maTematika - vakho55.files.wordpress.com · maTematika moswavlis wigni 8 ... 10. sanergeSi 150 muxis, 240 cacxvisa da 210 nekerCxlis nergia. yvelaze meti ramden meurneobaze SeiZleba

maTematikamoswavlis wigni 8

nana jafariZe maia wilosani nani wulaia

3

sarCevi

I Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 testebi gameorebisaTvis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 gamonaTqvami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 mocemulis sawinaaRmdego gamonaTqvami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 xarisxi mTeli maCvenebliT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 I Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 I TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

II Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Tema: Teorema, aqsioma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 qordis marTobuli diametris Tviseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 wrewiris mxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 ori wrewiris urTierTmdebareoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 wrewirSi Caxazuli da wrewirze Semoxazuli samkuTxedebi . . . . . . . . . . . . 495 wrewiris rkali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 Caxazuli kuTxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A7 mxebiTa da qordiT Sedgenili kuTxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 marTkuTxa samkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 II Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 II TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68A

III Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691 wiladuri gamosaxuleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702 wiladebis Sekreba da gamokleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753 wiladebis gamravleba da gayofa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 es sainteresoa: vimogzauroT wiladTa samyaroSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824 wiladur gamosaxulebaTa gamartiveba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Tema: xsnarebis amocana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865 wiladuri gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886 utoloba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927 ricxviTi utolobebis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Tema: amovxsnaT modulis Semcveli utoloba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038 wrfiv erTucnobian utolobaTa sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 III Tavis damatebiTebi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 III TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4

IV Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171 marTkuTxa paralelepipedis moculoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182 farTobis Tvisebebi . kvadratis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 es sainteresoa: mravalwaxnagebis Slilebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253 marTkuTxedis, marTkuTxa samkuTxedis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 proeqti: pikis Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294 racionaluri ricxvi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335 perioduli aTwiladis gadaqceva Cveulebriv wiladad . . . . . . . . . . . . . . . 135 es sainteresoa: risTvis gvWirdeba usasrulo aTwiladebi . . . . . . . . . . . 1396 kvadratuli fesvi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407 piTagoras Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 proeqti: piTagora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498 ori wrewiris saerTo Siga da saerTo gare mxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1509 kvadratuli fesvebis gamravleba da gayofa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310 kvadratuli fesvi xarisxidan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15811 kvadratuli fesvebis Semcvel gamosaxulebaTa gardaqmna . . . . . . . . . . . . 16312 saSualo ariTmetikuli da saSualo geometriuli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16713 jgufuri mecadineoba: saSualo ariTmetikulsa dasaSualo geometriuls Soris damokidebulebis gamoyeneba amocanebis amoxsnisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 IV Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 IV TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

V Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1811 funqciis cneba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1822 funqciis mocemis xerxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1893 funqciis grafiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945 wrfivi funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 1 . pirdapirproporciulobis funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 2 . y=kx+b wrfivi funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 proeqti: avagoT wrfe kompiuterSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126 wrfivi gantolebisa da utolobis grafikuli amoxsna . . . . . . . . . . . . . . . 214 es sainteresoa: amocana damoukidebeli kvlevisTvis . . . . . . . . . . . . . . . . 2177 mobruneba, centruli simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2208 wrfivi orucnobiani gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2249 amovxsnaT gantoleba mTel ricxvebSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22810 orucnobian gantolebaTa sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23111 wrfiv gantolebaTa sistemis amoxsna Casmis xerxiT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23512 algebruli Sekrebis xerxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 V Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 V TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

5

VI Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2531 mravalkuTxedebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2542 paralelogramis niSnebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2583 paralelogramis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2614 samkuTxedis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2645 samkuTxedis Suaxazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2676 rombi . rombis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2707 marTkuTxedi . kvadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2728 trapecia . trapeciis Suaxazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2749 marTkuTxa trapecia . tolferda trapecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27710 trapeciis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Tema: simetria gvexmareba amocanebis amoxsnaSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28212 wrewirSi Caxazuli oTxkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28413 wrewirze Semoxazuli oTxkuTxedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 VI Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 VI TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

VII Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 albaTobis Teoriis elementebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3001 albaToba da fardobiTi sixSire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3012 erTnairad mosalodnel elementarul xdomilobaTa albaToba . . . . . . 3093 albaTobis klasikuri gansazRvra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 VII Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 VII TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

VIII Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3271 Talesis Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Tema: Talesis Teoremis gamoyeneba amocanebis amoxsnisas . . . . . . . . . . . . 3302 samkuTxedis biseqtrisis Tviseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3333 samkuTxedis medianebis Tviseba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 jgufuri mecadineoba: medianebis Tvisebis gamoyeneba agebis amocanebSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3384 proporciuli monakveTebi wreSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 VIII Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Seamowme Seni codna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 VIII TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

pasuxebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

6

rogor visargebloT wigniT

wignze muSaobarom gagiadvildeT, mizanSewonilad CavTvaleTgagac-noTwignisagebuleba.wigni Sedgeba Tavebisagan, xolo TiToeuli Tavi_ paragrafebisgan.

yovelTavSimocemuliatestebirubrikiT`SeamowmeSenicodna~.teste-bzemuSaobadagexmarebaTTviTSemowmebasadaSeswavlilimasalisganmt-kicebaSi.wignSiganmartebebidabeWdiliamuqiSriftiT,xoloTvisebebi,formulebi,zogierTisaWirodaskvna_feradfonSi.TiTqmisyovelTavSimocemuliaamTavSigadmocemulmasalasTandaka-

vSirebulisainteresoTema.yovelparagrafSiSexvdebiTzogierTsSem-deginiSnebidan:

- umartivesi kiTxvebi, romelTac axali masalis axsnisprocesSiTavadmoswavlemundagascespasuxi;

-wyvilebSisamuSao;

-SedarebiTrTuliamocana;

-savarjiSoebi,romelicemsaxurebagavlilimasalisgameorebas;

-sagulisxmofaqti.

wignis bolos mocemulia sagnobrivi saZiebelida Semoklebuli aRniS-vnebisTvisgamoyenebulimaTematikuriniSnebi.gTavazobTagreTvezo-miserTeulebs,laTinurdaberZnulanbans,kvadratebiscxrilsdaamo-canebispasuxebs,damxmareliteraturisCamonaTvals.

gisurvebTwarmatebebs!

*

s .f .s .f .

7

I Tavi

amTavSigavixsenebTwinawlisgavlilmasalas;

gavigebT, ra aris gamonaTqvami, xarisxi mTeli

maCvenebliT; gavecnobiT mTYelmaCvenebliani

xarisxisTvisebebs.

SevZlebTY mocemuli gamonaTqvamis sawinaaR-

mdego gamonaTqvamis Camoyalibebas, mcdari

da WeSmariti gamonaTqvamebis garCevas; mTYel-

maCvenebliani xarisxis Semcveli gamosaxule-

bebisgamartivebas.

8

9

testi ¹1

1. udidesisamniSnadaumciresioTxniSnaricxvebisjamiaa)999; b)1999; g)1010; d)1100.

2. a a a⋅ ⋅ ⋅ =...7-jer

1 24 34

a)a7; b) 7a; g)7a; d)7+a.

3. 90-isada75-isudidesisaerTogamyofia:a)9; b) 25; g)15; d)3.

4.Tuaricxvis7-zegayofisnaSTia3,b-siki5,maSina+bricxvis7-zegayofisnaSTia:

a)8; b) 1; g)3; d) 5.

5. Tu a⊗b=2a+3b,maSin2⊗3= a)6; b)5; g)13; d)15.

6.Tu A={3; 5; 7; 9} da B={3; 6; 9; 12}, maSin A∩B= a) {3; 9; 12}; b) {3; 9}; g) ∅; d) A.

7.Tu A={2; 5; 7}; B={2;9}; maSin A B= a) A; b) B; g){2;5;7;9}; d){2;2;5;7;9}.

8. Tu A⊂B,maSin AUB= a) A; b) B; g)∅; d)pasuxsvergavcemT.

9. Tu A⊂B, maSin A∩B= a) A; b) B; g)∅; d)pasuxsvergavcemT.

10.sanergeSi150 muxis,240cacxvisada210 nekerCxlisnergia.yvelazemetiramdenmeurneobazeSeiZlebaganawildesesnergebi,romTiToeulsyvelasaxisnergisTanabariraodenobaSexvdes?

