2014 kpss yeni konularla yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır akıcı ayrıntılı güncel konu anlatımları örnekler yorumlar uyarılar pratik bilgiler ösym tarzında özgün sorular ve açıklamaları 2 0 1 3 k p s s ’ d e soru 85 matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme
35
Embed
matematik - pegem.net · Asal Çarpanlara Ayırma EBOB – EKOK, Birinci Dereceden Denklemler, Rasyonel Sayılar, Üslü Sayılar, Köklü Sayılar, Çarpanlara Ayırma, Eitsizlik
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
2014
kpss
yeni konularla
yeni sorularla
yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır
akıcı
ayrıntılı
güncel
konu anlatımları
örnekler
yorumlar
uyarılar
pratik bilgiler
ösym tarzında özgün sorularve açıklamaları
2013 kpss’de
soru85
matematiksayısal akıl yürütme
mantıksal akıl yürütme
Editörler : Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker
KPSS Matematik
ISBN 978-605-364-522-1
Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.
Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,
kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt
ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.
Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları
satın almamasını diliyoruz.
“Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.”
20. Baskı: Ocak 2014, Ankara
Yayın-Proje Yönetmeni: Ayşegül EroğluDizgi-Grafik Tasarım: Ahmet Resul Kaymakçı
Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan “Matematik” kapsamındaki 26 veya 27 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla
hazırlanmıştır.
Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup;
MATEMATİK
- Temel Kavramlar,
- Sayılar,
- Bölme-Bölünebilme Kuralları,
- Asal Çarpanlara Ayırma EBOB – EKOK,
- Birinci Dereceden Denklemler,
- Rasyonel Sayılar,
- Üslü Sayılar,
- Köklü Sayılar,
- Çarpanlara Ayırma,
- Eşitsizlik – Mutlak Değer,
- Oran – Orantı,
- Problemler,
- Kümeler,
- İşlem - Modüler Aritmetik,
- Permütasyon – Kombinasyon – Olasılık
- Tablo ve Gra) kler
bölümlerinden oluşmaktadır.
Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir. Her ünitenin sonunda, - çıkmış sorular
- çözümlü testler ve
- cevaplı testlere;
yer verilmiştir.
Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Fikret Birer, Canan Sarıkaya, Eda Tuğçe Buluş ve tüm meslektaşlarımıza, PEGEM AKADEMİ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine teşekkürü bir borç biliriz.
Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle [email protected] aracılığıyla paylaşınız.
Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar.
Editörler: Kenan Osmanoğlu – Kerem Köker
SUNU
1. BÖLÜM
TEMEL KAVRAMLAR ...............................................2Küme..........................................................................2Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı .......................2 Kümelerin Gösterilişi ...............................................2Boş Küme ..................................................................3Sayı Kümeleri ............................................................3Tek - Çift Tamsayılar .................................................4Tam Sayılarda İşlemler .............................................4İşlem Önceliği ...........................................................6Rasyonel Sayılar .......................................................6Rasyonel Sayılarda İşlemler ....................................6Harfl i İfadeler.............................................................8Denklemler ................................................................9Çözüm Kümesi Bulma ..............................................9İkili..............................................................................10Sıralama.....................................................................10Eşitsizlik ....................................................................11Oran – Orantı.............................................................11Ortak Paranteze Alma ..............................................12Çözümlü Test – 1 ......................................................13Cevaplı Test – 1 .........................................................17Cevaplı Test – 2 .........................................................19
2. BÖLÜM
SAYILAR ....................................................................22Sayı Kümeleri ............................................................22Doğal Sayılar .............................................................23Tam Sayılar ................................................................26Tek ve Çift Tam Sayılar .............................................27Pozitif ve Negatif Sayılar ..........................................29Ardışık Sayılar...........................................................31Asal Sayı....................................................................36Aralarında Asal Sayılar ............................................36Basamak Analizi .......................................................37Çözümleme ...............................................................42Faktöriyel...................................................................44Sayma Sistemleri ......................................................47Çözümlü Test – 1 ......................................................54Çözümlü Test – 2 ......................................................58Çözümlü Test – 3 ......................................................62Cevaplı Test – 1 .........................................................66Cevaplı Test – 2 .........................................................68Cevaplı Test – 3 .........................................................70
Cevaplı Test – 4 .........................................................72
Cevaplı Test – 5 .........................................................74
Cevaplı Test – 6 .........................................................76
Çıkmış Sorular ..........................................................78
Basit Kesir ...........................................................146
Bileşik Kesir ........................................................146Tam Sayılı Kesir ..................................................147Sabit Kesir ...........................................................148Denk Kesir ...........................................................148
Rasyonel Sayılarda Dört İşlem ................................149Toplama İşlemi ....................................................149Çıkarma İşlemi ....................................................150Çarpma İşlemi .....................................................150Bölme İşlemi .......................................................150Kuvvet Alma ........................................................150İşlem Önceliği .....................................................151
