MATEMATIKA 5. MUNKAFÜZET

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

MATEMATIKA 5.MUNKAFÜZET

A tankönyv megfelel az 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet: 2. sz. melléklet: Kerettanterv az általános iskolák 5–8. évfolyama számára 2.2.03. előírásainak.

Tananyagfejlesztők: Gedeon Veronika, Korom Pál József, Számadó László, Tóthné Szalontay Anna, dr. Wintsche Gergely

Alkotószerkesztő: dr. Wintsche Gergely

Vezetőszerkesztő: Tóthné Szalontay Anna

Tudományos szakmai lektor: Rózsahegyiné dr. Vásárhelyi Éva

Pedagógiai lektor: Beck Zsuzsanna

Nyelvi lektor: Darcsiné Molnár edina

Fedélterv: Orosz Adél

Látvány- és tipográfiai terv: Orosz Adél

Illusztráció: Létai Márton

Szakábra: Szalóki Dezső, Szalókiné Tóth Annamária

Fotók: Wikimedia Commons; Flickr; Pixabay; MorgueFile

A tankönyv szerkesztői köszönetet mondanak a korábban készült tankönyvek szerzőinek. Az ő általuk megteremtett módszertani kultúra ösztönzést és példát adott e munkafüzet készítőinek is.Ugyancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönyveinket gazdagítják.Köszönjük azoknak a tanároknak és diákoknak a munkáját, akik hasznos észrevételeikkel és javaslataikkal hozzájárultak e munkafüzet végső változatának kialakításához.

ISBN 978-963-682-969-8 © Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet A kiadásért felel: dr. Kaposi József, főigazgató

Raktári szám: FI-503010502/1

Műszaki szerkesztő: Orosz Adél Grafikai szerkesztő: Kováts Borbála Nyomdai előkészítés: Fehér Angéla, Gados László Terjedelem: 18,54 A/5 ív, tömeg: 398 gramm1. kiadás, 2016

Az újgenerációs tankönyv az Új Széchenyi Terv Társadalmi Megújulás Operatív Program 3.1.2-B/13-2013-0001 számú, A Nemzeti alaptantervhez illeszkedő tankönyv, taneszköz és Nemzeti Köznevelési Portál fejlesztése című projektje keretében készült.A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg.

A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Kónya IstvánNagy Károly

Engedélyszám:TKV/2686-14/2016 (2016.03.24-2021.08.31)

Nyomtatta és kötötte:Felelős vezető: A nyomdai megrendelés törzsszáma:

Európai SzociálisAlap

3

I. Az egész számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1. A számok kialakulása, a római számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2. A helyiértékes írás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3. A számjegyek hármas csoportosítása, és a számok kiolvasása . . . . . . . . 8 4. A természetes számok helyesírása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5. A számok ábrázolása a számegyenesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 6. Összeadás, írásbeli összeadás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 7. Kivonás, írásbeli kivonás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 8. Szorzás és osztás egyszerűen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 9. Számoljunk egyszerűbben! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 10. Becslés, kerekítés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 11. Írásbeli szorzás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 12. Írásbeli osztás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 13. A szorzás és az osztás tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 14. Osztó, többszörös . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 15. A 2-es alapú számrendszer (kiegészítő tananyag) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 16. Negatív számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 17. A számok ellentettje és abszolút értéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 18. Egész számok összeadása és kivonása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 19. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

II. Törtek, tizedes törtek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1. Tört, törtek ábrázolása számegyenesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2. Tört bővítése, egyszerűsítése, összehasonlítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3. Egyenlő nevezőjű törtek összeadása és kivonása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4. Különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5. Tört szorzása természetes számmal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6. Tört osztása természetes számmal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 7. Vegyes számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8. Tizedes törtek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 9. Tizedes törtek ábrázolása és rendezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 10. Tizedes törtek összeadása és kivonása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 11. Tizedes törtek szorzása természetes számmal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 12. Tizedes törtek osztása természetes számmal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 13. Közönséges törtek tizedes tört alakja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 14. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

TARTALOMJEGYZÉK

4

III. Mérés és mértékegységek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1. A hosszúság mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2. Testek tömegének mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3. Az idő mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

IV. Bevezetés a geometriába . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1. Csoportosítások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2. Test, felület, vonal, pont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3. Testek építése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4. Testek szemléltetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5. Testek geometriai jellemzői . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6. Párhuzamos egyenesek, merőleges egyenesek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 7. Téglalap, négyzet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8. Párhuzamos és merőleges síkok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 9. Kitérő egyenesek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 10. Téglatest, kocka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 11. Síkidomok, sokszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 12. A kör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 13. A gömb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 14. A szakasz felezőmerőlegese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 15. Szerkesztések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 16. A szög . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 17. Téglalap, négyzet kerülete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 18. A terület mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 19. Téglalap, négyzet területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 20. Téglatest, kocka felszíne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 21. A térfogat mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 22. Téglatest, kocka térfogata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 23. Gyakorlati feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 24. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

TARTALOMJEGYZÉK

5

V. Helymeghatározás, sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 1. Helymeghatározás szerepe környezetünkben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2. Helymeghatározás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3. Tájékozódás a számegyenesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4. A derékszögű koordináta-rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5. Pontok ábrázolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6. Tájékozódás síkban, térben (kiegészítő tananyag) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7. Matematikai játékok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8. Keressünk összefüggéseket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 9. Sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 10. Nevezetes, érdekes sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 11. Táblázatok, grafikonok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 12. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

VI. Arányosság, egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 1. Arányosságok, változó mennyiségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 2. Arányos következtetések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3. Nyitott mondatok, egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4. Próbálgatások, következtetések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5. Egyenletmegoldás gyakorlása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6. Szöveges feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

VII. Adatgyűjtés, statisztika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 1. Játék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 2. Adatgyűjtés, az adatok ábrázolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 3. Átlag és tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4. Lehetetlen, lehetséges, biztos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

TARTALOMJEGYZÉK

6

I. AZ EGÉSZ SZÁMOK 1. A SZÁMOK KIALAKULÁSA, A RÓMAI SZÁMOK

1 Írd át a könyveken látható római számokat arab számokká!

2 Írd az épületek timpanonjai alá a dátumokat római számokkal!

3 Állítsd növekvő sorba a következő számokat: MCDXXVII; 1349; MDCLXII; 1247; MCDXL!

1247 < 1349 < MCDXXVII < MCDXL < MDCLXII

4 Mikor született az SMS írója? „Mi Már Itt Vagyunk. Várunk. Xantus Ilona.” MMIV.V.XI. = 2004.05.11.

5 Milyen betű kerülhet a kérdéses helyekre? A betű megtalálása után a kapott római számot add meg a ma használt arab számként! (Csak egy megoldás van.)

VII I ; MMM C D; LXXX V III; CC X C; MMM C M.

8 3400 88 290 3900

6 A következő római számoknál több megoldás is lehet. Adj meg legalább két lehetőséget!

V II; X II; M M D; M C D; C V II; C X II; DC C C; DC X C; MM D ; MM C .

7 2500 107 800 2500

12 1400 112 690 2100

2011 1971 1826

134914691774

1427 1662 1440

MCMXXXIV

MCMLVI

MDCCCXXXIV

MDCCCXCI

MDCCCLXVII

MDCCXCVII

7

2. A HELYIÉRTÉKES ÍRÁS

1 Írd be a megadott számok számjegyeit a helyiérték-táblázatba!

A szám Millió Százezres Tízezres Ezres Százas Tízes Egyes

234 567 2 3 4 5 6 7

1 001 345 1 0 0 1 3 4 5

45 578 4 5 5 7 8

4 301 234 4 3 0 1 2 3 4

2 Panni a következőket árulta el egy számról: A legnagyobb helyiértékű helyen a 6-os számjegy áll. Az egyik számjegy valódi értéke a 30, és ez a számjegy pontosan annyiszor szerepel a számban amennyi

az alaki értéke. Találd ki, hogy melyik négyjegyű számra gondolt Panni! 6333

3 Ezekből az ötjegyű számokból egy számítógépes vírus kitörölte a nullákat. A maradék számok alapján találd ki, melyek lehettek az eredeti számok! A legkisebb és legnagyobb számokat írd le betűvel is!

A legkisebb szám A legnagyobb szám

9321 90 321, kilencvenezer-háromszázhuszonegy 93 210, kilencvenháromezer-kétszáztíz

244 20 044, húszezer-negyvennégy 24 400, húszonnégyezer-négyszáz

15 10 005, tízezer-öt 15 000, tizenötezer

4 Hangya király hadseregének egy rajában 10 hangya van. Egy század tíz rajból áll. Egy ezred 10 század-ra oszlik.

a) Hány század van az ábrán? 10

b) Hány hangya van egy században, és egy ezredben? Egy században 100, egy ezredben 1000 hangya van.

c) Hangya király helyiértékes írásmóddal tartja nyilván ka to nái nak számát. Jobbról balra tartja nyilván a rajok, a századok és az ezredek számát. Hány katonát jelent, ha a nyilvántartásban ezek a számok állnak?

346 3460, azaz háromezer-négyszázhatvan

23 230, azaz kétszázharminc

205 2050, azaz kétezer-ötven

d) Írd le hangya helyiértékes módon a 3410 hangya ka to-ná ból álló sereget!

Ezred Század Raj

3 4 1

8

1 Írd le számokkal!

huszonnyolcmillió-hatszázötezer-kilencszáztíz 2 8 6 0 5 9 1 0

nyolcvanmillió-hatszázhatvankilencezer-ötszáz 8 0 6 6 9 5 0 0

kétmillió-negyvenkettő 2 0 0 0 0 4 2

egymillió-ötszázhúszezer-háromszázhetvenhét 1 5 2 0 3 7 7

kétmillió-egyszáztizenhatezer-egyszázhuszonhat 2 1 1 6 1 2 6

2 A következő szavak közül írd valamelyiket a pontozott helyekre: ezer, millió, milliárd (1 000 000 000), billió (1 000 000 000 000)! Az üres helyekre vízszintes vonalat húzz!

345 103 401

háromszáznegyvenöt egyszázhárom négyszázegy

12 000 027

tizenkét huszonhét

4 023 456 120

négy huszonhárom négyszázötvenhat százhúsz

34 000 000 003

harmincnégy három

107 670 100 000

százhét hatszázhetven száz

432 400 310 000 112

négyszázharminckét négyszáz háromszáztíz száztizenkettő

99 900 000 009 000

kilencvenkilenc kilencszáz kilenc

3 Bontsd fel a számokat függőleges vonalakkal hármas csoportokra! Írd a számok hármas csoportjait a megfelelő oszlopokba! Az üres helyekre húzz vízszintes vonalat!

A szám Billió Milliárd Millió Ezer7345232 – – 7 345 232

434543000 – – 434 543 00010000000000 – 10 000 000 000

20304050607080 20 304 050 607 0805300000 – – 5 300 000

3. A SZÁMJEGYEK HÁRMAS CSOPORTOSÍTÁSA, ÉS A SZÁMOK KIOLVASÁSA

millió ezer

millió

billió

millió

millió

millió ezer

ezer

milliárd

milliárd

milliárd

milliárd

milliárd

billió

ezer

9

4 A táblán látható mindkét elmosódott helyre írd be a megadott számokat! Az így kapott számokat bontsd hármas csoportokra és olvasd fel őket hangosan!

Például:

A beírandó szám az 5.

a) A beírandó szám a 80. 2 8 0 3 0 8 0

b) A beírandó szám a 23. 2 2 3 3 0 2 3

c) A beírandó szám a 100. 2 1 0 0 3 0 1 0 0

4. A TERMÉSZETES SZÁMOK HELYESÍRÁSA

1 a) A háromszáztízmillió-kétszázezer-négyszázkilencvennyolcat írd le hármas csoportosítású helyiér-

tékes számmal! 310 200 498

b) Cseréld fel a hármas csoportokat úgy, hogy a lehető legkisebb számot kapd! Írd le betűkkel az így

kapott számot! kétszázmillió-háromszáztízezer-négyszázkilencvennyolc

c) Cseréld fel a hármas csoportokat úgy, hogy a lehető legnagyobb számot kapd! Írd le betűkkel az így

kapott számot! négyszázkilencvennyolcmillió-háromszáztízezer-kétszáz

2 Kösd össze a számokban szereplő hármas csoportokat! A vonalak berajzolásához használd a vonalzódat!Ötvenhatmillió-kilencszáztizenháromezer-

ötszázötvenöt;ötvenhatmillió-ötszázötvenötezer-

négyszázötvenkettő;négyszázötvenhatmillió-négyszázharminc-

kétezer-kilencszáznyolcvanhét;ötvenhatmillió-hétszázötvenhétezer-

négyszázharminckettő.Milyen alakzatok bontakoznak ki?

Háromszögek, gúlák, piramisok, …

Dolgozz a padtársaddal! Mind a ketten írjatok le két nyolcjegyű természe tes számot, majd fel-váltva olvassátok fel egymásnak! A felolvasott számot a másik leírja a füzetébe. A feladat végén egyeztessétek a számokat!

Páros munka

2 5 3 0 5

3. A SZÁMJEGYEK HÁRMAS CSOPORTOSÍTÁSA, ÉS A SZÁMOK KIOLVASÁSA

56

555

913

432

456

452 987 757

657

123

234

123

465

765

218

10

4. A TERMÉSZETES SZÁMOK HELYESÍRÁSA

3 Ha csekken adunk fel pénzt, akkor az ellenőrzés miatt a feladott összeget számmal és betűvel is ki kell írni. Töltsd ki az alábbi csekkeket, ha

1945; 25 615; kétszázhúszezer-hétszázharmincöt; negyvenhatezer-nyolcszázhatvan

forintot szeretnénk feladni! Az üresen maradt helyeket egy vízszintes vonallal át szokták húzni.

4 A következőkben számírással adunk meg három magasságot és egy mélységet. Találd ki, hogy az egyes értékek mely dologhoz tartoznak, és írd mellé betűvel!

a) 8848 méter; b) 11 034 méter; c) 823 méter; d) 116 méter.

A hyperion nevű örökzöld mamutfenyő az USA-ban száztizenhat

A Földön található legmagasabb hegycsúcs, a Csomolungma nyolcezer-nyolcszáznegyvennyolc

A Burdzs Kalifa nevű épület Dubajban nyolcszázhuszonhárom

A Mariana-árok, a tenger legmélyebb pontja tizenegyezer-harmincnégy

5 Írd a számjegyek alá, hogy hányszor fordulnak elő a szövegben!„Az afrikai Nílus hossza hatezer-hatszázkilencvenöt kilométer. Az egyik fő mellékfolyója az ezerháromszáz-ötven kilométer hosszú Kék-Nílus, melynek forrása az ezernyolcszázharminc méter magasságban fekvő Tana tó. A másik fő mellékfolyója, a Fehér-Nílus, hossza háromezer-hétszáz kilométer, vízgyűjtő területe egymillió-nyolcszázezer négyzetkilométer.”

0 1 2 3 4 5 6 7 8 99 3 0 3 0 2 2 1 2 1

1 9 4 5

kétszázhúszezer-hétszázharmincöt

ezerkilencszáznegyvenöt huszonötezer-hatszáztizenöt

2 5 6 1 5

4 6 8 6 0 2 2 0 7 3 5

negyvenhatezer-nyolcszázhatvan

11

5. A SZÁMOK ÁBRÁZOLÁSA A SZÁMEGYENESEN

1 Jelöld az időszalagon, az alábbi események körülbelüli helyét!

1800 1900 2000

év

A: 1863 – Felavatták Londonban a világ első földalatti vasútját.B: 1903 – A Wright fivérek többször repültek az általuk megalkotott első repülőgéppel.C: 1947 – Először lépte át repülőgép a hangsebességet.D: 1969 – Holdra lépett az első ember.

2 a) Olvasd le, és írd a képek mellé, hogy a hőmérők hány Celsius fok hőmérsékletet mutatnak!

b) Jelöld be pirossal a hőmérőkre, hogy mekkora hőmérsékletet mutatnának, ha 8 °C-kal nőne a hő-mér sék let!

c) Jelöld be zölddel a hőmérőkre, hogy mekkora hőmérsékletet mutatnának, ha 7 °C-kal csökkenne a hőmérséklet!

3 A számegyenes néha „számgörbe”. Jelöld be a következő dátumok körülbelüli helyét a számszalagon! A: Születési éved. B: Melyik évben leszel 20 éves? C: Melyik évben kezdted az ötödik osztályt? D: Melyik évben kezdted el az általános iskolát? E: Melyik évben kezded majd a 7. osztályt?

20002010

A B C D

23

47

82

E

C

B

A D

12

4 Egészítsd ki a számegyenesek beosztásának feliratait, majd rajzold be mindegyikre a 30, 35, 50, 80, 90, 100, 110, 120 értékek körülbelüli helyét!

a) 0 100

b) 20 95

c) 30 100

év

5 Ábrázold alkalmas számegyenesen a felsorolt hosszúságokat!

100 200 300 400 500

112 137

147

244 269 340 527

6 a) Olvasd le, hogy mennyit mutatnak a műszerek!

30 80 50

b) Mennyit jelent a nagy beosztás és a kis beosztás, ha 500-at jelent az, ha a mutató a 100-as jelre mutat?

nagy beosztás: 50 kis beosztás: 10

A Népstadion futballpályájának hossza 112 m

A Földön élő legmagasabb fa, a mamutfenyő magassága 137 m

A gizai nagy piramis magassága 147 m

A Gellért-hegy magassága 244 m

A Titanic hossza 269 m

Az Eiffel-torony magassága 340 m

Egy kör az atlétikai pályán 400 m

A Taipei 101, a világ második legmagasabb lakóépülete 527 m

5. A SZÁMOK ÁBRÁZOLÁSA A SZÁMEGYENESEN

20 40 60 80 120 140 160 180 200

35 50 65 80 110 125

40 50 60 70 11080 12090

13

1 Végezd el fejben a következő összeadásokat! Figyelj a tagok sorrendjére!

a) 47 + 30 + 23 = 100 b) 27 + 105 + 58 = 190 c) 19 + 38 + 21 + 22 = 100

d) 15 + 11 + 45 = 71 e) 26 + 21 + 23 = 70 f) 42 + 15 + 28 + 25 = 110

2 Karcsi írt egy dalt, majd felvette videóra. Miután az interneten megosztotta a videót az első hónapban 4678, a következő hónapban 34 563, a harmadik hónapban pedig 185 679 tetsziket (like-ot) kapott. Hány tetsziket kapott a három hónap alatt összesen?

3 Magyarország legmagasabb hegycsúcsa a Kékestető, 1014 méter magas. A tengerszinthez képest mi-

lyen magasan van a tetejére épített 180 méteres tévétorony csúcsa? 1194 m-en

4 Számítsd ki fejben, hogy mikor ért véget a megadott királyok uralkodása!

Uralkodásának kezdete

Hány évig uralkodott

Uralkodásának vége

Corvin Mátyás magyar király 1458 32 év 1490

IV. Béla magyar király 1235 35 év 1270

Könyves Kálmán magyar király 1095 21 év 1116

VIII. Henrik angol király 1509 38 év 1547

XIV. Lajos francia király 1643 72 év 1715

I. Ferenc József 1848 68 év 1916

5 Állítsd az összegeket növekvő sorrendbe!a) 56 534 + 486 743; b) 315 678 + 234 567; c) 72 124 + 98 765 + 374 567; d) 123 476 + 201 345 + 121 234 + 102 345.

543 277 < 545 456 < 548 400 < 550 245

6. ÖSSZEADÁS, ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS

4 6 7 8 3 4 5 6 3 + 1 8 5 6 7 9 2 2 4 9 2 0

5 6 5 3 4 + 4 8 6 7 4 3 5 4 3 2 7 7

a) 3 1 5 6 7 8 + 2 3 4 5 6 7 5 5 0 2 4 5

b) 7 2 1 2 4 9 8 7 6 5+ 3 7 4 5 6 7 5 4 5 4 5 6

c) 1 2 3 4 7 6 2 0 1 3 4 5 1 2 1 2 3 4 + 1 0 2 3 4 5 5 4 8 4 0 0

d)

14

6 Az egyik tagból valamennyit vegyél el, a másikhoz ugyanannyit adj hozzá, hogy az összeadás egysze-rűbb legyen!

7 Az összevonások részeredményét ábrázold a számegyenesen! Pirossal jelöld a számolás végeredményét!

A = 60 + 20 + 50 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

B = 70 + 10 + 40 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

C = 50 + 40 + 50 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

D = 10 + 20 + 120 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

E = 40 + 70 + 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

Rendezd növekvő sorrendbe az eredményeket! 120 < 130 = 130 < 140 < 150

8 Vízcseppek potyogtak a papírra. Írd be, mik lehettek az elmosódott számok!

9 A pénzszállító autó egy üzletlánc három boltjából gyűjti össze a napi bevételt, 2 345 675, 45 343 020 és 16 230 340 forintot. Mennyi volt az aznapi teljes bevétel?

63 919 035 forint

6. ÖSSZEADÁS, ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS

+ 1 3

5 8 0 0 7 5 7 7 2 0

4 0 0 2 0 0 2 0 0 5 5 7 5 2 0 6 2 0 0

+ 2 − 1 3 − 2 − 1 5 + 1 5

7 67

5 6 0 2

3 5 4 2

16

99

51117 3

71

2 3 4 5 6 7 5 4 5 3 4 3 0 2 0 + 1 6 2 3 0 3 4 0 6 3 9 1 9 0 3 5

15

1 Számítsd ki, hogy az alábbi híres emberek hány évig éltek!

Születésük éve

Haláluk éve

Hány évig éltek

Nagy Konstantin császár 272 337 65

Lucius Annaeus Seneca (Luciusz Annéusz Szeneka) 4 65 61

Theodosius császár (Theodosziusz) 347 395 48

Attila hun király 406 453 47

Petőfi Sándor 1823 1849 26

Molnár Ferenc 1878 1952 74

2 Végezd el a kivonásokat!

2 8 6 8 6 3 7 9 2 9 4 5 9 2 5 1 0 3 7 7 8 8 4- 3 5 2 - 5 9 9 3 - 4 5 0 7 6 6 - 7 8 6 5 9 4

2 5 1 6 5 7 7 9 9 4 9 5 1 5 9 9 5 9 1 2 9 0

2 8 6 8 6 3 7 9 2 9 4 5 9 2 5 1 0 3 7 7 8 8 4- 2 5 1 6 - 5 7 7 9 9 - 4 9 5 1 5 9 - 9 5 9 1 2 9 0

3 5 2 5 9 9 3 4 5 0 7 6 6 7 8 6 5 9 4

3 A Csomolungma, európai nevén Mount Everest (Mont Evereszt) felett 1235 méter magasságban elrepül egy repülőgép. Számold ki, hogy milyen magasan volt a következő csúcsok fellett, amikor elrepült felettük!

A csúcs néve

A csúcs magassága

(méter)

A repülőgép távolsága a csúcstól

A csúcs néve

A csúcs magassága

(méter)

A repülőgép távolsága a csúcstól

Csomolungma 8850 1235 Sisapangma 8027 2058

Lhoce 8516 1569 Csomo Lönzo 7804 2281

Makalu 8462 1623 Csamlang 7319 2766

Cso-oju 8201 1884 Baruntse 7162 2923

Manaszlu 8163 1922

7. KIVONÁS, ÍRÁSBELI KIVONÁS

16

4 Vízcseppek cseppentek a papírra, és néhány számjegy elmosódott. Találd ki, mik voltak a számjegyek!

5 a) Mekkora a kivonandó, ha a kisebbítendő 3267 a különb-

ség pedig 1971? 1296

b) Mekkora a különbség, ha a kivonandó 3457 és a kisebbí-

tendő 6213? 2756 c) Mekkora lesz a különbség, ha a kisebbítendőt és a kivo-

nandót egyaránt 10-zel növeltük? Ugyanannyi.

d) Mekkora lesz a különbség, ha a kisebbítendőt 10-zel nö-

veltük és a kivonandót 20-szal csökkentettük? –10

6 A kisebbítendőt és a kivonandót ugyanannyival növelheted vagy csökkentheted, a különbség nem változik. Változtasd úgy a tagokat, hogy a kivonandó kerek szám legyen, és végezd el a kivonást!

7 Számold ki a különbségeket, ha az első sorban minden helyére I-et írsz, a második sorban pedig

minden helyére X-et írsz!

a) XX I − X I ; b) DCCL I − I ; c) MMDC I X − M I X; d) MC I I I − DX I I

XX X − X X ; DCCL X − X ; MMDC X X − M X X; MC X X X − DX X X


5

31

5

6

3

568

3

9 52

1

11

7 7

47 6

7

a)

b)

3 2 6 7 1 2 9 6 1 9 7 1

−

6 2 1 3 3 4 5 7 2 7 5 6

−

+ 2

4 7 4 7 4 1 4 7 6 2 2 4

6 9 2 4

+ 2

6 0 0 7 0 0

− 2 1 − 2 1

21 − 11 = 10 751 − 1 = 750 2609 − 1009 = 16002620 − 1020 = 1600

1103 − 512 = 5911130 − 530 = 600760 − 10 = 75030 − 20 = 10

17

8 Írd be a táblázatba a számokat 0-tól 9-ig, úgy hogy a kivonások teljesüljenek! Minden számot csak egyszer használhatsz fel! Egy megoldást megadtunk példának. (Nem feladat az összes lehetséges megol-dás megtalálása.)

1 0 5 3 1 0 3 5 1 0 5 3 1 0 3 5 1 0 8 9- 7 6 4 - 2 4 6 - 2 6 4 - 2 4 9 - 3 2 4

2 8 9 7 8 9 7 8 9 7 8 6 7 6 5

1 0 8 9 1 0 9 8 1 0 9 8 1 2 0 6 1 2 0 6- 3 2 5 - 3 4 2 - 3 4 6 - 3 5 7 - 3 5 9

7 6 4 7 5 6 7 5 2 8 4 9 8 4 7

9 A császárfa gyorsan növő fafajta. Feri két éve 5 császárfát ültetett a kert-ben, és évente lemérte a fák magasságát. Számold ki, hogy a második évben hány millimétert nőttek a fák!

Növekedés 1. fa 2. fa 3. fa 4. fa 5. fa

1. év után 2315 mm 2346 mm 2387 mm 2938 mm 2019 mm

2. év után 4113 mm 5437 mm 4645 mm 5243 mm 4530 mm

2. évben ennyit nőtt 1798 mm 3091 mm 2258 mm 2305 mm 2511 mm

10 Panni mielőtt kivont volna egymásból két négyjegyű számot, a kö-vetkezőkön tűnődött:a) Mennyivel változna a különbség, ha a kisebbítendő tízesek helyén álló számjegyét 1-gyel növelném?

1000 − 1000 = 0 1010 − 1000 = 10-zel nőne.

b) Mennyivel változna a különbség, ha a kisebbítendő százasok helyén álló számjegyét 2-vel növelném, a kivonandóhoz pedig hozzáadnék 200-at?

1000 − 1000 = 0 1200 − (1000 + 200) = 0 Nem változik.

c) Mennyivel változna a különbség, ha a kivonandó százasok helyén álló számjegyét 3-mal csökkenteném?

1000 − 1000 = 0 1000 − (1000 − 300) = 300-zal nőne.

d) Mennyivel változna a különbség, ha a kisebbítendő százasok helyén álló számjegyét 1-gyel növelném, a tízesek helyén álló számjegyet 2-vel csökkenteném és az egyesek helyén álló számjegyet 3-mal növelném?Segíts Panninak megválaszolni a kérdéseit!

1000 − 1000 = 0 (1000 + 100 − 20 + 3) − 1000 = 83-mal nő.


18

1 Számold meg minél egyszerűbben (szorzással)!

Hány fiók látható a képen?

36

Hány kis négyzet látható a csempén?

64

Hány kocka csoki látható a tábla csokin?

30

2 Szorozd meg a következő számokat 10-zel, 100-zal és 1000-rel!

5 13 90 120 144 571

10 ⋅ 50 130 900 1200 1440 5710100 ⋅ 500 1300 9000 12 000 14 400 57 100

1000 ⋅ 5000 13 000 90 000 120 000 144 000 571 000

3 a) Van-e olyan szám, amelyet ha megszorozzuk önmagával, akkor önmagát kapjuk? 0 és 1.b) Adott két különböző szám. Ugyanazzal a számmal megszorozva a két szorzat egyenlő lesz. Melyik számmal szoroztuk meg őket? 0-val.

4 Határozd meg szorzással és összeadással, hogy a képen megjelölt házaknak hány ablaka és ajtaja van összesen! 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

A ház sorszáma 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Ablakszám 2 ⋅ 5 +1 2 + 4 ∙ 4 + 2 2 + 3 ∙ 4 + 1 3 · 4 + 3 2 + 3 · 5 3 · 4 + 2 + 3 + 1 2 + 5 ∙ 3 + 1 3 · 5 +1 3 · 3 +1+2

Némelyik esetben más megoldás is lehet, mert nem mindig eldönthető, hogy ablak, ajtó vagy egyéb dolog látható a képen.

8. SZORZÁS ÉS OSZTÁS EGYSZERÛEN

56

8

8

4

9

19

5 Írj olyan számokat a vonalakra, hogy fennálljon az egyenlőség!

a) (12 ⋅ 234) ⋅ 65 = 12 ⋅ (234 ⋅ 65 ); b) (347 ⋅ 25) ⋅ 23 = (23 ⋅ 347 ) ⋅ 25;

c) 37 ⋅ (542 ⋅ 122) = ( 542 ⋅ 122) ⋅ 37; d) (238 ⋅ 589 ) ⋅ 34 = (589 ⋅ 34) ⋅ 238;

e) ( 517 ⋅ 67) ⋅ 234 = (67 ⋅ 517) ⋅ 234; f) (65 ⋅ 239) ⋅ 498 = (239 ⋅ 498) ⋅ 65.

6 A számpiramisokban minden szám a két alatta lévő szorzata. Töltsd ki a hiányzó mezőket!a)

b)

c)

7 Számold ki kényelmesen!

Például: 25 ⋅ 36 = 25 ⋅ 4 ⋅ 9 = 100 ⋅ 9 = 900

a) 25 ⋅ 8 ⋅ 19 = 25 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 19 = 100 ⋅ 38 = 3800

b) 20 ⋅ 25 ⋅ 27 = 20 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 27 = 100 ⋅ 135 = 13 500

c) 8 ⋅ 125 ⋅ 5 ⋅ 2 = 1000 ⋅ 10 = 10 000

d) 250 ⋅ 12 ⋅ 5 = 250 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 5 = 1000 ⋅ 15 = 15 000

8. SZORZÁS ÉS OSZTÁS EGYSZERÛEN

1000 1000

1 000 000

100 10 100

3000 4320

12 960 000

50 60 72

50 10

500

20

1 Húzd alá minden sorban az egyenlő kifejezéseket! A megoldást számolással ellenőrizd!

(5 + 8) ⋅ 3 = 13 ⋅ 3 = 39 5 + 8 ⋅ 3 = 5 + 24 =29 5 ⋅ 3 + 8 ⋅ 3 = 15 + 24 5 ⋅ 3 + 8 = 15 + 8 = 23

(9 + 6) : 3 = 15 : 3 = 5 9 : 3 + 6 : 3 = 3 + 2 = 5 9 : 3 + 6 = 3 + 6 = 9 9 : 3 − 6 : 3 = 3 − 2 = 1

(7 + 3) ⋅ 4 = 10 ⋅ 4 = 40 7 + 3 ⋅ 4 = 7 + 12 = 19 7 ⋅ 4 + 3 = 28 + 3 =31 7 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 = 28 + 12 = 40

(10 − 6) : 2 = 4 : 2 = 2 10 : 2 − 6 : 2 = 5 − 3 = 2 10 − 6 : 2 = 10 − 3 = 7 10 : 2 + 6 : 2 = 5 + 3 = 8

8 : 2 + 6 : 2 = 4 + 3 = 7 (8 − 6) : 2 = 4 : 2 = 2 (8 + 6) ⋅ 2 = 14 ⋅ 2 = 28 (8 + 6) : 2 = 14 : 2 = 7

5 ⋅ 4 + 7 ⋅ 4 = 20 + 48 = 68 5 + 7 ⋅ 4 = 5 + 28 = 33 (5 + 7) ⋅ 4 = 12 ⋅ 4 = 48 (5 + 7) + 4 = 12 + 4 = 16

2 Kati, Jolán és Sári karácsonyi ajándékokat készített. Kati 6 csomagot, Jolán 5 csomagot, Sári pedig 4 csomagot készített. Minden csomagba 10 üveggyöngyöt, 3 gyertyát és 5 sógyurma figurát tettek. Számold ki kétféleképpen, hogy hány üveggyöngyre, hány gyertyára és hány sógyurma figurára volt szükségük!

Csomagok száma Gyöngyök száma Gyertyák száma Figurák száma Összesen

Kati 6 60 18 30 108

Jolán 5 50 15 25 90

Sára 4 40 12 20 72

összesen 15 150 45 75 270

3 Zsolt 6 csokor virágot készíttetett. Egy csokorba 6 tulipánt és 7 szegfűt tetetett. Számold ki kétfélekép-

pen, hány szál virágot vett! 6 · (6 + 7) = 78 6 · 6 + 6 · 7 = 78

4 Ha díszcsomagban veszünk bögrét, akkor a 800 Ft-os bögréhez 200 Ft-ért adnak egy poharat is.

Számold ki kétféleképpen, hogy mennyibe kerül hat díszcsomag bögrével!

6 · (800 + 200) = 6000 6 · 800 + 6 · 200 = 6000

5 5 barát kirándulni megy. A szállás fejenként 8500, az utazás 2500 forintba kerül. Számold ki kétféle-

képpen, hogy összesen mennyibe kerül a kirándulás!

5 · (8500 + 2500) = 55 000 5 · 8500 + 5 · 2500 = 55 000

6 6 ülőke 24 000 Ft-ba kerül teljes áron, de kiderült, hogy összesen 6000 Ft kedvezmény jár rájuk. Számold ki kétféleképpen, hogy mennyibe kerül egy ülőke ténylegesen! Ha 6 ülőke kerül 24 000 Ft-ba, akkor kétféleképpen számolhatunk. 1. (24 000 – 6000) : 6 = 3000 ; 2. 24 000 : 6 – 6000 : 6 = 4000 – 1000 = 3000Mindkét esetben azt kaptuk, hogy egy ülőke 3000 Ft-ba kerül.

9. SZÁMOLJUNK EGYSZERÛBBEN!

21

1 Ábrázold a számegyenesen a 12; 15; 19; 24; 30 számokat! Húzz nyilat a tízesre kerekített értékhez a minta szerint!

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0 10 20 30

2 A táblázatban erdélyi városok lélekszáma található a 2011-es népszámlálás szerint. Kerekítsd az ada-tokat tízesekre, százasokra és ezresekre!

Városnév Lélekszám Tízesekre kerekítés Százasokra kerekítés Ezresekre kerekítés

Arad 159 074 159 070 159 100 159 000

Temesvár 319 279 319 280 319 300 319 000

Nagyvárad 196 367 196 370 196 400 196 000

Nagyszeben 147 245 147 250 147 200 147 000

Kolozsvár 324 576 324 580 324 600 325 000

3 A számegyenesen jelöld be, hogy melyik az a legkisebb, illetve legnagyobb egész szám, amelyet kere-kítve a megadott számot kapjuk!

Tízesekre kerekítve Százasokra kerekítve Ezresekre kerekítve

3000 3000 3000

25 000 25 000 25 000

97 000 97 000 97 000

1 000 000 1 000 000 1 000 000

4 A Magyarországgal kapcsolatos adatokat kerekítsd tízesekre, százasokra, ezresekre!

Adat Tízesekre kerekítés Százasokra kerekítés Ezresekre kerekítés

A közutak hossza Magyarországon 31 628 km 31 630 31 600 32 000

A Duna magyarországi szakaszának hossza 417 km 420 400 0

A Balaton felülete 594 km2 590 600 1000

A vasútvonalak hossza 2009-ben 7 390 km 7390 7400 7000

2995 29503004 3049

24 995 25 04925 004 24 950

96 995 96 95097 004 97 049

999 995 999 9501 000 004 1 000 049

2500 3499

24 500 25 499

96 500 97 499

999 500 1 000 499

10. BECSLÉS, KEREKÍTÉS

22

5 Egy bevásárlás részösszegei láthatók a számlán. a) Számítsd ki a végösszeget!b) Kerekítsd tízesre az összegeket, és add össze a kerekített értékeket!c) Kerekítsd százasra az összegeket, és add össze őket!

Pontos ár Tízesre kerekített ár Százasra kerekített ár

4612 4610 46005435 5440 54006765 6770 6800

987 990 1000+ 3734 3730 3700

Összeg: 21 533 21 540 21 500

Írj néhány mondatot arról, hogy véleményed szerint mennyire pontosak a kerekített árakból kapott összegek!

6 Magyarország épületeinek magasságát kerekítsd tízesekre, százasokra, ezresekre!

Adat Tízesekre kerekítve Százasokra kerekítve Ezresekre kerekítve

Szentesi tévétorony 235 méter 240 m 200 m 0 mPaksi atomerőmű 135 méter 140 m 100 m 0 mSzent Adalbert főszékesegyház 100 méter 100 m 100 m 0 m

Országház 95 méter 100 m 100 m 0 mEgri minaret 40 méter 40 m 0 m 0 m

7 Ábrázold számegyenesen a megadott távolságokat! Végezd el a kerekítéseket!

Városok légvonalban mért távolsága Tízesekre kerekítve Százasokra kerekítve

Budapest-Győr 107 km 110 km 100 km

Budapest-Miskolc 145 km 150 km 100 km

Budapest-Pécs 170 km 170 km 200 km

Budapest-Sopron 186 km 190 km 200 km

Budapest-Debrecen 194 km 190 km 200 km

0 100 200 km

107 145 170186

194

10. BECSLÉS, KEREKÍTÉS

23

1 Hány kilométert tett meg az autó, ha aa) Budapest–Amszterdam (Hollandia) távolságot

(1398 km) 9-szer tette meg? b) Budapest–Madrid (Spanyolország) távolságot

(2526 km) 7-szer tette meg? c) Budapest–Athén (Görögország) távolságot

(1486 km) 8-szor tette meg? d) Budapest–Rabat (Marokkó) távolságot

(3362 km) 6-szor tette meg?

2 Számítsd ki, hogy a csomagokat kibontva az egyes termékekből hány darab lesz!

4-es joghurtból 459 darab van.

8 tekercses kéztörlőből 392 darab van.

6-os kréta csomagból 497 darab van.

7-es törülközőcsomag-ból 267 darab van.

A joghurtok száma? A tekercsek száma? A kréták száma? A törülközők száma?

5-ös zsemlecsomagból 327 darab van.

9-es fogkrémpakkból 185 darab van.

3-as konzervcsomagból 705 darab van.

6-os pingponglabdacso-magból 769 darab van.

A zsemlék száma?

A fogkrémek száma?

A konzervek száma?

A pingponglabdák száma?

11. ÍRÁSBELI SZORZÁS

a)

b)

c)

1 3 9 8 · 9 1 2 5 8 2

2 5 2 6 · 7 1 7 6 8 2

1 4 8 6 · 8 1 1 8 8 8

3 3 6 2 · 6 2 0 1 7 2

d)

4 5 9 · 4 1 8 3 6

3 9 2 · 8 3 1 3 6

4 9 7 · 6 2 9 8 2

3 2 7 · 5 1 6 3 5

1 8 5 · 9 1 6 6 5

7 0 5 · 3 2 1 1 5

7 6 9 · 6 4 6 1 4

2 6 7 · 7 1 8 6 9

24

3 Húzd alá a helyes eredményt! (A füzetben számolj!)a) 374 ⋅ 63 = 22462 22552 24562 23562b) 207 ⋅ 27 = 5479 5589 5659 5499c) 850 ⋅ 52 = 45600 43200 44200 42600d) 371 ⋅ 11 = 4261 5391 5161 4081

4 Pótold a hiányzó számjegyeket!

5 Az almával tele láda 13 kg, az üres láda pedig 2 kg. Szombat reggel Zsiga bácsi 20 teli láda almával indult a piacra. Hány kilogramm almát vitt Zsiga bácsi eladni?

(13 − 2) 20 = 220 (kg) almát vitt Zsiga bácsi.

6 Három ládában narancs van. Az egyikben 22 kg, a másikban 18 kg, a har-madikban még 7 kg. A narancs kilóját 390 forintért adják. Hány forintot ér a három ládában lévő narancs összesen?

7 Zsiga minden ötösért kap 100 Ft-ot, minden négyesért 50 Ft-ot a nagypapától. A hármasokért nem kap semmit, és ha kettest vagy egyest kap, akkor vissza kell adnia 60 Ft-ot a nagypapának. Az előző hó-napban Zsiga 8 db ötöst, 5 db négyest és 2 db hármast kapott, valamint 3 darab egyest, mert nem volt kész a házi feladata, illetve összegyűltek a rosszpontjai. Hány forintja lett a hó végére, ha minden pénzt eltett?

(22 + 18 + 7) · 390 = 47 · 390 = 18 330 forintot érő narancs van a ládákban összesen.

5 4 3 2 1100 50 0 –60 –60 8 5 2 0 3800 250 0 0 –180

800 + 250 – 180 = 870 forintja lett a hó végére Zsigának.

11. ÍRÁSBELI SZORZÁS

4960 6

55

62

24

7

25

1 Bertának 243 matematika példát kell megoldani a nyári szünetben. Hány napig tanul Berta, ha napon-

ta 9 feladattal végez? Mennyi feladat marad az utolsó napra? 243 : 9 = 27 napig

Berta 27 napig tanul. Minden napra, így az utolsó napra is 9 feladat jut.

2 Végezd el az osztásokat!

1 0 2 4 : 1 6 = 6 4 5 7 0 4 : 2 3 = 2 4 86 4 1 1 0

0 1 8 40

5 9 0 4 9 : 8 1 = 7 2 92 3 4

7 2 9 7 8 4 9 8 : 2 9 4 = 2 6 70 1 9 6 9

2 0 5 80

3 2 7 7 5 : 2 3 = 1 4 2 59 7

5 71 1 5

0

3 500 lap van a fénymásolóban. Hány példányt lehet fénymásol-ni a 26 oldalas kiadványból, ha a) egyoldalas fénymásolatokat; b) kétoldalas fénymásolatokat készítünk? Mennyi lap marad az adagolóban, az egyes esetekben?

a) 500 : 26 = 19 6 lap marad, 19-et lehet nyomtatni

b) 500 : 13 = 38 6 lap marad, 38-at lehet nyomtatni

4 A 689 km-es utat 13 óra alatt tette meg egy autó. Hány kilométert tett meg óránként?

689 : 13 = 53 km-t

5 Egy áruházban 8 darabos és 5 darabos csomagolásban is lehet mosogatószert kapni. A 8 darabos 2080 Ft-ba, az 5 darabos 1360 Ft-ba kerül. Melyik a gazdaságosabb?

2080 : 8 = 260 Ft; 1360 : 5 = 272 Ft, tehát a 8 darabos csomagolás a gazdaságosabb.

6

6

12. ÍRÁSBELI OSZTÁS

5 0 0 : 2 6 = 1 9 2 4 0 6

5 0 0 : 1 3 = 3 8 1 1 0 6

6 8 9 : 1 3 = 5 3 3 9 0

26

6 Egy iskola olyan biciklitúrát szervezett, ahol a teljes táv 180 km. A gyerekeket kezdő, haladó és profi csoportba sorolták. A kezdők 6, a haladók 4, a profik 3 nap alatt értek célba. Számítsd ki, napi hány kilométert tekert egy kezdő, egy haladó és egy profi!

7 A Balaton körüli legrövidebb kerékpárút körülbelül 206 km hosszú. Hány kilométert kell kerékpározni naponta, ha a teljes távot lehetőleg egyenletesen akarjuk a) 3; b) 4; c) 5 napra el-osztani úgy, hogy az utolsó napi táv legyen a leghosszabb? Hány kilométer utat tennénk meg naponta az egyes esetekben?

a)

b)

c)

8 A régi magyar szekér egy nap alatt körülbelül 20 km-t tu-dott megtenni, a szabadon portyázó lovas pedig körülbelül

40 km-t. Etelköz körülbelül 900 km-re van. a) Hány nap alatt érne ide egy szekér Etelközből, ha nem tar-tana pihenőnapot? 900 : 20 = 45 nap alatt

b) Hány nap alatt érne ide egy lovas? 900 : 40 = 22 és még marad 20 km, azaz 23 nap alatt.

c) Nézz utána, hogy hány év alatt vándoroltak át őseink Etel-közből, a mai Magyarország területére!

9 Egy kicsiny gall falu áll csak ellen a római légiók hódításának. Az 5000 fős légió nagyon gyorsan vonul, óránként 5 km-t tesz meg. A harci kocsik óránként 15 km-t is haladhatnak. A gall gyalogosok is 5 km-t tesznek meg egy óra alatt, de ha megisszák a varázsitalt, akkor képesek 50 km-t is haladni egy óra alatt. A római légió 120 km-re van a gall falutól.

a) Hány óra alatt ér a légió a gall faluhoz? 120 : 5 = 24 óra alattb) Hány óra alatt ér egy római harci kocsi a gall faluhoz? 120 : 15 = 8 óra alattc) Hány óra alatt ér Futamix gall harcos a légiós táborhoz? 24 óra alattd) Hány óra alatt ér Futamix a légiós táborhoz, ha megissza a varázsitalt?120 : 50 = 2 óra és marad 20 km. Ha 50 km-t tesz meg egy óra azaz 60 perc alatt, akkor 10 km-t 12 perc alatt és 20 km 24 perc alatt tesz meg Futamix a varázsitallal. Ez összesen 2 óra 24 perc.e) Hány óra múlva találkozik Futamix a légióval, ha nem iszik csodaturmixot?Ha a légió is halad és Futamix is, akkor pont félúton találkoznak, mert ugyanakkora a sebességük. Azaz 60 : 5 = 12 óra múlva találkoznak.

1 8 0 : 6 = 3 0 0 0 0

1 8 0 : 4 = 4 5 2 0 0

1 8 0 : 3 = 6 0 0 0 0

206 : 3 = 68 2 206 : 4 = 51 2 206 : 5 = 41 1

2 · 68 + 70

3 · 51 + 53 4 · 41 + 42

9 0 0 : 2 0 = 4 51 0 0

0

9 0 0 : 4 0 = 2 21 0 0

2 0

12. ÍRÁSBELI OSZTÁS

27

1 Emese elvégezte a következő osztásokat és szorzással ellenőrizte is azokat. Mindegyiket elrontotta valahol. Keresd meg hol a hiba!

2 A következő osztásokat írd be a megfelelő téglalapba! Nulla a hányados 0 : 2; 45 : 65; 67 : 1; Nem nulla a hányados és nem nulla a maradék. 1 : 67; 0 : 1; 23 : 2; és nulla a maradék.

1 : 67; 45 : 65; 16 : 43; 0 : 23; 24 : 1; 48 : 16; 16 : 43; 0 : 234; 43 : 16 67 : 1; 24 : 1; 48 : 16;

Nem nulla a hányados Nulla a hányados A hányados egyenlő és nem nulla a maradék. és nulla a maradék. az osztóval.

43 : 16; 23 : 2; 0 : 2; 0 : 1; 0 : 23; 0 : 234;

3 a) Karikázd be azoknak az osztásoknak a betűjelét, amelyeknek nulla a maradéka! b) A jelölés nélküli feladatoknál úgy növeld az osztandót, hogy a maradék 0 legyen!

A) 341 : 11 B) 23 : 1035 C) 408 : 12 D) 2457 : 27 E) 32 : 1184 F) 493 : 17

13. A SZORZÁS ÉS AZ OSZTÁS TULAJDONSÁGAI

3 4 1 : 1 1 = 3 1 1 1 0

4 0 8 : 1 2 = 3 4 8 0

4 9 3 : 1 7 = 2 9 1 5 3 0 2 4 5 7 : 2 7 = 9 1

2 7 0

28

4 A hangya hadseregeket ezredekre, az ezredeket századokra és a századokat rajokra osztják. A vezérkar-ban tanakodnak, hogy hány rajra, hány századra és hány ezredre bonthatók a hadseregek. Segíts szegény hangyaírnoknak kitölteni a táblázatot! A hangya hadseregek leírását nézd meg a 7. oldal 4. feladatában!

Hadsereg Létszám (katona) Ezred Század Raj

Északi 42 000 42 420 4200

Déli 56 000 56 560 5600

Nyugati 45 000 45 450 4500

Keleti 92 000 92 920 9200

5 a) Mi a hiányzó tényező?

23 ⋅ 37 ⋅ 17 = 14 467

b) Mennyivel kell szorozni a 23-at, hogy 2047-et kapjunk?

c) Hányszorosa az 1482 a 26-nak?

1 4 4 6 7 : 2 3 = 6 2 96 62 0 7 2 0 4 7 : 2 3 = 8 9

0 2 0 76 2 9 : 1 7 = 3 7 01 1 7 1 4 8 2 : 2 6 = 5 7

0 1 8 20

6 Az 50 méteres medencében az úszósávokat kötél választja el, amelyet 40 cm-enként egy-egy bója tart

a felszínen. Hány bója tartja a kötelet? Hány bója tartja a 3313

méteres medencében a kötelet?

5 0 m = 5 0 0 d m = 5 0 0 0 c m 3 3 0 0 : 4 0 = 8 21 0 0

5 0 0 0 : 4 0 = 1 2 5 2 01 0 0

2 0 00

7 Melyik nagyobb? Számítsd ki és hasonlítsd össze az eredményeket. Tedd ki a <, =, > jelek közül a meg-felelőt!

a) (60 + 120) ⋅ 7 − 2 = 1258 > 60 + (120 ⋅ 7) − 2 = 898

b) 49 ⋅ 19 : 7 + 3 = 136 < 49 ⋅ (19 : 6 + 3) = 154

c) (99 + 11 ⋅ 4) ⋅ 4 = 572 < 99 + 11 ⋅ 4 ⋅ 4 = 583

d) (20 ⋅ 3) - (50 : 2) = 35 = 20 ⋅ 3 - 50 : 2 = 35

13. A SZORZÁS ÉS AZ OSZTÁS TULAJDONSÁGAI

Ha a valóságnak megfelelően a kötél két vége a falhoz van rögzítve, akkor 125 – 1 = 124 bója van az 50 méteres medencében.

Ha a valóságnak megfelelően a kötél két vége a falhoz van rögzítve, akkor 82 vagy 82 – 1 = 81 bója van a 33 méteres medencében.

29

1 a) Karikázd be a 24 osztóit!1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25

b) Karikázd be a 25 osztóit!1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25

c) Karikázd be a 3 többszöröseit!1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25

d) Karikázd be az 1 többszöröseit!1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25

2 a) A 0-nak hány többszöröse van? 1

b) Mely számok az 5 harmincnál kisebb többszörösei? 5, 10, 15, 20, 25

c) Melyek a 30 páros osztói? 2, 6, 10, 30

d) Igaz, hogy két természetes szám szorzata a két szám többszöröse? Igaz

e) Igaz, hogy egy szorzatban a tényezők osztói a szorzatnak? Igaz

3 Az osztókat zölddel, a többszörösöket pirossal színezd ki, ha az osztás maradéka 0!

1066 : 26 309 : 13 756 : 12 1066 : 8 1700 : 34 91 : 74 Párosítsd össze a kék felhőben lévő számokat a rózsaszínű felhőben lévő osztóikkal!

5 Kedden Zsiga bácsi két tehénért 48 süldő malacot kapott. Szerdán hetvennél több, de nyolcvannál kevesebb malacot kapott másik három tehénért, és a malacok száma osztható volt kilenccel. Melyik napon csinált jobb üzletet Zsiga bácsi?

14. OSZTÓ, TÖBBSZÖRÖS

Hetvenél több és nyolcvannál kevesebb kilenccel osztható szám egy van, a 72.72 : 3 = 24, azaz egy tehénért mindkét napon 24 malacot kapott.

30

1 Váltsd át kettes számrendszerből 10-esbe a következő számokat, és húzd alá, ha a második szám osztója az elsőnek!

2 Folytasd a sorozatot 100002-ig! 12, 102, 112, 1002, 1012, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10 000, 10 001, 10 010

3 Jelöld meg az időszalagon a felsorolt események időpontját! Írd fel az évszámokat 2-es számrendszer-ben is!

20002010

év

Az az év, amikor Az évszám Az évszám kettes számrendszerben

Megszülettél 2005 111 1101 0101

Iskolába mentél 2012 111 1101 1100

Nyolcadikos leszel 2020 111 1110 0100

20 éves leszel 2025 111 1110 1001

4 Végezd el a kettes számrendszerben felírt műveleteket!

1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1+ 1 + 1 + 1 0 + 1 1 1 + 1 1 1 + 1 1 1 0 0

1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1

a) 110012; 1012 b) 11002; 1102 c) 100102; 112

25, 5 12, 6 18, 3

15. A 2-ES ALAPÚ SZÁMRENDSZER (KIEGÉSZÍTÔ TANANYAG)

31

1 A vízerőmű működése a gát mögötti vízszinttől függ. A vízszint elmozdulását az üzemi vízszinthez képest mérik, ez a 0 szint. Ha a vízszint süllyed, akkor negatív az elmozdulás, ha emelkedik, akkor pozitív.a) Az aszály miatt −19 centiméteren áll a víz. Hol áll akkor a vízszint, amikor leengednek még 102 cm-t? b) Mekkora lesz a vízszint a −23 cm-hez képest, amikor a víz állása 323 cm-t emelkedik?c) Mekkora lesz a vízszint a −5 cm-hez képest, 57 centiméteres süllyedés után?

2 A kemence hőmérséklete a kikapcsolás után lehűl. Kezdetben 280 °C volt a hőmérséklete. Töltsd ki a táblázatot!

1 óra múlva

2. órában

3. órában

4. órában

5. órában

6. órában

7. órában

A hőmérséklet változása (°C)

123 °C-kal csökkent





5 °C-kal csökkent

1 °C-kal csökkent

A hőmérséklet (°C) 157 101 63 34 23 18 17

3 A bentlakásos varázslóiskolában a házak között pontozási verseny zajlik, ahol a házhoz tartozó diákok jó- és rossztetteit a tanárok pontszámokkal „jutalmazzák”. A pontszámokat kéthavonta írják fel:

szept.–okt. nov.–dec. jan.–febr. márc.–ápr. máj.–jún. Összesen

Jajdekár 457 −234 −125 +102 −456 −256

Varjúláb −234 124 267 −521 510 146

Ugribugri 234 189 −453 −123 −200 −353

Lúdondél −236 −567 678 −234 −1230 −1589

Melyik ház nyeri a versenyt? Varjúláb

16. NEGATÍV SZÁMOK

Páros munka

Játssz kötélhúzást a padtársaddal! Állítsatok egy bábut a középső, 0-ás mezőre, és dobjatok két különböző színű kockával! Ha az egyik kockán a dobott szám 1, 2 vagy 3 akkor balra, ha 4, 5 vagy 6, akkor jobbra kell lépnie a dobónak, annyit, amennyit a másik kocka mutat. A játék kezdete előtt válasszatok egyet-egyet a piros és a kék szín közül! Az nyer, akinek a színére először jut el a bábu. Felváltva dobjatok!

− 1 9 − 1 0 2 = − 1 2 1

− 5 − 5 7 = − 6 2

a)

b)

c)

− 2 3 + 3 2 3 = 3 0 0

32

1 Töltsd ki a táblázatot!

A szám −2 −21 2 0 −19 −11 4 7 19 −3 −10

Az ellentett 2 21 −2 0 19 11 −4 −7 −19 3 10

Az abszolút érték 2 21 2 0 19 11 4 7 19 3 10

2 Ábrázold az első számegyenesen a megadott számokat, a másodikon pedig az ellentettjüket. A vonal-zód segítségével húzz egyenes vonalat a szám és az ellentettje közé: 1; 4; 6; 10; −2; −6; −12

0−10 10 eredeti szám

elentett0−10 10

3 Töltsd ki a táblázatot! Minden esetben egyértelműen meg tudod adni a hiányzó értékeket?

a 9 5 2 −5 3 v 6 v - 0 10 v bárm 4 v - 4 v -

− a −9 −5 −2 5 3 v 6 v - 0 10 v bárm 4 v - 4 v -

│ a │ 9 5 2 5 3 6 0 10 bárm 4 4

│− a │ 9 5 2 5 3 6 0 10 bárm 4 4

−│ a │ −9 −5 −2 −5 −3 −6 0 −10 bárm −4 −4

│ a │+│− a │ 18 10 4 10 6 12 0 20 bárm 8 8

│ a │−│− a │ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

│ a − a │ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 Töltsd ki a táblázatot! Minden esetben egyértelműen meg tudod adni a hiányzó értékeket?

a 5 5 −5 −5 9 0 0 4 4 −4 −4

b 3 −3 3 −3 0 9 0 4 −4 4 −4

− a −5 −5 5 5 −9 9 0 −4 −4 4 4

− b −3 3 −3 3 0 0 0 −4 4 −4 4

│ a │ 5 5 5 5 9 −9 0 4 4 4 4

│ b │ 3 3 3 3 0 9 0 4 4 4 4

│ a │+│ b │ 8 8 8 8 9 9 0 8 8 8 8

│ a │+│− b │ 8 8 8 8 9 9 0 8 8 8 8

│− a │+│ b │ 8 8 8 8 9 9 0 8 8 8 8

│− a │+│− b │ 8 8 8 8 9 9 0 8 8 8 8

17. A SZÁMOK ELLENTETTJE ÉS ABSZOLÚT ÉRTÉKE

33

1 Jelöld a hőmérőn a műveleteket!a) 2 − 6 b) 2 + 6 c) −6 + 2 d) −6 − (−2) e) −2 − (−6) f) 6 − (−2) g) −2 + (−6)

2 Ábrázold számegyenesen a következő összegeket és különbségeket! A végeredményt piros pöttyel jelöld!a) (−3) − (+5)

b) (−7) − (−9)

c) (+5) − (−5)

3 Ábrázold számegyenesen a következő összeadásokat! A végeredményt piros pöttyel jelöld!

a) (+10) + (−5) + (−2) + (−4) + (+3) + (+8) + (+2) + (−11)

b) (−1) + (−2) + (−3) + (−4) + (+17) + (−10) + (+12) + (−11)

c) (+5) + (−5) + (−2) + (+2) + (+3) + (−3) + (+10) + (−10)

d) Az a)–c) feladatok végeredményeit írd növekvő sorrendbe! − 2 < 0 < 1

18. EGÉSZ SZÁMOK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA

34

4 A toronyház egyik liftje különleges, „relatív lift”-nek nevezik. A liftek nyomógombjain általában azt adják meg, hogy melyik szintre szeretne jutni az illető. A relatív liften azt lehet megadni, hogy az aktuális szinthez képest, mennyivel menjen fel (+) vagy le (−). (Például ha a 3. szintről a mélygarázs −5. szintjére szeretnénk jutni, akkor a −8-at kell beütni.)

a) Melyik számmal juthatunk a −10. szintről a 25. emeletre? +35

b) Melyik számmal juthatunk a −1. szintről a −9. szintre? −8

c) Melyik számmal juthatunk a 37. szintről a földszintre? −37

d) Melyik számmal juthatunk a 48. emeletről a 19. emeletre? −29

e) Melyik számmal juthatunk a 17. emeletről a −8. szintre? −25

5 Számítsd ki!a) (−1) − (− (−3)) = −4 b) −(−(−3))−(−1) = −2

c) (−5) − (2 − (−3 + 4)) = −6 d) ((−1) + (−3))−(−5) = 1

6 Árverésen a legkülönbözőbb dolgokat kínálják eladásra, és a beérkező licitek közül a legmagasabbat ajánló vásárolhatja meg. Ezt nevezik leütési árnak. Minden dolognak van egy kezdeti, kikiáltási ára, innen indul a licit. Ha a leütési ár magasabb mint a kikiáltási ár, akkor nyereségre tesznek szert. Ha egy áru nem kelt el, akkor csökkentik a kikiáltási árát, míg meg nem veszik. Ilyenkor veszteség keletkezik. Egy nap a táblázatban szereplő régiségeket adták el. Döntsd el, hogy nyereséges vagy veszteséges volt-e az árverés!

Az áru Festmény Régi játék Régi könyv Régi rigli

Kezdeti kikiáltási ár 20 000 Ft 10 000 Ft 15 000 Ft 6 000 Ft

Eladási ár 25 900 Ft 6 540 Ft 12 050 Ft 11 345 Ft

Különbség 5 900 Ft −3 460 Ft −2 950 Ft 5 345 Ft

A nyereség vagy veszteség Ny V V Ny

7 A számpiramisban minden szám a két alatta levő összege. Töltsd ki a számpiramis hiányzó mezőit!

–35

–26 –9

–22

–18 –4 0 –5–4 –5


35


8 A Beng Banknál sok háztartás vezet folyószámlát. A folyószámlán lévő aktuális összeget egyenlegnek nevezik. A bank hitelt is szokott adni, így az ott lévő pénzünk, azaz az egyenleg negatív is lehet. Mennyivel változott a folyószámla egyenlege az egyes pénzügyi műveleteknél? Döntsd el, hogy kiadás vagy befizetés történt-e!A táblázat az ügylet utáni összegeket mutatja.

Egyenleg 65 234 Ft 56 786 Ft 156 786 Ft 45 678 Ft 23 456 Ft

A változás összege 0 −8448 100 000 −111 108 −22 222

Befizetés/kiadás 0 K B K K

9 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Két negatív szám összege biztosan negatív. I

b) Két szám összege biztosan nagyobb bármelyik tagjánál. H

c) Ha két szám összege negatív, akkor a számok is negatívak voltak. H

d) Ha két szám összege 0, akkor az egyik szám a másik ellentettje. I

e) Ha egy számot csökkentek, akkor annak abszolút értéke is csökken. H

f) Ha két szám összege 0, akkor valamelyik szám biztosan negatív. H

g) Két szám összegének abszolút értéke megegyezik a két szám abszolút értékének összegével. H

10 Egy matematikaversenyen 25 feleletválasztós kérdés van. A pontozás úgy történik, hogy 3 pont jár a helyes válaszért, 0 pont jár, ha nem jelölt meg semmit sem a beküldő, és −2 pont jár rossz válasz esetén.a) Mennyi a maximálisan elérhető pontszám? 25 · 3 = 75b) Mennyi pontja lesz annak, aki 10 helyes és 15 rossz választ adott? 10 · 3 + 15 · (−2) = 0c) Eszter 20 helyes választ adott, és azokra a kérdésekre, amelyekben nem volt biztos, inkább nem vála-szolt. Bori úgy gondolta, jobb, ha tippel, így a 20 helyes válasz mellé 2 helyes és 3 rossz választ jelölt be.

Melyiküknek lett több pontja? Eszternek 20 · 3 + 5 · 0 = 60, Borinak 20 · 3 + 2 · 3 + 3 · (−2) = 60, tehát ugyanannyi pontot szereztek.

36

19. ÖSSZEFOGLALÁS

1 A dinoszauruszok 230 millió évvel ezelőtt jelentek meg a Földön. Az őslénykutatók szerint ezek a hüllők változatos állatcsoportot al-kottak, és sok millió éven át uralták és népesítették be a szárazföldet, vizeket és a levegőt. A legmagasabb és legnehezebb közülük, amelynek sikerült a hiánytalan csontvázát megtalálni, a Giraffatitan, 12 méter magas, és körülbelül 30-60 tonna között lehetett. A legkisebb növénye-vők a nagyjából 60 centiméter hosszúságú Microceratus, Micropachy-cephalosaurus és Wannanosaurus. 65 millió évvel ezelőtt, valószínűleg egy Földnek ütköző, 12-15 kilométer átmérőjű kisbolygó okozott ka-tasztrófát, és a dinoszauruszok kipusztultak. A becsapódás pillanatában a kéntartalmú kőzetek azonnal felrobbantak, a belőlük kipárolgó gáz pedig kénes felhőt hozott létre a magasban. A gázok és a légköri vízgőz keveredése miatt néhány napig savas eső hullhatott a Földre – derült ki egy modellkísérletből.A korabeli fajok nagy része kihalt a katasztrófa következtében, melyet a tudomány a kréta időszakot lezá-ró eseménynek nevez. Ezután új földtörténeti kor kezdődött. A Földet uraló dinoszauruszok kipusztultak, a maguk után hagyott élőhelyeken pedig fejlődésnek indulhattak az emlősfajok.a) Mi okozhatta a dinoszauruszok kipusztulását? Valószínűleg egy Földnek ütköző kisbolygó (óriás meteorit), illetve a bekövetkező robbanás és a keletkező gáz.

b) Írd le egy dinoszaurusz faj nevét! (Van kedvenced?) Pl.: Tyrannosaurus rex

c) Rajzolj egy nagy és egy kis dinoszauruszt!

d) Mekkora a különbség a legnagyobb és a legkisebb dinó magassága között? 12 m – 60 cm = 11 m 40 cm

e) Hány éven át uralták a földi életet a dinoszauruszok? 230 − 65 = 165 millió évig

2 Egy faluban minden házban ugyanannyi tyúkot tartanak, és ez a szám megegyezik a faluban lévő há-zak számával is. Tudjuk, hogy a tyúkok száma 200 és 300 között van a faluban. Hány ház van a faluban?

3 Az Alfa mobiltársaság béta tarifája szerint 1 perc beszélgetés 22 Ft és 1 db SMS 30 Ft. A gamma tarifa szerint 1 perc beszélgetés 18 Ft és 1 db SMS 22 Ft, de van 1200 Ft havi előfizetési díj. Ha Gerzson 150 percet beszél havonta és 40 db SMS-t küld, akkor melyik előfizetés előnyösebb neki? A Béta

Béta: 1 5 0 · 2 2 + 4 0 · 3 0 = 4 5 0 0

Próbálgassunk: 10 · 10 = 100 kevés, 12 · 12 = 144 kevés, 14 · 14 = 196 kevés, de már majdnem jó. 15 · 15 = 225 jó, 16 · 16 = 256 jó, 17 · 17 = 289 jó, 18 · 18 = 324 sok.Tehát a házak száma 15, 16 vagy 17.

Gamma: 1 5 0 · 1 8 + 4 0 · 2 2 − 1 2 0 0 = 4 7 8 0

37

MathdokuÍrd be az 1, 2, 3, 4 számokat a 4×4-es táblázatba úgy, hogy minden sor-ban és minden oszlopban egy szám csak egyszer szerepelhet, valamint a vastagabb vonallal határolt tartományokban a megadott műveleteknek is igaznak kell lenniük! Például a "3−" azt jelenti, hogy az abban a rész-ben álló két szám különbsége 3. Nem csak 4×4-es, hanem 5×5-ös, ..., 9×9-es táblázatot is szoktak készíte-ni, ezekbe természetesen 1-től 5-ig, ..., 1-től 9-ig kell beírni a számokat. Segítségül egy kitöltött táblát megadtunk, a többit töltsd ki te!A Mathdoku játékot megtalálod az interneten is.

19. ÖSSZEFOGLALÁS

4 A Duna TV munkatársai tízrészes, egyenként 50 perces sorozatot terveznek az ország tájairól. Ehhez 3 csoport egyenként 30 órányi felvételt forgatott.

a) Hány percnyi anyag lesz a tévében? 500 perc

b) Hány percnyi anyagot nem fognak felhasználni? 4900 perc

5 1993-ban 3973 m volt a mogyoródi versenypálya hossza, és 77 kört kellett a versenyautóknak teljesí-teniük. Később átépítették a pályát, így elnyerte a mai, 4381 m-es hosszát. 2014-ben 70 kört kell teljesíte-niük a versenyzőknek. Milyen távot kellett 1993-ban, illetve 2014-ben teljesíteniük a versenyzőknek? 1993-ban 305 921 m-t, 2014-ben pedig 306 670 m-t. Melyik verseny volt hosszabb és mennyivel? A 2014-es verseny volt hosszabb 749 m-rel.

Játék

1 2

1

3

4

2

2

4

1 4

3

1

2 3

34 2 3

2

4

3

1

4

2

3 1

1

3

2 4

14 3

5

2

4

1

3

2

4

4

1

3 5

35

52

24 1

5

2

4

1

1

3

3 4

5

2

2

1

4

5

3 1

31

43

24 5

215

4 3152

3 9 7 3 · 7 7 2 7 8 1 1 + 2 7 8 1 1 3 0 5 9 2 1

4 3 8 1 · 7 0 3 0 6 6 7 0

3 0 6 6 7 0 − 3 0 5 9 2 1 7 4 9

5 0 · 1 0 = 5 0 0 3 0 · 3 = 9 0

9 0 · 6 0 = 5 4 0 0

5 4 0 0 − 5 0 0 4 9 0 0

38

6 a) Írd le arab számokkal a táblán lévő római számot! MDXCVIII 1598b) Írd le az összes római számot, amelyeket az

kövek felhasználásával kaphatsz! Egy követ csak egyszer használhatsz fel egy számhoz, és mind a négy követ fel kell használnod. Állítsd a kapott számokat növekvő sor-rendbe!

7 Írd le a számokat a hiányzó módon!

Számjegyekkel Betűkkel

9804 kilencezer-nyolcszáznégy

704 015 hétszáznégyezer-tizenöt

210 324 567 kétszáztízmillió-háromszázhuszonnégyezer-ötszázhatvanhét

64 640 012 hatvannégymillió-hatszáznegyvenezer-tizenkettő

10 000 000 001 tízmilliárd-egy

56 000 047 090 ötvenhatmilliárd-negyvenhétezer-kilencven

8 A San Franciscoban található Golden Gate híd 2737 méter hosszú.a) Hányszor férne el a 46 m magas New York-i Szabadság szobor a hídra fektetve? Hány méter maradna utána a hídon üresen?b) Hányszor férne el a Golden Gate hídon a 326 m hosszú Lánchíd?c) Hányszor férne el a Golden Gate hídon a 378 m hosszú Erzsébet híd?Először becsülj, majd ábrázold számegyenesen a hosszúságokat!Becslés: a) kb. 3000 : 50 = 60 b) kb. 2700 : 300 = 9 vagy kevesebb lesz. c) kb 7-szer

0 1000 2000 3000

b) Ellenőrizd a becslésedet számolással!

a) 2 7 3 7 : 4 6 = 5 9 b) 2 7 3 7 : 3 2 6 = 82 3 1 2 9

c) 2 7 3 7 : 3 7 8 = 79 1

19. ÖSSZEFOGLALÁS

CDIX = 409, CDXI = 411, DXCI = 591, DCIX = 609, DCXI = 611

39

9 Határozd meg fejben a kifejezések értékét!a) 52 + 83 − 36 −42 −3 + 26 = 80b) 501 + 141 − 500 − 1333 − 140 + 1332 = 1c) 25 ⋅ 131 ⋅ 2 ⋅ 2 = 13 100d) 5 ⋅ 63 ⋅ 10 ⋅ 2 = 6300

10 Csak a színes mezőkön állnak számjegyek. Pótold a szorzás hiányzó számjegyeit! Mindegyik esetben egy megoldást találtál?

a) b) c)3 9 5 ⋅ 5 9 ⋅ 9 1 9 5 6 ⋅ 4 5

1 9 7 5 7 8 2 49 7 8 0

1 8 8 0 2 03 7 1

A b) feladatnál a piros beírt jegyek biztosak, de ez után sok megoldás adódik: 499 ⋅ 129 = 64371; 479 ⋅ 149 = 71371; 449 ⋅ 179 = 80371; 429 ⋅ 199 = 85371; 399 ⋅ 229 = 91371; 349 ⋅ 279 = 97371;329 ⋅ 299 = 98371.

11 Az Amazonas folyó földünk legbővízűbb folyója. Brazíliában, az Egyenlítőnél ömlik az Atlanti-óceán-ba. Hossza körülbelül 6800 km. A ha-zánkon átfolyó Duna magyarországi szakasza 417 km, a teljes hossza pe-dig nagyjából 2860 km.

a) Körülbelül hány km-rel hosszabb az Amazonas, mint a Duna? 6800 – 2800 = 4000b) Hányszor hosszabb az Amazonas a Dunánál? kicsit több mint kétszerc) A Dunának körülbelül hányad része folyik Magyarországon? körülbelül hetedrészed) Határozd meg a 2860 osztóit! 1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 20, 22, 26, 44, 52, 55, 65, 110, 130, 143, 220, 260, 286, 572, 715, 1430, 2860

e) Hány kilométer biciklizés jutna egy napra a Duna teljes hossza mellett, ha minden napra ugyanannyi kilométeres távot terveznek? Ha életszerű távolságokkal számolunk, akkor: 2860 : 26 = 110 km naponta a nagyon jóknak, hiszen ezt 26 napon keresztül, minden nap le kell tekerni.2860 : 44 = 65 km naponta, amely elfogadható.2860 : 52 = 55 km naponta, amely szintén elfogadható.…

19. ÖSSZEFOGLALÁS

40

19. ÖSSZEFOGLALÁS

Karikázd be a helyes választ!1. Melyik ez a szám: 45 234 010?A: négymillió-kétszázharmincnégyezer-tíz; B: negyvenötmillió-

kétszázharmincnégyezer-tíz;C: négymillió-

kétszázharmincnégyezer-egyszáz.