11.erTiwrewirisradiusi8sm-ia,meorisa5sm,maTcentrebsSorismanZiliki_20sm-ia.centrebisSemaerTebelimonakveTiwrewirebs A da B wertilebSikveTs.ipoveT AB monakveTissigrZe.

A∩B

A B

A B

A B

testebi gameorebisaTvis

10

ITavi

testi ¹2

diagramaze mocemulia fermeris mier nakveTzemoweuli bostneulis raodenoba procentebSi.diagramismixedviTupasuxeTSemdegkiTxvebs:

1. moyvanili bostneulidan romelia yvelazemeti?

2. mTelibostneulisranawiliapamidori?

3. ramdenitonakitrimoiyvanes,Tusulmovida150tonabost-neuli?

svetovandiagramazemocemuliaerTiTvisganmav-lobaSimaRaziiaSigayidulisaTamaSoebisraode-nobacalobiT.upasuxeTYSemdegkiTxvebs:

4. ramdenisaTamaSomanqanagaiyida?

5. romelisaTamaSogaiyidayvelazemeti?

6. ramdeni procentiT meti Tojina, gaiyida vi-dreburTi?

7. ipoveT15-is,75-isada120-issaSualoariTmetikuli.

8. ipoveTx,Tux-isada25-issaSualoariTmetikulia15.

9. 20%CawereTwiladissaxiT.

10. 34CawereTprocentissaxiT.

11. ipoveT120-is50%.

12. ipoveTricxvi,romlis10%-ia7.

13. 80-isramdeniprocentia20?

14. ipoveTproporciisucnobiwevri:

a) x5=32; b)

10x=53.

15. 120daSaleT2-isada3-isproporciulnawilebad.

16. ramdenprocentiani xsnari miiReba, Tu erTmaneTsSevurevT15litr12%-ianda5litr16%-ianxsnars.

17. xuTma muSam sam dReSi amoTxara Wa. ramden dReSiamoTxrisaseTiveWas3muSa?

kartofilipamidori

60°

180° kitri

90° badri-

jani

gavixsenoT!

ramdenimericxvissa-Sualo ariTmetiku-liaamricxvebisjamiSefardebulimaTsaveraodenobasTan.

300 250 200 150 100 50

burTebi

robo

tebi

manqanebi

Tojinebi

11

testi ¹3

1.nebismieria-saTvisWeSmaritia:a) |a|>0; b) |a|≥ 0; g) |a|<0; d)|a|≤ 0.

2.ramdenimTeliricxviakmayofilebs|x|≤2utolobas?a)1; b)3; g)4; d)5.

3.zrdismixedviTdalagebulia:a)|4|;|-3|;|5|; b)|0|;|3|;|-5|;g)|-1|;|2|;|-3|. d)|-5|;|0|;|3|.

4.-5-(-7)=a)-12; b)2; g)–2; d)5.

5.|a+b|=|a|+|b|WeSmaritia,Tu:a)a>0; b<0; b)a>0; b<0; g)TuadaberTnairniSniania.

6.5(x–2) = 3x–10 gantolebisamonaxsnia:a) x = 0; b)x = 2; g)araaqvsamonaxsni.

7.|x|= 5,gantolebisamonaxsenTasimravlea:a) {5}; b) {-5}; g){5; -5} .

8. (a+2)x=10gantolebisfesvia2,Tu a= a)1; b)3; g)–2; d)0.

9.5 34816

−

a)2512

; b)–11112 ; g)13

1112 ; d)–2

512

.

10.gamoTvaleT:a) (–3)2 – 11 – (+2): −

112

+ (–12)·23 ·2; b)

5 5 5

5

3 4

2 2⋅ ⋅

( ) ; g)6 212 3

5 6

4 2

⋅ −

( ) ⋅( )

.

11.TuerTisaxazavixTeTriRirs,erTifanqarikiyTeTri,maSinm saxazavi da x fanqarieRireba:a)(x+y)m; b) x(y+m); g)y(x+m); d) xy – mx.

Tu a≥0, maSin |a|=a

Tu a<0, maSin |a| = –a.

gantolebisfesvi(amonaxseni)ariscvla-disismniSvneloba,romlisTvisacganto-lebagadaiqcevasworricxviTtolobad.

12

ITavi

testi ¹4

1. 5° =

a)0; b)5; g)1; d)25.

2. (ab)n =

a)an·b; b)a·bn; g)a·b; d)an·bn.

3.am·an =

a)amn; b) am-n; g)am+n; d)m+n.

4. Tu a≠0,maSinam:an =

a)amn; b)am–n; g)am+n; d)an–m.

5.(am)n=

a)amn; b)am+n; g) am–n; d)mn.

6. 2 22

5 3 5

15

( ) =

a)2; b)25; g)21°; d)215.

7. SemdegiutolobebidanWeSmaritia:

a) 67>26· 37; b)67>27· 37; g)67>26· 39.

8.15a–12b–(a+b)+3a gamosaxulebisgamartivebisSedegadmiiReba:

a)17a–11b; b)18a–13b; g)12a–12b; d)17a–13b.

9.(2x2)3· 18

x2 =

a)x6; b)x8; g) x16; d)14

x6.

10.7359-isbolocifria:

a)7; b)9; g)3; d)1.

13

testi ¹5

1.Tu ada bwrfeebsaqvTzustad 1 saerTowertili,maSineswrfeebi:a)ikveTeba; b)paraleluria;g)erTmaneTsemTxveva; d)pasuxsvergavcemT.

2. Tu C wertili AB monakveTis Siga wertilia da AC:CB=2:3;xoloAB=15,maSin AC= a)6; b)8; g)10; d)12.

3.Tu AB=12 , AC=5da BC=7,maSin:a) A∈BCmonakveTs; b) B∈ACmonakveTs;g) C∈AB monakveTs; d) A, B da CwertilebierTwrfezearmdebareobs.

4. AC sxivi BAM kuTxisbiseqtrisaa.Tu ∠BAC=30°,maSin ∠BAM= a)30°; b)60°; g)90°; d)100°.

5.TumosazRvrekuTxeebidanerTimeoreze40°-iTmetia,maSinamkuTxeTagradusulizomebia:a)70° da110°;b)60° da120°; g)120°da160°; d)40°da80°.

6.TuoriwrfisgadakveTisasmiRebulikuTxeebidanerTi100°-ia,maSinamwrfeebsSoriskuTxea:a)30°; b)120°; g)60°; d)80°.

7.Tu BKmonakveTi ABC samkuTxedismedianaada AK=3sm,maSin AC= a)3sm; b)6sm; g)5sm;d)pasuxsvergavcemT.

8.Tu ABCD marTkuTxedissamiwveroskoordinatebia A(–1;–1); B(–1; 2); C(3;2),maSinDwertilia:a) D(–1; 3); b) D(3;–1); g) D(–2;3); d) D(–1;–2).

9. xRerZismimarT A(2; 3) wertilissimetriuli A1 wertilia:a) A1(-2; 3); b) A1(-2; -3); g) A1(2; -3); d) A1(3; 2).

10. mocemulia A(1;-2) da B(2;-3) wertilebi. y RerZismimarT AB monakveTis simetriuli A1B1 monakveTis bo-loebiskoordinatebia:a)A(-1;-2);B(-2;-3); b)A(1;-2);B(-2;3);g)A(1;-2);B(2;-3); d)A(1;-2);B(2;-3).

11. gadaixazeT naxazirveulSidadaxazeTOBC sam-kuTxedissimetriulisamkuTxedia) xRerZis; b)yRerZismimarT.

A C B

A K C

B

C

M A

B

A

B(1;2)

C(3;1)

1 2 3

1

2

14

ITavi

testi ¹6

1.naxazismixedviTx= a)50°; b)130°;g)100°;d)pasuxsvergavcemT.

x

50°

5. BC= a)5sm;b)3sm;g)6sm;d)pasuxsvergavcemT.

A

5 sm

3sm 3sm C

B

2. naxazismixedviT ∠B= a)65°;b)45°;g)70°;d)90°.

A 65° 45°

C

B

6.AC= a)6sm;b)3sm;g)12sm;d)pasuxsvergavcemT.

A

6 sm

60°C

3.naxazismixedviT CD= a)6sm; b)12sm; g)5sm;d)pasuxsvergavcemT.

B

6 sm

A

O

5 sm

C

D

7. α= a)30°;b)40°;g)60°;d)120°.

