Page 1
BAB I
MATRIKS
1.1. Tujuan Instruksional Umum
Setelah mengikuti mata kuliah Matematika I ini mahasiswa akan dapat
menyelesaikan operasi matriks, menentukan nilai determinan matriks,
menentukan invers matriks, dapat menyelesaikan sistem persamaan linier, dan
dapat menginterpretasikannya dengan baik dan benar.
1.2. Tujuan Instruksional Khusus
Setelah mempelajari bab ini dan mengerjakan soal perlatihannya diharapkan
mahasiswa akan dapat:
1. Menyebutkan pengertian matriks dengan benar.
2. Menyelesaikan operasi penjumlahan pada matriks dengan benar.
3. Menyelesaikan operasi pengurangan pada matriks dengan benar.
4. Menyelesaikan operasi perkalian scalar dengan matriks dengan benar.
5. Menyelesaikan operasi perkalian matriks dengan matriks dengan benar.
6. Menjelaskan aturan ilmu hitung matriks dengan benar.
7. Menjelaskan jenis-jenis matriks dengan benar.
1
Page 2
1.3. Pengertian Matriks.
Suatu himpunan bilangan atau variabel yang disusun dalam bentuk empat
persegi panjang, yang terdiri dari baris dan kolom disebut matriks. Jika matrik
mempunyai m baris dan n kolom, maka disebut matrik berdimensi m x n.
Matriks ditulis dalam bentuk () atau [ ] dan bentuk lain ‖‖. Matriks
biasa ditulis dengan huruf besar, misalnya A,B dan seterusnya, dan elemen–
elemennya dengan huruf kecil, misalnya a, b dan seterusnya.
Bentuk umum matriks:
atau
A=[aij ]
i = 1,2, … m
j= 1, 2, …., n
aij disebut elemen yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j.
1.4. Operasi Matriks.
1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks.
Dua buah matriks hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan apabila
keduanya berorde sama. Jumlah atau selisih dua matriks A=[aij ] dan
B=[b ij ]
2
A=[a11 a12 .. . a1 n
a21 a22 .. . a2 n
.
.
.am 1 am 2 .. . amn
]
Page 3
adalah sebuah matriks baru C=[c ij ] yang beorde sama, yang unsur–unsurnya
merupakan jumlah atau selisih unsur–unsur A dan B.
A±B=C dimana c ij=aij±bij
Contoh:
[5 2 3−1 4 2 ]+[ 2 3 1
4 1 3 ]=[7 5 43 5 5 ]
[5 2 3−1 4 2 ]−[2 3 1
4 1 3 ]=[3 −1 2−5 3 −1 ]
Contoh:
Tinjaulah matriks–matriks:
A=[3 2 1 05 2 1 25 3 2 4 ] ,B=[ 3 2 1 0
−4 0 −1 −25 3 2 4 ] ,C=[2 1
5 0 ]Maka,
A+B=[3 2 1 05 2 1 25 3 2 4 ]+[3 2 1 0
−4 0 −1 −25 3 2 4 ]
=[6 4 2 01 2 0 010 6 4 8 ]
Sedangkan A+C dan B+C tidak didefinisikan.
Karena penjumlahan antar bilangan bersifat komutatif dan asosiatif,
padahal matriks adalah kumpulan bilangan, maka untuk penjumlahan antar
matriks berlaku pula kaidah kaidah komutatif dan kaidah asosiatif.
Kaidah komutatif : A+B=B+A
Kaidah asosiatif :A+(B+C) = (A+B)+C = A+B+C.
3
Page 4
2. Perkalian Matriks dengan skalar.
Hasil kali sebuah matriks A =[a ij ] dengan suatu skalar atau bilangan
nyata λ
Adalah sebuah matriks baru B =[ bij ] yang berorde sama dan unsur–unsur λ kali
unsur–unsur matriks semula (b ij= λaij )
λA=B dimana b ij=λaij
Contoh:
A=[ a11 a12 a13
a21 a22 a23]=[2 1 2
3 −1 4 ] λ=3
maka:
λA=3 A=B=3 .[2 1 23 −1 4 ]=[6 3 6
9 −3 12 ]Contoh:
Jika A adalah matriks,
A=[2 42 3
−1 03 15 2
]Maka
2 . A=2 .[2 42 3
−1 03 15 2
]=[4 84 6
−2 06 2
10 4]
dan
(−1) . A=−.[2 42 3
−1 03 15 2
]=[−2 −4−2 −31 0
−3 −1−5 −2
]4
Page 5
Jika B adalah sebarang matriks, maka-B akan menyatakan hasil kali (- 1).B. Jika
A dan B adalah dua matriks yang ukurannya sama, maka A-B didefinisikan
sebagai jumlah A+ (- B) =A +(–1).B.
Contoh:
Tinjaulah matriks–matriks
A=[ 3 1 2 4 3−1 2 −2 5 30 −4 2 3 −5 ]
dan
B=[ 5 −1 2 0 3−1 2 2 −4 00 1 −2 0 2 ]
Dari definisi di atas maka
−B=[−5 1 −2 0 −31 −2 −2 4 00 −1 2 0 −2 ]
Dan
A−B=[3 1 2 4 3−1 2 −2 5 30 −4 2 3 −5 ]+[−5 1 −2 0 −3
1 −2 −2 4 00 −1 2 0 −2 ]
=[−2 2 0 4 00 0 −4 9 30 −5 4 3 −7 ]
Perhatikan bahwa A-B dapat diperoleh secara langsung dengan entri B dari entri
A yang bersangkutan.
3. Perkalian antar matriks.
Dua matriks hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom dari matriks
yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matriks pengalinya. Hasil kali dua
matriks Amxn dengan Bnxp adalah sebuah matriks baru Cmxp , yang unsure-
5
Page 6
unsurnya merupakan perkalian silang unsur - unsur baris matriks A dengan
unsur–unsur kolom matriks B.
Amxn X Bnxp = Cmxp
Contoh:
Misalkan A adalah matriks 3 x 4, B adalah matriks 4 x 7, dan C adalah matriks
7x3. Maka AB didefinisikan sebagai matriks 3 x 7, CA didefinisikan sebagai
matriks 7x4, BC didefinisikan sebagai matriks 4 x 3. Hasil kali AC, CB, dan BA
semuanya tidak didefinisikan.
Contoh:
Misalkan A adalah matriks m x r yang umum dan B adalah matriks r x n yang
umum, maka seperti yang disarankan, entri dalam baris i dan kolom j dari AB,
A . B=[a11 a12 ⋯ a1 r
a21 a22 ⋯ a2 r
⋮ ⋮ ⋮ai1 ai2 ⋯ air
⋮ ⋮ ⋮am1 am2 ⋯ amr
] .[b11 b12 ⋯ b1 j ⋯ b1n
b21 b22 ⋯ b2 j ⋯ b2n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮br 1 br 2 ⋯ brj ⋯ brn
]Perkalian matriks mempunyai penerapan penting terhadap system
persamaan linier. Tinjaulah suatu system persamaan yang terdiri dari m
persamaan linier dalam n bilangan tak deketahui.
a11 x1+a12 x2+⋯+a1n xn=b1
a21 x1+a22 x2+⋯+a2 n xn=b2
⋮am1 x1+am2 x2+⋯+amn xn=bn
6
Page 7
karena dua matriks dinyatakan sama jika dan hanya jika entri-entri yang
bersesuaian sama, maka kita dapat menggantikan persamaan m dalam sistem ini
dengan persamaan matriks tunggal
[ a11 x1+ a12 x2+ ⋯+ a1 n xn
a21 x1+ a22 x2+ ⋯+ a2 n xn
⋮ ⋮ ⋮ ⋮am 1 x1+ am2 x2+ ⋯+ amn xn
][b1
b2
⋮bm
] .Matriks m x 1 pada ruas kiri persamaan ini dapat dituliskan sebagai hasil
kali yang memberikan
[ a11 a12 ⋯ a1n
a21 a22 ⋯ a2n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮am 1 am2 ⋯ amn
] .[ x1
x2
⋮xn
]=[b1
b2
⋮bm
] .Jika kita matriks–matriks ini berturut-turut dengan A, X, dan B maka m
persamaan asli dalam n bilangan tak diketahui telah digantikan oleh persamaan
tunggal
AX = B
Contoh:
A2 x 3=[2 −3 58 2 4 ] dan B3×2=[3 5
6 −72 9 ]
maka A2 x3×B3×2=C2×2=[c11 c12
c21 c22 ]c11=a11b11+a12 b21+a13b31=2. 3+(−3 ) . 6+5 .2=−2
c12=a11b12+a12 b22+a13 b32=2 . 5+(−3 ) . (−7 )+5. 9=76c21=a21b11+a22 b21+a23b31=8 .3+2 . 6+4 .2=44
c22=a21b12+a22b22+a23 b32=8 . 5+2. (−7 )+4 . 9=62
Jadi, AB=C=[−2 7644 62 ]
7
Page 8
Penyelesaian langsung dapat dilakukan sebagai berikut:
AB=[2 −3 58 2 4 ] .[3 5
6 −72 9 ]
=[2.3+(−3 ) . 6+5 .2 2.5+(−3 ) . (−7 )+5 . 98 .3+2 . 6+4 .2 8.5+2 . (−7 )+4 .9 ]
=[−2 7644 62 ]
1.5. Aturan-Aturan Ilmu Hitung Matriks
Walaupun banyak dari aturan-aturan ilmu hitung bilangan riil berlaku
juga untuk matriks, namun terdapat beberapa kekecualian. Salah satu dari
kekecualian yang terpenting terjadi pada perkalian matriks. Untuk bagian–bagian
riil a dan b kita selalu mempunyai ab = ba yang sering disebut hukum komutatif
untuk perkalian. Akan tetapi, untuk matriks–matriks, maka AB dan BA tidak
perlu sama. Kesamaan dapat gagal terpenuhi karena tiga hal. Hal itu dapat terjadi,
misalnya AB didefinisikan sedangkan BA tidak didefinisikan. Ini adalah kasus
kalau A adalah matriks 2 x 3 dan B adalah matriks 3 x 4. Juga dapat terjadi AB
dan BA kedua–duanya didefinisikan tetapi mempunyai ukuran yang berbeda-
beda. Hal ini terjadi kalau A adalah matriks 2 x 3 dan B adalah matriks 3 x2..
Akhirnya, seperti yang diperlihatkan oleh contoh berikutnya, maka mungkin
untuk memperoleh AB≠BA walaupun AB dan BA didefinisikan dan
mempunyai ukuran yang sama.
Contoh:
Tinjaulah matriks –matriks
8
Page 9
A=[−1 02 3 ] ,B=[1 2
3 0 ]Dengan mengalikannya maka akan memberikan
AB=[−1 −211 4 ] BA=[ 3 6
−3 0 ]Jadi, AB≠BA .
Walaupun hukum komutatif untuk perkalian tidak berlaku dalam ilmu
hitung matriks, namun banyak hukum–hukum ilmu hitung yang sudah biasa
dikenal akan berlaku untuk matriks. Beberapa diantara hukum yang paling
penting dan nama–namanya diikhtisarkan dalam teorema berikut,
Teorema
Dengan mengganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian
sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat diperagakan, maka aturan-
aturan ilmu hitung matrriks berikut akan sahih.
a. A+B = B + A (Hukum komutatif untuk penambahan)
b. A+ (B+C) = (A+B)+C (Hukum asosiatif untuk penambahan)
c. A(BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk perkalian)
d. A(B+C)=AB+AC (Hukum distributif)
e. (B+C)A=BA+CA (Hukum distributif)
f. A(B-C)=AB-AC
g. (B-C)A=BA-CA
h. a(B+C)=aB+aC
i. a(B-C)=aB-aC
j. (a+b)C=aC+bC
9
Page 10
k. (a-b)C=aC-bC
l. (ab)C=a(bC)
m. a(BC)=(aB)C=B(aC)
Walaupun operasi penambahan matriks dan operasi perkalian matriks
didefinisikan untuk pasangan matriks, namun hukum hukum asosiatif (b) dan
(c) memungkinkan kita untuk jumlah dan hasil kali tiga matriks seperti
A+B+C dan ABC tanpa menyisipkan tanda kurung. Hal ini dibenarkan oleh
kenyatan bahwa bagaimanapun, tersebut disisipkan, hukum asosiatif
menjamin bahwa hasil akhir yang sama akan kita peroleh.
Contoh:
Sebagai gambaran hukum asosiatif untuk perkalian matriks, tinjaulah
A=[1 23 40 1 ] B=[4 3
2 1 ] C=[1 02 3 ]
Kemudian
AB=[1 23 40 1 ] .[4 3
2 1 ]=[8 5
20 132 1 ]
Sehingga
10
Page 11
( AB)C=[8 520 132 1 ] .[1 0
2 3 ]=[18 15
46 394 3 ]
Sebaliknya
BC=[4 32 1 ] .[1 0
2 3 ]=[10 9
4 3 ]Maka
A( BC )=[1 23 40 1 ] .[10 9
4 3 ]=[18 15
46 394 3 ]
Jadi, (AB)C=A(BC),
1.6. Jenis-Jenis Matriks.
1. Matriks Bujur Sangkar.
Suatu matriks yang mempunyai jumlah baris dan jumlah kolom yang sama
disebut matriks bujur sangkar.
Contoh:
P=[12 2 33 −5 45 6 1 ]
Jumlah baris = 3, jumlah kolom = 3.
11
Page 12
2. Matriks Diagonal.
Suatu matriks bujur sangkar, dimana elemen diagonal utama ¿ 0 dan
selainnya sama dengan nol, disebut matriks diagonal.
Contoh:
A=[2 00 3 ] , B=[3 0 0
0 6 00 0 5 ] , C=[2 0 0 0
0 2 0 00 0 2 00 0 0 2
] , D=[1 0 00 1 00 0 1 ]
3. Matriks Satuan.
Suatu matriks diagonal, dimana elemen–elemen diagonal utama semuanya
1 disebut matriks satuan. Matriks satuan ini biasanya ditulis dengan notasi I.
Matriks satuan yang berdimensi n x n ditulis dengan notasi In.
I n=[1 0 .. . 00 1 .. . 0...0 0 .. . 1
]atauI n=‖δ ij‖, δ ij=¿ {1 , i= j ¿ ¿¿¿
¿
Contoh:
Matriks satuan 3 x 3:
I 3=[1 0 00 1 00 0 1 ]
12
Page 13
Jika A matriks bujursangkar bertipe n x n dan I matriks satuan bertipe n x n maka:
IA=AI=A.
4. Matriks Nol.
Suatu matriks yang semua elemen–elemennya nol disebut matriks nol
dan ditulis dengan notasi 0. Matriks nol tidak selalu berbentuk bujur sangkar.
Contoh:
O= [0 0 0 ] ,ber dim ensi . 1 x3
O=[0 0 00 0 00 0 0 ] , ber dim ensi. 3 x3
Pada matriks nol berlaku operasi berikut:
A + 0 = 0 + A = A.
A-A = 0.
A0 =0A= 0.
Dalam hal ini A dan 0 adalah matriks bujursangkar yang bertipe
sama.Pada bilangan riil berlaku a.b = 0, artinya a=0, b = 0, akan tetapi pada
matriks hal ini tidak berlaku.
Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada contoh berikut:
A=[1 40 0 ] , B=[4 0
−1 0 ]AB=[1 4
0 0 ] x [4 0−1 0 ]
AB=[0 00 0 ]
Dari hasil di atas juga dapat dilihat bahwa hasil kalinya adalah matriks nol, tetapi
A dan B bukan matriks nol.
13
Page 14
5. Matriks Transpose.
Transpose dari matriks A adalah suatu matriks yang dibentuk dari A
dengan mengubah baris dan kolom A menjadi kolom dan baris matriks tranpose.
Matriks transpose dinotasikan dengan A’ atau AT.
Jika A=‖a ji‖
' maka . A'=‖a ji‖'
Jika A bertipe m x n maka A’ bertipe n x m.
Sifat–sifat matriks transpose adalah sebagai berikut:
a. Jika A dan B bertipe sama, maka:
b. Pada matriks satuan I berlaku I’ = I.
c. Transpose suatu matriks A’ adalah matriks A atau (A’)’ = A.
Contoh:
Hitunglah (AB)’, jika:
A=[1 23 2 ] , B=[1 0
2 1 ]Jawab :
AB=[1 23 2 ] x [1 0
2 1 ]AB=[5 2
7 2 ]( AB ) '=[5 7
2 2 ]
14
Page 15
Contoh:
Buktikan ( AB ) '=B ' A ', jika:
A=[ 2 1 ] ,B=[32 ]Bukti:
AB=[ 2 1 ] x [32 ]AB=[ 8 ]( AB ) '=[ 8 ]
A '=[21 ] , B '=[3 2 ]
B' A '=[ 8 ]
Maka terbukti bahwa (AB)’ = B’A’.
6. Matriks Simetris.
Matriks Simetris A adalah suatu matriks yang memenuhi A = A’. Dalam
hal ini jelas bahwa matriks simetris adalah matriks bujur sangkar. Elemen baris
ke-i dan kolom ke-j dari matriks A = elemen pada baris ke-j dan kolom ke-i dari
matriks A’, atau aij untuk semua i dan j.
Contoh:
Matriks simetris berdimensi 3 x 3:
A=[4 1 51 7 65 6 6 ] , A '=[4 1 5
1 7 65 6 6 ]
15
Page 16
7. Matriks Simetris Miring.
Matriks simetris miring A adalah suatu matriks bujur sangkar dan a ij = - aij ,
aii= 0.
Contoh:
Matriks simetris miring berdimensi 3 x 3:
A=[0 2 4−2 0 −5−4 5 0 ] , A '=[ 0 −2 −4
2 0 54 −5 0 ]
−A '=[0 2 4−2 0 −5−4 5 0 ]
8. Matriks Invers.
Matriks Invers atau matrik balikan adalah adalah matriks yang apabila
dikalikan dengan matriks bujur sangkar menghasilkan sebuah matriks satuan. Jika
A merupakan suatu matriks bujursangkar, maka balikannya dituliskan dengan
notasi A-1
Dan AA-1 = I.
Sifat–sifat invers matriks:
a. Jika A dan B matriks bujur sangkar yang bertipe sama, maka: (AB)-1 = B-1A-
1.
b. Invers dari invers matriks adalah matriks itu sendiri: (A-1)-1 =A.
c. Invers matriks satuan adalah matriks satuan itu sendiri atau I-1 = I.
d. Invers matriks tranpose adalah matriks tranpose, atau: (A ‘)-1 = (A-1)’.
16
Page 17
Contoh:
Tentukanlah matriks invers dari A=[8 4
5 3 ]Penyelesaian:
|A|=|8 45 3
|=4, bearti A non singular dan A-1 ada.
b11=a22
|A|=3
4=0 .75 , b12=
−a12
|A|=−4
4=1
b21=−a21
|A|=−5
4=−1 .25 , b22=
a11
|A|=8
4=2
Jadi
A−1=B=[0 .75 1−1.25 2 ]
Tentukan invers dari matriks A=[8 4
6 3 ]Penyelesaian:
|A|=|8 46 3
|=0, berarti A singular dan A-1 tidak ada.
9. Matriks Skalar, Ortogonal, Singular, dan Non Singular.
Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur–unsurnya sama atau
seragam (λ ). Dalam hal λ =1, matriks yang bersangkutan sekaligus juga
merupakan matriks satuan. Matriks skalar juga merupakan hasil kali sebuah skalar
dengan matriks satuan, λ I = matriks skalar λ .
17
Page 18
Matriks Orthogonal adalah matriks yang apabila dikalikan dengan matriks
ubahannya menghasilkan matriks satuan., AA’ = I.
Matriks Singular adalah matriks bujursangkar yang determinannya sama
dengan nol. Matriks semacam ini tidak mempunyai balikan. Sedangkan matriks
nonsingular adalah matriks bujursangkar yang determinannya tidak nol, matriks
semacam ini mempunyai balikan.
1.7. Rangkuman
Suatu himpunan bilangan atau variabel yang disusun dalam bentuk empat
persegi panjang, yang terdiri dari baris dan kolom disebut matriks . Jika matrik
mempunyai m baris dan n kolom, maka disebut matrik berdimensi m x n.
Matriks ditulis dalam bentuk () atau [ ] dan bentuk lain ‖‖. Matriks
biasa ditulis dengan huruf besar dan elemen–elemennya dengan huruf kecil.
Dua buah matriks hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan apabila
keduanya berorde sama.
Hasil kali sebuah matriks A =[a ij ] dengan suatu skalar atau bilangan
nyata λ adalah sebuah matriks baru B =[ bij ] yang berorde sama dan unsur–unsur
λ kali unsur–unsur matriks semula (b ij= λaij ) .
Dua matriks hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom dari matriks
yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matriks pengalinya.
Suatu matriks yang mempunyai jumlah baris dan jumlah kolom yang sama
disebut matriks bujur sangkar
18
Page 19
Suatu matriks bujur sangkar, dimana elemen diagonal utama ¿ 0 dan
selainnya sama dengan nol, disebut matriks diagonal
Suatu matriks diagonal, dimana elemen–elemen diagonal utama semuanya
1 disebut matriks satuan.
Suatu matriks yang semua elemen–elemennya nol disebut matriks nol
dan ditulis dengan notasi 0.
Transpose dari matriks A adalah suatu matriks yang dibentuk dari A
dengan mengubah baris dan kolom A menjadi kolom dan baris matriks tranpose.
Matriks Simetris A adalah suatu matriks yang memenuhi A = A’
Matriks simetris miring A adalah suatu matriks bujur sangkar dan a ij = -
aij , aii= 0.
Matriks Invers atau matriks balikan adalah adalah matriks yang apabila
dikalikan dengan matriks bujur sangkar menghasilkan sebuah matriks satuan.
Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur–unsurnya sama atau
seragam (λ ).
Matriks Orthogonal adalah matriks yang apabila dikalikan dengan matriks
ubahannya menghasilkan matriks satuan., AA’ = I.
Matriks Singular adalah matriks bujursangkar yang determinannya sama
dengan nol. Matriks semacam ini tidak mempunyai balikan.
Matriks nonsingular adalah matriks bujursangkar yang determinannya
tidak nol, matriks semacam ini mempunyai balikan.
19
Page 20
1.8. Latihan
1. Diketahui matriks sebagai berikut:
A3 X 2=[3 52 31 4 ] , B3 X 2=[2 4
5 30 −5 ] ,C3 X 3=[5 4 5
0 2 35 1 2 ] , D3 X 3=[2 0 −1
2 5 45 4 1 ]
E2 X 3=[2 5 11 2 1 ] , F2 X 2=[2 0
2 1 ]Tentukanlah nilai dari:
a. 2A+2B
b. 5A-2B
c. A.B
d. A.F
e. E.B
f. A.F.E
2. Diketahui matriks sebagai berikut:
A3 X 3=[2 5 0−4 1 23 2 1 ] , B3 X 2=[ 3 2
1 34 5 ] , C3 X 3=[2 1 2
0 2 30 1 2 ] , D3 X 3=[2 0 0
2 −2 2−3 0 1 ]
E2 X 3=[2 3 11 2 1 ] , F2 X 2=[1 3
2 1 ]Tentukanlah nilai dari:
a. 2A+5C
b. 5A-B
c. A.B
d. A.C
20
Page 21
e. E.B
f. A.B.F
3. Tinjaulah Matriks–matriks
A=[ 3 0−1 21 1 ] ,B=[4 −1
0 2 ] ,C=[1 4 23 1 5 ] , D=[ 1 5 2
−1 0 13 2 4 ] ,E=[ 6 1 3
−1 1 24 1 3 ]
Hitunglah:
a. A.B
b. D+E
c. D-E
d. D.E
e. E.D
f. – 7D
4. Dengan menggunakan matriks–matriks di latihan no.3 , hitunglah operasi-
operasi yang berkaitan dengan (di mana mungkin)
a. 3C-D
b. (3E)D
c. (AB) C
d. A(BC)
e. D + E2
5. Apakah yang dimaksud dengan matriks bujur sangkar?
6. Apakah yang dimaksud dengan matriks diagonal?
7. Apakah yang dimaksud dengan matriks satuan ?
8. Apakah yang dimaksud dengan matriks transpose?
21
Page 22
9. Apakah yang dimaksud dengan matriks simetris?
10. Apakah yang dimaksud dengan matriks simetris miring?
11. Apakah yang dimaksud dengan matriks invers?
12. Apakah yang dimaksud dengan matriks Skalar?
13. Apakah yang dimaksud dengan matriks Ortogonal ?
14. Apakah yang dimaksud dengan matriks Singular ?
15. Apakah yang dimaksud dengan matriks Non Singular?
1.9. Daftar Pustaka.
1. Nababan, M. 1993. Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan
Bisnis. Jakarta: Penerbit Erlangga.
2. Anton, Howard. 1995. Matematika I Elementer. Jakarta: Penerbit
Erlangga.
3. Dumairy. 1996. Matematika Terapan untuk Bisnis dan
Ekonomi.Yogyakarta:BPFE.
22
Page 23
BAB II
DETERMINAN
2.1 Tujuan Instruksional Umum
Setelah mengikuti mata kuliah Matematika I ini mahasiswa akan dapat
menyelesaikan operasi matriks, menentukan nilai determinan matriks,
menentukan invers matriks, dapat menyelesaikan sistem persamaan linier, dan
dapat menginterpretasikannya dengan baik dan benar.
2.2 Tujuan Instruksional Khusus
Setelah mempelajari bab ini dan mengerjakan soal perlatihannya diharapkan
mahasiswa akan dapat:
1. Menyebutkan pengertian determinan dengan benar.
2. Menyebutkan sifat–sifat determinan dengan benar.
3. Menentukan determinan dengan metode Sarrus dengan benar.
4. Menentukan minor dan kofaktor suatu matriks dengan benar.
5. Menentukan matriks kofaktor dengan benar.
6. Menentukan determinan dengan metode ekspansi kofaktor dengan benar.
7. Menentukan determinan dengan metode reduksi baris dengan benar.
23
Page 24
2.3 Pengertian Determinan.
Determinan dari suatu matriks adalah penulisan unsur–unsur sebuah
matriks bujur sangkar dalam bentuk determinan, yaitu diantara sepasang garis
tegak atau ||. Determinan matriks A lazim dituliskan dengan notasi |A| atau
DA. Determinan dengan matriks dalam tiga hal:
1. Determinan unsur–unsurnya diapit dengan sepasang garis tegak,
sedangkan matriks diapit dengan tanda kurung.
2. Determinan senantiasa berbentuk bujur sangkar (jumlah baris = jumlah
kolom, m=n), sedangkan matriks tidak harus demikian.
3. Determinan mempunyai nilai numerik, tetapi tidak demikian halnya
dengan matriks.
Pencarian nilai numerik dari suatu determinan dapat dilakukan dengan
cara mengalikan unsur–unsurnya secara diagonal.
Matriks
A=[ a11 a12
a21 a22] ,det er min annya ;|A|=|a11 a12
a21 a22
|
Nilai numeriknya:
|A|=|a11 a12
a21 a22
|=a11a22−a21a12
Contoh:
24
Page 25
A=[1 22 3 ] , B=[2 4
3 1 ]maka
det A=|1 22 3
|=1. 3−2 . 2=−1
det B=|2 43 1
|=2. 1−3 . 4=−10
Untuk determinan berdimensi 3.
A=[ a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33]
Metode yang digunakan oleh Sarrus untuk menentukan determinan matriks A
adalah;
|A|=|a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
|a11 a12
a21 a22
a31 a32
|A|=a11a22 a33+a12 a23 a31+a13a21a32−a31 a22 a13−a32a23 a11−a33a21a12
Contoh:
A=[1 2 42 3 11 2 1 ]
maka
det A=|1 2 42 3 11 2 1
|1 22 31 2
=1. 3 .1+2 .1. 1+4 . 2 .2−1. 3 . 4−2. 1 .1−1. 2. 2=3
2.4 Sifat–sifat Determinan.
25
Page 26
Determinan mempunyai beberapa sifat khas berkenaan dengan nilai
numeriknya. Sifat–sifat tersebut adalah sebagai berikut:
1. Nilai determinannya adalah nol jika semua unsurnya sama.
Contoh:
|A|=|3 3 33 3 33 3 3
|=27+27+27−27−27−27=0
2. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang
unsur–unsurnya sama.
Contoh:
|A|=|2 4 13 2 22 4 1
|=4+16+12−4−16−12=0
3. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang
unsur–unsurnya sebanding.
Contoh:
|A|=|2 1 32 5 24 2 6
|=60+8+12−60−8−12=0
4. Nilai determinannya adalah nol jika unsur–unsur pada salah satu baris atau
kolom semuanya nol.
Contoh:
26
Page 27
|A|=|2 3 52 1 40 0 0
|=0+0+0−0−0−0=0
5. Nilai determinan tidak berubah jika semua baris dan kolomnya saling
bertukar letak, dengan kata lain determinan dari matriks A sama dengan
determinan matriks ubahannya A’; |A|=|A '|.
Contoh:
|A|=|2 3 14 2 12 5 3
|=12+6+20−4−10−36=−12
|A '|=|2 4 23 2 51 1 3
|=12+20+6−4−10−36=−12
6. Nilai determinan berubah tanda (tetapi harga mutlaknya tetap) jika dua baris
atau dua kolom bertukar letak.
Contoh:
|A|=|2 4 24 2 12 5 3
|=12+8+40−8−10−48=−6
|B|=|4 2 22 4 15 2 3
|=48+10+8−40−8−12=6
7. Determinan dari suatu matriks diagonal adalah hasil kali unsur–unsur
diagonalnya.
27
Page 28
Contoh:
|A|=|2 0 00 4 00 0 3
|=24
8. Jika setiap unsur pada salah satu baris atau kolom dikalikan dengan suatu
bilangan, nilai determinannya adalah sama dengan hasilkalinya dengan
bilangan tersebut.
Contoh:
|A|=|2 4 24 2 12 5 3
|=12+8+40−8−10−48=−6 jika.baris . . kedua ..dikali . 3
¿¿¿
¿
9. Jika semua unsur merupakan penjumlahan dari dua bilangan atau lebih,
determinannya dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari dua determinan
atau lebih.
10. Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya
dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (invers): jadi bila |A|=0 , A
merupakan matriks singular dan A-1 tidak ada.
11. Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya
dikatakan nonsingular dan mempunyai balikan (invers): jadi bila |A|≠0 , A
merupakan matriks nonsingular dan A-1 ada.
28
Page 29
12. Pada penguraian determinan (ekspansi Laplace), nilai determinan sama
dengan nol jika unsur baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris
atau kolom yang lain, tetapi tidak sama dengan nol jika unsur suatu baris
atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris atau kolom itu sendiri.
2.5 Minor dan Kofaktor.
Laplace berhasil mengembangkan suatu cara penyelesaian yang berlaku
umum untuk determinan berdimensi berapapun, yakni menggunakan minor dan
kofaktor dari determinan yang bersangkutan.
Perhatikan kembali penyelesaian determinan berdimensi 3,
|A|=a11a22 a33+a12 a23 a31+a13a21a32−a31 a22 a13−a32a23 a11−a33a21a12
Dengan mengatur letak suku-sukunya, penulisan ini bisa diubah menjadi:
|A|=(a11a22a33−a11 a23a32)+ (a12 a23 a31−a21 a12a33 )+(a13a32a21−a31 a22 a13 )|A|=a11 (a22a33−a23 a32 )+a12 (a23 a31−a21a33 )+a13 (a32 a21−a31 a22 )|A|=a11 (a22a33−a23 a32 )−a12 (a21 a33−a23 a31 )+a13 (a32a21−a31 a22 )
|A|=a11|a22 a23
a32 a33
|−a12|a21 a23
a31 a33
|+a13|a21 a22
a31 a32
|
|A|=a11 M11−a12 M 12+a13 M 13
Ternyata dengan menutup baris-baris dan kolom-kolom tertentu,
determinan A terdiri atas beberapa determinan-bagian (sub determinan).
Determinan-determinan bagian ini dinamakan minor. Suatu minor secara umum
dilambangkan dengan notasi Mij.
M11 adalah minor dari unsur a11 , diperoleh dengan jalan menutup
baris ke -1 dan kolom ke-1 dari determinan |A|.
29
Page 30
M12 adalah minor dari unsur a12 , diperoleh dengan jalan menutup
baris ke -1 dan kolom ke-2 dari determinan |A|.
M13 adalah minor dari unsur a13 , diperoleh dengan jalan menutup
baris ke -1 dan kolom ke-3 dari determinan |A|.
Penulisan determinan dalam bentuk minor seperti di atas diubah ke dalam
penulisan kofaktor. Kofaktor dari determinan |A| untuk minor tertentu M11
dilambangkan dengan Aij.
Hubungan antara kofaktor dan minor: Aij=(−1 )i+ j M ij
Mij adalah minor dari unsur aij , diperoleh dengan jalan menutup baris
ke -i dan kolom ke-j dari determinan |A|.
Aij adalah kofaktor dari unsur aij.
Dengan demikian,
A11=(−1 )1+1 M 11=(−1 )2 M 11=+ M 11
A12=(−1 )1+2 M 12=(−1 )3 M 12=−M 12
A13= (−1 )1+3 M 13= (−1 )4 M 13=+ M 13
Kofaktor Aij praktis adalah sama dengan minor Mij itu sendiri, jika i + j
menghasilkan bilangan genap, dan Aij negatif dari Mij apabila i + j menghasilkan
bilangan ganjil.
