)180sin( −=+ ββ cos)270sin( −=−

αα cos)180cos( −=+ ββ sin)270cos( −=−

αα tan)180tan( =+ ββ tan)270tan( =−

4. Sudut Berelasi Kuadran IV Seperti pada cara sebelumnya pada kuadran IV maka didapat :

5. Sudut berelasi lebih dari 360o Untuk sudut yang lebih dari 360o artinya sudut itu sudah berputar lebih dari satu putaran, maka berlaku :

Kesimpulan dari seluruh hubungan sudut berelasi diatas, dapat disederhanakan sebagai berikut : Catatan Penting :

αα sin)180sin( ±=+⋅n dengan n bilangan bulat positif, n = 1, 2, 3, ......

αα cos)180cos( ±=+⋅n tanda positif/negatif tergantung letak kuadran.

αα tan)180tan( ±=+⋅n

αα cos)90sin( ±=+⋅n dengan n bilangan bulat positif ganjil, n = 1, 3, 5, ....

αα sin)90cos( ±=+⋅n tanda positif/negatif tergantung letak kuadran.

αα cot)90tan( ±=+⋅n

Contoh :

1. Berapakah nilai dari :

a. o150cos

b. o240tan

c. o330sin Pembahasan :

a. )30180cos(150cos −=o

o30cos−=

32

1−=

1500 berada dikuadran II, maka nilai cos nya negatif (-)

αα sin)360sin( −=− ββ cos)270sin( −=+

αα cos)360cos( =− ββ sin)270cos( =+

αα tan)360tan( −=− ββ tan)270tan( −=−

αα sin)360sin( =+⋅n

αα cos)360cos( =+⋅n

αα tan)360tan( =+⋅n

n adalah bilangan bulat positif.

Atau bisa diselesaikan dengan cara :

)6090cos(150cos +=o

o60sin−=

32

1−=

b. )60180tan(240tan +=o

o60tan=

3=

c. )30360sin(330sin −=o

o30sin−=

2

1−=

2. Nilai dari dari :

a. o750tan

b. o1230sin Pembahasan :

a. ( )30360.2tan750tan +=o

o30tan=

2

1=

b. )150360.3tan(1230sin +=o

o150tan= )30180tan( −=

30tan−=

33

1−=

e.e.e.e. Sudut NegatifSudut NegatifSudut NegatifSudut Negatif #(5) Sudut positif artinya sudut itu perputaranya berlawanan arah dengan jarum jam. Sudut negatif artinya sudut itu perputaranya searah dengan jarum jam. Dalam sudut negatif berlaku :

2400 berada dikuadran III, maka nilai tan nya positif (+)

3300 berada dikuadran IV, maka nilai sin nya negatif (-)

α -α

searah jarum jam

berlawan arah jarum jam

αααααα

tan)tan(

cos)cos(

sin)sin(

−=−=−

−=−

B. SATUAN UKURAN SUDUT #(6)

a.a.a.a. Derajat dan RadianDerajat dan RadianDerajat dan RadianDerajat dan Radian

Satuan sudut yang biasa dipakai dalah derajat dan radian.

, jika 14,3≈π atau 7

22≈π , maka :

π

o180 radian = 1

14,31

o180radian =

radian180 π=o

radian 180

1π=o

radian 180

14,31 =o

Contoh :

1. Rubahlah bentuk π3

2 dalam bentuk derajat !

Pembahasan :

Bentuk π3

2 artinya π

3

2radian. ( ket : ‘radian’ sering kali tidak

ditulis ). Jadi untuk merubah bentuk derajat dengan cara merubah

π menjadi 180o atau dikali dengan π

o180 jadi:

oo 1201803

2

3

2 =⋅=π

2. Rubahlah bentuk o150 dalam bentuk π radian ! Pembahasan : Untuk merubah betuk derajat ke π radian adalah dengan dikali

dengan π180

1.

ππ6

5

180

1150150 =⋅= oo

o180 radian = π

o3,571 =radian

radian 017,01 =o

b.b.b.b. Derajat, menit dan detikDerajat, menit dan detikDerajat, menit dan detikDerajat, menit dan detik

Satuan sudut bisa juga dinyatakan dalam bentuk menit(’) dan detik (’’ ).

Contoh : 1. Rubahlah bentuk berikut 30o 30’ 36’’ menjadi bentuk derajat !

Pembahasan :

30o 30’ 36’’ = (30 + 30.60

1+36

3600

1)o

= (30 + 0,5 + 0,01)o = 30,51o

C. KOORDIAT KUTUB DAN KOORDINAT KARTESIUS #(7)

a.a.a.a. MerubahMerubahMerubahMerubah koordinat kartesius P(x, y) ke koordinat kutub koordinat kartesius P(x, y) ke koordinat kutub koordinat kartesius P(x, y) ke koordinat kutub koordinat kartesius P(x, y) ke koordinat kutub P(r, P(r, P(r, P(r, α ))))

Contoh: 1. Rubahlah koordinat kartesius berikut menjadi koornat kutub :

a. )33,3(

b. )3,1( −

P dalam koordinat kartesius : P( x , y )

α

P

x

y

r P dalam koordinat kutub :

P( r , αo )

22 yxr +=

x

y=αtan

1o = 60’ (menit) atau 1’ = o60

1

1o = 3600’’ (detik) atau 1’’ =o3600

1

Pembahasan :

a. Dari koordinat kartesius )33,3( , maka 33,3 == yx

22 yxr += 22 )33(3 += 636279 ==+=

33

33tan ===

x

yα , maka α = 60o

Jadi hasilnya (6, 60o)

b. Dari koordinat kartesius )3,1( − , maka 3,1 =−= yx

2431)3()1( 2222 ==+=+−=+= yxr

31

3tan −=

−==

x

yα , maka α = 120o

Jadi hasilnya ( )120 ,2 o

b.b.b.b. Merubah koordinat kutub Merubah koordinat kutub Merubah koordinat kutub Merubah koordinat kutub P(r, P(r, P(r, P(r, α )))) ke koordinat kartesius P(x , y)ke koordinat kartesius P(x , y)ke koordinat kartesius P(x , y)ke koordinat kartesius P(x , y)

Contoh : 1. Rubah bentuk koordinat kutub berikut menjadi koordinat kartesius

a. (4, 30o)

b. )32

,8( π

Pembahasan :

a. Koordinat kutub (4, 30o), maka r = 4, dan α = 30o

3232

1430cos4cos =⋅=⋅=⋅= oαrx

22

1430sin4sin =⋅=⋅=⋅= oαry

Jadi hasilnya )2,32(

b. Koordinat kutub )32

,8( π , maka r = 8, dan oo 120180.3

2

3

2 === πα

42

1(8120cos8cos −=−⋅=⋅=⋅= ) oαrx

3432

18120sin8 sin =⋅=⋅=⋅= oαry

Jadi hasilnya )34,4(−

αcos⋅= rx αsin⋅= ry

D. RUMUS IDENTITAS #(8)

Rumus – rumus identitas dalam trigonometri adalah : 1.

2.

3.

Contoh :

1. Bentuk sederhana dari )tan1)(1(sin 22 x+− adalah....

Pembahasan :

))(secsin1()tan1)(1(sin 2222 xxx −−=+−

x

x2

2

cos

1cos ⋅−=

1−=

2. Buktikan 1tancos

1 22

=− xx

!.

Pembahasan :

1tancos

1 22

=− xx

1tansec 22 =− xx

( ) 1tantan1 22 =−+ xx

11=

E. PERSAMAAN TRIGONOMETRI #(9)

Rumus – rumus dalam persamaan trigono adalah :

xx 22 cos1sin −=

xx 22 sin1cos −= 1cossin 22 =+ yx

xx 22 sectan1 =+

xecx 22 coscot1 =+

1sectan 22 −= xx

1coscot 22 −= xecx

1. αsinsin =x

360.kx += α atau 360.)180( kx +−= α , dengan ∈k bilangan bulat

2. αcoscos =x

360.kx += α atau 360.kx +−= α , dengan ∈k bilangan bulat

3. αtantan =x

180.kx += α

Contoh :


1sin =x , untuk ox 3600 ≤≤ adalah...

Pembahasan :

32

1sin =x

ox 60sinsin =

360.60 kx += o atau 360.)60180( kx +−= o

360.60 kx += o atau 360.120 kx += o

0=k 060 += ox atau 0120 += ox

o60=x atau o120=x

1=k oo 36060 +=x atau oo 360120 +=x

o420=x atau o480=x

Maka himpunan penyelesaian }120,60{ oo


13cos =−x , untuk ox 1800 ≤≤


022

13cos =−x

22

13cos =x

o45cos3cos =x

oo 360.453 kx += atau oo 360.453 kx +−=

oo 120.15 kx += atau oo 120.15 kx +−=

0=k 015 += ox atau 015 +−= ox

o15=x atau o15−=x

1=k oo 12015 +=x atau oo 12015 +−=x

o135=x atau o105=x

2=k oo 24015 +=x atau oo 24015 +−=x

o255=x atau o235=x

Maka himpunan penyelesaiannya adalah }135,105,15{ ooo


1)302tan( =−x , untuk nilai

oo 3600 ≤≤ x adalah...

420o dan 480o tidak masuk dalam HP

karena ox 3600 ≤≤

255o dan 235o tidak masuk dalam HP karena

ox 1800 ≤≤

Pembahasan :

33

1)302tan( =−x

o30tan)302tan( =−x

ooo 180.30302 kx +=−

oo 180.602 kx +=

oo 90.30 kx +=

0=k 030 += ox

o30=x

1=k oo 9030 +=x

o120=x

2=k oo 18030 +=x

o210=x

3=k oo 27030 +=x

o300=x

4=k oo 36030 +=x

o390=x

Maka himpunan penyelesaiannya }300,210,120,30{ oooo

F. RUMUS-RUMUS SEGITIGA DALAM TRIGONO

a.a.a.a. Aturan SinusAturan SinusAturan SinusAturan Sinus #(10)

Aturan sinus dipakai jika diketahui : 1. Dua sudut dan satu sisi, atau 2. Dua sisi dan satu sudut ( sudut tersebut bukan sudut apit ) Contoh :

1. Jika diketahui segitiga ABC dengan o120=∠A , o30=∠B dan 8=a .

Tentukanlah panjang b dan c !

A B

C

a b

c

C

c

B

b

A

a

sinsinsin==

Pembahasan :

Karena o120=∠A , o30=∠B maka o30=∠C

C

c

B

b

A

a

sinsinsin==

30sin120sin

8 b=o

b=⋅ o

o30sin

120sin

8

o

o30sin

120sin

8 ⋅=b

2

1

32

18 ⋅=b

3

8=b

33

8=b

b.b.b.b. Aturan CosinusAturan CosinusAturan CosinusAturan Cosinus #(11)

Aturan cosinus dipakai jika diketahui : 1. Diketahui dua sisi dan satu sudut apit 2. Diketahui ketiga sisi Contoh :

1. Diketahui segitiga ABC dengan 8,5 == cb dan o60=∠A , maka

panjang sisi a adalah.... Pembahasan :

Abccba cos2222 ⋅−+= o60cos85285 222 ⋅⋅⋅−+=a

2

18064252 ⋅−+=a

A B

C a = 8

o120 o30

o30

3

38

3

3

3

8 =×=b dirasionalkan

A B

C

a b

c Cabbac

Baccab

Abccba

cos2

cos2

cos2

222

222

222

⋅−+=

⋅−+=

⋅−+=

ab

cbaC

ac

bcaB

bc

acbA

2cos

2cos

2cos

222

222

222

−+=

−+=

−+=

A B

C

a=.... b =5

c = 8 60o

4940892 =−=a 7±=a karena yang ditanyakan adalah panjang a, dan panjang itu

harus bernilai positif, maka a = 7

2. Jika diketahui segitiga PQR dengan panjang masing-masing sisinya 6, 8 dan 10, maka nilai cosinus sudut terbesar adalah.... Pembahasan : Sudut terbesar terletak di hadapan sisi terpanjang, maka sudut terbesarnya adalah sudut P.

96

1003664

682

368

2cos

222222 −+=⋅⋅−+=−+=

qr

prqP

096

0cos ==P

c.c.c.c. Luas Segitga Luas Segitga Luas Segitga Luas Segitga #(12)

1. Diketahui alas dan tinggi

Catatan : Hubungan alas dan tinggi harus saling tegak lurus

2. Diketahui dua sisi dan satu sudut apit

Contoh :

1. Sebuah segitiga ABC dengan b = 4 cm, c = 5cm dan o45=∠A , maka luasnya adalah...

R Q

P

r=6 q =8

p= 10

a

a t t

A B

C

a b

c

taL ⋅⋅=2

1

AcbL

BcaL

CbaL

sin2

1

sin2

1

sin2

1

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

Pembahasan :

AcbL sin2

1 ⋅⋅⋅=

o45sin542

1 ⋅⋅⋅=L

22

110⋅=L

225 cmL =

3. Diketahui tiga sudut dan satu sisi

Contoh :

1. Pada segitiga ABC diketahui o120=∠A , o30=∠B dan a = 4 cm. Maka luas segita tersebut adalah... Pembahasan :

Diketahui a = 4 cm, o120=∠A dan o30=∠B maka o30=∠C

A

CBaL

sin2

sinsin2

=

o

oo

120sin2

30sin30sin42

=L

3

4

32

12

2

1

2

116

=⋅

⋅⋅=L

33

4=L

4. Diketahui panjang seluruh sisinya

A B

C

a b

c

A B

C

a b

c

Dengan s adalah setengah keliling :

)(2

1cbas ++=

C

BAcL

B

CAbL

A

CBaL

sin2sinsin

sin2sinsin

sin2sinsin

2

2

2

=

=

=

))()(( csbsassL −−−=

A B

C

a b

c

Contoh : 1. Suatau segitiga dengan sisi – sisi nya 5 cm, 6 cm dan 7 cm. Maka

luas segitiganya adalah.... Pembahasan :

)(2

1cbas ++= 9)18(

2

1)765(

2

1 ==++=

))()(( csbsassL −−−=

)79)(69)(59(9 −−−=

2349 ⋅⋅⋅=

636⋅=

66=

5. Luas segi n beraturan

n = banyaknya jumlah sisi r = jari-jari lingkaran

Contoh :

1. Segi 12 beraturan dengan jari – jari lingkarannya adalah 2 cm. Maka luas 12 beraturan tersebut adalah.... Pembahasan : n = 12, r = 2 cm

=

nnrL

o360sin

2

1 2

×××=

12

360sin212

2

1 2o

L

o30sin46 ××=L

2

146 ××=L

212cmL =

r

=

nnrL

o360sin2

21

d.d.d.d. JariJariJariJari---- jari Lingakaranjari Lingakaranjari Lingakaranjari Lingakaran 1. Jari – jari lingakaran dalam segitiga

2. Jari – jari lingkaran luar segitiga

3. Jari – jari lingkaran singgung

A

B

C

b a

c

r l

r l r l

A B

C

a

b

c

rb

ra rc

Asra 2

1tan.=

as

csbsass

as

Lr

ABCa −

−−−=

−= ∆ ))()((

Bsrb 2

1tan.=

bs

csbsass

bs

Lr

ABCb −

−−−=

−= ∆ ))()((

Csrc 2

1tan.=

cs

csbsass

cs

Lr

ABCc −

−−−=

−= ∆ ))()((

A

B

C

a

b

c

rd

s

ABCLrd

∆= , atau

s

csbsasrd

))()(( −−−=

, atau

))()((44 csbsas

abc

ABCL

abcrl −−−

==∆

A

c

B

b

A

arl sin2sin2sin2

===

G. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

a.a.a.a. Grafik Fungsi Sin x Grafik Fungsi Sin x Grafik Fungsi Sin x Grafik Fungsi Sin x #(13)

1. Bentuk dasar Bentuk dasar xxfy sin)( == :

Dari grafik tersebut didapat : 1. Nilai maksimum 1, dan nilai minimum -1 2. Amplitudo (max – min) = ( 1 – (-1)) = 2 3. Periode = 360o = π2

2. Bentuk umum fungsi sin x adalah : , dengan a,b dan k adalah bilangan real serta a ≠ 0, k ≠ 0

Dari bentuk umum tersebut bisa didapat :

1. Maksimum a , dan minimum a−

2. Amplitudo = a2

3. Periode = k

o360

3. Cara menggambar grafik Langkah menggambar grafik sin adalah sebagai berikut :

90o 180o 270o 360o

-1

1

X

Y

Catatan :

• 1 gelombang = 1 gunung + 1 lembah

• Periode = besar sudut yang dibutuhkan untuk menembuhkan satu gelombang

• Frekuensi = banyaknya gelombang dalam 360o

xy sin=

Bila kkkk negatif kita rubah ke positif untuk mempermudah penyelesian. Ingat bentuk:

xx sin)sin( −=− !!!

)sin( bkxay ±=

kxy sin=

)sin( bkxy ±=

xy sin=

)sin( bkxay ±=

bentuk dasar , periodenya: π2

periodenya : kk

o3602 =π

Jika (+) geser kurva kekiri sebesar k

b

perbesar kurva maks menjadi |a| dan min -|a|

Jika (-) geser kurva kekanan sebesar k

b

Contoh :

1. Gambar perbsamaan kurya dari xy 3sin2= untuk 3600 ≤≤ x adalah... Pembahasan : Langkah I

xy sin=

Maksimum = 1 Minimum = - 1

Periode = o3602 =π Langkah II

xy 3sin=

Periode menjadi:

oo

1203

360

3

22 === ππk

Langkah III

xy 3sin2=

Maks dan min menjadi :

Maksimum = 22 ==a

Minimum = 22 −=−=− a

2. Grafik kurva dari persamaan )902sin(2 += xy untuk 3600 ≤≤ x adalah..... Pembahasan : Langkah II

xy 2sin=


Periode = oo

1802

360

2

2 ==π

Y

90o 180o 270o 360o

-1

1

X

xy sin=

90o

180o 270o

360o

-1

1

X 120o 60o 240o

150o 300o

30o 210o 330o

Y

90o

180o 270o

360o

-1

1

X 120o 60o 240o

150o 300o

30o 210o 330o

2

-2

Y

90o 180o 270o 360o

-1

1

X

Y Langka I kita:lewati (dianggap sudah paham)

xy 2sin=

xy 3sin=

xy 3sin2=

Langkah III )902sin( += xy

Grafik digeser ke kiri sebesar:

oo

452

90 ==k

b

Langkah IV

)902sin(2 += xy

Maks dan min menjadi

Maksimum = 22 ==a


b.b.b.b. rafik Fungsi Cos xrafik Fungsi Cos xrafik Fungsi Cos xrafik Fungsi Cos x #(14)

1. Bentuk Dasar Bentuk dasar xxfy cos)( == :

Dari grafik tersebut didapat : 1. Nilai maksimum 1, dan nilai minimum -1 2. Amplitudo (max – min) = ( 1 – (-1)) = 2 3. Periode = 360o = π2

2. Bentuk umum fungsi cos x adalah : dengan a,b dan k adalah bilangan real serta a ≠ 0, k ≠0 Dari bentuk umum tersebut bisa didapat :

1. Maksimum a , dan minimum a−

2. Amplitudo = a2

3. Periode = k

o360

90o 180o 270o 360o

-1

1

X

Y xy cos=

90o 180o 270o 360o

-1

1

X

Y

90o 180o 270o 360o

-1

1

X

Y

-2

2


xx cos)cos( =− !!!

)902sin( += xy

)902sin(2 += xy

)cos( bkxay ±=

3. Cara menggambar grafik Langkah menggambar grafik cos adalah sebagai berikut :

Contoh : 1. Diberikan persamaan xy 3cos2= , maka bentuk grafik untuk

3600 ≤≤ x adalah.... Pembahasan : Langkah I

xy cos=


Periode = o3602 =π Langkah II

xy 3cos=

Periode menjadi :

oo

1203

360

3

22 === ππk

Langkah III xy 3cos2=


Maksimum = 22 =−=a


Y

X

xy cos=

90o 180o 270o 360o

-1

1

Y

Y

90o

180o 270o

360o

-1

1

X 60o

30o 120o

2

-2

xy 3cos2=

150o 210o 240o 300o

330o

90o

-1

1

X 60o

30o

xy 3cos=

180o 270o

360o 120o 150o 210o

240o 300o

330o

kxy cos=

)cos( bkxy ±=

xy cos=

)cos( bkxay ±=

bentuk dasar , periodenya: π2

periodenya : kk

o3602 =π


b

perbesar kurva maks menjadi maks |a| dan min -|a|


b

2. Bentuk grafik dari persamaan )902cos(3 −= xy untuk 3600 ≤≤ x adalah.... Pembahsaan : Langkah II

xy 2cos=

Periode menjadi :

oo

1802

360

2

22 === ππk

Langkah III )902cos( −= xy

Grafik digeser ke kanan sebesar:

oo

452

90 ==k

b

Langkah IV )902cos(3 −= xy


Maksimum = 33 ==a


xy 2cos=

315o

180o 270o 360o

-1

1

Y

45o 135o 215o

90o

X

X

)902cos( −= xy

315o

180o 270o 360o

-1

1

Y

45o 135o 215o

90o

)902cos(3 −= xy

315o

180o 270o 360o

-1

1

Y

45o 135o 215o

90o

-2

-3

2

3

X

c.c.c.c. Grafik Fungsi Tan xGrafik Fungsi Tan xGrafik Fungsi Tan xGrafik Fungsi Tan x #(15)

1. Bentuk dasar Bentuk dasar xxfy tan)( == :

Dari grafik tersebut didapat : 1. Nilai maksimum ~, dan nilai minimum - ~ 2. Amplitudo (max – min) = ( ~ – (- ~) = ~ 3. Periode = 180o = π

2. Bentuk umum fungsi tan x

dengan a,b dan k adalah bilangan real serta a ≠ 0, k ≠0 Dari bentuk umum tersebut bisa didapat : 1. Maksimum selalu ~, dan minimum - ~ 2. Amplitudo selalu ~

3. Periode = k

o180

3. Cara menggambar grafik

Langkah menggambar grafik cos adalah sebagai berikut :


xx tan)tan( −=− !!!

)tan( bkxay ±=

kxy tan=

)tan( bkxy ±=

xy tan=

)cos( bkxay ±=

bentuk dasar , periodenya: π

periodenya : kk

o180=π


b

perbesar kurva sebesar/diperkecil a kali setiap nilai x nya.


b

3

-

3

90o

1

270o 360o 45o 60o

120o 135o

180o

-1

X

Y

Contoh :

1. Untuk 3600 ≤≤ x , maka entuk grafik dari xy 2tan=

adalah.... Pembahasan : Langkah I

xy tan=

Maksimum = ~ Minimum = - ~

Periode = o180=π Langkah II

xy 2tan=

Periode menjadi :

oo

902

180

2=== ππ

k

2. Gambar grafik dari )90tan(2 += xy dengan 3600 ≤≤ x

Pembahsan : Langkah I

xy tan=

Maksimum = ~ Minimum = - ~

Periode = o180=π

Langkah II )90tan( += xy

Periode tetap = o180=π Grafik digeser kekiri sebesar :

oo

901

90 ==k

b

Langkah III

)90tan(2 += xy Setiap nilai y dikali 2 dari sebelumnya untuk setiap nilai x nya.

90o

1

270o 360o 45o 60o

120o 135o

180o

-1

X

Y

- 3

3

Y

90o

1

270o 360o 45o 60o

120o 135o

180o

-1

X

- 3

3

X

Y

1

270o 360o

45o

90o

135o

180o

-1

- 3

3

225o 225o

22,5

o

30o

90o

2

270o 360o 45o

180o

-2

X

Y

-2 3

32

30o 135o 150o

-90o 90o

1

270o 360o 45o

180o

-1

X

Y

- 3

3

30o 150o 135o

H. RUMUS – RUMUS TRIGONOMETRI

a.a.a.a. Rumus Jumlah dan Selisih SudutRumus Jumlah dan Selisih SudutRumus Jumlah dan Selisih SudutRumus Jumlah dan Selisih Sudut #(16)

Contoh :

1. Berapakah nilai dari ....15sin =o Pembahasan :

)3045sin(15sin −=o

30sin45cos30cos45sin −=

2

12

2

13

2

12

2

1 ⋅−⋅=

24

16

4

1 −=

)26(4

1 −=

2. Nilai o105cos adalah... Pembahasan :

)4560cos(105cos +=o

45sin60sin45cos60cos −=

= 22

13

2

12

2

1

2

1 ⋅−⋅

64

12

4

1 −=

)62(4

1 −=

3. Jika diketahui 2

1tan =x dan

5

3sin =y , maka nilai ....)tan( =− yx

1. BABABA sincoscossin)sin( +=+

2. BABABA sincoscossin)sin( −=−

3. BABABA sinsincoscos)cos( −=+

4. BABABA sinsincoscos)cos( +=−

5. BA

BABA

tantan1

tantan)tan(

−+=+

6. BA

BABA

tantan1

tantan)tan(

+−=−

Pembahasan :

2

1tan =x dan

)(

)(

5

3sin

miring

depany ==

yx

yxyx

tantan1

tantan)tan(

+−=−

11

2

11

8

4

1

8

114

1

8

3

8

84

3

4

2

4

3

2

11

4

3

2

1

−=×−=−

=+

−=

⋅+

−=

b.b.b.b. Rumus Sudut RangkapRumus Sudut RangkapRumus Sudut RangkapRumus Sudut Rangkap #(17)

Rumus – rumus sudut rangkap ini didapat dari penurunan rumus jumlah sudut sebelumnya, maka didapat rumus sudut rangkap sebagai berikut :

c.c.c.c. Rumus Rumus Rumus Rumus Perkalian Sinus dan KosinusPerkalian Sinus dan KosinusPerkalian Sinus dan KosinusPerkalian Sinus dan Kosinus #(18)

d.d.d.d. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinusdan KosinusRumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinusdan KosinusRumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinusdan KosinusRumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinusdan Kosinus #(19)

1. AAA cossin22sin =

2. AAA 22 sincos2cos −=

1cos2 2 −= A

A2sin21−=

3. A

AA

2tan1

tan22tan

−=

4. AAA 2sin4sin33sin −=

5. AA cos3cos43cos 2 −=

1. )sin()sin(cossin2 BABABA −++=

2. )sin()sin(sincos2 BABABA −−+=

3. )cos()cos(coscos2 BABABA −++=

4. )cos()cos(sinsin2 BABABA −−+=−

1. )(2

1cos)(

2

1sin2sinsin BABABA −+=+

2. )(2

1sin)(

2

1cos2sinsin BABABA −+=−

3. )(2

1cos)(

2

1cos2coscos BABABA −+=+

4. )(2

1sin)(

2

1sin2coscos BABABA −+−=−

y 3 5

4

4

3tan =y


1. Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segienam tersebut

adalah….

A. 3432 cm2

B. 432 cm2

C. 3216 cm2

D. 2216 cm2

E. 216 cm2

UN MAT IPA 2012 (A35-26)

2. Jika 3

π=+ BA dan 8

5cos.cos =BA , maka =− )cos( BA ….

A. 4

1

B. 2

1

C. 4

3

D. 1

E. 4

5

UN MAT IPA 2012 (A35-27)

3. Himpunan penyelesaian persamaan cos2x-3cosx+2=0 untuk π20 ≤≤ x

adalah…

A.

πππ

2,2

3,

2,0

B.

πππ

2,3

5,

3,0

C.

πππ

2,2

3,

3,0

D.

πππ

2

3,,

2,0

E.

πππ

2,,2

,0

UN MAT IPA 2012 (A35-28)

4. Nilai dari sin 75o – sin 165o adalah…

A. 24

1

B. 34

1

C. 64

1

D. 22

1

E. 62

1

UN MAT IPA 2012 (A35-29)

5. Himpunan penyelesaian persamaan ,0cos2cos =+ xx 00 1800 ≤≤ x

adalah….

A. { }00 120,45

B. { }00 135,45

C. { }00 135,60

D. { }00 120,60

E. { }00 180,60

UN MAT IPA 2011 (D10-08)

6. Dalam suatu lingkaran yang berjari-jari 8 cm, dibuat segi-8 beraturan. Panjang sisi segi-8 tersebut adalah…

A. 364128− cm

B. 264128 − cm

C. 216128− cm

D. 216128+ cm

E. 316128+ cm

UN MAT IPA 2011 (D10-09)

7. Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang AB = 4 cm, BC = 6 cm,

AC = 72 cm, dan CF = 8cm. Volume prisma tersebut adalah…

A. 396 cm3

B. 296 cm3

C. 96cm3

D. 348 cm3

E. 248 cm3 UN MAT IPA 2011 (D10-22)

8. Diketahui 3

)(π=+ BA dan

4

1sin.sin =BA . Nilai dari ...)cos( =− BA

A. -1

B. 2

1−

C. 2

1

D. 4

3

E. 1 UN MAT IPA 2011 (D10-27)

9. Nilai ...100sin140sin

100cos140cos00

00

=−−

A. 3−

B. 32

1−

C. 33

1−

D. 33

1

E. 3 UN MAT IPA 2011 (D10-32)

10. Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah ... A. 192 :%� B. 172 :%� C. 162 :%� D. 148 :%� E. 144 :%� UN MAT IPA 2010 (D10-23)

11. Diberikan Prisma tegak lurus segitiga ABC.DEF dengan panjang rusuk AB = 6

cm, BC = 3√7, dan AC = 3 cm. Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah ..

A. 55 √2:%

B. 60 √2:%

C. 75 √3:%

D. 90 √3:%

E. 120 √3:% UN MAT IPA 2010 (D10-24)

12. Himpunan penyelesaian persamaan 2 :;<�� − 3 cos� + 1 = 0 untuk 0 < � < 2@ adalah ...

A. AB� ,�B� C

B. AB� ,��B� C

C. AB ,�B C

D. AB ,�B C

E. A�B , �B C UN MAT IPA 2010 (D10-25)

13. Hasil dari DEF7�G�∝8I�DEF7�G�∝8IJKD7 G�∝8I�JKD7 G�∝8I = ...

A. −√3

B. − � √3

C. � √3

D. 1

E. √3 UN MAT IPA 2010 (D10-26)

14. Diketahui (A+B) =B dan sin A sin B =

��. Nilai dari cos (A - B) = ...

A. -1

B. − ��

C. ��

D. �

E. 1 UN MAT IPA 2010 (D10-27)

15. Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah ... A. 192:%� B. 172:%� C. 162:%� D. 148:%� E. 144:%� UN MAT IPA 2009 (D10-06)

D

A

B

C

EE F

16. Diketahui prisma segitiga tegak ABC. DEF. Panjang rusuk-rusuk alas AB = 5 cm, BC = 7 cm dan AC = 8 cm. Panjang rusuk tegak 10 cm. Volume prisma tersebut adalah ... A. 100:% B. 100√3:% C. 175:% D. 200:% E. 200√12:% UN MAT IPA 2009 (D10-07)

17. Hinpunan penyelesaian persamaan <MN�2� − 2sin � cos � − 2 = 0, untuk 0G ≤ � ≤ 360G adalah ... A. {45G, 135G} B. {135G, 180G} C. {45G, 255G} D. {135G, 225G} E. {135G, 315G} UN MAT IPA 2009 (D10-10)

18. diketahui sin' = ��√13, ' sudut lancip. Nilai cos 2' = ⋯

A. -1

B. − ��

C. − ��

D. − ��

E. 1 UN MAT IPA 2009 (D10-12)

19. Dalam suatu segitiga ABC diketahui cos ∠R = � dan cos∠S = �

� . Nilai

sin∠T=...

A. ��

B. ��

C. − ��

D. − ��

E. − ��

UN MAT IPA 2009 (D10-23)

20. Diketahui segitiga MAB dengan AB = 300 cm, sudut MAB = 600 dan ABM = 750. Maka AM=..

A. cm)31(150 +

B. cm)32(150 +

C. cm)33(150 +

D. cm)62(150 +

E. cm)63(150 +

UN MAT IPA 2008 (D10-27)

21. Jika 1tan =α dan 3

1tan =β dengan α dan β sudut lancip, maka

...)sin( =− βα

A. 53

2

B. 551

C. 2

1

D. 5

2

E. 5

1

UN MAT IPA 2008 (D10-28)

22. Nilai dari 00

00

40sin50sin

40cos50cos

++

adalah…

A. 1

B. 22

1

C. 0

D. 32

1−

E. -1 UN MAT IPA 2008 (D10-29)

23. Himpunan penyelesain persamaan : 3600,04sin72cos ≤≤=−+ xxx oo

adalah… A. {240,300} B. {210,330} C. {120,240} D. {60,120} E. {30,150} UN MAT IPA 2008 (D10-30)

24. Diketahui A dan B adalah titik-titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari

C dengan sudut ACB=450. Jika jarak CB=p meter dan CA=2p 2 meter, maka panjang terowongan itu adalah…

A. 5p meter

B. 17p meter

C. 23 meter D. 4p meter E. 5p meter UN MAT IPA 2007 (D9-20)

25. Nilai dari ...160cos80cos40cos 000 =++

A. 22

1−

B. 2

1−

C. 0

D. 2

1

E. 22

1

UN MAT IPA 2007 (D9-21)

26. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan arah 0440 sejauh 50 km. Kemudian berlayar lagi dengan arah 1040 sejauh 40 km ke pelabuhan C. Jarak pelabuhan A ke C adalah…

A. 9510 km

B. 9110 km

C. 8510 km

D. 7110 km

E. 6110 km UN MAT IPA 2006 (D9-05)

27. Nilai ...15cos105sin =+ oo

A. )26(2

1 −−

B. )23(2

1 −

C. )26(2

1 −

D. )23(2

1 +

E. )26(2

1 +

UN MAT IPA 2006 (D9-10)

28. Keliling segitiga ABC pada gambar adalah 8cm. Panjang sisi AB=…

A. cm24

B. cm)244( −

C. cm)224( −

D. cm)228( −

E. cm)248( −

UN MAT IPA 2005 (D10-01)

29. Sebuah kapal berlayar ke arah timur sejauh 30 mil. Kemudian kapal melanjutkan perjalanan dengan arah 0300 sejauh 60 mil. Jarak kapal terhadap posisi saat kapal berangkat adalah…

A. mil3710

B. mil730

C. mil22530 +

D. mil32530 +

E. mil32530 −

UN MAT IPA 2005 (D10-04)

30. Nilai dari ...165tan =o

A. 31−

B. 31+−

C. 32+−

D. 32 −

E. 32 + UN MAT IPA 2005 (D10-05)

31. Nilai x yang memenuhi persamaan 031cossin22

cos32 =−−− oooxxx untuk

3600 ≤≤ x adalah… A. 45,105,225,285

A B

C

B. 45,135,225,315 C. 15,105,195,285 D. 15,135,195,315 E. 15,225,295,315 UN MAT IPA 2005 (D10-11)

32. ( )( )

...sincos

sincos2

2

=−+

xx

xx

A. x2cos1

1

−

B. x2sin1

1

−

C. x

x

2cos1

2cos1

−+

D. x

x

sin21

sin21

−+

E. x

x

2sin1

2sin1

−+

SNMPTN MAT IPA 2012 (831-04)

33. Nilai cos x – sin x > 0, jika...

A. π/7 < x < 5π/4

B. π/6 < x < 3π/2

C. π/5 < x < 7π/5

D. π/5 < x < 8π/5

E. 7π/5 < x < 8π/5


34. Diberikan persamaan a

ax

5,02

5,1cos

−−= . Banyak bilangan bulat a sehingga

persamaan tersebut mempunyai penyelesaian adalah...

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 6


35. Nilai )0

60(2

cos)0

50(2

cos)0

40(2

cos)0

30(2

cos +++ adalah…

A. 2

B. 2

3

C. 1

D. 2

1

E. 0 SNMPTN MAT DAS 2011 (XX-08)

36. ...40sin35cos40cos35sin 0000 =−

A. 05cos

B. 05sin

C. 095cos

D. 075cos

E. 075sin SNMPTN MAT IPA 2011 (XX-04)

37. Jika 0<x<π dan x memenuhi 2sinsin2 =+ xx , maka xcos adalah… A. 1

B. 2

3

C. 2

1

D. 0 E. -1 SNMPTN MAT IPA 2011 (XX-07)

38. Jika π20 ≤≤ x dan π20 ≤≤ y memenuhi persamaan xyyx cos.sin)sin( =+

maka nilai ...sin.cos =xy

A. -1

B. – ½

C. 0

D. ½

E. 1


39. Jika xx

F tansin4

62

=

+, ππ 2≤≤ x , maka F(3)=..

A. 0 B. 1 C. 2/π D. π

E. π2 SNMPTN MAT IPA 2009 (XX-12)

40. Jika 2/1cossin =+ θθ , maka ...cossin 33 =+ θθ A. 1/2 B. 3/4 C. 9/16 D. 5/8 E. 11/16 SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-08)

41. Jika BC=16, AC=10 dan luas 340=∆ABC , maka panjang AB=…

A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 E. 15 SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-09)

42. Untuk 120 ≤≤ x maka nilai x yang memenuhi pertidak samaan 21

6cos ≥xπ

adalah… A. 30 ≤≤ x atau 96 ≤≤ x

B. 30 ≤≤ x atau 126 ≤≤ x

C. 42 ≤≤ x atau 108 ≤≤ x

D. 31 ≤≤ x atau 119 ≤≤ x

E. 20 ≤≤ x atau 1210 ≤≤ x SNMPTN MAT IPA 2008 (XX-07)

43. Jika 31

cos =a untuk ππ2

23 << a , dan

3

2sin =b untuk ππ << a

2, maka

...)sin( =

++tgbtga

ba

A. 791−

B. 791

C. 341−

D. 341

E. 261


44. Diketahui segitiga ABC denga AB=1 cm, BC=2 cm, dan AC= k cm. Jikaα

adalah sudut ACB, maka nilai-nilai k yang memenuhi 87

cos <α adalah…

A. 223 << k

B. 223 << k atau 0<k

C. 121 << k

D. 121 << k atau 0<k

E. 23

0 << k


45. Dalam ABC∆ ,jika D pada AB sehingga oo ABCCABaBCABCD 45,60,, =∠=∠=⊥ maka AD=….

A. a26

1

B. a33

1

C. a23

1

D. a63

1

E. a66

1


46. Jumlah semua sudut παα2

10, ≤≤ , yang memenuhi αα 2cos3sin =

adalah…

A. π5

3

B. π2

11

C. π5

42

D. π2

14

E. π2

16


47. Jika 80 ≤≤ x , maka nilai-nilai x yang memenuhi pertaksamaan

02

sin.4

sin >xx ππadalah…

A. 42 << x atau 64 << x

B. 20 << x atau 86 << x

C. 31 << x atau 64 << x

D. 40 << x atau 65 << x

E. 40 << x atau 64 << x SPMB MAT IPA 2007 (XX-05)

48. Diketahui 2

0π≤≤ a dan

20

π≤≤ b . Jika 5

3sinsin =− ba dan

5

4coscos =+ ba , maka ...)sin( =+ ba

A. 2

3

B. 4

5

C. 1

D. 5

1

E. 32

1


49. Jika sudut lancip α memenuhi 33

1sin =α , maka

...cos32

1tan =+

− ααπ

A. 323 −

B. 323 +

C. 26 +

D. 26 −

E. 23 + SPMB MAT DAS 2006 (XX -08)

50. Jika 3

2tan −=x , maka ...

sin3cos2

cos6sin5 =−+

xx

xx

A. 6

11−

B. 3

1−

C. 1

D. 3

2

E. 2

1


51. Diketahui x dan y sudut lacip dan 6

π=− yx . Jika yx tan3tan = , maka

...=+ yx

A. 3

π

B. 2

π

C. 6

π

D. 3

2π

E. π SNMPTN MAT IPA 2006 (XX-09)

LOGIKA MATEMATIKA

A. KALIMAT #(1)

Dalam logika matematika kita akan banyak bicara tentang kalimat, sedangkan kalimat dalam logika ada beberapa macam yaitu kalimat terbuka, kalimat tertutup (pernyataan) dan bukan pernyataan.

aaaa. . . . Kalimat TerbukaKalimat TerbukaKalimat TerbukaKalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum bisa diketahui nilai benar atau salahnya. Kalimat terbuka juga biasanya masih mengandung variabel. Contoh : 1. x adalah bilangan prima

keterangan : kalimat ini belum bisa ditentukan nilai benar atau salahnya tergantung nilai x

2. x + 2 = 5 keterangan : kalimat ini juga belum diketahui benar atau salahnya. Jika x kita ganti dengan 3 maka kalimat ini menjadi benar, tetapi kalo kita ganti kita ganti dengan angka yang lain jadi salah.

bbbb. . . . Kalimat Kalimat Kalimat Kalimat Tertutup (pernyataan)Tertutup (pernyataan)Tertutup (pernyataan)Tertutup (pernyataan)

Kalimat tertutup adalah kalimat yang sudah bisa ditentukan nilai benar atau salahnya. Contoh : 1. Jakarta adalah ibu kota Indonesia.

keterangan : Ini adalah pernyataan dan bernilai benar, karena ini adalah fakta yang ada.

2. Setiap segi tiga siku – siku maka pati segi tiga tersebut sama kaki. keterangan : Ini adalah pernyataan dan bernilai salah, karena segi tiga siku-siku belum tentu sama kaki.

3. Jika x adalah bilangan cacah maka x2 ≥ 0 keterangan : Ini adalah pernyataan yang bernilai benar, karena bilangan cacah dimulai dari 0, maka hasil kuadratanya pasti akan lebih besar atau sama dengan 0.

c. c. c. c. Kalimat Kalimat Kalimat Kalimat Bukan pernyataanBukan pernyataanBukan pernyataanBukan pernyataan Kalimta bukan pernyataan adalah kalimat yang tidak bisa ditentukan nilai benar/salahnya atau mengandung pengertian relatif

Contoh : 1. Kota jakarta jauh

keterangan : kalimat ini adalah relatif, karena jauh atau dekat adalah hal yang relatif.

2. Apakah kamu suka makan nasi ? keterangan : kalimat ini mengandung tanya tanya, jadi tidak bisa diketahui benar/salah nya.

B. NEGASI / INGKARAN / LAWAN #(2)

Negasi dari suatu pernyataan adalah kebalikan dari pernyataan tersebut. Jika suatu pernyataan bernilai benar maka negasi dari pernyataan tersebut pernilai salah. Jika suatu kalimat dilambangkan p maka negasinya ditulis ~p.

p ~p ~(~p) = p

B S B

S B S

Contoh : 1. p = 3 bilangan ganjil

~p = 3 bukan bilangan ganjil 2. ~q = x bukan bilangan cacah

~(~q) = q = x bilangan cacah 3. r = x > 3

~r = x ≤ 3

C. PERNYATAAN BERKUANTOR #(3)

Kalimat berkuantor adalah kalimat mengandung kuantitas atau jumlah, seperti semua, seluruh, setiap, beberapa dan sebagainya. Ada dua jenis kuantor :

1. Kuantor universal, dilambangkan ∀ dibaca semua, seluruh, setiap atau tanpa kecuali.

)()( xPx∀ dibaca semua nilai x mempunyai sifat x

Contoh : 1. Semua siswa rajin belajar 2. Setiap ibu rumah tangga rajin memasak

2. Kuantor eksistensial, dilambangkan ∃ dibaca beberapa, ada, terdapat, sekurang-kurangnya.

)()( xPx∀ dibaca semua nilai x mempunyai sifat x

Contoh : 1. ada siswa rajin belajar 2. beberapa ibu rumah tangga rajin memasak

Negasi Kalimat BerkuantorNegasi Kalimat BerkuantorNegasi Kalimat BerkuantorNegasi Kalimat Berkuantor

1. ( ) )(~)()()(~ xPxxPx ∃=∀

Contoh : p = semua pelajar berjuang meraih prestasi ~p = ada pelajar tidak berjuang meraih prestasi

2. ( ) )(~)()()(~ xPxxPx ∀=∃

Contoh : p = beberapa kambing menyukai rumput ~p = setiap kambing tidak menyukai rumput

D. PERNYATAAN MAJEMUK #(4)

Pernyataan majemuk adalah suatu pernyataan yang dibentuk oleh penggabungan beberapa kalimat tunggal dengan menggunakan kata penghubung. Kata penghubung dalam matematika adalah disjungsi (atau), disjungsi (dan), implikasi (maka) dan biimplikasi (jika dan hanya jika).

Istilah Lambang Kata penghubung

Disjungsi ∨ ..... atau .....

konjungsi ∧ ..... dan ....

Implikasi ⇒ jika .... maka ....

biimplikasi ⇔ .... jika dan hanya jika ....

a.a.a.a. DisjungsiDisjungsiDisjungsiDisjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang merupakan gabungan dua pernyataan atau lebih dengan kata penhubung “atau” dan disimbolkan “∨ ”. Pernyataan “ qp ∨ ” dibaca “p atau q” .

Tabel kebenaran qp ∨ :

P q qqqqpppp∨

B B B

B S B

S B B

S S S

Catatan : disjungsi akan bernilai salah jika kedua pernyataannya bernilai salah, atau disjungsi akan bernilai benar jika salah satunya pernyataannya bernilai benar. Contoh : 1. Nilai kebenaran dari kalimat “2 x 7 = 10 atau 7 adalah bilangan prima “

adalah.... Pembahasan : “2 x 7 = 10 atau 7 adalah bilangan prima “

Jadi S ∨B = B, maka nilai kebenaranya adalah B (benar)

b.b.b.b. KonjungsiKonjungsiKonjungsiKonjungsi Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang merupakan gabungan dari dua pernyataan atau lebih dengankata penghubung “dan” dan disimbolkan dengan “ ∧ ”. Pernyataan “ qp ∧ ” dibaca “p dan q”.

Tabel kebenaran qp ∧ :

P Q qp ∧

B B B

B S S

S B S

S S S

Catatan : konjungsi akan bernilai benar jika kedua pernyataannya bernilai benar, atau konjungsi akan bernilai salah jika minimal satunya pernyataannya bernilai salah. Contoh : 1. Nilai kebenaran dai pernyataan “ 23 > 2x3 dan jumlah sudut dalam

segitia adalah 180o “. Pembahasan : “ 23 < 2x3 dan jumlah sudut dalam segitia adalah 180o “.

Jadi S ∧ B = S, maka nilai kebenaranya adalah S (salah)

c.c.c.c. ImplikasiImplikasiImplikasiImplikasi

Implikasi adalah pernyataan majemuk yang merupakan gabungan dua kalimat atau lebih dengan kata penghubung “jika....maka....” disimbolkan “⇒ ” Pernyataan “p⇒ q” dibaja “ jika p maka q “

S B

S B

p = disebut antisenden dan q = disebut konsekuen Tabel kebenaran qp⇒ :

P q p⇒ q

B B B

B S S

S B B

S S B

Catatan : implikasi akan bernilai salah jika antisenden benar dan konsekuennya salah. Contoh : 1. Nilai kebenaran dari “ jika 25 = 10 maka 55 = 25 “ adalah....

Pembahsan : “ jika 25 = 10 maka 55 = 25 “ Jadi S ⇒S = B, maka nilai kebenarannya adalah B (benar)

d.d.d.d. BiimplikasiBiimplikasiBiimplikasiBiimplikasi

Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang merupakan gabungan dari dua pernyataan dengan kata penghubung “ .... jika dan hanya jika ......” disimbolkan “ .... ⇔ ... “ . Pernyataan “ p ⇔ q “ dibaca “ p jika dan hanya jika q “ . Biimpikasi ini sesungguhnya penggabungan dua implikasi , maka :

p)(qq)(pqp ⇒∧⇒≡⇔

Tabel kebenaran p ⇔ q :

p q p ⇔ q

B B B

B S S

S B S

S S B

Catatan : Biimplikasi akan bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai sama ( B⇔ B atau S⇔ S ) Contoh : 1. Nilai kebenaran dari “ 2 adalah satu-satunya bilangan prima yang

bernilai genap jika dan hanya jika 23 = 6 “ adalah...

S S

Pembahasan : “ 2 adalah satu-satunya bila prima yang bernilai genap jika dan hanya jika 23 = 6 “

Jadi B ⇔ S = S, maka nilai kebenarannya adalah S (salah)

E. OPERASI PERNYATAAN MAJEMUK #(5)

a.a.a.a. KomutatifKomutatifKomutatifKomutatif

pqqp ∧≡∧ pqqp ∨≡∨

b.b.b.b. AsosiatifAsosiatifAsosiatifAsosiatif

r)(qprq)(p ∧∧≡∧∧

r)(qprq)(p ∨∨≡∨∨

c.c.c.c. DistributifDistributifDistributifDistributif

r)(pq)pr)(qp ∨∧∨≡∧∨ (

r)(pq)pr)(qp ∧∨∧≡∨∧ (

d.d.d.d. AbsorbsiAbsorbsiAbsorbsiAbsorbsi pp)(qp ≡∧∨

pp)(qp ≡∨∧

F. EKUIVALANSI #(6)

Pernyataan ekuivalen adalah duan pernyataan atau lebih yang mempunyai nilai kebenaran sama. Ada dua pernyataan ekuivalen yang paling sering digunakan yaitu : a.a.a.a. p p p p ⇒ q q q q ≡ ~ p p p p ∨qqqq

Berikut adalah pembuktian kalau pernyataan qp⇒ ekuivalen dengan

qp~ ∨ :

Proses yang perlu dilakukan dalam merubah qp⇒ menjadi qp~ ∨

adalah 1. antisenden (p) berubah menjadi negasinya (~p), atau sebaliknya dari p

berubah menjadi ~p.

P q p q B B B B S S S B B S S B

p ~p q ~p q B S B B B S S S S B B B S B S B

⇒ ∨

B S

Bernilai kebenaran sama

2. impilkasi (⇒ ) berubah menjadi konjungsi (∨ ), atau sebaliknya dari ∨ berubah menjadi ⇒ ....

3. Konsekuen (q) tidak berubah. Contoh : 1. qpqp~ ∨≡⇒

2. qpqp~ ~~ ∨≡⇒

3. qpqp~ ~~ ⇒≡∨

b.b.b.b. pppp⇒ q q q q ≡ ~ q q q q ⇒ ~ pppp

Berikut adalah pembuktian kalau pernyataan qp⇒ ekuivalen dengan

p~q~ ⇒ :

p q p⇒ q

B B B

B S S

S B B

S S B

Proses yang perlu dilakukan untuk merubah qp⇒ menjadi p~q~ ⇒

adalah :

1. tukarkan posisi antisenden(p) dengan konsekuen (q) 2. negasikan antesenden dan konsekuen setelah dipertukarkan Contoh : 1. pqqp~ ⇒≡⇒ ~

2. pqqp~ ⇒≡⇒~

3. q~ppq ⇒≡⇒~

G. INGKARAN / NEGASI KALIMAT MAJEMUK #(7)

a.a.a.a. Ingkaran DisjungsiIngkaran DisjungsiIngkaran DisjungsiIngkaran Disjungsi Pernyataan disjungsi ( ∨ ) bila diingkarkan menjadi ( ∧ )

Contoh : 1. q~pq)p(~~ ∧≡∨

2. qpq)p(~~ ∧≡∨ ~

p ~p q ~q ~q⇒ ~p

B S B S B

B S S B S

S B B S B

S B S B B

Bernilai kebenaran sama

q~p~q)(p~ ∧≡∨

b.b.b.b. Ingkaran KonjungsiIngkaran KonjungsiIngkaran KonjungsiIngkaran Konjungsi Pernyataan konjungsi ( ∧ ) bila diingkarkan menjadi ( ∨ )

Contoh : 1. q~pq)(p~ ∨≡∧ ~

2. qpq)(p~ ∧≡∧ ~~

c.c.c.c. Ingakaran ImplikasiIngakaran ImplikasiIngakaran ImplikasiIngakaran Implikasi Implikasi tidak bisa diingkarkan secara langsung, harus dirubah dulu menjadi bentuk disjungsi lebih dahulu baru bisa dilakukan proses ingkaran.

q)p(~~ q)(p~ ∨≡⇒

q~p∧≡

Jadi :

Contoh : 1. q~p~ q)p q)p(~~ ∧≡∨≡⇒ (~

2. qp~ q)p q)p(~~ ∧≡∨≡⇒ ~(~~

d.d.d.d. Ingkaran BiimplikasiIngkaran BiimplikasiIngkaran BiimplikasiIngkaran Biimplikasi

Proses ingkaran biimplikasi adalah sebagai berikut : ( )p)qq)(p~ q)(p~ ⇒∧⇒≡⇔ (

( )p)q(~q)p~ ∨∧∨≡ (~

p)~(qq)~(p ∧∨∧≡

Jadi :

Contoh :

1. ( ) ( ) p)(qq)~p(~p)~q(~q)p(~p)~q(q)p(~~ q)p(~~ ∧∨∧≡∨∧∨≡⇒∧⇒≡⇔

2. ( ) ( ) p)q(~q)p(~p)~q(q)~p(~p)~q(~q)~p(~~ q)~p(~~ ∧∨∧≡∨∧∨≡⇒∧⇒≡⇔

Ingat bentuk biimplikasi :

p)(qq)(pqp ⇒∧⇒≡⇔

Ingat ekuivalensi : qpqp ∨≡⇒ ~

Ingat ekuivalensi :

qpqp ∨≡⇒ ~

q~p~q)(p~ ∨≡∧

qp q)(p~ ~∧≡⇒

p)~(qq)~(p q)(p~ ∧∨∧≡⇔

H. TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI

Tautologi adalah kalimat majemuk yang selalu bernilai benar untuk seluruh kemungkinannya. Kontradiksi adalah kalimat majemuk yang selalu bernilai salah untuk seluruh kemungkinannya.

I. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI#(8)

Dari sebuah implikasi “ qp⇒ ” dapat dilakukan operasi konvers, invers dan

kontraposisi

P q ~p p ~q ( p ~q) p

B B S S B

B S B B B

S B S S B

S S B S B

P ~p q ~p q p (~ p q)

B S B S S

B S S S S

S B B B S

S B S S S

∧ ∧ ⇒

∧ ∧ ∧

qp⇒

pq⇒

qp~ ~⇒

p~q~ ⇒

Konvers Konvers Konvers Konvers

InversInversInversInvers

KontraposisiKontraposisiKontraposisiKontraposisi

Tukarkan posisi antisenden dan konsekuen

Negasikan antisenden dan konsekuenya

Tukarkan posisi antisenden dan konsekuen kemudian negasikan kedua ruas

( p ∧ ~q)⇒ p merupakan tautologitautologitautologitautologi karena nilai kebenaranya selalu benar

Contoh :

1. Invers dari pernyataan “ rq)(p ⇒∨ ” adalah....

Pembahasan :

rq)~p(~

rq)(p~ rq)(p

~

~

⇒∧≡⇒∨≡⇒∨

2. Kontraposisi dari kalimat “ jika saya optimis maka saya sukses “ adalah.....

Pembahasan : “ jika saya optimis maka saya sukses “

Jadi qp⇒ kontra posisinya adalah p~q~ ⇒ , kalau dit tulis dalam kalimat

menjadi :

“ jika saya tidak sukses maka saya tidak optimis “

J. PENARIKAN KESIMPULAN #(9)

Dalam matematika ada beberapa cara dalam menarik kesimpulan yaitu modus ponen, modus tollens, dan silogisme.

a.a.a.a. Modus PonensModus PonensModus PonensModus Ponens

Contoh : 1. Penarikan kesimpulan dari :

......

hujan hari

banjir Jakarta maka hujan hari jika

∴

Pembahasan : Misalkan : p = hari hujan, dan q = Jakarta banjir, maka :

q

p

qp

∴

⇒

Jadi kesimpulanya adalah q = Jakarta banjir

p q

kesimpulan .... q

2 premis ... p

1 premis ... qp

∴

⇒

2. Penarikan kesimpulan dari :

......

nasi makan tidak Rudi

lapar merasa masih Rudi maka nasi makan tidak Rudi Jika

∴

Pembahasan : Misalkan : ~p = Rudi tidak makan nasi, dan q = Rudi masih merasa lapar, maka :

q

p~

qp~

∴

⇒

Jadi kesimpulannya adalah q = “Rudi masih merasa lapar “

b.b.b.b. Modus TollensModus TollensModus TollensModus Tollens

Contoh :

1. Penarikan kesimpulan dari :

.......

selesai cepat tidak masalah

selesai cepat masalah maka positif berpikir Andi Jika

∴

Pembahasan : Misalkan p = Andi berpikir positif, dan q = masalah cepat selesai, maka :

p~

q~

qp

∴

⇒

Jadi kesimpulannya adalah ~p = “ Andi tidak berpikir positif ”

2. Hasil dari premis-premis berikut adalah:

........ ∴

sukses tidak saya

sukses akan saya makaopotimis sayaatau keras bekerja saya

Misalkan qp ∨ = saya bekerja keras atau saya potimis, dan r = saya

sukses

kesimpulan .... p~

2 premis .... q~

1 premis .... qp

∴

⇒

q)(p~

r~

rq)(p

∨∴

⇒∨

Jadi kesimpulananya q~p~q)(p~ ∧≡∨ = “saya tidak bekerja keras dan

saya tidak opitimis”.

c.c.c.c. SilogismeSilogismeSilogismeSilogisme

Contoh : 1. Hasil dari penarikan kesimpulan berikut adalah...

......

bahagia makin saya maka banyak makin rezeki jika

banyak makain saya rezeki maka bersedekah rajin saya jika

∴

Pembahasan : Misalkan p = saya rajin bersedekah, q = rezeki saya makin banyak, dan r = saya makin bahagia, maka :

rp

rq

qp

⇒∴

⇒

⇒

Jadi kesimpulanya qp⇒ = “jika saya rajin bersedekah maka saya

makin bahagia “

2. Diberikan 2 premis seperti berikut :

.....

rq

qp~

∴

⇒

∨

Maka kesimpulannya adalah... Pembahasan :

.....

rq

qp~

∴

⇒

∨

Maka bisa dirubah menjadi :

rp

rq

qp

⇒∴

⇒

⇒

Jadi kesimpulannya qp⇒

Ingat benutk ekuivalensi: qp~qp ∨≡⇒

kesimpulan .... rp

2 premis .... rq

1 premis .... qp

⇒∴

⇒

⇒

3. Dari ketiga premis berikut :

.....

r~ : 3 premis

q~r~ : 2 premis

qp~ : 1 premis

∴

⇒

∨

Kesimpulannya adalah.... Pembahasan :

.....

r~ : 3 premis

q~r~ : 2 premis

qp~ : 1 premis

∴

⇒

∨

Maka dirubah menjadi :

.....

r~

rq

qp

∴

⇒

⇒

Maka dirubah lagi menjadi :

p~

r~

rp

∴

⇒

Jadi kesimpulannya adalah ~ p

Ingat benutk ekuivalensi: qp~qp ∨≡⇒ , dan

q~r~rq ⇒≡⇒

Ini adalah bentuk silogisme :

rp

rq

qp

⇒∴

⇒

⇒


1. Ingkaran pernyataan “Pada hari Senin siswa SMAN memakai sepatu hitam

dan atribut lengkap” adalah…

A. Pada hari Senin siswa SMAN tidak memakai sepatu hitam atau tidak

memaki atribut lengkap

B. Selain hari Senin siswa SMAN memakai sepatu hitam atau atribut lengkap

C. Pada hari senin siswa SMAN sepatu hitam dan tidak memakai atribut

langkap

D. Pada hari Senin siswa SMAN tidak memakai sepatu hitam dan atribut

lengkap

E. Selain hari Senin siswa SMAN tidak memakai sepatu hitam dan memaki

atribut lengkap

UN MAT IPS 2012 (A35-01)

2. Diketahui p dan q suatu pernyataan. Pernyataan yang setara dengan

)~( qpp ∨⇒ adalah…

A. )(~~ qpp ∨⇒

B. )(~~ qpp ∧⇒

C. )~(~~ qpp ∨⇒

D. pqp ~)(~ ⇒∧

E. pqp ~)(~ ⇒∨

UN MAT IPS 2012 (A35-02)

3. Diketahui premis-premis :

Premis P1: Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun.

Premis P2: Jika permintaan barang turun, maka produksi barang turun.

Kesimpulan yang sah dari kedua premis tersebut adalah….

A. Jika harga barang naik, maka produksi barang turun.

B. Jika harga barang tidak naik, maka produksi barang tidak turun.

C. Jika produksi barang tidak turun, maka harga barang naik.

D. Harga barang tidak naik dan produksi barang turun.

E. Produksi barang tidak turun dan harga barang naik.

UN MAT IPS 2012 (A35-03)

4. Nilai kebenaran pernyataan majemuk qqp ~)(~ ∨⇒ pada tabel berikut

adalah… A. SBSB B. BBBS C. BSBB D. BBBB E. BBSS UN MAT IPS 2011 (XX-05)

5. Diketahui premis-premis : (1) Jika semua warga negara membayar pajak, maka banyak fasilitas

umum dapat dibangun. (2) Tidak banyak fasilitas umum dapat dibangun. Kesimpulan yang sah dari kedua premis di atas adalah… A. Semua warga negara tidak membayar pajak B. Ada warga negara tidak membayar pajak C. Semua warga negara membayar pajak D. Semua warga negara membayar pajak dan tidak banyak fasilitas umum

dapat dibangun E. Semua warga negara tidak membayar pajak atau banyak fasilitas umum

dapat dibangun UN MAT IPS 2011 (XX-07)

6. Ingkaran dari pernyataan: “18 habis dibagi 2 atau 9” adalah … A. 18 tidak habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 9 B. 18 tidak habis dibagi 2 dan 9 C. 18 tidak habis dibagi 2 dan habis dibagi 9 D. 2 dan 9 membagi habis 18 E. 18 tidak habis dibagi 2 atau 9 UN MAT IPS 2011 (XX-08)

7. Nilai kebenaran yang tepat untuk pernyataan ( ) pqp ~⇒∧ adalah...

A. SBSB

B. SSSB

C. SSBB

D. SSBB

E. BBBB


8. Negasi dari pernyataan “ Jika ulangan tidak jadi maka semua murid bersuka

ria “ adalah...

A. Ulangan tidak jadi dan semua murid tidak bersuka ria

B. Ulangan tidak jadi dan semua murid bersuka ria

p q qqp ~)(~ ∨⇒

B B … B S … S B … S S …

C. Ualngan tidak jadi dan ada murid tidak bersuka ria

D. Ulangan jadi dan semua murid bersuka ria

E. Ulangan jadi dan semua murid tidak bersuka ria


9. Diketahui beberapa premis berikut :

Premis 1 : Jika Rini naik kelas dan ranking satu maka ia berlibur ke Bali.

Premis 2 : Rini tidak berlibur di Bali.

A. Rini naik kelas dan tidak ranking satu

B. Rini naik kelas maupun rangking satu

C. Rini naik kelas atau tidak rangking satu

D. Rini tidak naik kelas atau tidak rangking satu

E. Rini tidak naik kelas tetapi ranking satu


10. Diketahui premis-premis berikut :

Premis I : Jika hari ini hujan maka saya tidak pergi.

Premis II : Jika saya tidak pergi maka saya nonton sepak bola.

Kesimpulan yang sah dari penarikan kedua premis tersebut adalah….

A. Jika hujan maka saya tidak jadi nonton sepak bola.

B. Jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola.

C. Hari hujan dan saya nonton sepak bola.

D. Saya tidak nonton sepak bola atau hari tidak hujan.

E. Hari tidak hujan, saya tidak pergi tetapi saya nonton sepak bola.

UN MAT IPA 2012 (A35-01)

11. Negasi dari pernyataan “ Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar

dengan rajin” adalah…

A. Ada ujian sekolah dan semua siswa tidak belajar dengan rajin.

B. Ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin.

C. Ada ujian sekolah dan ada siswa yang belajar dengan rajin.

D. Tidak ada ujian sekolah dan semua siswa belajar dengan rajin.

E. Tidak ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin.

UN MAT IPA 2012 (A35-02)

12. Diketahui premis-premis: (1) Jika hari hujan, maka ibu memakai payung.

(2) Ibu tidak memakai payung

Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah…

A. Hari tidak hujan B. Hari ujan C. Ibu memakai payung D. Hari hujan dan Ibu memakai payung E. Hari tidak hujan dan Ibu memakai payung UN MAT IPA 2011 (D10-10)

13. Diberikan premis-premis sebagai berikut: Premis I :Jika harga BBM naik,maka harga bahan pokok naik. Premis II :Jika harga bahan pokok naik maka semua orang tidak senang. Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah ... A. Harga BBM tidak naik. B. Jika harga bahan pokok naik, maka ada orang tidak senang. C. Harga bahan pokok naik atau ada orang tidak senang. D. Jika semua orang tidak senang, maka harga BBM naik. E. Harga BBM naik dan ada orang senang. UN MAT IPA 2010 (D10-01)

14. Perhatikan premis-premis berikut! i) Jika saya giat belajar maka saya bias meraih juara. ii) Jika saya bias meraih juara maka saya boleh ikut bertanding.

Ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas adalah...

A. Saya giat belajar dan dan saya tidak boleh ikut bertanding. B. Saya giat belajar atau saya tidak boleh iku bertanding. C. Saya giat belajar maka saya bisa meraih juara. D. Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding. E. Saya ikut bertanding maka saya giat belajar. UN MAT IPA 2009 (D10-01)

15. Ingkaran dari pernyataan “Berapa bilangan prima adalah bilangan genap “adalah…. A. Semua bilangan prima adalah bilangan genap B. Semua bilangan prima bukan bilangan genap C. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap D. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima E. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima UN MAT IPA 2008 (D10-01)

16. Diketahui premis-premis i) Jika Badu rajin belajar dan patuh pada orang tua, maka Ayah membelikan

bola basket. ii) Ayah tidak membelikan bola basket.

Kesimpulan yang sah adalah…. A. Badu rajin belajar dan Badu patuh pada orang tua B. Badu tidak rajin belajar dan Badu tidak patuh pada orang tua C. Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orang tua D. Badu tidak rajin belajar dan Badu patuh pada orang tua E. Badu rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orang tua UN MAT IPA 2008 (D10-02)

17. Diketahui pernyataan: i) Jika hari panas, maka Ani memakai topi ii) Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung iii) Ani tidak memakai payung Kesimpulan yang sah adalah….

A. Hari panas B. Hari tidak panas C. Ani memakai topi D. Hari panas dan Ani memakai topi E. Hari tidak panas dan Ani memakai topi UN MAT IPA 2007 (D9-17)

18. Dari argumentasi berikut : i) Jika ibu tidak pergi maka adik senang ii) Jika adik senang maka ia tersenyum Kesimpulan yang sah adalah…. A. Ibu tidak pergi atau tidak tersenyum B. Ibu pergi dan adik tidak terseyum C. Ibu pergi atau adik tidak tersenyum D. Ibu tidak pergi dan adik tersenyum E. Ibu pergi atau adik tersenyum UN MAT IPA 2006 (D10-04)

19. Diketahui premis-premis berikut : 1. Jika Budi rajin belajar maka ia menjadi pandai. 2. Jika Budi menjadi pandai maka ia lulus ujian. 3. Budik tidak lulus ujian Kesimpulan yang sah adalah…

A. Budi menjadi pandai B. Budi rajin belajar C. Budi lulus ujian D. Budi tidak pandai E. Budi tidak rajin belajar UN MAT IPA 2005 (D10-30)

20. Kontraposisi dari dalah…

A.

)(~)(~ qpqp ∨⇒⇒

)~()( qpqp ⇒⇒∧

B.

C.

D.

E.

UN 2005 IPA P2

21. Diketahui argumentasi :

I. II. III.

Argumentasi yang sah adalah….

A. I saja

B. II saja

C. III saja

D. I dan II saja

E. II dan III saja

UAN 2005 IPA P2

22. Diketahui premis-preimis berikut ini :

1. Jika Budi lulus ujian, maka Budi kuliah di perguruan tinggi

2. Jika Budi kuliah di perguruan tinggi, maka Budi jadi sarjana

3. Budi tidak jadi sarjana

Kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas adalah…

A. Budi kuliah di perguruan tinggi

B. Nilai Budi tidak baik

C. Budi tidak mempunyai biaya

D. Budi tidak lulus ujian

E. Budi bekerja di suatu perusahaan

UAN 2003

23. Penarikan kesimpulan dari premis-premis : kesimpulannya adalah…

)~()~( qpqp ⇒⇒⇒

)()~( qpqp ⇒⇒⇒

)~()~(~ qpqp ∧⇒⇒

)~(~)~( qpqp ∧⇒∧

q

p

qp

~

~

∴

⇒

rp

rq

qp

⇒∴∨

⇒

~

rq

rp

qp

⇒∴⇒

⇒

.....

~

∴

∨q

qp

A.

B.

C.

D.

E.

UAN 2003

24. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi berikut

adalah…

A.

B.

C.

D.

E.

UN 2002

25. Jika p~ adalah negasi dari p , maka kesimpulan dari pernyataan-

pernyataan: qp ~⇒ dan rq ~∨ adalah…

A. pr ∨

B. pr ∧

C. rp ~~ ∨

D. qr ~∨

E. pq⇒~


26. Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama dengan pernyataan :

“Jika bilangan ganjil sama dengan bilangan genap, maka 1+2 bilangan ganjil”

adalah….

A. “Bilangan ganjil sama dengan bilangan genap dan 1+2 bilangan genap”

B. “Jika 1+2 bilangan ganjil, maka bilangan ganjil sama dengan bilangan

genap”

C. “Jika bilangan ganjil sama dengan bilangan genap, maka 1+2 bilangan

genap”

p

p~

q

)(~ qp ∨

q~

.....

~

∴⇒

⇒

rq

qp

rp ∧rp ∨~

rp ~∧rp ∧~

rp ∨

D. “Bilangan ganjil sama dengan bilangan genap dan 1+2 bilangan ganjil”

E. “Jika bilangan ganjil tidak sama dengan bilangan genap maka 1+2

bilangan genap”


27. Diketahui tiga pernyataan sebagai berikut :

P: Jakarta ada di pulau Bali

Q: 2 adalah bilangan prima

R: Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil.

Pernyataan majemuk di bawah ini bernilai benar adalah….

A. RQP ∧∨ )(~

B. )(~)~(~ PQRQ ∨∧∨

C. )~()~( RQQP ∨∧∧

D. RP⇒~

E. )(~~ RQR ∧∧


28. Nilai x yang menyebabkan pernyataan “Jika 62 =+ xx maka 932 <+ xx ”

bernilai salah adalah…

A. -3

B. -2

C. 1

D. 2

E. 6

UMPTN 2001

29. Jika pernyataan p bernilai salah dan q bernilai benar, maka pernyataan

berikut yang bernilai salah adalah…

A. qp ∨

B. qp ⇒

C. qp ~~ ⇒

D. qp ∧~

E. qp ~~ ∨

UMPTN 1992

30. Nilai kebenaran dari qp ~∧ ekuivalen(setara) dengan nilai kebenaran dari :

A. qp ⇒

B. qp ~~ ⇒

C. pq ~⇒

D. qp ~⇒

E. )(~ qp ⇒

UMPTN 1990

DIMENSI TIGA

A. KUBUS #(1)

1. Diagolan bidang Cotoh diagonal bidang adalah AC, BG, FH dan seterusnya.

Panjang diagonal bidang = 2a 2. Diagonal ruang

Contoh diagonal ruang adalah AG, BH dan seterusnya. Panjang diagongal

ruang = 3a

B. KEDUDUKAN TITIK, GARIS DAN BIDANG #(2)

a.a.a.a. Kedudukan Titik Terhadap Garis Kedudukan Titik Terhadap Garis Kedudukan Titik Terhadap Garis Kedudukan Titik Terhadap Garis 1. Titik P terletak pada garis h jik garis h melalui titik P 2. Titik P diluar garis h jika garis h tidak melalui titik P

b.b.b.b. Kedudukan Titik Terhadap BidangKedudukan Titik Terhadap BidangKedudukan Titik Terhadap BidangKedudukan Titik Terhadap Bidang

1. Titik P di bidang α jika bidang α melalui titik P.

2. Titik P diluar bidang α jika bidang α tidak melaui titik P.

B A

C D

E F

G H

a

h P

h P

P α

P

α

c.c.c.c. Kedudukan Garis Terhadap GarisKedudukan Garis Terhadap GarisKedudukan Garis Terhadap GarisKedudukan Garis Terhadap Garis

1. Garis g dan h berhimpit jika semua titik pada garis g terletak pada garis h, dan sebaliknya.

2. Garis g dan h berpotongan jika memiliki satu titik potong.

3. Garis g dan h sejajar jika kedua garis tersebut tidak punya titik potong.

4. Garis g dan h bersilangan jika kedua garis tersebut tidak berpotongan, tidak sejajar dan tidak dalam bidang yang sama.

d.d.d.d. Kedudukan Garis Terhadap BidangKedudukan Garis Terhadap BidangKedudukan Garis Terhadap BidangKedudukan Garis Terhadap Bidang 1. Garis g terletak pada bidang α jika paling sedikit dua titik garis g terletak

pada bidanga α .

2. Garis g sejajar dengan bidang α jika terdapat garis pada bidang α yang sejajar dengan gaeris g.

g

h titik potong

g = h

g

h

α g

α

g

g

h α

β

3. Garis g menembus bidang α jika garis g tidak terletak pada bidang α dan tidak sejajar dengan bidang α. Atau garis g pasti mempunyai titik tembus terhadap bidang α.

e.e.e.e. Kedudukan Bidang Terhadap BidangKedudukan Bidang Terhadap BidangKedudukan Bidang Terhadap BidangKedudukan Bidang Terhadap Bidang

1. Bidang α dan β berhimpit jika kedua bidang tersebut punya daerah

persekutuan.

2. Bidang α dan β sejajar jika kedua bidan tersebut tidak mempunyai

titik/garis/bidang persekutuan.

3. Bidang α dan β berpotongan jika kedua bidang tersebut tidak sejajar.

α

g titik tembus

α

β

daerah persekutuan

β

α

h

g

α

β

A

B

AB adalah garis perpotongan

bidang α dan β

C. PROYEKSI#(3)

a.a.a.a. Proyeksi TitikProyeksi TitikProyeksi TitikProyeksi Titik 1. Proyeksi titik ke garis

Proyeksi titik P ke garis h adalah menarik garis tegak lurus dari titik P ke garis h.

2. Proyeksi titik ke bidang Proyeksi titik P ke bidang α adalah menarik garis tegak lurus dari titik P ke bidang α.

b.b.b.b. Proseksi GarisProseksi GarisProseksi GarisProseksi Garis 1. Proyeksi garis ke garis

Proyeksi dari garis AB ke garis CD tarik ujung-ujung garis AB ke garis CD dengan garis tegak lurus.

2. Proyeksi garis ke bidang Proyeksi dari garis AB ke bidang α adalah tarik ujung-ujung garis AB kebidang α dengan garis tegak lurus.

P

P’ h

Titik P’ hasil proyeksi titik P

A

B

C D A’ B’

α

A

B

A’ B’

garis AB berada diluar bidang α

proyeksi AB adalah A’B’

proyeksi AB adalah A’B’

α

P

P’

Titik P’ hasil proyeksi titik P

D. JARAK TITIK, GARIS DAN BIDANG DALAM D3 #(4)

a.a.a.a. Jarak Antar Dua TitikJarak Antar Dua TitikJarak Antar Dua TitikJarak Antar Dua Titik

b.b.b.b. Jarak Titik ke GarisJarak Titik ke GarisJarak Titik ke GarisJarak Titik ke Garis

Jarak titik P ke garis h sama dengan jarak titik P ke hasil proyeksinya(P’) yaitu PP’.

α A

B

B’

α A

B

garis AB menembus bidang α ,

jadi titik A=A’

garis AB tegak lurus bidang α. jadi proyeksi AB pada α adalah garis AB itu sendiri.

proyeksi AB adalah AB’

proyeksi AB adalah titik A saja.

A

B

x

y

A(x1,y1)

B(x2,y2)

22 yxAB +=

212

212 )()( yyxxAB −+−=

Bila diketahui sisi mendatar dan sisi tegak, maka jarak titik A dan B adalah :

Bila diketahui koordinat titik A dan B, maka jarak titik A dan B adalah :

h

PP’ adalah jarak titik P ke garis h

P

P’

c.c.c.c. Jarak Titik ke BidangJarak Titik ke BidangJarak Titik ke BidangJarak Titik ke Bidang Jarak titik P ke bidang α sama dengan jarak titik P ke hasil proyeksinya(P’) yaitu PP’.

d.d.d.d. Jarak Dua Garis SejajarJarak Dua Garis SejajarJarak Dua Garis SejajarJarak Dua Garis Sejajar Mencari jarak garis g dan garis h dengan cara membuat garis lain yang memotong tegak lurus garis g dan h, titik potong itulah jarak garis g dan h.

e.e.e.e. Jarak Antara Garis dan Bidang yang SejajarJarak Antara Garis dan Bidang yang SejajarJarak Antara Garis dan Bidang yang SejajarJarak Antara Garis dan Bidang yang Sejajar Mencari jarak garis g ke bidang α dengan cara menarik sebuah titik dari garis g ke bidang α, sehingga garis tersebut tegak lurus dengan garis g dan bidang α.

f.f.f.f. Jarak Dua Bidang yang SejajarJarak Dua Bidang yang SejajarJarak Dua Bidang yang SejajarJarak Dua Bidang yang Sejajar Untuk mencari jarak dua bidang α dan β adalah dengan cara membuat

garis yang menembus secara tegak lurus pada bidang tersebut.

α

P

P’

PP’ adalah jarak titik P ke garis α

g

h

A

B

l

AB adalah jarak garis g dan h

PP’ adalah jarak garis g ke bidang α

α

P

P’

g

PQ adalah jarak bidang α dan β β

α P

Q

Contoh : 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 6 cm. Maka jarak

titik A ke garis EC adalah.... Pembahasan : Tarik titik proyeksi A ke EC (misalkan titik itu adalah P). Maka jarak A ke EC adalah panjang garis AP. Terlihat segitiga ACP sebagai berikut :

atL21=∆

APECAEACAECL ⋅=⋅=∆ 21

21

AP⋅=⋅ 36626

AP=3

26

3

26=AP3

3×

cmAP 623

66 ==

E. SUDUT -SUDUT DALAM D3 #(5)

a.a.a.a. Sudut Antara Garis dan BidangSudut Antara Garis dan BidangSudut Antara Garis dan BidangSudut Antara Garis dan Bidang Lihat gambar berikut, garis AB menembus bidang α di A dan B’ adalah proyeksi titik B. Maka sudut antara garis AB dan bidang α adalah

θ=∠ 'BAB .

α A

B

B’ θ

B A

C D

E F

G H

6

P

A C

E P 36

26

6

Keterangan : alas (a) dan tinggi(t) harus tegak lurus.

Jadi jika alasnya AC maka tingginya AE. Dan jika alasnya EC maka tingginya AP

CE = diagonal bidang = a 3 AC = diagonal bidang = a 2 Ingat Bro !!!

b.b.b.b. Sudut Antara Garis BersilanganSudut Antara Garis BersilanganSudut Antara Garis BersilanganSudut Antara Garis Bersilangan Garis g dan h saling bersilangan, untuk mencari sudut g dan h, geser salah satu garis sehingga berpotongan, maka titik potong itulah sudut antara garis g dan h.

c.c.c.c. Sudut Antara Dua BidangSudut Antara Dua BidangSudut Antara Dua BidangSudut Antara Dua Bidang

Garis l adalah gari perpotongan bidang α dan β . Tarik garis di bidang α

yang tegak lurus dengan garis l (kita sebut garis g) dan tarik garis di bidang β yang tegak lurus dengan garis l (kita sebut garis h). Perpotongan garis g

dan h itulah sudut antara bidang α dan β .

Contoh :

1. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jika T adalah tengah-tengah bidang atap. Jika AT dan alas membentuk sudut θ maka nilai θcos adalah.... Pembahasan :

AC diagonal bidang = 242 =a

AT’ = 2221 =AC

62241684)22( 22 ==+=+=AT

3

1

62

22cos ===

miring

sampingθ3

3×

α

g

h

α

h’

g

θ

garis h digeser ke g

g α

β h

θ

l

22 A

T

T’ θ

C

4

B A

C D

E F

G H

4

T

T’

4

331

cos =θ

2. Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Sudut yang dibentuk antara bidang AFH dan CFH adalah θ, maka nilai θsin adalah...... Pembahsaan :

B A

C D

E F

G H

4

T

T’

4

33

1

3

1

62

22'sin

21 =====

AT

AT

miring

depanθ

63

1

6

2

62

4'cos2

1 =====AT

TT

miring

sampingθ

θθθ 21

21 cossin2sin =

23

2

189

26

3

13

3

12

=

=⋅⋅=

T

A C 24

62 62

θ

T’ 22 22

θ21 θ2

1

4

Sin2A = 2sinA.cosA

Ingat Bro !!!

F. IRISAN BANGUN RUANG #(6)

Bidang irisan adalah sebuah bidang yang sisinya memotong bidang bangun ruang sehingga membagi dua bangun ruang tersebut. Untuk memperjelas berikut contohnya. Contoh : 1. Diberikan kubus ABCD.EFGH. Titik P, Q dan R adalah titik tengah dari

AE, BC dan CG. Maka bentuk bidang irisan yang terbentuk adalah... Pembahasan : Langkahnya adalah : 1. Buat garis melalui QR

dan perpanjangan garis FG sehinga kita medapat titik potong X

2. Perpanjang garis FB sehingga berpotongan dengan garis yang melelui QR di Y

3. Perpanjang garis YP sehingga berpotongan dengan perpanjangan garis FE di Z.

4. Hubungkan titik X dan Z. 5. Maka terbentuk segitiga

XYZ yang memotong bidang-bidang kubus di PQRSTU.

6. PQRSTU (segi enam) itulah yang berupakan bidang irisan kubus.

A

C D

E F

G H

P

B

R

Q

Y

Z

S

T

U

X

SOALSOALSOALSOAL----SOAL LATIHANSOAL LATIHANSOAL LATIHANSOAL LATIHAN 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Jarak titik E terhadap

bidang BDG adalah…

A. 22 cm

B. 32 cm

C. 23 cm

D. 24 cm

E. 34 cm

UN MAT IPA 2012 (A35-24)

2. Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut AE dan bidang AFH adalah

α. Nilai sin α = …

A. 22

1

B. 32

1

C. 33

1

D. 33

2

E. 34

3

UN MAT IPA 2012 (A35-25)

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah…

A. 64 cm

B. 54 cm

C. 34 cm

D. 24 cm E. 4 cm UN MAT IPA 2011(D10-26)

4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Kosinus sudut antara garis GC dan bidang BDG adalah…

A. 63

1

B. 32

1

C. 22

1

D. 33

1

E. 23

1

UN MAT IPA 2011 (D10-33)

5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm dan T adalah titik tengah CG. Jarak titik E ke BT adalah ...

A. �√5:%

B. U�√5:%

C. �� √5cm

D. �� √10:%

E. 5√5 cm UN MAT IPA 2010 (D10-21)

6. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Nilai kosinus sudut antara Cf dan bidang ACH adalah ...

A. ��√3

B. � √3

C. ��√3

D. � √3

E. √3 UN MAT IPA 2010 (D10-22)

7. Diberikan Prisma tegak lurus segitiga ABC.DEF dengan panjang rusuk AB =

6cm, BC = 3√7, dan AC = 3cm. Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah ...

A. 55 √2:%

B. 60 √2:%

C. 75 √3:%

D. 90 √3:%

E. 120 √3:% UN MAT IPA 2010 (D10-24)

D

A

B

C

E

F

8. Diketahui kubus ABCD. DEFGH, panjang rusuj kubus 12 cm. Titik P terletak pada perpanjangan rusuk DC sehingga CP : DP = 1 : 3. Jarak titik P dengan bidang BDHF adalah ...

A. 6√2:%

B. 9√2:%

C. 12√2:%

D. 16√2:%

E. 18√2:% UN MAT IPA2009 (D10-08)

9. Balok ABCD. EFGH dengan panjang AB = BC = 3 cm dan AE = 5 cm. P terletak pada AD sehingga AP : PD = 1 : 2 dan Q pada FG sehingga FQ : QG = 2 : 1. Jika 0 adalah sudut PQ dengan ABCD, maka tan 0 = ...

A. ��√5

B. ��G√5

C. ��√10

D. ��√14

E. ��√35

UN MAT IPA 2009 (D10-09)

10. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H dan garis AC adalah…

A. 38 cm

B. 28 cm

C. 64 cm

D. 34 cm

E. 24 cm UN MAT IPA 2008 (D10-25)

11. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm .Jika sudut antara diagonal AG dan bidang alas ABCD adalah α , maka αsin adalah…

A. 32

1

B. 221

C. 331

D. 21

E. 231

UN MAT IPA 2008 (D10-26)

12. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH!

Jarak ACH ke EGB adalah...

A. 34 cm

B. 32 cm

C. 4cm D. 6cm E. 12cm UN MAT IPA 2007 (D9-18)

13. Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH. Besar sudut yang dibentuk oleh garis BG bidang BDHF adalah….

A. o90

B. o60

C. o45

D. o30

E. o15 UN MAT IPA 2007 (D9-19)

14. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Dari pernyataan berikut : (1) AH dan BE berpotongan (2) AD adalah proyeksi AH pada bidang ABCD (3) DF tegak lurus bidang ACH (4) AG dan DF bersilangan Yang benar adalah nomor…. A. (1) dan (2) saja B. (2) dan (3) saja C. (3) dan (4) saja D. (1) dan (3) saja E. (2) dan (4) saja

A B

C D

E F

G H

cm36

UN MAT IPA 2006 (D10-06)

15. Diketahui bidang empat beraturan ABCD dengan panjang rusuk 8 cm. Kosinus sudut antara bidang ABC dan bidang ABD adalah….

A. 3

1

B. 2

1

C. 33

1

D. 3

2

E. 32

1

UN MAT IPA 2006 (D10-07)

16. Pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk a satuan, terdapat bola luar dinyatakan 1B dan bola dalam dinyatakan 2B . Perbandingan volume 1B dan

2B adalah…

A. 1:33

B. 1:32

C. 1:3

D. 1:3

E. 1:2 UN MAT IPA 2005 (D10-26)

17. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk cm3 dan titik T pada

AD dengan AT=1cm. Jarak A pada BT adalah….

A. cm2

1

B. cm33

1

C. cm32

1

D. cm1

E. cm33

2

UN MAT IPA 2005 (D10-27)

18. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik P dan Q masing-masing terletak pada pertengaha CG dan HG. Sudut antara BD dan bidang BPQE adalah α , maka nilai ...tan =α

A. 28

3

B. 24

3

C. 2

D. 22

3

E. 22 UN MAT IPA 2005 (D10-28)

19. Diberikan limas T.ABC dengan AB = AC = BC = 12 dan TA = TB = TC = 10.

Jarak dari titik T ke bidang ABC adalah...

A. 132

B. 13

C. 8

D. 35

E. 34


20. Prisma tegak segitiga sama sisi ABC.DEF dengan panjang AB=s dan AD=t. Jika titik G terletak di tengah-tengah sisi EF, maka panjang AG adalah…

A. 22

4

3st −

B. 22

4

3st +

C. 22 st +

D. 22 st −

E. 22

4

1st +


21. Balok ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk AB=4 cm, BC=3 cm dan AE=3

cm. Bidang AFH memotong balok menjadi 2 bagian dengan perbandingan

volumenya adalah…

A. 1:3

B. 2:3

C. 3:5

D. 1:5

E. 1:6


22. Kubus ABCD.EFGH panjang sisinya 1 dm. Titik P pada BC dengan |PC|=t

dm. Titik Q adalah proyeksi A pada DP dan R adalah proyeksi Q pada bidang

EFGH. Luas segitiga AQR adalah…. dm2.

A. 12

12 +t

B. 12 2 +t

C. 1

12 +t

D. 2

12 −t

E. 21 t+


23. Diberikan balok ABCD.EFGH dengan AB=2 BC=2AE=2 cm. Panjang AH adalah… A. ½ cm B. 1 cm

C. 2 cm D. 2 cm

E. 3 cm SNMPTN MAT IPA 2009 (XX-03)

24. Suatu limas beraturan T.PQRS dengan TP=TQ=TR=TS= 21cm dan PQRS adalah suatu persegi dengan panjang sisi 6 cm. Besar sudut antar bidang TQR dan bidang alas sama dengan… A. 30o

B. 45o C. 60o D. 75o E. 90o


25. Diketahui kubus ABCD.EFGH yang mempunyai panjang rusuk 1 cm. Jarak D ke bidang EBG sama dengan…

A. 32

1cm

B. 33

2cm

C. 34

3cm

D. 36

5cm

E. 37

6cm


26. Diberikan ABCD.EFGH. Perbandingan luas permukaan kubus ABCD.EFGH dengan limas H.ACF adalah…

A. 2:5

B. 3:2

C. 2:3

D. 1:2

E. 1:3 SNMPTN MAT IPA 2007 (XX-13)

27. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jika titik P pada CG dan titik Q pada DH dan CP=DQ= 1 cm, maka bidang PQEF mengiris kubus tersebut menjadi dua bagian.Volume bagian yang lebih besar adalah… A. 36 cm3 B. 38 cm3 C. 40 cm3 D. 42 cm3 E. 44 cm3 SNMPTN MAT IPA 2006 (XX-02)

28. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjak rusuk a, titik P pada

perpanjangan DH sehingga DP=2DH. Jika jarak titik F ke bidang PAC

adalah....

A. 3

2a

B. 22

1a

C. 32

1a

D. A

E. 2

3a

UM UGM MAT IPA 2010 (452-08)

29. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk AB

adalah a. Jika α adalah sudut antara bidang TAB dan ABCD dengan

5

3sin =α , maka panjang rusuk TA adalah...

A. 448

a

B. 428

a

C. 4110

a

D. 419

a

E. 418

a


30. Pada kubus ABCD.EFGH , P pada EG sehingga EP = 3PG. Jika jarak E ke

AP adalah a , maka rusuk kubus tersebut adalah...

A. 153

a

B. 3

4a

C. 173

a

D. 2a

E. 52

a


STATISTIKA

A. DATA TUNGGAL #(1)

Jika diberikan data tunggal seperti berikut :

nxxxx ......,....................,, ,321

Dari data tersebut dapat diperoleh unsur-unsur statistika berupa : a.a.a.a. Rata Rata Rata Rata –––– rata (mean)rata (mean)rata (mean)rata (mean)

n

xxxxx n++++

=........321 atau ditulis dengan

n

x

x

n

ii∑

== 1

b.b.b.b. Modus (Mo)Modus (Mo)Modus (Mo)Modus (Mo) Modus adalah data yang sering muncul atau mempunyai frekuensi terbanyak.

c.c.c.c. Median (Me)Median (Me)Median (Me)Median (Me) Median adalah data yang terletak di tengah setelah data tersebut diurutkan.

)(2

1+= nxMe

d.d.d.d. Jangkauan (J)Jangkauan (J)Jangkauan (J)Jangkauan (J) Jangkauan adalah selisih data terbesar dengan data terkecil.

minmaks xxJ −=

e.e.e.e. Kuartil (Q)Kuartil (Q)Kuartil (Q)Kuartil (Q) Kuartil adalah data-data yang membagi seluruh data menjadi 4 bagian, setelah data tersebut diurutkan. Berikut ilustrasinya :

Keterangan :

1x = data terkecil

nx = data gerbesar

1Q = kuartil 1 atau kuartil bawah

2Q = kuartil 2 atau kuartil tengah

3Q = kuartil 3 atau kuartil atas

Operasi – operasi yang berhubungan kuartil adalah :

1x nx

1Q

2Q

3Q

bagian I bagian II bagian III bagian IV

MeQ =2 (median)

Jika n ganjil )1(

4+

=n

ii XQ

Jika n genap )2(

4

1 +×

=ni

i XQ

Catatan :

1. Jangkuan kuartil

13 QQJk −=

2. Simpangan kuartil ( Jangkuan semi interkuartil)

)(2

113 QQSk −=

f.f.f.f. Simpangan Rata Simpangan Rata Simpangan Rata Simpangan Rata ––––rata (SR)rata (SR)rata (SR)rata (SR)

n

xx

S

n

ii

R

∑=

−= 1

g.g.g.g. Ragam Ragam Ragam Ragam (Varians)(Varians)(Varians)(Varians)

n

xx

S

n

ii∑

=−

= 1

2)(

atau 2BSS =

h.h.h.h. Simpangan Baku (SB)Simpangan Baku (SB)Simpangan Baku (SB)Simpangan Baku (SB)

n

xx

S

n

ii

B

∑=

−= 1

2)(

atau SSB =

Contoh : 1. Dari hasil pendataan umur dalam sebuah kelompok dalam tahun adalah

sebagai berikut : 6, 1, 3, 8, 9, 10, 3,12, 3, 15. Carilah unsur – unsur dari data statistik tersebut ! Pembahasan : a. Rata – rata :

710

70

10

1531231098316 ==+++++++++=x

b. Modus (Mo) : Mo = 3

c. Median (Me): Data setelah diurutkan : 1, 3, 3, 3, 6, 8, 9, 10, 12, 15

72

86

5,5)(

)(

2110

21

=

+=

==

=

+

+

xx

xM ne

Letak median antara 6 dan 8.

Jadi 72

86 =+=Me

d. Jangkuan (J)

minmaks xxJ −=

14115 =−=J

e. Quartil (Q) Setelah data diurutkan : 1, 3, 3, 3, 6, 8, 9, 10, 12, 15

Kalau dikerjakan dengan rumus, karena n genap (n=10) maka :

)2(4

1 +×=

nii XQ

33)210(

4

1)2(

4

11 ====++

XXXQn

75,5)220(

4

1)22(

4

12 ====++

XXXQn

108)230(

4

1)23(

4

13 ====++

XXXQn

731013 =−=−= QQJk

5,3)7(2

1)(

2

113 ==−= QQSk

f. Simpangangan rata – rata (SR)

n

xx

S

n

ii

R

∑=

−= 1

10

71571271079787673737371 −+−+−+−+−+−+−+−+−+−=RS

8,310

38

10

8532114446 ==+++++++++=RS

g. Ragam (varian)

n

xx

S

n

ii∑

=−

= 1

2)(

10

2)715(

2)712(

2)710(

2)79(

2)78(

2)76(

2)73(

2)73(

2)73(

2)71( −+−+−+−+−+−+−+−+−+−

=S

31 =Q 103 =Q

72

862 =+=Q

8,1810

188

10

6425941116161636 ==+++++++++=S

h. Simpangan Baku (SB)

n

xx

S

n

ii

B

∑=

−= 1

2)(

atau SSB =

3,48,18 === SSB

2. Terdapat data nilai matematika 5 orang anak sebagi berikut : a, 4, 3, t, 9 .

Jika rata – rata kelas tersebut adalah 6 dan nilai selisih a dan t (t > a) adalah 2 maka berapakahan nilai t... ? Pembahasan :

65

934 =++++= tax

3016=++ ta

14=+ ta

B. DATA TUNGGAL DENGAN FREKUENSI #(2)

Data tunggal dengan frekuensi ini seperti halnya data tunggal akan tetapi data – data yang sama kita tulis dalam bentuk frekuensi. Berikut adalah contoh data berat badan disebuah kelas 1 SD ditulis dalam bentuk tabel frekuensi : 24, 22, 25, 25, 21, 23, 24, 23, 22, 24, 21, 22, 23, 21, 21, 22, 25, 24, 23, 24.

Berat (Kg) Frekuensi 21 4 22 4 23 4 24 5 25 3

Unsur – unsur statistikanya pada dasarnya tidak jauh beda dengan data tunggal tanpa frekuensi. Perbedaannya dalam bagian ini dikelompokkan dengan jumlah frekuansi, berikut yang unsur-unsur statistik yang sedikit mengalami perubahan.

8

162

2

14

==

+=−=+

t

t

at

at

ix if

1x 1f

2x 2f ... ... ... ...

nx nf

a.a.a.a. Rata Rata Rata Rata –––– rata (mean)rata (mean)rata (mean)rata (mean)

n

xf

x

n

iii∑

== 1

b.b.b.b. Simpangan Rata Simpangan Rata Simpangan Rata Simpangan Rata ––––rata (SR)rata (SR)rata (SR)rata (SR)

n

xxf

S

n

iii

R

∑=

−= 1

c.c.c.c. Ragam (Varians)Ragam (Varians)Ragam (Varians)Ragam (Varians)

n

xxf

S

n

iii∑

=−

= 1

2)(

d.d.d.d. Simpangan Baku (SB)Simpangan Baku (SB)Simpangan Baku (SB)Simpangan Baku (SB)

n

xxf

S

n

iii

B

∑=

−= 1

2)(

Contoh : 1. Tabel berikut menyajikan jumlah mobil yang dimilki oleh sekelompok

orang .

Jml Mobil Jml orang 4 4 5 4 6 4 7 5 8 3

Carilah unsur – unsur statistikanya ! Pembahasan :

ix if kf ii xf ⋅ xxf ii − 2)( xxf ii −

3 4 4 12 4|3-5|=8 4(3-5)2=16 4 4 8 16 4|4-5|=4 4(4-5)2=4 5 3 11 15 3|5-5|=0 3(5-5)2=0 6 6 17 36 6|6-5|=6 6(6-5)2=6 7 3 20 21 3|7-5|=6 3(7-5)2=12

20∑ =if ∑ = 100ii xf 24∑ =− xxf ii 38)(∑ =− xxf ii

a. Rata – rata

520

1001 ===∑=

n

xf

x

n

iii

b. Modus (Mo) Mo = 6 ( karena nilai 6 frekuensinya paling banyak yaitu 6, maka 6 adalah modusnya)

c. Median (Me)

)(2

1+= nxM e 55,10)(2

120 === + xx

d. Jangkuan (J)

minmaks xxJ −= 437 =−=J

e. Quartil (Q)

)2(4

1 +×

=ni

i XQ

45,5

)220(4

1)2(

4

11 ====++

XXXQn

55,10

)240(4

1)22(

4

12 ====++

XXXQn

65,15

)260(4

1)23(

4

13 ====++

XXXQn

f. Simpangan Rata-rata (SR)

2,120

241 ==−

=∑=

n

xxf

S

n

iii

R

g. Ragam (varian)

9,120

38)(

1

2

==−

=∑=

n

xxf

S

n

iii

h. Simpangan Baku (SB)

n

xxf

S

n

iii

B

∑=

−= 1

2)(

atau SSB =

38,19,1 === SSB

C. DATA DALAM BENTUK INTERVAL #(3)

Interval

ii ba − Frekuens

i if

Nilai Tengah

)( ix

11 ba − 1f 1x

22 ba − 2f 2x ..... ..... ..... ..... ..... .....

nn ba − nf nx

Keterangan :

� Interval/kelas ke – i = ii ba −

� Batas bawah kelas ke – i = ia

� Batas atas kelas ke – i = ib

� Tepi bawah kelas ke – i = 5,0−ia

� Tepi atas kelas ke – i = 5,0+ib

� Panjang kelas (C) = tepi atas – tepi bawah

� Nilai tengah 2

iii

bax

+=

a.a.a.a. Rata Rata Rata Rata –––– rata (mean)rata (mean)rata (mean)rata (mean)

1. Cara Langsung

n

xfx ii∑ ⋅

=

20

255=x = 12,75

2. Cara Simpangan Rata-rata

n

dfxx ii

s

⋅+= ∑

sx = rata – rata sementara

xxd ii −=

20

10518

−+=x

=−= 25,518x 12,75

Interval Frekuensi Nilai Tengah 1 - 5 4 3

6 - 10 4 8 11 - 15 4 13 16 - 20 5 18 21 - 25 3 23

� Interval ke – 2 = 6 – 10 � Batas bawah kelas ke – 2 = 6 � Batas atas kelas ke – 2 = 10 � Tepi bawah kelas ke-2 = 6 - 0,5 =5,5 � Tepi atas kelas ke – 2 = 10+0,5 =10,5 � Panjang kelas = 10,5 – 5,5 = 5

� Nilai tengah kelas ke-2 = 82

106 =+

Contoh :

Interval if ix ii xf .

1 - 5 4 3 12 6 - 10 4 8 32 11 - 15 4 13 52 16 - 20 5 18 90 21 - 25 3 23 69

∑ = 20if ∑ =⋅ 255ixif

Catatan :

∑= fn

Interval if ix id ii df ⋅

1 - 5 4 3 -15

-60

6 - 10 4 8 -10

-40

11 - 15 4 13 -5 -20 16 - 20 5 18 0 0 21 - 25 3 23 5 15

Rata-rata sementara xs=18, diambil dari dari frekuensi

3. Cara Coding

Cn

kfxx ii

s ⋅

⋅+= ∑

ik = ...., -2, -1, 0, 1, 2,...

C = Panjanga kelas

520

2118 ⋅

−+=x

( ) 505,118 ⋅−+=x

=−= 25,518x 12,75

b.b.b.b. Modus (Mo)Modus (Mo)Modus (Mo)Modus (Mo) #(4)

Cdd

dTM bo ⋅

++=

21

1

Tb = Tepi bawah kelas modus d1 = selisih f modus dengan f sebelumnya d2 = selisih f modus dengan f sesudahnya

521

15,15 ⋅

++=oM

53

15,15 ⋅+=oM

=+= 7,15,15oM 17,2

c.c.c.c. Median (Me)Median (Me)Median (Me)Median (Me) #(5)

Cf

fnTM

me

ksbe ⋅

−+= 2

1

n = jumlah data

fks = frekuensi komulatif sebelum letak median

fme = frekuensi median

54

8105,10 ⋅−+=eM

54

25,10 ⋅+=eM

135,25,10 =+=eM

Interval if kf

1 - 5 4 4 6 - 10 4 8 11 - 15 4 12 16 - 20 5 17 21 - 25 3 20

20=n

fks = 8

fme = 4 letak median. dengan Tb = 11-0,5 = 10,5

Ket : Fk(frekuensi komulatif) yaitu jumlah frekuensi dg frekuensi-frekuensi seblumnya.

Interval if ix ik ii kf ⋅

1 - 5 4 3 -3 -12 6 - 10 4 8 -2 - 8

11 - 15 4 13 -1 - 4 16 - 20 5 18 0 0 21 - 25 3 23 1 3

∑ = 20if 21−=∑ ⋅ ikif

0 dimulai dari xs

Interval if

1 - 5 4

6 - 10 4

11 - 15 4

16 - 20 5

21 - 25 3

d1 = 5 – 4 = 1

d2 = 5 – 3 = 2

Letak modus karena f nya terbesar.

Tb = 16 – 0,5 = 15,5

d.d.d.d. QuartilQuartilQuartilQuartil #(6)

Cf

fnTQ

Qi

ksi

bi ⋅−

+= 4

fks = frekuensi komulatif sebelum letak kuartil

fQi = frekuensi kuartil

54

420.5,5 4

1

1 ⋅−

+=Q

5.4

15,55

4

455,5 +=⋅−+=

=+= 25,15,5 6,75

54

820.5,10 4

2

2 ⋅−

+=Q

5.4

25,105

4

8105,10 +=⋅−+=

=+= 5,25,10 13

55

1220.5,15 4

3

3 ⋅−

+=Q

=−+= 12155,15

=+= 35,15 18,25

D. RATA- RATA GABUNGAN #(7)

Rata- rata gabungan digunakan untuk mencari rata-rata yang terdiri minimal 2 kelompok.

bnanbxbnaxan

gx+

⋅+⋅=

Interval if kf

1 - 5 4 4 6 - 10 4 8 11 - 15 4 12 16 - 20 5 17 21 - 25 3 20

20=n

fk2 = 8

letak kuartil 1

fk1 = 4

fk3 = 12

letak kuartil 2 letak kuartil 3

Ket: letak kuartil 1 di 41 n,

letak kuartil 2 di 42 n,

letak kuartil 3 di 43 n

Ket :

gx = rata – rata gabungan

ax = rata – rata kelompok a , an = jumlah anggota kelompok a

bx = rata – rata kelompok b, bn = jumlah anggota kelompok b

Contoh : 1. Kelas 11A dengan jumlah siswa 30 orang rata-rata nilai matematikanya 60,

sedangkan kelas11B yang jumlah siswanya 35 orang rata-rata nilai matematikanya 64. Jika kedua kelas digabungkan maka nilai rata-rata gabungannya adalah.... Pembahasan :

30=an , 60=ax

35=bn , 64=bx , ?.....=gx

15,6265

4040

65

22401800

3530

64356030 ==+=+

⋅+⋅=+

⋅+⋅=

ba

bbaag nn

xnxnx

2. Rata – rata berat badan 5 orang anak adalah 42 kg. Jika ada Badu dan Budi masuk ikut bergabung maka rata-rata berat badan 7 orang anak jadi 45 kg. Berapakah rata-rata berat badan Badu dan Budi ? Pembahasan :

5=an , 42=ax

2=bn , 45=gx , ?....=bx

ba

bbaag nn

xnxnx

+⋅+⋅

=

25

242545

++⋅

= bx

7

221045 bx+

=

bx2210315 +=

bx2105=

5,52=bx kg

2=bn karena kelompok

kedua ada 2 orang yaitu Badu dan Budi.


1. Diagram lingkaran di samping adalah hasil perhitungan suara dalam

pemilukada di TPS 10. Jika yang hadir berjumlah 540 orang, pemenangnya

memperoleh suara terbanyak sama dengan …

A. 162 orang

B. 176 orang

C. 183 orang

D. 187 orang

E. 189 orang

UNMAT IPS 2012 (A35-35)

2. Dari 150 pasien yang datang di

bali pengobatan penyakit yang

diderita disajikan dalam diagram di

samping. Presentase jumlah

penderita kudis dan hipertensi

sama dengan…

A. 25%

B. 30%

C. 45%

D. 50%

E. 60%

UNMAT IPS 2012 (A35-36)

3. Histogram berikut adalah data tinggi sejumlah siswa

dalam cm. Median data tersebut adalah…

A. 47,5

B. 46,5

C. 45,5

D. 44,5

E. 43,5

UNMAT IPS 2012 (E81-37)

PS II 20%

PS III 30%

PS I 15%

Gugur 10% PS IV

Ash

ma

Dis

peps

ia

Dia

bete

s M

Hip

erte

nsi

Kud

is

Par

ingi

tis

Frekuensi

15 10

25

x

35

25 34

,5

37,5

40,5

43,5

46,5

49,5

52,5

2 5

8

15

7

3

f

4. Data disamping adalah data skor hasil ulangan matematika kelas XII IPS

suatu SMA. Modus dari data pada tabel adalah…

A. 36,75

B. 37,25

C. 38,00

D. 38,50

E. 39,25

UNMAT IPS 2012 (A35-38)

5. Diketahui data 6,7,7,7,8,8,9,9,9,10. Nilai simpangan rata-rata data tersebut

adalah…

A. 5,4

B. 2,0

C. 1,4

D. 1,0

E. 0,6

UNMAT IPS 2012 (A35-39)

6. Ragam dari data 5,6,7,8,6,4 adalah…

A. 1,00

B. 1,33

C. 1,50

D. 1,67

E. 1,83

UNMAT IPS 2012 (A35-40)

7. Simpangan baku data 6,4,5,6,5,7,8,7 adalah..

A. 34

1

B. 32

1

C. 63

1

D. 62

1

E. 62 UNMAT IPS 2011 (XX-37)

Skor Frekuensi 21 – 25 5 26 – 30 8 31 – 35 12 36 – 40 18 41 – 45 16 46 – 50 5

8. Modus dari data tabel distribusi frekuensi berikut adalah… A. 34,50 B. 35,50 C. 35,75 D. 36,25 E. 36,50 UNMAT IPS 2011 (XX-38)

9. Diagram berikut menyatakan jumlah anggota keluarga dari 50 siswa. Banyaknya siswa yang mempunyai jumlah anggota keluarga 5 orang adalah…. A. 13 siswa B. 14 siswa C. 15 siswa D. 16 siswa E. 17 siswa UNMAT IPS 2011 (XX-39)

10. Rata-rata dari data yang disajikan dengan histrogram berikut adalah… A. 41,375 B. 42,150 C. 43,125 D. 43,135 E. 44,250 UNMAT IPS 2011 (XX-40)

11. Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut :

Kelas Frekuensi

20 – 29 3

30 – 39 7

40 – 49 8

50 – 59 12

60 – 69 9

70 – 79 6

80 – 89 5

Nilai modus dari data pada tabel adalah…

Jumlah anggota keluarga

frekuensi

3 4 5 6 7

4

9

11 12

p

Berat badan

frekuensi

3

5

7

4

9

12

29,5 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5

Panjang Daun(mm) Frekuensi 10-19 6 20-29 13 30-39 19 40-49 15 50-59 7

A. 7

405,49 −

B. 7

365,49 −

C. 7

365,49 +

D. 7

405,49 +

E. 7

485,49 +

UN MAT IPA 2012 (A35-38)

12. Modus dari data pada tabel berikut adalah…

A. 54

35,20 ⋅+

B. 525

35,20 ⋅+

C. 57

35,20 ⋅+

D. 54

35,20 ⋅−

E. 57

35,20 ⋅−

UN MAT IPA 2011 (D10-34)

13. Data yang diberikan dalam table frekuensi sebagai berikut : Nilai Frekuensi

20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89

3 7 8 12 9 6 5

Modus dari data pada tabel adalah ...

A. 49,5 − �G�

B. 49,5 − ��

C. 49,5 + ��

D. 49,5 + �G�

Ukuran ƒ 1 - 5 3 6 - 10 17

11 - 15 18 16 - 20 22 21 - 25 25 26 - 30 21 31 - 35 4

E. 49,5 + ��

UN MAT IPA 2010 (D10-37)

14. Perhatikanlah table distribusi nilai ulangan matematika berikut ini! NO NILAI FREKUENSI 1 11 – 20 2 2. 21 – 30 5 3. 31 – 40 8 4. 41 – 50 3 5. 51 – 60 1

Modus dari data pada table adalah A. 33, 75 B. 34, 00 C. 34, 25 D. 34, 50 E. 34, 75 UN MAT IPA 2009 (D10-14)

15. Perhatikan tabel berikut ! Berat Badan Frekuensi 50-54 4 55-59 6 60-64 8 65-69 10 70-74 8 75-79 4

Kuartil atas dari data tabel diatas adalah… A. 69,50 B. 70,00 C. 70,50 D. 70,75 E. 71,00 UN MAT IPA 2008 (D10-39)

16. Perhatikan tabel berikut ! Berat(kg) Frekuensi

31-36 4 37-42 6 43-48 9 49-54 14 55-60 10 61-66 5 67-72 2

Modus data pada tabel tersebut adalah… A. 49,06 kg

B. 50,20 kg C. 50,70 kg D. 51,33 kg E. 51,83 kg UN MAT IPA 2007 (D9-30)

17. Perhatikan gambar berikut !

Berat badan siswa pada suatu kelas disajikan dengan histogram seperti pada gambar. Rataan berat badan tersebut adalah…. A. 64,5 kg B. 65 kg C. 65,5 kg D. 66 kg E. 66,5 kg UN MAT IPA 2006 (D10-08)

18. Nilai rataan pada diagram adalah….

A. 23 B. 25 C. 26 D. 28 E. 30 UN MAT IPA 2005 (D10-08)

frekuensi

Berat badan (kg)

18

12 9

5

10,5 15,5 20,5 25,5 30,5 35,5

6

frekuensi

Berat badan (kg)

1

8

6

4

49,5 54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5

19. Jika diagram batang ini memperlihatkan frekuensi kumulatif hasil tes

matematika siswa kelas XII, maka presentase siswa yang memperoleh nilai 8

adalah...

A. 12 %

B. 15%

C. 20%

D. 22%

E. 80%


20. Ani telah mengikuti tes matematika sebanyak n kali. Pada tes berikutnya ia

memperoleh nilai 83 sehingga nilai rata-rata Ani adalah 80. Tetapi, jika nilai

tes tersebut adalah 67, maka rata-rata-ratanya adalah 76. Nilai n adalah...

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6 SNMPTN MAT DAS 2012 (821-15)

21. Diagram berikut menunjukkan persentase kelulusan siswa tiga sekolah selama empat tahun.

2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

5

10

15

20

25

30

Fre

kuen

si k

umul

atif

Nilai Siswa

Berdasarkan diagram di atas, pernyataan berikut yang benar adalah… A. Rata-rata presentase kelulusan sekolah B terbaik B. Presentase kelulusan sekolah B selalu berada diposisi kedua C. Presentase kelulusan sekolah B selalu lebih baik daripada sekolah A D. Presentase kelulusan sekolah C selalu lebih baik daripada sekolah B E. Presentase kelulusan sekolah B selalu lebihbaik daripada tahun

sebelumnya SNMPTN MAT DAS 2011 (XX-09)

22. Distribusi frekuensi usia pekerja pada perusahaan A dan B diberikan pada

tabel berikut :

Berdasarkan data pada tabel tersebut, kesimpulan yang tidak benar adalah….. A. Rata-rata, median dan modus usia pekerja perusahaan A masing-masing

lebih rendah daripada rata-rata,median dan modus usia pekerja perusahaan B.

B. Rata-rata usia pekerja perusahaan A lebih kecil daripada median usia pekerja perusahaan B

C. Modus usia pekerja perusahaan A lebih kecil daripada median usia pekerja perusahaan B

D. Median usia pekerja perusahaan A lebih kecil daripada rata-rata usia pekerja perusahaan B

E. Rata-rata, median dan modus usia pekerja kedua perusahaan terletak pada kelas interval yang sama


Pre

sen

tasi

Kelu

lusa

n

Tahun 2 Tahun 3 Tahun 4 Tahun 1

Sekolah A

Sekolah B

Sekolah C

Usia (tahun) Banyak Pekerja Perusahaan A Perusahaan B

20-29 7 1 30-39 26 8 40-49 15 1 50-59 2 32 60-69 0 8 Total 50 50

23. Dari tabel hasil ujian matematika berikut. Jika nilai rata-ratanya adalah 6, maka x=…. A. 0 B. 5 C. 10 D. 15 E. 20 SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-24)

24. Jika data 2,a,a,3,4,6 mempunyai rataan c . Dan data 2,c,c,4,6,2,1 mempunyai rataan 2a, maka nilai c adalah… A. 3 B. 2,5 C. 2 D. 1,5 E. 1 SPMB MAT DAS 2007 (XX-14)

25. Dalam suatu ujian, perbandingan banyaknya peserta pria dan wanita adalah 6:5. Diketahui 3 peserta pria dan 1peserta wanita tidak lulus. Jika perbandingan jumlah peserta pria dan wanita yang lulus ujian adalah 9:8, maka jumlah peserta yang lulus adalah… A. 26 B. 30 C. 51 D. 54 E. 55 SPMB MAT IPA 2007 (XX-09)

26. Berat rata-rata sepuluh siswa adalah 60 kg. Salah seorang diantaranya diganti oleh Andi sehingga berat rata-ratanya menjadi 60,5 kg. Jika berat Andi 62 kg, maka berat siswa yang diganti adalah… A. 57 B. 56 C. 55 D. 54 E. 53 SNMPTN MAT DAS 2006 (XX-24)

27. Amin telah mengikuti tes sebanyak 8 kali dari 12 kali tes yang ada dengan

nilai rata-rata 6,5. Jika untuk seluruh tes , Amin ingin mendapat rata-rata nilai

minimal 7, maka untuk 4 tes yang tersisa Amin harus mendapat nlai rata-rata

minimal.

A. 7,9

B. 9

Nilai Ujian 4 5 6 8 10 Frekuensi 20 40 70 x 10

C. 8,1

D. 8,2

E. 8,5

UM UGM MAT DAS 2010 (462-01)

28. Nilai rata-rata tes matematika suatu kelas yang terdiri dari 42 siswa dalah 6,3

dengan jangkuan 4. Jika satu nilai terendah dan satu nilai tertinggi tidak diikut

sertakan, maka rata-ratanya menjadi 6,25. Nilai terendah tes tersebut

adalah....

A. 5

B. 5,03

C. 5,3

D. 5,05

E. 5,5

UM UGM MAT DAS 2009 (931-16)

29. Tiga kelas A, B dan C berturut-turut terdiri dari 15 siswa, 10 siswa dan 25

siswa. Rata-rata nilai gabungan dari ketiga kelas 58,6. Jika rata-rata nilai

kelas A dan C berturut-turut 62 dan 60, maka rata-rata nilai kelas B adalah.....

A. 50

B. 56

C. 61

D. 63

E. 65


PELUANG

A. PENCACAHAN

a.a.a.a. Pengisian TempatPengisian TempatPengisian TempatPengisian Tempat #(1)#(1)#(1)#(1) Jika sebuah kejadian dapat terjadi sebanjak m kemungkinan dan kejadian lain sebanyak n kemungkinan maka seluruh kejadian terjadi sembanyak m x n . Contoh : 1. Jika Neng Amel akan melakaukan perjalan dari kota Bandung ke

Surabaya melalui Semarang. Jika Bandung – Semarang ada 3 pilihan rute jalan dan Semarang – Surabaya ada 4 pilihan rute jalan. Maka : a. Berapa cara perjalanan Amel dari Bandung Surabaya. b. Berapa cara perjalan rute perjalanan pulang pergi Bandung –

Surabaya, dengan syarat jalan yang sudah lilalui saat pergi tidak boleh dialalui lagi.

Pembahasan : a. Cara pergi :

3 4 3 x 4 = 12 b. Cara pergi : 12

Cara pulang : 3 x 2 = 6 Cara pergi – pulang (PP) = 12 x 6 = 72 cara.

2. Disediakan bilangan : 2, 3, 4, 5, 6, 7. Dari bilangan tersebuat buatlah bilangan tiga digit : a. Tiga digit bebas (tanpa syarat ) b. Tiga digit beda ( tidak boleh ada angka berulang) c. Tiga digit > 500 dan beda d. Tiga digit genap dan beda Pembahasan : a. Tiga digit bebas (tanpa syarat )

6 x 6 x 6 = 216

b. Tiga digit beda 6 x 5 x 4 = 120

3 2

X

X

Bandung Semarang Surabaya

Bandung Semarang Surabaya

6 6 6

6 5 4 angka yang sudah dipakai tidak boleh dipakai lagi.

semua angka dapat dipakai kembali.

c. Tiga digit > 500 dan beda 3 x 5 x 4 = 60

d. Tiga digit genap dan beda 5 x 4 x 3 = 120

3. Ada 3 wanita dan 2 pria akan foto duduk berjajar dengan syarat pria harus diposisi paling pinggir. Ada berapa cara mereka duduk ? Pembahasan : 2 x 3 x 2 x 1 x 1 = 12

b.b.b.b. PermutasiPermutasiPermutasiPermutasi #(2)#(2)#(2)#(2) 1. Faktorial

123......)2()1( ××××−×−×= nnnn !

Bisa ditulis juga sepertiberikut : )!2()1( −×−×= nnnn !

Contoh : 12012345!5 =××××=

120!45!5 =×=

1234!4 ×××=

7208910!7

!78910

!7

!10 =××=×××=

2. Permutasi dengan semua unsur beda

Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang bebeda dengan memperhatikan urutan. Jadi susunan AB tidak sama dengan BA ( AB ≠BA). Permutasi r unsur dari n unsur adalah :

3 5 4

paling depan ada 3 kemungkinan yaitu angka : 5, 6, 7

5 4 3

bilangan terakhir ada 3 kemungkinan angka genap yaitu : 2, 4, 6

2 3 2 1 1

pria pria wanita

Syarat : 0≥n

Ketentuan : 1!0 =

)!( rn

nPn

r −= !

Dengan n ≥ r ),( rnrn

nr PPP ==

penulisan permutasi :

Contoh : 1. Nilai dari :

a. 103P

b. 82P

Pembahasan :

a. )!310(

!10103 −

=P

720

8910!7

!78910!7

!10

=××=

×××=

=

b. )!28(

!882 −

=P

56

78!6

!678

!6

!8

=×=

××==

2. Dari huruf –huruf : S, I, B, E, J, O akan disusun tulisan yang terdiri

dari 4 huruf yang berbeda. Maka ada berapa susunan kata yang mungkin ada ? Pembahasan : n = 6 , r = 4

360

3456 !2

!456

!4

!6

)!46(

!664

=×××=

××=

=

−=P

3. Jika ada 10 orang calon ketua OSIS dan wakil ketua OSIS, maka ada berapa cara untuk memilih mereka ? Pembahsan : n = 10 , r = 2

567882 =×=P

CADAS : 82P artinya 8 turun 2 kali.

360345662 =×××=P

CADAS :

90910102 =×=P

CADAS :

90

910 !8

!8910

!8

!10

)!210(

!10102

=×=

××=

=

−=P

3. Permutasi dengan beberapa unsur sama

Banyaknya permutasi n unsur jika terdapat k1 unsur sama, k2 unsur sama,.... kn unsur sama.

Contoh : 1. Dari susunan huruf : MATEMATIKA, ada berapa kemungkinan

susunan huruf yang mungkin dari huruf-huruf tersebut ? Pembahasan : n = 10 k1 = 2 ( jumlah huruf M ) k2 = 3 ( jumlah huruf A ) k2 = 2 ( jumlah huruf T )

151200)12!.(3)12(

!345678910

!2!3!2

!10 =×⋅×

×××××××=⋅⋅

=P

Banyaknya permutasi r unsur dari n unsur dan terdapat k1 unsur sama, k2 unsur sama,.... kn unsur sama. Contoh : 1. Dari susunan huruf : MATEMATIKA. Akan disususn 5 huruf, ada

berapa kemungkinan susunan huruf yang mungkin dari huruf-huruf tersebut ? n = 10 r = 5 k1 = 2 ( jumlah huruf M ) k2 = 3 ( jumlah huruf A ) k2 = 2 ( jumlah huruf T )

!!......! 21 nkkk

nP

! =

!!......!)!( 21 nkkkrn

nP

−= !

1260)12).(123()12(!5

!5678910

!2!3!2)!510(

!10 =×××⋅×

×××××=⋅⋅−

=P

4. Permutasi sikilis (melingkar) Banyak permutasi n unsur yang disusun melingkar . Contoh :

1. Dari 4 pria dan 2 wanita akan duduk melingkar dengan ketentuan : a. Mereka duduk tanpa syarat b. Wanita selalu duduk berdampingan

Pembahasan : a. n = 6 ( 4 pria + 2 wanita)

12012345!5)!16( =××××==−=P

b. n = 5 ( 4 pria + 1 kelompok wanita (2 wanita)) 241234!4)!15( =×××==−=P

Ingat kelompok wanita juga punya susunan 222 =P

Jadi totalnyan adalah 24 x 2 = 48 cara duduk.

c.c.c.c. KombinasiKombinasiKombinasiKombinasi #(3)#(3)#(3)#(3) Kombinasi adalah susunan unsur-unsur yang bebeda dengan tidak memperhatikan urutan. Jadi susunan AB sama dengan BA ( AB = BA).

Kombinasi r unsur dari n unsur adalah : Contoh : 1. Penyelesaian dari :

a. 103C

b. 108C

)!1( −= nP

P

W

P

P

P

W

!)!( rrn

nCn

r ⋅−= !

Dengan n ≥ r ),( rnrnnr CCC ==

penulisan kombinasi :

nrn

nr CC )( −=

Dalam kombinasi berlaku:

c. 10)1( =+ nn C , n = ...

Pembahasan :

a. !3)!310(

!10103 ⋅−

=C

120123

8910

)123!.(7

!78910!3!7

!10

=××××=

×××××=

⋅=

b. !2)!810(

!10108 ⋅−

=C

4512

910

)12!.(8

!8910!2!8

!10

=××=

×××=

⋅=

c. 10)1( =+ nn C

10!)!)1((

)!1( =−+

+nnn

n

10!)!1(

!).1( =+n

nn

101

).1( =+n

101=+n

9=n

2. Seorang guru olah raga akan memilihi 2 siswa untuk pasangan ganda badminton dari 10 siswa yang mencalonkan diri. Ada berapa cara guru tersebut untuk memilih pasangan ganda yang mungkin ? Pembahasan : n = 10, r = 2

!8!2

!10

)!210(!2

!10102 ⋅

=−

=C

4512

910

!8)12(

!8910 =××=

⋅×××=

120123

8910103 =

××××=P

CADAS : 103C artinya 10 turun 3 kali , dan

dibagi 3 turun sampai 1

4512

910102

108 =

××== CC

CADAS :

4512

910102 =

××=C

CADAS :

B. PENGGUNAAN KOMIBNASI DALAM BINOMIUN NEWTON #(4)#(4)#(4)#(4)

Segitiga Pascal :

Ekuivalen dengan :

Jadi bentuk umumnya :

Contoh :

1. Hasil dari (a + b)3 adalah.... Pembahasan :

2. Suku ke- 3 dari ( 2x + y )8 adalah.... Pembahasan : ( 2x + y )8 � n = 8, suku ke-3 � r = 2

suku ke – k = rrnrn baC −⋅=

suku ke-3 = 22828 )2( yxC ⋅⋅ −

1

1 1

2 1 1

1

1

3 3 1

4 6 4 1

5 10 10 5 1 1

n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

1C0 1C1

2C1 2C2 2C0

3C3

4C4

3C2 3C1 3C0

3C3 4C2 4C1 4C0

5C4 5C3 5C2 5C1 5C0 5C5

0C0

∑=

−⋅=+n

r

rrnrn

n baCba0

)(

33333

22323

11313

00303

3)( baCbaCbaCbaCba −−−− ⋅+⋅+⋅+⋅=+

= 1a3b0 + 3a2b1 + 3a1 b2 + 1 a0 b3

= 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3

26)2(28 yx ⋅⋅=

suku ke-k , maka r = k-1

Suku ke - k rrnrn baC −⋅=

(a + b)0 =

(a + b)1 =

(a + b)2=

(a + b)3=

(a + b)4=

(a + b)5=

1a + 1b

1

1a2 + 2ab +1b2

1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3

1a4 + 4a3b + 6a2 b2 + 4ab3 + 1b4

1a5 + 5a4b + 10a3 b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5

26 )64(28 yx ⋅⋅=

261792 yx=

C. PELUANG SEBUAH KEJADIAN #(5)#(5)#(5)#(5)

Peluang sebuah kejadian adalah perbandingan antara kejadian yang diharapkan dengan seluruh kejadian yang mungkin terjadi. P(A) = peluang kejadian A n(A) = banyaknya kemungkinan kejadian A n(S) = banyaknya seluruh kemungkinan yang bisa terjadi/

banyaknya ruang sampel. Contoh : 1. Sebuah dadu dilambungkan sekali, peluang muncul mata dadu genap

adalah ? Pembahasan : n(A) = 3 ( angka genap dalam dadu : 2, 4, 6) n(S) = 6 ( seluruh angka dalam dadu : 1, 2, 3, 4, 5, 6 )

2

1

6

3

)(

)()( ===

Sn

AnAP

2. Seorang ibu akan melahirkan seorang anak, peluang seorang ibu tersebut akan melahirkan anak laki – laki atau perempuan adalah ? n(A) = 2 ( bisa laki-laki atau bisa perempuan) n(S) = 2 ( laki–laki dan perempuan)

12

2

)(

)()( ===

Sn

AnAP

D. PELUANG KOMPLEMEN SEBUAH KEKADIAN #(6)#(6)#(6)#(6)

Peluang komplemen sebuah kejadian A adalah peluang selain kejadian A atau ditulis P’(A).

)(

)()(

Sn

AnAP = ,dengan n(A) ≤ n(S)

0 ≤ P(A) ≤ 1 P(A) =0, artinya kejadian mustahil terjadi P(1) = 1 artinya kejadian pasti terjadi

Catatan :

)(1)(' APAP −=

Contoh :

1. Peluang Andi lulus dalam tes masuk perguruan tinggi adalah 0,56. Maka peluang Anda gagal dalam tes tersebut adalah ? Pembahasan : P(A) = 0,56 ( peluang Andi lulus) P’(A) = 1 – 0,56 = 0,44 (peluang Andi gagal )

E. FREKUENSI HARAPAN SUATU KEJADIAN #(7)#(7)#(7)#(7)

Frekuensi harapan adalah perkalian antara peluang sebuah kejadian dengan banyaknya percobaan yang dilakukan. F(A) = frekuensi harapan kejadian A n = banyaknya percobaan P(A) = pelualang kejadian A Contoh : 1. Sepuluh kartu yang bernomor 1 s/d 10 dikocok secara acak. Jika akan

diambil sebuah kartu lalu dikembalikan lagi. Pengambilan gersebut dilakukan sebanyak 100 kali, maka frekuensi harapan terambilnya kartu bernomor prima adalah.... Pembahasan : n(A) = 7 ( bilangan prima : 2, 3, 5, 7) n(S) = 10 ( kartu berangka : 1, 2, 3, .... 10) n = 100 ( banyak percoban ) F(A) = n P(A)

F(A) = 100. 5

2 = 40

F. KEJADIAN MAJEMUK #(8)#(8)#(8)#(8)

a.a.a.a. KejadianKejadianKejadianKejadian Saling LepasSaling LepasSaling LepasSaling Lepas Kejadian A dan B saling lepas jika kejadian A dan B tidak bisa terjadi bersama. Kalo digambarkanadalah sebagai berikut.

)()( APnAF ⋅=

5

2

10

4

)(

)()( ===

Sn

AnAP

S

A B

φ=∩ BA

Peluangnya adalah :

Contoh : 1. Dua buah dadu dilambungkan bersama, peluang muncul jumlah kedua

mata dadu 8 atau 10 adalah.... Pembahasan : n(A) = 5 → jml mata dadu 8 : {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)} n(B) = 3 → jml mata dadu 10 : {(4,6),(5,5),(6,4)} n(S) = 36

)()()( BPAPBAP +=∪

9

2

36

8

36

3

36

5 ==+=

b.b.b.b. Kejadian Tidak Saling LepasKejadian Tidak Saling LepasKejadian Tidak Saling LepasKejadian Tidak Saling Lepas Kejadian A dan B tidak saling lepas jika kejadian A dan B bisa terjadi bersama. Kalo digambarkanadalah sebagai berikut.

Contoh : 1. Dalam setumpuk set kartu bridge akan diambil sebuah kartu, peluang

terambil kartu berwar merah atau as adalah..... Pembahasan : n(A) = 26 ( jumlah kartu warna merah ) n(B) = 4 ( jumlah kartu as )

)()()( BPAPBAP +=∪

Dad

u 1

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,5)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Dadu 2

S

A B φ≠∩ BA

)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪

)( BAn ∩ = 2 ( jumlah kartu as dan merah )

n(S) = 52 ( jumlah seluruh kartu bridge ) )()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪

522

524

5226 −+=

137

5228 ==

c.c.c.c. Kejadian Saling Bebas (Beruntun)Kejadian Saling Bebas (Beruntun)Kejadian Saling Bebas (Beruntun)Kejadian Saling Bebas (Beruntun) Kejadian berurutan A dan B dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B. Peluangnya adalah :

)( BAP ∩ = pelualang kejadian A dan B secara berurutan

Contoh : 1. Dalam sebuah kantong terdapat 4 bola merah dan 3 bola kuning. Dari

dalam kantong akan diambil 2 bola satu persatu, bola yang sudah diambil dikembalikan lagi ke kantong. Peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola kuning pada pengambilan kedua adalah ? Pembahasan : n(A) = 4 ( jml bola merah ) n(B) = 3 ( jml bola kuning ) n(S) = 7 ( jml seluruh bola )

)()()( BPAPBAP ×=∩

21

12

7

3

7

4 =×=

d.d.d.d. Kejadian Tidak Saling Bebas (Beruntun)Kejadian Tidak Saling Bebas (Beruntun)Kejadian Tidak Saling Bebas (Beruntun)Kejadian Tidak Saling Bebas (Beruntun) Kejadian berurutan A dan B dikatakan tidak saling bebas jika kejadian A mempegaruhi kejadian B. Peluangnya adalah :

)|( ABP = pelualang kejadian B setelah kejadian A

Contoh : 1. Dalam sebuah kantong terdapat 4 bola merah dan 3 bola kuning. Dari

dalam kantong akan diambil 2 bola satu persatu, bola yang sudah diambil tidak dikembalikan lagi ke kantong. Peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola kuning pada pengambilan kedua adalah ?

)()()( BPAPBAP ×=∩

)|()()( ABPAPBAP ×=∩

Pembahasan :

n(A) = 4 ( jml bola merah ) , )( ASn = 7 ( jml seluruh bola saat awal )

n(B) = 3 ( jml bola kuning ), )( BSn = 7 ( jml seluruh bola setelah diambil

1 bola) )|()()( ABPAPBAP ×=∩

)(

)(

)(

)(

BA Sn

Bn

Sn

An ×=

7

2

42

12

6

3

7

4 ==×=


1. Dari angka-angka 3,4,5,6 dan 7 akan dibuat bilangan terdiri dari empat angka

berlainan. Banyaknya bilangan kurang dari 6.000 yang dbapat dibuat

adalah…

A. 24

B. 36

C. 48

D. 72

E. 96

UN MAT IPS 2012 (A35-31)

2. Dari 7 orang pengurus suatu ekstrakurikuler akan dipilih seorang ketua, wakil

ketua , sekretaris, bendahara dan humas. Banyak cara pemilihan pengurus

adalah…

A. 2.100

B. 2.500

C. 2.520

D. 4.200

E. 8.400

UN MAT IPS 2012 (A35-32)

3. Dua dadu di lempar undi bersama-sama satu kali. Peluang jumlah mata

kedua dadu yang muncul habis dibagi 5 adalah…

A.

B.

C.

D.

E.

UN MAT IPS 2012 (A35-33)

36

2

36

4

36

5

36

7

36

8

4. Suatu percobaan lempar undi tiga mata uang logam sebanyak 200 kali.

Frekuensi harapan munculnya dua sisi gambar dan satu sisi angka adalah…

A. 50

B. 60

C. 75

D. 100

E. 125

UN MAT IPS 2012 (A35-34)

5. Dari angka 1,2,3,4 dan 7 akan dibentuk bilangan yang terdiri dari tiga angka berbeda. Banyak bilangan berbeda yang dapat dibentuk dengan nilai masing-masing kurang dari 400 adalah… A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 E. 84 UNMAT IPS 2011 (XX-29)

6. Banyak cara memasang 5 bendera dari negara yang berbeda disusun dalam satu baris adalah…. A. 20 B. 24 C. 69 D. 120 E. 132 UNMAT IPS 2011 (XX-31)

7. Dari 20 kuntum bunga mawar akan diambil 15 kuntum secara acak. Banyak cara pengambilan ada… A. 15.504 B. 12.434 C. 93.024 D. 4.896 E. 816 UNMAT IPS 2011 (XX-32)

8. Kotak I berisi 4 bola biru dan 3 bola kuning. Kotak II berisi 2 bola biru dan 5 bola merah. Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola secara acak. Peluang terambilnya kedua bola berlainan warna adalah…

A. 49

6

B. 49

15

C. 49

20

D. 49

21

E. 49

41

UNMAT IPS 2011 (XX-33)

9. Pada percobaan lempar undi 3 keping uang loga bersama-sama sebanyak 600 kali, frekuensi harapan muncul paling sedikit dua gambar adalah… A. 500 B. 400 C. 300 D. 200 E. 100 UNMAT IPS 2011 (XX-35)

10. Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari Ayah, Ibu dan 5 anaknya akan

makan bersama duduk mengelilingi meja bundar. Jika Ayah dan Ibu

duduknya selalu berdampingan, maka banyak cara mereka duduk

mengelilingi meja bundar tersebut ada…

A. 120

B. 240

C. 720

D. 1.020

E. 5.040

UN MAT IPA 2012 (A35-29)

11. Dua buah dadu dilempar undi bersamaan senbayak satu kali. Peluang kedua

mata dadu yang muncul tidak ada yang sama adalah…

A. 6

1

B. 3

1

C. 2

1

D. 3

2

E. 6

5

UN MAT IPA 2012 (A35-30)

12. Seorang siswa diwajibkan mengerjakan 8 soal dari sepuluh soal, tetapi nomor 1 sampi dengan 4 wajib dikerjakan. Banyaknya pilihan yang harus diambil siswa tersebut ada … A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 E. 30 UN MAT IPA 2011 (D10-15)

13. Dari dalam kantong yang berisi 8 kelereng merah dan 10 kelereng putih. Akan diambil 2 kelereng sekaligus secara acak. Peluang yang terambil 2 kelereng putih adalah…

A. 153

20

B. 153

28

C. 153

45

D. 153

56

E. 153

90

UN MAT IPA 2011 (D10-20)

14. Dari 7 siswa di kelas, akan dipilih pengurus kelas yang terdiri dari seorang ketua kelas, seorang sekretaris dan seorang bendahara. Banyak susunan pengurus kelas yang dapat dibentuk dengan tidak boleh ada jabatan rangkap adalah ... A. 42 cara B. 45 cara C. 60 cara D. 70 cara E. 210 cara UN MAT IPA 2010 (D10-38)

15. Seorang siswa diminta mengerjakan 8 dari 10 soal ulangan, tetapi nomor 1 sampai dengan nomor 5 harus dikerjakan. Banyak pilihan yang dapat diselesaikan siswa tersebut adalah ... A. 4 cara B. 5 cara

C. 6 cara D. 10 cara E. 20 cara UN MAT IPA 2010 (D10-39)

16. Pada percobaan lempar undi 2 buah dadu, peluang mata dadu yang muncul berjumlah 7 atau 10 adalah ...

A. � �

B. � �

C. � �

D. U �

E. �G �

UN MAT IPA 2010 (D10-40)

17. Dibuah sekelas di SMA Y, terdiri dari 30 orang siswa. Pada kelas tersebut akan di pilih 3 orang sebagai pengurus kelas yang menjabat sebagai ketua kelas, wakil ketua kelas dan sekretaris. Banyaknya cara memilih yang mungkin terjadi adalah ... A. 24, 360 B. 24. 630 C. 42.360 D. 42.630 E. 46.230 UN MAT IPA 2009 (D10-15)

18. Dari seperangkat kartu bridge diambil dua kartu sekaligus secara acak. Peluang yang terambil dua kartu King adalah ...

A. �

��

B. ��

C. �

��

D. ��

E. �

�� UN MAT IPA 2009 (D10-16)

19. Dua buah dadu dilempar undi secara bersamaan sebanyak satu kali. Peluang kejadian muncul jumlah mata dadu 9 atau 11 adalah… A. 1/2 B. 1/4 C. 1/6 D. 1/8 E. 1/12 UN MAT IPA 2008 (D10-40)

20. Dalam kantong I terdapat 5 kelereng merah dan 3 kelereng putih, dalam kantong II terdapat 4 kelereng merah dan 6 kelereng hitam. Dari setiap kantong diambil satu kelereng secara acak. Peluang terambilnya kelerang putih dari kantong I dan kelereng hitam dari kantong II adalah…

A. 40

39

B. 13

9

C. 2

1

D. 20

9

E. 40

9

UN MAT IPA 2007 (D9-29)

21. A,B,C dan D akan berfoto bersama berdampingan. Peluang A dan B selalu berdampingan adalah…

A. 12

1

B. 6

1

C. 3

1

D. 2

1

E. 3

2

UN MAT IPA 2006 (D10-09)

22. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru dan 3 bola kuning. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus secara acak. Peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola biru adalah…. A. 1/10 B. 5/36 C. 1/6 D. 2/11 E. 4/11 UN MAT IPA 2005 (D10-07)

23. Enam orang berpergian dengan dua mobil milik dua orang diantara mereka.

Masing-masing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas masing-

masing mobil adalah 4 orang termasuk pengemudi. Banyak cara penyusun

penumpang di kedua mobil tersebut adalah...

A. 10

B. 14

C. 24

D. 54

E. 96


24. Dalam kotak terdapat 3 bola biru, 4 bola merah, dan 2 bola putih. Jika diambil

7 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil

dua kali banyak bola putih yang terambil adalah...

A. 24

1

B. 12

1

C. 6

1

D. 14

3

E. 8

1


25. Delapan titik terletak pada bidang datar sehingga tidak ada tiga titik yang segaris. Banyak segitiga yang dapat dibuat dengan titik-titik sudut dari titik-titik tersebut adalah… A. 56 B. 58 C. 64 D. 84 E. 96 SNMPTN MAT IPA 2011 (XX-08)

26. Panitia jalan sehat akan membuat kupon bernomor yang terdiri atas 4 angka yang disusun oleh angka-angka 0,1,3,5 dan 7. Jika angka pertama atau terakhir tidak 0, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah….


27. Sejumlah siswa terdiri dari atas 5 putra dan 5 putri membentuk panitia yang

terdiri atas 4 orang siswa. Peluang panita tersebut memuat paling banyak 2

siswa putri adalah….

A. 16/21

B. 11/37

C. 23/42

D. 31/42

E. 35/42


28. Dalam suatu kotak terdapat 100 bola serupa yang bernomor 1,2,3,……,100.

Jika dipilih satu bola secara acak, maka peluang terambilnya bola dengan

nomor yang habis dibagi 5, tetapi tidak habis dibagi 3 adalah…

A. 3/25

B. 7/50

C. 4/25

D. 9/50

E. 2/5

SNMPTN MAT DAS 2009(XX-04)

29. Suatu tim bulu tangkis terdiri atas 5 anggota. Akan ditentukan 2 orang untuk

bermain tunggal dan 2 pasang untuk bermain ganda. Jika peraturan yang

dipakai bahwa pemain tunggal boleh bermain ganda sekali, maka banyak

pilihan yang bisa dibentuk adalah…

A. 240

B. 120

C. 80

D. 60

E. 30


30. Suatu panitia yang terdiri dari 4 orang dengan rincian, seorang sebagai

ketua,seorang sebagai sekretaris, dan dua orang sebagai anggota(kedua

anggota tidak dibedakan) dakan dipilih dari 3 pria dan 3 wanita. Jika ketua

panitia harus wanita dan sekretaris harus pria, maka banyak susunan panita

berbeda yng bisa dibentuk adalah…

A. 36

B. 54

C. 72

D. 90

E. 108


31. Pada percobaan melempar dua buah dadu sekaligus, peluang munculnya jumlah mata dadu tidak lebih dari 6 adalah… A. 5/18 B. 1/3 C. 5/12 D. 1/2 E. 2/3 SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-25)

32. Tiga siswa dan tiga siswi duduk berjajar pada sebuah bangku. Jika yang menempati pinggir bangku harus siswa, maka banyaknya susunan posisi duduk yang mungkin adalah…. A. 6 B. 24 C. 120 D. 144 E. 720 SPMB MAT DAS 2007 (XX-16)

33. Dalam sebuah ruangan pertemuan terdapat enam pasang suami istri. Jika dipilih dua orang secara acak dari ruangan tersebut, maka peluang terpilihnya dua orang tersebut suami istri adalah… A. 1/11 B. 2/11 C. 3/11 D. 5/11 E. 6/11 SPMB MAT DAS 2007(XX-18)

34. Dalam babak penyisihan suatu turnamen, 25 pecatur satu sama lain bertanding satu kali. Banyaknya pertandingan yang terjadi adalah…. A. 150

B. 180 C. 200 D. 270 E. 300 SPMB MAT DAS 2006 (XX-18)

LINGKARAN

A. DEFINISI #(1)

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik – titik yang berjarak sama dengan titik tertentu. Titik tertentu tersebut adalah pusat lingkaran (P) , sedangkan jarak titik-titik yang sama ke titik tertentu tersebut adalah jari – jari (r) .

B. PESAMAAN LINGKARAN #(2)

a.a.a.a. Lingkaran Pusat (0,0)Lingkaran Pusat (0,0)Lingkaran Pusat (0,0)Lingkaran Pusat (0,0)

Persamaannya : Pusat (P) = (0,0) Jari – jari (r) = r

r

O Unsur utama dalam lingkaran adalah : pusat(Ppusat(Ppusat(Ppusat(P) ) ) ) dan jarijarijarijari----jari(r)jari(r)jari(r)jari(r)

r

O(0,0)

K(x,y)

Y

X

222 ryx =+

Rumus jarak 2 titik :

212

212 )()( yyxxd −+−=

Maka dalam lingkaran disamping berlaku :

222

22

22

212

212

)0()0(

)()(

ryx

ryx

ryx

ryyxxd

=+

=+

=−+−

=−+−=

Penjelasan :

b.b.b.b. Persamaan Persamaan Persamaan Persamaan Lingakaran Pusat (a,b)Lingakaran Pusat (a,b)Lingakaran Pusat (a,b)Lingakaran Pusat (a,b)

Persamaannya :

Pusat (P) = (a,b) Jari – jari (r) = r

Pusat (P) =

−−2

,2

BA

Jari – jari (r) = CBA −+ 22

4

1

4

1 atau Cpusatr −= 2

Contoh : 1. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, -3) dengan jari – jari 4 adalah....

Pembahasan : P = (a,b) = (2,-3) r = 4

222 )()( rbyax =−+−

222 4))3(()2( =−−+− yx

16)3()2( 22 =++− yx atau diuraikan menjadi bentuk :

036422 =−+−+ yxyx

2. Carilah bentuk pusat dan jari jari persamaan linkgakran :

032622 =−+−+ yxyx Pembahasan :

022 =++++ CByAxyx

032622 =−+−+ yxyx

Maka dalam lingkaran disamping berlaku :

222

22

212

212

)()(

)()(

)()(

rbyax

rbyax

ryyxxd

=−+−

=−+−

=−+−=

Penjelasan :

X

Y

(a,b)

P(x,y) r

Atau kalo diuraikan kembali jadi :

0

022

22

)()(

22

22222

22222

222

=++++

=−++−−+

=+−++−

=−+−

CByAxyx

rbabyaxyx

rbbyyaaxx

rbyax

222 )()( rbyax =−+−

022 =++++ CByAxyx

A = -6, B = 2, C = -3

Pusat (P) = ( )1,32

2,

2

)6(

2,

2−=

−−−=

−− BA

Jari – jari (r) = 13319)3(13 222 =++=−−+=− Cpusat

3. Persamaan lingkaran dengan pusat (-1, 2) dan melalui (4, 5) adalah....

Pembahasan : P = (a,b) = (-1,2) r = ....

222 )()( rbyax =−+−

222 )2())1(( ryx =−+−−

222 )2()1( ryx =−++

Melaui (4, 5) maka : 222 )25()14( r=−++

2925 r=+

234 r=

34)2()1( 22 =−++ yx

C. RUMUS-RUMUS PENTING DALAM LINGKARAN #(3)

a.a.a.a. Titik Tengah Antara 2 TitikTitik Tengah Antara 2 TitikTitik Tengah Antara 2 TitikTitik Tengah Antara 2 Titik

b.b.b.b. JarakJarakJarakJarak Titik ke GarisTitik ke GarisTitik ke GarisTitik ke Garis

Contoh : 1. Persamaan lingkaran yang ujung-ujung diameternya melalui (5, 4) dan

(-3, 6). Maka persamaan lingkaranya adalah....

(-1,2)

(4,5)

),( 11 yx ),( 22 yx d

),( 11 yx ),( 22 yx T A B

// //

++=

2,

22121 yyxx

T

212

212 )()( yyxxd −+−=

Pembahasan :

++=

2,

22121 yyxx

P

+−=2

64,

2

35

)5,1(= Panjang diameter(D) dari (-3,6) sampai (5,4) maka :

212

212 )()( yyxxD −+−=

22 )46()53( −+−−= 68464)2()8( 22 =+=+−=

172=

17

172 =

=

r

r

22 )()( rbyaxL =−+−≡

17)5()1( 22 =−+− yx

c.c.c.c. JarakJarakJarakJarak Titik ke TitikTitik ke TitikTitik ke TitikTitik ke Titik

Contoh :

1. Suatu lingkaran dengan pusat di A(3,2) dan disinggung oleh garis 02743 =−+ yx . Maka persamaan lingkaran tersebut adalah...

Pembahasan :

22

11

ba

cbyaxdr

+

++==

25

10

169

2789

43

27)2(4)3(322

=−=+−+=

+

−+=r

222 )()( rbyaxL =−+−≡

4)2()3( 22 =−+− yx

D = 2r atau r = ½ D Catatan :

(-3,6)

(5,4)

P

(x1,y1)

(x2,y2)

22

11

ba

cbyaxd

+

++=

(x1,y1)

0=++ cbyax

d

(x1,y1)

02743 =−+ yx

(3, 2)

r

D. KEDUDUKAN TITIK TERHADAP LINGKARAN #(4)

Berikut adalah kedutukan titik A terhadap lingkaran

022 =++++ CByAxyx .

Contoh :

1. Kedudukan titik T(1,2) terhadap llingkaran 0105422 =−+−+ yxyx


0105422 =−+−+ yxyx → T(1,2), maka :

0?10)2(5)1(421 22 −+−+

0?1010441 −+−+

0?1

01 > Maka titik T(1,2) berada diluar lingkaran.

2. Kedudukan titik K(2,-3) terhadap lingkaran 10)2()3( 22 =++− yx adalah...

Pembahasan :

10)2()3( 22 =++− yx → K(2,-3)

A(x1,y1)

A(x1,y1)

A(x1,y1)

Titik A di dalam lingkaran

Titik A pada lingkaran

Titik A di luar lingkaran

0112

12

1 <++++ CByAxyx

atau 22)1(2)1( rbyax <−+−

0112

12

1 =++++ CByAxyx

atau 22)1(2)1( rbyax =−+−

0112

12

1 >++++ CByAxyx

atau 22)1(2)1( rbyax >−+−

10?)23()32( 22 +−+−

10?)1(1 22 −+

10?2

102 < Maka titik K(2,-3) berada didalam lingkaran.