2α

α 120°

4. ∠C= a)40°; b)100°; g)50°;d)pasuxsvergavcemT.

A 40°

C

B

8.Tux mTeliricxviTgamoisaxebada∠A≠∠B ≠∠C, maSin x= a)2sm;b)3sm;g)4sm; d)5sm.

B

2 sm

A x

3 sm

C

15

testi ¹7

1. (2a – 5b)2 =a)4a2 – 10ab + 25b2; b)4a2 – 20ab + 25b2;

g)25b2 – 10ab + 4b2; d)25b2 – 20ab + 4b2.

2. (4x2 – 20)2 =a)4(x2 – 5)2; b)2(2x2-1)2; g)16(x2-5)2; d)16(x2-5).

3. 11 3

25 172 2

2 2

-

-

a)1; b)2; g)3; d)4.

4. (5a – 2b)2 – (2a – 5b)2 =a)21(a – b)(a + b); b)21(a + b)2; g)21(a – b)2; d)9(a – b)(a + b).

5. a3 + 27b3 =a)(a + 3b)3; b)(a – 3b)3;

g)(a + 3b)(a2 – 3ab + 9b2); d)(a + 3b)(a2 + 3ab + 9b2).

6. x2 – x – 6 =a)(x – 5)(x + 1); b)(x + 2)(x – 3); g)(x – 2)(x + 3); d)(x – 6)(x + 1).

7. (5x – 1)2 – (5x + 3)2 = –48 gantolebisamonaxsnia:a)x = 0; b)x = 1; g)x = 3; d)x = 5.

8. aCveneT,rom94·11 + 94·74 iyofa17-ze.

9. sxivebisraumciresiraodenobaundagavataroTwertilidan,rommivi-RoT:

a)orimarTidaerTigaSlilikuTxe?

b)gaSlili,maxvilidablagvikuTxe?

g)mezobelsxivebsSorisyvelakuTxeiyosmarTi?

d)mezobelsxivebsSorisyvelakuTxeiyosblagvi?

e)mezobelsxivebsSoriserTikuTxemainciyosmaxvili?

(yvelaSemTxvevisTvisSeadgineTSesabamisinaxazi).

16

ITavi

1 gamonaTqvami

1. SemdegiwinadadebebidanromeliamcdaridaromeliWeSmariti:a)yvelamartiviricxvikentia;b)yvelamTamsvlelisportsmenia;g)yvelasportsmenimTamsvlelia.

winadadebaTa umravlesoba WeSmarit an mcdar azrs gamox-atavs. aseT winadadebas gamonaTqvams uwodeben. magaliTad, wi-nadadebebi„7kentiricxvia“,„giorgibrwyinvalegaerTianebulisaqarTvelosmefeiyo“gamonaTqvamebiada,amavedros,WeSmarit-ic.asevegamonaTqvamebia:„farsmanqvelibagrationia“,„yoveliluwiricxviiyofa6-ze“,magrameswinadadebebimcdarigamonaTq-vamebia.gamonaTqvamiSesaZlebeliaCaweriliiyosmaTematikuriniSnebiTac,magaliTad,„3+7>12“–mcdarigamonaTqvamia.

ise ar unda gavigoT, rom yvela winadadeba gamonaTqvamia.magaliTad: brZanebiTi winadadeba – „guram, Tbilad Caicvi!“,an kidev kiTxviTi winadadeba – „nato, ratom ar mecadineob?“– ar arisgamonaTqvami.radganuazrobaa am winadadebis mimarTdaisvaskiTxva,WeSmaritiaigiTumcdari.ararisgamonaTqvami,agreTve,ganmarteba–„wrewirisoriwertilisSemaerTebelmon-akveTsqordaewodeba“,–radganaqdadgeniliaraRacobieqtissaxelwodeba,amitomamSemTxvevaSicuazrobaadaisvaskiTxva–WeSmaritazrsgamoxatavsesganmartebaTumcdars.

ararisgamonaTqvami„x2–5=4“winadadebac,radganigix-iszo-gierTimniSvnelobisaTvisWeSmaritia,zogierTisTviskimcdari.magramwinadadeba:`nebismierix-saTvisx2–5≠4~arisgamonaTqvami,Tumcamcdari.

daasaxeleTx-isramdenimemniSvneloba,romlisTvisacmiRebuligamonaTqvamiiqneba:

a)mcdari; b)WeSmariti.

gamonaTqvamebipataraberZnuliα, β, γ, δ, ...asoebiTaRvniSnoT.zogjer,msjelobisas,origamonaTqvamisagan„da“,„an“ansxva

kavSiris saSualebiT vadgenT ufro rTul gamonaTqvams. mag-aliTad,winadadeba–„xaSurisaqarTvelosqalaqiadaigimdin-arerionispirasaagaSenebuli“–rTuligamonaTqvamia.igiorigamonaTqvamisaganSedgeba.αgamonaTqvami–„xaSurisaqarTvelosqalaqia“WeSmaritazrsgamoxatavs.βgamonaTqvami–„igi(xaSuri)mdinarerionispirasaagaSenebuli“–mcdarigamonaTqvamia.αdaβgamonaTqvamebierTmaneTs„da“kavSiriTukavSirdebadaradgan

winadadebas, romel-sac SesaZlebeliadaesvas kiTxva _WeSmaritia igi Tumcdari,gamonaTqvamiewodeba.

17

erT-erTi, kerZod, β, mcdari gamonaTqvamia, amitom winadadeba– „xaSuri saqarTvelos qalaqia da igi mdinare rionis pirasaagaSenebuli“–mcdarigamonaTqvamia.

WeSmaritiaTuaragamonaTqvami?

„4naklebia7-zedametia-3-ze?~.

amrigad,TuαdaβgamonaTqvamebia,maSin„αdaβ“kvlavgamonaTqvamia da igi WeSmaritia, roca WeSmaritia α-c daβ-c.sxvaSemTxvevaSiki(TuerTimaincmcdaria)–mcdaria(nax.1).

TuαdaβgamonaTqvamebiSeerTebulia„an“kavSiriT,ma-SingamonaTqvami„αanβ“iqnebamcdari,rocamcdariaα-cdaβ-c,yvelasxvaSemTxvevaSi(TuerTimaincWeSmaritia)ki–WeSmariti(nax.2).magaliTad,gamonaTqvami„7≥3“WeSmaritigamonaTqvamia,radgan„7>3“,„7=3“gamonaTqvamebidanerTi–„7>3“–WeSmaritia.

WeSmaritiaTumcdarigamonaTqvami?

a)5≥5; b)7≤2; g)3≤3.

waikiTxeT 1-eli da me-2 cxrilis TiToeulistriqoni.

magaliTi 1.

arisTuaragamonaTqvamiSemdegiwinadadeba?

a)dedamiwamTvarisTanamgzavria;

b)guram,TuSeiZleba,wignimomawode!

g)5,7·8,81>63.amoxsna:

a)gamonaTqvamiadamcdarazrsgamoxatavs.e.i.mcdarigamonaTq-vamia;

b)ararisgamonaTqvami,radganamwinadadebismimarTuazrobaadaisvaskiTxva,mcdariaigiTuWeSmariti.

g)gamonaTqvamia.davadginoTesgamonaTqvamimcdariaTuWeSma-riti.radgan63=6·9, xolo5,75<6da8,81<9, amitomgamonaTqvamimcdaria.

magaliTi 2.

daadgineT, Semdegi gamonaTqvamebidanromelia mcdaridarom-eliWeSmariti:

a)5<18<12; b)0≤0;g)giorginikolaZeqarTvelimaTematikosiadamanialbuzida-laSqra.

α β αdaβW W W

m W m

W m m

m m mnax.1

α β αan βW W W

W m W

m W W

m m mnax.2

aso„W“aRniSnavssityva„WeSmarits“,aso„m“ki_sityva„mcdars“.

