Matematik Dergisi

BAŞLAMADAN ÖNCE

2 012 - 2013 eğitim öğretim yılının 2. dönemi için

hazırladığımız dergimizi okurken zevk alacağınızı

umuyoruz. Sadece matematik değil diğer konularla ilgili

bilgiler de bulabileceğiniz dergimizi bir çırpıda okumanız

temennilerimizle.

9/D sınıfı öğrencileri ;

- Ahmet Fatih Yavaşi

- Sametay Kurnaz

- Betül Şüheda Kahveci

- Hüseyin Karabay

İLK SAYIDAN BU SAYIYA KADAR NELER OLDU ?

Müslüm Gürses, 15 Kasım 2012 P e r ş em b e g ü n ü Mem o r i a l Hastanesi'nde geçirdiği by-pass ameliyatından sonra akciğer ve kalp yetmezliği nedeniyle yoğun bakıma kaldırıldı. Kendisine iki solunum cihazı bağlandı. Gürses, 3 Mart 2013'te, yaklaşık dört aydır tedavi görmekte olduğu İstanbul Bir süre önce pankreas

kanserine yakalanan Mehmet Ali

Birand, hastalığı ile ilgili bir

seri

ameliyat geçirmiş ve kemoterapi

görmüştü.Tedavisinin bir parçası

olarak safra

kesesindeki stentlerin

değiştirilmesi için gittiği İstanbul

Amerikan Hastanesi'nde yapılan

ameliyat sonrasında 17 Ocak

2013 tarihinde yoğun bakımda

Kabine’de değişiklik.İçişleri Bakanlığına İdris Naim Şahin yerine Muammer Güler, Milli Eğitim Bakanlığına Ömer Dinçer yerine Nabi Avcı, Sağlık Bakanlığına Recep Akdağ yerine Mehmet Müezzinoğlu , Kültür ve Turizm Bakanlığına ise Ertuğrul Günay yerine Ömer çelik getirilidi.

CEBİR’İN NEREDEN GELDİĞİNİ BİLİYOR

MUYDUNUZ ?

Cebir ismi Arap kökenli İslam Alimi El Cabir Bin Hayyam'ın

isminden gelir. Bu alim cebirsel ifadeleri, denklemleri bulan ve

ilk kullanan bilgindir. Daha sonra cebiri kullanan ve geliştirenler

de İslam bilginleridir. Zaten ingilizce'de de cebirin karşılığı

Algebra'dır.Algebra, El Cabir'den gelen bir isimdir.

Cebir'e neden ihtiyaç duyulur?

Cebir yapı, bağlantı ve miktar üzerine

uğraşan bir matematik dalıdır.

Bilinmeyen değerlerin, işaret ve

harflerle sembolize edilerek kurulan

denklemlerle bulunması (yada

bilinmeyenlerin arasındaki bağlantının

bulunması) esasına

dayanır. Cebirtemellerini El Harezmi'den

alır. Cebir ardı Harezmi'nin "El'Kitab'ül

-Muhtasar fi Hısab'il - Cebri ve'l-

Mukabele" adlı eserinden gelmektedir.

Bu eser aynı zamanda doğu ve batının ilk cebir kitabı olma

özelliğini taşımaktadır. El Harezmi'den bu yana cebir çok

değişmiştir. Cebir bilim dalı, aritmetiğin çözemediği pek çok

problemi çözebilmektedir.

Cebir ilk defa ne zaman ve kim tarafından kullanılmıştır?

Cebir ile ilgili en eski bilgiler M.Ö. 1700-1600 dan kalan

eski Mısır papirüsleri üzerinde yazılmış olarak bulunmuştur.

Kullanımı bazı basit denklemlerin çözümlerinden ibaret olduğu

ortaya çıkmıştır. Sonradan eski Yunan matematikçileri

cebir ile geometriyi ortak kullanmışlardır. Euclid (M.Ö. 300)

ve ilk olarak cebirsel semboller kullanan Diophanteus (M.Ö.

275) xy = k2 , x+y = a , x2 - y2 = a2 biçimindeki

denklemlerin çözümlerini aramışlardır. Eski zamanlarda

Çinliler ve Hintliler de denklem çözmeyi biliyorlardı;

Brahmagupta (M.S.628), Mahavira (M.S. 850), Bhaskara

(M.S. 1150) cebirsel yöntemlerle bir çok problemi

çözmüşlerdir. İslam matematikçileri arasında Mohammed

ibni Musa al-KhoWarizmi (M.S. 825) ve al-Karkhi (M.S.

1100) en ünlüleridir. Özellikle, al-KhoWarizmi'nin cebri

Avrupalılar üzerinde büyük etki göstermiştir. Avrupada ilk

olarak, İtalyada cebir öğrenilmeye başlamıştır.Özellikle,

ikinci ve üçüncü derece denklemlerin çözülmesine

çalışılmıştır. Avrupada cebir ile uğraşan en eski

matematikçiler Tataglia (1535), Cardan (1545), Ferrari

(1540), Vieta (1590), Harriot (1600) , Descartes (1637) ve

Wallis (1655) dir.Daha sonra,cebir Avrupalı matematikçiler

tarafından geliştirilmiştir. Ruffini (1803), Abel (1824),

Galois (1831) 19-uncu yüzyılın başındaki en önemli

matematikçilerdir.

Cebir'de bilinmeyene neden x denildiği biliyor musunuz ?

Neredeyse her bilinmeyeni

simgelemek için kullanılan x

harfi nereden geliyor?

Bu harfin kökeni Arapça "şey"

kelimesine dayanıyor. Daha

sonra İspanyolcaya

çevrilen cebir kaynaklarında

"xay" olarak gözüken ifade x

olarak kısaltıldı ve cebir'in

bilinmeyeni simgelemede

kullandığı en tercih edilir harf

haline geldi.

Hangi bilimlerde cebir

kullanılır?

Matematik, Astronomi, Bilgisayar Programcılığı ve

Tıp'ta cebir kullanılır.

İslamiyet'in başlangıç yıllarında; dini günlerin tespiti, namaz

vakitlerinin belirlenmesi, takvim hazırlanması gibi problemlerle

uğraşılmış olunduğu, o devir İslam matematikçilerinin, arazi

ölçüleri, veraset hesapları, yükseklik tayini ve günlük yaşantı için

gerekli pratik ölçme ve hesaplamalar hakkında bazı çalışmalarında

cebirden faydalanmışlardır.

Cebir'in matematik bilimine sağladığı kolaylıklar

Cebir, bilinmeyen çoklukların, matematik sembolleri ile formüle

edilerek kurulan denklikler yardımı ile ifadesi ve bu denkliklerin

çözülmesini konu alır. Cebir bilim dalı, aritmetiğin çözemediği pek

“+” işareti nerden geldi?

”+” işareti Latin “et = ve, ekle” kelimesinden gelmektedir. Bu iki

işaret 15. yüzyılda ticari kutu veya sandıkların ağırlıklarının fazla

veya az olduklarını göstermek için kullanılırmış. 40 sene içinde

muhasebeciler ve matematikçiler onları kullanmaya başladı.

“=” işaretini kim keşfetti?

1557 de Robert Recorde aynı uzunluktaki iki paralel çizginin

eldeki diğer şeyler kadar eşit olduğuna karar vermişti.

Asal sayılar:

Kendisinden ve birden başka hiç bir sayıya tam olarak

bölünemeyen sayılar. 2, 3, 5, 7, … gibi.

1 niçin asal değildir?

1 asal kabul edilseydi, herhangi bir sayı, asal sayıların çarpımı

şeklinde birden fazla biçimde ifade edilebilirdi. Bu matematikte

kabul edilmez.

Bir sayının 0. kuvveti niye 1′dir de sıfır veya başka

herhangi bir sayı değildir?

Bir sayının sıfırıncı kuvveti 1 olarak tanımlanır, böylece

sayının her kuvveti öncekinden bir çarpan daha büyük olur.

Yani,

20 = 1

21 = 2 = 2 x 1

22= 4 = 2 x 2

23 = 8 = 2 x 4

24= 16 = 2 x 8 …

1729 iki kübün toplamı olarak iki ayrı biçimde ifade

edilebilen en küçük sayıdır.

1729 = 103 + 93 = 123 + 13

Saniyede bir sayı

Saniyede bir sayı söyleyerek ve günde 7 saat sayarak 1

milyara kadar saymak isteseydik, bunu ne kadar zamanda

yapabilirdik?

Cevap: sene.

9 üzeri 9 üzeri 9

9′un 9. kuvvetinin 9. kuvveti, yani, sadece üç rakamla

ifade edilebilen en büyük sayıdır. Bu sayıyı henüz kimse

hesaplayamadı. (Denemek ister misiniz?) Bu 369 milyon

basamaklı bir sayıdır.

TEKNOLOJİDEKİ MUCİZE

APPLE LOGOSU VE ALTIN OLAN

H iç Apple’ın logosunun nasıl ya da kim tarafından

tasarlandığını merak ettiniz mi? İşte efsanevi logonun

geçmişi ve tasarımcısının hikayesi. Rob Janoff’a Apple’ın

logosunu çizme görevi 1977 yılında Steve Jobs’un reklam ajansına

sahip arkadaşının şirketinde çalışırken verilmiş. Steve bir gün

logosunu çizdirmek için arkadaşının ajansına sandaletler ile gelmiş.

Ve Rob’a nasıl bir şeyler istediğini anlatmış. Rob ilk iş olarak

süpermarkete gitmiş ve bir sürü

elma alıp evine dönmüş.

Daha sonra bunları dilimleyip

çeşitli şekiller vererek onlarla

saatler geçirmiş. Sonuç olarak

da basit, 2 boyutlu ve tek renkli

bir elma çizmiş. Tasarımı

Steve’e gösteriğinde ise Steve’de

bu fikri beğenmiş ancak elmanın

daha renkli olmasını istemiş.

Rob’ın patronu baskı ücretlerini

aşağıda tutmak için logonun tek

renkte kalmasını istemiş ama Steve azimliliğini bir kez daha ortaya

koymuş ve renklerin firmayı insanlaştırdığını belirterek hafif bir

tartışmaya girmiş.Daha sonra Rob renkleri gelişi güzel bir şekilde

elmanın üstüne şerit şerit yerleştirmiş. Böylece de Apple’ın ilk adam

akıllı logosu oluşturulmuş olmuş.

Elma’daki ısırık İlk bakışta elma’daki ısırığın öylesine eklendiği

düşünebilirsiniz. Ancak işler çok daha farklı bir boyutta. Rob’ın logoya

ısırığı eklemesinin tek sebebi ingilizce “byte” kelimesinin diğer bir

ingilizce kelime olan “bite(ısırık)” ile tamamen tesadüfen benzeşmesi.

Steve bu fikri beğenmiş olmalı ki izin vermiş. Bu ısırık ilk bakışta çoğu

kişiye Apple hakkında yanlış fikir verebiliyor.

