Matematika komputasi - maspeb.com

DIII TEKNIK INFORMATIKA

KOMPUTASI MATEMATIKA MATHEMATICA DAN MATLAB

Hartatik,M.Si dan Tim

KOMPUTASI MATEMATIKA

MATHEMATICA DAN MATLAB


DIII TEKNIK INFORMATIKA | FMIPA UNS

2

BAB I PENGENALAN PAKET PROGRAM

KOMPUTASI MATHEMATIKA # TUJUAN# KEBUTUHAN APLIKASI :mathematica dan matlab

1.1 MENGENAL MATHEMATICA

mathematica merupakan suatu sistem aljabar komputer (CAS,Computer Algebra System)

yang mengintegrasikan kemampuan komputasi(simbolik,numerik),visualisasi(grafik),bahasa

pemrograman dan pengolahan kata (word prosessing) ke dalam suatu lingkungan yang

mudah digunakan.

sistem matematica terdiri atas 2 bagian :

1. front end : berupa interface dengan lingkungan kerjanya yang disebut notebook.

2. kernel: komputasi matematiknya

dalam bab ini akan dibahas tentang :

1. mengenal lingkungan kerja

2. aturan dasar syntak mathematica

3. kalkulasi numerik

4. komputasi simbolik

5. list dan matrik

data-- komputasi -- informasi[not number]

a. Diharapkan mahasiswa, dapat mengoperasikan,memilih paket program komputasi

matematika yang sesuai (mathematica dan matlab) dengan baik

b. Dapat memberikan informasi berdasarkan permasalahan yang ada, tidak hanya output

berupa angka





3

1.2 Memulai Program Komputasi (Mathematica dan Matlab)

Cara memulai mathematica:

1. double klik ikon front end mathematica dan kernel akan secara otomatis akan bekerja

pada background window mathematica.

2. pada lingkungan kerja windows mathematica terlihat bagian notebook yang terpisah

dari baris menu.

3. bagian sel yang dicetak tebal merupakan "input", hasilnya ditampilkan pada sel

"output".

4. nomor input dan output dinyatakan dengan ln[n] dan out[n], dengan n adalah bilangan

bulat positif

5. kedua lambang "in dan out" disembunyikan melalui kernel --> show In/Out Names

6. Mathematica juga menyediakan banyak pallete yang memudahkan dalam penulisan

operasi operasi, yaitu cukup hanya mengklik tombol tombol yang diperlukan. Pallete

tersebut dapat dimunculkan dengan mengklik file--pallete

7. jika memerlukan bantuan : help-->help-->Browser





4

ada beberapa pilihan dalam help browser yaitu : built in fucntion (menjelaskan fungsi

buil in mathematica serta contoh penggunaannya), add-ons (menjelaskan fungsi

tambahan yang digunakan dalam kalkulus, aljabar linear dsb.

Di dalam MatLab :

Setelah proses loading usai, akan muncul command prompt di dalam command window:

>> Dari prompt inilah kita bisa mengetikkan berbagai command M ATLAB, seperti halnya command prompt di dalam DOS. Sebagai permulaan, mari kita ketikkan command date : >> date setelah menekan Enter, akan muncul

ans = 05-Mar-2013





5

1.3 Bekerja dengan mathematica

1.3.1 aturan dasar syntaks mathematica. 1. nama nama fungsi built in mathematica dimulai dengan huruf besar, tanpa spasi dan tanpa

underscore"_". Jika suatu fungsi terdiri dari 2 kata atau lebih, huruf pertama masing masing

kata menggunakan huruf kapital. dapat pula didefinisikan fungsi baru yang sebaiknya dimulai

dengan huruf kecil untuk membedakan dengan fungsi built in.

contoh fungsi built-in : Log, ParametricPlot

contoh fungsi baru : MySqrt, myStandartDeviation

2. perintah matemathica bersifat sensitif , sineSINEsin

3. tanda kurung siku [...] menyatakan argumen fungsi, (..) menyatakan pengelompokan

operasi.Kurung kurawal {..} menyatakan list, domain, atau iterator.kurung siku ganda [[...]]

menyatakan indeks suatu list.

Berikut ilustrasi penggunaannya:

Fungsi Love…

4. operator aritmatik:

^ : pangkat *atau spasi : kali / : bagi + : tambah - ; kurang

argumen fungsi : Sin[x], f[x]

pengelompokan : (x-1)^10-Log[(2x+3)/(x+4)]

list : List1={1,3,5,7}

domain : Plot[Sin[x]/x,{x,-10,10}]

iterator : Sum[i^3, {i, 1,n}]

indeks : List1[[3]], menghasilkan "5"





6

keterangan: a. penambahan atau pengurangan : memiliki preseden lebih rendah dari pada perkalian

yang juga memiliki preseden lebih rendah dari pangkat

b. perkalian yang diawali simbol selain angka harus menggunakan notasi : spasi atau *

c. perkalian angka dan simbul dapat menggunakan simbil spasi, * atau tanpa spasi

contoh1: benar : c u, c*u, 4 u, 4u, 4*u, 4(u) [praktekkan] (X) salah : cu, u2 1.3.2 memasukkan dan mengevaluasi input

setelah menuliskan perintah atau operasi pada sel, tekan shift dan enter lalu lepas

bersama sama. cara yang lebih ringkas adalah dengan tekan enter di bagian numerik. karena

didalam sel notebook, enter hanya berfungsi sebagai pemindah kursor.

Contoh 2:

salah penulisan:

2+3 4! 2+3*4 2*3^2 Sin[Pi/3] Sin[Pi/2]

BAGAIMANA HASILNYA? COBA ANDA JELASKAN

Sin [pi/3]

sin[Pi/3]

Sin [pi/3]

Sin pi3

General ::spell1 : Possible spelling error : new symbol

sin 3

Sin pi3





7

cari penyelesaian, untuk x=pi: a. cos 5x b. tan 2x c. cos 5x+tan 2x

Latihan1:

MENGGAMBAR GRAFIK:

Plot[Sin[x],{x,0,Pi}]

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Plot[Sin[x],{x,0,2Pi}];

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1





8

Untuk beberapa fungsi matematika bisa dituliskan dalam satu perintah saja, yaitu:

1.3.3 mengacu ke hasil sebelumnya

Mathematica mampu mengingat semua input dan output pada suatu sesi.untuk mengacu ke hasil

sebelumnya, dapat digunakan tanda persen (%). tanda persen tunggal mengacu ke output trakhir,

tanda %% mengacu ke output kedua terakhir, out[n] : mengacu ke out[ke-n].

Sebagai contoh:

Misalkan bahwa contoh 3, berikut ini adalah outpt terakhir,

Sin 2, Sin

3, Sin

4,Sin

5, Sin

6,Sin

12

1,32

,12

,12 1

25 5 , 1

2,

1322

Sin 2, Sin

3, Sin

4,Sin

5, Sin

6,Sin

12

1,32

,12

,12 1

25 5 , 1

2,

1322

Plot[Sin[3x],{x,0,2Pi}];

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

Plot[Sin[x],{x,0,2Pi}];

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1





9

Maka apabila kita ketikkan % maka akan terlihat nilai berikut:

LAKUKAN :

1.3.4 Bekerja di dalam notebook

Mathematica notebook dapat digunakan sebagai lembar kerja untuk memasukkan input

komputasi maupun pengolah kata. sebuah notebook memiliki grup grup sel yang berdiri sendiri

maupun sebuah hirarki. sebuah grup sel input mislanya, merupakan tempat masukan komputasi

dan hasilnya muncul pada grup sel output.

Sebuah dokumen dapat pula diorganisasikan ke dalam title, subtitle, subsubtitle, section,

subsection, sub subsection.

keseluruhan grup dapat dipilih melalui menu : format--> style

contoh 4:

%

1,

32

,12

,12 1

25 5 , 1

2,

1322

%3

%%%

%%%%%

%8

nama mahasiswa

TEKNIK INFORMATIKA FMIPA UNS

Merupakan salah satu program unggulan di teknik informatika UNS adalah program studi TI,

di mana lulusannya diharapkan bisa memenuhi keinginan pasar.





10

contoh 5:

1.1.3 BEBERAPA FUNGSI MATEMATIKA

Mathematica memiliki fungsi yang sangat banyak . gambar 1.7 adalah beberapa fungsi di dapal matematika

contoh 6:

I.KOMPUTASI MATEMATIKA

1.1 pendahuluan

mempelajari tentang aturan penulisan

Two important points about functions in Mathematica. Sangatlah penting untuk selalu ingat bahwa dalam mathematica setiap instruksi harus

di dalam bracket atau [ ] Parentheses in Mathematica are used only to indicate the grouping of terms, and never

to give function arguments.

Log[8,4]

Log[8.4] 2.12823

23





11

4 Sqrt[16] Sqrt[5] Sqrt[5] //N

The presence of an explicit decimal point tells Mathematica to give an approximate numerical |HITUNG nilai 3029...1. Computing factorials like this can give you very large numbers. You should be able to calculate up to at least 2000! in a short time (Wowww…) 30! 265252859812191058636308480000000 Nilai ini bisa dituliskan dalam bentuk yang lebih simple/numeric. 30! //N N[30!] Beberapa nilai penting dalam matematika:

Contoh penggunaan : Sin[20 Degree] //N 1.4 PENULISAN EKSPRESI

1.4.1 SIMBUL

a.Simbul dituliskan dengan: guruf, rangkaian huruf-angka, karakter, lambang tertentu

b. Semua simbul di awali dengan huruf besar atau diawali dengan $

c. contoh : simbul ( abg,u5ma, ca, Sin, Log, Mod)

bukan simbul (4u)

2.652531032

2.652531032

LAKUKAN JUGA UNTUK LATIHAN DI BAWAH INI





12

1.4.2 BILANGAN Secara umum ada 4 macam bilangan : a. integer

b. Real c. Rasional d. Complex

Contoh 7 :

Tanpa perintah tertentu pula, matematika akan secara otomatis mengevaluasi ekspresi bilangan bulat, rasional, dan kompleks secara eksak. Contoh 8:

(3/4)(1/5)

NUMERIK"N" evaluasi hasil secara numerik, yang merupakan hampiran dari ekspresi tersebut. Contoh 9: 1.4.3 STRINGS Karakter String adalah karakter yang ditampilkan dengan tanda :" "

32033

{Integer,Real,Rational,Complex}

Head1, 1.0, 12,1

Head 1,1.0, 12, 1 ;

1.73205

1.73205

N3

3 N





13

Contoh 10:

Kustomisasi text pada notebook:

Colors[%,RGBColor[1,0,0]]

1.4.4 PENGISIAN EKSPRESI

1.4.5 PENGGABUNGAN EKSPRESI (Pembuatan Variabel) dalam penggabungan ekspresi bisa dituliskan dengan kebawah dalam satu group atau kesamping

dengan pemisahan tanda kutip.

Contoh 11:

1. apabila tanda "" tidak ditampilkan dalam tampilan

"Praktikum Komputasi Matematika"

Praktikum Komputasi Matematika

2. Apabila "" ditampilkan dalam rangkaian kalimat

"\"Praktikum Komputasi Matematika\""

"Praktikum Komputasi Matematika"

3a+b

a 4;b aa 4;b a





14

1.4.6 EVALUASI EKSPRESI

ekspresi dievaluasi bisa juga dnegan menggunakan : "/."

1.5 OPERATOR 1.5.1 operator ARITMATIKA

Contoh 12:ekspresix2 x 1,ingindievaluasi denganx 2





15

1.5.6 Relational and Logical Operators

contoh: 5<7&&34 True COBA LAKUKAN UNTUK :





16

1.2. MATLAB

1.2.1. Mengenal Matlab

Matlab adalah bahasa pemrograman level tinggi yang dikhususkan untuk komputasi

teknis. Bahasa ini mengintegrasikan kemampuan komputasi, visualisasi dan pemrograman dalam

sebuah lingkungan yang tunggal dan mudah digunakan. Matlab memberikan sistem interaktif

yang menggunakan konsep array/matrik sebagai standar variabel elemennya tanpa membutuhkan

pen-deklarasi-an array seperti pada bahasa lainnya. Dalam lingkungan pendidikan, Matlab

menjadi alat pemrograman standar bidang Matematika.

1.2.2. Bekerja dengan Matlab

Dalam melakukan pekerjaan pemrograman menggunakan bahasa Matlab, anda dapat

menggunakan salah satu cara yaitu :

Cara #1 :

Dengan menggunakan window Command Window. Window ini berfungsi sebagai

penerima perintah dari pemakai untuk menjalankan seluruh fungsi-fungsi yang disediakan oleh

Matlab.Misalnya : Untuk membuat program, perintah-perintah diketikkan pada prompt Matlab

dalam command window seperti yang ditunjukkan pada Gambar (1.1).

Gambar 1.1 Command Window pada Matlab





17

Gambar 1.2 Cara Penulisan pada Command Window

Cara #2 :

Cara selanjutnya adalah dengan menggunakan File M. Kelebihan cara ini dibanding cara

sebelumnya adalah kemudahan untuk mengevaluasi perintah secara keseluruhan. Gambar (1.2)

menunjukkan contoh pembuatan program dengan menggunakan file M.

Gambar 1.3 Matlab Editor





18

1.2.3. Sintak dasar Matlab

Beberapa hal penting yang harus diperhatikan dalam penulisan sintak adalah :

1.1.Penamaan variabel bersifat case sensitive

1.2.Panjang nama variabel tidak dapat melebihi 31 karakter

1.3.Penamaan variabel harus selalu diawali dengan huruf.

1. Variabel

Pada Matlab, tipe data yang dikenal hanya ada dua yaitu Numeric dan String. Ada beberapa cara

penulisan variabel pada Matlab yang dapat digunakan sesuai jenis data yang ingin diolah, yaitu :

1. Data Numerik Tunggal :

1.1.1. Cara penulisan

Gambar 1.4. Tampilan penulisan variable data numeric tunggal

2. Data Numerik Berdimensi Banyak (Array/Matrik)






19

Gambar 1.5. Tampilan penulisan variable data numeric berdimensi

banyak

1.1.2. Cara pengaksesan

Gambar 1.6. Tampilan pengaksesan variable data numeric berdimensi

banyak





20

Gambar 1.7. Tampilan pengaksesan elemen baris tertentu

Task :

1.1.2.1. Bagaimana pengaksesan dengan kolom tertentu?? Let’s try!

1.1.2.2. Bagaimana mengakses untuk baris dan kolom sekaligus?

3. Data String/Teks :


Gambar 1.8. Tampilan penulisan Data String/Teks.





21

2. Operasi Matematika

Operasi matematika dalam pemrograman Matlab sangat sederhana, sama halnya dengan

memakai kalkulator biasa. Berikut adalah tabel operator matematika yang digunakan dalam

pemrograman Matlab.

Gambar 1.9. Contoh operasi matematika

Gambar 1.10. Contoh operasi matematika pada matriks





22

3. Operasi Bilangan Kompleks

Kelebihan lain dari pemrograman Matlab adalah kemampuannya dalam mengolah data bilangan

kompleks tanpa membutuhkan deklarasi variabel khusus untuk itu. Berikut adalah cara

mendeklarasikan variabel untuk bilangan kompleks.

Gambar 1.11. Contoh operasi bilangan kompleks

4. Fungsi Umum Matematika

Tabel () menunjukkan fungsi-fungsi matematika umum yang sering digunakan.

.





23

1. tuliskan Text sesuai tulisan dibawah ini:

KOMPUTASI MATHEMATIKA Mata Kuliah Komputasi Matematika menggunakan "Software Mathematica versi 5". Dimana

dengan software ini saya akan lebih bisa memahami mata kuliah sebelumnya serta mata Kuliah

yang berhubungan dengan Mk ini.

Dibuat oleh : Nama mahasiswa dan NIM

2. BUATKAN PLOT(dengan matematica dan matlab) :

a. sin 2x, untuk x dari -π sampai π

b. sin x, untuk x dari -π sampai π

3. gunakan operator logika untuk soal berikut, dan selidiki kebenarannya

4. Definisikan fungsi berikut:

a.4 51dan4 22

b.10 5atau5.6 40

fx x32x210, tentukanf5danf4

soal latihan awal:

Komputasi Matematika

Komputasi Kalkulus


BAB II

KALKULUS

Tujuan

Setelah mengikuti praktikum ini, diharapkan mahasiswa dapat melakukan operasi-

operasi hitung yang berkaitan dengan kalkulus dengan menggunakan paket program

matematica dan matlab dengan baik, dan dapat mengembangkan untuk operasi hitung yang

lebih kompleks.

kompetensi :

2.1Fungsi

2.2 Grafikfungsi

2.3Limit

2.4 Kekontinuan

2.5TurunanFungsi

2.6Integral

2.7ContohAplikasi

2.8LatianSoal


Komputasi Kalkulus


2.1 Fungsi

2.1.1 Pendefinisian Fungsi

: = (SetDelay)

Lambang " : = " (SetDelay) menyatakan bahwa suku di sebelah kanannya tidak dievalusi

saat pendefini-sian, tetapi baru dievaluasi setiap saat suku di sebelah kirinya (fungsi f)

dipanggil.

Contoh:

Fungsi f akan menghasilkan pangkat tiga dari argumennya

= ( Set )

Contoh:

Coba fikirkan apa beda penggunaan SetDelay dan Set ?

Clear

Seringkali definisi fungsi atau ekspresi mengalami modifikasi. Nilai maupun definisi

fungsi atau ekspresi sebelumnya dapat dihapus dari memori dengan menggunakan

perintah Clear.

fx_: x3

f2

fa

f1

fx_ x22x

f2

fa


Komputasi Kalkulus


Contoh:

Perintah Clear[ f, x ] berikut akan menghapus nilai maupun definisi f dan x yang mungkin

sudah pernah didefinisikan sebelumnya.

Clear[f,x]

f[x_]:=2x+3

f[a+b]

f[1]

/ ; (Condition)

Simbul " / ; " dapat digunakan untuk menyatakan domain fungsi.

Contoh:

Berikut ini pendefinisian suatu fungsi susun beserta grafiknya.

f[x_]:=x/;0 x<1

f[x_]:=1/;1 x<2

f[x_]:=3-x/;2 x 3

Plot[f[x],{x,0,3}]

2.1.2 Fungsi Matematik

Berikut ini diberikan beberapa fungsi matematik yang penting.

Sqrt [ x ] : akar kuadrat ( )

Exp [ x ] : eksponensial ( )

Log [ x ] : Logaritma asli ( x )

Log [ b, x ] : Logaritma basis b ( x )


Komputasi Kalkulus


Sin [ x ], Cos[ x ], Tan [ x ] : fungsi-fungsi trigonometri ( argumen dalam radian)

Round [ x ] : bilangan bulat terdekat ke x

Max [ x, y, ... ] , Min [ x, y, ... ] : maksimum / minimum dari x, y, ...

Floor [ x ] : bilangan bulat terbesar yang x

Ceiling [ x ] : bilangan bulat terkecil yang x

2.1.3 Penyelesaian Persamaan

Mathematica menggunakan tanda " ==" (Equal) pada persamaan yang akan dicari

penyelesaiannya.

Contoh-contoh:

Solve[x^2 9,x]

Solve[Sin[x] 1,x]

NSolve[x^2 10,x]

NSolve[x^2+x-2 0,x]

Coba fikirkan apa perbedaan penggunaan Solve dan NSolve ?

Solve juga dapat digunakan untuk menentukan solusi persamaan simultan. Perhatikan dua

cara berikut:

Solve[{x 1+2y,y 3+2x},{x,y}]

pers={x 1+2y,y 3+2x};Solve[pers,{x,y}]

LATIHAN: Kerjakan Soal Latihan 2.8 nomor 1 s/d 3........ (3 POIN)


Komputasi Kalkulus


2.2 Grafik Fungsi

2.2.1 Grafik Dua Dimensi

2.2.1.1 Plot

Cara termudah untuk menampilkan grafik fungsi dalam dua dimensi adalah dengan

perintah Plot. Perintah berikut akan menghasilkan grafik fungsi f dengan domain ( ,

)

Contoh:

Grafik fungsi f(x) = dengan domain -1 x 1.

Grafik 2 fungsi pada domain yang sama.

Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,- , }]

2.2.1.2 Opsi dan Gaya Tampilan

Opsi Grafik

Tampilan grafik dapat diatur sesuai dengan yang diinginkan, dengan memberikan

opsi tertentu. Setiap opsi dituliskan dalam sintaks:

Nama Option nilai

Jika terdapat lebih dari satu opsi, masing-masing opsi dipisahkan dengan tanda koma.

Plotfx, x, xmin, xmax

Contoh:

Plotx2, x, 1, 1


Komputasi Kalkulus


Contoh:

Grafik f(x) = dengan domain -1 x 1 berikut diberi label, garis grid dengan bingkai, dan

juga interval tampilan x (-2, 2) dan y (-1, 2). Untuk keempat keperluan tersebut,

berturut-turut dinyatakan dengan opsi PlotLabel, GridLines, Frame,dan PlotRange.

Gaya Tampilan Grafik

Opsi grafik yang digunakan untuk mengatur gaya tampilan grafik adalah PlotStyle.

Dengan opsi ini, dapat diatur mengenai warna ( RGBColor [ . . . ]), jenis garis ( Dashing[

. . . ]), ketebalan garis (Thickness[ . . . ]), dll.

Contoh:

Grafik sin(x) ditampilkan dengan ketebalan garis 1% dari lebar grafik, sedangkan grafik

cos(x) ditampilkan dengan garis terputus-putus dan panjang 2% dari lebar grafik. Kedua

grafik tersebut ditampilkan pada domain -3 x 3.

Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,3,3},PlotStyle {Thickness[0.01],

Dashing[{0.02}]}];

Ada beberapa cara untuk memberikan efek warna. Perintah RGBColor[ r , g , b]

menyatakan warna yang tersusun dari r , g, dan b persen warna merah, hijau, dan biru.

Misalnya: RGBColor[1,0,0] adalah warna merah, sedangkan RGBColor[1,0,1] adalah warna

Plotx2, x, 1, 1, PlotLabel "Grafik fxx2", GridLines Automatic,

Frame True, PlotRange 2, 2, 1, 2


Komputasi Kalkulus


ungu (campuran warna merah dan biru). Parameter r, g , dan b harus bernilai mulai dari 0

hingga 1.

Contoh:

Grafik , - , dan x digambarkan masing-masing dengan warna ungu, merah, dan hijau.

Plot[{x^2,x^2,x},{x,3,3},PlotStyle {RGBColor[1,0,1],RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0

]}];

2.2.2 Grafik Tiga Dimensi

Perintah untuk menampilkan grafik permukaan pada ruang berdimensi tiga

menggunakan Plot3D. Argumennya berupa fungsi dua variabel beserta masing-masing

domainnya.

Contoh:

Berikut ini ditampilkan grafik fungsi z = sin( ) dengan domain - x dan - y

, dan meberikan label x , y, dan z pada masing-masing sumbunya.

LATIHAN: Kerjakan Soal Latihan 2.8 no. 4...................(1 POIN)

2.3 Limit

2.3.1 Limit Fungsi

Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi f jika x mendekati nilai tertentu, misal

, Mathematica menyediakan perintah dengan sintaks:

Plot3DSinx2y2, x, , , y, , , AxesLabel "x", "y", "z"


Komputasi Kalkulus


Limit [ f , x ]

Contoh:

Berikut ini plot fungsi yang diberi warna merah dengan domain -2 x 2,

kemudian ditentukan nilai limit fungsi tersebut untuk x 0 dan x 1

Clear[f,x]

Jika fungsi f didefinisikan lebih dahulu, langkahnya sebagai berikut:

Limit[f[x],x 0]

Limit[f[x],x 1]

2.3.2 Limit Kiri dan Limit Kanan

Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi f jika x mendekati dari arah bawah (kiri),

digunakan sintaks:

Limit [ f , x , Direction 1]

Jika x mendekati dari arah atas (kanan), digunakan sintaks:

Limit [ f , x , Direction -1]

Plotx22x3, x, 2, 2, PlotStyle RGBColor1, 0,0

Limitx22x3, x 0

Limitx22x3, x 1

fx: x22x3

x0

x0

x0


Komputasi Kalkulus


Contoh:

Fungsi f(x) = 1/x ditentukan nilai limitnya untuk x mendekati = 0 dari kiri maupun

kanan.

Limit[1/x,x 0,Direction 1]

Limit[1/x,x 0,Direction -1]

Jika di cek dengan melihat grafiknya, terlihat sebagai berikut:

Plot[1/x,{x,-3,3}]

Terlihat nilai limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanan, menurut kuliah teori, apa

kesimpulannya ?

Sekarang , jika fungsi f(x) = ditentukan limit kiri/ kanannya untuk x

mendekati 1, sebagai berikut:

Terlihat limit kiri = limit kanan , di dalam kuliah teori, diperoleh kesimpulan apa ?

2.4 Kekontinuan

Dalam kehidupan sehari-hari, istilah kontinu digunakan untuk menjelaskan suatu

proses yang berjalan tanpa terputus oleh gangguan. Dalam matematika istilah kontinu

mempunyai arti yang serupa dan didefinisikan sebagai berikut.