E. KEDUDUKAN GARIS TERHADAP LINGKARAN #(5)

Untuk mengetahui hubungan garis dan lingkaran ditentukan dengan

deskriminan D )4( 2 acbD −= .

Contoh :

1. Kedudukan garis 32 += xy terhadap lingkaran 053222 =++−+ yxyx


32 += xy

053222 =++−+ yxyx

05)32(32)32( 22 =+++−++ xxxx

059629124 22 =+++−+++ xxxxx

023165 2 =++ xx → a = 5, b = 16, c = 23

acbD 42 −=

)23)(5(4)16( 2 −=

144460256 −=−= Karena D = -144 < 0 maka garis tersebut tidak memotong/menyinggung lingkaran.

D>0 D=0 D<0

memotong lingkaran menyinggung lingkaran tidak memotong/menyinggung

Subtitusikan y garis ke y lingkaran

F. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

a.a.a.a. Diketahui Titik SinggungnyaDiketahui Titik SinggungnyaDiketahui Titik SinggungnyaDiketahui Titik Singgungnya #(6) Persamaan Garis Singgung (PGS) lingkaran jika diketahi titik singgungnya bentuknya sebagai berikut :

Contoh :

1. Persamaan garis singgung lingkaran 1022 =+ yx di titik (1,3) adalah...

Pembahasan :

1022 =+ yx → melalui titik (1, 3)

pgs : 211 ryyxx =+

1031 =+ yx

103 =+ yx

2. Persamaan garis singgung lingkaran 5)4()2( 22 =++− yx di titik (3,-2)


5)4()2( 22 =++− yx → melalui titik (3,-2)

pgs : 211 ))(())(( rbybyaxax =−−+−−

5)4)(4()2)(2( 11 =+++−− yyxx

5)4)(42()2)(23( =++−+−− yx

5)4(2)2(1 =++− yx

(x1,y1)

(x1,y1)

(x1,y1)

222 ryx =+ pgs : x1 x+ y1 y = r 2

(x1,y1)

22)(2)( rbyax =−+− pgs : (x1-a)(x-a)+(y1-a)(y-a) = r2

(x1,y1)

022 =++++ CByAxyx

pgs : x1x+ y1y + 2A (x1+x) +

2B (y1+y)+C=0

5822 =++− yx

12 −=+ yx

3. Persamaan garis singgung lingkaran 054222 =−+−+ yxyx di titik

(2,1) adalah... Pembahasan :

054222 =−+−+ yxyx → melalui titik (2,1)

0)()( 121211 =++++++ cyyxxyyxx BA

05)1()2(1224

22 =−+++−+ yxyx

05)1(2)2(2 =−+++−+ yxyx

052222 =−++−−+ yxyx

053 =−+ yx

b.b.b.b. Diketahui Gradien Garis SinggungnyaDiketahui Gradien Garis SinggungnyaDiketahui Gradien Garis SinggungnyaDiketahui Gradien Garis Singgungnya #(7)

Contoh :

1. Persamaan garis singgung lingkaran 522 =+ yx dengan gradien garis

2 adalah... Pembahasan :

522 =+ yx , m = 2, 5=r

12 +±= mrmxy

1252 2 +⋅±= xy

552 ⋅±= xy

(x1,y1)

pgs : 1)( 2 +±−=− mraxmby

22)(2)( rbyax =−+− atau 022 =++++ CByAxyx

gradien = m

pgs : 12 +±= mrmxy

222 ryx =+

gradien = m

52 ±= xy , jadi pgs nya adalah :

52 += xy atau 52 −= xy

2. Persamaan garis singgung lingkaran 2)3()2( 22 =−++ yx dengan

gradien -2 adalah... Pembahasan :

22)(2)( rbyax =−+−

2)3()2( 22 =−++ yx , jadi a = -2, b = 3, 2=r dan m = -2

1)( 2 +±−=− mraxmby

1)2(2)2(23 2 +−±+−=− xy

52423 ±−−=− xy

10342 ±+−−= xy

10342 ±+−−= xy

1012 ±−−= xy , jadi pgs nya adalah :

1012 +−−= xy atau 1012 −−−= xy

3. Garis singgung lingkaran 036422 =+−++ yxyx dengan gradien 3


036422 =+−++ yxyx , A = 4, B = -6, C = 3

Pusat (P) = ( ) ( ) ( )3,2,,2

)6(24

22−== −−−−− BA jadi a = -2 , b = 3

1039433)2( 222 =−+=−+−=−= Cpusatr

m = 3

pgs: 1)( 2 +±−=− mraxmby

1310))2((33 2 +±−−=− xy

1010)2(33 ±+=− xy

10363 ±++= xy

1093 ±+= xy , jadi pgs nya :

1093 ++= xy atau 1093 −+= xy

193 += xy 13 −= xy

c.c.c.c. Diketahui Titik di Luar LingkaranDiketahui Titik di Luar LingkaranDiketahui Titik di Luar LingkaranDiketahui Titik di Luar Lingkaran #(8) Jika diketahui titik P(x1,y1) di luar lingkaran maka ada dua garis singgung yang bisa dibuat dari titik tersebut, seperti berikut :

Maka langkah penyelesaiannya adalah : 1. Buat persamaan garis yang melalui titk P(x1,y1) dengam gradien

m(belum diketahui). Dengan rumus )( 11 xxmyy −=− .

2. Subtitusikan persamaan garis tersebut ke persamaan lingkaran. 3. Dari persamaan lingkaran kita selesaikan dengan deskriminan ( D = 0 ),

karena garis menyinggung lingkaran maka akan didapat nilai m. 4. Masukan m (gradien) garis yang di dapat pada persamaan gari di

langkah 1.

Contoh :

1. Dari titik T(0,10) akan dibuat garis singgung lingkaran 1022 =+ yx ,

maka persamaan garis singgung yang terjadi adalah... Pembahasan : Langka 1 : T (0,10) dan gradien m

)( 11 xxmyy −=−

)0(10 −=− xmy

10+= mxy

Langkah 2 :

1022 =+ yx

10)10( 22 =++ mxx

1010020222 =+++ mxxmx

09020)1( 22 =+++ mxxm , maka 902012 ==+= CmBmA , ,

Langkah 3 : D = 0

042 =− ACB

0)90)(1(4)20( 22 =+− mm

0360360400 22 =−− mm

P(x1,y1)

)( 121 xxmyy −=−

)( 111 xxmyy −=−

T(0,10)

36040 2 =m

92 =m

39 ±=±=m , jadi 31 =m atau 32 −=m

Langkah 4 : 10+= mxy , maka untuk 31 =m atau 32 −=m , didapat :

103 += xy atau 103 +−= xy


1. Lingkaran ( ) ( ) 931 22 =−++≡ yxL memotong garis y=3. Garis singgung

lingkaran yang melalui titik potong antara antara lingkaran dan garis tersebut

adalah…

A. x = 2 dan x = -4

B. x = 2 dan x = -2

C. x = -2 dan x = 4

D. x = -2 dan x = -4

E. x = 8 dan x = -10

UN MAT IPA 2012 (A35-10)

2. Persamaan garis singgung lingkaran 0124622 =−+−+ yxyx di titik (7,1)

adalah … A. 04143 =−− yx

B. 05534 =−+ yx

C. 05354 =−− yx

D. 03134 =−+ yx

E. 04034 =−− yx

UN MAT IPA 2011 (D10-17)

3. Salah satu garis singgung lingkaran �� + V� − 6� − 2V + 5 = 0 yang sejajar garis 2x – y + 7 = 0 adalah ... A. 2x – y – 10 = 0 B. 2x – y + 10 = 10 C. 2x + y +10 = 0 D. x – 2y - 10 = 0 E. x – 2y + 10 = 0 UN MAT IPA 2010 (D10-08)

4. Lingkaran W = 7� + 18� + 7V − 38� = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ... A. x = 2 dan x = -4 B. x = 2 dan x = -2 C. x = -2 dan x = 4 D. x = -2 dan x = -4 E. x = 8 dan x = -10 UN MAT IPA 2009 (D10-11)

5. Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A(-2,-1) pada lingkaran

01361222 =+−++ yxyx adalah…

A. 052 =−−− yx

B. 01=+− yx

C. 042 =++ yx

D. 0423 =+− yx

E. 032 =+− yx

UN MAT IPA 2008 (D10-11)

6. Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran

13)1()2( 22 =++− yx di titik yang berabsis -1 adalah…

A. 0323 =−− yx

B. 0523 =−− yx

C. 0923 =−+ yx

D. 0923 =++ yx

E. 0523 =++ yx

UN MAT IPA 2007 (D9-07)

7. Persamaan garis singgung pada lingkaran 076222 =−−−+ yxyx di titik

yang berabsis 5 adalah… A. 0184 =−− yx

B. 044 =+− yx

C. 0104 =+− yx

D. 044 =−+ yx

E. 0154 =−+ yx

UN MAT IPA 2006 (D10-11)

8. Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 0442 =−− yx ,

serta menyinggung sumbu X negatif dan sumbu Y negatif adalah…

A. 044422 =++++ yxyx

B. 084422 =++++ yxyx

C. 042222 =++++ yxyx

D. 044422 =+−−+ yxyx

E. 042222 =+−−+ yxyx

UN MAT IPA 2006 (D10-13)

9. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1,4) dan menyinggung garis 0243 =−− yx adalah…

A. 024322 =−−++ yxyx

B. 036422 =−−−+ yxyx

C. 088222 =−+++ yxyx

D. 088222 =+−−+ yxyx

E. 0168222 =−+++ yxyx

UN MAT IPA 2005 (D10-09)

10. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran 2522 =+ yx tegak lurus

garis 032 =+− xy adalah…

A. 52

5

2

1 +−= xy

B. 52

5

2

1 −= xy

C. 552 −= xy

D. 552 +−= xy

E. 552 += xy

UN MAT IPA 2005 (D10-10)

11. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 - 2x - 6y + 1 = 0 tegak lurus garis

3x –y = 0 adalah...

A.

B.

C.

D.

E.

UAN 2004 (IPA, P3)

12. Diketahui sebuah lingkaran melalui titik O(0,0), A(0,8), dan B(6,0). Persamaan

garis singgung pada lingakaran tesebut di titik A adalah...

A. 3x – 4y – 32 = 0

B. 3x – 4y + 32 = 0

C. 3x + 4y – 32 = 0

103)1(33 ±−−=− xy

10)1(33 ±−−=− xy

10)1(31

3 ±−−=− xy

103)1(31

3 ±−−=− xy

109)1(31

3 ±−−=− xy

D. 4x + 3y – 32 = 0

E. 4x - 3y + 32 = 0

UAN 2003

13. Salah satu garis singgung yang bersudut 120o terhadap sumbu X positif pada

lingkararan dengan ujung diameter di titik (7,6) dan (1,-2) adalah...

A.

B.

C.

D.

E.

UAN 2003

14. Titik (a,b) adalah pusat lingkaran x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0 jadi 2a + b = ....

A. 0

B. 2

C. 3

D. -1

E. -3

UAN 2002 (IPA, P2)

15. Diketahui lingkaran x2 + y2 - 2px + q = 0 berjari-jari 2. Garis x – y = 0 akan

menyinggung lingkaran tersebut bila nilai p yang positif sama dengan...

A.

B. 4

C.

D. 8

E.

UAN 2002(IPA, P4)

16. Jarak antara titik pusat lingkaran x2 - 4x + y2 + 4 = 0 dari sumbu Y adalah...

A. 3

B. 2 ½

C. 2

D. 1 ½

12343 ++−= xy

8343 +−−= xy

8343 ++−= xy

8343 −−−= xy

22343 ++−= xy

22

24

26

E. 1

UAN 2002

17. Salah satu persamaan garis singgung dari titik(0,2) pada lingkaran x2 + y2 = 1

adalah...

A.

B.

C.

D.

E.

EBTANAS 2001

18. Lingkaran (x – 3)2+ (y – 4)2= 25 memotong sumbu-X di titik A dan B. Jika P

adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka cos < APB= ....

A. 25

7

B. 25

8

C. 25

12

D. 25

16

E. 25

18


19. Lingkaran (x + 6)2+(y + 1)2= 25 menyinggung garis y = 4 dititik...

A. (-6,4)

B. (6,4)

C. (-1,4)

D. (1,4)

E. (5,4)


20. Diberikan lingkaran dengan persamaan 222 14)12()5( =−++ yx . Jarak

minimal titik pada lingkaran tersebut ke titik asal adalah…

23 −= xy

13 += xy

23 −−= xy

23 +−= xy

13 +−= xy

A. 14

B. 3

C. 2 D. 1

E. 2

1


21. Jika lingkaran 022 =++++ cbyaxyx berpusat di (1,-1) menyinggung

garis xy = , maka nilai cba ++ adalah…


22. Jika lingkaran x2 + y2 + 6x + 6y + c = 0 menyinggung garis x = 2, maka nilai c

adalah...

A. -7

B. -6

C. 0

D. 6

E. 12

SPMB 2005

23. Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x2 + y2 - 4x + 6y - 17 = 0 dan

menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 mempunyai persamaan...

A. (x – 2)2 + (y + 3)2= 25

B. (x – 2)2 + (y + 3)2= 16

C. (x + 2)2 + (y - 3)2= 25

D. (x + 2)2 + (y - 3)2= 16

E. (x - 4)2 + (y + 6)2= 25

SPMB 2002

24. Syarat agar garis ax + y = 0 menyinggung lingkaran dengan pusat ( - 1, 3)

dan jari-jari 1 adalah a = ...

A. 3/2

B. 4/3

C. 3/4

D. 2/3

E. 1/4

UM UGM MAT IPA 2010 (452-06)

25. Lingkaran dengan titik pusat (a,b) menyinggung sumbu x dan garis y = x, jika

jari –jari |b| adan....

A. 0)12( =+− ba

B. 0)12( =−− ba

C. 0)12( =−+ ba

D. 0)12( =−− ba

E. 02 =− ba


26. Diketahui sebuah lingkaran 02422 =−++≡ yyxL . Jika melalui titik P(1,6)

dibuat garis singgung pada L, maka jarak dari P ke titik singgung tadi adalah

….

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5


27. Lingkaran 066622 =+−−+ yxyx mempunyai kekhususan sebagai

berikut :

1. Menyinggung y = 0

2. Menyinggung x = 0

3. Berpusat di O (0,0)

4. Titik pusatnya terletak pada x – y = 0


SUKU BANYAK

A. PENGERTIAN SUKU BANYAK #(1)

Bentuk umum suku banyak adalah :

012

22

21

1 .... axaxaxaxaxa nn

nn

nn ++++++ −

−−

−

Keterangan :

� 01221 ,,,.....,,, aaaaaa nnn −− adalah koefisien variabel x.

� xxxxx nnn ,,......,,, 221 −− adalah variabel dengan tertinggi n.

B. MENCARI NILAI SUKU BANYAK #(2)

a.a.a.a. Metode SubtitusiMetode SubtitusiMetode SubtitusiMetode Subtitusi Contoh :

1. Diberikan suku banyak 8642)( 23 +−+= xxxxf , maka nilai dari )2(f


8642)( 23 +−+= xxxxf

28

8121616

8)2(6)2(4)2(2)2( 23

=+−+=

+−+=

f

b.b.b.b. Metode Horner/Bagan/SkemaMetode Horner/Bagan/SkemaMetode Horner/Bagan/SkemaMetode Horner/Bagan/Skema Contoh :

1. Diberikan suku banyak 8642)( 23 +−+= xxxxf , maka nilai suku

banyak untuk x = 2 adalah... Pembahasan :

8642)( 23 +−+= xxxxf , koefisien variabelnya adalah 2, 4, -6, dan 8

Jadi hasilnya adalah 28.

2. Suatu suku banyak 54435)( 24 +++= xxxxg , maka nilai g(-3) adalah...

Pembahasan :

2 4 -6 8

x = 2

2

4

8

16

10

20

28

+ + +

2× 2× 2×

x3 x2

x1 x0

52035)( 24 +−+= xxxxg , koefisien vareabelnya adalah 5, 0, 3, 44, 5

Jadi hasilnya adalah 305.

C. PEMBAGIAN SUKU BANYAK

a.a.a.a. Metode MenurunMetode MenurunMetode MenurunMetode Menurun #(3) Contoh : 1. Suatu suku banyak 62653)( 234 −+−+= xxxxxf dibagi dengan 3+x ,

maka hasil dan sisanya adalah... Pembahasan : Jadi hasil suku banyak f(x) dibagi x + 3 mempunyai hasil

16643 23 −+− xxx dan sisa 42.

2. 10224)( 34 +++= xxxxg dibagi 32 −− xx sisanya adalah....

Pembahasan :

10224)( 34 +++= xxxxg bisa ditulis menjadi

102024)( 234 ++++= xxxxxg .

5 0 3 5

x = -3

5

-15

-15

45

48

300

305

+ + +

3−×

x4 x3 x2 x0

44

-144

-100

+

x1

3−× 3−× 3−×

16643

42

4816

616

186

26

124

64

93

626533

23

2

2

23

23

34

234−+−

−−−−

−+

+

−−

−−

−+

−+−++xxx

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xxxxx

-

hasil bagi

sisa

Proses pembagian berhenti jika yang dibagi berderajat lebih rendah dari pembaginya.

catatan:

Jadi hasi suku banyak g(x) dibagi oleh 32 −− xx mempunyai hasil

1864 2 ++ xx dan sisa 6438 +x .

b.b.b.b. Metode HornerMetode HornerMetode HornerMetode Horner #(4) Contoh : 1. Suatu suku banyak 62653)( 234 −+−+= xxxxxf dibagi dengan 3+x ,

maka hasil dan sisanya adalah... Pembahasan :

Dari pembagi 3+x , didapat pemubat nolnya x + 3= 0, maka x = -3.

Mempunyai hasil 16643 23 −+− xxx dan sisa 42.

c.c.c.c. Metode Horner KinoMetode Horner KinoMetode Horner KinoMetode Horner Kino #(5) Metode ini digunakan jika pembaginya berupa fungsi tidak linier. Contoh :

1. Suatu suku banyak 10224)( 34 +++= xxxxg dibagi 32 −− xx , maka

hasil dan sisanya adalah... Pembahasan :

10224)( 34 +++= xxxxg bisa ditulis 102024)( 234 ++++= xxxxxg .

Pembagi 32 −− xx kita ‘nol’ kan 032 =−− xx maka :

32 += xx → koefiesien : 1 dan 3.

3 5 -6 -6

x = -3

3

-9

-4

12

6

48

42

+ + +

3−×

x4 x3 x2 x0

2

-18

-16

+

x1

3−× 3−× 3−×

x3 x2 x0 x1

sisa

hasil bagi

1864

6438

541818

102081

1866

2126

1244

1020243

2

2

2

23

23

234

2342

++

+−−−

++

−−−++

−−−++++−−

xx

x

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxxxxx hasil bagi

sisa

Jadi hasilnya adalah 1864 2 ++ xx maka 6438 +x .

D. TEOREMA SISA

a.a.a.a. Penjelasan DasarPenjelasan DasarPenjelasan DasarPenjelasan Dasar #(6)

Dalam pembagian suku banyak ada empat unsur penting yaitu : suku banyak F(x), pembagi P(x), Hasil H(x) dan sisa S(x). Jika dituliskan dalam satu kesatuan menjadi :

Jika sisa nya nol, S(x) = 0 maka : � F(x) habis dibagi P(x) � P(x) faktor dari F(x)

Derajat pangkat tertinggi dari sisa satu lebihkecil dari derajat pangkat tertinggi dari pembagi :

Pangakat Tertinggi Pembagi

Pangkat Tertinggi Sisa

xn xn-1

x3 x2

x2 x x k

konstanta

4 2 0 10

3

4

4

6

6

18

54

64

+ + +

x4 x3 x2 x0

2

18

38

+

x1

x2 x1 x1 x0

hasil bagi

1

12

+ 18

x0

+ 1× 1× 1×

3× 3× 3×

sisa

F(x) = P(x) H(x) + S(x)

sisa hasil

pembagi suku banyak

13 dibagi 2 adalah hasilnyaa 5 sisa 3. Jadi : 13 = 2 . 5 + 3

Ilustrasi dengan angka :

sisa hasil pembagi

suku banyak

b.b.b.b. Pencarian Sisa Dengan Teorema SisaPencarian Sisa Dengan Teorema SisaPencarian Sisa Dengan Teorema SisaPencarian Sisa Dengan Teorema Sisa Dari persamaan berikut : F(x) = P(x) H(x) + S(x) Misalnya kita menganti pembagi P(x) dengan (x - A) maka : F(x) = (x - A) H(x) + S(x) Kita akan mencari sisa S(x) jadi kita akan hilangkan H(x) nya denan cara mensubtitusi x = A. Maka didapat : F(A) = (A - A) H(A) + S(A) F(A) = 0.H(A) + S(A) F(A) = S(A) Dari persamaan diatas dapat disimpulkan :

Contoh : #(7)

1. Suatu suku banyak 5253)( 34 ++−= xxxxf dibagi dengan 2−x maka

sisanya adalah.... Pembahasan :

2−x → pembuat nolnya 2=x , maka sisanya :

5253)( 34 ++−= xxxxf Sisa = F(A) Sisa = F(2)

5)2(2)2(5)2(3 34 ++−=

544048 ++−=

17=

2. Jika fungsi suku banyak kxxx 7342 20127147 −+− habis dibagi oleh )1( +x maka berapkah nilai k tersebut......

Pembahasan : Karena habis dibagi, maka pembagian tersebut memberikan sisa 0.

1+x → pembuat nolnya 1−=x , maka :

kxxxxf 7342)( 20127147 −+−=

Sisa = F(A) = F(-1) = 0

07)1(3)1(4)1(2 20127147 =−−+−−− k

07)1(3)1(4)1(2 =−+−−− k

07342 =−++− k

075 =− k

k75=

7

5=k

(-1)genap = 1

(-1)ganjil = -1

catatan :

sisa = F(A) dengan A adalah pembuat nol dari pembagi.

3. Suatu suku banyak bila dibagi dengan 2−x menghasilkan sisa 10 dan

bila dibagi dengan 3+x bersisa -5. Maka berapakah sisa suku banyak

tersebut jika dibagi dengan 62 −+ xx ? Pembahasan:

10)2()( →−→ xxf 10)2( =f

5)3()( −→+→ xxf 5)3( −=−f

baxxxxf +→−+→ )3()( 2

baxxxxf +→+−→ )3)(2()(

Eliminasi : Sisa = F(A) = ax + b

155

53)3(

102)2(

=

−=+−=−=+=

-

a

baf

baf

a = 3

4

106

10)3(2

102

==+=+=+

b

b

b

ba

Jadi sisanya adalah : 43 +x

E. TEOREMA FAKTOR DAN AKAR #(8)

a.a.a.a. Pengertian Faktor dan AkarPengertian Faktor dan AkarPengertian Faktor dan AkarPengertian Faktor dan Akar Suatu nilai merupakan faktor dari suatu fungsi jika fungsi dibagi dengan nilai tersebut tidak mempunyai sisa (sisa = 0).

Ingat karena pangkat pembagi x2 maka sisanya adalah x.

CADAS :

43

20155

)5,3(5)3(

)10,210)2(

+=+=

−−−→−=−→=

xy

xy

f

f

(

-10 - (-30) = 20

sisa

F(x) = P(x) H(x) + S(x)

sisa=0

pembagi=faktor hasil=faktor

12 dibagi 2 adalah hasilnyaa 6 sisa 0. Jadi : 12 = 2 . 6 + 0

Ilustrasi dengan angka :

sisa faktor faktor

Atau bisa dikatakan (x – a) merupakan faktor dari f(x) jika f (a) = 0. Dan nilai a disebut akar. Berikut ilustrasinya :

F(x) = (x – a)(x – b)(x - c)

b.b.b.b. Cara Mencari Faktor dan AkarCara Mencari Faktor dan AkarCara Mencari Faktor dan AkarCara Mencari Faktor dan Akar Bila diketahui suku banyak :

012

22

21

1 ....)( axaxaxaxaxaxf nn

nn

nn ++++++= −

−−

−

1. Tentukan faktor bulat positif 0a (kita namakan p) dan tentukan faktor

bulat positif na (kita namakan q).

2. Kita tentukan kombinasikan p dan q dengan q

pk ±= .

3. Masukan k ke f(x), jika f(k)=0 maka k adalah salah satu akarnya dan (x – k) adalah satu faktornya.

Contoh :

1. Carilah akar dan faktor dari suku banyak 1052 234 −+++ xxxx . Pembahasan : Langkah 1 :

1052 234 −+++ xxxx → 1=na dan 100 −=a

p = 1, q = 1, 2, 5, 10 Langkah 2 :

10,10,5,5,2,2,1,1 −−−−=±=q

pk

Langkah 3 :

0101531101)1(5)1(3)1()1( 234 =−+++=−+++=f

karena f(1)=0 maka x = 1 adalah akar dan (x – 1) adalah faktor.

08101531101)1(5)1(3)1()1( 234 ≠−=−−+−=−−−+−+−=−f

Karena 0)1( ≠−f maka x = - 1 bukan akar.

052102202416102)2(5)2(3)2()2( 234 ≠=−+++=−+++=f

Karena 0)2( ≠f maka x = 2 bukan akar.

0102202416102)2(5)2(3)2()2( 234 =−−+−=−−−+−+−=−f

karena f(-2)=0 maka x = -2 adalah akar dan (x +2) adalah faktor. Kita sudah mendapatkan 2 faktor (x – 1) dan (x + 2) kalo kita kalikan

2)2)(1( 2 −+=+− xxxx . Maka 22 −+ xx juga merupakan faktor. Untuk

faktor

a, b, c adalah akar dari F(x).

mencari faktor lain bisa dilakukan dengan membagi suku banyak

dengan 22 −+ xx .

52

1055

1055

422

72

2

10532

2

2

2

23

23

234

2342++

−−+

−+

−−+

++

−−+

−+++−+xx

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxxxxx

0

Jadi )52)(2)(1(1053 2234 +++−=−+++ xxxxxxxx

Maka akar- akarnya :1 dan -2 dan

faktornya : )1( −x , )2( +x dan )52( 2 ++ xx .

F. OPERASI AKAR #(9)

1. Bentuk : cbxax 2 ++

a

bxx −=+ 21

a

cxx =⋅ 21

2. Bentuk : dcxbxax 23 +++

a

bxxx −=++ 321

a

cxxxxxx =⋅+⋅+⋅ 323121

a

dxxx −=⋅⋅ 321

3. Bentuk : edxcxbxax 234 ++++

a

bxxxx −=+++ 4321

a

cxxxxxxxxxxxx =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 434232413121

a

dxxxxxxxxxxxx −=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 432431421321

a

exxxx =⋅⋅⋅ 4321

Contoh :

hasil bagi

Tidak mapu difaktorkan lagi karena nilai D <0

1. Diketahui kxxx +−+ 442 23 mempunyai dua akar yang saling berlawanan, maka nilai k adalah... Pembahasan :

kxxx +−+ 442 23

a

bxxx −=++ 321

2

4322 −=++− xxx

23 −=x , jadi salah satu akarnya adala x = -2, maka f(-2) = 0

kxxxxf +−+= 442)( 23

f(-2) = 0

0)2(4)2(4)2(2)2( 23 =+−−−+−=− kf

081616 =+++− k

08 =+ k

8−=k

berkebalikan, maka x1 = - x2 x1

x2

x3


1. Suku banyak berderajat 3, jika dibagi ( )22 −+ xx bersisa ( )12 −x , jika dibagi

( )32 −+ xx bersisa ( )33 −x . Suku banyak tersebut adalah…

A. 3223 −−− xxx

B. 3223 +−− xxx

C. 3223 ++− xxx

D. 22 23 +−− xxx

E. 22 23 −+− xxx

UN MAT IPA 2012 (A35-10)

2. Diketahui suku banyak bxxaxxxP ++−+= 532)( 234 . Jika P(x) dibagi (x-1)

sisa 11, dibagi (x+1) sisa -1, maka nilai (2a+b)=…... A. 13 B. 10 C. 8 D. 7 E. 6 UN MAT IPA 2011 (D10-02)

3. Diketahui (x-2) dan (x-1) adalah faktor-faktor dari suku banyak

bxaxxxP +−+= 13)( 23 , Jika akar-akar persamaan suku banyak tersebut

adalah x1,x2 dan x3, untuk 321 xxx >> , maka nilai ...321 =−− xxx

A. 8 B. 6 C. 3 D. 2 E. -4 UN MAT IPA 2011 (D10-03)

4. Suku banyak � +2�� − 9� + X, jika dibagi (2x - 4) bersisa 16 dan jika dibagi (x + 2) bersisa 20. Nilai dari 2p + q = ... A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 E. 21 UN MAT IPA 2010 (D10-11)

5. Suku banyak f(x) dibagi (x-2) sisa 1, dibagi (x + 3) sisa -8. Suku banyak g(x) dibagi (x - 2) sisa 9, dibagi (x + 3) sisa 2. Jika h(x)=f(x).g(x), maka sisa pembagian h(x) dibagi �� + � − 6 adalah ...

A. 7x – 1 B. 6x – 1 C. 5x – 1 D. 4x – 1 E. 3x – 1 UN MAT IPA 2009 (D10-18)

6. Salah satu faktor suku banyak nxxxxP +−−= 1015)( 24 adalah )2( +x .

Faktor lainnya adalah.. A. 4−x

B. 4+x

C. 6+x

D. 6−x

E. 8−x UN MAT IPA 2008 (D10-12)

7. Jika )(xf dibagi dengan )2( −x sisanya 24, sedangkan )(xf dibagi (2x-3)

sisanya 20. Jika )(xf dibagi dengan )32)(2( −− xx sisanya adalah…

A. 8x+8 B. 8x-8 C. -8x+8 D. -8x-8 E. -8x+6 UN MAT IPA 2007 (D9-08)

8. Jika 2x3 – 5x2 – kx + 18 dibagi x – 1 mempunyai sisa 5, maka nilai k adalah...

A. -15

B. -10

C. 0

D. 5

E. 10


9. Diberikan suku banyak p(x) = ax2 + bx + 1. Jika a dan b dipilih secara acak

dari selang [0,3], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar

adalah...

A. 1

B. 3/4

C. 2/4

D. 1/4

E. 0


10. Diketahui suku banyak )(xf bersisa -2 bila dibagi (x+1), bersisa 3 bila dibagi

(x-2). Suku banyak )(xg bersisa 3 bila dibagi (x+1) dan bersisa 2 bila dibagi

(x-2). Jika )().()( xgxfxh = maka sisa )(xh bila dibagi 22 −− xx adalah…

A. 4x-2 B. 3x-2 C. 3x+2 D. 4x+2 E. 5x-2 SNMPTN MAT IPA 2011 (XX-05)

11. Suku banyak yang akarnya 52 − adalah…

A. 914 24 +− xx

B. 914 24 −− xx

C. 914 24 ++ xx

D. 8914 24 +− xx

E. 8914 24 ++ xx


12. Salah satu faktor suku banyak 323 −++ xkxx adalah 1−x . Faktor yang lain adalah…

A. 332 ++ xx

B. 32 −+ xx

C. 332 −+ xx

D. 322 ++ xx

E. 372 +− xx SNMPTN MAT IPA 2009 (XX-13)

13. Nilai nm+ yang mengakibatkan 432234 86 naxmaxaaxx +−+− habis dibagi 2)( ax − adalah…

A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 E. -2 SNMPTN MAT IPA 2008 (XX-13)

14. Jika suku banyak 62 23 ++− qxpxx dan 1432 23 −−+ xxx , mempunyai

sisa sama apabila dibagi oleh 1+x , maka nilai ...=+ qp

A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2 SPMB MAT IPA 2007 (XX-14)

15. Diketahui 1)( 5 −+= bxaxxp dengan a dan b adalah konstan. Jika p(x)

dibagai (x-2006) bersisa 3, maka bila p(x) dibagi dengan (x+2006) akan bersisa… A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 E. -5 SPMB MAT IPA 2006 (XX-14)

16. Jika a dan b adalah sisa hasil pembagian f(x) = x3 – 4x + 1 dan g(x) = 2x3 + 5x2

– 8 oleh x + 2, maka sisa hasil pembagian f(x) – g(x) oleh (x – a – b) adalah....

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6


17. Suku banyak berderajat tiga ( ) nmxxxxp +++= 23 2 dibagi dengan x2 – 4x

+ 3 mempunyai sisa 3x + 2, maka nilai n = ….

A. -20

B. -16

C. 10

D. 16

E. 20


18. Diketahui f(x) suku banyak derajat tiga dengan koefisien x3 sama dengan 1,

yang habis dibagi ( )3−x dan ( )1+x . Jika f(4) = 30, maka f(2) = ….

A. -8

B. -7

C. -12

D. 0

E. 7


19. Misalkan ( ) ( ) ( ) ( ).123 23 −+−+−= xxxxf maka sisa dari pembagian

f(x+2) oleh x2 - 1 adalah ….

A. -2 + 5x

B. -9 + 14x

C. 5 – 2x

D. 14 – 9x

E. 11 + 19x


20. Jika sisa pembagian suku banyak f(x), dengan x, x - 1 dan x + 2 berturut – turut

adalah 2, 3 dan 4, maka sisa pembagian suku banyak f (x) dengan x3 + x2 – 2x

adalah ….

A. 23

2

3

1 2 −−− xx

B. 23

2

3

1 2 ++ xx

C. 3

22

3

1 2 −+ xx

D. 23

1

3

2 2 −− xx

E. 23

1

3

2 2 ++ xx


21. Jumlah solusi riil dari persamaan 0543924 2345 =−+−− xxxxx adalah

….

A. -4

B. -1

C. 0

D. 1

E. 4


22. Diketahui ( ) 15 −+= bxaxxP , dengan a dan b konstan. Jika P(x) dibagi

dengan (x - 2010) bersisa 6. Jika P(x) dibagi dengan (x + 2010) akan bersisa

….

A. -8

B. -2

C. -1

D. 1

E. 8


23. Pada pembagian suku banyak 49981 23 +−+ xxx dengan ( )px−3

diperoleh sisa 3p3 + 2. Jumlah nilai - nilai p yang memenuhi adalah ….

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6


24. Jika suku banyak ax3 + 2x2 + 5x + b dibagi (x2 – 1) menghasilkan sisa (6x + 5)

maka a + 3b sama dengan ….

A. 15

B. 12

C. 10

D. 8

E. 5


25. Jika suku banyak f(x) habis dibagi oleh (x-1), maka sisa pembagian f(x) oleh

(x-1)(x+1) adalah ….

A. ( ) ( )x

f +−−1

2

1

B. ( ) ( )x

f −−−1

2

1

C. ( )( )x

f +−1

2

1

D. ( )( )x

f −−1

2

1

E. ( )( )12

1 −−x

f


FUNGSI KOMPISISI & INVERS

A. FUNGSI #(1)

Fungsi atau pemetaan A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B dengan notasi BAf →: .

A adalah daerah asal (domain) dinotasikan Df , contoh : a, b, c, d B adalah daerah kawan (kodomain) dinotasikan Kf, contoh : 1, 2, 3, 4, 5 Daerah hasil (range) dinotasika Rf , contoh : 1, 2, 3, 4 Contoh : 1. Diantara himpunan pasangan berurutan berikut manakah yang merupakan

pemetaan... a. {(a,1),(b,3),(c,5),(b,4)} b. {(b,3),(a,4),(c,1),(d,5)} c. {(a,2),(a,3),(b,5),(d,3)} d. {(a,4),(b,2),(c,1),(b,6)} e. {(a,5),(b,4),(c,1),(b,5)} Pembahasan : Yang merupakan pemataan/fungsi adalah obsi (b) karena tidak ada yang anggota yang ‘selingkuh’.

2. Diantar gambar berikut manakah yang termasuk fungsi pmetaan.... a. d.

b. e.

c.

a b c d

12 3 4 5

A B

ab c

Pq r

ab c

Pq r

ab c

Pq r

ab c

Pq r

SALAH a b

12 3

A B

a ‘selingkuh’ SALAH

a b c

1

3

A B

b ‘jomblo’

ab c

Pq r

catatan : Domain tidak boleh ‘selingkuh’ dan tidak boleh ‘jomblo’

Pembahasan : Yang merupakan pemtaan adalah opsi (b) karena tida ada anggota bagian kiri (daerah asal) yang ‘selingkuh’ atau ‘jomblo’.

B. JENIS - JENIS FUNGSI #(2)

a.a.a.a. Fungsi KonstanFungsi KonstanFungsi KonstanFungsi Konstan Adalah fungsi yang memetakan setiap bilangan real ke nilaikonstan, misalnya 2)( =xf . Berapappun nilai

x nya haslinya selalu 2. b.b.b.b. Fungsi IdentitasFungsi IdentitasFungsi IdentitasFungsi Identitas

Adalah fungsi yang memetakkan setiap bilangan dengan dirinya sendiri, misalnya xxf =)( .

c.c.c.c. Funsgsi MutlakFunsgsi MutlakFunsgsi MutlakFunsgsi Mutlak Adalah fungsi yang selalu memberikan hasil positif berapapun nilai yang dipetakkan.

d.d.d.d. Fungsi GenapFungsi GenapFungsi GenapFungsi Genap

Adalah fungsi yang mempunyai sifat )()( xfxf =− . Grafiknya akan simetris

dengan sumbu Y. Contoh :

2)( 2 += xxf

6242)2()2( 2 =+=+=f

6242)2()2( 2 =+=+−=−f

e.e.e.e. Fungsi GanjilFungsi GanjilFungsi GanjilFungsi Ganjil Adalah fungsi yang mempunyai sifat )()( xfxf −=− . Grafiknya akan

simetris dengan O(0,0) Contoh :

3)( xxf =

273)3( 3 ==f

27)3()3( 3 −=−=−f

f(x) adalah fungsi genapfungsi genapfungsi genapfungsi genap karena membuat f(-2) = f(2).

f(x) adalah fungsi ganjil fungsi ganjil fungsi ganjil fungsi ganjil karena membuat f(-3) = -f(3).

X

Y

2 f(x) = 2

X

Y

2 f(x) = x

2

1

1

<−≥

==0

0)(

xx

xxxxf

jika ,

jika , X

Y f(x) = | x |

X

Y f(x) = x2+2

-2 2

6

X

Y f(x) = x3

3 3

27

-27

C. SIFAT - SIFAT FUNGSI #(3)

a.a.a.a. Fungsi Injektif Fungsi Injektif Fungsi Injektif Fungsi Injektif Setiap anggota A memilki tepat satu pasangan di B.

b.b.b.b. Fungsi Surjektif ( Fungsi Onto)Fungsi Surjektif ( Fungsi Onto)Fungsi Surjektif ( Fungsi Onto)Fungsi Surjektif ( Fungsi Onto) Setiap anggota B memilki pasangan di A.

c.c.c.c. Fungsi Bijektif ( Korespondensi satuFungsi Bijektif ( Korespondensi satuFungsi Bijektif ( Korespondensi satuFungsi Bijektif ( Korespondensi satu----satu)satu)satu)satu) Adalah gabungan fungsi injektif dan fungsi surjektif. Jadi setiap anggota A dipasangkan degan tepat satu anggota B dan setiap anggota B tepat punya satu pasangan dari anggota A.

D. OPERASI ALJABAR FUNGSI #(4)

1. )()())(( xgxfxgf +=+

2. )()())(( xgxfxgf −=−

3. )())(( xfkxfk ⋅=× , k adalah konstanta.

4. )()())(( xgxfxgf ×=×

5. )(

)()(

xg

xfx

g

f =

, dengan 0)( ≠xg

6. [ ]mm xfxf )()( =

E. FUNGSI KOMPOSISI #(5)

a.a.a.a. Pengertian Pengertian Pengertian Pengertian Fungsi Fungsi Fungsi Fungsi KomposisiKomposisiKomposisiKomposisi Fungsi komposisi adalah penggabungan beberapai fungsi menjadi satu.

a b c

1

2

A B

a b c

1 23

A B

x

f(x)

g(f(x))

A B C f g

fgh o=

a b

12 3

A B

fgh o= bisa dulis juga dengan ))(()( xfgxh o= atau ))(()( xfgxh =

b.b.b.b. Penyelesaian fungsi KomposisiPenyelesaian fungsi KomposisiPenyelesaian fungsi KomposisiPenyelesaian fungsi Komposisi 1. Mencari gabungan fungsi.

Contoh :

Berikut diberikan 42)( 2 −+= xxxf , 2)( += xxg , xxh 3)( = maka nilai :

a. ))(( xgf o

b. ))(( xfg o

c. ))(( xfgh oo

d. )1)(( hgf oo

Pembahasan : a. ))(())(( xgfxgf =o

)2( += xf

4)2(2)2( 2 −+++= xx

442442 −++++= xxx

462 ++= xx b. ))(())(( xfgxfg =o

)42( 2 −+= xxg

2)42( 2 +−+= xx

222 −+= xx c. ))((())(( xfghxfgh =oo

)22( 2 −+= xxh

)22(3 2 −+= xx

663 2 −+= xx d. ))((())(( xhgfxhgf =oo

)23( += xf

4)23(2)23( 2 −+++= xx

4464129 2 −++++= xxx

4189 2 ++= xx

3

5

25

A B C

f(x)= x+2 g(x)=x2

fgh o= =(x+2)2

contoh

))(())(( xfgxgf oo ≠ catatan :

=)1()( hgf oo

3

5

31

31

CADAS

41894)1(18)1(9)1)(( 2 ++=++=hgf oo

31=

2. Mencari fungsi sebelah kanan. #(6)

Misalnya diketahui ))(( xgf o dan )(xf , yang ditanyakan fungsi sebelah

kanan yaitu )(xg .

Contoh :

Diketahui 546))(( 2 −+= xxxgf o , 12)( += xxf maka )(xg adalah...

Pembahasan:

546))(( 2 −+= xxxgf o 546))(( 2 −+= xxxgf

5461)(2 2 −+=+ xxxg

1546)(2 2 −−+= xxxg

646)(2 2 −+= xxxg

323)( 2 −+= xxxg

3. Mencari fungsi sebelah kiri #(7)

Contoh :

Diketahui 54))(( 2 ++= xxxgf o dan 1)( += xxg , maka nilai )(xf


54))(( 2 ++= xxxgf o

54))(( 2 ++= xxxgf

54)1( 2 ++=+ xxxf

42)1()1( 2 +++=+ xxxf

=+ )1(xf 2)1(2)1( 2 ++++ xx

=+ )1(xf 2)1(2)1( 2 ++++ xx

2)(2)())(( 2 ++= xgxgxgf

22)( 2 ++= xxxf

122 ++ xx

22 +x

ubah sebelah kanan ke bentuk (x+1)

F. FUNGSI INVERS #(8)

a.a.a.a. PengertianPengertianPengertianPengertian FungsiFungsiFungsiFungsi InversInversInversInvers Fungsi invers adalah fungsi kebalikan dari fungsi tersebut.

b.b.b.b. Cara Mencari InversCara Mencari InversCara Mencari InversCara Mencari Invers Jika y merupakan fungsi dari x, maka inversnya adalah x merupakan fungsi y. Contoh : 1. Fungsi invers dai 53)( += xxf adalah...

Pembahasan : 53)( += xxf

53 += xy

xy 35 =−

xy =−

3

5

3

5−= yx

3

5)(1 −=− x

xf

2. Jika f -1(x) adalah invers dari f(x). Dengan 62

53)(

−+=

x

xxf maka f -1(x)


62

53)(

−+=

x

xxf

62

53

−+=

x

xy

53)62( +=− xxy

5362 +=− xyxy

5632 +=− yxxy

56)32( +=− yyx

a b

f(a) = b

f -1 (b) =a

A B 1 2 3

5 6 7

f(x) = x + 4

f -1 (x) = x - 4

A B

contoh

y fungsi dari x

x fungsi dari y

CADAS :

acx

bdxxf

dcx

baxxf

−+−=⇒

++= − )()( 1

32

56)(

62

53)( 1

−+=⇒

−+= −

x

xxf

x

xxf

f (a) = b

f-1(b) = a

catatan:

CADAS :

3

5)(

53)(

1 −=

+=

− xxf

xxf

)()(

)()(

÷↔×−↔+

32

56

−+=

y

yx

32

56)(1

−+=−

x

xxf

3. Jika diketahui 13)( += xxf , maka nilai dari )27(1−f adalah....

Pembahasan : 13)( += xxf

13 += xy 13loglog += xy

3log)1(log += xy

)1(3log

log += xy

1log3 += xy

1)log(1)log( 33 −=⇔=− yxxy

1)log()( 31 −=− xxf

131)27log()27( 31 −=−=−f

2= c.c.c.c. Operasi InversOperasi InversOperasi InversOperasi Invers #(9)

1. ( ) )()(11 xfxf =

−−

2. ))(()()( 111 xfgxgf −−− = oo

3. ))(()()( 1111 xfghxhgf −−−− = oooo

d.d.d.d. Fungsi IdentitasFungsi IdentitasFungsi IdentitasFungsi Identitas Fungsi Identitas biasa dilambangkan I(x). Atau fungsi identitas bisa ditulis

xxI =)( .

Sifat – sifat fungsi identitas adalah : 1. )())(( xfxfI =o

2. )())(( xfxIf =o

3. )())(( 1 xIxff =−o

4. )())(( 1 xIxff =− o

e.e.e.e. Mencari Sebuah Fungsi Dengan InversMencari Sebuah Fungsi Dengan InversMencari Sebuah Fungsi Dengan InversMencari Sebuah Fungsi Dengan Invers

Diketahui sebuah fungsi komposisi )())(( xhxgf =o maka bagai mana

mencari )(xf ataupun )(xg nya, berikut adalah prosesnya .

)())(( xhxgf =o , ....)( =xg

)())(( xhxgf =o

CADAS : 13)( += xxf

xf =− )27(1 , x =...?

231

33

27331

1

=⇔=+∴=

=+

+

xx

x

x

f (a) = b

f-1(b) = a

catatan:

))(())(( 11 xhfxgff ooo −− =

))(())(( 1 xhfxgI oo −=

))(())(( 1 xhfxg o−=

Dengan begitu dapat disimpullkan : 1. )())(( xhxgf =o , ....)( =xg ?

))(())(( 1 xhfxg o−=

2. )())(( xhxgf =o , ....)( =xh ?

))(())(( 1 xghxf −= o

Contoh :

1. Suatu fungsi komposisi 124))(( 2 −+= xxxgf o dengan 32)( −= xxg

maka nilai )(xf nya adalah...

Pembahasan :

124))(( 2 −+= xxxgf o

)())(( xhxgf =o

))(()( 1 xghxf −= o

+== −2

3))(()( 1 x

hxghxf

12

32

2

34)(

2

−

++

+= xxxf

134

964)(

2−++

++= xxx

xf

1396)( 2 −++++= xxxxf

117)( 2 ++= xxxf

2. Diberikan fungsi komposisi 3

12))((

++=

x

xxgf o dengan 5)( += xxf maka

nilai )(xg nya adalah....

Pembahasan :

3

12))((

++=

x

xxgf o

)())(( xhxgf =o

))(()( 1 xhfxg o−=

))(()( 1 xhfxg −=

Catatan : untuk mencari g-1(x) kita gunakan CADAS.

2

3)(

32)(

1 +=

+=

− xxg

xxg

)()(

)()(

÷↔×−↔+

h(x)

h(x)

Catatan : untuk mencari f-1(x) kita gunakan CADAS.

5)(

5)(1 −=

+=− xxf

xxf )()( −↔+

)())(( xhxgf =o

))(()( 1 xghxf −= o

)())(( xhxgf =o

))(()( 1 xhfxg o−=

Fungsi yang dipindah ruas jadi inversnya. Posisi fungsi tidak berubah posisi kanan/kiri nya.

CADAS :

++= −3

12)( 1

x

xfxg

53

12)( −

++=

x

xxg

)3(

)3(5

3

12)(

++−

++=

x

x

x

xxg

3

15512)(

+−−+=

x

xxxg

3

143)(

+−−=

x

xxg


1. Diketahui fungsi 5,5

23)( ≠

−+= x

x

xxf dan )(1 xf − adalah invers dari )(xf .

Nilai dari ...)4(1 =−f

A. 24

B. 22

C. 11

D. -3

E. -14

UNMAT IPS 2012 (A35-11)

2. Diketahui 2

32)(

xxf

−−= . Jika 1−f adalah invers dari f , maka ...)(1 =− xf

A. )1(3

2x+

B. )1(3

2x−

C. )1(2

3x+

D. )1(2

3 −− x

E. )1(3

2 +− x


3. Diketahui fungsi RRf →: , RRg →: yang dinyatakan 32)( 2 −−= xxxf

dan 2)( −= xxg komposisi fungsi yang dirumuskan sebagai ...))(( =xgf o

A. 562 +− xx

B. 362 −− xx

C. 622 +− xx

D. 222 +− xx

E. 522 −− xx


4. Diketahui fungsi 2

5,

52

43)( −≠

+−= x

x

xxf , invers dari f adalah ...)(1 =− xf

A. 2

3;

32

45 −≠+−

xx

x

B. 2

5;

52

43 ≠−−−

xx

x

C. 5

2;

25

34 −≠+−

xx

x

D. 4

3;

34

25 ≠−−

xx

x

E. 2

3;

32

45 ≠−−−

xx

x


5. Diketahui fungsi 1)( += xxg dan 1)( 2 −+= xxxf . Komposisi fungsi

=))(( xgf o ….

A. 332 ++ xx

B. 232 ++ xx

C. 132 +− xx

D. 132 −+ xx

E. 132 ++ xx

UN MAT IPA 2012 (A35-11)

6. 52)( += xxf dengan 4,4

1)( −≠

+−= x

x

xxg , maka nilai ( ) ...)( =xgf o

A. 4,4

27 −≠++

xx

x

B. 4,4

32 −≠++

xx

x

C. 4,4

22 −≠++

xx

x

D. 4,4

187 −≠++

xx

x

E. 4,4

227 −≠++

xx

x

UN MAT IPA 2011 (D10-01)

7. Perhatikan gambar! Persamaan grafik fungsi inversnya adalah…

A. xy 3=

B. x

y3

1=

C. xy1

3=

D. x

y2

1=

E. xy 2=

UN MAT IPA 2011 (D10-35)

8. Diketahui fungsi f(x) = 3x + 2 dan21,

12

3)( ≠

−+= x

x

xxg . Nilai komposisi fungsi

...)1)(( =−fg o

A. -1

B. − �U

C. − �

D. �

E. �U

UN MAT IPA 2010 (D10-09)

9. Diketahui fungsi f(x) = �,�� , , � ≠ 3, jika nilai 6��7�8 merupakan invers dari f(x),

maka nilai 6��(-3) adalah ... A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 E. 10 UN MAT IPA 2010 (D10-10)

10. Perhatikan grafik fungsi eksponen berikut! Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah .. A. y = 2 log x B. y = -2 log x C. y =� log �

D. y =�� log �

E. y = �� log �

UN MAT IPA 2010 (D10-18)

0

y

V = 2,

x

(1,0) 8

-3

0 X

Y y = alogx

11. Diketahui 67�8 = �� + 4� − 5 dan Z7�8 = 2� − 1. Hasil dari fungsi komposisi

�Z ᵒ6�7�8adalah ...

A. 2�� + 8� − 11 B. 2�� + 8� − 6 C. 2�� + 8� − 9 D. 2�� + 4� − 6 E. 2�� + 4� − 9 UN MAT IPA 2009 (D10-17)

12. Perhatikan grafik fungsi eksponen! Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah ...

A. 2 log x B. -2 log x C. � log �

D. �� log �

E. �� log �

UN MAT IPA 2009 (D10-36)

13. Invers dari fungsi 5

8,

85

23)( −≠

+−= x

x

xxf adalah ...)(1 =− xf

A. 35

28

−+−

x

x

B. 3528

+−

x

x

C. x

x

5328

+−

D. x

x

5328

−+

E. x

x

5328

−+−

UN MAT IPA 2008 (D10-06)

0

y V = 0,

x 1 2 3

2

4

8

14. Diketahui fungsi f dan g yang dirumuskan oleh 643)( 2 +−= xxxf dan

12)( −= xxg . Jika nilai 101))(( =xgf o , maka nilai x yang memenuhi

adalah…

A. 23

23 −dan

B. dan3

23− 2

C. dan11

32

D. 23

23 −− dan

E. 211

3 −− dan

UN MAT IPA 2007 (D9-05) 15. Jika f(x) = ax + 3, a ≠ 0, dan f -1(f -1(9))= 3, maka nilai a2 + a + 1 adalah..

A. 11

B. 9

C. 7

D. 5

E. 3

SNMPT MAT DAS 2012 (821-09)

16. Jika 2)( += xxf dan 5

)(+

=x

xxg , maka nilai )4)(( 1 fg o− adalah…

A. -8 B. -6 C. -2 D. 4 E. 6 SNMPTN MAT DAS 2011 (XX-10)

17. Jika 32)2( −=− xxg dan 384)2)(( 2 +−=− xxxgf o , maka ....)3( =−f

A. -3

B. 0

C. 3

D. 12

E. 15


18. Diberikan fungsi f memenuhi persamaan 3)3()(3 +=−+− xxfxf untuk

setiap bilangan real x . Nilai )3(8 −f adalah…


19. xxf =+ )42( dan xxg =− )3( , maka nilai ))2(())1(( fggf + sama

dengan… A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 SNMPTN MAT IPA 2008 (XX-05)

20. Jika 1)( += xxf dan 1

1)(

2 −=

xxg , maka daerah asal fungsi komposisi

))(( xfg o adalah…

A. ∞<<∞− x

B. 1−>x

C. 0<x atau 0>x

D. 01 <<− x atau 0>x

E. 0<x atau 1>x SPMB MAT DAS 2007 (XX-21)

21. Diketahui x

xxf

−= 1)( untuk setiap bilangan real 0≠x . Jika RRg →:

adalah suatu fungsi sehingga 12))(( += xxfg o , maka fungsi invers

...)(1 =− xg

A. 1

3

+−

x

x

B. 1

3

−−

x

x

C. 3

1

−+

x

x

D. x

x

−−

1

3

E. x

x

−−

3

1


22. Jika 2

1)(

2 −=

xxf dan

76

1))((

2 ++=

xxxgf o maka ...)2( =+xg

A. 3

1

+x

B. 2

1

−x

C. x – 2

D. x + 3

E. x + 5

UM UGM MAT DAS 2010 (462 – 02)

23. Diketahui 12)( −= xxf dan 1

5)(

+=

x

xxg . Jika h adalah fungsi sehingga

2))(( −= xxhg o , maka ...))(( =xfho

A. 82

32

+−

x

x

B. 62

32

+−−

x

x

C. 82

32

−−

x

x

D. 82

32

+−−

x

x

E. 82

32

−−−

x

x

UM UGM MAT DAS 2009 (931-17)

24. Misalkan RRf →: dan ( ) 2,: +=→ xxfRRg dan

( )( ) .642 2 −+= xxxfg o Misalkan juga x1 dan x2 adalah akar – akar dari

( ) ,0=xg maka x1+2x2 =….

1. 0

2. 1

3. 3

4. 5


25. Fungsi RRf →: dan RRg →: didefinisikan sebagai ( ) 132 −= xxf dan

( ) ( ) .24 3+= xxg Jika 1−f adalah invers dari f, maka ( )( )xgf o1− = ….

A. 32 2log x

B. ( )32 2log x

C. ( )42log2 +x

D. x2log2

E. ( )22log2 +x


26. Jika ( ) ( )x

xxg

x

xxf

1,

1

−=+

= dengan 0,1 ≠−≠ xx maka ( ) ( )xgf 1−o

adalah ….

A. 2

1,

21

1 ≠−−

xx

x

B. 0,1 ≠−

xx

C. 1,1

21 ≠−

−x

x

x

D. 0,1 ≠xx

E. 2

1,

21

1 −≠++

xx

x


27. Jika ( ) xxf 21 =+ dan ( )( ) ,2421 2 −+=+ xxxgf o maka g(x) = ….

A. x2 – 1

B. x2 – 2

C. x2 + 2x

D. x2 + 2x -1

E. x2 + 2x – 2


28. 1−f dan 1−g berturut – turut menyatakan invers dari fungsi f dan g. Jika

( )( ) 4211 −=−− xxgf o dan ( )2

1,

12

3 −≠+

−= xx

xxg maka nilai f(2) sama

dengan ….

A. 4

5−

B. 5

6−

C. 5

4−

D. 7

6−

E. 0


LIMIT

A. PENGERTIAN LIMIT #(1)

a.a.a.a. Pengertian LimitPengertian LimitPengertian LimitPengertian Limit Limit fungsi didefinisikan sebagai : yang berarti x mendekati a ( tetapi ax ≠ ), maka f(x) mendekati L. Contoh :

1. Nilai )42(3

+→

xLimx

adalah..

Pembahasan :

104)3(2)42(3

=+=+→

xLimx

, jadi untuk x yang mendekati 3 maka hasilnya

akan mendekati 10.

2. Nilai 2

42

2 −−

→ x

xLimx

adalah...

Pembahasan :

0

0

22

42

2

4 22

2=

−−=

−−

→ x

xLimx

, nilai 0

0 adalah bentuk tak tentu, maka limit

tersebut harus kita ‘ulik’ agar menghasilkan nilai yang tentu.

)2(

)2)(2(

2

4

2

2

2 −−+=

−−

→→ x

xxLim

x

xLim

xx

)2(2

+=→

xLimx

22 += 4=

2

4)(

2

−−=

x

xxf

0

0)0( =f

(tak tentu)

4)(0

=→

xfLimx

( terdifinisi)

)()0(0

xfLimfx→

≠

catatan :

LxfLimax

=→

)(

b.b.b.b. Bentuk Tentu dan Tak TentuBentuk Tentu dan Tak TentuBentuk Tentu dan Tak TentuBentuk Tentu dan Tak Tentu Beberapa bentuk tentu :

� kb

a =

� 00 =k

� ~0

=k

� 0~

=k

� ~ ~ =k

� ~~~ =+

� ~(~) =k dengan k>0

� ~(~) =k

B. TEOREMA LIMIT #(2)

� kkLimax

=→

� )()()}()({ xgLimxfLimxgxfLimaxaxax →→→

+=+


−=−


⋅=⋅

� )()( xfLimkxfkLimaxax →→

⋅=⋅

� )(

)(

)(

)(

xgLim

xfLim

xg

xfLim

ax

ax

ax→

→→

=

� n

ax

n

axxfLimxfLim

=

→→)()}({

� nax

nax

xfLimxfLim )()(→→

= , denga 0)( ≥xf untuk n genap.

C. LIMIT ALJABAR

a.a.a.a. Limit Fungsi x Limit Fungsi x Limit Fungsi x Limit Fungsi x �� aaaa #(3)

Penyelesaian bentuk limit bisa dilakukan dengan beberapa cara : 1. Subtitusi langsung → bila langsung menghasilkan nilai tertentu

(bukan nilai tak tentu)

Beberapa bentuk tak tentu :

� 0

0

� 00

� ~

~

� ~~ −

2. Pemfaktoran → biasanya bila bentuknya kuadrat / pangkat

3. Perkalian bentuk sekawan → biasanya bentuk akar

Contoh :

1. ....4

43 2

0=

+−

→ x

xxLimx

Pembahasan :

04

0

4

00

40

)0(4)0(3

4

43 22

0==−=

+−=

+−

→ x

xxLimx

2. .....9

122

2

3=

−−−

−→ x

xxLimx

Pembahasan :

)3)(3(

)4)(3(

9

12

32

2

3 −+−+=

−−−

−→−→ xx

xxLim

x

xxLim

xx

)3(

)4(

3 −−=

−→ x

xLim

x

6

7

33

43

−−=

−−−−=

6

7=

3. ....37

42

2=

−+−

→ x

xLimx

Pembahasan :

37

37

37

4

37

4 2

2

2

2 ++++×

−+−=

−+−

→→ x

x

x

xLim

x

xLim

xx

9)7(

)37)(4( 2

2 −+++−=

→ x

xxLimx

2

)37)(2)(2(

2 −++−+=

→ x

xxxLimx

)37)(2(

2+++=

→xxLim

x

)33)(4()372)(22(

2+=+++=

→xLim 24=

4. Limit Fungsi x Limit Fungsi x Limit Fungsi x Limit Fungsi x �� ~

5. Bentuk )(

)(

~ xg

xfLimx→ #(4)

Untuk bentuk ini cara penyelesaiannya adalah membagi dengan pangkat tertinggi. Atau bisa dilakukan dengan CADAS(cara cerdas)nya. Contoh :

1. ....342

16422

23

~=

+−−++

→ xx

xxxLimx

Pembahasan : #Cabi (cara biasa)

333

2

333

2

3

3

~

2

23

~

342

1642

...342

1642

xx

x

x

xxx

x

x

x

x

x

Lim

xx

xxxLim

x

x

+−

−++=

=+−

−++

→

→

32

32

~ 342

1642

xxx

xxxLimx +−

−++=

→

0

2

000

0002~

3

~

4

~

2~

1

~

6

~

42

32

32

=+−

−++=

+−

−++=

~ =

~342

16422

23

~ =

+−−++

→ xx

xxxLimx karena m (pangkat tertiggi pembilang) > n (pangkat tertinggi penyebut)

nm > maka hasilnnya ~ nm< maka hasilnnya 0

mn= maka hasilnnya p

a

CADAS :

m dan n adalah pangkat tertinggi pembilang dan penyebut

....

.....21

21

~ ++++++

−−

−−

→ nnn

mmm

x rxqxpx

cxbxaxLim

~(~) =k dan 0

~=k

Ingat bro !!!

CADAS

2. .....342

524

23

~=

+−+

→ xxx

xxLimx

Pembahasan : #Cabi

44

2

4

4

4

2

4

3

~

24

23

~

342

5

342

5

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

Lim

xxx

xxLim

x

x

+−

+=

+−+

→

→

32

2

~ 342

15

xx

xxLimx +−

+=

→

02

0

002

00

~

3

~

42

~

1

~

5

32

2==

+−+=

+−

+=

3. ......52

52323

23

~=

+−+

→ xx

xxLimx

Pembahasan : #Cabi

3

2

3

3

33

2

3

3

~

23

23

~

52

523

...52

523

x

x

x

xxx

x

x

x

Lim

xx

xxLim

x

x

+

−+=

=+

−+

→

→

x

xxLimx 5

2

523

3

~ +

−+=

→

2

3

02

003

~

52

~

5

~

23

3=

+−+=

+

−+=

0342

524

23

~ =

+−+

→ xxx

xxLimx karena m (pangkat tertiggi pembilang) < n (pangkat tertinggi penyebut)

2

3

52

52323

23

~=

+−+

→ xx

xxLimx karena m (pangkat tertiggi pembilang) = n (pangkat tertinggi penyebut)

CADAS

CADAS

6. Bentuk ))()((~

xgxfLimx

−→ #(5)

Untuk bentuk ini langkanya adalah dikalikan dengan bentuk sewakan,

setelah menjadi pencahan (ada pembilang dan penyebut) kemudian

dibagi dengan pangkat tertinggi. Atau bisa menggunakan CADAS nya.

Contoh :

1. ...26143 22

~=++−−+

→xxxxLim

x

Pembahasan : # Cabi :

262

142

3

262

142

326

214

23

~

...262

142

3~

+++−+

+++−+×++−−+

→=

=++−−+→

xxxx

xxxxxxxx

xLim

xxxxxLim

26143

)26()143(22

22

~ +++−+

++−−+=→ xxxx

xxxxLimx

26143

32222

2

~ +++−+

−−=→ xxxx

xxLimx 2

2

x

x

÷÷

444

2

444

2

222

2

~ 26143

322

xx

x

x

x

xx

x

x

x

xx

x

x

x

Limx

+++−+

−−=

→

432432

2

~ 261143

322

xxxxxx

xxLimx

+++−+

−−=

→

432432

2

~

2

~

6

~

1

~

1

~

4

~

3~

3

~

22

+++−+

−−=

pa > maka hasilnnya ~ pa< maka hasilnnya -~

pa = maka hasilnnya a

qb

2

−

CADAS :

++−++

→cqxpxcbxaxLim

x

22

~

a=3,b=4,c=-1 dan p=1, b=6, c=2

~0

2

000000

002 ==+++−+

−−=

CADAS :

~26143 22

~ =++−−+

→xxxxLim

x ( karena a > p )

2. ....5814 22

~=++−−+

→xxxxLim

x

Pembahasan : Untuk menggunakan ‘cabi’ langkahnya seperti pada nomor sebelumnya. CADAS

22

4

12

84

25814 22

~−=−=−=−=++−−+

→ a

qbxxxxLim

x

3. ....32374 2

~=+−−−

→xxxLim

x

Pembahasan :

22

~

2

~)32(374)32(374 −−−−=−−−−

→→xxxLimxxxLim

xx

9124374 22

~+−−−−=

→xxxxLim

x

4

5

42

)12(7

2=−−−=−=

a

qb

D. LIMIT TRIGONOMETRI #(6)

Bentuk limit trigono )(xfLim

ax→ dengan f(x)

adalah fungsi trigono. Rumus dasar :

1. 1sin

sin

00==

→→ x

xLim

x

xLim

xx

2. 1tan

tan

00==

→→ x

xLim

x

xLim

xx

Rumu pengembangannya :

1. b

a

bx

axLim

bx

axLim

xx==

→→ sin

sin

00

2. b

a

bx

axLim

bx

axLim

xx==

→→

tantan

00

Bila hasil nilai dari sin atau tangen tersebut nol maka sinsinsinsin atau tangentangentangentangen tersebut bisa di coret/diabaikan.

1.5

4

5

4

05

4sin

0=

→=

→ x

x

xLim

x

x

xLim

2.

220)2(

)2(

)2)(2(

0

2

)42(

0

2

)42tan(

2

=+=+→

=

−

+−→

=

−

−→

=

−

−→

xLim

x

xx

xLim

x

x

xLim

x

x

xLim

CADAS :

3. b

a

bx

axLim

bx

axLim

xx==

→→ sin

tan

tan

sin

00

Contoh :

1. Nilai dari .3sin.4tan

2sin52

2

0 xx

xxLimx→

adalah...


.3sin.4tan.4tan

2sin.2sin5

.....3sin.4tan

2sin5

0

2

2

0

xxx

xxxLim

xx

xxLim

x

x

→

→

=

=

x

x

x

x

x

x

x

xLimx 3sin3

2sin

4tan

2sin

4tan

5

0→=

x

xLim

x

xLim

x

xLim

x

xLim

xxxx 3sin

2sin

4tan

2sin

4tan

5

0000 →→→→⋅⋅⋅=

3

1

1

2

4

2

4

5 ⋅⋅=

12

5=

2. Nilai dari 20 4

12cos

x

xLimx

−→

adalah...


2

2

020 4

1)sin21(

4

12cos

x

xLim

x

xLim

xx

−−=−→→

2

2

0 4

sin2

x

xLimx

−=→

x

x

x

xLimx

sin

4

sin2

0

−=→

x

xLim

x

xLim

xx

sin

4

sin2

00 →→

−=

2

11.

4

2 −=−=

xx 2sin212cos −=

inget bro !!!

12

5

3.4.4

2.2.5

.3sin.4tan.4tan

2sin.2sin5

.3sin.4tan

2sin5

02

2

0

==

=→→

xxx

xxx

xxx

xxxLim

xx

xxLim

xx

CADAS :

2

1

4

..2.4

sin.sin2

.4

sin2

2

202

2

0

−=−=

−=−→→

x

xxx

xxLim

x

xLim

xx

CADAS :

E. TEOREMA L’HOPITAL #(7)

Teori L’Hospital adalah penggunaan turunan/deferensial dalam penyelesaiaannya.

Contoh :

1. ...62

122

3=

−−+

→ x

xxLimx

Pembahasan :

2

7

2

1)3(2

02

012

62

12

3

2

3=+=

−−+=

−−+

→→

xLim

x

xxLim

xx

2. ...63

314

2=

−−+

→ x

xLimx

Pembahasan :

9

2

3

)3(

2

3

1)2(42

4

03

014

63

314

2==

+=

−

−+=

−−+

→ 2

4

xx

xLimx

T M

T M

Catatan : untuk menggunakan teori L’Hospital, bro baca dulu bab turunan, ok!

jika 0

0

)('

)(' =→ ag

afLim

ax

Jika 0

0

)(

)( =→ ag

afLim

ax

)(''

)(''

)(

)(

ag

afLim

xg

xfLim

axax →→=

Jika 0

0

)('

)(' ≠→ ag

afLim

ax SELESAI


1. Nilai

A. -9

B. -7

C. 0

D. 7

E. 10

UN MAT IPS 2012 (A35-25)

2.

A. -4

B. -3

C. 3

D. 4

E. 6

UN MAT IPS 2012 (A35 – 26)

3. Nilai ...43

8143lim

2

2

4=

−−+−

→ xx

xxx

A. 4 B. 2

C. 2

1

D. -2 E. -4 UNMAT IPS 2011 (XX-25)

4. Nilai ( ) ...7525)15(lim 2 =−+−−∞→

xxxx

A. 2

3

B. 3

2

C. 2

1

D. 2

1−

...42

4148lim

2

2=

+−+

−→ x

xxx

( ) ...)53(269lim 2 =−−++∞→

xxxx

E. 2

3−


5. Nilai =−

+−→ 3

12lim

3 x

xx

…

A. – ¼

B. – ½

C. 1

D. 2

E. 4

UN MAT IPA 2012 (A35-30)

6. Nilai ...2cos1

tanlim =

−→ x

xx0x

A. – ½

B. 0

C. ½

D. 1

E. 2

UN MAT IPA 2012 (A35-31)

7. Nilai ...2

)4(lim

4=

−−

→ x

xx

A. 0 B. 4 C. 8 D. 12 E. 16 UN MAT IPA 2011 (D10-19)

8. Nilai ...2sin.2

2cos1lim

0=−

→ xx

xx

A. 8

1

B. 6

1

C. 4

1

D. 2

1

E. 1 UN MAT IPA 2011 (D10-25)

9. Nilai

A. – 4

B. – 1

C. 0

D. 1

E. 4

UN MAT IPA 2010 (XX-26)

10. Nilai

A. – 1

B. – 1/3

C. 0

D. 1/3

E. 1

UN MAT IPA 2010 (XX-27)

11. Nilai � �,√��,–√��,�,→G

]^_ = ...

A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 E. 4 UN MAT IPA 2010 (D10-28)

12. Nilai �DEF�,�DEF�,�, �,→G]^_ = ⋯

A. 1

B. �

C. ��

D. �

E. ��

UN MAT IPA 2010 (D10-29)

...4

128lim

2

2

2=

−+−

→ x

xxx

...163

12lim

2

2

2=

−+−−

→ xx

xxx

13. Nilai `M%� → 3

,��U√�G��,�7,��8 = ⋯

A. -8 B. -6 C. 4 D. 6 E. 8 UN MAT IPA 2009 (D10-19)

14. Nilai `M%� → ~√25�� − 9� − 16 − 5� + 3 = ⋯

A. − U�G

B. − U�G

C. ��G

D. U�G

E. ~ UN MAT IPA 2009 (D10-20)

15. Nilai `M%� → 1

�,��DEF�,7,��8��.b^c�7,��8 = ⋯

A. -2 B. -1

C. − ��

D. − ��

E. 0 UN MAT IPA 2009 (D10-21)

16. Nilai dari ...2

4lim

3

2=

−−

→ x

xx

x

A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 E. 2 UN MAT IPA 2008 (D10-31)

17. Nilai ...154

6lim

2

3=

+−−−

→ x

xxx

A. -8 B. -6 C. 1 D. 2 E. ∞ UN MAT IPA 2007 (D9-22)

18. Nilai ...)tan(.

2cos1lim

210

=−→ xx

x

x

A. -4 B. -2 C. 1 D. 2 E. 4 UN MAT IPA 2007 (D9-23)

19. Nilai ....sincos

2coslim

4

=−→ xx

x

xπ

A. 0

B. 22

1

C. 1

D. 2 E. ∞ UN MAT IPA 2006 (D9-14)

20. Nilai dari ...2121

4lim

0=

+−−→ xx

x

x

A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 E. 4 UN MAT IPA 2005 (D10-19)

21. Nilai dari ...2

2cos.3sin3sinlim

30=−

→ x

xxx

x

A. 1/2 B. 2/3 C. 3/2 D. 2 E. 3 UN MAT IPA 2005 (D10-20)

22. ...

4tan

cos1lim

2

2

0=

+

−→ π

xx

xx

A. - 1

B. 0

C. 1

D. 2

2

E. 3


23. Nilai x

x

x 2sin

4lim

0→adalah…

A. 2

B. 1

C. ½

D. ¼

E. 0


24. ...1

43lim

1=

−−+

→ x

xxx

x


25. ...cossin

cossin21lim

4

1=

−−

→ xx

xx

x π

A. 21

B. 221

C. 1 D. 0 E. -1 SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-11)

26. ...1

)1)(1(lim

1=

−+−

→ x

xx

x

A. 0 B. 1 C. 2

D. 4 E. 8 SNMPTN MAT DAS 2007 (XX-20)

27. ...)

2tan()2(

cos)(4lim

2

2

=−−

−

→πππ

ππ xx

xx

x

A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2 SPMB MAT IPA 2007 (XX-03)

28. ...7

)7(lim

7=

−−

→ x

xx

x

A. 14 B. 7

C. 72

D. 7

E. 72

1

-


29. ...1

)1tan(lim

31=

−−

→ x

x

x

A. 1/3 B. – 1/3 C. 1 D. -1 E. 1/2 SPMB MAT DAS 2006 (XX-13)

30. ...3coscos

4lim

32

0=

−−

→ xx

xx

x

A. -3/2 B. -1/2 C. 0 D. 1/2 E. 3/2 SNMPTN MAT IPA 2006 (XX-04)

TURUNAN/ DEFERENSIAL

A. PENGERTIAN TURUNAN #(1)

Penulisan turunan bisa dituliskan dalam beberapa notasi :

)(' xf atau 'y atau dx

xdf )( atau

dx

dy.

Contoh :

1. Jika diketahui xxxf 3)( 2 += maka nilai f’(x) dan f’(2) adalah....

Pembahasan :

h

xfhxfLimxfh

)()()('

0

−+=→

( )

h

xxhxhxLimh

)3()(3)( 22

0

+−+++=→

h

xxhxhxhxLimh

3332 222

0

−−++++=→

3023232

0

2

0++=++=++=

→→xhxLim

h

hhxhLim

hh

32)(' += xxf

73)2(2)2(' =+=f

2. Nyataka bentuk p

xfpxfLimp 3

)()2(

0

−−→

dalam bentuk f’(x)

Pembahasan :

( )( )p

xfpxfLim

p

xfpxfLim

pp 2

)()2(

3

)()2(

2300 −

−−+=−−

−→→

Turunan f(x) adalah f’(x) ( dibaca f aksen x ) didefiniksan sebagai :

h

xfhxfLimxfh

)()()('

0

−+=→

Laju perubahan f(x) / turunan f(x) untuk x = a adalah :

h

afhafLimafh

)()()('

0

−+=→

y=f(x)

X

Y

x x+h

→← h

f(x)

f(x+h)

f∆ ↑

↓

( ) p

xfpxfLimp 2

)()2(1

02

3 −−−+=

→−

p

xfpxfLimp 2

)()2(

3

2

02 −−−+⋅−=

→−

h

xfhxfLimh

)()(

3

2

0

−+⋅−=→

)('3

2xf−=

B. TURUAN ALJABAR

Dalam prakteknya untuk mencari turunan sebuah fungsi tidak selamanya harus menggunakan limit, kita gunakan rumus-rumus yang sudah disediakan.

a.a.a.a. Rumus Dasar Rumus Dasar Rumus Dasar Rumus Dasar Turunan AljabarTurunan AljabarTurunan AljabarTurunan Aljabar #(2)

Contoh :

1. Nilai 4)( =xf maka 0)(' =xf

2. Nilai xxf 3)( = maka 3)(' =xf

3. Nilai 42)( xxf = maka 38)(' xxf =

4. Nilai 1052)( 25 +−= xxxf maka xxxf 1010)(' 4 −=

5. Nilai x

xxxxf2

2)( −+= maka nilai f’(x) adalah...

Pembahasan :

xxxxxf

22)( −+=

21

21

21 2

2x

xxx −+=

21

21

21

221 −−+= xxx

21

21

21 1

2

13)('

−− ++= xxxxf

21

21

21

1

1

2

13

xxx ++=

1. kxf =)( maka 0)(' =xf

2. axxf =)( maka axf =)('

3. naxxf =)( maka 1)(' −= nanxxf

b.b.b.b. Turunan BerantaiTurunan BerantaiTurunan BerantaiTurunan Berantai #(3)

Digunakan saat dalam sebuah fungsi terdapat fungsi lagi.

Contoh :

1. 4)23()( += xxf maka nilai f’(x) adalah....

Pembahasan : 4)23()( += xxf

)3()23(4)(' 3 ⋅+= xxf

3)23(12 += x

2. 46)( 2 += xxf maka ....)(' =xf

Pembahasan :

21

)4(6)(' 2 += xxf

)2()4(3 21

2 xx−+=

4

6

2 +=

x

x

c.c.c.c. Rumus Rumus Rumus Rumus Perkalian dan Pembagian TurunanPerkalian dan Pembagian TurunanPerkalian dan Pembagian TurunanPerkalian dan Pembagian Turunan #(4)

Contoh : 1. )25)(32()( −+= xxxf maka nilai f’(x) = .....

Pembahasan : )25)(32()( −+= xxxf

)5)(32()25(2)(' ++−= xxxf 1510410 ++−= xx 1120 += x

xxxx

1

2

13 ++=

1. )()()( xvxuxf ⋅= maka )(')()()(')(' xvxuxvxuxf +⋅=

2. )(

)()(

xv

xuxf = maka

)(

)(')()()(')('

2 xv

xvxuxvxuxf

−=

))(()( xhgxf = maka )('))((')(' xhxhgxf ⋅= , atau

{ }nxuxf )()( = maka { } )(')()(' 1 xuxunxf n ⋅= −

u v

u’ v u v’

2. )25()32()( 32 −+= xxxf maka nilai f’(x) = .....

Pembahasan :

)25()32()( 32 −+= xxxf 5)32()25)(4()32(3)(' 3222 ++−+= xxxxxf

)32(5)32)(25(12 222 +++−= xxxx

3. 52

43)(

−+=

x

xxf , maka nilai f’(x) = .....

Pembahasan :

52

43)(

−+=

x

xxf

2)52(

2)43()52(3)('

−

+−−=x

xxxf

2)52(

86156

−−−−=

x

xx

2)52(

23

−−=x

4. 43

42)(

2

++=

x

xxxf , maka nilai f’(x) = ....

Pembahasan :

43

42)(

2

++=

x

xxxf

2

2

)43(

3)42()43)(44()(

+

+−++=x

xxxxxf

2

2

)43(

16166

+++=

x

xx

u v

u’ v u v’

u

v

u’ v u v’

v2

u v

u’ v u v’

v2

2)()(')(

dcx

bcadxf

dcx

baxxf

+−=→

++=

2

2

)52(

23

)52(

815)('

52

43)('

−−=

−−−=→

−+=

x

xxf

x

xxf

CADAS :

C. TURUAN TRIGONOMETRI#(5)

a.a.a.a. RRRRumusumusumusumus---- rumus Turunan Trigonometrirumus Turunan Trigonometrirumus Turunan Trigonometrirumus Turunan Trigonometri

Atau bisa ditulis dalam bentuk berikut : 1. )cos()(')sin()( baxaxfbaxxf +=→+=

2. )sin()(')cos()( baxaxfbaxxf +−=→+=

3. )(sec)(')tan()( 2 baxaxfbaxxf +=→+=

4. )(csc)(')cot()( 2 baxaxfbaxxf +−=→+=

5. )tan()sec()(')sec()( baxbaxaxfbaxxf +⋅+=→+=

6. )cot()csc()(')(csc)( baxbaxaxfbaxxxf ++−=→+=

Contoh :

1. )54cos(3 += xy maka y’ = ....

Pembahasan : )54cos(3 += xy

)54cos(12)54cos(43' +−=+−⋅= xxy

2. )42sin(2)( 2 xxxf += maka f’(x) = ....

Pembahasan :

)42sin(2)( 2 xxxf += , misal xxu 42 2 +=

uxf sin2)( =

'cos2)(' uuxf ⋅=

)44()42cos(2)(' 2 +•+= xxxxf

)42cos()88()(' 2 xxxxf ++=

3. )42(cos2)( 23 xxxf += maka f’(x) = ....

Pembahasan :

)42(cos2)( 23 xxxf += , misal xxu 42 2 += 44' +=→ xu

uxf 3cos2)( = , misal ut cos= 'sin' uut ⋅−=→ 32)( txf =

1. xxfxxf cos)('sin)( =→=

2. xxfxxf sin)('cos)( −=→=

3. xxfxxf 2sec)('tan)( =→=

4. xxfxxf 2csc)('cot)( −=→=

5. xxxfxxf tansec)('sec)( ⋅=→=

6. xxxfxxf cotcsc)('csc)( ⋅−=→=

)42sin(2)( 2 xxxf +=

)42sin()88(

)44()42sin(2)('2

2

xxx

xxxxf

++=

+⋅+=

CADAS :

'6)(' 2 ttxf ⋅=

'sincos6 2 uuu ⋅−⋅=

)44()42sin()42(cos6 222 +⋅+−⋅+= xxxxx

)42sin()42(cos)2424( 222 xxxxx +++−=

D. PENGGUNAAN TURUNAN

a.a.a.a. Mencari Mencari Mencari Mencari Gradien Garis SinggungGradien Garis SinggungGradien Garis SinggungGradien Garis Singgung #(6) Gradien garis singgung pada kurva adalah : Dengan f(x) adalah persamaan kurva dan x1 adalah absis (x) dari titik singgungnya. Contoh :

1. Persamaan garis singgung kurva 124)( 2 −+= xxxf di titik )3,2(


42)(' += xxf

84)2(2)2(' =+== fm

)( 11 xxmyy −=−

)2(83 −=− xy

3168 +−= xy

PGS : 138 −= xy

PGS → )( 11 xxmyy −=−

(x1, y1)

y = f(x)

m =f ’(x1)

Gradien garis sejajar :

m1

m2 m1 = m2

m1

m2

121 −=⋅ mm

atau

12

1

mm −=

Gradien garis tegak lurus:

m =f ’(x1)

(2,3)

124)( 2 −+= xxxf

(x1,y1)

PGS..... ?

124)( 2 −+= xxxf

gambar ilustrasi:

)42(cos2)( 23 xxxf +=

)42sin()42(cos)2424(

)44()42sin()42(cos6)('222

222

xxxxx

xxxxxxf

+++−=

+⋅+−⋅+=

CADAS :

2. Persamaan garis singgung kurva 343)( 2 +−= xxxf yang tegak lurus

dengan garis 0824 =++ xy adalah....

Pembahasan :

343)( 2 +−= xxxf

46)(' −= xxf

46)(' 11 −== xxfm

246)(' 112 =−== xxfm

66 1 =x

11 =x

2343)1(1 =+−== fy

21 =y

)2,1(),( 11 =∴ yx

)1(22 −=− xy

222 +−= xy

PGS: xy 2=

b.b.b.b. Fungsi naik, turun, maks, min, belokFungsi naik, turun, maks, min, belokFungsi naik, turun, maks, min, belokFungsi naik, turun, maks, min, belok #(7)

f’(x) > 0 maka fungsi naik

f’(x) < 0 maka fungsi naik

f’(x)= 0 maka fungsi stasioner

Bila daigambarkan dalam garis bilangan :

0824 =++ xy824 −−= xy

221 −−= xy

21

1 −=∴ m ,

2221 =→⊥ mmm

)1(2 −=− xmy

343)( 2 +−= xxxf

(x1,y1)

PGS..... ?

0824 =++ xy

gambar ilustrasi:

f’’(x 0) > 0 maka stationer minimum

f’’(x 0) < 0 maka stationer maksimum

f’’(x 0) = 0 maka stationer belok

titik maks(stasioner)

titik min(stasioner)

daerah naik daerah naik

daerah turun

y=f(x)

titik belok (stasioner)

y=f(x)

x0=akar-akar f’(x)

+++ --- +++ x1 x2

x1 absis ttk maks x2 abis titik min

naik naik turun

+++ +++ x1

naik naik

x1 absis ttk belok

--- --- x1

turun turun

x1 absis ttk belok

Contoh :

1. Fungsi 2331 8)( xxxf −= turun pada interval berapa dan tentukan jenis

stationernya.... #(8)

Pembahasan : CARA I

xxxf 16)( 331 −=

0)(' <xf

0162 <−x 0)4)(4( <+− xx

f(x) turun pada 44 <<− x

xxxf 16)( 331 −=

4atau 4

0)4)(4(

016)('

1

2

=−==−+=−=

xx

xx

xxf

xxf 2)('' =

8)4('' −=−f , - 8 adalah negatif ( -8<0), maka di x = -4 mencapai

maksimum 8)4('' =f , 8 adalah positif (8>0) , maka di x = 4 mencapai

minimum 2. Titik-titik stationer dan interval naik/turun/belok dari fungsi

23344

41 2)( xxxxf +−= adalah... #(9)

Pembahasan : 23

344

41 2)( xxxxf +−=

044)(' 23 =+−= xxxxf

0)44( 2 =+− xxx

0)2)(2( =−− xxx

turun pada x < 0 naik pada pada x >0 titik minimum (0,0) titik belok ),2(

34

3. Selembar karton persegi panjang dengan ukuran 8cm x 5cm. Dipotong keempat sudutnya dengan bentuk persegi dengan sisi x. Dari bangun tersebut akan dibuat kotak, maka volume maksimumnya adalah....#(10)

+++ --- +++ -4 4

34

34

41 8816)2( =+−=f

0 2 +++ +++ ---

min belok

0000)0(34

41 =+−=f

4atau 4

0)4)(4(

016)('

1631

)(

2

3

=−==−+=−=

==

xx

xx

xxf

xxxf

+ + - -4 4

Turun pada : -4 < x < 4, Naik pada : x < -4 atau x>4 Statisoner(Maks) : di x = -4 Stationer (Min) : di x = 4

CARA II

Pembahasan :

tlpxV ××=)(

xxx )25)(28( −−=

xxxx )4101640( 2+−−=

xxx )40264( 2 +−=

xxx 40264 23 +−=

0405212)(' 2 =+−= xxxV

010133 2 =+− xx 0)1)(103( =−− xx

3

10=x atau 1=x

xxxxV )25)(28()( −−=

)1)(25)(28()1( −−=V

)1)(3)(6(=

318cm=

c.c.c.c. Fungsi Jarak, Kecepata dan PercepatanFungsi Jarak, Kecepata dan PercepatanFungsi Jarak, Kecepata dan PercepatanFungsi Jarak, Kecepata dan Percepatan #(11)#(11)#(11)#(11)

Contoh :

1. Diketahui fungsi jarak dalam t (waktu) tttts 124)( 2331 +−= , maka carilah

! a. Kecepatan benda saat t = 1 b. Percepatan benda saat t = 2 c. Kapan benda berhenti ? Pembahasan :

a. tttts 124)( 2331 +−=

128)(')( 2 +−== tttstv

)()()( tatvts TT →→ )(')( tstv = , , , , )(')( tvta = ,,,, )('' tsa = atau

xx

xx

xx

xx

8 - 2x

5 - 2x

8

5

8 - 2x

5 - 2x

x

+++ --- +++ 1

310

maks

kecepatan saat t = 1

128)( 2 +−= tttv

5128112)1(81)1( 2 =+−=+−=v

b. 128)( 2 +−= tttv

82)(')( −== ttvta

percepatan saat t = 2 82)( −= tta

4848)2(2)2( −=−=−=a

c. Benda berhenti saat kecepatannya nol

0128)( 2 =+−= tttv

0)6)(2( =−− tt

2=t atau 6=t

Benda tersebut berhenti saat 2=t atau 6=t .


1. Turunan pertama dari adalah y’ =….

A.

B.

C.

D.

E.

UN MAT IPS 2012 (A35-27)

2. Untuk memproduksi x unit barang perhari diperlukan biaya (2x3-

2.100x2+600.000x) rupiah. Biaya produksi akan menjadi minimum jika

produksi maksimal perhari sebanyak….

A. 50 unit

B. 100 unit

C. 150 unit

D. 200 unit

E. 500 unit

UN MAT IPS 2012 (A35-28)

3. Diketahui 42 )53()( −= xxf . Jika 'f adalah turunan pertama f , maka

...)(' =xf

A. 32 )53(4 −xx

B. 32 )53(6 −xx

C. 32 )53(12 −xx

D. 32 )53(24 −xx

E. 32 )53(48 −xx


4. Untuk memproduksi suatu barang diperlukan biaya produksi yang dinyatakan

dengan fungsi 25001802)( 2 +−= xxxB dalam ribuan rupiah. Agar biaya

minimum maka harus diproduksi barang sebanyak… A. 30 B. 45

5)34( += xy

4)34(20 +x

4)34(5 +x

4)34( +x

4)34(6

4 +x

4)34(5

1 +x

C. 60 D. 90 E. 135 UN MAT IPS 2011 (XX-28)

5. Grafik fungsi 1593)( 23 +−−= xxxxf turun dalam interval…

A. x < -3 atau x > 1 B. x< -1 atau x > 3 C. x< -3 atau x > -1 D. -1 < x < 3 E. 1 < x <3 UN MAT IPS 2011 (XX-30)

6. Sebuah segitiga dibatasi oleh x + 2y =4, sumbu X dan sumbu Y. Dari sebuah

titik pada garis itu dibuat garis-garis tegak lurus pada sumbu X dan sumbu Y

sehingga membentuk subah persegi panjang seperti pada gambar berikut.

Luas maksimum daerah persegi panjang yang diarsir adalah…

A. ¼ satuan luas

B. ½ satuan luas

C. 1 satuan luas

D. 2 satuan luas

E. 3 satuan luas

UN MAT IPA 2012 (A35-32)

7. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar

( )21010009000 xx ++ rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut

habis terjual dengan harga Rp.5.000, 00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah… A. Rp.149.000,00 B. Rp.249.000,00 C. Rp.391.000,00 D. Rp.609.000,00 E. Rp.757.000,00 UN MAT IPA 2011 (D10-31)

8. Koordinat titik potong garis singgung yang melalui titik �−1, U�� pada kurva y = �� −

�, dengan sumbu y adalah ...

A. (0, -4)

B. (0, − ��)

C. �0, U�� D. �0, ��

Y

X

(x,y)

x+ 2y=4 0

E. 70, 88 UN MAT IPA 2010(D10-30)

9. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar (9.000 + 1.000x + 10��)rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah ... A. Rp149.000,00 B. Rp249.000,00 C. Rp391.000,00 D. Rp609.000,00 E. Rp757.000,00 UN MAT IPA 2010 (D10-31)

10. Garis l menyinggung kurva V = √� di titik yang berabsis 4. Titik potong garis l dengan sumbu X adalah ... A. (4, 0) B. (-4, 0) C. (12, 0) D. (-6, 0) E. (6, 0) UN MAT IPA 2009 (D10-22)

11. Seorang petani menyemprot obat pembasmi hama pada tanamannya. Reaksi obat tersebut t jam setelah disemprotkan dinyatakan dengan rumus 67�8 =15d� − d . Reaksi maksimum tercapai setelah ... A. 3 jam B. 5 jam C. 10 jam D. 15 jam E. 30 jam UN MAT IPA 2009 (D10-23)

12. Turunan pertama dari xx

xy

cossin

sin

+= adalah ....'=y

A. ( )2cossin

cos

xx

x

+

B. ( )2cossin

1

xx +

C. ( )2cossin

2

xx +

D. ( )2cossin

cossin

xx

xx

+−

E. ( )2cossin

cossin2

xx

xx

+

UN MAT IPA 2008 (D10-32)

13. Diketahui 12

3)(

2

++=

x

xxf . Jika )(' xf menyatakan turunan )(xf , maka

...)0('2)0( =+ ff

A. -10 B. -9 C. -7 D. -5 E. -3

UN MAT IPA 2008 (D10-33)

14. Sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya persegi, mempunyai volume 4 m3 terbuat dari selembar karton. Agar karton yang diperlukan sedikit mungkin, maka ukuran panjang, lebar dan tinggi kotak tersebut adalah… A. 2m, 1m, 2m B. 2m, 2m, 1m C. 1m, 2m, 2m D. 4m, 1m, 1m E. 1m, 1m, 4m

UN MAT IPA 2008 (D10-34)

15. Jika )2(sin)(6

2 π+= xxf , maka nilai ...)0(' =f

A. 32

B. 2

C. 3

D. 321

E. 221

UN MAT IPA 2007 (D9-24) 16. Perhatikan gambar!

Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapi maksimum jika koordinat titik M adalah….

A. )5,2(

B. )2

5,2(

4

M(x,y)

5

Y

X

C. )5

2,2(

D. )2,2

5(

E. )2,5

2(

UN MAT IPA 2007 (D9-26)

17. Turunan pertama dari )23(sin)( 24 −= xxf adalah ....)(' =xf

A. )46sin()23(sin2 222 −− xx

B. )46sin()23(sin12 222 −− xxx

C. )46cos()23(sin12 222 −− xxx

D. )23(cos)23(sin24 2223 −− xxx

E. )23cos()23(sin24 223 −− xxx U

UN MAT IPA 2006 (D9-14)

18. Persamaan garis singgung kurva 3 5 xy += di titik dengan absis 3 adalah…

A. 02112 =+− yx

B. 02312 =+− yx

C. 02712 =+− yx

D. 03412 =+− yx

E. 03812 =+− yx

UN MAT IPA 2006 (D9-15)

19. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya

)2000

1604(x

x +− ribu rupiah perhari. Biaya minimum penyelesaian

pekerjaan tersebut adalah… A. Rp. 200.000 B. Rp.400.000 C. Rp.560.000 D. Rp.600.000 E. Rp.800.000 UN MAT IPA 2006 (D9-16)

20. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar. Agar luasnya maksimum, panjang kerangka (p) tersebut adalah… A. 16 m B. 18 m C. 20 m

l

l

p

D. 22 m E. 24 m UNMAT IPA 2005 (D10-02)

21. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x

jam, dengan biaya perjam

+−x

x120

8004 ratus ribu rupiah. Agar biaya

minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu… A. 40 jam B. 60 jam C. 100 jam D. 120 jam E. 150 jam UN MAT IPA 2005 (D10-21)

22. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan rumus 13)( +== ttfx ( x

dalam meter dan t dalam detik). Kecepatan partikel tersebut pada saat t=8 detik adalah…

A. det/10

3m

B. det/5

3m

C. det/2

3m

D. det/3m

E. det/5m UN MAT IPA 2005 (D10-22)

23. Turunan dari 3 22 )53(cos)( xxxF += adalah

A. )53sin()53(cos3

2 2231

xxxx ++−

B. )53(cos)56(3

2 231

xxxx ++ −

C. )53sin()53(cos3

2 2231

xxxx ++− −

D. 3 222 )53(cos)53tan()56(3

2xxxxx +++−

E. 3 222 )53(cos)53tan()56(3

2xxxxx +++

UN MAT IPA 2005 (D10-23)

24. Grafik fungsi f(x)= ax3 - bx2 + cx + 12 naik, jika

A. b2 – 4ac < 0 dan a > 0

B. b2 – 4ac < 0 dan a < 0

C. b2 – 3ac > 0 dan a < 0

D. b2 – 3ac < 0 dan a > 0

E. b2 – 3ac < 0 dan a < 0


25. Diberikan kurva 52 23 +−+= xxxy . Jika garis singgung kurva di titik ),( ba

sejajar dengan garis 043 =−− xy , maka nilai b yang mungkin adalah

adalah… A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 E. 7 SNMPTN MAT IPA 2011 (XX-11)

26. Grafik )(' xfy = ditunjukkan pada gambar berikut

Pernyataan yang benar adalah… A. Fungsi f mempunyai titik minimum (0,-1)

B. Fungsi f naik pada interval ),0( ∞

C. Titik minimum lokal f terjadi di x= -2

D. Fungsi f bernilai positif pada selah )2,( −−∞

E. Titik minimum lokal f terjadi di x=2


27. Bola dengan diameter 8 cm seluruhnya terdapat dalam kerucut tegak terbalik. Tinggi kerucut dengan volume terkecil yang mungkin adalah.. A. 12

B. 12 2 C. 16

D. 16 2

2 -2

-1

Y=f’(x)

E. 18 SNMPTN MAT IPA 2011 (XX-14)

28. Luas daerah persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah kurva

2

3

1xy = dan 5=y adalah…

A. 56

B. 53

16

C. 53

17

D. 53

19

E. 53

20


29. Jika nilai maksimum xpxxf 32)( −+= adalah 5/4, maka nilai p adalah…

A. 1

B. 2/3

C. ¾

D. 3/2

E. 2


30. Diketahui selembar seng dengan panjang 80 cm dan lebar 30 cm. Jika

panjang dan lebarnya dipotong dengan ukuran sama sehingga luas seng

menjadi 275 cm2, maka panjang dan lebarnya harus dipotong…… cm.