18

ITavi

amoxsna:a)„5<18<12“ikiTxeba:„18metia5-zedanaklebia12-ze“;α-TiaRvniSnoTgamonaTqvami„18>5“.β-Ti–„18<12“.radgan β mcdari gamonaTqvamia, amitom „5<18<12“ mcdari gamo-naTqvamia.b)„0≤0“ikiTxeba:„0naklebiaantolia0-ze“.radganorigamonaTq-vamiSeerTebulia„an“kavSiriT,daerTi„0=0“WeSmaritia,amitom„0≤0“WeSmaritigamonaTqvamia.g)αgamonaTqvamia„giorginikolaZeqarTvelimaTematikosia“;βgamonaTqvamia„manialbuzidalaSqra“.radganαdaβgamonaTqvamebi„da~kavSiriTaaSeerTebuli,daTanorivegamonaTqvamiWeSmaritia, amitomgamonaTqvami_ „giorginikolaZe qarTvelimaTematikosiada man ialbuzidalaSqra~_WeSmaritigamonaTqvamia.

ganvixiloTgamonaTqvami:„VIIIaklasisyvelamoswavledadiscekvaze~. Tu VIIIa klasSi moiZebneba erTi moswavle mainc, ro-melicardadiscekvaze,maSingamonaTqvamiiqnebamcdari.

cxadia,paragrafisdasawyisSimocemuligamonaTqvamebidan:a)mcdaria,radganarsebobserTaderTiluwimartiviricxvi_2;b)WeSmaritia;g)mcdari.

SeavseTgamotovebuliadgilebi:

1. winadadebas, romelsac SesaZlebelia daesvas kiTxva ? ga-monaTqvamiewodeba;

2.„dResdiliTTovda~ ? gamonaTqvamia;3. 20*76 4 ? gamonaTqvamia;4.0≥0 ? gamonaTqvamia;5. 207324iyofa9-zecda4-zec ? gamonaTqvamia;6.gamonaTqvami`αdaβ”WeSmaritia,rocaα ? daβ ? ;7. TuαWeSmaritigamonaTqvamia,maSinαanβ ? ;8. TuαmcdarigamonaTqvamia,maSinαdaβ ? gamonaTqvamia.

savarjiSoebi:

1 daadgineT,arisTuaragamonaTqvamiSemdegiwinadadebadaTuaris,WeSmaritiaigiTumcdari:a)pariziespaneTisdedaqalaqia;b)zaqariafaliaSviligamoCeniliqarTvelikompozitoriadamisiSeqmniliaopera„daisi“;g)rodisgafrindebaadamianimarsze?

19

gasaxseneblad!

N _naturalurricxvTasimravle

Z _mTelricxvTasimravle

Q _racionalurricxvTasimravle

d)delianindoeTisdedaqalaqia,anCineTis;e)mdinaremisisipianindoeTisokeaneSiCaedineba,anSavzRvaSi;v) {9;–7;5} {3;0}={3;0;–7;9;5}; z) ∅⊂{1};T) {0}⊂∅; i) x2 – 3 ≥ 0; k) x2 + 5x4 + 7 ≥ 0;l) a-sadab-snebismierimniSvnelobisTvissruldebaa–b=–(b–a).

2 WeSmaritiaTumcdariSemdegigamonaTqvami:a) 9>5; b) 8∉Z; g) (N Q)⊂Ν; d) 7,2∈Q;e)x-isnebismierimniSvnelobisaTvis x2 + 4 > 0;v) 14 · 252 iyofa 18-ze.

3 daadgineT,arisTuaraSemdegiwinadadebagamonaTqvamidaTuaris,WeSmaritiaigiTumcdari.a) N⊂Z da Z⊂R; b) 7,5∉N da 7,5∈Q; g) –12∈N an 12∈Z; d)

73 ∉Z da

73 ∉Q;

e) 8 < x ≤ 9; v)0 < x2. z) x = 3 aris x2 – 9 = 0 gantolebiserT-erTifesvi;T) x2 – 9 = 0 gantolebisfesviamxolodx = 3; i) yoveli ori mTeli ricxvis jamic da sxvaobac isev mTeliricxvia.k)yoveliorimTeliricxvisnamravlicdaganayoficisevmTe-liricxvia.

4 ipoveT:a)ramdeni5-isjeradiricxvia1-dan300-isCaTvliT?b)ramdeni7-isjeradiricxvia1-dan300-mde?g)ramdenisamniSnaricxviarsebobs,romeliciyofa11-ze?

5 daamrgvaleTsizustiT:a)0,7894meaTasedamde; b)3,51erTeulebamde.

6 isargebleTnimuSiTdaSeavseTcxrili:

43 0,75 75%

0,5

201

0,16

17,5%

20

ITavi

g.nikolaZesamtrediismaxloblad,sofeldidjixaiSSidaibada.dedam–olRaguramiSvilmaganaTlebaSveicari-aSi,ciurixisadaJenevisuniversitetebSimiiRo.samSob-loSidabrunebulikiqarTulsaTavadaznaurogimnaziaSiaswavlida.mama–nikonikolaZegamoCenilisazogadomoR-vawe,publicistidaliteraturulikritikosiiyo.

geometriisadmi midrekileba da didi siyvarulig.nikolaZem skolaSive gamoamJRavna. magram, radgan igiRrmadiyodarwmunebuli,romsaqarTveloskeTildReobauswrafes industrializacias moiTxovda, amitomTbili-sis I gimnaziis damTavrebis Semdeg swavla peterburgis

teqnologiuri institutis qimiur ganyofilebaze gaagrZela. mangadawyvita metalurgi gamxdariyo. Tumca maTematika ara martostudentobis,aramedmTelicxovrebismanZilzedarCamisicxove-liinteresissagnad.mansakmaodmoklexanSidamoukidebladgai-ara fizika-maTematikis fakultetis sruli kursi da ukve 1921-23wlebSi g. nikolaZe sazogadoebas moevlina, rogorc yovelmxrivganaTlebulimaTematikosi.

parizSi yofnisas man gamoigona eleqtruli ariTmometri.eleqtroariTmometris erTi nawili Sekreba-gamoklebis opera-ciebisTvis iyo gankuTvnili, meore nawili ki – gamravleba-gayo-fisTvis.g.nikolaZemramdenimeevropulidaamerikulifirmisaganmaleve miiRo winadadeba am gamogonebis gamoyenebis Taobaze, ma-grammanyvelasuariuTxradamxolodsaqarTveloSidabrunebul-maaagoTavisisaangariSomanqanismodeli,romelicmisigardacva-lebis Semdeg moskovis politeqnikuri muzeumisTvis gadauciaT,magram,samwuxarod,1936welsdakargula.modelisarcaRwerilobadaarcnaxazebiSemorCeniliararis.

g. nikolaZesdidi wvlili miuZRvis qarTuli mecnieruliter-minologiisSeqmnaSi.mandaamkvidraqarTulenaSiterminebi:wer-tili,wrfe,wneva,deni,tanvarjiSi,mTamsvlelobadaa.S.

sporti g. nikolaZis bavSvobisdroindeli gataceba iyo. 1912welsgiorgidaTamar(giorgisda)nikolaZeebipraRisVI“skolis”SekrebaSi monawileobdnen. giorgi, rogorc tanmovarjiSe, dididiplomisadapirvelijildosmflobeligaxda.

qarTuli,dasazogadod,sabWoTaalpinizmismatiane1923wlis28agvistosiwyeba,rocag.nikolaZe18TavisiveaRzrdilTanerTadmyinvarwverzeavida.erTiwlisSemdegkigiorgiawyobsdidsamTolaSqrobasmarSrutiT:zemoimereTi–SidaqarTli–CrdiloeTos-eTi–mamisoniszekari–raWa.kideverTiwelicdaialbuzicdapy-robilia.

g.nikolaZeormocdaoriwlisagardaicvala,magramZalianbev-risgakeTeba moaswro. mas mxolodsicocxlisbolowlebSimiecasaSualebaTavisispecialobiTemuSavasaqarTveloSi.g.nikolaZisiniciativiT didubeSi aigo specialuri sacdeli feromanganumisqarxana,romelic1930wlis21ivnissamuSavda.1931wlis20ianvarsigiqarxanaSi,RumelTangacivdadafiltvebisanTebadaemarTa.5Tebervalskig.nikolaZegardaicvala.igidakrZaluliadidubissazogadomoRvaweTapanTeonSi.

g.nikolaZe(1889-1931w.)

giorgi nikolaZe

21

2 mocemulis sawinaaRmdego gamonaTqvami

ganvixiloTwinadadebebi:

A:`xvalmaTematikaSi10qulasmiviReb~;B:`xvalmxolodfizikaSimiviReb10qulas~;C:`xvalmaTematikaSimiviReb8qulas~;D:`maTematikaSizegmiviReb10qulas~;E:`xvalmaTematikaSi10qulasarmiviReb~.

rogorfiqrobT?B, C, DdaEwinadadebebidanromeliaAgamonaTqvamissawinaaR-mdegogamonaTqvami?

