Matematik Asas — SJES 1210 Mohamad Bakri Zubir http://www.geocities.com/notaism/nota.htm sessi 2001/2002 Nota disusun dari nota asal oleh: Dr Toh Kheam Hoo Dr Daud Yahaya Institut Sains Matematik Universiti Malaya Kuala Lumpur 50603 [email protected]
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Juga dikenali sebagai— logik bersimbol (symbolic logic)— kalkulus usulan (prepositional calculus)
1.1 Pernyataan dan jadual kebenaran
Takrif Pernyataan adalah ayat (atau gabungan beberapa ayat yang mempunyai hanyasatu nilai kebenaran (samada Benar atau Palsu) tetapi tidak kedua-duanya.
Pernyataan Bukan pernyataan
• Proton berjaya mengeluarkan 1 jutaunit kenderaan
• Di mana anda tinggal ? (pertanyaan)
• 3 + 1 + 4 = 15 • Cari nilai maksimum (arahan)• Malaysia negara maju • Bantu mereka yang malang• f(x, y) = 0 x, y ∈ R • Tunjukkan x bukan integer• UM akan dikorporatkan • Jawab tiga soalan sahaja• Ekonomi negara bertambah kukuh • Adakah anda faham?• Saham TimeDot.com terlebihlanggan
• Belilah barangan Malaysia
1.2 Operasi logik
Pernyataan lazimnya ditandakan dengan huruf kecil p, q, r, . . . Gabungan beberapa per-nyataan dipanggil usul (atau pernyataan majmuk) ditandakan dengan huruf besarP (p, q, r, . . .), Q(p, q, r, . . .), . . . Di sini p, q, r, . . . dikenali sebagai pernyataan-pernyataankomponen bagi usul P (. . .), Q(. . .), . . .
Biarkan p, q pernyataan-pernyataan
Operasi Tandaan Bentuk bersimbol Dibaca
A. Penafian ¬ ¬p bukan p
B. Konjungsi ∧ p ∧ q p dan q
C. Disjungsi ∨ p ∨ q p atau q
1
1.2.1 Penafian
Andaikan p satu pernyataan. Maka nilai kebenaran pernyataan ¬p (bukan p) adalahPALSU jika p BENAR, dan BENAR jika p PALSU.
Jadual kebenaran bagi penafian ¬ :
p ¬p
B PP B
Contoh 1
Pernyataan (p) Bukan pernyataan (¬p)
• Firma X mencatat keuntungan • Firma X tidak mencatat keuntungan• Semalam hujan • Semalam tidak hujan
1.2.2 Konjungsi
Tandaan : p ∧ q (dibaca “p dan q”)
Nilai kebenaran: p ∧ q hanya BENAR bila p dan q benar.
Jadual kebenaran bagi p ∧ q :
p q p ∧ q
B B BB P PP B PP P P
2
1.2.3 Disjungsi
Tandaan : p ∨ q (dibaca “p atau q”)
Nilai kebenaran: p ∨ q hanya PALSU bila p palsu dan q palsu. Dengan lain perkataan,p ∨ q benar bila p benar atau q benar atau kedua-dua p dan q benar.
Jadual kebenaran bagi p ∨ q :
p q p ∨ q
B B BB P BP B BP P P
Takrif TAUTOLOGI ialah pernyataan majmuk (atau usul) yang hanya mempunyai nilaiBENAR bagi semua nilai kebenaran bagi pernyataan-pernyataan komponennya.
Takrif KONTRADIKSI ialah pernyataan majmuk (atau usul) yang hanya mempunyainilai PALSU bagi semua nilai kebenaran bagi pernyataan-pernyataan komponennya.
Contoh 2p ¬p p ∨ ¬p p ∧ ¬p
B P B PP B B P
Maka p ∨ ¬p satu tautologi, manakala p ∧ ¬p satu kontradiksi.
Contoh 3 (Jadual kebenaran)
Bina jadual kebenaran sepadan dengan setiap pernyataan majmuk berikut dan kenal-pastikan tautologi dan kontradiksi.
Keputusan di baris (5) adalah serupa dengan kesimpulan di baris (3) maka hujahadalah sah.
21
1.6 Induksi matematik
Prinsip induksi matematik
Biar P (n) satu pernyataan (matematik) bagi setiap integer positif n. Sekiranya
1. P (1) benar, dan
2. P (k) benar mengimplikasikan P (k+1) benar untuk sebarang integer positif k, makaP (n) benar untuk semua integer positif n.
Dalam syarat (2) di atas kita anggapkan P (k) benar dan gunakan ini untuk membuktikanP (k + 1) benar. Jika ini berlaku, maka boleh disimpulkan P (n) benar untuk semua n.
Contoh 15 Buktikan secara induksi matematik bahawa bagi setiap integer positif n,
(a) 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2
(b)n∑i=1
1u(u+ 1)
=n
n+ 1
(c) 6n+2 + 72n+1 dapat dibahagi dengan 43.
Penyelesaian
(a) Biar P (n): 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2.
(1) Bagi P (1),sebelah kiri = 1
sebelah kanan = 12 = 1 = sebelah kiri
Maka P (1) benar.
(2) Andaikan P (k): 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 (?) benar. Bagi P (k + 1),
sebelah kiri = 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) + (2k + 1)
= k2 + (2k + 1) dari (?)
= (k + 1)2
sebelah kanan = (k + 1)2 = sebelah kiri, iaitu P (k + 1) benarmaka P (k)→ P (k + 1)
22
Oleh itu, pernyataanP (n): 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2
BENAR untuk semua integer integer positif.
(b) Biar P (n):n∑u=1
1u(u+ 1)
=n
n+ 1
(1) Bagi P (1),
sebelah kiri =1∑
u=1
11 · 2 =
12,
sebelah kanan =1
1 + 1=
12
= sebelah kiri.
Maka P (1) benar.
(2) Andaikan P (k): 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2k − 1) = k2 (?) benar. Bagi P (k + 1),
sebelah kiri =k+1∑u=1
1u(u+ 1)
=k∑u=1
1u(u+ 1)
+1
(k + 1)(k + 2)
=k
k + 1+
1(k + 1)(k + 2)
dari (?)
=k2 + 2k + 1
(k + 1)(k + 2)=
(k + 1)2
(k + 1)(k + 2)
=k + 1k + 2
sebelah kanan =k + 1
(k + 1) + 1=k + 1k + 2
= sebelah kiri
maka P (k)→ P (k + 1).
Oleh itu, pernyataan
P (n):n∑u=1
1u(u+ 1)
=n
n+ 1
BENAR untuk semua integer positif n.
23
(c) Biar P (n): 6n+2 + 72n+1 dapat dibahagi dengan 43.
(1) Bagi P (1), 63 + 73 = 216 + 343 = 559 = 13 · 43 dapat dibahagi oleh 43.
Maka P (1) benar.
(2) Andaikan P (k): 6k+2 + 72k+1 dapat dibahagi dengan 43 iaitu 6k+2 + 72k+1 = 43Tbagi suatu integer T, (?).
Bagi P (k + 1),
6(k+1)+2 + 72(k+1)+1 = 6k+3 + 72k+3
= 6(6k+2) + 6(72k+1)− 6(72k+1) + 72k+3
= 6(6k+2 + 72k+1) + 72k+1(−6 + 72)
= 6(43T ) + 72k+1(43) dari (?)
= 43(6T + 72k+1) dapat dibahagi dengan 43
maka P (k)→ P (k + 1).
Oleh itu pernyataan
P (n): 6n+2 + 72n+1 dapat dibahagi dengan 43
BENAR untuk semua integer positif n.
24
1.7 Teorem Binomial
Takrif
1. ‘n faktorial’, n! ditakrifkan sebagai n! = 1 · 2 · 3 · · ·n.
2. 0! = 1.
“Binomial ≡ Bi + nomial = Polinomial” dengan dua (bi) sebutan (di sini x dan y).
Perhatikan kembangan berikut:
(x+ y)0 = 1
(x+ y)1 = x+ y
(x+ y)2 = x2 + 2xy + y2
(x+ y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x+ y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
...
(x+ y)n = xn +(n
1
)xn−1y1 +
(n
2
)xn−2y2 + · · ·+
(n
r
)xn−ryr + · · ·
+(
n
n− 2
)x2yn−2 +
(n
n− 1
)x1yn−1 + yn
Dalam bentuk sigma, (x+ y)n =n∑r=0
(n
r
)xn−ryr.
Pemerhatian
1. Setiap kembangan mempunyai n+ 1 sebutan.
2. Terdapat simetri dalam sebutan x dan y. Kuasa x berkurangan dengan 1 bagi setiapsebutan (dari xn ke x0), manakala kuasa y bertambah dengan 1 bagi setiap sebutan y0 keyn), tetapi jumlah kuasa setiap sebutan ialah n[ = (n− r) + r].
25
3. Pekali setiap kembangan bertambah dan berkurang secara simetri. Pekali-pekali ini di-namakan pekali (atau koefisien) binomial dan ditandakan dengan(
n
r
)=n(n− 1)(n− 2) · · · (n− r + 1)
1 · 2 · 3 · · · r =n!
r!(n− r)! =(
n
n− r
)di mana
(n0
)=(nn
)= 1.
Segitiga Pascal terbentuk daripada pekali-pekali Binomial.
(x+y) 0 :
(x+y) :2
(x+y) :1
(x+y) :3
(x+y) :8
(x+y) :7
(x+y) :6
(x+y) :5
(x+y) :4
1 288 56 70 56 28 8 1
71 35 35 21 7
1
21
6 15 15 6
1 5
20
10 10 5
1 1
1
1
1
4 46
1 3 3 1
11 2
1 1
1
Catatan Setiap sebutan dalam sebarang baris merupakan hasiltambah dua sebutan ter-dekat baris sebelumnya. Contohnya, bagi
Di sini, n = 8 dan r = 6− 1 = 5. Oleh itu, sebutan keenam ialah(85
)a8−5(2b)5 =
(85
)a3 · 32b5 =
8 · 7 · 61 · 2 · 3 · 32a3b5 = 1792a3b5.
(c) Gunakan induksi.
27
2 Teori set
Takrif Set adalah sebarang himpunan objek-objek yang tertakrif rapi. Objek-objek terse-but dipanggil unsur-unsur atau ahli-ahli set.
Tandaan: Huruf besar A, B, C . . . untuk set.
Huruf kecil a, b, c . . . untuk unsur-unsur dalam set.
Sebagai contoh, katakan A adalah set semua integer positif. Ada dua cara untuk menulisset A:
(1) Senaraikan ahli-ahli A:A = {1, 2, 3, . . .}.
(2) Memberikan sifat-sifat yang menentukan ahli-ahli A:
A = {n | n integer positif}.
Dibaca “A adalah set dengan ahli-ahli n yang mana n adalah integer positif.”
Catatan Dua set dikatakan sama jika dan hanya jika kedua-duanya mempunyai unsuryang sama.
Jika p unsur bagi set A kita tulis p ∈ A.
Jika p bukan unsur bagi set A kita tulis p /∈ A.
Contoh 17 Katakan
E = {x | x2 − 3x+ 2 = 0} F = {1, 2}
G = {1, 2, 2, 1} H = {0, 1}I = {3, 0}
MakaE = {1, 2} = F = G
F 6= H, F 6= I, H 6= I
1 ∈ E, 2 ∈ E, tetapi 0 ∈ E, 2 /∈ H, 1 /∈ I.
Catatan Semua set tidak berubah walaupun unsur-unsurnya diatur semula atau diulang.Misalnya
G = {1, 2, 2, 1} = {2, 1} = {1, 2}.
28
Takrif Subset Jika semua unsur dalam A terkandung dalam B, maka A dikatakan subsetbagi B, dan ditandakan A ⊆ B atau B ⊇ A. Misalnya, {1, 2} ⊆ {1, 2, 3}.
Bagi sebarang set tak-kosong A, adalah benar A ⊆ A.
Takrif Set semesta (universal set) ialah satu set tetap U yang mengandungi semuaset yang sedang dibincangkan.
Misalnya, bila kita mempertimbangkan set-set yang unsur-unsurnya terdiri dari manusia,kita boleh mengambil set semua manusia di dalam dunia sebagai set semesta U .
Takrif Set kosong ialah set tanpa unsur, ditandakan ∅.
Teorem 2.1
(i) Untuk semua set A, ∅ ⊆ A ⊆ U .
(ii) Untuk semua set A, A ⊆ A.
(iii) Jika A ⊆ B dan B ⊆ C maka A ⊆ C.
(iv) A = B ⇔ A ⊆ B dan B ⊆ A.
Contoh 18 Subset-subset dari sistem nombor:
N = set nombor jati (natural number)= {1, 2, 3, . . .}
Z = set integer= {. . . ,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Q = set nombor nisbah (rational numbers)
={ab
∣∣∣ a, b ∈ Z, b 6= 0}
Q′ = set nombor tak nisbah (irrational numbers)= {x | x nombor nyata, x /∈ Q}
R = set nombor nyata iaitu Q ∪Q′
C = set nombor kompleks= {z | z = a+ bi, a, b ∈ R}
29
Nombor kompleks
Nombor nyata
Nombor tak−nisbah Nombor nisbah
Nombor integer
Nombor jati
Didapati N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C dan Q′ ⊆ R ⊆ C.
Apabila kita membincangkan set-set yang terdiri dari nombor nyata sahaja, kita mengam-bil R sebagai set semesta.
2.1 Operasi set
1. Kesatuan (union) set A dan B
A ∪B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}.
2. Persilangan (intersection) set A dan B
A ∩B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}.
3. Pelengkap relatif (relative complement) set A terhadap set B atau beza antara Adan B
A \B = {x | x ∈ A tetapi x /∈ B}.
4. Pelengkap mutlak (ringkasnya pelengkap) set A
A′ = U \A = {x | x ∈ U tetapi x /∈ B}.
30
2.2 Gambarajah Venn
Dalam gambarajah ini, set semesta diwakili oleh segiempat tepat dan set-set yang dibin-cangkan diwakili oleh rantau-rantau (regions) di dalamnya.
A =B 0
A B A = AU
A =B 0
A B
A B U A B
A B A U
U
U
UA B
Catatan
(i) A ⊆ A ∪B, A ∩B ⊆ A.
(ii) A \B = A \ (A ∩B) = (A ∪B) \B.
(iii) Syarat A ⊆ B setara dengan setiap syarat berikut:
A ∪B = B, A ∩B = A, B′ ⊆ A′, A \B = ∅.
31
Contoh 19 Biar
U = {x | x nombor jati, 1 ≤ x ≤ 9}A = {x | x nombor jati, 1 ≤ x ≤ 5}B = {x | x nombor jati, 4 ≤ x ≤ 7}C = {x | x nombor ganjil, 0 < x < 10} danD = {x | x nombor genap, 0 < x < 9}
Tentukan
a. A ∪B, A ∪C, A ∪Db. A ∩B, A ∩C, B ∩D, C ∩Dc. A \B, B \ C, (C ∪D)′
Prinsip-prinsip pembilangan di atas boleh diitlakkan kepada 4 set dan sebagainya.
Contoh 21 Dalam satu kaji selidik yang dijalankan, terdapat 100 daripada 120 firmaelektronik mengeluarkan sekurang-kurangnya satu jenis produk yang terdiri daripada kom-puter peribadi, televisyen dan peti sejuk. Maklumat-maklumat berikut diperolehi:
65 firma mengeluarkan komputer peribadi45 firma mengeluarkan televisyen42 firma mengeluarkan peti sejuk20 firma mengeluarkan komputer peribadi dan televisyen25 firma mengeluarkan komputer peribadi dan peti sejuk15 firma mengeluarkan televisyen dan peti sejuk
36
Tentukan bilangan firma yang mengeluarkan
(a) ketiga-tiga jenis produk
(b) hanya dua jenis produk sahaja
(c) hanya satu jenis produk sahaja
Penyelesaian Biar
K = {firma mengeluarkan komputer}
T = {firma mengeluarkan televisyen}
P = {firma mengeluarkan peti sejuk}
Diberi
n(K ∪ T ∪ P ) = 100
n(K) = 65 n(T ) = 45 n(P ) = 42
n(K ∩ T ) = 20 n(K ∩ P ) = 25 n(T ∩ P ) = 15
(a) Dari rumus,
n(K ∪ T ∪ P ) = n(K) + n(T ) + n(P )− n(K ∩ T )− n(K ∩ P )− n(T ∩ P )+ n(K ∩ T ∩ P )
maka 100 = 65 + 45 + 42− (20 + 25 + 15) + n(K ∩ T ∩ P ) berikann(K ∩ T ∩ P ) = 100− 152 + 60 = 8.
Terdapat 8 firma yang mengeluarkan ketiga-tiga produk.
37
(b) Seterusnya (lihat gambarajah Venn),
K P
T
8
17
712
Oleh itu,
bilangan firma yang mengeluarkan komputer dan televisyen sahaja ialahn(K ∩ T )− 8 = 20− 8 = 12;
bilangan firma yang mengeluarkan komputer dan peti sejuk sahaja ialahn(K ∩ P )− 8 = 25− 8 = 17;
bilangan firma yang mengeluarkan televisyen dan peti sejuk sahaja ialahn(T ∩ P )− 8 = 15− 8 = 7.
Maka terdapat 12 + 17 + 7 = 36 firma yang mengeluarkan hanya dua produk sahaja.
(c) Seterusnya (lihat gambarajah Venn),
12
T
78
P17K
18
28 10
bilangan firma yang mengeluarkan komputer sahaja ialah n(K)−12−8−17 = 65−37 = 28;
bilangan firma yang mengeluarkan televisyen sahaja ialah n(T )−12−8−7 = 45−27 = 18;
bilangan firma yang mengeluarkan peti sejuk sahaja ialah n(P )−7−8−17 = 42−32 = 10.
Maka terdapat 28+18+10 = 56 firma yang mengeluarkan hanya satu jenis produk sahaja.
Catatan Terdapat 120 − 100 firma yang tidak mengeluarkan sebarang tiga produk diatas.
38
3 Set hasildarab (product sets)
Takrif Andaikan A dan B sebarang set. Maka hasildarab Cartesian A × B diberikanoleh
A×B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.Unsur-unsur (a, b) dalam set A×B disebut pasangan tertib.
Perhatikan A×B 6= B ×A.
Contoh 22 Andaikan A = {1, 2} dan B = {a, b, c}. Maka
Maka graf terarah yang sepadan adalah seperti berikut:
1 2
3 4
44
3.3 Sifat-sifat hubungan ke atas suatu set
Biar R satu hubungan ke atas A.
(1) R dikatakan refleksif jika ∀x ∈ A, xRx.
(2) R dikatakan bersimetri jika xRy ⇒ yRx.
(3) R dikatakan transitif jika xRy dan yRz ⇒ xRz.
(4) R dikatakan hubungan setara (equivalence relation) jika R refleksif, bersimetridan transitif.
Contoh 25 Tentukan sifat-sifat hubungan ke atas A = {1, 2, 3} yang berikut:
(a) R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 3)}
(b) S = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}
Penyelesaian
(a) R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 3)}
(1) 2 ∈ A tetapi 2 6R 2 maka R tidak refleksif.
(2) 2R 3 tetapi 3 6R 2 maka R tidak bersimetri.
(3) 1R 2 dan 2R 3 tetapi 1 6R 3 maka R tidak transitif.
(b) Didapati:(1) 1 ∈ A dan 1 S 1
2 ∈ A dan 2 S 23 ∈ A dan 3 S 3
maka S refleksif.
(2) 1 S 1→ 2 S 1 maka S bersimetri.
(3) 1 S 1 dan 1 S 1 → 1 S 21 S 2 dan 2 S 1 → 1 S 11 S 2 dan 2 S 2 → 1 S 22 S 1 dan 1 S 1 → 2 S 12 S 1 dan 1 S 2 → 2 S 22 S 2 dan 2 S 1 → 2 S 1
maka S transitif.
Jadi S refleksif, bersimetri dan transitif. Oleh itu S satu hubungan setara ke atas set A.
45
Contoh 26 Bagi setiap kes di bawah, tentukan sifat-sifat hubungan R ke atas set A yangdiberi:
(a) A = N (set nombor asli), hubungan R: “x < y”.
(b) A = {garis lurus di satah-xy} hubungan R: “x serenjang dengan y”.
(c) A = R (set nombor nyata), hubungan R: “x = y”.
Penyelesaian
(a) Biar x, y, z ∈ N = {1, 2, 3, . . .}• R tidak refleksif kerana tidak benar x < x.
• R tidak bersimetri kerana, misalnya, 1 < 2, tetapi 2 6< 1.
• R transitif kerana x < y dan y < z ⇒ x < y.
(b) Biar x, y, z ∈ set garis lurus di satah-xy.
• R tidak refleksif kerana x tidak serenjang dengan x.
• R bersimetri kerana jika x serenjang dengan y, maka y serenjang dengan x.
• R tidak transitif kerana jika x serenjang dengan y dan y serenjang dengan z makax selari dengan z dan tidak serenjang dengan z.
(c) Biar x, y, z ∈ R (set nombor nyata).
• R refleksif kerana bagi semua x ∈ R, x = x.
• R bersimetri kerana x = y ⇒ y = x.
• R transitif kerana x = y dan y = z ⇒ x = z. Oleh kerana R refleksif, bersimetridan transitif, maka R adalah hubungan setara.
46
4 Fungsi
Takrif Katakan A dan B merupakan dua set. Maka suatu fungsi f dari A ke B ialahsuatu operasi yang menghantar setiap unsur x dari A kepada satu dan hanya satu unsury dalam B.
• Unsur y disebut “imej x di bawah fungsi f” atau “nilai fungsi f pada x”, danditandakan f(x).
• Domain (f) ialah set A,
• Ko-domain (f) ialah set B, dan
• Julat (f) = {y | y = f(x), x ∈ A} = set semua nilai fungsi f
f(x)
Domain
f
fJulat x
f fKo−domain
Fungsi juga disebut “pemetaan”, dan f dikatakan “memeta set A ke set B atau “memetaunsur x dari A kepada unsur y dari B.
Tandaan:
f :A −→ B
atau Af−→ B
atau f : x −→ f(x)
atau y = f(x)
47
4.1 Contoh-contoh fungsi
Contoh 27 katakan A = {a, b, c, d}, B = {r, s, t, u, v} dan f :A→ B ditakrif sebagai
f(a) = s f(b) = u f(c) = r f(d) = s
a
b
c
d
rs
t
u
v
f
A B
maka Df = A dan Jf = {r, s, u} ⊂ B.
Contoh 28 Katakan
A = set semua pelajar dalam kursus SJES 1210= {Ah Seng, Ahmad, Arumugam, . . .}
B = set markah-markah yang mungkin didapati dalam peperiksaan= {0, 1, 2, . . . , 100}
dan f :A→ B menghantar pelajar kepada markahnya. Maka
f(Ah Seng) = markah yang didapati oleh Ah Sengf(Ahmad) = markah yang didapati oleh Ahmad
f(Arumugam) = markah yang didapati oleh Arumugam...
dan Df = A dan Jf = satu subset dari B.
Contoh 29 Katakan A = B = R dan f :R −→ R menghantar setiap nombor nyata kepadakuasaduanya.
Maka untuk semua x ∈ R, didapati f(x) = x2 dan
Df = R
Jf = {x2 | x ∈ R} = set nombor nyata tak negatif ⊆ R
Catatan Setiap fungsi f :A → B boleh dianggap sebagai hubungan dari A ke B yangdiberi oleh
f ={
(x, y) | y = f(x), x ∈ A}
={
(x, f(x)) | x ∈ A}
48
Perhatikan bahawa f mempunyai sifat-sifat berikut:
• Df = A
• untuk semua x ∈ A, wujudnya satu dan hanya satu y ∈ B supaya (x, y) ∈ f .
Sebaliknya, satu hubungan R dari A ke B adalah fungsi jika syarat-syarat di atas dipenuhi.
Contoh 30 Andaikan A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} dan
R1 ={
(1, 5), (3, 6)}R2 =
{(1, 4), (1, 5), (2, 5), (3, 6)}
R3 ={
(1, 4), (2, 4), (3, 5)}
Hubungan yang manakah merupakan fungsi?
Penyelesaian
R1 bukan fungsi kerana DR1 = {1, 3} 6= A.
R2 bukan fungsi kerana (1, 4) ∈ R2 dan (1, 5) ∈ R2 tetapi 4 6= 5.
R3 adalah fungsi kerana
(1) DR3 = {1, 2, 3} = A,
(2) Bagi setiap x ∈ A, terdapat satu dan hanya satu y supaya (x, y) ∈ R3.
49
4.2 Graf fungsi
Graf fungsi ialah gambarajah koordinatnya.
Fungsi-fungsi yang sering digunakan dalam matematik ialah fungsi-fungsi berbentukf :A −→ R dengan A ⊆ R, misalnya A satu selang a ≤ x ≤ b iaitu A = {x | a ≤ x ≤ b}.Fungsi-fungsi seperti ini mempunyai graf yang merupakan lengkungan.
Contoh 31 Lakarkan graf bagi fungsi berikut:
(a) f(x) = x+ 2 −2 ≤ x ≤ 3
(b) f(x) =x2 − 4x− 2
−2 ≤ x ≤ 3, x 6= 2
(c) f(x) ={x+ 2 bagi x 6= 22 bagi x = 2 −2 ≤ x ≤ 3
(d) f(x) = 12x
2 −3 ≤ x ≤ 3
(e) f(x) =
x+ 2 bagi x ≤ 012x
2 bagi 0 < x ≤ 2
1 bagi x > 2
x ∈ R
Penyelesaian
(a) y = x+ 2, −2 ≤ x ≤ 3.
yx
−2
−1
0
1
2
3
0
1
2
3
4
5
−1−2 0 1 2 3
1
2
3
4
5
x
y
50
(b) Perhatikan bahawa y ={x+ 2 bagi x 6= 2, −2 ≤ x ≤ 3tidak tertakrif bagi x = 2 .
terputus
yx
−2
−1
0
1
2
3
0
1
2
3
5
−1−2 0 1 2 3
1
2
3
4
5
x
y
tiada nilai
y=x+2(x=2)
(c) y ={x+ 2 bagi x 6= 22 bagi x = 2 di mana −2 ≤ x ≤ 3.
(x=2)
yx
−2
−1
0
1
2
3
0
1
2
3
5
−1−2 0 1 2 3
1
2
3
4
5
x
y
2
y=x+2
titik terpencil
(d) y =12x2 , −3 ≤ x ≤ 3.
yx
−2
−3
−1
3
2
1
0
0.5
0.5
4.5
4.5
2
0
2
−1−2 0 1 2 3
1
2
3
4
5
x
y
−3
51
(e) y =
x+ 2 bagi x ≤ 012x2 bagi x = 2
1 bagi x > 2
x ∈ R.
1
1
2
3
2 3x
7654−1−2−3−4−6 −50
52
4.3 Pengelasan fungsi (classification of functions)
Takrif Fungsi f :A⇒ B dikatakan satu-satu jika bagi a, b ∈ A,
a 6= b→ f(a) 6= f(b)
atau f(a) = f(b)⇒ a = b (bentuk kontrapositif).
A B A B
a
b
f(a)
f(b)
a
b
bukan satu ke satusatu ke satusatu ke satu
Contoh 32 Di antara fungsi f1:A → B, f2:B → C, f3:C → D dan f4:D → E yangditakrifkan oleh gambarajah di bawah, yang manakah merupakan satu-satu?
a
b
c
1
2
3
4
r
s
t
u
v
w
x
y
z
f1
f3
f4
f2
A B C D E
Penyelesaian
f1 fungsi 1–1 kerana f1(a), f1(b) dan f1(c) semuanya tak sama.
f2 fungsi 1–1 kerana f2(1), f2(2), f2(3) dan f4(3) semuanya tak sama.
f3 bukan fungsi 1–1 kerana f3(r) = v = f3(u) tetapi r 6= w.
f4 bukan fungsi 1–1 kerana f4(v) = z = f4(w) tetapi v 6= w.
53
Takrif Fungsi f :A −→ B dikatakan menyeluruh jika Jf = B atau untuk semua y ∈ Bwujudnya x ∈ A supaya f(x) = y.
Julat = B
} Julat = B
A B
f
bukan menyeluruh
f
menyeluruh
A B
Contoh 33 Di antara fungsi-fungsi f1, f2, f3 dan f4 dalam contoh di atas, yang manakahmerupakan fungsi menyeluruh?
Penyelesaian
f1 bukan menyeluruh kerana Jf1 = {1, 2, 4} 6= B
f2 menyeluruh kerana Jf2 = {r, s, t, u} = C
f3 menyeluruh kerana Jf3 = {v, w} = D
f4 bukan menyeluruh kerana Jf4 = {z} 6= E
Catatan
Contoh-contoh di atas menunjukkan ke semua (iaitu 4) kemungkinan:
f1 1–1, bukan menyeluruh
f2 1–1 dan menyeluruh
f3 bukan 1–1, menyeluruh
f4 bukan 1–1 dan bukan menyeluruh
54
4.4 Penggunaan graf untuk pengelasan
Biar f :A→ R, (A ⊆ R).
1. Fungsi f adalah 1–1 jika dan hanya jika setiap garis lurus mendatar memotong grafnyapada selebih-lebihnya satu titik.[ Jadi jika terdapat garis lurus mendatar yang memotong grafnya pada lebih dari satutitik, maka f bukan 1–1 ]
= = f(x )f(x ) = =f(x ) f(x )tetapi
satu ke satu bukan satu ke satu
x1
x2
x
y
x1
x2
x1
x2 21 21x
2x1
x
y
2. Fungsi f menyeluruh jika dan hanya jika setiap garis lurus mendatar memotong grafnyapada sekurang-kurangnya satu titik.[ Jadi jika terdapat garis lurus mendatar yang tidak memotong grafnya, maka f bukanmenyeluruh. ]
f(x )wujud supaya f(x )supayatiada
menyeluruh bukan menyeluruh
x1 11
y =
x1
y = y1
x1 11
y =
y = y1
x
y y
x
3. Fungsi f 1–1 dan menyeluruh jika dan hanya jika setiap garis lurus mendatar memotonggrafnya pada tepat-tepat satu titik.
55
Contoh 34
Perhatikan fungsi fi:R −→ R (i = 1, 2, 3, 4) berikut:
(a) f1(x) = x2 (b) f2(x) = 2x
(c) f3(x) = x3 − 2x2 − 5x+ 6 (d) f4(x) = x3
Yang manakah 1–1, menyeluruh, kedua-duanya, bukan kedua-duanya?
Penyelesaian Lakarkan graf bagi setiap fungsi.
(a) • wujud garis mendatar yangmemotong graf pada dua titik.Maka f1 bukan satu ke satu.
• wujud garis mendatar yang tidakmemotong graf. Maka f1 bukanmenyeluruh.
2y=x
(b) • tiada garis mendatar yang me-motong graf pada lebih dari satutitik. Maka f2 bukan satu kesatu.
• wujud garis mendatar yang tidakmemotong graf. Maka f2 bukanmenyeluruh.
xy=2
(0,1)
(c) • wujud garis mendatar yang me-motong graf pada lebih dari satutitik. Maka f3 bukan satu kesatu.
• setiap garis mendatar memotonggraf. Maka f3 menyeluruh.
3y=x − 2x − 5x + 62
56
(d) • setiap garis mendatar memotonggraf pada tepat-tepat satu titik.Maka f4 satu ke satu dan me-nyeluruh.
y=x3
Catatan
1. Fungsi 1–1 juga disebut fungsi injektif.
2. Fungsi menyeluruh juga disebut fungsi surjektif.
3. Fungsi 1–1 dan menyeluruh juga disebut fungsi bijektif.
57
4.5 Fungsi Songsang (inverse function)
Jika f :A −→ B merupakan fungsi 1–1 dan menyeluruh, maka wujud fungsi songsangf−1:B −→ A.
Contoh 35 Biar f :B −→ C ditakrif oleh gambarajah di bawah:
f
1
234 u
s
r
t
B C
iaitu f(1) = r, f(2) = t, f(3) = u dan f(4) = s.
Kita sudah menunjukkan (lihat contoh dahulu) bahawa f 1–1 dan menyeluruh. Makawujudnya f−1:C → B diberi oleh gambarajah di bawah:
f -1
1
234 u
s
r
t
B C
iaitu iaitu f−1(r) = 1, f−1(s) = 4, f−1(t) = 2 dan f−1(u) = 3.
Contoh 36 Biar f :R → R ditakrif oleh f(x) = x3. Kita sudah menunjukkan bahawa f1–1 dan menyeluruh. Maka wujudnya f−1:R → R. Apakah formula yang menakrifkanf−1 ?
Penyelesaian Jika f : x→ y, (x, y ∈ R), maka f−1: y→ x Di sini y = x3, maka x = y1/3.Oleh itu f−1: y → y1/3 iaitu f−1 ditakrifkan oleh f−1(y) = y1/3.
58
4.6 Fungsi gubahan (composite function)
Pertimbangkan dua fungsi f :A −→ B dan g:B −→ C.
f g
a f(a) g(f(a))
A B C
Untuk semua a ∈ A, maka f memetakan a kepada f(a) di dalam B. Sekarang g pulamemetakan a kepada g(f(a)). Fungsi dari A ke C yang memetakan a kepada g(f(a))disebut fungsi gubahan f dan g dan ditandakan g ◦ f , iaitu
g ◦ f :A→ C
ialah fungsi yang ditakrifkan oleh
(g ◦ f)(a) = g(f(a)).
Contoh 37 Katakan f :A→ B dan g:B → C ditakrifkan oleh gambarajah
gf
A
a
b
c
B
1
2
3
C
p
q
c
Dapatkan g ◦ f . Adakah f ◦ g wujud?
Penyelesaian Fungsi g ◦ f ialah fungsi dari A ke C. Dari gambarajah,
af−→ 2
g−→ c
bf−→ 1
g−→ q
cf−→ 2
g−→ c
maka g ◦ f = {(a, c), (b, q), (c, c)} atau (g ◦ f)(a) = c, (g ◦ f)(b) = q, (g ◦ f)(c) = c.
Bagi f ◦ g pula, tidak wujud.
59
Contoh 38 Andaikan f :R → R dan g:R → R masing-masing diberi oleh f(x) = x + 1dan g(x) = x2, x ∈ R. Dapatkan (g ◦ f)(x) dan (f ◦ g)(x). Adakah g ◦ f = f ◦ g ?
Hasil tambah, hasil tolak dan hasil darab dua polinomial juga merupakan polinomial,tetapi pada amnya, hasil bahagi suatu polinomial dengan polinomial yang lain bukan
polinomial. Ungkapan berbentukp(x)q(x)
dengan p(x) dan q(x) polinomial, disebut fungsi
nisbah (rational function).
Algoritma pembahagian
Katakan p(x) dan d(x) merupakan polinomial dengan d(x) 6= 0 dandarjah p(x) ≥ darjah q(x). Maka wujud polinomial q(x) dan r(x) yang unik supaya
p(x) = d(x) · q(x) + p(x) (?)
dengan p(x) = 0 atau darjah r(x) ≥ darjah r(x).
p(x) dikenali sebagai yang dibahagi (dividend)
d(x) dikenali sebagai pembahagi (divisor)
q(x) dikenali sebagai hasil bahagi (quotient), dan
Catatan Bila suatu polinomial dibahagi dengan ax− b atau x− ba bakinya adalah sama
tetapi hasil bahagi tidak sama.
Bukti Diberi p(x) dan d1(x) = x − ba , d2(x) = ax − b. Dari algoritma pembahagian,
wujudnya q1(x), r1(x) dan q2(x), r2(x) supaya
p(x) = q1(x)(x− b
a
)+ r1(x) (1)
dan p(x) = q2(x)(ax− b) + r2(x). (2)
Maka dari (1) p
(b
a
)= q1
(b
a
)· 0 + r1 = r1
dari (2) p
(b
a
)= q2
(b
a
)· 0 + r2 = r2
maka p
(b
a
)= r1 = r2 iaitu bakinya sama.
Contoh 46 Cari baki apabila x3 + (2 + 3i)x2 − x− i dibahagi oleh 2x+ 1.
Penyelesaian Biar p(x) = x3 + (2 + 3i)x2 − x− i. Didapati 2x+ 1 = 2[x− (−1
2)]. Maka
baki = p
(−1
2
)= −1
8+ (2 + 3i)
14
+12− i = −1
8(7− 2i).
65
Teorem baki melibatkan pembahagi linear sahaja, tetapi dengan menggunakan algoritmapembahagian dan langkah-langkah serupa, kita boleh mempertimbangkan pembahagi de-ngan darjah lebih dari satu.
Penyelesaian Didapati d(x) = x2 + 2x− 3 = (x− 1)(x+ 3). Oleh kerana d(x) berdarjah2, maka baki berbentuk ax+ b. Jadi
p(x) = 3x4 + 12x2 − 5x+ 36
= q(x)(x− 1)(x+ 3) + ax+ b
bagi suatu polinomial q(x).
Maka p(1) = a+ b = 3 + 12− 5 + 36 = 46
dan p(−3) = −3a+ b = 243 + 108 + 15 + 36 = 402
}berikan a = −89 dan b = 135.
Maka baki ialah −89x+ 135.
Contoh 48 Cari baki apabila p(x) = 3x4 +12x2−5x+36 dibahagi dengan d(x) = (x−1)2.
Penyelesaian Oleh kerana d(x) berdarjah 2, maka baki berbentuk ax+ b. Jadi
p(x) = 3x4 + 12x2 − 5x+ 36
= q(x)(x− 1)2 + ax+ b (1)
bagi suatu polinomial q(x).
Maka p(1) = a+ b = 3 + 12− 5 + 36 = 46. (2)
Sekarang bezakan (1) terhadap x,
p′(x) = 12x3 + 24x− 5
= q′(x)(x− 1)2 + q(x) · 2(x− 1) + a
maka p′(1) = 12 + 24− 5
= q′(1) · 0 + q(1) · 0 + a
berikan a = 31 dan dari (2), b = 46− 31 = 15. Maka baki = 31x+ 15.
Perhatikan bahawa kaedah yang digunakan di atas tidak membolehkan kita mencari hasilbahagi. Dengan kaedah pembahagian panjang dan pembahagian sintetik kita boleh men-dapatkan bukan sahaja baki tetapi juga hasil bahagi.
66
5.2.2 Pembahagian panjang
Katakan diberi p(x) dan pembahagi q(x).
Kita akan mencari q(x) dan r(x) supaya
p(x) = q(x) · d(x) + r(x)
dengan r(x) = 0 atau darjah r(x) < darjah d(x).
Langkah-langkah
(1) Tulis p(x) dan d(x) masing-masing dengan kuasa-kuasa x dalam aturan menurundan bagi p(x), tulis kuasa x yang tiada dengan pekali 0.
(2) Bahagikan sebutan pertama p(x) dengan sebutan pertama d(x). Hasilnya ialahsebutan pertama q(x).
(3) Darabkan sebutan pertama q(x) itu dengan d(x) dan tolak hasil darab itu dari p(x).Katakan hasilnya p1(x).
(4) Jika p1(x) = 0 atau darjah p1(x) < darjah d(x), maka p1(x) adalah baki yang dike-hendaki. Jika tidak, ulangi langkah (2) dan (3) dengan p1(x) untuk mendapatkanp2(x) dan seterusnya sehingga didapati baki yang dikehendaki.
Contoh 49 Bagi p(x) dan d(x) yang diberi di bawah, cari hasil bahagi dan bakinya bilap(x) dibahagi dengan q(x).
Hasil bahagi, q(x) = x3 + x2 + 3x+ 13 dan baki, r(x) = 38.
(b) Pembahagi = x+ (2− i) = x− (−2 + i).
x 3 x 2 x
+
2 3
1
−5−2i
−4+2i −5i 17+9i
−9i
2 −1+2i −5−7i 17
−2+i
Hasil bahagi p(x) = 2x2 + (−1 + 2i)x− (5 + 7i) dan baki, r(x) = 17.
70
(c) Pembahagi = 2x+ 1 = 2(x+ 12 ) = 2
[x− (−1
2)].
x 4 x 3 x 2 x
2−1
1
0
2 0
10 7 1 0 0
0−1−5
10 0 0
+
p(x) = (10x3 + 2x2)(x+
12
)+ 0
= (10x3 + 2x2)12
(2x+ 1) = (5x3 + x2)(2x+ 1)
Hasil bahagi, q(x) = (5x3 + x2) dan baki, r(x) = 0.
(d) Pembahagi = x2 + 2x− 3 = (x− 1)(x+ 3)
x 4 x 3 x 2 x 1
3
+
0
3 3
12 −5
15
36
10
−9 18
15
−99
10 46
3
3
3 −6 33 −89
+
1
−3
Dari pembahagian pertama,
p(x) = 3x3 + 3x2 + 15x+ 10)(x− 1) + 46
Dari pembahagian kedua,
3x3 + 3x2 + 15x+ 10 = (3x2 − 6x+ 33)(x+ 3)− 89
maka,
p(x) =[(3x2 − 6x+ 33)(x+ 3)− 89
](x− 1) + 46
= (3x2 − 6x+ 33)(x+ 3)(x− 1)− 89(x− 1) + 46
= (3x2 − 6x+ 33)(x2 + 2x− 3)− 89x+ 135
maka hasilbahagi, q(x) = 3x2 − 6x+ 33 dan baki, r(x) = −89x+ 135.
71
5.3 Faktor dan punca
Takrif Katakan p(x) dan d(x) adalah polinomial dengan
darjah d(x) ≤ darjah p(x).
Maka d(x) disebut faktor bagi p(x) jika baki apabila p(x) dibahagi dengan d(x) adalah 0iaitu p(x) = q(x) · d(x) bagi suatu polinomial q(x).
Teorem 5.2 Teorem Faktor
Polinomial linear x− a adalah faktor bagi polinomial p(x) jika dan hanya jika p(a) = 0.
Bukti
Polinomial linear x − a adalah faktor bagi polinomial p(x) jika dan hanya baki adalah 0apabila p(x) dibahagi dengan x− a. Tetapi dari teorem baki, bakinya adalah p(a). Makaungkapan x− a adalah faktor bagi p(x) jika dan hanya jika p(a) = 0.
Contoh 51 Tentukan samada x − a adalah faktor bagi p(x) = x3 − 2x2 + x − 2 dengana = 1,−1, 2,−2, i,−i.
Penyelesaian
p(1) = 1− 2 + 1− 2 = −2 6= 0. Maka x− 1 bukan faktor.
p(−1) = −1− 2− 1− 2 = −6 6= 0. Maka x+ 1 bukan faktor.
p(2) = 8− 8 + 2− 2 = 0. Maka x− 2 adalah faktor.
p(−2) = −8− 8− 2− 2 = −20 6= 0. Maka x+ 2 bukan faktor.
p(i) = −i+ 2 + i− 2 = 0. Maka x− i adalah faktor.
p(−i) = i+ 2− i− 2 = 0. Maka x+ i adalah faktor.
Takrif Jika p(x) suatu polinomial dan p(a) = 0, a ∈ C, maka a disebut punca ataupensifar bagi persamaan polinomial p(x) = 0.
72
Jadi semua pernyataan berikut adalah setara:
(1) p(a) = 0.
(2) x− a adalah faktor bagi p(x).
(3) a adalah punca atau pensifar bagi p(x).
(4) a adalah punca atau pensifar bagi persamaan p(x) = 0.
Misalnya dari contoh sebelum ini, bagi polinomial p(x) = x3 − 2x2 + x− 2,
x− 2, x+ i dan x− i adalah faktor-faktor bagi p(x).
2, −i dan i adalah punca-punca bagi p(x).
2, −i dan i adalah punca-punca bagi persamaan p(x) = 0.
73
5.4 Teorem Asas Algebra
Setiap polinomial berdarjah n > 0 mempunyai tepat-tepat n punca (di mana sebilangandaripadanya mungkin sama).
Teorem di atas membolehkan semua polinomial difaktorkan kepada faktor-faktor linear,iaitu jika
p(x) = anxn + an−1x
n−1 + an−2xn−2 + · · ·+ a1x+ a0, an 6= 0
maka wujud nombor-nombor kompleks α1, α2, . . . , αn supaya
p(x) = an(x− α1)(x− α2) · · · (x− αn)
Contoh 52 Katakan p(x) = 2x3 − 3x2 + kx + 3 di mana k pemalar. Cari nilai k supaya−1
2merupakan satu punca bagi p(x) dan cari semua punca lain bagi p(x).
Penyelesaian Di dapati p(−12 ) = −1
4 −34 −
k2 + 3 = 2− k
2 . Disebabkan −12 adalah punca
maka p(−12 ) = 2− k
2 = 0 berikan k = 4. Jadi p(x) = 2x3 − 3x2 + 4x+ 3.
Faktorkan p(x) menggunakan kaedah pembahagian panjang:
Untuk mendapatkan punca-punca lain, selesaikan x2 − 2x+ 3 = 0 yang memberikan
x =2±√
4− 122
=2± i2
√2
2= 1± i
√2.
Maka punca-punca bagi p(x) ialah −12 , 1 + i
√2, 1− i
√2.
Contoh 53 Cari polinomial p(x) berdarjah 3 yang mempunyai sifat-sifat
p(1) = p(−2) = 0, p(3) = 130 dan p(−3) = −20.
Penyelesaian Oleh kerana p(1) = p(−2) = 0, maka (x − 1)(x + 2) adalah faktor. Olehkerana p(x) berdarjah 3, maka p(x) mempunyai satu faktor linear lagi. Jadi
p(x) = a(x− 1)(x+ 2)(x− b) a, b pemalar
74
Diberi
p(3) = 130 = a · 2 · 5 · (3− b) a, b pemalar.iaitu 30a− 10ab = 130 (1)
danp(−3) = −20 = a(−4)(−1)(−3− b) a, b pemalar
iaitu − 12a− 4ab = −20 (2)
Selesaikan (1) dan (2) untuk perolehi a = 3, b = −43 . Maka
p(x) = 3(x− 1)(x+ 2)(x+
43
)= (x− 1)(x+ 2)(3x+ 4)
= (x2 + x− 2)(3x+ 4)
= 3x3 + 7x2 − 2x− 8.
75
5.5 Punca berganda (multiple roots)
Takrif Biar k suatu integer positif. Maka suatu nombor a adalah punca berkekalian kbagi polinomial p(x) jika (x− a)k adalah faktor bagi p(x) tetapi (x− a)k+1 bukan faktor.
Punca berkekalian k (bagi sebarang k) disebut punca berganda.
Catatan Punca berkekalian 2 juga disebut punca berulang.
5.5.1 Teorem punca berganda
Satu polinomial p(x) mempunyai punca a berkekalian k jika dan hanya
Biar z = x+ iy (x, y ∈ R) dan P titik (x, y) pada satah-xy. Maka z diwakili oleh (1) titikP atau (2) vektor −−→OP . Perwakilan nombor kompleks pada satah-xy disebut gambarajahArgand.
P(x,y)khayalan
x
y
z
paksi
paksi nyata
Pada gambarajah Argand, titik-titik di paksi-xmewakili nombor kompleks berbentuk a+0iiaitu nombor nyata dan titik-titik di paksi-y mewakili nombor kompleks berbentuk 0 + iyiaitu nombor khayalan. Oleh itu, paksi-x disebut paksi nyata dan paksi-y disebut paksikhayalan.
Contoh 60 Tunjukkan nombor-nombor kompleks berikut dalam gambarajah Argand:
Jadi, pada gambarajah Argand, penolakan nombor kompleks sepadan dengan penolakanvektor.
88
Perhatikan bahawa −−→QP = −→OS = z1 − z2.
Contoh 62 Diberi z = 3− i dan w = 2+3i. Tunjukkan z+w dan z−w pada gambarajahArgand.
Penyelesaian
w
(2,3)
(5,2)
(3,−1)
w
(−2,−3)
(1,−4)
z+w
zz−w
89
6.6 Bentuk polar bagi nombor kompleks
Bentuk z = x + yi bagi nombor kompleks disebut bentuk Cartesan. Sekarang, kitahendak memperkenalkan bentuk yang lain.
P(x,y)
x
y
θ
r
Biar z = x+ yi diwakili oleh −−→OP yang panjangnya r dan yang bersudut θ dengan paksi-x.
Maka (r, θ) disebut kordinat kutub/polar bagi P .
Didapati,
r =√x2 + y2 tan θ = y
x
x = r cos θ y = r sin θ.
Maka z = x+ yi = r cos θ + i(r sin θ) = r(cos θ + i sin θ).
Bentuk z seperti di atas disebut bentuk kutub/polar bagi z.
Panjang vektor −−→OP , iaitu r, disebut nilai mutlak atau modulus z (ringkasnya “mod z”)dan ditandakan |z|:
|z| =√x2 + y2.
Sudut θ disebut sudutan/argumen z dan ditandakan arg(z).
arg(z) = tan−1(yx
).
90
Catatan
(1) Bagi sebarang nombor kompleks z, |z| ≥ 0.
(2) Nilai sudut θ dianggap positif bila diukur di arah lawan jam (anti clockwise) dan negatifbila diukur di arah ikut jam (clockwise).
Contohnya, jika z = 1 + i maka arg(z) = −π4
atau 74π.
π4
π74
z(1,−1)
(3) Nilai arg(z) tidak unik: jika θ ialah satu nilai bagi arg(z), maka
θ ± 2nπ n = 0,±1,±2, . . .
juga nilai bagi arg(z).
θ θ + 2nπ
Nilai arg(z) yang terletak di antara 0 dan 2π (atau −π dan π) disebut sudutan utamabagi z. Bila dikatakan “Arg(z)”, yang dimaksudkan biasanya ialah sudutan utamanya.
(4) Nilai θ = arg(z) ialah penyelesaian persamaan
tan θ =y
x
yang mengambil kira kedudukan z di gambarajah Argand: Jika z = x+ yi,
91
π2
π2
23 π
23 π
Sukuan II Sukuan I
x < 0, y > 0 y > 0x > 0,
x < 0, x > 0,y < 0 y < 0
Sukuan III Sukuan IV
0 < π <
π < θ < < θ < 2π
< θ < π
Contoh 63 Cari modulus dan argumen(sudutan) bagi setiap nombor kompleks berikut:
(i) z1 =√
3 + i (ii) z2 = −√
3 + i (iii) z3 = −√
3− i (iv) z4 =√
3− i
Dari itu, tulis setiap nombor dalam bentuk kutub.
Penyelesaian
z1
z4
z2
z3
3 ,1)(
3( ,−1)
3 ,1)(−
3(− ,−1)
Didapati |z1| =√
(√
3)2 + 12 = 2 = |z2| = |z3| = |z4|.
Biar θ1 = arg(zi) di mana i = 1, 2, 3, 4.
Sudut θ1 diberi oleh tan θ1 = 1√3, di mana 0 < θ1 <
π2 (sukuan I),
θ1 =π
6maka z1 = 2
[cos(π
6
)+ i sin
(π6
)].
Sudut θ2 diberi oleh tan θ2 = 1−√
3= − 1√
3, di mana π
2 < θ2 < π (sukuan II),
θ2 = π − π
6=
56π maka z2 = 2
[cos(
56π
)+ i sin
(56π
)].
92
Sudut θ3 diberi oleh tan θ3 = −1−√
3= 1√
3di mana π < θ3 <
32π (sukuan III),
θ3 = π +π
6=
76π (atau − 5
6π) maka z3 = 2
[cos(
76π
)+ i sin
(76π
)]
= 2[cos(
56π
)− i sin
(56π
)].
[Perhatikan: cos(−θ) = cos θ dan sin(−θ) = − sin θ].
Sudut θ4 diberi oleh tan θ4 = −1√3
= − 1√3
di mana 32π < θ4 < 2π (sukuan IV),
θ4 = 2π − π
6=
116π (atau − 1
6π) maka z4 = 2
[cos(
116π
)+ i sin
(116π
)]
= 2[cos(
16π
)− i sin
(16π
)].
Contoh 64 Cari modulus dan argumen bagi setiap nombor kompleks berikut
Teorem 6.5 Bagi sebarang nombor kompleks z1 dan z2,
|z1 + z2| ≤ |z1 + |z2|.
Bukti
z2
z 1
z 2
z1
z2
z1
O
P
R
Q
+
Dari segitiga OPR, didapati OR ≤ OP + PR iaitu |z1 + z2| ≤ |z1 + |z2|.
6.8 Hasildarab dalam bentuk kutub
Biar z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) dan z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2).
Makaz1z2 =
[r1(cos θ1 + i sin θ1)
][r2(cos θ2 + i sin θ2)
]= r1r2
(cos θ1 + i sin θ1
)(cos θ2 + i sin θ2
)= r1r2
[(cos θ1)(cos θ2)− (sin θ1)(sin θ2)
+ i[(sin θ1)(cos θ2) + (cos θ1)(sin θ2)
]]iaitu
z1z2 = r1r2
[cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)
].
Maka |z1z2| = |z1| · |z2| dan arg(z1) arg(z2) = arg(z1) + arg(z2).
Jadi untuk mendarab z1 dengan z2, kita mendarab modulus-modulus dan menambahargumen-argumen mereka.
94
Begitu juga, boleh ditunjukkan bahawaarg(z1)arg(z2)
=r1
r2
[cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2)
].
Maka∣∣∣∣z1
z2
∣∣∣∣ =|z1||z2|
dan arg(z1
z2
)= arg(z1)− arg(z2).
Jadi untuk membahagi z1 dengan z2 kita membahagi modulus z1 dengan modulus z2 danmenolak argumen z1 dari argumen z2.
Contoh 65 Diberi z = 2[
cos(π3 ) + i sin(π3 )]
dan w =√
3[
cos(34π) + i sin(3
4π)].
Cari (i) zw (ii) z/w.
Penyelesaian
(i) zw = 2√
3[cos(π
3+
34π
)+ i sin
(π
3+
34π
)]
= 2√
3[cos(
1312π
)+ i sin
(1312π
)].
(ii)z
w=
2√3
[cos(π
3− 3
4π
)+ i sin
(π
3− 3
4π
)]
=2√3
[cos(− 5
12π
)+ i sin
(− 5
12π
)]
=2√3
[cos(
512π
)− i sin
(512π
)].
Tafsiran geometri
Biar z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) dan z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2) diwakili oleh vektor −−→OP1 dan−−→OP2 masing-masing.
1P1r
θ1
θ2
P2
r2r r21
θ1
P
Dari segi geometri, mendarab z2 dengan z1 memutar vektor −−→OP2 melalui θ1 dan mendarabpanjangnya dengan r1.
95
Ulangkaji: Sifat-sifat Modulus
Biar z0, z1, z2, . . . , zn merupakan nombor kompleks. Maka
(1) |z| ≥ 0
(2) |z| = | − z| = |z|
(3) zz = |z|2
(4) |z1 · z2| = |z1| · |z2|
(5)∣∣∣∣z1
z2
∣∣∣∣ =|z1||z2|
(6) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2| (ketaksamaan segitiga)
(7) |z1 ± z2| ≥∣∣|z1| − |z2|
∣∣ (tunjukkan!)
Catatan Sifat (4) dan (6) boleh diitlakkan masing-masing kepada
|z1 · z2 · · · zn| = |z1| · |z2| · · · |zn|
|z1 + z2 + · · ·+ zn| ≤ |z1|+ |z2|+ · · ·+ |zn|
96
6.9 Teorem DeMoivre
Bagi sebarang θ dan sebarang integer n > 0,
(cos θ + i sin θ)n = cos θ + i sin θ (?)
Bukti Guna kaedah aruhan matematik
Kes n = 0
Sebelah kiri = 1 = sebelah kanan maka (?) benar.
Kes n > 0
(I) Bila n = 1, sebelah kiri = cos θ + i sin θ = sebelah kanan.
(II) Andaikan (?) benar bagi n = k, iaitu
(cos θ + i sin θ)k = cos kθ + i sin kθ (??)
Bila n = k + 1,
sebelah kiri bagi (?) = (cos θ + i sin θ)k+1
= (cos θ + i sin θ)k(cos θ + i sin θ)
= (cos kθ + i sin kθ)(cos θ + i sin θ) dari (??)
= cos kθ cos θ − sin kθ sin θ + i [sinkθ cos θ + cos kθ sin θ]
= cos(kθ + θ) + i sin(kθ + θ)
= cos(k + 1)θ + i sin(k + 1)θ
= sebelah kanan (?) bila n = k + 1
maka bila (?) benar bagi n = k, maka (?) benar bagi n = k + 1. Dari (I) dan (II), (?)benar bagi n = 1, 2, 3, . . .
97
Kes n < 0
Biar n = −m. Maka m < 0 dan
(cos θ + i sin θ)n = (cos θ + i sin θ)−m
=1
(cos θ + i sin θ)m
=1
cosmθ + i sinmθdari kes n > 0
=1
cosmθ + i sinmθ· cosmθ − i sinmθ
cosmθ − i sinmθ= cosmθ − i sinmθ
= cos(−mθ) + i sin(−mθ)
= cosnθ + i sinnθ.
Catatan
Biar z = r(cos θ + i sin θ) dan n sebarang integer positif. Maka dari Teorem DeMoivre,didapati
zn =[r(cos θ + i sin θ)
]n = rn(cos θ + i sin θ)n = rn(cosnθ + i sinnθ),
z−n =[r(cos θ + i sin θ)
]−n = r−n(cos θ + i sin θ)−n =1rn[
cos(−nθ) + i sin(−nθ)]
iaitu1zn
=1rn
(cosnθ − i sinnθ).
Contoh 66 Jika z = 2(cos 23π + i sin 2
3π), dapatkan z12.
Penyelesaian
z12 = 212
(cos
23π + i sin
23π
)= 212(cos 8π + i sin 8π) = 212.
98
Contoh 67 Nilaikan
(1 + i
√3
1− i√
3
)10
.
Penyelesaian
Biar z = 1 + i√
3 dan w = 1− i√
3.
Maka |z| =√
4 = 2 arg(z) = tan−1(√
3) = π3 (sukuan I)
berikan z = 2(cos π3 + i sin π
3
) π3
2
Demikian juga, w = 2(cos π3 − i sinπ3 ), maka
z
w=
cos π3 + i sin π3
cos π3 − i sinπ3
=(
cosπ
3+ i sin
π
3
)(cos
π
3− i sin π
3
)−1
=(
cosπ
3+ i sin
π
3
)(cos
π
3+ i sin
π
3
)= cos
23π + i sin
23π.
Oleh itu ( zw
)10
=(
cos23π + i sin
23π
)10
= cos203π + i sin
203π
= cos(
6π +23π
)+ i sin
(6π +
23π
)
= cos(
23π
)+ i sin
(23π
)
= −12
+ i
√3
2.
99
6.10 Penggunaan Teorem DeMoivre
Contoh 68 (i) Ungkapkan cos 4θ dalam sebutan kuasa-kuasa cos θ.
(ii) Ungkapkan sin 4θ dalam sebutan kuasa-kuasa sin θ dan cos θ.
Penyelesaian Biar k = cos θ dan s = sin θ.
Maka dari teorem DeMoivre dan teorem Binomial,
cos 4θ + i sin 4θ = (k + is)4
= k4 + 4k3(is) + 6k2(is)2 + 4k(is)3 + (is)4
= k4 + 4ik3s− 6k2s2 − 4iks3 + s4
= [k4 − 6k2s2 + s4] + i[4k3s− 4ks3].
Dengan membandingkan bahagian nyata dan bahagian khayal,
cos 4θ = k4 − 6k2s2 + s4
= k4 − 6k2(1− k2) + (1− k2)2
= 8k4 − 8k2 + 1
= 8 cos4 θ − 8 cos2 θ + 1;
sin 4θ = 4k3s− 4ks3
= 4 cos3 θ sin θ − 4 cos θ sin3 θ.
Contoh 69 Tunjukkan bahawa jika z = cos θ + i sin θ dan n integer positif, maka
2 cosnθ = zn + z−n dan 2i sinnθ = zn + z−n.
Seterusnya, ungkapkan sin4 θ dalam sebutan sudut berganda bagi θ.
100
Penyelesaian Dari teorem DeMoivre,
zn = (cos θ + i sin θ)n = cosnθ + i sinnθ (1)z−n = (cos θ + i sin θ)−n = cosnθ − i sinnθ (2)
Dari (1) + (2): zn + z−n = 2 cos θ
(1) − (2): zn − z−n = 2i sin θ
Dari rumus di atas dengan n = 1,
sin θ =12i
(z − z−1)
maka sin4 θ =(
12i
)4
(z − z−1)4
=116
(z4 − 4z2 + 6− 4z−2 + z−4)
=116[(z4 + z−4)− 4(z2 + z−2) + 6
]=
116[2 cos 4θ − 8 cos 2θ + 6
]=
18[
cos 4θ − 4 cos 2θ + 3].
101
6.11 Bentuk eksponen bagi nombor kompleks
ex = 1 + x+x2
2!+x3
3!+ · · ·Dari
cosx = 1− x2
2!+x4
4!−+ · · ·
sinx = x− x3
3!+x5
5!−+ · · ·
didapati, dengan mengambil x = iθ,
eiθ = 1 + iθ +(iθ)2
2!+
(iθ)3
3!+
(iθ)4
4!+
(iθ)5
5!+
(iθ)6
6!+
(iθ)7
7!+ · · ·
=[1− θ2
2!+θ4
4!− θ6
6!+− · · ·
]+ i
[θ − θ3
3!+θ5
5!− θ7
7!+− · · ·
]= cos θ + i sin θ
iaitu eiθ = cos θ + i sin θ. (1)
Rumus ini dikenali sebagai Rumus Euler.
Dari Rumus Euler didapatie−iθ = cos θ − i sin θ. (2)
Dari (1) dan (2) perolehi,
cos θ =12
(eiθ + e−iθ) sin θ =12i
(eiθ − e−iθ).
Bagi kes θ = π perolehi eiπ = −1.
Dengan rumus Euler, nombor kompleks z = r(cos θ + i sin θ) boleh ditulis sebagai
z = reiθ.
Bentuk ini disebut bentuk eksponen bagi nombor kompleks.
Contoh 70 Ungkapkan z = 2i dalam bentuk eksponen.
Penyelesaian |z| = 2, arg(z) = π2 maka z = 2eiπ/2.
102
6.12 Punca ke-n (atau punca kuasa n)
Takrif Katakan w satu pemalar kompleks dan n satu integer positif. Maka sebarangnombor kompleks z yang memuaskan persamaan
zn = w (?)
disebut punca ke-n bagi w.
Bagi setiap n, wujud n punca ke-n yang berbeza bagi w.
Bukti Katakan w = R(cosφ+ i sinφ) dan z = r(cos θ + i sin θ) memuaskan (?). Maka
rn(cos θ + i sin θ)n = R(cosφ+ i sinφ)iaitu rn(cosnθ + i sinnθ) = R(cosφ+ i sinφ)
maka rn = R iaitu r = n√R
dan nθ = φ+ 2kπ untuk k = 0, 1, 2, 3, . . . iaitu θ =φ+ 2πk
nuntuk k = 0, 1, 2, 3, . . .
Jadi
z = n√R
(cos
φ+ 2πkn
+ i sinφ+ 2πk
n
)di mana k = 0, 1, 2, . . . , n− 1
Oleh itu punca-punca ke-n bagi R(cosφ+ i sinφ) ialah
z = n√R
(cos
φ+ 2πkn
+ i sinφ+ 2πk
n
)di mana k = 0, 1, 2, . . . , n− 1
z1
z2
z3
n2π
n2π
n2π
Rn z0
Di sini, n√R ialah punca ke-n yang positif bagi
nombor nyata R. Pada gambarajah Argand,punca-punca ke-n terletak pada bulatan ber-pusat O dan berjejari n
√R dan bezanya di an-
tara argumen punca-punca berjiran ialah 2πn .
103
Contoh 71 Cari punca-punca ke-n bagi 1 dengan (i) n = 3 dan (ii) n = 6.
Penyelesaian
(i) Didapati 1 = 1(cos 0 + i sin 0) = cos(2πk) + i sin(2πk) untuk k = 0, 1, 2, . . .
Jadi punca-punca ke-3 bagi 1 ialah
zk = cos2πk
3+ i sin
2πk3
di mana k = 0, 1, 2
iaituz0 = 1
z1 = cos2π3
+ i sin2π3
= −12
+√
32
z2 = cos4π3
+ i sin4π3
= −12−√
32.
(ii) 1 = 1(cos 0 + i sin 0) = cos(2πk) + i sin(2πk) di mana k = 0, 1, 2, . . .
Jadi punca-punca ke-6 bagi 1 ialah
wk = cos2πk
6+ i sin
2πk6
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
= cosπk
3+ i sin
πk
3k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
iaituw0 = 1 w3 = cos 3π
3 + i sin 3π3 = −1
w1 = cos π3 + i sin π3 = 1
2 +√
32 w4 = cos 4π
3 + i sin 4π3 = −1
2 −√
32
w2 = cos 2π3 + i sin 2π
3 = −12 +
√3
2 w5 = cos 5π3 + i sin 5π
3 = 12 −
√3
2 .
π23π2
3
π23
z2
z1
z0
w0
w5w4
w3
w2w1
π3
11
104
Contoh 72 Cari punca-punca ke-2 bagi w = 2 + i2√
3. Berikan jawapan dalam bentukCartesian.
Penyelesaian
Di dapati |w| =√
4 + 12 = 4 dan
arg(w) = tan−1(2√
32
)
= tan−1(√
3), (0 < arg(w) <π
2)
=π
3
Oleh itu
w = 4(
cosπ
3+ i sin
π
3
)= 4
[cos(π
3+ 2πk
)+ i sin
(π3
+ 2πk)]
k = 0, 1, 2, . . .
= 4[cos
(6k + 1)π3
+ i sin(6k + 1)π
3
]k = 0, 1, 2, . . .
Jadi punca-punca ke-2 bagi w ialah zk =√
4[cos
(6k + 1)π6
+ i sin(6k + 1)π
6
]di mana
k = 0, 1 iaituz0 = 2
[cos
π
6+ i sin
π
6
]=√
3 + i,
z1 = 2[cos
7π6
+ i sin7π6
]= −√
3− i.
π6
1z
0zπ
67 2
105
Contoh 73 Selesaikan z4 = −8i dan tunjukkan penyelesaiannya pada gambarajah Argand.
Penyelesaian
Didapati −8i = 8(cos 3π2
+ i sin 3π2
). Li-hat kedudukannya dalam gambarajahArgand:
32π
(0,−8)
Oleh itu punca-punca ke-4 bagi 8i ialah
zk = 4√
8[cos
32π + 2πk
4+ i sin
32π + 2πk
4
]k = 0, 1, 2, 3
= 4√
8[cos
(4k + 3)π8
+ i sin(4k + 3)π
8
]k = 0, 1, 2, 3
iaituz0 = 4
√8[cos 3π
8+ i sin 3π
8
]z2 = 4
√8[cos 11π
8+ i sin 11π
8
]z1 = 4
√8[cos 7π
8+ i sin 7π
8
]z3 = 4
√8[cos 15π
8+ i sin 15π
8
]Punca-puncanya dalam gambarajah Argand:
z0
z1
z2
z3
4 8
π38
106
6.13 Persamaan kompleks dan bentuk Cartesiannya
Satu persamaan dengan pembolehubah kompleks, katakan z, disebut persamaan kompleks.Contohnya
|z| = 2, arg(z) =π
3,
∣∣∣∣ z + 2iz + 2− i
∣∣∣∣ = 2
merupakan persamaan-persamaan kompleks.
Jika z = x+ iy, maka persamaan kompleks boleh ditulis dalam bentuk Cartesian iaitudalam sebutan x dan y.
Pada gambarajah Argand, z diwakili oleh titik P (x, y). Jika z berubah maka P berubahdan menyurih (‘melukis’) satu lengkung. Lengkung ini disebut lokus bagi P atau bagi z.
Contoh 74 Apakah lokus bagi z yang memuaskan |z| = 2?
Penyelesaian Biar z = x+ iy. Maka |z| = 2 memberikan√x2 + y2 = 2 iaitu x2 +y2 = 4.
Maka lokus bagi z ialah bulatan berpusat O dan berjejari 2.
Contoh 75 Apakah bentuk Cartesian bagi persamaan arg(z) = π3 dan apakah lengkung
yang diwakilinya?
Penyelesaian Biar z = x+ iy dan θ = arg(z) = π3 . Maka y
x = tan θ = tan(π3 ) =√
3 iaituy =√
3x yang merupakan satu persamaan garis lurus.
Contoh 76 Tuliskan lengkung∣∣∣∣z + 2iz − i
∣∣∣∣ = 2 dalam bentuk Cartesian.
Penyelesaian Lengkung boleh ditulis sebagai |z + 2i| = 2|z − i| atau|z + 2i|2 = 4|z − i|2 (†).
Biar z = x+ iy. Maka (†) menjadi
|x+ (y + 2)i|2 = 4|x+ (y − 1)i|2
x2 + (y + 2)2 = 4[x2 + (y − 1)2]
x2 + y2 + 4y + 4 = 4[x2 + y2 − 2y + 1]
3x2 + 3y2 − 12y = 0
x2 + y2 − 4y = 0
x2 + (y − 2)2 = 4yang merupakan persamaan bulatan berpusat (0, 2) dan berjejari 2.
107
Contoh 77 Jika |z| = 3, apakah lokus bagi nombor kompleks 2z + 1?
Penyelesaian Biar w = 2z + 1. Selesaikan untuk z untuk perolehi z = 12 (w − 1). Oleh
itu |z| = 12(w − 1)| = 1
2 |w − 1|. Oleh kerana |z| = 3 maka |w − 1| = 6.
Biar w = x+ iy. Maka
|(x− 1) + iy| = 6
|(x− 1) + iy|2 = 36atau
(x− 1)2 + y2 = 36.iaitu
Oleh itu lokus bagi w ialah bulatan berpusat (1, 0) dan berjejari 6.