Definisi: Kekontinuan fungsi di satu titik.

x0

x2 2x 3

Limitx22x3, x 1, Direction 1

Limitx22x3, x 1, Direction 1


Komputasi Kalkulus


Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Fungsi f dikatakan

kontinu di a jika f(x) = f(a).

Catatan: Jika fungsi f kontinu di a, maka grafik fungsi f merupakan suatu kurva yang

tidak terputus di sekitar a.

Contoh:

Diketahui f(x) = | x+2 | x. Berikut ini diselidiki kekontinuan fungsi f di x = -2.

Clear[f]

f[x_]:=Abs[x+2] x

f[-2]

Diperoleh f (-2) = 0. Selanjutnya diselidiki nilai limitnya dengan melihat nilai limit kiri dan

limit kanannya.

Limit[f[x],x -2,Direction 1]

Limit[f[x],x -2,Direction -1]

Terlihat nilai limit kiri = nilai limit kanan = 0, sehingga disimpulkan f(x) = 0. Dari

hasil-hasil di atas, diperoleh f(x) = f(-2), sehingga menurut definisi di atas, f kontinu

di x = -2.

Terlihat pada grafik, fungsi f tersambung di sekitar x = -2.

Plot[f[x],{x,-5,3}]

Konsep kekontinuan di satu titik dapatdiperluas menjadi kekontinuan fungsi pada selang.

limx2

limx2


Komputasi Kalkulus


Definisi: Kekontinuan pada selang.

1. Fungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka (a, b) jika fungsi f kontinu di setiap

titik x (a, b).

2. Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tertutup [a, b] jika fungsi f kontinu pada (a, b)

dan f(x) = f(a) serta f(x) = f(b).

Contoh: Diketahui fungsi f(x) = . Berikut ini ditentukan nilai-nilai x sehingga

fungsi f kontinu.

Daerah definisi fungsi f, yaitu , adalah himpunan semua nilai x sehingga f(x0 bernilai

real, yang dipenuhi jika x + - 1 0

.

Dengan menggunakan Mathematica, dipanggil dulu paket program InequalitySolve

pada folder Algebra.

<<AlgebraÌnequalitySolve`

Diperoleh = (0, ). Selanjutnya dilihat nilai f(a) untuk setiap a (0, ).

f[a]

limxb

x 2

x1

Df

2

x

InequalitySolvex2

x1 0,x

Df

Clearf

fx_: x2

x1


Komputasi Kalkulus


Kemudian ditentukan nilai limit fungsi f(x) untuk x a.

Limit[f[x],x a]

Diperoleh f(x) = = f(a). Jadi f kontinu pada selang (0, ).

Dari grafik terlihat fungsi f tersambung (kontinu) pada selang (0, ).

Plot[f[x],{x,0,10}]

LATIHAN : Kerjakan Soal Latihan 2.8 no. 5b, 6, 7a dan 7b......................( 4 POIN)

2.5 Turunan Fungsi

Untuk menentukan turunan suatu fungsi, Mathematica menyediakan perintah

dengan D

Contoh:

Berikut ini ditentukan turunan fungsi f(x) = + 2x - 1 terhadap variabel x

Cara lain menentukan turunan dapat menggunakan tanda '. Untuk cara ini, fungsi f perlu

didefinisikan lebih dahulu.

Clear[f,x]

f'[x]

Dengan menggunakan perintah D, sebagai berikut:

D[f[x],x]

Cara lain untuk menentukan turunan fungsi, dengan mengklik simbul pada Palletes

limxa1 2

a a

x2

Dx22x1, x

fx_: x22x1

x 2x1


Komputasi Kalkulus


Untuk menentukan turunan tingkat ke-n , digunakan perintah dengan sintaks : D [ f , {x

, n}]

Clear[f,x]

D[f[x],x]

D[f[x],{x,2}]

2.6 Integral Fungsi

2.6.1 Integral Tak Tentu

Untuk menentukan nilai integral tak tentu suatu fungsi f , Mathematica

menyediakan perintah dengan sintaks:

Integrate [ f , x ]

Selain itu, juga dapat mengklik simbul pada Palletes.

Contoh:

Jika fungsi f didefinisikan lebih dahulu, langkahnya sebagai berikut:

Integrate[f[x],x]

f[x] x

2.6.2 Integral Tertentu

t t2 2t

fx_: x32x2x

Integratex22x1, x

x22x1x

fx_: x22x1


Komputasi Kalkulus


Untuk menentukan nilai integral tertentu suatu fungsi f terhadap variabel x ,

dengan batas bawah integral adalah xmin dan batas atas integral adalah xmax, digunakan

sintaks:

Integrate [ f , {x , xmin , xmax}]

Selain itu juga dapat dengan cara mengklik simbul yang ada pada Palletes.

LATIHAN : Kerjakan Soal Latihan 2.8 no. 8a, 9a, 9b.......................(3 POIN)

2.7 Contoh Aplikasi

2.7.1 Contoh Aplikasi Turunan

Keuntungan hasil penjualan komputer suatu pabrik (dalam ribu $) untuk waktu

tertentu t (tahun) dapat disajikan sebagai suatu fungsi f dengan f(t) =

. Akan ditentukan waktu kapan hasil penjualan mencapai

maksimum atau minimum serta berapa nilai keuntungan tersebut. Kemudian hasilnya di cek

dengan menunjukkan grafik fungsinya.

Langkah-langkah penyelesaiannya sebagai berikut:

Didefinisikan fungsi f terlebih dahulu

Clear[f,t]

Integrate3x22x, x, 0, 1

0

13x22xx

t3 92t2 234t 158

ft_: t392t2234t158


Komputasi Kalkulus


Selanjutnya ditentukan turunan pertama dari f

trn1=D[f[t],t]

Untuk menentukan titik-titik ekstrimnya (titik maksimum/ minimum) dilakukan dengan

cara menyelesaikan turunan pertama yang sama dengan nol

NSolve[trn1 0,t]

Diperoleh titik ekstrim di t = 0.92265 dan t = 2.07735. Selanjutnya untuk menentukan

apakah titik-titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum atau minimum, ditentukan

lebih dahulu turunan kedua dari fungsi f. Kemudian titik-titik ekstrim tersebut

disubstitusikan ke fungsi yang merupakan turunan kedua f. Jika diperoleh nilai yang

positif, maka berarti titik ekstrim tersebut merupakan titik minimum.

Tetapi jika nilainya negatif, maka berarti titik ekstrim tersebut merupakan titik

maksimum.

trn2=D[f[t],{t,2}]

6t-9/.t 0.92265

Karena pada t = 0.92265 nilai turunan keduanya adalah -3.4641 (yaitu negatif), maka

titik t = 0.92265 adalah titik maksimum. Jadi keuntungan hasil penjualan mencapai

maksimum pada waktu t = 0.92265 (tahun). Hasil keuntungan tersebut adalah nilai fungsi

pada titik tersebut, ditentukan sebagai berikut:

f[0.92265]

Jadi hasil keuntungannya adalah 0.3849 ribu $.

6t-9/.t 2.07735


Komputasi Kalkulus


Karena pada t = 2.07735 nilai turunan keduanya adalah 3.4641 (yaitu positif), maka titik t

= 2.07735 adalah titik minimum. Jadi keuntungan hasil penjualan mencapai minimum pada

waktu t = 2.07735 (tahun). Hasil keuntungannya adalah:

f[2.07735]

Jadi perusahaan mengalami kerugian sebesar 0.3849 ribu $ pada saat t = 2.07735

(tahun)

Selanjutnya di cek dengan melihat grafiknya.

Plot[f[t],{t,0,3}]

2.7.2 Contoh Aplikasi Integral

Salah satu aplikasi integral adalah untuk menghitung luas daerah yang dibatasi dua

grafik fungsi. Pada contoh ini akan ditentukan luas daerah yang terletak diantara grafik

fungsi y1 = - 2 dan y2 = - +6 pada domain fungsi -2 x 3.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

Diplot lebih dahulu grafik fungsi y1= -2 (dengan warna merah) , dan y2 = - +6 (dengan

warna biru). Dengan perintah FilledPlot, daerah antara grafik fungsi y1 dan fungsi y2

akan diwarnai dengan warna tertentu.Untuk menggunakan perintah tersebut, perlu

dipanggil lebih dahulu paket FilledPlot pada folder Graphics.

x2 x2

x2 x2

Graphics̀ FilledPlot̀

FilledPlotx22, x26, x, 2, 3,

PlotStyle RGBColor1, 0,0, RGBColor0, 0, 1


Komputasi Kalkulus


Selanjutnya ditentukan titik potong kedua grafik tersebut.

Ternyata titik potong kedua grafik pada x = -2 dan x = 2. Untuk menentukan luas daerah

antara kedua grafik pada -2 x 3 , menggunakan rumus (dari kuliah teori) :

Luas daerah = +

Dengan Mathematica, dilakukan sebagai berikut:

Jadi luas daerah yang dibatasi oleh grafik y1 dan y2 pada domain -2 x 3 adalah 26

(satuan luas).

LATIHAN: Kerjakan Soal latihan 2.8 no. 11 .........(1 POIN)

2.1. Fungsi

2.2. Grafik Fungsi

Pada tingkatan pemodelan matematika, teknik visualisasi data sangat penting untuk

dapat mengetahui karakteristik suatu data. Matlab menyediakan teknik visualisasi data

hingga tiga dimensi. Berikut diberikan contoh teknik visualisasi data menggunakan Matlab.

Solvex22 x2 6, x

22 x2 6 x2 2dx 2

3x2 2 x2 6dx

Integratex2 6 x22, x, 2, 2 Integratex22 x2 6, x, 2, 3


Komputasi Kalkulus


2.2.1. Grafik Fungsi Dua Dimensi

(liat di file modul praktikum matlab 1, hal 19, teknik visualisasi data)

2.2.2. Grafik Tiga Dimensi

2.3. Limit

(liat contoh modul praktikum pemrograman 13)

Matlab memiliki kemampuan untuk menghitung limit dari sebuah fungsi dengan

perintah limit. Sebagai contoh,

>> syms x;

>> f=x^3+3*x^2-4*x+10;

>> g=2*x^3+10*x^2-4*x+10;

>> limit(f/g,inf)

Hitunglah keluaran hasil dari fungsi limit tersebut!

Jawaban :


Komputasi Kalkulus


Latihan : Dapatkan hasil limit dari ungkapan berikut ini :

1.

2.

3.

2.4. Kekontinuan

2.5. Turunan Fungsi (modul 1.doc)

>> syms x;

>> y=x^3+2*x^2+6*x+7;

>> z=diff(y)


Komputasi Kalkulus


Apa keluaran perhitungan differensial tersebut ?

z = 3*x^2+4*x+6 Merupakan turunan dari fungsi y.

Task :

1. Bagaimana turunan kedua dari fungsi y?

Jawab :

z = 6*x+4 merupakan turunan kedua fungsi y.

Latihan :

1. Buatlah program differensial dengan menggunakan Matlab, gunakan dengan

inputan.

2.6. Integral Fungsi


Komputasi Kalkulus


Pada Matlab, untuk menentukan integral suatu fungsi dapat menggunakan fungsi

inline dan fungsi quad. Fungsi inline digunakan untuk menampung fungsi integralnya,

sedangkan fungsi quad digunakan untuk menghitung hasil nilai integralnya.

Misalnya : Menentukan nilai integral dari fungsi …

Step 1 : Pada command window Matlab ketik :

1.1. Menampung fungsi dengan fungsi inline :

1.2. Menghitung nilai dengan fungsi quad :

→ (y,-1,2) artinya y = fungsi integral yang diroses, -1 = batas bawah dari integral, dan 2 =

batas atas dari integral.

Step 2 : Dengan menggunakan M-File

2.7. Interpolasi


Komputasi Kalkulus


2.8. Contoh Aplikasi

2.8.1. Contoh Aplikasi Turunan dengan Matlab.

Latihan :

1. Jika y= x2 .cos3x , maka tentukanlah turunan pertamanya.

2. Jika ƒ(x)= 6 x2− 4x+ 1 maka tentukanlah nilai dari f’(2).

3.

2.8.2. Contoh Aplikasi Integral


Komputasi Kalkulus


2.9. Contoh Aplikasi dengan Matlab


Komputasi Kalkulus


2.8 Soal-Soal Latihan

Kerjakan soal-soal berikut:

1. Definisikan fungsi f(x) = + 2 - 10 , kemudian tentukan f(5) dan f(-4).

2. Selesaikan persamaan 2 - 4x + 2 = 0, berikan solusi eksak maupun numeriknya.

3. Gambarkan grafik f yang memenuhi f(x) =

4. Gambarkan grafik y1 = 2 + 4 dan grafik y2 = 6 - pada domain 0 x 2 , dengan

y1 dan y2 masing-masing diberi warna merah dan biru , diberi bingkai dan label "Grafik

Fungsi".