A. 30

B. 25

C. 24

D. 20

E. 15


31. Jika ),( ba adalah titik minimum grafik fungsi 2257)( xxf −−= , maka nilai

22 ba + adalah…

A. 4

B. 5

C. 8

D. 10

E. 13


32. Diketahui fungsi f dan g dengan 14)( 2 ++= xxxf dan 210)(' xxg −=

dengan g’ menyatakan turunan pertama dari g. Nilai turunan pertama fg o di

0=x adalah… A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 E. 15 SNMPTN MAT IPA 2009 (XX-07)

33. Jika 1)23( +=+ xxxf dan 'f adalah turunan dari f , maka nilai

...)11('12 =f


34. Fungsi x

xf2cos21

12)(

−= dalam selang π20 << x mencapai nilai

maksimum a pada beberapa titik ix . Nilai terbesar dari π

ixa

4+ adalah…


35. Parabola 24162 2 +−= xxy memotong sumbu y di titik A. Jika garis singgung

di titik A pada parabola memotong sumbu x titik (a,0), maka nilai a adalah…

A. -1 ½ B. -1 C. 1 ½ D. 2 E. 2 ½ SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-04)

36. Volume balok terbesar yang luas semua bidang sisinya 96 cm2 dan alasnya persegi adalah… A. 54 cm3 B. 64 cm3 C. 74 cm3 D. 84 cm3 E. 94 cm3 SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-07)

37. Garis g menyinggung kurva xxy cossin += di titik yang absisnya π21

maka garis g memotong sumbu y di titik…

A. )21,0( π

B. (0,1)

C. )211,0( π−

D. )211,0( π+

E. ),0( π


38. Nilai minimum dari fungsi xxy )3( −=

A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2 SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-13)

39. Turunan pertama dari fungsi xx

xxy

sincossincos

+−= adalah…

A. 2)sin(cos

1

xx+−

B. 2)sin(cos

2

xx +−

C. 2)sin(cos

3

xx +−

D. xx 22 sincos

1

+−

E. xx 22 sincos

2

−−


40. Diketahui fungsi-fungsi f dan gdengan xxxgf 3))(( 2 −= untuk setiap

bilangan real x . Jika )1()1(',2)1( ffg == ,dan )1()1(' fg = , maka ...)1(' =g

A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 E. -3 SNMPTN MAT IPA 2008 (XX-01)

41. Perhatikan kurva 2bxaxy += , a dan b konstan. Jika garis singgung kurva ini

pada titik(1,0) sejajar dengan garis 032 =+− yx , maka ba 3+ sama

dengan… A. -2 B. 2 C. 4 D. 6 E. 8 SNMPTN MAT IPA 2008 (XX-14)

42. Sebuah bilangan dikalikan 2, kemudian dikurangi 16 dan setelah itu dikalikan bilangan semula. Jika hasil akhirnya adalah P, maka nilai minimum dari P tercapai bilamana bilangan semula adalah… A. -4 B. 0 C. 4 D. 8 E. 32 SPMB MAT DAS 2007 (XX-02)

43. Suatu proyek dapat dikerjakan selama p hari, dengan biaya setiap harinya

)401500

4( −+p

p juta rupiah. Jika biaya minimum proyek tersebut adalah R

juta rupiah, maka R=… A. 750 B. 940 C. 1170 D. 1400 E. 1750 SPMB MAT DAS 2007 (XX-24)

44. Jika 3

12)(

2 −+=

x

xxf , maka turunan pertama dari fungsi f di -3 adalah

...)3(' =−f

A. 2

11−

B. 6

5−

C. 3

2−

D. 2

1−

E. 3

1−


45. Jika garis singgung di titik (1,2) pada parabola 42 ++= bxaxy memiliki

persamaan 86 +−= xy , maka nilai a dan b berturut-turut adalah…

A. 2 dan -4 B. -4 dan 2 C. -2 dan 0 D. 2 dan -10 E. 4 dan -6 SPMB MAT IPA 2007 (XX-07)

46. Grafik 71232 23 +−−= xxxy turun untuk x yag memenuhi

A. 2<x

B. 21 <<− x

C. 13 −<<− x

D. 1−<x atau 2>x

E. 3−<x atau 1>x SPMB MAT DAS 2006 (XX-07)

47. Jika xxf 3sin)( 2= , maka nilai ...2

)()2(lim

0=−+

→ p

xfpxf

p

A. x3cos2

B. x3sin2

C. x2sin6

D. xx 3cos.3sin6

E. x2cos6 SPMB MAT DAS 2006 (XX-10)

48. Dari kawat yang panjangnya 500 meter akan dibuat kerangka balok yang salah satu rusuknya 25 meter. Jika volume baloknya maksimum, maka panjang dua rusuk yang lain adalah…. A. 10 m dan 90 m B. 15 m dan 85 m C. 25 m dan 75 m D. 40 m dan 60 m E. 50 m dan 50 m SPMB MAT DAS 2006 (XX -14)

49. Jika α dan β berturut-turut merupakan sudut lancip yang dibentuk oleh

sumbu X dengan garis singgung 542 −−= xxy di titik dengan absis -1 dan

3, maka ...)tan( =−αβ

A. -4/13 B. 4/13 C. -8/11 D. 8/11 E. 4/11 SPMB MAT IPA 2006 (XX-01)

50. Melalui titik ),1(43− dibuat garis singgung pada parabola 2

41 xy = absis

kedua titik singgungnya adalah…. A. -3 dan -1 B. -3 dan 1 C. -1 dan 1 D. -1 dan 3 E. 1 dan 3 SPMB MAT IPA 2006 (XX-13)

INTEGRAL / ANTI TURUNAN

A. INTEGRAL TAK TENTU

a.a.a.a. Integral DasarIntegral DasarIntegral DasarIntegral Dasar #(1)#(1)#(1)#(1)

, untuk 1−≠n

Sifat – sifat dalam operasi integral :

1. ∫ ∫=⋅ dxxfkdxxfk )()(

2. ∫ ∫∫ +=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

Contoh :

1. ∫ += Cxdxx 55343

2. CxCxdxxdxx +=+== ∫∫3

613

31

212

212

21

3. ∫ += Cxdx 22

4. ....43 262 =++∫ dxxxx

Pembahasan :

∫∫−++=++ dxxxxdxxx

x 2262 64343 2

1

2

Cxxx +++= −−

11

61333 2

3

234

Cxxx +−+= −1383 62

3

Cxxxx

+−+= 6383

5. ...)43( 2

=−+∫ dx

x

xxx

Pembahasan :

dxx

xxxdx

x

xxx ∫∫

−+=−+

21

)43()43( 232 ∫

−−+= dxxxxx 21

)43( 23

∫ −+= dxxxx 21

23

25

43

∫ += ++ Cxdxax n

nan 11

∫ += Caxdxa

Cxxx +−+= 23

23

25

25

27

27

431

Cxxxxxx +−+=382

563

72

b.b.b.b. Integral Bentuk Ln (Logaritma Natural)Integral Bentuk Ln (Logaritma Natural)Integral Bentuk Ln (Logaritma Natural)Integral Bentuk Ln (Logaritma Natural) #(2)#(2)#(2)#(2) Contoh :

1. ∫ ∫ +== Cxdxx

dxx

ln3

21

3

2

3

2

2. ∫∫ −+=−+dxxdx

x

xxx 3

242

342Cxxx +−+= ln342

c.c.c.c. Hubungan Integral dan TurunanHubungan Integral dan TurunanHubungan Integral dan TurunanHubungan Integral dan Turunan #(3)#(3)#(3)#(3)

Contoh :

1. Jika diketahui 4210)(' 4 ++= xxxf dan 10)1( =f , maka persamaan )(xf


∫= dxxfxf )(')(

∫ ++= dxxx 4210 4 Cxxx +++= 42225

510

Cxxx +++= 42 25 10412)1( =+++= Cf

107 =+ C 3=⇔ C

342)( 25 +++= xxxxf

2. Jika diketahui gradien garis singgung sebuah kurva adalah 32 +x dan kurva tersebut melalui titik (2,3). Maka persamaan kurva tersebut adalah... Pembahasan :

32' += xy

∫= dxyy '

Cxxdxx ++=+= ∫ 332 2

∫ += Cxdxx

ln1

∫= dxxfxf )(')( dan ∫= dxxfxf )('')('

atau bisa ditulis :

Gradien = m = y’ = 2x + 3

catatan :

)(xf )(' xf )('' xfturunan turunan

integral integral

Cxxy ++= 32 , melaui (2,3)

C++= )2(323 2

C+= 103 7−=⇔ C

732 −+= xxy

B. INTEGRAL SUBTITUSI #(4)#(4)#(4)#(4)

Integral ini dengan cara mensubtitusi/mengganti sebagain unsur integral sehingga integral tersebut menjadi bentuk baku. Contoh :

1. ∫ =+ ....)3(4 52 dxxx

Pembahasan :

....)3(4 52 =+∫ dxxx

∫ ⋅=x

duux2

54

∫= dxu52

Cu += 662

Cx ++= 5231 )3(

2. ∫ =++

+...

52

1

2 xx

x

Pembahasan :

∫−+++= dxxxx 2

1

)52)(1( 2

)1(2)1( 2

1

+⋅+= ∫

−

x

duux

misal :

ux =+ 32

dx

dux =2

dudxx = 2

x

dudx

2=

misal :

uxx =++ 522

dx

dux =+ 22

dudxx =+ )1(2

)1(2 +

=x

dudx

Cxx

xdxxx ++⋅=+ ∫∫

6252 )3(6

1

2

4)3(4

Cx ++= 62 )3(3

1

Tetap Turun

Integral CADAS

Inget : TTTTetap TTTTurun InInInIntegral (TTIn)

∫ =++

+...

52

12 xx

x

duu ∫−= 2

1

21

Cu += 21

211

21

Cu +=12

21

Cxx +++= 522

3. ∫ =+ ....)1(2 3dxxx

Pembahasan:

∫ =+ ....)1(2 3dxxx

∫ ∫ −=− duuuduuu 343 22)1(2

Cuu +−= 45

42

52

Cxx ++−+= 45 )1(21

)1(52

C. INTEGRAL PARSIAL #(5)#(5)#(5)#(5)

Bentuk integral parsial : Contoh :

misal :

ux =+1 ⇔ 1−=ux

dx

du=1

dudx=

∫ ∫−⋅= duvvudvu

∫++

+

52

1

2 xx

x∫

−+++= dxxxx 21

)52)(1( 2

Cxxx

x +++⋅++= 2

1

)52(1

22

)1( 2

21

Cxx +++= 21

)52(1

2

2

1 2

Cxx +++= 522

Tetap Turun

Integral

CADAS :

Cadas digunakan hanya jika bagian yang dimisalkan mempunyai pangkat 1 lebih besar dari yang tidak dimisalkan.

Catatan :

1. ∫ =+ ....)12(3 3dxxx

Pembahasan :

∫ =+ ....)12(3 3dxxx

misal :

xu 3= dxxdv 3)12( +=

3=dx

du 4)12(

4

1

2

1 += xv

dxdu 3= 4)12(8

1 += xv

∫ ∫−⋅=+ duvvudxxx 3)12(3

∫ +−+= dxxxx 3)12(8

1)12(

8

1)3( 44

∫ +−+= dxxxx 44 )12(8

3)12(

8

1)3(

Cxxx ++−+= 54 )12(5

1

2

1

8

3)12(

8

3

Cxxx ++−+= 54 )12(80

3)12(

8

3

u dv

3x 3)12( +x 3 4

814

41

21 )12()12( +=+ xx

0 58015

51

21

81 )12()12( +=+ xx

Cxxx ++−+= 54 )12(803

)12(83

-

+

CADAS :

TU

RU

NK

AN

INT

EG

RA

LKA

N

D. INTEGRAL TRIGONOMETRI

a.a.a.a. Integral Trigonometri DasarIntegral Trigonometri DasarIntegral Trigonometri DasarIntegral Trigonometri Dasar #(6)#(6)#(6)#(6) Rumus – rumus dasar integral trigonometri adalah : Atau bisa ditulis dalam bentuk berikut : 1. Contoh :

1. CxCxdx x ++−=++−⋅=+∫ )43cos(3

2)43cos(2)43sin(2

31

2. ∫ += Cxdxx 4sin4

34cos3

3. ∫ +−−=−− Cxdxxx )12csc(21

)12cot()12csc(

1. ∫ ++−=+ Cbaxa

dx bax )cos(1

)sin(

2. ∫ ++=+ Cbaxa

dx bax )sin(1

)cos(

3. ∫ ++=+ Cbaxa

dxbax )tan(1

)(sec2

4. ∫ ++−=+ Cbaxa

dx baxec )cot(1

)(cos 2

5. ∫ ++=++ Cbaxa

dx baxbax )sec(1

)tan()sec(

6. ∫ ++−=++ Cbaxa

dxbaxbax )csc(1

)cot()csc(

1. ∫ +−= Cxdx x cossin

2. ∫ += Cxdx x sincos

3. ∫ += Cxdxx tansec2

4. ∫ +−= Cxdx xec cotcos 2

5. ∫ += Cxdx xx sectansec

6. ∫ +−= Cxdxxx csccotcsc

1. xxfxxf cos)('sin)( =→=

2. xxfxxf sin)('cos)( −=→=

3. xxfxxf 2sec)('tan)( =→=

4. xxfxxf 2csc)('cot)( −=→=

5. xxxfxxf tansec)('sec)( ⋅=→=

6. xxxfxxf cotcsc)('csc)( ⋅−=→=

Inget ini bro !!! (di bab turunan)

b.b.b.b. Integral Trigono Dengan Rumus TrigonoIntegral Trigono Dengan Rumus TrigonoIntegral Trigono Dengan Rumus TrigonoIntegral Trigono Dengan Rumus Trigono #(7)#(7)#(7)#(7)

Berikut adalah rumus – rumus yang sering digunakan dalam penyelesaian integral trigonometri : Rumus – rumus identitas dalam trigonometri adalah : 1. 2. 3. Rumus perkalian : Rumus sudut rangkap :

Contoh :

1. ∫ ∫ ∫ +−=−=−= Cxxdxxdxxdxx 3tan3

223sec22)3sec1(23tan2 222

2. ∫ ∫ +−=+−=−= CxxCxxdxxdxx 4sin8

1

2

14sin

4

1

2

1

2

14cos

2

1

2

12sin2

3. ∫ = ....2cos4cos3 dxxx

Pembahasan :

∫ ∫= dxxxdxxx 2cos4cos22

32cos4cos3

∫ −++= dxxxxx )24cos()24cos(2

3

∫ += dxxx 2cos6cos2

3

Cxx +

+= 2sin2

16sin

6

1

2

3

Cxx ++= 2sin4

36sin

4

1

12cos2sin =+ xx

xx 2sin12cos −= 1cossin 22 =+ xx

xx 2sec2tan1 =+ 12sec2tan −= xx

xecx 22 coscot1 =+ 12cos2cot −= xecx

1. )sin()sin(cossin2 BABABA −++=

2. )sin()sin(sincos2 BABABA −−+=

3. )cos()cos(coscos2 BABABA −++=

4. )cos()cos(sinsin2 BABABA −−+=−

1. AAA cossin22sin =

2. AAA 2sin2cos2cos −=

3. AA 2cos2

1

2

1sin2 −=

4. AA 2cos2

1

2

1cos2 +=

c.c.c.c. Integral Trigono Dengan SubtitusiIntegral Trigono Dengan SubtitusiIntegral Trigono Dengan SubtitusiIntegral Trigono Dengan Subtitusi #(8)#(8)#(8)#(8)

Seperti pada subtitusi pada integral ini juga ada bagian dari fungsi yang diganti/dimisalkan. Contoh :

1. ....)3sin(4 2 =+⋅∫ dxxx

Pembahasan :

.2

sin4)3sin(4 2∫∫ =+⋅

x

duuxdxxx

∫= duu sin2

Cu+−= cos2

Cx ++−= )3cos(2 2

2. ∫ =⋅ ....2cos2sin 3 dxxx

Pembahasan :

∫ ∫ −⋅=⋅

x

duuxdxxx

2sin22sin2cos2sin 33

∫−= duu3

2

1

Cu +−= 4

4

1

2

1

Cx+−= 2cos8

1 4

3. ∫ =⋅ ....tansec3 42 dxxx

Pembahasan :

∫ ∫ ⋅=⋅x

duuxdxxx

24242

secsec3tansec3

∫= duu43

misal :

ux =+ 32

dx

dux =2

x

dudx

2=

misal :

ux=2cos

dx

dux =− 2sin2

x

dudx

2sin2−=

misal : ux =tan

dx

dux =2sec

x

dudx

2sec=

∫ ⋅ xdxx 2cos2sin 3 Cxx

x +−

= 2cos4

1

2sin2

2sin 4 Cx +−= 2cos8

1 4

Tetap Turun

Integral CADAS :

∫ +⋅ dxxx )3sin(4 2 Cxx

x ++= )3cos(2

4 2 Cx ++−= )3cos(2 2

Tetap Turun

Integral

CADAS :

Cu += 5

5

3

Cx += 5tan5

3

d.d.d.d. Integral Trigono Dengan ParsialIntegral Trigono Dengan ParsialIntegral Trigono Dengan ParsialIntegral Trigono Dengan Parsial #(9)#(9)#(9)#(9) Contoh :

1. ....3cos2 =⋅∫ dxxx

Pembahasan :

....3cos2 =⋅∫ dxxx

misal : xu 2= dxxdv 3cos=

2=dx

du xv 3sin

3

1=

dxdu 2=

∫∫ −=⋅ vduuvdxxx 3cos2

∫ ⋅−⋅= dxxxx 23sin3

13sin

3

12

∫−= dxxxx 3sin3

23sin

3

2

Cxxx +−⋅−= 3cos3

1

3

23sin

3

2

Cxxx ++= 3cos9

23sin

3

2

2. ∫ = ....sin2 dxxx

Pembahasan :

∫ = ....sin2 dxxx

Cxxxxx +++−= cos2sin2cos2

2x x3cos 2 x3sin

31

0 xx 3cos3cos.91

31

31 −=−

Cxx ++= 3cos9

23sin

3

2

-

+

CADAS :

TU

RU

NK

AN

INT

EG

RA

LKA

N

x2 xsin 2x xcos− 2 xsin− 0 xcos

Cxxxxx +++−= cos2sin2cos2

- +

CADAS :

TU

RU

NK

AN

INT

EG

RA

LKA

N

+

∫ ⋅ xdxx 42 tansec3 Cxx

x +⋅= 52

2tan

51

sec

sec3Cx += 5tan

5

3

Tetap Turun

Integral CADAS :

E. INTEGRAL SUBTITUSI TRIGONOMETRI #(10)#(10)#(10)#(10)

Ini adalah materi pengayaan, untuk lebih mendalamnya akan dibahas di Kalkulus saat kalian kuliah nanti. Bentuk subtitusi trigonometri : Bentuk Subtitusi Hasil

22 xa − θsinax = θcosa

22 xa + θtanax = θseca

22 ax − θsecax = θtana

Contoh :

1. ∫ =−

....9 2x

dx

Pembahasan :

θsin339 222 =→−=− xxx

θcos33 22 =− x

θθ

θθ

θ

ddxd

dxx

cos3

cos3sin3

=

=⇔=

∫∫ ∫ ==−

θθθd

d

x

dx

3

cos3cos3

9 2

C+= θ3

Cx +=3

arcsin3

F. INTEGRAL FUNGSI EKSPONEN #(11)#(11)#(11)#(11)

Contoh :

1. ∫ = ....2 3 dxe x

Pembahasan :

∫ ∫= duedu

e uu

3

2

32

Ceu +=3

2

Ce x += 3

3

2

misal :

θsin3=x

3sin

x=θ

3arcsin

x=θ

∫ += Cedxe xx

misal :

ux =3

dx

du=3

3

dudx=

G. INTEGRAL TENTU #(12)#(12)#(12)#(12)

Integral tentu didefinisikan dengan :

Contoh :

1. ....324

2=+∫ dxx

Pembahasan :

]4224

2332 xxdxx +=+∫

( ) ( ))2(32)4(34 22 +−+=

121628)124()1216( =−=+−+=

2. ∫ =+2

0....)2cos(sin

πdxxx

Pembahasan :

]∫ +−=+2 2

0 021 2sincos)2cos(sin

π πxxdxxx

( ) )0sin0cos(sincos21

21

2+−−+−= ππ

( ) )01(00 +−−+=

1=

H. INTEGRAL LUAS

Berikut bentuk-bentuk daerah arsiran : #(13)#(13)#(13)#(13)

∫ −=b

aaFbFdxxf )()()( dengan )(')( xFxf = .

a b

f(x)

X

Y

∫=b

adxxfL )(

f(x)

X

Y

a b

∫−=b

adxxfL )(

∫∫ −=

+=c

b

b

a

III

dxxfdxxfL

LLL

)()(

a b

f(x)

X

Y

c

I

II

∫∫ −+−=

+=c

b

b

a

III

dxxgxfdxxfxgL

LLL

)()()()(

b

f(x)

X

Y

c a g(x)

I II

a b

f(x)

X

Y

g(x)

∫ −=b

adxxgxfL )()(

∫ −=b

abawahatasL

a c b X

Y

f(x) g(x)

∫∫ +=

+=c

b

b

a

III

dxxgdxxfL

LLL

)()(

I II

CADAS Bentuk Khusus :

Contoh : 1. Luas daerah yang diarsir dari grafik berikut adalah....

Pembahasan :

dxxxL ∫ +−=1

02 12

]1

023

31

xxx +−=

( )000113

1 +−−

+−=

31=

2. Luas daerah yang dibatasi sumbu x, 342 +−= xxy dan 20 ≤≤ x

adalah.... Pembahasan : # gambar kurva

342 +−= xxy

)3)(1(0 −−= xx

1=x atau 3=x Kurva melaui (1,0) dan (3,0) Dan membuka keatas #menghitung luas

III LLL +=

∫∫ +−−+−=2

121

02 3434 dxxxdxxxL

] ] 2

123

311

023

31 3232

xxxxxx +−−+−=

( ))32()68()000()32(31

38

31 +−−+−−+−−+−=

( ) ( ) 236

32

34

34

32

34 ==+=−−=

1 X

Y 12)( 2 +−= xxxf

0

1

31

31

31 )1)(1( === abL

Cadas :

1 X

Y 34)( 2 +−= xxxf

0 2

I

II 3

a a a a

a a a a

b b b b

b b b b

abL32=

abL31=

#(14)#(14)#(14)#(14)

3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 962 +−= xxy dan garis 1−= xy

adalah.... Pembahasan : # gambar kurva

962 +−= xxy

960 2 +−= xx )3)(3(0 −−= xx

3=x atau 3=x Kurva membuka keatas dan menyinggung (3,0) # gambar garis

1−= xy

Saat 0=x maka 1−=y )1,0( −→

Saat 0=y maka 1=x )0,1(→

# titik potong

21 yy =

1962 −=+− xxx

01072 =+− xx 0)5)(2( =−− xx

2=x atau 5=x # menghitung luas

∫ +−−−=5

22 )96()1( dxxxxL

∫ −+−=5

22 107 dxxx

]52

2273

31 10xxx −+−=

( ) ( )2050228

38

2175

3125 −+−−−+−=

( ) ( )6

12084166

300525250 −+−−+− −= ( ) ( )627

652

625 =−= −−

29=

#(15)#(15)#(15)#(15)

4. Luas dari daerah yang dibatasi oleh kurva 2xy = , garis 2+−= xy serta

sumbu X adalah... Pembahasan :

1 X

Y 9621 +−= xxy

0

-1

2 5

12 −= xy

21 yy =

1962 −=+− xxx

01072 =+− xx

acbD 42 −=4049)10)(1(4)7( 2 −=−−= 9=

29

6)3(9

)1(6

99

6 22====

a

DDL

CADAS

# gambar kurva 2xy =

menyinggung (0,0) membuka keatas # gambar garis

2+−= xy

Saat x = 0 , maka y = 2 )2,0(→

Saat 0=y , maka 2=x )0,2(→

# cari titik potong

21 yy =

22 +−= xx

022 =−+ xx 0)1)(2( =−+ xx

2−=x atau 1=x # luas daerah

III LLL +=

∫∫ +−+=2

1

1

02 2 dxxdxxL

] ] ( ) ( ))2()42(0221

312

12

211

03

31 +−−+−+−=+−+= xxx

( ) ( )65

31

21

23

31 2 =+=−+=

I. INTEGRAL VOLUME

1 X

Y 2

1 xy =

0 2

2

II I

22 +−= xy

1

65

21

31

21

31

21

31

)1)(1()1)(1(

=

+=+=

⋅+=

+=

tinggialasab

LLL III

CADAS:

X

Y y = f(x)

a b

∫=b

adxyL 2π ∫=

b

adyxL 2π

a

b

x=f(y)

X

Y

Contoh :

1. Daerah yang dibatasi oleh 2xy = , sumbu X dan x = 1 diputar 360o

terhadap sumbu X , maka volume yang terjadi adalah... Pembahasan : # gambar kurva

2xy =

Menyinggung (0,0) dan membuka keatas. #menghitung volum

∫=1

02dxyV π

( )∫ ∫==1

0

1

0422 dxxdxx ππ

[ ] [ ]0511

05

51 −== ππ x

π51=

2. Daerah yang dibatasi oleh 2=+ yx dan 1=y diputar mengelilingi sumbu Y

maka volume yang terbentuk adalah.... Pembahasan : # gambar garis

2=+ yx

Saat 0=x maka 2=y )2,0(→

Saat 0=y maka 2=x )0,2(→

# menghitung volume 22 +−=→=+ yxyx

∫=2

12dyxL π

X

Y

y1 = f(x)

a b

∫ −=b

adxyyL 2

22

1π

y2 = g(x)

∫ −=b

abawahatasL 22π

a

b

x2=f(y) x1=f(y)

∫ −=b

adyxxL 2

22

1π

∫ −=b

akirikananL 22π

X

Y 2xy =

1 0

X

Y 2=+ yx

2 0

2

1

∫ ∫ +−=+−=2

1

2

122 44)2( dyyydyyL ππ

[ ]21

2331 42 yyy +−= π

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]37

38

31

38 4288 −=+−−+−= ππ

π31=


1. Nilai dari ( )∫− =−+2

1

2 ...143 dxxx

A. 20

B. 16

C. 14

D. 12

E. 10

UN MAT IPS 2012 (A35-29)

2. Luas daerah yang dibatsi oleh kurva 442 2 +−= xxy , sumbu X, dan

31 ≤≤− x adalah…

A. 3

15 satuan luas

B. 3

26 satuan luas

C. 3

218 satuan luas

D. 3

123 satuan luas

E. 3

220 satuan luas

UN MAT IPS 2012 (A35-30)

3. Nilai dari ( )∫ =−+3

1

2 342 dxxx …

A. 3

127

B. 2

127

C. 3

137

D. 2

137

E. 3

151

UN MAT IPA 2012 (A35 – 33)

4. Nilai dari ( )∫ =+

π3

1

0

cos32sin dxxx …

A. 324

3 +

B. 334

3 +

C. ( )3214

1 +

D. ( )3214

2 +

E. ( )3214

3 +

UN MAT IPA 2012 (A35 – 34)

5. Hasil dari ( )∫ =

−dx

x

x

7 53

2

52

2….

A. ( ) Cx +−7 33 527

3

B. ( ) Cx +−6 73 527

6

C. ( ) Cx +−7 63 527

6

D. ( ) Cx +−7 23 526

7

E. ( ) Cx +−2 73 526

7

UN MAT IPA 2012 (A35 – 35)

6. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2-4x+3 dan y = x-1 adalah…

A. 6

41 satuan luas

B. 3

19 satuan luas

C. 2

9 satuan luas

D. 3

8 satuan luas

E. 6

11 satuan luas

UN MAT IPA 2012 (A35 – 36)

7. Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2

dengan y=2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o adalah…

A. π2 satuan volume

B. π15

13 satuan volume

C. π15

44 satuan volume

D. π15

412 satuan volume

E. π15

214 satuan volume

UN MAT IPA 2012 (A35 – 37)

8. Hasil dari ∫ = ...2sin.2cos4 xdxx

A. cx +− 2sin10

1 5

B. cx +− 2cos10

1 5

C. cx +− 2cos5

1 5

D. cx +2cos5

1 5

E. cx +2sin10

1 5

UN MAT IPA 2011 (D10-23)

9. Luas daerah yang dibatasi kurva 24 xy −= , 2+−= xy dan 20 ≤≤ x ,

adalah…

A. 3

8 satuan luas

B. 3

10 satuan luas

C. 3

14 satuan luas

D. 3

16 satuan luas

E. 3

26 satuan luas

UN MAT IPA 2011 (D10-36)

10. Volume benda putar yang terjadi jika dareah yang dibatasi oleh kurva 2xy = ,

garis xy 2= dan di kuadran I diputar 3600 terhadap sumbu X adalah…

A. π15

20 satuan volume

B. π15

30 satuan volume

C. π15

54 satuan volume

D. π15

64 satuan volume

E. π15

144 satuan volume

UN MAT IPA 2011 (D10-37)

11. Hasil ∫ =−+−4

2

2 ...)86( dxxx

A. 3

38

B. 3

26

C. 3

20

D. 3

16

E. 3

4

UN MAT IPA 2011 (D10-38)

12. Hasil ...)cos3(sin0

=+∫ dxxxπ

A. 3

10

B. 3

8

C. 3

4

D. 3

2

E. 3

4−

UN MAT IPA 2011 (D10-39)

13. Hasil ∫ =−+

+...

193

322

dxxx

x

A. Cxx +−+ 1932 2

B. Cxx +−+ 1933

1 2

C. Cxx +−+ 1933

2 2

D. Cxx +−+ 1932

1 2

E. Cxx +−+ 1932

3 2

UN MAT IPA 2011 (D10-40)

14. Nilai dari e 2�73� + 48f� = ⋯ ��

A. 88 B. 84 C. 56 D. 48 E. 46 UN MAT IPA 2010 (D10-32)

15. Hasil dari e sin �� − @� cos �� − @�f� = ⋯

A. −2 cos7� − 2@8 + :

B. − �� cos7� − 2@8 + :

C. �� cos7� − 2@8 + :

D. cos7� − 2@8 + : E. 2 cos7� − 2@8 + : UN MAT IPA 2010 (D10-33)

16. e 72 sin� cos �8��BG f� = ⋯

A. -1

B. − ��√3

C. ��

D. ��√3

E. 1 UN MAT IPA 2010 (D10-34)

17. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4-��, V = 3�, sumbu Y, dan x = 2 adalah ... A. 6 satuan luas

B. 5 � <0dg0N`g0<

C. 5<0dg0N`g0< D. 3 �

<0dg0N`g0< E. 2 �

<0dg0N`g0< UN MAT IPA 2010 (D10-35)

18. Volum benda putar yang terjadi jika daerah ayng dibatasi oleh kurva y = ��, garis y = 2x di kuadran / diputar 360G terhadap sumbu X adalah ...

A. �G��@<0dg0Nh;`g%

B. G��@<0dg0Nh;`g%

C. ��@<0dg0Nh;`g%

D. ��@<0dg0Nh;`g%

E. �� @<0dg0Nh;`g%

UN MAT IPA 2010 (D10-36)

19. Hasil dari e76�� − 4�8i7� − �� − 18f� = ⋯

A. � i7� − �� − 18� + T

B. � i7� − �� − 18 + T

C. � i7� − �� − 18 + T

D. � i7� − �� − 18 + T

E. � i7� − �� − 18 + T

UN MAT IPA 2009 (D10-31)

20. Hasil dari e sin3� cos�f� = ⋯

A. − �� cos 4� −

�� cos 2� + T

B. �� cos 4� +

�� cos 2� + T

C. − �� cos 4� −

�� cos 2� + T

D. �� cos 4� +

�� cos 2� + T

E. −4 cos 4� − 2 cos 2� + T UN MAT IPA 2009 (D10-32)

21. Diketahui dari e 7� − 18�f� = 2 �

j� , Nilai p yang memenuhi adalah ...

A. 1

B. 1 �

C. 3 D. 6 E. 9 UN MAT IPA 2009 (D10-33)

22. Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan ...

A. e 73� − ��8�G f�

B. e 7� + 38�G f� − e ��

G f�

C. e 7� + 38 −�G e ��

G f�

D. e 7� + 3 − ��8�G f� + e 7��8�

� f�

E. e 7� + 3 − ��8�G f� + e 74 − ��8�

� f� UN MAT IPA 2009 (D10-34)

23. Perhatikan gambar diarsir di bawah! Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu Y, maka volume benda putar yang terjadi adalah

A. 6 ��@<0dg0Nh;`g%k

B. 8@<0dg0Nh;`g%k

C. 13 � @<0dg0Nh;`g%k

D. 15 � @<0dg0Nh;`g%k

1 2

4

3

xy = 2

E. 25 �@<0dg0Nh;`g%k

UN MAT IPA 2009 (D10-35)

24. Hasil ∫ =4

1

...2

dxxx

A. -12 B. -4 C. -3 D. 2 E. 3/2 UN MAT IPA 2008 (D10-35)

25. Hasil dari ∫ dxxx .sin.cos2 adalah…

A. Cx +3cos3

1

B. Cx +− 3cos31

C. Cx +− 3sin31

D. Cx +3sin31

E. Cx +3sin3 UN MAT IPA 2008 (D10-36)

26. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva xxy 42 +−= , sumbu X, garis 1=x

dan 3=x adalah…

A. 3

23 satuan luas

B. 31

5 satuan luas

C. 31

7 satuan luas

D. 31

9 satuan luas

E. 32

10 satuan luas

UN MAT IPA 2008 (D10-37)

27. Volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva

41,012 ≤≤−=+− xyx dan sumbu X , diputar mengelilingi sumbu X

sejauh 3600 adalah…

A. π2

18 satuan volume

B. π21

9 satuan volume

C. π21

11 satuan volume

D. π21

12 satuan volume

E. π21

13 satuan volume

UN MAT IPA 2008 (D10-38)

28. Diketahui ∫ =++3

2 25)123(a

dxxx . Nilai ...2

1 =a

A. -4 B. -2 C. -1 D. 1 E. 2 UN MAT IPA2007 (D9-25)

29. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 2xy = dan garis 6=+ yx adalah…

A. 54 satuan luas B. 32 satuan luas

C. 6520 satuan luas

D. 18 satuan luas

E. 3210 satuan luas

UN MAT IPA 2007 (D9-27)

30. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva 42 +−= xy dan

42 +−= xy diputar 0360 mengelilingi sumbu Y adalah…

A. π8 satuan volume

B. π2

13 satuan volume

C. π4 satuan volume

D. π3

8satuan volume

E. π4

5 satuan volume

UN MAT IPA 2007 (D9-28)

31. Nilai ∫ =π

0

....cos.2sin dxxx

A. 3

4−

B. 3

1−

C. 3

1

D. 3

2

E. 3

4

UN MAT IPA 2006 (D10-17)

32. Volume benda putar yang terjadi, jika daerah antara kurva 12 += xy dan

3+= xy , diputar mengelilingi sumbu X adalah…

A. π5

67 satuan volume

B. π5

107 satuan volume

C. π5

117satuan volume

D. π5

133satuan volume

E. π5

183satuan volume

UN MAT IPA 2006 (D10-18)

33. Perhatikan gambar berikut!

A. 3

2 satuan luas

B. 3 satuan luas

C. 315 satuan luas

D. 326 satuan luas

E. 9 satuan luas UN MAT IPA 2006 (D10-19)

34. Hasil dari ∫ =+1

0

2 ...133 dxxx

A. 7/2 B. 8/3 C. 7/3 D. 4/3 E. 2/3 UN MAT IPA 2005 (D10-18)

35. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah…

A. 214

B. 615

C. 655

D. 6113

E. 6130

UN MAT IPA 2005 (D10-24)

1 5

5

-1

-1

x=3 y=x2-4x+3

y=-x2+6x-5

36. Hasil dari ∫ = ....cos5 dxx

A. Cxx +− sin.cos6

1 6

B. Cxx +sin.cos6

1 6

C. Cxxx +++− 53 sin5

1sin

3

2sin

D. Cxxx ++− 53 sin5

1sin

3

2sin

E. Cxxx +++ 53 sin5

1sin

3

2sin

UN MAT IPA 2005 (D10-25)

37. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, y = 1, dan x = 2 adalah...

A. ( )∫−

−2

1

21 dxx

B. ( )∫−

−2

1

2 1dxx

C. ( )∫ −2

1

2 1dxx

D. ( )∫−

−1

1

21 dxx

E. ( )∫ −2

0

2 1dxx


38. Luas daerah di bawah xxy 82 +−= , diatas 246 −= xy , dan terletak di

kuadran I adalah…

A. ∫ ∫ −−++−4

0

6

4

22 )242()8( dxxxdxxx

B. ∫ ∫ ++−++−4

0

6

4


C. ∫ ∫ ++−++−6

0

8

6


D. ∫ ∫ +−+−6

4

8

6

2 )8()246( dxxxdxx

E. ∫ ∫ +−+−4

0

6

4

2 )8()246( dxxxdxx


39. Integral yang menyatakan daerah kurva 06, =−+= yxxy dan sumbu X

adalah …

A. ∫ ∫ −+6

0

9

6

)6( dxxdxx

B. ∫ ∫ −−4

0

9

4

)6( dxxdxx

C. ∫ ∫ −+4

0

9

4

)6( dxxdxx

D. ∫ ∫ −−4

0

6

4

)6( dxxdxx

E. ∫ ∫ −+4

0

6

4

)6( dxxdxx


40. Jika dxx

x∫ −

2/1

01

disubtitusikan yx sin= , maka menghasilkan…

A. ∫2/1

0

2sin x dx

B. ∫2/1

0

2

cos

sindy

y

y

C. ∫4/

0

2sin2π

x dx

D. ∫4/

0

2sinπ

y dy

E. ∫6/

0

2sin2π

x dx


41. Jika 2)( xxf = , maka luas yang dibatasi kurva )4(4),(4 −−=−= xfyxfy

dan garis 4=y adalah…

A. 12 B. 16/3 C. 5 D. 4 E. 11/3 SNMPTN MAT IPA 2009 (XX-10)

42. Luas daerah yang dibatasi oleh 2

3,

2,sin2

ππ === xxxy dan sumbu x sama

dengan… A. 1 satuan luas B. 2 satuan luas C. 3 satuan luas D. 4 satuan luas E. 5 satuan luas SNMPTN MAT IPA 2008 (XX-03)

43. Luas daerah dibatasi oleh grafik fungsi-fungsi xyxy cos,sin == dan sumbu

X untuk 2

0π≤≤ x adalah…

A. 12 −

B. 22 −

C. 22

D. 122 − E. 2 SPMB MAT IPA 2007 (XX-08)

44. ∫ =−3

2

...215 dxxx

A. 18 B. 20 C. 22

D. 24 E. 2 SPMB MAT IPA 2006 (XX-07)

PROGRAM LINIER

A. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER

Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu, gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linier disebut sistem pertidaksamaan linier. Berikut adalah contohnya :

Pertidaksamaan Linier Persamaan linier

432 ≤+ yx 432 =+ yx

265 >+− yx 52 −=− yx

0≥x 3=y

2−<y 0=x

B. DASAR-DASAR YANG PERLU DIKUASAI

a.a.a.a. Membuat PersamaanMembuat PersamaanMembuat PersamaanMembuat Persamaan GarisGarisGarisGaris Memotong Sumbu X dan sumbu YMemotong Sumbu X dan sumbu YMemotong Sumbu X dan sumbu YMemotong Sumbu X dan sumbu Y Contoh :

a

b X

Y abbyax =+

a adalah absis tipot dengan sumbu Y

b adalah absis tipot dengan sumbu X

X

Y -3

-2

623 =−−⇒ yx

X

Y

3

4

1234 =+⇒ yx

X

Y

-2

5

1025 −=−⇒ yx

X

Y -5

4

2045 −=+−⇒ yx

b.b.b.b. Membuat Persamaan Garis Melalui 2 TitikMembuat Persamaan Garis Melalui 2 TitikMembuat Persamaan Garis Melalui 2 TitikMembuat Persamaan Garis Melalui 2 Titik Contoh :

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

−−

=−

−

35

3

41

4

−−=

−− xy

2

3

3

4 −=−− xy

9382 +−=− xy

1723 =+ yx

c.c.c.c. Menggambar Persamaan GarisMenggambar Persamaan GarisMenggambar Persamaan GarisMenggambar Persamaan Garis Untuk menggambar persamaan garis lurus adalah dengan cara mencari titik potong dengan sumbu X dan Y nya, kemudian kita buat garis melalui dua titik tersebut. Contoh : 1. 1242 =+ yx

2. 1553 =− yx

3. 4=x dan 2−=y

),( 22 yx

),( 11 yx 12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

−−

=−

−

)1,5(

)4,3(

1723

1732

43

)1,5(

17320

=++−=

=−

yx

xy

) , (

CADAS :

60 =→= xy

30 =→= yx

50 =→= xy

30 −=→= yx

6

3

X

Y

5

-3

X

Y

-2

4 X

Y

y=-2

y=4

C. SISTEM PERITDAKSAMAAN LINIER

a.a.a.a. Menentukan Daerah Penyelesaian / HPMenentukan Daerah Penyelesaian / HPMenentukan Daerah Penyelesaian / HPMenentukan Daerah Penyelesaian / HP Untuk menentukan daerah arsiran dengan titik uji dapat dilakukan dengan : 1. Gambar garis tersebut. 2. Ambil sebuah titik uji, dan subtitusikan titik uji tersebut ke

pertidaksamaan. 3. Jika memberikan nilai benar maka daerah tersebut daerah

penyelesaian, jika tidak maka daerah diseberangnya yang merupakan daerah penyelesaian.

Atau bisa dilakukan tanpa titik uji, caranya : Dengan 0>c , cbyax ≤+ , daerah arsiran di daerah yang terdapat (0,0)

Dengan 0>c , cbyax ≥+ , daerah arsiran di daerah yang tidak terdapat titik

(0,0) Contoh : 1. Himpunan penyelesaian dari : 2432 ≥+ yx adalah....

Pembahasan : # gambar garis:

2432 =+ yx

# uji titik Titik uji (0,0) 2432 ≥+⇒ yx

2400 ≥+ (salah), maka daerah arsiran ada disebrangnya.

2. Himpunan penyelesaian dari 1223 ≤− yx adalah...

Pembahasan : # gambar garis :

1223 =− yx

1223 ≤− yx

120 =→= xy

80 =→= yx12

8

40 =→= xy

60 −=→= yx

Daerah yang yg terdapat titik (0,0)

4

-6

(0,0)

b.b.b.b. Daerah Daerah Daerah Daerah –––– daerah Kuadrandaerah Kuadrandaerah Kuadrandaerah Kuadran

Dalam bidang kartesius terdpat 4 kudran yang dibedakan seperti berikut :

c.c.c.c. Sistem Pertidaksamaan LinierSistem Pertidaksamaan LinierSistem Pertidaksamaan LinierSistem Pertidaksamaan Linier Sistem pertidaksamaan linier ini artinya gabungan dari beberapa pertidaksamaan linier. Contoh : 1. Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut :

≥≥

≤+≤−

0

0

1234

424

y

x

yx

xy


424 =− xy

424 ≤− xy

1234 =+ yx

1234 ≤+ yx

≥≥

0

0

y

xkuadaran I

20 −=→= xy

10 =→= yx

30 =→= xy

40 =→= yx



-2

1

3

4

X

Y

Daerah penyelesaian

0

0

≥≥

y

xKuadran I

0

0

≥≤

y

xKuadran II

0

0

≤≤

y

xKuadran III

0

0

≤≥

y

xKuadran IV

+X

+Y

−X

−Y

2. Daerah yang diarsir pada gambar berikut menunjukkan himpunan penyelesaian dari berberapa pertidaksamaan linier. Carilah pertidaksamaan – pertidaksamaan tersebut !. Pembahasan : Jadi sistem pertidaksamaannya adalah...

10 25 ≤+ yx (karena (0,0) termasuk daerahnya).

12 43 ≤+ yx (karena (0,0) termasuk daerahnya).

0

0

≥≥

y

x

D. NILAI OPTIMUM DARI FUNGSI OBJEKTIF

Fungsi objektif adalah bentuk byaxyxf +=),( atau byaxz += yang akan

dicari nilai optimumnya (masksimum/minimum). a.a.a.a. Dengan Subtitusi Titik PojokDengan Subtitusi Titik PojokDengan Subtitusi Titik PojokDengan Subtitusi Titik Pojok

Dilakukan dengan mensubtitusikan titik-titik pojok daerah arsiran ke fungsi objektif. Contoh : 1. Nilai maksimum dan minimum dari

daerah disamping dengan fungsi objektif yxyxf 32),( += adalah....

Pembahasan : yxyxf 32),( +=

000)0,0( =+=f

808)0,4( =+=f

19910)3,5( =+=f

27216)7,3( =+=f

990)3,0( =+=f

Maka nilai maksimumnya 27 dan nillai minimumnya 0.

4

3

2

5

X

Y

(0,0)

4

3

2

5

X

Y

(0,0)

1025 =+ yx

1223 =+ yx

dikuadran I

X

Y

(5,3)

(3,7)

(0,3)

(4,0) (0,0)

b.b.b.b. Dengan Garis SelidikDengan Garis SelidikDengan Garis SelidikDengan Garis Selidik Bila fungsi objektif byaxyxf +=),( maka garis selidiknya kbyax =+ ,

dengan Rk∈ . Titik yang terkena paling awal/akhir dari garis selidik dialah titik optimumnya. Contoh : 1. Nilai optimum dari gambar

disamping dengan fungsi objektif yxyxf 32),( +=adalah... Pembahasan : Garis selidik :

632 =+ yx

Titik awal dan terakhir yang terkena garis selidik adalah titik A dan D, maka dititik itulah terjadi nilai optimum.

yxyxf 32),( +=

Untuk titik A(0,0) 000)0(3)0(2)0,0( =+=+=f (minimum)

Untuk titik D(3,7) 27216)7(3)3(2)7,3( =+=+=f (maksimum)

E. PEMODELAN MATEMATIKA

Pemodelan matematika adalah penerjemahan dari kendala-kendala dalam sebuah kejadian kedalam bentuk sistem pertidaksamaan linier. Setelah mendapat model matematikanya maka bisa dicari nilai-nilai optimumnya. Contoh : 1. Mas Bejoo akan mengangkut 20 sapi dan 12 domba dengan dengan truk

dan pickup. Setiap truk mampu mengangkut 4 sapi dan 2 doomba dan pickup mampu mengankut 2 sapi dan 3 domba untuk sekali angkutnya. Biaya angkut truk Rp.1.000.000 dan biaya angkut pickup Rp.450.000. Carilah : a. Model matematikanya b. Biaya minimum untuk mengankut ternak c. Jumlah truk dan pickup agar biaya angkutnya minimum Pembahasan : a. Mencari model matematika

Jumlah truk = x Jumlah pickup = y

30 =→= xy

20 =→= yx

X

Y

C(5,3)

D(3,7)

E(0,3)

B(4,0) A(0,0)

2

3 aris selidik: 2x+3y=k

Truk Pickup Total Sapi 4(x) 2(y) 20 Domba 2(x) 3(y) 12 Biaya 1.000.000(x) 450.000(x)

Maka model matematikanya adalah : 1022024 ≥+⇒≥+ yxyx

1232 ≥+ yx

0

0

≥≥

y

x

yxyxf 000.450000.000.1),( +=

b. Mencari biaya minimum

102 ≥+ yx

1232 ≥+ yx

yxyxf 000.450000.000.1),( +=

000.000.60000.000.6)0,6( =+=f

000.500.4000.500.40)10,0( =+=f

000.950.4000.45000.500.4)1,4(21 =+=f

Jadi biaya minimumnya adalah Rp.4.500.000

c. Jumlah truk dan pickup agar minimum Nilai minimum dicapai dititik B(0,10) artinya 0 truk dan 10 pickup.

100 =→= yx

50 =→= xy

40 =→= yx

60 =→= xy

daerah yg tdk terdapat titik (0,0)

daerah yg tidak terdapat titik (0,0)

10

4

5 6 X

Y

A(6,0)

B(0,10)

C

Cari titik potong C :

214

122

102

1232

=

=→=

−=+=+

x

yy

yx

yx

Maka titik )1,4(21C .


1. Daerah yang diarsir pada gambar merupakan daerah himpunan penyelesaian

sistem pertidaksamaan linier. Nilai minimum f(x,y)=4x+3y yang memenuhi

daerah yang diarsir adalah…

A. 36

B. 60

C. 66

D. 90

E. 96

UNMAT IPS 2012 (A35 – 17)

2. Tempat parker seluas 600 m2 mampu menampung 58 bus dan mobil. Tiap

mobil membutuhkan tempat seluas 6 m2 dan bus 24 m2. Biaya parker tiap

mobil Rp2.000,00 dan bus Rp3.500,00. Beberapa hasil dari biaya parker

maksimum, jika tempat parker penuh ?

A. Rp87.500,00

B. Rp116.000,00

C. Rp137.000,00

D. Rp163.000,00

E. Rp203.000,00

UNMAT IPS 2012 (A35 – 18)

3. Nilai maksimum yxyxf 45),( += yang memenuhi pertidaksamaan

0,122,8 ≥≤+≤+ xyxyx dan 0≥y adalah…

A. 24 B. 32 C. 36 D. 40 E. 60 UNMAT IPS 2011 (XX – 10)

4. Nilai minimum fungsi obyektif yxyxf 23),( += dari daerah yang

diarsir pada gambar adalah… A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9 UNMAT IPS 2011 (XX – 16)

2 3

3

4

X

Y

15 24

12

30

X

Y

5. Seorang peternak ikan hias memiliki 20 kolam untuk memelihara ikan koki dan ikan koi. Setiap kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi saja sebanyak 36 ekor. Jumlah ikan yang direncanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor. Jika banyak kolam berisi ikan koki adalah x, dan banyak kolam berisi ikan koi adalah y, maka model matematika untuk masalah ini adalah… A. 0,0,5023,20 ≥≥≤+≥+ yxyxyx

B. 0,0,5032,20 ≥≥≤+≥+ yxyxyx

C. 0,0,5032,20 ≥≥≤+≤+ yxyxyx

D. 0,0,5032,20 ≥≥≥+≤+ yxyxyx

E. 0,0,5023,20 ≥≥≥+≤+ yxyxyx


6. Seorang ibu memproduksi dua jenis keripik pisang, yaitu rasa coklat dan rasa keju. Setiap kilogram keripik rasa coklat membutuhkan modal Rp.10.000,00 , sedangkan keripik rasa keju membutuhkan modal Rp.15.000,00 per kilogram. Modal yang dimiliki ibu tersebut Rp.500.000,00. Tiap hari hanya bisa memproduksi paling banyak 40 kilogram. Keuntungan tiap kilogram keripik pisang rasa coklat adalah Rp.2.500,00 dan keripik rasa keju Rp.3.000,00 per kilogram. Keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu tersebut adalah…. A. Rp.110.000,00 B. Rp.100.000,00 C. Rp.99.000,00 D. Rp.89.000,00 E. Rp.85.000,00 UNMAT IPS 2011 (XX-34)

7. Perhatikan gambar !

Nilai maksimum yxyxf 3060),( +=

untuk (x,y) pada daerah diarsir

adalah...

A. 200

B. 180

C. 120

D. 110

E. 80


8. Tempat parkir seluaa 600m2 dan hanya mampu menampung 58 kendaraan

jenis bus dan mobil. Tiap mobil membutuhkan tempat seluas 6m2 dan bus

24m2. Biaya parkir tiap mobil Rp2.000,00 dan bus Rp3.500,00. Berapa hasi

dari biaya parkir maksimum, jika tempat parkir penuh ?

