Matematika I dio

Viša tehnička škola Doboj

VježbeProf.Vesna Mišić

Doboj 2003

Stepen

n-činilaca

Proizvod stepena istih baza Dijeljenje stepena istih baza

Stepenovanje stepena Korjenovanje korijena

LogaritamLogaritam pozitivnog realnog broja x po bazi a je eksponent y kojim treba stepenovati bazu a da bi se dobio broj x.

- baza - numerus

Li

nearne jednačine

I. - jedinstveno rješenje

II. i.) ii.)

i.) , jednačina je neodređena ii.) nemoguće, nema rješenja

sabiranje razlomaka

množenje razlomaka

dijeljenje razlomaka

jedinstveno rješenje

I.

II. neodređeno rješenje

razlika kvadrata kvadrat binoma

Binomna formula

jedinstveno rješenje

I.

II. neodređeno rješenje

jedinstveno rješenje

I. jedinstveno rješenje

II.

nije definisan za

neodređeno

za neodređeno rješenje Sistem linearnih jednačina

Deteminante

m – vrsta n – kolona

rješenja

rješenja jednačine ima u kolonama koeficijente uz u prvoj koloni umjesto koeficijenata uz ima slobodne članove u drugoj koloni umjesto koeficijenata uz ima slobodne članove u trećoj koloni umjesto koeficijenata uz ima slobodne članove

Kvadratna jednačina

- Diskriminanta

Rješenja kvadratne jednačine

- konjugovano kompleksan broj Rastavljanje kvadratnog trinoma na

linearne činioce

Vietove formule

sastaviti jednačinu čija su rješenja

.

25. Neka su x1 i x2 korijeni (rješenja jednačine)

gdje je sastaviti jednačinu čiji su korijeni :a) i b) u dobijenoj jednačini odrediti m tako da je c) za odgovarajuće vrijednosti m odrediti odgovarajuće vrijednosti x1

i x2.

Sistemi linearne i kvadratne jednačine

Rješava se metodom zamjene ili supstitucije, tako da se iz linearne jednačine jedna nepoznata izrazi preko druge i uvrsti u kvadratnu jednačinu.

A (-4,-5) B(2,4)

A (-3,-2) , B (-3,2)C (3,2) , D (3,-2)

R={(-6,-2);(-6,2);(6,-2);(6,2);}

Recipročne jednačine trećeg stepena

Iracionalne jednačineIracionalna jednačina je jednačina u kojoj se nepoznata nalazi pod korijenom.

Trinomna jednačina

Eksponencijalne jednačine

Nejednačine

x2x1

T

x1 x2 x1=x2=

a>0 min

D>0

21

21

21

0

, 0

,, 0

xxxxy

xxxy

xxxy

kvadratna fukcija (parabola)

Funkcija ima minimum

x1 x2

D>0

21

21

21

0

,, 0

, 0

xxxxy

xxxy

xxxy

a<0 max

D=0

D<0

0

0

2max

a

by

y

Rxy 0

2 3 x

x-2 - - + +

x-3 - - - +

+ + - +

3,2x

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne faktore

2 6 x

x-2 - - + +

12-2x + + + -

- - + 0 -

,62,x

1

0

-1

2

2

O=2rπr =1O=2π

k (0,1)

poluprečnikcentar

1cossin

sin

coscos

sin

22

ctg

tg

osnovni trigonometrijski indetitetcos

sin

osu - x za M tačtabroj je M ,cos0M

osu-y za M tačtabroj je M ,sin0M

Mkruznica trig.krak II

0Xkrak I,

xx

yy

T

M

0

a

b

c

α

β

γ

kateta suprotna

kateta nalegla

kateta nalegla

kateta suprotna

hipotenuza

kateta naleglacos

hipotenuza

kateta suprotnasin

ctg

tg

broja gkompleksnooblik algebarski yixZ

jedinica imaginarna1

1

1

012

2

i

Rx

x

x

x=2 tačka prekidax=6 nula izraza

Kompleksni brojevi

Trigonometrijska kružnica k (0,1) je kružnica u centru poluprečnika jedan na koju se može preslikati brojna prava.Definicija :Sinus (kosinus) je trigonometrijska funkcija koja svakom realnom broju α pridružuje broj jednak ordinati (apcisi) tačke koja odgovara broju α na trigonometrijskoj kružnici.