5. Tentukan nilai limit dari fungsi f(x) berikut untuk x 1, kemudian gambarkan fungsinya

untuk domain -2 x 5 :

a. f(x) = + 2x -1

b. f(x) =

6. Diketahui fungsi f(x) = . Tentukan limit kiri maupun limit kanan fungsi f(x) untuk

x 3. Apa kesimpulan yang saudara peroleh ?

7. Apakah fungsi f berikut kontinu di x = 2 ? Jika tidak, jelaskan alasannya.

a. f(x) = 4 - 2x + 12

b. f(x) =

Cek lah dengan menggambar grafik fungsinya.

8. Tentukan turunan pertama maupun kedua dari fungsi-fungsi berikut:

a. f(x) = 10 + 2 - 5x

b. g(x) =


Komputasi Kalkulus


c. h(x) = (2x)

d. l(x) = sin ( cos 3x )

9. Tentukan nilai integral berikut:

a.

b.

c.

d.

10. Diketahui fungsi f(x) = -2 + 3

a. Tentukan titik-titik kritis f(x)

b. Tentukan titik maksimum/ minimumnya (gunakan turunan kedua)

11. Tentukan 2 bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan yang hasil kalinya maksimum.

12. Dono mempunyai 200m kawat duri yang ia rencanakan untuk memagari ladang

berbentuk persegi panjang. Jika diinginkan agar luas maksimum, berapa ukuran panjang

dan lebarnya ?

13. Tentukan luas bidang datar yang dibatasi oleh kurva-kurva y = dan y = 2x - .

Gambarkan bidang datar tersebut.

14. Tentukan luas daerah R di bawah kurva y = - 2 + 2 antara x = -1 dan x = 2

15. Seorang manajer perusahaan komputer memperhitungkan bahwa penggunaan

seperangkat peralatan akan menghasilkan penghematan operasi pada perusahaan. Dari


Komputasi Kalkulus


data yang lalu, untuk jangka waktu pemakaian sampai dengan 10 tahun, kecepatan

penghematan operasi adalah f(x) dolar per tahun bila peralatan tersebut telah dipakai

selama x tahun, dengan f(x) = 4000x + 1000.

a. Berapa jumlah penghematan ongkos operasi dalam 5 tahun pertama ?

b. Jika harga peralatan tersebut $36.000, dalam berapa tahun harga peralatan

tersebut kembali ?


Komputasi Kalkulus


2.7 APLIKASI TURUNAN DAN INETGRAL

APLIKASI turunan, misalkan di bidang penjualan.

Suatu perusahaan komputer.keuntungan penjualan dituliskan dengan f t

t3 9

2t2

23

4t

15

8.. akan ditentukan waktu kapan penjualan tertinggi dan terendah,

dan berapa keuntungan yg bisa diperoleh pada saat itu?

penyelesaian :

berarti menggunakan konsep titik maksimum dan minimum.

1. mendefiniskan fungsi f(x)

2. mennetukan turunan pertama dari f.

3. cari peyelesaian turunan pertama.

4. mengecek apakah t merupakan titik maksimum atau minimum.(jika f'(t)>0--> titik balik minimum

dan sebaliknya)

maka :

Clearf, x

ft_ : t3 9

2t2

23

4t

15

8

trn1 Dft, t

23

4 9 t 3 t2

NSolve23

4 9 t 3 t2, t

t 0.92265, t 2.07735

trn2 D23

4 9 t 3 t2, t

9 6 t

maka dimasukkan untuk nilai : t0.92265,t2.07735 ke dalam trn2, diperoleh :

9 6 t . t 0.92265

3.4641

9 6 t . t 2.07735

3.4641

didapatkan nilai trn2 (0.92265) < 0, maka t = 0.92265 merupakan titik balik maksimum, atau pen-

jualan tertinggi pada tahun ke - 1. dan penjulan tertendah pada tahun ke - 2. di bulan bulan awal.

dengan keuntungan/kerugian :

f0.92265

0.3849

f2.07735

0.3849

perusahaan akan mencapai kerugian sebebsar $384,9dan dipresikai akan mencapai kerugian sebesar $384 di tahun

ke-2.

2.7 .2 APLIKASI INTEGRAL

diaplikasikan untuk menghitung luas daerah. misal,

tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y1 x2 2, y2 x2 6, domain 2 x 3

penyelesaian :

1. plot grafik y1 dan y2

2. tentukan titik potong kedua grafik

3.tentukan luas daerah

maka :

Plotx2 2, x2 6, x, 2, 3, PlotStyle RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1, Filling 1 2

2 02 a hartatik_slide aplikasi D dan Integral 2012 - Copy.nb

Plotx2 2, x2 6, x, 2, 3, PlotStyle RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1,

Filling 1 2, Epilog Blue, Text"y1x22", 2.5, 5, Text"y2x26", 2.5, 1,

Red, Text"Luas I", 0, 2, Text"Luas II", 2.4, 2

Solvex^2 2 x^2 6, x

x 2, x 2

maka luas

daerah : Luas I Luas II yaitu2

2

x^2 6 x^2 2 x 2

3

x^2 2 x^2 6 x

maka dengan mathematica:

LuasI 2

2

x^2 6 x^2 2 x

LuasII 2

3

x^2 2 x^2 6 x

64

3

14

3

luasdaerah LuasI LuasII

26

atau dengan cara langsung :

Integratex^2 6 x^2 2, x, 2, 2 Integratex^2 2 x^2 6, x, 2, 3

26

jadi luasan daerahnya adlah : 26 satuan

02 a hartatik_slide aplikasi D dan Integral 2012 - Copy.nb 3

PlotSinx, x, 0, 2 Pi, Filling Axis, FillingStyle Red

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

ListLinePlot1, 3, 2, 5, 2, Filling Axis

Plotx2 2, x2 6, x, 2, 3, PlotStyle RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1,

Filling 1 2, Frame True, FillingStyle Orange

2 1 0 1 2 3

2

0

2

4

6

4 02 a hartatik_slide aplikasi D dan Integral 2012 - Copy.nb

*** PEMROGRAMAN DENGAN MATHEMATICA(HOW TO SOLVE FUNCTION)

Clearp1, p2, d, e;

HEADING PROGRAM

Print""

Print"program latihan 03"

Print"mathematica programming"

Print"solusi"

Print""

MAIN PROGRAM

p1 Input"persamaan 1:"; Print"pers1", p1

p2 Input"persamaan 2:"; Print"pers2", p2

d Solvep1, p2, x, y;

e NSolvep1, p2, x, y;

hasilcetak PROGRAM

Print"penyelesainnya adalah adalah:", d

Print"penyelesainnya numerik adalah:", e

02 a hartatik_slide aplikasi D dan Integral 2012 - Copy.nb 5

BAB III

MATRIKS DAN DETERMINAN

TUJUAN :

KOMPETESNI :

3.1. list

3.2.matriks

3.2 .1 cara penulisan

3.2 .2 ukuran matriks

3.2 .3 matriks matriks khusus satuan, nol, diagonal, segitiga bawah atas

3.2 .4 operasi pada matriks penjumlahan, kesamaan dua matriks,

perkalian skalar dan matriks, perkalian antar matriks, partisi matriks, t ransose matriks

3.2 .5 sifat operasi matriks

3.2 .6 sifat operasi tanspose mariks

3.3. Determinan

3.4. invers matriks

3.1 MATERI ONLINE BAB 3:MATRIK

HOW TO | LIST

Ada beberapa bentuk khusus matrik . Untuk bisamenentukan bentuk

khususmatrik maka anda harus tahu terlebih dahulu elemen dari matriks,

yaitu baris dan kolom. dalammathematica ada cara penulisan baris dan

kolom sehinggamembentuk suatumatriks. Dalam kesempatan on line ini ...

AKANDIPELAJARI BAGAIMANAMENULISKANMATRIKSDENGANMATHEMATICA,

yaitu denganmenggunakan syntak : LISTApa saja kegunaan dan bagaimana cara manipulasi matriks dengan

LIST berikut akan kita pelajari lebih lanjut.

LIST

Vectors dan matrices in Mathematica are secara sederhana dapat dituliskan dengan daftar

anggota himpunan:

a, b, c vector a, b, c

a, b, c, d matrix a b

c d

LIST dalam MATRIKS

ada beberapa perintah yang bisa digunakan yaitu : List, Part, Take

Part — elements and submatri-

ces: mi, j; resettable withmi, j x

Take — take rows, columns and

submatrices

Drop — drop rows, columns and

submatrices

Diagonal — get the list of elements

on the diagonal

RotateLeft, RotateRight — cyclically rotate

2 03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb

rows or columns

Reverse — reverse rows or columns

Transpose — interchange rows and

columns

Join — join rows or columns of

several matrices

Getting Pieces of Lists

First list the first element in list

Lastlist the last element

Part list, n or listn the nth element

Part list, n or listn the nth element from the end

Part list, m ;; n elements m through n

Partlist, n1, n2, … or listn1, n2, …

the list of elements at positions n1, n2, …

Takelist, n the first n elements in list

Takelist, n the last n elements

Takelist, m, n elements m through n (inclusive)

Restlist list with its first element dropped

Droplist, n list with its first n elements dropped

Mostlist list with its last element dropped

Droplist, n list with its last n elements dropped

Droplist, m, n list with elements m through n dropped

coba sekarang praktekkan :

A a, b, c

a, b, c

B 4, N , 9

4, N , 3

List2 B, a, a, b

4, N , 3, a, a, b

03 Hartatik_matriks 2013 v2 2013.nb 3

apa kesimpulan anda?

Menentukan elemen ke i menggunakan : Ai dan PartA, i . misalkan :

A a, b, c

a, b, c

A1

PartA, 1

sedangkan untuk menentukan elemen ke i dan j bisa

menggunakan A[[{i,i}]] dan Part[A,{i,j}]:

A2, 3

b, c

PartA, 2, 3

b, c

A1

c

1.Bagaimana untuk menentukan elemen ke 1 dan 3 dari himpunan A ?? ?

2. Apa bedanya A[[1]] dan A[[-1]]???

3. sebutkan cara lain untuk menentukan elemen ke-1 dari himpunan A

LAKUKAN JUGA UNTUK PERINTAH DIBAWAH INI :

DropA, 1

{b, c}

DropA, 2

{c}

DropA, 1

DropA, 3


RestA

LastA

c

TakeA, 2

TakeA, 1

TakeA, 3

{a, b, c}

APA KESIMPULAN ANDA??JELASKAN

MENENTUKAN BANYAKNYA ELEMEN :

Range — form a list from a range of numbers or other objects 1, 2, 3, ...

Table — make a table of any dimension of values of an expression

Array — make an array of any dimension by applying a function to successive indices

ConstantArray — form of a constant array of any dimension

SparseArray, Normal — create a list from a sparse array position value specification

Functions for vectors.

contoh :

RANGE

a.untuk menentukan banyaknya elemen pada A, digunakan perintah Lenght[A]

LengthA

b. Perintah Range untuk menuliskan List:


Range6

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Range4, 6

{4, 5, 6}

Range1, 11, 3

{1, 4, 7, 10}

jelaskan mengenai Range di atas.apa yang dapat anda simpulkan?

TABEL

PEMAKAIAN TABLE:

untuk beberapa elemen list ada kalanya membentuk suatu pola angka tertentu. maka untuk model

khusus tersebut bisa menggunakan perintah Table:

Table100 5, 3

Tablek 1, k, 3

Tablek 1, k, 2, 5

Tablek, k, 2, 10, 2


Tablek 2, k, 3

OPERASI PERHITUNGAN MATRIKS :

LIST sebagai himpunan, dilakukan operasi himpunan(gabungan, irisan, komplemen) :

contoh :

1, 2, 3 3, 4, 5

{1, 2, 3, 4, 5}

Union1, 2, 3, 3, 4, 5

{1, 2, 3, 4, 5}

1, 2, 3 3, 4, 5

{3}

Intersection1, 2, 3, 3, 4, 5

{3}

Complementa, b, c, d, a, b

{c, d}

ComplementA, a, b

{c}

Jelaskan apa kesimpulan anda?


silahkan anda coba

keterangan dan contoh :

untuk menentukan posisi suatu elemen d dalam liat digunakan "position{list,elemen}

Position[{a, b, c, a, b}, a]

{{1}, {4}}

menghitung banyaknya a.

