Uvod B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa - potrebna znanja: - prirodnih znanosti (matematika, kemija, fizika, biologija, biokemija) - tehničkih znanosti AKO NEŠTO NE ZNAŠ NAPRAVITI, NI RAČUNALO TI U TOME NE MOŽE POMOĆI! (A. D. Noel) - karakteristike i oblik matematičkih modela procesa ovisni o: - prostornoj ovisnosti karakterističnih veličina procesa (procesi sa raspodijeljenim i usredotočenim parametrima) - vremenskoj ovisnosti (dinamici) karakterističnih veličina procesa (stacionarni i nestacionarni procesi) - namjeni - složenosti opisa procesa
29
Embed
matematicki modeli procesa - FKIT e-Campus v1 · Uvod B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa - potrebna znanja: - prirodnih znanosti (matematika,
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Uvod
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
- potrebna znanja: - prirodnih znanosti (matematika, kemija, fizika, biologija, biokemija) - tehničkih znanosti
AKO NEŠTO NE ZNAŠ NAPRAVITI, NI RAČUNALO TI U TOME
NE MOŽE POMOĆI! (A. D. Noel) - karakteristike i oblik matematičkih modela procesa ovisni o:
- prostornoj ovisnosti karakterističnih veličina procesa (procesi sa raspodijeljenim i usredotočenim parametrima) - vremenskoj ovisnosti (dinamici) karakterističnih veličina procesa (stacionarni i nestacionarni procesi) - namjeni - složenosti opisa procesa
Uvod
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
prostorna ovisnost karakterističnih veličina procesa
X – karakteristična veličina procesa (koncentracija, gustoća, tlak, temperatura…) XS – vrijednost karakteristične veličine procesa u stacionarnom stanju t - vrijeme
Stacionarni i nestacionarni matematički modeli procesa
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
- stacionarni matematički modeli procesa: - protočni kotlasti reaktor
( )lim StX t X
→∞=
( ) 0 za sve SX t X t tε− < ≥
d 0dXt=
ε - dozvoljena promjena vrijednosti karakteristične veličine procesa
- nestacionarni (dinamički) matematički modeli procesa: - kotlasti reaktor, promjena vremena zadržavanja – protočno kotlasti reaktor
d 0dXt≠
Diferencijalne jednadžbe i matematički modeli procesa
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
ZBOG ČEGA JE POTREBNO REALNI PROCES OPISATI DIFERENCIJALNIM JEDNADŽBAMA? - cilj matematičkog modela procesa je analitička veza između karakterističnih ulaznih i izlaznih veličina procesa ZAŠTO PRI RAZVOJU MATEMATIČKOG MODELA PROCESA NE TEŽIMO POSTAVLJANJU ALGEBARSKIH VEZA IZMEĐU ULAZNIH I IZLAZNIH VELIČINA PROCESA? - neophodna temeljna znanja o procesu - složene numeričke metode rješavanja matematičkog modela procesa (diferencijalne jednadžbe)
SVRHA MODELIRANJA!!!
Diferencijalne jednadžbe i matematički modeli procesa
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
Primjer Praćenje tijeka procesa želimo opisati matematičkim izrazom u obliku algebarske jednadžbe koja opisuje ovisnost procesnih veličina x i y.
0 10 20 30 400
20
40
60
80
100
y
x
- iz grafičkog prikaza slijedi polinomna ovisnost procesnih veličina - statističkom metodom najmanjih kvadrata - eksperimentalni model procesa vrijedi za:
- dano područje procesnih veličina - dane procesne uvjete - dani proces - moguće interpolacije, nemoguće ekstrapolacije
- izbor tipa algebarskog modela (stupanj polinoma, članovi polinoma)? - diferencijalna jednadžba - fizička slika procesa - rješenje daje algebarsku vezu ulaznih i izlaznih veličina procesa
20,02338 2,6066 100,79y x x= ⋅ − ⋅ +
0 10 20 30 400
20
40
60
80
100
y
x
Model PolynomialAdj. R-Square 0.99923
Value Standard ErrorB Intercept 100.61971 0.89935B B1 -2.59233 0.09222B B2 0.02338 0.00206
Razine razvoja matematičkih modela procesa
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
- detaljnost opisa promatranog procesa (svrha modeliranja) - brojnost fizikalno-kemijskih mehanizama uključenih u opis procesa
- molekularni ili atomski - mikroskopski - makroskopski
makroskopski mikroskopski molekularni
Razine razvoja matematičkih modela procesa
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