),(

231

yxyixz

iz

a x

b z (a,b)

yi

zb

iza

biaz

Im

jedinica imaginarna 1 Re

biaz

Raia

aa

0

0,

- Konjugovano kompleksan broj ima isti realan, a suprotan imaginarni dio

a

b

z (a,b)

yi

z

a

btg

a

b

cos

sin

Modul kompleksnog broja

iz

b

a

sincos

sin

cos

trigonometrijski oblik kompleksnog broja

ii sincos

sincossincos ini n

Eulorova formula Moavrova formula

2sin

2cos1

2 1 1,0

iz

iz

z

378470533

43

4

52516943

43 .43

22

1

arctg

tg

iz

7053sin7053cos5 iz

111

1

11

1

224

23

22

iii

iiiii

i

i

,...3,2,1,0 Zk

77319315419

9

17

1917

9

17

442

289

442

289

81361

17

9

17

19

17

9Im ;

17

19Re

17

9

17

19

17

919

116

14520

4

4

4

5

4

5 .45

22

arctgarctg

z

ZZ

iiii

i

i

i

i

i

iz

22

50

433

50

343

50

334

100

638Im

50

433

100

836Re

100

638836

100

863836

86

86

86

3

432

1

2

3

436

sin6

cos .46

iiZ

Z

iiii

i

i

i

i

i

i

i

i

2

1

4

1

2

10

2

1Im

0Re

2

1

4

2

2

2

2

1

121

1

1

1

1 .47

22

2

2

Z

Z

iii

i

iiiz

iz

k22

1arcsin

2

12

1

sin

3

132 .48

2

i

ii

631125365

3arcsin

5

3sin

52591634

3410

1339927

3

3

3

139

3

41239

3

1343

3

13144

22

iii

i

i

i

i

i

ii

i

ii

i

ii

01615

1516

154

4

82

15

2815

/ 8i-15 .49

24

22

22

22

22

2

yy

yy

yy

yx

ixyi

yx

yxyixi

yix

ii

x

x

y

y

t

t

tt

ty

4815

41

4

41

4

1

1

1

16

01615

: smjena

2

1

2,1

2

2

1

2

2

! 55

4

525

2

112

2

11

8

2626

22

22

22

3

44

26

4411

217

211

217

54121

?2

21 1

7 .50

22

2

22

2

Dokazano

z

iii

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

z

fzDokazati

izz

zf

z

z

51. f(z)=z2-5(1+i)z+17iDokazati da su 4+i i 1+4i nule polinoma f(z)

T

T

yT

yT

yxx

yxx

,,

,,

4524

1

2

22

2

112

2

2

2

2

2

2

2

2

1

12

012 .52

22

1

3

3

3

karctgarctg

iz

iz

iz

iz

12

17sin

12

17cos

3

224sin

3

224cos1

4

3sin

4

3cos

3

124cossin

3

124cos1

12sin

12cos

3

024sin

3

024cos1

2sin

2cos

4sin

4cos1

2

32

1

31

0

30

1

iz

iz

iz

iz

iz

iz

n

ki

n

kz

iz

nnk

z0

z1

z2

0

53. Odrediti a i b tako da kompleksan broj 1+i bude rješenje jednačine

1

8

888

0888

011 67

a

b

iabi

biai

biai

iii

ii

iii

ii

karctg

z

iz

82

3sin

2

3cos81

46sin

46cos21

882

2

2

2281

47sin

47cos21

241

1

211

1

6

66

7

77

00002

10

2

1

112

111

2

11

4

4

2

11

4

4

2

1

12

1

2

11

2

1

2

1

412111

412111

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

44

4

2224

2224

44

4

ii

iiii

iiiiff

iii

iii

iiiiiiff

n

nn

n

nn

nnnn

nn

22122

22221

2

2

2

241

4sin

4cos41

iz

iz

iz

iz

32213sin32213cos137

14601433sin

7

14601433cos13

50159sin50159cos137

10801433sin

7

10801433cos13

04107sin04107cos137

7201433sin

7

7201433cos13

4156sin4156cos137

3601433sin

7

3601433cos13

844sin844cos137

1433sin

7

1433cos13

244214333

2arctg 1323 23 23 .56

14144

14143

14142

14141

14140

2211

7

iiz

iiz

iiz

iiz

iiz

ziziz

41316sin41316cos13

7

21801433sin

7

21801433cos13

48264sin48264cos13

7

18201433sin

7

18201433cos13

146

146

145

145

iz

iz

iz

iz

8

13sin

8

13cos

4

62sin

4

62cos1

8

9sin

8

9cos

4

42sin

4

42cos1

8

5sin

8

5cos

4

22sin

4

22cos1

8sin

8cos

42sin

42cos1

22

1 .57

43

42

41

40

4

iiz

iiz

iiz

iiz

kiz

15263sin15263cos103

7203371sin

3

7203371cos10

15143sin15143cos103

3603371sin

3

3603371cos10

1523sin1523cos103

3371sin

3

3371cos10

184533713 10 31 .58

662

661

660

3

iiz

iiz

iiz

arctgziz

54. Ako je gdje je n prirodan broj.Dokazati da je

55. Odrediti kompleksan broj z ako se zna da je .

59. Odrediti skup tačaka u kompleksnoj ravni za koje je realni dio

.

60. Dati su kompleksni brojevi .Odrediti t

ako je z1=z2 .

61. Odrediti kompleksan broj, ako vrijedi

62. z = 2-2i z 7 = ?

kt

kt

tttt

ttttt

tt

22

242

2

2

2

tsin

2

cos:/ 2

cos2

sin2

cos22

2

2cos

2sin2

22sinsin

2cossin

2

2

Matematička indukcijaI korak : Provjeri da li je formula tačna za n=1.II korak : Pretpostavimo da je formula tačna za n = k (n=1).III korak : Treba dokazati da je formula tačna za n=k+1.

66. Dokazati da je za svaki prirodni broj n , djeljiv sa 3.

67. Dokazati da je za svaki prirodan broj n, djeljivo sa 64.

Binomna formula

Binomna formula

Po definiciji

Binomni koeficijenti .

Opšti član binomnog razvoja

70. Naći četvrti član razvoja .

71. Odrediti koeficijent člana koji sadrži na (k+1) mjestu biti će

bcacabcbacbacbacba 2222222

18208268208

4244168164

2848241681644241

42414241

424412122121

2345678

8765476543

654325432432

432432

24322242242

xxxxxxxx

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxx

72. odrediti srednji član?

73. Ako je u razvoju binoma koeficijent II člana je za 44

manji od koeficijenata III člana.Odrediti član koji ne sadrži x .

Tražimo član koji ne sadrži x.

74. Za koje x je peti član razvoja jednak 700?

75.

76. Dokazati da je djeljivo sa 7.

77. Dokazati da li je djeljivo sa 133?

78. Dokazati da li je djeljivo sa 21?

79.

80.

81.

82. Odrediti 28 član razvoja .28 član je .

3

2

9

4

y

x

a

a

83. Diskutovati sistem

Da bi sistem imao jedinstvena rješenja m mora biti različit .

Nemoguće, nema rješenja.

Neodređeno, ima beskonačno rješenja

84.Diskutovati sistem.

Sistem je neodređen ima beskonačno rješenja

Sistem je neodređen, ima beskonačno mnogo rješenja

Sistem je nemoguć, nema rješenja

6

36

2

ay

ax

Jedinstvena rješenja

Matrice

85. Izračunati

86.Izračunati

87. Izračunati

Sistem je neodređen ima beskonačno rješenja.88.Izračunati

Homogeni sistem, svi slobodni članovi jednaki su nuli.Trivijalno rješenje Kod homogenog sistema je

13226

54

6 .1

zyax

zyax

zyx

1

1

1 .2

x-y-az

zayx

zyax

12323

522

42 .3

zyx

zyx

zymx

32

125

22 .4

bzyx

yx

zax

0136

032

052 .5

zyx

zyx

zyx

Zadaci za vježbu :

Vektori

89. Izračunati površinu paralelograma

90.Ako su p i q bilo kakvi vektori dokazati da vrijedi relacija.

91.Dati su vektori i .Odrediti ugao između vektora.

92. Dati su vektori izračunati k iz postavljenog uslova .

6,4,2

4

062

6

0212

2

z

y

y

z

z

x

b

h

a ba

,

Uvrstimo u (1).

babaP

haP

,sin

1

baP

222

111

,,

,,

zyxb

zyxa

222

111

zyx

zyx

kji

ba

93. Dati su vektori .Odrediti vektor iz postavljenih uslova. i

Vektorski proizvod

pedaparalelopi,, Vcbacba

C(3,4,-3D(x,y,z)

A(6,2,3) B(0,-1,5)

1,2

3,

2

3

1 1 3

23 32 36

12

3

2

3

2

2

2

3

2

6

zyx

zyx

zyx

4,1,931,21,63 AD

4,1,9 AD

94. Izračunati površinu paralelograma kojeg čine tačke A(6,2,3), B(0,-1,5) i tačka C(3,4,-3).

Mješoviti proizvod

a

b

c

iKomplanarn,,0,, cbacba

ab

c

Zapremina trostrane prizme

cbaV

,,2

1

a

bc

cbaV

,,6

1Zapremina

trostrane piramide

95. Pokazati da su vektori komplanarni (leže u istoj ravni).

leže u istoj ravni,

odnosno komplanarni su.96.Izračunati zapreminu prizme ako su nam poznata tjemena.

97. Izračunati , ako je i .

98. Dati su vektori .Izračunati sljedeće formule.

99. Sastaviti jednačinu ravni koja prolazi kroz presjek ravni i i normalna je na ravan .

Jednačina ravni α.

Matematika