Ondalık Kesirler ........................................................154Ondalık Sayılarda Dört İşlem ...................................155Devirli Ondalık Açılımlar ..........................................157Rasyonel Sayılarda Sıralama...................................158İki Rasyonel Sayı Arasındaki Sayıları Yazma .........160Çözümlü Test - 1 .......................................................161Çözümlü Test - 2 .......................................................165Cevaplı Test - 1 .........................................................169Cevaplı Test - 2 .........................................................171Çıkmış Sorular ..........................................................173
7. BÖLÜM
EŞİTSİZLİK – MUTLAK DEĞER ...............................175Basit Eşitsizlikler ......................................................176
Özellikleri.............................................................176Reel (Gerçel) Sayı Aralıkları .....................................179
Kapalı Aralık ........................................................179Yarı Açık Aralık ....................................................179Açık Aralık ...........................................................180
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ....180Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi .............................181Mutlak Değer .............................................................183
Özellikleri.............................................................185Çözümlü Test – 1 ......................................................189Çözümlü Test – 2 ......................................................193Cevaplı Test – 1 .........................................................197Cevaplı Test – 2 .........................................................199Cevaplı Test – 3 .........................................................201Çıkmış Sorular ..........................................................203
Kök Dışındaki Bir Sayının Kök İçine Alınması .......238Eşlenik .......................................................................239İç İçe Sonlu Kökler ...................................................241İç İçe Sonsuz Kökler.................................................242
A 2 B∓ Ifadesinin Kök Dışına Çıkarılması ............244Köklü Sayılarda Sıralama.........................................246Köklü Sayılarda Denklem Çözme ............................247Çözümlü Test -1 ........................................................248Cevaplı Test - 1 .........................................................252Cevaplı Test - 2 .........................................................254
Çıkmış Sorular ..........................................................256
Ortak Parantez Yöntemi .....................................260Gruplandırma Yöntemi .......................................260ax2+bx+c ifadesinin Çarpanlara Ayrılması .......261
Özdeşlikler ................................................................263İki Kare Farkı .......................................................263Tam Kare İfadeler ................................................265
III. Dereceden Özdeşlikler ........................................268Çözümlü Test – 1 ......................................................270Çözümlü Test – 2 ......................................................274Cevaplı Test – 1 .........................................................278Cevaplı Test – 2 .........................................................280
Çıkmış Sorular ..........................................................282
11. BÖLÜM
ORAN – ORANTI ......................................................285Oran .....................................................................286
Çözümlü Test ...........................................................407Cevaplı Test ..............................................................411Çıkmış Sorular ..........................................................413
İşlem Tabloları .....................................................419İşlemin Özellikleri ...............................................419
Modüler Aritmetik .....................................................423Modüler Aritmetiğin Özellikleri ..........................424Modüler Aritmetikte Denklem Çözümü .............428
Çözümlü Test – 1 ......................................................429Çözümlü Test – 2 ......................................................433Cevaplı Test – 1 .........................................................437Cevaplı Test – 2 .........................................................439
Çıkmış Sorular ..........................................................441
15. BÖLÜM
PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – OLASILIK ....443Saymanın Temel Kuralları ........................................444
Toplama Kuralı ....................................................444Çarpma Yolu ile Sayma ......................................444Saymanın Temel İlkesi .......................................444
Olasılık Fonksiyonu ...........................................454Olasılık Hesabı ....................................................455Koşullu Olasılık...................................................459Bağımsız ve Bağımlı Olasılık .............................460
Çözümlü Test – 1 ......................................................461Çözümlü Test – 2 ......................................................465Çözümlü Test – 3 ......................................................469Cevaplı Test – 1 .........................................................473Cevaplı Test – 2 .........................................................475Çıkmış Sorular ..........................................................477
16. BÖLÜM
TABLO VE GRAFİKLER ............................................479Tablo ve Yorumlama .................................................480Grafi k ve Yorumlama ................................................484
Çizgi Grafi k..........................................................484Sütun Grafi ği .......................................................486Daire Grafi ği ........................................................486
Çözümlü Test – 1 ......................................................489Çözümlü Test – 2 ......................................................492Cevaplı Test – 1 .........................................................496Cevaplı Test – 2 .........................................................499Çıkmış Sorular ..........................................................501
17. BÖLÜM
SAYISAL MANTIK PROBLEMLERİ ..........................507Sayı Örüntüleri .........................................................511Sayı Dizileri ...............................................................511Tablo ve Şekil Soruları .............................................513Akıl Yürütme ve Mantık Soruları .............................522Görsel Yetenek ..........................................................530Çözümlü Test ...........................................................536Cevaplı Test – 1 .........................................................547Cevaplı Test – 2 .........................................................549Cevaplı Test – 3 .........................................................551Çıkmış Sorular ..........................................................553
Genel Yetenek’te
40
ÖSYM SORULARI
MATEMATİK
2013PEGEM AKADEMİ SORULARI
31.
4 287
3 265
:
:
-
-
e
e
o
o
işleminin sonucu kaçtır?
A) 117
B) 119
C) 97
D) 910 E)
913
32. , , ,0 001 0 01 0 1 110 100 1000
+ + ++ +
işleminin sonucu kaçtır?A) 107 B) 106 C) 105 D) 104 E) 103
33. 2 2 2 2
2 2 2 25 6 7 8
5 6 7 8
+ + +
+ + +− − − −
işleminin sonucu kaçtır?A) 27 B) 211 C) 213 D) 2-9 E) 2-12
34. ( !) ( !)
( !) ( !)
4 3
4 32 2
2 2
−
+
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1519
B) 1517
C) 1513
D) 1219
E) 1213
31.
31 5
6 31
41
:
−
+c m
işleminin sonucu kaçtır?
A) 43- B) 2
1- C) 21 D) 4
3 E) 2
Genel Yetenek Genel Kültür 15 Deneme Deneme 8 / 31. Soru
3. , , ,, , ,0 1 0 02 0 004
0 01 0 002 0 0004+ +
+ +
işleminin sonucu kaçtır?A) 0,01 B) 0,1 C) 1 D) 10 E) 100
Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Test 35 / 3. Soru
4. , , ,, , ,
1 0 2 0 02 0 0020 4 0 04 0 004− − −
+ +
işleminin sonucu kaçtır?A) 0,5 B) 0,1 C) 0,2 D) 0,4 E) 2
Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Test 35 / 4. Soru
15. 2 2 22 2 2
22 2123
45 46 47
+ +
+ +
işleminin sonucu kaçtır?
A) 88 B) 410 C) 810
D) 222 E) 225
Genel Yetenek Genel Kültür 30 Deneme Deneme 14 / 15. Soru
4. ! !! !
8 710 9
+−
işleminin sonucu kaçtır? A) 64 B) 65 C) 68 D) 70 E) 72
Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sözel Soru Bankası / Test 27 / 4. Soru
MATEMATİK
PEGEM AKADEMİ SORULARIÖSYM SORULARI
2013
MATEMATİK
35. x3 2 3− − =
eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?A) 6 B) 4 C) 2 D) -8 E) -10
36. ( )
a ab b
a ab
a b
a b2 2
4 3
4 4
2:
+ +
−
−
+
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) ( )a b
a b2+
− B)
( )a b
a 12+
− C)
( )
a b
b a b2 2+
−
D) ( )
a b
a a b2 2+
+ E)
a b
a b2 2
2
+
+
37. Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde ve ∆ işlemlerix y x y x
x yyx
y
x :
T
= +
= +
biçiminde tanımlanıyor.
( )a a 2 8x T =
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 31
B) 32
C) 1
D) 2 E) 3
9. x 1 4 6+ + = eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) -4 B) -3 C) -2 D) 0 E) 2
Lisans Mezunları İçin Tamamı Çözümlü Sayısal Soru Bankası / Test 39 / 9. Soru
8. x 3 5 2− − = eşitliğini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?A) -4 B) 0 C) 6 D) 10 E) 12
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 192 / 8. Soru
8. ab b
a aba b
a ab b2 2
4 3
2 2
2 2|
+
+
−
− +
^ hifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) b
a ab2
2 - B)
bab a
2
2- C)
ba ab
2
2 +
D) b
a b2
- E)
ba b
2+
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 275 / 8. Soru
13. Reel sayılar kümesinde tanımlı “” ve “” işlemleri2 3
2 2
aob a ba b a 2ab b
= −
= + +
şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre, (3o2) (5o3) kaçtır?A) 1 B) 4 C) 9 D) 16 E) 25
Genel Yetenek Genel Kültür Çek Kopar Yaprak Test - 73 / 13. Soru
3. Tam sayılar kümesi üzerinde,x y x yx y x y
323
= +
= -
4
işlemleri tanımlanıyor.Buna göre, ( )2 3 434 işleminin sonucu kaçtır?A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 217 / 3.Soru
ÖSYM SORULARI
MATEMATİK
201338. İki gerçel sayının çarpımı, bu sayılardan birine 2 ek-
lenip diğerinden 2 çıkarılmasıyla elde edilen sayıların çarpımından 6 fazladır.
Buna göre, sayı doğrusu üzerinde bu iki sayı arasındaki uzaklık kaçtır?A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
39. Pozitif tamsayılarla yapılan bir bölme işleminde bölen, bölümün iki katından bir fazladır.
Bu bölme işleminde kalan 11 olduğuna göre, bölü-nen sayı en az kaçtır?A) 89 B) 87 C) 85 D) 83 E) 81
40. x, y, z gerçel sayıları için
xy3z5 > 0
eşitsizliği veriliyor.
Buna göre,
I. x > 0 ve y < 0 ise z > 0
II. x < 0 ve z < 0 ise y > 0
III. y > 0 ve z < 0 ise x < 0
önermelerinden hangileri doğrudur?
A) I ve II B) II ve III C) Yalnız I
D) Yalnız II E) Yalnız III
12. mn ile xy iki basamaklı doğal sayılardır.
m nin sayısal değerinin 3 arttırılıp, x in sayısal değerinin 3 azaltılmasıyla oluşan sayıların çarpımı mn • xy çarpımından 120 fazla olduğuna göre, xy - mn işleminin sonucu kaçtır?A) 30 B) 32 C) 34 D) 35 E) 36
45. Üç saat süren bir yarışta, bir otomobilin her bir saatlik zaman diliminde tamamladığı tur sayıları aşağıdaki grafikte verilmiştir.
