Barisan dan Deret Standar Kompetensi Memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam memecahkan masalah sederhana Kompetensi Dasar 6.1 Menentukan pola barisan bilangan sederhana 6.2 Menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri 6.3 Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri 6.4 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret Bab 6
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Barisan dan Deret
Standar Kompetensi
Memahamisifat-sifatbilanganberpangkatdanbentukakar serta penggunaannya dalam memecahkan masalah sederhana
Kompetensi Dasar
6.1 Menentukan pola barisan bilangan sederhana6.2 Menentukansukuke-nbarisanaritmatikadan
barisan geometri6.3 Menentukan jumlah n suku pertama deret
aritmatika dan deret geometri6.4 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan
barisan dan deret
Bab 6
BAB 6 Barisan dan Deret154
Pola Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil
Apa yang akan kamu pelajari?
Polabilanganganjildangenap.
Polabilanganpersegi,segitigadanpersegipan-jang.
PolabilanganpadaSegi-tigaPascal.
Kata Kunci: Pola PolaBilanganGanjil. PolaBilanganGenap. PolaBilanganPersegi. PolaBilanganSegitiga. PolaBilanganPersegipan-
Bahan:Satulembarkertas.1. Lipatlah satu lembar kertas (berbentuk
persegipanjang) sehingga menjadi 2 bagianyang sama. Guntinglah menurut lipatantersebut. Ada berapa banyak potongankertas?
2. Susunlah semua potongan kertas tersebutsehingga saling menutup. Lipatlah susunankertastersebutmenjadi2bagianyangsama,kemudianguntinglahmenurutlipatantersebut.Adaberapabanyakpotongankertassekarang?Catatlahlahbanyaknyapotongankertasyangterjadipadatabeldibawah.
diatas,yaitu1,5,9,... 1merupakansuku pertama, 5merupakansuku kedua, 9 merupakansuku ketiga, danseterusnya. Uuntuk menentukan bilangan pada suku tertentu
Jaditigasukuberikutnyaadalah10,12,dan14. Aturannyaadalahdimulai dengan bilangan 2 dan suku-
suku berikutnya didapat dengan menjumlahkan suku sebelumnya dengan 2.
Cobakamumenemukancara lain (caramu sendiri)selaindengancaradiatas.Tuliskanaturanmuitu!
4. Perhatikanpolabilangan1,3,9,27,...Berapakahbilanganpada ketiga suku berikutnya? Tulislah aturan untuk
Pola Bilangan Ganjil1. Perhatikangambarnoktah-noktahberikut.
a. Apakah gambar di atas membentuk suatupola?Jelaskan!
b. Hubungkanmasing-masingpoladiatasdengansuatubilanganyangditunjukkandenganbanyaknyanoktahdalam pola itu. Pola bilangan apakah yang kaliandapat?Jelaskan!
2. Perhatikangambarpersegidisamping.Apakahantarapersegiyangberwarna merah (berwarnagelap)denganyangberwarna hijau(berwarna terang)membentuk pola bilangan yangsama dengan pola pada Masalah 1?Jelaskan!
Diskusi 3
Matematika SMP Kelas IX 157
3. Selanjutnya, kita bandingkan jumlah bilangan-bilanganganjilterhadapluaspersegiberikutini.
Daripola-poladiatasdapatkitabuattabelberikutini.
Bagaimanakahhubunganantarahasilpenjumlahanbilangan-bilangan yang pertama dan terurut ganjil dengan luaspersegi?Dengandemikian,bagaimanakahrumusjumlahdarinbilanganganjilyangpertama?
Pola Bilangan Genap
Perhatikangambarberikut.
Diskusi 2
BAB 6 Barisan dan Deret158
a. Hubungkan masing-masing pola di atas dengan suatubilanganyangditunjukkandenganbanyaknyanoktah.Polabilanganapakahyangkamudapat?Jelaskan.
b. Apakahgambardisampingmenunjukkanpolabilangangenap?Jelaskan!
c. Buatlahtabelyangmenyatakanhubunganantarahasilpenjumlahanbilangangenapdengan luas persegi-panjang, sepertipenjelasanpadapolabilanganganjil.
d. Bagaimanakah hubungan antara hasilpenjumlahan bilangan genap denganluaspersegipanjang?
Pola Bilangan Segitiga
Pernahkah kamu menjumpai“pemandusorak(cheerleader)”melakukan atraksinya dalamsuatu pertandingan olahraga(misalnya basket)? Seringkalidalam atraksinya merekamembentukpiramidamanusia,yaitu saling berdiri di antarapemain-pemainnya, sehinggapada puncaknya hanya berdiriseorang saja. Pada gambar di samping bawah ini dianggapbahwapiramidamanusiatersebutbelummencapaipuncak.Piramidamanusiatertinggipernahdibuatpadatahun1981diSpanyol.Tingginyaadalah9tingkat.Bagaimanacaramerekamembuatpiramidaitu?Lakukankegiatanberikut.
Banyaknya tanda “ “ pada suatu piramida menunjukpadabilangan1,3,6,....Karenabentuknyasepertisegitiga,makapolabilanganitudinamakan Pola bilangan segitiga.
5. Perhatikanpolanya.Bagaimanakahhubunganbanyaknyaorang dalam piramida manusia itu dengan banyaknyatingkat?
6. Lanjutkan tabel di atas. Berapa banyaknya orang bilatingkatnya9?
7. Berpikir Kritis. Cobakalian tentukanbanyaknyaorangpada tingkat tertentu, tanpa harus mengetahui banyakorang pada tingkat sebelumnya? Jelaskan jawabanmuitu!
Setiap tahun suatu perusahanp e n e r b a n g a n m e n g a d a k a npertunjukandirgantara.Secara bergantian pesawat-pesawatterbangtinggallandasdanmembentukformasi-formasitertentu.Padagruppertama,sebuahpesawattinggallandas,kemudiangrupkedua
dengan tiga pesawat yang tinggal landas. Berikutnya grupketiga dengan lima pesawat yang tinggal landas, kemudiangrupkeempatdengantujuhpesawat.
Pola Bilangan Persegi
Sumber:Dit.PSMP,2006
C
BAB 6 Barisan dan Deret160
Berapakah jumlah pesawat yang berada di angkasa, setelahpenerbangangrupkeempat,bilapesawat-pesawatpadagrup-grupsebelumnyabelummendarat?Untukmenjawabnyalakukankegiatanberikut.
1. Perhatikan tabel berikut. Berapakah jumlah pesawatyang berada di angkasa, setelah penerbangan grupketiga,kemudiansesudahpenerbangankeempat,bilapesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum
Karenabilangan-bilangan1,4,9dan16berhubungandenganbentukpersegi,makapolabilangan itudinamakan jugapola bilangan persegi.
Pola Bilangan Persegi Panjang
Di kota-kota besar, lahan untuk berkebun sudah makinberkurangataubahkantidakadalagi.Sehinggauntukberkebunatau menanam tanaman digunakan pot-pot yang berbentukpersegisatuandarikayu-kayuyangdiisidengantanah.Berikutrangkaianpot-pottersebut.
6. PerhatikandanamatilahsuatuSegitigaPascal. Jumlahbilangan-bilanganpadabariske-1adalah1. Jumlahbilanganpadabariske-2adalah2. Jumlahbilanganpadabariske-3adalah4. Jumlahbilanganpadabariske-4adalah8. Berapa jumlah barisan ke-n dari pola bilangan segitiga
Segitiga Pascal adalah untuk menentukan koefisien-koefisien suku-suku hasil perpangkatan (a+b).
Perhatikan (a+b)3diatas.
Koefisien dari a3 adalah 1, koefisien dari a2b adalah 3, koefisien dariab2 adalah 3 dan koefisien dari b3adalah1.
Sekarang perhatikan (a+b)5, kemudian carilah koefisien dari a5,koefisien dari a4b , koefisien dari a3b2, dan koefisien dari a2b3?
BAB 6 Barisan dan Deret164
Apa yang akan kamu pelajari?
Pengertianbarisanbilan-gan,suku,dansukuke-n.
Menentukansukuberikut-nyadarisuatubarisan.
Menentukansukuke-ndarisuatubarisan.
Kata Kunci: Barisan. Sukuke-n. Beda Rasio
Pengertian Barisan
PadasetiaphariSeninpagi,sekolah-sekolahtingkatSD,SMPmaupunSMAselalumengadakanupacarabendera. Siswa-siswa kelas VII, VIII, dan IX secarateraturmembentukbarisantersendiri.Pernahkah kalian mengatur barisan saat upacarabendera?
dari kelima temanmu kamu urutkan makaakanmembentukbarisan bilangan. Bilangan-bilanganituberkorespodensisatu-satudengankelimatemanmuyangkamususunmenjadisatubarisan.
Berapakahsukuke-5?Untukmenemukansukuke-5daribarisanituharusdiketahuiaturanurutansuku-sukupadabarisanitu.Aturanpadabarisanbilangangenapituadalahdimulai dengan 2 dan suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan 2 pada suku sebelumnya.Dengandemikiansukukelimaadalah10atauU5=10.
Barisan bilangan yang suku berikutnya didapat daripenambahansukusebelumnyadenganbilanganyangtetap(tertentu)dinamakanbarisanaritmetika.Bilanganyangtetapitudinamakanbeda.