2. A MCMXIV római számA: 1914-et;B: 1904-et;C: 1916-ot jelent.

3. Mennyi (−23 365) + (−34 214)?A: 57 579;B: −57 579;C: −10 849.

4. Mennyi (−6234) − (−8765)?A: −2531;B: 2531;C: −14 999.

5. Mennyi 45 234 ⋅ 100?A: 4 523 400;B: 452 340;C: 45 234 000.

6. Mennyi 675 ⋅ 17?A: 11 470;B: 11 485;C: 11 475.

7. Melyik a 28 és 49 közös osztója?A: 5;B: 2;C: 7.

8. Mennyi (−642) ⋅ 21?A: −13 382; B: −13 482; C: −13 582.

9. Melyik igaz?A: Az 5 705 123 esetén az ezresek helyén az

5 áll;B: Az 5 705 123 esetén a százezresek helyén

az 5 áll;C: Az 5 705 123 esetén a tízezresek helyén

az 5 áll.

10. Mennyi a 6541 : 23 hányadosa?A: 274;B: 284;C: 283.

11. Mennyi a 6541 : 23 maradéka?A: 9;B: 11;C: 7.

12. Tízes számrendszerben mennyi a 101012?A: 13;B: 21;C: 19.

13. Melyik a 49 999 százasokra kerekített értéke?A: 49 000;B: 49 900;C: 50 000.

14. Mennyi (−13) − (−5)?A: −18;B: −8;C: 8.

15. A 0 abszolút értéke 0. (12 : 6) : 2 = 12 : (6 : 2)A: Mindkét állítás igaz.B: Csak az első állítás igaz.C: Csak a második állítás igaz.

TESZTKÉRDÉSEK

41

1 Töltsd ki a táblázatot!

a) Leírva és kiejtve

Nyolc tizenharmad

Kilenc huszad

Hét ötöd

Nyolc harmad

Százhárom kilencvenötöd

Tört alak8

139

2075

83

10395

b)Tört alak

57

35

1261

100157

Leírva és kiejtve

öt heted

három ötöd

tizenkettő hatvanegyed

száz százötvenheted

2 Színezd ki a téglalapok adott részeit!

a) 3

24; b)

11

24; c)

12

24; d)

15

24; e)

17

24; f)

21

24.

3 A téglalapok hányad része van kiszínezve?

a) b) c) d) e) f)

4 A körök hányad része van kiszínezve?

5 Ábrázold számegyenesen 0-tól 2-ig a a) piros ceruzával a kettedeket,b) zöld ceruzával a harmadokat, c) kék ceruzával a negyedeket!

6 Ábrázold a számegyenesen a következő törteket!

a) 2

8; b)

3

8; c)

5

8; d) 6

8; e)

8

8;

0 1

8f) 11

8; g)

12

8; h)

16

8; i)

17

8; j)

20

8.

524

624

1224

1124

624

1224

25

57

34

710

a c f hb d e g i j

II. TÖRTEK, TIZEDES TÖRTEK1. TÖRT, TÖRTEK ÁBRÁZOLÁSA SZÁMEGYENESEN

42

1 Karikázd be zölddel az egynél kisebb, pirossal az egynél nagyobb, kékkel pedig az eggyel egyenlő törteket!

9

12

15

16

9

8

5

7

7

7

115

7

15

15

89

100

72

71

35

36

25

25

32

35

11

10.

2 Pótold a hiányzó számokat!

a) 3

4 8

12

32

36

54= = = = =

; b)

2

5 20

6

35

10

55= = = = =

;

c) 7

11

21

66

63

121

101= = = = =

; d)

8

9

16

36

40

72

72= = = = =

.

3 Egyszerűsítsd a törteket!

3

12=

8

6=

15

20=

32

24=

9

15=

4

6=

10

35=

18

24=

15

25=

16

24=

4 Írd a két tört közé a <, = vagy a > jelet!

a) 3

5 2

5; b)

4

9 5

9; c)

5

13 5

12; d)

100

101 100

99;

e) 7

8 3

4; f)

17

20 3

4; g)

1

2 2

5; h)

4

15 1

4.

5 Milyen pozitív egész számokat írhatunk a * helyébe, hogy teljesüljenek az egyenlőtlenségek?

a) *

11

9

11< 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 b) 4 4

5*>

4, 3, 2, 1 c) *

8 5

8 1, 2, 3, 4, 5 d) 7 7

6*≥ 1, 2, 3, 4, 5, 6

e) 35 5

9

5< <

*

4, 5, 6, 7, 8 f) 9

8

9 9

2< <

* 3, 4, 5, 6, 7

g) − < − < −

9

11 11

2

11

* 3, 4, 5, 6, 7, 8

6 Írd a törteket a megfelelő helyre!

7 A jégkorong meccsek három 20 perces har- madból állnak.a) Hány perc telt el a mérkőzésből, a második harmad negyedik percének végén? 44 perc b) Hányad része ez az egész mérkőzésnek? 4460

= 1115

része.

c) A mérkőzés hányad része van hátra? 4

15 része van hátra.

2214251516 48

8–

–

246

3342 77

1832

4564

8199

14

23

43

34

43

35

27

34

35

23

=

=

= = = =

= = = =

<< <<<<<

<

1-nél nagyobb

1-nél kisebb

egész szám

2310

43

05

0

83

6−35

−

2. TÖRTEK BÔVÍTÉSE, EGYSZERÛSÍTÉSE, ÖSSZEHASONLÍTÁSA

43

1 Végezd el a műveleteket!

a) 7

9

4

9− =

b)

4

15

8

15+ =

c)

19

21

11

21− =

d) 26

60

7

60

8

60+ + =

e) 19

60

7

60− =

f) 15

60

8

60− =

g) 16

25

9

25− =

h) 9

33

21

33+

i) 2 3

13

2

13+ − =

2 Pirossal és kékkel színezd az összeadandók számlálójának megfelelő számú részt! Add össze a két törtet! a) b) c) d)

9

24

7

24 24+ =

6

24

11

24 24+ =

6

15

7

15 15+ =

4

15

9

15 15+ =

e) f) g) h)

7

30

4

30 30+ =

16

30

11

30 30+ =

21

36

9

36 36+ =

14

36

17

36 36+ =

3 A színes forgón egyforma nagyságú színes részek vannak.

a) A forgónak hányad része egy szelet?

b) A forgónak hányad része a sárga?

c) A forgónak hányad része a lila?

d) A forgónak hányad része a piros?

e) A forgónak hányad része a piros vagy sárga?

4 Az ábrán látható karikában az egyforma nagyságú részeket három különböző színnel festette az ékszerész.

a) Ha a karika 1 egész, akkor hányad része ennek egy szelet?

b) A karikának hányad része piros vagy sárga?

c) A karikának hányad része piros vagy zöld?

d) A karikának hányad része sárga vagy zöld?

39

821

760

2713

3033

4160

725

1260

1215

16 17 13 13

31302711

111

211 6

11

411 5

11

11612

16

816

1216

3. EGYENLÔ NEVEZÔJÛ TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA

44

1 Végezd el a következő műveleteket! Ha lehet, egyszerűsíts!

a)

1

2

1

8+ =

48

+ 18

= 58

b) 29

10

9+ =

129

= 43

c) 19

17

64

34+ =

1917

+ 3217

= 5117

= 3

d) − +

3

5

9

20

=

e) 29

24

5

6− =

f) 35

36

3

4+ =

g)

9

14

5

21− −

=

h) 9

32

17

48+ =

i) 21

15

9

20− =

2 a) Mennyit kell 16

25-höz adni, hogy az összeg

74

75 legyen?

− =74

752675

4875

b) Mennyit kell 25

12-ből elvenni, hogy a különbség

3

4 legyen?

− = =25

121612

43

912

3 Az aranyásók tartaléka egy üveg aranypor. Csákányra költötték az 1

9 részét, élelmiszert vettek az üveg

aranypor 1

8 részéért. A születésnapi bulira az üveg por

1

4-ét költötték el. Mennyi aranyporral lehet újra

feltöltetni a készletet? Annyival, amennyit elköltöttek, vagyis az üveg + +19

18

14

= 3772

részével.

4 Egyik nap az apa a kert 3

7 részét ásta fel, a fia a

2

9 részét. A kert hányad részét kell felásniuk másnap?

+ =2763

4163

1463

részt ástak fel, másnapra maradt a kert − =6363

2263

4163

része.

5 Három testvérnek három tökéletesen egyforma kertje van. A testvérek különböző arányban művelik a kertjeiket. A kert egyik része gyümölcsös, másik része konyhakert, a maradék pedig virágos terület.

1. kert 2. kert 3. kert Összesen

Gyümölcsös13

14

15

4760

Konyhakert25

35

12

9060

Virágos 415

320

310

4360

a) Határozd meg, hogy az egyes kertek hányad része virágos! b) Határozd meg, hogy a három kertben összesen hányad rész a gyümölcsös, a konyhakert, illetve a virágos!

gy.: + + = + + =1

3

1

4

1

5

20

60

15

60

12

60

47

60 k.: + + =2

5

3

5

1

2

90

60 + +4

153

103

20= + 9

601660

+ =4360

1860

v.:

312

− 924

= 38

6236

= 3118

2742

=− − ][ 3742

1042

2796

=+ 6196

3496

8460

==− 1920

5760

2760

4. KÜLÖNBÖZÔ NEVEZÔJÛ TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA

=1515

− 415

1115

− =2020

320

1720

− =1010

310

710

45

6 A két mérőhengerben lévő vizet összeöntve hányadrészét töltik meg a harmadik hengernek? A víz-szintet jelöld be hozzávetőlegesen a harmadik hengeren!

1

6 +

3

4 = 22

24

1

2 + 2

5 = 5

10 + 4

10 = 9

10

7 Az óragyertya pontosan 1 órán keresztül ég. Három óragyertyából az elsőt 1

3 órán, a másodikat

1

4 órán, a harmadikat pedig 1

2 órán keresztül égettük már korábban. Legfeljebb hány órán át tudunk

még gyertyát égetni?

8 Gazsi a 45 perces matekóra harmadában, Matyi a négyhatodában, Helén pedig a négykilencedében figyelt.

a) Melyik gyerek mennyi ideig figyelt? Gazsi: 45 ⋅ 13

= 15, Matyi: 45 ⋅ 46

= 30, Helén: 45 ⋅ 49

= 20 percig fi-gyelt.

b) Biztosan volt olyan pillanata az órának, amikor mindhárman figyeltek? Nem. Ha Matyi akkor kezd fi-gyelni, amikor Gazsi már nem figyel, akkor Helén mindegy mikor kezdi a figyelést, legfeljebb ketten figyel-nek egyszerre.

4. KÜLÖNBÖZÔ NEVEZÔJÛ TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA

= 2312

13

14

12

3 − − − = − − − =3612

412

312

612

46

1 Színezd be a téglalapokat az eredménynek megfelelő részen!

a) b) c) d) e) f)

3

245⋅

1

65⋅

2

306⋅

7

303⋅

5

367⋅

2

94⋅

2 Végezd el a szorzásokat! Melyik estben melyik szorzási módot választanád?

a) 36

217=⋅ 36

3 = 12 b) 49

1313 =⋅ 49 c) 7

1545 =⋅ 8 ⋅ 3 = 21

d) 8

157 =⋅ 56

15 e) 26

1513 =⋅

33815

f) 15

1415 =⋅

22514

3 Végezd el a szorzásokat! Ha lehet, egyszerűsíts!

a) 2

114⋅ = 8

11 b) 3

2510⋅ = = 6

53025

c) 185

42⋅ = = 15

79042

d) 79

28⋅ =

6328

= 94

e) 12

3520⋅ = 240

35 = 48

7 f) 45

2346⋅ = 2070

23 = 90

4 Melyik tört nagyobb? Írd ki a két tört közé a megfelelő relációjelet! (<, =, >)

a) 3

1114⋅

6

117⋅ ;

b)

9

154⋅

2

1517⋅ ;

c)

5

265⋅

3

134⋅ ;

d) 14

216⋅

21

224⋅ ;

e)

5

307⋅

5

154⋅ ;

f)

11

257⋅

7

2411⋅ .

5 A Farkas család reggel 8-kor indult el a 420 km-re lakó nagy-mamához. Egy óra alatt 80 km-t tettek meg a kocsival.

a) Az út hányad részét tették meg egy óra alatt? 4155

= 421

b) Az út hányad részét tették meg 4 óra alatt? 8 ⋅ 421

= 3221

< <>

> >=

5. TÖRT SZORZÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL

47

1 Váltsd át a következő mennyiségeket!

a) 3

2 kg = 150 dkg; b)

2

5 dkg = 4 g; c)

7

10 m = 70 cm; d)

13

100 dm = 13

10 cm;

e) 17

25 km = 680 m; f)

12

30 óra = 24 perc; g)

7

20 kg = 350 g; h)

9

2 m = 45 dm.

2 Végezd el az osztásokat! Melyik esetben melyik osztási módot választanád?

a) 15

145 =: 3

14 b) 39

223 =: 13

22 c) 49

177 =:

717

d) 51

37 =:

177

e) 49

55 =:

4925

f) 30

126 =:

512

3 Végezd el az osztásokat! Ha lehet, egyszerűsíts!

a) 4

112: = 4

22 = 2

11 b)

25

310: = 25

30 = 5

6 c)

42

56: = 42

30 = 7

5

d) 9

27: = 9

14 e)

12

75: = 12

35 f)

23

346: = 23

138 = 1

6

4 Váltsd át a következő mennyiségeket!

a) 5

2 dkg = 100

40 dkg = 1

40 kg; b) 14

5 g = 14

50 dkg = 7

25 dkg; c) 25

6 cm = 25

600 m = 1

24 m;

d) 200

3 cm = 200

30 dm = 20

3 dm; e) 3000

7 m = 3000

7000 km = 3

7 km; f) 120

11 perc = 120

660 óra = 2

11 óra;

g) 8000

17 g = 8000

17000 kg = 8

17 kg; h) 45

2 dm = 45

20 m = 9

4 m; i) 150

7 perc = 150

420 óra = 5

14 óra.

5 a) Az öreg Tóbiás király birodalmának 7

12 részét egyenlő mértékben

osztotta el három fia között.

Mekkora részt kaptak a gyermekek? 7

12 : 3 = 7

36

b) Anya reggel kibontott egy liter tejet és egy decilitert a kávéjába töltött. A ma-radékot egyenlően akarja széttölteni öt csemetéje poharába.

Mennyi tej jut egy-egy gyereknek? 10 dl − 1 dl = 9 dl; 95

dl jut egy gyereknek.

c) 54 kg kétszersültet osztottak szét egyenlően 5 táborhelyre. Az első táborhe-lyen három expedíció vert sátrat. Mindegyikhez 9 felfedező tartozott.

Hány kilogramm kétszersültet kap egy-egy felfedező? Egy táborba 545

kg két-

szersültet vittek. Az első táborban 3 ⋅ 9 = 27 kutató volt, tehát 545

: 27 = 25

kg

kétszersültet kap egy-egy kutató.

6. TÖRT OSZTÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL

48

1 Írd át a közönséges törteket vegyes számmá!

a) 7

2= 3 1

2 b)

7

3= 2 1

3 c) 7

4= 1 3

4

d) 16

3= 5 1

3 e)

16

5= 3 1

5 f) 16

7= 2 2

7

2 Írd át közönséges törtté!

a) 51

3= 16

3 b) 7

3

4= 31

4 c) 3

2

5= 17

5

d) 15

6= 11

6 e) 4

6

7= 34

7 f) 9

5

8= 77

8

3 Karikázd be az egyenlőket azonos színekkel!

212

36 1

8

6 2

9

24

28

12 2

3

8 1

22

16

19

8

4 Add össze a vegyes számokat!

a) 44

52

3

5+ = 24

5

13

5

37

5+ = b) 3

5

62

2

3+ = 23

6

13

2

8

3

23

6

16

6

39

6+ = + = =

c) 44

53

7

10+ = 24

5

17

2

37

10

48

10

37

10

85

10+ = + = = d) 3

13

152

4

5+ = 58

15

20

3

14

5

58

15

42

15

100

15+ = + = =

5 Szorozd össze a vegyes számokat az egész számokkal!

2 3 516

213

412

656

10

25

345

615

10 17

415

48

158

1215

125

1521


a) 22

61

5

95+

⋅ =

42

18

28

185

70

185

350

18

175

9+

⋅ = ⋅ = = b) 42

56

4

153+

⋅ =

66

15

94

153

160

153 32+

⋅ = ⋅ =

c) 21 25

63

7

12⋅ +

= 21

34

12

43

1221

77

12

1617

12

539

4⋅ +

= ⋅ = = d) 5 25

87

1

12⋅ +

= 5

63

24

170

245

233

24

1165

24⋅ +

= ⋅ =

7

3

7

3

7

3

19

8

19

8

19

8

19

8

7. VEGYES SZÁMOK

49

1 Kösd össze az azonos jelentésű, számmal és betűvel leírt számokat!

0,34

0,034

0,00340,304

0,3400,0304

nulla egész harmincnégy ezred

nulla egész háromszáznégy tízezred

nulla egész harmincnégy század

nulla egész háromszáznegyven ezred

nulla egész háromszáznégy ezred

2 Írd be a táblázatba a következő tizedes törteket!

0,305 23,067 106,230 34,57 4571,5 1000,001

Ezer Száz Tíz Egy Tized Század Ezred

1000 100 10 1 ,1

101

1001

1000

0 , 3 0 5

2 3 , 0 6 7

1 0 6 , 2 3 0

3 4 , 5 7

4 5 7 1 , 5

1 0 0 0 , 0 0 1

3 Mondd ki és írd le a táblázatban megadott tizedes törteket!

Ezer Száz Tíz Egy Tized Század Ezred

1000 100 10 1 ,1

101

1001

1000

1 3 , 7

1 6 7 , 5 5

2 3 0 9 , 6 2 6

13,7 = tizenhárom egész hét tized 167,55 = százhatvanhét egész ötvenöt század 2309,626 = kettőezer-háromszázkilenc egész hatszázhuszonhat ezred

4 Írd fel a tizedes törteket két egész szám hányadosaként!

a) 0,2 = 210

= 15

b) 3,2 = 3210

= 165

c) 2,3 = 2310

d) -3,3 = – 3310

e) 10,02 = 1002100

= 50150

f) 0,009 = 91000

g) -0, 101 = – 1011000

h) 900,026 = 9000261000

= 450013500

8. TIZEDES TÖRTEK

50

1 Kerekítsd a tizedes törteket tizedekre, illetve századokra!

a) 0,2345 = 0,2 b) 33,264 = 33,3 c) 2,983 = 3 d) -3,55 = 3,6

0,2345 = 0,23 33,264 = 33,26 2,983 = 2,98 -3,55 = 3,55

2 Ábrázold mindkét számegyenesen a 2,5; 2,28; 2,4; 2,92; 2;01; 2,09; 2,99; 2,55; 2,18; 2,88 számokat!Melyik számegyenesen tudtad könnyebben ábrázolni a számokat?

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,2 1,4 1,6 1,8 2,2 2,4 2,6 2,81 2 3

2 2,1 2,2 2,3 2,5 2,6 2,7 2,82,4 2,9 3

3 Rendezd növekvő sorrendbe a tizedes törteket!

2,9 10,01 10,619 2,89 0,98 1 10,206 11,26 10,62 10,02 10,020

0,98 < 1 < 2,89 < 2,9 < 10,01 < 10,02 = 10,020 < 10,206 < 10,619 < 10,62 < 11,26

4 a) Árpád és barátai üveggolyót ejtettek le 1 méter magasságból, és kézi stopperórával mérték az esés idejét. A mért időket a táblázat tartalmazza.

Az időmérő Mért idő (másodperc)

Árpád 0,68

Józsi 0,57

Marcsi 0,52

Karcsi 0,74

Ábrázold számegyenesen a mért időadatokat! Miért különböznek a mért értékek? Mert a gyerekeknek különböző a reakcióideje.

0 1

b) A két méter magasról leesett tárgy körülbelül 0,64 másodpercig esik. Árpádék elvégezték a kísérletet ebből a magasságból leejtett golyókkal is.Ábrázold számegyenesen a mért időadatokat! Az egyikük nem vette komolyan a mérést. Melyikük lehetett az?

0 1

Árpád. A mért idő nem lehetett kevesebb, mint az eltelt idő.

0,520,57

0,680,74

0,94

0,52 0,830,89

9. TIZEDES TÖRTEK ÁBRÁZOLÁSA ÉS RENDEZÉSE

Az időmérő Mért érték (másodperc)

Árpád 0,52

Józsi 0,83

Marcsi 0,89

Karcsi 0,94

51

1 Mérd fel egymás után a szá-megyenesre a következő tizedes törteket! +2,8 −1,4 3,5 1,6 −3,1 3,6A tizedes törtek összevonásával ellenőrizd, hogy jól dolgoztál-e!

2 Végezd el az összeadásokat és kivonásokat!

a) 1 2 3 0 2 b) 2 0 2 0 8 4 c) 4 7 4 2 4+ 8 6 9 8 + 1 9 3 5 4 + 0 5 9 7 3 7

2 1 0 0 0 3 9 5 6 2 4 4 8 0 2 1 3 7

d) 1 2 3 0 2 e) 2 0 2 0 8 4 f) 4 7 4 2 4- 8 6 9 8 - 1 9 3 5 4 - 0 5 9 7 3 7

3 6 0 4 8 5 4 4 4 6 8 2 6 6 3

,,,

,,,

,,,

,,,

,,,

,,,

3 Végezd el az összeadásokat és kivonásokat! Figyelj a tizedes vessző helyére!

a) 12,264 + 23,4578 + 14,025 = 49,7468

b) 489,025 + 41,48 + 5,005 = 535,51

c) 100 - 15,56 + 45,56 = 130

d) 111,011 - 19,96 - 5,39 = 85,661

1 2 2 6 4 4 8 9 0 2 5 1 0 0 1 1 1 0 1 1+ 2 3 4 5 7 8 + 4 1 4 8 – 1 5 5 6 – 1 9 9 6+ 1 4 0 2 5 + 5 0 0 5 + 4 5 5 6 – 5 3 6

4 9 7 4 6 8 5 3 5 5 1 1 3 0 8 5 6 6 1

4 A következő alakzatok néhány vonalának hosszát ismerjük (kék). Határozd meg a piros szakaszok hosszúságát!

a)

2,26 cm

4,15 cm

?

b)

1,69 cm

1,48 cm?

c)

2,4 cm 3,2 cm

?

6,05 cm

d)

2,2 cm

2,9 cm?

6,7 cm

,,,,

,,,,

,,,

,,,,

a) b) c) d) 4 , 1 5 − 2 , 2 6 1 , 8 9

1 , 6 9 + 1 , 4 8 3 , 1 7

2 , 4 + 3 , 2 5 , 6

6 , 0 5 − 5 , 6 0 , 4 5

2 , 2 + 2 , 9 5 , 1

6 , 7 − 5 , 1 1 , 6

10. TIZEDES TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA

52

5 Számítsd ki a vonalak hosszát! 3,16 cm 2,5 cm 2,14 cm

a) b) c)

6 Milyen nehéz volt Panni bevásárlószatyra, ha a felsorolt árukat vásárolta meg?

0,123 kg szalámi 1,005 kg kenyér

1,011 kg tej 0,245 kg uborka

7 Három értékes jegyre kerekítéssel tedd szemléletesebbé a következő adatokat! Magyarország nyugati szomszédjának, Ausztriának a te rülete 83,870 ezer km², népessége 8 501 502 fő. Fővárosának, Bécsnek a népes-sége 1 905 080 fő. Ausztria legmagasabb pontja a Grossglockner 3,797 ezer méter.

Magyarország nyugati szomszédjának, Ausztriának a te rülete 83 900 km2, népessége 8 502 000 fő. Fő-

városának, Bécsnek a népessége 1 905 000 fő. Ausztria legmagasabb pontja, a Grossglockner 3 800 méter.

8 Pisti egyetemre járó testvére egy robotépítő csapat tagja. Az egyik robotversenyen az a cél, hogy minél rövidebb idő alatt találjon ki önállóan egy labirintusból a robot. Az egyik gyakorlásnál a következő részidőket mérte Pisti.

Indulás: 0,00 másodperc A szakasz teljesítési ideje:1. szakasz 5,67 másodperc 5,67−0,00 = 5,67 másodperc

2. szakasz 9,23 másodperc 9,23−5,67 = 3,56

3. szakasz 15,19 másodperc 15,19 − 9,23 = 5,96

4. szakasz 138,26 másodperc 138,26 − 15,19 = 123,07

Befejező szakasz: 156,19 másodperc 156,19 − 138,26 = 17,93

a) Számold ki, hogy az egyes szakaszokat mennyi idő alatt teljesítette a robot!b) Melyik szakaszban volt a robotnak több tájékozódási problémája? A robotnak a 4. szakaszban volt a legtöbb problémája.

a) b) c) 3 , 1 6 + 2 , 5 5 , 6 6

3 , 1 6 2 , 1 4 + 2 , 1 4 7 , 4 4

3 , 1 6 2 , 1 4 + 2 , 5 7 , 8 0

0 , 1 2 3 1 , 0 0 5 1 , 0 1 1 + 0 , 2 4 5 2 , 3 8 4 kg volt.

9 , 2 3 − 5 , 6 7 3 , 5 6

1 5 , 1 9 − 9 , 2 3 5 , 9 6

1 3 8 , 2 6 − 1 5 , 1 9 1 2 3 , 0 7

1 5 6 , 1 9 − 1 3 8 , 2 6 1 7 , 9 3

10. TIZEDES TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA

53


a) 34,23 ⋅ 10 = 342,3 b) 0,0023 ⋅ 10 = 0,023 c) 0,056 ⋅ 100 = 5,6

d) 3,6 ⋅ 100 = 360 e) 6,7567 ⋅ 100 = 675,67 f) 0,067 ⋅ 1000 = 67

g) 5,4 ⋅ 110 = 594 h) 8,364 ⋅ 110 = 920,04 i) 102,5 ⋅ 1100 = 112 750

2 Végezd el a szorzásokat!a) 3,6 ⋅ 6; b) 1,7 ⋅ 8; c) 6,3 ⋅ 12; d) 0,27 ⋅ 32; e) 67,6 ⋅ 23; f) 0,45 ⋅ 16.


a) 0,505 ⋅ 99 = 49,995 b) 389,4 ⋅ 103 = 40108,2 c) 39,564 ⋅ 12 = 474,768

d) 0,505 ⋅ 990 = 499,95 e) 389,4 ⋅ 1030 = 401082 f) 39,564 ⋅ 124 = 4905,936

g) 0,505 ⋅ 9900 = 4999,5 h) 389,4 ⋅ 10300 = 4010820 i) 39,564 ⋅ 1248 = 49375,872

4 Váltsd át a mennyiségeket!

Tonna Kilogramm Dekagramm Gramm0,0145 14,5 1450 14500

0,001234 1,234 123,4 1234

0,0056789 5,6789 567,89 5678,9

34,6 34 600 3 460 000 34 600 000

0,002016 2,016 201,6 2016

0,00005678 0,05678 5,678 56,78

0 , 4 5 · 1 6 + 2 7 0 7 , 2 0

a) 3 , 6 · 6 2 1 , 6

c) 6 , 3 · 1 2 + 1 2 , 6 7 5 , 6

b) 1 , 7 · 8 1 3 , 6

d) 0 , 2 7 · 3 2 0 , 8 1 + 0 , 5 4 8 , 6 4

e) 6 7 , 6 · 2 3 1 3 5 2 + 2 0 2 8 1 5 5 4 , 8

11. TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL

54

5 Minden vonal hosszát megadtuk.

4,37 cm 1,25 cm 2,34 cm Milyen hosszú a törött vonal?

a) 9 . 4,37 = 39,33 b) 6 . 4, 37 + 12 . 1,25 = 41,22

c) 4 . 2,34 + 4 . 1,25 = 14,36 d) 17 . 4,37 = 74,29

6 A Kerek Vállalat kerékpárkerekeket gyárt gyerekeknek. A cégnél 1 igazgató, 10 osztályvezető, 100 adminisztrátor és 1000 munkás dol-gozik. A védőruhákat nagy tételben szerzik be.

Összesen hány ezer forintot költött a vállalat védőruházatra?

3490,56 + 136,95 + 8195 + 14 020,82 = 25 843,33 ezer Ft-ot

Munkaruha Egységár(ezer forint)

1 igazgató(ezer forint)

10 osztály-vezető

(ezer forint)

100 admi-nisztrátor

(ezer forint)

1000 munkás

(ezer forint)

Összes kiadás

(ezer forint)

Fejvédő 3,456 — 34,56 — 3456 3 490,56

Kabát 12,45 12,45 124,5 — — 136,95

Pufajka 7,45 — — 745 7450 8195

Cipő 12,62 12,62 126,2 1262 12 620 14 020,82

7 Számold ki!

a) 10 ⋅ 0,1 + 200 ⋅ 0,01 + 3000 ⋅ 0,001 + 40 000 ⋅ 0,0001 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

b) 10 ⋅ 0,1 + 200 ⋅ 0,02 + 3000 ⋅ 0,003 + 40 000 ⋅ 0,0004 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30

11. TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL

55


a) 458 : 10 = 45,8 b) 58,12 : 10 = 5,812 c) 6,9 : 100 = 0,069

d) 0,505 : 100 = 0,00505 e) 389,4 : 1000 = 0,3894 f) 39,564 : 1000 = 0,039564

2 Végezd el az osztásokat!

a) 3,6 : 3 = 1,2 b) 0,2 : 9 = 0,02. c) 0,042 : 7 = 0,006

d) 0,0099 : 9 = 0,0011 e) 184,96 : 8 = 23,12 f) 68,046 : 6 = 11,341

g) 5,544 : 9 = 0,616 h) 5,544 : 8 = 0,693 i) 5,544 : 7 = 0,792

3 A Békéscsaba és Gyula közötti 16,7 km-es távon rendeznek váltófutó versenyt.Hány km jut egy-egy futóra, ha az iskola csapataa) 5 fő; b) 8 fő; c) 10 fő; d) 12 fő?

3,34 km 2,0875 km 1,67 km 1,3916 km

4 Anya epret szedett a „Szedd magad" akcióban, és három egyenlő részre akarja osztani, amit leszedett. Az egyik részből lekvár lesz, a másik részt lefagyasztja, a harmadik részt pedig frissen megeszik. 8,7 kg-ot sikerült leszednie 2 óra alatt. Egy kg eper ára 480 Ft volt. Mennyi eperből fog anya lekvárt főzni?

A: 4,35 kg B: 960 Ft ára eperből. C: 2,9 kg D: 5,8 kg

0 , 0 4 2 : 7 = 0 , 0 0 6 0 0 0 4 4 2 0

a)

b)

c)

0 , 2 : 9 = 0 , 0 2 2 0 2 0

3 , 6 : 3 = 1 , 2

1 6 , 7 : 5 = 3 , 3 4 1 7 2 0 0

1 6 , 7 : 1 2 = 1 , 3 9 1 6 4 7 1 1 0 2 0 8 0 8 0

1 6 , 7 : 8 = 2 , 0 8 7 5 0 7 7 0 6 0 4 0 0

12. TIZEDES TÖRTEK OSZTÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL

56

1 Karikázd be azokat a törteket, amelyeknek a tizedes tört alakja véges!

a) 11

2; b) 5

4; c) 7

8; d) 6

5; e) 28

25; f) 23

10; g) 43

20; h) 13

30; i) 12

15; j) 11

6; k) 2

3; l) 5

9.

2 Mi a szakasza a tizedes törteknek?

a) 11

9 = 1,2 b)

4

33 = 1,12 c)

25

99 = 0,25 d)

13

9 = 1,4

e) 32 191

9900 = 3,2516 f)

27

110 = 0,245 g)

1141

900 = 1,267 h)

1

90 = 0,01

3 Alakítsd át a tizedes törteket közönséges törtekké!

a) 0,1 = 110

b) 2,5 = 2510

= 52

c) 1,6 = 1610

= 85

d) 8,5 = 8510

= 172

e) 0,4 = 410

= 25

f) 0,5 = 510

= 12

g) 0,125 = 1251000

= 18

h) 2,225 = 22251000

= 8940

4 Figyeld meg milyen hosszú lesz a szakasz a következő törtekben!

a) 1

9

2

9

3

9

8

9; ; ; ; b) 1

99

2

99

3

99

98

99; ; ; ; c) 1

999

2

999

3

999

998

999; ; ; ;

A szakasz hossza:

a) 1 b) 2 c) 3

a szakasz: 2

a szakasz: 16

a szakasz: 12

a szakasz: 45

a szakasz: 25

a szakasz: 7

a szakasz: 4

a szakasz: 1 1 1 : 9 = 1 , 2 2 0 2

4 : 3 3 = 0 , 1 2 4 0 7 0 4

1 3 : 9 = 1 , 4 4 0 4

2 5 : 9 9 = 0 , 2 5 2 5 0 5 2 0 2 5

3 2 1 9 1 : 9 9 0 0 = 3 , 2 5 1 6 2 4 9 1 0 5 1 1 0 0 1 6 0 0 0 6 1 0 0 0 1 6 0 0

13. KÖZÖNSÉGES TÖRTEK TIZEDES TÖRT ALAKJA

57

1 Minden alakzat 1 egész. Mekkora a színezett részek területe?

48

= 12

38

78

48

= 12

512

1012

= 56

2 Rajzolj három darab 10 egység hosszú és 4 egység széles téglalapot, majd színezd ki az első nyolcadát, a második kétötödét és a harmadik háromnegyedét!

3 Jelöld be a számegyenesen a törtek helyét!

0,1; 1 710; 2,5; −1,4; �

3

10; 1,7; 2,9; �2

9

10; �2

1

5; −0,3; 2,6; −0,3; 11

5;

1 32−1−2−3 0

�29

10; �2

1

5; −1,4; �

3

10; −0,3; −0,3; 0,1; 11

5; 1 7

10; 1,7; 2,5; 2,6; 2,9

4 Öregapó tizenhat egyenlő részre osztotta földjét. A legidősebb fiú hét részt kapott, a középső fiú 5-öt, a legkisebb pedig 3-at. A föld hányad részét kapták meg a fiúk? A föld hányad részét hagyta meg magának?

+ + +7

16

5

16

3

16

15

16 -od részét kapták meg a fiúk. − =1

15

16

1

16-od részét hagyta meg magának.

5 A szülőknek két gyermekük van. Milyen idősek a családtagok, ha tudjuk, hogy a fiatalabb gyermek

életkora 1

15 része az apa életkorának, az idősebb gyermek életkora 1

10 része az apa életkorának, az

anya életkora pedig 5

6 része az apa életkorának?

Az apa életkora osztható 15-tel, 10-zel és 6-tal is.A legkisebb szóba jövő szám a 30, ekkor a gyerekek 2 és 3 évesek,anya pedig 25, ami megoldása a feladatnak.A következő lehetséges érték a 60, ekkor a gyerekek 4 és 6 évesek,anya pedig 50, ami elvileg lehet megoldás.A következő lehetséges érték a 90, ekkor a gyerekek 6 és 9 évesek,anya pedig 75, ami matematikai szempontból lehet megoldás, a valóságban nehezen elképzelhető.

14. ÖSSZEFOGLALÁS

58

6 Dédinek most volt a 84. szülinapja. Azt mesélte, hogy élete első negyede telt el éppen, amikor férjhez ment, és élete harmada után született meg a nagymama. Két évvel később született a nagyi testvére, Imre.

a) Hány éves korában ment férjhez a dédi? 84 : 4 = 21 éves korában

b) Hány éves korában szülte a nagymamát? 84 : 3 = 28 éves korában

c) Hány éves most Imre? 84 – (28 + 2) = 54 éves

7 Az öreg Xantus király rajongott a könyvekért. 12 000 kötetes könyvtára volt. El is nevezte Irodalom-háznak a könyvtárt. Később egyenlően megosztva Lali és Bendegúz fiára hagyta gyűjteményét, amelyet rövidítve Lirodalomnak és Birodalomnak hívtak. Lali másfélszeresére növelte saját könyveinek számát, és még szerzett 1200 kötetet. Bendegúz előbb vásárolt 2400 könyvet, majd ezt növelte nyolchatod-szorosára. A lirodalmi vagy a birodalmi könyvtárban lett több könyv?