1.saat
10203040506070
2.saat 3.saatZaman
Tur sayısı
Bu otomobil, yarışın son bir saatinde sabit hızla ilerlediğine göre, yarışın başlangıcından 135 daki-ka sonra toplam kaç tur tamamlamıştır?A) 125 B) 130 C) 145 D) 150 E) 170
14. 32
331
331
++
−−
işleminin sonucu kaçtır?A) 33 B) 32 C) 3 D) 3− E) 32−
işleminin sonucu kaçtır?A) 1 B) 2 C) 2 3 D) 5 E) 8
5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 186 / 18.Soru
4. - 6. SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE CEVAPLAYINIZ
Aşağıdaki tabloda, bir fabrikadaki aynı malı üreten 5 farklı makinenin zamana bağlı ürettikleri mal sayısı gösterilmiştir.
( )Zaman dk
Mal sayısı(adet)
A B C D E
10 12 15 20 25
125
110
90
6040
Mal sayısı (adet)
4. Birim zamanda en çok mal üreten makine hangisidir?A) A B) B C) C D) D E) E
5. Hangi iki makinenin birim zamanda ürettiği mal sayısı eşittir?
A) B ve D B) A ve C C) D ve E
D) C ve E E) B ve E
6. B ve C makinelerinin 1 saatte ürettiği toplam malı, D makinesi kaç saatte üretir?A) 1,5 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 4
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 488 / 4, 5 ve 6. Soru
PEGEM AKADEMİ SORULARIÖSYM SORULARI
MATEMATİK
201347. Aşağıda A, B, C, D ve E şehirlerinden geçen yol hattı
gösterilmiş ve bu yol hattına göre şehirler arasındaki bazı uzaklıklar kilometre olarak tabloda verilmiştir.
BC
CD
E
BA
130170
D
E
A
D ile E şehirleri arasındaki uzaklık, A ile C şehirleri arasındaki uzaklığın 2 katından 20 km eksiktir.
Buna göre, A ile E şehirleri arasındaki uzaklık kaç km’dir?A) 230 B) 235 C) 240 D) 245 E) 250
1. - 3. SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE CEVAPLAYINIZ.
DİKKAT! SORULARI BİRBİRİNDEN BAĞIMSIZ OLARAK CEVAPLAYINIZ.
Aynı yol üzerinde bulunan K, L, M, N, P kentleri ara-sındaki yolların uzunluklarını km türünden gösteren bir tablo hazırlanmıştır. Aşağıda bu uzunlukların bazıları verilmiştir.
LMN 140 310P
K L M NTablonun satır ve sütun kesişiminde verilen sayılar, bulundukları satır ve sütunun belirttiği iki kent arasın-daki yolun uzunluğudur.
Örneğin K ile N kentleri arasındaki yolun uzunluğu 140 km dir.
1. N ile P kentleri arasındaki yolun uzunluğu, N ile K arasındaki yolun uzunluğundan kaç km fazladır?A) 370 B) 380 C) 385 D) 390 E) 395
2. Kentlerin yol üzerindeki sıralanışı M, P, K, N, L şeklindeyse M ile L kentleri arasındaki yolun uzunluğu kaç km dir?
A) 1540 B) 1555 C) 1580
D) 1600 E) 1625
3. Kentlerin yol üzerindeki sıralanışı P, L, K, N, M şeklindeyse K ile M kentleri arasındaki yolun uzunluğu kaç km dir? A) 240 B) 250 C) 320 D) 335 E) 380
Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 475 / Örnek Soru
MATEMATİK
PEGEM AKADEMİ SORULARIÖSYM SORULARI
2013
MATEMATİK
28. - 30. SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE CEVAPLAYINIZ.
100
200
300
400
500
2003 2004 2005 20062002 2007
ki i say s
gelen ö renci
giden ö renci
y llar
Yukarıdaki grafik bir ilçeye ilçede bulunan üniversi-tede okumak için gelenlerin sayısını ve bu ilçeden üniversite okumak için ilçe dışına giden öğrencilerin sayılarını yıllara göre göstermektedir.
28. Gelen öğrenci sayısı ile giden öğrenci sayısı ara-sındaki fark hangi yıl en fazladır?
A) 2003 B) 2004 C) 2005
D) 2006 E) 2007
29. 2002-2007 yıllarını kapsayan 6 yıllık dönemde bu ilçeden üni-versite okumak için yılda orta-lama kaç öğrenci ilçe dışına gitmiştir?
A) 200 B) 250 C) 300
D) 350 E) 400
30. İlçede bulunan üniversitede okumak için gelen-lerin sayısı hangi yıl, bir önceki yıla göre % 50 azalmıştır?
A) 2002 B) 2003 C) 2004
D) 2006 E) 2007
Genel Yetenek Genel Kültür 30 DenemeDeneme 9 / 28, 29 ve 30. Soru
53. Özdeş oksijen tüpleri kullanan Cihan ve Levent isimli dalgıçların denizde bulundukları derinliğin zamana göre değişimi ve oksijen tüplerinin doluluk yüzde-lerinin zamana göre değişimi aşağıdaki doğrusal grafiklerde verilmiştir.
10
10Zaman (dk)
75
15
Derinlik(m)
7 10
100
Doluluk(%)
Zaman (dk)
72
50
CihanLevent
Levent, 15 metre derinlikte iken oksijen tüpünün yüzde kaçını kullanmıştır?
A) 22 B) 20 C) 18 D) 16 E) 14
PEGEM AKADEMİ SORULARIÖSYM SORULARI
MATEMATİK
201338. İki gerçel sayının çarpımı, bu sayılardan birine 2 ek-
lenip diğerinden 2 çıkarılmasıyla elde edilen sayıların çarpımından 6 fazladır.
Buna göre, sayı doğrusu üzerinde bu iki sayı arasındaki uzaklık kaçtır?A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
39. Pozitif tamsayılarla yapılan bir bölme işleminde bölen, bölümün iki katından bir fazladır.
Bu bölme işleminde kalan 11 olduğuna göre, bölü-nen sayı en az kaçtır?A) 89 B) 87 C) 85 D) 83 E) 81
40. x, y, z gerçel sayıları için
xy3z5 > 0
eşitsizliği veriliyor.
Buna göre,
I. x > 0 ve y < 0 ise z > 0
II. x < 0 ve z < 0 ise y > 0
III. y > 0 ve z < 0 ise x < 0
önermelerinden hangileri doğrudur?
A) I ve II B) II ve III C) Yalnız I
D) Yalnız II E) Yalnız III
12. mn ile xy iki basamaklı doğal sayılardır.
m nin sayısal değerinin 3 arttırılıp, x in sayısal değerinin 3 azaltılmasıyla oluşan sayıların çarpımı mn • xy çarpımından 120 fazla olduğuna göre, xy - mn işleminin sonucu kaçtır?A) 30 B) 32 C) 34 D) 35 E) 36
Yukarıda verilenlere göre, A EFGH] g kaç cm2 dir?A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16
5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 266 / 13.Soru
11.
A
B
C D
E
F
αK95°
ABCDEF düzgün altıgenin-de [KF] açıortay,
°( )KDEm 95=%
Yukarıdaki verilenlere göre ( )FKDm α =% kaç dere-cedir?A) 55 B) 65 C) 75 D) 85 E) 95Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 110 / 11. Soru
TEMEL KAVRAMLAR� KÜME
� KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI
� KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
� BOŞ KÜME
� SAYI KÜMELERİ
� TEK - ÇİFT TAMSAYILAR
� TAM SAYILARDA İŞLEMLER
� İŞLEM ÖNCELİĞİ
� RASYONEL SAYILAR
� RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER
� DENKLEMLER
� ÇÖZÜM KÜMESI BULMA
� İKİLİ
� SIRALAMA
� EŞİTSİZLİK
� ORAN ORANTI
� ORTAK PARANTEZE ALMA
“Eksi çarpı eksi, artı edecek, böyle yazılacak, böyle bilinecek, kimse “neden?” demeyecek.”
John Von Neumann
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
Çıkmış Soru Ağacı
--
-
-
-
-
-
-
-
-
-
2
KÜME
Net olarak tanımlanmış canlı veya cansız varlıkların oluşturduğu topluluğa küme denir.
Kümeler A, B, C, D, E,… gibi büyük harflerle isimlendirilir.
Örnek
“Pegem” kelimesinin harfleri bir küme oluşturur
Örnek
“Haftanın bazı günleri” cümlesi bir küme oluşturmaz. Çünkü kümeyi oluşturacak günler net olarak söylenme-miştir.
KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI
Kümeyi oluşturan canlı ve cansız varlıklara küme-nin elemanları denir. Kümenin elemanı olan nesneler “! ” sembolü ile kümenin elemanı olmayan nesneler ise “! ”sembolü ile gösterilir.
Bir kümeyi oluşturan elemanların sayısına kümenin ele-man sayısı denir ve s ( ) ile gösterilir.
Kümeyi oluştururken ortak elemanlar bir kez yazılır.
Örnek
1 sayısı A kümesinin elemanı ise A1 d
2 sayısı A kümesinin elemanı değil ise A2!
şeklinde gösterilir.
KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
1) Liste Yöntemi
Kümenin elemanlarının aralarına “,” konarak { } parante-zi içine yazılmasına kümelerin liste biçiminde gösterilişi denir.
Liste yönteminde virgülle ayrılan her nesne kümenin bir elemanıdır.
Örnek
, , , , ,A a b c d e f= " "" , , , kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
Çözüm:
A kümesinin elemanlarını yazacak olursak
, , , , ,a A b A c A d e A f A! ! ! ! !" ", ,
olmak üzere A kümesinin eleman sayısı 5 dir.
Dolayısıyla ( )s A 5= bulunur.
Örnek
”PEGEM” kelimesinin harflerinin oluşturduğu küme-
nin elaman sayısı kaçtır?
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
Çözüm:
“PEGEM” kelimesinin oluşturduğu küme A kümesi olsun.
Küme yazılırken ortak olan elemanlar bir kez yazılacağından
, , ,A P E G M= " ,olur. Dolayısıyla ( )s A 4= bulunur.
Örnek
A Kerem= " , kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Çözüm:
Liste yönteminde elemanlar virgüllerle ayrılır. Kümeyi in-
celeyecek olursak virgülle ayrılan eleman olmadığı için
kümenin eleman sayısı ( )s A 1= bulunur.
2) Ortak Özellik Yöntemi
Kümenin elemanlarının taşıdıkları ortak özellikler belirti-
lerek { } parantezi içine yazılmasına kümenin ortak özel-
lik yöntemi ile gösterilişi denir.
Örnek
Yüzden küçük doğal sayıların kümesi
,A x lx x N1001 != " ,
şeklinde gösterilir.
Bu bölümde yer verdiğimiz başlıkların bir kısmı KPSS de direkt olarak sorulan konulara dair değildir. Buradaki amacımız diğer konuların daha iyi anlaşılabilmesi için bazı temel bilgileri hatırlatmak ve işlem yete-neğinin gelişmesini sağlamaktır. Değindiğimiz konuların bir kısmı ilerleyen bölümlerde daha detaylı bir şekilde işlenecektir.
Bu bölüm daha çok sözel bölümlerden mezun olan arkadaşlarımıza yönelik hazırlanmıştır.
TEMEL KAVRAMLAR
3
3) Venn Şeması
Kümenin elemanlarının yanlarına “.” konarak kapalı bir şeklin içine yazılmasına kümenin venn şeması ile gös-terilişi denir.
Örnek
, , ,A a b c d= " ,kümesini venn şeması ile gösterilişi şekil-deki gibidir.
Aa
b
c
d
BOŞ KÜME
Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme Q veya { } sembolleri ile gösterilir.
Örnek
“Yılın S harfi ile başlayan ayları” cümlesinin oluşturduğu küme boş kümedir
Not
Bir kümenin elemanlarının yerlerinin değişmesi kümeyi değiştirmez. Yani kümenin elemanları farklı şekillerde sıralanabilir.
Örnek
, ,A a b c= " , kümesinin elemanlarının yerleri değiştirilirse
A kümesi değişmez.
, , , , , ,A a b c b a c c a b gibi= = =" " ", , ,
RAKAM:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere rakam denir.
SAYI:
Rakamların tek başlarına veya bir çokluk oluşturacak şekilde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelere sayı denir.
Örnek
3 hem rakam hem de bir sayıdır.
16 iki rakamdan oluşan bir sayıdır.
348 üç rakamdan oluşan bir sayıdır.
-7415 dört rakamdan oluşan negatif bir sayıdır.
SAYI KÜMELERİ
1) Sayma Sayıları Kümesi
, , , .....1 2 3" , kümesine sayma sayıları kümesi ve bu kü-menin her bir elemanına bir sayma sayısı denir. Sayma sayıları kümesi " "N+ ile gösterilir.
2) Doğal Sayılar Kümesi
, , , , .....0 1 2 3" , kümesine doğal sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir doğal sayı denir. Doğal sayılar kümesi "IN" sembolü ile gösterilir
3) Tam Sayılar Kümesi
........, , , , , , , .......3 2 1 0 1 2 3- - -" , kümesine tam sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir tam sayı denir. Tam sayılar kümesi “Z” sembolü ile gösterilir.
Tam sayılar kümesi üç kümenin birleşimi olarak ifade edi-lir. Bu alt kümeleri inceleyecek olursak;
a) Negatif Tam Sayılar Kümesi
Sıfırdan küçük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın solunda olan) sayılara negatif tam sayılar bu sayıların oluştur-duğu kümeye negatif tam sayılar kümesi denir. Negatif tam sayılar kümesi " "Z- ile gösterilir.
..............., , ,Z 3 2 1= − − −− " , dir.
Negatif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça büyürler. Dolayısıy-la en büyük negatif tam sayı " "1- dir.
b) Pozitif Tam Sayılar Kümesi
Sıfırdan büyük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın sağında olan) sayılara pozitif tam sayılar bu sayıların oluşturdu-ğu kümeye pozitif tam sayılar kümesi denir. Pozitif tam sayılar kümesi " "Z+ ile gösterilir.
, , , .........Z 1 2 3=+ " , dir.
Pozitif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülürler. Dolayısıy-la en küçük pozitif tam sayı " "1 dir.
c) Sıfır bir tam sayıdır, fakat işaretsizdir. Yani pozitif ya da negatif tam sayı değildir.
4) Rasyonel Sayılar Kümesi
a ve b birer tam sayı ve b 0! olsun. İki tam sayının bö-lümü şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir.