A. Rp87.500,00

B. Rp116.000,00

C. Rp137.000,00

D. Rp163.000,00

E. Rp203.000,00


9. Penjahit “Hidah Pantes” akan membuat pakian wanita dan pria. Untuk

membuat pakaian wanita diperlukan bahan bergaris 2 m dan bahan polos 1

m. Untuk membuat pakaian pria diperlukan bahan bergaris 1 m dan bahan

polos 2 m. Penjahit hanya memiliki persediaan bahan bergaris dan bahan

polos sebanyak 36 m dan 30 m. Jika pakaian wanita dijual dengan harga

Rp150.000,00 dan pakaian pria dengan harga Rp100.000,00 maka

pendapatan maksimum yang didapat adalah…

A. Rp2.700.000,00

B. Rp2.900.000,00

C. Rp3.700.000,00

D. Rp3.900.000,00

E. Rp4.100.000,00

UN MAT IPA 2012 (A35-12)

10. Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet tiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam sehari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp.4.000,00 perbiji dan tablet II Rp.8.000,00 perbiji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet perhari adalah… A. Rp.12.000,00 B. Rp.14.000,00 C. Rp.16.000,00 D. Rp.18.000,00 E. Rp.20.000,00 UN MAT IPA 2011 (D10-31)

11. Sebuah perusahaan memproduksi barang dengan 2 model yang dikerjakan dengan dua mesin yaitu mesin A dan mesin B. Produksi model 1 dikerjakan dengan mesin A selama 2 jam dan mesin B selama 1 jam. Produksi model II dikerjakan dengan mesin A selama 1 jam dan mesin B selama 5 jam. Waktu

kerja mesin A dan B berturut-turut adalah 12 jam perhari dan 15 jam perhari. Keuntungan penjualan produksi model I sebesar Rp40.000,00 per unit dan model II Rp10.000,00 per unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah ... A. Rp120.000,00 B. Rp220.000,00 C. Rp240.000,00 D. Rp300.000,00 E. Rp600.000,00 UN MAT IPA 2010 (D10-13)

12. Menjelang hari raya Idhul Adha. Pak Mahmud hendak berjualan sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Jawa Tengah berturut-turut Rp9. 000.000, 00 dan Rp8.000.000, 00. Modal yang ia dimiliki adalah Rp124.000.000, 00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Jakarta dengan harga berturut-turut Rp10.300.000, 00 dan Rp9.200.000, 00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan yang maksimum, maka banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli Pak Mahmud... A. 11 sapi dan 4 kerbau B. 4 sapi dan 11 kerbau C. 13 sapi dan 2 kerbau D. 0 sapi dan 15 kerbau E. 7 sapi dan 8 kerbau UN MAT IPA 2009 (D10-25)

13. Daerah yang diarsir pada gambar merupakan penyelesaian suatu sistem

pertidaksamaan linier. Nilai maksimum dari yxyxf 67),( += adalah…

A. 88 B. 94 C. 102 D. 106 E. 196 UN MAT IPA 2008 (D10-14)

14. Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat kue jenis B dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan harga Rp.4000/buah dan kue B dijual dengan harga Rp.3.000/buah, maka pendapatan maksimum yang dapat diperoleh oleh pembuat kue tersebut adalah… A. Rp.600.000 B. Rp.650.000 C. Rp.700.000 D. Rp.750.000 E. Rp.800.000

20

15

12 18

UN MAT IPA 2008 (D10-15)

15. Luas daerah parkir 1.760m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4m2 dan mobil besar 20m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp.1000/jam dan mobil besar Rp.2000/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum parkir itu adalah… A. Rp.176.000 B. Rp.200.000 C. Rp.260.000 D. Rp.300.000 E. Rp.340.000 UN MAT IPA 2007 (D9-11)

16. Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan grobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp.8.000/kg dan pisang Rp.6.000/kg . Modal yang tersedia Rp.1.200.000 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp.9.200.000/kg dan pisang Rp.7.000/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah…. A. Rp.150.000 B. Rp.180.000 C. Rp.192.000 D. Rp.204.000 E. Rp.216.000 UN MAT IPA 2006 (D10-20)

17. Tanah seluas 10.000m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100m2 dan tipe B diperlukan 75m2 . Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp.6.000.000/unit dan tipe B Rp.4.000.000/unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah… A. Rp.550.000.000 B. Rp.600.000.000 C. Rp.700.000.000 D. Rp.800.000.000 E. Rp.900.000.000 UN MAT IPA 2005 (D10-29)

18. Nilai maksimum fungsi objektif (tujuan) f(x,y) = 3x + 2y dengan kendala x + 2y

≤ 12, x ≥ 2 dan y ≥ 1 adalah...

A. 16

B. 18

C. 32

D. 36

E. 38


19. Fungsi ycxyxf 4),( += dengan kendala 0,0,82,102 ≥≥≥+≥+ yxyxyx

mencapai minimum di (4,2), jika…. A. 8−≤c atau 2−≥c

B. 2≤c atau 8≥c

C. 82 ≤≤− c

D. 82 ≤≤ c

E. 102 ≤≤ c SNMPTN MAT DAS 2011 (XX-04)

20. Suatu fungsi yxyxf −−= 5000),( dengan syarat

062,022,0,0 ≥−+≥+−≥≥ yxyxyx , maka …

A. Fungsi f mempunyai nilai minimum dan nilai maksimum

B. Fungsi f tidak mempunyai nilai minimum maupun nilai maksimum

C. Fungsi f mempunyai nila minimum dan tidak mempunyai nilai maksimum

D. Fungsi f mempunyai nilai maksimum dan tidak mempunyai nilai minimum

E. Nilai minimum dan nilai maksimum fungsi f tidak dapat ditentukan


21. Nilai maksimum dari yxP 32 += pada daerah

0,0,1223,93 ≥≥≤+≥+ yxyxyx adalah…


22. Untuk membuat barang A diperlukan 6 jam kerja mesin I dan 4 jam kerja mesin II. Sedangkan untuk barang B diperlukan 4 jam kerja mesin I dan 8 jam kerja mesin II. Setiap hari kedua mesin tersebut bekerja tidak lebih dari 18 jam. Jika setiap hari dapat dihasilkan x barang A dan y barang B, maka model matematikanya adalah…

A. 0,0,1882,1846 ≥≥≤+≤+ yxyxyx

B. 0,0,942,923 ≥≥≤+≤+ yxyxyx

C. 0,0,924,932 ≥≥≤+≤+ yxyxyx

D. 0,0,922,943 ≥≥≤+≤+ yxyxyx

E. 0,0,942,932 ≥≥≤+≤+ yxyxyx


23. Nilai minimum yxyxf 543),( −+= untuk x dan y yang memenuhi

102

52

1

≤+≥+≤+−

yx

yx

yx

adalah...

A. – 19

B. – 6

C. – 5

D. – 3

E. 23

UGM MAT DAS 2010 (462-17)

24. Nilai maksimum untuk z = 6x + 3y – 2 yang memenuhi sistem pertaksamaan

42 ≤+ yx

2≤− yx

1≥+ yx

0,0 ≥≥ yx

adalah....

A. 4

B. 10

C. 13

D. 16

E. 19

UM UGM MAT DAS 2009 (931-08)

25. Agar fungsi f(x,y) = ax+ 4y dengan kendala 12≥+ yx , 162 ≥+ yx , 0≥x ,

0≥y mencapai minimum hanya di titik (8,4), maka nilai konstanta a ygn

memenuhi adalah...

A. 2 < a < 4

B. 4 < a < 6

C. 4< a < 8

D. -4 < a < -2

E. -8 < a < -4


26. Nilai minimum dari z = 6x +9y yang memenuhi syarat 204 ≥+ yx ,

20≤+ yx , 10≥+ yx , 0≥x dan 0≥y adalah..

A. 40

B. 50

C. 60

D. 80

E. 120


27.

Nilai minimum fungsi f(x,y) = 500x + 1000y pada daerah yang diarsir adalah

….

A. 8.000

B. 6.000

C. 5.750

D. 5.000

E. 4.500


4

6

8

4 9 12 0 X

Y

MATRIKS

A. NOTASI DAN ISTILAH DALAM MATRIKS #(1)

Matriks adalah peulisan sekumpulan bilangan-bilangan dalam bentuk baris dan kolom. Biasanya dilambangkan dalam huruf besar.

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

....

................

....

....

21

22221

11211

1-ke kolom dan 1-ke baris elemen artinya=11a



n -ke kolom dan m-ke baris elemen artinya=mna

a.a.a.a. Ordo (ukuran Ordo (ukuran Ordo (ukuran Ordo (ukuran Matriks)Matriks)Matriks)Matriks) Ordo adalah ukuran matriks yang ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom. Jika banyak barisnya m dan banyak kolomnya n maka ordo matriks tersebut adalah nm× . Atau bisa ditulis nmA × .

Berikut adalah contoh-contohnya :

=× 372

43132A , [ ]410331 =×B ,

−=×

1

3

4

13C

−−=×

387

931

042

33A

b.b.b.b. Transpose MatriksTranspose MatriksTranspose MatriksTranspose Matriks tA adalah transpose matriks A, artinya baris yang di matriks A menjadi

kolom di matrisk tA dan kolom di matriks A menjadi baris di matriks tA .

baris ke-1 baris ke-2

kolom ke-2

kolom ke-1

2 baris dan 3 kolom 1 baris dan 3 kolom (disebut jg matriks baris) 3 baris dan 1 kolom

(disebut jg matriks kolom)

3 baris dan 3 kolom (disebut jg matriks persegi)

Berikut adalah contoh-contohnya :

=→

=

810

53

85

103 tAA ,

−−

=→

−

−=

835

742

87

34

52tKK

[ ]

=→=4

3

2

432 tBB

B. OPERASI MATRIKS #(2)

a.a.a.a. Matriks SamaMatriks SamaMatriks SamaMatriks Sama Dua matriks dikatakan sama jika ordo kedua matriks sama dan nilai setiap elemenya juga sama. Contoh :

1. Jika matriks

+−−

=72

41

baA dan

−−=

78

42baB adalah matriks yang

sama, maka nilai ba + adalah... Pembahasan :

BA =

−−=

+−−

78

42

72

41 ba

ba

3

2105

82

242

1

2

82

12

==→−=−

−=+−=−

××

=+−=−

a

bb

ba

ba

ba

ba

Maka nilai 5=+ ba

b.b.b.b. Penjumlahan dan Pengurangan MatriksPenjumlahan dan Pengurangan MatriksPenjumlahan dan Pengurangan MatriksPenjumlahan dan Pengurangan Matriks Dua matriks bisa dijumlahkan atau dikurangkan jika kedua matriks tersebut mempunyai ordo yang sama. Cara menjumlahkan/mengurangkan matriks adalah dengan menjumlahkan/mengurangkan elemen-elemen yang seletak. Contoh :

1.

−=18

93

02

M ,

−=5

22

2

z

y

x

N dan

=61

77

24

P , Jika berlaku PNM =+

maka nilai ...=++ zyx

Pembahasan :

PNM =+

=

−+

−61

77

24

5

22

2

18

93

02

z

y

x

=

+−

+

61

77

24

68

732

22

z

y

x

c.c.c.c. Perkalian Matriks Perkalian Matriks Perkalian Matriks Perkalian Matriks dengan Konstantadengan Konstantadengan Konstantadengan Konstanta

=

kdkc

kbka

dc

bak dengan k adalah konstanta.

Contoh :

1.

=

− 43

216

121

32

y

x maka nilai x dan y adalah...

Pembahasan :

=

− 43

216

121

32

y

x

=

− 2418

126

2422

26

y

x

6122 =→=⇒ xx 1822 =−⇒ y

10202 =→= yy

Maka nilai x = 6 dan y =10

d.d.d.d. Perkalian dua MatriksPerkalian dua MatriksPerkalian dua MatriksPerkalian dua Matriks #(3)

Dua matriks bisa dikalikan jika jumlah kolom pada matriks pertama dengan jumlah baris pada matriks kedua. Berikut gambaranya :

Contoh :

1. 535223 ××× =⋅ CBA

2. 414331 ××× =⋅ CBP

⇒ 242 =→=+ xx ⇒ 732 =−y

5102 =→= yy

⇒ 718 −=→=+ zz

0752 =−+=++ zyx

pmCpnBnmA ×=×⋅×

harus sama

3. .?....5232 syaratmemenuhitidakNM →=⋅ ××

Berikut adalah cara mengalikan dua matriks :

++++++

=

232213212222122121221121

231213112212121121121111

232221

131211

2221

1211

babababababa

babababababa

bbb

bbb

aa

aa

Contoh :

1. Jika diketahui

−=

51

42A dan

−=

321

774B maka hasil dari BA ×


+−−+−+−+−++

=

−

− )3)(5()7)(1()2)(5()7)(1()1)(5()4)(1(

)3)(4()7)(2()2)(4()7)(2()1)(4()4)(2(

321

774

51

42

+−−−+−+−+

=15710754

121481448

−=

8171

26612

Dalam perkalian matriks berlaku sifat – sifat :

1. BAAB ≠ (tidak berlaku sifat komutatif, bila ada hanya untuk matrik tertentu aja)

2. CBACBA ⋅⋅=⋅⋅ )()( (berlaku sifat asosiatif)

3. ACABCBA +=+ )( (berlaku sifat distributif)

BCACCBA +=+ )(

4. AAI

AIA

=⋅=⋅

dengan I adalah matriks identitas,

=

10

01I

5. ttt ABBA ⋅=⋅ )(

6. Jika A adalah matrik persegi , maka :

AAA ⋅=2 23 AAA ⋅= 34 AAA ⋅=

..... 1−⋅= nn AAA

Contoh :

1. Jika diketahui 2)( NM + maka pernyataan yang benar kecuali....

A. ))(( NMNM ++

B. 22 NNMMNM +++

C. 22 2 NMNM ++

D. NNNMMNMM +++ E. )()( NMNNMM +++

Pembahasan :

))(()( 2 NMNMNM ++=+ betul a jawaban→

)()( NMNNMM +++= betul e jawaban→

NNNMMNMM +++= betul d jawaban→

22 NNMMNM +++= betul b jawaban→

22 2 NMNM ++= NMMN ≠→ karena salah,c jawaban

Jadi jawabanya adalah c .

2. Diketahui

=

17

74A dan I adalah matriks identitas, maka nilai dari

....22 =++ IAIA Pembahasan :

IAAAIAIA ++=++ 222

+

+

=

10

01

17

742

17

74

17

74

+

+

++++

=10

01

214

148

149728

7284916

+

+

=

10

01

214

148

5035

3565

=

5349

4974

C. DETERMINAN DAN INVERS #(4)

a.a.a.a. Determinan Matriks 2 x 2Determinan Matriks 2 x 2Determinan Matriks 2 x 2Determinan Matriks 2 x 2

=

dc

baA maka

Contoh :

1. Determinan dari matriks

−=

23

26A adalah...

Pembahasan :

−=

23

26A , 18612)3(2)2(6det −=−−=−−=A

b.b.b.b. Determinan Matriks 3 x 3Determinan Matriks 3 x 3Determinan Matriks 3 x 3Determinan Matriks 3 x 3

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Dengan metode Sarrus, maka nailai terminan matriks A adalah...

3231

2221

1211

333231

232221

131211

det

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

A =

)()(det 122133112332132231322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA ++−++=

Contoh :

1. Dari matrks

−=

123

540

132

A maka ....det =A

Pembahasan :

23

40

32

123

540

132

−−= A

61)8(53)02012()0458(det =−−=+−−++=A

c.c.c.c. Invers MatriksInvers MatriksInvers MatriksInvers Matriks Jika dua matrik dikalikan hasilnya adalah matrik identitas, maka keuda matrik tersebut saling invers.

IBA =⋅ maka 1−= BA atau 1−= AB

bcadAA −==det

(+) (+) (+)

(-) (-) (-)

Berikut adalah cara menginverskan sebuah matriks :

=

dc

baA , maka :

Contoh :

1.

=

29

14A maka nilai ....1 =−A

Pembahasan :

−−

−=−

49

12

98

11A

−−

−=

−−

−=

49

121

49

12

1

1

−−

=49

12

2. Matriks

−+

=32

412

x

xM tidak punya invers, maka nilai x adalah....

Pembahasan :

−+

=32

412

x

xM

M tidak punya invers maka det M = 0

0det =M 0)2(4)12(3 =−−+ xx

08436 =+−+ xx

0112 =+x

112 −=x 5,5−=x

Sifat- sifat invers adalah :

1. IAA =⋅ −1 atau IAA =−1

2. 111)( −−− ⋅=⋅ ABBA atau 1111)( −−−− ⋅⋅=⋅⋅ ABCCBA

−−

−=−

ac

bd

bcadA

11

dengan 0≠−bcad

Sebuah matriks A, jika det A=0 maka disebut matriks singular dan matriks tersebut tidak punya invers.

Catatan :

Contoh :

1. Bentuk sederhana dari ....)( 11 =+ −− BABBA

Pembahasan : 1111 )()( −−−− +=+ BBAABABBABBA

1)( −+= BBIBAB

1)( −+= BBBAB

11 −− += BBBABB IBAI += IBA +=

D.D.D.D. PENYELESAIAN PERSAMAAN MATRIKSPENYELESAIAN PERSAMAAN MATRIKSPENYELESAIAN PERSAMAAN MATRIKSPENYELESAIAN PERSAMAAN MATRIKS #(5)

BAX

XBXA

⋅=

==⋅−1

?....,

1

?.....,−⋅=

==⋅

ABX

XBAX

Contoh :

1. Diketahui

=

11

32A ,

=

17

74B . Jika BAX = maka matriks X


BAX =

BAX 1−=

−−

=

−−

−=

+−+−−−

−=

−−

−=

510

417

510

417

27144

372141

17

74

21

31

32

1

X

2. Diketahui

=

68

24

12

46P . Maka matriks P adalah....

Pembahasan :

=

68

24

12

46P

BAP =⋅

Ingat di matriks tidak ada pembagian. Sebuah matriks saat dipindah ruas jadi inversnya. Dan ingat posisi tidak berubah, bila awalnya ada disebelah kiri maka saat dipindah ruas juga tetap berada disebalah kiri.

Catatan :

A B

1−⋅= ABP

−−

−

=

62

41

86

168

24P

−−

−=

+−−+−−

−=

−−

−=

44

40

2

13632128

121644

2

162

41

68

24

2

1

−=

22

20

E. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINIER #(6)

a.a.a.a. Persamaan Linier 2 VPersamaan Linier 2 VPersamaan Linier 2 VPersamaan Linier 2 Variabelariabelariabelariabel Jika diberikan persamaan linier sebagai berikut :

=+=+

qdycx

pbyax dinyatakan dalam matriks :

=

q

p

y

x

dc

ba. ⇒

dc

baD = ,

dq

bpDx = ,

qc

paDy =

D

Dxx = dan

D

Dy

y=

Contoh :

1. Suatu persamaan linier :

=+−−=−1024

25

yx

yx . Berapakah nilai x dan y yang

memenuhinya...? Pembahasan :

=+−−=−1024

25

yx

yx ⇒

−=

−−

10

2

24

15

y

x

641024

15=−=

−−

=D

6)10(4210

12=−−−=

−−=xD

42850104

25=−=

−−

=yD

b.b.b.b. Persamaan Linier 3 VariabelPersamaan Linier 3 VariabelPersamaan Linier 3 VariabelPersamaan Linier 3 Variabel

=++=++=++

3333

2222

1111

pzcybxa

pzcybxa

pzcybxa

dinyatakan dalam bentuk matriks :

16

6 ===D

Dx x

76

42 ===D

Dy

y

=

3

2

1

323

222

111

p

p

p

z

y

x

cba

cba

cba

323

222

111

cba

cba

cba

D = ,

323

222

111

cbp

cbp

cbp

Dx = ,

323

222

111

cpa

cpa

cpa

Dy = ,

323

222

111

pba

pba

pba

Dz =

, ,

Contoh :

1. Sistem persamaan linier :

=++=++

=++

103

72

6

zyx

zyx

zyx

. Maka penyelesaiannya


=

10

7

6

131

112

111

z

y

x

31

12

11

131

112

111

=D 268)231()611( =−=++−++=

310

17

16

1310

117

116

=xD 23537)71810()21106( =−=++−++=

101

72

61

1101

172

161

=yD 42933)12107()2067( =−=++−++=

31

12

11

1031

712

611

=zD 64753)20216()36710( =−=++−++=

12

2 ===D

Dx x , 2

2

4 ===D

Dy

y, 3

2

6 ===D

Dz z

D

Dx x=

D

Dy

y=D

Dz z=

(+) (+) (+)

(-) (-) (-)


1. Diketahui matriks

++

=11

512

x

xA ,

+=

11

35 yB ,

=

25

15C dan CT

adalah transpose dari matrik C. Nilai (3x+2y) yang memenuhi pesamaan

A+B=2CT adalah…

A. 10

B. 8

C. 6

D. 4

E. 3

UN MAT IPS 2012 (A35-19)


−=

43

21A ,

−−

=15

43B ,

−=

1012

52C , dan

CBAD −+= 3 . Determinan matriks D=…

A. -6

B. -4

C. 6

D. 10

E. 14

UN MAT IPS 2012 (A35-20)


=

22

34A dan

=

13

25B . Invers matriks AB adalah

(AB)-1 = ….

A.

−−

2916

116

2

1

B.

616

1129

2

1

C.

−

616

1129

2

1

D.

−

2916

116

2

1

E.

−−

−2916

116

2

1

UN MAT IPS 2012 (A35-21)


−−=

=

y

xB

xA

3

1,

1

24, dan

−=

29

710C . Jika 3A-B =

C, maka nilai x + y = …. A. -3 B. -2 C. -1 D. 1 E. 3 UN MAT IPS 2011(XX-19)

5. Matriks X yang memenuhi

−=

−−

216

187

51

34X adalah…

A.

−−96

11

B.

−−

61

91

C.

− 61

91

D.

−−

61

91

E.

−11

96

UN MAT IPS 2011(XX-20)


−−

=12

35A dan

−−

=31

11B . Invers matriks AB adalah

(AB)-1=…

A.

−

−

12

1

22

1

B.

−−

12

1

22

1

C.

−−2

11

2

12

D.

−

−

2

11

2

12

E.

−2

12

2

11

UN MAT IPS 2011(XX-21)

7. Diktahui

−−=

−−

=12

34,

14

23BA dan

=

129

104C . Nilai determinan dari

(AB-C) adalah… A. -7 B. -5 C. 2 D. 3 E. 12 UN MAT IPS 2011(XX-36)

8. Diketahui

−=

yxx

xP

5

5,

=

y

yQ

25

0 dan

=

14

11R . Jika P + Q = 5R,

maka nilai x.y = ....

A. 6

B. 5

C. -5

D. -6

E. -14


9. Diketahui matriks-matriks

=

54

12A dan

=

16

23B . Nilai determinan

matriks 2A – 3B adalah...

A. 5

B. – 45

C. – 65

D. – 75

E. – 85



=

65

21A , dan

=

76

53B . Jika C = A – B, maka invers

matriks C adalah ...1 =−C

A.

−21

31

B.

− 21

31

C.

−−−

21

31

D.

−−21

31

E.

21

31


11. Diketahui persamaan matriks

=

12

34

43

21A . Maka matriks A=...

A.

−−45

56

B.

−−54

65

C.

10

01

D.

01

10

E.

−−−

21

21 1

12


12. Diketahui matrik

−=

15

3 yA ,

−=

63

5xB dan

−−=

9

13

yC , Jika

−−=−+

4

58

x

xCBA , maka nilai x + 2xy + y adalah…

A. 8

B. 12

C. 18

D. 20

E. 22

UN MAT IPA 2012 (A35-13)


=

+−

−−

10

0112

49

25

yxx. Nilai x-y =…

A. 2

5

B. 2

15

C. 2

19

D. 2

22

E. 2

23

UN MAT IPA 2011(D10-11)


=

50

23A dan

−−−

=017

13B . Jika AT= transpose

matriks A dan AX=B+AT, maka determinan matriks X adalah…

A. -5 B. -1 C. 1 D. 5 E. 8 UN MAT IPA 2011 (D10-24)

15. Diketahui persamaan matriks �� − 5 4−5 2� l4 −1

2 V − 1m = � 0 2−16 5�.

Perbandingan nilai x dan y adalah ... A. 3 :1 B. 1 : 3 C. 2 : 1 D. 1 :2 E. 1 : 1 UN MAT IPA 2010 (D10-14)

16. Diketahui matrik R = �3 V5 −1� , S = � � 5

−3 6� dan T = l−3 −1V 9 m. Jika

R + S − T = � 8 5�−� −4�, maka nilai x + 2xy + y adalah ...

A. 8 B. 12 C. 18 D. 20 E. 22 UN MAT IPA 2009 (D10-26)


−=

−+

− 01

10

43

31

3

2

1

4

d

b

c

a Nilai

...=+++ dcba A. -7 B. -5 C. 1 D. 3 E. 7 UN MAT IPA 2008 (D10-16)


=31

52P dan

=11

45Q . Jika 1−P adalah invers dari

P dan 1−Q adalah invers dari Q. Maka determinan dari 11 −− QP adalah…

A. 223 B. 1 C. -1

D. -10 E. -223 UN MAT IPA 2008 (D10-17)


+=

−=

y

yxBA

3

2,

41

12 dan

13

27. Apabila

tCAB =− dan =tC Transpose matriks C, maka nilai .... =yx

A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 E. 30 UN MAT IPA 2007 (D9-10)


−=

=1

1,

52

03

y

xBA dan

−−

=515

10C , At

adalah transpose dari A. Jika At.B=C maka nilai ...2 =+ yx

A. -4 B. -1 C. 1 D. 5 E. 7 UN MAT IPA 2006 (D10-23)

21. Matriks berordo (2x2) yang memenuhi

=

12

34

43

21X adalah…

A.

−−45

56

B.

−54

65

C.

−−54

56

D.

−−13

24

E.

−− 810

1012

UN MAT IPA 2005 (D10-14)

22. Jika

−=

01

31A ,

=

11

02B dan

=

12

35C , maka determinan AB – C

adalah..

A. -5

B. -4

C. 5

D. 6

E. 7


23. Jika A adalah matriks 2x2 yang memenuhi

=

0

1

1

2A dan

=

2

0

6

4A ,

maka hasil kali

32

24A adalah…

A.

20

01

B.

20

02

C.

10

02

D.

02

10

E.

01

20

UN MAT DAS 2011 (XX-11)

24. Jika M adalah matriks sehingga

+−+−=

dbca

ba

dc

baMx , Maka

determinan matriks M adalah…

A. 1

B. -1

C. 0

D. -2

E. 2


25. Matrik

=

14

23A mempunyai hubungan dengan matrik

−−

=32

41B . Jika

matrik

−−

=23

35C dan matrik D mempunyai hubungan serupa seperti A

dengan B, maka matrik C+D adalah…

A.

53

32

B.

07

70

C.

−−07

70

D.

70

07

E.

00

77


26. Transpos dari matrik A ditulis AT. Jika matrik

−−

=

−=

32

12,

02

21BA

dan X memenuhi AT=B+X, maka invers dari X adalah…

A.

−−−

14

13

7

1

B.

− 34

11

3

1

C.

−− 34

11

4

1

D.

− 31

21

9

1

E.

−−−

24

11

2

1


27. Jika

−−

=12

11P dan

=

10

01I , maka ...432 234 =+++− IPPP

A. –P B. P C. 2P D. -2P E. I SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-20)


−=

10

12A dan

=

10

01I Bilangan λ yang memenuhi

0|| =− IA λ adalah…

A. -1 atau 0 B. 1 atau 3 C. -1 atau 2 D. 2 atau 3 E. -1 atau 3 SNMPTN MAT IPA 2008 (XX-11)

29. Jika invers dari

+=

a

aaA

0

1 adalah

=−

10

11 bA maka konstanta b

adalah A. -4 B. -2 C. -1 D. 0 E. 1 SPMB MAT DAS 2007 (XX-13)

30. Jika

−+=

x

xxA

3

112, maka jumlah semua nilai x sehingga det A=27

adalah… A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 SPMB MAT DAS 2007 (XX-19)

31. Diketahui matriks-matriks

−=

112

211A dan

−−

=211

121TB , BT

menyatakan transpos matriks B. Jika ))det((.)2det( 1−= ABkAB , maka k =…


32. Jika

=

=31

14,

31

21BA dan matriks C memenuhi AC=B, maka det

C=…. A. 1 B. 6 C. 9 D. 11 E. 12 SPMB MAT DAS 2006 (XX-16)

33. Jika

=xb

baA dan

=xb

abxB , maka jumlah kuadrat semua akar

persamaan det A = det B adalah…

A. )(22

bab

a −−

B. )(22

baa

b −−

C. )(22

abb

a −−

D. )(22

aba

b −−

E. )(2 aba

b −−


BARISAN DAN DERET

A. NOTASI SIIGMA #(1)

Notasi Sigma adalah sebuah notasi yang digunakan untuk menuliskan satu penjumlahan yang beraturan secara ringkas. Bentuk umumnya adalah sebagaiberikut : Contoh :

268765)44()43()42()41()4(4

1

=+++=+++++++=+∑=i

i

Sifat – sifat notasi sigma :

1. ∑=

=n

i

nKK1

, (dengan K adalah konstanta) contoh : ∑=

==4

1

24)6(46i

2. ∑ ∑= =

=n

i

n

iii UKKU

1 1

contoh : ∑ ∑= =

+=+5

1

5

1

)2(3)2(3i i

ii

3. ( ) ∑∑ ∑== =

+=+n

ii

n

i

n

iiii VUVU

11 1

contoh : ( ) ∑∑ ∑== =

+=+3

1

3

1

3

1

7373ii i

iiii

4. ( ) ∑∑ ∑== =

−=−n

ii

n

i

n

iiii VUVU

11 1

contoh : ( ) ∑∑ ∑== =

+=+3

1

3

1

3

1

7373ii i

iiii

5. ∑∑∑=+==

=+n

ii

n

mii

m

ii UUU

111

contoh : ∑∑∑===

=+5

1

5

4

3

1

555iii

iii

6. ∑∑−

=+

=

=2

12

3

n

ii

n

ii UU contoh : ∑∑

==

+=6

1

8

3

)2(44ii

ii

7. ∑∑+

=−

=

=2

52

3

n

ii

n

ii UU contoh : ∑∑

==

−=10

5

8

3

)2(44ii

ii

8. ∑=

=k

kiki UU contoh : ∑

=

=+=+5

5

8353i

i

Contoh :

1. Suatu barisan 1311975 ++++ dapat ditulis dalam bentuk sigma..... Pembahasan :

∑=

++++=n

ini UUUUU

1321 .....

3)1(251 +==U

3)2(272 +==U

...... 3)5(2135 +==U

3)(2 += iU i

Jadi penulisan dalam bentuk sigmanya : ( )∑=

+5

1

32i

i

2. Nilai dari ( )∑=

=+4

2

2 ....3i

ii

Pembahasan :

( )∑ ∑ ∑= = =

+=+4

2

4

2

4

2

22 33i i i

iiii

)432(3)432( 222 +++++=

)9(3)1694( +++=

2729+=

56=

B. BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

a.a.a.a. UnsurUnsurUnsurUnsur----unsur Dalam Barisan/Deret Aritmatikaunsur Dalam Barisan/Deret Aritmatikaunsur Dalam Barisan/Deret Aritmatikaunsur Dalam Barisan/Deret Aritmatika #(2)

Barisan aritmatika adalah suatu barisan angka jika selisih suku yang berututan selalu sama. Berikut adalah contohnya :

54321

.....1411852

UUUUU

↓↓↓↓↓

54321

....432

UUUUU

babababaa

↓↓↓↓↓++++

Unsur-unsur dalam barisan/deret aritmatika : � Suku pertama (a)

1Ua =

� Beda (b)

Contoh :

45 UUb −=

12 UUb −=

� Suku Ke-n )( nU

1−−= nn UUb

bnaUn )1( −+=

Untuk contoh data diatas :32512 =−=−= UUb

Untuk contoh data diatas : 114 =U

145 =U

59)3(1921920 =+=+= baU

Unsur terpenting dalam deret aritmatika : a, b dan n

Contoh :

baU 89 +=

baU 1112 +=

� Jumlah n suku pertama )( nS

� Hubungan Undan Sn

Contoh :

344 SSU −=

899 SSU −=

Contoh : 1. Suatu barisan aritmatika suku ke tujuh dan suku ke duabelasnya adalah

23 dan 38. Maka jumlah sepuluh suku pertamanya adalah.... ? Pembahasan :

237 =U , 3812 =U , ?.....10 =S

5

3155

236

3811

7

12

==→=

−=+==+=

a

bb

baU

baU

[ ]bnaS nn )1(2

2−+=

[ ] 185)37(5)2710(5)3(9)5(22

1010 ==+=+=S

2. Jika diketahui rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah

nnSn 43 2 += maka suku ke sepuluhnya adalah.... ?

Pembahasan :

nnSn 43 2 +=

[ ]bnaS nn )1(2

2−+= [ ]n

nn UaS +=

2 atau

Untuk contoh data diatas : 21 =S

8522 =+=S

158523 =++=S

[ ][ ]

310)31(10

27410

192220

20

==+=

+=

baS

1−−= nnn SSU Jika BnAnSn += 2 , maka :

ASUn n −= '

Ab 2=

CADAS :

7)1(4)1(3 21 =+=S

20812

)2(4)2(3 22

=+=+=

S

Jadi diperoleh : 711 === SUa

13720122 =−=−= SSU

671312 =−=−= UUb

Maka : 61547)6(97910 =+=+=+= baU

b.b.b.b. Sisipan Barisan/Deret Sisipan Barisan/Deret Sisipan Barisan/Deret Sisipan Barisan/Deret AritmatikaAritmatikaAritmatikaAritmatika #(3)

21 UU

Contoh : 1. Jika antara bilangan 10 dan 20 disisipi 4 bilangan maka deret aritmatika

yang baru adalah... Pembahasan : k = 4

10102012 =−=−= UUb

Beda baru, 25

10

14

10

1' ==

+=

+=

k

bb

Maka deret yang barunya adalah 201816141210 +++++

c.c.c.c. Suku TengahSuku TengahSuku TengahSuku Tengah #(4)

54321

.......1411852

UUUUU

↓↓↓↓↓

Dari contoh data diatas :

82

142

2

513 =+=

+=

UUU

82

115

242

3 =+=+

=UU

U

disisipi k bilangan 1'

+=

k

bb

b’ = beda baru k = banyaknya sisipan

berlaku :

2

UnaU t

+= 2

UPingkanUPingkiUteng

+=atau

Ut = suku tengah Uteng = suku tengah Upingki = suku pinggir kiri Upingkan = suku pinggir kanan

Keterangan :

BnAnSn += 2

ASUn n −= '

CADAS :

nnSn 43 2 +=

346 −+= nUn

16 += nUn

611)10(610 =+=U

Juga dapat dirumuskan : Dari contoh data diatas :

40855 =×=S

Contoh : 1. Diberikan suatu barisan : 3,7,11,...............163,167,171. Maka suku

tengahnya.... Pembahasan :

872

174

2

1713

2==+=+= UPingkanUPingki

Uteng

C. BARISAN DAN DERET GEOMETRI

a.a.a.a. UnsurUnsurUnsurUnsur----unsuunsuunsuunsur Dalam Barisan/Deret Geometrir Dalam Barisan/Deret Geometrir Dalam Barisan/Deret Geometrir Dalam Barisan/Deret Geometri #(5)

Suatu barisan dikatakan barisan geometri jika perbadingan dua suku yang berurutan selalu tetap, berikut contohnya :

54321

.....168421

UUUUU

↓↓↓↓↓

54321

432 ....

UUUUU

arararara

↓↓↓↓↓

Unsur-unsur dalam barisan/deret geometri : � Suku pertama (a) � Rasio (r)

Contoh :

1

2

U

Ur =

21

22

U

Ur =

� Suku ke-n (Un) Contoh :

45 arU =

7677 arU =

tn UnS ×=

1−=

n

n

U

Ur

Untuk contoh data diatas :

21

2

1

2 ===U

Ur

1−= nn arU


512)512)(1()2)(1( 9910 ==== arU

� Jumlah n suku pertama (Sn)


511)511)(1(1

)1512)(1(

12

)12)(1( 9

9 ==−=−

−=S

Contoh : 1. Suku kelima dan suku kedelapan suatu barisan geometri berturut-turut

adalah 48 dan 384. Suku keduanya barisan tersebut adalah.... Pembahasan :

485 =U , 3848 =U , ?.....4 =U

48

3844

7

5

8 ==ar

ar

U

U

283 =→= rr

4848 45 =⇔= arU

48)2( 4 =a

348)16( =→= aa

6)2)(3(2 === arU

2. Diketahui )5(),1(),1( −−+ ttt membentuk barisan geometri, maka nilai t

nya adalah.... Pembahasan :

2

3

1

2

U

U

U

Ur ==

1

5

1

1

−−=

+−

t

t

t

t

)5)(1()1)(1( −+=−− tttt

5412 22 −−=+− tttt

1524 −−=− tt

62 −=t

3−=t

1

)1(

−−=

r

raS

n

n r

raS

n

n −−=

1

)1( atau

untuk r > 1 untuk r < 1

b.b.b.b. Sisipan Barisan/Deret GeometriSisipan Barisan/Deret GeometriSisipan Barisan/Deret GeometriSisipan Barisan/Deret Geometri #(6)

21 UU

Contoh :

1. Diantara bilangan 41 dan 8 disisipi 4 bilangan, maka rasio yang baru


4=k , 328

411

2 ===UU

r

23232' 5141 ==== ++k rr

c.c.c.c. Suku TengahSuku TengahSuku TengahSuku Tengah #(7)

54321

.......168421

UUUUU

↓↓↓↓↓

Dari contoh data diatas :

4161513 =×=×= UUU

864164534 ==×=×= UUU

Contoh :

1. Jika diketahui barisan : 3, 6, 12,......, 768. Maka suku tengahnya adalah.... Pembahasan :

UpingkanUpingkiUteng ×=

23047682 =×=

48=

D. DERET GEOMETRI TAK HINGGA ( KONVERGEN ) #(8)

Deret geometri tak hingga disini adalah deret geometeri dengan ∞→ n , jumlah sukunya sebanyak tak hingga, dengan syarat deret tersebut mengecil. Seperti contoh berikut :

.....8

1

4

1

2

11248 +++++++ konvergen ( bisa dihitung jumlah tak hingganya )

.....162541862 +++++ divergen ( tidak bisa dihitung jumlah tak hingganya)

disisipi k bilangan 1' += k rr

r’ = rasio baru k = banyaknya sisipan

berlaku :

nt UaU ×= UpingkanUpingkiUteng ×= atau

Syarat deret konvergen :

Jumlah tak hingga (jumlah seluruh deret) adalah :

Contoh :

1. Suatu deret tak hingga : ,.....)2(,)2(),2( 32 −−− xxx agar deret tersebut konvergen, maka nilai x yang memenuhi adalah... Pembahasan :

2)2(

)2( 2

1

2 −=−

−== xx

x

U

Ur

Syarat : 12111 <−<−⇔<<− xr (semua ruas ditambah 2) 212221 +<+−<+− x 31 << x Jadi x yang memenuhi adalah 31 << x

2. Suatu bola dari ketingian 10 meter jatuh ketanah, kemudian memantul kembali dengan ketinggian

54 dari ketinggian sebelumnya, begitu terus

menerus hingga bola berhenti. Maka berapa meterkah jarak yang ditempuh oleh bola tersebut... Pembahasan :

Lintasan naik = Lintasan Turun = r

aS

−=∞ 1

5

41

8

−= 40

8

51

==

11 <<− r

r

aS

−=∞ 1

awal = 10m

54=r

81054 =×

4,6854 =×

Lintasan naik Lintasan naik

Seluruh Lintasan = Awal + Lintasan naik + Lintasan turun

= Awal + 2. Lintasan naik

= 10 + 2(40)= 10 + 80

= 90 m

E. INDUKSI MATEMATIKA #(9)

Induksi matematika adalah metode untuk membuktikan suatu pernyataan yang berhunbungan dengan deret adalah benar. Langkahnya adalah : 1. Tunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk 1=n

2. Jika pernyataan tersebut benar untuk kn= maka pernyataan tersebut juga

harus benar untuk 1+= kn

Contoh :

1. Buktikan bahwa : nnn +=++++ 22....642 . Pembahasan : � Untuk n = 1 maka :

2)1(22 ==n benar !

� Unuk n = k

kknn +⇒+ 22 ( kita anggap benar)

Untuk n = k+1 kita harus buktikan hasilnya )1()1( 2 +++ kk

kkk +=++++ 22....642

=++++++ )1(22....642 kk )1()1( 2 +++ kk

)1(22 +++ kkk )1()1( 2 +++= kk

222 ++++ kkk )1()1( 2 +++= kk )1()12( 2 ++++ kkk )1()1( 2 +++= kk

)1()1( 2 +++ kk )1()1( 2 +++= kk , terbukti !.

Karena pernyataan diatas benar untuk n = k dan untuk n = k +1, maka pernyataan diatas berlaku untuk semua n bilangan asli.

−+×=

mn

mnawalLintasan

dengan n

mr =

CADAS :

m90910

45

4510

=×=

−+×=

Lintasan

dengan r = 4/5


1. Dari suatu deret aritmatika diketahui suku ke-6 adalah 17 dan suku ke-10

adalah 33. Jumlah tiga puluh suku pertama deret itu adalah…

A. 1.650

B. 1.710

C. 3.300

D. 4.280

E. 5.300

UN MAT IPS 2012 (A35-22)

2. Suatu barisan geometri mempunyai suku ke-2 sama dengan 8 dan suku ke-5

sama dengan 64. Suku ke-7 barisan tersebut adalah…

A. 32

B. 64

C. 128

D. 256

E. 512

UN MAT IPS 2012 (A35-23)

3. Seseorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan

deret aritmatika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang

diperolehnya. Jika permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak

keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah…

A. 60 buah

B. 65 buah

C. 70 buah

D. 75 buah

E. 80 buah UN MAT IPS 2012 (A35-24)

4. Jumlah n suku pertama deret arimatika dinyatakan dengan nnSn 52 += .

Suku ke-20 dari deret aritmatika tersebut adalah…

A. 44

B. 42

C. 40

D. 38

E. 36

UN MAT IPA 2012 (A35-20)

5. Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar

1.960 unit. Tiap tahun produksi turun sebesar 120 unit sampai tahun ke-16.

Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-16 adalah…

A. 45.760

B. 45.000

C. 16.960

D. 16.000

E. 9.760

UN MAT IPA 2012 (A35-21)

6. Barisan geometri dengan U7 = 384 rasio = 2. Suku ke-10 barisan tersebut

adalah…

A. 1.920

B. 3.072

C. 4.052

D. 4.608

E. 6.144

UN MAT IPA 2012 (A35-22)

7. Suku ketiga dan suku ketujuh suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256.

Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah…

A. 500

B. 504

C. 508

D. 512

E. 516

UN MAT IPA 2012 (A35-23)

8. Suku ke-4 dan ke-9 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 110 dan 150. Suku ke-30 barisan aritmatika tersebut adalah… A. 308 B. 318 C. 326 D. 344

E. 354 UN MAT IPA 2011 (D10-05)

9. Pada suatu hari Pak Ahmad, Pak Badrun dan Pak Yadi panen jeruk. Hasil kebun Pak Yadi lebih sedikit 15 kg dari hasil kebun Pak Ahmad dan lebih banyak 15 kg dari hasil kebun Pak Badrun. Jika Jumlah hasil panen ketiga kebun itu 225 kg, maka hasil panen Pak Ahmad adalah… A. 90 kg B. 80 kg C. 75 kg D. 70 kg E. 60 kg UN MAT IPA 2011 (D10-28)

10. Seorang penjual daging pada bulan Januari dapat menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg, Maret dan seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10 kg dari bulan sebelumnya. Jumlah daging yang terjual selama selama 10 bulan ada… A. 1.050 kg B. 1.200 kg C. 1.350 kg D. 1.650 kg E. 1.750 kg UN MAT IPA 2011 (D10-29)

11. Diketahui barisan aritmetika dengan nc adalah suku ke-n. Jika n� + n�� +n�G = 165, maka n�U = ⋯ A. 10 B. 19 C. 28, 5 D. 55 E. 82,5 UN MAT IPA 2010 (D10-19)

12. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika dengan beda tiga. Jika suku kedua dikurangi 1, maka terbentuklah barisan geometri dengan jumlah 14. Rasio barisan tersebut adalah ... A. 4 B. 2

C. ��

D. − ��

E. −2 UN MAT IPA 2010 (D10-20)

13. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan n + nU + n�� = 75. Suku tengah barisan tersebut adalah 68 dan banyak sukunya 43, maka n� = ⋯ A. 218

B. 208 C. 134 D. 132 E. 131 UN MAT IPA 2009 (D10-38)

14. Jumlah tiga bilangan barisan aritmetika adalah 45. Jika suku kedua dikurangi 1 dan suku ketiga ditambahkan 5, maka barisan tersebut menjadi barisan geometri. Rasio barisan geometri tersebut ...

A. ��

B. �

C. �

D. 2 E. 3 UN MAT IPA 2009 (D10-39)

15. Diketahui segitiga ABC siku-siku sana kaki seperti pada gambar. Jumlah semua panjang sisi miring RT + RS +SS��S�S� + S�S +… adalah . . A. 187√2 + 18B. 12�√2 + 1� C. 187√2 + 18 D. 12√2 + 18 E. 6√2 + 6 UN MAT IPA 2009 (D10-40)

16. Diketahui suke ke-3 dan suku ke-6 suatu deret aritmatika berturut-turut adalah 8 dan 17. Jumlah delapan suku pertama deret tersesebut sama dengan… A. 100 B. 110 C. 140 D. 160 E. 180 UN MAT IPA 2008(D10-22)

17. Seutas tali dipotong menjadi 52 bagian yang masing-masing potongan membentuk deret aritmatika. Bila potongan tali terpendek adalah 3 cm dan yang terpanjang adalah 105 cm, maka panjang tali semula adalah… A. 5.460 cm B. 2.808 cm C. 2.730 cm D. 1.352 cm E. 808 cm UN MAT IPA 2008(D10-23)

18. Diketahui deret geometri dengan suku pertama 6 dan suku keempat adalah 48 cm. Jumlah enam suku pertama tersebut adalah…

A. 368 B. 369 C. 378 D. 379 E. 384 UN MAT IPA 2008(D10-24)

19. Dari suatu barisan aritmatika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah…. A. 840 B. 660 C. 640 D. 630 E. 315 UN MAT IPA 2007 (D9-15)

20. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp.80.000.000 Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ? A. Rp.20.000.000 B. Rp.25.312.500 C. Rp.33.750.000 D. Rp.35.000.000 E. Rp.45.000.000 UN MAT IPA 2007 (D9-16)

21. Seorang itu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmatika. Semakin usia anak semakin banyak permen yang diperolehnya. Jika permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah… A. 60 buah B. 65 buah C. 70 buah D. 75 buah E. 80 buah UN MAT IPA 2006 (D10-21)

22. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah…. A. 65 m B. 70 m C. 75 m D. 77 m E. 80 m UN MAT IPA 2006 (D10-22)

23. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian panjang dan panjang masing-masing potongan membentuk barisan geometeri. Jika panjang potongan tali

terpendek sama dengan 6 cm dan panjang potongan tali terpanjang sama dengan 384 cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah… A. 378 cm B. 390 cm C. 570 cm D. 762 cm E. 1.530 cm UN MAT IPA 2005 (D10-12)

24. Seorang anak menabung disuatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp.50.000, bulan kedua Rp.55.000, bulan ketiga Rp.60.000 dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah… A. Rp.1.315.000 B. Rp.1.320.000 C. Rp.2.040.000 D. Rp.2.580.000 E. Rp.2.640.000 UN MAT IPA 2005 (D10-13)

25. Setiap awal tahun Budi menyimpan modal sebesar Rp.1.000.000 pada suatu bank dengan bunga majemuk 15% pertahun. Jumlah modal tersebut setelah akhir tahun kelima adalah…

A. 5)15,1(000.000.1.Rp

B. 15,0

)115,1(000.000.1.

5 −Rp

C. 15,0

)115,1(000.000.1.

4 −Rp

D. 15,0

)115,1(000.150.1.

5 −Rp

E. 15,0

)115,1(000.150.1.

4 −Rp

UN MAT IPA 2005 (D10-17)

26. Agar tiga bilangan a + 2, a - 3, a - 4 merupakan barisan aritmatika, maka

suku kedua harus ditambah dengan...

A. -3

B. -2

C. -1

D. 1

E. 2


27. Jika suku pertama barisan aritmatika adalah -2 dengan beda 3, Sn adalah

jumlah n suku pertama deret aritmatika tersebut, dan Sn+2 – Sn = 65, maka

nilai n adalah...

A. 11

B. 12

C. 13

D. 14

E. 15


28. Tiga bilangan bulat positif membentuk barisan aritmatika dengan beda 16. Jika bilangan yang terkecil ditambah 7 dan bilangan yang terbesar ditambah 2, maka diperoleh barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah… A. 56 B. 54 C. 52 D. 50 E. 48 SNMPTN MAT DAS 2011 (XX-13)

29. Jika jumlah 10 suku pertama suatu deret aritmatika adalah 220 dan jumlah 2 suku berturut-turut berikutnya adalah -4, maka jumlah 2 suku pertama deret itu adalah… A. 36 B. 40 C. 44 D. 72 E. 76 SNMPTN MAT DAS 2011 (XX-15)

30. Jika -6, a, b, c, d, e, f, g, 18 merupakan barisan aritmatika, maka nilai a + d

+ g = ….

A. 12

B. 18

C. 24

D. 30

E. 36

SNMPTN MAT DAS2010 (XX-09)

31. Jumlah 50 suku pertama : log 5 + log 55 + log 605 + log 6655 + … adalah…

A. )1125log( 122525

B. )115log( 122525

C. )275log( 1150

D. )5log(1150

E. )55log( 1150


32. Diketahui barisan dengan suku pertama u1=15 dan memenuhi

321 +=− − nuu nn , 2≥n . Nilai 250 uu + adalah…

A. 2688

B. 2710

C. 2732

D. 2755

E. 2762


33. Seorang berjalan dengan kecepatan 12km/jam selama 1 jam pertama. Pada

jam kedua kecepatan berkurang jadi sepertiganya, demikian juga pada jam

berikutnya kecepatan menjadi sepertiga dari sebelumnya. Jarak yang terjauh

yang dapat ditempuh orang itu selama perjalanan adalah….

A. Tak berhingga

B. 36 km

C. 32 km

D. 26 km

E. 18 km


34. Jika jumlah 101 bilangan kelipatan tiga yang berurutan adalah 18180, maka

jumlah tiga bilangan terkecil pertama dari bilangan-bilangan tersebut

adalah….