8 A szomszédban házat építenek. 3,8 méter mély gödröt ástak, majd a gödör alján 8 méteres vasoszlopo-kat vertek be a földbe, 2,6 méter mélyre. Milyen magasan van a föld felett a vasoszlopok teteje?

Lali: 6 0 0 0 · 1 , 5 = 9 0 0 0 9 0 0 0 + 1 2 0 0 = 1 0 2 0 0

Tehát a birodalmi könyvtárban lett több könyv.

Bendegúz: 6 0 0 0 + 2 4 0 0 = 8 4 0 0

8 4 0 0 · 86

= 1 1 2 0 0

Az oszlopok alja –3,8 – 2,6 méter mélyen van, a teteje ennél 8 méterrel magasabban, tehát 8 – 3,8 – 2,6 = 1,6 m magasan a föld felett.

3 , 6 + 2 , 6 6 , 4

8 − 6 , 4 = 1 , 6 m

14. ÖSSZEFOGLALÁS

59

9 a) Milyen magas a 11 szintes ház, ha egy szint magassága a födémmel együtt 2,87 méter?

11 . 2,87 = 31,57 m

b) Milyen hosszú az ábrán látható kerítés, ha két oszlop távolsá-ga 2,34 méter?

28 . 2,34 = 65,52 m

c) A hinta 3,43 másodperc alatt lendül az egyik szélső helyzetből a másikba. 59 lendülés mennyi ideig tart?

3,43 . 59 = 202,37 másodperc, azaz kb. 3 perc és 22 másodperc.

d) Egy gyereklépés 0,56 méter. Hány kilométer 3456 lépés?

0,56 . 3456 = 1935,36 m = 1,93536 km ≈ 1,9 km

e) A varrógépen egy öltés 0,17 cm. Milyen hosszú 125 öltés?

0,17 . 125 = 21,25 cm

10 a) A szürke óriáskenguru 12 ugrása 126 méter. Körülbelül mekkora egy ugrása?

Kb. 10-11 m

b) Az erdei béka 3 szökkenése 4,2 méter. Körülbelül mekkora egy szökkenése?

Kb. 1,4 m

c) A szöcske 2 szökellése 4,2 méter. Körülbelül mekkora egy szökellése?

Kb. 2,1 m

d) A bolha körülbelül 2-3 mm nagyságú és saját testhosszának 200-szorosát képes ugrani. Mekkora egy ugrása?

400-600 mm, kb. 50 cm

11 Töltsd ki a táblázatot! 7 19

3 127

8 3

3

4 6

2

5 5 24

245

7 23

5

1

19

7

5 5 58

2

2

4

5

3

1010 33 19

5 5 3 19 19

5

0

2

47

51

527

24 537

1

19

1

245

38

5

24

2

3

03

2

10

192

15

75

35

14. ÖSSZEFOGLALÁS

60

12 A Magyarországon élő hódcsaládok száma körülbelül 137, az egyedek száma pedig körülbelül 492. A legtöbb hód a Szigetközben él: körülbelül 80 család, 304 egyed. A kérdésekre egy tizedesjegy pontossággal válaszolj!

a) Körülbelül hány hód alkot egy családot Magyarországon? 492137

≈ 3,591 ≈ 3,6

b) Körülbelül hány hód alkot egy családot a Szigetközben? 30480

= 3,8

c) A magyarországi hódok hányadrésze él a Szigetközben? 304492

≈ 0,617 ≈ 0,6

13 Egy rétisas eszmei értéke egymillió forint. Testmagassága 96 cm, kiterjeszett szárnyainak fesztávolsága akár 2,5 méter is lehet. Magyarország területén körülbelül 500 példány él, főként az ország déli részén. Békés megyében 80, Baranya megyében 30, a Hortobá-gyon 60 rétisas fészkel. Leginkább az ember veszélyezteti, a legtöbb rétisassal áramütés, mérgezés, illetve erdőirtás végez.

Döntsd el, hogy igaz vagy hamis!

a) A rétisas kiterjesztett szárnyainak fesztávolsága kisebb mint 2 910

méter. I

b) A Magyarországon fészkelő rétisasoknak több mint az 110

része a Hortobágyon él. I

c) Egy rétisas eszmei értéke 500 ezer forint. H

14 A fehér gólya testhossza nagyjából 1,1 m, magassága 1,2 m, szárny fesz távol sága 1,6 m. Hosszú lábain szeret a mocsaras, vízes területeken vadászni. Erős, 16 cm-es csőrével a kisebb pockokat, egereket, gyíkokat is megfogja. Egy gólyacsaládnak kezdetben napi 3,8-4,2 kg élelemre van szüksége. Európában igen elterjedt költö-zőmadár. Magyarországon több mint 10 000 fehérgólya él. Eszmei értéke százezer forint. a) A fehérgólya eszmei értéke hányad része a rétisas eszmei értékének?

egytizedeb) Írd fel a szövegben szereplő tizedes törteket közönséges tört alakban! 1110

; 1210

= 65

; 1610

= 85

; 3810

= 195

; 4210

= 215

c) Hány kg élelmet gyűjt a gólyacsalád 40, 50 illetve 60 nap alatt? 152–168 kg; 190–210 kg; illetve 228–252 kg

14. ÖSSZEFOGLALÁS

Hód

Rétisas

Fehér gólya

61

14. ÖSSZEFOGLALÁS

15 Néhány adatot beírtunk a táblázatba. Az üresen maradt helyeket töltsd ki a szöveg alapján!

Sokféle medve él a Földön. A fekete medve, a barna medve, a jegesmedve és az óriáspanda is medveféle.Barna medve is sokféle van, például az európai és a szibé-riai barna medve, a grizzly medve, stb. A medvék négy lábon járnak, de jellegzetes billegő mozgásuk van, mivel egyszerre lépnek az egy oldalon lévő lábaik kal. Az óriás panda ugyan-olyan magas, mint az Amerikában élő kistermetű fekete medve. Náluk kicsit nagyobb termetű, mintegy 10 cm-rel magasabb az európai barna medve. A legnagyobb termetű barna medve az amerikai kontinensen élő grizzly, amely még az európai barna medvénél is magasabb 20 cm-rel. A medvék néha két lábra állnak. Ilyenkor bőven az ember fölé magasodnak. Leghosszabb persze a grizzly, amelynek legnagyobb példányai 280 cm magasak is lehetnek, de egy átlagos méretű grizzly medve is 210 cm hosszú. Az óriáspanda csak a pandák között óriás, egyébként egy aranyos, foltos szőrmók, felállva mindössze 1,5 méteres. Tömege is csak negyede a grizzly tömegének. A fekete és a barna medve tömege 0,325, illetve 0,625-szerese a grizzly tömegének. A fekete medvéből él a legtöbb példány a Földön. A barna medvék száma csak negyede a fekete medvék számának, és a barna medvéknek mindössze hetede európai barna medve. A grizzly medvék és az óriás-pandák a kihalás szélén állnak. 450-szer annyi fekete medve van, mint grizzly, és az óriáspandák száma is csak ötnegyede a grizzlyk számának.

Magassága(cm)

Hossza(cm)

Tömege(kg)

Példányok száma

Európai barna medve 80 180 250 kb. 32 000

Fekete medve 70 160 130 900 000

Grizzly medve 100 210 400 2000

Óriáspanda 70 150 100 2500

(A táblázatban szereplő adatok körülbelüli értékek.)

Nézz utána, hogy hol él a fekete medve, a grizzly medve, illetve az óriáspanda!

Fekete medve – Amerika északi részén őshonos

Grizzly – Észak-Amerika nyugati része

Óriáspanda – Kína

Kutatómunka

62

Kinek lesz több pontja? Neked vagy a padtársadnak?

Alkossatok párokat, és minden feladatnál dobjatok egyet-egyet a dobókockátokkal! Helyette-sítsétek be a dobott számot és hasonlítsátok össze a kapott eredményeket! Akinek nagyobb az eredménye, az kap 1 pontot. Egyenlőség esetén mindketten kaptok egy-egy pontot. Az nyer, aki-nek több pontja lesz a 12 feladat után. Minden számolás előtt becsüljétek meg, hogy melyikőtök eredménye lesz nagyobb!

Példa: −0, ⋅ 1,5 = Ágota 5-öt dobott, Bertalan 3-at. Ágota: Szerintem az én számom kisebb lesz, a negatív előjel miatt. Ágota eredménye: −0,5 ⋅ 1,5 = −0,75. Bertalan eredménye: −0,3 ⋅ 1,5 = −0,45. −0,75 < −0,45.Valóban Ágota vesztett. Ha Ágota kisebbet dobott volna, mint Bertalan, akkor nyert volna.

Sorszám Feladat Sorszám Feladat

1IVIII

II = 2 : 0,1 =−

3 0,75 (4 ⋅ ) =− : 4 11101 =:2 10

5 0,123 ,2 =⋅ 60,12

100=

7 2,6 =− : 810

(− ) =:

93

0,5− =: 10 −1,043 =⋅

11

4 5= 12

225 =

54

Páros munka

14. ÖSSZEFOGLALÁS

63

1 Egy racionális szám és egy egész szám összege

A: mindig egész szám; B: mindig pozitív;

C: mindig racionális szám; D: mindig negatív.

2 Az osztálykiránduláson Péterék hétfőn hét egész kétharmad órát gyalogoltak, míg szerdán csak öt egész egynegyed órát. Mennyi idővel mentek többet hétfőn, mint szerdán?

A: 135 perc B: 145 perc C: 155 perc D: 165 perc

3 A színjátszó kör jelmezeihez 4 és fél méter hosszú kék szalagot találtunk. Minden jelmezhez 3

4 m szalag szükséges. Hány jelmezt tudunk elkészíteni?

A: 5 B: 6 C: 7 D: 8

4 Marci az edzés végén kosárra dob, és 48 alkalommal beletalál. Ez a dobások 2

3 része. Hány-

szor dobott Marci?

A: 32 B: 60 C: 64 D: 72

5 A felnőtt Gauss egy 34 szeletes csokitortát kapott szülinapjára a kollégáitól. Ott helyben meg

is ették a 7

17 részét, a többit hazavitte öt gyerekének. Hány szelet torta jut egy gyereknek, ha

mindegyik ugyanannyit kap?

A: 2 B: 3 C: 4 D: 6

6 Adél sütni szeretne, de sok gyereke van, úgyhogy nyolcszor annyi alapanyagot kever össze, mint amennyit a recept előír. A receptben 0,75 csésze lisztet és 0,25 csésze vajat írnak. Miből hány csésze alapanyagot vegyen Adél?

A: 4 csésze lisztet és 2 csésze vajat B: 6 csésze lisztet és 2 csésze vajat

C: 6 csésze lisztet és 1 csésze vajat, D: 8 csésze lisztet és 1 csésze vajat

7 Ha 19

0 1= , � , akkor 3

9= A: 3; B: 0,3; C: 0,3

.; D: 3,3.

8 Ha 19

0 1= , � , akkor 10

9=

A: 1; B: 0,9; C: 1,1

.; D: 1,2

..

9 Ha egy közönséges tört nevezője négy, akkor

A: a tizedes tört alakja biztosan egész szám; B: a tizedesvessző után biztosan 25 áll;

C: a tizedesvessző után biztosan 75 áll; D: a tizedesvessző után lehet, hogy 5 áll.

TESZTKÉRDÉSEK

14. ÖSSZEFOGLALÁS

64

1 Add meg kilométerben!

a) 7000 m = 7 km; 42 000 m = 42 km; 80 000 m = 80 km;

b) 3700 m = 3,7 km; 56 520 m = 56,52 km; 20 900 m = 20,9 km;

c) 900 m = 0,9 km; 970 m = 0,97 km; 80 m = 0,08 km;

d) 20 000 dm = 2 km; 21 000 dm = 2,1 km; 500 000 dm = 50 km;

e) 84 000 dm = 8,4 km; 64 310 dm = 6,431 km; 612 000 dm = 61,2 km;

f) 9000 dm = 0,9 km; 8300 dm = 0,83 km; 900 dm = 0,09 km;

g) 600 000 cm = 6 km; 7 900 000 cm = 79 km; 60 000 cm = 0,6 km;

h) 9 000 000 mm = 9 km; 82 200 000 mm = 82,2 km; 20 000 mm = 0,02 km.

2 Add meg méterben!

a) 6000 mm = 6 m; 6200 mm = 6,2 m; 2950 mm = 2,95 m;

b) 3800 cm = 38 m; 17 000 cm = 170 m; 640 cm = 6,4 m;

c) 510 dm = 51 m; 10 és fél dm = 1,05 m; 1020 dm = 102 m;

d) 73,9 dm = 7,39 m; 1,21 dm = 0,121 m; 3021,1 dm = 302,11 m;

e) 7 km = 7000 m; 130 km = 130 000 m; 8 és fél km = 8500 m;

h) 0,8 km = 800 m; 0,72 km = 720 m; 0,003 km = 3 m.

3 Milyen hosszú az a szalag, amelyből 1,15 m-t és 3,7 dm-t levágva 320 cm-es darab marad?

Milyen mértékegységet szeretnél használni? Decimétert.

Az adott hosszúságok ebben a mértékegységben:

1,15 m = 11,5 dm; 3,7 dm = 3,7 dm; 320 cm = 32 dm.

Vagyis a szalag hossza: 11,5 + 3,7 + 32 = 47,2 dm.

4 Egy kiránduláson az első óra alatt 5,2 km-t tettek meg a résztvevők, a második órában 4800 m-t, a har-madikban az első két óra alatt megtett út hosszának a felét. Milyen hosszú volt a háromórás kirándulás?

Milyen mértékegységet szeretnél használni?

Kilométert.

Az adott hosszúságok ebben a mértékegységben:

5,2 km = 5,2 km;

4800 m = 4,8 km;

A harmadik órában: (5,2 + 4,8) : 2 = 10 : 2 = 5 km.

Összesen: 5,2 + 4,8 + 5 = 15 km.

III. MÉRÉS ÉS MÉRTÉKEGYSÉGEK 1. A HOSSZÚSÁG MÉRÉSE

1

10 cm

cm

65

5 Add meg centiméterben!

a) 300 mm = 30 cm; 540 mm = 54 cm; 80 000 mm = 8000 cm;

b) 65 mm = 6,5 cm; 342 mm = 34,2 cm; 2001 mm = 200,1 cm;

c) 82 dm = 820 cm; 8,9 dm = 89 cm; 50,3 dm = 503 cm;

d) 7000 m = 700 000 cm; 190 m = 19 000 cm; 3002 m = 300 200 cm;

e) 300,2 m = 30 020 cm; 220,03 m = 22 003 cm; 1,008 m = 100,8 cm;

f) 210 km = 21 000 000 cm; 319 km = 31 900 000 cm; 1430 km = 143 000 000 cm;

g) 7,5 km = 750 000 cm; 74,3 km = 7 430 000 cm; 702,12 km = 70 212 000 cm.

6 Add meg milliméterben!

a) 70 cm = 700 mm; 670 cm = 6700 mm; 2000 cm = 20 000 mm;

b) 7,6 cm = 76 mm; 5,42 cm = 54,2 mm; 1,004 cm = 10,04 mm;

c) 12 dm = 1200 mm; 0,9 dm = 90 mm; 10,3 dm = 1030 mm;

d) 50 m = 50 000 mm; 15 m = 15 000 mm; 102 m = 102 000 mm;

e) 3,2 m = 3200 mm; 92,04 m = 92 040 mm; 3,004 m = 3004 mm;

f) 10 km = 10 000 000 mm; 18 km = 18 000 000 mm; 140 km = 140 000 000 mm;

g) 2,5 km = 2 500 000 mm; 24,1 km = 24 100 000 mm; 600,82 km = 600 820 000 mm.

7 Pótold 1 kilométerre!

a) 22 m + 978 m; 650 m + 350 m; 172 m + 828 m;

b) 3390 dm + 6610 dm; 2454 dm + 7546 dm; 307 dm + 9693 dm;

c) 80 000 cm + 20 000 cm; 32 250 cm + 67 750 cm; 2900 cm + 97 100 cm;

d) 765 m + 3 dm + 2347 dm; 263 m + 7 cm + 73 693 cm; 3240 dm + 6 cm + 67 594 cm.

8 Pótold a hiányzó mértékegységeket!

a) 36 m = 3600 cm; b) 25 m = 250 dm; c) 4,7 km = 4700 m;

d) 1

4 m = 250 mm; e) 2,3 dm = 0,23 m; f) 3

4 cm = 7,5 mm;

g) 360 mm = 3,6 dm; h) 16,3 dm = 1,63 m; i) 0,45 km = 450 m.

1

10

1. A HOSSZÚSÁG MÉRÉSE

cm

cm

66

1 Add meg a hiányzó mérőszámokat!

54 dkg = 540 g = 0,54 kg = 0,00054 t; 600 000 g = 60 000 dkg = 600 kg;

0,67 kg = 67 dkg = 670 g = 0,00067 t; 0,05 t = 0,5 q = 50 kg = 5000 dkg = 50 000 g.

2 A táblázat soraiban azonos tömeget szeretnénk beírni az első sorban lévő mértékegységgel kifejezve. Töltsd ki a hiányzó részeket!

mg g dkg kg t

250 000 250 25 0,25 0,000 25

560 000 560 56 0,56 0,000 56

20 000 000 20 000 2000 20 0,02

2 300 000 000 2 300 000 230 000 2300 2,3

500 000 000 500 000 50 000 500 0,5

9 870 000 9870 987 9,87 0,009 87

2 000 000 2000 200 2 0,002

3 Becsüld meg a matematika-felszerelésed tömegét! Méréssel állapítsd meg, hogy mennyit tévedtél!

Becslés: 1,1 kg. A mérés eredménye: A könyv 466 g, a munkafüzet 327 g, de a tollak, ceruzák, vonalzók

tömege változó módon alakítja e két szám összegét. Tévedés: A becslés és a mérés különbsége.

4 Tippeld meg, hányszorosára nőtt a tömeged a születésed óta! Kérdezd meg a szüleidtől, hogy hány grammal születtél, és mérd meg magad az otthoni mérlegen, így ellenőrizd a becslésedet!

Tipp: pl.: 10-szeresére. Születési tömegem: pl.: 3500 g. Jelenlegi tömegem: pl.: 39 kg.

Ennyiszeresére nőttem: 39 kg : 3500 g = 39 000 g : 3500 g ≈ 11,14.

5 Bori receptfüzetében a következőket olvashatjuk:Csokis–diós keksz: Egy tálban 24 kg vajat habosra verünk, beleteszünk 36 dkg kristálycukrot és 1 csomag vaníliás cukrot, majd tovább verjük, amíg összeolvad, ezután hozzáadunk két tojást. Egy másik tálban összekeverünk 42 dkg lisztet, 1 teáskanál sót és egy zacskó sütőport, ezután folyamatosan adagolva bele-keverjük az első tálba. Végül belekeverünk 30 g étcsokoládét és 24 dkg durvára vágott diót. Sütőpapíron, 180 fokon, kb. 10 perc alatt kisütjük, még folyósan vesszük ki a sütőből.

A receptet sajnos Bori hibásan másolta le. Keresd meg a két hibás mértékegységet, és javítsd ki!

24 kg vaj helyett 24 dkg vaj; 30 g étcsokoládé helyett 30 dkg étcsokoládé.

Mekkora tömegű sütemény készül a recept alapján, ha egy átlagos tojás 65 grammos, egy csomag vaníliás cukor 10 grammos (a só és a sütőpor elhanyagolható)?

vaj: 24 dkg; cukor: 36 dkg; vaníliás cukor: 1 dkg; tojás: 6,5 + 6,5 = 13 dkg; liszt: 42 dkg;

étcsokoládé: 30 dkg; dió: 24 dkg; összesen: 24 + 36 + 1 + 13 + 42 + 30 + 24 = 170 dkg = 1,7 kg.

2. TESTEK TÖMEGÉNEK MÉRÉSE

67

2. TESTEK TÖMEGÉNEK MÉRÉSE

6 Egy emelődaru teherbírása 4 tonna. a) Fel tud-e emelni egyszerre 3 db 150 kg-os és 4 db 400 kg-os betontömböt? Igen.

b) Legfeljebb hány darabot tud egyszerre felemelni a ki-sebb méretű tömbből?26-ot.

7 Ha egy tégla tömege 1 kg meg fél tégla, akkor két tégla hánykilogramm?

Ha egy tégla tömege egy féltégla meg 1 kg,akkor fél tégla tömege 1 kg. Két tégla 4 kilogramm.

8 Egy lázcsillapító tabletta tömege 0,5 g. Egy dobozban 20 tabletta van, egy kartonban 50 doboz, és egy raklapon 1500 karton fér el. Hány tonna gyógyszert szállít az a kami-on, amelynek a csomagtartójába 12 raklapnyi áru fér?Egy dobozban lévő tabletták tömege: 20 ⋅ 0,5 = 10 g Egy kartonban lévő tabletták tömege: 50 ⋅ 10 = 500 g = 0,5 kgEgy raklapon lévő tabletták tömege: 1500 ⋅ 0,5 kg = 750 kg = 0,75 t 12 raklapon lévő tabletták tömege: 12 ⋅ 0,75 = 9 t

9 Egy meggybefőtt tömege 680 g. Mennyi ebből a meggy tömege, ha az 20 grammal több, mint az üvegé?Ha az üveg tömege 20 g-mal kevesebb lenne, akkor a befőtt tömege 660 g lenne, és a meggy és az üveg tömege ugyanannyi lenne, tehát az üveg és a meggy tömege egyaránt 330 g; vagyis 330 g a meggy tömege.

4 5 0 + 1 6 0 0 2 0 5 0 4 · 4 0 0 = 1 6 0 0

4 0 0 0 : 1 5 0 = 2 6 1 0 0 0 1 0 0

3 · 1 5 0 = 4 5 0

68

1 Mennyi az idő? Hogyan válaszolnál a feltett kérdésre, ha ezt mutatja az óra?

1:10 5:55 8:10 4:15 Egy óra múlt Hat óra lesz Tíz perccel Negyed öt. 10 perccel. 5 perc múlva. múlt nyolc.

2 Kösd össze az azonos időpontokat mutató órákat!

3 Rajzold be a mutatókat!

3:15 16:40 19:28 23:50 0:30

4 Szombaton Marci két osztálytársával moziba ment. A délelőtti 10 órás előadásra vettek jegyet. A jegyek megvásárlása után látták a plakáton, hogy a film 96 perces lesz. A film előtt 10 perc reklám és ajánló szokott lenni. A film végén Marci édesapja kocsival hazaviszi a fiúkat. Mikorra hív-ja Marci az édesapját a mozihoz? Fogalmazd meg Marci rövid üzenetét! 10 perc + 96 perc = 1 óra 46 perc. 10 óra után 1 óra 46 perccel 11 óra 46 perc van.Apa! A moziból kb. ¾ 12-kor jövünk ki, akkorra gyere oda! Marci

5 Add meg az órán látható időpontok közti különbséget!Lehet például 10 óra 24 perc − 7 óra 42 perc = 2 óra 42 perc.Kaphatsz más eredményt is délelőtt 10:24-tőlmásnap reggel 7:42-ig.

3. AZ IDÔ MÉRÉSE

69

6 Bár nem számolunk vele mértékegységként, egy évben 4 évszakot különítünk el, amelyek 3–3 hónapból állnak. Attilának olyan órája van, amely-nek számlapjára fel vannak festve az évszakok. A képen Attila órájának számlapját láthatjuk.

a) Hány percnyi az az időtartam, amikor mindkét mutató téli hónapra mutat?

3 ⋅ 15 = 45 perc

b) Hány órakor mondható el, hogy a nap 512

része

még hátravan? 5

12 1024

=

tehát 10 órával éjfél előtt, azaz 14 órakor, vagyis délután kettőkor.

7 Anya farsangi fánkot süt. 1,5 perc alatt sül ki 4 darab a ser-penyőben, és az éhes fiai mindig megesznek belőle egyet. Meny-nyi idő után mondhatja, hogy van 12 fánk a tálban?

8 A család advent alatt minden nap meggyújtja 10 percre a gyertyákat, amik eredetileg 25 cm hosszúak, és egy perc alatt 1 mm-rel lesz-nek rövidebbek. Az első héten egy gyertya ég, a másodikon kettő, a harmadi-kon három. Milyen hosszú a negyedik hét első napján, a negyedik gyertya meggyújtásakor az első gyertya? Az első gyertya addigra 21 napon keresztül napi 10 percet ég, ezalatt napi 1 cm-rel rövidül. Összesen 21 cm-rel lesz rövi-debb, azaz 4 cm hosszú lesz. (Ezzel már csak 4 napot bír ki, tehát az utolsó 3 napra új gyertyát kell venni.)

9 Hány perc az egy óra

a) 25

része? 24 perc; b) 34

része? 45 perc; c) 53

része? 100 perc; d) 1112

része? 55 perc.

10 Hány óra?

a) 0,4 nap = 9,6 óra; b) 75 perc = 1,25 óra; c) 3600 s = 1 óra; d) 2,5 nap = 60 óra;

e) 0,5 hét = 84 óra; f) 390 perc = 6,5 óra; g) 3 nap = 72 óra; h) 24 perc = 0,4 óra.

11 Végezd el a következő műveleteket!a) 3 óra 44 perc 22 másodperc b) 6 óra 37 perc 13 másodperc c) 18 óra 45 perc + 11 óra 23 perc 56 másodperc + 1 óra 52 perc 7 másodperc − 9 óra 30 perc 4 másodperc

15 óra 8 perc 18 másodperc 8 óra 29 perc 20 másodperc 9 óra 14 perc 56 másodperc

3. AZ IDÔ MÉRÉSE

Ha másfél perc alatt 3 fánk marad a tányéron, akkor ahhoz, hogy 12 fánk legyen, 4-szer kell kisütnie 4 fánkot.4-szer 1,5 perc az 6 perc, tehát 6 perc után lesz 12 fánk.

70

1 Írd be a hiányzó számokat!

a) 80 mm = 8 cm; b) 3 m = 30 dm; c) 9 km = 900 000 cm;

d) 1500 mm = 15 dm; e) 900 dm = 90 m; f) 30 000 cm = 0,3 km;

g) 82 mm = 8,2 cm; h) 51 dm = 5,1 m; i) 480 m = 0,48 km;

j) 770 mm = 0,77 m; k) 400 mm = 40 cm; l) 63 km = 63 000 m.


a) 56 dkg = 560 g; b) 2 kg = 200 dkg; c) 3 t = 3000 kg;

d) 430 g = 43 dkg; e) 5000 dkg = 50 kg; f) 300 kg = 3 q;

g) 78 dkg = 0,78 kg; h) 45 kg = 0,45 q; i) 450 kg = 0,45 t;

j) 870 g = 0,87 kg; k) 5400 dkg = 0,054 t; l) 600 kg = 0,6 t.


a) 56 nap = 1344 h; b) 2 hét = 336 h; c) 3 h = 180 perc;

d) 11 perc = 660 s; e) 2 óra = 7200 s; f) 30 perc = 0,5 h.

4 Egy 1375 m hosszú alagúton halad át a 125 m hosszú vasúti szerelvény. Hány percig tart a teljes sze-relvény áthaladása, ha másodpercenként 25 métert tesz meg?

Válasz: (1375 + 125) : 25 = 1500 : 25 = 60 s = 1 percig tart.

5 Mennyi időt töltöttél az iskolában, ha 7:48-kor érkeztél és 13:12-kor indultál haza?

Az iskolában töltött idő: 5 órát és 24 percet.

6 Berta 1,2 km-re, barátnője Jázmin pedig 1,5 km-re lakik az iskolától. Berta és Jázmin 980 méterre lakik egymástól. Egyik nap Berta elment az iskolá-ba, majd hazament, aztán meglátogatta barátnőjét és hazasétált. Egy másik nap Berta az iskolából ha-zakísérte a barátnőjét, kicsit beszélgettek, aztán ő is hazament. Melyik alkalommal és hány méterrel ment többet Berta?

Egyik nap: 1200 + 1200 + 980 + 980 = 4360 m.

Másik nap: 1200 + 1500 + 980 = 3680 m.

Válasz: Az első alkalommal. 680 m-rel.

4. ÖSSZEFOGLALÁS

71

7 Csongi hetente egyszer elmegy úszni. A medence hossza 33 méter. Minden alkalommal legalább 15, de legfeljebb 20 medence- hosszt úszik. Hány kilométert úszik Csongi egy év alatt?

Legkevesebb: 25,74 km.

Legtöbb: 34,32 km.

8 Egy lift ajtaján a következő szöveg látható: 4 személy (max. 400 kg) részére.A liftre várakozó Antal 124 kilogrammos. Megérkezik Béla és két barátja. Hármójuk közül Béla a legnehezebb, ő 92 kilogrammos. Beszállhatnak mind a négyen a liftbe?Igen, mert 124 + 92 + 92 + 92 = 400.

9 Hány darab konzervet tartalmazhat az az élelmiszercsomag, amelybe csak 25 dkg-os és 375 g-os dobozokat raktunk, összesen 2 kg tömegben? (Mindegyikből van legalább egy darab a csomagban.)A 25 dkg-osból 5 és a 375 g-osból 2 db, vagy a 25 dkg-osból 2, a 375 g-osból 4 db konzervet tartalmaz-hat a csomag.

10 Írj az üresen hagyott helyekre nullától különböző számokat, melyek igazzá teszik az egyenlőséget!

a) 2 m = 14 dm + 60 cm; b) 3 kg = 1500 g + 50 dkg;

c) 4 l = 0,01 hl + 30 dl; d) 5 nap = 1440 perc + 96 óra.

11 A fazekak aljáról leolvasható az űrmértékük. Van egy 6,2 literes, 4 literes és 2,8 literes fazekunk. Hogyan lehetne a nagy fazékbaa) 12 deciliter; b) 22 deciliter; c) 56 deciliter vizet tölteni?

a) A megtöltött 4 literes fazékból megtöltjük a legkisebbet, a maradékot a nagyba öntjük.

b) A megtöltött nagy fazékból megtöltjük a 4 litereset.

c) A kis fazekat kétszer megtöltjük, és a nagyba öntjük a vizet.

12 Egy négyszög három oldalának hosszúsága 50 mm, 7 cm, 1,6 dm. Tudjuk, hogy a negyedik oldal hosz-szúsága egész számú centiméter. Add meg a negyedik oldal hosszát úgy, hogy a hatszög kerülete a lehető legnagyobb legyen!A negyedik oldal hossza: 15 cm.Indoklás: A három megadott oldal hosszának összegénél rövidebb lesz a negyedik oldal, vagyis az 5 + 7 + 16 cm-nél.

4. ÖSSZEFOGLALÁS

5 2 ⋅ 1 5 ⋅ 3 3 = 2 5 7 4 0

5 2 ⋅ 2 0 ⋅ 3 3 = 3 4 3 2 0

72

1 Lerajzoltunk néhány nyomtatott nagybetűt.

APEOCDFRTLZGTalálj ki legalább két olyan tulajdonságot, ami alapján két-két csoportba tudod sorolni ezeket a betűket! Írd le röviden, hogy mi alapján végzed a csoportosítást, aztán sorold fel a kialakított csoportok tagjait! Először ez alapján csoportosítok: magánhangzó, mássalhangzó Ez alapján az egyik csoport: A, E, O; a másik csoport: P, C, D, F, R, T, L, Z, G.Ezután a másik tulajdonság, ami alapján elvégzem a csoportosítást: van benne görbe vonal, nincs benne görbe vonal. Ez alapján az egyik csoport: P, O, C, D, R, G; a másik csoport: A, E, F, T, L, Z.

2 Figyeld meg a leírt szavakat! Rendezd őket két csoportba, két különböző színű aláhúzással!

rét iskola fal nap fontos barack lap tanuló

Mi alapján csoportosítottál? Egy szótagú szavak és több szótagú szavak.

3 Figyeld meg a hónapok nevét! A szavak végződése alapján Pongrác két hatos csoportba, Szervác egy négyes és egy nyolcas csoportba, Bonifác egy hármas és egy kilences csoportba rendezte a hónapokat. Melyik tanuló mit figyelhetett? Végezd el te is a háromféle csoportosítást!

Pongrác ezt figyelhette: Szervác ezt figyelhette: Bonifác ezt figyelhette:

egyikcsoport:

„r” végűek: január, február, szeptem-ber, október, november, december

„ber” végződésű: szeptember, október, november, december

„ember” végződésű: szeptember, november, december

másikcsoport:

„s” végűek: március, április, május, június, július, augusztus

nem „ber” végződésű: január, február, március, április, május,

június, július, augusztus

nem „ember” végződésű: január, február, március, április, május,

június, július, augusztus, október

Járj utána, hogy a feladat három szereplője melyik hónaphoz kötődik! Kik ők?

4 Hazánk térképéről olvastuk le a következő neveket: Bükk, Balaton, Duna, Mátra, Tisza, Börzsöny, Velencei-tó, Hernád, Sajó, Bakony, Mecsek.Rendezd két csoportba a felsorolt földrajzi neveket!

I. Balaton, Duna, Tisza, Velencei-tó, Hernád, Sajó

II. Bükk, Mátra, Börzsöny, Bakony, Mecsek

Rendezd három csoportba!

I. Balaton, Velencei-tó II. Duna, Tisza, Hernád, Sajó

III. Bükk, Mátra, Börzsöny, Bakony, Mecsek

Írd le, hogy mi alapján alakítottad ki a csoportokat!

Először: Víz és nem víz.

Másodszor: Tavak, folyóvizek és hegységek.

IV. BEVEZETÉS A GEOMETRIÁBA1. CSOPORTOSÍTÁSOK

73

5 Sorolj fel olyan tárgyakat, amelyeket az asztalra helyezve

a) könnyen odébb guríthatsz; Labda, földgömb, főtt tojás, alma, körte stb.

b) nyugalomban vannak (nehéz odébb gurítani őket)! Rubik-kocka, cipős doboz, könyv, szekrény stb.

2. TEST, FELÜLET, VONAL, PONT

1 Kösd össze, hogy melyik mit szemléltet!

pontvonalfelülettest

2 Rajzolj csak egy vonallal, − a ceruzád felemelése nélkül − egy ábrát!

3 Melyek azok a kézzel írt nagybetűk, amelyeket egy vonallal (a ceruzánk felemelése nélkül) lerajzolha-tunk?

C D E G H I J L M N O S U V W Z4 Rajzolj egy egyenest, és jelölj rajta három különböző pontot! Hány szakasz és hány félegyenes látható így az ábrádon?

Szakaszok száma: 2 Félegyenesek száma: 2

5 Vonalaik alapján csoportosítsd a nyomtatott mássalhangzókat!Csak egyenes vonalakból áll: F, H, K, L, M, N, T, V, W, X, Y, ZCsak görbe vonalakból áll: C, SEgyenes és görbe vonalakat egyaránt tartalmaz: B, D, G, J, P, Q, R

6 Az A, B és C különböző pontok egy egyenesre illeszkednek. AB = 3 cm, BC = 3 cm. Rajzolj!

Mekkora az AC szakasz hossza? 6 cm

1. CSOPORTOSÍTÁSOK

74

7 A P, Q és R különböző pontok egy egyenesre illeszkednek. PR = 10 cm, PQ = 5 cm. Rajzolj!

Mekkora lehet a QR szakasz hossza? 5 vagy 15 cm

Hány lehetőséget találtál?

8 Az A, B, C és D egy egyenesre illeszkedő négy különböző pont. Tudjuk, hogy AB = 2 cm, és AB = BC. Azt is tudjuk, hogy C a BD szakaszt pontosan két azonos hosszúságú szakaszra vágja. Milyen hosszú az AD szakasz?

Az AD szakasz hossza:

9 Rajzolj két vonalat, amely a Dunának és a Tiszánaka hazánkba eső darabját szemlélteti!

10 Rajzolj egy vonalat, amely a Balaton határvonalát szemlélteti!

3. TESTEK ÉPÍTÉSE

1 Az ábrán egy test élvázát látod. A csúcsokat a szokásos módon nagybetűkkel jelöltük. A következő felsorolásban húzd alá pirossal azokat a betűcsoportokat, amelyek élei a testnek, keretezd be zölddel, amelyek lapjai a testnek!

AC EF BDF BCFE

CD DEF ACE

BF ABC DB ACFD

2 Két dominó összeragasztásával milyen nyomtatott nagybetűt tudsz készíteni? Rajzold le az így kapott testeket!

3 Sorold fel azokat a nyomtatott nagybetűket, amelyeket három dominó összeragasztásával kaphatsz!

F, H, K, N, Z, Y

2. TEST, FELÜLET, VONAL, PONT

A

B

C

D

E

F

75


4 Három egyforma dobókockából építs különböző tes-teket! Ügyelj arra, hogy az összeillesztésnél két lap fedje egymást! Hány különböző alakú testet tudtál építeni? Rajzold le az élvázukat! Segítségként a négyzethálóra le-rajzoltuk egy kocka élvázát.

5 Hányféle testet tudsz összeillesz-teni három azonos méretű gyufásdo-bozból? Ügyelj arra, hogy összeillesz-tésnél két lap fedje egymást! Rajzold le néhánynak az élvázát! Segítségként a négyzethálóra rajzoltuk egy doboz élvázát.

A testek száma: 7.

6 Melyik szabásmintából nem lehetne testet összeragasztani? (Az ábrákon nem jelöltük a ragasztófüle-ket. Ha valóban el szeretnéd készíteni a testet, akkor azokat hozzá kell tervezned, vagy ragasztószalagot kell használnod az összeállításkor.)

a) b) c) d)

Nem lehet egy test szabásmintája: d)

7 Rajzolj egy olyan testet, amelynek van két különböző méretű négyzetlapja! Jelöld a csúcsait nagybetűkkel!

A két négyzetlap: ABCD és EFGH

8 Hurkapálcából egy jó ragasztó segítségével változatos alakú testek élvázát készítheted el. Tervezz, és rajzolj a füzetedbe két 6 cm-es, két 8 cm-es és két 10 cm-es hur-kapálcadarab felhasználásával testeket! Egynek már elkészítettük az ábráját!Például:

6

6

88

10

10

76

9 Azonos méretű kockákból építkezünk úgy, hogy teljes lap, vagy teljes él mentén összeragasztható két kocka. Ezeket az építményeket elölről és oldalról mutatja az ábra. Legalább és legfeljebb hány kockából építhetők fel ezek az alakzatok?

a) b) c)

Legalább 4 darab, Legalább 4 darab, Legalább 3 darab,

legfeljebb 6 darab. legfeljebb 8 darab. legfeljebb 5 darab.

1 Színezéssel változtasd meg az ábrát!

2 A látható és a nem látható élek megváltoztatásával rajzold meg az első képen látható testet két válto-zatban!

3 Színezd ki két, három, négy színnel! Figyelj arra, hogy szép, érdekes képeket kapj!


4. TESTEK SZEMLÉLTETÉSE

77


4 Huszonhét azonos méretű kiskockából egy nagy kockát raktunk ki. Ezt látod az ábrán.a) A felső sor középső kiskockáját elvettük. Módosítsd az első ábrát! Rajzold be a látható éleket!b) A jobb oldali lap középső kiskockáját elvettük! Módosítsd a második ábrát!c) Minden lap középső kiskockája hiányzik! Módosítsd a harmadik ábrát!

a) b) c)

5 Rajzold le a huszonhét kiskockából épített nagy kockát úgy, hogy az egyik sarka hiányzik!Az előző feladat ábrája segít a rajz elkészítésében.

6 Képzeld el, hogy egy kocka alakú doboz felső lapja egy könnyen nyújtható gumilap. Ezt a lapot a közepén egy kicsit benyomjuk a ceruzánk hegyével. Rajzold le az így kapott testet!

7 A képen látható testet egy négyzetlap és négy háromszög határolja. Rajzold meg a nem látható éleket!

8 Az ábrán látható furcsa háromszög neve Penrose-háromszög. Ennek mintájára tervezz egy négyszöget is! Mivel nem könnyű a rajz elkészítése, ezért tekintsd ezt a feladatot szorgalminak.

Penrose-háromszög Escher egyik grafikájának vázlata

78

9 Fejezd be az ábrát úgy, hogy három darab kockát lássunk rajta!Ragasztás nélkül hány dobókockából tudnád felépíteni az alakzatot?

A dobókockák száma: 4 darab.Rajzolj olyan ábrát, ahol az építmény minden kockáját látjuk!

1 A körülötted lévő tárgyakat csoportosítsd a következő szempont szerint!

Csak síklapok határolják: Rubik-kocka, cipős doboz, könyv, lépcső, aktatáska, tábla, szivacs, szekrény…

Nincs síklapja: labda, földgömb, ruha, szemüveg, autó…

Nem csak síklap határolja: ceruza, tolltartó, műanyag flakon, kupak…

2 A következő szakaszok egy-egy test élét szemléltetik. Mérd meg, és add meg a hosszukat a megadott mér-tékegységben!

A

B

P

Q

c

AB = 2,9 cm; c = 26 mm; PQ = 0,48 dm.

3 Az ábrákon egy-egy testet látunk különböző nézőpontból. Mindkét ábrán bejelöltük az a, b és c éleket. Mérd meg azoknak az éleknek a hosszát, amelyeket szerinted az ábra valódi hosszban mutathat! Eredményeidet írd a megfelelő ábra alá!

a = 2 cm, c = 1 cm c = 1 cm

4 Vágjunk szét egy kockát két szomszédos lapjának felezővonala mentén, az ábrán látható módon. Hány csúcsa, éle, lapja van a keletkezett testeknek?

A kisebb test csúcsainak száma: 6 db,

éleinek száma: 9 db, lapjainak száma: 5 db.

A nagyobb test csúcsainak száma: 10 db,

éleinek száma: 15 db, lapjainak száma: 7 db.


ab

c

a b

c

ab

c

a b

c

5. TESTEK GEOMETRIAI JELLEMZÔI

79

5. TESTEK GEOMETRIAI JELLEMZÔI

5 A képen látható testet milyen síkidomokból raknád össze? Rajzold le ezeket! Tervezz úgy, hogy csak háromféle síkidomot kelljen rajzolnod!

6 Az ábrán látható testnek 12 csúcsa van. Ezek közül kiválasztottunk néhányat, és kettőt-kettőt színes sza-kasszal összekötöttünk. Csoportosítsd ezeket a szakaszokat!

Élek:

KJ, IH, BC, FL, DJ

Lapátlók:

AH, CH

Testátlók:

EH, FH

7 Színezd ki az 5-ször 5-ös kocka hálózatát fekete-fehérre úgy, hogy összeillesztés után a kocka lapjai sakktáblaszerű színezésűek legyenek! A sarkokban mindenütt fekete szín legyen. Ezt a nagy kockát 125 darab kiskockából megépíthetjük. Egy kiskocka minden lapja fehér vagy fekete.

a) Legkevesebb hány fekete kockára lesz szükségünk? 50

b) Legfeljebb hány fekete kockánk lehet? 77

c) Ha belül is ragaszkodunk a sakktáblaszerű illeszkedéshez, akkor melyik színű kiskockából mennyire lesz szükségünk?

Fekete kockák száma: 63 darab.

Fehér kockák száma: 62 darab.

8 Döntsd el, hogy igazak-e a következő állítások!

a) Van olyan síklapokkal határolt test, amelyiknek nincs lapátlója. c

b) Van olyan síklapokkal határolt test, amelyiknek nincs testátlója. c

c) Vagy lapátlója, vagy testátlója mindegyik síklapokkal határolt testnek van. c

d) Ha egy síklapokkal határolt testnek van testátlója, akkor van lapátlója is. c

I

I

H

H

80

1 A képen látható három egyenes közül az összes lehetséges módon válassz kettőt! Mindegyik esetben döntsd el, hogy a két egyenes párhuzamos-e! Vonalzóval ellenőrizd az állításaidat!

a

b

c

2 A képen látható három egyenes közül az összes lehetséges módon válassz kettőt! Mindegyik esetben döntsd el, hogy a két egyenes merőleges-e! Vonalzóval ellenőrizd az állításaidat!

ab

c

3 Az ábrán látható e egyenesre állíts merőlegest a vonalzóid segítségével a megadott pontokon át!

4 Az ábrán látható e egyenessel rajzolj párhuza-mosokat a vonalzóid segítségével a megadott pon-tokon át!

5 Egy vonalas füzetlap darabját látod. Egészítsd ki úgy, hogy négyzethálós legyen!

a ∥ ca ∦ b, c ∦ b

a ⟘ b,b ⟘ c, a ⟘ c

6. PÁRHUZAMOS EGYENESEK, MERÔLEGES EGYENESEK

81

6 A Komárom felett tartózkodó repülő délnek, a Nagyatád fölötti pedig északnak tart. Ha tart-ják az irányt, akkor mindkét repülő át fog repülni a Balaton fölött?Igen, mindkét repülő átfog repülni a Balaton fölött.

7 A képen látható két piros vonal közül melyiket tartod egyenesnek? Vonalzóval ellenőrizd az állításodat!

Mindkét piros vonal egyenes.

8 Egy írólapot félbe hajtunk, majd ismét félbe, és ismét csak félbe. Minden hajtásvonal párhuzamos lett egymással. Hány párhuzamos hajtásvonal ke-letkezett így? Rajzold le! Az egyszerre keletkezett vonalakat színezd azonos színnel és sorszámozd!

Az így keletkezett párhuzamos hajtásvonalak száma: 7

9 Az ábrán egy vízszintes síkra rajzolt két me-rőleges egyenest szemléltetünk. Jelöld a merőle-gességet! Rajzolj egy harmadik egyenest, amely mindkét meg adottra merőleges!

7. TÉGLALAP, NÉGYZET

1 Rajzolj két olyan egyenest, amelyek párhuza-mosak az a egyenessel! Rajzolj egy olyat is, ame-lyik merőleges az a egyenesre!

Nevezd el az új egyeneseket, és csoportosítsd őket párosával!

Merőleges párok: a és d, b és d, c és d Párhuzamos párok: a és b, a és c, b és c

6. PÁRHUZAMOS EGYENESEK, MERÔLEGES EGYENESEK

82

2 Igazak-e a következő állítások?

a) Nincs olyan téglalap, amelyik négyzet. cb) Nincs olyan négyzet, amelyik téglalap. cc) Minden téglalap kettévágható két négyzetre. cd) Két négyzetet összeilleszthetünk egy téglalappá. ce) Van olyan téglalap, amelyik kettévágható két négyzetre. cf) Két azonos méretű téglalapból összeilleszthetünk egy négyzetet. cg) Egy négyzet szétvágható négy azonos méretű téglalapra. ch) Egy négyzet szétvágható négy különböző méretű téglalapra. c

3 A térképvázlaton a Balaton környékét láthatjuk. Bejelöl-tük Tapolcát és Veszprémet. Rajzolj a Balatonra két olyan ha-jót, amelyek a két várossal együtt egy téglalap csúcsaiban vannak!

4 A következő mondatokban a kihagyott helyre a négyzet szót beírva igaz állítást kapsz. Van, ahol a tég-lalap szót beírva is igaz lesz az állítás! Töltsd ki a hiányzó részeket úgy, hogy mindegyik igaz állítás legyen, és a lehető legtöbb helyre a téglalap szót írd!

A téglalap négy oldalú sokszög. A téglalap négy csúcsú sokszög. A téglalap két

átlóval rendelkező sokszög. A téglalap szemközti oldalai párhuzamosak. A téglalap két

átlója egyenlő hosszúságú. A négyzet két átlója merőleges egymásra. A téglalap szemben

fekvő oldalai egyenlő hosszúak. A téglalap szomszédos oldalai merőlegesek egymásra.

A négyzet négy oldala azonos hosszúságú. A téglalap két átlója felezi egymást. Hány helyre írtad a téglalap és hány helyre a négyzet szót?

A téglalap szót 8 helyre, a négyzet szót 2 helyre írtam.

5 Egészítsd ki az egyszínű rajzokat úgy, hogy téglalapok legyenek!

Melyik ábrát tudnád többféleképpen is befejezni? A kéket.

Melyik ábrát tudnád úgy befejezni, hogy négyzet legyen? A kéket.

H

H

H

H

I

H

I

I


83

6 A térképvázlaton az u egyenes egy autóutat, az F pont egy fa helyét mutatja a mezőn. A T pontban egy teherautó tartózkodik. Az út melletti kék folt egy tavat szemléltet.

T

F

Rajzold be annak az A-val jelölt autónak a helyét az úton, amelyhez tudsz rajzolni a tavon egy H-val jelölt hajót úgy, hogy az ATFH téglalap legyen!Színezd be az útnak azt a darabját, ahol a fenti feltételek-nek megfelelően tartózkodhat az autó!

7 a) Az ábra vízszintes és függőleges vonalai hány négyzetet határoznak meg?

A négyzetek száma: 9 + 4 + 1 = 14

b) Az ábra vízszintes és függőleges vonalai hány téglalapot határoznak meg?

A téglalapok száma: 14 + 12 + 6 + 4 = 36

8 Az ábrán látható pontok, hány négyzetet határoznak meg?

A négyzetek száma: 9 + 4 + 1 + 4 + 2 = 20

9 Hány darab gyufaszálat kell elvenni, hogy 3 darab négyzetet láthassunk?

Az elvett gyufaszálak száma: 3.

(Lehet több is, de kevesebb nem.)

10 Vegyél el 4 darab gyufaszálat úgy, hogy 4 darab négyzet maradjon!

Más megoldás is lehetséges.

u

H lehetséges helye

A lehetséges helye

9 db 4 db 1 db

12 db

4 db

6 db


84

11 Rakj ki a 8 darab 1 cm oldalhosszúságú, a 2 darab 2 cm oldalhosszúságú és az 1 darab 3 cm oldalhosz-szúságú négyzetlapból egy nagy négyzetet! Megoldásodat rajzold a négyzethálóra! Másféle elrendezés is lehet.

12 Az ábrán látható alakzatot 16 gyufaszálból raktuk ki. Két gyufaszál áthelyezésével alakíts ki két négyzetet! Más megoldás is lehet.

8. PÁRHUZAMOS ÉS MERÔLEGES SÍKOK

1 Az ábrán látható test hat négyzetből készült. A csúcsai segítségével adj meg olyan síkokat, amelyek merőlegesek egymásra!

A B

CD

E F

GH

Merőleges síkok: Bármely két szomszédos lap megfelelő: ABCD és ABFE, ABCD és BCGF, ABCD és CDHG, ABCD és DAEH, EFGH és ABFE, EFGH és BCGF, EFGH és CDHG, EFGH és DAEH, ABFE és DAEH, ABFE és BCGF, CDHG és DAEH, CDHG és BCGF.Néhány további lehetőség: ABGH és EFCD, BCHE és ADGF, BDHF és ACGE, ABCD és BDHF, …

2 Szeletelt kenyeret vásároltunk. Megszámoltuk, 18 szelet volt a zacskóban. Hány darab párhuzamos sík mentén történt a szeletelés?

A párhuzamos síkok száma: 17.


85

3 Marci 8. születésnapjára egy 8 szeletes, kör alakú tortát kapott. Hány vágással darabolták ezt fel a cuk-rászdában, ha minden vágás áthaladt a kör közepén és minden darab azonos méretű lett?

A vágások száma: 4.

Lesznek-e merőleges síkok a vágás során? Igen.Rajzold le a felszeletelt torta tetejét!

4 Marci a 10. születésnapjára már egy 10 szeletes, kör alakú tortát kapott. Hány vágással darabolták ezt fel a cukrászdában, ha most is minden vágás áthaladt a kör közepén és minden darab azonos méretű lett?


Lesznek-e ezen a tortán merőleges síkok a vágás során? Nem.Rajzold le ennek a felszeletelt tortának is a tetejét!

5 A főtt tojást szeletelő szerkezet nyolc párhuzamos sík men-tén vágta fel a tojást. A tojás sárgáján csak három sík haladt át. Hány fehér és hány sárgáját tartalmazó rész keletkezett?

A fehér részek száma: 9, a csak fehér részek száma 5.

A sárga részek száma: 4.

6 A burgonyát a sütés előtt hosszúkás csíkokra kell vágnunk. Ezt megkönnyíti a szeletelő gép, amelyben 5 párhuzamos kés, és még 5 párhuzamos, az előzőekre merőleges kés helyezkedik el.Az egyik burgonyát 4 párhuzamos kés és 3 ezekre merőleges kés vágta szét. Hány részre esett szét a burgonya? Szemléltesd egy síkbeli rajzzal a válaszodat!

A részek száma: 20.


86

7 Egy 64 cm hosszú pálcát 8 cm hosszúságú darabokra kell felvágni. A fűrészeléshez egyszerre több da-rabot is befoghatunk a satuba. Legkevesebb hány vágással tudnád megoldani a darabolást?


Rövid indoklás: Félbevágjuk a pálcát, a két 32 cm hosszú darabot egyszerre vágjuk el, harmadszorra

pedig a négy darab 16 cm hosszú darabot ismét egyszerre vágjuk félbe.

8 P, Q és R különböző síkok. Fejezd be a következő mondatokat!

a) Ha P sík párhuzamos a Q síkkal, és Q sík párhuzamos R síkkal, akkor P sík párhuzamos R síkkal.

b) Ha P sík merőleges a Q síkra, és Q sík merőleges R síkra, akkor P és Q lehet párhuzamos és metsző is.

9. KITÉRÔ EGYENESEK

1 Röviden írj le egy olyan utasítást, hogy az alapján a két karunk egyenesea) párhuzamos; b) merőlegesen metsző; c) kitérő legyen!

a) Jobb kar a fej fölé, bal kar leengedve.

b) Karok keresztezése a törzs előtt.

c) Jobb kar előre, bal kar felfelé nyújtva.

2 Hány kitérő élt találsz a gyufásdoboz egyik lapjának lapátlójához?

A megfelelő élek száma: 6. Szemléltesd rajzzal a válaszodat!

3 Hány kitérő lapátlót találsz a gyufásdoboz egyik lapjának lapátlójához?

A megfelelő lapátlók száma: 5. Szemléltesd rajzzal a válaszodat!


87

4 Az ábrán látható test AB és EF éleihez sorold fel a kitérő éleket!

A B

CD

E F

Az AB élhez képest kitérő élek: ED, FC.

Az EF élhez képest kitérő élek: AD, BC.

5 Sorold fel a kitérő éleket az ábrán látható test AB éléhez és AC testátlójához!

A

B

C

D

E

F

Az AB élhez képest kitérő élek: FD, FC, ED, EC.

Az AC testátlóhoz képest kitérő élek: FD, EB, FB, ED.

6 Az ábra egy a és b metsző egyenespárt mutat. Rajzold le kétszer az ábrát úgy, hogy az a és b kitérő egyenesek legyenek! Először legyen a b egyenes hozzánk kö-zelebb, aztán legyen a b a tőlünk távolabb haladó egyenes.

a

b

7 Az ábrán látható testnek hány kitérő élpárja van?

Kitérő élpárok: AB és CF, AB és EF, AB és DF, BC és AD, BC és ED,

BC és FD, AC és BE, AC és DE, AC és FE.

Vagyis a kitérő élpárok száma: 9.

8 Igaz vagy hamis?

a) Két kitérő egyeneshez van olyan harmadik egyenes, amely mindkettővel metsző. c

b) Két metsző egyeneshez nincs olyan harmadik egyenes, amely mindkettővel kitérő. c

c) Két párhuzamos egyeneshez nincs olyan harmadik egyenes, amely mindkettővel kitérő. c

d) Két kitérő egyeneshez van olyan harmadik egyenes, amely legalább az egyikkel párhuzamos. c

e) Két metsző egyeneshez nincs olyan harmadik egyenes, amely mindkettővel párhuzamos. c

f) Két párhuzamos egyeneshez van olyan harmadik egyenes, amely mindkettővel párhuzamos. c

g) Két kitérő egyeneshez nincs olyan harmadik egyenes, amely mindkettővel kitérő. c

h) Két metsző egyeneshez van olyan harmadik egyenes, amely legalább az egyikkel párhuzamos. c

i) Két párhuzamos egyeneshez van olyan harmadik egyenes, amely csak az egyikkel párhuzamos. c

I

H

H

I

I

I

H

I

H

A

B

C

D

E

F


88

9 Papírból olyan dobókockát készítettünk, amelynek minden lapján négy pötty látható. Az első lap jobb felső pöttyén átszúrtunk a lapra merőlegesen egy hosszú tűt. A felső lap bal szélén lévő pöttynél is ezt tettük, ahogyan ez az ábrán is látható. Melyik pöttynél kell az oldallapot merőlegesen átszúrni, hogy a tűk a dobó-kocka belsejében ne ütközzenek egymásnak?

A jobb oldali lap alsó, hátsó pöttyénél.

10. TÉGLATEST, KOCKA

1 Rajzolj hálózatot egy dobókockáról! Jelöld a pöttyöket is!

2 Melyik nem lehet egy kocka hálózata?

3 Igazak-e a következő állítások?

a) Nincs olyan téglatest, amelyik kocka. c

b) Nincs olyan kocka, amelyik téglatest. c

c) Minden kocka négyzetes oszlop. c

d) Ha egy téglatestnek nincs négyzet alakú lapja, akkor nem lehet kocka. c

e) Ha egy téglatestnek két lapja négyzet, akkor az biztosan kocka. c

f) Ha egy testnek 4 lapja négyzet, akkor az biztosan kocka. c

g) Ha egy test hálózatán látunk hat négyzetet, akkor az biztosan kocka. c

h) A kockának négy testátlója van. c

4 Rajzold le egy felülről nyitott, kocka alakú doboz hálózatát!

H

H

I

I

H

H

H

I


89

5 Egy felülről nyitott téglatest alakú doboz különböző éleinek hossza: 1 cm, 2 cm, 3 cm. Rajzold le a doboz lehetséges hálózatát!

6 Építs téglatestet 12 darab azonos méretű kiskockából! Hány különböző alakú tömör téglatest képzelhető el, ha egy téglatesthez felhasználod mind a 12 kiskockát?

A téglatestek száma: 4 darab (1 ⋅ 1 ⋅ 12, 1 ⋅ 2 ⋅ 6, 1 ⋅ 3 ⋅ 4, 2 ⋅ 2 ⋅ 3).

7 Egy kockát három azonos méretű téglatestre vágtunk szét. Rajzold le az így kapott egyik téglatest hálózatát!

8 Néhány téglatest alakú doboz van az asztalon.Xénia szerint: A lapjaik és az éleik száma összesen 196.Yvette szerint: A lapjaik és a csúcsaik száma összesen 156.Zénó szerint: Az éleik és a csúcsaik száma összesen 220.Kinek lehet igaza? Hány doboz van az asztalon?

Zénónak lehet igaza. Ekkor 11 doboz van az asztalon.Indoklás: A másik kettő nem osztható a megfelelő összeggel. A hibás adatok helyesen: Xénia 198, Yvette 154. Hány dobozról van szó? 11-ről.

9 A kocka hálózatán színezd azonos színnel az egymáshoz csúcsban kapcsolódó lapátlókat! Hány színt használtál a kivitelezéshez?

A felhasznált színek száma: 2.

10 Egy téglatest alakú szoba egyik sarkában egy pók, egy vele szomszédos sarokban pedig egy légy pi-hen. A pók el szeretné fogni a legyet, de megállapodnak, hogy csak a lapátlókon haladhatnak. Van-e esélye a póknak, hogy elkapja a legyet?

Válasz: Nincs esélye.

Indoklás: A pók olyan 4 csúcsba juthat el, amibe a légy nem. Ez rajzzal jól szemléltethető!

10. TÉGLATEST, KOCKA

90

1 Csoportosítsd az ábrán látható síkidomokat!

a) Sokszögek: 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10

Nem sokszögek: 2, 7

b) Konvex síkidomok: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9

Konkáv síkidomok: 2, 8, 10

c) Konvex sokszögek: 1, 3, 4, 5, 6, 9

Konkáv sokszögek: 8, 10

12

3

4

5 6

7 8

910

2 Három sokszögnek 12 oldala van. Hány csúcsú sokszögekről lehet szó?

3 Rajzolj négyszöget, melyneka) minden oldala egyenlő, de nem négyzet;

b) van merőleges oldalpárja, de nem téglalap;

c) van párhuzamos oldalpárja, de nem téglalap;

d) minden oldala különböző hosszúságú;

e) szemben lévő oldalai párhuzamosak, de nem téglalap;

f) átlói merőlegesek, de nem négyzet;

g) átlói felezik egymást, de nem négyzet;

h) minden szomszédos oldala merőleges egymásra!

4 a) Hány háromszög rajzolható az ábrába, ha csúcsai illeszkednek az adott pontokra? 9.

b) Hány esetben kaptál szabályos háromszöget? 3.c) Kaptál-e olyan egyenlő szárú háromszöget, amelyik nem szabályos? Igen.

5 Rajzolj az ábrába!a) Egyenlő szárú háromszöget, amelyik nem szabályos: ABC.b) Szabályos háromszöget: ACE.c) Négyzetet: nem lehet.d) Téglalapot: ABDE.

11. SÍKIDOMOK, SOKSZÖGEK

A B

F

E D

C

91

6 Vágd szét a háromszöget három egyenessel a lehető legtöbb részre!

Hány sokszöget kaptál? 7.

Rajzold be az ábrába a vágás vonalait!

7 Egy óra számlapján kösd össze a szomszédos páros számokat! Így egy hatszö-get kapsz. Rajzold be a hatszög leghosszabb átlóit is! Az így kapott szakaszokra írd rá a végpontjaikban lévő számok összegét! Melyik nagyobb? Az oldalakra írt számok összege vagy az átlókra írt számok összege? Mennyivel?

Az oldalakra írt számok összege: 84.

A hosszú átlókra írt számok összege: 42.

Az oldalakra írt számok összege nagyobb 42-vel.

Figyeld meg a kapott eredményt! Látsz-e valami érdekességet? Az oldalakra írt számok összege kétszerese az átlókra írt számok összegének.Írj hat tetszőleges számot az óra számlapján a páros számok helyére! Így is számold végig az előzőeket!Az oldalakra írt számok összege: 42.A hosszú átlókra írt számok összege: 21.Az oldalakra írt számok összege nagyobb 21-gyel. Megmaradt az előző észrevételed? Igen, az oldalakra írt számok összegének ki-számításakor minden csúcsba írt számot kétszer számolunk, az átlókra írt számok összegének kiszámításakor pedig csak egyszer.

8 Barnabás csak háromszögeket és négyszögeket rajzolt a füzetébe. Összesen 10 átlója és 50 csúcsa van ezeknek a sokszögeknek. Melyik sokszögből mennyit rajzolt?

Négyszögek száma: 5. Háromszögek száma: 10.

Indoklás: A háromszögeknek nincs átlója, a négyszögeknek két átlója van, ezért a 10 átló 5 négyszögre elegendő. Mivel a csúcsokból 50 − 5 ⋅ 4 = 30 maradt a háromszögekre, ebből következik, hogy Barnabás 10 háromszöget rajzolt.

9 Az ábrán egy sokszöget látsz. Mely pontok vannak a sokszög belsejében?

A sokszög belsejében van: B, D.

A

B

C

D

11. SÍKIDOMOK, SOKSZÖGEK

92

1 Rajzold meg a körződdel az itt látható körvonalakat!

2 Rajzolj a K pont körül 2 cm sugarú kört! a) Színezd zöldre azokat a pontokat, melyekre KP < 2 cm!b) Színezd pirosra azokat a pontokat, melyekre KP = 2 cm! c) Színezd kékre azokat a pontokat, melyekre KP > 2 cm!

3 Színezd ki a rajzon látható 1,5 cm sugarú körlap azon pontjait, amelyeknek a kör középpontjától mért távolsága 1 cm-nél a) nagyobb; b) nem kisebb; c) kisebb; d) nem nagyobb!

4 Színezd a sík azon P pontjait, melyekrea) PA < 15 mm és PB < 15 mm; b) PA ≤ 15 mm és PB ≥ 15 mm;

c) PA ≥ 15 mm és PB ≥ 15 mm; d) PA ≥ 15 mm és PB = 15 mm!

12. A KÖR

93

5 Színezd ki azokat a P pontokat, melyekre

a) 8 mm ≤ KP ≤ 16 mm; b) 8 mm < KP < 16 mm;

c) 8 mm ≤ KP < 16 mm; d) 8 mm < KP ≤ 16 mm;

e) KP = 16 mm f) KP ≤ 8 mm vagy KP = 25 mm; vagy 16 mm ≤ KP!

(A szükséges adatokat méréssel határozd meg!)

6 a) Rajzold meg b) Rajzold meg c) Rajzolj a P-n átmenő sugarat! a P-n átmenő átmérőt! P-n átmenő húrokat!

d) Rajzolj olyan körcikket, e) Rajzolj olyan körszeletet, f) Rajzolj olyan körszeletet, amelynek P a határvonalán van! amelynek P a belsejében van! amelynek P a határvonalán van!

12. A KÖR

94

7 Egy téglalap alakú udvar oldalai 25 m és 30 m hosszúak. A K és az L pontban el-helyeztünk egy-egy locsolófejet, melyek 10 méteres környezetükben tudnak locsol-ni. A mellékelt négyzethálón a szomszédos párhuzamos egyenesek távolságát vedd 5 méternek. Rajzolj és színezz! a) Az udvar melyik része marad száraz? A sarkoknak az a része, amelyik egyik körnek sem belső pontja.b) Az udvar melyik része kapja a legtöbb vizet? A két kör közös része, ami az udvar közepénél van. c) Az udvar melyik részére tehetjük még a locsolófejet, ha nem szeretnénk, hogy a szomszéd területre is hulljon víz? K és L pontokra illeszkedő rácsvonalak által meghatározott téglalapra.

8 Egy négyzet alakú bekerített füves kert oldala 35 m hosszú. A kert két szomszédos csúcsában kikö-töttek egy-egy kecskét, mindkettőt 20 m hosszú kötélen. Készíts rajzot, amely mutatja, hogy a kert mely részét legelheti egy, iletve mely részét legelheti két kecske! A rajzodon 1 mm a valóságban jelentsen 1 métert!

9 Jelöld a négyzetlapon azokat a pontokat, amelyeka) az egyik csúcstól 3 cm-nél kisebb távolságra vannak;b) az egyik csúcstól 3 cm-nél nagyobb távolságra vannak;c) az egyik csúcstól 3 cm-nél nem nagyobb, egy szomszé-dos csúcstól pedig 3 cm-nél nagyobb távolságra vannak!

10 Egy kör alakú asztalnál ülsz. Ha a jobb kezed felé haladva megszámolod asztaltársaidat, akkor öt főt számolsz, és ha a bal kezed felé haladva számolod meg őket, akkor is öt főt kapsz. Hányan ülnek összesen az asztalnál?

A: 5 B: 6 C: 9 D: 10 E: 11

11 Egy körlapot három szelő mentén szétvágtunk. Hány részt nem kaphattunk így?

A: 7 B: 6 C: 5 D: 4 E: 3

12 Hány körcikkre vágja a kört négy átmérő?

A: 4 B: 5 C: 8 D: 9 E: 16

TESZTKÉRDÉSEK

12. A KÖR

95

1 A labdák gömb alakúak. A sportrendezvényeken szabályozzák, hogy milyen méretű labda használható. Nézz utána a szakirodalomban, vagy a világhálón!

A pingponglabda sugara: 2 cm. A futball-labda sugara: 11 cm.

A kézilabda sugara: 9,5 cm. A kosárlabda sugara: 12 cm. A teniszlabda sugara: 3,2 cm.

2 A mellékelt síkbeli ábrákkal gömböket szerettünk volna szemléltetni. Az ábrák jelöléseit és adatait használva add meg a zölddel beszínezett részeket! Használd a rövid matematikai jelöléseket!

3 cm4 cm

5 cm

3 cm

4 cm

5 cm

a) PA > 4 és PB < 3 b) PA < 4 és PB ≥ 3

3 cm4 cm

5 cm

3 cm4 cm

5 cm

c) PA ≤ 4 és PB ≤ 3 d) PA < 4 és PB < 3

3 A paradicsomok majdnem gömb alakúak. Vásárláskor tapasztalhatjuk, hogy nem csak a minőségük, hanem a méretük alapján is besorolják a termést. A méretkategóriákat 1-től 10-ig egy egész számmal jelölik. Erre vonatkozóan ezt a táblázatot találtuk:

Első sor: méretkategória, második sor: átmérő (d) milliméterben

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10d ≤ 20 20 < d ≤ 25 25 < d ≤ 30 30 < d ≤ 35 35 < d ≤ 40 40 < d ≤ 47 47 < d ≤ 57 57 < d ≤ 67 67 < d ≤ 82 82 < d

János gazda kiváló minőségű paradicsomot termelt. A sugaruk 18 mm és 32 mm közöttiek. Milyen méret-kategóriákba tudja szétosztani ezeket a paradicsomokat?

A legkisebb paradicsomok átmérője: 36 mm. A legnagyobb paradicsomok átmérője: 64 mm.

Méretkategóriák: 5, 6, 7, 8.

13. A GÖMB

96

4 Egy dinnyét 18 cm sugarú gömbként képzelhetünk el. A nem ehető héja mindenütt 2 cm vastag. Legyen K pont a dinnye közepe!a) Mit mondhatsz az MK távolságról, ha az M egy tetszőleges dinnyemag helyét jelenti?

MK < 18 cm b) Hogyan adnád meg a dinnye ehető részét matematikai jelekkel?

MK ≤ 18 cm vagy MK < 18 cm c) Hogyan jellemeznéd matematikailag a nem ehető részt?

18 cm ≤ MK ≤ 20 cm

14. A SZAKASZ FELEZÔMERÔLEGESE

1 Az ábrán tíz pontot látsz. Mely pontok vannak rajta az AB szakasz felezőme-rőlegesén?Méréssel győződj meg válaszaid helyességéről!

Ezek a megfelelő pontok: C, H, E.

A méréseim eredménye: AC = BC = 2 cm;

AH = HB = 2,7 cm; AE = EB = 2,1 cm.

2 Vágj ki papírból egy körlapot! Hajtogatással alakítsd ki egyik húrjának a felezőmerőlegesét! A hajtás-vonal milyen síkidomokra osztja a kört? A kör szempontjából mi lesz ez a hajtásvonal?

A keletkezett síkidomok: két félkör.

A hajtásvonal neve: átmérő.

3 A térképet vizsgálva válaszolj a következő kérdésre!

Lehet-e a Dunán olyan hajó, amelyik Kalocsától ugyanolyan messze van, mint Szekszárdtól?

Igen.

Hogyan keresnéd meg a hajó helyét?A felezőmerőleges megszerkeszté-sével.

Hány megfelelő helyet tudsz elkép-zelni?

Egyet.

13. A GÖMB

97

4 Mérés nélkül, csak hajtogatással alakítsd ki azt az egyenest az írólapodon, amelyik mentén levágha-tunk belőle egy négyzetet!Rajzolj, és röviden fogalmazd meg a tennivalókat!

Az egyik sarkot a szögfelező mentén hajtjuk be. A keletkezett derékszögű háromszög egy négyzet fele.

5 Rajzolj a térképvázlatra egy olyan AB szakaszt, amelynek a szakasz felezőmerőlegese sokszor met-szi a Tisza vonalát!

Az ábrámon a metszéspontok száma: 6.

6 Keress olyan településeket a földrajz atlaszod Magyarország térképén, amelyek által meghatáro-zott szakasz felezőmerőlegese áthalad Budapest te-rületén!

Szolnok és Siófok

Dunaújváros és Cegléd

Pécs és Keszthely

7 Méréssel ellenőrizd a következő állítás helyességét! Miskolc és Nyíregyháza felezőmerőlegesén talál-ható Orosháza.

Az állítás: igaz.

A mérésem eredménye: a két távolság azonosnak tekinthető.

15. SZERKESZTÉSEK

1 Szerkeszd meg az e egyenesre merőleges egyeneseket az A és a B ponton át!

14. A SZAKASZ FELEZÔMERÔLEGESE

98

2 Szerkeszd meg az ABCD négyzet AB oldalának felezőmerőlegesét, és az AC átlójának a felezőmerőlegesét!

3 Hiányzik az ABCD téglalap negyedik csúcsa. Keresd meg csak a körző segítségével!

4 Szerkessz háromszöget, haa) a = b = 4 cm, c = 3 cm; b) a = 6 cm, b = 5 cm, c = 3 cm; c) a = 5 cm, b = c = 2 cm!

Mindegyik háromszög megszerkeszthető?

Nincs ilyen háromszög.

5 Egy bekerített háromszög alakú telekre nem tu-dunk bejutni. Megmértük az oldalainak a hosszát: 28 m, 32 m és 40 m. Milyen messze van a leghosszabb oldaltól a szemközti csúcs? Szerkessz és mérj!

15. SZERKESZTÉSEK

99

6 Szerkesztéssel úgy oszd három részre a szakaszt, hogy az egyik rész háromszorosa, a másik rész pedig négyszerese legyen a legrövidebb résznek!

7 Egy téglalap oldalainak hossza megegyezik az ábrán látható szakaszok hosszával. Szerkeszd meg a téglalapot!

Adatok: a

b

16. A SZÖG

1 Szögmásolással dönts! Melyik nagyobb?

2 Add meg fokban az egyenesszög

felét: 90° ; harmadát: 60° ; negyedét: 45° ; ötödét: 36° ; hatodát: 30° !

3 Add meg fokban a teljesszög

2 harmadát: 240° ; 3 negyedét: 270° ; 4 ötödét: 288° ; 5 hatodát: 300° !

Milyen szögek ezek? Homorú szögek.

4 Mekkora a 32° 41’ pótszöge és kiegészítő szöge?

Pótszöge: 57°19’. Kiegészítő szöge: 147°19’ .

D C

A Ba

bb VÁZLAT

15. SZERKESZTÉSEK

100

5 Add össze: 45° 55’ + 24° 47’ + 18° 13’!45 + 24 + 18 = 8755 + 47 + 13 = 115

Válasz: 88° 55’

6 Az ábrán látható sokszögeknek mérd meg a szögeit!

a) α: 110° b) α: 95°

β: 95° β: 145°

γ: 120° γ: 115°

δ: 125° δ: 80° �

�

�

�

� ε: 90° �

�

��

�

� ε: 135°

: 150°

7 Keress az ábrán nevezetes szögpárokat! A szögek leírására használd a nagybetűket!

Egyállású szögek: CAB és CKF, DBA és DKE, DCA és EKA stb.

Csúcsszögek: CKF és EKA, DKE és BKF, DKC és AKB stb.

Váltószögek: ADB és CBD, DCK és KAB

Pótszögek: EDK és KDC, DCK és KCF, FKB és KBA

8 Hány fokos az ACB∢?

Az ACB szög: 24° + 108° = 132°.

17. TÉGLALAP, NÉGYZET KERÜLETE

1 Add meg az a oldalhosszúságú négyzet kerületét, haa) a = 2,1 cm; b) a = 32 mm; c) a = 0,025 m; d) a = 0,3 dm!

k = 8,4 cm k = 128 mm k = 0,1 m k = 1 ,2 dm

4 5 + 2 4 + 1 8 = 8 7 5 5 + 4 7 + 1 3 = 1 1 5

2 , 1 ⋅ 4 = 8 , 4

0 , 0 2 5 ⋅ 4 0 , 1 0 0

3 2 ⋅ 4 = 1 2 8

0 , 3 ⋅ 4 1 , 2

a)

c)

b)

d)

A B

D C

E FK

16. A SZÖG

101

2 Add meg az a és a b oldalhosszúságú téglalap kerületét, haa) a = 6 cm, b = 15 cm; b) a = 0,12 m, b = 54 cm; c) a = 0,43 dm, b = 11 cm!

k = 42 cm k = 132 cm k = 30,6 cm

3 Mekkora a négyzet oldalának hossza, haa) K = 102 dm; b) K = 40,12 m; c) K = 108 cm; d) K = 700 mm?

a = 25,5 dm a = 10,03 m a = 27 cm a = 175 mm

4 Számítsd ki a téglalap hiányzó oldalának hosszát, haa) b = 23 cm, K = 98 cm; b) b = 234 mm, K = 1 m!

a = 98 : 2 − 23 = 49 − 23 = 26 cm a = 1000 : 2 − 234 = 500 − 234 = 266 mm

5 Egy négyzet minden oldalának hosszát megnöveljük. A növelés vagy 21 cm-rel vagy 9 cm-rel történik úgy, hogy téglalapot kapjunk. Mennyivel lesz nagyobb a téglalap kerülete a négyzet kerületéhez képest?

A növekedések: 21 cm, 9 cm, 21 cm, 9 cm Vagyis: 30 + 30 = 60 cm

6 Rajzolj a négyzethálóra különböző téglalapokat úgy, hogy a téglalapok oldalai a rácsvonalakra essenek! A kis négyzet oldalait vedd egységnek, és minden téglalap kerü-lete legyen 12 egység! Hány téglalapot tudtál rajzolni?

A különböző téglalapok száma: 3.


102

7 A születésnapi torta teteje egy 18 cm-szer 30 cm-es téglalap lett. Ennek a tégla-lapnak a határvonalát fehér krémből egy csíkkal szeretnénk díszíteni. Mindig 4 cm-rel beljebb újabb ilyen téglalapokat rajzolunk díszítésként, ahogyan ezt az ábra is mutatja. Milyen hosszúak lesznek a díszítő csíkok összesen?

A megrajzolt téglalapok száma: 3. Az első téglalap kerülete: 96 cm.

A további téglalapok kerülete: 64 cm és 32 cm. A díszítő csík hossza: 96 + 64 + 32 = 192 cm.

18. A TERÜLET MÉRÉSE

1 Add meg négyzetmilliméterben!

a) 18 cm2 = 1800 mm2; b) 24 dm2 = 240 000 mm2; c) 1,4 m2 = 1 400 000 mm2;

d) 0,08 m2 = 80 000 mm2; e) 31 cm2 = 3100 mm2; f) 56 dm2 = 560 000 mm2;

g) 0,07 m2 = 70 000 mm2; h) 0,009 m2 = 9000 mm2; i) 0,013 dm2 = 130 mm2.

2 Add meg négyzetcentiméterben!

a) 180 mm2 = 1,8 cm2; b) 23 dm2 = 2300 cm2; c) 0,25 m2 = 2500 cm2;

d) 0,004 km2 = 40 000 000 cm2; e) 9000 mm2 = 90 cm2; f) 65 dm2 = 6500 cm2;

g) 2,8 m2 = 28 000 cm2; h) 0,0005 km2 = 5 000 000 cm2; i) 0,04 km2 = 400 000 000 cm2.

3 Add meg négyzetdeciméterben!

a) 66 000 mm2 = 6,6 dm2; b) 480 cm2 = 4,8 dm2; c) 65 m2 = 6500 dm2;

d) 0,008 m2 = 0,8 dm2; e) 8700 mm2 = 0,87 dm2; f) 7700 cm2 = 77 dm2;

g) 2,7 m2 = 270 dm2; h) 0,0064 m2 = 0,64 dm2 i) 0,103 m2 = 10,3 dm2.

4 Add meg négyzetméterben!

a) 180 000 mm2 = 0,18 m2; b) 110 cm2 = 0,011 m2; c) 5400 dm2 = 54 m2;

d) 0,04 km2 = 40 000 m2; e) 50 000 mm2 = 0,05 m2; f) 23 800 cm2 = 2,38 m2;

g) 530 dm2 = 5,3 m2; h) 0,007 km2 = 7000 m2 i) 1,012 km2 = 1 012 000 m2.

( 1 8 + 3 0) ⋅ 2 = 4 8 ⋅ 2 = 9 6( 1 0 + 2 2) ⋅ 2 + (2 + 1 4) ⋅ 2 = 3 2 ⋅ 2 + 1 6 ⋅ 2 = 6 4 + 3 2 = 9 6


103

5 Az ábrán látható O betűt szimbolizáló rajz 4 darab 4 cm hosszú 1 cm széles csíkból állítottuk össze. Mekkora a lefedett terület?

6 A négyzetek hányadrésze színezett?

7 Melyik színezett síkidom területe a nagyobb?Az AQD és a DPC háromszögek egyformák. Mindkettőből ugyanazt

a kis fehér háromszöget vesszük el, vagyis az így megmaradt négyszög

és háromszög területe egyenlő.

19. TÉGLALAP, NÉGYZET TERÜLETE

1 Megadtuk a téglalap oldalainak hosszát. Számítsd ki a téglalap területét!a) 27 cm és 35 cm; b) 78 dm és 89 dm; c) 30 mm és 21 dm; d) 12 dm és 120 mm.

a) t = 945 cm2 b) t = 6942 dm2 c) t = 6,3 dm2 d) t = 14,4 dm2

2 Mekkora a téglalap ismeretlen oldalának hossza?a) a = 18 dm, T = 396 dm2; b) a = 17 mm, T = 918 mm2; c) a = 75 mm, T = 12 cm2; d) a = 36 cm, T = 18 dm2.

a) b = 22 dm b) b = 54 mm c) b = 16 mm d) b = 50 cm

4 ⋅ 1 = 4 cm2

4 ⋅ 4 = 1 6 cm2

=12

48

= 14

2818

a)

b)

c)

2 7 ⋅ 3 5 8 1 + 1 3 5 9 4 5

7 8 ⋅ 8 9 6 2 4 + 7 0 2 6 9 4 2

0 , 3 ⋅ 2 1 6 + 3 6 , 3

1 2 ⋅ 1 , 2 + 2 4 1 4 , 4

a) b) c) d)

3 9 6 : 1 8 = 2 2 3 6 0

9 1 8 : 1 7 = 5 4 6 8 0

1 2 0 0 : 7 5 = 1 6 4 5 0 0

1 8 0 0 : 3 6 = 5 0 0 0

a) b) c)

d)

18. A TERÜLET MÉRÉSE

104

3 Mekkora a négyzet területe, haa) K = 820 mm; b) K = 124 cm?

a) t = 42 025 mm2 b) t = 961 cm2

4 Mekkora a négyzet kerülete, haa) T = 64 dm2; b) T = 81 cm2?

a) k = 32 dm b) k = 36 cm

5 Az ábrán látható téglalapok területét becsüld meg cm2-ben! Aztán mérd meg az oldalak hosszát, és számolj!

Becslés: 8 cm2 Becslés: 6 cm2 Becslés: 9 cm2 Becslés: 10 cm2 Egyik oldal: 2,5 cm Egyik oldal: 4 cm Egyik oldal: 2,8 cm Egyik oldal: 5 cm

Másik oldal: 3,4 cm Másik oldal: 1,5 cm Másik oldal: 2,8 cm Másik oldal: 1,8 cm

Terület: 8,5 cm2 Terület: 6 cm2 Terület: 7,84 cm2 Terület: 9 cm2

6 Az előszoba hosszabb, mint amilyen széles. A burkolásához pontosan 35 darab 30 cm oldalhosszúságú négyzetlapot használtak fel.

a) Hány m2 az előszoba területe? 35 ⋅ 30 ⋅ 30 = 31 500 cm2 = 3,15 m2 b) Mekkora lehet az előszoba szélessége és hosszúsága, ha a négyzetlapokat nem kellett darabolni?

5 ⋅ 7 = 35, tehát 5 ⋅ 30 = 150 (cm) és 7 ⋅ 30 = 210 (cm)

7 Két négyzet alakú földterületet szeretnénk összehasonlítani. Az egyiknek az oldalhossza 85 m, a mási-ké 70 m. Hány hektárral nagyobb az első, mint a második?

70 ⋅ 70 = 4 900 m2 = 0,49 ha; 85 ⋅ 85 = 7225 m2 = 0,7225 ha

0,7225 − 0,49 = 0,2325 hektárral nagyobb a második földterület.

8 2 0 : 4 = 2 0 5 1 2 4 : 4 = 3 1

2 0 5 ⋅ 2 0 5 = 4 2 0 2 5 3 1 ⋅ 3 1 = 9 6 1

a) b)

6 4 = 8 ⋅ 8 8 1 = 9 ⋅ 9

8 ⋅ 4 = 3 2 9 ⋅ 4 = 3 6

a) b)


105

8 Képzeld el, hogy a 4 dm2 területű négy-zetlapot az oldalaival párhuzamos egyene-sekkel, 1 mm2 területű négyzetekre vágtuk. Milyen hosszú ez a vágásvonal?

9 Egy négyzet alakú füves telken elkezdtük levágni a füvet. A kerítése mentén belül egy 6 méteres sávval már mindenütt készen va-gyunk. Még 900 m2 van hátra a munkából.Mennyi füvet vágtunk le eddig?

10 A képen látható alaprajz segítségével válaszolj a kérdé-sekre! Ami az ábrán 1 cm, az a valóságban 1 m.a) Mekkora a szoba területe?

3,2 ⋅ 5,7 = 18,24 m2

b) A félszoba és az előszoba közül melyik és mennyivel nagyobb?

2 ⋅ 3,8 = 7,6 m2; 1,3 ⋅ 3,8 = 4,94 m2; 7,6 − 4,94 = 2,66 m2-rel

nagyobb a félszoba.

c) Adj meg két olyan helyiséget, amelyek együtt nagyobbak,

mint a lakás fele! A szoba és a félszoba.

20. TÉGLATEST, KOCKA FELSZÍNE

1 Mekkora a téglatest felszíne?a) a = 41 cm, b = 21 cm, c = 10 cm; b) a = 17 dm, b = 25 dm, c = 4 dm;c) a = 2 m, b = 220 mm, c = 2 cm; d) a = 26 cm, b = 8 dm, c = 0,1 m.

a) A = 2962 cm2 b) A = 1186 dm2 c) A = 9688 cm2 d) A = 6280 cm2

2 ⋅ (1 9 9 + 1 9 9) = 2 ⋅ 3 9 8 = 7 9 6 dm

A négyzet oldalának hossza 2 dm.Egy vágásvonal hossza 2 dm, mindkét irányban 199 vágást ejtünk.

A belső, ugyancsak négyzet alakú terület oldala 30 m hosszú. A terület, amelyen már levágtuk a füvet:

6 ⋅ 6 ⋅ 4 + 6 ⋅ 3 0 ⋅ 4 = = 1 4 4 + 7 2 0 = 8 6 4 m2

2 ⋅ (4 1 ⋅ 2 1 + 4 1 ⋅ 1 0 + 2 1 ⋅ 1 0) = = 2 ⋅ (8 6 1 + 4 1 0 + 2 1 0) = 2 ⋅ 1 4 8 1 = 2 9 6 2

a)

A b), c), d) mellékszámítások hasonlóan

SzobaKonyha Fürdőszoba

Előszoba

Bejárat

Félszoba


106

2 Mekkora a kocka felszíne?a) a = 11 cm; b) a = 52 dm;

a) A = 726 cm2 b) A = 16 224 dm2

3 Milyen hosszú lehet a kocka éle? a) A = 216 m2; b) A = 864 cm2.

a) a = 6 m b) a = 12 cm

4 Az ábrán látható kocka alakú csomagot két irányból szalaggal át-kötötték. A szalag összesen 210 cm hosszú, amiből 34 cm-t a masnira használtak fel. Mekkora felszínű a csomag?

A = 2904 cm2

5 Egy 4 cm széles, 6 cm hosszú és 3 cm magas téglatestnek tervezd meg a hálózatát!

a) Mekkora területű részt foglal el a papíron? 108 cm2

b) Milyen méretű rajzlapra fér rá ez a hálózat? Az ábra lehet pl. 12 cm-szer 14 cm-es, ami ráfér egy A5 méretű írólapra.

6 Egy tömör, nagy kockát építettünk 64 darab egyforma kiskockából. Vegyél el ebből a nagy kockából egy kiskockát úgy, hogy a felszínea) ne változzon; b) növekedjen; c) csökkenjen!

a) Válasz: a sarkából; b) Válasz: nem a sarkából; c) Válasz: nem lehet.

7 Egy kockát egyik oldallapjával párhuzamosan felvágtuk téglatestekre. Az így kapott téglatestek felszínösszege a kocka felszínének a duplája lett. Hány téglatestre vágtuk a kockát?

A téglatestek száma: 4.

1 1 ⋅ 1 1 ⋅ 6 = 1 2 1 ⋅ 6 = 7 2 6

5 2 ⋅ 5 2 ⋅ 6 = 2 7 0 4 ⋅ 6 = 2 2 4

a)

b)

2 1 6 : 6 = 3 6

3 6 = 6 ∙ 6

8 6 4 : 6 = 1 4 4

1 4 4 = 1 2 ∙ 1 2

a) b)

2 1 0 − 3 4 = 1 7 6 1 7 6 : 8 = 2 2A kocka éle 22 cm.

2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 6 = 2 9 0 4

20. TÉGLATEST, KOCKA FELSZÍNE

107

1 Írd köbmilliméterben!

a) 5 cm3 = 5000 mm3; b) 12 cm3 = 12 000 mm3; c) 0,75 cm3 = 750 mm3;

d) 5,4 cm3 = 5400 mm3; e) 3 dm3 = 3 000 000 mm3; f) 0,1 dm3 = 100 000 mm3.

2 Írd köbcentiméterben!

a) 30 000 mm3 = 30 cm3; b) 3 dm3 = 3000 cm3; c) 3,25 dm3 = 3250 cm3;

d) 0,5 m3 = 500 000 cm3; e) 14 000 mm3 = 14 cm3; f) 2 m3 = 2 000 000 cm3.

3 Írd köbméterben!

a) 9 000 000 cm3 = 9 m3; b) 3 500 000 cm3 = 3,5 m3; c) 65 000 dm3 = 65 m3.

4 Add meg literben és deciliterben is a következő térfogatokat!

a) 12 300 cm3 = 12,3 l = 123 dl; b) 2 190 000 mm3 = 2,19 l = 21,9 dl.

5 Állapítsd meg becsléssel, majd mérd meg egy levesestányér űrtartalmát!

Becslés: 7 dl Mérés: 5 dl Eltérés: 2 dl

6 Írj példákat arra, hogy mit adnál meg milliliter, deciliter, liter, illetve hektoliter pontossággal!

Milliliterrel: a folyadékok mennyisége kémiai kísérleteknél, folyékony orvosság, körömlakk

Deciliterrel: pohár űrtartalma, kimért italok

Literrel: fazék űrtartalma, napi folyadékszükséglet

Hektoliterrel: hordó űrtartalma, vízfogyasztás

7 Egy 8 literes kannát szeretnénk megtölteni vízzel. Először beleöntöttünk másfél litert, majd 6 dl-t, ez-

után 650 ml-t. Hány litert kell még hozzáöntenünk, hogy tele legyen az edény? 5,25 litert.

8 − 1,5 − 0,6 − 0,65 = 5,25

8 Egy 6 literes üveg tele volt málnaszörppel. Megtöltöttünk belőle 5 darab 7 deciliteres és 3 darab fél

literes üveget. Hány deciliter van még az eredeti üvegben? 10 deciliter.

60 − 5 · 7 − 3 · 5 = 60 − 35 − 15 = 10

9 Egy csöpögő vízcsapból 5 másodpercenként leesik egy vízcsepp. Megfigyeltük, hogy az 1 deciliteres

edényt 500 csöpp tölt meg. Egy nap alatt mennyi víz csöpög ki a vízcsapból? 3,456 liter.

Egy nap 24 ∙ 60 ∙ 60 = 86 400 másodperből áll. Ha 5 másodpercenként csöppen le egy csepp víz, akkor egy

nap alatt 86 400 : 5 = 17 280 csepp esik le. Ha 1 dl 500 csepp, akkor 1 liter 5000 csepp. A 17 280 csepp

17 280 : 5000 = 3,456 liter, tehát körülbelül 3 és fél liter víz csöpög el.

21. A TÉRFOGAT MÉRÉSE

108

1 Számítsd ki az adott élű kocka térfogatát! A térfogatot add meg három különböző mértékegységben!

a) Ha a = 12

m, akkor V = m3 = 0,125 m3 = 125 dm3 = 125 000 cm3.

b) Ha a = 34

dm, akkor V = dm3 = cm3 = m3 .

2 Mekkora a téglatest térfogata?

a) Ha a = 22 dm, b = 18 dm, c = 4 dm, akkor V = 1584 dm3.

22 ⋅ 1,8 = 396 396 ⋅ 4 = 1584

b) Ha a = 320 mm; b = 12 dm; c = 1,2 cm, akkor V = 4608 cm3.

32 ⋅ 120 = 3840 3840 ⋅ 1,2 = 4608

c) Ha a = 20 mm; b = 3,5 cm; c = 0,8 dm, akkor V = 56 cm3 .

2 ⋅ 3,5 = 7 7 ⋅ 8 = 56

3 Határozd meg a kocka térfogatát, ha

a) egyik lapjának területe 121 m2, V = 1331 m3;

121 = 11 ∙ 11, 121 ⋅ 11 = 1331

b) egyik lapjának területe 400 mm2, V = 8 cm3.

400 = 20 ∙ 20, 400 ⋅ 20 = 8000 8000 mm3 = 8 cm3

c) térfogatának mérőszáma egyenlő a felszínének a mérőszámával! V = 216 m3.

A = V, azaz 6 ∙ a ∙ a = a ∙ a ∙ a, vagyis a = 6 m és V = 216 m³.

4 A tejet egy 49 cm2 alapterületű négyzetes oszlop alakú dobozban árusítják.

a) Hány deciliter tej van a dobozban, ha már csak 24 cm magasan áll benne a tej? 1,176 dl.

0,49 ⋅ 0,24 = 0,1176 dm3 = 0,1176 l = 1,176 dl.

b) Milyen magasan áll benne a tej, ha 4 deciliter van benne? 8,2 cm.

0,4 : 0,49 ≈ 0,82 dm = 8,2 cm.

5 Egy 14 méter széles, 30 méter hosszú és 2 méter mély medence feltöltéséhez mennyi időre van szük-

ség, ha percenként 120 liter víz folyik bele a csapból? 116 óra 40 perc.

14 ⋅ 30 ⋅ 2 = 840 m3 = 840 000 dm3 = 840 000 l;

840 000 : 120 = 7000 perc = 116 óra 40 perc.

22. TÉGLATEST, KOCKA TÉRFOGATA

109

1 Azonos méretű dobókockából készítettünk egy piramist. Lerajzoltuk felülnézetben és oldalnézet-ben is. Hány dobókockát használtunk az építéséhez?

7 ⋅ 7 + 6 ⋅ 6 + 5 ⋅ 5 + 4 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 =

= 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 140 db

Oldalnézet Felülnézet

2 Egy medence szélessége 12 méter, a hossza 50 méter, a víz mélysége mindenütt 2 m. Egy 72 dm³ és egy 78 dm³ térfogatú férfi egyszerre ugrik fejest a medencébe. Mennyivel emelkedik a vízszint magassága, ha mindketten a víz alatt úsznak? Hány liter vizet kellett volna a medencébe engednünk, hogy ugyanezt az emelkedést érjük el?

Emelkedés: 0,25 mm. A beengedett víz mennyisége: 150 l.72 + 78 = 150 dm3 = 150 l

3 A Balaton vízfelülete középvízállás esetén 593 km², az átlagos vízmélysége 3 m. Ez azt jelenti, hogy annyi víz van benne, amennyivel egy 593 km²-es vízfelületű, 3 m mély, téglatest alakú medencét meg le-hetne tölteni. Hány hektoliter víz van a Balatonban?

593 000 000 ⋅ 3 = 1 779 000 000 m3 = 1 779 000 000 000 l = 17 790 000 000 hlA Balaton vízmennyisége: 17 790 000 000 hl. (17 milliárd 790 millió hektoliter)

4 Egy 6-szor 4 méteres 260 cm magas szobát két azonos méretű szobára vágunk ketté a rövidebb ol-dalával párhuzamosan. A válaszfalhoz 10 cm-es vastagságú téglákat használunk. A fal mindkét oldalát 0,5 cm vastagságú vakolattal látjuk el. Hány köbméterrel csökken a két szoba együttes térfogata az eredeti szobához képest?

4 ⋅ 2,6 ⋅ (0,1 + 0,005 + 0,005) = 10,4 ⋅ 0,11 =1,144A csökkenés: 1,144 m3-rel csökkent.

5 Egy 60 km hosszú autópályán a burkolat szélessége 22 m. (Most nem számoljuk a csomópontokat és a pihenőhelyeket.) Felújításnál egyenletesen egy 8 cm vastag aszfaltréteggel borították ezt a szakaszt. a) Mekkora felületet újítottak fel? b) Mennyi aszfalt kellett ehhez?

a) A felújított felület: 0,022 ⋅ 60 = 1,32 km2.

b) A felhasznált aszfalt térfogata: 1 320 000 ⋅ 0,08 = 105 600 m3.

23. GYAKORLATI FELADATOK

110

1 a) Rajzolj téglalapokat a körökbe úgy, hogy minden csúcsa a megadott 8 pont egyikére essen!

Hány különböző alakú téglalapot tudtál rajzolni? 2-t.

b) Rajzolj háromszögeket a körökbe úgy, hogy minden csúcsa a megadott 8 pont egyikére essen!Hány különböző alakú háromszöget tudtál rajzolni? 5-öt.

c) Rajzolj négyszögeket a körökbe úgy, hogy minden csúcsa a megadott 8 pont egyikére essen!

Hány különböző alakú négyszöget tudtál rajzolni? 8-at.

2 Írd az ábra mellé a hiányzó elnevezéseket!

24. ÖSSZEFOGLALÁS

csúcs

testátló

él

lapátló

111

24. ÖSSZEFOGLALÁS

3 Felezd el az ábrán látható szakaszt! A felét másold át az üres helyre, majd a másolatot is felezd el!

4 Felezd el az ábrán látható szöget! A felét másold át az üres helyre, majd a másolatot is felezd el!

5 Egy egyenlő szárú háromszög alapja 6 cm, a szárai 4 cm hosszúak. Szerkeszd meg a háromszöget! Szer keszd meg az alap felezőmerőlegesét is! Mérd meg, hogy milyen messze van az alaptól a szárak metszéspontja!

A mérésem eredménye: 2,6 cm.

6 Egy iskola tornatermének küzdőtere 28 méterszer 46 mé-teres. Szabványos méretű kézilabdapályát rajzoltak fel a te-remben. A rajzoláshoz fehér festéket használtak. A pálya szélén a fehér csíkok 4 cm szélesek. A pálya 40 méterszer 20 méteres. a) Mekkora a tornaterem alapterülete? b) Hány m² nem tartozik a kézilabdapályához? c) Hány m² felületet foglalnak el a fehér csíkok?

a) A tornaterem alapterülete: 28 ⋅ 46 = 1288 m2

b) A küzdőtéren kívüli rész területe: 488 m2

20 ⋅ 40 = 800; 1288 − 800 = 488

2 ⋅ 4000 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2000 ⋅ 4 − 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 32 000 + 16 000 − 64 = 47 936 cm²

c) A küzdőtér szélét jelző csíkok összterülete: 47 936 cm2 ≈ 480 dm2.

7 Egy fiók belső méretei a következők: szélessége 38 cm, ma-gassága 12 cm, a hossza pedig 45 cm. Hány darab 125 cm³ térfogatú kockát tudnánk belerakni a fiókba?

A kockák száma: 126.

38 cm ⇾ 7 db12 cm ⇾ 2 db45 cm ⇾ 9 db7 ⋅ 2 ⋅ 9 = 126

112

1 Egy háromszintes iskola ablakai láthatók az ábrán. Panni osztályának tanterme a má-sodik szinten balról a harmadik, negyedik és ötödik ablak mögött van. Ezek számozása: 23, 24, 25.Színezd ki a tanterem ablakait!A nagytanári ablakai: 11, 12, 13 és 14. Ezeket jelöld egy másik színnel.A harmadik szinten melyik sorszámú ablak-ból ereszthetünk le madzagon egy tárgyat úgy, hogy Panni és a tanárok is észrevegyék? Rajzold be a madzag egy lehetséges állapotát az ábrába. A megfelelő ablakok sorszáma: 33, 34.

2 A gyerekek bújócskáznak a kertben és Máté a hunyó, aki bekötött szemmel áll a fa előtt. Ha bekötött szemmel kellene megkeres-nie a többieket, milyen mondatokkal segítenél neki? Például: fordulj balra és menj ütközésig! Mondjátok el!Fordulj balra, és menj, amíg a talicskába nem ütközöl, alatta lapul egy gyerek. Ha tovább-mész a homokozóig és megkerülöd, ott lesz egy másik gyerek. Balra fordulj és menj a ház faláig, ott találod a harmadikat. Balra fordul-va menj a kerítésig, megint balra a sarokig, és balra tartva megtalálod a negyedik játékost is.

3 Aladár és Aletta amőbáznak. Aladár tette le az utolsó ×-et, amit az ábrán vastagabban jelöltünk. Leírtuk a játék további menetét. A lépések leírását mindig az előző lépéshez képest fogalmaztuk meg. Rajzold le az ábrára a játék további alakulását! Aletta kettővel lejjebb és eggyel balra tette a következő -t.

Aladár ez alá tette az ×-et.Aletta innen kettővel balra és kettővel följebb tette a -t.Aladár pontosan eggyel balra tette az ×-et. Aletta innen néggyel jobbra tette a -t.Aladár néggyel balra és kettővel feljebb az ×-et.Mit lépjen Aletta? Egészítsd ki a mondatot, és húzd alá a megfe-lelő szavakat!

Aletta öttel jobbra / balra és kettővel lejjebb / feljebb tegye a -t.Ki nyerte a játékot? Aletta.Minden lépés szükséges-e annak eldöntéséhez, hogy ki a győz-tes? Igen.

V. HELYMEGHATÁROZÁS, SOROZATOK1. HELYMEGHATÁROZÁS SZEREPE KÖRNYEZETÜNKBEN

113

4 Egy 9 emeletes irodaház minden emeletén 12 ablak látható. A föld-szinten nincsenek irodák. Minden ablak mögött egy iroda található. Az irodák számozása balról jobbra, 1-től 12-ig történik, de elé írják az emelet sorszámát is. A bejelölt iroda sorszáma azért 207, mert a máso-dik emeleten a hetedik.a) Hány iroda található az épület képen látható részén?b) András irodáján csak egyféle számjegy látható. Ez alapján jelöld be az iroda ablakát, és add meg a sorszámát!c) A 210-es irodának négy szomszédja van: 209, 211, 110, 310. Melyek azok az irodák, amelyeknek ilyen értelemben csak két szomszédja van?d) Hány olyan iroda van, amelynek pontosan három szomszédja van?

a) Irodák száma: 9 ⋅ 12 = 108.

b) András irodájának száma: 111.

c) Csak két szomszédja van: 101, 112, 901, 912.

d) Pontosan három szomszédja 10 + 7 + 10 + 7 = 34 darab irodának van.

5 Egy Balaton-parti ötemeletes szálloda minden ablaka a vízre néz. A földszinten nincsenek szobák, és minden szobának egy ablaka van. Panni a 105-ös szoba, vagyis az első emelet ötödik ablakából, Matyi pedig az 510-es szoba, vagyis az ötödik emelet tizedik ablakából nézi a Balatont. A partról nézve Panni az épület bal oldalától az ötödik, Matyi pedig a jobb oldalától az ötödik ablakban látható. Hány szoba van a szállodában? A válasz előtt a megoldáshoz készítsd el a szálloda rajzát!

A szobák száma: 5 ⋅ 14 = 70.

1. HELYMEGHATÁROZÁS SZEREPE KÖRNYEZETÜNKBEN

114

1 A tankönyvben is látható Pók te lep térképén be je-löltünk két keresz te ző dést.a) Hogyan jutnál el A-ból B-be, ha köz ben a II. ke rü-leten át kell menned? (2;1), (3;1), (4;1), (5;1), (6;1), (6;2), (6;3) b) Csak sugárutakat használva juss el (1; 3)-ból (3; 1)-be! (1;3), (1;2), (1;1), (0;0), (3;1)

2 A következő állítások az előző fel adat térképére vonatkoznak. Döntsd el, hogy melyik igaz, melyik hamis!a) Bármely útkereszteződésből bár me lyik másik út-ke reszteződésbe el lehet jutni csak sugárutakon. cb) Bármely útkereszteződésből bármelyik másik út-kereszteződésbe el lehet jutni csak körutakon. cc) Mivel a Pók presszó a (6; 3) útkereszteződésben ta-lálható, ezért a III. kerületben van. c

3 A következő kérdések a tankönyv 2. példájában szereplő táblázat adataira vonatkoznak.

a) Melyik két település távolsága 103 folyamkilométer? Szatmárcseke és Tuzsér. b) A teljes túrát nyolc naposra terveztük, és az első napon Szatmárcsekéig jutottunk. Véleményed szerint ez megfelelő sebesség? Az első napon megtett táv 24 fkm, a teljes táv 200 fkm, aminek az egy napra jutó része 200 : 8 = 25, tehát ez megfelelő sebesség.

4 Budapestről három autós indul Pécs-re, Győrbe, Szegedre. Nézd a tér kép váz-latot!100 km megtétele után mondhatja va-lamelyikük, hogy túl van a táv felén?

Az, aki Győrbe megy.

3. TÁJÉKOZÓDÁS A SZÁMEGYENSEN

1 Ábrázold számegyenesen, hogy a következő híres emberek mettől meddig éltek!Petőfi Sándor (1823–1849); Arany János (1817–1882); Széchenyi István (1791–1860).

I

H

I

1. sugárút

3. körút

2. körút

1. körút2. sugárút

3. sugárút

4. sugárút

II. kerületIII. kerület

A

B

5. sugárút6. sugárút

7. sugárút

8. sugárút

2. HELYMEGHATÁROZÁS

115

2 Dani iskolájában reggel 8-kor kezdődik a tanítás. Az órák 45, a szünetek 15 percesek. Jelöld a számegyenesena) az ötödik órát;b) a harmadik szünetet;c) az első három órát a közte lévő szünetekkel együtt!

3 A következő számegyeneseken jelöld be a 0 helyét!

4 Olvasd le a számegyenesről a megjelölt intervallumokat, és írd le matematikai jelekkel!

4 5 109876 4 ≤ x ≤ 10 �7 �6 �1 0 1�2�3�4�5 − 7 ≤ x < 1

0 1 2 3 4 5 6 0 < x < 6 �1 0 1 2�2�3�4�5 − 4 < x ≤ 1

5 Add meg matematikai jelekkel azt az intervallumot, amelyekben a felsorolt egész számok vannak! Add meg többféleképpen is!

a) 1, 2, 3, 4, 5: 0 ≤ x ≤ 6; 1 ≤ x ≤ 5; b) −7, −6, −5: − 8 < x < − 4; − 7 ≤ x ≤ − 5;

c) 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10: 3 < x < 11; 4 ≤ x ≤ 10; d) 12: 12 ≤ x < 13.

4. A DERÉKSZÖGÛ KOORDINÁTA-RENDSZER

1 Csigabi az origóból indulva csigavonalakat rajzolt. Hogyan juthat el legegyszerűbben az origóból a csigavonal közepére, ha csak jobbra–balra, illetve föl–le közlekedhet? Húzd alá a megfe-lelő szavakat, és egészítsd ki a mondatokat!

a) Csigabi menjen jobbra–balra kettőt, és föl–le hármat.

b) Csigabi menjen jobbra–balra kettőt, és föl–le kettőt.

c) Csigabi menjen jobbra–balra hármat, és föl–le négyet.

d) Csigabi menjen jobbra–balra kettőt, és föl–le kettőt.

2 Az előző feladat ábráján az a) csigavonalat meghatározó fontos pontokat sorban így jegyezhetjük le:(0; 0) (0; 5) (4; 5) (4; 1) (1; 1) (1; 4) (3; 4) (3; 2) (2; 2) (2; 3)Jegyezd le a további csigavonalakat is ilyen módon!

b) (0;0), (−3;0), (−3;3), (−1;3), (−1;1), (−2;1), (−2;2)

c) (0;0), (–5;0), (–5,–6), (–1;–6), (–1;–1), (–4;–1), (–4;–5), (–2,–5), (–2;–2), (–3;–2), (–3;–4)

d) (0;0), (0;−4), (5;−4), (5;–1), (1;–1), (1;–3), (4;–3), (4;–2), (2;–2)

� x

y

�

�

a

b

c

d

3. TÁJÉKOZÓDÁS A SZÁMEGYENESEN

116

3 Add meg az ábrán látható, betűvel jelölt pontokhoz tartozó számpárokat!

A ( 1 ; 5 ),

� x

y

�

�

A

B

C

D

E

F

B ( − 2,5 ; − 1 ),

C ( − 5 ; 0 ),

D ( − 3 ; − 5 ),

E ( 4 ; − 4 ),

F ( 5 ; − 2 ).

4 Rajzolj a koordináta-rendszerbe néhány szakaszból egy ábrát! Jelöld a fontos rácspontokat! Add meg a hozzájuk tartozó számpá-rokat!

� x

y

�

�

A ( 1 ; 3 ),

B ( 5 ; 1 ),

C ( 2 ; − 4 ),

D ( − 3 ; − 4 ),

E ( − 5 ; − 1 ),

F ( − 1 ; 3 ).

1 Egy kislány megtervezte keresztnevének első betűjét a koordi-náta-rendszerben, majd sorban leírta a pontokat.

� x

y

�

�

S

N

M

P

QR

T

a) Írd be a hiányzó koordinátákat!

M (− 2; 4), N (−2; − 1), P (1; − 1), Q (1; 0), R (− 1;0), S (− 1;4)

b) Mi lehet a kislány neve? Például: Liza vagy Lea, de bármilyen L betűvel kezdődő női név jó megoldás lehet.

c) Tervezd meg Tamás ábráját, és írd le az általad tervezett T betűhöz tartozó pontok koordinátáit!

A pontok és a koordinátáik: T (3; 4) A(6;4), B(6;3), C(5;3), D(5,–1), E(4;–1), F(4;3), G(3;3).

4. A DERÉKSZÖGÛ KOORDINÁTA-RENDSZER

5. PONTOK ÁBRÁZOLÁSA

117

2 Döntsd el az alábbi pontokról, hogy melyik síknegyedben vannak!A (2; 17), B (−30; 2), C (−7; −5), D (2; −99), E (6; 10), F (−10; 6), G (3; −3), H (4; −12), I (−15; −16), J (−8; −3), K (7; −2), L (28; 53).

I. síknegyed: A, E, L II. síknegyed: B, F

III. síknegyed: C, I, J IV. síknegyed: D, G, H, K

3 Ábrázold a következő pontokat pirossal! Mi a közös bennük? Hol helyezkednek el?P (−6; 6), Q (4; −4), R (0; 0), S (−1; 1), T (3; −3), V (−2; 2).A koordináták egymás ellentettjei. A pontok egy origóra illesz-kedő egyenesen helyezkednek el.

4 Ábrázold a következő pontokat kékkel! Mi a közös bennük? Hol helyezkednek el?V (2; 3), W (2; −4), X (2; 4), Y (2; −1), Z (2; 0).

A pontok első koordinátája minden esetben 2. A pontok egy y tengellyel párhuzamos egyenesen helyezkednek el.

5 Színezd a) kékre azokat a pontokat, amelyeknek az első

jelzőszáma 3! b) pirosra azokat a pontokat, amelyeknek az első

jelzőszáma −3!c) zöldre azokat a pontokat, amelyeknek a második

jelzőszáma 3!d) sárgára azokat a pontokat, amelyeknek a második

jelzőszáma −3!e) lilára azokat a pontokat, amelyeknek az első jelzőszáma

megegyezik a második jelzőszámával!


118

6 Az ábrán látható alakzatokat jegyezd le koordiná-ták segítségével!A csillag határvonalán bejelölt rácspontok koor-dinátái: (7; –1), (9; 0), (10; –1), (11; 0), (13; –1), (12; 1), (13; 2), (12; 3), (13; 5), (11; 4), (10; 5), (9; 4), (7; 5), (8; 3), (7; 2), (8; 1).

A szív határvonalán bejelölt rácspontok koordiná-tái: (4; –3), (7; 0), (7; 1), (6; 2), (5; 2), (4; 1), (3; 2), (2; 2), (1; 1), (1; 0).

1 A mellékelt térképvázlat két piros útvonalát tekintsd tengelynek! Add meg ezekhez viszonyítva a bejelölt pontok koordinátáit szöveggel és számpárokkal is!

Szöveggel: 4-gyel jobbra és 3-mal feljebb.

Koordinátákkal: (4; 3).

Szöveggel: 3-mal balra és 2-vel feljebb.

Koordinátákkal: (–3; 2).

Szöveggel: 3-mal jobbra és 4-gyel lejjebb.

Koordinátákkal: (3; –4).

2 Add meg az ábrán látható teremben lógó lámpa helyét három koordinátával!

x koordináta: 5.

y koordináta: 4.

z koordináta: 3.

3 Megadunk néhány pontot három koordinátával. Az első két szám jelentése megegyezik azzal, amit a derékszögű koordiná-ta-rendszernél tanultunk. A harmadik szám azt jelenti, hogy milyen színnel jelöljük a koordináta-rendszerben a pontot.1: piros, 2: zöld, 3: kék, 4: sárga. Ha ezektől eltérő a harmadik szám, akkor feketével kell rajzol-ni.A (2; 1; 1), B (−1; 2; 4), C (2; −3; 5), D (−1; −1; 2).Rajzold be a megfelelő színnel a pontokat a koordináta-rend-szerbe!

x

y


6. TÁJÉKOZÓDÁS SÍKBAN, TÉRBEN (KIEGÉSZÍTÔ TANANYAG)

x

y

z

1

1

10

119

4 Az ábrán az S és az L pontok két egységre vannak egymástól. Ez a két pont egy új koordináta-rendszert fog alkotni a számunk-ra. Egy Z pont helyét úgy állapítjuk meg, hogy megadjuk az SZ, illetve az LZ szakaszok hosszát. Ez a két szám, ebben a sorrend-ben adja a két koordinátát. Ha mindkét szám pozitív, akkor az SL egyenes fölött, ha mindkét szám negatív, akkor az SL egyenes alatt van a pont. Segítségként mindkét adott pont körül megrajzoltuk az 1, 2, 3, 4 és 5 egység sugarú köröket. Jelöld az ábrán a következő pontokat: A (3; 2), B (−3; −2), C (2; 3), D (1; 2) E (0; 2), F (−4; −4).

5 A 4. feladatban leírtak alapján add meg az ábrán bejelölt pon-tok koordinátáit!

A(4; 5), B(3; 5), C(4; 3), D(−3; –4), E(–5; –4)

6 A 4. feladatban leírt koordináta-rendszer hátránya, hogy nem minden számpárhoz tartozik pont a síkon. Adj meg néhány ilyen rossz számpárt!

(0,5; 0,5), (4; –3), (3; –4), (1; 4)

7 A 4. feladatban leírtak alapján járj el! Felvettük az S és az L pontokat!a) Rajzolj zölddel olyan Z pontokat, amelyek két koordinátája egyenlő!

b) Mit alkot az összes ilyen Z pont? Egy egyenest.

c) Véleményed szerint milyen szám lehet ebben a feladatban

a Z ko ordinátája? 1-nél nagyobb vagy –1-nél kisebb.

1 A tankönyv 2. feladatának mintájára készítsetek hasonló játékot a következő felbontások alapján:a) 111 111 = 3 · 37 037; b) 111 111 = 91 · 1221Írd le röviden az általad adott utasításokat!

a) Gondolj egy nem nulla számjegyre, és annak háromszorosával szorozd meg a 37 037-et!;

b) Gondolj egy nem nulla számjegyre, és annak 91-szeresével szorozd meg a 1221-et!

6. TÁJÉKOZÓDÁS SÍKBAN, TÉRBEN (KIEGÉSZÍTÔ TANANYAG)

S L

A

B

C

D

E

7. MATEMATIKAI JÁTÉKOK

120

2 Írjátok be az ábrán látható tíz körbe 1-től 10-ig az egész számokat úgy, hogy a három kis háromszög kerületén lévő hat-hat szám össze-ge mindig 28 legyen!

Megjegyzés: A kitöltés során érdemes arra gondolni, hogy van olyan hely, amely mindhárom kis háromszög kerületéhez tartozik, és van-nak olyan helyek, amelyek két kis háromszög kerületéhez tartoznak. A gyorsabban gondolkodó gyerekeknek feladható a feladat úgy, hogy a 28-at cseréljük a 29, 30, …, 38 számok valamelyikére.

3 Az ábrán látható 19 körbe írd be 1-től 19-ig az egész számokat úgy, hogy a hat kis háromszög minden oldalán a három szám összegea) 22; b) 23 legyen! .

4 A 10 kis körbe írd be 1-től 10-ig az egész számokat úgy, hogy bármely szomszédos számpár összege egyenlő legyen a velük átellenes számpár össze-gével!

5 A tankönyv 4. feladata alapján oldd meg a kérdést kilenc négyzetlapon nyolc bábuval, négy fehérrel és négy feketével!

7. MATEMATIKAI JÁTÉKOK

Az összeg: 29. Az összeg: 38.

1. SSSSVOVVV2. SSSOVSVVV3. SSOSVSVVV4. SSVSOSVVV5. SSVSVSOVV6. SSVSVSVOV7. SSVSVOVSV8. SSVOVSVSV

Jelöljük a sötét és a világos bábukat rendre S-sel és V-vel! 9. SOVSVSVSV10. OSVSVSVSV11. VSOSVSOSV12. VSVSOSVSV13. VSVSVSOSV14. VSVSVSVSO15. VSVSVSVOS16. VSVOVSVSS

17. VSVSVOVSS18. VOVSVSVSS19. VVOSVSVSS20. VVVSOSVSS21. VVVSVSOSS22. VVVSVOSSS23. VVVOVSSSS24. VVVVOSSSS

121

1 Figyeld meg az ábrákat! Keress összefüggést és folytasd a mintát!

a) A megkezdett szabály szerint színezd a virágokat! b) Hogyan színeznéd ki a tizenkilencedik virágot?

2 Folytasd az ábrasorozatot!

3 Rajzold be a mutatókat a negyedik óra számlapjára!

Fogalmazd meg a szabályt a mutatók helyzetével és az idő múlásával is!

Mindig 1 óra 20 perccel mutat többet az óra.

Mely egész órák lesznek benne az ábrasorozatban, ha még összesen 14 számlapot látnánk?

8:00, 12:00, 4:00.

4 Hogyan folytatnád a dobókockák sorozatát? balra: 6, jobbra: 2, fent: 4 balra: 6, jobbra: 4, fent 5 (mint az első)

5 Az ábrán látható F betűt mindig forgasd az óramutató járásával egyező irányban 90 fokkal. Így egy sorozatot kapsz. Képzeld el, hogy minden harmadik ábrát pirosra kell festened. Rajzold le a 12., a 20. és az 1234. ábrát!

A 12. ábra: A 20. ábra: Az 1234. ábra.

6 Zsóka nagyon furcsa „összeadást” mutat nekünk:7 + 2 = 59; 9 + 6 = 315; 11 + 9 = 220; 100 + 1 = 99 101

Keresd az összefüggéseket! Add meg, mennyi lehet! A két szám különbsége után írjuk a számok összegét.

10 + 8 = 218; 18 + 9 = 927; 10 + 9 = 119.

8. KERESSÜNK ÖSSZEFÜGGÉSEKET!

A megoldásként adott szöveg alapján szerettünk volna egy jó ábrát, hiszen a pöttyök elhelyezése is fontos!!!! Nem kell fénykép, lehet rajzolt ábra a megoldás színével rajzolva.

122

1 Megadtuk egy-egy sorozat harmadik, negyedik, ötödik hatodik és hetedik tagját. Keress egy szabályt, és add meg a sorozat első, második, nyolcadik, kilencedik és tizedik tagját!

a) −7, −2, 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38; b) , , 12

, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64;

c) 1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, 0, 1, 0. d) 47, 36, 25, 14, 3, −8, −19, −30, −41, −52.

2 A következő sorozatban csak háromjegyű számok szerepelnek. Minden szám három különböző szám-jegyből áll, de mindegyiknél csak az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből választunk. Hogyan lehetne folytatni a meg-kezdett sorozatot?

135, 354, 542, 421, 213, 135, 354, 542, 421, 213, 135;

3 Vizsgáld meg a következő szorzatokat! Mit gondolsz? Az érdekességét is megtartva végtelen sok szá-mot határozhattunk meg ilyen módon?

a) 2 · 9999 = 19998 3 · 9999 = 29997 4 · 9999 = 39996 5 · 9999 = 49995

8 ilyen szorzatot határozhatunk meg.

b) 4 · 4 = 1634 · 34 = 1156334 · 334 = 1115563334 · 3334 = 1111555633334 · 33334 = 1111155556

Végtelen sok számot határozhatunk meg.

c) 1 · 1 = 111 · 11 = 121111 · 111 = 123211111 · 1111 = 123432111111 · 11111 = 123454321

9 ilyen szorzatot adhatunk meg.

4 Egy ábrasorozat első négy tagját lerajzoltuk. Innen kezdve ez a négy forma ismétlődik ebben a sor-rendben, de a színek csak hármasával ismétlődnek, piros, zöld, sárga sorrendben.

a) Rajzold le a tizenegyedik ábrát! b) Rajzold le a huszadik ábrát!

c) Add meg azokat a sorszámokat, amelyeken valamilyen színű látható! 3., 7., 11., 15., 19., ...

9. SOROZATOK

123

5 A logikai készletben háromszögek, négyzetek és körök vannak. Mindegyik formának van nagy és ki-csi változata. Az eddigi alakzatok mindegyike szerepel a készletben lyukas és nem lyukas változatban is. Továbbá minden eddigi lehet piros, zöld, sárga vagy kék színű. Egy-egy elemből több is a rendelkezésünk-re áll.Ezeket a formákat sorozatba rendezzük, a következő szabályok betartásával:Minden második helyre nagyot teszünk. Minden harmadik helyre négyzet kerül. Minden negyedik helyen zöld van. Minden ötödik síkidom lyukas.120 síkidomot tettünk egymás mellé. a) Add meg azokat a sorszámokat, amelyeken biztosan négyzet szerepel!Sorszámok: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30,…, 114, 117, 120.

b) Add meg azokat a sorszámokat, amelyeken biztosan nagy és lyukas síkidom szerepel!Sorszámok: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120.

c) Add meg azokat a sorszámokat, amelyeken biztosan zöld négyzet van!Sorszámok: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120.

d) Milyen síkidom lehet a 120. helyen?Válasz: Nagy, zöld, lyukas négyzet.

10. NEVEZETES, ÉRDEKES SOROZATOK

1 Kockákból az ábrán látható lépcsős formákat építjük, egyre nagyobbakat.

Add meg a kockák darabszámából álló sorozat első 15 tagját!

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225.

2 A következő négyzeteket sakktáblaszerűen színeztük.

a) Add meg a világos mezők darabszámából álló sorozat első nyolc tagját!

1, 2, 5, 8, 13, 18, 25, 32, 41. b) Add meg a sötét mezők darabszámából álló sorozat első nyolc tagját!

0, 2, 4, 8, 12, 18, 24, 32, 40.

9. SOROZATOK

124

3 Hány elem kell a piramisok megépítéséhez?

Add meg a sorozat első hat tagját! A sorozat tagjai:

1, 5, 14, 30, 55, 91.

4 Zsolt látta, hogy hogyan készültek kupakok segítségével a háromszögszámok és a négyzetszámok. (Te is nézd át a tankönyv 10. leckéjét!) Szeretett volna valami újat alkotni, ezért kitalálta a téglalapszámo-kat.

a) Adj meg további hat számot Zsolt sorozatából! 2; 6; 12; 20; 30, 42, 56, 72, 90, 110.

b) Milyen kapcsolatot találsz Xénia és Zsolt sorozata között? Zsolt sorozatának minden eleme kétszer annyi kupakból épült, mint Xéniáé.

c) Zsolt szerint az ő és Xénia sorozatából is előállítható Zelma sorozata összeadással, a második tag-

tól kezdve. Mely tagokat kell összeilleszteni? X.1., X.2.+Zs.1., X.3.+Zs.2., X.4.+Zs.3., X.5.+Zs.4., X.6.+Zs.5.

(X.-Xénia, Zs.-Zsolt)

Rajzolj, és színezéssel indokolj!

d) Ezután Xénia nagy felfedezést jelentett be. Szerinte csak az ő sorozatának a felhasználásával is elő-állítható Zelma sorozata. Segítségként háromféle kupakot használt Zelma ábráinak felépítéséhez. Ezek alapján fogalmazd meg Xénia felfedezését!

Xénia felfedezése: Zsolt sorozatának elemeit össze tudja építeni

a saját sorozatának két ugyanolyan eleméből,

és az eggyel nagyobb sorszámú tetőt teszi rá.

5 Egy levéllánc indítója 5 embernek küldte el a levelét, melyben arra kérte őket, hogy továbbítsák a le-velét további öt ismerősüknek. Hány ember kapja meg ezt a levelet másodkézből, harmadkézből, negyedkézből, ha azt feltételezzük, hogy mindig új emberek lesznek a címzettek?

Az indítótól, vagyis „elsőkézből” 5 ember kapta meg a levelet: 5.

Másodkézből: 25.

Harmadkézből: 125.

Negyedkézből: 625.

10. NEVEZETES, ÉRDEKES SOROZATOK

125

1 A megadott grafikonon egy 30 fős osztály témazáró dol-gozatának eredménye látható. Melyek igazak, melyek hamisak az alábbi állítások közül?

a) Négyes dolgozatot írtak legtöbben.

b) Egyes dolgozatot írtak legkevesebben.

c) Az osztály fele hármasnál jobbat írt.

d) Mindenki megírta a dolgozatot.

2 Egy iskolában felmérést készítettek arról, hogy ki hány percet tölt naponta a számítógép előtt. A megkérdezett diákok a következő válaszokat adták:30, 50, 70, 90, 200, 150, 170, 300, 250, 150, 10, 160, 190, 20, 70, 80, 70, 220, 30, 90

Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit!

Időtartam 1 óránál kevesebb 1–2 óra 2–3 óra 3 óránál többDiákok száma 5 6 4 5

3 A táblázat 10 olimpiáról készült éremtáblázatunkat mutatja. Ezek alapján válaszolj a kérdésekre!

Év Helyszín Arany Ezüst Bronz

1968 Mexikóváros 10 10 12

1972 München 6 13 16

1976 Montreal 4 5 13

1980 Moszkva 7 10 15

1988 Szöul 11 6 6

1992 Barcelona 11 12 7

1996 Atlanta 7 4 10

2000 Sydney 8 6 3

2004 Athén 8 6 3

2008 Peking 3 6 2

a) Melyik évben szereztük a legtöbb érmet? 1972-ben. b) Anna szerint akkor sikeres az olimpia, ha aranyéremből van a legtöbb, Béla akkor örül, ha 15 éremnél többet szerzünk, Cili a 20-nál több érmet tartja jó olimpiának. Hány olyan olimpia volt, amely után mindhárman elégedettek lehettek volna?

Anna szerint sikeres olimpia: 1988, 2000, 2004. Béla szerint sikeres olimpia: 1968–2004.

Cili szerint sikeres olimpia: 1968–1996. Vagyis: 1.

I

H

I

H

11. TÁBLÁZATOK, GRAFIKONOK

5

10

db

1 2 3 4 5

érdemjegy

126

4 Hat gyermek egy-egy háromgombócos fagyit vásárolt. A választék: vanília, tutti-frutti, karamell, rumosdió, kávé (a pisztácia már elfogyott).A rendelésnél sorban ezek hangzottak el: vanília, tutti-frutti, karamell, karamell, rumosdió, kávé, vanília, karamell, tutti-frutti, karamell, rumosdió, vanília, karamell, tutti-frutti, vanília, karamell, tutti-frutti, vanília.a) Készíts táblázatot a rendelt fagylaltok számáról!

b) Rakd sorba a fagylaltokat a népszerűségük alapján! Használd a táblázatod adatait! Első hely: karamell, második hely: vanília, harmadik hely: tutti-frutti, negyedik hely: rumosdió, ötödik hely: kávé.

c) A sorban hol helyezkedne el véleményed szerint a pisztácia?Valószínűleg a pisztácia a legnépszerűbb, hiszen az már elfogyott. Vagyis mindegyiket megelőzve az első helyre kerülne.

1 Két lány címe a következő:Idei Évi, 3211 Barnafalva, Medve utca 1. Aloe Vera, 4220 Szőkeliget, Ciklon utca 2.Évi levelet írt Verának. Hogyan kell megcímeznie a borítékot?

2 Add meg a bejelölt intervallumokon lévő egész számokat!

a) 82 b) 4�2 c) 30 d) 1�1

a) egész számok: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; b) egész számok: −1, 0, 1, 2, 3, 4;

c) egész számok: 0, 1, 2; d) egész számok: 0.

fagyi neve: vanília tutti-frutti karamell rumosdió kávé

rendelések száma 5 4 6 2 1

Idei ÉviBarnafalvaMedve utca 1.3211

Aloe VeraSzőkeliget

Ciklon utca 2.4220

11. TÁBLÁZATOK, GRAFIKONOK

12. ÖSSZEFOGLALÁS

127

3 A koordináta-rendszerben megadott rajz rácspontjainak add meg a koordinátáit!

A (−1;− 1), B (1; 0), C (3;0), D (3 ;5),

E (2; 3), F (1;6), G (0;3), H (−1;5)

4 Szerettünk volna a koordináta-rendszerben egy ABCD négyzetet megadni. Két csúcsot már berajzoltunk.a) Hogyan fejeznéd be a rajzolást? Hány négyzetet tudsz elképzelni? Használj különböző színeket!b) Add meg a négy csúcs koordinátáit!

Egyik lehetőség: A (0;−1), B (3;0), C (2;3), D (−1;2)

Másik lehetőség: A (0;−1), B (3;0), C (4 ;−3), D (1;−4)

5 Keress egy szabályt, és folytasd a sorozatokat 3-3 számmal!

a) 1, 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000;

b) 12

, 13

, 34

, 45

, , , ; c) 1,2; 2,3; 3,4; 4,5; 5,6; 6,7; 7,8; d) 1, −2, 3, −4, 5, − 6, 7.

6 Hogyan folytatnád az ábrasorozatot?

a)

b)

7 Az osztályban szőke és barna hajú gyerekek vannak, akiknek kék vagy barna szeme van. Összesen huszonégyen járnak ide. A gyerekek harmada szőke. A szőkék háromnegyede kék szemű. Ugyanannyi kék mint barna szemű gyerek van az osztályban. Töltsd ki a táblázatot!

12. ÖSSZEFOGLALÁS

� x

y

�

�

A

B C

D

E

F

G

H

Kék szemű Barna szemű ÖsszesenSzőke hajú 6 2 8Barna hajú 6 10 16Összesen 12 12 24

128

1 A paprikát az egyik üzletben darabra lehet vásárolni, az egységára 95 Ft. Mennyibe kerül 2, 5, 8, 22 darab paprika? Válaszaidat írd a táblázatba!

1 db 2 db 5 db 8db 22db

95 Ft 190 Ft 475 Ft 760 Ft 2090 Ft

2 Egy 60 lapos kártyajáték összes lapját egymás mellé rakva egy nagy téglalapot szeretnénk kialakítani. Hányféle téglalap jöhet így létre?

A téglalapok száma: 12 db (60·1, 30·2, 20·3, 15·4, 12·5, 10·6, 6·10, 5·12, 4·15, 3·20, 2·30, 1·60).

3 Veronika születésnapjára egy 28 szeletes torta készült. A tortát egyenlően osztja szét. Hány szelet jut egy embernek, ha a) 28-an b) 14-en c) 7-en esznek a tortából, esznek a tortából, esznek a tortából?

Színezd be az egy emberre jutó szeleteket!

4 Egy matematikaverseny feladatlapján minden évben 25 tesztkérdés található. Ezt a versenyt 1991-ben rendezték meg először. Alapos Lajos 2015-ben azt tervezte, hogy na-gyon alaposan felkészül, ezért az eddigi ösz-szes feladatlapot megoldja. Hány feladat vár Lajosra?

5 Budapesten 2014-ben a felnőttek 9500 Ft-ért vásárolhattak bérletet, amely-lyel korlátlanul utazhattak egy hónapig. Hány forintba került egy utazása annak a felnőttnek, aki összesen

a) 25 b) 38 c) 76 d) 125

alkalommal utazott ebben a hónapban?

a) 380 Ft-ba került. b) 250 Ft-ba került.

c) 125 Ft-ba került. d) 76 Ft-ba került.

6 A 32 fős osztályban csoportmunkát szervezünk. Hány csoport lesz, ha egy csoport létszáma

a) 2; b) 4; c) 8; d) 16?

a) A csoportok száma: 16. b) A csoportok száma: 8.

c) A csoportok száma: 4. d) A csoportok száma: 2.

1991-ben: 1. verseny…2014-ben: 24. verseny24·24 = 576576 feladat vár rá.

VI. ARÁNYOSSÁG, EGYENLETEK1. ARÁNYOSSÁGOK, VÁLTOZÓ MENNYISÉGEK

129

1 Egy egyszerű, de nagyon szórakoztató játékhoz a képen látható do-bótestek tartoznak, kettő a pirosból és egy a kékből. A játékgyárban van 325 darab piros dobókocka és 220 darab kék dobótest (dodekaéder).a) Hány darab játék összeállításához elegendő ez a mennyiség? b) Már elkészült 42 csomag játék. Ezekben melyik testből mennyi van?

a) Az összeállítható játékok száma: 162 darab.

b) Az elkészült csomagokban piros dobókockákból 84 darab, kék dobótestből pedig 42 darab van.

2 Az iskolai büfében 130 Ft-ért sonkás, 110 Ft-ért sajtos szendvicset lehet kapni. Az első szünetben a gyerekek összesen 1690 Ft-ot fizettek a sonkás szendvicsekért és 1210 Ft-ot a sajtosokért. A következő szünetben 15 darab sonkást, és 9 darab sajtosat vásároltak. Hány darab szendvics fogyott az első szünet-ben? Mennyit fizettek a második szünetben összesen?

Az első szünetben megvásárolt sonkás szendvicsek darabszáma: 13

Az első szünetben megvásárolt sajtos szendvicsek darabszáma: 11

A második szünetben a sonkásokért fizetett összeg: 1950 Ft

A második szünetben a sajtosokért fizetett összeg: 990 Ft

3 Az étterem előrendelés esetén 790 Ft-ért ad egy ebédet. a) Mennyit fizet egy vendég, ha 4, illetve ha 15 napra rendel ebédet?b) Valaki április 24-én, csütörtökön eltervezte, hogy május 5-től májusban minden munkanapon ebben az étteremben fog ebédelni. Mennyit fog fizetni?a) 4 nap esetén az ára: 3160 Ft; 15 nap esetén az ára: 11 850 Ft.b) Ha április 24-e csütörtök, akkor május 5-e: hétfő.Ezeken a napokon ebédel az étteremben: 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 27, 28, 29, 30. Ez összesen: 20 nap. Vagyis összesen 15 800 Ft-ot fog fizetni az ebédekért.

4 A rovaroknak 3 pár, a pókoknak 4 pár, a rákoknak 5 pár lábuk van.a) Hány lába van összesen 3 rovarnak, 4 póknak és 5 ráknak?b) Egy képen rovarok, pókok és rákok láthatók. Mindegyikből van legalább egy a képen, és összesen 46 lábat látunk. Melyikből mennyi lehet a képen?a) A három rovar lábainak száma: 18. A 4 pók lábainak száma: 32. Az 5 rák lábainak száma: 50. Ez összesen: 18 + 32 + 50 = 100.

b)

Rákok száma Pókok száma Rovarok száma2 1 31 3 2

A megoldás menete:Mivel mind a háromféle állatból van legalább 1, az ő lábaik száma összesen 6 + 8 + 10 = 24. A fennmaradó 22 láb felírható 10 + 2∙6 vagy 8 + 8 + 6 alakban (másképp ezekkel a számokkal nem), ezért vagy még egy rák és még két rovar, vagy még két pók és még egy rovar van a képen.

} Ez összesen: 24 db.

} Ez összesen: 2940 Ft.

2. ARÁNYOS KÖVETKEZTETÉSEK

7 9 0 ⋅ 4 = 3 1 6 0 7 9 0 ⋅ 1 5 = 1 1 8 5 0 7 9 0 ⋅ 2 0 = 1 5 8 0 0

130

5 Egy cipőfűző hossza 80 cm. a) Hány deciméter cipőfűző van egy pár cipőben? 16 dm

b) Hány méter cipőfűző van 35 ilyen pár cipőben? 56 m

c) Hány pár ilyen cipőbe elegendő 1 kilométer cipőfűző? 625 pár cipőbe

6 Egy dobozban 150 darab kockacukor van. Lea minden reggel 3 cukorral issza a teáját. a) Hány darab cukor van a 14. nap reggelén a teázás után a dobozban? b) Hány nap alatt fogy el a cukor? c) Hány nappal tartana tovább az egy doboz cukor, ha Lea csak két cukorral inná a teát?

a) A cukrok száma: 150 − 3 · 14 = 150 − 42 = 108 db

b) 50 nap alatt elfogy a cukor.

c) Ekkor 25 nappal tovább tartana.

3. NYITOTT MONDATOK, EGYENLETEK

1 A következő nyitott mondatok mindegyikéhez ugyanaz az alaphalmaz tartozik. Olvasd el mindegyiket, és add meg ezt a közös alaphalmazt! Add meg az igazsághalmazokat is!

Az alaphalmaz: az év hónapjai.

a) A … hónapok a nyári hónapok.

b) A … hónapok 30 naposak.

c) Az év utolsó hónapja …

d) Az év negyedik hónapja …

a) I = { június, július, augusztus }

b) I = { április, június, szeptember, november }

c) I = { december }

d) I = { április }

2 Legyen az alaphalmaz az 5000-nél kisebb négyjegyű számok halmaza. Add meg a nyitott mondatok igazsághalmazát!a) A számok csupa egyforma számjegyből állnak. b) A számok pontosan három ötös számjegyet tartalmaznak. c) A számok pontosan egy nullát és három négyest tartalmaznak. d) A számok kisebbek, mint 1001.e) A számok nagyobbak, mint 9997.

a) I = { 1111, 2222, 3333, 4444 }b) I = { 1555, 2555, 3555, 4555 }c) I = { 4044, 4404, 4440 } d) I = { 1000 }e) I = { }

2. ARÁNYOS KÖVETKEZTETÉSEK

131

3 Milyen számjegyek kerülhetnek a síkidomok helyére a következő egyenletekben?a) + ○ = 16; b) + ○ = 4; c) + ⌂ + ○ = 28; d) + ⌂ + ○ = 3.a) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

– – – – – – – 9 8 7

b) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4 3 2 1 0 – – – – –

c) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

⌂ – – – – – – – – – –– – – – – – – – – –

d) 3 0 0 2 2 1 0 1 0 1

⌂ 0 3 0 1 0 2 2 0 1 1

0 0 3 0 1 0 1 2 2 1

4 A következő nyitott mondatok alaphalmaza az egész számok halmaza. Add meg a nyitott mondatok összes megoldását, azaz add meg az igazsághalmazukat!

a) Az autóknak … kereke van. a) I = { 4 }.

b) A budapesti telefonszámok … jegyűek. b) I = { 7 }.

c) … darab páratlan számjegy van. c) I = { 5 }.

d) A … számjegyek párosak. d) I = { 0, 2, 4, 6, 8 }.

e) A … számok húsznál kisebbek, e) I = { }.de tizenkilencnél nagyobbak.

1 Add meg az egyenletek megoldását próbálgatással!a) 7 · x + 17 = 73; b) 13 · x − 6 = 59; c) 71 · x + 14 = 582; d) 32 · x − 50 = 590. x = 8; x = 5; x = 8; x = 20.

x = 5 ; 7 ⋅ 5 + 1 7 = 5 2 , kevés x = 7 ; 7 ⋅ 7 + 1 7 = 6 6 , kevés x = 8 ; 7 ⋅ 8 + 1 7 = 7 3 , jó

x = 8 ; 1 3 ⋅ 8 − 6 = 9 8 , sok x = 7 ; 1 3 ⋅ 7 − 6 = 8 5 , sok x = 5 ; 1 3 ⋅ 5 − 6 = 3 9 , jó

a) b)

A c) és d) feladatot is hasonlóan lehet megoldani.

3. NYITOTT MONDATOK, EGYENLETEK

4. PRÓBÁLGATÁSOK, KÖVETKEZTETÉSEK

132

2 Keresd meg az egyenletek megoldásait próbálgatással! Az alaphalmaz a természetes számok halmaza.a) a · a + 1 = 26; b) b · b − 1 = 35; c) c · (c + 1) = 30; d) d · (d − 1) = 56.

a értéke lehet: 5; b értéke lehet: 6; c értéke lehet: 5; d értéke lehet: 8.

3 Oldd meg következtetéssel az egyenleteket!a) 3 · x = 630; b) x : 2 = 210; c) x − 71 = 71; d) 13 + x = 0.

x = 210; x = 420; x = 142; x = −13.

4 Melyik számra gondoltunk, ha a harmadához 667-et kell adni, hogy 1000 legyen?

A 333 -hoz kell 667-et adni, hogy 1000 legyen.

A 999 -nek a harmada a 333.

Vagyis a gondolt szám: 999.

5 Melyik számra gondoltunk, ha 22-vel kell csökkentenünk, hogy az így kapott szám harmada 130 legyen?

A 390 harmada a 130. A 412-t kell 22-vel csökken-

teni, hogy 390 legyen. Vagyis a gondolt szám: 412.

6 Oldd meg az egyenleteket lebontogatással! Szemléltesd rajzzal a következtetéseidet!a) 8 · (x + 11) + 14 = 214; b) (x − 19) · 2 + 48 = 100; c) (x : 4 + 47) · 2 − 8 = 104; d) (x : 7 − 2) · 7 + 2 = 51.

a) x =

b) x =

c) x =

d) x =

4. PRÓBÁLGATÁSOK, KÖVETKEZTETÉSEK

6 3 0 : 3 = 2 1 0 2 1 0 ⋅ 2 = 4 2 0 7 1 + 7 1 = 1 4 2

1 0 0 0 − 6 6 7 = 3 3 3 3 3 3 ⋅ 3 = 9 9 9

1 3 0 ⋅ 3 = 3 9 0 3 9 0 + 2 2 = 4 1 0

133

1 Add meg az egyenletek megoldását „ránézésre”!a) x − 18 = 70; b) x + 34 = 110; c) 14 · x = 140; d) 21 · x = 420.

x = 88; x = 76; x = 10; x = 20.

2 A következő egyenletekhez adj meg úgy egy-egy alaphalmazt, hogy ne legyen megoldásuk!a) x − 13 = 55; b) x + 100 = 98; c) 2 · x = 39; d) 5 · x = 35.

a) Az alaphalmaz: a negatív számok halmaza.

b) Az alaphalmaz: a pozitív számok halmaza.

c) Az alaphalmaz: az egész számok halmaza.

d) Az alaphalmaz: a kétjegyű egész számok halmaza.

3 Legyenek az alaphalmazban a 0-ra végződő pozitív számok! Van-e megoldása a következő egyenletek-nek? Ha van, akkor add meg a megoldást.a) 5 · x + 11 = 1961; b) 4 · x − 14 = 1986; c) 3 · x − 24 = 5554; d) 7 · x + 34 = 4445.

a) van – nincs: x = 390

b) van – nincs: x = 500

c) van – nincs: nincs, mert x csak 5578 · 1

3 lehet, és az nem egész szám.

d) van – nincs: nincs, mert x csak 4411 · 1

7 lehet, ami nem egész szám.

4 Oldd meg az egyenleteket!a) x − 0,5 = 3,5; b) x + 1,2 = 23,2; c) 5 · x = 16; d) 3 · x = 2.

x = 4; x = 22; x = 3,2; x = 23

.

5 Oldd meg a következő egyenletet! (x + 2) · (x + 1) · (x − 1) · (x − 2) = 0

Az x lehetséges értékei: −2, −1, 1, 2.

6 Add meg az egyenletek megoldását!a) [5 · (x − 8) + 2] · 7 − 45 = 564; b) [9 · (x − 2) + 7] · 3 − 56 = 451a) Ennyiből kell elvenni 45-öt, hogy 564 maradjon: 609. Vagyis [5 · (x − 8) + 2] · 7 = 609. Ennyit kell megszorozni 7-tel, hogy 609 legyen.Vagyis 5 · (x − 8) + 2 = 87. Ennyihez kellett 2-t adni, hogy 87 legyen.Vagyis 5 · (x − 8) = 85. Ennyit kellett 5-tel megszorozni, hogy 85 legyen.Vagyis x − 8 = 17. Az egyenlet megoldása: x = 25. b) A következtetéseid lépéseit írd a füzetedbe!Az egyenlet megoldása: x = 20.

5. EGYENLETMEGOLDÁS GYAKORLÁSA

5 6 4 + 4 5 = 6 0 9 6 0 9 : 7 = 8 7 8 5 : 5 = 1 7

134

1 Egy csomagoló üzemben 300 liter gyümölcslevet töltenek dobozokba. Ezen a napon 1,5 literes és 2 dl-es dobozokat töltöttek meg. Összességében mind a két fajta dobozba ugyanannyi liter gyümölcslé került. Hány dobozt töltöttek meg összesen?

Az 1,5 literes dobozokba került mennyiség: 150 liter.

A 2 dl-es dobozokba került mennyiség: 150 liter.

Az 1,5 literes dobozok száma: 100 db. A 2 dl-es dobozok száma: 750 db.

A dobozok száma összesen: 850 db.

2 A mozi pénztárában záráskor összesen 308 000 Ft papírpénz volt. A pénztáros megállapította, hogy mindegyik pénzből (500, 1000, 2000, 5000, 10 000, 20 000) pontosan ugyanannyi darab van. Hány húszezres volt a kasszában?

A húszezresek száma legyen: x

A szöveg alapján felírható egyenlet: (20 000 + 10 000 + 5000 + 2000 + 1000 + 500) ⋅ x = 308 000

Az egyenlet megoldása: x = 8

Vagyis 8 darab húszezres volt a kasszában.

3 A pénztárcámban 500 Ft-os és 2000 Ft-os bankjegyek vannak. A 31 500 Ft-ot úgy fizettem ki, hogy kétszer annyi kétezrest adtam a pénztárosnak, mint ötszázast. Hány darab ötszázassal fizettem?

Az ötszázasok száma legyen: x db.

Ekkor a kétezresek száma: 2 ⋅ x db.

A szöveg alapján az egyenlet: 500x + 2000 ⋅ 2x = 31 500


Vagyis az ötszázasok száma: 7 db.

4 Egy kéttagú összeg második tagja az első tag kétszeresénél 26-tal kisebb. Az összeg értéke 1000. Mekkora az első tag?

Legyen az első tag: x Ekkor a második tag: 2x − 26.

A szöveg alapján az egyenlet: x + 2x − 26 = 1000


Vagyis az első tag: 342

5 Egy kéttagú összeg első tagja a második harmadánál 74-gyel nagyobb. Az összeg értéke 126. Mekko-ra a második tag?

Legyen a második tag: x Ekkor az első tag: x : 3 + 74

A szöveg alapján az egyenlet: x + x : 3 + 74 = 126


Vagyis a második tag: 39

6. SZÖVEGES FELADATOK

135

6 Egy termelőnél 18 kg cseresznye volt a piacon. Eddig 12-en vásároltak fél kg-ot, és néhányan 1,5 kg-ot. Még van 6 kg eladatlan cseresznyéje. Hányan vásároltak 1,5 kg-ot?Az 1,5 kg-ot vásárlók száma legyen: x fő.

Ekkor a megvásárolt cseresznye mennyisége: 12 ⋅ 0,5 + x ⋅ 1,5

A szöveg alapján az egyenlet: 12 ⋅ 0,5 + x ⋅ 1,5 = 18 − 6


Vagyis 4 fő vásárolt 1,5 kg cseresznyét.

7. ÖSSZEFOGLALÁS

1 Írj egyenleteket a kérdésekhez! Oldd meg az egyenletedet, és válaszolj a kérdésre! a) Mennyit kell −18-ból elvenni, hogy a különbség 22 legyen? b) Mennyit kell 29-hez adni, hogy az összeg −11 legyen? c) Melyik számot kell 12-vel megszorozni, hogy a szorzat 6 legyen? d) Melyik számot kell 9-cel megszorozni, hogy a szorzat 6 legyen?

a) Az egyenlet: −18 − x = 22. Az egyenlet megoldása: x = −40.

Válasz: −40-et kell elvenni.

b) Az egyenlet: 29 + x = −11. Az egyenlet megoldása: x = −40.

Válasz: −40-et kell hozzáadni.

c) Az egyenlet: x ⋅ 12 = 6. Az egyenlet megoldása: x = 1

2 = 0,5.

Válasz: 0,5-et.

d) Az egyenlet: x ⋅ 9 = 6. Az egyenlet megoldása: x = 23

.

Válasz: 23

-ot.

2 Gondolj egy számot! Adj hozzá 2-t! Szorozd meg 9-cel! Oszd el 3-mal! Vonj ki belőle 12-t! Oszd el 3-mal! Most mennyi az eredmény?Az eredmény ismeretében könnyen megmondható a gondolt szám. Elemezd a gondolatsort, és add meg a kitalálás receptjét!Legyen a gondolt szám az x. Az utasítások után kapott értékek így alakulnak:

Adj hozzá 2-t! x + 2

Szorozd meg 9-cel! 9 ⋅ (x + 2), amit így is írhatunk: 9x + 18

Oszd el 3-mal! 3x + 6

Vonj ki belőle 12-t! 3x − 6

Oszd el 3-mal! x − 2

Ez a gondolt számnál 2-vel kisebb.

Vagyis a kitalálás receptje: A kapott eredményhez hozzáadunk kettőt, ez volt az eredetileg gondolt szám.

6. SZÖVEGES FELADATOK

136

3 Oldd meg az egyenleteket!a) 2 · x + 0,5 = 4,5; b) 3 · x + 1,2 = 5,1; c) 4 · x = 100; d) 8 · x = 1000.

x = 2; x = 1,3; x = 25; x = 125.

4 100 darab tojást kellene 10-es és 15-ös dobozokban elhelyezni. Nem szeretnénk, hogy kimaradjon tojás, és azt sem szeretnénk, hogy a dobo-zokban üres helyek legyenek. Hányféle megoldást találsz a csomagolásra?

A 15-ös dobozok száma nem lehet több, mint 6 db.

Ehhez a 10-es dobozok száma: 1 db.Ha csökkentem a 15-ös dobozok számát, akkor a következő eseteket kell megvizsgálnom:

15-ös dobozok száma: 5, 4, 3, 2, 1; 10-es dobozok száma: –, 4, –, 7, –.

A következő eseteket kaptam: 6 ⋅ 15 + 1 ⋅ 10; 4 ⋅ 15 + 4 ⋅ 10; 2 ⋅ 15 + 7 ⋅ 10.

5 A pékségben sajtos, burgonyás és medvehagymás aprópogácsát lehet kapni. Mivel azonos az áruk, ezért László vegyesen véletlenszerűen vásárolt ezekből 42 darabot. Otthon egy tálcára rakta, és ekkor lát-ta, hogy sajtosból vásárolta a legkevesebbet. Burgonyásból 2-vel több van, mint sajtosból. A medvehagy-mások száma pedig pontosan a burgonyásoknak a kétszeresével egyenlő. Melyik fajtából hány darabot vásárolt?A sajtosok száma legyen x.

Ekkor a burgonyások száma: x + 2. A medvehagymások száma: 2 ⋅ (x + 2).

A szöveg alapján az egyenlet: x + x + 2 + 2 ⋅ (x + 2) = 42.

Az egyenlet megoldása: x = 9.

Vagyis a sajtosok száma: 9, a burgonyások száma: 11, a medvehagymások száma: 22.

6 A legenda szerint Diophantosz sírfelirata hirdette, hány évig élt e földön. Számold ki te is!„VénDiophantosztrejtiekő.Bárőmagaszunnyad,megtanította a sírt, mondja el élte sorát.Évei egyhatodát tölté ki a gyönge gyerekkor,mégfeleannyilefolyt,sállaszakállakinőtt.Egyhetedelteltmég,ésnászágyvártaaférfit,elmúltújraötév,ésfiamegszületett.Ez feleannyi napig láthatta a fényt idefenn, mintatyja, mivel neki így szabta az isteni sors.ŐtgyászolvaasírfeléhajlottaggDiophantosz,négyévvelkésőbbőiselérteacélt.Mondd,hányesztendőtélthátmeggyászban,örömben,S itta az édes fényt, míg hona lett ez a sír?”

7. ÖSSZEFOGLALÁS

3 , 9 : 3 = 1 , 3 1 0 0 : 4 = 2 5 1 0 0 0 : 8 = 1 2 5

Éveinek száma legyen x. Az egyenlet:

A megoldás:x = 84Tehát Diophantosz 84 évig élt.

x6

x12

x7

x2

+ + + + =5 4 x+

137

VII. ADATGYÛJTÉS, STATISZTIKA1. JÁTÉK

SzámbontogatóJátszd a padtársaddal! Az egyikőtök kezdi a játékot. Dobj két kockával! A dobott számok össze-gét kell bejelölnöd a táblázatban vagy az összeg valamilyen felbontását, de legfeljebb 2 szám összegeként! Ha például a dobott szám 1 és 4, akkor bejelölheted a táblázatban az ötöst vagy a négyest és az egyest vagy a kettest és a hármast, mert 5=1+4=2+3. Amelyik számot a táblázatban egyszer bejelölted, azt még egyszer nem jelölheted be abban a játékban! A játék addig tart, amíg be tudsz jelölni számokat. A be nem jelölt számok összege lesz a (rossz)pontod, ezt írd fel magadnak! Példa egy játékra: 1. dobás: a 2 és a 6, bejelölöm a 8-ast, (mert 2+6=8=1+7=3+5=4+4, a 4+4-et nem lehet bejelölni, mert csak 1 darab 4-es van)2. dobás: 1, 6, bejelölöm az 1-est és a 6-ost,(1+6=7=2+5=3+4)3. dobás: 1, 6, bejelölöm a 7-est, (1+6=7=2+5=3+4)4. dobás: 2, 2, bejelölöm a 4-est, (4=1+3)5. dobás: 1, 3, (1+3=4) NINCS MIT BEJELÖLNI, mert az 1 és a 4 már be van jelölve, és a 2-est nem lehet kétszer bejelölni. Maradt a 2+3+5+9=19 (rossz)pont (ezt írd fel). Ez egy peches játék volt. Most a társad jön. Az veszít, aki előbb ér el összesen 30 pontot. (A játék angol elnevezése „Shut the Box”)Játsszátok többször!

Neved: Ellenfeled:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A be nem jelölt számok összege: 19

1 2 3 4 5 6 7 8 9

marad:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

marad:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

marad:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

marad:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

marad:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

marad:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

marad:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

marad:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

marad:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

marad:

Játék

138

2. ADATGYÛJTÉS, AZ ADATOK ÁBRÁZOLÁSA

1 A 2012. évi londoni olimpián a nyolc legjobb dobó 6-6 dobásáról láthatsz táb-lázatot. Mindenkinek a legjobb dobása számít. Ha valaki hibázott (kilépett, hálóba dobott, …), akkor a dobása helyén X szerepel. Aki a legnagyobbat dobta, az nyert. Keresd meg a táblázatból minden dobó legnagyobb dobását!

Állapítsd meg a helyezéseket!

1. táblázat Dobás sorszámaNév Ország 1 2 3 4 5 6 Helyezés

Kódzsi Murofusi JPN X 78,16 78,71 78,09 77,12 76,47 3Szymon Ziółkowski POL 75,69 74,95 76,30 76,88 77,10 75,86 7Nicola Vizzoni ITA 75,75 75,84 75,41 76,07 75,79 X 8Olekszij Szokirszij UKR 76,51 78,25 X X X 76,99 4Lukáš Melich CZE 76,73 75,67 77,17 76,28 18,90 X 6Kirill Ikonyikov RUS 77,86 X 77,81 74,60 X 77,46 5Primož Kozmus SVN 78,97 X X X 79,36 78,59 2Pars Krisztián HUN 79,14 78,33 80,59 79,70 79,28 78,88 1

Milyen mértékegységben mérhették ezeket a távolságokat? méter

Ki lett a három érmes? Pars Krisztián, Primož Kozmus, Koji Murofusi

Melyik ország sportlói az érmesek? Magyarország, Szlovénia, Japán

Melyik sportról van szó a feladatban? kalapácsvetés

Csoportosítsd a döntős versenyzők dobásait!

2. táblázat 76 méter alatt

76 és 77 méter között




80 méter felett

Dobások száma 10 8 6 8 4 1

Készíts oszlopdiagramot a 2. táblázat adatai alapján!

139

2. ADATGYÛJTÉS, AZ ADATOK ÁBRÁZOLÁSA

2 Az 5. b két tanulója négy egymás utáni szünetben megszámolta, hogy hány piros, hány ezüst színű és hány egyéb színű autó haladt el az iskola előtt. A gyűjtött adato-kat leolvashatod a grafikonról.

a) Hány piros autót láttak a négy szünet alatt? 8

b) Milyen színű autóból volt a legtöbb? ezüst (8 piros,10 ezüst, 9 egyéb)

c) A ti iskolátok-nál kellene-e, és ha igen, akkor hogyan kellene módosítani az adatgyűjtést, hogy értelmes adatokat kapjatok? Végezzé-tek el a kísérletet!

3 Az 5. a osztályból három fiú focizik, két másik sakkozik és négy gyerek tagja a lánykórusnak.Az 5. b osztályból két fiú jár focizni, senki sem sakkozik, és ketten tagjai a kórusnak.Az 5. c osztályból egy fiú focizik, egy másik sakkozik, és hatan tagjai a kórusnak.Összesítsd a megfelelő adatokat! Ábrázold egy oszlop-diagramon, hogy a három osztályból hányan fociznak, sak-koznak, illetve énekelnek!

2

4

6

8

db

1 2 3 4

egyéb

ezüst

piros

3. ÁTLAG ÉS TULAJDONSÁGAI

1 Számold ki fejben a következő számok átlagát!

a) −5; 5: 0. b) −8; 8: 0.

c) −1 000 000; 1 000 000: 0. d) 2; 0; 2; −4: 0.

2 Számold ki a következő számok átlagát!

a) −5; 2; 3: 0. b) −8; 3; 6: 13

.

c) 12

; 13

; 14

: 1336

. d) 0,2; 0,02; 2,2; 2,02: 1,11.

0 , 2 0 , 0 2 2 , 2 + 2 , 0 2 4 , 4 4

4 , 4 4 : 4 = 1 , 1 1 ;

− 5 + 2 + 3 3

03

= = 0 ;

− 8 + 3 + 6 3

13

= ;

12

612

13

412

14

312 13

36

1312

+ ++ += = =3 3 3

;

140

3 Válaszd ki azt a tantárgyat, amelyből a legtöbb osztályzatot kaptad! Add össze az ebben az évben kapott jegyeidet! Oszd el a jegyek összegét a jegyek darabszámával! Kerekítsd a kapott átlagot századra, tizedre, egészre és tízesekre! Melyik kerekítésnek van értelme?

tantárgyból a jegyeim:

Összeg: Átlag:

Kerekítések:

3. ÁTLAG ÉS TULAJDONSÁGAI

Csoportmunka

Alkossatok két-három fős csoportokat, és hajtogassatok egy papírrepülőt! Adjatok nevet a csapatotoknak! Rendezzetek versenyt! Röptessétek háromszor a repülőt, és jegyezzé-tek fel, hogy az egyes alkalmakkor milyen távol ért földet! Használhattok mérőszalagot, mérőrudat. Jelöljétek meg az adatok között a leghosszabb repülést, és számítsátok ki a három röptetés átlagos távolságát is!Vessétek össze eredményeiteket a többi csapat eredményeivel!

Legyen a győztes csapat az, amelyiknek a repülője

a) a legmesszebb repült:

b) átlagosan a legmesszebb repült:

Biztos, hogy ugyanaz a győztes az a) és a b) esetben?

1. röptetés2. röptetés3. röptetésÖsszegÁtlag

A történelemkönyved vagy egyéb forrás alapján számold ki, hogy hány évig uralkodtak a követ-kező Árpád-házi királyok! Átla-gosan hány évig uralkodtak ezek a királyok?

Összeg: 63.

Átlag: 12,6.

Páros munka

Ettől Eddig Ennyi évig uralkodotturalkodott

Szent István 1000 1038 38Aba Sámuel 1041 1044 3Orseolo Péter 1038 1041 és 1044–46 5I. András 1046 1060 14I. Béla 1060 1063 3

141

4. LEHETETLEN, LEHETSÉGES, BIZTOS

1 Döntsd el, hogy az alábbi táblázatban, melyik lehetséges, melyik biztos és melyik lehetetlen esemény!

Lehetetlen Lehetséges BiztosVan 13 gyerek az osztályban, akik mind különböző hónapban születtek. +

Van két gyerek az osztályban, akik az évnek ugyanazon a napján születtek. +

Megindul az erdő a vár felé. +

Egy kockával 9-esnél kisebbet dobok. +

Van 13 gyerek az osztályban, akik mind ugyanabban a hónapban születtek. +

Két boszorkány ideröppen egy seprűn. +

Egy 20 forintos érmével fejet vagy írást dobok. +

2 Igaz vagy hamis?

a) Ha egy szám többszöröse 10-nek, akkor többszöröse 5-nek is. I

b) Ha egy szám többszöröse 5-nek, akkor többszöröse 10-nek is. H

c) Ha egy szám osztható 6-tal, akkor osztható 3-mal is. I

d) Ha egy szám osztható 3-mal, akkor osztható 6-tal is. H

e) Két szomszédos természetes szám összege páros. H

d) Három szomszédos természetes szám összege páros. H

3 Egy tányéron 8 égett és 22 jó süti van. Felülről nézve azonban nem lehet eldönteni, vajon melyik jó, és melyik égett. Nóri kivett közülük kettőt. Válogasd ki azokat az állításokat, amelyek ugyanazt jelentik! Sorold be ezeket aszerint, hogy lehetetlen, lehetséges vagy biztos!

Lehetetlen Lehetséges BiztosMindkét süti jó. +Mindkét süti égett. +Legalább egy égett lesz köztük. +Egyik süti sem jó. +Van köztük jó süti. +Lesz köztük egy almás pite.Egyik süti sem égett. +Legalább egy jó lesz köztük. +Vagy jó vagy égett lesz az egyik. +Egy jó és egy égett lesz köztük. +

142

1 Gyűjtsetek adatokat gyerekkönyvekről! Töltsétek ki a következő táblázat öt sorát!

Szerző(k) Cím Oldalszám

Átlagosan hány oldalas ez az öt könyv? Egyéni eredmények.

Nézzetek utána, ki mondta, miért mondta, mikor mondta és milyen nyelven?

„A kocka el van vetve.” (Alea iacta est., ejtsd: Aléa jakta eszt.)

Az ókori leírások alapján Julius Caesar mondta Kr. e. 49-ben, amikor sere-

gével átlépte a Rubicon folyót. Latinul beszéltek.

„Jöttem!Láttam!Győztem!” (Veni! Vidi! Vici! ejtsd: véni, vídi, vícsi.)

A történetírók szerint mindössze ebből a három szóból állt Julius Caesar

jelentése, amit a szenátusnak küldött a zelai csatában Kr. e. 47-ben aratott

győzelméről.

5. ÖSSZEFOGLALÁS

Kutatómunka

143

5. ÖSSZEFOGLALÁS

2 Gazsi összegyűjtötte, hogy az osztálytársai közül a kirán-duláson hányan kértek extra, normál, illetve vegetáriánus menüt. Az adatok összesítésekor azt vette észre, hogy a 30 fős osztály harmada kért normál menüt, és nyolccal többen kértek extra menüt, mint vegetáriánust. Ábrázold az adatokat oszlopdiagramon!

3 A Nap 2014. június 21-én 4 h 45 perckor kel és 20 h 46 perckor nyugszik le. 2014 december 21-én 7 h 27 perckor kel fel és 15 h 56 perc-kor nyugszik le. a) Mennyi ideig van világos ezeken a napokon? 2014. június 21-én 16 óra 1 perc, 2014. december 21-én pedig 8 óra 29 perc hosszan van világos.

b) Mennyi ennek a két időtartamnak az átlaga? 12 óra 15 perc.

c) Ez a két nap miről nevezetes? Ez a nyári és a téli napforduló.

Március 20-án a napkelte és a napnyugta időpontja 5 h 46 perc és 17 h 57 perc volt.Szeptember 23-án a napkelte és a napnyugta időpontja 6 h 30 perc és 18 h 41 perc volt.

d) Átlagosan mennyi a felsorolt négy napon a világosban töltött idő? 12 óra 13 perc.

10 normál, 14 extra, 6 vegetáriánus menüt kértek.

144

4 Minden állítás után írd be, hogy igaz (I) vagy hamis (H)!

a) Két természetes szám összege mindig természetes szám. I

b) Két természetes szám különbsége mindig természetes szám. H

c) Két természetes szám szorzata mindig természetes szám. I

d) Két természetes szám hányadosa mindig természetes szám. H

e) Négy egész szám között mindig van két olyan, hogy a különbségük osztható 3-mal. I

f) Négy egész szám között mindig van két olyan, hogy a különbségük osztható 4-gyel. H

g) Öt egész szám között mindig van két olyan, hogy a különbségük osztható 4-gyel. I

h) Öt egész szám között mindig van két olyan, hogy a különbségük osztható 5-tel. H

i) Ha az {1, 2, 3, 4, 5} számok közül választok egyet véletlenszerűen, akkor ez biztosan osztja az 5-öt. H

j) Ha az {1, 2, 3, 4, 5} számok közül választok egyet véletlenszerűen, akkor ez többszöröse lesz az egynek. I

k) A páros számjegyek közül kiválasztok kettőt. Lehetséges, hogy az összegük páratlan. H

l) A páros számjegyek közül kiválasztok kettőt. Lehetséges, hogy az összegük páros. I

m) A páratlan számjegyek közül kiválasztok kettőt. Lehetséges, hogy az összegük páratlan. H

n) A számjegyek közül kiválasztok kettőt. Lehetséges, hogy az összegük páratlan. I

o) Ha az {1, 2, 3, 4, 5} számok közül választok egyet véletlenszerűen, akkor kétötöd az esélye annak, hogy ez a szám osztja az 5-öt. I

5. ÖSSZEFOGLALÁS

Gyűjtsetek olyan játékokat, amelyben szerepe van a véletlennek! Használjátok az internetet is!Például: Ki nevet a végén, póker.

Kutatómunka

145

PiaciőrjáratAz őszi hónapokban többféle idényjellegű zöldséget, gyümölcsöt lehet kapni. Ilyen többek között az alma, a dinnye, a szőlő, a körte, a szilva, a zöldpaprika. Ezeket hazánkban is termesztik. Válassz közülük egyet, és jegyezd fel két hónapon keresztül heti rendsze-rességgel az árát! Készíts az adatok alapján grafikont!

Segít az alábbi táblázat:

A kiválasztott zöldség, gyümölcs:

Dátum (pl.: szeptember 4.) Egy kg ára (Ft/kg)

Fogalmazd meg tapasztalataidat!

Kutatómunka

Nyugta

Gyűjts többféle bolti nyugtát! Keress rajtuk jelöléseket! Válassz ki egyet, és ragaszd fel egy rajzlapra! Mit jelentenek a rajta lévő jelölések? Nézz utána! Készíts ismertetőt hozzá!

Kutatómunka

VIII. MINDENNAPI PÉNZÜGYEINK

146

1 A Kamarás családnak októberben 298 000 forint kiadása és 315 000 forint bevétele volt.a) Mennyi volt a Kamarás család októberi meg-

takarítása? (A megtakarítás a bevétel és a kiadás különbsége.)

b) Gyűjts rokon értelmű kifejezéseket a megtakarítás szóra!

c) Keresd meg az interneten, honnan ered a kamarás szó, mi az eredeti jelentése!

2 Márk minden hónapban 2500 forint zsebpénzt kap a szüleitől. Ebből 1000 forintot szokott elkölteni, a többit pedig félreteszi, mert szeretne egy korcsolyát vásárolni, ami 13 500 forintba kerül. Hány hónapig kell gyűjtenie Márknak a korcsolyára?

3 A Kamarás család novemberben 280 000 forintot költött, de csak 260 000 forint volt a bevételük.a) Ábrázold a fekete számegyenesen a nullától indulva a Kamarás család kiadásait!b) Ábrázold a kék számegyenesen a nullától indulva a Kamarás család bevételeit!c) Ábrázold a piros számegyenesen a nullától indulva a Kamarás család bevételeinek és kiadásainak

különbségét!

d) Hogyan nevezhetjük ezt a különbséget? például: túlköltés, deficit, veszteség, ráfizetés, hiány Hogyan lehetséges, hogy Kamarásék egy hónapban többet költenek, mint amennyi bevételük van? Osztályszintű megbeszélés


315 000 – 298 000 = 17 000 forint

például: spórolás, félrerakás, gyűjtögetés

2500 – 1000 = 1500 forint13 500 : 1500 = 9 hónap A 9. hónapban már megveheti a korcsolyát.

147

4 Jutka palacsintát sütött az iskolai adok-veszek napra, amit a pénzügyi témahéten rendeztek. Anyu-kájával vásárolták meg a hozzávalókat, amelyekre 300 forintot költöttek. Ezek felhasználásával tizenöt darab palacsintát készített. Az iskolai vásáron mind a 15 palacsintát eladta, darabját 50 forintért.a) A piros színű számegyenesen ábrázold a palacsinták eladásából befolyt pénzt a nullától indulva!b) A kék színű számegyenesen ábrázold a palacsinták pénzben kifejezett költségét – vagyis a hozzáva-

lókra kiadott pénzt – ugyancsak a nullától kezdve!c) A zöld színű számegyenesen ábrázold Jutka pénzben kifejezett nyereségének nagyságát!

d) Fogalmazd meg a színek segítségével, hogy mi a nyereség! A piros és a kék különbsége a nyereség, amennyivel hosszabb a piros, mint a kék, annyi a nyereség, vagyis a nyereség a bevétel és a költség különbsége.

e) Milyen matematikai művelettel tudtad kiszámítani a nyereséget? Kivonás

5 Laciék előrefizetős mérőt használnak, ami ugyanúgy méri az áramfogyasztást, mint a kö zön-séges villanyóra, de az elfogyasztott árammeny-nyiséget előre ki kell fizetni. Olyan ez, mint a fel-töltőkártyás mobiltelefon.Laciék egy hónap alatt 110 kWh (kWh = kilowatt-óra az a mértékegység, amelyben az áram meny-nyiségét mérik) áramot fogyasztanak. Egy kWh áram ára 51 forint, és Laci anyukája 16 830 forintot fizetett ki előre.Hány hónapra lesz elegendő az előre kifizetett 16 830 forint?

6 Anita apukája februárban 20, márciusban 22, áprilisban 21 munkanapot dolgozott. A munkahelyére reggel fél kilencre kell bemennie, és este fél hatkor indul haza. Napközben háromnegyed óra ebédszünetet és 15 perc uzsonnaszünetet tart. Az étkezési idők nem számítanak bele a munkaidőbe.Anita édesapja a munkahelyén órabérben dolgozik, egy órára 1600 forint a fizetése. Az étkezési időre nem jár munkabér.a) Hány órát tartózkodott Anita apukája a munkahelyén ebben

a három hónapban összesen? 567 órátb) Hány órát dolgozott Anita apukája a munkahelyén ebben

a három hónapban összesen? 504 órát c) Mennyi volt Anita apukájának a fizetése februárban és április-

ban külön-külön? 268 800 forint d) Mennyi volt az átlagos fizetése ebben a három hónapban?

268 800 forint


16 830 : 51 = 330 kWh330 : 110 = 3 hónap

a) (20 ∙ 9) + (22 ∙ 9) + (21 ∙ 9) = = 567 órátb) (20 ∙ 8)+(22 ∙ 8)+(21 ∙ 8) =

= 504 órát ( 12

9-től 12

6-ig 540 perc

telik el. 540 – 45 – 5 = 480 perc, ami 8 óra)c) Februárban 20 ∙ 8 ∙ 1600 = = 256 000 forint, áprilisban 21 ∙ 8 ∙ 1600 = 268 800 forint.d) Márciusban 22 ∙ 8 ∙ 1600 = = 281 600 forint, így az átlag (256 000 + 281 600 + 268 800) : 3 = =268 800

148

7 A táblázat a Kamarás család március havi költségvetését tartalmazza:

Nap Megnevezés Bevétel Kiadás Egyenleg

1. előző hónapról maradt 10 000 10 000

2. szülők bére 230 000 240 000

2. családi pótlék 26 600 266 600

2. tisztálkodószerek 8 630 257 970

2. iskolai étkezés befizetése 9 650 248 320

4. heti bevásárlás 23 860 224 460

6. havi számlák (rezsi) 46 280 178 180

9. hiteltörlesztés 37 540 140 640


15. színházlátogatás 6 600 112 470



31. egyenleg hó végén 76 640

a) Töltsd ki az egyenleg oszlopot! Használd a már beírt számokat, fedezd fel a szabályt!

b) Fogalmazd meg, mit jelent az egyenleg!

Az egyenleg a hónap során az összes bevétel és kiadás különbségét mutatja (idegen szóval a készpénz egyenleg cash flow [ejtsd kesh fló])

c) A kiadás vagy a bevétel volt több márciusban? Hogyan nevezzük a hónap végén meglévő egyenleget?

A bevétel volt több, megtakarítás nevezzük, azaz megtakarításuk keletkezett.

8 A Pop Corn mezőgazdasági vállalkozás 108 hek-táron termel kukoricát. Az elmúlt évben a kukorica termésátlaga 72 mázsa volt hektáronként. A kukori-cát tonnánként 42 440 forintért tudták értékesíteni.Mennyi árbevétele volt a kukoricából a gazdaságnak, ha az összes kukoricát el tudta adni? 33 001 344 forint


108 ∙ 72 = 7776 mázsa7776 mázsa = 777,6 tonna777,6 ∙ 42 440 = 33 001 344 forint

149

9 Alex az alábbi nyugtát kapta a pénztárban, miután anyuká-jával bevásárolt:

a) Milyen matematikai műveletet jelent a nyugtán az X jel? Szorzás

b) Mennyit fizettek Alexék, ha bankkártyát használtak, és a végösszeget nem kellett kerekíteni? 199 + 799 + 164 + 65 + 372 + 514 + 99 = 2212 forint

c) Mennyit fizettek Alexék, ha készpénzt használtak, és a végösszeget kerekí-teni kellett úgy, hogy az 0-ra vagy 5-re végződjön? 2210 forintot

10 Lucáéknak az üzletben 5843 forintra jött ki a számla. Készpénzzel (érmékkel és papírpénzzel) fizetnek. A legkisebb érme azonban az ötforin-tos, ezért az összeget kerekíteni kell úgy, hogy az 0-ra vagy 5-re végződjön.a) Mennyit fognak fizetni ténylegesen Lucáék? 5845 forintot b) Legalább hány darab pénzt kell használniuk a fizetéshez, ha minden

címlettel rendelkeznek, és pontosan kiszámolják a pénzt?

c) Legalább hány darab pénzzel fizetnek, ha nincs 200 forintosuk és 5 forin-tosuk? 6 db

d) Mennyivel lesz kevesebb darab pénzük a fizetés után, ha nincs 5 forinto-suk, és a lehető legkevesebb darab pénzzel fizettek? Néggyel kevesebb pénzdarabjuk lesz, mert bár öt darabot kiadtak, de a pénztáros visszaad egy darab ötforintost.

e) Mennyivel lesz több vagy kevesebb darab pénzük a fizetés után, ha 10 000 forinttal fizetnek, és a pénztáros a lehető legkevesebb darab pénzt adja vissza? Visszajár 10 000 − 5845 = 4155 forint. Egy pénzdarabot kiadtak, öt darabot visszakaptak, vagyis néggyel több pénzdarabjuk lesz.


b) 5000 1 db 500 1 db 200 1 db 100 1 db 20 2 db 5 1 db5845 7 db

c) 5000 1 db 500 1 db 100 3 db 50 1 db 6 db

d) 5000 1 db 500 1 db 200 1 db 100 1 db 50 1 db 5 db

e) 2000 2 db 100 1 db 50 1 db 5 1 db 5 db

150

11 A Kamarás családban elromlott a 25 éves hűtőszekrény, javítani már nem lehetett, újat kellett vásárolniuk. Az új hűtő 96 000 forintba kerül, de nem kell azonnal az egészet kifizetni. A vásárláskor az üzlet-ben 16 000 forintot fizetnek, majd havonta 8000 forintot addig, amíg ki nem jön a 96 000 forint.A hűtőszekrényt március 1-én vásárolták, a 8000 forintos részleteket mindig a hónap utolsó napján fizetik. Az első 8000 forintos részletet március 31-én kell befizetniük.

Január Február Március Április

Május Június Július Augusztus

Szeptember Október November December

a) A vételár hányad részét fizették ki a vásárláskor? Írd fel tizedes tört alakban is! 96 000 : 16 000 = 6, tehát az egy hatod részét. 1 : 6 = 0,166… (16,66 %-át)

b) A vételár hányad részét kell kifizetni egy-egy hónapban? Írd fel tizedes tört alakban is! 96 000 : 8000 = 12, tehát az egy tizenket-ted részét. 1 : 12 = 0,083… (8,33 %-át)

c) Hány hónapig fogják fizetni Kamarásék a törlesztőrészleteket? 80 000 : 8000 = 10 hónapig

d) Mely hónap melyik napján fizetik ki az utolsó törlesztőrészletet? december 31-én

12 Cserepes Csabának és Bádogos Bélának közös tetőfedő vállal-kozása van. Csaba egy olyan megrendelést teljesít, amivel nyolc nap alatt készül el, míg Béla egy hatnapos munkán dolgozik. Az első nap után Csaba megkapta a teljes munkája után járó díj egy nyolcadát, Béla pedig a teljes munkája után járó díj egy hatodát. Egynapi mun-káért mindketten ugyanannyi pénzt kapnak, és ezen a napon ketten együtt 30 000 forintot tettek be a kasszába.Mennyi lesz a teljes bevételük, ha mindketten befejezték a munkáju-kat? Használd a táblázatot!

Név Egynapi munkadíj Összes munkadíj

Cserepes Csaba 30 000 : 2 = 15 000 forint 8 ∙ 15 000 = 120 000 forint

Bádogos Béla 30 000 : 2 = 15 000 forint 6 ∙ 15 000 = 90 000 forint

Összesen – 210 000 forint


151

13 Alexandra a havi zsebpénze felét könyvre, negyedét rágógumira, a többit – 600 forintot – egy fésűre költötte. A zsebpénze hányad részét költötte fésűre Alexandra?Mivel a félnek a fele az egynegyed, így a könyvön túli fél zsebpénzt is pont elfelezte, tehát a fésűre is a zsebpénz negyedét költötte.

A kék kör megfelelő helyére írd be, hogy mennyit költött Alexandra a könyvre, a rágógumira és a fésűre!Most már ki tudod számítani, mennyi volt Alexandra zsebpénze. Írd be a piros körbe a számítást és a végeredményt!

1200 forint könyvre

600 + 600 = 1200 forint2 ∙ 1200 = 2400 forintAlexandra zsebpénze

2400 forint.

600 forint rágóra

600 forint fésűre

14 Egy lakótelep kisboltjában a poha-ras natúr joghurtot 110 forintért áru-sítják, és májusban 380 darabot érté-kesítettek. Júniusban a nagykereskedő olcsóbban szállított a boltba, ezért az eladási ár 100 forintra csökkent, így ebben a hónapban 450 darabot tudtak eladni. Júliusban viszont megint fel-ment a joghurt ára, ekkor 120 forintért árusították, és csak 310 darabot sike-rült értékesíteni.

a) Ábrázold pontokkal az értékesítést a koordináta-rendszerben!

b) Kösd össze a pontokat sorban, egymás után! Hogyan haladnak a pontokat összekötő vonalak? Mi lehet erre a magyarázat?A vonalak lefelé haladnak, mert alacsonyabb ár mellett többet vásárolnak a vevők.


152

15 Az 5. p osztály a tanév utolsó napján nagyszabású paprikáskrumpli-főzést tart az udvaron. 28 főre az aláb-biakat kell beszerezniük:Hozzávalók a paprikás krumplihoz:9,5 kg krumpli ára 180 Ft/kg1,8 kg vöröshagyma ára 340 Ft/kg80 dkg szalonna ára 970 Ft/kg2 csomag csemege fűszerpaprika ára 310 Ft/csomag3,5 kg füstölt kolbász ára 1640 Ft/kg3 dkg só ára 110 Ft/kg1 dkg bors ára 130 Ft/20gA paprikás krumpli mellé:6,5 kg kenyér ára 170 Ft/kg1,6 kg csemegeuborka ára 970 Ft/kgAz osztályba 22 tanuló jár, és 6 tanárt hívtak meg a jeles eseményre.

a) Készítsd el a paprikás krumpli költségvetését (azaz, hogy összesen mennyibe fog kerülni)!

Hozzávalók Mennyiség Egységár Teljes ár (érték)

Krumpli 9,5 kg 180 Ft/kg 9,5 ∙ 180 = 1 710,0 FtVöröshagyma 1,8 kg 340 Ft/kg 1,8 ∙ 340 = 612,0 FtSzalonna 80 dkg 970 Ft/kg 970:100 ∙ 80 = 776,0 FtFűszerpaprika 2 csomag 310 Ft/csomag 2 ∙ 310 = 620,0 FtKolbász 3,5 kg 1640 Ft/kg 3,5 ∙ 1640 = 5 740,0 FtSó 3 dkg 110 Ft/kg 110 : 100 ∙ 3 = 3,3 FtBors 1 dkg 130 Ft/20g 130 ∙ 10 : 20 = 65,0 FtKenyér 6,5 kg 170 Ft/kg 6,5 ∙ 170 = 1 105,0 FtUborka 1,6 kg 970 Ft/kg 1,6 ∙ 970 = 1 552,0 FtÖsszesen 12 183,3 Ft

b) Számítsd ki, hogy egy-egy tanuló adagja mennyi pénzből jön ki!


12 183,3 : 22 = 553,79 (Az eredményt persze érdemes kerekíteni.)

MATEMATIKA 5. MUNKAFÜZET

Documents