Count[{a, b, c, a, b}, a]

2

PENYISIPAN ELEMEN:

Selain itu dalam list juga dapat dilakukan penyisispan elemen, penambahan elemen bagian belakang

maupun depan :

Position — find positions where elements that match a pattern occur

Extract — extract elements that appear at a list of positions

ReplacePart — make replacements for collections of elements

ArrayRules — get a list of positions and values for nonzero elements

Adding, Removing and Modifying List Elements


Prepend list, element add element at the beginning of list

Appendlist, element add element at the end of list

Insertlist, element, i insert element at position i in list

Insertlist, element, i insert at position i counting from the end of list

Rifflelist, element interleave element between the entries of list

Deletelist, i delete the element at position i in list

ReplacePartlist, i new replace the element at position i in list with new

ReplacePartlist, i, j new replace listi, j with new

contoh :

untuk menambahkan elemen baru dalam matriks:

A

{a, b, c}

Append[A, 2]

{a, b, c, 2}

Prepend[A, 1]

{1, a, b, c}

Insert[A, m, 2]

{a, m, b, c}

kemudian untuk menggantikan suatu elemen ke dalam matriks dengan elemen baru dengan

menggunakan ReplacePart[list,elemen baru,posisi]

B = {1, 2, 3, 5, 6}

{1, 2, 3, 5, 6}

ReplacePart[B, x, 2]

{1, x, 3, 5, 6}

Insert[B, x, 2]

{1, x, 2, 3, 5, 6}

apa perbedaan replacepart dan Insert ?? ?

MENULISKAN KOMBINASI ELEMEN KEANGGOTAAN :

Tupleslist, n generate all possible n-tuples of elements from list


Tupleslist1, list2, … generate all tuples whose ith element is from listi

Finding possible tuples of elements in lists.

This gives all possible ways of picking two elements out of the list.

Tuplesa, b, 2

This gives all possible ways of picking one element from each list.

Tuplesa, b, 1, 2, 3

Subsetsa, b, c

MENGURUTKAN ELEMEN :

untuk mengurutkan dan mengatur kembali posisi elemen suatu list, digunakan perintah sort,

reserve, rotate:

Sortexpr sort the elements of a list or other expression into a standard order

Sortexpr, pred sort using the function pred to determine whether pairs are in order

Orderingexpr give the ordering of elements when sorted

Orderingexpr, n give the ordering of the first n elements when sorted

Orderingexpr, n, pred use the function pred to determine whether pairs are in order

OrderedQexpr give True if the elements of expr are in standard order, and False otherwise

Orderexpr1, expr2 give 1 if expr1 comes before expr2 in standard order, and 1 if it comes after

contoh :

misalkan didefinisikan list 3 sbb:

list3 5, 10, 0, 12, 20, 3

dengan reverse maka penulisan akan dibalik ururutannya:

Reverselist3


Sortlist3

kemudian dengan rotate maka n elemen akan ditempatkan dikiri atau kanan:

list3

RotateLeftlist3

RotateLeftlist3, 3

RotateLeftlist3, 4

RotateRightlist3

RotateRightlist3, 3

PENGGABUNGAN ELEMEN :

untuk menghilangkan tanda kurung dalam suatu output dengan menggunakan perintah Flattern:

SILAHKAN ANDA COBA

Flatten[{{a}, {b, {c}}, {d}}]

Joina, b, c, x, y, u, v, w

list Tablei j 1, i, 4, j, i

Flattenlist, 1

sedangkan unutuk menghilangkan tanda kurung satu atau dua pasang ...dst menggunakan perintah berikut:

Flatten[{{a}, {b, {c}}, {d}}, 1]

Flattena, b, 2

Flattena, b

Flattena, b, 1

APA KESIMPULANANDA?

*****selamat mencoba*****


3.2.1 cara penulisan matriks

a. dengan menggunakan LIST perintah aij, i 1, 2 dan j 1, 2, 3

matriksA a1, 1, a1, 2, a1, 3, a2, 1, a2, 2, a2, 3

a1, 1, a1, 2, a1, 3, a2, 1, a2, 2, a2, 3

matriksA MatrixForm

a1, 1 a1, 2 a1, 3

a2, 1 a2, 2 a2, 3

Sebagai illustrasi, untuk matrik B ukuran 2 x3 :

matriksB 1, 3, 5, 0, 2, 1

1, 3, 5, 0, 2, 1

matriksB MatrixForm

1 3 5

0 2 1

untuk mencari matriks B baris ke i, dan elemen ke i dan j

matriksB1

matriksB1, 2

matriksB1, 1, 2 MatrixForm

matriksB1, 2, 1, 2 MatrixForm



b.menggunakan perintah array

misalkan matriks C cij

matriksC Arrayc, 5, 6 MatrixForm

c.perintah table

matriksD Tabledi, j, i, 5, j, 6 MatrixForm

menggunakan fasilitas palletes atau kalau tidak ada denganmenggunakan :

input Cretae_Table Matrix Pallet ... atau bisa langsung dengan : ctrl Sift C

matriks F

matriksG

Null

LATIHAN:1. tuliskan matriks berikut dengan cara cara di atas :

A

1 2

3 0

1 4

, B 2 1 0 3 , C

2

31

20

0 0 0

, D 1 2

3 4, E 4

2. buatkan matriks berikut :

F

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8

5 6 7 8 9


G o

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

14 14 14 14 14 14 14 14 14 14

16 16 16 16 16 16 16 16 16 16

18 18 18 18 18 18 18 18 18 18

20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

3. a. tuliskan matriks baris ke 1 dari matriks A

b. tuliskan elemen ke 2 dan ke 3 dari matriks B

c. tuliskan elemen baris ke 2 kolom ke 3 matriks C

d. tuliskan matriks baris 2 dan 3 matriks F

e. tuliskan matriks baris 3 dan 5 dari matriks G

3.2 MATRIKS

3.2.1 cara penulisan matriks(dengan LIST)

a. dengan menggunakan perintah aij, i 1, 2 dan j 1, 2, 3

matriksAa1,1,a1,2,a1,3,a2,1,a2,2,a2,3

matriksAMatrixForm

misal untuk matrik B ukuran 2 x3 :

matriksB 1, 3, 5, 0, 2, 1; matriksB MatrixForm

matriksB MatrixForm

matriksB 1, 3, 5, 0, 2, 1 MatrixFormpenulisa ini tidak sarankan

untuk mencari matriks B baris ke i, dan elemen ke i dan j

matriksB1


matriksB1, 2


tentukan elemen matriks B baris ke dua kolom 3

b.menggunakan perintah array

misalkan matriks C cij

matriksC Arrayc, 5, 6 MatrixForm

c1, 1 c1, 2 c1, 3 c1, 4 c1, 5 c1, 6

c2, 1 c2, 2 c2, 3 c2, 4 c2, 5 c2, 6

c3, 1 c3, 2 c3, 3 c3, 4 c3, 5 c3, 6

c4, 1 c4, 2 c4, 3 c4, 4 c4, 5 c4, 6

c5, 1 c5, 2 c5, 3 c5, 4 c5, 5 c5, 6

c.perintah table

matriksD Tabledi, j, i, 5, j, 6 MatrixForm

d1, 1 d1, 2 d1, 3 d1, 4 d1, 5 d1, 6

d2, 1 d2, 2 d2, 3 d2, 4 d2, 5 d2, 6

d3, 1 d3, 2 d3, 3 d3, 4 d3, 5 d3, 6

d4, 1 d4, 2 d4, 3 d4, 4 d4, 5 d4, 6

d5, 1 d5, 2 d5, 3 d5, 4 d5, 5 d5, 6

d.palletes

dengan menggunakan template yang ada di Palletes :

menggunakan fasilitas palletes atau kalau tidak ada dengan

cara:


matriks F

matriksG

Null

3.2.2 Ukuran /ordo matriks:

dengan menggunakan perintah dimension

matriksH 1, 2, 3, 3, 4, 5

matriksH MatrixForm

matriksH 1, 2, 3, 3, 4, 5; matriksH MatrixForm

1 2 3

3 4 5


DimensionsmatriksH

2, 3

3.2.3 MATRIKS MATRIKS KHUSUS

a. matriks satuan(matriks identitas)

ada beberapa cara penulisan matriks :

1. langsung dituliskan (untuk matriks ukuran kecil)

misalkan akan disajikan matriks A yang elemen-elemennya dinyatakan dengan aij untuk i=1,2 dan

j=1,2,3. Hal ini dapat dilakukan dengan cara menuliskan suatu elemennya(sebagai list dari list), seba-

gai list dari list)

matriksA a1, 1, a1, 2, a1, 3, a2, 1, a2, 2, a2, 3

ternyata hasilnya tidak seperti penulisan matriks yang sudah dipelajari, sehingga untuk tampilan

seperti itu dengan menggunakan perintah //matrikForm

2. dengan menggunakan perintah : IdentityMatrix

contoh :

matriksA MatrixForm

matriksA


matriksI 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1 MatrixForm

1 0 0

0 1 0

0 0 1

matrI IdentityMatrix4; matrI MatrixForm

TableIfi j, 1, 0, i, 4, j, 4 MatrixForm

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

b. Matriks Nol

cara penulisan :

langsung dengan ketikkan : ConstantArrayn atau Table0, m, n

ConstantArray0, 2, 2 MatrixForm

0 0

0 0

Table0, 2, 3 MatrixForm

0 0 0

0 0 0


3. Matriks Diagonal

cara penulisan :

menggunakan : DiagonalMatrix

MatrixFormDiagonalMatrixa, b, c

a 0 0

0 b 0

0 0 c

4. Matriks Segitiga Bawah dan Atas

matriks segitiga bawahMatrixFormTableIfi j, 2, 0, i, 4, j, 4

matriks segitiga atasMatrixFormTableIfi j, 2, 0, i, 4, j, 4

3.2 .4 OPERASI PADA MATRIKS

A. penjumlahan/pengurangan matriks

BAGAIMANA ATURAN dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan ?? ???

berikut syarat 2 matriks atau lebih bisa dilakukan operasi penjumlahan:

1. masing masing matriks berordo sama

2. hasil operasi matriks akan menghasilkan matriks dengan ordo yang sama

contoh :

ClearmatriksA, matriksB, matriksC


matriksA 2, 1, 0, 3, 1, 0, 2, 4, 4, 2, 7, 0; matriksA MatrixForm

2 1 0 3

1 0 2 4

4 2 7 0

matriksB 4, 3, 5, 1, 2, 2, 0, 1, 3, 2, 4, 5; matriksB MatrixForm

4 3 5 1

2 2 0 1

3 2 4 5

matriksC 1, 1, 2, 2; matriksC MatrixForm

1 1

2 2

DimensionsmatriksA

DimensionsmatriksB

DimensionsmatriksC

matriksD matriksA matriksB; matriksD MatrixForm

2 4 5 4

1 2 2 3

7 0 3 5

DimensionsmatriksD

matriksA matriksC MatrixForm

Thread::tdlen : Objects of unequal length in 2, 1, 0, 3, 1, 0, 2, 4, 4, 2, 7, 0 1, 1, 2, 2 cannot be combined.

1, 1, 2, 2 2, 1, 0, 3, 1, 0, 2, 4, 4, 2, 7, 0


B. KESAMAAN DUA MATRIKS

ClearmatriksE

matriksE 3 3, 2^0, 6 3, 2^1

1, 1, 2, 2

matD matriksE matriksC

matD MatrixForm

pengecekan kesamaan matriks bisa juga dilakukan dengan:

matriksE matriksC

True

c. PERKALIAN SKALAR DAN MATRIKS(silahkan dipraktikkan sendiri)

misalkan matriks A, B, C dan skalar k = 2, -1, 1/3.

ClearmatriksA, matriksB, matriksC

matriksA 2, 3, 4, 1, 3, 1

matriksB 0, 2, 7, 1, 3 5

matriksC 9, 6, 3, 3, 0, 12

matriks2A 2matriksA

matriksminB 1matriksB

matriksCper3 1 3matriksC


3IdentityMatrix4 MatrixForm

D. PERKALIAN ANTAR MATRIKS (silahkan dipraktikkan sendiri)

operasi perkalian antar matriks menggunakan "." atau " dot"

syarat :

1. kolom matriks pertama = jumlah kolom matriks ke - 2, dst

2. misal : A (m, n) dan B (n, k), maka AxB = C (m, k)

3. tidak berlaku komutatif

contoh :

Clear matriksA, matriksB, matriksC

matriksA 1, 2, 4, 2, 6, 0;

matriksB 4, 1, 4, 3, 0, 1, 3, 1, 2, 7, 5, 2;

matriksC 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8;

sebelum melakukan operasi matriks :

DimensionsmatriksA

DimensionsmatriksB

DimensionsmatriksC

perkalian matriks, bisakah?

matriksA.matriksB MatrixForm

matriksA.matriksC MatrixForm

matriksB.matriksC MatrixForm


matriksB.matriksA MatrixForm

5. PARTISI MATRIKS

sebuah matriks bisa dipartisi menjadi matriks yg kecil kecil sub matriks.

contoh menuliskan matriks dalam suatu sub matriks :

Clear matriksA

A 4, 1, 4, 3, 0, 1, 3, 1, 2, 7, 5, 2; A MatrixForm

MatrixFormA

A11 A1, 2, 1, 2, 3; A11 MatrixForm

A12 A1, 2, 4; A112 MatrixForm

A21 A3, 1, 2, 3; A21 MatrixForm

A22 A3, 4; A22 MatrixForm

maka matriks A terdiri atas :

A A11 A12

A21 A22

penggabungan n matriks bisa juga dengan cara penggabungan sub sub matriksnya : JOIN


contoh :

Clear

A1 JoinA11, A12, 2

A2 JoinA21, A22, 2

A JoinA1, A2 MatrixForm

F. TRANSPOSE MATRIKS(silahkan di coba sendiri)

A 1, 2, 3, 4, 3, 5

TransposeA

A MatrixForm

MatrixForm

3.2.5 Sifat-sifat Operasi Hitung Matriks(silahkan anda praktikkan sendiri)

Misalkan A,B dan C adalah sembarang matriks, k1, k2 adalah sembarang skalar.

Beberapa sifat operasi hitung matriks, diantaranya adalah :

1. A + B = B + A (sifat komutatif penjumlahan)

2. (A+B)+C = A+(B+C) (sifat asosiatif penjumlahan)

3. (A.B).C = A.(B.C) (sifat asosiatif perkalian)

4. A( B + C) = A.B + A.C (sifat distributif kiri terhadap penjumlahan)

5. k1(B + C) = k1.B + k1.C

6. (k1 + k2) C = k1 C + k2 C

7. k1( k2 C ) = (k1.k2) C

8. A + O = O + A = A (O adalah matriks nol)


9. A.I = A ; I . A = A (I adalah matriks identitas)

dsb.........

Saudara dapat melakukan pengecekan terhadap sifat-sifat tersebut dengan membuat matriks-

matriks sembarang A, B, C dan skalar-skalar sembarang k1, k2. Untuk itu perhatikan ukuran matriks-

matriks tersebut sedemikian sehingga dapat dilakukan operasi hitung diantaranya.

Contoh:

Diketahui matriks A = 2 3

1 1 , matriks B =

1 5

3 10 dan matriks C =

1 2

3 4. Skalar k1 = 4 dan

k2 = 3.

Selanjutnya dilakukan operasi-operasi matriks seperti di bawah. Apa yang terjadi ???

ClearmatA, matB, matC

matA 2 3

1 1; matB

1 5

3 10; matC

1 2

3 4;

matA matB MatrixForm

3 8

4 9

matB matA MatrixForm

3 8

4 9

matA matB matC MatrixForm

4 10

7 13

matA matB matC MatrixForm

4 10

7 13

matA.matB matC MatrixForm

22 56

4 7

matA.matB matA.matC MatrixForm

22 56

4 7

k1 4; k2 3;


k1 matB matC MatrixForm

8 28

24 56

k1matB k1matC MatrixForm

8 28

24 56

k1 k2matC MatrixForm

12 24

36 48

k1 k2matC MatrixForm

12 24

36 48

Ternyata hasil dari operasi hitung matriks tersebut memenuhi sifat-sifat di atas. Untuk sifat-sifat

yang lain, dapat dicoba sendiri.

3.2.6 Sifat-sifat Operasi Transpose Matriks(silahkan anda praktikkan sendiri)

Jika A, B adalah matriks-matriks sembarang, dan k adalah skalar sembarang, beberapa sifat

transpose matriks adalah:

1. At t = A

2. A B t = At + Bt

3. k .At = k. At

4. A.B t = Bt .At

Saudara dapat melakukan pengecekan sifat-sifat tersebut dengan membuat sembarang matriks A, B

dan sembarang skalar k, dengan memperhatikan ukuran matriks supaya matriks-matriks tersebut

dapat dioperasikan.

Contoh

Diketahui matriks-matriks A =1 2

3 4, B =

5 6

7 8, k = 4. Dilakukan operasi hitung matriks berikut.

Bagaimana hasilnya???

ClearmatA, matB, k

matA 1 2

3 4; matB

5 6

7 8; k 4;


TransposeTransposematA MatrixForm

1 2

3 4

TransposematA matB MatrixForm

6 10

8 12

TransposematA TransposematB MatrixForm

6 10

8 12

TransposekmatA MatrixForm

4 12

8 16

kTransposematA MatrixForm

4 12

8 16

TransposematA.matB MatrixForm

19 43

22 50

TransposematB.TransposematA MatrixForm

19 43

22 50

3.3 Determinan

Berikut ini dibicarakan penentuan determinan suatu matriks dengan menggunakan ekspansi kofak-

tor.

Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det(A) atau |A|.

Untuk matriks ukuran 1 x 1, misal X = ( x ), didefinisikan | A | = x. Menggunakan perintah di Mathe-

matica, ketiklah Det, kemudian di dalam kurung siku isikan matriks yang akan ditentukan


determinannya.

ClearA

A x

MatrixFormA

DetA

Untuk matriks ukuran 2 x 2, misal B a11 a12

a21 a22, didapat B a11.a22 a12.a21

Menggunakan Mathematica,

ClearB

B a11, a12, a21, a22;

MatrixFormB

DetB

Untuk matriks ukuran 3 x 3, misal A = a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

,

didapat | A | = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33

= a11 ( a22 a33 - a23 a32 ) + a21 ( a13 a32 - a12 a33 ) + a31 ( a12 a23 - a13 a22 )

= a11 ( a22 a33 - a23 a32 ) - a21 ( a12 a33 - a13 a32 ) + a31 ( a12 a23 - a13 a22 )

= a11. M11 - a21. M21 + a31. M31

= a11. C11 + a21. C21 + a31. C31

dengan Mij = minor elemen aij = determinan sub matriks A setelah baris i dan kolom j dihapus.

Cij = kofaktor elemen aij = 1 ij . Mij

Cara penentuan determinan seperti matriks A di atas disebut ekspansi kofaktor sepanjang kolom

1.

Secara teoritis dapat dibuktikan bahwa determinan suatu matriks dapat ditentukan dengan

ekspansi kofaktor sepanjang baris/ kolom yang ada.

Contoh

Berikut ini akan ditentukan determinan matriks A = 3 1 02 4 35 4 2

menggunakan ekspansi kofaktor

sepanjang kolom 1.


ClearA

A 3, 1, 0, 2, 4, 3, 5, 4, 2

MatrixFormA

M1, 1 A2, 2A3, 3 A2, 3A3, 2

M2, 1 A1, 2A3, 3 A1, 3A3, 2

M3, 1 A1, 2A2, 3 A1, 3A2, 2

c1, 1 M1, 1; c2, 1 M2, 1; c3, 1 M3, 1;

detA A1, 1c1, 1 A2, 1c2, 1 A3, 1c3, 1

Menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom 1, diperoleh | A | = -1.

Sekarang dicoba menggunakan perintah di Mathematica

DetA

Selanjutnya saudara dapat mencoba untuk menentukan determinan matriks A tersebut menggu-

nakan ekspansi kofaktor sepanjang baris/ kolom yang lain. Untuk matriks dengan ukuran 4 x 4 atau

yang lebih besar lagi, ide untuk menentukan determinannya sama dengan ide untuk menentukan

determinan matriks ukuran 3 x 3 di atas. Silahkan saudara untuk mencobanya !!!

3.4 Invers Matriks

Diketahui matriks A berukuran n x n. Matriks kofaktor dari A adalah matriks yang elemen-

elemennya berupa Cij ( i = 1, 2, ..., n ; j = 1, 2, ..., n ). Transpose matriks kofaktor dari A tersebut

disebut adjoint matriks A, dengan notasi adj (A).

Invers matriks A mempunyai notasi A1. Didefinisikan A1 = 1

A. adj(A).

Dengan Mathematica, untuk menentukan invers suatu matriks, cukup ketik Inverse kemudian dalam

kurung siku isikan matriks yang akan dicari inversnya.

Contoh

Akan ditentukan invers dari matriks A = 3 2 11 6 32 4 0

.

ClearA


A

3 2 1

1 6 3

2 4 0

;

Minor elemen-elemen A adalah M[i,j] dengan i = 1, 2, 3 dan j =1, 2, 3.

M1, 1 A2, 2A3, 3 A2, 3A3, 2

M1, 2 A2, 1A3, 3 A2, 3A3, 1

M1, 3 A2, 1A3, 2 A2, 2A3, 1

M2, 1 A1, 2A3, 3 A1, 3A3, 2

M2, 2 A1, 1A3, 3 A1, 3A3, 1

M2, 3 A1, 1A3, 2 A1, 2A3, 1

M3, 1 A1, 2A2, 3 A1, 3A2, 2

M3, 2 A1, 1A2, 3 A1, 3A2, 1

M3, 3 A1, 1A2, 2 A1, 2A2, 1

Selanjutnya dibuat matriks kofaktor dari A sebagai berikut

matkof TableIfEvenQi j, Mi, j, Mi, j, i, 3, j, 3;

MatrixFormmatkof

Kemudian ditentukan adj (A) yang merupakan transpose matriks kofaktor dari A

adjA Transposematkof;

MatrixFormadjA

Akhirnya invers matriks A dihitung dengan rumus A1 = 1

A. adj(A)

invA 1 DetAadjA MatrixForm

Menggunakan Mathematica, invers matriks A tersebut dicari sebagai berikut

InverseA MatrixForm

Latihan 3.5

1. Diketahui matriks-matriks A = 3 25 2

, B = 1 2 36 7 13 1 4

, C =

1 4 3 12 0 6 34 1 2 51 0 2 4

.


Dari matriks-matriks tersebut, tentukan :

a. matriks kofaktornya

b. determinan matriks A dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris 1

c. determinan matriks B dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom 2

d. determinan matriks C dengan ekspansi sepanjang baris/ kolom sembarang

e. adj (A) , adj (B) dan adj (C)

f. A1, B1 dan C 1.

2. Diketahui matriks A =

a b cd e f

g h i

dan misal | A | = -7

Tentukan :

a. | 3A | c. | 2 A1|

b. | A1| d. | ( 2 A 1|

3. Diketahui matriks-matriks A = 1 2

3 4 , B =

5 6

7 8 dan skalar k = 3. Tentukan :

a. A1 t

b. A B t

c. B t t

d. k A t

LATIHAN: Kerjakan Latihan 3.5 no 1a , 1b , 1e , 1f untuk matriks A. .....................................(4 POIN)


Bab IV

KOMPUTASI SPL

Tujuan

Setelah mengikuti praktikum Sistem Persamaan Linear, diharapkan mahasiswa dapat:

1. menentukan penyelesaian SistemPersamaan Linear dengan operasi baris elementer

2. menentukan invers suatu matriks menggunakan operasi baris elementer

3. menentukan penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan invers matriks koefisien dan

matriks konstanta ruas kanan

4. menentukan penyelesaian beberapa sistem persamaan linear dengan matriks koefisien sama.

5. menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara Cramer

4.1 Persamaan Linear

Persamaan Linear dalam n variabel x1, x2, . . . , xn dapat dinyatakan dalam bentuk :

a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b

dengan a1, a2, . . . , an dan b adalah konstanta-konstanta real.

Penyelesaian persamaan linear a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b adalah barisan n bilangan s1 , s2, . . . , sn

sehingga persamaan dipenuhi jika dilakukan substitusi x1= s1 , x2= s2 , . . . , xn= sn.

Contoh 4.1

1. 4 x - 2 y = 1

2. x1 - 4x2 + 7x3 = 5

Penyelesaian persamaan linear no.1 adalah x = t dan y = 2t - 1/2 , yaitu tak hingga banyak

penyelesaian tergantung pemberian nilai t. Misalkan t = 3, menghasilkan x = 3, y = 11/2 , dan

misalkan t = - 1/2, menghasilkan x = - 1/2 dan y = - 3/2.

4.2 Sistem Persamaan Linear (SPL)

Sistem Persamaan Linear (SPL) atau Sistem Linear adalah himpunan berhingga persamaan linear.

Penyelesaian SPL dalam variabel x1, x2, . . . , xn adalah barisan n bilangan s1 , s2, . . . , sn yang

memenuhi SPL (memenuhi semua persamaan linear yang membentuk SPL).

Contoh 4.2

1. SPL : x + y + 2z = 9

2x + 4y - 3z = 1

3x + 6y - 5z = 0

mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2 dan z = 3 , karena bilangan-bilangan tersebut memenuhi ketiga

persamaan linear.

2. SPL : 2x1 + 2x2 + 2x3 = 0

-2x1 +5x2 + 2x3 = 1

8x1 + x2 + 4x3 = -1

mempunyai penyelesaian x1 = - 1/7 - 3/7 x3 , x2 = 1/7 - 4/7 x3 , yaitu ada tak hingga banyak

penyelesaian tergantung pemberian nilai untuk x3.

3. SPL : x + y = 4

2x + 2y = 6

tak mempunyai penyelesaian, sebab jika persamaan yang bawah dikalikan dengan 1/2, diperoleh

persamaan yang kontradiksi dengan persamaan yang atas.

Secara umum, SPL dapat : 1. mempunyai penyelesaian tunggal (contoh 1)

2. mempunyai tak hingga banyak penyelesaian (contoh 2)

3. tidak mempunyai penyelesaian (contoh 3)

Bentuk umum Sistem m persamaan linear dalam n variabel x1, x2, . . . , xn adalah :

a11x1 + a12x2+ . . . + a1 nxn = b1

a21x1 + a22x2+ . . . + a2 nxn = b2

.

.

.

am1x1 + am2x2+ . . . + amnxn = bm

Matriks diperbesar (augmented matrix) dari SPL tersebut adalah matriks yang elemen-elemennya

adalah koefisien-koefisien aij dan bi , i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n .

Contoh 4.3

SPL : x + y + 2z = 9

2x + 4y - 3z = 1

3x + 6y - 5z = 0

mempunyai matriks diperbesar 1 1 2 92 4 3 13 6 5 0

4.2.1 Operasi Baris Elementer (OBE)

Untuk menyelesaikan SPL (menentukan penyelesaian SPL), dilakukan dengan mengganti sistem

dengan sistem lain yang mempunyai penyelesaian sama tetapi lebih mudah diselesaikan. Sistem yang

baru ini diperoleh dengan melakukan sederetan langkah (3 tipe operasi) yang dikenakan pada per-

samaan-persamaannya.

Karena baris pada matriks diperbesar adalah penyajian dari persamaan pada SPL, maka 3 tipe

operasi yang dilakukan terhadap persamaan akan ekuivalen dengan 3 operasi yang dilakukan ter-

hadap baris-baris matriks diperbesarnya. Ketiga tipe operasi tersebut dikenal dengan sebutan

"Operasi Baris Elementer (OBE)", yaitu :

37 04 SPL 2013.nb

"Operasi Baris Elementer (OBE)", yaitu :

1. mengalikan suatu baris dengan konstanta tidak nol

2. mempertukarkan antara 2 baris

3. menambahkan perkalian suatu baris ke baris lainnya.

Eliminasi Gauss-Jordan (Bentuk Eselon Baris Tereduksi)

Berikut ini dijelaskan penyelesaian SPL menggunakan operasi baris elementer sehingga

diperoleh matriks berbentuk eselon baris tereduksi. Metode penyelesaian ini disebut metode

eliminasi Gauss-Jordan.

Contoh 4.4

Untuk menyelesaikan SPL pada Contoh 2.2 no.1: x + y + 2z = 9

2x + 4y - 3z = 1

3x + 6y - 5z = 0

yang mempunyai matriks diperbesar A= 1 1 2 92 4 3 13 6 5 0

, dilakukan sederetan langkah OBE

sebagai berikut:

1. tambahkan (-2) x baris 1 ke baris 2, diperoleh matriks baru yang ekuivalen, yaitu A =1 1 2 90 2 7 173 6 5 0

Dengan Mathematica, digunakan perintah sebagai berikut:

A

1 1 2 9

2 4 3 1

3 6 5 0

;

A2 2 A1 A2; A MatrixForm

1 1 2 9

0 2 7 17

3 6 5 0

2. tambahkan (-3) x baris 1 ke baris ke 3, diperoleh matriks baru yang ekuivalen, yaitu A =1 1 2 90 2 7 170 3 11 27


A3 3A1 A3; A MatrixForm

1 1 2 9

0 2 7 17

0 3 11 27

3. kalikan baris ke 2 dengan konstanta 1

2, diperoleh matriks yang ekuivalen, yaitu A =

1 1 2 9

0 1 7

2 17

2

0 3 11 27


04 SPL 2013.nb 38

A2 1 2A2; A MatrixForm

1 1 2 9

0 1 7

2

17

2

0 3 11 27

4. tambahkan (-3) x baris 2 ke baris 3, diperoleh matriks yang ekuivalen, yaitu A =1 1 2 9

0 1 7

2

17

2

0 0 1

2 3

2



5. kalikan baris 3 dengan konstanta -2, diperoleh matriks ekuivalen, yaitu A =

1 1 2 9

0 1 7

2 17

2

0 0 1 3


A3 2A3; A MatrixForm

6. tambahkan (-1) x baris 2 ke baris ke 1, diperoleh matriks ekuivalen, yaitu A =

1 011

2

35

2

0 1 7

2 17

2

0 0 1 3



7. tambahkan (-11

2) x baris 3 ke baris 1 dan juga tambahkan (

7

2) x baris 3 ke baris 2, diperoleh

matriks ekuivalen,

yaitu A = 1 0 0 10 1 0 20 0 1 3

. Dengan Mathematica, digunakan perintah sebagai berikut:

A1 11

2A3 A1; A2

7

2A3 A2;

A MatrixForm

Dari matriks bentuk terakhir, diperoleh penyelesaian: x = 1 , y = 2 dan z = 3 (merupakan penyelesa-

ian tunggal).

Bentuk matriks A yang terakhir diperoleh, disebut bentuk eselon baris tereduksi (reduced row-

echelon).

Sederetan OBE yang dilakukan untuk memperoleh bentuk eselon baris tereduksi, disebut eliminasi

Gauss-Jordan.

Dengan Mathematica, untuk menentukan bentuk eselon baris tereduksi suatu matriks, dapat digu-

nakan perintah RowReduce, kemudian dalam kurung siku isikan matriks yang akan ditentukan

bentuk eselon baris tereduksinya.

Sekarang dicoba untuk menentukan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks diperbesar pada

Contoh 2.4 di atas.

39 04 SPL 2013.nb

A RowReduce

1 1 2 9

2 4 3 1

3 6 5 0

; A MatrixForm

1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3

Ada beberapa fungsi built-in dalam Mathematica yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPL,

diantaranya adalah:

1. Menggunakan perintah Solve, kemudian di dalam kurung siku isikan perkalian matriks koefisien

ruas kiri SPL dengan matriks kolom variabelnya, lalu diikuti tanda = = dan matriks koefisien ruas

kanan SPL, selanjutnya diikuti variabel-variabel yang akan ditentukan nilainya dalam kurung kurawal.

Dari Contoh 2.2 no.1:

Solve

1 1 2

2 4 3

3 6 5

.

x

y

z

9

1

0

, x, y, z

x 1, y 2, z 3

2. Menggunakan perintah LinearSolve, kemudian di dalam kurung siku isikan matriks koefisien ruas

kiri SPL, diikuti tanda koma dan matriks koefisien ruas kanan SPL.

Dari Contoh 2.2 no.1:

LinearSolve

1 1 2

2 4 3

3 6 5

,

9

1

0

1, 2, 3

Pertanyaan selanjutnya, apa perbedaan hasil dari kedua perintah tersebut ?

Sekarang diperhatikan penggunaan kedua perintah tersebut untuk Contoh 2.2 no.2

Solve

2 2 2

2 5 2

8 1 4

.

x

y

z

0

1

1

, x, y, z

Solve::svars : Equations may not give solutions for all "solve" variables. More…

x 1

7

3 z

7, y

1

7

4 z

7

LinearSolve

2 2 2

2 5 2

8 1 4

,

0

1

1

1

7,

1

7, 0

dengan ROwReduce :

04 SPL 2013.nb 40

J RowReduce

2 2 2 0

2 5 2 1

8 1 4 1

; J MatrixForm

1 03

7

1

7

0 14

7

1

7

0 0 0 0

Apa yang dapat saudara simpulkan dengan penggunaan kedua perintah tersebut ?

LATIHAN: Selesaikan SPL berikut menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan (OBE).

............................(2 POIN)

2x + y - z = 2

x + 2y + z =7

- x + 2y + 2z = 6

Jawaban: x=2, y=1, z=3

4.2.2 Menentukan invers matriks menggunakan OBE

Selain menggunakan matriks adjoint, invers suatu matriks juga dapat ditentukan menggunakan

operasi baris elementer.

Misalkan akan ditentukan invers matriks A yang berukuran n x n. Langkah yang dilakukan adalah

mengubah bentuk matriks [ An | In ] ke bentuk matriks [ In | A1 ].

Jadi menggunakan operasi baris elementer, matriks An yang berada di sebelah kiri matriks

identitas direduksi sampai diperoleh bentuk matriks identitas, yang berakibat di bagian kanan

matriks identitas tersebut adalah matriks A1.

Contoh 4.5

Akan ditentukan invers matriks A = 1 2 32 5 31 0 8

Bentuk matriks [ An | In ] nya adalah 1 2 3 1 0 02 5 3 0 1 01 0 8 0 0 1

.

Langkah-langkah yang dilakukan adalah :

1. tambahkan -2 x baris 1 ke baris 2 dan juga -1 x baris 1 ke baris 3, akan didapat matriks1 2 3 1 0 00 1 3 2 1 00 2 5 1 0 1

AI

1 2 3 1 0 0

2 5 3 0 1 0

1 0 8 0 0 1

;

AI2 2AI1 AI2; AI3 1AI1 AI3;

AI MatrixForm

1 2 3 1 0 0

0 1 3 2 1 0

0 2 5 1 0 1

41 04 SPL 2013.nb

2. tambahkan 2 x baris 2 ke baris 3, akan didapat matriks 1 2 3 1 0 00 1 3 2 1 00 0 1 5 2 1

AI3 2AI2 AI3; AI MatrixForm

1 2 3 1 0 0

0 1 3 2 1 0

0 0 1 5 2 1

3. kalikan baris 3 dengan konstanta -1, akan diperoleh matriks 1 2 3 1 0 00 1 3 2 1 00 0 1 5 2 1

AI3 1AI3; AI MatrixForm

1 2 3 1 0 0

0 1 3 2 1 0

0 0 1 5 2 1

4. tambahkan 3 x baris 3 ke baris 2 dan juga -3 x baris 3 ke baris 1.

AI2 3AI3 AI2; AI1 3AI3 AI1;

AI MatrixForm

1 2 0 14 6 3

0 1 0 13 5 3

0 0 1 5 2 1

5. tambahkan -2 x baris 2 ke baris 1

AI1 2AI2 AI1; AI MatrixForm

1 0 0 40 16 9

0 1 0 13 5 3

0 0 1 5 2 1

Akhirnya matriks An sudah direduksi menjadi matriks In dan di sebelah kanan matriks In adalah

matriks A1, yaitu

A1 = 40 16 913 5 35 2 1

.

Sekarang dicek menggunakan perintah di Mathematica,

A

1 2 3

2 5 3

1 0 8

;

IA InverseA; IA MatrixForm

40 16 9

13 5 3

5 2 1

Contoh 4.6

Sekarang dicoba untuk menentukan invers matriks B = 1 6 42 4 11 2 5

04 SPL 2013.nb 42

BI

1 6 4 1 0 0

2 4 1 0 1 0

1 2 5 0 0 1

;

BI2 2BI1 BI2; BI3 1BI1 BI3; BI MatrixForm

BI2 1 8BI2; BI MatrixForm

BI3 8BI2 BI3; BI1 6BI2 BI1;

BI MatrixForm

Ternyata di bagian kiri tidak diperoleh matriks identitas, tetapi didapat matriks dengan baris

terdiri elemen 0 semua.

Ini berarti matriks B tidak mempunyai invers. Dicek menggunakan perintah dalam Mathematica,

B

1 6 4

2 4 1

1 2 5

;

InverseB

Inverse::sing : Matrix 1, 6, 4, 2, 4, 1, 1, 2, 5 is singular. More…

Inverse1, 6, 4, 2, 4, 1, 1, 2, 5

Dikatakan bahwa matriks B singular, yaitu | B | = 0. Dicek menggunakan perintah dalam

Mathematica,

DetB

0

LATIHAN: Tentukan invers matriks berikut menggunakan OBE. ................................(2 POIN)2 1 11 2 31 4 2

4.2.3 Menentukan Penyelesaian SPL Menggunakan Invers Matriks Koefisien dan Matriks Konstanta Ruas Kanan

Yang lalu sudah diterangkan bahwa SPL dapat dituliskan dalam bentuk matriks AX = B, dengan A =

matriks koefisien ruas kiri, X = matriks kolom variabel-variabelnya dan B = matriks konstanta ruas

kanan.