Ama altında yatan mesaj güzel. Günümüz Rob

Janoff’un şu anda Chicago’da kendisine ait bir

grafik tasarım ajansı var. Apple’ın logosu ise şu

anda tamamen Rob’ın tasarladığı gibi değil.

Şekli korunuyor fakat renkler tamamen değişti.

Aslında ilk başta Rob’ın ve patronunun istediği

gibi olmuş. Ama Apple bunu baskı ücretlerini

azaltmak için yapmadı. Mac’lerin tasarım çizgisi

değiştikçe Apple, logosunu bugünkü şekline soktu. Gelelim Matematik

Kısmına Nasıl günümüzde Apple markasını duymayanımız yoksa,

matemetikle biraz ilgilenen herkes Altın Oran'ı duymuştur. Altın

dikdörtgen ise kenarları arasında altın oran bulunan yani yaklaşık

1:1,618, dikdörtgen diyoruz.

Yandaki resimden örnek verirsek: Uzun

kenarı a ve kısa kenarı b olan bir altın

dikdörtgen, kenarları a uzunluğundaki bir

kareyle, ortak kenarından birleştirilirse, uzun

kenarı a + b ve kısa kenarı a olan bir benzer

altın diktdörtgen elde edilir. Yandaki resimde hem pembe olan

dikdörtgen, hem de büyük dikdörtgen altın dikdörtgendir.

(a+b) / a = a / b = Altın Oran İç içe Altın dikdörtgenler Altın Spiral

oluşturur.

Gelelim Apple Logosuna: Apple'ın logosu incelendiğinde Altın Spiral,

Altın Dikdörtgen ve doğal olarak Fibonacci Sayı Dizisi görünüyor.

Hatta Apple'ın iCloud hizmetinin logosuna bakarsınız Altın Oran'ı

görebilirsiniz.

Süper Zeka Üstün özellikli Apple'ın kurucusu Steve Jobs ölümünün ardından

şirketin yıllarca piyasaya sürmesine yetecek kadar ürünü miras bıraktı...

Apple için var gücüyle çalışan ve yaratıcılığıyla Dünya'nın en iyisi haline gelen Apple

markasının yaratıcısı Steve Jobs'un İcatları'nı aşağıda görebilirsiniz

Apple'ın ilk ürünü... Mühendisler için yapılmıştı. Daha çok bir daktiloyu andırsa da yine de bir

ilkti. Ürünün dizaynı ise Steve Wozniak'a aitti.

Kişisel bilgisayarların en başarılarından biri olan Apple II de bir Wozniak dizaynı. Bu ürün

çeşitli upgrade'lerle 1993 yılına kadar satışta kaldı.

Lisa—1983

Jobs'un ilk grafik kullanıcı ara yüzlü ticari bilgisayarı... İkonlar, pencereler, Mouse ile

kullanılan "cursor" gibi birçok yenilik Lisa ile aramıza katıldı. Ancak bu ürün çok pahalı

olduğu için ticari bir başarı elde edemedi.

Macintosh—1984

Lisa gibi grafik arayüzlü bir bilgisayar olan Macintosh çok daha ucuz ve çok daha hızlıydı. Bir

lazer yazıcı eşliğinde bu küçük Macintosh harikalar yaratıyordu…

iMac - 1998

Jobs, 1996'da Apple'a geri döndü. Artık dünya PC'lerin eline geçmişti. Jobs kollarını sıvadı ve iMac'i ortaya çıkardı

iPod - 2001

Jobs PC'lerle mücadele etmekle yetinmedi. Gelişen teknolojiyle birlikte yeni yeni ortaya çıkan icatları karşı da mücadele veren Jobs, iPod ve dolayısyla iTunes ile turnayı gözünden vurdu

iTunes Store—2003

iTunes'dan önce dijital müzik şirketler için büyük sorundu. iTunes'dan sonra ise dijital

müzik para kazandırmaya başladı. Bunun mucidi de Steve Jobs'du.

iPhone - 2007

Ama Jobs'un asıl bombası iPhone oldu. Mobil dünyaya giren Jobs, Apple'ı efsane olduğu

g ü n l e r e d ö n d ü r d ü .

iPad 2010

Jobs'un son harikası ise "büyük iPhone" da diyebileceğimiz iPad oldu.

Hüseyin Karabay: Merhaba Zeynep Hanım.Nasılsınız?

Zeynep Karabay: İyiyim teşekkürler.

HK: Nereden mezunsunuz?

ZK: Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü’nden mezunum.

HK: Peki matematiğe merakınız ne zaman başladı?

ZK: İlkokuldaki sınıf öğretmenim sevdirdi matematiği.Ve her geçen yıl daha da

ilgimi

çekmeye başladı. En sevdiğim dersler arasında birinci sırayı hiç bir derse

kaptırmadı.

HK: Ve daha sonra üniversite yıllarını bu bölümde geçirmek istediniz.Öyle mi?

ZK: Evet benim için kaçınılmaz son buydu. Aslında başlangıç desek daha doğru

olur.

HK: Lisans eğitiminizde sizin için yeni bir başlangıç mı oldu matematik adına?

Lisede öğrendiklerinizle lisans eğitimindeki fark neydi?

ZK: Matematik adına yeni bir başlangıç oldu evet. Çünkü lisede bazı şeyleri

hatta birçok şeyi ezberliyoruz. Formüllerin nereden geldiğini, hangi ihtiyaçtan

doğduğunu , olmasaydı hangi sıkıntıları yaşayacağımızı düşünmüyoruz. Her

şeyden öte matematik bölümü size düşündürmeyi amaçlar. E düşünmek varsa

ortada hayatın içindesiniz demektir. Her ne kadar soyut gibi görünse de somut

olanı anlamak için gerekli olduğunu düşünüyorum.

HK: Yani bizim lisede öğrendiklerimiz boşuna mı?

ZK: Hayır ben öyle söylemek istemedim. Hayatımızın her anı bizim için bir

aşama. Lisede öğrendiklerimiz üniversite hayatımız için bir ön hazırlık… Bunu

bir bina gibi düşünebilirsiniz. Birinci katı sağlam yapmazsanız kolonlar ikinci katı

taşıyamaz. Biz temelimizi ne kadar sağlam

yaparsak geleceğe o kadar sağlam

adımlarla ilerleriz.

HK: Matematik hakkındaki düşünceleriniz

nelerdir?

ZK : Bir tabloya ilk kez baktığınızda

hissettiklerinizle aradan zaman geçince

baktığınızda hissettikleriniz aynı

değildir..çünkü o anki bakış açınızla diğeri

farklıdır..siz öncekine göre belki daha dolu

bakarsınız sonrasında...görmeye bir adım daha yaklaşırsınız..bakmak ile görmek

arasında fark gitttikçe sıfıra yaklaşır..Matematik de buna benzer…İlk anda bir

şeyler hissedersiniz ama zaman geçip de düşünceleriniz olgunlaşınca daha da

derinleşirsiniz...Ne kadar öğrenirseniz öğrenin sizin bildikleriniz deryada bir

damla gibidir..deryanın büyüklüğünü düşününce acizliğinizi fark edersiniz..bu

sadece Matematik için geçerli değildir aslında. tüm bilimlerde bu böyledir…

İnsanoğlu fıtratı gereği hep eksiktir…Ama bu eksiklik; eskimekten bin kat

iyidir..sürekli yenilenmek gerekir..eskilerin ışığında yeni düşünce yolları

oluşturmak gerekir.Matematikte de bu böyledir.

HK: Şimdi de işin biraz mesleki boyutundan konuşalım. Özel bir dershanede

çalışıyorsunuz. Peki kaç senedir çalışıyorsunuz ,memnun musunuz? Önerir

misiniz? Daha başka iş olanaklarınız var mıdır?

ZK: 2 senedir çalışıyorum. Çalışma koşulları çok da rahat değil. Ömrüm boyunca

bu işi yapamam. Benim için bir geçiş dönemi bu meslek. Çünkü hayat şartlarında

maddiyat da önemli bir yer tutuyor.Bu mesleği açıkçası önermiyorum.Ya da bir

bayan için oldukça yorucu.Başka iş olanaklarına gelince…Bence bir Matematik

mezununa en çok yakışanı akademisyenlik olurdu.

HK: Akademisyen olmak için neler gerekli?

ZK: Üniversiteler kendi içinde sınavla araştırma görevlisi alıyorlar. Aşamaları şu

şekilde oluyor.Öncelikle mezuniyet puanınız önemli, ayrıca ALES (Akademik

Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ) den , YDS (Yabancı Dil Sınavı) den

ve okulun mülakat sınavından aldığınız puanların belirli yüzdeleri alınarak, 100

üzerinden bir puanınız oluşuyor.Alımları bu şekilde yapılabiliyor.

Ayrıca YÖK ( Yüksek Öğretim Kurumu)ün yaptığı atamalar da oluyor. Biraz önce

bahsettiğim sınavlardan alınan puanlar ile ÖYP( Öğretim Görevlisi Yetiştirme

Programı) atamaları yapılıyor.

HK: Araştırma görevlisi olduktan sonra ne kadar yükselebiliyoruz?

ZK: Lisans eğitimi bitince 2 yıl yüksek lisans yapıyorsunuz. Hatta geçenlerde

duydum sanırım 3 yıla çıkmış. Sonrasında doktoraya başlıyorsunuz 4-5 yıl da

bununla uğraşıyorsunuz teziniz bitince doktor ünvanını alıyorsunuz. Sonrasında

kadro bulursanız yardımcı doçent ,sonra doçentlik ve sonra profesör unvanını

alıyorsunuz.Tabi bu aşamaların hepsi büyük bir özveri gerektiriyor.Sevmeden

olmaz .

HK: Peki başka hangi mesleklerle uğraşılabilir?

ZK: Pedagojik Formasyon alarak MEB de ortaöğretim matematik öğretmenliği

yapabilirsiniz. Devlet kurumlarında kadro açılırsa uzman yardımcılığı

yapabilirsiniz. Tabi bunlar için KPSS puanları gereklidir.

Bankacılığa yönelebilirsiniz ya da bilgisayar programcılığıyla ilgilenebilirsiniz.

Kısacası olay sizde bitiyor. Neye yönelmek istediğinize siz karar vereceksiniz.

HK: Benimle yaptığınız röportaj için size çok teşekkür ediyorum.

ZK: Rice ederim. Matematikle alakalı böyle bir çalışma yapmanız gerçekten çok

güzel.Başarılarınızın devamını diliyorum.

ÇÖZÜLEMEYEN SORULARDA VARDIR

1 Goldbach Kestirimi

1742'de Goldbach, Euler'e yazdığı bir mektupta "2'den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebilir" önermesinin, ya doğru olduğunu ispatlamasını ya da bunu sağlamayan bir örnek göstererek yanlış olduğunu ispatlamasını istedi. Goldbach kestirimi olarak bilinen bu hipotezle asal sayılar dünyasına yeni bir heyecan geldi. Bu heyecan o gün bugündür tüm matematikseverleri sardı. Yine de henüz bir cevap bulunamadı.

Ayrıca, 2'den başlayarak her çift sayıya 3 sayısı (ki bu bir asal sayı) ekleyerek tek sayılar kümesi elde edilebildiğine göre (örneğin: 5=2+3; 7=4+3; 9=6+3...) her çift sayı 2 asal sayının toplamı ise her tek sayı da üç asal sayının toplamıdır denilebilir. Bu ifade de zayıf (ya da tek) Goldbach kestirimi olarak bilinir. Henüz bunun da bir yanıtı yok.

2 Asal Sayılardan Karışık

Asal sayılara ilişkin pek çok bilgi henüz gün ışığına çıkmadı. Bunun yanı sıra ortaya atılmış ama ispatlanmamış pek çok da kestirim var. İşte bunlardan birkaçı:

• n2 ve (n + 1)2 arasında daima bir asal var mıdır?

• İkiz Asallar: İkiz asallar yani aralarındaki fark 2 olan asallar sonsuz tane midir?

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43). ..???

• Bugün hala sonsuz tane elemanı olduğu kesin olarak ispatlanmayan (ama öyle olduğu tahmin edilen) bir diğer küme de farkı 2n olan asal çiftlerinin oluşturduğu kümelerin hepsinin sonsuz tane eleman içerdiği sanısı.Bu kestirimi ortaya atarak problemi genel bir boyuta taşıyansa da Alphonse de Polignac (1849). Örneğin Kuzen asallar olarak bilinen aralarındaki fark 4 olan asal sayıların oluşturduğu küme sonsuz eleman içerir mi?

• (n2 +1) formunda yazılabilen sonsuz tane asal var mıdır?

• Fermat Asalları: 17. yüzyılda amatör matematikçi ünvanı ile bilinen Fermat asal sayılar konusuna oldukça önemli katkılarda bulundu. Bu katkılar arasında doğru olduğunu iddia edip ispatlayamadığı kestirimler de vardı. Örneğin + 1 biçimindeki sayıların her n doğal sayısı için bir asal verdiğini iddia etti. Bu biçimdeki sayılara Fermat sayıları asal olanlara da Fermat asalları denir. Gerçekten de 5'e kadar tüm doğal sayılar için asal değer veren ifadenin yanlış olduğu ancak 100 yıldan fazla zaman sonra anlaşılabildi. n=5 için 232 + 1 = 4294967297 sayısının 641 ile bölündüğünün farkına varansa Euler oldu. Bugün ispatı yapılması beklenen önermelerden bir diğeriyse "Fermat asalları sonlu tanedir" kestirimi. Bu ifadenin en güçlü gerekçesiyse şimdiye kadar sadece 5 tane Fermat asalının bulunmasıdır

• Mersenne Asalları: Fermat'ın sıkça fikir alışverişinde bulunduğu çağdaşı Mersenne 2n - 1 şeklindeki sayılar üzerinde çalışıyordu. Mersenne sayıları (Mn) adı verilen bu sayıların başlangıçta n asal olduğunda asal değer verdiği düşünüldü. Gerçekten de n=11'e kadar doğru çalışan fikir 11'de asal olmayan bir değer alınca bu düşüncenin de yanlış olduğu anlaşılabildi ama 2n - 1'in asal olması için n'nin asal olması gerektiği şartı doğrudur. Yine de matematikçiler bu sayıların peşini bırakmadı. Sonsuz tane olup olmadıkları hala merak edilen Mersenne sayılarından Aralık 2005 itibariyle 43.sü bulundu.

3 Mükemmel Sayı Sorusu

Mükemmel sayı kendisi haricindeki tüm çarpanlarının toplamı kendisini veren sayıdır. Örneğin 6 bir mükemmel sayıdır çünkü kendisi haricindeki çarpanları yani 1, 2 ve 3 toplanınca kendisini verir: 1 + 2 + 3 = 6. Diğer örneklerse 28, 496, 8128 şeklinde gidiyor. Şimdiye kadar hiç tek mükemmel bir sayıya rastlanmamış. Merak edilen böyle bir sayının varolup olmadığı. Eğer vardır diyorsanız bu sayıyı, saklandığı yerden bulup çıkarmalı, ya da olmadığını iddia ediyorsanız bunu ispatlamalısınız.

4 Palindromik Sayılar

Kapak, kütük, sus, yay, kepek kelimeleri ilginç bir ortak özellik ile dikkat çekiyor: düzden ve tersten okunduğunda aynı. Benzer bir yapıya sahip olan palindromik sayılar da düzden ve tersten okunduğunda aynı olan sayılardır: 1991, 10001, 12621, 79388397, 82954345928. Bu alandaki açık soru ise şöyle:

Hem asal hem de palindromik olan sonsuz tane asal sayı bulunabilir mi?

5 Collatz Problemi

Önce bir pozitif tamsayı seçin. Bu sayıya yapılcak işlem şu:

Sayı tekse 3 katını alıp 1 ekleyin. Sayı çiftse 2'ye bölün.

Aynı işleme çıkan sayıya uygulayın. En sonunda elde edeceğiniz sayı1'dir.

Örneğin 8 sayısını ele alalım:

8-(2'ye böl)-4-(2'ye böl)-2-(2'ye böl)-1

5-(3 katını al 1 ekle)-16-8-4-2-1

Seçtiğiniz sayıya dikkat edin. Örnek olarak 27 sayısını seçtiyseniz 1 sayısını bulmanız için 112 basamak ilerlemeniz gerektiriyor. Tabi kaç basamak alacağı sayının büyük veya küçük olmasıyla ilgili değil. Sadece bu algoritmanın her zaman 1 cevabını verdiğini ispatlamanın peşinde koşmayın. Unutmayın ki sonunda 1 vermeyen bir sayı da varolabilir ve bu da, sorunun cevaplandığı anlamına gelir.

6 Asal Sayılar Dağılımı

Bilindiği gibi asal sayılar düzenli bir dağılıma sahip değiller. Alman matematikçi G.F.B. Riemann (1826 - 1866) asal sayıların dağılımlarının Riemann-Zeta adını verdiği bir fonksiyon ile çok yakından ilişkili olduğunu gözlemledi. Söz konusu olan fonksiyon şöyle:

f(X):1+1/2s+1/3s+1/4s+......

Bu fonksiyon s'nin 1 dışındaki her kompleks sayı değeri için tanımlıdır.

Riemann Hipotezine göre bu fonksiyonun, (s) = 0 ifadesini sağlayan tüm önemsiz olmayan s değerleri, reel kısmı ½ olan düşey doğru üzerine düşer (bu doğruya kritik doğru deniyor). İlk 1 500 000 000 değer için bu doğruluk tespit edilmiş olsa da asıl istenen, söz konusu tüm değerler için doğru olduğunun ispatlanması.

Q R Kod (Quick Response Kod), Japonya'da Denso Wave tarafından

geliştirilen yeni nesil bir 2 boyutlu barkoddur. QR kod içeriği bir metin,

web sitesi adresi, video link dahil herhangi bir veri olabilir. QR Kod

okuyucu bir yazılım vasıtasıyla bir cep telefonu rahatlıkla QR Kod

okuyabilir ve ilgili ürün veya servis sayfasını açabilir.

QR Kod, geleneksel barkod türlerine göre birçok

avantaja sahiptir:

- QR Kod, Japon Kanji dahil olmak üzere herhangi

bir dilde çok daha fazla miktarda harf ve sayı

barındıma kapasitesine sahiptir.

- Küçük çıktı boyutu: QR Kod boyutu geleneksel

barkodların 1/10'u kadar küçük olabilir.

- Her yönden okunabilir: Her yönden tarama özelliği,

QR Kod'un daha hızlı okunabilmesini sağlar.

- QR Kod hata düzeltme özelliği: QR Kod, üzerinde

%30'a kadar herhangi bir kirlenme ya da hasar

olması durumunda dahi okunabilir.

QR Kod Tarihi

Barkodlar popüler oldukça ve sağladığı kolaylıklar benimsendikçe, pazar daha fazla

bilgi, daha değişik yazı karakteri ve depolama kapasitesine sahip, fakat aynı

zamanda çok daha ufak bir alana sığabilecek barkod türlerine ihtiyaç duymaya

başladı.

Barkodlar tarafından depolanan bilginin miktarını artırmak için çeşitli çalışmalar

yapılmış olmakla birlikte, bu çalışmalar genellikle barkod alanının büyümesi gibi bir

sorun yaratmıştır.

QR Kod, işte tam burada devreye girmiştir ve bu ihtiyaç ve sorunlara yanıt olarak

ortaya çıkmıştır.

QR Kod Japonya'da a kadar yaygındır ki, herhangi bir yerde bir QR Kod görmemek

neredeyse imkansızdır. QR Kodu reklam panolarında, dergilerde, cep telefonu ve

diğer kampanyalarda, haritalar üzerinde, kısacası her yerde görebilirsiniz. Bu

anlamda QR Kod, zamanında SMS'in yapmış olduğu patlamayla kıyaslanabilir.

QR Kod, kullanımı son derece basit bir araçtır. QR Kod vasıtasıyla mobil bir web

sitesine bağlanmanın maliyeti bir SMS mesajının da altındadır. Üstelik kodu tarayıp

taramamak tamamıyla size ait!

Asal Sayılar rastgele değilmiymiş?

ABD'deki Boston Üniversitesinden araştırmacılar, asal sayıların dağılımının

bir düzene bağlı olabileceğini ortaya çıkarmışlar.Asal sayılar, yalnızca

bire ve kendilerine tam olarak bölünebilen sayılar. Bu sayılardan ilk

altısı, 2, 3, 5, 7, 11, 13. Bilinen en büyük sal sayıysa, dört milyon

basamaklı. Bugüne kadar kimse, asal sayıların herhangi bir kurala bağlı olup

olmadığını anlayamamış. Araştırmacılar, birbirini izleyen asal sayıların

arasında kaçar rakam olduğunu ve bunların sayılarının nasıl değiştiğini

incelemişler. İlk altı asal sayının (2, 3, 7, 11, 13) aralarındaki rakam

sayısı sırasıyla 1, 2, 2, 4 ve 2. Rakam sayılarının arasındaki farklarsa,

+1, 0, +2, -2 ve +2. Araştırmacılar, ardışık asal sayıların arasındaki rakam

sayısının farkının, bir ölçüde önceden tahmin edilebilir olduğunu görmüşler.

Bu farklar ard arda sıralandığında, pozitif bir sayının ardından çoğu kez

onun toplamaya göre tersi geliyor. Tıpkı yukarıdaki örnekte +2'den

sonra -22nin gelmesi gibi.

200 binden fazla bilgisayarın kullanıldığı 2 yıllık bir çalışma sonucunda, 6

milyon 320 bin 430 basamaklı en büyük asal sayı tespit edilmiş.

6 milyonun üzerinde basamağı olan en büyük Mersenne asal sayısını, 17 Kasım

2003 tarihinde Michael Shafer isimli Amerikalı bir üniversite öğrencisi

bulmuş. Sayının gerçekten bir Mersenne asıl sayısı olduğu doğrulanmış. Yeni

bulunan asal sayıyla Mersenne asallarının sayısı 40'a çıkmış.

En büyük asal sayı 2 üzeri 20.9960.11 - 1 olarak ifade ediliyor.

ÇARPIM HİLELERİ Sonu sıfırla biten sayıları çarpmak çok kolaydır. Mesela 3000 ile 500'i

çarpmak istediğimizde ilk önce 3 ile 5'i çarpar. Daha sonra 15'in yanına

kullanılan sıfır kadar sıfır koyar ve sonucu 1500000 buluruz.

Peki 5 ile biten sayıları kendileri ile çarpmak için ne yapmak gerekir?

Mesela 75x75 çarpımını göz önüne alalım. Onlar basamağındaki rakam olan

7 ile bir ardılı olan 8'i çarpalım. 56 sayısının yanına birler basamağındaki

rakamlar olan 5 ile 5 çarpımını yazalım. Sonuç olarak 75x75 = 5625

buluruz. Aynı şekilde 65x65 = 4225, 85x85=7225 bulunur.

Aralarında 2 fark bulunan sayıların çarpımını bulmak için, sayıların

ortalamasının karesinin 1 eksiğini alırız. Örneğin 29 ile 31'in çarpımından

30x30 - 1 = 899 bulunur.

Aralarında 4 fark bulunan sayıların çarpımını bulmak için, sayıların

ortalamasının karesinin 4 eksiğini alırız. Örneğin 22 ile 26'ın çarpımından

24x24 - 4 = 572 bulunur.

Aralarında 6 fark bulunan sayıların çarpımını bulmak için, sayıların

ortalamasının karesinin 9 eksiğini alırız. Örneğin 23 ile 29'un çarpımından

26x26 - 9 = 667 bulunur.

Aralarında 8 fark bulunan sayıların çarpımını bulmak için, sayıların

ortalamasının karesinin 16 eksiğini alırız. Örneğin 41 ile 49'un çarpımından

45x45 - 16 = 2009 bulunur.

Bu yukarıdaki 4 formül iki kare farkı formülünden çıkarılmaktadır. a2 - b2

= (a - b)(a + b) olduğunu hatırlayınız...

İki basamaklı bir sayıyı 11 ile çarpmak istediğimizde sayının birler ve onlar

basamağındaki rakamları toplar, toplamı iki rakamın arasına yazarız.

Örneğin 27x11=297 (2+7=9) buluruz. Eğer toplam 9'dan büyükse yüzler

basamağındaki rakamı bir arttırırız. Örneğin 49x11 = 539 buluruz. (4 ile

9'un toplamı 13 olduğundan 539 yazdık).

Birler basamağındaki rakamları 1 olan 2 basamaklı iki sayıyı çarpmak

istersek ne yapacağız? Örneğin 21x41 çarpımını ele alalım. İki sayının onlar

bamağındaki rakamlar olan 2 ve 4'ü ilk önce çarpalım, sonra toplayalım.

Sırasıyla çarpımı, toplamı ve sondaki 1 sayısını yanyana yazalım. Böylelikle

sonucu 861 buluruz. 31x51 çarpımı için 3x5 =15, 3+5=8 yazarsak çarpımın

sonucu 1581 bulunur. Eğer toplam 9'dan büyük olursa çarpıma bir ekleriz.

Örneğin 81x91 çarpımı için 8x9=72, 8+9=17. Çarpımın sonucu ise 7371

olur.

101, 1001, 10001, ... gibi bir sayı ile bu sayıdan bir basamak küçük A

sayısını çarpmak istediğimizde, A sayısını yanyana yazmak yeterlidir.

Örneğin 101x79=7979, 1001x278=278278, 10001=4162=41624162'dir.

Bir sayıyı 25 ile çarpmak için sayıyı 4'e böleriz. Eğer bölüm kalansız ise

bölümü 100 ile çarparız, 1 kalanlı ise bölümün yanına 25 koyarız, 2 kalanlı

ise bölümün yanına 50 koyarız, 3 kalanlı ise bölümün yanına 75 koyarız.

Örneğin 278x25 çarpmı için 278'i 4'e bölelim. Bölüm 69 kalan 2'dir. O

halde çarpımın sonucu 6950 bulunur.

MATEMATİĞE DAİR SÖYLENEN BİRKAÇ SÖZ -Bir matematikçi sanmaz fakat bilir.ınandırmaya çalısmaz çünkü ispat eder.Güveninizi beklemez.Belki dikkat etmenizi ister. Henri POINCARE -Matematiği kullanmayan bilimler, ele aldıkları konularda ancak dış yapıyı inceleyebilirler; çünkü matematikle dile getirdikleri, ancak birtakım bağıntılardır; bu bağıntılar ise özle ilgili unsurlar arasında değil, dış görünüşle ilgili noktalar arasında olabileceğinden, bir varlığın özünü, onun aslında ne olduğunu bize vermekten acizdirler. O halde matematik, tabiat bilimleri, tarih gibi kişiliğin içlerine nüfuz edip, onu derin bir sezgi ile kavrayabilen bir disiplinin önünde çok aşağı niteliktedirler. M. Kemal Atatürk -“Dünyadaki en mâsum uğraş matematiktir” G. H. HARDY -“...evren her an gözlemlerimize açıktır; ama onun dilini ve bu dilin yazıldığı harfleri öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz. Evren matematik diliyle yazılmıştır; harfleri üçgenler, daireler ve diğer geometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirentte dolanılır.” GALİLEO -Bilim deyince, onda hakikat diye öne sürdüğü önermelerin pekin olmasını ister; pekinlik ise en mükemmel şekliyle matematikte bulunur. O halde bilim o disiplindir ki; önermeleri matematikle ifade edilir. O zaman matematiği kullanmayan disiplinler bilimin dışında kalacaklardır. M.Kemal Atatürk

-“İnsanlar sayılar gibidir, o insanın değeri ise o sayının içinde bulunduğu sayı ile ölçülür.” NEWTON -Matematiğin hiçbir dalı yoktur ki, ne kadar soyut olursa olsun, bir gün gerçek dünyada uygulama alanı bulmasın. LOBACHEVSKY -Matematikte bir şeyleri asla anlamazsın, sadece onlara alışırsın. John von Neumann -Eksi çarpı eksi artı edecek, Böyle yazılacak, böyle bilinecek, Kimse "neden?" demeyecek. Anonim & Avni -Matematik ne neden söz ettiğimizi, ne de söyledğimiz şeyin doğru olup olmadığını bilmediğimiz bir konudur. Bertrand Russell -Bir teoremin zerafeti onda görebildiğin fikirlerin sayısıyla doğru, o fikirleri görebilmek için harcadığın çabayla ters orantılıdır. George Polya -Matematikçinin desenleri ressam veya şairlerinki gibi güzel olmalı, fikirleri renkler veya kelimeler gibi birbirlerine ahenkle uymalıdır. ... Dünyada çirkin matematik için asla daimi bir yer yoktur. G. H. Hardy -Mathemata mathematicis scribuntur. [Matematik matematikçiler için yazılır.] Nicolaus Copernicus (1473-1543)

Comenius Programı, genel olarak, okul eğitiminde kaliteyi artırmayı ve Avrupa boyutunu güçlendirmeyi hedefleyen bir hayatboyu öğrenme programıdır.

Comenius Programı, öğrenciler ve eğitim personeli arasında

Avrupa kültür ve dil çeşitliliği ile değerleri hakkında bilgi ve

anlayış oluşturmayı, iş birliğini güçlendirmeyi, aktif bir Avrupa

vatandaşı olma yolunda öğrencilerin kişisel gelişimleri için

gerekli olan temel becerileri ve yeterlilikleri edinmelerini

amaçlamaktadır. Programa dahil ülkeler 27 AB üyesi ülke,

Norveç, Lihtenştayn, İzlanda, Hırvatistan, İsviçre ve

Türkiye’dir

Faaliyetin Hedefleri

Ülkeler arası iş birliğini geliştiren, okul eğitimi alanında çalışan

personelin mesleki gelişimine katkıda bulunan çalışmaları

destekleyen program, Avrupa dillerinin öğretilmesinin

yaygınlaştırılmasını teşvik eder ve kültürler arası diyalog

konusunda etkili çalışmalara imkan sağlar.

Comenius Programı, okullar ve öğretmen yetiştiren kurumlar

arasında uluslararası iş birliğini, pedagojik metotlar ve

materyaller geliştirmeyi, okulların idaresine yönelik iyi

çalışmaların ve yeniliklerin uluslararası boyutta

yaygınlaştırılmasını katkı sağlar.

Program Neyi Hedefliyor?

Okullar ve öğretmen yetiştiren kurumlar arasında uluslararası işbirliği ve değişimi teşvik etmek, Pedagojik metotlar ve materyaller geliştirmek, Okulların idaresine yönelik güzel çalışmaların ve yeniliklerin uluslararası boyutta yaygınlaştırılmasını desteklemek, Eğitimde dışlanma ve okulda başarısızlıkla mücadelede, özel eğitime ihtiyaç duyan öğrencilerin entegrasyonu ve eğitimin bütün sektörlerinde fırsat eşitliğini teşvik eden yöntemlerin geliştirilmesini ve yaygınlaştırılmasını desteklemek, Yabancı dil olarak Avrupa dillerinin öğretiminde kaliteyi ve öğretilen yabancı dil çeşitliliğini artırmak, Gerek eğitim, gerekse sosyal, fiziksel, coğrafi, psikolojik, ekonomik açılardan belli dezavantajları olan kişilere öncelik vermek, Okul eğitiminde ve okul eğitiminde görev yapan personelin

eğitiminde Bilgi ve İletişim Teknolojilerinin (BIT) kullanımını

teşvik etmek

Bunların yanı sıra Comenius Programı:

Değişik kültürlere yönelik farkındalığın geliştirilmesini teşvik etmek Kültürler arası eğitim alanında öğretmenlerin yeteneklerini geliştirmek, Irkçılık ve yabancı korkusu/düşmanlığıyla mücadeleyi desteklemek; için tasarlanmış uluslararası etkinlikler yardımıyla Avrupa’daki okul eğitiminde kültürler arası farklılıkların bilincine varılmasını teşvik eder.

Comenius Programı Kimler İçin Uygun

Program, en genel anlamıyla, okul eğitimine taraf olan kurum ve kuruluşlar ile bu kurumlardaki idareciler, eğitimciler/öğretmenler, öğretmen adayları ve öğrencileri kapsar.

Comenius Programı, bireysel ve kurumsal olarak gerçekleştirilebilecek pek çok faaliyeti kapsar. Her bir faaliyetin farklı süreleri ve hibeleri bulunmaktadır. Bu alt faaliyet alanlarına ilişkin ayrıntılı bilgi ve ilgili dökümanlara ana menüden ilgili başlığı tıklayarak ulaşabilirsiniz.

Programa başvurular www.ua.gov.tr den yapılabilir.