Rasyonel sayılar kümesi " "Q ile gösterilir.
Örnek
, , , , ,...52
1917
136 14 1
-- birer rasyonel sayıdır.
4
5) İrrasyonel Sayılar Kümesi
Rasyonel olmayan sayılara yani iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir.
İrrasyonel sayılar kümesi “Q´” ile gösterilir.
Örnek
, , , ...5 2 375 - birer irrasyonel sayıdır.
6) Reel (Gerçel, Gerçek) Sayılar Kümesi
Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesine Reel sayılar kümesi denir.
Reel sayılar kümesi " "R ile gösterilir.
'R Q Q,= şeklinde ifade edilir.
TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR
a) Tek tam sayılarn bir tam sayı olmak üzere 2n 1- veya n2 1+ şeklinde yazılabilen sayılara tek tam sayı denir. Tek tam sayılar kümesi ..... , , , , , ,...5 3 1 1 3 5- - -" ,şeklinde ifade edilir.
b) Çift tam sayılarn bir tam sayı olmak üzere 2n şeklinde yazılabilen sayılara çift tam sayı denir. Çift tam sayılar kümesi ... , , , , ,....4 2 0 2 4- -" , şeklinde ifade edilebilir.
TAM SAYILARDA İŞLEMLERToplama işlemi
a) Aynı işaretli sayıların toplanması
İşaretleri aynı olan tam sayılar toplanırken önce sayı de-ğerleri toplanır. Sonra toplama ortak olan işaret verilir.
Örnek
32 14 29+ + işleminde
Sayılarının hepsi pozitif (+) olduğundan sayı değerleri toplanır. Toplamın işareti “+” olur.
Buradan 32 14 29 75+ + = bulunur.
Örnek
45 11 73- - - işleminde
Sayıların hepsi negatif ( )- olduğundan sayı değerleri toplanır. Toplamın işareti " "- olur.
Buradan ( )45 11 73 45 11 73 129− − − =− + + =− bulunur.
b) Zıt İşaretli Sayıların Toplanması
İşareti farklı olan tam sayılar toplanırken sayı değeri bü-yük olandan sayı değeri küçük olan çıkarılır. Toplama, sayı değeri büyük olanın işareti verilir.
Örnek
65 93− + işleminde
Sayıların biri (-) diğeri (+) işaretli olduğundan sayı değeri büyük olandan yani 93 den sayı değeri küçük olan yani 65 çıkarılır. Toplamın sonucu 93 652 olduğundan olur.
Buradan 65 93 28− + = bulunur.
Örnek
124 175- işleminde
Sayılar zıt işaretli ve 175 1242 olduğundan 175 den 124 çıkarılır. Toplama, 175 in işareti yani ( )- işareti verilir.
Buradan 124 175 51− =− bulunur.
NotToplama işleminde sayıların yerlerini değiş-tirmek işlemin sonucunu değiştirmez. Yani
İşlemde ters işaretli birkaç sayı varsa önce işare-ti aynı olanlar kendi aralarında toplanarak ifade düzenlenir.
Örnek
36 73 86 118− + − işleminde
iki tane pozitif ( )+ , iki tane negatif ( )- sayı olduğundan önce bu sayılar kendi aralarında toplanarak işlem düzen-lenir. Sonra bulunan zıt işaretli sayılar toplanır.
.bulunur
36 73 86 118 36 86 73 118122 191
69
− + − = + − −
= −
=−
Çıkarma İşlemi
Tam sayılarda çıkarma işlemi yapılırken birinci sayı ay-nen yazılır. İkinci sayının işareti değiştirilerek sayılar top-lanır.
Harfli ifadeler bölünürken önce katsayıları bölünür. Son-ra tabanları aynı olan bilinmeyenlerin kuvvetleri çıkarılır.
Örnek
77 3 4
3
16x 2x 2x8x
-= =
3 2 2 1
4 4 3
60x y y 4y415x y x x
-
-
-= - = -
⋅
9
Kuvvet Alma
Harfli ifadelerde kuvvet alınırken her bir çarpanın ayrı ayrı kuvvetleri alınıp çarpılır.
Eğer bilinmeyenlerin kuvveti var ise kuvvet alınırken kuv-vetler çarpılır.
Örnek
2 2 2 2
3 3 3 3 3 9
(3x) 3 x 9x( 5x ) ( 5) (x ) 125 x
= ⋅ =
- = - ⋅ = - ⋅
Uyarı!2 2 2(x y) x y+ ≠ + şeklinde yazılamaz. Toplam veya fark şeklinde yazılan harfli ifadelerin kuvvetleri çarpanlara ayırma konusu içerisinde anlatılacaktır.
DENKLEMLER
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
a ve b birer reel sayı olmak üzere ax b 0+ = şeklinde yazılabilen denklemlere birinci dereceden bir bilinme-yenli denklem denir.
Örnek
3x 7 18+ = birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.
4(x 3) 5 2x 18- + = - birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.
ÇÖZÜM KÜMESİ BULMA
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde denkle-mi sağlayan bilinmeyenin değerine denklemin çözümü ya da kökü denir.
Denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çö-züm kümesi denir.
Çözüm Kümesi Bulunurken;
1) Payda eşitlemesi yapılır.
2) Parantezler dağıtılır.
3) Bilinmeyenler eşitliğin bir tarafına reel sayılar eşitliğin diğer tarafına alınır.
4) Eşitliğin her iki tarafı bilinmeyenin katsayısına bölü-nür.
Uyarı!Sayılar ve bilinmeyenler eşitliğin bir ta-rafından diğer tarafına geçerken işaret değiştirir.
Örnek
5x 4 11- = ifadesinin sağlayan x değerini bulabilmek için
5x 4 11- = denkleminde bilinenler eşitliğin bir tarafına bilinmeyenler eşitliğin diğer tarafına alınır.
Buradan 155x 4 11 5x 15 x 35
- = ⇒ = ⇒ = = bulunur.
Örnek
3(x 2) 4x 3+ = - ifadesindeki
denkleminin kökü, denklemi sağlayan bilinmeyenin de-ğeri yani x in değeridir.
Çözüm:Verilen ifadede önce eşitliğin her iki tarafındaki sayıların paydaları eşitlenmelidir.
(15)(5) (3)
x x 8 5x 3x 1203 5 1 15 15
8x 120120x 15 dir.
8
++ = ⇒ =
⇒ =
⇒ = =
Buradan çözüm kümesi { }15 bulunur.
Örnekx 3x 9
2-
- = ise x kaçtır?
A) 22 B) 21 C) 19 D) 17 E) 15
Çözüm:
Verilen ifadede payda eşitlemesi yapılırsa
(2) (2)
x x 3 9 2x (x 3) 181 2 1 2 2
2x x 3 18x 3 18x 18 3 15 bulunur.
- - -- = ⇒ =
⇒ - + =⇒ + =⇒ = - =
10
Örnek
x 3 2x 1 54 3 12- -
- = ise x kaçtır?
A) -1 B) -2 C) 185
- D) 215
- E) -5
Çözüm:Verilen ifadede payda eşitlemesi yapılırsa,
(3) (1)(4)
x 3 2x 1 5 3(x 3) 4(2x 1) 54 3 12 12 12
3x 9 8x 4 55x 5 55x 10
10x 2 bulunur.5
- - - - -- = ⇒ =
⇒ - - + =⇒ - - =⇒ - =
⇒ = = --
BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
a, b, c birer reel sayı olmak üzere,
ax by c 0+ + = şeklinde yazılan denklemlere birinci de-receden iki bilinmeyenli denklemler denir.
Örnek
3x 2y 6+ = birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denk-lemdir.
x y 15 3 9
+ = birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemdir.
İKİLİa ve b birer reel sayı olmak üzere (a, b) şeklinde yazılan ifadelere ikili denir.
(a, b) ifadesinde a ya ikilinin birinci bileşeni, b ye ikilinin ikinci bileşeni denir.
Örnek
(3, 4) ifadesinde birinci bileşen 3 ve ikinci bileşen 4’tür.
ÇÖZÜM KÜMESİ:
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin kökleri (x, y) ikilisi şeklindedir.
Çözüm kümesi { }(x, y) şeklinde yazılır.
İki bilinmeyenli denklemlerin çözüm kümesinin bulunabil-mesi için en az iki denkleme ihtiyaç vardır.
Birinci dereceden iki bilinmeyenli iki denklemin çözüm kümesi bulunurken bilinmeyenlerden birini yok etmek yeterlidir.
Yok edilecek bilinmeyenin katsayısı zıt işaretli olacak şe-kilde düzenlenir. Sonra denklemler taraf tarafa toplana-rak bilinmeyenlerden biri yok edilir.
Bulunan değer denklemlerin birinde yerine yazılarak di-ğer bilinmeyenin değeri bulunur.
Örnek
x y 8x y 14
+ =- = denklem sisteminin çözüm kümesi bulunurken
y lerin katsayıları eşit ve işaretleri zıt olduğundan y leri yok etmek daha kolaydır.
x y+ 8
x y+
=
- 14
2x 22x 11 dir.
=
==
x y 14 11 y 14 11 14 y3 y dir.
- = ⇒ - = ⇒ - =⇒ - =
Buradan çözüm kümesi { }(11, 3)- bulunur.
Örnek
x 3y 132x y 6
+ =+ =
denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) { }1, 4 B) { }1 C) { }4 D) ( ){ }1, 4 E) ( ){ }4, 1
Çözüm:
Birinci denklem -2 ile çarpılırsa ve ikinci denklemle top-lanırsa x bilinmeyeni yok edilir.
2/ x 3y 132x y 6
2x
- + =+ =
- 6y 26
2x+
- = -
y 6
5y 2020y 4 dür.5
+ =
- = --
= =-
Bulunan y değeri herhangi bir denklemde yerine yazılır-sa x 3y 13 x 12 13 x 1+ = ⇒ + = ⇒ = olur.