MATEMATIKA DASAR 2A Modul 9: Fungsi Dua Variabel Bebas Tim Matematika TAHAP PERSIAPAN BERSAMA INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA - LAMPUNG SELATAN 16 JANUARI 2019
MATEMATIKA DASAR 2A
Modul 9: Fungsi Dua Variabel Bebas
Tim Matematika
TAHAP PERSIAPAN BERSAMA
INSTITUT TEKNOLOGI SUMATERA - LAMPUNG SELATAN
16 JANUARI 2019
Fungsi Dua Variabel Bebas Fungsi Dua Variabel
1
PENDAHULUAN
Pada modul ini akan dijelaskan mengenai fungsi dengan dua variabel
bebas atau cukup dengan menyebutkannya sebagai fungsi dua variabel,
mulai dari bentuk fungsi, domain, dan grafik fungsinya (permukaan pada
ruang). Fungsi dua variabel merupakan perluasan konsep dari fungsi satu
variabel yang selama ini dipelajari pada modul-modul sebelumnya, termasuk
pada Matematika Dasar 1A.
Setelah mempelajari modul ini diharapkan mahasiswa mampu
1. Menjelaskan ulang konsep fungsi dua variabel
2. Menentukan domain natural dari suatu fungsi dua variabel
3. Menggunakan kurva ketinggian untuk menganalisa suatu permukaan
4. Menentukan limit fungsi dua variabel
5. Menentukan kekontinuan suatu fungsi dua variabel
Fungsi Dua Variabel Bebas Fungsi Dua Variabel
2
MATERI PERKULIAHAN
Fungsi Dua Variabel
Fungsi dengan dua variabel bebas atau cukup disebut sebagai fungsi dua
variabel merupakan perluasan konsep dari fungsi satu variabel yang selama
ini dipelajari pada modul-modul sebelumnya. Pada fungsi satu variabel
mempunyai bentuk 𝑦 = 𝑓(𝑥), dengan 𝑓: 𝑅 → 𝑅, yaitu pemetaan dari 𝑅 ke 𝑅.
Dalam hal ini, variabel 𝑥 merupakan variabel bebas, dan 𝑦 variabel tak
bebas. Fungsi ini memetakan setiap nilai 𝑥 pada domain ke tepat satu nilai 𝑦
pada kodomain. Sebagai contoh untuk 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, jika diambil nilai 𝑥 =
2, maka didapatkan tepat satu nilai 𝑦, yaitu 𝑦 = 𝑓(2) = 2(2) − 1 = 3. Satu nilai
𝑥 dapat diartikan sebagai titik pada sumbu-𝑥, dan nilai 𝑦 yang terkait diwakili
oleh satu titik pada sumbu-𝑦. Sebagai ilustrasi dapat dilihat
Gambar 1 (a).
(a) (b)
Gambar 1 (a) Ilustrasi contoh fungsi satu variabel, yaitu 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1. Satu
nilai 𝑥 = 2 memiliki tepat satu pasangan 𝑦 = 3. (b) Ilustrasi contoh fungsi dua
variabel, yaitu 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 − 𝑥 − 2𝑦. Satu pasang nilai (𝑥, 𝑦) = (1,2) memiliki
tepat satu pasangan 𝑧 = −3.