TukargadgaiazreTTiToeuliwinadadeba,maSinadviladmix-vdebiT,romAdaB, aseveAdaCwinadadebebiSesaZloaerTdrou-ladaRmoCndnenmcdari.xoloAdaDgamonaTqvamiSesaZlebeliaerTdrouladiyosanmcdari,anWeSmariti.magaliTad,TuxvalarcmaTematikadaarcfizikagamoiZaxebsmoswavles,maSinAdaBgamonaTqvamebierTdrouladmcdariaRmoCndeba..

daasaxeleT,raSemTxvevaSiiqneba::a)AdaDgamonaTqvamierTdrouladiqnebamcdari,WeSma-riti;b)AdaCgamonaTqvamierTdrouladiqnebamcdari.

AdaEgamonaTqvamebidanki,rocaAWeSmaritia,maSinEmcdariadapiriqiT,rocaAmcdaria,maSinEWeSmaritia.EgamonaTqvamsAgamonaTqvamissawinaaRmdegogamonaTqvamiewodeba.AgamonaTq-vamissawinaaRmdegogamonaTqvamiaRiniSnebaase:A .

A gamonaTqvamis sawinaaRmdego gamonaTqvami WeSmaritia,rocaAmcdariadapiriqiT,mcdariamaSin,rocaAWeSmari-tia.

dawereTmocemuligamonaTqvamissawinaaRmdegogamo-naTqvami:

1.yvelamartiviricxvikentia;2.xuTimetiasamze;3.batkanilomisSvilia;4.iremiararisfrinveli.

A A

W m

m W

cxrilSimocemuliaAdaA gamonaTqv-amebsSoriskavSiri.

A gamonaTqvami damisi sawinaaRmdegoB gamonaTqvami arSeiZlebaiyoserTd-roulad mcdari anerTdroulad WeS-mariti.

22

ITavi

SeavseTgamotovebuliadgilebi:

1.gamonaTqvamebi`∆ABCmarTkuTxaa~da`∆ABCblagvkuTxaa~. ? erTmaneTissawinaaRmdegogamonaTqvamebi.

2.`5>7~gamonaTqvamissawinaaRmdegogamonaTqvamia`5 ? 7“.

3. `giorgi qeraa~ gamonaTqvamis sawinaaRmdego gamonaTqvamia`giorgi ? qera~.

savarjiSoebi:

1 dawereTmocemuligamonaTqvamissawinaaRmdegogamonaTqvamidadaadgineT,romeliamaTganWeSmaritigamonaTqvami:

a)lomimtacebelicxovelia;

b)yvelanaturaluriricxviluwia;

g)2006wlis5ivlissTbilisSi100saaTzemzianiamindiiyo.

d)7≥4; e)3<–2;v)yvelakentiricxvimartiviricxvia;

z)qaTamidReSi5kgsimindsWams.

2 mocemuliagamonaTqvami:̀ yvelaixviwiTelia~.mocemulissawi-naaRmdegogamonaTqvamia:

a)yvelaixviTeTria;

b)arsebobsWreliixvebi;

g)arsebobsixvi,romelicarariswiTeli;

d)yovelifrinveli,romelicararisixvi,wiTelia.

3 winadadebaTa mocemuli wyvilebidan romelia urTierTsa-winaaRmdegodaromeliara.pasuxiaxseniT.

a)3>2da3<2;b)5≥4da5<4;g)24 5 da 24 4;d)TakodediserTaa;Takos3Zmada2dahyavs.

4 qvemoTY mocemuli gamonaTqvamebidan romelia `kokam forte-pianoze dakvra icis~ _ gamonaTqvamis sawinaaRmdego gamo-naTqvami?

a)kokammxolodviolinozedakvraicis;

b)kokamarcerTinstrumentzearicisdakvra;

g)kokamfortepianozedakvraaricis;

d)kokamfortepianosgardayvelainstrumentzeicisdakvra.

mocemuli gamonaTq-vamis sawinaaRmdegogamonaTqvami rom mi-viRoT,saWiroaSemas-menlis windavweroTnawilaki `ara~ an,Tuki aseTi nawilakiukve aris _ movaSo-roTigi.

A – „5 > 2“A – „5 ≤ 2“

23

5 dawereTmocemuligamonaTqvamissawinaaRmdegogamonaTqvamidadaadgineT,romeliamaTganWeSmaritigamonaTqvami.a)TutolferdasamkuTxedisromelime kuTxe60°-ia, maSin istolgverdaa;b)TuorkuTxes,romelTajami180°-iasaerTogverdiaqvs,ma-SinisiniaucilebladmosazRvrekuTxeebia;g)arsebobssamkuTxedi,romlisorigarekuTxe56°da37°-ia.

6 klasis30moswavlidan20%-saqvsSaviTma,70%-syavisferiTma,xolo10%_qeraa.ramdenimoswavleaklasSi,romelsac:a)aqvsanqeraanSaviTma;b)aqvsanyavisferianqeraTma;g)araaqvsqeraTma.

7 ToTxmetsarTulian saxlSi yovel sarTulze 4 binaa. romelsarTulzea:a)bina №##42;b)romelsadarbazoSidaromelsarTulzeabina№##117.

8 ipoveTiseTiricxvi,romlis37037-zegamravlebiTmiiRebamx-olod4-ianebiTCaweriliricxvi.

9 daamtkiceT,rom̀ nebismierixuTimomdevnonaturaluriricx-visnamravliiyofa120-ze~,WeSmaritigamonaTqvamia.

aTwilads, romlisCanawerSic mZimisSemdeg aTwiladiniSnebis sasruliraodenobaa, sasrulaTwiladsuwodeben.

amocanadamoukidebelikvlevisTvis:

10 WeSmaritia Tu mcdari gamonaTqvami: nebismieri orinaturaluri ricxvis Sefardeba sasruli aTwiladissaxiTgamoisaxeba.

24

ITavi

3 xarisxi mTeli maCvenebliT

1.rakanonzomierebasamCnevT

a)naxazzemocemulricxvTamimdevrobas?

b)1000000, 100000 10000, 1000, 100, 10, 101 ,

1001 ,

10001 , ...

mimdevrobas?

mecnierebasa da teqnikaSi xSirad gvxvdeba moduliT Zaliandidi an mcire ricxvebi. magaliTad, dedamiwis moculoba

1 083 000 000 000 km3-ia,wyalbadisatomismasaa ,00...00 1723S

g,wylis

molekulismoculobaki_0,00000003 sm3daa.S.aseTiricxvebisrogorcCawera,asevewakiTxvacmouxerxebelia,amitommaTa·10n

saxiTwarmoadgenen.

magaliTad,350 000 000 = 3,5·108.magramrogorwarmovadginoTa·10nsaxiTwyalbadisatomismasa,wylismolekulismoculobadaa.S.?

ganvmartoTxarisximTelimaCvenebliT:

a1 = a

an = ...a a ajern

$ $ $-

1 2 344 44 , n∈N, n>1.

a0 = 1, Tu a≠0.

a–n = a1n , Tu a≠0 da n∈N.

e.i.0,1= 101 =10–1; 0,001=10–3.

gamoTvaleT: 2–5; 2–4; 3–2.

maSasadame,paragrafSidasmuliproblemaSeiZlebaasegadavw-yvitoT:

,00...00 1723S

= 1,7·10–24

12

14

18

116

132

164

winsarTididiricx-vebisTvisdeka(dk) – 10heqto(h) – 102

kilo(k) – 103

mega(mg) – 106

giga(g) – 109

tera(t) – 1012

mag.,3mgvt= 3·106vt

winsarTimcirericxvebisTvisdeci(d)– 10–1

santi(s)– 10–2

mili(m)– 10–3

mikro(mk) – 10–6

nano(n) – 10–9

piko(pk) – 10–12

mag.,3sm=3·10–2 m.

106 = 1000000105 = 100000104 = 10000103 = 1000102 = 100101 = 10100 = 1;

10–1 = 101 ;

10–2 = 1001

. . .

25

ricxvis standartuli saxe ewodeba mis a∙10n Canawers, sa-dac 1≤a<10, n∈N. n-s mocemuli ricxvis rigi ewodeba .

ganmartebissafuZvelzeCawereTYstandartulisaxiT:a)dedamiwismoculoba; b)wylismolekulismoculoba.ipoveTmaTirigi.

magaliTi 1.

gamoTvaleT:a)(–3)–3; b)–3–4; g) 3–3; d) 43 2–

` j .

amoxsna:

a)(–3)–3=( )31

271

271

3-=

-=- ; g)3–3 =

31

271

3 =-31

271

3 =- ;

b) –3–4 = –( )31

811

4 =- ; d)43

431

34

9162 2–

2= = =``

`jj

j .

