Matematika - 1 skyrius. SKAIČIAI, VEIKSMAI, REIŠKINIAI...12 = d.p.; f) lygybė yra neteisinga. Nurodymas mokytojams. Punkto a) lygybė būtų teisinga vietoj 7 12 −1 parašius

1 skyrius. SKAIČIAI, VEIKSMAI, REIŠKINIAI

1.1. Skaičių aibės

1. {17; 27; 37; 47; 57; 67; 70; 71; 72; 73; 74; 75; 76; 77; 78; 79; 87; 97}.Aibė turi 18 elementų.

2. a), b) –– baigtinės aibės; c), d), e) –– begalinės aibės.

3. a) {−4}; b) ∅; c) {−1; 6}; d) {−1; 0; 1}.

4. a) 90; b) 900; c) 9000.

5. a) x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞);

b) x ∈ (−∞; −11) ∪ (9; +∞);

c) x ∈ (−∞; −3) ∪ (−1; +∞).

6. x ∈ (−∞; 1] ∪ [9; +∞).

7.

2cm

2

2 3

3

–2

–2

Y Y

X X

a) b)

x y2 + 4;=2 y x.=

0 0A

B

8.Y

Y Y

Y Y

X

X X

X X0

0 0

0 0

yx=

yx=

yx

=2

yx=a)

d) e)

b) c)

y –= 1x

9. 28 %.

1.2. Skaičių aibių sąjunga, sankirta ir skirtumas. Skaičių aibės poaibiai.

10. a) [a; c]; b) [a; d]; c) (a; e); d) [a; b].

11. a) L ∪ M = N; b) L ∩ M = ∅; c) N ∩ K = K.

12. Pavyzdžiui:

a) A = {−1; 0}, B = N; b) A = Q, B = I; c) A = N, B = {3n; n ∈ N}.

13. a) {−4; −2; 2; 4}; b) {−4; 2}; c) ∅; d) {−4; −2; 2}.

14. a) (−∞; 2] ∪ (3; +∞); b) (−∞; 1); c) [−4; −3); d) (−∞; −3).

15. a) ∅, {a}, {b}, {a; b};b) ∅, {1}, {2}, {3}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 3}, {1; 2; 3}.

16. a), b), c), e) –– teisingi teiginiai; d) –– neteisingas teiginys.

17.A

A

A

A

A

A

A

A

B

B

B

B

B

B

B

B

C

C

C

C

C

C

C

C

a)

e)

b)

f)

c)

g)

d)

h)

18. 1) 30; 2) 8; 3) 415 .

19. 1) 18; 2) 10; 3) 59 ; 4) 4

9 .

20. 1) 33; 2) 161 ; 3) 167

2013 ; 4) 1342013 .

21. 114 .

22. 1) 8; 2) 11; 3) 524 .

23. Tokia situacija yra neįmanoma, nes pavyzdžiui, sudėję tik angliškai mokančiųskaičių (60) su ir anglų, ir vokiečių, ir prancūzų mokančių skaičiumi (70) gauna-me, kad angliškai moka ne mažiau kaip 60 + 70 = 130 žmonių, kas prieštaraujasąlygos teiginiui, kad anglų kalbą moka lygiai 100 žmonių.

Pasiūlymas mokytojams. Sugalvokite, kaip būtų galima pakeisti sąlygą, kadji būtų prasminga. Pakeiskime sąlygą vietoj 70 imdami skaičių a, su kuriuoaprašyta situacija būtų įmanoma. Skaičius a turi tenkinti šias tris sąlygas:{

a + 60 � 100,a + 50 � 100,a + 40 � 100;

⇒ a � 40.

Jeigu sąlygoje vietoj 70 imtume 10, tai gautume:{ 60 + x + y + 10 = 100,50 + x + z + 10 = 100,40 + y + z + 10 = 100;

⇒{

x + y = 30,x + z = 40,y + z = 50;

⇒2x + 2y + 2z = 120; ⇒ x + y + z = 60.Kadangi x + y = 30, tai z = 60 − 30 = 30.Tada x = 40 − 30 = 10, y = 50 − 30 = 20.

A V

P

60 50

10

40

y

x

z

1) Lygiai po dvi kalbas moka x + y + z = 10 + 20 + 30 = 60 žmonių:• anglų ir vokiečių moka x = 10 žmonių;• anglų ir prancūzų moka y = 20 žmonių;• vokiečių ir prancūzų moka z = 30 žmonių.

2) Konferencijoje iš viso dalyvauja 60 + 50 + 40 + 10 + x + y + z = 220žmonių. Vokiečių ir prancūzų kalbą moka z+10 = 40 žmonių. Tikimybė, kadatsitiktinai pasirinktas konferencijos dalyvis kalba ir vokiškai, ir prancūziškai(jis anglų kalbos gali nemokėti, bet gali ir mokėti) yra lygi 40

220 = 211 .

Dar viena mintis. Mes nustatėme, kad žmonių mokančių ir anglų, ir vokiečių,ir prancūzų kalbas gali būti ne daugiau kaip 40. Pasirinkę šį skaičių lygų 10,gavome prasmingus atsakymus. O ar atsakymai būtų prasmingi, jei vietoj 10imtume bet kurį kitą sveikąjį neneigiamą skaičių a � 40?

1.3. Trupmeniniai racionalieji skaičiai

24. a) 5315 ; b) 721

300 ; c) 11566 ; d) 739

550 .

25. a) 325; b) 4 4

45 .

26. a) 5361540 ; b) 44

45 .Pastaba mokytojams. Punkto a) atsakymas būtų gražesnis, jei sąlygoje vietoj 6,7imtume 6,(7). Tada atsakymas: a) 511

15 .

27. 1344; 240; 360; 456.

28. 18; 100,8; 54.

29. a) 11322 ; b) 31

9 .

30. 297, 65 euro.

31. 60 %.

1.4. Laipsniai su sveikaisiais rodikliais

32. a) Lygybė yra neteisinga;b) k.p. = 1 + 1 · 41

27 · 12527 + 8 · 1

8= 42

126 = 13 = d.p.;

c) k.p. = −3 + 278 · 8

31 − 10 = 6

−9 = −23 = d.p.;

d) k.p. = −2 + 92 · 16

815 − 1 = −10

94 = − 5

18 = d.p.;

e) k.p. = 31 · 54

32 · 51 · 53 + 54 · 3−4 · 37 = 31 · 54

32 · 54(1 + 3)= 1

3 · 4 = 112 = d.p.;

f) lygybė yra neteisinga.Nurodymas mokytojams.Punkto a) lygybė būtų teisinga vietoj

( 712

)−1 parašius( 1

13)−1, o punkto f) lygybė

būtų teisinga vietoj (7 · 2)2 parašius (7 · 2)4.

33. a) 27; b) 18 ; c) 26; d) 39; e) 1; f) 1; g) 33 27

343 ; h) 46; i) −125; j) 271

4;k) −311

25 ; l) −2 11105 ; m) 243

4.Pastabos mokytojams.1) Punkto g) atsakymas būtų gražesnis sąlygoje vietoj

(79)−3 parašius

(19)−3.

Tada atsakymas g) 60.2) Punktuose f) ir j) sąlygoje praleisti daugybos ženkliukai:

f) 5 · ( 317

)0; j) 65 · ( 10,1

)−1.

34. a) 2398; b) 2397.35. 3613 = 626.36. 2n + 2n+1 + 2n+2 = 2n

(1 + 2 + 22) = 2n · 7.

Sandaugos 2n · 7 vienas dauginamasis 7 dalijasi iš 7, todėl ir sandauga 2n · 7,n ∈ {0; 1; 2; . . .}, dalijasi iš 7.

37. 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2 = 3n(33 + 3

) + 2n(23 + 22) = 3n · 30 + 2n · 12 =

6 · (3n · 5 + 2n · 2

). Kadangi 6 dalijasi iš 6, tai ir sandauga 6 · (

3n · 5 + 2n+1)dalijasi iš 6.

38. a) 23 ; b) 1440.

39. a) 80 kmh ; b) 78,75 km

h .

40. 72 kmh , 300 m.

41. Per 1213 h.

42. Po 21 911 min.

43. 36 kmh .

44. Kas 1 h.45. a) 9,5 · 106 m; b) 5,966 · 104 km;

c) 6,628 · 103 m; d) 4,7728 · 105 km.46. a) 1 · 1010; b) 1,45 · 108;

c) −100 –– šio skaičiaus neįmanoma užrašyti standartine išraiška;d) −0,000006 –– šio skaičiaus neįmanoma užrašyti standartine išraiška;e) 3,23 · 101; f) 1,089 · 102; g) 4 · 108; h) 4 · 101.

1.5. Šaknys47. a)

√3 cm; b) 4√3 cm; c) 6√3 cm; d) 4√8 cm.

48. 1) 2√

2 dm; 2) 8√

2 dm; 3) 4 dm.49. a) 3√10 cm; b) 6 3√100 cm2; c) 6√2700 cm.

50. a) πr2 = (7 + 4

√3)π , ⇒ r2 = (

2 + √3)3, ⇒ r = 2 + √

3.b) 2π

(2 + √

3)

cm.

51. a) 8 m; b)√

14 m.

52. 34√

π3.

53. a)√

5 cm; b)√

41 cm; c) π√

205 cm.54. a) 6√7; 3√4;

√3; b) 4√3;

√2; 3√3;

c) užrašas −5√−3 neturi prasmės (sąlygoje turi būti 5√−3). Tada atsakymas:15√−100; 3√−2; 5√−3.

55. a) −135 + 5

√5; b) −5,3; c) 27,6; d) 4,8.

56. a)√

a3b; b)√

ab(a + b); c) 3√

a2b(a + 1); d)√

6(a − b)a + b

.

57. a) 1,5c2 4√ab; b) 6cd2√d; c) 5

(√2 − 1

)√2; d) 3

(2 − √

5) 3√2.

58. a)√

6; b) 24√243; c) 12√24; d) 8√

38 .

59. a)√

5 − √6; b)

√6 + √

5; c) 11 − 2√

30; d) 2(√

6 + √5).

60. a)(√

30 − √29

)(√30 + √

29) = (√

30)2 − (√

29)2 = 30 − 29 = 1;

b)(√

21 + √20

)(√21 − √

20) = 1;

c)√

2 + √3 ·

√2 − √

3 =√(

2 + √3)(

2 − √3) =

√22 − (√

3)2 = 1;

d)√

4 + √15 ·

√4 − √

15 =√(

4 + √15

)(4 − √

15) =

√42 − (√

15)2 = 1.

61. a)√√

3 − √2; b) 3

√√3 − √

2; c) 3√√

2 − √3; d) −a2; e) |a3|; f) a3.

62. a) 0; b) 1; c) −2; d) 9 + 2√

14.Pastaba mokytojams. Punkto d) atsakymas būtų gražesnis sąlygoje vietoj

√7

parašius√

2. Tada atsakymas d) 8.63. a) 3 − a; b) a − 2; c) a − b; d) b − a; e) 1; f) 4.

64. a)(√

3 + √5 −

√3 − √

5)2 = 3 + √

5 − 2√(

3 + √5)(

3 − √5) + 3 − √

5 == 6 − 2

√32 − (√

5)2 = 6 − 2 · 2 = 2;

b)(√

2 − √3 +

√2 + √

3)2 = 2 − √

3 + 2√(

2 − √3)(

2 + √3) + 2 + √

3 == 4 + 2

√4 − 3 = 6.

65. a) k.p. = (√5 + 2

)√(2 − √

5)2 = (√

5 + 2) · |2 − √

5| = (√5 + 2

)(√5 − 2

) == 5 − 4 = 1 = d.p.;

b) k.p. = (2√

2 + 3)√(

2√

2 − 3)2 = (

2√

2 + 3) · |2√

2 − 3| == (

2√

2 + 3) · (

3 − 2√

2) = 32 − (

2√

2)2 = 9 − 8 = 1 = d.p.;

c) lygybė yra neteisinga.Pastaba mokytojui.Vietoj

√2 parašę

√3 gautume teisingą lygybę. Tada:

k.p. = (√3 + 3

)√6(2 − √

3) − 10 = (√

3 + 3)√

12 − 6√

3 − 10 == (√

3 + 3)√

32 − 2 · 3 · √3 − (√

3)2 − 10 = (√

3 + 3)√(

3 − √3)2 − 10 =

= (√3 + 3

)(3 − √

3) − 10 = 32 − (√

3)2 − 10 = −4;

d.p. = (√5 − 3

)√2(7 + 3

√5) =

= (√5 − 3

)√14 + 6

√5 = (√

5 − 3)√

32 + 2 · 3 · √5 + (√5)2 =

= (√5 − 3

)√(3 + √

5)2 = (√

5 − 3)(

3 + √5) = (√

5)2 − 32 = 5 − 9 = −4.

d) (k.p.)2 = 10 + √24 + √

40 + √60 = 10 + 2

√6 + 2

√10 + 2

√15;

(d.p.)2 = (√2 + √

3 + √5)2 =

= (√2)2 + (√

3)2 + (√

5)2 + 2 · √2 · √

3 + 2 · √2 · √

5 + 2 · √3 · √

5 == 2 + 3 + 5 + 2

√6 + 2

√10 + 2

√15 = 10 + 2

√6 + 2

√10 + 2

√15.

Kadangi k.p. > 0, d.p. > 0 ir (k.p.)2 = (d.p.)2, tai k.p. = d.p.

66. a) a ∈ [−1; 1]; b) a ∈ R; c) a ∈ R; d) a ∈ [−4; 3]; e) a ∈ R;f) a ∈ (0; +∞). Pastaba mokytojams. Sąlygoje turėjo būti ne a−1−2, bet

a−1 − 2. Bet ir šiuo atveju atsakymas: a ∈ (0; +∞);g) a ∈ [1

2 ; +∞).

67. a) 6; b) 5.

68.√

7 + √3,

√7 − √

3.

69. 13√

2.

70. 6,75.

1.6. Laipsniai su trupmeniniais racionaliaisiais rodikliais ir šaknys

71. a) 51n ; b) 2−1

2 ; c) 52n ; d)

(√2 − 1

)12 .

72. a) 7√16; b) 3√

19 ; c) 5 ·

√13 ; d) 4

√(1 + √

2)3; e) 3√4 − √

3; f) 3√√

2 − 1;

g) 3√π ; h)√

3√4 + 1; i) 3√

5√

π2 − 1.

73. a) 2·√2; b) 9·√3; c) 25· 4√5; d) 8· 4√8; e) π · 3√

π2; f)(√

2−1)√√

2 − 1.

74. a) 274 ; b) 6

23 ; c) 5

78 ; d) 7

1327 .

75. a) 2−14 ; b) 2−9

8 ; c) 2−1718 ; d) 3−9

8 ; e) 2−14 ; f) 3−21

20 .

76. a) 1; b) 4,9; c) 41116 .

77. a) 1027 ; b) 3

64 ; c) 22; d) 20 127; e) −1; f) 35

9 .

78. a) 155; b) 38.

79. a) 0,008; b) 7812,5.

80. a) 2; b) 3; c) −12 ; d) 1

2 .

81. a) 15; b) 32.

82. a)(

3− 2

3 · 5− 2

3 · 5− 1

3

223 · 2

− 23 · 3

− 23

)−1=

(5−1

20

)−1 = 5;

b)(

2− 1

2 · 2− 3

4 · 6− 3

4

6− 3

4 · 234

)−1= (

2−2)−1 = 4.

83. a) 1; b) 2; c) 113; d) 1; e) 10,125.

84. a) x ∈ [1; +∞); b) x ∈ R; c) x ∈ (−∞; 2]; d) x ∈ R; e) x ∈ (1; +∞);f) x ∈ (−∞; 1)∪(1; +∞); g) x ∈ (−∞; 2π); h) x ∈ (−∞; 2π)∪(2π; +∞).

85. a) x ∈ [0; +∞); b) x ∈ [3; +∞); c) x ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞);d) x ∈ (−∞; 0); e) x ∈ (3; +∞); f) x ∈ [−2; 2]; g) x = 0;h) x ∈ [2; 4]; i) x ∈ [π; 2π].

86. 21724 .

87. 8192.

1.7. Logaritmai88. a) −4; 1

2 ; −2 12 b) 4; −1

2 ; 2 12 .

89. a) 4; b) 27; c) 214 ; d) 36;

e) sąlygoje yra korektūros klaida. Turi būti: 250,5 log5 3

5log5 3 = 1;f) 5

27 ; g) 214; h) 64

81 ; i) 22,5; j) 9; k) 1,5; l) 20.

90. a) 13 ; b) 1

2 ; c) 19 ; d) 1

4 ; e) 2√

2; f) 3; g) 14 ; h) 8; i) 1

4 ; j) −16 ;

k) −13 ; l) −3

5 .

91. a) 18 ; b) 1

27 ; c) 79 ; d) 1

4 ;

d) sąlygoje yra korektūros klaida. Turi būti: log33√

3 3√

3 3√3 = 1327 ;

e) 18 .

f) sąlygoje yra korektūros klaida. Turi būti: log24 log1

71

49 = 14 .

92. a) 3√5; b) 0,7; c) 2; d) −6,5; e) 2; f) 6; g) 25; h) 3;i) −0,5; j) −18; k) 3; l) 9.

93. a) 12 ; b) 5; c) 2; d) −2.

94. Sąlygoje yra dvi korektūros klaidos. Turi būti: lg 3 ≈ 0,477; b) log3 0,01.a) −0,477; b) −4,193; c) −0,389; d) −3,145.

95. a) 2; b) 3; c) 12 ;

d) sąlygoje yra korektūros klaida. Turi būti: log0,43√2,5 = x. Atsakymas. 1

3 .96. a) a = b; b) a < b; c) a > b.97. a) D; b) B; c) C; d) A.98. a), d), e), f) –– teigiamas; c) –– neigiamas; b) –– lygus 0.99. a) 6 ir 7; b) −2 ir −1; c) −2 ir −1; d) −4 ir −3.

100. a)√

2 − 1; b)√

3 − 1; c) 2; d) 2.101. a) log

513

2 · log2

13

5 = 9, ⇒ 3 log5 2 · 3 log2 5 = 9, ⇒ 9 · log5 2 · 1log5 2 = 9, ⇒

9 · 1 = 9;b) log

713

3 · log33(73) = 3, ⇒ 3 log7 3 · 3 · 1

3 log3 7 = 3, ⇒ 3 · log7 3 · 1log7 3 = 3,

⇒ 3 · 1 = 3.102. a) log2 5 > 2, log5 2 > 0, todėl log2 5 + log5 2 > 2 + 0 = 2;

b) log413 < −1, log1

34 < −1, todėl log4

13 + log1

34 < −1 + (−1) = −2.

103. a) 2; b) 5.104. a) x ∈ (−1; +∞); b) x ∈ R; c) x ∈ (−2; 2); d) x ∈ (−∞; 0);

e) x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞); f) x ∈ (−∞; −2) ∪ (1; +∞); g) x ∈ (2; 3);h) x ∈ R; i) x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞).

105. Duota: logb 16 = 1, bc = 64, aa = 25.Įrodyti: ac = 125.Įrodymas:1) logb 16 = 1, ⇒ b = 16.2) bc = 64, ⇒ 16c = 64, ⇒ 24c = 26, ⇒ 4c = 6, ⇒ c = 3

2 .

3) Reikia įrodyti, kad a32 = 125, kai aa = 25. Bet iš lygybės a

32 = 125 radę ją

tenkinančią a reikšmę: a32 = 125, ⇒ a

32 = 53, ⇒ a3 = 56, ⇒ a = 52, ⇒

a = 25, matome, kad ji netenkina lygybės aa = 25, nes 2525 �= 25. Vadinasi,ac �= 125, kai: logb 16 = 1, bc = 64, aa = 25.

Pasiūlymas mokytojams. Sąlygoje vietoj 1 parašę a gautume „normalų“ įrodymą.Duota: logb 16 = a, bc = 64, aa = 25.Įrodyti: ac = 125.Įrodymas:1) logb 16 = a, ⇒ logb

(24) = a, ⇒ 4 logb 2 = a, ⇒ logb 2 = a

4 .2) bc = 64, ⇒ logb

(bc

) = logb 64, ⇒ c logb b = logb 64, ⇒ c = logb 64, ⇒c = logb

(26), ⇒ c = 6 logb 2, ⇒ logb 2 = c

6 .3) Iš 1) ir 2) punkto lygybių gauname a

4 = c6 , ⇒ c = 3

2a. Vadinasi, reikia

įrodyti, kad a32a = 125, kai aa = 25. Iš tikrųjų:

a32a = (

aa)3

2 = 2532 =

√253 = 125.

106. Duota: loga 81 = a, logb 8 = c, ac = 27.Rasti: ba.Sprendimas:1) ac = 27, ⇒ loga 27 = c, ⇒ loga

(33) = c, ⇒ c = 3 loga 3;

2) logb 8 = c, ⇒ logb

(23) = c, ⇒ c = 3 logb 2;

3) sulyginę 1) ir 2) punkte gautas c išraiškas turime:

3 loga 3 = 3 logb 2, ⇒ loga 3 = logb 2.

4) loga 81 = a, ⇒ loga

(34) = a, ⇒ a = 4 loga 3. Vietoj loga 3 parašę logb 2

(žr. 2) punktą) turime:

a = 4 logb 2, ⇒ a = logb

(24), ⇒ a = logb 16, ⇒ ba = 16.

1.8. Logaritmų savybės

107. a) 3; b) −5; c) 1; d) lg 5; e) −12 .

108. a) 157 lg a + 5

7 lg b; b) 34 lg a − 1

2 lg b; c) 12 lg(a + b) − 1

2 lg(a − b);d) 1

4 lg 3 + 14 lg a − 2

3 lg b; e) 3172 lg a; f) 1

4 lg a − 54 lg b.

109. a) 4;b) 8a2. Pastaba mokytojams. Sąlygoje vietoj log2 2 parašę loga 2 gautume

normalesnį atsakymą: 32;c) 16; d) 1

76√16 807; e) a(a + b)n

n√

a − b.

110. a) 1 − nm + n ; b) m + n

1 − m; c) m + n

2 ; d) 3m + n ; e) 2 − m

5 ; f) 2(1 − n)5 ; g) 2a;

h) 3a2(1 − a)

.

111. a) k.p. =(log2 2 + log2 5

)2 + (log2 2 + log2 5

)log2 5 − 2 log2

2 5log2 2 + log2 5 + 2 log2 5 =

= 1 + 2 log2 5 + log22 5 + log2 5 + log2

2 5 − 2 log22 5

1 + 3 log2 5 = 1 + 3 log2 51 + 3 log2 5 = 1 = d.p.;

b) k.p. = 2 log22 3 − (

log2 4 + log2 3)2 − log2 3 · (log2 4 + log2 3

)2 log2 3 + log2 4 + log2 3 =

= 2 log22 3 − 4 − 4 log2 3 − log2

2 3 − 2 log2 3 − log22 3

3 log2 3 + 2 = −2(2 + 3 log2 3)3 log2 3 + 2 = −2 = d.p..

112. a) −19; b) 16.113. a) 2a + 1; b) 1; c) 1; d) 7.114. a) 2; b) 1; c) 1

2 .115. a) 4; b) 1.116. log2

13 < 0, tai 2 · log2

13 < log2

13 .

1.9. Skaitiniai reiškiniai

117. a) k.p. = 1√2 +

√2

2 − 1= 1

2√

2=

√2

2√

2 · √2=

√2

4 = d.p.;

b) k.p. = 1√2 + 1√

2 −√

22 + 1

= 1√2 + 3

2√

2= 2

√2

7 = d.p.;

c) k.p. = 1√3 −

√3

3 − 1= 2√

3= 2

√3

3 = d.p.

118. a) 25 ; b) 1

20 ;c) sąlyga turi būti tokia: 5−1 · 0,25−1 − 81−2 · (−6)0 · 243 + 25−2 · 0,2−3.

Atsakymas. 2627 .

119. a) −3 + √6

3 ; b) 5 − √17.

120. a) 4 · (√7 + √5) − √

7 + √5

7 − 5 · 23√

7 + 5√

5= 3

√7 + 5

√5

2 · 23√

7 + 5√

5= 1;

b)(√

3 − √2

3 − 2 + 3(√

5 + √2)

5 − 2

)·

√5 − √

35 − 3 = (√

3 − √2 + √

5 + √2) ·

√5 − √

32 =

=(√

3 + √5)(√

5 − √3)

2 = 5 − 32 = 1.

121. 25.

122. a) 22 cm2; b) 6√

3 cm; c)(14 + 6

√3)

cm; d) 22√

39 cm.

123. 8 cm2.

124. a)√

2 − 1; b) 1 + √3; c)

√m + n; d) 3

√(m − n)2; e)

√m − √

n;f)

√m + √

n; g) 2 + √6 − √

102 ; h)

√3 + √

2.125. a) 1; b) 1;

c) sąlygoje vietoj log11 3 turi būti log11 13, o vietoj log13 3 turi būti log13 11.Atsakymas. 1.

126. a)(√

7 − √3)(

4 − √17

); b)

(3 + √

7)(

2 + √3); c)

(4 − √

11)(√

5 − 1).

127. 1.

128. 5423

◦C.

129. Geležies –– 25 cm3, vario –– 20 cm3.

130. 210 %.131. 9 h.

132. 25 %.

133. 7,5 min.134. 18 min.

135. 75 kmh .

136. 15 : 6 : 10.137. 12 dm2.

138. 8.

1.10. Raidiniai reiškiniai

139. a) x ∈ R \ {0; 1; 2}; b) x ∈ R \ {−2; 2}; c) x ∈ [0; 2) ∪ (2; +∞);d) x ∈ (−∞; −8) ∪ (8; +∞); e) x ∈ (1; 9); f) x ∈ (−2; −1) ∪ (1; 2);g) x ∈ R \ {−1; 1 − √

52 ; 0; 1; 1 + √

52

}.

140. −0,3.

141. 1, 3, 7.

142. a) 11a10; b) a12

169 ; c) a;

d) a4516 . Pastaba mokytojams. Sąlygoje esanti krūva nereikalingų skliaustų by-

loja apie korektūros klaidą. Sąlyga turi būti tokia:

(a(a(a · a 1

2 )12)1

2)1

2 : a1116 = a

14 ;

e) 2 − √1 − a2

2 − √1 − a

. Pastabėlė. Negražus uždavinėlis;

f)4√

a

1 + √a

; g)√

a + √b;

h) −2. Pastaba mokytojams. Sąlygoje be reikalo praleistas daugybos ženklaspo x3. Šis uždavinys primena tokį reiškinį 2

√2 : 2

√2, kurio reikšmė lygi 2,

o ne 1 (nors matyt yra manančių ir kitaip) 2√

2 : 2√

2 = 2 · √2 : 2 · √

2 =√2 · √

2 = 2.143. a) 2; b) 1.144. a) 2,5; b) 2.145. a) 11,5; b) sąlygoje turi būti

√(a + 7)(5 − a) = 1,5.

146. a) 56; b) 2 2582 .

147. 221x − 30.148. 1) (6 − x)x

2 cm2.2) SBCFE = SABCD − SAFE − SDCF = 6 · 9 − (6 − x)x

2 − 9x2 =

= 12x2 − 15

2 x + 54 (cm2).Pastaba. Sąlygoje turėjo būti ne cm, bet cm2.

149. Sąlygoje turi būti vA = 5 m/min ir s(t) =√

41t2 − 1280t + 10 000 (m).[s(t)

]2 = (80 − 5t)2 + (60 − 4t)2,s(t) =

√6400 − 800t + 25t2 + 3600 − 480t + 16t2 =

=√

10 000 − 1280t + 41t2 (m).150. Sąlygoje turi būti ne 40 eurocentų, bet 40 eurų, ir V (x) = 9(12,5x − x2).

1) 37,5 − 3x (m). 2) V (x) = 3 · x · (37,5 − 3x) = 9(12,5x − x2) (m3).151. a) ab; 9 · 1012 b) a − b; −8; c) m + n; 81

3.

152. a) = 2√y√

x + √y

+((√

x + √y)(

x − √xy + y

)√

x + √y

− √xy

)· 1

x − y == 2√

y√x + √

y+ x − 2√

xy + y

x − y = 2√y(√

x − √y) + x − 2√

xy + y

x − y == 2√

xy − 2y + x − 2√xy + y

x − y = x − yx − y = 1;

b) =((√

x − √y)(

x + √xy + y

)√

x − √y

+ √xy

)· 1

x − y − 2√

x√x − √

y=

= x + 2√xy + y − 2

√x(√

x + √y)

x − y = x + 2√xy + y − 2x − 2√

xy

x − y = y − xx − y = −1.

2 skyrius. SINUSAI, KOSINUSAI, TANGENTAI IRKOTANGENTAI

2.1.–2.2. Kampo dydis radianais. Smailiojo kampo sinusas, kosinusas,tangentas ir kotangentas

153. a) 100◦ = 5π9 rad; b) 20

9 π cm; c) 409 π cm2.

154. Nurodymai:

A

B

C

D1) 2) 3)

BD AC˙˙ ;

155. a) 5; b) 8; c) (n − 2)π .156. 80◦, 75◦, 25◦.157. 2

(1 + √

3)

cm, 2(2 + √

3)

cm2.158. 270◦.159. a) 11π

9 ; b) 38π9 ; c) 128π

45 ; d) 214π45 .

160. a) 480◦; b) 920◦; c) 555◦; d) 2280◦; e)(180

π

)◦; f)( 2π

)◦.

161. a)√

32 ; b) 2

√5

5 ; c) 12 .

162. a) x = 83 , y = 4

√5

3 ; b) x =√

5334 , y = 7

4 ; c) x = 2, y = √21;

d) x = 3, y = 3√

5.

163. 1) a) 2 + 3√

26 ; b)

√6 − 63 ;

2) Paveikslėlyje nepažymėtas kampas β = ∠C.a) 3

√3

2 ; b) 5√

36 .

164. AC = 4(√

3 + 1)

cm, BC = 8 cm, S�ABC = 8(√

3 + 1)

cm2.

165.25

(3 + √

3)

6 cm2.

166.√

15.167. 7

13 .

2.3.–2.6. Posūkių kampai ir jų sinusai, kosinusai, tangentai ir kotangentai168. Valandinė rodyklė:

a) −30◦; b) 45◦; c) −70◦; d) 122,5◦.Minutinė rodyklė:a) −360◦; b) 540◦ ; c) −840◦; d) 1470◦.

169. a) I; b) II; c) II; d) III; e) III; f) IV; g) IV; h) I.

170. a) –– teigiamas; b), c) –– neigiamas.

171. a) IV; b) III; c) II; d) III; e) I; f) IV.

172.α sin α cos α tg α ctg α

a) 405◦ √2

2

√2

2 1 1

b) 13π3

√3

212

√3

√3

3c) −780◦ −

√3

212 −√

3 −√

33

d) −29π6 −1

2 −√

32

√3

3√

3

173. sin α cosα tg α ctg α

a) 0 −1 0 ––b) −1 0 –– 0

c)√

22

√2

2 1 1

d) −12 −

√3

2

√3

3√

3

e) −√

32

12 −√

3 −√

33

174. a), b), d) –– mažesnė už 0; c) –– didesnė už 0.

175. a) 0; b) 0; c) − sin α.

176. a) (0; 1); b) (−1; 0); c) (0; 1); d) (1; 0); e) (0; −1); f) (−1; 0); g) (0; −1).

177. a) b) c) d)Didžiausia reikšmė 4 4 6 6Mažiausia reikšmė 2 2 4 4

178. a), b), d) –– neturi; c) –– turi.

179. a) Bukasis; b) smailusis.

180. a) π3 ; b) 2π

3 ; c) 5π12 ; d) 5π

6 .

181. a) α1 = 30◦ + 360◦ · k = π6 + 2πk, α2 = 150◦ + 360◦ · k = 5π

6 + 2πk, k ∈ Z;b) α1 = −60◦ + 360◦ · k = −π

3 + 2πk, α2 = −120◦ + 360◦ · k = −2π3 + 2πk,

k ∈ Z;c) α1 = 135◦ + 360◦ · k = 3π

4 + 2πk, α2 = −135◦ + 360◦ · k = −3π4 + 2πk,

k ∈ Z;d) α1 = 150◦ + 360◦ · k = 5π

6 + 2πk, α2 = −150◦ + 360◦ · k = −5π6 + 2πk,

k ∈ Z.

182. a), c), d) –– nėra; b) –– yra.

183. a) α + β = π − γ , ⇒ α + β2 = π − γ

2 , ⇒cos α + β

2 = cos π − γ2 = cos

(π2 − γ

2) = sin γ

2 ;

b) α + β = π − γ , ⇒ α + β2 = π − γ

2 , ⇒ctg α + β

2 = ctg π − γ2 = ctg

(π2 − γ

2) = tg γ

2 .

184. a) −π , 0, π , 2π ; b) −1,5π , −0,5π , 0,5π , 1,5π , 2,5π ; c) −π , 0, π , 2π ;d) −1,5π , −0,5π , 0,5π , 1,5π , 2,5π .

185. a) π3 + πk, k ∈ Z; b) π

5 + πk, k ∈ Z.

186. a) b(2a − b); b) (x − y)2; c) a(a + b); d) (m + n)2; e) (x − y)2.

2.7. To paties kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento sąryšiai

187. a) k.p. = sin2 α + 2 sin α cos α + cos2 α − 1cos αsin α

− sin α cos α= 2 sin α cos α

cos α(1 − sin2 α

sin α

) = 2 sin2 αcos2 α

== 2 tg2 α = d.p.;

b) k.p. =(

1cos2 α

+ 1sin2 α

)sin2 α cos2 α = sin2 α + cos2 α

cos2 α sin2 α· sin2 α cos2 α

1 = 1 == cos 0◦ = d.p.

c) Nurodymas. Kažkokia nesąmonė –– išmesti...d) k.p. = (

sin2 α − cos2 α)(

sin2 α + cos2 α) − sin2 α + cos2 α =

= sin2 α − cos2 α − sin2 α + cos2 α = 0 = cos π2 = d.p.

188. a) −√

55 , 1

2 , 2; b) 3√

1010 ,

√10

10 , 13 ; c) −2

√5

5 ,√

55 , −1

2 .

189. a), b) –– neegzistuoja.

190. a) 2 ctg α, −1; b) 1 − sin α , 5 + 2√

55 .

191. a) 4456 ; b) 8.

192. a) 1; b) 1; c) 0.

193. a) −34 ; b) −22

5 ; c) − 815 .

194. a) −1249 ;

b) sąlygoje tarp trupmenų turi būti sudėties ženklas. Atsakymas. 28.

195. 1) sin α + tg α = a,+tg α − sin α = b,

2 tg α = a + b, ⇒ tg α = a + b

2;

2) ctg α = 1tg α = 1

a + b2

= 2a + b

.

196. a) f (cos x) = cos2 x−5 cosx+4 = 1−sin2 x−5 cos x+4 = 5−5 cosx−sin2 x;b) f (sin x) = − sin2 x + 4 sin x + 3 = −1 + cos2 x + 4 sin x + 3 =

= 2 + 4 sin x + cos2 x.Vadinasi, sąlygoje pateikta lygybė yra neteisinga.

2.8. Dviejų kampų sumos (skirtumo) sinuso, kosinuso, tangento ir kotangentoformulės

197. a) k.p. = sin(2α) + 2(sin π

3 cos(2α) − cos π3 sin(2α)

)2(cos π

6 cos(2α) + sin π6 sin(2α)

) − √3 cos(2α)

=

= sin(2α) + 2 ·√

32 cos(2α) − 2 · 1

2 sin(2α)

2 ·√

32 cos(2α) + 2 · 1

2 sin(2α) − √3 cos(2α)

=√

3 cos(2α)sin(2α)

=√

3tg(2α)

= d.p.;

b) k.p. =sin(2α) + cos(2α)

cos(2α)

(cos π

4 cos(2α) − sin π4 sin(2α)

)cos(2α) − sin(2α)

cos(2α)

=√

22 sin(2α)+

√2

2 cos(2α) =

= sin π4 sin(2α) + cos π

4 cos(2α) = cos(π4 − 2α

) = d.p.198. a) tg 50◦; b) 0; c) tg α;

d) sąlygos skaityklyje vietoje „−“ turi būti „+“. Atsakymas.√

3 ctg α.

199. a) 4√

3 − 310 ; b) 7

√2

26 ; c)√

3 − 2 arba√

3 + 2; d) −45 .

Pastaba mokytojams. Punktai a) ir b) sunkoki...200. a) 1

8 ; b) 0; c) 1; d) −1.

201. a) 14 ; b) 1

8 ; c) 18 .

202. a) ctg α2 ; b) cos α

2 − sin α2 ; c) 2 sin(2α); d) − 1

cos(2α) + sin(2α); e) 1

2 sin α;f) −2 sin α

2 .

203. a) 120169 , −119

169 , −300119 , −119

300 ;b) −24

25 , 725 , −24

7 , − 724 .

204. a) sin(3α) = sin(α + 2α) = sin α cos(2α) + sin(2α) cos α == sin α

(cos2 α − sin2 α

) + 2 sin α cos2 α = 3 sin α cos2 α − sin3 α == 3 sin α

(1 − sin2 α

) − sin3 α = 3 sin α − 4 sin3 α;b) cos(3α) = cos(α + 2α) = cos α cos(2α) − sin α sin(2α) =

= cos α(cos2 α − sin2 α

) − 2 sin2 α cos α = cos3 α − 3 sin2 α cos α == cos3 α − 3

(1 − cos2 α

)cos α = 4 cos3 α − 3 cos α.

205. a) 34 ; b) −3

4 .

206. a) 1) 35 ; 2) 3

5 ; 3) −35 ; 4) −3

5 ; b) 1) −45 ; 2) −4

5 ; 3) 45 ; 4) 4

5 .207. a) 60◦; b) 15◦.

2.9. Arksinusas, arkkosinusas, arktangentas ir arkkotangentas208. a) Neteisinga, nes π /∈ [−π

2 ; π2];

b) neteisinga, nes arcsin√

22 = π

4 ;c) neteisinga, nes arcsin 1 = π

2 ;d) teisinga, nes cos π

2 = 0 ir π2 ∈ [0; π];

e) neteisinga, nes −π4 /∈ [0; π];

f) neteisinga, nes arccos(−1) = π ;

g) teisinga, nes tg π4 = 1 ir π

4 ∈ (−π2 ; π

2);

h) neteisinga, nes 3π4 /∈ (−π

2 ; π2);

i) teisinga, nes tg 0 = 0 ir 0 ∈ (−π2 ; π

2).

209. a) arcsin(−1), arccos 1, arctg√

33 , arcsin

√3

2 ;b) arccos

(−12), arctg

√3, arcsin

√2

2 , arcctg√

3.

210. a) 0; b) 0. Sąlygoje turi būti arctg√

33 ;

c) 1; d) 1; e) 1; f) −1. Sąlygoje turi būti arcctg 1√3

;

g)√

32 ; h) 1

2 ; i)√

22 − π

3 ; j)√

33 .

211. a) α = β; b) α = β.212. a) Neturi, turi, neturi; b) turi, neturi, turi.213. a) x ∈ [0; 2]; b) x ∈ [0; 1]; c) x ∈ R \ {0};

d) x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; 3) ∪ (3; +∞).214. a) 1; b) −√

3;c) Ši lygybė yra neteisinga su visomis x reikšmėmis, nes −π

3 ∈ [0; π];d)

√2

2 ; e) −1; f) 13 ; g) 2

√3 − 1; h) 1,5.

2.10. Dar viena trikampio ploto formulė

215. a) 12√

6 cm2; b) 27√

22 cm2; c) 9

√2 cm2; d)

√2 sin 20◦

2 .

216. 8√

2 dm.217. 10 2

7 dm.

218. 128 cm2.219. 21 cm2.220. 120 cm2.221. Sąlygoje turi būti NK = 2MK . Atsakymas. 12

√2 cm.

222. a) arcsin 460663 ; b) π − arcsin 460

663 .

223. a) 324√

2 cm2; b) 324√

3 cm2; c) 324 cm2; d) 162√

2(1 + √

3)

cm2;e) 162

√2(1 + √

3)

cm2; f) 648 sin 20◦ cm2.

224. a) 6√

3 cm2; b) 2√

3(1 + √

3)

cm2; c) 2√

3(1 + √

3)

cm2; d) 9√

2 cm2;e) 6

√6 sin 70◦.

225. 48√

3 dm2.226. Sąlygoje vietoje 105

√3 turi būti 60

√3. Atsakymas. 10 cm, 12 cm.

227. Sąlygoje vietoje 5,5 turi būti 6. Atsakymas. 10 cm, 4 cm.

228. a) 108√

2 cm; b) 9 cm2; c) 9√

104 cm2; d) 1890 sin 70◦ mm.

229. a) 8 dm; b) 12,75 cm; c) 12 m; d) 10sin 55◦ cm.

230. a) 30◦; b) Sąlygoje turi būti ne 9√

3, bet 3√

3. Atsakymas. 60◦.c) Sąlygoje turi būti ne 150 mm2, bet 75 mm2. Atsakymas. 45◦d) Sąlygoje turi būti ne 60

√15 bet 6

√15. Atsakymas. 90◦.

231.

A B

C

K7

930∞

1) �KBA ∼ �ABC, pagal du lygius kampus(∠B –– bendras, ∠A = ∠C).2) 48 cm2.

2.11. Sinusų teorema

232. a sin βsin(α + β)

, a sin αsin(α + β)

.

233. 30◦, 105◦.234. 90◦, 30◦.

235. 1) 105◦; 2) 1 + √3

4 cm2.

236. 6 + 2√

3 cm.

237. 2√

153 cm, 5

√6(√

3 − 1)

2 cm, 5√

6(√

3 − 1)

cm.238. 90◦.239. 10

√6 cm. Pastabėlė mokytojams. B kursas.

240. 14(3 + √

2 + √3)

cm, 98(1 + √

3)

cm2.

241. 5√

2 cm, 5 cm.242. 3

√6 cm, 6 cm.

243. Sąlygoje trūksta duomenų. Jei MN = a, tai:

1) a√

2(1 + √

3)

2 cm; 2) a2(1 + √3)

2 cm2.244. 3 cm.245. 18 cm2.

2.12. Kosinusų teorema246. a), b) –– bukasis; c) –– statusis.

247.√

421 − 42√

51 m. Pastaba mokytojams. ≈ 11 m.248. a) 47◦, 58◦, 75◦ ; b) 26◦, 36◦, 118◦.

Pastaba mokytojams. Kampų dydžiai nurodyti 1◦ tikslumu.

249. a) 2(√

13+√37

)cm, 12

√3 cm2; b) 2

(√25 + 12

√3+

√25 − 12

√3)

cm, 12 cm2;c) 2

(√25 + 24 cos 70◦ + √

25 − 24 cos 70◦) cm, 24 sin 70◦ cm2.

250. a)√

34 − 15√

2 cm,√

34 + 15√

2 cm; b) 7 cm,√

19 cm;c)

√34 − 30 cos 50◦ cm,

√34 + 30 cos 50◦ cm.

251. 45 .

252. 1) 24; 2) 27.253.

√5(√

29 + 2)

cm.

254. 1) 35 ; 2) 192 cm2.

255. 1) 1 cm; 2) 1,5 cm2.256. 2

√13 cm.

257. Sąlygoje nurodytas trikampis neegzistuoja. 6 dm pakeitę į 8 dm gautume atsaky-mą

√137 dm.

258. 10 cm.259. 6 + 2

√22.

260. 60◦.261. 8 ir 15.262. 1) 2 cm, 4

√3 cm; 2) 2

√3 cm2.

263. 2√

57015 cm.

264. 2,75 cm.265. 7 cm.

266. 1)√

a2 + b2 − 6ab5 ; 2)

√a2 + b2 + 6ab

5 .

267. a) 24(1 + 2

√2)

cm; b) 288 cm2.

268. a) 4,5 cm, 1,5 cm, 27√

38 cm2; b) 5 cm, 21 cm, 105

√3

2 cm2;c) sąlygoje nurodytas lygiagretainis neegzistuoja. Vietoj 30 cm paėmę 40 cm

gautume atsakymą 10 + √61 cm, 39

√3

2 cm2.d) 20 cm, 32 cm, 320

√3 cm2.

269.

60∞

A

BC

2xx

BC2 = x2 + (2x)2 − 2 · x · 2x · cos 60◦ = 3x2.AB2 = AC2 + CB2, nes 4x2 = x2 + 3x2, todėl∠C = 90◦.

270. 22,5 cm.271. a) 7 cm; b) 11 cm; c) 13 cm; d) 38 cm.

3 skyrius. FUNKCIJOS

3.1. Funkcijos grafiko postūmiai OX ir OY ašių kryptimis

272. a) m = 7, n = 0; b) m = 1, n = 0;c) sąlygoje turi būti Eg = [−3; −4], o paskutinio sakinio iš viso nereikia.

Atsakymas. m = −2, n = −2.

273. 1)

Y

YY

Y

X

X

X

X0

0

0

0

2

2

1

1

6

2

1

1

2–1

2 – 52

xx –

4 + 23 + 1

xx

7 –2 – 1

xx

6 – 3+ 1

xx

y ––= ––

y ––= ––

y ––= ––

y = ––––

–3

a)

c) d)

b)

2) Nurodymas. Reikia remtis faktu, kad:y = k

x + n + m grafiką galima nubraižyti naudojantis y = kx grafiku, t. y.

y = kx grafiką lygiagrečiai pastumiant per:

1) n vienetų į kairę, kai n > 0, arba į dešinę, kai n < 0;2) m vienetų į viršų, kai m > 0, arba į apačią. kai m < 0.Vadinasi, reikia įrodyti, kad funkcijos reiškinį ax + b

cx + d galima pertvarkyti įpavidalą k

x + n + m.274. 1) g(x) = −f (x) − 1; 2) f (x) = −g(x) + 1.275. 1)

Y

X0

4

8

2 3 41

y 4=

–1–1–2–3–4

yx

–4

=|

|4

–2

2) x1 ∈ (−4; −3), x2 = −2, x3 = 2, x4 ∈ (3; 4).3) kai a < 0, tai lygtis sprendinių neturi;

kai a = 0, tai lygtis turi 3 sprendinius;kai a ∈ (0; 4), tai lygtis turi 6 sprendinius;kai a = 4, tai lygtis turi 4 sprendinius;kai a > 4, tai lygtis turi du sprendinius.

276. 1)

1 1 1

Y Y Y

1 1 10 0 0X X X

y

x–

=| |

1

y

x ––

=|

|11

y

x–

–

=| |

11

2) y =∣∣∣∣. . . ∣∣∣∣∣|x| − 1

∣∣ − 1∣∣∣. . . − 1

∣∣∣∣.Vienetukų skaičius lygus grafiko stogelių skaičiui.

277. 4.278. 2.279. 5.280. C.

3.2. Laipsninės funkcijos

281. a) n = 2k, k ∈ N; b) n = 2k + 1, k ∈ N; c) n = 2k + 1, k ∈ N;d) n = 2k, k ∈ N; e) n = 2k + 1, k ∈ N; f) n = 2k, k ∈ N.

282. 2123.

283. a) m > n; b) m < n; c) m > n; d) m < n.

284. (1) –– y = g(x), (2) –– y = f (x).

285. a) x ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞); b) x ∈ (1; 2); c) x ∈ (−∞; 0);d) x ∈ (−∞; +∞); e) x ∈ (−∞; 0) ∪ (1; +∞).

286. a) m ∈ (−√12; √

12); b) m ∈ (−∞; 0]; c) m ∈ (−∞; −

√m

m

) ∪ (√m

m ; +∞);

d) m ∈ (−∞; 0).

287. a) m ∈ (−∞; 0); b) ∅; c) m ∈ (8; +∞); d) m ∈ [0; 8].

288. a), c), d) –– lyginės; g) –– nelyginė; b), e), f) –– nei lyginės, nei nelyginės.

289. a) –– nei lyginė, nei nelyginė;b) –– nelyginė; c) –– lyginė.

290.Y

X0

1

1

y = x6

4

– x

y = x8

2–

x

–1

x ∈ (−1; 0)∪(0; 1).

291. 4.

292. 1) E; 2)Y Y

X X

ya

xa

=m

+1+

ycx

a=

m+

1+

0 0

3.3. Šaknies funkcijos

293. a) x ∈ [−1; 1) ∪ (1; +∞); b) x ∈ (1; +∞); c) x ∈ (4; +∞);d) x ∈ [4; 5) ∪ (5; +∞); e) x ∈ (0; +∞); f) x ∈ [0; 8].

294.Y

X0

6

3

3 6

y

x6

–=

–6

6

y + x6=

x ∈ [−6; 3].

295. a) Ne; b) taip.296. a) − 3√2; b)

√3 − 4; c) 1; d)

√2; e)

√3 + 2; f) −5.

297. 1) 3; 2)[4

9; 94].

298. a ∈ (−∞; 0).299. C.300. 1) (1) –– y = √

x + 1; (2) –– y = ∣∣ 3√x − 1

∣∣; 2) x ∈ [−1; 0).

3.4. Rodiklinės funkcijos301. 216.302.

Y

X

–1

–1

–3

0

Y

X2

1

3

0

Y

X1

1

2

0

a) b) c)

a) b) c)Apibrėžimo sritis R R RReikšmių sritis (−∞; 0) (0; +∞) [0; +∞)

Lyginumas Nei lyginė,nei nelyginė

Nei lyginė,nei nelyginė

Lyginė

Reikšmių didėjimo intervalas — (−∞; +∞) (0; +∞)

Reikšmių mažėjimo intervalas (−∞; +∞) — (−∞; 0)

Didžiausia reikšmė — — —Mažiausia reikšmė — — 0

Pastabėlė. d) punktas toks pats, kaip c).

303. a) −2012; b) 2.

304.

YY

Y

y –=x1

3

y –=

y –=

13

19

X

X

X

1

1

1

0

0

0

y 4=4

5

x (1; 2);Œ

–1

–1

–1

2

2

1

1

1

a) c)

b)

–12

y 2=x

y2

=xy

5=

25

=2x

x

y3

=–x

x (– ; 0);Œ ∞

–2

–3

–4

y 2 – 4= –x

y3

=x

y9

=x

∆.

305. 13 .

306. a), b), d) –– taip; c), e), f) –– ne.

307. 1) Didžiausia reikšmė lygi 1, mažiausia reikšmė yra 8;2) y = g(x) = (1

2)x ; 3) y = h(x) = −2x ; 4) y = l(x) = −2−x ; 5) 16.

308. Kai m < −14 , tai lygtis sprendinių neturi;

kai m = −14 , tai lygtis turi 1 sprendinį;

kai m > −14 , tai lygtis turi 2 sprendinius.

309. 1125.

310. a) b) c) d)D R R \ {0} (−∞; −2] ∪ [2; +∞) RE [1; +∞) (0; 1) ∪ (1; +∞) [1; +∞) (0; +∞)

311. 1) a = 2, b = 2;2) labiausiai panašus E, bet iš tikrųjų ir jis netinka.

3.5. Logaritminės funkcijos312. a) x ∈ (−1; 1) ∪ (1; +∞); b) x ∈ [−2; 0) ∪ (0; 3); c) x ∈ (−1; +∞);

d) x ∈ (1; +∞); e) x ∈ (−1; 0) ∪ (0; +∞).313. a), b), c) –– nesutampa.314. a) ∅; b) ∅; c) x ∈ (√

5; +∞).

315.a)

d) e) f)

b) c)Y

Y Y Y

Y Y

X

X X X

X X

1

1 1 1

1 1

1

2

2

32 21 10

0 0 0

0 0

y

x

log

=2y

x– – –

= 12 1

2

x 1;=

∆;

x 2; 3;= x 1; 2;=

yx= y

x=

y

x

log(4

–4)

=2

y

x

log (2)

=2

y

x–=

ylo

g– –

=x2

12

1

yx=

yx=

12

y

x

log– (4

–4)

=

–2–3

y

x

log –

(–4

–4)

=1

2

x reikšmė priklausointervalui (1; 2); x –2, –3.=

316. Nei vienos iš nurodytų.317. A y = log3 |x|; B y = −| log3 x|; C y = −∣∣ log3 |x|∣∣; D y = | log3 x|.318. a) D = (0; +∞), E = R; b) D = (−∞; −2) ∪ (2; +∞), E = R;

c) D = [243; +∞), E = [0; +∞); d) D = (−√3; √

3), E = (−∞; log5

√3].

3.6.–3.9. Trigonometrinės funkcijos

319. a) f (−x) = (−x)7 sin (−x)3 = −x7 · (− sin x

3) = x7 sin x

3 = f (x);

b) f (−x) = sin2(−x)

(−x)2 − 1 = (− sin x)2

x2 − 1 = sin2 xx2 − 1 = f (x);

c) f (−x) = cos(−5x) + 1| − x| = cos(5x) + 1

|x| = f (x);

d) f (−x) = cos(−x)5

5 − (−x)2 = cos(−x5)

5 − x2 = cos(x5)

5 − x2 = f (x);

e) f (−x) = tg5(−x)

3 · (−x)3 + (−x)7 = (− tg x)5

−3x3 − x7 = − tg5 x

−(3x3 + x7)= tg5 x

3x3 + x7 = f (x);

f) f (−x) = ctg(−x)sin(−x)

− cos(−x) = − ctg x− sin x − cos x = ctg x

sin x − cos x = f (x).

320. a), c) –– taip; b), d), e), f) –– ne.

321. b), d), g), h) –– lyginė; c), e), f), i) –– nelyginė; a) –– nei lyginė, nei nelyginė.

322. a) x ∈ (−∞; 0)∪(0; +∞); b) x ∈ (0; +∞); c) x ∈ R\{π2 +1+πn, n ∈ Z

};

d) x ∈ R\{n+ 4

π , n ∈ Z}; e) x ∈ R\{

π2 +πn, n ∈ Z

}; f) x ∈ R\{

π2 n, n ∈ Z

}.

323. a) b) c) d) e) f)

Didžiausia reikšmė 1 10 0,5√

52 – 0

Mažiausia reikšmė −1 −10 −0,5 −√

52 – –

324. a) y ∈ [−3; 5]; b) y ∈ [π + 3; −π + 3];

c) y ∈ [−1; 3]; d) y ∈ [−√3

2 ; 12 −

√3

2].

325. y ∈ [0; 0,5].

326. y ∈ [−1;√

22

].

327.

π

Y

1

–1

y xcos (2 )=

0 π2

π2

–– – X

a)

x ∈ R, y ∈ [−1; 1]; lyginė; mažiausias teigiamas periodas π ; reikšmės didė-ja, kai x ∈ (−π

2 + πk; πk), k ∈ Z, reikšmės mažėja, kai x ∈ (

πk; π2 + πk

),

k ∈ Z; didžiausia reikšmė y = 1, mažiausia reikšmė y = −1.

Y

1

–1

y xsin (4 )=

0 π4

π8

π2

–– – X

b)

x ∈ R, y ∈ [−1; 1]; nelyginė; mažiausias teigiamas periodas π2 ; reikšmės didėja,

kai x ∈ (−π8 +π

2 n; π8 +π

2 n), n ∈ Z, reikšmės mažėja, kai x ∈ (

π8 +π

2 n; 3π8 +π

2 n),

n ∈ Z; didžiausia reikšmė y = 1, mažiausia reikšmė y = −1.

Y

2y xsin (2 ) + 1=

0 π4– X

c)

π4

– – 34π5

4π 3

4π ––– –– – ––

x ∈ R, y ∈ [0; 2]; nei lyginė, nei nelyginė; mažiausias teigiamas periodas π ;reikšmės didėja, kai x ∈ (−π

4 + πk; π4 + πk

), k ∈ Z, reikšmės mažėja, kai

x ∈ (π4 + πk; 3π

4 + πk), k ∈ Z; didžiausia reikšmė y = 2, mažiausia reikšmė

y = 0.

Y

2y x–sin (2 ) + 1=

0 π4– X

d)

π4

– – 34π5

4π 3

4π ––– –– – ––

x ∈ R, y ∈ [0; 2]; nei lyginė, nei nelyginė; mažiausias teigiamas periodas π ;reikšmės didėja, kai x ∈ (

π4 + πk; 3π

4 + πk), k ∈ Z, reikšmės mažėja, kai

x ∈ (−π4 + πk; π

4 + πk), k ∈ Z; didžiausia reikšmė y = 2, mažiausia reikšmė

y = 0.

π–π

Y

5

4

1

y xcos + 4= 2

0 π2

π2

–– – X

e)

x ∈ R, y ∈ [4; 5]; lyginė; mažiausias teigiamas periodas π ; reikšmės didėja,kai x ∈ (−π

2 + πk; πk), k ∈ Z, reikšmės mažėja, kai x ∈ (

πk; π2 + πk

), k ∈ Z;

didžiausia reikšmė y = 5, mažiausia reikšmė y = 4.

π–π

Y

1

–1

y xcos= 2

0 π2

π2

–– – X

f)

x ∈ R \ {π2 + πk; k ∈ Z

}, y ∈ (0; 1]; lyginė; mažiausias teigiamas periodas

π ; reikšmės didėja, kai x ∈ (−π2 + πk; πk

), k ∈ Z, reikšmės mažėja, kai

x ∈ (πk; π

2 + πk), k ∈ Z; didžiausia reikšmė y = 1, mažiausios reikšmės nėra.

328. a) b)Reikšmės didėja, kai x ∈ (− π

14 + 2π7 k; π

14 + 2π7 k

) (−3π2 + 3πk; 3πk

)Reikšmės mažėja, kai x ∈ (

π14 + 2π

7 k; 3π14 + 2π

7 k) (

3πk; 3π2 + 3πk

)c) d)

Reikšmės didėja, kai x ∈ (−3π2 + 6πk; 3π

2 + 6πk)

—

Reikšmės mažėja, kai x ∈ (3π2 + 6πk; 9π

2 + 6πk) (−√

32 π + √

3πk;√

32 π + √

3πk)

e) f)Reikšmės didėja, kai x ∈ —

(−32 + 3k; 3k

)Reikšmės mažėja, kai x ∈ (

π6 + 3πk; 19π

6 + 3πk) (

3k; 32 + 3k

)

g) h)Reikšmės didėja, kai x ∈ (4πk; 2π + 4πk)

(−π2 − 7 + πk; π

2 − 7 + πk)

Reikšmės mažėja, kai x ∈ (−2π + 4πk; 4πk) —

329. Nurodymas. Punkto a) brėžinyje vietoje −π2 turi būti −π

3 , o vietoje 3π2 turi būti

2π3 .

1) a) y = f (x) = sin(2x − π

3); b) y = f (x) = −2 cos x;

c) y = f (x) = ∣∣ sin x4∣∣;

2) a) π ; b) 2π ; c) 4π .

330. a) −π2 ; b) 2π .

331.y = f (x) = a) 2 sin

(x + π

4)

b) |1,5 sin x| c) sin x2

x ∈ R R Ry ∈ [−2; 2] [0; 1,5] [−1; 1]Lyginumas — Lyginė NelyginėPeriodiškumas 2π π 4π

y didėja, kai x ∈ (−3π4 + 2πk; π

4 + 2πk) (

πk; π2 + πk

)(−π + 4πk; π + 4πk)

y mažėja, kai x ∈ (π4 + 2πk; 5π

4 + 2πk)(π

2 + πk;π + πk)

(π + 4πk; 3π + 4πk)

Max 2 1,5 1Min −2 0 −1

y = f (x) = d) cos(2x) e) −2| cos x| f) 3 cos(x + π

4)

x ∈ R R Ry ∈ [−1; 1] [−2; 0] [−3; 3]Lyginumas Lyginė Lyginė —Periodiškumas π π 2π

y didėja, kai x ∈ (−π2 + πk;πk

) (πk; π

2 + πk) (−3π

4 + 2πk; π4 + 2πk

)y mažėja, kai x ∈ (

πk; π2 + πk

) (π2 + πk;π + πk

) (π4 + 2πk; 5π

4 + 2πk)

Max 1 0 3Min 1 −2 −3

332. a) b) c)

↗ (− 712 + 2k; 5

12 + 2k) (−2π2

3 + 2π2k; π2

3 + 2π2k) (−1

2 − π4 + π

2 k;−12 + π

4 + π2 k

)↘ ( 5

12 + 2k; 1712 + 2k

) (π2

3 + 2π2k; 4π2

3 + 2π2k)

—

+ (− 112 + 2k; 11

12 + 2k) (−π2

6 + 2π2k; 5π2

6 + 2π2k) (−1

2 + π2 k;−1

2 + π4 + π

2 k)

− (1112 + 2k; 23

12 + 2k) (5π2

6 + 2π2k; 11π2

6 + 2π2k) (−1

2 − π4 + π

2 k;−12 + π

2 k)

d) e) f)↗ —

(−π2 + πk;πk

) (−3π2 + 2πk; −π

2 + 2πk), k ∈ {. . . ;−2; −1; 0}, ∪(

0; π2

) ∪ (3π2 + 2πk; 5π

2 + 2πk), k ∈ {0; 1; 2; . . .}

↘ (πk, π + πk)(πk; π

2 + πk) (−5π

2 + 2πk; −3π2 + 2πk

), k ∈ {. . . ;−2; −1; 0}, ∪(−π

2 ; 0) ∪ (π

2 + 2πk; 3π2 + 2πk

), k ∈ {0; 1; 2; . . .}

+ (πk; π

2 + πk)

R \ {π2 + πk

}(−π + 2πk; 2πk), k ∈ {. . . ;−2; −1; 0}, ∪

(2πk;π + 2πk), k ∈ {0; 1; 2; . . .}− (π

2 + πk;π + πk)

— (−2π + 2πk; π + 2πk), k ∈ {. . . ;−2; −1; 0}, ∪(π + 2πk; 2π + 2πk), k ∈ {0; 1; 2; . . .}

333. a) m ∈ (−3; −√7) ∪ (√

7; 3); b) m ∈ ( 5√4; 5√6

);

c) m ∈ (−∞; −2) ∪ (−1; +∞); d) m = 2π(1 + 2k)

, k ∈ Z;e) m = 3k + 2

1 + πk, k ∈ Z; f) m ∈ [−1,5; 9].

334. a) x = π2 + 2πk; b) x = π + 2πk;

c) x ∈ R \ {π2 + πk

}; d) x ∈ (

π2 + 2πk; π + 2πk

);

e) x ∈ (−52 + 2πk; 2πk

); f) x ∈ (

πk; π2 + πk

), k ∈ Z.

335. Tokios k reikšmės nėra.336. a) 2; b) 1.337. m ∈ (−2; −1,5].338. m ∈ (−∞; −√

5] ∪ [√

5; +∞)ir x ∈ (

0; 3π2

].

339. 1) 4; 2) x ∈ (54 + 2πk; 5π

4 + 2πk), k ∈ Z; x ∈ (−3π

4 + 2πk; π4 + 2πk

), k ∈ Z.

340.

π–π 2π 3π 4π

Y

1

–1

y xsin=y xsin (2 )=

0 π2

π2

–– – X

1)

2) 4;3) x ∈ (−π

3 + 4πk; 4πk) ∪ (2π

3 + 4πk; 2π + 4πk), k ∈ Z;

x ∈ (4πk; 2π

3 + 4πk) ∪ (

2π + 4πk; 10π3 + 4πk

), k ∈ Z.

341. 2. (Sąlygoje turi būti ctg2 x.)342.

√2.

4 skyrius. VEKTORIAI

4.1.–4.5. Vektoriai. Veiksmai su vektoriais

343. a) −→AB = −→

AD + −→DB = −→

BC + −→DB = −→

DC;b)−→AC = −→

AD + −→DC = −→

BC + −→DC

−→AC = −→

AB + −→BC = −→

BC + −→AB

⎤⎦ ⇒ −→

DC = −→AB.

344. a) 15 cm; b) 8 cm; c) 17 cm; d) 17 cm.

345. a) −→AB + −→

AD = −→AC + 2−→

OC;b) −→

AD + −→OC + 2−→

OA == −→

AO + −→OD + −→

OC + −→OA − −→

AO == −→

AO + −→OA + −→

OD + −→OC − −→

OC = −→OD;

c) −→AC + −→

BD = −→AB + −→

BC + −→BA + −→

AD == −→

DC + −→AD + −→

BA + −→AD = −→

BA + −→DC + 2−→

AD;d) −→

OB + −→OD − (

−→OA + −→

OC) = −→0 − −→0 = −→0 ,−→OC + −→

OA − (−→OB + −→

OD) = −→0 − −→0 = −→0 .

O

A

B C

D

346. a) −→EA, −→

DC, −→AB; −→

DA, −→CB;

b) −→DE , −→

AC;c) −→

EA, −→DC, −→

AB; −→DE, −→

AC; −→DA, −→

CB;d) −→

EA, −→DC, −→

AB; −→DA, −→

CB.347. a) 7�a − 16�b − 2�c; b) 22�n − 5 �m.

348.−→AC = −→

a + �b; −→BD = �c − �a; −→

CD = �c − �a − �b.349. a) 2a; b) 0; c)

√3a; d)

√3a.

350.

O

A

B C

D

−→OD = −→

OA − −→OB + −→

OC.

351.−→AB · −→AC = |−→AB| · |−→AC| · cos α = c · c cos α · cos α = c2 cos2 α;−→BC · −→

BA = |−→BC| · |−→BA| · cos(90◦ − α) == c sin α · c · sin α = c2 sin2 α;−→CA · −→

CB = |−→CA| · |−→CB| · cos 90◦ = 0.−→AB · −→AC + −→

BC · −→BA + −→CA · −→CB = c2 cos2 α + c2 sin2 α + 0 =

= c2(cos2 α + sin2 α) = c2 · 1 = c2.

A

BC

c

α

352. 7.

353. a) 17; b) 17.

354. 12 �n − �m.

355. 1) �b − �a.

2) Vektoriai −→BC ir −→

AD yra lygiagrečiose tiesėse ir yra vienakrypčiai, o jų ilgiaiyra lygūs, todėl −→

BC = −→AD.

3) 12(�a + �b)

.

356. a), b)Taškas X yra briaunos CC1 tęsinyje ir CC1 = C1X

(−−→D1X = −−→AB1).

A D

CB

A1

B1 C1

D1

X

c), d)Taškas X yra briaunos C1D1 tęsinyje irC1D1 = D1X (−−→D1X = −→

CD).

A D

CB

A1

B1 C1

D1

X

357. arccos√

33 .

358. a) −→SC; b) −→

AC; c) −→SB; d) −→

CB.

359. −b2

2 .

360.−→AC = �a + �b, −→

BD = �a − �b, −→AC ·−→BD = |�c| · | �d| · cos α,−→

AC ·−→BD = (�a+�b)·(�a−�b) = (�a)2−(�b)2 = |�a|2−|�b|2,|�c| · | �d| · cos α = |�a|2 − |�b|2, 0 < cos α < 1, todėl|�c| · | �d| > |�a|2 − |�b|2, t. y. c · d > a2 − b2. A

B C

Da

cbd

α

361. a) −−→MN − −−→

N1N + −−→K1M = −−→

MN + −−→NN1 + −−→

K1M == −−→

MN1 + −−→K1M = −−→

MN1 − −−→MK1 = −−−→

K1N1;

N

N1

K

K1

M

M1

b) Duotoji lygybė yra neteisinga.Pastaba mokytojams. Teisinga yra tokia lygybė−−−→M1M − −→

KN + −−→MN = −−→

M1K .362. −1

3 �a − 23�b + 1

2 �c.363. Sąlygoje vietoje lygiakraštis turi būti lygiašonis.

a) �a − �b; b) �a + �b; c) −2�b.

364. a) −→BC ir −→

AD; −→AO ir −→

OC; −→OB ir −→

OD; −→AB ir −→

CD;b) −→

AO ir −→OC; −→

AD ir −→BC;

c) −→OB ir −→

OD; −→AB ir −→

CD;d) −→

OB ir −→OD; −→

AB ir −→CD;

e) −→BC ir −→

AD; −→AO ir −→

OC.

365.−→BA+−→

BD = −→BC, −→

CA+−→CD = −→

CB, |−→BC| = |−→CB|,todėl |−→BA + −→

BD| = |−→CA + −→CD|.

C

A

D

B

366. a) 3 cm; b) 6 cm; c) 3√

7 + 2√

3 cm.367. a)

√3; b)

√21.

368. 12(−→AD − −→

CD).

369. a) 32�b; b) −1

2�b; c) 2�b; d) �b − �a; e) �a + �b; f) 3

2�b − 1

2 �a.

370. arccos√

63 .

371. a) 25; b) 0; c) −25.372. a)

√3; b) 30◦; c) 90◦.

373. 2.

374. �0.

375. �x = −−−→A1C1.

A

B C

D

A1

B1C1

D1

x

376. a) 23(−→OB + −→

OA); b) −→

OB + −→OA; c) 2

(−→OB + −→

OA).

377. Sąlygoje paskutinėje lygybėje trūksta vektoriaus ženk-lo. Turi būti ne CC1 = . . ., bet −−→

CC1 = . . . .

1) −−→CC1 = −→

CB + −−→BC1,−−→

CC1 = −→CA + −−→

AC1;⇒ 2−−→

CC1 = −→CB + −−→

BC1 + −→CA + −−→

AC1;A

B

Cb

a

n

m

C1

2) −−→BC1 = m

m + n · −→BA, −−→AC1 = n

m + n · −→AB; −→BA = −→

BC + −→CA, −→

AB = −→AC + −→

CB;3) a

m = bn , ⇒ n

m = ba ; n

n + m = ba + b

, mn + m = a

b + a;

4) Iš 1) punkto lygybės:−−→CC1 = 1

2(−→CB + a

a + b· −→BA + −→

CA + ba + b

· −→AB) =

= 12(−→CB + a

a + b

(−−→CB + −→

CA) + −→

CA + ba + b

(−−→CA + −→

CB)) =

= 12

(−→CB

(1 − a

a + b + ba + b

) + −→CA

(1 + a

a + b − ba + b

)) == b

a + b · −→CB + a

a + b · −→CA = a · −→

CA + b · −→CB

a + b .

378. 1) �OAC ∼ �BAO,OABA = AC

AO , ⇒ AC = a2√a2 + b2 ;

2) �OBC ∼ �ABO,OBAB = BC

BO , ⇒ BC = b2√a2 + b2 .

A

B

C

b

a

O

3) −→OC = −→

OA+−→AC, −→

OC = −→OB +−→

BC; ⇒ −→OC = 1

2(−→OA+−→

AC +−→OB +−→

BC) =

= 12(−→OA + a2

a2 + b2 · −→AB + −→

OB + b2

a2 + b2 · −→BA

) == 1

2

(−→OA + a2

a2 + b2 · (−−→OA + −→

OB) + −→

OB + b2

a2 + b2 · (−−→OB + −→

OA)) =

= 12

(−→AO · (

1 − a2

a2 + b2 + b2

a2 + b2

) + −→OB

(1 + a2

a2 + b2 − b2

a2 + b2

)) == −→

OA · b2

a2 + b2 + −→OB · a2

a2 + b2 = a2 · −→OB + b2 · −→OAa2 + b2 .

4.6.–4.10. Vektorių koordinatės. Veiksmai su vektoriais, išreikštaiskoordinatėmis

379. a) −→AB(6; −8), |−→AB| = 10; b) −→

AB(−2,7; 1,2; 0,3

√3), |−→AB| = 3.

380. a) M(7; −5); b) M(8,5; −8; 1,5).381. a) N(1; −1); b) N

(7; −22

3; −145).

382. a)(k−→AB

)(12; −15); b)

(k−→AB

)(−8,8; 11); c)

(k−→AB

)(−913; 112

3).

383. m = −2, n = −1, k = 3.384. a) Kolinearūs; b) nekolinearūs.

385.−→AB(4; −6; 6), −→

CD(−8; 12; −12). Kolinearūs, nes 4−8 = −6

12 = 6−12 ,

(= −12).

Priešpriešiniai, nes −12 < 0.

386. x = −4, y = 2.387. a) 4; b) −2 ir 2.388. a) 0,5; b) 1

4 .389. a) D(3; −4); b) D(4; −6; 4).390. �d(−1,5; 1,5; 1,5).391. C(6; 12), D(10; 6) ir C(−6; 4), D(−2; 2).

392. a) 10√

2, 10√

5; b) 5√

292 , 5

√17

2 .

393. a) 22 + 4√

10, 3√

972 ; b) 48, 4

√13.

394. 135◦.395. a) ∠A = 120◦, ∠B = ∠C = 30◦; b) ∠A = 90◦, ∠B = ∠C = 45◦.396. a) −48; b) 22.397. a) 475; b) 44.

398.−→AB = 3�i, −→

AD = 4 �j , −→AC = 3�i + 4 �j , −→

BC = 4 �j , −→DA = −4 �j , −→

DB = 3�i − 4 �j .399. 6.400. |�a| = 17, �e( 8

17 ; −1517

).

401. a) 60◦; b) 45◦.402. a) 5; b) 6.403. �c(6; 12; 6).

404.−→AB(−0,5; −1,5; 0,5), −→

BC(−1,5; −0,5; 4), −→DC(−0,5; −1,5; 0,5),−→

AD(−1,5; −0,5; 4), ⇒ −→AB = −→

DC, −→BC = −→

AD, ⇒ ABCD –– lygiagretainis.

405.−→AB(−4; 6; −6), −→

DC(−8; 12; −12), ⇒ −4−8 = 6

12 = −6−12 = 1

2 , ⇒ −→AB ‖ −→

DC;

|−→AB| = 2√

22, |−→DC| = 4√

22, ⇒ AB �= DC, ⇒ ABCD –– trapecija.

406.−→AB

(−32 ; −1; −1

2).

407. �x(2; −1; 3).408. 3.409. −1.410. 1) − 1

16 ; 2) 2,4 ir −2,4.411. 1) −3,6; 2) Vektoriai �m ir �n nestatmeni, nes �m · �n �= 0.

412.−→NP(4,5; 1,5).

413. 60◦.

414. 1) −→AB(3; 6); 2) −→

AB ⊥ −→AC, nes −→

AB · −→AC = 0; 3) D(10; −5).415. a) �t = 1,5 �m − �n; b) �t = − �m + 4�n.

416.−→AD = 5−→

AB − −→AC.

417. �c = −0,5�a − 1,5�b, �b = −13 �a − 2

3 �c, �a = 119

�b + 2227 �c.

5 skyrius. LYGTYS

5.1. Kvadratinės lygtys. Vijeto teorema418. a) 4; b) −6.419. a) 2; b) −7.420. a) 77

9; b) −21627 ; c) −231

3 .421. a) −8; b) 4,5.422. a) 18; b) 0,8.423. a) 2x2 + x − 9 = 0; b) x2 − 13x + 24 = 0.424. x2 + x − 3 = 0.425. a) Sąlygoje lygtis turi būti 9x2 − 9(m − 3)x + 8m = 0. Atsakymas. 1 ir 9.

b) Sąlygoje lygtis turi būti x2 + (2m + 1)x + m2 + 2m + 3 = 0.Atsakymas. −5.

5.2. Laipsninės lygtys426. a) −3; b) −2; 2; c) −1,5, 1,5; d) − 4√5; 4√5; e) 3√2; f) −2.

427. a) −3,5; b) 24; c) −4√

2; 0; d) −√3; 2

√3; e) 1

8 ; f) 10 − 6√

103 ; 10 + 6

√10

3 .

428. a) −3; b) 113; 22

3 c) 623 ; d) −0,2; 0,2.

429. a) −2; b) 0; c) 3.430. a) 5√6; b) −√

2;√

2.

431. a) −√5;

√5; b) −1

2 ; c) 8; d) −14√

53 ; 0.

432. a) 12 %; b) 10 %.433. 1) −3

4 ; 14 ; 2) −2.

434. 1) −1; 2) 0.

5.3. Lygtys su kvadratinėmis šaknimis435. a) 0; 2; b) 8; c) 0; 1; d) 4; e) 1; f) 1

3 ; 12 ; g) 6; h) −4; i) −11; 7;

j) −8; −6; k) 10; l) −3; 3.436. a) −1; 0; b) 0,5; 5; c) −3; 1; d) −4; 1.437. a)

√x + 3 � 0,

√x + 4 � 0,

√x + 3 + √

x + 4 � 0 �= −5.b)

√x − 2 � 0,

√x − 2 = 0, kai x = 2,

√x + 5 � 0,

√x + 5 = 0, kai

x = −5 �= 2, todėl√

x − 2 + √x + 5 > 0 �= 0.

438. a) 5; b) 7; c) 11; d) 7.439. a) (4; 0); b) (9; 0); c) (5; 0); d) (1; 0).440. a) (5; 2); b) (4; 1).

441. a) 16; b) 16; c) 0; 2; d) 0; 25.442. a) Sąlygoje vietoje x turi būti a. Atsakymas. 6; b) 8.443. a) −5; 5; b) −√

3;√

3.444. a) 2; b) 0; 4; c) 5; d) −24

5 ; 1 110 .

445. 1.446. a) 1; b) 2.447. −2,6; 3.448. 1) Iš �ANP (∠P = 90◦), ⇒ PN = 12 km.

Iš �APB (∠P = 90◦), ⇒ PB =√

x2 − 25 km.BN = PN − PB = 12 −

√x2 − 25 km. tAB = x

3 h, tBN = 12 − √x2 − 255 h,

t = x3 + 12 − √

x2 − 255 = 5x + 36

15 −√

x2 − 255 . Vadinasi, sąlygoje pateiktas

situacijos neatitinkantis reiškinys.2) 3,125 km.

449. 1) Iš �ABD (∠B = 90◦), ⇒ AD =√

1 + x2.2) 135◦, 2 + √

3.

5.4. Rodiklinės lygtys450. a)−3; 0; 3; b) −4; 0; 4; c) 1

2 ; 2; d) −1; 4; e) 5; f) 2; g) 2; 5;h) −2; 2; i) 2; j) 2.

451. a) 6; b) 7; c) 8; d) 0.452. a) (2; 1,8); b)

(12 ; √

2).

453. 10.454. a) x ∈ [1,2; +∞); b) 3,2.455.

{14} = {1

4}.

456. (3; +∞).457. 3.458. 6.

459. 1) k.p. =√

10(√

7 − √2)

3(√

7 − √2) =

√103 = d.p.; 2) 1

2 .

5.5.–5.6. Logaritminės lygtys460. a) 5; b) 5; c) 5; d) 55; e) −2; f) 6.461. a)

√2; b) 0,5; c) 1

3 ; d)√

5.

462. a) 1,5; 3; b) 4; c) −423 ; d) 0.

463. a) 7; b) 4; c) ∅; d) ∅; e) −2; 0; f) −3; −1.464. 3

4 .

465. 1) k.p. = lg 10 + lg√

0,18 = lg(10

√0,18

) = lg√

18 = d.p. 2) 2.466. 1) x ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞); 2) 3.467. a) 9; b) 2.468. a) 1

5 ; b) 7,9 h.

5.7. Lygtys su moduliais469. a) −1; 3; b) 6; 36; c) 0; 1; 6; 7; d) ∅; e) −√

10; −2; 2;√

10f) 1√

3; 3.

470. a) 23 ; 4; b) 1,5; c) 1

3 ; d) −2; e) −4; 4; f) 4; g) 4; h) −6; 0;i) −12

3; 13 ; j) (−2; 0].

471. 1) A −1; 1; B [3; 5]; C −738; 4; D 31

3; 4; 2) 12 .

472. a) −2; 2; b) 0; c) 14 ; 16; d) −13; 19; e) 4; 16; f) −23; 1.

473. a) 5; b) 0.474. a) −3; b) 13.475. 5,25.476. 3; −3.477. a) −3,5; −0,5; 0,5; 3,5; b) −7; 7; c) −1; 1; 3; 5.478. 2.

5.8. Dar daugiau lygčių

479. a) −4; −1; 1; 4; b) −2; −12 ; 1

2 ; 2; c) −2; −23 ; 2

3 ; 2; d) −√5;

√5;

e) −2; −√

33 ;

√3

3 ; 2; f) −2; 2.480. a) 1; b) 6.481. a) −2; −1

3 ; 13 ; 2; b) −0,6; 0,6.

482. a) −1; 1; b) ∅; c) 2; d) −12 ; e) −4; −3; 3; 4;

f) −√17; −√

2;√

2;√

17.483. a < 0, b = 0.484. a) 0; b) 2; c) 1

3 ; d) −1; e) 3; f) 1; g) −3; h) 1; i) 1; 2; j) −1; 1;k) 1

2 ; 1; l) 1; 3.

485. a)(2

5; 0); b) (1,5; 0); c) (−1; 0), (1; 0); d) (0; 0), (2; 0).

486. a) 3; b) 3,5; c) 5; d) 6.487. Lygtis 4x − 3 · 2x = −4 − 5 · 2x sprendinių neturi.488. 1.489. a)

√5; 25; b) 2; 64; c) 2; 4; d) 10; 10 000; e) 0,1; f) 0,01; 100.

490. a) 16; b) 27; c) 9; d) 27; e)3√

93 ; 9; f)

√2

2 ; 8.

491. a) 0; 1; b) 0; 1; c) 3; 11; d) 4; 12; e) −√5;

√5; f) −4; 4; g) −6; 6.

492. 1) x ∈ (−∞; 3).

2) k.p. = 52 log5√

3−x = 5log5

(√3−x

)2

= 3 − x = d.p.3) 0.

493. a) −2; 0; 10; b) −6; 0; 5; c) −2; 3; d) −14 ; 2; e) −3; 1; f) −6; 5;

g) 1; 2; h) 3.

5.9. Lygtys su sinusais494. a) 5π

12 ; b) π4 ; c) 5π

3 ; d) π12 .

495. a) (−1)n · π6 + πn

2 ; b) (−1)n · π3 + 2πn; c) (−1)n · π

30 + πn5 ;

d) (−1)n+1 · 3π4 + 3πn; e) (−1)n+1 · π

12 + πn3 ; f) (−1)n · π

3 + πn, n ∈ Z.

496. a) π6 + πn; b) π

5 + 4πn5 ; c) − π

12 + 2πn7 ; d) 3π

8 + πn; n ∈ Z.

497. a) (−1)n · π6 + πn; b) (−1)n+1 · π

6 + πn; c) ∅; d) −π2 + 2πn, n ∈ Z.

498. a) π4 ; b) − π

24 .

499. a) π6 ; π

3 ; b) π12 ; π

4 ; 3π4 ; 11π

12 .

500. a) 134; 111

12 ; b) −34 ; − 5

12 .

501. 1) k.p. = − cos 150◦2 sin 30◦ = cos 30◦

2 · 12

=√

32 ;

2) (−1)n · π3 + πn, n ∈ Z; 3) 2 sprendinius.

502. a) a ∈ [−2; 1]; b) b ∈ (−∞; 9) ∪ (15; +∞).

5.10. Lygtys su kosinusais503. a) π

6 ; b) 5π4 ; c) 5π

6 ; d) 13π4 .

504. a) ± π18 + πn

3 ; b) ±π +6πn; c) ± π12 +πn; d) ±π

4 +2πn; e) ±5π6 +2πn;

f) ± π24 + πn

2 , n ∈ Z.

505. a) π4 + πn; b) 4πn

3 ; c) π4 + πn

2 ; d) π2 + πn, n ∈ Z.

506. a) ±π3 + 2πn; b) ±π

4 + 2πn; c) π + 2πn; d) ±2π3 + 2πn, n ∈ Z.

507. 1) ±π3 + 2πn, n ∈ Z; 2) −π

3 ; π3 .

508. 1) ±π2 + 4πn, n ∈ Z; 2) 2 sprendiniai.

509. 1) 11324 ; 119

24 ; 2) − 524 ; − 1

24 .

510. 1) k.p. = 2 · sin 22,5◦ · cos 22,5◦2 · cos(2 · 67,5◦) = sin 45◦

2 cos 135◦ = −12 = d.p.

2) ±2π3 + 2πn, n ∈ Z; 3) 2π .

511. 312 .

512. a) m ∈ (−∞; 3) ∪ (9; +∞); b) m ∈ [15; 1

].

5.11. Lygtys su tangentais

513. a) 3π4 ; b) π ; c) 0; d) −29π

12 ; e)√

3; f) 1.

514. a) π15 + πn

15 ; b) −5π72 + πn

5 ; c) π24 + πn

3 ; d) π8 + πn

2 ; e) π6 − 1 + πn;

f) π3 + 1 + πn, n ∈ Z.

515. a) π12 + πn; b) 5π

8 + 3πn2 , n ∈ Z.

516. a) πn3 ; b) 4πn; c) −6 + 6πn; d) −π

6 + πn; π3 + πn; e) ±π

3 + πn;f) ±π

6 + πn, n ∈ Z.

517. a)(πn3 ; −1

); b)

(π6 + πn

3 ; 1); c)

(π12 + πn

3 ; 0), n ∈ Z.

518. 6.

519. a) 1) x �= πn, n ∈ Z; x �= π4 + πk

2 , k ∈ Z; 2) πn2 , n = 2k + 1, k ∈ Z;

b) 1) x �= π4 + πn

2 , n ∈ Z; 2) πn2 , n ∈ Z.

520. a) π12 + πn

3 ; b) −π2 + 2πn; c) πn; d) π

4 + πn, n ∈ Z.

521. 1) π6 ; 2) −11π

6 ; 3) −11π6 ; 4) 13π

6 .

522. a) 1,5; 2; 2,5; b) −34 ; −1

4 ; 14 ; 3

4 .

5.12. Lygtys su kotangentais

523. a) π2 ; b) π ; c) 5π

6 ; d) 23π6 ; e)

√2

2 ; f)√

33 .

524. a) π3 + πn; b) 3π

16 + πn4 ; c) π + 2πn; d) 3πn; e) π

4 + πn;f) 2π

3 + πn, n ∈ Z.

525. a) 13π12 + πn; b) 13π

18 + 2πn3 , n ∈ Z.

526. a) 116 + n

4 ; b) 14 + 3n

2 ; c) π4 + πn

2 ; d) π + 2πn; e) −5π6 + πn; π

3 + πn;f) π

6 + πn; −π4 + πn, n ∈ Z.

527. a)(5π

24 + πn2 ; −1

); b)

(− π24 + πn

2 ; 1); c)

(π12 + πn

2 ; 0), n ∈ Z.

528. 3.

529. a) 1) x �= πn; 2) π2 + πn, n ∈ Z;

b) 1) x �= πn2 ; 2) π

4 + πn2 , n ∈ Z.

530. a) π36 + πn

6 ; 5π36 + πn

6 ; b) π4 + πn; 3π

4 + πn; c) π8 + πn

2 ; 3π8 + πn

2 ;d) 3π

4 + 3πn; 3(π − arcctg 3) + 3πn, n ∈ Z.

531. 1) π3 ; 2) −π

3 ; 3) −2π3 ; −π

3 ; 4) 2π3 ; π ; 4π

3 ; 5π3 .

532. a) −12 ; 1

2 ; 112 ; 2 1

2 ; b) −1118 ; − 5

18 .

5.13. Dar daugiau trigonometrinių lygčių533. a) πn; b) π

2 + πn; c) −π8 + πn

2 ; d) π + 3πn; e) π4 + πn; π

2 + πn;f) πn; −π

6 + πn, n ∈ Z.

534. a) ±2π3 +2πn; b) π

2 +2πn; c) (−1)n ·arcsin 15 +πn; π

2 +2πk; d) π +2πn;e) arctg 1

2 + πn; arctg 2 + πn; f) 3π2 + 2πn; 2 arcctg 5

7 + 2πn, n ∈ Z.

535. a) (−1)n · π6 + πn

2 ; b) (−1)n+1 · π8 + πn

2 ; c) (−1)n · 12 +3n; d) ±2π

3 +2πn;e) ±π

3 + 2πn; π + 2πn; f) (−1)n · π4 + πn, n ∈ Z.

536. a) (−1)n · π3 − π

4 + πn; b) ±π4 − π

3 + 2πn; c) (−1)n · π42 + πn

7 ;d) ±5π

72 + πn6 , n ∈ Z.

537. 1) k.p. = cos x ·cos π4 −sin x ·sin π

4 +√

22 sin x =

√2

2 cos x−√

22 sin x+

√2

2 sin x ==

√2

2 cos x = d.p.2) ±π

3 + 2πn, n ∈ Z.3) π

3 .538. 1) k.p. = sin 30◦ · cos x − cos 30◦ · sin x − cos 60◦ · cos x − sin 60◦ · sin x =

= 12 cos x −

√3

2 sin x − 12 cos x −

√3

2 sin x = −√3 sin x = d.p.

2) (−1)n+1 · π4 + πn, n ∈ Z.

3) 5π4 ; 7π

4 .

539. 1) f (x) = (1 + cos2 xsin x − sin x

)tg x = 1 + cos2 x − sin2 x

sin x · sin xcos x = 2 cos2 x

cos x = 2 cos x.2) ±π

3 + 2πn, n ∈ Z.

540. a) 312; b) 11

4 .

541. a) π4 +πn; − arctg 3

4 +πn; b) −π4 +πn; arctg 4+πn; c) π

4 +πn; arctg 32 +πn;

d) −π4 + πn; − arctg 2

3 + πn, n ∈ Z.542. a) 1) x ∈ [−3; 3]; 2) −3; 0; 3;

b) 1) x ∈ [−4; 4]; 2) −4; −π ; 0; π ; 4;c) 1) x ∈ [3

4; 1]; 2) 3

4 ; π4 ; 1;

d) 1) x ∈ [1; 11

3]; 2) 1; π

3 ; 113 .

543. 4.544. a) π

4 + πn2 ; b) π

4 + πn; c) π4 + πn; d) ±π

2 + 2πn, n ∈ Z.

545. a) π12 ; π

6 ; 7π12 ; 2π

3 ; b) π24 ; 5π

24 ; 13π24 ; 17π

24 .546. a) π ; b) −π

2 .547. a) 50; b) 50.548. a) 3π ; b) π .549. [0; 2].

6 skyrius. LYGČIŲ SISTEMOS

6.1. Lygtys su dviem nežinomaisiais

550. a) (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1);b) (1; 6), (5; 3);c) (1; 12), (2; 3);d) (1; 4), (4; 1).

551. 1) 2x + 3y = 17.2) Pavyzdžiui: x = 1, y = 5.3) Didžiausia įmanoma y reikšmė yra 5, nes kai y = 6, tai x = −1

2 (netinka).Kai y = 5, tai x = 1. Taigi Jonas daugiausia galėjo įmesti 5 tritaškius.

552. Pažymėkime: x –– 15 cm ilgio atkarpų skaičių; y –– 6 cm ilgio atkarpų skaičių.Sudarome lygtį 15x + 6y = 100.Reikia nustatyti, ar ši lygtis turi natūraliųjų sprendinių.I būdas. Tikriname imdami x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Kitos x reikšmės netinka,nes 15x turi būti neneigiamas ir ne didesnis už 100 (0 � 15x � 100).

x = 0 1 2 3 4 5 6y = 100

6856

706

556

406

256

106

y = 100 − 15x6 .

Gautosios y reikšmės nėra sveikieji neneigiamieji skaičiai, todėl nėra x ir y

reikšmių, tenkinančių uždavinio sąlygą.II būdas. Lygtis 15x + 6y = 100 neturi natūraliųjų sprendinių, nes kairioji jospusė dalijasi iš 3, o dešinioji –– nesidalija.Atsakymas. Negalima.

553. a) 2 būdai; b) 5 būdai; c) 1 būdas.

554. 5 ir 12.

555. 1 mokinio arba 12 mokinių.

556. 13 vamzdžių 5 m ilgio ir 6 vamzdžių 7 m ilgio.

557. 1) Įmanoma.2) 75 � 10 6 2

100 � 1 4 73) 10 indų –– 75 � talpos ir 1 indas –– 100 � talpos.

558. 5 indai –– 0,75 � talpos ir 13 indų –– 1,25 � talpos.

559. 303.

560. 72.

561. 1) (−5; 2), r = 4.2) A, B, D –– nepriklauso, C –– priklauso.3) Ilgis lygus 8π , plotas –– 16π .

562. a) (x + 3)2 + (y − 2)2 = 25, (−3; −2), r = 5;b) (x − 1)2 + (y − 4)2 = 36, (1; 4), r = 6;c) (x − 5)2 + (y − 10)2 = 130, (5; 10), r = √

130;d) (x + 2,5)2 + (y − 3,5)2 = 21, (−2,5; 3,5), r = √

21.

563.

0

Y

Y

YY

Y

X

X

XX

X

3

3

– 3 3

yx

+=

32

34

242

+3

=6

x

y

x

y+

=4

a) b) c)

g)

Y

X0

0 0

2 4

2

xy 8=4

d)

–3–7 0

Y

X5

5

–5

–5

0

x +y

=25

2

2

e)

f)

4

1

8

7

(x+

3)+

(y– 4) = 16

2

2

–1

xx

y2

–4

+=

–1

2

564. a) 3x + 2y = 6; b) 4y − 3x2 = −12; c) x2 + y2 = 9;

d) xy = 4; e) (x − 1)2 + (y + 2)2 = 8; f) y + x2 − 6x = −7.

565. a) Apskritimo centro koordinatės x = 0, y = 8 yra tiesės y = 2x + 8 lygtiessprendiniai (8 = 2 · 0 + 8), todėl tiesė eina per apskritimo centrą.

b) x2 + y2 + 6x − 4y + 8 = 0, ⇒ (x + 3)2 + (y − 2)2 = 5. Apskritimo centrokoordinatės (−3; 2) tenkina tiesės lygtį.

6.2. Dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemos

566. a) a = 5, b = 6; b) a = −1, b = 4.

567. Y

X40

a)

5

y1

y1

x1 x2 x2

x2

x1

x1

y2

y2

0

Y

X

2

3

b)

c)

y

x=

(x–

4)

2 +(y – 5)2

= 9

yx

=+

22

yx– 0,2 = 3

Y

X0 2

2

–2

xy

–

2=xy = 4

Lygčių sistema turi du sprendinius, kurie apytiksliai lygūs:a) x1 ≈ 2,5, y1 ≈ 2,5; x2 ≈ 6,5, y2 ≈ 6,5;b) x1 ≈ −0,9, y1 ≈ 2,8; x2 ≈ 1,1, y2 ≈ 3,2;c) x1 ≈ −1,2, y1 ≈ −3,2; x2 ≈ 3,2, y2 ≈ 1,2.

568. a) (−4; −1), (−4; 1), (4; −1), (4; 1);b) ∅;c)

(1; 1

3),(−1; −1

3).

569. a) (3; 5), (1; 1); b) (−9; −5), (5; 2); c) (4; 8), (8; 4).

570. a) (1; 1); b) (0; −2), (−1; −3); c) (1; 3); d) (2; 1); e) (0,5; 1,5);f) (1,5; 2,5); g) (2; 1); h) (−1; 2); i) (2; 1); j) (2; 3); k) (4; 1);l) (1; 2); m) (5; −2); n) (2; 2); o) (1000; 10);p) (2; 8); r) (5; 2); s) (2; 1).

571. a) (−1; −2); b) (−1; 2), (2; 5); c)(−11

3; −3), (1; 4);

d)(10 + 2

√15

5 ; −5 + 4√

155

),(10 − 2

√15

5 ; −5 − 4√

155

);

e) (−1; 3), (1; 3); f)(1

2;√

32

),(1

2 ; −√

32

); g) (1; 1), (−1; 1).

572. a){

y = x + 1,y = −2x + 4; (1; 2);

b)

{y = 2

3x + 213 ,

y = −43x + 4

3;(−1

2 ; 2);

c){

y = 2x ,

y = 2x; (1; 2), (−1; −2);

d){

y = − 4x ,

y = −x + 2;(1 + √

5; 1 − √5),(1 − √

5; 1 + √5);

e){

y = −2x + 4,

y = 2x2 + 2;(−1 + √

52 ; 5 − √

5),(−1 − √

52 ; 5 + √

5);

f){

y = −4x,

(x + 2)2 + (y − 2)2 = 16;(−10 − 2

√59

17 ; 40 + 8√

5917

),(−10 + 2

√59

17 ; 40 − 8√

5917

).

6.3. Sprendžiame tekstinius uždavinius

573. a) 25,5 ir 37,5; b) −1 ir −23 arba 23 ir 1; c) 8 ir 10;d) 5 ir 4 arba 4

9 ir −59 ; e) 26 ir 24 arba 10 ir 0.

574. 18 ir 12.

575. 512129 ir 3523

29 .

576. 40 ir 60.

577. 1,5 m.

578. x –– 2 ct vertės monetų skaičius,y –– 5 ct vertės monetų skaičius.{ 2x + 5y = 100,

x + y = 30; ⇒ x = 1623 /∈ Z, y = 131

3 /∈ Z.

Atsakymas. Negalima.

579. 20 ct –– 40, 50 ct –– 30.

580. 5 ct –– 14, 10 ct –– 7.

581. Arūnui –– 27 m., Donatui –– 17 m.

582. 48.

583. Nėra.

584. 36.

585. 52.

586. 45.

587. Puodui –– 1,5 kg, katilui –– 12 kg.

588. 4 ir 16.

589. 4 Lt –– 15 kg, 6 Lt –– 45 kg.

590. 3 % –– 800 Lt, 4 % –– 1200 Lt.

591. 28,7 km/h, 610 km/h.

592. 9 km/h, 3 km/h.

593. 57,6 km/h, 80 m.

594. 9 m/s, 7 m/s.

595. I –– 30 km, II –– 35 km.

596. 18 km/h, 2 km/h.

597. 11,25 km/h.

598. 1,47 km.

599. 5,04 km.

600. 30 % –– 150 g, 10 % –– 450 g.

601. 1040 g.

602. 950 prabos –– 15 g, 800 prabos –– 8 g.

603. 6.

604. 5.

605. 50.

606. 10 žmonių po 36 litus.

607. 20 eilių po 26 kėdes.

608. k = 1, b = 1.

609. a) y = 1 − x; b) y = −x + 3; c) y = −0,4x − 5,8.

610. a) a = 1, b = −2; b) a = 256 , b = −41

6 .

611. a = −0,5, b = −2.

612. a) p = −7, q = 12; b) p = −5, q = 6; c) p = −12, q = 60.

613. Per 3 valandas.

614. 8 h, 12 h.

615. 48 h, 24 h.

616. 13 .

617. 619 arba 2

3 .

6.4. Sprendžiame geometrijos uždavinius

618. a){

x + 2y = 180◦,2y = 5x − 12y; x = 105◦, y = 37,5◦;

b){

4y − x + 2x = 180◦,y = 2x; x = 20◦, y = 40◦;

c){

x · y2 = 30,

x + y + 13 = 36; x = 20 cm, y = 3 cm.

Pasitikriname, ar su gautosiomis x ir y reikšmėmis pavaizduotas trikampisegzistuoja:x2 + y2 ?= 132, ⇒ 202 + 32 ?= 132, 409 �= 169.Vadinasi, sąlygoje pavaizduoto trikampio nėra.

Atsakymas. Toks trikampis neegzistuoja.

619. 3 cm, 4 cm, 6 cm2.

620. a) 7 cm, 24 cm; b) 15 cm, 20 cm; c) toks stačiakampis neegzistuoja.

621. 3 m × 27 m.

622. 40 m × 90 m.

623. 60 m × 80 m.

624.(2 + 2

√3)

cm,(6 + 2

√3)

cm,(12 + 8

√3)

cm2.

625. 28 cm ir 12 cm arba 24 cm ir 16 cm.

626. 8 cm, 12 cm.

627. 5 cm, 12 cm.

628. 325 m/s, 4

25 m/s.

629. 4,8 km/h, 3,6 km/h.

6.5. Trijų lygčių su trimis nežinomaisiais sistemos

630. a), b) –– ne; c) taip.

631. Pavyzdžiui:

a)

{x + y + z = 3,2x − y − z = 0,x + y − z = 1;

b)

{x + y + z = 2,x − y − z = 0,x + 2y + 3z = 6;

c)

{x + y + z = 2,x − y + 2z = −2,x + 2y − 3z = 4.

632. a) (3; 4; 0); b)(41

7; −167; 2

7); c) (5; −1; −2).

633. 1)

{x + 2 = 0,y + 4 = 0,y + z = 2;

(−2; −4; 6) 2)

{x + 2 = 0,y + 4 = 0,x + y + z = 4;

(−2; −4; 10);

3)

{y + 4 = 0,y + z = 2;x + y + z = 4;

(2; −4; 6); 4)

{x + 2 = 0,y + z = 2,x + y + z = 4;

∅.

634. 150, 112, 124.

635. Matematikos –– 15, fizikos –– 20, chemijos –– 10.

636. 3 Lt.

637. 100 cnt, 200 cnt, 300 cnt; 3 ha.

638. 40.

639. a) a = 2, b = 16, c = 30;b) a = 3, b = −36, c = 96;c) a = −4, b = 4, c = 24.

640. Nerimtai. Tokiomis nesąmonėmis kasininkė neužsiiminėja.Rimtai. x –– 50 ct vertės monetų skaičius,

y –– 20 ct vertės monetų skaičius,z –– 5 ct vertės monetų skaičius.{

x + y + z = 20,50x + 20y + 5z = 500.

Ši sistema natūraliųjų sprendinių neturi.

7 skyrius. APSKRITIMAI, KAMPAI,DAUGIAKAMPIAI

7.1. Centriniai ir įbrėžtiniai kampai

641. 60◦.

642. ∠A = 60◦, ∠B = 75◦, ∠C = 45◦.

643. a) 160◦; b) 124◦.

644. 180◦.

645. ∠C = ∠D = 90◦, nes remiasi į apskritimo skersmenį. Kadangi AC = AD,o AB –– bendra abiem trikampiams, tai BC = BD. Trikampių kraštinės yralygios, todėl tie trikampiai yra lygūs.

646. 1) 60◦; 2) 55◦; 3) 65◦.

647. 130◦.

648. a) 40◦; b) ∠A = 70◦, ∠B = 50◦, ∠C = 60◦.

649. 180◦.

650. a) α = β = 60◦, γ = 30◦;b) α = 60◦, β = γ = 30◦;c) α = 120◦, β = 240◦, γ = 60◦.

651. ∠COD = 50◦, ∠CDO = 40◦.

652. Pažymėkime ∠ACB = α. ∠AOB = 2 · ∠ACB = 2α, ∠AOB = ∠OBA =180◦ − 2α

2 = 90◦ − α, ∠PAB = ∠OAP − ∠OAB = 90◦ − (90◦ − α) = α,∠PAB = ∠ACB.

7.2. Įbrėžtiniai trikampiai

653. 2a.

654. 12 cm.

655. 4 cm.

656. 24 dm2.

657. 8 cm arba 9 cm.

658. 60◦ arba 120◦.

659. a) asin∠A

= bsin∠B

= csin∠C

(1).Jei ∠C = 90◦, tai c

sin∠C= 2R

sin 90◦ = 2R (2).Iš (1) ir (2) ⇒ a

sin∠A= b

sin∠B= c

sin∠C= 2R.

b) Papildykime brėžinį stačiuoju trikampiu ABD.1) ∠BDA = ∠BCA = α, nes ∠D ir ∠C re-miasi į tą patį lanką � AB.2) Iš a) punkto žinoma, kad �ABD:

c

sin α= 2R.

3) Trikampiui ABC užrašome sinusų teoremą

AB

sin∠C= BC

sin∠A= CA

sin∠B.

O

A

B

D

C

R

c a

b

α

α

4) Kadangi ABsin∠C

= csin α = 2R, tai ir:

BC

sin∠A= a

sin∠A= 2R,

AC

sin∠B= b

sin∠B= 2R.

660. 65 cm.

661.(√

3 + 3)

cm2.

662.√

3R2

4 .

663. 1) S = 12ab sin γ ;

2) csin γ = 2R, ⇒ sin γ = c

2R;

3) S = 12ab sin γ = 1

2ab · c2R

= abc4R

, ⇒ R = abc4S

. R

c

ab

γ

A

B

C

664. 1) asin∠A

= 2R, ⇒ a = 2R · sin ∠A,b

sin∠B= 2R, ⇒ b = 2R · sin ∠B.

2) S = 12ab sin ∠C = 1

2 ·2R·sin ∠A·2R·sin ∠B ·sin ∠C == 2R2 · sin ∠A · sin ∠B · sin ∠C.

R

c

ab

A

B

C

7.3. Įbrėžtiniai keturkampiai

668. 120 cm2.

669. 8S5π

.

670. 15 cm, 20 cm.

671. 3√

3R2

4 .

672. 12 cm, 16 cm.

673. 13 dm.

674. 10 58 cm.

676. BC = 8 cm, CD = 7 cm.

678. Keturkampio AC1KB1:1) kampų dydžių suma lygi 360◦;2) ∠C1 = 90◦, ∠B1 = 90◦, ∠C1 + ∠B1 = 180◦ –– priešingųjų kampų C1 ir B1

dydžių suma lygi 180◦, todėl ir kitų dviejų priešingųjų kampų A ir K dydžiųsuma lygi 180◦.

Vadinasi, ∠C1+∠B1 = ∠A+∠K , ⇒ apie keturkampį AC1KB1 galima apibrėžtiapskritimą.

7.4. Įbrėžtiniai taisyklingieji daugiakampiai

683.√

2Sπ .

684. 36 %.

685. (π − 2)a2

8 .

686. 16.

687.√

3Sπ .

688. 23

√√3S.

689. a)√

3a2

12 ;b) Papildykime brėžinį.1) BD⊥AC, nes �ABC –– lygiakraštis.OD = OB; AK = KC.OB =

√3

3 a, OK =√

36 a,

KD = OD − OK =√

36 a.

2) �AKO = �CKO = �CKD = �AKD,⇒ AO = OC = CD = AD.Vadinasi, keturkampis AOCD yra rombas.SAOCD = AC · OD

2 = 12 · a ·

√3

3 a =√

36 a2.

O

A

B

D

CK

a

690. 4π cm.

691. 6 cm2, 9√

34 cm2.

692. 2.

693. 2√

33 a.

694. 27√

3 − 2π2 cm2.

695. 6√

2 − √3.

696. 2√

2 − √3.

697. 1) ∠AOB = 360◦ : 10 = 36◦. �AOB –– lygiašonis, ∠AOB = ∠OBA =180◦ − 36◦

2 = 72◦, ∠BAC = ∠CAO = 72◦2 = 36◦.

�ABC –– lygiašonis, nes ∠B = ∠C = 72◦, ⇒ AB = AC.Vadinasi, AB = AC = OC.

2) �ABC � �OAB, nes ∠BAC = ∠AOB, ∠ABC –– bendras.3) �ABC � �OAB, todėl AB

OA= BC

AB= AC

OB. AB

R= OB − OC

AB, OB − OC =

R−AB, ⇒ AB2 = R(R−AB), AB2+R ·AB−R2 = 0, ⇒ AB =√

5 − 12 ·R.

698. a10 =√

5 − 12 · R (žr. 697.3).

AC =√

R2 + (R2)2 =

√5

2 R, AK = AC − KC =√

52 R − R

2 =√

5 − 12 R.

a10 = AK .

7.5. Apskritimas, liečiantis kampo kraštines

699. a) 16π cm; b) 2√

2π dm; c) 4√

3π mm.

700. ∠DAC = ∠DBC = 120◦; ∠ADB = ∠ACB = 60◦.

701. 128π cm2.

702. ∠KAB = ∠KBA = 36◦, ∠AKB = 108◦.

703. π cm2.

704. 3√

2π4 dm2.

705. ∠MAO = ∠MBO = 90◦. �AOB –– lygiašonis, ∠OAB = ∠OBA;�AMB –– lygiašonis, ∠MAB = ∠MBA = 90◦ − ∠OAB.∠AMB = 180◦ − 2 · ∠MAB = 180◦ − 2 · (90◦ − ∠OAB) = 2 · ∠OAB.

706. 2223 cm.

707. ∠BCA = 12 · ∠BOA = ∠BOP , ⇒ AC ‖ OP .

708. 9 cm.

709. 13 .

710.

R

O

K

B

M

C A

Pažymėkime: AB = b, AC = c, MB = x.Tuomet: MC = a − x, KB = MB = x, LC = MC = a − x.

S�ABC = S�AKO + S�ALO − (S�OLC + S�OMC + S�KOB + S�MOB

) == R(b + x)

2+ R(a − x + c)

2− (

R(a − x) + Rx) =

= R

2(b + x + a − x + c) − Ra + Rx − Rx =

= R

2(b + a + c − 2a) = R

(a + b + c

2− a

) = R(p − a).

7.6. Apibrėžtiniai trikampiai

711. AB = AK + a + b + MB,BC = BN + c + d + RC,AC = AP + e + f + LA.

P�AKL = AK + a + f + LA,

+P�BMN = BM + b + c + BN,

P�RPC = RC + d + e + PC,

P�AKL + P�BMN + P�RPC == AB + BC + AC = P�ABC.

cb

a

b c

d

d

eef

f

a

A

K

M N

R

CPL

O

B

712. 18 cm.

713. 16 cm.

714. 3 cm.

715. m − c.

716. 3√

2 cm.

717. 3 cm.

718.√

52 cm.

719.√

3.

720. 5.

721. 73 .

722. AB = BC = 2(2√

3 + 3)

3 · r , BC = 2(2 + √

3)r .

723. 3 cm, 6,25 cm.

724. Duota: AO1 = R, A1O = r , AC = b, CB = a.Įrodyti: 2R + 2r = a + b.Įrodymas.B1C = A1C = r , BA1 = BC1 = a − r ,AB1 = AC1 = b − r . AB = AC1 + BC1 == b − r + a − r = a + b − 2r , AB = 2R, 2R == a + b − 2r , ⇒ 2R + 2r = a + b.

A

C B

Or

R

B1

C = O1 1

A1

725. Duota: AB = c, BC = a, CA = b, r –– įbrėžtoapskritimo spindulio ilgis.Įrodyti: S = a + b + c

2 · r .Įrodymas.S�AOC = b · r

2 , S�AOB = c · r2 , S�BOC = a · r

2 ; S =S�AOC + S�AOB + S�BOC = b · r

2 + c · r2 + a · r

2 =a + b + c

2 · r .A

B

C

Or

r

ra

b

c

726. Iš 724 uždavinio ⇒ 2r = a + b − 2R = a + b − c (2R = c), r = a + b − c2 .