Jika matriks A mempunyai invers, maka penyelesaian SPL dapat ditentukan dengan X = A1.B

Contoh 4.7

Akan ditentukan penyelesaian SPL : x1+ 2x2+ 3x3 = 5

2x1+ 5x2+ 3x3= 3

x1 + 8x3=17

SPL tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks AX = B dengan A = 1 2 32 5 31 0 8

, X = x1x2x3

dan B =

5317

Pada Contoh 2.5 sudah diketahui bahwa A mempunyai invers.

43 04 SPL 2013.nb

A

1 2 3

2 5 3

1 0 8

; B

5

3

17

;

inA InverseA; inA MatrixForm

Selanjutnya untuk menentukan penyelesaian SPL, dilakukan langkah-langkah sebagai berikut

X inA.B; X MatrixForm

Diperoleh penyelesaian: x1 = 1, x2 = -1 dan x3 = 2.

4.2.4 Beberapa SPL dengan Matriks Koefisien Sama

Jika ada beberapa SPL : AX1 = B1 , AX2 = B2 , . . . , AXk = Bk dengan matriks koefisien A yang

sama, maka jika ditentukan penyelesaiannya menggunakan cara pada sub bab di atas yaitu X1 =

A1B1, X2 = A1B2 , . . . , Xk = A1Bk , diperlukan 1 kali operasi penentuan invers dan k kali operasi

perkalian matriks. Metode lain yang lebih efisien dilakukan adalah dengan menggunakan OBE

mengubah matriks [ A | B1 | B2 | . . . | Bk ] ke matriks [ I | X1 | X2 | . . . | Xk ]

Contoh 4.8

Akan ditentukan penyelesaian dari 2 SPL berikut : a). x1+ 2x2+ 3x3 = 4 dan b) x1+ 2x2+ 3x3 =

1

2x1+ 5x2+ 3x3 = 5 2x1+ 5x2+ 3x3 = 6

x1 + 8x3 = 9 x1 + 8x3 = -6

Matriks [ A | B1 | B2 ] adalah

AB

1 2 3 4 1

2 5 3 5 6

1 0 8 9 6

;

Langkah-langkah OBE yang dilakukan adalah :

AB2 2AB1 AB2; AB3 1AB1 AB3;

AB MatrixForm

1 2 3 4 1

0 1 3 3 4

0 2 5 5 7

AB1 2AB2 AB1; AB3 2AB2 AB3; AB MatrixForm

1 0 9 10 7

0 1 3 3 4

0 0 1 1 1

AB3 1AB3; AB MatrixForm

1 0 9 10 7

0 1 3 3 4

0 0 1 1 1

04 SPL 2013.nb 44

AB1 9AB3 AB1; AB2 3AB3 AB2;

AB MatrixForm

1 0 0 1 2

0 1 0 0 1

0 0 1 1 1

Diperoleh matriks [ I | X1 | X2 ], yaitu penyelesaian SPL a) adalah x1 = 1 , x2 = 0 dan x3 =1

b) adalah x1 = 2 , x2 = 1 dan x3 = -1

4.3 Menyelesaikan SPL dengan Cara Cramer

Untuk menyelesaikan SPL dengan cara Cramer, harus dipenuhi syarat-syarat berikut:

1. Misal A adalah matriks koefisien ruas kiri dari SPL, disyaratkan | A | 0

2. Matriks A harus berupa matriks bujur sangkar, yaitu banyak baris = banyak kolom.

Jika SPL terdiri dari n persamaan linear dalam n variabel x1, x2, . . . , xn , maka A berukuran n x n.

Penyelesaiannya adalah xi = Ai

A , dengan Ai = matriks A dengan kolom i diganti konstanta ruas

kanan SPL

Contoh 4.9

Misalkan akan ditentukan penyelesaian SPL pada Contoh 2.2 no.1: x + y + 2z = 9

2x + 4y - 3z = 1

3x + 6y - 5z = 0

ClearA, A1, A2, A3

A

1 1 2

2 4 3

3 6 5

; A1

9 1 2

1 4 3

0 6 5

; A2

1 9 2

2 1 3

3 0 5

; A3

1 1 9

2 4 1

3 6 0

;

x DetA1

DetA

y DetA2

DetA

z DetA3

DetA

Diperoleh penyelesaian SPL : x = 1 , y = 2 , z = 3.

4.4 Contoh Aplikasi

Berikut ini diberikan contoh dari kasus nyata sebagai berikut :

Suatu pabrik perakitan monitor komputer memproduksi 2 model (model A dan model B ) di tempat

perakitan yang sama. Masing-masing produk harus menjalani proses perakitan di 3 unit kerja.

Waktu perakitan di unit kerja I adalah: 2 jam untuk model A dan 2 jam untuk model B . Di unit

kerja II adalah: 3 jam untuk model A dan 1 jam untuk model B. Di unit kerja III adalah: 1 jam

untuk model A dan 3 jam untuk model B. Tiap unit kerja menyediakan waktu untuk proses perakitan

dalam sehari adalah: 18 jam di unit kerja I, 17 jam di unit kerja II, dan 19 jam di unit kerja III.

45 04 SPL 2013.nb

Untuk mendapatkan hasil yang optimal, pabrik mengharuskan karyawannya menggunakan seluruh jam

yang disediakan. Berapa banyak monitor masing-masing model yang dihasilkan dalam sehari ?

Penyelesaian:

Untuk menjawab permasalahan tersebut di atas, diidentifikasi lebih dahulu variabel-variabel yang

digunakan.

Misal x = banyaknya monitor model A

y = banyaknya monitor model B

Selanjutnya nanti akan ditentukan nilai untuk x dan y.

Dibuat sistem persamaan linear yang disusun dari masalah di atas, sebagai berikut:

Di unit kerja I: untuk mengerjakan model A perlu waktu 2 jam dan untuk mengerjakan model B

perlu waktu 2 jam, sedangkan waktu yang disediakan (dan harus dipakai seluruhnya) adalah 18 jam.

Jadi diperoleh persamaan linear I : 2x + 2y = 18.

Di unit kerja II: untuk mengerjakan model A perlu waktu 3 jam dan untuk mengerjakan model B

perlu waktu 1 jam , sedangkan waktu yang disediakan (dan harus dipakai seluruhnya) adalah 17 jam.

Jadi diperoleh persamaan linear II : 3x + y = 17.

Di unit kerja III: untuk mengerjakan model A perlu waktu 1 jam dan untuk mengerjakan model B

perlu waktu 3 jam, sedangkan waktu yang disediakan (dan harus dipakai seluruhnya) adalah 19 jam.

Jadi diperoleh persamaan linear III : x + 3y = 19

Tiga persamaan linear tersebut membentuk suatu sistem persamaan linear (SPL), yang selanjutnya

diselesaikan untuk menentukan nilai-nilai x dan y nya.

Solve

2 2

3 1

1 3

.x

y

18

17

19

, x, y

LinearSolve

2 2

3 1

1 3

,

18

17

19

Apakah masalah tersebut dapat diselesaikan dengan cara Cramer ? Jelaskan !

Coba kalau diselesaikan dengan OBE, apa yang diperoleh ?

Latihan 4.1

1. Diketahui SPL : - x - 2y - 3z = 0

w + x + 4y + 4z = 7

w + 3x + 7y + 9z = 4

-w - 2x - 4y - 6z = 6

Tentukan penyelesaian SPL tersebut menggunakan:

a. operasi baris elementer

b. perkalian antara invers matriks koefisien dengan matriks konstanta ruas kanan

c. cara Cramer

d. perintah Solve dan LinearSolve dalam Mathematica.

2. Tentukan penyelesaian 2 (dua) SPL berikut secara bersama-sama:

04 SPL 2013.nb 46

a). x - 2y + z = -2 b). x - 2y + z = 1

2x - 5y + z = 1 2x - 5y + z = -1

3x - 7y + 2z = -1 3x - 7y + 2z = 0

Selanjutnya ceklah hasil masing-masing menggunakan perintah Solve dan LinearSolve.

47 04 SPL 2013.nb

BAB V

VEKTOR

TUJUAN

setelah mempelajari tentang vetor, diharapkan mahasiswa :

1. menggambarkan vektor secara geometris

2. melakukan operasi aritmatik pada vektor

3. menghitung norm vektor

5.1. PENGERTIAN VEKTOR See slide show

5.2 PENYAJIAN VEKTOR SECARA GEOMETRIS DI RUANG D2 See slide show

5.3 operasi penjumlahan vektor See slide show

5.4 PENYAJIAN VEKTOR DALAM SISTEM KOORDINAT DI R-2

(MENGGAMBAR VEKTOR)

GraphicsÀrrow`

u 1, 2; v 2, 1; w 1, 1;

ShowGraphicsHue0.0, Arrow0, 0, u, Text"u", .6, .8, Hue0.3, Arrow0, 0, v, Text"v", 1, .7,

Hue.7, Arrow0, 0, w, Text"w", .7, .4, Axes True, AxesLabel X, Y;

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2X

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Y

u

v

w

u 1, 2; v 2, 1; k 2; n 1;


Hue.7, Arrow0, 0, u v, Text"uv", 2, .4, Axes True, AxesLabel X, Y;

0.5 1 1.5 2 2.5 3X

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Y

u

v

uv

u v

3, 1


Hue.7, Arrow0, 0, u v, Text"uv", .5, 2, Axes True, AxesLabel X, Y;

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2X

-1

1

2

3

Y

u

v

uv

u v

1, 3

Show

GraphicsHue0.6, Arrow0, 0, u, Text"u", 1, .8, Hue0.9, Arrow0, 0, k u, Text"ku", 1.5, 2.4,

Axes True, AxesLabel X, Y;

0.5 1 1.5 2X

1

2

3

4

Y

u

ku

u

k u

1, 2

2, 4

2 V vektor.nb

ShowGraphicsHue0.6, Arrow0, 0, v, Text"v", 1, .8, Hue0.9, Arrow0, 0, n v, Text"nv", 1, .8,

Axes True, AxesLabel X, Y;

-2 -1 1 2X

-1

-0.5

0.5

1

Y

v

nv

5.4.2 TITIK AWAL VEKTOR TIDAK DI PUSAT KOORDINAT

contoh :

Diketahui titik P 1, 3 , Q 4, 2. berikut ditentukan komponen PQ dan gambar vektornya.

GraphicsÀrrow`

OP 1, 3; OQ 4, 2;

PQ OQ OP

3, 1

ShowGraphicsHue0.0, Arrow0, 0, OP, Text"P", .6, .8, Hue0.3, Arrow0, 0, OQ, Text"Q", 2, .7,

Hue.7, Arrow1, 3, 4, 2, Text"PQ", 2, 2.4, Axes True, AxesLabel X, Y;

1 2 3 4X

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Y

P Q

PQ

5.5 NORM VEKTOR

Clearnormu, normv, norms

V vektor.nb 3

normu1_, u2_ Sqrtu1^2 u2^2

u12 u22

normu norm4, 3

5

norms norm1, 1

2

normv norm2, 1

5

5.6 JARAK DUA TITIK

MISAL diketahui P 2, 1, Q 1, 3. ditentukan jarak kedua titik tersebut.

P 2, 1; Q 1, 3;

PQ Q P

3, 4

Jarak antara P dan Q adalah panjang d,

d norm3, 4

5

5.7 PERKALIAN VEKTOR

VEKTOR U DAN V adalah vektor bukan nol. titik awal masing

masing vektor berimpit. Sudut antara u dan v dinotasikan , o .

4 V vektor.nb

v

v

v u

V vektor.nb 5

v u

jika diketahui u u1, u2, dan ventir v v1, v2. perkalian titik u dan v didefinisikan :

contoh;

vektor u 6, 2, dan v 4, 0. berikut diberikan perkalian antara dua vektor

u 6, 2; v 4, 0;

u.v

24

Dotu, v

24

menghitung sudut :

cos u.v

norm6, 2 norm4, 0

3

10

NArcCoscos

2.81984

5.8vektor vektor yang tegak lurus

GraphicsÀrrow`

u 3, 6; v 4, 2;

u.v

0

6 V vektor.nb

karena perkalian product sama dengan nol maka tegak lurus.

gambarnya.....???

ShowGraphicsHue0.6, Arrow0, 0, u, Text"u", 2, 4.5, Hue0.9, Arrow0, 0, v, Text"v", 2, .8,

Axes True, AxesLabel X, Y, AspectRatio Automatic;

1 2 3 4X

-2

2

4

6

Y

u

v

LATIHAN:

KERJAKAN SOAL DI MODUL HALAMAN 52

V vektor.nb 7

Matematika komputasi - maspeb.com

Documents