SeavseTgamotovebuliadgilebi:

1. 31

3 ?5 = ; 2. 5–7 =

?1 ;

3. 3510...0jer15-S

= 3,51·10 ? ; 4. (–5)–2 = ?1 ;

5. (3–7 +210)0 = ? . 6. 0,0 ...00jer11-S

251 = 2,51·10 ? .

savarjiSoebi:

1 gamoTvaleT:a) (–2)2, (–2)4, (–2)6; b) –22, –24, –26; g) –(–2)2, –(–2)4, –(–2)6; d) (–2)3, (–2)5, (–2)7; e) –23, –25, –27; v)–(–2)3, –(–2)5, –(–2)7.

2 CawereTwiladissaxiT:a) 4–1, 4–2, 4–3, 4–5; b) 7–2, 7–3, 7–8; g) 3–2, 3–3, 3–4; d) 10–1, 100, 10–3; e)18–1, 18–12, 18–18; v) 5–1; 5–2; 5–3.

3 CawereTuaryofiTmaCveneblianixarisxissaxiT:

a) 315 ;

517; 321 ;

641 ;

6251 ;

2431 ;

1000001 ;

b) 0,1; 0,001; 0,00001; 0,125; 0,04; 0,0004.

4 gamoTvaleT:a) (–5)–2, (–5)–1, (–5)–3; b) (–3)–3, (–3)–2; g) (–2)–2, (–2)–5, (–2)0, (–2)–1;d)

32 1

--

` j32 3

--

` j32 3

-` j ; e)–1–5, (–1)–7; v)–0,1–4, (–0,1)–4, (–0,1)–3.z) 9·5–1 – 3·5–2; T) 4·10–2 + 3·10–1; i) –3·3–4; k) 3·25+4·5–1.

ricxvirom107-zegavamravloT,mZimeundagadavitanoT7cifriTmarjvniv.ricxvirom10–7-zegavamravloT(107-zegavyoT),saWiroamZimegadavitanoT7cif-riTmarcxniv.

gasaxseneblad!

an – xarisxia – fuZen – xarisxismaCvene-beli

yuradReba:

–26 = –(26),magram–26 ≠ (–2)6.

26

ITavi

5 CawereTaTwiladissaxiT:a) 5,6·10–3; b) 5·10–7; g) 2,65·10–8; d) 6,75·10–5.

6 gamoTvaleTkalkulatorissaSualebiT:a) 2,5–2·4,3–2; b) 0,11·10–3·0,112; g)8–7·(11–10).

7 CawereTstandartulisaxiT:a)2700...0

18S

; b) 0,00...07S

136; g) 1560...09S

; d)0,0...018S

17.

8 CawereTstandartulisaxiT:a)ramdenikuburimilimetria1kuburmetrSi;b)1m3-isranawilia1mm3;g)Jangbadisatomismasa 0,0 ...00

22S

2662g-ia.

9 gripis virusis zomebia daaxloebiT 10–4mm. CawereT es ricxviaTwiladissaxiT.

10 CawereTricxviTimonacemiaTwiladissaxiT:a)elvisxangrZlivoba:10–4wm;b)atomisdiametri:10–10m;g)dedamiwiszedapirisfarTobi:5,11·108 km2;d)dedamiwisxmeleTisfarTobi:1,49·108 km2.

11 evropelastronomTa erTmajgufma1995 w. aRmoaCina axaligalaqtika.cnobilia,romvarskvlavTaamsistemidandedami-wamde signalma moaRwia 11-dan 15 miliardamde wlis ganmav-lobaSi.daaxloebiTrisitoliSeiZlebaiyosumciresi,Se-sabamisadudidesimanZiliamgalaqtikidandedamiwamde,Tucnobilia,romsignaliwamSidaaxloebiT300 000km-sgadis.

12 SeavseTcxrilimocemulinimuSismixedviT:

21,35 = 20 + 1 + 0,3 + 0,05 = 2·10 + 1·100 + 3·10–1 + 5·10–2

105,102 =2015,011 =0,1021 =

13* zrdasruliadamianissxeulSisaSualod5lsisxlimoZrao-bs.1 mm3 sisxliSeicavs5·106 wiTelsxeuls.ramdeni wiTelisxeuliazrdasruliadamianissisxlSi?

14 generatorigamoimuSavebs 900 mgvtsimZlavrisenergias.ram-deni60 vt-ianinaTurisanTebaaSesaZlebelierTdroulad.

15 dedamiwismasisadamzismasisSefardebatolia1 : 330 000. ipoveTmzismasa,TudedamiwismasadaaxloebiT 6·1024kg-ia.

16 saaTizustdrosyoveldRiurad 10–11wamiTCamorCeba.mwar-moebeliakeTebsreklamas:„saaTizustdros xwlisganmav-lobaSi1wamiTCamorCeba“.ipoveTx.

2–6 SegiZliaTkalku-latorisdaxmarebiT

advilad

gamoTvaloT:

2 xy 6 +-

27

17 manZili dedamiwidan mzemde 1,49·108 kilometria. sinaTlissxivissiCqarea300000km/wm.radroSiaRwevssinaTlissxivimzidandedamiwamde?

18 varskvlavi, romelic dedamiwidan 1,57·1015 km-iTaa daSore-buli afeTqda. ramdeni wlis Semdeg daafiqsirebs am faqtsdedamiwazeteleskopi?

19 WeSmaritiaTuaragamonaTqvami:`orimTeliricxvis:

a)jami;b)sxvaoba;g)namravli;d)Sefardeba

isevmTeliricxvia~.

20 saTburSipataramonakveTzedargesyvavili,romelicyovelkviraSi ormagdeba (orjer met farTobs faravs). 11 kvirisSemdegnakveTimTlianaddaifarayvavilebiT.ramdenkviraSidafaravdanakveTs2yvavili?

21 warmoadgineTsxvaobissaxiT:a)1 21$;b)

2 31$;g)

3 41$.

22 gamoTvaleTadvilixerxiT:1 21$

+ 2 31$

+ 3 41$

+ 4 51$

+ ... + 9 101$

.

23 navsadguridandinebis sawinaaRmdegomimarTulebiTmoto-rianinavigaemgzavra,romlissakuTarisiCqare10km/sT-ia.45wuTisSemdegmotorigaCerdadamdinarisdinebamnavi3saaTis Semdeg isev navsadgurSi daabruna. ipoveT mdinarisdinebissiCqare.

amocanadamoukidebelikvlevisTvis:

mecnierebismierdadgenilia,rom18wlisasakamden wlisadamianebs

dRe-RameSiundaeZinoTm saaTi,sadacmgamoiTvlebaformuliT:

m=8+ n2

18 - .formulismixedviTupasuxeTSemdegSekiTxvebs:

a)TqvenramdenisaaTiundageZinoT?

b)ramdenisaaTiundaeZinoTTqvens18 welzenaklebiasakisojaxiswevrebs?

g)romelsaaTzeundadawveT,rom8 saaTzegaiRviZoT?

28

ITavi

4 mTelmaCvenebliani xarisxis Tvisebebi

1. ipoveT1dm3moculobismqonewyalbadismasa,(wyalbadissimkvrivea9·10–5g/sm3).amoxsna:1 dm3=1000sm3=103sm3. simkvrivis gamosaTvleliformulaa

ρ= mV (mnivTierebismasaa, V_moculoba).

aqedanm = ρV. m = 9·10–5smg

3 ·103 sm3 = 9·10105

3

; m = 9·10–2 g.

mTelmaCveneblian xarisxs gaaCnia naturalurmaCvenebliani xa-risxisanalogiuriTvisebebi.rocaa, b ≠ 0, dam, n∈Z sruldeba:

1. am · an = am+n; 2. am : an = am–n;

3. am · bm = (ab)m; 4. ba

ba

m

m m

= ` j ;

5. (am)n = amn.

rogorccnobilia,am:an=am–n,rocam>n>0, m,n∈N. a∈R\{0}.ganvixiloTam : an,roca0<m<n da m, n∈N.adviladmixvdebiT,romiarsebebsiseTi k∈N,romn = m + k.

am : an = am

an = am

am+k = am

am·ak = 1ak = a–k = am–n.

davamtkicoTmTelmaCveneblianixarisxiszogierTiTviseba:

1. am∙an=am+n, a∈R\{0}, m,n∈Z.

damtkiceba:

1) m>0da n < 0.vTqvaT,n = –k, k∈N,maSinam · an = am · a–k = |ganmarteba:a–k =

1ak

am · 1ak =

am

ak = |tolfuZianixarisxebisgayofa

= am–k = am+n . r.d.g.

2) m < 0dan < 0.vTqvaTm = –k, n = –p, k,p∈N,maSin

am · an = a–k · a–p = 1ak ·

1ap =

1ak+p = a–(k+p)=am+n..r.d.g.

amiTpirveliTvisebadamtkicebulia.

2. am : an = am–n, a∈R\{0}, m,n∈Z.damtkiceba:

am : an = am · 1an = am · a–n = am–n.r.d.g.

1dm=10sm1dm3 =1000sm3

wyalbadi

H HH H

2H2

29

(an)m = amn,n,m∈N

3. (am)k = amk, a≠0, m, k∈Zdamtkiceba:esTvisebaukvedamtkicebulia,roca m, k>0 (VIIklasSi).ganvixiloT,rocamda k-danerTimaincuaryofiTia.

I. k<0dam>0.vTqvaT,k=–n, n∈N,maSingveqneba:

(am)k = (am)–n = 1(am)n = 1

amn = a–mn = am(–n) = amk.r.d.g.

II. m<0da k>0.vTqvaT, m = –p, p∈N,maSin:

(am)k = (a–p)k = ( 1ap)k

= 1(ap)k

= 1apk = a–pk = a(–p)k = amk.r.d.g.

III. m<0dak<0.vTqvaT, m=–p da k=–n, p,n∈N,maSin:

(am)k = (a–p)–n = ( 1ap)–n

= (ap)n = apn = a(–p)(–n) = amk.r.d.g.

advilisanaxavia,rom,rocamdak-danerT-erTimaincnulisto-lia,CvensmierCamoyalibebuliTvisebamarTebulia(Tavaddar-wmundiT!).

Tavad daasabuTeT mTelmaCvenebiani xarisxis danarCeniTvisebebi.

magaliTi 1.kalkulatorissaSualebiTgamoTvaleT

32 4-

` j .amoxsna:davweroTTanamimdevrobakalkulatorisaTvis:

2 ÷ 3 = yx 4

+- = 5,0625

32 4-

` j = 23 4

` j = 1681

magaliTi 2. gaamartiveT:

a) x7 · x–10; b) x–8 : x2; g) 8–8·0,125–8; d) (32)–4. amoxsna:a) x7 · x–10 = x7+(–10) = x–3; b) x–8 : x2 = x–8–2 = x–10;g)8–8 · 0,125–8 = (8·0,125)–8 = 1–8 = 1. d)(32)–4 = 3–8 =

318 =

65611 .

magaliTi 3.gaamartiveTgamosaxuleba:a) 98

28562

6

3$-

- -

; b) a b

a b

3

274 4 7 3

3 5 4

- -

- -

^^

hh .

amoxsna:

a) 9828

562

6

3$-

- -

= 2 7

2 7 7 22 2

2 6

3 3

$

$ $-

- -

^^ ^

hh h =

2 72 7 7 24

12 6

2 3 9

$$ $ $

- -

- - - -

= 2 72 7

12 6

11 7

$$

- -

- -

= 72 .

b) a b

a b

3

274 4 7 3

3 5 4

- -

- -

^^

hh =

a b3

33

4 3 4 3 7 3

4 3 4 5 4

- - - -

- - - -^ ^ ^h h h = 3 a b

a b3 12 12 20

12 12 21- -

- -

= a24b–41.

30

ITavi

SeavseTgamotovebuliadgilebi:

1. tolfuZianixarisxebisgamravlebisasfuZe ? ,xarisxismaCve-neblebiki ? .

2.tolmaCveneblianixarisxebisgamravlebisasfuZeebi ? ,xarisxismaCveneblebiki ? .

3.55

9

7

=5 ? ; 4. (5–3)–7 ==5 ? ; 5. 2107

7 = ? .

savarjiSoebi:

1 ipoveTgamosaxulebismniSvneloba:a) 3–5 · 38; b) 74 · 7–8; g) 4–6 · 4–3; d) 9–4 · 90;e) 27 : 2–2; v) 5–4 : 52; z) 7–19 : 7–18; T) 6–4 : 6–2;i)

43

435 7

$-

` `j j ; k)87 4-

` j : 87 4-

` j ; l) 0,5–1 · 0,5–7; m) 2,5–9 : 2,5–7.

2 warmoadgineTxarisxissaxiT: a) 125·5–7; b) 25:5–12; g) 81·3–7; d) 64:2–7; e)

81 ·2–4; v)

271 :3–5; z) 625:

51

7-; T)

491 ·7–9.

3 gamoiangariSeTzepirad:a) 24 · 54; b) 3–2 · 5–2; g) 0,254 · 44; d) 20–2 : 10–2; e) 86 : 46;v) 123 : 43; z) 5–2 ·

53 2-

` j ; T) 10–4 · 51 4-

` j ; i) 32 · 52; k) 105 : 55.

4 gaamartiveTgamosaxuleba: a) (a+b)2(a–b)2; b) (m+n)–3(m2–mn+n2)–3; g) (x–y)–6(–x–y)–6.

5 gaamartiveT:a) (32)4; b) (54)3; g) (2–3)3; d) (7–2)–1;e) (x3)–2; v) (a–4)5; z) (y2)–7; T) (m–2)–4.

6 CawereTumciresinaturalurifuZismqonexarisxissaxiT:a) 165; b) 25–3; g) 10000–4; d) 81–5;e) 9–2k; v) 125k+1; z) 49–p+1; T) 625–7m.

7 gaamartiveT:a) ((–3)2)–3; (–32)–3; –(32)–3; b) ((–0,5)–1)2; –(0,5–1)2; (–(0,5)–1)2;

g)2 49

14 73

7 10

$

$-

-

;d)25 7

125 496 8

4 5

$

$-

-

; e)27

1-

15 625$–6 2

;v)( )

( )

m n

m n123 4 1

5 2 2

- - -

-

.

8 ipoveTkubismoculoba,TuwibossigrZea: a)1,5·10–3; b)5·10–5; g)3,1·102; d)8·104.

31

9 ramdeninuliTbolovdebaricxvi:

a) (1010)7; b) 10(107); g) (10100)(10100); d) 10((1010)10).

10 Tu210 ≈ 103,maSindaaxloebiTrasididisricxvia: a) 260; b) 272; g) 436.

11 daamtkiceT, rom samniSna ricxvi, romelic Cawerilia mx-oloderTianebiTada4-ianebiT,arSeiZlebaiyosmartivi.

12 1 kg puris Rirebuleba 1/5-iT gaiafda. ramdeni procentiTunda gaZvirdes puri, rom misi Rirebuleba Tavdapirvelsgautoldes?

13 benzinisfasijer50%-iTgaZvirda,Semdegki10%-iTgaiafda.ramdeniprocentiTmetiaaxlabenzinisfasiTavdapirvelTanSedarebiT?

14 masSemdeg,racmgzavrmagaiara1kmdadarCeniligzisnaxevari,mas gasasvleli darCa mTeli gzis mesamedi da kidev 1 km.ramanZilihqondamgzavrsgasavleli?

15 ipoveT:

a) (7k+1)2saxisricxvis7-zegayofisSesaZlonaSTi;b)srulikvadratis3-zegayofisSesaZlonaSTebi;g)srulikvadratis7-zegayofisSesaZlonaSTebi.

16 skolaSi 1400 moswavlea. 1250-ma moswavlem TxilamurebiTsrialiicis, 952-maki – cigurebiT.60moswavleversrialebsverc cigurebiT da verc TxilamurebiT. ramdeni moswavlesrialebsTxilamurebiTdacigurebiT?

17 daamtkiceT,rom:

a)5·107 + 4·104 + 102 + 2 iyofa3-ze;b)8·106 + 4·103 + 2·10 + 4 iyofa9-ze.

32

ITavi

ITavisdamatebiTisavarjiSoebi:

1 WeSmaritiaTumcdariSemdegigamonaTqvami:a)A F=A,sadacF⊂A; b) A F=A; g){0} ∅=∅;d)arsebobsluwimartiviricxvi;

e)yvelasamniSnanaturalurricxvTasimravleSeicavs 899 elements;v)ricxvi ab5 kentiricxviadaigiiyofa5-ze;z)nebismierinaturaluriricxvisme-4xarisxianiyofa5-ze,an5-zegayofi-sasnaSTSi1-siZleva;T)x2 + 7 ≥ 0 x-isnebismierimniSvnelobisaTvis; i) x2≤0;k)beqadabeSqenopizrebianxuroTmoZvrebiiyvnenanmxedarTmTavrebi;

l)gelaTismonasterianimereTSia,anguriaSi;

2 CamoayalibeTmocemulissawinaaRmdegowinadadeba:a)mocemulgantolebaserTaderTiamonaxseniaqvs;

b)alazaniTelavSimiedineba;

g)mocemulisamkuTxedimaxvilkuTxaa;

d)samkuTxedisSigakuTxeebisjami270°-ia.

3 SemdegwinadadebebSiamoarCieTpasuxi(a;b;g;d)ise,romgamovidesWeSma-ritigamonaTqvami:

I. TusamkuTxedisorigverdia8mda15m,maSinmesamegverdiSeiZlebaiyos:a)7m; b)16m; g)23m; d)6m.II. TuoTxkuTxedissamigverdia2m,5,2mda10,3m,maSinmeoTxegverdiarSei-Zlebaiyos:

a)3,1m; b)4,3m; g)13,6m; d)17,2m.III. TuABCDoTxkuTxedSiAB=3,1m;BC=5,8m;CD=AD=6,3m,maSinBDdiagonalissigrZeSeiZlebaiyos:

a)3m; b)3,5m; g)8m; d)9,1m.

4 ipoveTgamosaxulebismniSvneloba:a)19,9·18 – 19,9·16 + 30,1·18 – 30,1·16;b)(17,7654 + 2·0,1173) – (4,65433 + 0,69134:2);g)15,5·20,8 – 3,5·9,2 + 15,5·9,2 – 3,5·20,8;d)(3,8·5,99 + 4,01·3,8) – (7,4·3,85 + 3,7·2,3).

5 ipoveTgamosaxulebismniSvneloba:

a) ; b) ;

g) ; d) .

33

6 CawereTricxvebistandartulisaxiT:a)2700000; b)49000; g)0,00078; d) 0,0000071;e)345·105; v)0,005·10–6; z)0,07·109; T)2567·10–7.

7 gamoTvaleT:

a)5,4(2·10–3); b) ; g) ; d) .

8 gaamartiveT:

a) ; b) ; g) ; d) ;

e) ; v)(a2b)–3; z)(x–1)–2(x+1)–2; T)(–x–2y3)–3;

i)(–0,33)–3; k)(5–2)–2; l)(10–3)–2; m)(–0,1a3)–3.

9 gaamartiveT:

a) ; b) ; g) ; d) ;

e) ; v) (1–x2)–3(1–x2)4; z) ; T) .

10 ricxvebi1,4; 64; 41 ;

161 ;

641 CawereTmTelmaCveneblianixarisxissaxiT,rom-

lisfuZea4.

11 ricxvebi1; 9; 243; 31 ;

811 ;

2431 CawereTmTelmaCveneblianixarisxissaxiT,

romlisfuZea 3.

12 a4; a8; a–6; a–14; a–28 sidideebiCawereTmTelmaCveneblianixarisxissaxiT,rom-lisfuZeaa2.

13 mocemuliricxviTigamosaxulebaCawereTerTixarisxissaxiT.

a)32·2431 ·(81)2·3-3; b) 9

1:274

:4816

:12181`` j j .

14 mocemuligamosaxulebaCawereTiseTixarisxissaxiT,romlisfuZeaa.

a)(a3:a)2:(a2:a3)3; b)((a–2)–2)–2:(a:a–1)2.

34

ITavi

15 SeadareTerTmaneTsmocemuliricxvebi:

a)227da414; b)3-37da9-18;

g) 12

29

` j da41 15

` j ; d)31 25-

` j da271 8-

` j .

16 ipoveTgamosaxulebismniSvneloba:

a)b

a a b2 3

2 2 3 5

$ $-

- -

^^

hh

,Tua=34 ; b=

43 ; b)

b aba a

3

3

2 2

$$

-

-

^^

hh,Tua=

91 ; b=

32 ;

g)b b

a a2

3 3 2 5

3 2 2

$

$-

-

^ ^^ ^

h hh h

,Tua=1,2; b=0,2; d)( )

a b ab

ab a2 3 2

3 3

$

$- - -

- -

^ h ,Tua=1,2; b=0,2.

17* daamtkiceT,rom:

a)259+517iyofa30-ze; b)1213–1212+1211iyofa7-sada19-ze;

g)2710–914iyofa24-ze; d)119–118+117iyofa3-sada37-ze;

e)1723–853iyofa3-sada29-ze; v)883+873iyofa 25-sada7-ze.

35

SeamowmeSenicodna:

1. Semdegiwinadadebebidan I. 0≤0; II. ∅⊂N; III. x-isnebismierimniSvnelobisaTvis x2>0WeSmaritia:

a)mxolod I; b)mxolod II; g)mxolod III; d) I da II.

2. a>5 gamonaTqvamissawinaaRmdegogamonaTqvamia:

a) a<5; b)a≤5; g) a≥5; d) a=5.

3. sasruliaTwiladissaxiTCaiwereba:

a) ; b) ; g) ; d) .

4. a5 : a–7 =

a) a–2; b)a12; g)a–12; d) a35.

5. (a–3)7=

a)a4; b)a21; g) a–21; d) a–4.

6. (–16)·(1:25)·23 =

a)–4; b)4; g)2; d)–1.

7. 32·25·23 2-

` j =

a)62; b)34; g)27; d)25.

8. 12 2

18 3 44

3 2 3

$

$ $ =

a)18; b)81; g)36; d)12.

9. 0,00 011...-jer 1357ricxvisstandartulisaxea:

a)135,7·10–14; b)1357·10–15; g)1,357·10–12; d)0,1357·10–11.

10. 1020·163·x8 gamosaxulebakvadratissaxoTromwarmovadginoT,miviRebT:

a)(100·16x4)2; b)(1010·43x4)2; g)(102·162x4)2; d)(105·43x2)2.

36

I TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva

α β αdaβW W Wm W mW m mm m m

α β αanβW W WW m Wm W Wm m m

cxrilSimocemulia

AdaA gamonaTq-

vamebsSoriskavSiri.

A A

W m

m W

13 =0,(3); 16 =0,1(6)

perioduliaTwiladebia

105 = 100 000

10–5 = 1105

= 0,00001.

●winadadebas,romelsacSesaZle-beliadaesvaskiTxva_WeSmaritiaigi Tu mcdari, gamonaTqvamiewodeba.

● A gamonaTqvamis sawinaaRmdegogamonaTqvami mcdaria, roca AWeSmaritiadaamrigad,WeSmaritia,roca Amcdaria.

●mocemuligamonaTqvamissawinaaRmdegogam-onaTqvamirommiviRoT,saWiroaSemasmenliswin davweroT nawilaki `ara~ an, Tuki aseTinawilakiukvearis_movaSoroTigi.

● ricxvs, romelic SesaZlebelia warmovadgi-noT mn wiladis saxiT, sadacm∈Zdan∈N,ra-cionaluriricxviewodeba.

●usasruloperioduliaTwiladebicraciona-luriricxvebia.

●TuukveciwiladismniSvneliarSeicavs2-isada 5-is garda sxva martiv mamravls, maSin eswiladigadaiqcevasasrulaTwiladad.

winaaRmdeg SemTxvevaSi miiReba perioduliaTwiladi.

●xarisximTelimaCvenebliT.a1 = aan = a a a

n

⋅ ⋅ ⋅...-jer

1 24 34 , n∈N, n>1.

a0 = 1, Tu a≠0.

a–n = 1an , Tu a≠0 da n∈N.

●Tvisebebi:

1. am · an = am+n; 2. am : an = am–n;

3. am · bm = (ab)m; 4. ba

ba

m

m m

= ` j ;

5. (am)n = amn. ●AdaA gamonaTqvamebidanerTiaucilebladmcdariadaerTiaucilebladWeS-maritia.

A – „5 > 2“A – „5 ≤ 2“