Molekularni modeli - “duboka” analiza procesa - detaljna slika procesa temeljena na prirodnim zakonitostima – potvrda teorijskih spoznaja - nekorisni u procesnom inženjerstvu Makroskospki modeli - globalna slika procesa Mikroskopski modeli - proučavanje prirodnih pojava uz zanemarivanje međudjelovanja na molekularnom nivou - dinamička slika procesa u trodimenzionalnom prostoru
Matematički modeli procesa
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
- kombinacija mikroskopskih i makroskopskih modela - zakoni očuvanja temelj za izvođenje diferencijalnih bilančnih jednadžbi prijenosa tvari, topline i količine gibanja - pregled temeljnih i nekih posebnih diferencijalnih bilančnih jednadžbi – ishodišta pri razvoju modela (diferencijalni element volumena – u prostoru zamišljena kocka volumena ΔV (Δx, Δy, Δz) u kojoj promjena svojstava karakterističnih veličina sustava slijedi linearnu ovisnost) PRIJENOS TVARI PRIJENOS ENERGIJE PRIJENOS KOLIČINE GIBANJA
b) gustoća i difuzivnost su konstantni, nema kemijske reakcije ni gibanja (II. Fickov zakon difuzije)
Prijenos tvari
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
1. Temeljna jednadžba
A,A, A,AA
yx zNN Nc rt x y z
δδ δδδ δ δ δ
⎛ ⎞= − + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
AA A 0c N r
tδδ
+∇ − =uur
2 2 2A A A A A A A
AB A2 2 2 0x y zc c c c c c cv v v D rt x y z x y z
δ δ δ δδ δ δ δ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + + − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2. Posebni oblici a) gustoća i difuzivnost su konstantni
2AAB A
c D ct
δδ
= ⋅∇
NA – molarni protok komponente A DAB – koeficijent difuzivnosti v – brzina strujanja c – koncentracija t - vrijeme r – brzina reakcije
Prijenos energije
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
1. Temeljne jednadžbe a) preko temperature fluida (kapljevina ili plin)
Razvoj matematičkih modela procesa na mikroskopskoj razini
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
Pojednostavljenja - ρ, µ, λ, DAB, cp konstantni - Newtonski fluidi - utjecaj unutarnjeg trenja na ukupnu energiju procesa zanemariv - utjecaji vanjskih sila jednaki na svaku točku promatranog procesnog prostora
Odstupanja od idealnosti
- turbulentni tokovi - kompleksni profili strujanja pri miješanju - viskozne kapljevine s nenewtonskim svojstvima
- kompleksni matematički modeli procesa ograničene primjenjivosti
Primjer 1.
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
Istovremeni prijenos tvari i energije pri difuziji pare kroz mirujućeg filma do hladne površine na kojoj para kondenzira. 1. Opis problema Vruća plinovita lako hlapljiva komponenta A difundira u stacionarnim uvjetima kroz mirujući film inertnog plina B do hladne površine z = 0 na kojoj kondenzira. Zadane su koncentracije i temperature na oba ruba mirujućeg filma z = 0 i z = δ.
Izračunati koncentracijski profil izražen u molnim udjelima komponente A, xA, i temperaturni profil pri istovremenom prijenosu tvari i energije.
Film
kon
denz
ata rub mirujućeg
filma
Smjer gibanja komponente A
z = 0 z = δ z
T(z)
xA(z)
T=T0, xA=xA,0 T=Tδ, xA=xA,δ
δ
Primjer 1.
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
2.-3. Definiranje mehanizama i skupljanje informacija o sustavu Pretpostavke: - istovremeni prijenos tvari i energije uzrokovan postojanjem koncentracijskih i temperaturnih gradijenata - prijenos tvari i energije se odvija kroz mirujući prostor – isključeni konvektivni mehanizmi prijenosa - smjesa plinova se ponaša kao idealni plin - tlak i fizikalna svojstva smjese plinova su konstantni u svim točkama promatranog prostora - prijenos topline radijacijom zanemariv Mehanizmi: - prijenos tvari: difuzija kao posljedica koncentracijskog gradijenta (tlačna, prisilna i termička difuzija zanemarive) - prijenos energije: vođenje topline
Primjer 1.
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
4.-5. Postavljanje modela i rješavanje modela (sustava jednadžbi) - zavisne procesne veličine, T i xA, funkcija udaljenosti z (nezavisne procesne veličine) - stacionarni proces - jednodimenzijski proces – diferencijalne jednadžbe - mikroskopske bilančne jednadžbe za prostorni bilančni element smješten u pravokutnom koordinatnom sustavu Prijenos tvari - stacionarni proces - nema kemijske reakcije - difuzija samo u smjeru osi z
AA A 0c N r
tδδ
+∇ − =uur
A 0ct
δδ
=
A 0r =
A,A
dd
zNN
z∇ =uur
Primjer 1.
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
AB AA,
A
d **(1 ) dzc D xNx z
⋅= − ⋅
−
( )A,
AB
A,
AB
A, A,0 A, A,01
1
z
z
Nz
c D
z Nc D
ex x x x
eδ
δ
⎛ ⎞⋅⎜ ⎟
⋅⎝ ⎠
⎛ ⎞⋅⎜ ⎟
⋅⎝ ⎠
−= + − ⋅
−
A,d0*
dzNz
=
- Fickov zakon za binarne smjese
- Kombinacijom * i **, te integriranjem u granicama xA,z=δ = xA,δ i xA,z=0 = xA,0 uz konstantnu gustoću toka tvari, NA,z, slijedi analitičko rješenje za koncentracijski profil
xA – molni udio komponente A, c – ukupna koncentracija komponenata, DAB – binarna difuzivnost, δ debljina mirujućeg filma
Primjer 1.
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
Prijenos energije - bilanca energije višekomponentnog sustava - stacionarni proces - nema djelovanja vanjskih gravitacijskih sila - nema prijenosa topline konvekcijom - nema prijenosa topline radijacijom - konstantna gustoća toka energije, ez, po cijelom mirujućem filmu - gustoća toka energije za višekomponentne smjese Newtonskih fluida pri konstantnom tlaku, bez djelovanja viskoznih sila - prijenos topline samo vođenjem
d 0***dzet=
( ) ( )2
1
12
n
i ii
U v e n gtδρ
δ =
⎛ ⎞⋅ + ⋅ = − ∇ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
∑r r ur
( )1
n
i ii
e T n Hλ=
≅ − − ⋅∇ + ⋅Δ∑r r
- Kombinacijom *** i ****, te integriranjem u granicama Tz=δ = Tδ i Tz=0 = T0 slijedi analitičko rješenje za temperaturni profil
Primjer 1.
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
Prijenos energije - za binarni sustav i prijenos energije u smjeru osi z - ako inertna komponenta B miruje (NB,z = 0)
A ,A 0( )pH C T TΔ = ⋅ −
( )A, ,A 0d ****dz z pTe N C T Tz
λ= − ⋅ + ⋅ ⋅ −
( )A, A B, Bddz z zTe N H N Hz
λ= − ⋅ + ⋅Δ + ⋅Δ
( )
A, ,A
A, ,A0 01
1
z p
z p
N Cz
z N C
eT T T T
e
λ
δδ
λ
⋅⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
⋅⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
−= + − ⋅
−Cp,A – molarni toplinski kapacitet pri konstantnom tlaku, ΔHA i ΔHB – standardne molarne entalpije komponenata A i B
Primjer 1.
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
- prijenos tvari neposredno utječe na prijenos energije pri istovremenom prijenosu tvari i energije - prijenos tvari nije ovisan o prijenosu energije (zanemarena termička difuzivnost) - bilanca tvari i energije – analitičko rješenje (nužne numeričke metode za složenije modele) - numeričke metode – približna rješenja - mikroskopski modeli – jasnija (detaljnija) slika zbivanja u procesu – bolje razumijevanje procesa - međuovisnost ključnih veličina sustava i parametara procesa (zavisnost Cp od T) - provjera modela i ocjena valjanosti modela – nužni koraci bez kojih je modeliranje procesa besmisleno - procjena parametara modela na temelju eksperimentalnih podataka - složenost modela
Primjer 1.
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
Uobičajene pretpostavke pri prijelazu iz mikroskopskog u makroskopski opis procesa: - osnovne jednadžbe – diferencijalne jednadžbe održanja - bilanca održanja količine gibanja se zanemaruje - stacionarni procesi - korelacijske jednadžbe (efektivni koeficijent difuzije umjesto molekularnog koeficijenta difuzije) - čepoliko strujanje -…
Makroskopski modeli procesa
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
Bilanca tvari i-te komponente - mikroskopska bilanca tvari
Bilanca tvari i-te komponente - makroskopska bilanca tvari
dd
ii i
m w rt= −Δ +
akumulacija i-te komponente u bilančnom prostornom elementu
prijenos tvari (i-te komponente) tokom fluida u bilančnom
prostornom elementu
brzina na(ne)stajanja i-te komponente kemijskom
reakcijom
brzina prijenosa i-te komponente kroz granicu
sustava
( ) ( )tz iii i
v cc r mt z
δδδ δ
⋅+ = +
akumulacija i-te komponente u bilančnom prostornom elementu
razlika brzina ulaza i izlaza tvari iz bilančnog prostornog elementa
brzina na(ne)stajanja i-te komponente kemijskom
reakcijom
( )tp z r
T TC v H Et z
δ δρ
δ δ⎛ ⎞⋅ ⋅ + = Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠
Makroskopski modeli procesa
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
Bilanca energije - mikroskopska bilanca energije
akumulacija i tok topline s tokom fluida u bilančnom
prostornom elementu
reakcijska entalpija gubitak topline u okolinu, prijenos topline kroz granicu
sustava
Bilanca tvari i-te komponente - makroskopska bilanca tvari
( )dd
mm
E U p V K P q Q W Qt= −Δ + ⋅ + + ⋅ + − +⎡ ⎤⎣ ⎦
E – ukupna energija, U – unutarnja energija, p⋅V - energija potrebna za dovod i odvođenje fluida iz sustava, K – kinetička energija, P – potencijalna energija, qm – maseni protok, Q – tok topline kroz granicu sustava, W – rad sustava na okolinu, Qm tok topline zbog prijenosa tvari kroz granicu sustava
Primjer 2.
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
Mikroskopski i makroskopski model procesa Bilance tvari i energije za kemijsku reakciju koja se odvija u cijevnom reaktoru - turbulentno strujanje - stacionarni proces - sve komponentne brzine, osim brzine strujanja u smjeru osi z, vz, su jednake nuli - komponente reakcijskog sustava su nestlačivi fluidi - cilindrični koordinatni sustav
Primjer 2.
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
Model 1. - koeficijenti aksijalnog i radijalnog povratnog miješanja i koeficijenti aksijalnog i radijalnog prijenosa topline su ovisni o radijalnoj dimenziji, uspostavljeno vektorsko polje brzina strujanja određeno eksperimentalno (brzina strujanja u radijalnom smjeru promjenjiva) Bilanca tvari Dz = Dz(r), DR = DR(r), vz = vz(r)
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
Model 2. - koeficijenti aksijalnog i radijalnog povratnog miješanja i koeficijenti aksijalnog i radijalnog prijenosa topline su konstantni, uspostavljeno vektorsko polje brzina strujanja određeno eksperimentalno (brzina strujanja u radijalnom smjeru promjenjiva) Bilanca tvari Dz = konst., DR = konst., vz = vz(r)
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
Model 3. - koeficijenti aksijalnog i radijalnog povratnog miješanja i koeficijenti aksijalnog i radijalnog prijenosa topline su konstantni, brzina strujanja konstantna Bilanca tvari Dz = DL = konst., DR = konst., vz = vz(r)
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
Model 4. - zanemarivi radijalni gradijenti (temperatura i koncentracija u svakoj točki poprečnog presjeka jednake), jednodimenzionalni model – diferencijalne jednadžbe, brzina strujanja konstantna Bilanca tvari DL = konst., vz = konst.
2
2
d dd d
i iz z ic cv D rz z
⋅ = ⋅ + ( )2
2
d d 2d dp z z r i ST TC v H r U T Tz z R
ρ λ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ +Δ ⋅ + ⋅ −
( ) ( )
( )
,0
d 00
dd
0d
iz i z i L
i
cv c v c D
zc Lz
⋅ = ⋅ − ⋅
=
Bilanca energije λL = konst., vz = konst.
- rubni uvjeti - rubni uvjeti ( ) ( )
( )
0
d 00
d
d0
d
Lz z
p
Tv T v T
C z
T Lz
λρ
⋅ = ⋅ − ⋅⋅
=
Primjer 2.
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
Model 5. - zanemarivo povratno miješanje i prijenos topline – čepoliko strujanje fluida, najuobičajeniji model prijenosa tvari i energije u cijevnom reaktoru Bilanca tvari vz = konst.
dd
iz icv rz
⋅ = ( )d 2dp z r i STC v H r U T Tz R
ρ ⋅ ⋅ ⋅ = Δ ⋅ + ⋅ −
( ),0 0i ic c=
Bilanca energije vz = konst.
- rubni uvjeti - rubni uvjeti
( )0 0T T=
Primjer 2.
B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa
Model 6. - makroskopska bilanca tvari i energije u cijevnom reaktoru, poznata ukupna (srednja konverzija), model procesa – algebarske jednadžbe (black box model) Bilanca tvari vz = konst.
z i iv c A r⋅ ⋅ = ( )2p z r i SC v T H r V U A T T
Rρ ⋅ ⋅ ⋅ = Δ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −
Bilanca energije vz = konst.
- rubnih uvjeta nema - modeli 1. – 5. – uzeti u obzir ovisnost konstantne brzine reakcije o temperaturi (Arrheniusova jednažba) – nelinearni modeli