Matematika I Primjene trigonometrije Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 31
Matematika IPrimjene trigonometrije
Katedra za matematiku, FSB
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 31
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja
Nauciti primjenjivati trigonometriju na rjesavanje:pravokutnog trokutaproblema optimumakosog hicaharmonijskog oscilatora
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 2 / 31
Sadrzaj
Sadrzaj:
1 Primjene trigonometrijskih funkcijaPrimjene pravokutnog trokutaKosi hitacHarmonijski oscilator∗
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 3 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
PRIMJENE PRAVOKUTNOG TROKUTA
Trigonometrijske funkcije omogucavaju da rijesimo trokut tj. da iz dvijeod velicina na slici odredimo preostale dvije:
ϕ
yz
x
Diferencijalni i integralni racun omogucava to i kada su sve te velicineovisne, npr., o vremenu t :
x = x(t), y = y(t), z = z(t), ϕ = ϕ(t).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 4 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
PRIMJENE PRAVOKUTNOG TROKUTA
Trigonometrijske funkcije omogucavaju da rijesimo trokut tj. da iz dvijeod velicina na slici odredimo preostale dvije:
ϕ
yz
x
Diferencijalni i integralni racun omogucava to i kada su sve te velicineovisne, npr., o vremenu t :
x = x(t), y = y(t), z = z(t), ϕ = ϕ(t).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 4 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
PRIMJER 1.Avion leti na visini od 10 km konstantnom brzinom, horizontalno, iznadpromatraca na zemlji. U trenutku u kojem promatrac vidi avion podkutem od 60◦ u odnosu na horizontalu, izmjerio je da se kut smanjujeza 2◦ u sekundi. Kolika je brzina aviona?
Rjesenje
ϕ
x
10km
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
PRIMJER 1.Avion leti na visini od 10 km konstantnom brzinom, horizontalno, iznadpromatraca na zemlji. U trenutku u kojem promatrac vidi avion podkutem od 60◦ u odnosu na horizontalu, izmjerio je da se kut smanjujeza 2◦ u sekundi. Kolika je brzina aviona?
Rjesenje
ϕ
x
10km
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 5 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Rjesenjedϕ
dt= 2◦ =
π
90[rad/s]. Trazimo
dxdt
∣∣∣ϕ=30◦
.
dxdt
=ddt
(10tgϕ) =10
cos2 ϕ
dϕ
dt⇒
⇒ dxdt
∣∣∣ϕ=30◦
=10
cos2(30◦)π
90=
4π
27[km/s]≈ 0.47[km/s] = 1675[km/h]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 6 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Rjesenjedϕ
dt= 2◦ =
π
90[rad/s]. Trazimo
dxdt
∣∣∣ϕ=30◦
.
dxdt
=ddt
(10tgϕ) =10
cos2 ϕ
dϕ
dt⇒
⇒ dxdt
∣∣∣ϕ=30◦
=10
cos2(30◦)π
90=
4π
27[km/s]≈ 0.47[km/s] = 1675[km/h]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 6 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
ZADATAK 1.U jednoj filmskoj sceni kamera prati jureci automobil. Udaljenostkamere od ceste je d , dok automobil juri konstantnom brzinom v .Kojom se brzinom okrece kamera? Kada je ta brzina najveca?
Rjesenje
ϕ
kamera
automobilx
d
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
ZADATAK 1.U jednoj filmskoj sceni kamera prati jureci automobil. Udaljenostkamere od ceste je d , dok automobil juri konstantnom brzinom v .Kojom se brzinom okrece kamera? Kada je ta brzina najveca?
Rjesenje
ϕ
kamera
automobilx
d
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 7 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Rjesenje (nastavak)Neka vrijeme mjerimo tako da je t = 0 za x = 0.tgϕ =
xd⇒ ϕ = arctg
xd.
dxdt
= v ⇒ x = v · t ⇒ ϕ = arctg(
v · td
)⇒
Kutna brzina kamere:
dϕ
dt=
1
1+ v2
d2 t2
vd
Brzina je najveca za t = 0 i iznosidϕ
dt=
vd.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 8 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
U primjenama su cesta kruzna gibanja:
x = r cosϕ = r cos(ωt)y = r sinϕ = r sin(ωt)
v =st=
rωtt
= rω
ωT = 2π, T ν = 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 9 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
PRIMJER 2.Istocno od zida, na udaljenosti od 10m, nalazi se stup visok 10m.Kojom se brzinom skracuje sjena sto je stup baca na zid?
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 10 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Rjesenje
ϕ
ϕ
10m
x
10m
T = 24h
ω =2π
T=
π
12[rad/h]
ϕ = ωt , x = 10tgϕ⇒x = 10tg
(π
12t)⇒
dxdt
=10
cos2( π
12 t)π
12=
5π
6cos2( π
12 t)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 11 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
ZADATAK 2.Svjetionik je 500m udaljen od ravog obalnog zida, a okrece se stalnombrzinom od 2 okreta u minuti. Kojom se brzinom giba svjetlo sto gasvjetionik baca na obalni zid? Kada je ta brzina najmanja?
Rjesenje
ϕ
x
500m
Frekvencija rotacije:ν = 2[okreta/min]⇒kutna brzina rotacije:ω = 4π[rad/min]⇒ ϕ = ω · t⇒ ϕ = 4πt
x = 500tgϕ ⇒ x = 500tg(4πt)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
ZADATAK 2.Svjetionik je 500m udaljen od ravog obalnog zida, a okrece se stalnombrzinom od 2 okreta u minuti. Kojom se brzinom giba svjetlo sto gasvjetionik baca na obalni zid? Kada je ta brzina najmanja?
Rjesenje
ϕ
x
500m
Frekvencija rotacije:ν = 2[okreta/min]⇒kutna brzina rotacije:ω = 4π[rad/min]⇒ ϕ = ω · t⇒ ϕ = 4πt
x = 500tgϕ ⇒ x = 500tg(4πt)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 12 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
ZADATAK 3.Svjetionik je 500m udaljen od ravog obalnog zida, a okrece se stalnombrzinom od 2 okreta u minuti. Kojom se brzinom giba svjetlo sto gasvjetionik baca na obalni zid? Kada je ta brzina najmanja?
Rjesenje
ϕ
x
500m
Brzina svjetla na zidu:dxdt
=2000π
cos2(4πt)Najmanja brzina:
za t = 0 tj. x = 0,dxdt
= 2000π
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 13 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
PRIMJER 3.Brzina bicikla je konstantnog iznosa v , polumjer kotaca je r iudaljenost macjeg oka od sredista kotaca je a. Opisite gibanje macjegoka, nadite njegovu brzinu i akceleraciju.
Ako su (x ,y) koordinate macjeg oka, onda one ovise o vremenu t tj.x = x(t), y = y(t).Opisati gibanje macjeg oka znaci pronaci te funkcije.Brzina i akceleracija tog gibanja imaju komponente:
dxdt
,dydt
,d2xdt2 ,
d2ydt2 .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 14 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
PRIMJER 3.Brzina bicikla je konstantnog iznosa v , polumjer kotaca je r iudaljenost macjeg oka od sredista kotaca je a. Opisite gibanje macjegoka, nadite njegovu brzinu i akceleraciju.
Ako su (x ,y) koordinate macjeg oka, onda one ovise o vremenu t tj.x = x(t), y = y(t).Opisati gibanje macjeg oka znaci pronaci te funkcije.Brzina i akceleracija tog gibanja imaju komponente:
dxdt
,dydt
,d2xdt2 ,
d2ydt2 .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 14 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Rjesenjey
x
(x, y)ϕ
a
s = rϕ
s = rϕ
a cosϕ
a sinϕ
r
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 15 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Rjesenje (nastavak)
s = rϕ, s = vt ⇒ ϕ =vr
t
x = vt−asin(ωt)y = r −acos(ωt)
dxdt
= v −aωcos(ωt)
dydt
= aωsin(ωt)
d2xdt2 = aω
2 sin(ωt)
d2ydt2 = aω
2 cos(ωt)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 16 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
PRIMJER 4.Korito je izradeno od ravnog lima sirine 3m, tako da je lim podijeljen natri pruge sirine 1m, pa su zatim rubne pruge podignute za kut ϕ. Za kojikut ϕ je volumen korita najveci?
ϕ
1m
1m
1mh
x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 17 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
ZADATAK 4.Dva hodnika sirine a susrecu se pod pravim kutem. Koja je duljina dnajduze sipke koja se moze (horizonatlno) prenijeti kroz hodnik?
RjesenjeMedu svim sipkama koje dodiruju oba zida (vidi skicu) trazimo sipkunajmanje duljine jer svaka kraca sipka od te sigurno prolazi krozhodnik.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 18 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Rjesenje
d
a
a
π2− ϕ
ϕ
Kriticne tocke funkcije d :
d =a
sinϕ+
asin(π
2 −ϕ)
⇒ d =a
sinϕ+
acosϕ
pri cemu je ϕ ∈ (0,π
2ϕ 0 π/4 π/2
d(ϕ) ∞ 2√
2a ∞
Duljina trazene sipke je 2√
2a.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 19 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Primjene pravokutnog trokuta
Rjesenje
d
a
a
π2− ϕ
ϕ
Kriticne tocke funkcije d :
d ′ =−acosϕ
sin2ϕ
+asinϕ
cos2 ϕ= 0
⇒cos3ϕ = sin3
ϕ
⇒cosϕ = sinϕ⇒ ϕ =π
4.
ϕ 0 π/4 π/2d(ϕ) ∞ 2
√2a ∞
Duljina trazene sipke je 2√
2a.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 19 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Kosi hitac
KOSI HITAC
α
~v0
x
y
POCETNI UVJETI:
x(0) = y(0) = 0dxdt
(0) = v0 cosα
dydt
(0) = v0 sinα
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 20 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Kosi hitac
JEDNADZBA GIBANJAHorizontala komponenta:
md2xdt2 = 0
⇒ dxdt
= c1
⇒ x(t) = c1t +c2
x(0) = 0⇒ c2 = 0
dxdt
(0) = v0 cosα⇒ c1 = v0 cosα
Vertikalna komponenta:
md2ydt2 =−mg
⇒dydt
=−gt +c3
⇒y(t) =−gt2
2+c3t +c4
y(0) = 0⇒ c4 = 0
dydt
(0) = v0 sinα⇒ c3 = v0 sinα
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 21 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Kosi hitac
KOSI HITAC PARAMETARSKI:
x(t) = v0 cos(α)t , y(t) =−gt2
2+v0 sin(α)t
KOSI HITAC EKSPLICITNO:
t =x
v0 cosα
y =−g2· x2
v20 cos2 α
+(tg α)x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 22 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Kosi hitac
MAKSIMALNA VISINA TANETA:
dydt
= 0⇒−gt +v0 sinα = 0⇒ t =v0 sinα
g
hmax = h(
v0 sinα
g
)=
v20 sin2
α
2g.
DOMET TANETA:
y = 0⇒−gt2
2+v0 sin(α)t ⇒ t =
2v0 sinα
gsto uvrsteno u x(t) daje
d =v2
0 sin(2α)
gKatedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 23 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Kosi hitac
MAKSIMALNI DOMET TANETA:
d =v2
0 sin(2α)
g≤ v2
0g.
Dakle, maksimalni domet se postize kada je sin(2α) = 1⇒ α =π
4.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 24 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Harmonijski oscilator∗
HARMONIJSKI OSCILATOR∗
PRIMJER 5.Kako se giba masa pod djelovanjem sile opruge?
x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 25 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Harmonijski oscilator∗
RjesenjeHookeov zakon: F =−kx
md2xdt2 =−kx ⇒ d2x
dt2 =− km
x =−ω2x
gdje je :
ω =
√km
Trebamo naci x(t) za koji vrijedi
d2xdt2 =−ω
2x DIFERENCIJALNA JEDNADZBAZA HARMONIJSKI OSCILATOR
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 26 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Harmonijski oscilator∗
Rjesenje (nastavak)
Definirajmo novu funkciju y sa dxdt =−ωy . Jednadzbu harmonijskog
oscilatora sada mozemo zapisati
dxdt
=−ωy ,dydt
= ωx
⇒ 2xdxdt
+2ydydt
= 0 =ddt
(x2 +y2
)⇒ x2 +y2 = r2 (x ,y) se giba po kruznici
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 27 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Harmonijski oscilator∗
Rjesenje (nastavak)Kojom brzinom se (x ,y) giba po kruznici?
y
x
v
r
dydt
dxdt
(x, y)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 28 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Harmonijski oscilator∗
Rjesenje (nastavak)Kojom brzinom se (x ,y) giba po kruznici?
y
x
v
r
dydt
dxdt
(x, y)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 28 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Harmonijski oscilator∗
Rjesenje (nastavak)
v2 =
(dxdt
)2
+
(dydt
)2
= ω2x2 +ω
2y2
= ω2(
x2 +y2)= ω
2r2
⇒ v = ωr
x = r cos(ωt +α)
y = r sin(ωt +α)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 29 / 31
Primjene trigonometrijskih funkcija Harmonijski oscilator∗
HARMONIJSKI OSCILATOR
PRIMJER 6.Rijesite
d2xdt2 =−9x
uz pocetni uvjete x(0) = 3, dxdt (0) = 9.
Rjesenje
x(t) = r cos(3t +α)
x(0) = r cosα = 3x(0) =−3r sinα = 9⇒ r sinα =−3
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 30 / 31