𝑥
𝑦 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 − 𝑥 − 2𝑦
𝑥 𝑦
𝑧
(1,2,0)
(1,2, −3)
Fungsi Dua Variabel Bebas Fungsi Dua Variabel
3
Pada fuungsi dua variabel mempunyai bentuk 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), dengan 𝑓: 𝑅2 → 𝑅,
yaitu pemetaan dari 𝑅2 ke 𝑅. Dalam hal ini, variabel 𝑥 dan 𝑦 merupakan
variabel bebas, dan 𝑧 merupakan variabel tak bebas. Fungsi ini memetakan
setiap pasang nilai (𝑥, 𝑦) di domain ke tepat satu nilai 𝑧 di kodomain. Sebagai
contoh untuk 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 − 𝑥 − 2𝑦, jika diambil satu pasang nilai (𝑥, 𝑦) misal
𝑥 = 1 dan 𝑦 = 2 atau dapat dituliskan sebagai (𝑥, 𝑦) = (1,2), maka
didapatkan tepat satu nilai 𝑧, yaitu 𝑧 = 𝑓(1,2) = 2 − (1) − 2(2) = −3. Satu
pasang nilai (𝑥, 𝑦) dapat juga diartikan sebagai titik pada bidang-𝑥𝑦, dan
nilai 𝑧 yang terkait diwakili oleh satu titik pada sumbu-𝑧. Sebagai ilustrasi
dapat dilihat
Gambar 1 (b),
Contoh:
Diberikan fungsi 𝑔(𝑥, 𝑦) = √𝑥2 + 𝑦2, tentukan nilai fungsi 𝑔 di titik (𝑥, 𝑦)
berikut ini,
a. (𝑥, 𝑦) = (3,1)
b. (𝑥, 𝑦) = (2,4)
c. (𝑥, 𝑦) = (3,4)
d. (𝑥, 𝑦) = (−1,1)
e. (𝑥, 𝑦) = (𝑎3, 𝑏 + 1)
Jawab:
a. 𝑔(3,1) = √(3)2 + (1)2 = √9 + 1 = √10
b. 𝑔(2,4) = √(2)2 + (4)2 = √4 + 16 = √20 = 2 √5
c. 𝑔(3,4) = √(3)2 + (4)2 = √9 + 16 = √25 = 5
d. 𝑔(−1,1) = √(−1)2 + (1)2 = √1 + 1 = √2
e. 𝑔(𝑎, b + 1) = √(a3)2 + (b + 1)2 = √𝑎6 + (𝑏 + 1)2
Secara geometri, jika dilihat bentuk grafik fungsinya, grafik dari fungsi
satu variabel dapat diartikan sebagai kurva pada bidang atau 𝑅2,
sedangkan grafik dari fungsi dua variabel dapat diartikan sebagai
permukaan pada ruang atau 𝑅3, pada contoh di atas permukaan dari fungsi
𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦 berupa bidang (permukaan datar) yang miring.
Fungsi Dua Variabel Bebas Domain Fungsi Dua Variabel
4
Domain Fungsi Dua Variabel
Pada fungsi satu variabel dikenal istilah domain (daerah asal/daerah
definisi), yang terbagi menjadi beberapa jenis, yaitu domain yang ditentukan
secara langsung dan domain natural. Begitu juga pada fungsi dua variabel.
Sebagai pengingat bahwa, suatu fungsi belum didefinisikan secara lengkap
jika domain dari fungsi tersebut tidak disebutkan secara eksplisit. Domain
pada fungsi satu variabel merupakan kumpulan titik-titik pada absis (sumbu-
𝑥), sedangkan domain pada fungsi dua variabel merupakan titik-titik pada
bidang (bidang-𝑥𝑦).
1. Domain yang diberikan secara langsung
Sebagai contoh, diberikan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 dengan domain 𝐷 =
{(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2|−2 ≤ 𝑥 ≤ 2, −2 ≤ 𝑦 ≤ 2}
Dapat diartikan bahwa grafik dari fungsi di atas merupakan permukaan
yang berada di atas bidang-𝑥𝑦 dengan −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 dan −2 ≤ 𝑦 ≤ 2
Perhatikan ilustrasi berikut ini.
Gambar 2
Domain fungsi di atas dapat dilihat pada bidang datar yang diberi warna
abu-abu. Permukaan yang didapatkan merupakan kumpulan semua titik
yang didapatkan dari nilai fungsi 𝑓 pada domain yang diberikan, yaitu
titik-titik pada bidang datar yang diberi warna abu-abu. Perhatikan
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2
𝑥
𝑦
𝑧
Fungsi Dua Variabel Bebas Domain Fungsi Dua Variabel
5
Gambar 2, untuk (𝑥, 𝑦) = (1,1) mempunyai nilai fungsi yaitu 𝑧 = 2,
sedangkan untuk (𝑥, 𝑦) = (−2,2) mempunyai nilai fungsi yaitu 𝑧 = 8, dan
seterusnya.
2. Domain natural
Jika suatu fungsi ditulis tanpa menyebutkan domainnya secara eksplisit,
maka disepakati bahwa domain dari fungsi tersebut merupakan
himpunan semua titik (𝑥, 𝑦) dengan 𝑥 dan 𝑦 merupakan bilangan riil,
sehingga fungsi tersebut terdefinisi, Inilah yang dinamakan sebagai
domain natural. Dengan kata lain jika diberikan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tanpa
menyebutkan domainnya secara eksplisit, maka 𝐷𝑓 =
{(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2|𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}. Sebagai ilustrasi misal diberikan 𝑓(𝑥, 𝑦) =
√4 − 𝑥2 − 𝑦2. Fungsi tersebut akan terdefinisi (dapat dihitung dan
menghasilkan bilangan riil) jika 4 − 𝑥2 − 𝑦2 ≥ 0 atau 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4. Dengan
kata lain, domain natural dari fungsi tersebut dalah semua titik (𝑥, 𝑦) yang
berada di dalam daerah lingkaran juga pada lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 4 atau
dapat dituliskan sebagai berikut, 𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2| 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4}. Perhatikan
gambar berikut,
(a) (b)
Gambar 3 (a) Permukaan dari fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥2 − 𝑦2. (b) Ilustrasi domain
dari fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥2 − 𝑦2.
