matematika-diskrit-pendahuluan

Matematika DiskritMatematika Diskrit(Discrete Mathematics)(Discrete Mathematics)

Mata KuliahMata Kuliah

2

- Deskripsi singkat :Mata kuliah ini mempelajari tentang objek-abjek diskrit, kaidah-kaidah menghitung (counting), relasi, teori graf dan pohon (tree).

- Tujuan Instruksional Umum :Agar mahasiswa dapat mengerti dan memahami tentang objek-abjek diskrit, kaidah-kaidah menghitung (counting), relasi, teori graf dan pohon sehingga dapat digunakan dalam mata kuliah selanjutnya serta aplikasi yang mungkin dalam kriptografi .

- Mata Kuliah Prasyarat1. Matematika Dasar I,2. Matematika Dasar II.

- Mata Kuliah LanjutanBasis Data, Struktur Data, Algoritma dan Pemrograman, Sistem Kripto Simetrik, Sistem Kripto Asimetrik, Protokol Kriptografi

Mata KuliahMata Kuliah

3

- Buku Panduan Utama :1.Rosen, Kenneth H., Discrete

Mathematics and Its Applications,5th or 6th Edition, McGraw-Hill, 2003 Or 2006.

2.Munir, Rinaldi, Buku Teks Ilmu Komputer Matematika Diskrit, edisi Ketiga, Penerbit Informatika, 2005.

- Referensi :1.Bondy, J.A and Murty, U.S.R., Graph

Theory with Applications, The MacMillan Press Ltd, 1976.

2.Diestel, Reinhard, Graph Theory, Electronic Edition, Springer Verlag New York, 1997-2000.

3.Referensi lain yang relevan.

Materi dalam Matematika Diskrit

4

1. Logika

2. Teori Himpunan

3. Matriks

4. Relasi dan Fungsi

5. Induksi Matematika

6. Algoritma

7. Teori Bilangan Bulat

8. Barisan dan Deret

9. Teori Grup dan Ring

10.Aljabar Boolean

11. Kombinatorial

12. Teori peluang diskrit

13. Fungsi pembangkit dan analisis rekurens

14. Teori Graf

15. Kompleksitas algoritma

16. Teori bahasa dan automata

Materi – materi dalam matematika diskrit :

Apa itu Matematika Apa itu Matematika Diskrit?Diskrit?

5

Matematika Diskrit adalah cabang matematika yang mempelajari objek-objek diskrit.

Menurut Wikipedia, ACM (Association for Computing Machinery) mendefinisikan matematika diskrit sebagai berikut :

Discrete Mathematics, sometimes called finite mathematics, is the study of mathematical structures that are fundamentally discrete, in the sense of not supporting or requiring the notion of continuity. Most, if not all, of the objects studied in finite mathematics are countable sets, such as integers.

Apa itu Objek Diskrit?Apa itu Objek Diskrit?

6

Suatu objek disebut diskrit jika terdiri dari sejumlah hingga elemen yang berbeda atau elemen yang tidak bersambungan.

Contoh : Himpunan bilangan bulat.

Bandingkan dengan himpunan bilangan riil, yang merupakan objek kontinyu.

Apa perbedaan antara kedua himpunan tersebut?

Matematika Diskrit dan Matematika Diskrit dan KriptografiKriptografi

7

Adakah hubungan antara Matematika Diskrit dan Kriptografi??

Berapa kemungkinan kunci pada algoritma AES-256?

Jaringan komunikasi yang efektif dari segi biaya, jarak, etc??

PretestPretest

8

1. Jika 20 mahasiswa akan disusun dalam 1 baris, berapa kemungkinan susunan yang dapat diperoleh?

2. Mahasiswa tingkat 2 terdiri dari 26 pria dan 16 wanita. Berapa jumlah cara memilih satu orang wakil?

3. Mahasiswa tingkat 2 terdiri dari 26 pria dan 16 wanita. Berapa jumlah cara memilih satu orang wakil pria dan satu orang wanita?

KombinatorialKombinatorial

9

Kombinatorial :

cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek.

Solusi : Jumlah cara pengaturan objek dalam himpunannya.

Permasalahan yang muncul dalam kombinatorial :- Password komputer terdiri dari 8 karakter.

Berapa jumlah kemungkinan password yang dapat dibuat jika huruf besar dan kecil tidak dibedakan?

- Contoh pada pretest.

Kombinatorial dan Kombinatorial dan EnumerasiEnumerasi

10

Bagaimana cara menyelesaikan permasalahan tersebut?

a. Enumerasi :

mencacah atau menghitung satu persatu setiap kemungkinan jawaban. (exhaustive search).

Tidak memungkinkan digunakan untuk jumlah objek yang besar.

b. Kombinatorial

Kombinatorial dan Kaidah Kombinatorial dan Kaidah Menghitung (Menghitung (countingcounting))

11

Kombinatorial didasarkan pada hasil percobaan yang dilakukan.

Percobaan merupakan proses fisik yang hasilnya dapat diamati.

Hasil-hasil percobaan tersebut nantinya dapat dibuat suatu generalisasi yang menghasilkan formula atau aturan tertentu.

Contoh : Hasil percobaan melempar dadu adalah muka dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.

Kaidah Perkalian (Kaidah Perkalian (Rule of Rule of Product)Product)

12

Bila :

percobaan 1 mempunyai x hasil percobaan yang mungkin terjadi,

percobaan 2 mempunyai y hasil percobaan yang mungkin terjadi,

Maka :

bila percobaan 1 dan percobaan 2 dilakukan,

maka terdapat x × y hasil percobaan yang mungkin terjadi.

Kaidah Perkalian (Kaidah Perkalian (Rule of Rule of Product)Product)

13

Contoh:

Terdapat 3 rute bus dari Solo ke Yogya, 4 rute bus dari Yogya ke Magelang. Ada berapa rute yang dapat ditempuh dari Solo ke Magelang?

Solusi :

Ada 3 kemungkinan rute Solo-Yogya dan 4 kemungkinan rute Yogya-Magelang, maka sesuai

kaidah perkalian terdapat 3 × 4 = 12 kemungkinan rute yang ditempuh.

Kaidah Penjumlahan (Kaidah Penjumlahan (Rule of Rule of Sum)Sum)

14

Bila :

percobaan 1 mempunyai x hasil percobaan yang mungkin terjadi,

percobaan 2 mempunyai y hasil percobaan yang mungkin terjadi,

Maka :

bila salah satu percobaan saja yang dilakukan (percobaan 1 atau percobaan 2 saja ),

maka terdapat x + y hasil percobaan yang mungkin terjadi.

Kaidah Penjumlahan (Kaidah Penjumlahan (Rule of Rule of Sum)Sum)

15

Contoh :

Jabatan Ketua Senat dapat diduduki oleh 13 mahasiswa MP, 27 mahasiswa TP. Berapa cara memilih penjabat Ketua Senat?

Solusi :

Jabatan yang ditawarkan hanya satu. Ada 13 cara memilih untuk MP, dan 27 cara untuk TP, namun hanya ada satu orang yang akan terpilih (MP atau TP), maka jumlah cara memilih penjabat Ketua Senat adalah 13 + 27 = 40 cara.

Perluasan Kaidah Perkalian Perluasan Kaidah Perkalian dan Penjumlahan dan Penjumlahan

16

Jika :

terdapat n buah percobaan masing-masing mempunyai p1,p2,…, pn hasil percobaan yang

mungkin terjadi dengan syarat setiap pi tidak tergantung pada pilihan sebelumnya,

Maka jumlah hasil percobaan yang mungkin terjadi adalah:

(a) p1 X p2 X … X pn untuk kaidah perkalian; dan

(b) p1 + p2 + … + pn untuk kaidah penjumlahan.