Penyelesaian determinan menggunakan notasi minor untuk matriks
berdimensi 3 adalah sebagai berikut;
30
Page 31
|A|=a11 A11+a12 A12+a13 A13
¿a21 A21+a22 A22+a23 A23
¿a31 A31+a32 A32+a33 A33
¿a11 A11+a21 A21+a31 A31
¿a12 A12+a22 A22+a32 A32
¿a13 A13+a32 A32+a33 A33
Penyelesaian determinan menggunakan notasi minor
|A|=a11 M11−a12 M 12+a13 M 13= ∑i , j=1
n
a ij M ij
dalam notasi kofaktor menjadi:
|A|=a11 A11+a12 A12+a13 A13= ∑i , j=1
n
aij A ij
atau:
|A|=∑j=1
n
aij M ij untuk setiap baris; i = 1, 2, 3, …, n.
|A|=∑i=1
n
aij Mijuntuk setiap kolom; j = 1, 2, 3, …, n.
Definisi
Jika A adalah sebarang matriks n x n dan Aij adalah kofaktor a ij , maka
matriks
[ A11 A12 ⋯ A1 n
A21 A22 ⋯ A2 n
⋮ ⋮ ⋮An 1 An 2 ⋯ Amn
]Dinamakan matriks kofaktor A. Transpose matriks ini dinamakan adjoint A
dan dinyatakan dengan adj(A)
31
Page 32
3. Diketahui matriks A sebagai berikut:
A=[1 2 34 5 67 8 9 ]
Hitunglah matriks kofaktornya, serta matriks adjointnya.
Penyelesaian:
32
Page 33
M 11=|5 68 9
|=−3⇒ A11=(−1 )2 (−3 )=−3
M 12=|4 67 9
|=−6⇒ A12=(−1 )3 (−6 )=6
M 13=|4 57 8
|=−3⇒ A13=(−1 )4 (−3 )=−3
M 21=|2 38 9
|=−6⇒ A21=(−1 )3 (−6 )=6
M 22=|1 37 9
|=−12⇒ A22=(−1 )4 (−12 )=−12
M 23=|1 27 8
|=−6⇒ A23=(−1 )5 (−6 )=6
M 31=|2 35 6
|=−3⇒ A31= (−1 )4 (−3 )=−3
M 32=|1 34 6
|=−6⇒ A32=(−1 )5 (−6 )=6
M 33=|1 24 5
|=−3⇒ A33=(−1 )6 (−3 )=−3
Maka matriks kofaktornya adalah
[−3 6 −36 −12 6
−3 6 −3 ]Sedangkan matriks adjoinnya adalah
Adj( A )=[−3 6 −36 −12 6
−3 6 −3 ]4. Diketahui matriks B sebagai berikut:
B=[ 3 1 0−2 −4 35 4 −2 ]
Hitunglah matriks kofaktornya, serta matriks adjointnya
33
Page 34
Penyelesaiannya:
M 11=|−4 34 −2
|=−4⇒ A11=(−1 )2 (−4 )=−4
M 21=|1 04 −2
|=−2⇒ A21= (−1 )3 (−2 )=2
M 31=|1 0−4 3
|=3⇒ A31=(−1 )4 (3 )=3
M 12=|−2 35 −2
|=−11⇒ A12=(−1 )3 (−11)=11
M 22=|3 05 −2
|=−6⇒ A22=(−1 )4 (−6 )=−6
M 32=|3 0−2 3
|=9⇒ A32= (−1 )5 (9 )=−9
M 13=|−2 −45 4
|=12⇒ A13=(−1 )4 (12 )=12
M 23=|3 15 4
|=7⇒ A22=(−1 )57=−7
M 33=|3 1−2 −4
|=−10⇒ A32= (−1 )6 (−10 )=−10
Maka matriks kofaktornya adalah
[−4 11 122 −6 −73 −9 −10 ]
Sedangkan matriks adjoinnya adalah
Adj( B )=[−4 2 311 −6 −912 −7 −10 ]
34
Page 35
Cara penyelesaian determinan yang dikembangkan oleh Laplace dengan
menggunakan minor dan kofaktor ini, dikenal dengan sebutan metode ekspansi
dengan kofaktor.
5. Diketahui matriks A sebagai berikut:
A=[1 2 34 5 67 8 9 ]
Hitunglah determinan dari matriks A dengan menggunakan ekspansi kofaktor
sepanjang:
a.baris pertama
b. baris kedua
c. baris ketiga
Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang baris pertama)
|A|=|1 2 34 5 67 8 9
|
M 11=|5 68 9
|=−3⇒ A11=(−1 )2 (−3 )=−3
M 12=|4 67 9
|=−6⇒ A12=(−1 )3 (−6 )=6
M 13=|4 57 8
|=−3⇒ A13=(−1 )4 (−3 )=−3
|A|=a11 A11+a12 A12+a13 A13=1(−3 )+2(6)+3 (−3 )=0
Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang baris kedua)
35
Page 36
|A|=|1 2 34 5 67 8 9
|
M 21=|2 38 9
|=−6⇒ A21=(−1 )3 (−6 )=6
M 22=|1 37 9
|=−12⇒ A22=(−1 )4 (−12 )=−12
M 23=|1 27 8
|=−6⇒ A23=(−1 )5 (−6 )=6
|A|=a21 A21+a22 A22+a23 A23=4 (6)+5 (−12 )+6(6 )=0
Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang baris ketiga)
|A|=|1 2 34 5 67 8 9
|
M 31=|2 35 6
|=−3⇒ A31= (−1 )4 (−3 )=−3
M 32=|1 34 6
|=−6⇒ A32=(−1 )5 (−6 )=6
M 33=|1 24 5
|=−3⇒ A33=(−1 )6 (−3 )=−3
|A|=a31 A31+a32 A32+a33 A33=7 (−3 )+8(6 )+9 (−3 )=0
6. Diketahui matriks B sebagai berikut:
B=[ 3 1 0−2 −4 35 4 −2 ]
Hitunglah determinan dari matriks B dengan menggunakan ekspansi kofaktor
sepanjang:
a. kolom pertama
b. kolom kedua
36
Page 37
c. kolom ketiga
Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang kolom pertama)
|B|=|3 1 0−2 −4 35 4 −2
|
M 11=|−4 34 −2
|=−4⇒ A11=(−1 )2 (−4 )=−4
M 21=|1 04 −2
|=−2⇒ A21= (−1 )3 (−2 )=2
M 31=|1 0−4 3
|=3⇒ A31=(−1 )4 (3 )=3
|B|=a11 A11+a21 A21+a31 A31=3(−4 )+(−2 )(2)+5(3 )=−1
Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang kolom kedua)
|B|=|3 1 0−2 −4 35 4 −2
|
M 12=|−2 35 −2
|=−11⇒ A12=(−1 )3 (−11)=11
M 22=|3 05 −2
|=−6⇒ A22=(−1 )4 (−6 )=−6
M 32=|3 0−2 3
|=9⇒ A32= (−1 )5 (9 )=−9
|B|=a12 A12+a22 A22+a23 A23=1(11)+(−4 )(−6 )+4 (−9)=−1
7. Diketahui matriks C sebagai berikut:
C=[4 4 0 41 1 0 −13 0 −3 16 14 3 6
]37
Page 38
Hitunglah determinan dari matriks C dengan menggunakan ekspansi kofaktor
Penyelesaian:
Ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua,
|C|=|
4 4 0 41 1 0 −13 0 −3 16 14 3 6
|
Karena a13 dan a23 nilainya masing-masing adalah nol, maka minor yang dicari
hanya M33 dan M43.
Pada minor M33 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
kedua
M 33=|4 4 41 1 −16 14 6
|
¿1 .(−1 )2+1 .|4 414 6
|+1.(−1)2+2 .|4 46 6
|+(−1) .(−1 )2+3 .|4 46 14
|
¿1 .(−(24−56))+1.(24−24 )+(−1 ).(−(56−24 ))¿32+0+32¿64
Sehingga diperoleh kofaktor A33=(−1)3+3 . 64=64
Pada minor M33 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
ketiga
M 43=|4 4 41 1 −13 0 1
|
¿3 .(−1 )3+1 .|4 41 −1
|+(1 ).(−1)3+3 .|4 41 1
|
¿3 .(−4−4 )+1 .(4−4 )¿−24
38
Page 39
Sehingga diperoleh kofaktor A43=(−1)4+3 .(−24 )=24
Maka determinan dari matriks C dengan menggunakan ekspansi kofaktor adalah
|C|=(−3) .64+3 .24=−120
8. Diketahui matriks D sebagai berikut:
D=[2 5 4 13 2 8 14 1 3 22 6 1 3
]Hitunglah determinan dari matriks D dengan menggunakan ekspansi kofaktor
a. sepanjang kolom keempat.
b. Sepanjang baris pertama.
Penyelesaian:
a. Ekspansi kofaktor sepanjang kolom keempat,
|D|=|
2 5 4 13 2 8 14 1 3 22 6 1 3
|
Maka minor yang dicari adalah M14, M24, M34, M44
Pada minor M14 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
kedua
39
Page 40
M 14=|3 2 84 1 32 6 1
|
¿4 .(−1 )2+1 .|2 86 1
|+1.(−1)2+2 .|3 82 1
|+3 .(−1)2+3 .|3 22 6
|
¿4 .(−(2−48))+1 .(3−16)+3 .(−(18−4 ))¿4 . 46+(−13 )+3. (−14 )¿184−13−42¿129
Sehingga diperoleh kofaktor A14=(−1)1+4 .129=−129
Pada minor M24 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
kedua
M 24=|2 5 44 1 32 6 1
|
¿4 .(−1 )2+1 .|5 46 1
|+1 .(−1 )2+2.|2 42 1
|+3 .(−1 )2+3 .|2 52 6
|
¿4 .(−(5−24 ))+1.(2−8)+3 .(−(12−10 ))¿4 .19+(−6)+3 .(−2)¿76−6−6¿64
Sehingga diperoleh kofaktor A24=(−1)2+4 .64=64
Pada minor M34, diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
kedua
40
Page 41
M 34=|2 5 43 2 82 6 1
|
¿3 .(−1 )2+1.|5 46 1
|+2 .(−1)2+2 .|2 42 1
|+8 .(−1)2+3 .|2 52 6
|
¿3 .(−(5−24 ))+2.(2−8 )+8.(−(12−10))¿3 .19+2.(−6 )+8 .(−2 )¿57−12−16¿29
Sehingga diperoleh kofaktor A34=(−1)3+4 .29=−29
Pada minor M44 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
kedua
M 44=|2 5 43 2 84 1 3
|
¿3 .(−1 )2+1.|5 41 3
|+2 .(−1 )2+2 .|2 44 3
|+8 .(−1)2+3 .|2 54 1
|
¿3 .(−(15−4 ))+2 .(6−16)+8 .(−(2−20))¿3 .(−11 )+2 .(−10)+8 .18¿−33−20+144¿91
Sehingga diperoleh kofaktor A44=(−1 )4+4 .91=91
|D|=1. (−129 )+1.64+2.(−29 )+3. 91=150
b. Ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama,
|D|=|
2 5 4 13 2 8 14 1 3 22 6 1 3
|
Maka minor yang dicari adalah M11, M12, M13, M14
41
Page 42
Pada minor M11 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
kedua
M 11=|2 8 11 3 26 1 3
|
¿1 .(−1 )2+1 .|8 11 3
|+3. (−1 )2+2 .|2 16 3
|+2.(−1)2+3 .|2 86 1
|
¿1 .(−(24−1))+3 .(6−6 )+2.(−(2−48 ))¿(−23 )+92¿69
Sehingga diperoleh kofaktor A11=(−1)1+1 . 69=69
Pada minor M12 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
kedua
M 12=|3 8 14 3 22 1 3
|
¿4 .(−1 )2+1 .|8 11 3
|+3 .(−1 )2+2 .|3 12 3
|+2.(−1)2+3 .|3 82 1
|
¿4 .(−(24−1))+3 .(9−2)+2 .(−(3−16))¿4 .(−23 )+21+26¿−45
Sehingga diperoleh kofaktor A12=(−1 )1+2. (−45)=45
Pada minor M13, diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
kedua
42
Page 43
M 13=|3 2 14 1 22 6 3
|
¿4 .(−1 )2+1 .|2 16 3
|+1.(−1)2+2 .|3 12 3
|+2 .(−1)2+3 .|3 22 6
|
¿4 .(−(6−6))+1.(9−2)+2 .(−(18−4 ))¿7−28¿−21
Sehingga diperoleh kofaktor A13=(−1)1+3 .(−21 )=−21
Pada minor M14 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
kedua
M 14=|3 2 84 1 32 6 1
|
¿4 .(−1 )2+1 .|2 86 1
|+1.(−1)2+2 .|3 82 1
|+3 .(−1)2+3 .|3 22 6
|
¿4 .(−(2−48))+1 .(3−16)+3 .(−(18−4 ))¿4 . 46+(−13 )+3. (−14 )¿184−13−42¿129
Sehingga diperoleh kofaktor A14=(−1)1+4 .129=−129
|D|=2 .69+5 . 45+4 .(−21)+1 .(−129 )=138+225−84−129=150
2.8 Reduksi Baris.
Determinan sebuah matriks dapat dihitung dengan mereduksi matriks
tersebut pada bentuk eselon baris. Metode ini penting untuk menghindari
perhitungan panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara
langsung.
43
Page 44
Mula –mula kita meninjau dua golongan matriks yang determinannya
dapat dihitung dengan mudah, tidak peduli berapapun besarnya ukuran matriks
tersebut.
Matriks kuadrat kita namakan segitiga atas (upper triangular) jika semua
entri di bawah diagonal utama adalah nol. Begitu juga matriks kuadrat kita
namakan segitiga bawah (lower triangular)) jika semua entri di atas diagonal
utama adalah nol. Sebuah matriks baik yang merupakan segitiga atas maupun
yang merupakan segitiga bawah kita namakan segitiga (triangular).
Contoh:
Sebuah matriks segitiga atas 4 x 4 yang umum mempunyai bentuk:
[a11 a12 a13 a14
0 a22 a23 a24
0 0 a33 a34
0 0 0 a44]
Maka nilai determinan det A=a .11a22 .a33 a44
Sebuah matriks segitiga bawah 4 x 4 yang umum mempunyai bentuk:
[a11 0 0 0a21 a22 0 0
a31 a32 a33 0
a41 a42 a43 a44]
Maka nilai determinan det A=a .11a22 .a33 a44
Teorema
44
Page 45
Jika A adalah matriks segitiga ukuran n x n ,maka det(A) adalah hasil kali
entri –entri pada diagonal utama, yakni det A=a .11a22 .a33 a44
Contoh:
|A|=|
2 5 4 10 2 8 10 0 3 20 0 0 3
|
=2 . 2. 3 .3=36
|B|=|
1 3 1 5 30 −7 0 −4 20 0 1 0 10 0 0 1 10 0 0 0 1
|
=1 .(−7 ). 1. 1.1=−7
Teorema
Misalkan A adalah sebarang matriks n x n
1. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh
konstanta k, maka det(A) =k.det(A)
2. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan,
maka det(A’) = - det(A)
3. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A
ditambahkan pada baris lain, maka det(A) =det(A)
Contoh:
Tentukan determinan matriks–matriks berikut ini menggunakan reduksi baris:
45
Page 46
A=[1 2 30 1 41 2 1 ]
A1=[4 8 120 1 41 2 1 ]
A2=[0 1 41 2 31 2 1 ]
A3=[1 2 3−2 −3 21 2 1 ]
Penyelesaian:
|A|=|1 2 30 1 41 2 1
|
=|1 2 30 1 40 0 −2
| ( baris 3 dikurang pada baris 1)
=1 . 1.(−2)=−2
|A1|=|4 8 120 1 41 2 1
|
¿|4 8 120 1 40 0 -2
| ( baris ke-3 dikurang 14
x baris ke-1 )
¿4 .1 .(-2 )¿ -8
Matriks A1 di atas dapat pula diselesaikan dengan cara reduksi baris berikut ini:
46
Page 47
|A1|=|4 8 120 1 41 2 1
|
¿4 .|1 2 30 1 41 2 1
| ( faktor bersama baris ke-1 terlebih dahulu diambil )
¿4 .|1 2 30 1 40 0 -2
| ( baris ke-3 dikurang baris ke -1)
¿4 .(1.1.(-2 ))¿ -8
|A2|=|0 1 41 2 31 2 1
|
¿−|1 2 30 1 41 2 1
| ( tukarkan baris ke-1 dg baris ke-2 )
¿−|1 2 30 1 40 0 −2
| ( baris ke-3 dikurang baris ke -1 )
¿−{1.1 .(−2 )}¿2
|A3|=|1 2 3−2 −3 21 2 1
|
¿|1 2 3−2 −3 21 2 1
| ( baris ke-2 ditambah 2 kali baris ke -1 , baris ke-3 dikurang baris ke -1 )
¿|1 2 30 1 80 0 −2
|
¿1 .1 .(−2)¿−2
47
Page 48
Contoh;
Hitunglah determinan A, dimana:
A=[1 3 −2 42 6 −4 83 9 1 51 1 4 8
]Penyelesaian:
|A|=|
1 3 −2 42 6 −4 83 9 1 51 1 4 8
|
=|
1 3 −2 40 0 0 03 9 1 51 1 4 8
| (baris ke -2 ditambah (-2 )dikali baris ke -1 )
=0 ( kita tidak memerlukan reduksi selanjutnya karena sesuai sifat determinan )
Contoh;
Setiap matriks berikut mempunyai dua baris yang sebanding, jadi berdasarkan
sifat –sifat determinan maka matriks tersebut memiliki determinan sebesar nol.
[ 2 5−4 −10 ] ,[1 2 4
1 3 13 6 12 ] ,[3 2 5 3
4 3 1 00 3 2 18 6 2 0
]9. Diketahui matriks C sebagai berikut:
C=[4 4 0 41 1 0 −13 0 −3 16 14 3 6
]Hitunglah determinan dari matriks C dengan menggunakan reduksi baris.
Penyelesaian:
48
Page 49
|C|=|
4 4 0 41 1 0 −13 0 −3 16 14 3 6
|
=−|
1 1 0 −14 4 0 43 0 −3 16 14 3 6
| ( tukarkan b1 dg b2 )
¿−|
1 1 0 −10 0 0 80 −3 −3 20 8 3 12
| ( b2−4 b1 , b3−3 b1 ,b4−6 b1 )
¿|
1 1 0 −10 8 3 120 −3 −3 20 0 0 8
|( tukarkan b2 dg b4 )
¿8|
1 1 0 −10 1 3
8128
0 −3 −3 20 0 0 8
|( faktor bersama baris ke - 2 dikeluarkan )
¿8 .|
1 1 0 −10 1 3
8128
0 0 −158
528
0 0 0 8
| (b3+3b2 )
¿8 .1.1. (−158 ). 8
¿−120
2.9 Rangkuman.
49
Page 50
Determinan dari suatu matriks adalah penulisan unsur–unsur sebuah matriks
bujur sangkar dalam bentuk determinan, yaitu diantara sepasang garis tegak atau
||. Determinan matriks A lazim dituliskan dengan notasi |A| atau DA
Determinan mempunyai beberapa sifat khas berkenaan dengan nilai
numeriknya. Sifat–sifat tersebut adalah sebagai berikut:
1. Nilai determinannya adalah nol jika semua unsurnya sama.
2. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang
unsur–unsurnya sama.
3. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang
unsur–unsurnya sebanding.
4. Nilai determinannya adalah nol jika unsur–unsur pada salah satu baris atau
kolom semuanya nol.
5. Nilai determinan tidak berubah jika semua baris dan kolomnya saling
bertukar letak, dengan kata lain determinan dari matriks A sama dengan
determinan matriks ubahannya A’; |A|=|A '|.
6. Nilai determinan berubah tanda (tetapi harga mutlaknya tetap) jika dua baris
atau dua kolom bertukar letak.
7. Determinan dari suatu matriks diagonal adalah hasil kali unsur–unsur
diagonalnya.
8. Jika setiap unsur pada salah satu baris atau kolom dikalikan dengan suatu
bilangan, nilai determinannya adalah sama dengan hasilkalinya dengan
bilangan tersebut.
50
Page 51
9. Jika semua unsur merupakan penjumlahan dari dua bilangan atau lebih,
determinannya dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari dua determinan
atau lebih.
10. Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya
dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (invers): jadi bila |A|=0 ,
A merupakan matriks singular dan A-1 tidak ada.
11. Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya
dikatakan nonsingular dan mempunyai balikan (invers): jadi bila |A|≠0 ,
A merupakan matriks nonsingular dan A-1 ada.
12. Pada penguraian determinan (ekspansi Laplace), nilai determinan sama
dengan nol jika unsur baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur
baris atau kolom yang lain, tetapi tidak sama dengan nol jika unsur suatu
baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris atau kolom itu
sendiri.
Menutup baris-baris dan kolom-kolom tertentu, determinan A terdiri atas
beberapa determinan-bagian (sub determinan). Determinan-determinan bagian ini
dinamakan minor. Suatu minor secara umum dilambangkan dengan notasi Mij.
Kofaktor dari determinan |A| untuk minor tertentu M11 dilambangkan dengan
Aij. Hubungan antara kofaktor dan minor: Aij=(−1 )i+ j M ij
Determinan sebuah matriks dapat dihitung dengan mereduksi matriks tersebut
pada bentuk eselon baris. Metode ini penting untuk menghindari perhitungan
panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara langsung.
51
Page 52
13. Latihan.
1. Hitunglah determinan dari:
a.| 1 2−1 3
|
b.|6 43 2
|
c.|−1 7−8 −3
|
d.| 1 2−1 3
|
e.
|1 −2 73 5 14 3 8
|
f.
|8 2 −1
−3 4 −61 7 2
|
g.
|1 0 34 0 −12 8 6
|
h.
|k −3 92 4 k+11 k2 3
|
2. Hitunglah determinan matriks yang diberikan dengan mereduksi matriks
tersebut pada bentuk eselon baris.
a.[2 3 70 0 −31 −2 7 ]
52
Page 53
b.[2 1 14 2 31 3 0 ]
c.[ 1 −2 0−3 5 14 −3 2 ]
d.[ 2 −4 8−2 7 −20 1 5 ]
e.[ 3 6 9 3−1 0 1 01 3 2 −1
−1 −2 −2 1]
f.[2 1 3 11 0 1 10 2 1 00 1 2 3
]
g.
[1 3 1 5 3
−2 −7 0 −4 20 0 1 0 10 0 2 1 10 0 0 1 1
]3. Misalkan
A=[ 1 6 −3−2 7 13 −1 4 ]
a. Carilah semua minor.
b. Carilah semua kofaktor.
53
Page 54
4. Misalkan
A=[ 4 0 4 4−1 0 1 11 −3 0 36 3 14 2
]Carilah:
a. M13 dan C13
b. M23 dan C23
c. M22 dan C22
d. M21 dan C21
5. Hitunglah determinan dari matriks dalam latihan no. 3 (di atas)
dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang:
a. baris pertama
b. kolom pertama
c. baris kedua
d. kolom kedua
e. baris ketiga
f. kolom ketiga
6. Dalam soal di bawah ini hitunglah determinan dengan menggunakan
ekspansi kofaktor sepanjang sebuah baris atau kolom pilihan anda:
a.
A=[0 6 08 6 83 2 2 ]
b.
A=[ 1 3 72 0 −8
−1 −3 4 ]
54
Page 55
c.
A=[ 1 1 1k k kk2 k2 k2 ]
d.
A=[k−1 2 32 k−3 43 4 k−4 ]
e.
A=[4 4 0 41 1 0 −13 0 −3 16 14 3 6
]
f.
A=[4 3 1 9 20 3 2 4 20 3 4 6 41 −1 2 2 20 0 3 3 3
]2.8 Daftar Pustaka.
1. Nababan, M. 1993. Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan
Bisnis. Jakarta: Penerbit Erlangga.
2. Anton, Howard. 1995. Matematika I Elementer. Jakarta: Penerbit
Erlangga.
3. Dumairy. 1996. Matematika Terapan untuk Bisnis dan
Ekonomi.Yogyakarta:BPFE.
55
Page 56
BAB III
INVERS MATRIKS
Tujuan Instruksional Umum
Setelah mengikuti mata kuliah Matematika I ini mahasiswa akan dapat
menyelesaikan operasi matriks, menentukan nilai determinan matriks,
menentukan invers matriks, dapat menyelesaikan sistem persamaan linier, dan
dapat menginterpretasikannya dengan baik dan benar.
Tujuan Instruksional Khusus
Setelah mempelajari bab ini dan mengerjakan soal perlatihannya diharapkan
mahasiswa akan dapat:
1. Menyebutkan pengertian invers matriks dengan benar.
2. Menentukan invers matriks berordo 2 x 2 dengan benar.
3. Menentukan invers matriks berordo lebih tinggi dengan benar.
4. Menentukan Invers Matriks dengan Adjoint dan Determinan.
56
Page 57
Pengertian Invers Matriks.
Matriks Invers atau matrik balikan adalah adalah matriks yang apabila
dikalikan dengan matriks bujur sangkar menghasilkan sebuah matriks satuan. Jika
A merupakan suatu matriks bujursangkar, maka balikannya dituliskan dengan
notasi A-1
Dan AA-1 = I.
Sifat–sifat invers matriks:
1. Jika A dan B matriks bujur sangkar yang bertipe sama, maka: (AB)-1 = B-1A-
1.
2. Invers dari invers matriks adalah matriks itu sendiri: (A-1)-1 =A.
3. Invers matriks satuan adalah matriks satuan itu sendiri atau I-1 = I.
4. Invers matriks tranpose adalah matriks tranpose, atau: (A ‘)-1 = (A-1)’.
Matriks Invers Berorde 2 x 2.
Misalkan B merupakan invers dari A , maka untuk dapat menentukan B
haruslah diperoleh lebih dahulu unsur–unsurnya atau bij . Nilai-nilai bij dapat
dihitung berdasarkan operasi seperti berikut ini:
Misal:
A=[ a11 a12
a21 a22]
dan inversnya dilambangkan dengan
A−1=B=[b11 b12
b21 b22]
Maka menurut definisi AB =I, yakni
[a11 a12
a21 a22] .[b11 b12
b21 b22]=[1 0
0 1 ]
57
Page 58
atau
[a11 b11+a12 b21 a11 b12+a12b22
a21 b11+a22b21 a21 b12+a22 b22]=[1 0
0 1 ]a11 b11+a12 b21=1a21b11+a22b21=0a11 b12+a12b22=0a21b12+a22 b22=1
Dengan menyelesaikan keempat persamaan ini secara serempak untuk masing-
masing bij, diperoleh:
b11=a22
a11a22−a21 a12
, b12=−a12
a11 a22−a21 a12
b21=−a21
a11a22−a21 a12
, b22=a11
a11a22−a21a12
Dengan cara lain bij dapat pula dituliskan menjadi:
b11=a22
|A|,b12=
−a12
|A|
b21=−a21
|A|, b22=
a11
|A|
Ini berarti jika pembaginya nol atau |A|=0 maka bij tidak terdefinisi dan sebagai
konsekuensinya matriks invers B atau A-1 tidak dapat dibentuk. Itulah sebabnya
matriks A tidak memiliki invers jika |A|=0 .
Contoh:
Tentukanlah matriks invers dari A=[8 4
5 3 ]Penyelesaian:
|A|=|8 45 3
|=4, bearti A non singular dan A-1 ada.
58
Page 59
b11=a22
|A|=3
4=0 .75 , b12=
−a12
|A|=−4
4=−1
b21=−a21
|A|=−5
4=−1 .25 , b22=
a11
|A|=8
4=2
Jadi
A−1=B=[0 .75 1−1.25 2 ]
Tentukan invers dari matriks A=[8 4
6 3 ]Penyelesaian:
|A|=|8 46 3
|=0, berarti A singular dan A-1 tidak ada.
Invers Matriks Berorde Lebih Tinggi.
Invers matriks yang berorde lebih tinggi pada prinsipnya sama seperti
menentukan invers matriks berorde 2 x 2 di atas.
Misal:
A=[a11 . . . a1 n
. .
. .
. .an1 . . . ann
]Dan inversnya A-1 =B, maka menurut definisi AB = I
59
Page 60
[a11 . . . a1n
. .
. .
. .an 1 . . . ann
] .[b11 . . . b1 n
. .
. .
. .bn1 . . . bnn
]=[1 . . . 0. ⋱ .. 1 .. ⋱ .0 . . . 1
].[a11 b11+.. .+a1n bn1 . .. a11b1 n+. ..+a1n bnn
. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. ..an 1 b11+ .. .+ann bn1 . .. an 1 b1 n+. . .+ann bnn
]=[1 . . . 0. ⋱ .. 1 .. ⋱ .0 . . . 1
][c11 . . . c1n
. .
. .
. .cn1 . . . cnn
]=[1 . . . 0. ⋱ .. 1 .. ⋱ .0 . . . 1
] c ik=∑i=1
n
aij b jk
cik=1 jika i=k cik=0 jika i≠k dimana i=1,2 , .. . , n ; k=1,2 , .. . ,n
Menentukan Invers Matriks dengan Adjoint dan Determinan.
Menentukan invers suatu matriks dapat pula dengan menggunakan adjoint
dan determinan dari matriks yang bersangkutan. Hubungan suatu matriks bujur
sangkar yang non singular dengan adjoint dan determinannya adalah:
A−1=adj . A|A|
Dari hubungan ini terlihat, A-1 ada atau dapat dibentuk jika dan hanya jika
|A|≠0 .
Contoh:
1. Tentukan kalau ada invers dari A=[8 4
5 3 ]
60
Page 61
Penyelesaian:
|A|=|8 45 3
|=4 , berarti A−1 ada .
Minor-minornya: M11=3, M12=5,M21=4, M22=8.
Kofaktornya: Aij=(−1 )i+ j . M ij ; A11=3, A12= - 5, A21= - 4, A22 = 8
[ A IJ ]=[3 −5−4 8 ]
adj . A=[ Aij ]'=[3 −5
−4 8 ]'
=[3 −4−5 8 ]
maka :
A−1=adj . A|A|
=[3 −4−5 8 ]
4=[0 ,75 −1
−1 ,25 2 ]Jadi : [8 4
5 3 ]−1
=[0 ,75 −1−1 ,25 2 ]
2. Tentukan kalau ada invers matriks
B=[3 2 54 0 32 2 3 ]
Penyelesaian:
|3 2 54 0 32 2 3
|=10 , berarti B−1 ada .
61
Page 62
M 11=|0 32 3
|=−6 , M 12=|4 32 3
|=6 , M13=|4 02 2
|=8
M 21=|2 52 3
|=−4 ,M 22=|3 52 3
|=−1 , M 23=|3 22 2
|=2
M 31=|2 50 3
|=1 , M32=|3 54 3
|=−11 , M 33=|3 24 0
|=−8
B11=−6 , B12=−6 ,B13=8 , B21=4 , B22=−4 , B23=−2, B31=6 , B32=11 , B33=−8
[ B IJ ]=[−6 −6 84 −4 −26 11 −8 ]
adj .B=[−6 −6 84 −4 −26 11 −8 ]
'
=[−6 4 6−6 −4 118 −2 −8 ]
B−1=adj . B|B|
=[−6 4 6−6 −4 118 −2 −8 ]
10=[−0,6 0,4 0,6
−0,6 −0,4 1,10,8 −0,2 −0,8 ]
Rangkuman.
Matriks Invers atau matrik balikan adalah adalah matriks yang apabila
dikalikan dengan matriks bujur sangkar menghasilkan sebuah matriks satuan. Jika
A merupakan suatu matriks bujursangkar, maka balikannya dituliskan dengan
notasi A-1
Misalkan B merupakan invers dari A , maka untuk dapat menentukan B
haruslah diperoleh lebih dahulu unsur–unsurnya atau bij . Nilai-nilai bij dapat
dihitung berdasarkan operasi seperti berikut ini:
A−1=B=[b11 b12
b21 b22]
62
Page 63
b11=a22
|A|,b12=
−a12
|A|
b21=−a21
|A|, b22=
a11
|A|
Menentukan invers suatu matriks dapat pula dengan menggunakan adjoint
dan determinan dari matriks yang bersangkutan. Hubungan suatu matriks bujur
sangkar yang non singular dengan adjoint dan determinannya adalah:
A−1=adj . A|A|
Latihan.
Carilah nilai invers yang diberikan jika matriks yang tersebut di bawah ini
memiliki invers!
1.[1 23 5 ]
2.[−2 3
3 −5 ]
3.
4.[3 4 −11 0 32 5 −4 ]
5.[ 3 1 5
2 4 1−4 2 −9 ]
34
68
63
Page 64
6.[1 0 10 1 11 1 0 ]
7.[2 6 62 7 62 7 7 ]
8.[ 1 0 1−1 1 10 1 0 ]
9.[1 0 0 01 2 0 01 2 4 01 2 4 8
]10.
[5 11 7 32 1 4 −53 −2 8 70 0 0 0
]Daftar Pustaka.
1. Nababan, M. 1993. Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan
Bisnis. Jakarta: Penerbit Erlangga.
2. Anton, Howard. 1995. Matematika I Elementer. Jakarta: Penerbit
Erlangga.
3. Dumairy. 1996. Matematika Terapan untuk Bisnis dan
Ekonomi.Yogyakarta:BPFE.
64
Page 65
BAB IV
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Tujuan Instruksional Umum
Setelah mengikuti mata kuliah Matematika I ini mahasiswa akan dapat
menyelesaikan operasi matriks, menentukan nilai determinan matriks,
menentukan invers matriks, dapat menyelesaikan sistem persamaan linier, dapat
menyelesaikan operasi pada vector, dan dapat menginterpretasikannya dengan
baik dan benar.
Tujuan Instruksional Khusus
Setelah mempelajari bab ini dan mengerjakan soal perlatihannya diharapkan
mahasiswa akan dapat:
1. Menyebutkan pengertian Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan benar.
2. Menyelesaikan sistem persamaan linier Menggunakan Determinan dan
adjoint dengan benar.
3. Menyelesaikan sistem persamaan linier Menggunakan Kaidah Cramer
dengan benar.
4. Menyelesaikan sistem persamaan linier Menggunakan Operasi Baris
Elementer dengan benar.
65
Page 66
5. Menyelesaikan sistem persamaan linier Menggunakan Eliminasi Gauss
dengan benar.
Pengertian Sistem Persamaan Linear (SPL)
Dalam bagian ini kita akan mengetahui istilah dasar dan kita bahas sebuah
metode untuk memecahkan sistem-sistem persamaan linear.
Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh
persamaan berbentuk
a1x + a2y = b.
Persamaan semacam ini kita namakan persamaan linear dalam peubah
(variabel) x dan peubah y. Secara lebih umum kita mendefinisikan persamaan
linear dalam n peubah x1,x2, …, xn sebagai persamaan yang dapat dinyatakan
dalam bentuk
a1x1 + a2x2 + … + an xn = b.
di mana a1,a2, …, an dan b adalah konstanta-konstanta riil.
Contoh:
Persamaan-persamaan linear:
x+4 y=10
y=12
x+2 z+5
x1−2 x2+3 x3+x 4=5x1+x2+. ..+xn=1
Perhatikan bahwa persamaan linier tidak melibatkan suatu hasil kali atau
akar peubah. Semua peubah hanya terdapat sampai angka pertama dan tidak
66
Page 67
muncul sebagai argumen untuk fungsi trigonometrik, fungsi logaritmik, atau
untuk fungsi eksponensial. Berikut ini contoh yang bukan persamaan linear.
x+4 y2=10
y=12
sin x+2 z+5
√ x1−2 x2+3 x3+x4=5x1+x1 x2=1
Pemecahan persamaan linear a1x1 + a2x2 + … + an xn = b adalah urutan
dari n bilangan s1,s2, …, sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita
mensubstitusikannya terhadap x1 = s1, x2 = s2, …, xn = sn. Himpunan semua
pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan pemecahannya.
Contoh:
Carilah himpunan pemecahan masing-masing persamaan berikut:
4x-2y = 1
x1-4x2 + 7x3 =5
Untuk mencari pemecahan (1), maka kita dapat menetapkan sebarang nilai untuk
x dan memecahkan persamaan tersebut untuk mencari y, atau kita dapat memilih
sebarang nilai untuk y dan memecahkan persamaan tersebut untuk mencari x.
Jika kita ikuti pendekatan pertama dan menetapkan nilai t untuk x, maka kita
dapatkan
x = t, y = 2t-1/2
Rumus-rumus ini menggambarkan himpunan pemacahan tersebut dalam
sebarang parameter t.Pemecahan numerik khusus dapat diperoleh dengan
mensubstitusikan nilai spesifik untuk t. Misalnya, t = 3 menghasilkan pemecahan
x=3, y=11/2 dan t = -1/2 menghasilkan pemecahan x=-1/2,y=-3/2.
67
Page 68
Jika kita ikuti pendekatan kedua dan menetapkan nilai sebarang t tersebut
untuk y, maka kita dapatkan
x= 12
t + 14
, y=t
Walaupun rumus-rumus ini berbeda dari rumus-rumus yang kita peroleh di atas,
namun rumus-rumus ini menghasilkan himpunan pemecahan yang sama jika t
berubah pada semua bilangan riil yang mungkin.
Untuk mencari himpunan pemecahan persamaan (2) kita dapat
menetapkan sebarang nilai untuk setiap dua peubah dan memecahkan persamaan
tersebut untuk mencari peubah ketiga. Khususnya jika kita menetapkan nilai
sebarang s dan t berturut-turut untuk nilai x2 dan x3 dan memecahkan
persamaan tersebut untuk mencari x1, maka kita peroleh
x1 =5 + 4s -7t, x2 = s, x3 = t
Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear dalam
peubah
x1,x2, …, xn dinamakan sistem persamaan linear. Sebuah urutan bilangan-bilangan
s1,s2, …, sn dinamakan pemecahan dari sistem tersebut jika x1 = s1, x2 = s2, …, xn
= sn adalah pemecahan masing-masing persamaan tersebut. Misalnya sistem
4x1-x2 + 3x3 =-1
3x1 + x2 + 9x3 =-4
Mempunyai pemecahan x1= 1, x2 = 2, x3 =-1 karena nilai-nilai ini memenuhi
kedua persamaan tersebut. Akan tetapi x1= 1, x2 = 8, x3 = 1 bukanlah sebuah
pemecahan karena nilai-nilai ini hanya memenuhi persamaan pertama dari kedua
persamaan dalam sistem tersebut.
68
Page 69
l1 l2
x
yl1 l2
y
x
l1,l2
y
x
Sebuah sistem persamaan yang tidak mempunyai pemecahan dikatakan
takkonsisten (inconsistent). Jika ada setidak-tidaknya satu pemecahan, maka
sistem persamaan tersebut dinamakan konsisten (consistent). Untuk melukiskan
kemungkinan-kemungkinan yang dapat terjadi dalam memecahkan sistem
persamaan linear, tinjaulah sistem umum dari dua persamaan linear dalam
bilangan-bilangan yang tak diketahui x dan y:
a1x + b1y = c1 (a1, b1 kedua-duanya tidak nol)
a2x + b2y = c2 (a2, b1 kedua-duanya tidak nol)
Grafik persamaan-persamaan ini merupakan garis-garis, kita beri nama
garis-garis tersebut l1 dan l2 . Karena titik (x,y) terletak pada sebuah garis jika
dan hanya jika bilangan-bilangan x dan y memenuhi persamaan garis tersebut,
maka pemecahan sistem persamaan tersebut akan bersesuaian dengan titik
perpotongan dari garis l1 dan l2.. Ada tiga kemungkinan (gambar )
y
(1) (2) (3)
69
Page 70
1. Garis l1 mungkin sejajar dengan garis l2 , dalam kasus tidak ada
perpotongannya, dan sebagai konsekuensinya maka tidak ada pemecahan
untuk sistem tersebut.
2. Garis l1 mungkin berpotongan dengan garis l2 di hanya satu titik, dalam
kasus ini maka sistem tersebut hanya mempunyai satu pemecahan.
3. Garis l1 mungkin berimpit dengan garis l2, dalam kasus ini tak terhingga
banyaknya titik perpotongan, maka sebagai konsekuensinya maka tak
terhingga banyaknya pemecahan untuk sistem tersebut.
Walaupun kita di sini hanya meninjau dua persamaan dengan dua bilangan
yang tak diketahui, namun akan kita perhatikan kelak bahwa hasil yang sama ini
berlaku untuk sebarang sistem; yakni sistem persamaan linear tidak mempunyai
pemecahan, atau mempunyai persis satu pemacahan, atau mempunyai tak
terhingga banyaknya pemecahan.
Sebuah sistem sebarang yang terdiri dari m persamaan linear dengan n
bilangan tak diketahui akan ditulis sebagai:
a11 x1+a12 x2+ .. .+a1 n xn=b1
a21 x1+a22 x2+. ..+a2n xn=b2
.
.
.am1 x1+am 2 x2+. . .+amn xn=bm
di mana x1,x2, …, xn adalah bilangan-bilangan tak diketahui sedangkan a dan b
menyatakan konstanta-konstanta.
Misalnya, sebuah sistem umum yang terdiri dari tiga persamaan dengan
empat bilangan yang tidak diketahui akan kita tulis sebagai
70
Page 71
a11x1+a12 x2+a13 x3+a14 x4=b1
a21 x1+a22 x2+a23 x3+a24 x4=b2
. a31 x1+a32 x2+a33 x3+a34 x4=b 3
4.4 Sistem Persamaan Linear Homogen.
Sebuah sistem persamaan-persamaan linear dikatakan homogen jika
semua suku konstan sama dengan nol; yakni, sistem tersebut mempunyai bentuk
a11 x1+a12 x2+ .. .+a1 n xn=0a21 x1+a22 x2+. ..+a2n xn=0...am1 x1+am2 x2+. . .+amn xn=0
Tiap-tiap sistem persamaan linear homogen adalah sistem yang konsisten, karena
x1=0 , x,=0, …, xn=0 selalu merupakan pemecahan. Pemecahan tersebut
dinamakan pemecahan trivial (trivial solution); jika ada pemecahan lain maka
pemecahan tersebut dinamakan pemecahan tak trivial (non trivial solution).
Karena sistem persamaan linear homogen harus konsisten, maka terdapat
pada pemecahan atau tak terhingga banyaknya pemecahan. Karena salah satu
diantara pemecahan ini adalah pemecahan trivial, maka kita dapat membuat
pernyataan berikut.
Untuk sistem persamaan-persamaan linear homogen, maka persis salah
satu diantara pernyataaan berikut benar.
4.5 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL)
71
Page 72
1. Menggunakan Determinan dan adjoint
Sistem persamaan linear di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai
berikut:
A=[a11 a12 .. . a1 n
a21 a22 .. . a2 n
.
.
.am1 am2 .. . amn
] , X=¿ [ x1 ¿ ] [ x2¿ ] [. ¿ ] [. ¿ ] [. ¿ ]¿¿
¿¿
sehingga:
[a11 a12 .. . a1 n
a21 a22 .. . a2 n
.
.
.am 1 am2 .. . amn
] .¿ [ x1 ¿ ] [ x2 ¿ ] [ .¿ ] [ .¿ ] [ .¿ ]¿¿
¿
¿
¿
Sistem persamaan linear ini dapat diselesaikan sebagai berikut:
A−1 AX=A−1 BIX=A−1 BX=A−1 B
Matriks A-1 dapat dicari dari invers matriks A. Matriks X dapat dicari,
apabila matriks A nonsingular.
Contoh:
Tentukanlah x1,x2,dan x3 dari sistem persamaan:
x1+2 x3=6−3 x1+4 x2+6 x3=30.−x1−2 x2+3 x3=8
72
Page 73
Penyelesaian:
Persamaan tersebut dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut:
A=[ 1 0 2−3 4 6−1 −2 3 ] , B=[ 6
308 ]
|A|=|1 0 2
−3 4 6−1 −2 3
|
Det (A)=12+0+12-(-8-12-0)=44
adjA=[24 −4 −83 5 −12
10 2 4 ]A−1=adjA
|A|
=[24 −4 −83 5 −1210 2 4 ]
44
=[24
44−4
44−8
443
445
44−12
4410
442
444
44]
Maka
X=[24
44−4
44−8
443
445
44−12
4410
442
444
44].[6
308 ]
=[40
4472
44152
44]
=[10
1118
1138
11]
73
Page 74
x1=10
11,x2=
1811
,x3=38
11
Contoh:
Tentukanlah x1,x2,dan x3 dari sistem persamaan:
2 x1+3 x2+x3=11x1+x2+x3=6
.−2 x1+x2+x3=3
Penyelesaian:
A=[2 3 11 1 1−2 1 1 ] ,B=[11
63 ]
A−1=adjA|A|
|A|=|2 3 11 1 1−2 1 1
|=−6
adjA=[0 −2 2−3 4 −13 −8 −1 ]
A−1=[013
−13
12
−23
16
−12
43
16
]maka
X=[013
−13
1
2−2
3
16
−12
43
16
] x [1163 ]
X=[123 ]x1=1,x2=2,x3=3
74
Page 75
2. Menggunakan Kaidah Cramer.
Teorema (Aturan cramer)
Jika AX=B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n
bilangan tak diketahui sehingga det (A)¿ 0, maka sistem tersebut mempunyai
pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah
x1=det ( A1 )det ( A )
, x2=det ( A2)det ( A )
,⋯, xn=det ( An )det ( A )
Dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-
entri dalam kolom ke j dari A dengan entri-entri matriks.
Misalkan; x1=
Δ1
Δ, x2=
Δ2
Δ, .. . xn=
Δn
Δ, Δ≠0
dimana:
Δ=|A| dan
Δi= determinan matriks dengan mengganti kolom ke-I matriks A
dengan kolom suku konstan.
Contoh:
Tentukanlah x1,x2,dan x3 dari sistem persamaan:
2 x1+3 x2+x3=11x1+x2+x3=6
.−2 x1+x2+x3=3
Penyelesaian:
75
Page 76
A=[2 3 11 1 1−2 1 1 ] ,B=[11
63 ]
A1=[11 3 16 1 13 1 1 ]
A2=[2 11 11 6 1−2 3 1 ]
A3=[2 3 111 1 6−2 1 3 ]
Δ=|2 3 11 1 1−2 1 1
|=−6
Δ1=|11 3 16 1 13 1 1
|=−6
Δ2=|2 11 11 6 1−2 3 1
|=−12
Δ3=|2 3 111 1 6−2 1 1
|=−18
maka
x1=Δ1
Δ=
−6−6
=1 , x2=Δ2
Δ=
−12−6
=2, x3=Δ3
Δ=
−18−6
=3
3. Menggunakan Operasi Baris Elementer.
Sistem ini umumnya didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan
ketiga tipe operasi berikut untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui
secara sistematis.
76
Page 77
a. Kalikanlah persamaan dengan konstanta yang taksama dengan nol.
b. Pertukarkanlah dua persamaan tersebut.
c. Tambahkanlah kelipatan dari satu persamaan bagi persamaan yang lainnya.
Karena baris (garis horisontal) dalam matriks yang diperbesar bersesuaian
dengan persamaan dalam sistem yang diasosiasikan dengan baris tersebut, maka
ketiga operasi ini bersesuaian operasi berikut pada baris matriks yang diperbesar.
a. Kalikanlah sebuah baris dengan konstanta yang taksama dengan nol.
b. Pertukarkanlah dua baris tersebut.
c. Tambahkanlah kelipatan dari satu baris bagi baris yang lainnya.
Contoh:
Tentukanlah x1,x2,dan x3 dari sistem persamaan:
2 x1+3 x2+x3=11x1+x2+x3=6
.−2 x1+x2+x3=3
Penyelesaian:
[ 2 3 1 111 1 1 6
−2 1 1 3 ]Matriks yang diperbesar
[ 1 1 1 62 3 1 11
−2 1 1 3 ]Tukarkan baris kesatu dengan baris kedua,
[1 1 1 60 1 −1 −10 3 3 15 ]
Tambahkan baris kedua dengan -2 kali baris kesatu,
baris ketiga dengan 2 kali baris kesatu.
77
Page 78
[1 1 1 60 1 −1 −10 0 6 18 ]
Tambahkan baris ketiga dengan -3 kali baris kedua,
[1 1 1 60 1 −1 −10 0 1 3 ]
Kalikan 1/6 * baris ketiga,
[1 0 2 70 1 −1 −10 0 1 3 ]
Baris kesatu dikurangkan dengan baris kedua,
[1 0 0 10 1 0 20 0 1 3 ]
Tambahkan baris kesatu dengan -2 kali baris ketiga,
baris kedua dengan baris ketiga.
Pemecahan tersebut adalah x1=1 , x2=2, x3=3
4. Menggunakan Eliminasi Gauss.
Prosedur tersebut didasarkan pada gagasan untuk mereduksi matriks yang
diperbesar menjadi bentuk yang cukup sederhana sehingga persamaaan tersebut
dapat kita pecahkan dengan memeriksa sistem tersebut.
Matriks yang dinyatakan dalam bentuk eselon baris tereduksi ( reduced
row-echelon form) memiliki sifat–sifat:
78
Page 79
a. Jika baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam
baris tersebut adalah 1. (Kita namakan ini 1 utama).
b. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris
seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks.
c. Dalam sebarang dua matriks yang berurutan yang seluruhnya tak terdiri
dari nol, maka satu utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih
jauh ke kanan dari satu utama dari baris yang lebih tinggi.
d. Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di
tempat lain.
Contoh:
Matriks–matriks berada dalam bentuk eselon baris tereduksi.
[1 0 0 40 1 0 70 0 1 −1 ] ,[1 0 0
0 1 00 0 1 ] ,[0 1 −2 0 1
0 0 0 1 30 0 0 0 00 0 0 0 0
] , [0 00 0 ]
Matriks–matriks berikut berada dalam bentuk eselon baris,
[1 4 3 70 1 6 20 0 1 5 ] ,[1 1 0
0 1 00 0 0 ] , [0 1 2 6 0
0 0 1 −1 00 0 0 0 1 ]
Prosedur untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi
yang kita namakan eliminasi Gauss-Jordan. Prosedur untuk menghasilkan bentuk
eselon baris dinamakan eliminasi Gauss.
Contoh:
Tentukanlah x1,x2,dan x3 dari sistem persamaan:
79
Page 80
2 x1+3 x2+x3=11x1+x2+x3=6
.−2 x1+x2+x3=3
Penyelesian:
[ 2 3 1 111 1 1 6
−2 1 1 3 ]Matriks yang diperbesar
Menjadi bentuk eselon baris
[1 1 1 60 1 −1 −10 0 1 3 ]
Sistem yang bersesuaian dengan matriks ini adalah:
x1+x2+x3=6x2−x3=−1x3=3
Dengan memecahkannya untuk peubah –peubah utama maka akan menghasilkan:
x1=6−x2−x3
x2=−1+ x3
x3=3
Dengan mensubstitusikan persamaan yang ada di bawahnya ke persamaan yang
ada diatasnya maka diperoleh:
x1=6−x2−x3
x2=2x3=3
Dan dengan mensubstitusikan persaman kedua dan ketiga pada persamaan yang
pertama maka diperoleh
80
Page 81
x1=1x2=2x3=3
4.6 Rangkuman
Persamaan linear dalam n peubah x1,x2, …, xn sebagai persamaan yang
dapat dinyatakan dalam bentuk
a1x1 + a2x2 + … + an xn = b.
di mana a1,a2, …, an dan b adalah konstanta-konstanta riil.
Walaupun kita di sini hanya meninjau dua persamaan dengan dua bilangan
yang tak diketahui, namun akan kita perhatikan kelak bahwa hasil yang sama ini
berlaku untuk sebarang sistem; yakni sistem persamaan linear tidak mempunyai
pemecahan, atau mempunyai persis satu pemacahan, atau mempunyai tak
terhingga banyaknya pemecahan.
Menyelesaikan Menggunakan Determinan dan adjoint.Sistem
persamaan linear dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: AX=B
Sistem persamaan linear ini dapat diselesaikan sebagai berikut:
A−1 AX=A−1BIX=A−1BX=A−1B
Menyelesaikan Menggunakan Kaidah Cramer
Jika AX=B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n
bilangan tak diketahui sehingga det (A)¿ 0, maka sistem tersebut mempunyai
pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah
x1=det ( A1 )det ( A )
, x2=det ( A2)det ( A )
,⋯, xn=det ( An )det ( A )
81
Page 82
Dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-
entri dalam kolom ke j dari A dengan entri-entri matriks.
Menyelesaikan Menggunakan Operasi Baris Elementer. Sistem ini
umumnya didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan ketiga tipe operasi
untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui secara sistematis. Karena
baris (garis horisontal) dalam matriks yang diperbesar bersesuaian dengan
persamaan dalam sistem yang diasosiasikan dengan baris tersebut, maka ketiga
operasi ini bersesuaian operasi berikut pada baris matriks yang diperbesar.
a. Kalikanlah sebuah baris dengan konstanta yang taksama dengan nol.
b. Pertukarkanlah dua baris tersebut.
c. Tambahkanlah kelipatan dari satu baris bagi baris yang lainnya.
4.7 Latihan.
Selesaikanlah soal –soal berikut menggunakan determinan dan adjoint.
1.
x1+2 x2=72 x1+5 x2=−3
2.
3 x1−6 x2=82 x1+5 x2=1
3.
x1+2 x2+2 x3=−1x1+3 x2+x3=4x1+3 x2+2 x3=3
82
Page 83
4.
2 x1+x2+x3=73 x1+2 x2+x3=−3x2+x3=5
5.
15
x+15
y+15
z=115
x+15
y−45
z=2
−25
x+110
y+110
z=0
6.
3 w+ x+7 y+9 z=4w+x+4 y+4 z=7−w−2 y−3 z=0−2w−x−4 y−6 z=4
Selesaikanlah soal –soal berikut menggunakan kaidah Cramer!
7.
3 x1−4 x2=52 x1+x2=4
8.
4 x+5 y=211 x+ y+2 z=3x+5 y+2 z=1
9.
x+ y−2 z=12 x− y+z=2x−2 y−4 z=−4
10.
x1−3 x2+x3=42 x1−x2=−24 x1−3 x3=0
11.
2 x1−x2+x3−4 x4=−327 x1+x2+9 x3−x4=143 x1−x2+x3+x4=11
x1+x2−4 x3−2 x4=−4
12.
2 x1−x2+x3=84 x1+3 x2+x3=76 x1+2 x2+2 x3=15
83
Page 84
Selesaikanlah soal –soal berikut menggunakan matriks yang diperbesar (eliminasi
Gauss-Jordan)
13.
x1−3 x2=b1
4 x1−2 x2=b2
a. b1=1 , b2=4
b. b1=−2 , b2=5
14.
x1−3 x2−x3=b1
−2 x1+7 x2+2 x3=b2
3 x1+2 x2−4 x3=b3
a. b1=0 , b2=1 , b3=0
b. b1=−3 , b2=4 , b3=−5
15.
2 x1−5 x2=b1
x1+3 x2=b2
a. b1=0 , b2=1
b. b1=−4 , b2=6
c. b1=−1 , b2=3
d. b1=−5 , b2=1
16.
x1+2 x2−x3=b1
2 x1+5 x2+4 x3=b2
3 x1+7 x2+4 x3=b3
a. b1=1 , b2=0 , b3=−1
b. b1=0 , b2=1 , b3=1
c. b1=−1 , b2=−1 , b3=0
84
Page 85
17. Selesaikanlah soal –soal berikut menggunakan metode matriks yang
diperbesar dengan memecahkan sistem dalam kedua bagian secara bersama.
a.
x1−2 x2+x3=−22 x1−5 x2+x3=13 x1−7 x2+2 x3=−1
b.
x1−2x2+x3=12 x1−5 x2+x3=−13 x1−7 x2+2 x3=0
4.8 Daftar Pustaka
1. Nababan, M. 1993. Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan Bisnis.
Jakarta: Penerbit Erlangga.
2. Anton, Howard. 1995. Matematika I Elementer. Jakarta: Penerbit Erlangga.
3. Dumairy. 1996. Matematika Terapan untuk Bisnis dan
Ekonomi.Yogyakarta:BPFE.
85