MATEMATIČKA STATISTIKA I TEORIJA VEROVATNOĆE SLUČAJNA PROMENLJIVA, JEDNODIMENZIONALNE
MATEMATIČKA STATISTIKA I TEORIJA VEROVATNOĆE
SLUČAJNA PROMENLJIVA, JEDNODIMENZIONALNE
• Svaka promenljiva X, koja je rezultat eksperimenta ili osmatranja, i uzima brojne vrednosti x sa određenim verovatnoćama, naziva se slučajna promenljiva.
• Slučajne promenljive mogu biti– Prekidne (diskretne)– Neprekidne (kontinualne)
PREKIDNA SLUČAJNA PROMENLJIVA• Ako slučajno promenljiva X može, na slučajan način, da uzme jednu
od vrednosti x1, x2, ... Xn sa odgovarajućim verovatnoćama p1, p2, ... Pn, pri čemu je:
n
iip
1
1
Onda X predstavlja jednu slučajnu promenljivu.• Zakon raspodele verovatnoće prekidne slučajne promenljive X je
n
n
pppxxx
X,...,
,...,
21
21
• Ako je niz svih mogućih vrednosti xi konačanp1 + p2 + ... +pn = 1
PRIMER 1• Prostor elementarnih događaja za eksperiment koji se sastoji u
dvostrukom bacanju jednog novčića, sadrži četiri elementarna događaja
GG1
GP2
PG3
PP4
gde P i G označavaju pojavu pisma, odnosno grba
• Kod jednog bacanja
21GPPP
i ako ishod svakog bacanja označava sa A1 i A2
21APAP 21
• Kod dvostrukog bacanja, i ako su bacanja nezavisni događaji
• Sva četiri elementarna događaja su podjednako moguća
Neka SP X predstavlja broj grbova kod jednog elementarnog događaja. Tada su verovatnoće
41
21
21APAPAAP 2121
41PPPP 4321
xXP
41P2XP 1
21PP1XP 32
410 4 PXP
I odgovarajući ZAKON RASPODELE
PRIMER 2• Prostor elementarnih događaja za eksperiment koji se sastoji u
trostukom bacanju novčića sadrži 8 elementarnih događaja
1/41/21/4P(xi)
210x
GGG1
GGP2
GPP3
GPG4
PGG5
PGP6
PPG7
PPP8
Pri svakom bacanju se može pojaviti jedan od tri ishoda, A1, A2 ili A3. Kako je
Ako sa X označimo broj grbova kod jednog elementarnog događaja, to zakon verovatnoće P(X = x) glasi
21
321 APAPAP
iPAAAP 81
21
21
21
321
1/83/83/81/8P(xi)3210x
PRIMER 3• Za slučajnu promenljivu Y koja je definisana kao zbir okaca koji se
dobijaju bacanjem dve kocke na slučajan način verovatnoća ishoda je
a ZAKON RASPODELE verovatnoće P(yi)
61APAP 21
1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36P(yi)
12111098765432Y
361
61
61
2121 APAPAAP
NEPREKIDNA SLUČAJNA PROMENLJIVA
Neprekidna SP je ona koja može postići sve vrednosti iz nekog intervala (a, b)konačnog ili beskonačnog. Za svako X tog intervala postoji granična vrednost:
xfx
xxXxPx
0
lim
f(x) – se naziva GUSTINA RASPODELE (diferencijalni zakon verovatnoće)
dxxfxxXxP
2
1
21
x
x
dxxfxXxP
Verovatnoća da će se SP X naći u intervalu (x1, x2) pri x1 < x2 biće
Isto tako
1
1
x
dxxfxXP
1
1x
dxxfxXP
• Osobine funkcije gustine
0xf 1
dxxf
• FUNKCIJA RASPODELE za neprekidnu SP X je
x
dxxfxXPxF
f(x) f(x)
x1 x1x2 x2x x
P(x1<X<x )2
P( )X<x1
P( )X>x2
• Osobine Funkcije raspodele
ako je x1 < x2 biće 12 xFxF pri čemu je F(x) neopadajuća funkcija
2
1
1221
x
x
dxxfxFxFxXxP
1lim xF x
0lim xF x
xfdxxfdxd
dxxdF x
Gustina raspodele je diferencijalna kriva Funkcije raspodele
f(x)
x1 x2 x
x
P(x1<X<x )2
P(x1<X<x )2
0
F(x )1
F(x )2
1.0
F(x)
NUMERIČKE KARAKTERISTIKE SLUČAJNIH PROMENLJIVIH
- MATEMATIČKO OČEKIVANJE -
• Za diskretne slučajno promenljive X
k
iii xpxxE
1
• Za kontinualne slučajno promenljive X
dxxfxxE
• Osobine matematičkog očekivanja
Ako je X = c, gde je c neslučajna veličina sledi da je E(x) = c
Ako su X i Y nezavisne slučajno promenljive za
xEcxcE
yExEyxE
yExEyxE
MEDIJANA – ona vrednost slučajne promenljive koja deli masu raspodele na dva jednaka dela
- za diskontinualne
- za kontinualne
5.0xF
5.0
Me
Me
dxxfdxxf
MOD – ona vrednost slučajne promenljive koja se najčešće javlja, Modje na mestu gde je gustina raspodele najveća
xMe
f(x)Mo
DISPERZIJA SLUČAJNO PROMENLJIVE
• Disperzija (varijansa) slučajno promenljive X je matematičko očekivanje
2xEx i predstavlja meru odstupanja SP x od E(x)
2xExExVarxD
22 xExExD
ili
• Osobine disperzije
STANDARDNA DEVIJACIJA SP X (srednje kvadratno odstupanje)
0xD 1 constcxPako je
xDcxD
xDcxcD 2
yDxDyxD Ako su X i Y nezavisni
xD
- Za diskretne SP X
k
iii
k
iii xpxxpxxD
1
22
1
2
- Za kontinualne SP X
222 dxxfxdxxfxxD
• Koeficijent varijacije
• Koeficijent asimetrije
xE
xDCv
33
2/32
3
sC
• Koeficijent spljoštenosti
• Eksces
44
22
4
kC
3 kCE
METODE ZA OCENU STATISTIČKIH PARAMETARA- metoda momenta-
• Aritmetička sredina– Niz vrednosti slučajno promenljive X
Ni xxxx ,...,..., 21
Aritmetička sredina x
N
xx
n
ii
1
• Aritmetička sredina– Grupisani podaci
Aritmetička sredina
Ri xxxx ,...,..., 21
Ri ffff ,...,..., 21
R
iiiR
ii
R
iii
fxNf
fxx
1
1
1 1
• Način grupisanja
postoji
Formira se nov niz
Nalazi se amplituda
Dužina klasnog intervala
Ni xxxx ,...,..., 21
min2
max1 ...... Ni xxxx
minmax1 NxxA
RA
2
DGGGxi
Prestruktuiranje novog niza
2DGGGxi
maxmax XX
2maxmax XX
minminNN XX
ix
1x
2x
Rx
if
1f
2f
Rf
***
***
***
Klasni interval
6540044suma
22503750900-600
147001410501200-900
12150913501500-1200
9900616501800-1500
7800419502100-1800
13500622502400-2100
5100225502700-2400
fi xifiXiGG-DG
PRIMER 6
21006002700minmax1 NxxA 300
72100
smf
xfx R
ii
R
iii
/36.148644
65400 3
1
1
MEDIJANA
Medijana je član niza koji zauzima središnji položaj
Ni xxxx ,...,..., 21
Ako je broj članova u nizu neparan i jednak 2m+1 medijana se računa
1 mXMe
Ako je broj članova u nizu paran i jednak 2m medijana se računa po formuli
121
mm XXMe
MODje najverovatnija veličina SP X
(SP X kojoj odgovara najveća ordinata krive raspodele)
Standardna devijacija
Za niz vrednosti SP X Ni xxxx ,...,..., 21
N
ii xx
NS
1
21
21
2
1
2
21
2
1 1
2
1
2
1
2
2
2
xN
x
N
xx
N
x
N
xxxx
N
xxS
N
ii
N
i
N
ii
N
i
N
i
N
iii
N
ii
Grupisani podaci2
1
1
2
xf
xfS R
ii
R
iii
Koeficijent varijacije(relativna mera disperzije)
N
K
xSC
N
ii
v
1
21
Gde jexxK i
i (modulna vrednost SP X)
Koeficijent asimetrije
3
1
3
SN
xxC
n
ii
s
3
1
31
v
N
ii
s CN
KC
ili