Contoh 1
Giliranmu
246810
Matematika SMP Kelas IX 167
Barisan bilangan yang suku-suku berikutnya diperoleh darihasilkalisukusebelumnyadenganbilangantetapyangtidaksamadengannoldinamakanbarisan geometri.Bilangantetaptersebutdinamakanpembanding (rasio).
Contoh
Tentukanrasiodaribarisanberikut1,3,9,27,...JawabPerbandingan suku sesudah dengan suku sebelumnyamenghasilkansuaturasioyangsamayaitu3.Dengandemikianrasiobarisanadalah3.
Kembali pada contoh barisan bilangan 1, 3, 9, 27, . . ..Barisantersebutmemilikirasio3,sukupertamanyaadalah1.Bagaimanakahkitamenentukansukuke100,sukuke100daribarisan tersebut? Barisan ini adalah barisan geometri, tentuberbedadenganbarisanaritmatikayangtelahdibahasdiatas.
Untuk menentukan suku-suku yang diinginkan tersebut,gunakantabelberikutuntukmenemukanpolabarisannya.
Misalkanbarisangeometridengansukuper-tama a dan rasio r. Suku ke-n ( ) barisantersebutadalah
Matematika SMP Kelas IX 171
Setiap minggu Dira selalu memberikan hadiahberupa kartu bergambar kepada adiknya, yaituReni.MinggupertamaDiramemberiReni3kartubergambar, minggu kedua Dira memberi 6 kartubergambar kepada Reni. Minggu ketiga Diramemberi9kartubergambarpadaReni.
a. Berapakahbanyaknyakartubergambar yang harusdiberikan Dira kepadaadiknya pada minggu ke-4?
b. Berapakahbanyaknyakartubergambar yang harusdiberikan Dira kepadaadiknya pada minggu ke-5?
c. Berapakahbanyaknyakartubergambaryangharus diberikan Dira kepada adiknya padamingguke- n?
d. BerapakahbanyaknyaseluruhkartuyangtelahditerimaReniselama3minggu?
e. Bagaimanakahcaramumenentukanhasilpada(d)?Jelaskan!
Masihingatbarisanaritmetikanaikdanturun?Cobaperhatikanbarisan aritmetika pada contoh a dan b termasuk barisanaritmatikanaikatauturun?Bilasuku-sukupadabarisanaritmetikanaikdijumlahkanmakaakanterbentukderet aritmatika naik,begitupulabilasuku-sukupadabarisanaritmetika turun dijumlahkanmakaakanterbentukderet aritmatika turun.
GeometriD h a n i m e m p u n y a i m a i n a nbongkar pasang dari bangun-bangun yang berbentuk segilimaberaturandenganpanjang sisinya1 cm. Susunlah segilima-segilimaberaturan seperti pada gambar disamping, kemudian lengkapilahtabelberikut.
Kita sudah membahas jumlah deret aritmatika, bagaimanamenentukanjumlahderetgeometri?Idemencarijumlahderetarimatikakitagunakanuntukmencarijumlahderetgeometri,akan tetapi dengan modifikasi.
a. 52 b. 36 c. 30 d. 212. Banyak titik pada huruf N pada
urutanke–8adalah.. a. 24 b. 22 c. 18 d. 193. SukukeenamdanketujuhdaribarisanFibonacci1,1,2,3,
5,8,...adalah a. 8dan11 b. 8dan13 c. 9dan13 d. 9dan114. Sukuke–ndaribarisan3,5,7,9...adalah a. n + 2 b. 2n – 1 c. 2n + 1 d. 2n + 35. Jika diketahui 8 + 17 + 26 + ... = 690. Banyaknya bilangan
5. Deret adalah jumlahan suku-suku barisan. Bila yangdijumlahkansuku-sukubarisanaritmatika,makadisebutderet aritmatika dan bila yang dijumlahkan suku-sukubarisangeometrimakadisebutderetgeometri.
BAB 6 Barisan dan Deret178
Jawablah soal berikut dengan benar.6. Rumah-rumahdisebelahkananJalanAhmadYanidiberi
7. Tulislah aturan setiap barisan aritmetika berikut dancarilahtigasukuberikutnya.
a.5,10,15,20,... b.3,7,11,15,... c.34,29,24,19,... d.25,21,17,13,... e.63,54,45,36,... f.–8,-1,6,13,...3. Seorang Pegawai menerima gaji pertama sebesar Rp
800.000,00. Setiap bulan gaji tersebut naik sebesar Rp100.000,00sampaisetahun.Bilagajiyangditerimapegawaiitu ditulis dalam bentuk barisan, barisan apakah itu?Tulislahaturanuntukmenjelaskanbarisanitu.
9. Berpikir kritis. Apakah susunan 33, 33, 33, 33, ....merupakanbarisanbilangan?Termasukbarisanaritmetikaataugeometri?Tulislahaturanuntukmenjelaskannya.