Pada gambar di atas terlihat bahwa permukaan yang terbentuk hanya
berada di atas daerah cakram tertutup dengan jari-jari 2 dan pusat (0,0).
Dengan kata lain, untuk titik (𝑥, 𝑦) di luar lingkaran domain, maka nilai 𝑧 =
𝑓(𝑥, 𝑦) bukan bilangan riil. Misal saja (𝑥, 𝑦) = (2,2) merupakan titik di luar
𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥2 − 𝑦2
𝑥 𝑦
𝑧
𝑥
𝑦
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4
Fungsi Dua Variabel Bebas Domain Fungsi Dua Variabel
6
lingkaran domain, jelas bahwa 𝑓(2,2) = √4 − (2)2 − (2)2 = √4 − 4 − 4 =
√−4 = 2√−1 = 2𝑖 yang merupakan bilangan imajiner.
Contoh:
Tentukan domain natural dari fungsi-fungsi berikut ini
a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦 + 4
b. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 + √𝑥 + 3
c. ℎ(𝑥, 𝑦) =𝑥2+𝑦
𝑥+𝑦
d. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥√𝑦 − 3
Jawab:
a. Karena 𝑥 dan 𝑦 pada fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦 + 4 dapat digantikan
dengan semua bilangan riil maka domain natural dari fungsi di atas
adalah semua titik (𝑥, 𝑦) pada bidang-𝑥𝑦, atau dapat ditulis sebagai
berikut,
𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝑅, 𝑦 ∈ 𝑅}
b. Fungsi 𝑔(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 + √𝑥 + 3 akan terdefinisi (dapat dihitung dan
menghasilkan suatu bilangan riil) jika 𝑥 + 3 ≥ 0 atau 𝑥 ≥ −3. Dengan
kata lain, domain natural dari fungsi di atas adalah semua titik (𝑥, 𝑦)
dengan 𝑥 ≥ −3, atau dapat ditulis sebagai berikut,
𝐷𝑔 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2| 𝑥 ≥ −3}
Gambar 4
Fungsi 𝑔 di atas terdefinisi pada titik-titik (𝑥, 𝑦) pada daerah yang
berwarna abu-abu seperti pada Gambar 4 di atas.
𝑥
𝑦
𝑥 ≥ −3
Fungsi Dua Variabel Bebas Domain Fungsi Dua Variabel
7
c. Fungsi ℎ(𝑥, 𝑦) =𝑥2+𝑦
𝑥+𝑦 akan terdefinisi (dapat dihitung dan
menghasilkan suatu bilangan riil) jika 𝑥 + 𝑦 ≠ 0 atau 𝑥 ≠ −𝑦. Dengan
kata lain, domain natural dari fungsi di atas adalah semua titik (𝑥, 𝑦)
dengan 𝑥 ≠ −𝑦, atau dapat ditulis sebagai berikut,
𝐷ℎ = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2|𝑥 ≠ −𝑦}
Gambar 5
Fungsi ℎ di atas terdefinisi pada titik di seluruh bidang-𝑥𝑦 kecuali pada
garis putus-putus seperti yang terlihat pada Gambar 5 di atas.
d. Fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥√𝑦 − 3 akan terdefinisi (dapat dihitung dan
menghasilkan suatu bilangan riil) jika 𝑦 ≥ 0. Dengan kata lain, domain
natural dari fungsi di atas adalah semua titik (𝑥, 𝑦) dengan 𝑦 ≥ 0, atau
dapat ditulis sebagai berikut,
𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2|𝑦 ≥ 0}
Gambar 6
Perhatikan Gambar 6, fungsi 𝑓 di atas terdefinisi pada titik-titik (𝑥, 𝑦)
pada daerah yang berwarna abu-abu dan juga termasuk titik-titik
pada sumbu-𝑥.
𝑥
𝑥 ≠ −𝑦
𝑥
𝑦
𝑦 ≥ 0
𝑦
Fungsi Dua Variabel Bebas Grafik Fungsi Dua Variabel
8
Grafik Fungsi Dua Variabel
Untuk menggambar grafik dari suatu fungsi dua variabel tidaklah
mudah. Akan tetapi dengan bantuan penggunaan komputer dan software
dapat dilakukan dengan mudah. Meskipun demikian, untuk memberikan
visualisasi grafik suatu fungsi dua variabel dapat dilakukan secara manual
menggunakan kurva ketinggian.
Kurva ketinggian merupakan kurva hasil perpotongan dari permukaan
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) dan bidang 𝑧 = 𝑘 (bidang yang sejajar dengan bidang-𝑥𝑦),
dengan 𝑘 konstan dan diproyeksikan ke bidang-𝑥𝑦. Misal diberikan 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2 + 𝑦2. Maka kurva ketinggian dari 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 untuk 𝑘 = 4 didapatkan
dari perpotongan permukaan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 dan fungsi konstan 𝑧 = 𝑘 =
4, sebagai ilustrasi dapat dilihat Gambar 7 berikut,
(a) (b)
Gambar 7 (a) Permukaan dari 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2, (b) Kurva Ketinggian dari
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥^ + 𝑦2 dengan 𝑘 = 4
Secara matematis, kurva ketinggian didapatkan dengan cara
mensubtitusikan 𝑧 = 4 ke persamaan 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, yaitu didapatkan 𝑥2 + 𝑦2 = 4
atau 𝑥2 + 𝑦2 = 22. Ini merupakan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0)
dan jari-jari 2. Jadi hasil perpotongan antara permukaan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2
dan fungsi konstan 𝑧 = 𝑘 = 4 adalah merupakan lingkaran dengan pusat (0,0)
dan jari-jari 2.
𝑥
𝑦
𝑧
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2
𝑧 = 4
𝑥
𝑦
𝑥2 + 𝑦2 = 4
Fungsi Dua Variabel Bebas Grafik Fungsi Dua Variabel
9
Dengan demikian, untuk beberapa nilai 𝑘 yang dipilih/ditentukan, maka
didapatkan beberapa kurva ketinggian, yang kemudian dapat dikontruksi
menjadi suatu permukaan fungsi dua variabel dengan cara menarik kurva
ketinggian tersebut sejauh 𝑘 satuan (untuk 𝑘 positif berarti kurva ketinggian
tersebut ditarik sejauh |𝑘| ke arah sumbu-𝑧 positif, dan untuk 𝑘 negatif berarti
kurva ketinggian tersebut ditarik sejauh |𝑘| ke arah sumbu-𝑧 negatif). Sebagai
ilustrasi, berikut diberikan contoh kurva ketinggian yang digunakan untuk
menggambarkan permukaan suatu fungsi dua variabel.
Contoh:
Gambarkan permukaan dari 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦 menggunakan kurva
ketinggian.
Jawab:
Persamaan kurva ketinggian dari fungsi di atas adalah 𝑥2 + 𝑦 = 𝑘, dengan 𝑘
konstan. Pilih beberapa nilai 𝑘 untuk mendapatkan beberapa kurva
ketinggian dari fungsi tersebut, misal dipilik 𝑘 = −3
2, 𝑘 = −1, 𝑘 = −
1
2, 𝑘 = 0, 𝑘 =
1
2,
𝑘 = 1, 𝑘 =3
2. (semakin banyak nilai 𝑘 yang diberikan semakin memberikan
banyak informasi dalam mengkontruksi permukaan dari suatu fungsi dua
variabel).
Gambar 8
Untuk 𝑘 = −3
2 maka didapatkan 𝑥2 + 𝑦 = −
3
2 atau 𝑦 = −𝑥2 −
3
2
Untuk 𝑘 = −1 maka didapatkan 𝑥2 + 𝑦 = −1 atau 𝑦 = −𝑥2 − 1
Untuk 𝑘 = −1
2 maka didapatkan 𝑥2 + 𝑦 = −
1
2 atau 𝑦 = −𝑥2 −
1
2
𝑥
𝑦
𝑘 =3
2
𝑘 = 1
𝑘 =1
2
𝑘 = 0
𝑘 = −1
2
𝑘 = −1
𝑘 = −3
2
Fungsi Dua Variabel Bebas Grafik Fungsi Dua Variabel
10
Untuk 𝑘 = 0 maka didapatkan 𝑥2 + 𝑦 = 0 atau 𝑦 = −𝑥2
Untuk 𝑘 =1
2 maka didapatkan 𝑥2 + 𝑦 =
1
2 atau 𝑦 = −𝑥2 +
1
2
Untuk 𝑘 = 1 maka didapatkan 𝑥2 + 𝑦 = 1 atau 𝑦 = −𝑥2 + 1
Untuk 𝑘 =3
2 maka didapatkan 𝑥2 + 𝑦 =
3
2 atau 𝑦 = −𝑥2 +
3
2
Kesemuanya merupakan kurva dari 𝑦 = −𝑥2 yang digeser-geser ke atas dan
kebawah seperti yang terlihat pada Gambar 8. Jika kurva ketinggian tersebut
digambarkan pada bidang-𝒙𝒚𝒛, maka didapatkan kurang lebih seperti pada
Gambar 9.
Gambar 9
Jika masing-masing kurva ketinggian yang terlihat pada Gambar 9 dikontruksi
ulang dengan cara menariknya sejauh 𝑘 satuan sejajar dengan sumbu-𝑧,
yaitu untuk 𝑘 positif berarti kurva ketinggian tersebut ditarik sejauh |𝑘| ke arah
sumbu-𝑧 positif, untuk 𝑘 negatif berarti kurva ketinggian tersebut ditarik sejauh
|𝑘| ke arah sumbu-𝑧 negatif, dan untuk 𝑘 = 0 berarti kurva ketinggian tersebut
tetap/tidak berubah posidi, maka akan didapatkan kurang lebih seperti
paga Gambar 10.
𝑥 𝑦
𝑧
𝑥 𝑦
𝑧
Fungsi Dua Variabel Bebas Grafik Fungsi Dua Variabel
11
Gambar 10
Garis putus-putus pada kurva ketinggian menandakan bahwa kurva tersebut
berada di bawah bidang-𝑥𝑦. Kemudian, dari beberapa kurva ketinggian
yang didapatkan dapat dikontruksi menjadi satu-kesatuan suatu permukaan,
yaitu dengan cara memberika suatu selimut yang melewati semua kurva
ketinggian yang didapatkan paga Gambar 10. Pada contoh ini didapatkan
permukaan dari fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦 kurang lebih seperti pada Gambar 11
berikut,
Gambar 11
Kurva ketinggian seringkali digunakan untuk memperlihatkan kondisi cuaca,
tekanan udara atau lainnya dari berbagai titik di dalam peta. Misalnya, suhu
bervariasi dari satu tempat ke tempat lainnya, jadi dapat dimisalkan suatu
fungsi 𝑇(𝑥, 𝑦) yaitu suhu di lokasi (𝑥, 𝑦). Kurva-kurva ketinggian untuk suhu-suhu
sama disebut sebagai isoterm. Gambar 12 memperlihatkan peta isotermal
untuk wilayah Amerika Serikat.
𝑥 𝑦
𝑧
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦
Fungsi Dua Variabel Bebas Limit Fungsi Dua Variabel
12
Gambar 12 Peta isotermal wilayah Amerika Serikat
Limit Fungsi Dua Variabel
Konsep limit fungsi dua variabel merupakan perluasan dari konsep limit
fungsi satu variabel. Definisi informal dari limit fungsi dua fariabel yaitu,
dikatakan bahwa, “limit dari 𝑓(𝑥, 𝑦) untuk (𝑥, 𝑦) mendekali (𝑥0, 𝑦0) sama
dengan 𝐿” jika 𝑓(𝑥, 𝑦) dapat dibuat sedekat mungkin dengan 𝐿 yaitu dengan
cara (𝑥, 𝑦) dibuat sedekat mungkin (tetapi tidak sama dengan) ke titik (𝑥0, 𝑦0),
dinotasikan sebagai berikut,
lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿
Seperti pada fungsi satu variabel, terdapat definisi formal dari limit fungsi
dua variabel, akan tetapi pada Matematika Dasar 2A tidak dibahas sampai
sejauh itu. Titik pokok pada sub bab ini adalah menghitung nilai limit fungsi
dua variabel.
Terdapat beberapa aturan dalam menentukan nilai limit suatu fungsi
dua variabel, yaitu sebagai berikut,
Misal 𝑘 merupakan suatu sebarang konstanta, lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿1, dan
lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝐿2, dengan 𝐿1 dan 𝐿2 merupakan bilangan riil, maka
berlaku:
1. Aturan penjumlahan
lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
(𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦)) = lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓(𝑥, 𝑦) + lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑔(𝑥, 𝑦)
Fungsi Dua Variabel Bebas Limit Fungsi Dua Variabel
13
2. Aturan perkalian skalar
lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑘𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓(𝑥, 𝑦)
3. Aturan perkalian
lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑔(𝑥, 𝑦) = ( lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓(𝑥, 𝑦)) ( lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑔(𝑥, 𝑦))
4. Aturan pembagian
lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑔(𝑥, 𝑦)=
lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓(𝑥, 𝑦)
lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑔(𝑥, 𝑦)
Dengan syarat 𝐿2 ≠ 0
Berikut diberikan contoh bagaimana menentukan limit menggunakan aturan
di atas.
