MateMatika feladatbank i. Statisztikastatic2.lira.hu/upload/M_28/rek3/406017.pdf · 2011 MateMatika feladatbank i. Statisztika elMéleti öSSzefoglaló éS feladatgyűjteMény középiSkoláSoknak

2011

MateMatika feladatbank i.

Statisztika

elMéleti öSSzefoglaló éS feladatgyűjteMény

középiSkoláSoknak

ÍRta ÉS ÖSSZeÁllÍtOtta:

DugaSZ JÁnOS

© fapadoskonyv.hu kft.

© Dugasz János

taRtalOMbeveZető 7

aDatOk RenDeZÉSe 9elméleti bevezető 9feladatok 14

DiagRaMOk ÉRtelMeZÉSe ÉS kÉSZÍtÉSe 22elméleti bevezető 22feladatok 24

kÖZÉpÉRtÉkek 38elméleti bevezető 38feladatok 41

SZóRóDÁSi Mutatók 53elméleti bevezető 53feladatok 55

MintavÉtel 67elméleti bevezető 67feladatok 69

ÖSSZefOglaló felaDatSOROk 721. feladatsor 722. feladatsor 74

bevezetőOlyan feladatgyűjteményt tart az olvasó a kezében, amelyben mindenki megtalálhatja a céljai-nak megfelelő feladattípusokat. a feladatok alkalmasak ismétlésre, az ismeretek felújítására, egyes témakörök gyakorlására és elmélyítésére, témazárókra, vagy éppen a kétszintű érettségire való felkészülésre. Használható a 7-13. évfolyamos tanórákon, de önálló tanuláshoz is megfelelő.

a feladatgyűjtemény öt tematikus fejezetből és két összefoglaló feladatsorból áll. a tematikus fejezetek elején egy rövid elméleti áttekintés olvasható. itt röviden bemutatjuk a fejezetbeli felada-tok megoldásához használható összefüggéseket, illetve a megértésükhöz szükséges fogalmakat. Sajnos a középiskolás statisztika tananyag „nevezéktana” még nem egységesült. eltérések figyel-hetők meg az egyes tankönyvek és függvénytáblázatok szóhasználatában. egy feladatgyűjtemény-nek nem lehet célja az elnevezések egységesítése, a lehető legteljesebb mértékben alkalmazkodnia kell a tankönyvekhez. ezért az elméleti bevezetőkben és a feladatokban is felváltva használjuk az egyes fogalmak különböző elnevezéseit.

az egymás után következő fejezetek egyre nehezebb fogalmakat gyakoroltatnak, ugyanakkor használják az előző fejezetek tudásanyagát. az önálló tanulást és a tanórai használatot megköny-nyítendő, az egy fejezeten belüli feladatok az elvégzendő műveletek nehézsége/bonyolultsága sze-rinti sorrendben követik egymást. a feladatgyűjtemény minden feladattípusból kettőt (egy a és egy b jelűt) tartalmaz. Így annak a tanulónak is van lehetősége gyakorlásra, aki az a jelű feladatot csak segítséggel tudta megoldani. a feladatok iskolai szituációkra épülnek, így a diákoknak köny-nyebb a szöveg értelmezése.

a feladatgyűjtemény végén található összefoglaló feladatsorok mindegyike tartalmaz egy – több mint 100 adatból álló – táblázatot, valamint 15 feladatot. a feladatsorok feladatai nem nehe-zebbek a tematikus fejezetek feladatainál, ám a szükséges adatok és az alkalmazható összefüggések kiválasztása sokkal bonyolultabb.

a feladatgyűjteményhez tudatosan nem készült megoldó kulcs, nem pusztán az anyag és a feladatok mennyisége okán, hanem leginkább azért, hogy a felkészülést azzal segítse elő, hogy az ismeretlen vagy nehéznek tűnő feladatoknak mindenki személyesen járjon utána a tankönyvek-ből, vagy más segédeszközökből.

Dugasz János

9

Fényes elek

1807.07.07. – 1876.07.23.A magyarországi közgazdasági statisztika első jelentős képviselője.

Műveinek többsége ma is forrásértékű.

aDatOk RenDeZÉSe

elméleti bevezető

a statisztika célja a valóság tömör, számszerű jellemzése. azért, hogy ezt megtehessük, ada-tokat kell gyűjtenünk. az összegyűjtött adatokat adatsokaságnak nevezzük. az adatsokaságban az adatok rendezetlenül, legtöbbször az összegyűjtés során kialakult sorrendben helyezkednek el. az adatok áttekinthetővé tétele érdekében az adatokat rendezni kell. a legkézenfekvőbb eljárás a nagyság szerinti sorba rendezés. például a kötélmászó verseny győztes csapatának tagjai test-magasságuk szerint sorba rendezhetőek:

Zsuzsi 150 cmKitti 160 cmMarcsi 61 cmFanni 164 cm

a nagyság szerinti sorba rendezés természetesen más mutatók, például az életkor, vagy az év végi bizonyítvány átlaga szerint is elvégezhető.

10

az összegyűjtött adatokat a jobb áttekinthetőség érdekében táblázatba szoktuk rendezni.

név testmagasság (cm) életkor (év) év végi bizonyítvány átlaga

Zsuzsi 150 15 4,2

Kitti 160 15 3,9

Marcsi 161 16 4,8

Fanni 164 15 4,4

1. táblázatA kötélmászó versenyen első helyezést elért csapat tagjainak testmagassága,

életkora és év végi bizonyítványának átlaga

a táblázat minden sorának elején és oszlopának tetején fel kell tüntetni a kategória nevét és mér-tékegységét (ha van).

Statisztikai vizsgálatokban olyan adatokat is gyűjthetünk, melyeket nem lehet sorba rendezni. ilyenek például a nem, a születési hely, vagy a kedvenc tantárgy. ekkor adatainkat csoportosítani kell. a csoportosítás során minden adatot be kell sorolnunk valahova. a csoportosítás elvégzése után meg kell számolnunk, hogy az egyes csoportokba hány elem került. Így az adatok gyakori-ságát kapjuk. például, ha osztálytársainkat legkedveltebb tantárgyuk szerint csoportosítjuk, meg tudjuk mondani, hogy hány diáknak kedvence az irodalom, a matematika, vagy a testnevelés. a gyakorisági adatokat táblázatba rendezve kapjuk meg a gyakorisági táblázatot.

Tantárgy neve Diákok száma (fő)

Magyar irodalom 5

Matematika 7

Testnevelés 2

Történelem 4

Angol nyelv 1

Német nyelv 1

Biológia 9

2. táblázatA 10. C tanulóinak kedvenc tantárgyai

egy táblázatban több gyakorisági adat is szerepelhet. például:

Szőkék (fő) Vörösek (fő) Barnák (fő) Feketék (fő)

11. D 5 1 14 3

12. D 2 0 19 3

3. táblázatA 11. D és a 12. D tanulóinak hajszíne

11

a gyakorisági táblázat egyes soraiban és oszlopaiban szereplő adatok összegét peremösszegeknek nevezzük. (ugyanis a táblázat „peremén” helyezkednek el.) a 3. táblázatot a peremösszegekkel kiegészítve a 4. táblázathoz jutunk.

Szőkék (fő) Vörösek (fő) Barnák (fő) Feketék (fő) Összesen

11. D 5 1 14 3 23

12. D 2 0 19 3 24

Össz.: 7 1 33 6 47

4. táblázatA 11. D és a 12. D tanulóinak hajszíne

a sorok végén az osztálylétszámokat találjuk. az első oszlop aljáról az olvasható le, hogy a 11.D-ben és a 12.D-ben összesen hány szőke tanuló van. a táblázat jobb alsó cellájában a vizsgált adatsoka-ság elemszáma olvasható. ez az oszlopok és sorok összegeinek összegeként is megkapható.

a gyakorisági adatok más vizsgálatok gyakorisági adataival – az eltérő mintanagyság miatt – álta-lában nem hasonlíthatóak össze. erre láthatunk példát a következő táblázatban:

9. A Iskola

Fiúk száma (fő) 11 274

Lányok száma (fő) 18 402

5. táblázatNemek megoszlása a 9. A-ban és az iskola tanulói között

az ilyen adatsokaságok a relatív gyakoriságokkal hasonlíthatóak össze. a relatív gyakoriság a gyakoriság és az adatok számának hányadosa. a relatív gyakoriságot gyakran százalékban adjuk meg. erre láthatunk példát az 6. táblázatban.

9. A Iskola

Fiúk aránya (%) 37,9 40,5

Lányok aránya (%) 62,1 59,5

6. táblázatNemek relatív gyakorisága a 9. A-ban és az iskola tanulói között

ebből a táblázatból azonnal leolvasható, hogy a 9.a-ban tanuló fiúk aránya kisebb, mint az iskolá-ban. a relatív gyakoriság táblázatokban a peremösszegeknek általában nincs értelmük. Hiszen a 6. táblázatban a 37,9% az osztálylétszámra, a 40,5% az iskolai létszámra vonatkoztatva jelent valamit.

néha a gyakorisági táblázat túl sok kategóriát tartalmaz, ezért nehezen áttekinthető, vagy kevés új információt tár fel. ilyen például a 13.a-ban tanuló lányok testmagasságát tartalmazó táblázat.

12

Testmagasság (cm) Adott testmagasságúak száma (fő)

152 1

153 1

155 1

159 2

160 1

162 1

163 1

165 1

174 1

177 1

183 1

7. táblázatA 13. A-ban tanuló lányok testmagasságának eloszlása

ilyenkor az adatokat csoportosítani szoktuk. az eljárás neve osztályba sorolás. (lásd. 8. táblázat)

Testmagasság (cm) Adott testmagasságúak száma (fő)

151–155 3

156–160 3

161–165 3

166–170 0

171–175 1

176–180 1

181–185 1

8. táblázatA 13. A-ban tanuló lányok testmagasságának eloszlása

Ha egy táblázatban szereplő gyakoriságokat egy adott értékig bezárólag összeadjuk, kumulatív gyakoriságot kapunk. például: