Matematik og spil · 2014-12-04 · Matematik og spil Rolf Poulsen [email protected] Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance) ... En sikker fortjeneste

Enhedens navn

Matematik og spil

Rolf Poulsen [email protected]

Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni.

Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014

På disse slides skal spil læses som væddemål.

Hvorfor denne besættelse af spil; er alle statistikere/sandsynlighedsteoretikere ludomaner?

Nej, nok snarere tværtimod. (Af samme grund som næppe mange kræftlæger ryger.)

Det betyder ikke, at der er noget galt med at spille, man skal bare opfatte det som underholdning, ikke som opsparing.

Der betales i dopamin, ikke i kroner.

I det hele taget skal videnskabsfolk holde moraliseren til et minimum. (Åbenlyst nemmere sagt end gjort.)

Uanset om man vil det eller ej, så kommer man til at træffe beslutninger om usikre ting. Usikkerhed forsvinder ikke, bare fordi man ignorerer den.

Det er fornuftigt (og muligt) at bryde tingene ned i så simple bestanddele som muligt; i atomer.

Menneskelig intuition angående usikkerhed er notorisk dårlig. (Tennisbold vs. fødselsdagsproblemet.) Man skal/må stole på sine beregninger i stedet.

Planen

• Sædvanligvis: You can’t beat the odds. Og lidt om

spildesign. • Arbitrage: Et meget fordelagtigt spil. • Poisson-fordelingen og modellering af

fodboldresultater. Og test af myter. • Hvis tid, så næppe: Kelly-kriteriet. What’s in it for me -spg.: Kan man lave SRP om det her? Ja – snak eller skriv til mig.

Det første, man skal vide

Hvis man spiller et ufordelagtigt spil, så taber man i det lange løb. You can’t beat the odds.

Det er ikke bare et moralsk opbyggeligt princip, det er en matematisk sætning kaldet optional sampling.

(Eller rettere to matematiske sætninger; det lange løb refererer til store tals lov.)

Og nej, snedige stoppe-strategier laver ikke om på det. Heller ikke rød/sort-doblingsstrategien.

Og hvis casinoet giver dig en velkomstbonus, så er det klogt at læse det med småt.

Et spil kaldes fair, hvis dets forventede gevinst er 0. (Og analogt (u)fordelagtigt.)

Et odds x er et tal, der angiver, hvor mange gange, jeg får min indsats tilbage, hvis jeg vinder.

Hvis jeg vædder 1 kr. til odds x på noget, der har sandsynlighed p, så er min forventede gevinst px-1, og fra det får vi fair odds-formlen

𝑥fair =1

𝑝 .

Hos Danske Spil, på casinoer og hos bookmakere er spil ikke fair, men odds/gevinster er sat som

𝑥𝑏𝑜𝑜𝑘𝑖𝑒 =𝑡%

𝑝,

hvor t% er den teoretiske tilbagebetalings%. (Muligvis med en favourite/longshot bias-justering.)

Tilbagebetalings% varierer fra spiltype til spiltype.

Den aftagende sammenhæng mellem tilbagebetalings% og maksimalt odds er alt andet end tilfældig. (Ej heller hvor hurtigt en 1-armet tyveknægt kører.)

Spiltype Tilbagebet'-% Max' odds

Hold pengene i lommen 100% 1

Fodboldkamp 97% 4

Roulette 97% 36

1-armet tyveknægt 95% 100

Skrabespil 58% 2000

Tips 52% 50000

Lotto 45% 100000

For lotto og roulette er det forholdsvis enkelt at regne forskellige sandsynligheder ud og derefter at sætte odds.

For eksempelvis fodboldkampe er det mindre oplagt, hvad sandsynlighederne er.

Forskellige bookmakere kan se forskelligt på sandsynligheder. Og det kan vi som spillere udnytte.

Den sidste uge kunne man (med hjælp fra www.betbrain.com/surebets) læse

(Asiatisk handicap, Watford -0.5 betyder at Watford skal vinde.)

Vi gør nu flg.:

• Spil 100/4,32 = 23,15 kr. på Birmingham hos BetIn

• Spil 100/ 3,59 = 27,90 kr. på uafgjort hos Pinnacle

• Spil 100/2,26 = 44,25 kr. på Watford hos 188Bet

Vores samlede indsats er 95,30 kr.

Uanset hvad der sker, er vores gevinst 100 kr.

En sikker fortjeneste på 4,70 kr. eller lige knap 5% af vores investering.

Det, vi har fundet, kaldes en arbitrage. Og man kan ellers roligt regne med, at there is no such thing as a free lunch. (Det er iøvrigt et forbløffende nyttigt princip indenfor finansiel modellering.)

Det kræver ingen viden om hverken fodbold eller sandsynligheder.

Hvis man kan finde sådan et spil hver anden dag (ikke ganske urealistisk), så ville 100 kr. i løbet af et år vokse til ca. 730.000 kr.

Men helt så enkelt er det ikke i praksis:

• Bookmakere kan ændre odds (indtil spillet er afgivet), og de indsamlede odds, man får gratis, kommer med forsinkelse.

• Pr. konstruktion vil spil af denne type involvere mange bookmakere. Der er omkostninger forbundet med at flytte penge rundt mellem konti (via dit kreditkort).

• Der er grænser for, hvor store indsatser, bookmakerne vil acceptere, så den eksponentielle vækst er svær at opnå.

Men måske allervigtigst: Det er kedeligt! It feels like work.

Så hvis vi gerne vil sige noget om sandsynlighederne for forskellige resultater i fodboldkampe, hvad gør vi så?

Vi bygger en (statistisk) model. Og vi tager udgangspunkt i Poisson-fordelingen.

En stokastisk variabel X er Poisson-fordelt hvis der (for k = 0, 1, 2, …) gælder at Poisson-fordelingen • er (ca.) binomial-fordelingen med lille

sandsynlighedsparameter og stor antalsparameter.

• dukker op, hvis man tæller hukommelsesløse ankomster.

(Begge bullets er matematiske sætninger.)

Antallet af mål i fodboldkampe er nogenlunde Poisson-fordelt.

Tv. ses Premier League 2012-13. Billedet er karakteristisk.

Med udgangspunkt i Poisson-fordelingen bygger vi en model, der inkluderer:

• Hjemmebanefordel.

• At nogle hold er stærkere and andre.

• Uafhængig modellering af forsvars- og angrebsstyrke.

Vi antager yderligere, at ude- og hjemmescoringer i enhver kamp er stokastisk uafhængige. (Ikke helt fint i kanten, men en start.)

Med sådan en model estimeret kan vi lede efter fordelagtige væddemål. Men det ender ret hurtigt i teknisk fnidder-fnadder.

Så lad os i stedet undersøge kommentator- eller fanmyter.

”Der skal et mål til at åbne kampen” Ja. Men man skal have set mange fodboldkampe før effekten er statistisk signifikant. ”Man U/Bayern München/[hva’ hold, du nu ikke ka’ li’] scorer altid i sidste minut” Til dels ja: • Der bliver scoret mange flere mål til sidst; dels er

intensiteten højere, dels er minutterne længere. • Nogle hold er bedre end andre til at stramme

balderne. (Jacobsens fodboldmodel er dog ikke blevet bredt empirisk testet.)

”Det koster for danske hold at spille Europa-cup”

Rungende nej.

Min hypotese: Det er en post hoc ergo procter hoc-effekt.

”Fyr manageren”.

Måske eller nej.

That’s all she wrote

eller

Like a poorly managed French restaurant I have run out of thyme