Contoh :
Tentukan nilai limit fungsi polinomial berikut,
1. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
(𝑥2 + 𝑦2)
2. lim(𝑥,𝑦)→(4,−3)
(𝑥2 + 𝑦2)
3. lim(𝑥,𝑦)→(−1,2)
𝑥2𝑦
4. lim(𝑥,𝑦)→(1,2)
(𝑥2𝑦 + 3𝑥)
Jawab:
1. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
(𝑥2 + 𝑦2) = lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2 + lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑦2 = (0)2 + (0)2 = 0
2. lim(𝑥,𝑦)→(4,−3)
(𝑥2 + 𝑦2) = lim(𝑥,𝑦)→(4,−3)
𝑥2 + lim(𝑥,𝑦)→(4,−3)
𝑦2 = (4)2 + (−3)2 = 16 + 9 = 25
3. lim(𝑥,𝑦)→(−1,2)
𝑥2𝑦 = ( lim(𝑥,𝑦)→(−1,2)
𝑥2) ( lim(𝑥,𝑦)→(−1,2)
𝑦) = (−1)2(2) = 2
4. lim(𝑥,𝑦)→(1,2)
(𝑥2𝑦 + 3𝑥) = ( lim(𝑥,𝑦)→(1,2)
𝑥2𝑦) + ( lim(𝑥,𝑦)→(1,2)
3𝑥) =
( lim(𝑥,𝑦)→(1,2)
𝑥2) ( lim(𝑥,𝑦)→(1,2)
𝑦) + (3 lim(𝑥,𝑦)→(1,2)
𝑥) = (−1)2(2) + (3)(1) = 5
Dapat dilihat pada contoh di atas bahwa, dalam menentukan nilai limit
fungsi polinomial cukup dengan menghitung nilai fungsi pada titik yang
Fungsi Dua Variabel Bebas Limit Fungsi Dua Variabel
14
diberikan. Itu dikarenakan fungsi polinomial merupakan fungsi yang kontinu
pada domainnya, yang berarti bahwa nilai limitnya pada suatu titik sama
dengan nilai fungsinya di titik tersebut. Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan
pada sub bak kekontinuan.
Untuk kasus fungsi rasional, perlu diperhatikan bahwa ada syarat yang
harus dipenuhi jika digunakan aturan yang sudah diberikan di atas.
Contoh :
Tentukan nilai limit fungsi polinomial berikut,
1. lim(𝑥,𝑦)→(−1,3)
3𝑥
𝑦
2. lim(𝑥,𝑦)→(2,0)
4𝑦+2𝑥
𝑥2+2𝑥𝑦−3
Jawab:
1. Diketahui bahwa lim(𝑥,𝑦)→(−1,3)
𝑦 = 3 ≠ 0, maka berdasarkan aturan di atas
didapatkan
lim(𝑥,𝑦)→(−1,3)
3𝑥
𝑦=
lim(𝑥,𝑦)→(−1,3)
3𝑥
lim(𝑥,𝑦)→(−1,3)
𝑦=
(3)(−1)
3= −1
2. Diketahui bahwa lim(𝑥,𝑦)→(2,0)
(𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 3) = (2)2 + 2(2)(0) − 3 = 4 − 3 = 1 ≠ 0,
maka berdasarkan aturan di atas didapatkan
lim(𝑥,𝑦)→(2,0)
4𝑦 + 2𝑥
𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 3=
lim(𝑥,𝑦)→(2,0)
4𝑦 + 2𝑥
lim(𝑥,𝑦)→(2,0)
𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 3=
(4)(0) + (2)(2)
(2)2 + 2(2)(0) − 3= 4
Pada kasus nilai limit fungsi satu variabel, yaitu lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) terdapat dua
cara pendekatan variabel 𝑥 ke suatu titik 𝑥0, yaitu dari kanan dan dari kiri
yang mengindikasikan pada limit kanan ( lim𝑥→𝑥0
+𝑓(𝑥) = 𝐿1) dan limit kiri
lim𝑥→𝑥0
−𝑓(𝑥) = 𝐿2). Jika limit kanan dan limit kiri tersebut didapatkan nilai yang
sama yaitu 𝐿1 = 𝐿2, maka disimpulkan nilai limitnya ada yaitu 𝐿1 = 𝐿2.
Sebaliknya, jika didapatkan nilai limit yang berbeda yaitu 𝐿1 ≠ 𝐿2, maka
disimpulkan nilai limit tidak ada. Sedangkan pada kasus nilai limit fungsi dua
variabel, terdapat banyak cara pendekatan titik (𝑥, 𝑦) ke suatu titik (𝑥0, 𝑦0),
Fungsi Dua Variabel Bebas Limit Fungsi Dua Variabel
15
yaitu semua kurva (lintasan) pada bidang-𝑥𝑦 yang berakhir di titik (𝑥0, 𝑦0).
Dalam hal ini, lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓(𝑥, 𝑦) dikatakan ada jika nilai limit pada setiap
lintasan yang melalui (𝑥0, 𝑦0) ada dan semua nilainya sama. Hal ini tidaklah
mungkin dilakukan, karena ada tak hingga banyaknya lintasan yang harus
diperiksa. Akan tetapi, untuk menunjukkan nilai limit suatu fungsi dua variabel
tidak ada, cukup dengan memilih dua lintasan dan ditunjukkan nilai limitnya
berbeda untuk masing-masing lintasan yang dipilih. Dengan demikian, jika
𝑓(𝑥, 𝑦) mendekati 𝐿1 ketika (𝑥, 𝑦) menuju (𝑥0, 𝑦0) sepanjang lintasan 𝐶1 dan
𝑓(𝑥, 𝑦) mendekati 𝐿2 ketika (𝑥, 𝑦) menuju (𝑥0, 𝑦0) sepanjang lintasan 𝐶2, dan
didapatkan 𝐿1 ≠ 𝐿2 maka disimpulkan lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓(𝑥, 𝑦) tidak ada.
Contoh:
1. Tunjukkan bahwa lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2 tidak ada
2. Tunjukkan bahwa lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
4𝑥𝑦
𝑥𝑦+𝑦3 tidak ada
Jawab:
1. Misal dipilih dua lintasan sepanjang sumbu-𝑥 positif, dan sumbu-𝑦 positif.
Untuk lintasan sepanjang sumbu-𝑥 positif mengartikan bahwa 𝑦 = 0 dan
𝑥 > 0. Dengan demikian didapatkan bahwa
lim𝑥→0+
𝑥2 − (0)2
𝑥2 + (0)2= lim
𝑥→0+
𝑥2
𝑥2= 1
Untuk lintasan sepanjang sumbu-𝑦 positif mengartikan bahwa 𝑥 = 0 dan
𝑦 > 0. Dengan demikian didapatkan bahwa
lim𝑦→0+
(0)2 − 𝑦2
(0)2 + 𝑦2= lim
𝑦→0+
−𝑦2
𝑦2= −1
Karena dari dua lintasan yang dipilih didapatkan nilai limit yang berbeda,
maka dapat disimpulkan bahwa lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2 tidak ada.
2. Misal dipilih dua lintasan yaitu sepanjang garis 𝑦 = 𝑥 dengan 𝑥 > 0, dan
sepanjang kurva 𝑥 = 𝑦2, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦 > 0. Untuk lintasan sepanjang garis 𝑦 = 𝑥
dengan 𝑥 > 0 didapatkan bahwa
Fungsi Dua Variabel Bebas Kekontinuan Fungsi Dua Variabel
16
lim𝑥→0+
4𝑥(𝑥)
𝑥(𝑥) + (𝑥)3= lim
𝑥→0+
4𝑥2
𝑥2 + 𝑥3= lim
𝑥→0+
4
1 + 𝑥= 4
Untuk lintasan sepanjang kurva 𝑥 = 𝑦2 dengan 𝑦 > 0 didapatkan bahwa
lim𝑦→0+
4(𝑦2)𝑦
(𝑦2)𝑦 + 𝑦3= lim
𝑦→0+
4𝑦3
2𝑦3= 2
Karena dari dua lintasan yang dipilih didapatkan nilai limit yang berbeda,
maka dapat disimpulkan bahwa lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
4𝑥𝑦
𝑥𝑦+𝑦3 tidak ada
Kekontinuan Fungsi Dua Variabel
Definisi kekontinuan pada fungsi dua variabel juga merupakan
perluasan dari konsep kekontinuan fungsi satu variabel, yaitu sebagai berikut:
Suatu fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) dikatakan kontinu di titik (𝑥0, 𝑦0) jika memenuhi tiga
syarat berikut,
1. 𝑓(𝑥, 𝑦) terdefinisi di titik (𝑥0, 𝑦0)
2. lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓(𝑥, 𝑦) adal
3. lim(𝑥,𝑦)→(𝑥0,𝑦0)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
Contoh:
Tunjukkan bahwa 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 + 𝑥2 + 𝑦2 kontinu di titik (0,0).
Jawab:
1. 𝑓(𝑥, 𝑦) terdefinisi di titik (0,0), yaitu 𝑓(0,0) = 2 + (0)2 + (0)2 = 2
2. Berdasarkan aturan mennentukan limit didapatkan bahwa
lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
(2 + 𝑥2 + 𝑦2) = 2
3. Didapatkan bahwa lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
(2 + 𝑥2 + 𝑦2) = 2 = 𝑓(0,0)
Karena ketiga syarat kekontinuan suatu fungsi terpenuhi semua, maka
disimpulkan bahwa 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 + 𝑥2 + 𝑦2 kontinu di titik (0,0).
Contoh:
Diberikan
𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2 , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
0 , (𝑥, 𝑦) = (0,0)
Fungsi Dua Variabel Bebas Kekontinuan Fungsi Dua Variabel
17
Tunjukkan bahwa 𝑓(𝑥, 𝑦) tidak kontinu di titik (0,0).
Jawab:
1. 𝑓(𝑥, 𝑦) terdefinisi di titik (0,0), yaitu 𝑓(0,0) = 0
2. Berdasarkan pada contoh sebelumnya didapatkan bahwa
lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑓(𝑥, 𝑦) = lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2= tidak ada
3. Didapatkan bahwa lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑓(𝑥, 𝑦) ≠ 𝑓(0,0)
Karena ketiga syarat kekontinuan suatu fungsi tidak terpenuhi semua,
maka disimpulkan bahwa 𝑓(𝑥, 𝑦) tidak kontinu di titik (0,0). Satu saja
syarat tidak dipenuhi, maka dapat langsung disimpulkan bahwa fungsi
tersebut tidak kontinu pada titik yang diberikan.
18
SOAL LATIHAN
1. Tentukan nilai fungsi dari fungsi dua variabel berikut ini pada titik (𝑥, 𝑦)
yang diberikan, jika ada.
a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 3𝑦, (𝑥, 𝑦) = (2,3)
b. 𝑓(𝑥, 𝑦) = sin(𝑥) + 2𝑦, (𝑥, 𝑦) = (0,2)
c. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦3, (𝑥, 𝑦) = (4,2)
d. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 − 3𝑦, (𝑥, 𝑦) = (2,6)
e. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2√𝑥 − 4, (𝑥, 𝑦) = (2,4)
f. 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2−2𝑦
𝑦, (𝑥, 𝑦) = (2,3)
2. Tentukan domain natural dari fungsi dua variabel yang diberikan di
bawah ini
a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2
b. 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥−𝑦
𝑥+𝑦
c. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √9 − 𝑥2 − 𝑦2
d. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑦 − 𝑥2)
e. 𝑓(𝑥, 𝑦) = exp(−(𝑥2 + 𝑦2))
3. Gambarkan permukaan dari fungsi dua variabel yang deberikan di
bawah ini.
a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 + 𝑥 − 3𝑦
b. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 + 𝑥2 + 𝑦2
c. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 − 𝑥2
d. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √9 − 𝑥2 − 𝑦2
e. 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2
𝑦
4. Hitunglah limit fungsi beriku
a. lim(𝑥,𝑦)→(1,0)
(𝑥2 − 3𝑦2)
b. lim(𝑥,𝑦)→(1,−2)
(2𝑥3 − 3𝑦)(𝑥𝑦 − 2)
c. lim(𝑥,𝑦)→(0,2)
(4𝑥𝑦2 −𝑥+1
𝑦)
d. lim(𝑥,𝑦)→(1,0)
𝑥2+𝑦2
𝑥2−𝑦2
19
e. lim(𝑥,𝑦)→(2,0)
2𝑥+4𝑦2
𝑦2+3𝑥
5. Tunjukkan bahwa lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2−2𝑦2
𝑥2+𝑦2 tidak ada dengan memeriksa lintasan
sepanjang sumbu-𝑥 positif dan sumbu-𝑦 positif.
6. Periksalah lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
4𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2 pada lintasan sepanjang sumbu-𝑥 positif, sumbu-𝑦
positif, dan sepanjang garis 𝑦 = 𝑥. Apa yang dapat disimpulkan?
7. Tunjukkan bahwa 𝑓(𝑥, 𝑦) = √9 + 𝑥2 + 𝑦2 kontinu di titik (0,0)
8. Tunjukkan bahwa
𝑓(𝑥, 𝑦) = {
4𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2 , (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
0 , (𝑥, 𝑦) = (0,0)
tidak kontinu di titik (0,0)
20
DAFTAR PUSTAKA
Neuhauser, C. 2011. Calculus for Biology and Medicine 3rd Ed. Prentice Hall.
Varberg, D. Purcell, E. and Rigdon, S. 2006. Calculus 9th Ed. Prentice Hall.