A. 99

B. 90

C. 81

D. 72

E. 63


35. Sejak tahun 2000 terjadi penurunan pengiriman surat melaui kantor pos.

Setiap tahunya banyak surat yang dikirim berkurang sebesar 1/5 dari banyak

surat yang dikirim pada tahun sebelumnya. Jika pada tahun 2000 dikirim

sekitar 1 juta surat,maka jumlah surat yang dikirim selama kurun waktu 2000-

2004 adalah….

A. 2101/625 juta surat

B. 369/125 juta surat

C. 2100/625 juta surat

D. 365/125 juta surat

E. 360/125 juta surat


36. Misalkan nU menyatakan suku ke-n suatu barisan geometri. Jika diketahui

125 =U dan 3loglogloglog 654 =−+ UUU , maka nilai 4U adalah…


37. Jika qpqp ++ 6,2 dan qp+14 adalah tiga suku deret geometri yang

berurutan, maka rasio deretnya adalah… A. 1/2 B. 1/3 C. 2/3 D. 2 E. 3 SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-15)

38. Adi selalu membelanjakan 1/3 bagian dari uang yang masih dimilikinya dan ia tidak mempunyai penghasilan lagi. Jika pada saat belanja terakhir sisanya kurang dari 32/243 uang semula, maka paling sedikit Adi sudah membelanjakan uangnya… A. 4 kali B. 5 kali C. 7 kali D. 10 kali

E. 14 kali SNMPTN MAT DAS 2008 (XX-17)

39. Jumlah n suku pertama deret :

...loglog1

log2

555 +++a

b

a

b

a adalah…

A. n

nn

a

b 215 )(log

−

B.

2

25 )(log

n

nn

a

b

C.

2

215 )(log

n

nn

a

b −

D. n

nn

a

b2

215 )(log

−

E. n

nn

a

b2

25 )(log


40. Deret geometri tak hingga :

...))5(log())5(log())5(log( 432 +−+−+− xxx

Mempunyai jumlah untuk x yang memenuhi… A. 11 <<− x

B. 64 << x

C. 65 << x

D. 61,5 << x

E. 151,5 << x


41. Persamaan kuadrat 062 =+− axx mempunyai akar 1x dan 2x . Jika 1x , 2x

dan 21 xx + adalah tiga suku pertama deret aritmatika maka konstanta ...=a

A. 2 B. 4

C. 6 D. 8 E. 10


42. Diketahui 1x dan 2x merupakan akar-akar 052 =++ axx dengan 1x dan

2x keduanya tidak sama dengan nol. Jika 1x , 22x dan 213 xx− masing-

masing merupakan suku pertama,suku kedua dan suku ketiga dari deret geometri dengan rasio positif, maka nilai a sama dengan… A. -6 B. 2 C. 6 D. -6 atau 6 E. 2 atau 3 SNMPTN MAT IPA 2008 (XX-04)

43. Suku ke-n suatu barisan geometri adalah nU . Jika kuku 3, 21 == dan

483 += ku , maka ..5=u

A. 81 B. 162 C. 324 D. 648 E. 864 SPMB MAT DAS 2007 (XX-10)

44. Panjang sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika keliling segitiga tersebut adalah 72, maka luasnya adalah… A. 216 B. 363 C. 364 D. 383 E. 432 SPMB MAT DAS 2007 (XX-11)

45. Pada matriks

=

cb

aA

1, jika bilangan positif ca,,1 membentuk barisan

geometri berjumlah 13 dan bilangan cb,,1 membentuk barisan aritmatika,

maka det A = … A. 17 B. 6 C. -1 D. -6 E. -22 SPMB MAT DAS 2007 (XX-22)

46. Jika 711 ,...,, uuu membentuk barisan geometri 123 =u dan

3log7log....loglog 721 =+++ uuu maka ....5 =u

A. log 3 B. 16 C. 3 D. 3/4 E. 1/2 SPMB MAT DAS 2007 (XX-23)

47. Misalkan )(' xf menyatakan turunan pertama dari fungsi 3,3

)(2

≠−

= xx

xxf ,

jika )2('f dan 2

)4('fadalah suku pertama dan kedua suatu deret geometri

tak berhingga, maka jumlah deret tersebut adalah…. A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 E. 40 SPMB MAT IPA 2007 (XX-02)

48. Tiga bilangan merupakan suku-suku deret aritmatika. Jika suku pertama dikurangi 2 dan suku ketiga ditambah 6, maka barisan menjadi barisan geometri dengan rasio 2. Hasil kali ketiga bilangan pada barisan geometri tersebut adalah… A. 128 B. 240 C. 256 D. 480 E. 512 SPMB MAT IPA 2007(XX-15)

49. Tabungan seseorang pada bulan ke-n selalu dua kali tabungan pada bulan ke-(n-1), 2≥n . Jika tabungan awalnya Rp. 1 juta dan setelah satu tahun menjadi Rp. p juta, maka p memenuhi A. 1000<p<2000 B. 2000<p<3000 C. 3000<p<4000 D. 4000<p<5000 E. 5000<p<6000 SPMB MAT DAS 2006 (XX-17)

50. Jika jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah nnSn 32 2 += , maka

beda deretnya adalah… A. 2

B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 SPMB MAT DAS 2006 (XX-20)

51. Pada deret geometri .....21 ++ uu jika 25

21 , xuxu == − dan 649 =u , maka

...7=u

A. -16 B. 1/2 C. 8 D. 16 E. 32 SPMB MAT DAS 2006 (XX-22)

52. Bilangan )13log(),1log(),1log( −+− xxx yyy merupakan tiga suku deret

aritmatika yang berurutan. Jika jumlah tiga bilangan itu adalah 6, maka x + y = … A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 SNMPTN MAT DAS 2006 (XX-23)

53. Si A kuliah pada perguruan tinggi selama 8 semester. Besar SPP yang harus dibayar pada setiap semesternya adalah Rp.200.000 lebih besar dari SPP semester sebelumnya. Jika pada semester ke-8 dia membayar Rp.2.400.000, maka total SPP yang dibayar selama 8 semester adalah… A. Rp.12.800.000 B. Rp.13.000.000 C. Rp.13.200.000 D. Rp.13.400.000 E. Rp.13.600.000 SPMB MAT IPA 2006 (XX-03)

54. Jumlah deret suatu geometri tak hingga dengan suku pertama a dan rasio r dengan 0 < r <1 adalah S. Jika suku pertama tetap dan rasio berbah menjadi (1- r), maka jumlahnya menjadi….

A. )1

1(r

S −

B. r

S

C. )1

( rr

S −

D. r

S

−1

E. )11

( −r

S


VEKTOR

A. PENGERTIAN VEKTOR #(1)

Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah.

Ruas garis AB adalah adalah vektor AB atau bisa ditulis sebagai vektor av

.

B. VEKTOR 2D DAN 3D #(2)

Vektor bisa terletak pada bidang 2 dimensi yaitu sumbu x dan y , bisa juga terletak pada bidang 3 dimensi yaitu sumbu x, sumbu y dan sumbu z. a.a.a.a. Dalam Dimensi 2Dalam Dimensi 2Dalam Dimensi 2Dalam Dimensi 2 (dalam bidang)(dalam bidang)(dalam bidang)(dalam bidang)

jiPQPQ ˆ4ˆ3)4,3(4

3

3

2

7

5+==

=

−

=−=

jiQPQP ˆ4ˆ3)4,3(4

3

7

5

3

2−−=−−=

−−

=

−

=−=

b.b.b.b. Dalam Dimensi 3Dalam Dimensi 3Dalam Dimensi 3Dalam Dimensi 3 (dalam ruang)(dalam ruang)(dalam ruang)(dalam ruang)

A

B

aABv=

−

=−=

1

1

2

2

y

x

y

xABAB

−

=−=

2

2

1

1

y

x

y

xBABA

X

Y

),( 11 yxA

),( 22 yxB

)3,2(P )7,5(Q

Maka BAAB −=

PQQP −=

X

Y

),,( 111 zyxA

),,( 222 zyxB

)1,3,2(P

)7,5,4(Q

Z

−

=−=

1

1

1

2

2

2

z

y

x

z

y

x

ABAB

−

=−=

2

2

2

1

1

1

z

y

x

z

y

x

BABA

Maka BAAB −=

kjiPQPQ ˆ6ˆ2ˆ2)6,2,2(

6

2

2

1

3

2

7

5

4

++==

=

−

=−=

kjiQPQP ˆ6ˆ2ˆ2)6,2,2(

6

2

2

7

5

4

1

3

2

−−−=−−−=

−−−

=

−

=−=

c.c.c.c. Panjang VektorPanjang VektorPanjang VektorPanjang Vektor

Jika ),( 21 aaa =v atau ),,( 321 aaaa =v maka panjang vektor av

( ditulis av )

adalah : Contoh :

1. Vektor )4,3(=av

maka panjang vektor av

adalah...

Pembahasan :

52516943 22 ==+=+=av

2. Titik A(2,1,3) dan B(4,6,-4). uv

mewakili vektor AB maka panjang vektor uv


−=

−

−=−==

7

5

2

3

1

2

4

6

4

ABABuv

7849254)7(52 222 =++=−++=uv

d.d.d.d. Vektor SatuanVektor SatuanVektor SatuanVektor Satuan

Vektor satuan av

adalaha

av

w.

Contoh :

1. Jika )3,4(−=uv

maka vektor satuan uv

adalah...

Pembahasan :

vektor satuan

−=−=−=+

−=+−

−==5

3,

5

4

5

)3,4(

25

)3,4(

916

)3,4(

3)4(

)3,4(22u

uu vv

PQQP −=

22

21 aaa +=v

23

22

21 aaaa ++=v

atau

C. OPERASI VEKTOR#(3)

a.a.a.a. Operasi Geometris (gambar)Operasi Geometris (gambar)Operasi Geometris (gambar)Operasi Geometris (gambar) 1. Penjumlahan

� Cara Segitiga

� Cara Jajaran genjang

� Cara Poligon

2. Pengurangan

3. Perkalian skalar

Contoh :

1. Jika ABCDEFadalah segi enam beraturan dengan uABv= dan vAF

v= .

Nyatakn vektor AC dalam bentuk uv

dan vv

. Pembahasan :

av

bv

av

bv

av

bv

bavv +

av

bv

bavv +

av

bv

cv

dv

av

bv

cv

dv

dcbavvvv +++

av

bv

av

bv

−

bavv−

bv

bv

2

bv

32−

A B

C

D E

F

uv

vv

A B

C

D E

F

uv

vv

O

OCBOABAC ++=

ABAFABAC ++= uvu

vvv ++= vu

vv+= 2

b.b.b.b. Operasi Aljabar (komponen)Operasi Aljabar (komponen)Operasi Aljabar (komponen)Operasi Aljabar (komponen) 1. Penjumlahan

),,( 321 aaaa =v , ),,( 321 bbbb =v

),,( 332211

33

22

11

bababa

ba

ba

ba

ba +++=

+++

=+vv

Contoh :

)4,2,3( −=av

dan )8,5,2(=bv

)4,7,5()84,52,23( =+−++=+ bavv

2. Pengurangan

),,( 321 aaaa =v , ),,( 321 bbbb =v

),,( 332211

33

22

11

bababa

ba

ba

ba

ba −−−=

−−−

=−vv

Contoh :

)8,6,5(=av

dan )2,1,2(=bv

)6,5,3()28,16,25( =−−−=− bavv

3. Perkalian dengan konstanta

),,( 321

3

2

1

3

2

1

kakaka

ka

ka

ka

a

a

a

kak =

=

=v

Contoh : )3,5,2( −=a

vmaka )6,10,4()3,5,2(22 −=−=a

v

D. PERBANDINGAN VEKTOR

a.a.a.a. Titik Segaris ( Kolinier)Titik Segaris ( Kolinier)Titik Segaris ( Kolinier)Titik Segaris ( Kolinier) #(4)

Contoh :

1. Diketahui )3,1,2(A , ),,4( srB dan )9,6,8(C . Jika A,B dan C segaris maka

nilai r dan s nya adalah....

Catatan :

ABOC

AFBO

=

= Vektor dikatakan sama jika

besar dan arahnya sama.

A C B ABkAC=

Pembahasan :

)( ABkACABkAC −=−⇒=

−−−

=

−−−

3

1

24

39

16

28

s

rk

−−=

ks

kr

k

)3(

)1(

2

6

5

6

b.b.b.b. Titik/Vektor Pembagi Dalam Bentuk KoordinatTitik/Vektor Pembagi Dalam Bentuk KoordinatTitik/Vektor Pembagi Dalam Bentuk KoordinatTitik/Vektor Pembagi Dalam Bentuk Koordinat #(5)

Kalo dilihat sebagai perbandingan maka :

nmPBAP :: =

nnmBPAB −+= :)(:

Contoh : 1. Jika P membagi ruas garis R(0, -4, 5) dan S(0,1,5) didalam dengan

perbandingan 3 : 2, maka koordinat titik P adalah... Pembahasan :

2:3: =PSRP

23

23

++= RS

R

5

)25,5,0(

5

)15,3,0()10,8,0(

5

)5,1,0(3)5,4,0(2 −=+−=+−=

)5,1,0( −=

2. Jika diketahui P membagi A(2,3,1) dan B(8,-3,7) dengan perbandingan 2

: -1, maka koordinat titik P adalah... Pembahasan :

1:2: −=PBAP

nm

nAmBP

++=

# 362 =⇒= kk # 5)1( =− kr

53)1( =−r

3

51=−r

3

8

13

5

=

+=

r

r

# 6)3( =− ks

63)3( =−s

23=−s

5=s

A B P

m n

R S P

3 2

)1(2

)1(2

−+−+= AB

P

)1,3,2()14,6,16(

1

)1,3,2)(1()7,3,8(2

−−−+−=

−+−=

)13,9,14( −=

c.c.c.c. Dalam Bentuk VektorDalam Bentuk VektorDalam Bentuk VektorDalam Bentuk Vektor

Contoh : 1. Perhatikan gambar disamping, jika

kjia ˆ4ˆ2ˆ5 ++=v dan

kjib ˆ2ˆ4ˆ3 ++−=v

. Maka vektor

....=pv

Pembahasan : Karena P membagi ruas garis AB sama panjang, maka :

1:1: =PBAP

211

11 ababp

vvvvv +=

++=

)3,3,1(2

)6,6,2(

2

)4,2,5()2,4,3( ==+−=

)3,3,1(=pv

atau kjip ˆ3ˆ3ˆ ++=v

E. PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR #(6)

Jika ),,( 321 aaaa =v dan ),,( 321 bbbb =v

maka :

A B P

2

-1

A B P

2 -1

nm

anbmp

++=

vvv

O

A

B

P

av

bv

pv

m

n

O

A B P

av

bvp

v

332211 babababa ⋅+⋅+⋅=⋅vs

av

bv

θ

baataujikaba

jikababa

jikababa

jikaba

jikaba

vvvv

vvvv

vvvv

vv

vv

o

o

o

oo

o

⊥==

=−=

==

<<<

<<>

0

0

0

θ

θ

θ

θ

θ

,0.

18,.

,.

18090,0.

900,0.

Catatan :

Dari rumus perkalian tersebut, maka untuk mencari sudut antara dua vektor adalah :

Sifat dalam perkalian skalar dua vektor adalah :

1. abbavvvv ⋅=⋅

2. cabacbavvvvvvv ⋅+⋅=+ )(

3. 2aaavvv =⋅

4. θcos2)(222 bababa ++=+

5. θcos2)(222 bababa −+=−

Contoh :

1. Diketahui )4,0,1(),1,2,3( QP dan )3,2,2(−R maka hasil dari ....=⋅ PRPQ

Pembahasan :

)3,2,2()1,2,3()4,0,1( −−=−=−= PQPQ

)2,0,5()1,2,3()3,2,2( −=−−=−= PRPR

6010)2)(3()0)(2()5)(2()2,0,5()3,2,2( ++−=+−+−=−⋅−−=⋅ PRPQ

4−=

2. Jika sudut antara vektor av

dan bv

adalah o45 . 4=av dan 2=b

vmaka

nilai dari ....)( 2 =+ bavv

Pembahasan :

θcos2)(222 bababa ++=+

o45cos)2)(4(224 22 ++=

216416 21⋅++=

2820+= 3. Diberikan kjiu −+= 32

v dan kjiv 23 ++−=v , jika sudut antara dua vektor

tersebut adalah θ maka nilai θcos dan θsin adalah.... Pembahasan :

)1,3,2( −=uv

dan )2,1,3(−=vv

419194

236

21)3()1(32

)2,1,3)(1,3,2(cos

222222 ++⋅++−+−=

++−⋅−++

−−=⋅=ba

bavv

vv

θ

θcosbabavsvs ⋅=⋅

atau

ba

bavv

vv ⋅=θcos

1414

5−=

14

5cos

−=θ ( oo 18090 << θ )

14

171sin =θ

5

171tan −=θ (nilai tan di oo 18090 << θ negatif (-))

F. PROYEKSI VEKTOR #(7)

Jika sebuah vektor av

diproyeksikan ke vektor bv

maka akan didapat sebuah

vektor hasil proyeksi yang searah vektor bv

.

Berikut diberikan gambaran proyeksi vektor av

ke vektor bv

yang hasilnya

adalah vektor cv

.

1. Proyeksi Skalar

2. Vektor Proyeksi ( ortogonal)

Contoh :

1. Vektor kjia ˆ4ˆ3ˆ2 ++=v diproyeksikan ke kjib ˆˆ2ˆ2 +−=v

menghasilkan

vektor cv

. Maka panjang dan persamaan vektor cv


5

14 171

θ

miring

samping=−=14

5cosθ

av

bv

θ cv

b

bac v

vvv ⋅=

bb

bac

v

v

vvv ⋅⋅=

2

Mengasilkan skalar ( panjang vektor cv)

Mengasilkan vektor ( persamaan vektor cv)

# panjang vektor

3

2

9

2

144

464

1)2(2

)1,2,2)(4,3,2(222

==++

+−=+−+

−=⋅=b

bac v

vvv

# persamaan vektor cv

)1,2,2(

1)2(2

)1,2,2)(4,3,2(2

2222

−⋅

+−+

−=⋅⋅= bb

bac

v

v

vvv

( )1,2,2144

464 −+++−=

)1,2,2(9

2 −=cv

atau

−=9

2,

9

4,

9

4cv

atau

kjic ˆ9

2ˆ9

4ˆ9

4 +−+=v

cv


1. Diketahui vektor →→→→

−+= kxjia 2 , →→→→

+−= kjib 23 dan →→→→

++= kjic 22 . Jika

→a tegak lurus

→c maka )).((

→→→→−+ caba adalah…

A. – 4

B. -2

C. 0

D. 2

E. 4

UN MAT IPA 2012 (A35-14)

2. Diketahui vektor kjiarrrr

224 ++= dan jibrrr

33 += . Besar sudut antara vektor

ar

dan br

adalah…

A. 300

B. 450

C. 600

D. 900

E. 1200

UN MAT IPA 2012 (A35-15)

3. Diketahui vektor kjiarrrr

429 +−= dan kjibrrrr

++= 22 . Proyek orthogonal

vektor ar

pada br

adalah…

A. kji 244 −−−

B. kji 422 ++

C. kji 244 ++

D. kji 488 ++

E. kji 8418 +−

UN MAT IPA 2012 (A35-16)

4. Diketahui titik A(5,1,3), B(2,-1,-1) dan C(4,2,-4). Besar sudut ABC = … A. π

B. 2

π

C. 3

π

D. 6

π

E. 0 UN MAT IPA 2011 (D10-14)

5. Diketahui vektor kjia 224 +−=→

dan vektor kjib 462 +−=→

. Proyeksi

vektor orthogonal vektor →a pada vektor

→b adalah…

A. kji +−

B. kji 23 +−

C. kji 44 +−

D. kji +−2

E. kji 686 +−

UN MAT IPA 2011 (D10-21)

6. Diketahui koordinat A(0, 0, 0), B(-1, 1, 0), dan C(1, -2, 2). Jika sudut antara qrst dan qust adalah ∝ maka cos ∝ = ...

A. ��√2

B. ��

C. 0

D. -��

E. -��√2

UN MAT IPA 2010 (D10-15)

7. Diketahui titik A(3, 2,-1), B(2, 1, 0) dan C(-1, 2,3). Jika qrst wakil vector v→

dan qust wakil w→ maka proyeksi vector v→ pada w→ adalah ...

A. �� →̂ + x→+ y→�

B. –→̂ + y→

C. 4(→̂ + y→) D. 4 �→̂ + x→+ y→�

E. 8 �→̂ + x→+ y→� UN MAT IPA 2010 (D10-16)

8. Diketahui balok ABCD. EFGH dengan koordinat titik sudut A(3, 0,0), C(0, √7,

0), D(0, 0, 0), F(3, √7, 4) dan H(0,0, 4). Besar sudut antara vector z{||||||} dan z~|||||} adalah ...

A. 15G B. 30G C. 45G D. 60G E. 90G UN MAT IPA 2009 (D10-27)

9. Diketahui koordinat A(-4, 2, 3), B(7, 8, -1) dan C(1, 0, 7). Jika RS|||||} wakil vector

g|}, RT|||||} wakil vektor h} maka proyeksi g|}danh} adalah ...

A. 3�}− �� }+

�� |}

B. 3√5�}− �� }+

�� |}

C. U� 75�}− 2�}+ 4�|}8

D. �� 75�}− 2�}+ 4�|}8

E. U�� 75�}− 2�}+ 4�|}8

UN MAT IPA 2009 (D10-28)

10. Diketahui vektor kjitbkjitavvvvvvvv

52,32 −+−=+−= dan kjtitcvvvv ++= 3 .

Jika vektor )( bavv + tegak lurus c

v, maka nilai 2t=….

A. -2 atau 4/3 B. 2 atau 4/3 C. 2 atau – 4/3 D. 3 atau 2 E. -3 atau 2 UN MAT IPA 2008 (D10-18)

11. Diketahui vektor

−=

4

3

2

av

dan

=3

0

x

bv

. Jika panjang proyeksi vektor av

pada bv

adalah 5

4, maka salah satu nilai x adalah….

A. 6 B. 4 C. 2 D. -4 E. -6

UN MAT IPA 2008 (D10-19)

12. Diketahui segitiga PQR dengan P(0,1,4),Q(2,-3,2) dan R(-1,0,2). Besar sudut PQR=… A. 1200 B. 900 C. 600

D. 450 E. 300 UN MAT IPA 2007 (D9-12)

13. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0,0,0),B(2,2,0) dan C(0,2,2). Proyeksi

ortogonal →AB pada

→AC adalah…

A. kjvv

+

B. jivv

+

C. jivv

+−

D. kjivvv

2

1−+

E. jivv

−−2

1

UN MAT IPA 2007 (D9-13)

14. Diketahui 9||,2|| == bavv dan 5|| =+ ba

vv, Besar sudut antara vektor

av

dan bv

adalah…

A. o45

B. o60

C. o120

D. o135

E. o150 UN MAT IPA 2006 (D10-24)

15. Diketahui vektor kjiavvvv

443 −−= , kjibvvvv

32 +−= dan

kjicvvvv

534 +−= . Panjang proyeksi vektor )( bavv + pada c

v adalah…

A. 23

B. 24

C. 25

D. 26

E. 27 UN MAT IPA 2006 (D10-25)

16. Diketahui A(1,2,3), B(3,3,1) dan C(7,5,-3). Jika A,B dan C segaris (kolinier),

perbandingan ...: =→→BCAB

A. 1:2 B. 2:1 C. 2:5

D. 5:7 E. 7:5 UN MAT IPA 2005 (D10-15)

17. Diketahui vektor ur

dan vektor vr

membentuk sudut θ. Jika panjang proyeksi

ur

pada vr

sama dengan panjang dua kali panjang vr

, maka perbandingan

panjang ur

terhadap panjang vr

adalah...

A. 1 : 2 cos θ

B. 2 : cos θ

C. 2cos θ : 1

D. 1 : cos θ

E. cos θ : 2


18. Diketahui )1,2,( −−=→

au dan )1,,( −=→

aav . Jika vektor →u tegak lurus pada

→v

maka nilai a adalah… A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 E. 3 SNMPTN MAT IPA 2011 (XX-01)

19. Vektor ckbjiu ++=→

4 tegak lurus kjiw 322 +−=→

dan ||2||→→

= wu maka

nilai b memenuhi…

A. 04043213 2 =+− bb

B. 04043213 2 =−+ bb

C. 04043213 2 =−− bb

D. 04043213 2 =++ bb

E. 0402103 2 =+− bb SNMPTN MAT IPA 2011 (XX-10)

20. Diketahui vektor )2,13,1( +−=→

au dan )0,3,3( 23 aav −=→

dengan 42 <<− a .

Nilai maksimum →→

• vu adalah… A. 27 B. 8 C. 3 D. 1

E. -24 SNMPTN MAT IPA 2011 (XX-15)

21. Diketahui barr

, dan cr

vektor dalama dimensi-3. Jika diketahui barr ⊥ dan

)2( cbarrr +⊥ , maka nilai )2( cba

rrr −• =…

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

E. 4


22. Diketahui segitiga ABC. Titik P di tengah AC, dan Q tengah BC sehingga

BQ=QC. Jika aBCbACcABrrr === ,, , maka PQ=….

A. )(21

barr +−

B. )(21

barr −

C. )(21

carr +−

D. )(21

cbrr

+−

E. )(21

cbrr

−


23. Diberikan vektor-vektor kyjxixarrrr

63 +−= dan kxjiybrrrr

)1(3)1( +−+−=

dengan x >0. Jika ar

dan bv

sejajar, maka ...3 =+ bavv

A. 0v

B. kjivvv

21217 ++−

C. kjivvv

33 −−

D. kjivvv

332 −+

E. kivv

246 −− SNMPTN MAT IPA 2006 (XX-10)

24. Vektor )1,,( yxu = sejajar ),3,1( zv −= . Jika u tegak lurus (3, -2, 3) maka y =

A. 3

B. 1

C. 1/3

D. – 1/3

E. – 1

UM UGM MAT IPA 2010 (452-07)

25. Vektor w merupakan vektor proyeksi tegak lurus (a, 1 – a, a) pada vektor (-1,

- 1, 1). Jika panjang w adalah 33

2, maka diantara nilai a berikut ini yang

memenuhi adalah...

A. -3

B. -2

C. 3

D. 2

E. 1


26. Diketahui vektor – vektor ( ) ( ) ( )4,4,,5,,8,,2,2 yxcybza =−−== rrr dan

( )8,22,2 zxd −=r

. Jika vektor ar

tegak lurus dengan vektor br

dan vektor cr

sejajar dengan ,dr

maka y + z = ….

A. 5

B. -1

C. 2

D. 1

E. -5


27. Dalam segitiga ABC, aABr=

→, bAC

r=

→. Jika titik G adalah titik berat segitiga

ABC, maka ...=→

AG

A. )(6

1barr +

B. )(4

1barr +

C. )(3

1barr +

D. )(3

2barr +

E. )(4

3barr +


28. Diketahui

−−=

6

12

4

ar

dan

−=

4

2

4

br

, dan vektor cr

merupakan proyeksi

orthogonal vektor ar

terhadap br

. Jika vektor

=x

d 1

2r

memiliki panjang yang

sama dengan vektor cr

, maka nilai x adalah ….

A. 3

13

B. 3

17

C. 3

19

D. 3

23

E. 3

29


TRANSFORMASI GEOMETRI

A. PENGERTIAN TRANSFORMASI #(1)

Proses transformasi adalah proses perubahan dari satu keadaan menjadi keadaan baru. Bentuk umumnya adalah : B = Benda ( keadaan awal ), bisa berupa titik atau garis. B ‘ = Bayangan ( keadaan akhir ) T = Transformasi Sedangkan jenis-jenis transformasi adalah : 1. Translasi (pergeseran) 2. Dilatasi (perkalian) 3. Refleksi (pencerminan) 4. Rotasi 5. Dengan Sebuah Matriks

B. TRANSLASI #(2)

Translasi adalah suatu proses transformasi yang memindahkan benda(titik/garis) dengan jarak tertentu. Bentuk umumnya adalah : Contoh :

1. Sebuah titik (3, 5) ditransli oleh

− 4

7, maka bayanganya adalah...

Pembahasan :

)5,3(=B dan

−=

4

7T

BTB +='

=

+

−=

1

10

5

3

4

7

'

'

B

B

BTB •='

BTB +='

+

=

y

x

b

a

y

x

'

'

atau

2. Sebuah garis 832 =+ xy ditranslasi oleh

1

2. Bayangan garis tersebut


832: =+ xyg ,

=

1

2T , ?....' =g

+

=

y

x

b

a

y

x

'

'

++

=

⇒

+

=

y

x

y

x

y

x

y

x

1

2

'

'

1

2

'

'

2'

2'

−=+=

xx

xx

1'

1'

−=+=

yy

yy

832: =+ xyg

8)2'(3)1'(2:' =−+− xyg

86'32'2 =−+− xy

88'3'2 =−+ xy

16'3'2 =+ xy atau bisa dihilangkan tanda ‘(aksen) nya, jadi :

1632:' =+ xyg

C. DILATASI #(3)

Dilatasi adalah proses transformasi yang mengubah jarak suatu titik dengan faktor pengali tertentu dan terhadap titik tertentu. Notasi dilatis adalah ],[ kP dengan P adalah pusat dan k adalah faktor

pengali. Contoh : 1. ]2,[O artinya dilatasi dengan pusat O(0,0) dengan pengali 2.

2. ]4),3,2[( artinya dilatasi dengan pusat (2,3) dengan pengali 4.

a.a.a.a. Dilatasi dengan pusat O(0,0)Dilatasi dengan pusat O(0,0)Dilatasi dengan pusat O(0,0)Dilatasi dengan pusat O(0,0) Bentu umumnya adalah : Contoh : 3. Titik H(2,3) didilatasi sebesar ]5,[O . Maka bayanganya adalah...

Pembahasan :

HkH ⋅=' )15,10()3,2(5' ==H

4. Garis 342: =− yxh didilatasi dengan pusat O(0,0) dengan faktor skala

2, bayangan yang terbentuk adalah...

BkB ⋅='

⋅=

y

xk

y

x

'

'

atau

⋅

=

y

x

k

k

y

x

0

0

'

' atau

Pembahasan : 342: =− yxh

=

⇒

⋅=

y

x

y

x

y

x

y

x

2

2

'

'2

'

'

'

2'

21 xx

xx

=

=

'

2'

21 yy

yy

=

=

32

3'2'

3'2

14'

2

12:'

=−=−

=

−

yx

yx

yxh

b.b.b.b. Dilatasi dengan pusat A(a,b)Dilatasi dengan pusat A(a,b)Dilatasi dengan pusat A(a,b)Dilatasi dengan pusat A(a,b)

Bentu umumnya adalah :

Contoh : 1. Bayangan yang terbentuk jika titik R(2,3) didilatasi dengan faktor skala -

2 dan dengan pusat (1,2) adalah... Pembahasan : R(2,3) , pusat (1,2), faktor skala = -2, R’=... ?

+

−−

⋅−=

2

1

23

122

'

'

y

x

+

−−

=

+

−=

2

1

4

2

2

1

2

12

−−

=2

1

Jadi R’(-1,-2) 2. Bayangan dari garis 12=+ yx oleh dilatasi ]2,[P dengan P(0,3)


12: =+ yxg , pusat (0,3), faktor skala 2 , g’=....

−−

⋅=

−−

by

axk

by

ax

'

'

−−

⋅=

−−

3

02

3'

0'

y

x

y

x

−−

⋅=

−−

by

axk

by

ax

'

' atau

+

−−

⋅=

b

a

by

axk

y

x

'

'

−=

− 62

2

3'

'

y

x

y

x

'

2'

21 xx

xx

=

=

2

3'23'

623'

+=⇒=+

−=−y

yyy

yy

12: =+ yxg

122

3'':'

21 =++ y

xg

243'' =++yx

21'' =+yx

Jadi 21: =+ yxg

D. REFLEKSI #(4)

a.a.a.a. Refleksi Terhadap Sumbu XRefleksi Terhadap Sumbu XRefleksi Terhadap Sumbu XRefleksi Terhadap Sumbu X Contoh :

1. )4,3(')4,3( −→ PP Mx

2. )8,2(')8,2( −→−− PP Mx

3. 423:'423: =−→=+ yxgyxg Mx

b.b.b.b. Refreksi Terhadap Sumbu YRefreksi Terhadap Sumbu YRefreksi Terhadap Sumbu YRefreksi Terhadap Sumbu Y Contoh :

1. )6,5(')6,5( −→ PP My

2. )4,5(')4,5( −→−− PP My

3. 153:'153: =−→=−− yxgyxg My

X

Y ),( yxA

),(' yxA −

x

-y

y ),('),( yxAyxA xM − →

−=

y

x

y

x

10

01

'

'

Dalam bentuk matriks :

Yang berubah adalah y nya : :

),( yxA),(' yxA −

x

y

-x X

Y

),('),( yxAyxA yM− →

−=

y

x

y

x

10

01

'

'


Yang berubah adalah x nya : :

c.c.c.c. Refleksi Refleksi Refleksi Refleksi Terhadap Y=XTerhadap Y=XTerhadap Y=XTerhadap Y=X Contoh :

1. )3,5(')5,3( − →− = PP xMy

2. 1054:'1054: =+− →=+− = xygyxg xMy

d.d.d.d. Refleksi Terhadap Y=Refleksi Terhadap Y=Refleksi Terhadap Y=Refleksi Terhadap Y=----XXXX

Contoh :

1. )3,5(')5,3( − →− −= PP xMy

2. 1054:' maka 10)(5)(4:'1054: =−=−+−− →=+− −= xygxygyxg xMy

e.e.e.e. Refleksi Terhadap Titik PusatRefleksi Terhadap Titik PusatRefleksi Terhadap Titik PusatRefleksi Terhadap Titik Pusat

Contoh :

1. )7,10(')7,10( − →− −= PP xMy

2. 2323:'2323: =+− →=− −= yxgyxg xMy

X

Y xy = ),( yxA

),(' xyA

),('),( xyAyxA xyM → =

=

y

x

y

x

01

10

'

'


x dan y saling bertukar :

),( yxA

),(' xyA −−

X

Y ),('),( xyAyxA xyM

−− → −=

−−

=

y

x

y

x

01

10

'

'


x dan y saling bertukar dan berganti tanda :

X

Y

),( yxA

),(' yxA −−

),('),( yxAyxA oM −− →

−−

=

y

x

y

x

10

01

'

'


x dan y berganti tanda :

f.f.f.f. Refleksi Terhadap Garis x = hRefleksi Terhadap Garis x = hRefleksi Terhadap Garis x = hRefleksi Terhadap Garis x = h

Contoh :

1. )2,5(')2,3)4(2(')2,3( 4 AAA xM=− → =

g.g.g.g. Refleksi Terhadap Garsi y = kRefleksi Terhadap Garsi y = kRefleksi Terhadap Garsi y = kRefleksi Terhadap Garsi y = k

Contoh :

1. )1,5(')7)3(2,5(')7,5( 3 −=− → = AAA yM

h.h.h.h. Refleksi Terhadap Garsi y = kRefleksi Terhadap Garsi y = kRefleksi Terhadap Garsi y = kRefleksi Terhadap Garsi y = k

Contoh :

1. )1,4(')3)2(2,6)1(2(')3,6( )2,1( −=−− → AAAM

E. ROTASI #(5)

),2('),( yxhAyxA hxM− → =

yang berubah x nya saja :

),( yxA ),2( yxhA −

hx=

),( yxA

)2,(' ykxA −

ky =

)2,('),( ykxAyxA kMy − → =

yang berubah y nya saja :

)2,2('),( ),( ykxhAyxA khM −− →

x dan y berubah semua : ),( yxA

)2,2(' ykxhA −−

),( kh

θ θ A

A’

A’

A’ didapat dari A diputar sebesar θ derajat. Diputar berlawanan arah jurum jam,

sudutnya bernilai positif.

A’ didapat dari A diputar sebesar θ− derajat. Diputar searah jarum jam, sudutnya

bernilai negatif.

Pusat

a.a.a.a. Rotasi Dengan Pusat O(0,0)Rotasi Dengan Pusat O(0,0)Rotasi Dengan Pusat O(0,0)Rotasi Dengan Pusat O(0,0)

Rotasi dengan pusat (0,0) dengan sudut θ bisa dinotasikan dengan ],[ θO .

Bentuk matriksnya adalah : Contoh : 1. Titik )7,1( −A dirotasikan dengan sudut 90o searah jarum jam. Maka

bayangan titik A adalah.... Pembahasan :

−=

y

x

y

x

θθθθ

cossin

sincos

'

', θ = -90o karena seraah jaru jam.

−

−−−−−=

7

1

)90cos()90sin(

)90sin()90cos('

'oo

oo

y

x

−−

=

+−−

=

−

−=

1

7

01

70

7

1

01

10

'

'

y

x

Maka A’(-7, - 1)

2. Garis 532 =− yx dirotasikan o270 berlawanan arah jarum jam. Maka

bayangan garis tersebut adalah... Pembahasan :

−=

y

x

y

x

θθθθ

cossin

sincos

'

', θ = 270o karena berlawanan arah jarum jam.

−=

y

x

y

xoo

oo

270cos270sin

270sin270cos'

'

−=

+−+

=

−=

x

y

x

y

y

x

y

x

0

0

01

10

'

'

−=

x

y

y

x

'

'

''

'

yxxy

yx

−=→−==

532: =− yxh

90o -90o 180o - 180o 270o -270o sin θ 1 -1 0 0 -1 1 Cos θ 0 0 -1 -1 0 0

−=

y

x

y

x

θθθθ

cossin

sincos

'

'

Catatan :

532:'

5'3)'(2:'

=−−=−−

xyh

xyh

b.b.b.b. Rotasi Dengan Pusat P(a,b)Rotasi Dengan Pusat P(a,b)Rotasi Dengan Pusat P(a,b)Rotasi Dengan Pusat P(a,b) Bentuk matriksnya adalah :

Contoh : 1. Titik K(2,-4) dirotasi sebesar 45o dengan pusat (1,3). Maka K’ adalah...

Pembahasan :

+

−−

−=

b

a

by

ax

y

x

θθθθ

cossin

sincos

'

'

+

−−−

−=

3

1

34

12

45cos45sin

45sin45cos'

'oo

oo

y

x

+

−

−=

3

1

7

1

22

22

'

'

21

21

21

21

y

x

( )( )

+

−=

+

−

+=

+

−

+=

3

1

23

24

3

1

2

2

3

1

22

22

'

'

27

21

27

21

27

21

27

21

y

x

+−

+=

333

124

'

'

y

x

Jadi )333,124(' +−+K

2. Kurva 122 −+= xxy dirotasikan searah jarum jam sebesar 270o dengan

pusat (2,1). Bayangan kurva tersebut adalah.... Pembahasan :

−−

−=

−−

by

ax

by

ax

θθθθ

cossin

sincos

'

'

−−

−−−−−=

−−

1

2

)270cos()270sin(

)270sin()270cos(1'

2'

y

x

y

xoo

oo

−+−

=

−+−−−−

=

−−

−=

−−

2

1

)1(0)2(1

)1(1)2(0

1

2

01

10

1'

2'

x

y

yx

yx

y

x

y

x

−−

−=

−−

by

ax

by

ax

θθθθ

cossin

sincos

'

'

+

−−

−=

b

a

by

ax

y

x

θθθθ

cossin

sincos

'

' atau

−+−

=

−−

2

1

1'

2'

x

y

y

x

3'

12'

12'

+−=++−=+−=−

xy

xy

yx

1'

21'

21'

+==+−−=−

yx

xy

xy

12: 2 −+= xxyh

1)1'(2)1'(3':' 2 −+++=+− yyxh

12'21'2'3' 2 −++++=+− yyyx

1'4'' 2 −+=− yyx

142 +−−= yyx

F. TRANSFORMASI DENGAN SUATU MATRIKS #(6)

Dalam transformasi bentuk ini matriks sudah disediakan. Bentuk matriksnya : Contoh :

1. Bayangan titik (5,2) ditransformasikan oleh matriks

− 54

32 adalah...

Pembahasan :

=

y

x

dc

ba

y

x

'

'

−=

+−+

=

−=

10

16

1020

610

2

5

54

32

'

'

y

x

Maka bayanganya adalah (16, -10)

2. Garis 62 =+ yx ditransformasikan oleh matriks

41

62. Maka

bayangannya adalah... Pembahasan :

−−

−=

'

'1

y

x

ac

bd

bcady

x

+−−

=

−−

−=

'2'

'6'4

2

1

'

'

21

64

68

1

yx

yx

y

x

y

x

+−

−=

''

'3'2

21 yx

yx

y

x

''

'3'2

21 yxy

yxx

+−=

−=

=

y

x

dc

ba

y

x

'

' atau

−−

−=

'

'1y

x

ac

bd

bcady

x

62: =+ yxg

( ) 6''2'3'2:21 =+−+− yxyxg

6'2''3'2 =+−− yxyx

6=− yx

G. KOMPOSISI TRANSFORMASI #(7)

Komposisi transformasi adalah gabungan dari beberapa konfirmasi . Sebuah benda ditransformasi oleh 1T dan dilanjutkan oleh transformasi 2T maka

komposisi/ gabungan transformasi tersebut adalah 12 TTT o= .

Bentuk umumnya adalah :

Contoh :

1. Suatu titik A (1,2) di rotasikan +90o dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu X, maka bayangan dari titik A adalah... Pembahasan :

−=

−=01

10

90cos90sin

90sin90cos1 oo

oo

T → rotasi +90o

−=

10

012T → pencerminan terhadap sumbu X

ATTA oo 12'=

−

−=

2

1

01

10

10

01'A

−−

=

−−

=1

2

2

1

01

10'A

Maka A’(-2,-1)

2. B(2,5) ditranslasikan sebesar

5

3, kemudian ditransformasi dengan

matriks

41

32 B’ = ....

Pembahasan :

=

5

31T dan

=

41

322T

BTTB += 12' o

BTTTB n oooo 12.....'=

+

=

5

2

5

3

41

32' oB

=

++

=

=

45

40

405

3010

10

5

41

32'B

Maka B’(40,45)

3. Suatu garis 232 =+ yx di cerminkan terhadap garis xy = dan dilanjutkan

dengan rotasi 90o searah jarum jam, maka bayangannya adalah.... Pembahasan :

=

01

101T → pencerminan terhadap y=x

−=

−−−−−=

01

10

)90cos()90sin(

)90sin()90cos(2 oo

oo

T → rotasi -90o

gTTg oo 12'=

−=

−=

y

x

y

x

y

x

10

01

01

10

01

10

'

'

−=

y

x

y

x

'

'

''

'

yyyy

xx

−=→−==

232:' =+ yxg

2)'(3)'(2:' =−+ yxg

232:' =− yxg


1. Persamaan bayangan lingkaran 422 =+ yx bila dicerminkan terhadap x=2

dilanjutkan dengan translasi

−4

3adalah…

A. 0138222 =+−−+ yxyx

B. 0138222 =+−++ yxyx

C. 0138222 =++−+ yxyx

D. 0138222 =++++ yxyx

E. 0132822 =+−++ yxyx

UN MAT IPA 2012 (A35-17)

2. Persamaan bayangan garis y = 2x – 3 yang direfleksikan terhadap garis y = -x dan dilanjutkan garis y = x adalah ... A. 2y + x + 3 = 0 B. y + 2x – 3 = 0 C. y – 2x – 3 = 0 D. 2y + x – 3 = 0 E. 2y – x – 3 = 0 UNMAT IPA 2010 (D10-17)

3. Bayangan sumbu 2x – y – 6 = 0 jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan rotasi pusat 0 sejauh 90G adalah ... A. 2x + y – 6 = 0 B. x + 2y – 6 = 0 C. x – 2y – 6 = 0 D. x + 2y + 6 = 0 E. x – 2y + 6 = 0 UN MAT IPA 2009 (D10-29)

4. titik A’(3, 4) dan B’(1, 6) merupakan bayangan titik A(2, 3) dan B(-4, 1) oleh

transformasi �� = �0 50 1� yang diteruskan �� = � 0 1

−1 1�. Bila koordinat peta

titik C oleh transformasi ��;�� adalah C’(-5, -6), maka koordinat titik C adalah A. (4, 5) B. (4, -5) C. (-4, -5) D. (-5, 4) E. (5, 4) UN MAT IPA 2009 (D10-30)

5. Persamaan bayangan parabola 42 += xy karena rotasi dengan pusat

O(0,0) sejauh 1800 adalah…

A. 42 += yx

B. 42 +−= yx

C. 42 −−= yx

D. 42 −−= xy

E. 42 += xy

UN MAT IPA 2008 (D10-20)

6. Persamaan bayangan garis 0234 =−+ xy oleh transformasi yang

bersesuaian dengan matriks

−11

10 dilanjutkan matriks

−11

11

adalah…

A. 0478 =−+ yx

B. 0278 =−+ yx

C. 022 =−− yx

D. 022 =−+ yx

E. 0225 =−+ yx

UN MAT IPA 2008 (D10-21)

7. Bayangan kurva 32 −= xy jika dicerminan terhadap sumbu X dilanjutkan

dengan dilatasi pusat O(0,0) dan faktor skala 2 adalah…

A. 62

1 2+= xy

B. 62

1 2−= xy

C. 32

1 2−= xy

D. 2

2

16 xy −=

E. 2

2

13 xy −=

UN MAT IPA 2007 (D9-14)

8. Persamaan bayangan garis 054 =+− yx oleh transformasi yang

bersesuaian dengan matriks

− 31

02 dilanjutkan pencerminan terhadap

sumbu Y adalah… A. 03023 =−+ yx

B. 05126 =−+ yx

C. 03037 =++ yx

D. 030211 =−+ yx

E. 030211 =+− yx

UN MAT IPA 2006 (D10-27)

9. Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O bersudut 2

π, dilanjutkan

dilatasi [0,2] adalah 22 yyx −+= . Persamaan kurva tersebut adalah…

A. 42

1 2 +−−= xxy

B. 42

1 2 −+−= xxy

C. 42

1 2 ++−= xxy

D. 12 2 ++−= xxy

E. 12 2 −−= xxy

UN MAT IPA 2005 (D10-16)

10. Persamaan bayangan garis y= – 6 x + 3 karena transformasi oleh matriks

−− 21

12 kemudian dilanjutkan dengan matriks

− 21

20 adalah...

A. x + 2y + 3 = 0

B. x + 2y – 3 = 0

C. 8x – 19y + 3 = 0

D. 13x + 11y + 9 = 0

E. 13x + 11y – 9 = 0

UN 2005 IPA (P2)

11. T1 adalah transformasi bersesuaian dengan matriks

− 21

35dan T2 adalah

transformasi yang bersesuaian dengan matriks

−−42

31. Bayangan A(m,n)

oleh transformasi 21 TT o adalah (-9,7). Nilai m+n sama dengan ....

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

E. 8

UN 2004 IPA (P3)

12. T1 adalah transformasi rotasi pusat O dan sudut putar 90o. T2 adalah

transformasi pencerminan terhadap garis y = -x . Bila koordinat peta titik A

oleh transformasi 21 TT o adalah A’(8,-6), maka koordinat titik A adalah...

A. (-6,-8)

B. (-6,8)

C. (6,8)

D. (8,6)

E. (10,8)

UN 2004

13. Vektor xr

dicerminkan terhadap garis y = x, Kemudian hasilnya diputar

terhadap titik asal O sebesar θ > 0 searah jarum jam, menghasilkan vektor yr

.

Jika yr

=A xr

, maka matriks A = ...

A.

− 01

10

cossin

sincos

θθθθ

B.

−

θθθθ

cossin

sincos

01

10

C.

−01

10

cossin

sincos

θθθθ

D.

−−

− 01

10

cossin

sincos

θθθθ

E.

−

− θθθθ

cossin

sincos

10

01


14. Parabola y = x2 – 6x + 8 digeser ke kanan sejauh 2 satuan searah dengan

sumbu X dan digeser ke bawah sejauh 3 satuan. Jika parabola hasil

pergeseran memotong sumbu X di x1 dan x2 maka x1 + x2 = ....

A. 8

B. 9

C. 10

D. 11

E. 12

SPMB 2005

15. Diketahui lingkaran L berpusat di titik (-2,3) dan melalui titik (1,5). Jika

lingkaran L diputar 90o terhadap titik O(0,0) searah jarum jam, kemudian

digeser ke bawah sejauh 5 satuan, maka persamaan lingkaran L yang

dihasilkan adalah....

A. x2+ y2 – 6x + 6y + 5 = 0

B. x2+ y2 – 6x + 6y – 5 = 0

C. x2+ y2 + 6x – 6y + 5 = 0

D. x2+ y2 + 6x – 6y – 5 = 0

E. x2+ y2 – 6x + 5y = 0

SPMB 2004

16. Matriks yang menyatakan perputaran sebesar π/3 terhadap O dan dilanjutkan

dengan pencerminan terhadap garis y + x = 0 adalah....

A. – ½

− 31

13

B. ½

31

13

C. – ½

−13

31

D. ½

− 13

31

E. – ½

−−

31

13

SPMB 2003

17. Matriks transformasi yang mewakili pencerminan terhadap sumbu x

dilanjutkan dengan rotasi 90o berlawanan arah jarum jam dengan pusat O

adalah ….

A.

−10

01

B.

−−01

10

C.

01

10

D.

−10

01

E.

−−

10

01


18. Jika matriks

−−b

a

4

3 mentransformasikan titik (5, 1) ke titik (7, -12) dan

inversnya mentransformasikan titik P ke titik (1,0) maka koordinat titik P

adalah ….

A. (2, -4)

B. (2, 4)

C. (-2, 4)

D. (-2, -4)

E. (1, 3)


19. Bayangan kurva y = sin x oleh refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan dengan

dilatasi berpusat di O (0,0) dan faktor skala ½ adalah kurva ….

A. y = sin 2x

B. y = ½ sin x

C. y = sin x cos x

D. y = -sin x cos x

E. y = -sin 2x

Matematika SMA

Documents