Dan Fakulteta elektrotehnike i računarstva Sveučilišta u Zagrebu, 21. studenoga 2014. Matematička analiza fizikalnih problema tankih slojevitih struktura i fluida Igor Velčić (PI), Boris Muha, Maroje Marohnić, Mario Bukal Fakultet elektrotehnike i računarstva Sveučilišta u Zagrebu 1. Uvod Slojeviti materijali • izraĎeni od dva ili više konstitutivnih materijala (slojeva) različitih fizikalnih svojstava • drugačija, često poboljšana, fizikalna i kemijska svojstva od pojedinih sastavnica (npr. čvršći, lakši, jeftiniji) • široka primjena u industriji: graĎevinarstvo, brodogradnja, zrakoplovna industrija, sportska oprema, … • sveprisutni u prirodi: drvo, kosti, krvne žile, … Tanke slojevite strukture • geometrijski oblici slojevitih materijala: štap, ploča, membrana, ljuska Fizikalni problemi • heterogenost (oscilacije) tankih struktura • meĎudjelovanje slojevitih struktura s okolnim fluidom 2. Opis problema Matematički modeli fizikalnih problema • nelinearna 3D teorija elastičnosti • spregnuti sustav nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi (npr. Navier-Stokesov sustav + elastičnost) Ciljevi istraživanja • sustavan (rigorozan) izvod nižedimenzionalnih modela: štap (1D), membrana, ploča, ljuska (2D), iz 3D teorije elastičnosti • matematička analiza različitih modela meĎudjelovanja fluida i struktura 3. Metodologija 1. Simultana homogenizacija i redukcija dimenzije • tražimo limes niza funkcionala (metode varijacijskog računa) gdje je: o – skalirana gustoća energije deformacije o – skalirana domena o – debljina strukture o – deformacija 2. Matematička analiza međudjelovanja elastičnih struktura i fluida • tražimo rješenja i analiziramo svojstva spregnutog sustava nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi gdje je: o – brzina fluida, – tenzor naprezanja o – elastični operator, – pomak strukture 4. Rezultati 1. Simultana homogenizacija i redukcija dimenzije • neperiodička homogenizacija i redukcija dimenzije za model savitljivog štapa [2] • neperiodička homogenizacija i redukcija dimenzije za von Kármánov model ploče ( ) [5] – formula limesa, uz pretpostavku , dana je s 2. Matematička analiza međudjelovanja elastičnih struktura i fluida • formulacija i konstrukcija slabih rješenja problema meĎudjelovanja nekompresibilnog viskoznog fluida s elastičnom ljuskom nelinearne membranske energije [3] – energetska nejednakost • optimalna regularnost za pojednostavljeni 1D linearni problem meĎudjelovanja fluida i strukture (tzv. heat-wave system) [4] 5. Reference [1] Izvor: http://en.wikipedia.org/wiki/Composite_material [2] M. Marohnić, I. Velčić. Non-periodic homogenization of bending-torsion theory for inextensible rods from 3D elasticity, submitted. [3] B. Muha, S. Čanić, Fluid-structure interaction between an incompressible, viscous 3D fluid and an elastic shell with nonlinear Koiter membrane energy, submitted. [4] B. Muha, A note on optimal regularity and regularizing effects of point mass coupling for a heat-wave system, submitted. [5] I. Velčić. On the general homogenization of von Kármán plate equations from 3D nonlinear elasticity, submitted. Slika 4: Slojevita struktura u meĎudjelovanju s fluidom [3] Slika 2: Presjek krvne žile [3] Zahvala Ovaj projekt financira Hrvatska zaklada za znanost (9477). Slika 1: Slojeviti materijal [1] Slika 3: Periodičke i neperiodičke oscilacije materijala [2]