Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za matematiku Poslijediplomski studij: Kemijsko inženjerstvo Kolegij: Elementi inženjerske matematike Akademska godina: 2009./2010. Postdiplomant: Ivana Ćosić Matematički modeli u ekologiji Logistički model Elementi inženjerske matematike
Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za matematiku Poslijediplomski studij: Kemijsko inženjerstvo Kolegij: Elementi inženjerske matematike Akademska godina: 2009./2010. Postdiplomant: Ivana Ćosić. Matematički modeli u ekologiji Logistički model. Elementi inženjerske matematike. - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologijeZavod za matematikuPoslijediplomski studij: Kemijsko inženjerstvoKolegij: Elementi inženjerske matematikeAkademska godina: 2009./2010.Postdiplomant: Ivana Ćosić
Matematički modeli u ekologijiLogistički model
Elementi inženjerske matematike
Elementi inženjerske matematike2
Sadržaj 1. Matematički modeli u ekologiji
1.1 Uvod 1.2 Klasifikacija matematičkih modela u ekologiji
• 1.2.1 Izomorfni i homomorfmi modeli• 1.2.2 Vremenski ovisni i stacionarni modeli• 1.2.3 Modeli s usredotočenim i raspodijeljenim parametrima• 1.2.4 Modeli budućeg i prošlog vremena• 1.2.5 Kontinuirani i diskretni modeli• 1.2.6 Deterministički i stohastički modeli• 1.2.7 Analitički i numerički modeli
• 1.2.8 Dominantni i subdominantni modeli
2. Logistički model 2.1 Uvod 2.1.2 Korekcija modela. Iseljavanje i useljavanje. 2.1.3 Prihvaćanje, odbacivanje ili korigiranje modela. 2.2 Logistički model s konstantnim izlovom 2.2.1 Analitičko rješenje jednadžbe 2.2.2 Kvalitativno rješenje jednadžbe. Modeliranje u paketu MatLab 7.0
3. Literatura
Elementi inženjerske matematike3
1.Matematički modeli u ekologiji
1.1 Uvod
Matematički modeli čine naše procjene i predviđanja u ekologiji objektivnijim i pouzdanijim.
Matematički model stvarnog objekta čini ukupnost logičkih veza, ovisnosti i jednadžbi koje omogućuju proučavanje populacija, zajednica i ekosustava.
Eksperimenti na takvim objektima nisu mogući, jer mogu dovesti do promjena ili čak uništenja ekološkog objekta.
U takvim situacijama je očito da matematičko modeliranje igra ključnu ulogu u istraživanju ekosustava.
Elementi inženjerske matematike4
1.2 Klasifikacija matematičkih modela u ekologiji
1.2.1 Izomorfni i homomorfmi modeli
Matematički model je izomorfan kada su zadovoljeni sljedeći uvjeti:
i. Svaki element objekta predstavljen je odgovarajućim elementom modela i obratno.
ii. Svaka funkcija definirana elementom objekta opisana je odgovarajućom funkcijom, definirana odgovarajućim elementom modela i obratno.
iii. Svaki odnos elemenata objekta je predstavljen odgovarajućim odnosima elemenata modela i obratno.
Elementi inženjerske matematike5
Cijeli ekosustav je vrlo kompleksan i nemoguće je opisati sve značajke takvih objekata modelom.
Za homomorfni model vrijedi: sve komponente modela imaju analogne komponente u objektu, ali ne obratno!
Jasno je da su svi matematički modeli u ekologiji homomorfni.
Elementi inženjerske matematike6
1.2.2 Vremenski ovisni i stacionarni modeli
U procesu modeliranja neke od sljedećih komponenti će biti argumenti, a ostali funkcije koje ovise o tim argumentima:
Gi = f(G1,G2, . . .,Gi−1,Gi+1, . . .,Gn) (1) Gi- parametar koji želimo predvidjeti G1,G2 ,Gi−1, Gi+1 ,Gn- argumenti koji definiraju predviđeni
parametar Gi Pojednostavljeno: G = f(g) (2)
Pošto su ekološki objekti raspoređeni na određeni način u svemiru s prostornim koordinatama x,y i z i pošto se mijenjaju u vremenu t možemo pisati: G = f [g(x, y, z, t)] (3)
Kada parametar G ovisi o prostornim koordinatama i vremenu kao što je prikazano u jednadžbi (3) govorimo o vremenski ovisnom modelu.
Kada parametar G ovisi samo prostornim koordinatama kao što je prikazano u jednadžbi (4) govorimo o stacionarnom modelu.
G = f [g(x, y, z)] (4)
Elementi inženjerske matematike7
1.2.3 Modeli s usredotočenim i raspodijeljenim parametrima
Ako generalizirani argument g ovisi samo o vremenu, ne o prostornim koordinatama, kažemo da se radi o točkastom modelu ili modelu s usredotočenim parametrima.
G = f [g(t)](5)
Ako generalizirani argument g ovisi o vremenu i o prostornim koordinatama, kažemo da se radi o modelu s raspodijeljenim parametrima.
Možemo reći da: model s raspodijeljenim parametrima ~ vremenski ovisan model
Elementi inženjerske matematike8
1.2.4 Modeli budućeg i prošlog vremena
Većina se modela u ekologiji koristi za predviđanje budućih stanja ekoloških objekata, takve modele možemo nazvati modelima budućeg vremena.
U takvom slučaju nađemo predviđeni parametar G iz izraza (3) u vremenu t=0 (početak modeliranja) i onda ga definiramo u određenom trenutku u budućem vremenu tk.
Istraživanje ekoloških objekata u prošlosti relativno prema početku modeliranja je od velikog značaja.
Kada govorimo o modelima prošlog vremena: razmotrit ćemo sadašnji trenutak u vremenu tk kao početak modeliranja i definirati predviđeni parametar G za taj trenutak u vremenu; koristeći jednadžbu (3) možemo definirati predviđeni parametar g u vremenu t=0 koji leži u prošlosti prema vremenu tk.
Elementi inženjerske matematike9
1.2.5 Kontinuirani i diskretni modeli
Kontinuirani modeli predstavljaju kontinuiranu promjenu objekta u vremenu.
Ovakav tip modela nam dopušta definirati generalizirani argument g i predviđeni parametar G u izrazu (3) u svakoj točki u vremenskom intervalu [t0, tn] koji je modeliran.
Diskretni modeli koriste diskretne vremenske korake t0 < t1 <
... < ti < ... < tn za opisivanje promjene objekta modeliranja tijekom istog vremenskog intervala [t0, tn].
Elementi inženjerske matematike10
1.2.6 Deterministički i stohastički modeli
Deterministički model: tijekom procesa modeliranja generalizirani argument g u jednadžbi (3) je postavljen tako da ima jedno značenje, ali nije procijenjen u pogledu statističke raspodjele i možemo definirati egzaktnu vrijednost predviđenog parametra G.
Stohastički model: kada generalizirani argument daje raspodjelu mogućih vrijednosti karakteriziranih statističkim indeksima kao što je raspodjela, standardna devijacija itd. Predviđena vrijednost u ovom slučaju nema jedno rješenje, već čitav spektar mogućih rješenja.
Elementi inženjerske matematike11
1.2.7 Analitički i numerički modeli
U nekim slučajevima predviđeni parametar G iz izraza (3) može se definirati kao analitička funkcija generaliziranog argumenta g, takve modele zovemo analitičkim.
Pošto su ponašanja nekih matematičkih jednadžbi dobro poznata, analitički model koji opisuje stvarni objekt s jednom ili više jednadžbi dopušta nam pronalazak točne vrijednosti za svaki argument u vremenu.
Često je vrlo teško čak nemoguće naći analitički izraz za funkciju (3).
Moramo naći predviđeni parametar G iz niza izraza koji predstavljaju ovisnosti između nekih komponenti generaliziranog argumenta.
Sustav jednadžbi koje moramo simultano rješavati najčešće uz pomoć kompjutera zovemo numeričkim modelom.
Elementi inženjerske matematike12
1.2.8 Dominantni i subdomianatni modeli
Svaki matematički model se mora temeljiti na stvarnim podacima dobivenih promatranjem objekta od interesa!
Dominantni model: najprije razvijamo matematički model, a zatim promatramo objekt od interesa i validiramo model.
Subdominantni model: najprije promatramo objekt od interesa, skupljamo podatke i zatim na osnovu podataka razvijamo model.
Elementi inženjerske matematike13
Matematički modeli u ekologiji
Izomorfni Homomorfni
Model s raspodijeljenim parametrima ~ Vremenski ovisan model
Stacionarni
S usredotočenim parametrima
Modeli budućeg vremena
Kontinuirani
Deterministički
Analitički
Dominantni
Modeli prošlog vremena
Diskretni
Stohastički
Numerički
Subdominantni
Elementi inženjerske matematike14
2. Logistički model
2.1 Uvod Veličina populacije (P) koja se mijenja s vremenom (t) ne može
rasti konstantnom stopom rasta. Stopa rađanja populacije s vremenom počinje padati, a stopa umiranja rasti. Najjednostavniji model smanjenja stope rađanja i povećanja stope umiranja predložio je 1838. godine Pierre Verhulst:
r = r0 – aP (6) u = u0 + bP (7)
r = stopa rađanja u = stopa umiranja
Stopa rađanja pada proporcionalno napučenosti (tj. veličini populacije P), dok stopa umiranja raste proporcionalno napučenosti. U tom modelu za rast populacije vrijedi:
r0 = početna konstanta rađanja
u0 = početna konstanta umiranja
r0 – u0 = k0
k0 = početna stopa rasta a = konstanta po kojoj stopa rađanja pada b = konstanta po kojoj stopa umiranja raste
NOSIVI KAPACITET
Uvrštavanjem u (9) dobivamo jednadžbu logističkog rasta:
Elementi inženjerske matematike15
Krivulja logističkog rasta
Koristeći se tehnikama integralnoga računa dolazimo do egzaktne formule rasta za populaciju čija stopa opada po Verhulstovom načelu:
Elementi inženjerske matematike17
2.1.2 Korekcija modela. Iseljavanje i useljavanje.
Logistička jednadžba nije primjerena ako je u zadanoj populaciji prisutno useljavanje i iseljavanje.
Zbog toga je potrebna daljnja korekcija modela. Pretpostavimo da je iseljavanje linearno tj. uz stalnu brzinu a. Tada vrijedi pripadajuća korigirana logistička jednadžba:
Ako je a > 0 → iseljavanje Ako je a < 0 → useljavanje Ako je a = 0 → dobivamo običnu logističku jednadžbu
Elementi inženjerske matematike18
2.1.3 Prihvaćanje, odbacivanje ili korigiranje modela.
Kao globalna mjera bliskosti eksperimentalnih i teorijskih podataka služi zbroj kvadrata odstupanja
dobivenih mjerenjem iz pogodno odabranih n trenutaka t1; t2; :::; tn.
To je tzv. funkcija cilja i želimo da njena vrijednost bude što manja. Naravno,tu se postavlja pitanje što to znači da je ta vrijednost
dovoljno mala (pa da model možemo prihvatiti). Jedna od standardnih metoda za korigiranje modela jest metoda
najmanjih kvadrata. Ona se zasniva na tome da parametre u modelu izaberemo tako
da zbroj kvadrata odstupanja bude minimalan (prilagodba parametara modelu).
Elementi inženjerske matematike
2.2 Logistički model s konstantnim izlovom
Jednadžba prikazuje logistički model rasta populacije sa konstantnim izlovom opisanim parametrom a. Ukoliko je a = 0.16 što će se dogoditi ribljoj populaciji za različte početne uvjete?
k=0.2 K=5
Pretpostavke: a) ako je populacija toliko velika tako da ju okolina ne može podržavati
resursima i prostorom, tada će se populacija smanjivati(za P > K ⇒dP/dt < 0),
b) kada je populacija mala, stopa rasta populacije dP/dt je približno jednaka veličini populacije P (dP/dt ≈ kP za mali P),
c) model predviđa da će se populacija riba konstantno izlovljavati bez obzira na veličinu populacije, a zapisan je u obliku konstantog faktora a.
Elementi inženjerske matematike20
Analitičko rješenje jednadžbe Budući da je jednadžba ovog modela autonomna, slijedi da je i
separabilna pa možemo napraviti separaciju varijabli i nakon sređivanja dobivenog izraza i uvrštavanja zadanih parametara dobivamo:
Elementi inženjerske matematike21
Kvalitativno rješenje jednadžbe Modeliranje u paketu MatLab 7.0
%racunanje ravnoteznih tocaka modela syms dP P dP = 0.2*P*(1 - P/5) - 0.16; P = solve(dP);
Elementi inženjerske matematike22
P = subs(P,P); dimP = size(P, 1); %broj nul-tocaka
fprintf('Ravnotezne tocke modela su:\n'); for i = 1:dimP fprintf('P(%g)= %g\t', i, P(i)); end
fprintf('\n\nUnos pocetnih uvjeta\n');
for i = 1:dimP+1 if i == 1 fprintf('Unesite pocetni uvijet izmedju 0 i %g\n', P(i)); P1(i) = input(''); elseif i == dimP+1 fprintf('Unesite pocetni uvijet veci od %g\n', P(i-1)); P1(i) = input(''); else fprintf('Unesite pocetni uvijet izmedju %g i %g\n', P(i-1), P(i)); P1(i) = input(''); end end
for i = 1:3 s = 0; if i == 1 for j = 1:9 s = s + (Pn(i,j) - Pexp(j))^2; end rms(i) = s; else for j = 1:31 s = s + (Pn(i,j) - pexp(i-1,j))^2; end rms(i) = s; end end
Nultočke P(1)=1 i P(2)=4 su i ravnotežna rješenja zadanog modela, a to znači da ukoliko je početna populacija P(0) u trenutku t =0 jednaka nultočkama P(1) ili P(2), da je tada dP/dt = 0 i da se broj jedinki promatrane populacije (riba) neće promjeniti protokom vremena.
P = (4/7*exp(3/25*t)-1)/(-1+1/7*exp(3/25*t)) (-8*exp(3/25*t)-1)/(-1-2*exp(3/25*t)) (16*exp(3/25*t)-1)/(-1+4*exp(3/25*t))
Elementi inženjerske matematike
Kada se početna veličina populacije nalazi ispod donjeg ravnotežnog položaja, tj. kada je P(0)<1 iz grafa je očito da će populacija nakon nekog vremena isčeznuti.
Elementi inženjerske matematike26
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-15
-10
-5
0
5
t
(4/7 exp(3/25 t)-1)/(-1+1/7 exp(3/25 t))
P
Početna populacija riba je između nultočaka P(1) i P(2), dP/dt >0 što znači da se populacija postepeno povećava i asimptotski približava gornjem ravnotežnom položaju.
Elementi inženjerske matematike27
0 10 20 30 40 50 60
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4
t
(-8 exp(3/25 t)-1)/(-1-2 exp(3/25 t))
P
Ako se početna veličina populacije nalazi iznad gornjeg ravnotežnog položaja, tj. kada je P(0)>4, populacija se smanjuje (dP/dt<0) i to tako da se asimtotski približava gornjrm ravnotežnom položaju.
Elementi inženjerske matematike28
0 10 20 30 40 50 60
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
t
(16 exp(3/25 t)-1)/(-1+4 exp(3/25 t))
P
Elementi inženjerske matematike29
3. Literatura1. Classification of mathematical models in ecology, V.I.