Matematik sæt 11-12 Opgave 1 De fleste matematiske it-værktøjer kan tegne grafer for funktioner af to variable. Prøv om dit it værktøj kan tegne grafen for funktionen i eksempel 3, og prøv desuden at tegne grafen for f ( x,y ) =x 2 y−2 xy 2 Da det ikke kunne lade sig gøre, at tegne graferne i programmet Graph, har vi benyttet Maple. Vi starter med at definere f for funktionen f ( x,y ) =x 2 −y 2 fra eksempel 3: > Derefter tegner vi grafen i 3D ved hjælp af with(plots): > Samme fremgangsmåde er brugt for funktionen f ( x,y ) =x 2 y−2 xy 2 : > > > 1 Figur
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Matematik sæt 11-12
Opgave 1
De fleste matematiske it-værktøjer kan tegne grafer for funktioner af to variable. Prøv om dit it værktøj kan
tegne grafen for funktionen i eksempel 3, og prøv desuden at tegne grafen for f ( x , y )=x2 y−2x y2
Da det ikke kunne lade sig gøre, at tegne graferne i programmet Graph, har vi benyttet Maple.
Vi starter med at definere f for funktionen
f ( x , y )=x2− y2 fra eksempel 3:
>
Derefter tegner vi grafen i 3D ved hjælp af with(plots):
>
Samme fremgangsmåde er brugt for funktionen f ( x , y )=x2 y−2x y2:
>
> >
1
Figur 1
Figur 2
Opgave 2 og 3
Vis, at for funktionen f ( x , y )=5− x2− y2 fra eksempel 4 er N(0) en cirkel med centrum i (0,0) og radius √5.
I visse tilfælde er niveaukurverne faktisk ikke rigtige kurver.
a) Opskriv ligninger for niveaukurverne N(3), N(5) og N(6) for funktionenf ( x , y )=5− x2− y2 fra eks. 4
b) Hvilke punktmængder beskriver de tre niveaukurver? Tegn dem
c) Tegn, om muligt, med dit IT-værktøj grafen for f sammen med de vandrette planer som på figur 3 og 4
d) Giv herefter en helt generel beskrivelse af N(z) for alle z∈ R
Cirklens ligning:
Det kan ses på figuren at O⃗P svarer til cirklens radius. O⃗P=( x−0y−0)=( xy)
Da vi har to punkter: O(0,0) og P(x,y), kan vi finde længden ved hjælp af
⟺|⃗OP|=√x2+ y2=r⟺ x2+ y2=r2, hvilket svarer til en punktmængde på
cirklen med centrum i O(0,0) og radius r. Denne kaldes for cirklens ligning.
2
DefinitionLøsningsmængden til ligningen f (x, y) = k, hvor k er en opgivet konstant, betegnes N(k) og kaldes en niveaukurve for funktionen f.
Figur 3
Da vi skal tegne niveaukurven N(0), vil det sige at k=0 (definitionen) derfor sætter vi funktionen lig med 0:
f ( x , y )=5− x2− y2=0⟺5=x2+ y2
Da x2+ y2=r2 (cirklens ligning) vil det sige at N(0) viser en cirkel med radius √5og centrum i (0,0). Denne er
tegnet ind i Maple, se fig. 4:
>
>
>
>
>
> >
Ligninger for niveaukurverne:
.N (3 ) : f ( x , y )=5−x2− y2=3⟺ 5−3=x2+ y2⟺2=x2+ y2Ligningen viser punktmængden på en cirkel medr=√2 og centrum i (0,0).
.N (5 ) : f ( x , y )=5−x2− y2=5⟺ 5−5=x2+ y2⟺0=x2+ y2Ligningen viser punktetP=(0,0)
3
Figur 4
.N (6 ) : f ( x , y )=5−x2− y2=6⟺ 5−6=x2+ y2⟺−1=x2+ y2Ligningen viser her en tommængde−kan ikke værenegativ . Se figur 4.Niveaukurverne N(z) for alle z∈R viser generelt planer, der skærer z-aksen ved z.Opgave 4
Bevis, at for en lineær funktion f ( x , y )=ax+by+c er niveaukurverne parallelle rette linjer med
normalvektor (ab).
Vi ved at ligningen for en linje i planen er: a (x−x0 )+b ( y− y0 )+c=0
Da normalvektoren bare kan aflæses fra linjen er n⃗=(ab)Da f(x,y)=k betegnes N(k) (en niveaukurve), er
a (x−x0 )+b ( y− y0 )+c=k⟺a (x−x0 )+b ( y− y0 )+( c−k )=0.Linjener derfor enret linie ., og
niveaukurverne er parallelle, da de har samme retningsvektor.
Da normalvektorenn⃗ skal være vinkelret på P⃗0 P, fås: n⃗∗P⃗0P=0
Vektoren P⃗0 P er så: ( x−x0y− y0), og derfor fås (ab)( x−x0y− y0)=0Opgave 5
Gennemfør alle detaljerne i beviset for sætningen nedenfor.
I det følgende vil vi møde uligheder af formen:
ax+by ≥c
hvor a,b og c er givne tal, og vi får brug for at bestemme de punkter (x, y) i
planen, som opfylder uligheden. Først ser vi på linjen ax+by=c, der er
skitseret på figur 5 sammen med vektoren n⃗=(ab), som er en
normalvektor til linjen.
4
Figur 5
Linjen deler planen i to halvplaner, og på figuren er den halvplan, som normalvektoren n⃗ peger ind i tegnet
gråtonet. Vi betegner denne halvplan – linjen medregnet – den positive halvplan. Lad P (x0 , y0 ) være et
punkt på linjen og Q ( x , y ) et punkt i den positive halvplan. Vi kan se, at vinklen mellem n⃗ og P⃗Q ligger i
intervallet [ – π2 ; π2 ]. Dette skyldes at hvis n⃗ skal holde sig inde for den positive halvplan, må den bevæge
sig 90 ° til højre eller venstre, deraf –π2
eller + π2
.
Dette betyder, at punkterne Q i den positive halvplan lige præcis er de punkter, der opfylder uligheden
n⃗ ∙ P⃗Q ≥0. Da P⃗Q=( x−x0y− y0) kan vi regne prikproduktet på venstre side af uligheden ud, så vi får
(ab) ∙( x−x0y− y0) ≥0⟺a (x−x0 )+b ( y− y0 )≥0. Hvis vi ganger parentesen ud, fås:
ax−ax0+by−by0≥0. Lægges ax0+b y0 til på begge sider af ulighedstegnet, fås:
ax−a x0+ax0+by−by0+by 0≥ax0+by0⟺ax+by≥ax0+by 0. Da P ligger på linjen, gælder ax0+by0=c,
og vi får hermed ax+by ≥c, som er den ulighed, vi er interesseret i.
Vi har altså bevist:
Sætning
Punkterne (x, y), som opfylder uligheden ax+by ≥c, udgør den positive halvplan for linjen
ax+by=c. Denne linje kaldes begrænsningslinjen for halvplanen.
Opgave 6
Tegn selv de tre halvplaner hørende til kravene til fiber, A- og C-vitamin, og kontroller herved, at
polygonområdet på figur 10 er korrekt.
En fastfoodkæde vil gerne kunne reklamere med, at den serverer sund mad, og overvejer derfor at servere
en salat bestående af gulerødder og hvidkål som en del af alle menuer. Fastfoodkæden ønsker, at salaten
lever op til Fødevarestyrelsens anbefalinger med hensyn til indhold af fibre samt vitamin A og C.
Skema nedenfor viser forskellige oplysninger om henholdsvis gulerødder, hvidkål og appelsiner: