Page 1
1
Matematické metody rozhodování
Literatura:
[1] J. Fotr, M. Píšek: Exaktní metody ekonomického rozhodování. Academia, Praha 1986.
[2] J. Fotr, J. Dědina: Manažerské rozhodování. Skripta VŠE, Praha 1993.
[3] R. Hušek, M. Maňas: Matematické modely v ekonomii. SNTL, Praha 1989.
[4] J. Talašová: Fuzzy metody vícekriteriálního hodnocení a rozhodování. VUP Olomouc,
2003.
[5] jakákoliv učebnice lineární algebry nebo nějaký úvod do matematiky na VŠ (matice,
determinanty, vlastní čísla a vlastní vektory matic, relace, rozklad množiny).
1. Matematický úvod
Matice, typ matice, čtvercová matice, řádkový a sloupcový vektor, jednotková matice.
Operace s maticemi – sčítání, násobení matice reálným číslem, lineární kombinace matic,
násobení matic.
Determinant, výpočet determinantů 2., 3. a 4. řádu (Sarrussovo pravidlo, Laplaceův rozvoj).
Vlastní čísla a vlastní vektory matic, věta o výpočtu vlastních vektorů matice.
Kartézský součin množin, relace, vlastnosti relací (reflexivní, symetrická, tranzitivní, úplná,
antisymetrická, uspořádání, kvaziuspořádání, ekvivalence).
Rozklad množiny podle relace ekvivalence na třídy navzájem ekvivalentních prvků.
Kartézský součin množin, relace, rozklad množiny
Nechť S,T jsou dvě množiny. Potom jejich kartézským součinem rozumíme množinu všech
uspořádaných dvojic prvků z množin S a T.
S ×T = { (s,t) ; s ∈ S a t∈ T }
Pojem kartézského součinu můžeme rozšířit na n libovolných množin S1,…, Sn:
S1 ×…× Sn = { (s1, …, sn) ; si ∈ Si , pro každé i = 1, …, n }.
Speciálním případem kartézského součinu n množin je n-tá kartézská mocnina množiny S
Sn = {(s1, …, sn) ; si ∈ S, pro každé i =1, …, n}.
Relace
Jednou ze základních potřeb matematiky je srovnávání objektů, udávání vztahu mezi objekty
a na základě daných vztahů a vlastností vzájemné přiřazování objektů. Proto je jedním ze
základních stavebních kamenů matematiky relace.
Page 2
2
Nechť S,T jsou libovolné množiny. Binární relací z množiny S do množiny T rozumíme
libovolnou podmnožinu kartézského součinu množin S a T.
Je-li uspořádaná dvojice (s, t) kartézského součinu S × T prvkem relace, potom zapisujeme
(s, t) ∈ R nebo také sRt.
Jestliže R je relace z množiny S do množiny S, tedy R ⊆ S × S, potom hovoříme o binární
relaci na množině S.
Relace R = a R = S × T, které jsou nevlastními podmnožinami kartézského součinu S × T,
nazýváme prázdná relace a univerzální relace.
Nechť R ⊆ S × T. Inverzní relací k relaci R nazveme relaci tvořenou všemi uspořádanými
dvojicemi (t, s) množin T, S takovými, že uspořádaná dvojice (s, t) náleží relaci R.
R-1 = { (t, s)∈ T × S ; (s, t) ∈ R}.
Příklady relací:
1. Uvažujme druhou kartézskou mocninu množiny celých čísel Z. Potom množina všech
dvojic celých čísel (a, b), pro které platí, že a dělí b je relace na množině Z. (Tuto relaci
značíme a | b.)
2. Nechť B je množina všech bodů v rovině, P množina všech přímek v rovině. Potom
množina všech dvojic (b, p) ∈ B × P, pro které platí, že bod b leží na přímce p, je relace z B
do P.
4. Nechť S je množina všech občanů České republiky.
Potom na této množině občanů můžeme definovat například následující relace:
a) R2 je množina všech uspořádaných dvojic (x, y) takových, že občan x bydlí ve stejném
městě jako občan y.
b) R3 je množina všech uspořádaných dvojic (x, y) takových, že občané x a y jsou sourozenci.
Nyní si uvedeme jednotlivé vlastnosti relací na množině. Nechť R je binární relace na
množině S. Potom tato relace se nazývá
i) reflexivní právě tehdy, když pro každé s ∈ S platí (s, s) ∈ R,
ii) symetrická právě tehdy, když pro každé s1, s2 ∈ S platí:
jestliže (s1, s2) ∈ R, potom (s2, s1) ∈ R,
iii) antisymetrická právě tehdy, když pro každé s1, s2 ∈ S platí:
jestliže (s1, s2) ∈ R a zároveň (s2, s1) ∈ R, potom s1 = s2 ,
iv) tranzitivní právě tehdy, když pro každé s1, s2, s3 ∈ S platí:
jestliže (s1, s2) ∈ R a zároveň (s2, s3) ∈ R, potom (s1, s3) ∈ R.
v) úplná právě tehdy, když pro každé s1, s2 ∈ S platí:
(s1, s2) ∈ R nebo (s2, s3) ∈ R
Relace, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní, se nazývá částečné (lineární)
uspořádání.
Page 3
3
Příklady:
a) Relace ≤ neostré nerovnosti "menší nebo rovno" na přirozených, celých, racionálních nebo
reálných číslech je částečné uspořádání.
b) Nechť P(S) je systém všech neprázdných podmnožin množiny S. Potom množinová inkluze
⊆ je relací částečného uspořádání na P(S).
c) Relace dělení | na celých číslech je částečným uspořádáním.
Nechť S je množina. Identickou relací nazveme relaci R ⊆ S × S, která obsahuje všechny
dvojice prvků (s, s), s ∈ S a značíme ji id.
Mezi jednotlivými vlastnostmi relací existuje spousta vztahů:
Nechť R je relace na množině S.Potom tato relace je
i) reflexivní právě tehdy, když id ⊆ R,
ii) symetrická právě tehdy, když R-1= R,
iii) antisymetrická právě tehdy, když R-1 ∩ R = id,
iv) tranzitivní právě tehdy, když Ro R = R.
Binární relaci R na množině S nazveme ekvivalence, je-li reflexivní, symetrická a tranzitivní.
1. Rovnost = je relace ekvivalence.
2. Nechť n je přirozené číslo a nechť R je relace na množině všech celých čísel definována
předpisem
(x, y) ∈ R právě tehdy, když n | (x-y) pro každé x, y ∈ Z.
Potom říkáme, že prvek x je kongruentní s prvkem y modulo n, relaci R značíme ≡ a
nazýváme kongruence na celých číslech modulo n. Konkrétně například číslo 6 je kongruentní
s číslem 10 modulo 2, zapisujeme 6 ≡ 10 (mod 2).
Na následujícím důkazu toho, že relace kongruence je ekvivalence, si demonstrujeme, jak
obecně pracujeme s relacemi, jejich vlastnostmi a jak vlastnosti relací dokazujeme.
Musíme dokázat, že relace kongruence modulo n ∈N na Z je reflexivní, symetrická a
tranzitivní.
1. Nechť x ∈ Z. Potom n | x-x a odtud prvek x je kongruentní sám se sebou modulo n, čímž je
splněna vlastnost reflexivity.
2. Nechť x, y ∈ Z. Nechť prvek x je kongruentní prvku y modulo n. To je ekvivalentní tomu,
že rozdíl prvků x-y je dělitelný n, ovšem to platí právě tehdy, když i číslo opačné -(x-y) = y-x
je dělitelné n. Toto je ovšem ekvivalentní tomu, že prvek y je kongruentní prvku x modulo n a
tedy vlastnost symetrie je splněna.
3. Nechť x, y, z ∈ Z. Nechť prvek x je kongruentní s prvkem y modulo n a prvek y je
kongruentní s prvkem z modulo n. To je ekvivalentní tomu, že rozdíly prvků x-y a y-z jsou
dělitelné n. Tedy můžeme psát x= nk + y = nk + nl + z = n(k+l)+z,
kde k,l ∈Z a odtud n | x-z, čímž je splněna vlastnost tranzitivity.
Díky vlastnosti symetrie zjednodušeně říkáme, že prvky x, y jsou kongruentní modulo n.
Page 4
4
Důležitým typem relace v teorii vícekriteriálního rozhodování je relace kvaziuspořádání:
Binární relace R na množině S se nazývá kvaziuspořádání, je-li reflexivní a tranzitivní
(někdy se definuje jako tranzitivní a úplná, reflexivnost plyne z úplnosti).
Rozkladem množiny S nazýváme každý systém jejích podmnožin, které jsou neprázdné, po
dvou disjunktní a jejich sjednocením je celá množina S.
Ke každé relaci ekvivalence R na množině S existuje rozklad množiny S na třídy navzájem
ekvivalentních prvků. Tento rozklad nazýváme rozklad příslušný ekvivalenci R a značíme
R/S.
Platí též obráceně, že ke každému rozkladu množiny S na třídy existuje ekvivalence R na
S taková , že je to rozklad příslušný k relaci R.
Např. relace kongruence modulo 2 na množině celých čísel Z vytváří rozklad množiny Z na
třídu sudých a třídu lichých čísel.
Page 5
5
2. Rozhodování – základní pojmy
2.1 Úloha rozhodování v managementu
Rozhodování představuje jednu z nejvýznamnějších manažerských aktivit, někdy se chápe
jako jádro řízení.
Kvalita rozhodování ovlivňuje výsledky i efektivnost fungování organizací.
Manažerské funkce rozdělujeme na sekvenční a průběžné
Sekvenční – plánování, organizování, vedení, kontrolování (realizují se postupně)
Průběžné – analýza činností, rozhodování, komunikace
Ze sekvenčních manažerských funkcí se rozhodování nevýrazněji uplatňuje v plánování.
2.2 Stránky rozhodovacího procesu, teorie rozhodování
Rozhodovací procesy probíhající na různých úrovních řízení mají dvě stránky – věcnou
(meritorní) a procedurální (formálně logickou).
Meritorní stránka odráží odlišnosti rozhodovacích procesů v závislosti na obsahové náplni
dané věci.
Procedurální stránka znamená určité společné rysy rozhodovacích problémů, jejich rámcový
postup (proceduru) řešení – právě tato stránka rozhodovacích procesů je předmětem teorie
rozhodování.
V průběhu historického vývoje došlo ke koncipování různých teorií rozhodování
– teorie utility (užitku) – stanovuje se celkové ohodnocení variant při větším počtu
kritérií
– teorie sociálně-psychologické – zaměřené na subjekt a jeho chování
– teorie kvantitativně orientované – založené na aplikaci matematických modelů
– teorie normativního charakteru – poskytují návod, jak řešit rozhodovací problémy
– teorie deskriptivního charakteru – popisují již proběhlé rozhodovací procesy
2.3 Rozhodovací proces, rozhodovací problém
Rozhodovací proces – proces řešení rozhodovacího problému.
Základním atributem rozhodování je proces volby – posuzování jednotlivých variant a výběr
optimální varianty.
Problém je vymezen existencí diference (odchylky) mezi žádoucím stavem (standardem,
normou, plánem) a skutečným stavem. Tato diference musí být přirozeně nežádoucí (skutečný
stav je horší než stav žádoucí).
Problémy lze rozdělit na reálné (již existující – mohou být nebezpečné, nebudou-li se řešit) a
potenciální (mohou vzniknout v budoucnu).
Fáze rozhodovacích procesů
– identifikace problému,
– analýza a formulace,
– stanovení kritérií hodnocení variant, podle kterých se budou varianty posuzovat
– tvorba souboru variant,
Page 6
6
– stanovení důsledků variant (dopadů, účinků jednotlivých variant z hlediska zvolených
kritérií),
– hodnocení důsledků variant a výběr optimální varianty (příp. preferenční uspořádání
variant),
– realizace zvolené varianty (praktická implementace rozhodnutí),
– kontrola výsledků realizované varianty, nápravná (korekční) opatření.
Cílem rozhodování (řešení rozhodovacího problému) chápeme určitý stav firmy, kterého se
má řešením problému dosáhnout. Cíle se vyjadřují nejčastěji číselně (např. rentabilita
kapitálu, výše podílu na trhu atd.) nebo slovním popisem (zlepšení pracovních podmínek,
zlepšení image firmy atd.).
Kritéria hodnocení představují hlediska zvolená rozhodovatelem sloužící k posouzení
výhodnosti jednotlivých variant z hlediska dosažení cílů.
Rozeznáváme kritéria výnosového typu (vyšší hodnoty preferovány před nižšími – např.
zisk) a kritéria nákladového typu (nižší hodnoty preferovány před vyššími – např. náklady).
Dále rozlišujeme kritéria kvantitativní (hodnoty vyjádřeny číselně) a kvalitativní (jejich
důsledky vyjádřeny slovně).
Subjektem rozhodování (rozhodovatelem) je ten, kdo rozhoduje. Může to být buď
jednotlivec, nebo skupina lidí (orgán). Hovoříme o individuálním a kolektivním subjektu
rozhodování.
V praxi se rozlišuje ještě statutární rozhodovatel (má pravomoci k volbě varianty) a
skutečný rozhodovatel (skutečně rozhoduje). Např. na nižší úrovni řízení se vybere nějaká
varianta a vyšší úroveň řízení ji jen schválí, nebo zamítne.
Klasifikace rozhodovacích problémů – dobře a špatně strukturované problémy, programovaná
a neprogramovaná rozhodnutí.
Dobře strukturované rozhodovací problémy – mají rutinní postupy řešení, řeší se
opakovaně na operativní úrovni řízení, mají zpravidla jediné kvantitativní kritérium
hodnocení.
Špatně strukturované rozhodovací problémy – vyskytují se zpravidla na vyšších úrovních
řízení, jsou do značné míry nové a neopakovatelné, vyžadují tvůrčí přístup, neexistují pro ně
standardní procedury řešení.
Rozhodování za jistoty – rozhodovatel s jistotou ví, co nastane, jaké budou důsledky variant.
Rozhodování za rizika – rozhodovatel zná možné budoucí situace, které mohou nastat, a
současně zná i jejich pravděpodobnosti
Rozhodování za nejistoty – nejsou známy pravděpodobnosti budoucích stavů.
(terminologie není v literatuře jednotná)
Další typy rozhodovacích procesů
– statické a dynamické – podle toho, zda se v čase mění nebo nemění množina variant
rozhodování
– jednokriteriální a vícekriteriální – podle počtu kritérií hodnocení
– strategické, taktické a operativní – podle řídící úrovně, na které procesy probíhají
Page 7
7
3. Vícekriteriální rozhodování a hodnocení variant – základní pojmy
3.1 Úloha vícekriteriálního rozhodování
Úlohou vícekriteriálního rozhodování (s konečnou množinou variant) se rozumí následující
problém:
Je dána množina n variant nxxxX ,,, 21 , které jsou posuzovány dle m stanovených
hledisek (kritérií) z množiny mKKKK ,,, 21 . Úkolem je vybrat z dané množiny variant X
variantu x* , která je nejlepší vzhledem ke kritériím z množiny K.
K určení optimální varianty Xx * stačí, abychom byli schopni varianty z X na základě jejich
celkového posouzení vzhledem ke kritériím z K uspořádat. Varianta zajímající první místo
v tomto uspořádání je pak variantou optimální.
Matematická formulace problému:
Na množině variant nxxxX ,,, 21 definujeme m dílčích preferenčních relací (ke
každému kritériu jednu relaci) Rj, j = 1, 2, …, m, předpisem
:,2,1, nki kji xRx xi je podle Kj hodnocena stejně nebo lépe než xk
Na základě dílčích preferenčních relací můžeme stanovit celkovou preferenční relaci R na X:
:,2,1, nki ki xRx xi je celkově hodnocena stejně nebo lépe než xk
Optimální variantou je pak varianta Xx * , pro kterou platí
x* R xi pro všechna ni ,2,1
Druhý možný matematický přístup:
Předpokládáme, že preference na množině variant X vzhledem jednotlivým kritériím Kj, j =
1, 2, …, m, jsou vyjádřeny kvantitativně, pomocí dílčích hodnotících funkcí
,: RXu j , j = 1, 2, …, m
s vlastností
:,2,1, nki kjikjij xRxxuxu
a naším cílem je definovat celkovou hodnotící funkci
RXu :
s vlastností
:,2,1, nki kiki xRxxuxu
Page 8
8
Funkce uj, j = 1, 2, …, m, a u se nazývají ordinální funkce utility. Optimální variantou je pak
varianta Xx * s nejvyšším celkovým hodnocením (utilitou)
ini
xuxu,2,1
* max
Uspořádání variant, dané celkovou preferenční relací R, popř. ordinální funkcí utility u,
představuje nejjednodušší typ hodnocení, hodnocení ordinální. Více informace z hlediska
celkového posouzení variant představuje kardinální hodnocení založené na kardinální funkci
utility. V jeho případě vedle uspořádání variant získáme i informaci o relativních rozdílech
v hodnocení variant z dané množiny X.
3.2 Kritéria hodnocení
Kritérii rozumíme takové charakteristiky variant, na základě kterých lze tyto varianty
posuzovat vzhledem k danému celkovému cíli hodnocení.
Požadavky na soubor kritérií:
- úplnost – celkový cíl hodnocení by měl být beze zbytku vyjádřen souborem kritérií
- neredundance – soubor bez nadbytečných kritérií
- minimálnost
- měřitelnost – vždy je možné formulovat hodnocení variant vzhledem k těmto kritériím
- jasně definovaný obsah
Strom kritérií (strom dílčích cílů) je metoda napomáhající vytvoření takového souboru
kritérií: Nejdříve jsou celkovému cíli hodnocení přiřazena značně abstraktní (obecná) kritéria,
která se pak rozloží do konkrétnějších kritérií. Tento postup se opakuje tak dlouho, dokud se
nedospěje k přímo měřitelným charakteristikám variant. Uvedeným způsobem vytvořená
hierarchie kritérií je znázorněna grafem typu strom.
Typy kritérií:
- kvalitativní – vyjadřují kvalitu určité vlastnosti, hodnoty zadány slovně
- kvantitativní – vyjadřují kvantitu určité vlastnosti, hodnoty zadány číselně
- ordinální – definují na množině variant preferenční relaci
- kardinální – umožňují kvantitativní porovnávání rozdílů v hodnocení variant
Není možné jednoduše ztotožňovat kritéria kvalitativní a ordinální na straně jedné a
kvantitativní a kardinální na straně druhé.
Podrobněji se budeme zabývat typem preferenčních relací používaných pro ordinální kritéria.
Ordinální kritérium je takové, které na množině variant generuje preferenční relaci:
:, Xyx yRx x je hodnocena stejně nebo lépe než y
Page 9
9
V teorii vícekriteriálního rozhodování obvykle předpokládáme, že preferenční relace má
vlastnosti kvaziuspořádání, tj. jde o relaci tranzitivní a úplnou. (Z úplnosti plyne také
reflexivnost). Na rozdíl od uspořádání tak mohou být různé prvky hodnoceny stejně.
Kvaziuspořádání R, představujícímu neostrou preferenční relaci, lze přiřadit další dvě relace:
relaci ostré preference (P) a relaci indiference (I) variant:
xRynonyRxyPx
xRyyRxyIx
Kvaziuspořádání proto také někdy zapisujeme jako R = (P, I). Z definic relací P a I je zřejmé,
že platí
IPIPR ,
Z významu relace R a definice relací P a I dále plyne
:, Xyx yPx x je hodnocena lépe než y
:, Xyx yIx x je hodnocena stejně jako y
Věta:
Nechť je dáno kvaziuspořádání R na X. Pak pro relace P a I odvozené z R výše uvedeným
způsobem platí:
1. Xyx , nastává právě jedna z možností (trichotomie):
x P y, y P x, nebo x I y
2. I je relace ekvivalence (reflexivní, symetrická, tranzitivní).
3. P je tranzitivní relace.
4. Pro relace P a I jsou splněny podmínky tzv. smíšené tranzitivity:
zPxzPyyIxzPxzIyyPxXzyx ,:,,
Naopak, jsou-li na X definovány relace P a I splňující podmínky 1-4, pak relace IPR je
kvaziuspořádání.
Věta (o struktuře kvaziuspořádané množiny)
Nechť je dáno kvaziuspořádání R = (P, I) na X. Definujme relaci R* na rozkladu X/I množiny
X podle ekvivalence I následujícím způsobem:
yRxXyXxXRXIXXX :,:/, *
Pak R* je lineární uspořádání.
Je-li naopak dán rozklad množiny X na soustavu disjunktních podmnožin AX , , tj.
A
AXXXX
,,,pro,
Page 10
10
a lineární uspořádání R* na tomto rozkladu, pak relace R definovaná na X vztahem
XRXXyXxyRxXyx *,,:,
je kvaziuspořádáním.
Každé kvaziuspořádání R lze tedy ekvivalentně vyjádřit pomocí lineárního uspořádání R* jeho
tříd indiference.
Další věty uvádí do vzájemného vztahu relaci kvaziuspořádání a ordinální funkcí utility.
Věta:
Nechť R je kvaziuspořádání na množině nxxxX ,,, 21 . Pak existuje ordinální funkce
utility RXu : , tj. funkce s vlastností
kiki xRxxuxunki :,2,1,
Věta:
Nechť je dána libovolná funkce RXu : . Pak relace R definovaná vztahem
yuxuyRxXyx :,
je kvaziuspořádání.
Poznámka:
Pro vztah mezi kvaziuspořádáním R = (P, I) a jemu odpovídající ordinální funkcí utility platí:
yuxuyPx
yuxuyIx
3.3 Normování dílčích hodnocení, nezávislost kritérií
V případě kvantitativního kritéria s rostoucí preferencí (tj. kritéria, jehož vyšší hodnota je
preferována před nižší) definují jeho hodnoty na uvažované množině variant ordinální funkci
utility. Protože v dále popisovaných metodách vícekriteriálního hodnocení je celkové
hodnocení počítáno jako vážený průměr hodnocení dílčích, je vhodné, aby tato dílčí
hodnocení byla normována.
Proto v případě daného kvantitativního kritéria s rostoucí preferencí budeme jeho hodnoty
lineárně transformovat z původního intervalu 10 , xx , kde x0 je nejmenší (a tedy nejhorší)
hodnota této charakteristiky dosažená na dané množině variant X, na interval 1,0 ,
představující jednotnou hodnotící škálu s rostoucí preferencí, podle vzorce
Page 11
11
01
0
xx
xxy
Tuto transformační funkci lze pak považovat za normovanou ordinální funkci utility u
odpovídající danému kvantitativnímu kritériu.
Definice nezávislosti kritérií
Nechť celkové hledisko hodnocení variant je vyjádřeno množinou kritérií
mKKKK ,,, 21 . Nechť těmto kritériím jsou přiřazeny ordinální funkce utility
muuu ,,, 21 a celkové hodnocení variant je vyjádřeno ordinální funkcí utility u.
Pak řekneme, že kritérium Kj popsané ordinální funkcí utility uj, mj ,2,1 , je nezávislé
na kritériích ostatních, jestliže pro libovolné dvě varianty x a y, pro které platí
jimibyuxuyuxu iiijj ,,,2,1 pro,,
nezávisí jejich výsledné hodnocení (tj. pořadí dané celkovou ordinální funkcí utility u) na
pevně zvolených hodnotách bi.
Kritéria K1, K2, …, Km nazýváme nezávislá, je-li každé z těchto kritérií nezávislé na ostatních.
Příklad
Hodnotíme kalkulačky. Kritéria jsou cena, velikost tlačítek a velikost displeje. Nechť pro 2
konkrétní kalkulačky x, y platí, že jejich cena je různá, ale velikosti tlačítek i displeje jsou
stejné. Pak cena je nezávislá na ostatních kritériích, jestliže výsledné hodnocení kalkulaček
nezávisí na pevně zvolených hodnotách velikostí displeje a tlačítek.
4. Váhy kritérií
Váhami kritérií K1, K2, …, Km rozumíme nezáporná reálná čísla v1, v2, …, vm, která vyjadřují
rozdílnou významnost jednotlivých kritérií vzhledem k celkovému hodnocení variant.
Většina metod vícekriteriálního hodnocení pracuje s normovanými váhami, pro které platí
m
j
jv1
1
Máme-li stanoveny nenormované váhy ,,,2,1,0, mjww jj pak normované váhy vj
z nich vypočteme podle vzorce
m
k
k
j
j
w
wv
1
Page 12
12
Váhy bývají v literatuře zabývající se vícekriteriálním rozhodováním vymezeny po
matematické stránce jen velmi obecně jako nezáporná reálná čísla, která v případě
normovaných vah dávají součet jedna, přičemž základní vlastností, kterou množina vah musí
splňovat vzhledem k preferencím na množině kritérií, je:
jkj Kvvmkj :,,2,1, je významnější nebo stejně významné jako Kk.
Je zřejmé, že k určení vah kritérií, které by respektovaly tento požadavek, stačí definovat
kvaziuspořádání na množině kritérií. Takto definované váhy však představují pouze ordinální
informaci o preferencích v množině kritérií.
Metody stanovení vah:
Metoda párového srovnávání kritérií
Metfesselova alokace (pomocí stromu kritérií)
Saatyho metoda (matice intenzit preferencí S)
4.1 Metoda párového srovnávání kritérií
Při použití této metody jsou váhy kritérií odvozeny z preferenční relace expertně definované
pro danou množinu kritérií. Pokud nepředpokládáme možnost stejně hodnocených kritérií,
vycházíme z incidenční matice relace ostré preference P definované na množině kritérií K,
pro jejíž prvky platí
tomu takli-není0
té,-k než ší významněvkritérium té-j li-je1,kjp
Významnost j-tého kritéria, jeho nenormovaná váha wj, je pak odvozena z počtu kritérií, před
kterými je dané kritérium preferováno, a vypočtena ze vzorce
m
k
kjj pw1
, 1
Připočtená 1 u každé váhy zabraňuje tomu, aby nejméně významné kritérium dostalo nulovou
váhu. Výpočet normovaných vah vj se pak provádí standardně podle výše uvedeného vzorce.
Příklad
Incidenční matice relace ostré preference pro 4 kritéria:
K1 K2 K3 K4
K1 0 0 0 0
K2 1 0 0 1
Page 13
13
K3 1 1 0 1
K4 1 0 0 0
Nenormované váhy: w1 = 1, w2 = 3, w3 = 4, w4 = 2
Normované váhy: v1 = 0,1, v2 = 0,3, v3 = 0,4, v4 = 0,2
4.2 Metfesselova alokace (pomocí stromu kritérií)
Tato metoda je založena na myšlence seskupení kritérií daného souboru do dílčích skupin
podle příbuznosti jejich věcné náplně. Váhy kritérií se určí následujícím postupem:
a) nejprve se stanoví váhy jednotlivých skupin kritérií – tyto váhy jsou normovány
(součet vah skupin kritérií je roven jedné)
b) dále se stanoví váhy každého kritéria v jednotlivých skupinách – tyto váhy jsou opět
normovány (součet vah v rámci každé skupiny kritérií je roven jedné)
c) výsledné váhy kritérií se vždy stanoví vynásobením váhy kritéria v jeho skupině
váhou této skupiny kritérií
Normování vah skupin a vah kritérií v rámci skupiny zabezpečuje, že výsledné váhy kritérií
jsou opět normovány.
4.3 Saatyho metoda stanovení vah (matice intenzit preferencí S)
Saatyho metoda se liší od metody párového srovnávání v tom, že při jejím použití je místo
matice preferencí P zadávána matice intenzit preferencí S. Její prvky sj,k vždy představují
expertně stanovenou relativní významnost j-tého kritéria vzhledem ke k-tému (tj. vyjadřují,
kolikrát je j-té kritérium významnější než k-té). Při zadávání těchto hodnot využívá expert
základní pětibodové stupnice intenzit preferencí, opatřené jazykovými popisy:
té.-k než ší významněvabsolutně kritérium té-j li-je9
té,-k než ší významněvněprokazatel kritérium té-j li-je7
té,-k než ší významněvdosti kritérium té-j li-je5
té,-k než ší významněvslabě kritérium té-j li-je3
významná,stejně kritéria obě li-jsou1
,kjs
Pokud je naopak j-té kritérium méně významné než k-té, pak
jk
kjs
s,
,
1 (*)
Page 14
14
Věta (Perron-Frobeniova)
Matice S s danou vlastností (*) má maximální reálné vlastní číslo max > 0 a odpovídající
vlastní vektor w má všechny složky kladné.
Lze ukázat, že pokud bude expert ve svých hodnoceních preferencí dostatečně konzistentní,
pak složky normovaného vlastního vektoru matice S odpovídajícího jejímu maximálnímu
vlastnímu číslu max lze považovat za normované váhy uvažovaných kritérií.
Jednodušší aproximaci vah kritérií získáme výpočtem geometrických průměrů čísel v řádcích
Saatyho matice a jejich následným normováním.
5. Metody vícekriteriálního hodnocení variant - úvod
Při hodnocení variant rozhodovacího problému podle různých hledisek (kritérií) je přirozené
vypočítat celkové hodnocení (utilitu, užitek) variant jako průměr hodnocení dílčích, která
musí být určitým způsobem standardizována, aby byla sčitatelná. Mají-li jednotlivá hlediska
hodnocení rozdílnou důležitost, pak aritmetický průměr je nahrazen průměrem váženým
(resp. váženým součtem).
Vícekriteriální funkce utility za jistoty (funkce užitku, užitková funkce, preferenční funkce) –
ozn. u – přiřazuje každé variantě rozhodování utilitu (užitek, ohodnocení, hodnotu)
vyjádřenou reálným číslem. Čím je toto číslo větší, tím více rozhodovatel danou variantu
rozhodování preferuje.
Konstrukce vícekriteriální funkce utility za jistoty je v obecném případě obtížná, proto se
v praxi nejčastěji pracuje s aditivním tvarem této funkce, který lze vyjádřit následující
formulí.
Společná formule pro všechny jednoduché metody vícekriteriálního hodnocení:
xuvxuvxuvxuvxu mm
m
j
jj
2211
1
kde pro mj ,,2,1 :
jv - nezáporná nenormovaná váha kritéria jK ,
xu j - dílčí hodnocení varianty x vzhledem ke kritériu jK (hodnota dílčí funkce utility
ordinálního nebo kardinálního charakteru),
Page 15
15
xu - celkové hodnocení dané varianty vzhledem k celému souboru kritérií.
Jednotlivé metody se odlišují způsobem stanovení vah kritérií a způsobem určení dílčích
hodnocení xu j .
Vlastnosti dílčích funkcí utility
Dílčí funkce utility uj vyjadřují změnu ohodnocení (přínosu pro rozhodovatele) v závislosti na
změnách hodnoty daného kritéria hodnocení (změnách důsledků variant vzhledem k tomuto
kritériu).
Pro kritéria výnosového typu (kritéria s rostoucí preferencí) je odpovídající dílčí funkce utility
vždy rostoucí, přičemž může být konvexní, konkávní nebo lineární.
Konkávní rostoucí dílčí funkce utility odpovídá situaci, kdy rozhodovatel cení stejné přírůstky
hodnot daného kritéria stále méně (přírůstky dílčí utility pro stejně velké přírůstky daného
kritéria klesají). Konvexní rostoucí dílčí funkce utility zobrazuje naopak situaci, kdy stejné
přírůstky hodnot daného kritéria znamenají pro rozhodovatele stále větší přínos (přírůstky
dílčí utility pro stejně velké přírůstky daného kritéria rostou).
Pro kritéria nákladového typu (kritéria s klesající preferencí) je odpovídající dílčí funkce
utility vždy klesající, a to konkávní (konvexní) v případě, že rozhodovatel cení stejné poklesy
hodnot daného kritéria stále více (méně).
V praxi jsou dílčí funkce utility často lineární. V tomto případě znamenají pro rozhodovatele
stejné přírůstky (u rostoucí dílčí funkce utility), resp. stejné poklesy (u klesající dílčí funkce
utility) hodnot daného kritéria vždy stejný přínos.
Definičním oborem dílčích funkcí utility jsou intervaly hodnot jednotlivých kritérií.
Dílčí funkce utility je zvykem normovat tak, že nabývají hodnot z intervalu mezi 0 a 1. Pro
nejhorší hodnotu daného kritéria nabývá dílčí funkce utility hodnotu 0 a pro nejlepší hodnotu
kritéria nabývá hodnoty 1.
6. Jednoduché metody vícekriteriálního hodnocení variant (stanovení
hodnoty, utility variant)
Následující metody lze použít pouze v případě, že kritéria Kj jsou nezávislá.
6.1 Metoda bazické varianty
je určena pro kvantitativní kritéria s rostoucí nebo klesající preferencí
celkové hodnocení varianty x popsané vektorem (x1, x2,…, xm) naměřených hodnot
kritérií K1, K2, …, Km je při použití této metody dáno formulí
Page 16
16
mjvvxuvxum
j
jj
m
j
jjj ,,2,1,0,1,11
kde váhy vj mohou být stanoveny libovolnou z metod (např. Metfesselova alokace,
Saatyho metoda)
j-té dílčí hodnocení je dáno vztahem
b
j
j
jjx
xxu v případě kritéria s rostoucí preferencí (výnosového typu) a
j
b
j
jjx
xxu v případě kritéria s klesající preferencí (nákladového typu)
vektor b
m
bb xxx ,,, 21 představuje tzv. bazickou variantu
bazická varianta je volena jako vektor nejlepších nebo předem zvolených
(požadovaných) hodnot kritérií na daném souboru
metoda je tedy založena na stanovení dílčích ohodnocení variant vzhledem
k jednotlivým kritériím pomocí porovnání hodnot důsledků variant vždy s hodnotami
bazické varianty
dílčí funkce utility uj (pro každé kritérium jiná) pro kritéria výnosového typu jsou
lineární (přímky), pro kritéria nákladového typu jsou to hyperboly
tato metoda standardizace dílčích kritérií odstraňuje vliv rozdílných jednotek měření
použitých pro jednotlivá kritéria
PŘÍKLAD:
hodnotíme soubor šesti investičních variant
máme 4 kritéria hodnocení:
o rentabilita kapitálu (v %)
o produktivita práce (1000 Kč/prac.)
o energetická náročnost (GJ/mil. Kč produkce)
o kilogramová cena (USD/kg produkce)
všechna kritéria jsou kvalitativní, navíc výnosového typu, jen energetická náročnost je
nákladového typu
některou z metod stanovíme váhy kritérií v1, v2, v3, v4
do tabulky zapíšeme hodnoty kritérií daného souboru variant
Krit./Var. Váhy vj V1 V2 V3 V4 V5 V6 Baz.
Rentabilita 0,40 18 15 35 17 28 18 35
Produktivita 0,10 360 390 380 300 450 320 450
En. náročnost 0,15 640 490 820 400 1000 700 400
Cena 0,35 20 40 30 35 25 20 40
Page 17
17
nejprve prověříme, zda v souboru variant neexistuje tzv. dominovaná varianta, což je
taková (může jich být více) varianta, k níž existuje jiná varianta, která je aspoň podle
jednoho kritéria lepší a podle žádného kritéria horší než varianta dominovaná
v našem případě je dominovanou variantou V6 – je dominována variantou V1 (je ve 2
ohledech lepší než V6 a ve dvou stejná)
lze prověřit, že V1 až V5 už tvoří soubor nedominovaných variant (tento postup je
dobré uplatnit ve všech metodách vícekriteriálního hodnocení variant)
vypočítáme dílčí hodnocení všech 5 variant pro jednotlivá kritéria – např. pro variantu
V1 (její důsledky označíme x1 až x4):
514,035
18
1
111
bx
xxu 625,0
640
400
3
333
x
xxu
b
(nákl. typu)
8,0450
360
2
222
bx
xxu 5,0
40
20
4
444
bx
xxu
dílčí ohodnocení dle jednotlivých kritérií vynásobíme vahami kritérií a sečtením
dostaneme celkové hodnocení varianty V1 (podle úvodní formule):
56,018,009,008,021,05,035,0625,015,08,010,0514,040,01 Vu
tak postupujeme dále pro další varianty a výsledky metody bazické varianty shrneme
do tabulky:
Kritérium Váhy Baz.
var.
Varianta
V1 V2 V3 V4 V5
Rentabilita 0,40 35 0,21 0,17 0,40 0,19 0,32
Produktivita 0,10 450 0,08 0,09 0,08 0,07 0,10
En. náročnost 0,15 400 0,09 0,12 0,07 0,15 0,06
Cena 0,35 40 0,18 0,35 0,26 0,31 0,22
Celk. hodnocení 0,56 0,73 0,81 0,72 0,70
Pořadí 5 2 1 3 4
závěr: optimální variantou je varianta V3, nejhorší variantou je varianta V1
6.2 Bodovací metoda
je vhodná pro takové rozhodovací úlohy, kde převažují kvalitativní kritéria
při použití této metody expert provádí dílčí hodnocení varianty vzhledem k danému
kritériu podle obvykle slovně vyjádřené hodnoty kvalitativní charakteristiky
Page 18
18
přiřazením bodů z bodové škály, která je jednotně stanovena pro všechna uvažovaná
kritéria
celkové hodnocení varianty x je dáno formulí
mjvvbvxum
j
jj
m
j
jj ,,2,1,0,1,11
kde b1, …, bm jsou bodová hodnocení varianty x dle jednotlivých kritérií
validita celkového hodnocení variant závisí především na kvalitě a kompetenci
hodnotitele
6.3 Metoda váženého pořadí
u této metody se dílčí ohodnocení variant vzhledem k jednotlivým kritériím určuje
podle pořadí variant vzhledem k těmto kritériím
určena pro rozhodovací úlohy s převahou kvalitativních kritérií, neboť využijeme-li
kvantitativní kritérium k pouhému uspořádání variant, ztrácí se část informace
využitelné pro hodnocení
celkové hodnocení varianty x je dáno formulí
mjvvpnvxum
j
jj
m
j
jj ,,2,1,0,1,111
kde pj je pořadí varianty x v lineárním uspořádání variant podle j-tého kritéria, n je
počet hodnocených variant a váhy jsou stanoveny analogicky jako u předchozích
metod
z tohoto vztahu plyne, že dílčí ohodnocení nejlepší varianty z hlediska jednotlivých
kritérií je rovno právě počtu kritérií, dílčí ohodnocení nejhorší varianty je rovno 1
6.4 Metoda lineárních dílčích funkcí utility (metoda univerzální standardizace)
Page 19
19
připouští následující typy kritérií: kvantitativní kritéria s rostoucí a klesající preferencí,
kvalitativní kritéria se stanovenou preferenční relací (kvaziuspořádání) na množině
variant a kvalitativní kritéria s expertně stanoveným bodovým hodnocením z dané
bodovací škály
dílčí ohodnocení variant vzhledem k jednotlivým kritériím se v této metodě stanovuje
odlišně, a to v závislosti na povaze těchto kritérií
ať jde o kritérium kteréhokoliv typu, vždy jsou hodnocení pro danou množinu variant
standardizována tak, aby nejhorší hodnotě kritéria na daném souboru variant
odpovídala 0 a nejlepší naopak 1
kvantitativní kritéria
vychází se z předpokladu, že odpovídající dílčí funkce utility mají lineární
tvar
tyto funkce se stanoví tak, že nejhorší hodnotě j-tého kritéria (na daném
souboru variant) 0
jx se přiřadí dílčí utilita 0, nejlepší hodnotě 1
jx dílčí utilita
1 a spojnice těchto bodů jsou pak zobrazením lineárních dílčích funkcí utility
dílčí hodnotící funkce pro variantu mxxxx ,,, 21 je definována vztahem
01
0
jj
jj
jjxx
xxxu
kvalitativní kritéria
se stanovenou preferenční relací kvaziuspořádání na množině variant – dílčí
hodnotící funkce je definována vztahem
1
*
j
jj
jn
pnxu
kde *
jp značí pořadí třídy indiferentních variant, které náleží varianta x
v daném kvaziuspořádání, a 1jn značí počet indiferenčních tříd tohoto
kvaziuspořádání
s expertně stanoveným bodovým hodnocením bj varianty x (bodovací škála
může mít rostoucí nebo klesající preferenci) – dílčí hodnotící funkce je
definována analogicky jako pro kvantitativní kritérium
01
0
jj
jj
jbb
bbxu
kde 0
jb představuje nejhorší a 1
jb nejlepší bodové hodnocení variant dané
množiny vzhledem k tomuto kritériu
Page 20
20
PŘÍKLAD (již dělán metodou bazické varianty):
Krit./Var. Váhy vj V1 V2 V3 V4 V5 0
jx 1
jx
Rentabilita 0,40 18 15 35 17 28 15 35
Produktivita 0,10 360 390 380 300 450 300 450
En. náročnost 0,15 640 490 820 400 1000 1000 400
Cena 0,35 20 40 30 35 25 20 40
dominovaná varianta V6 je již vynechána
nejprve stanovíme definiční obory dílčích funkcí utility jednotlivých kritérií
(vymezeny dolní hranicí 0
jx a horní hranicí 1
jx - nejhorší a nejlepší hodnotou
j-tého kritéria v souboru variant)
vypočítáme dílčí hodnocení variant podle vztahu
01
0
jj
jj
jjxx
xxxu
např. pro variantu V1 (její důsledky označíme x1 až x4):
15,01535
151811
xu 60,0
1000400
100064033
xu
40,0300450
30036022
xu 0
2040
202044
xu
dílčí ohodnocení dle jednotlivých kritérií vynásobíme vahami kritérií a sečtením
dostaneme celkové hodnocení varianty V1 (podle úvodní formule):
19,0009,004,006,0035,060,015,040,010,015,040,01 Vu
tak postupujeme dále pro další varianty a výsledky metody lineárních dílčích funkcí
utility shrneme do tabulky:
Kritérium Váhy 1
jx -0
jx Varianta
V1 V2 V3 V4 V5
Rentabilita 0,40 20 0,06 0 0,40 0,04 0,26
Page 21
21
Produktivita 0,10 150 0,04 0,06 0,05 0 0,10
En. náročnost 0,15 -600 0,09 0,13 0,04 0,15 0
Cena 0,35 20 0 0,35 0,18 0,26 0,09
Celk. hodnocení 0,19 0,54 0,67 0,45 0,45
Pořadí 5 2 1 3-4 3-4
závěr: optimální variantou je opět (stejně jako v metodě baz. varianty) varianta V3,
nejhorší variantou je opět varianta V1
Graf lineární dílčí funkce utility pro kritérium K1 (rentabilita kapitálu):
6.5 Saatyho metoda (Analytický hierarchický proces – AHP, L. H. Saaty, 1980)
opět stanovuje ohodnocení variant jako vážený součet (průměr) dílčích hodnocení
vzhledem k jednotlivým kritériím
normované váhy kritérií se počítají Saatyho metodou stanovení vah, tj. jako složky
normovaného vlastního vektoru Saatyho matice S intenzit preferencí kritérií
odpovídajícího maximálnímu vlastnímu číslu této matice
stanovení dílčích ohodnocení variant je v Saatyho metodě analogické již známému
postupu stanovení vah pouze s tím rozdílem, že srovnávanými objekty nejsou kritéria,
ale varianty rozhodování
u1
x 15 35 0
1
Page 22
22
pro každé kritérium Kj stanovíme Saatyho matici Sj na základě párového srovnávání
variant, při kterém se postupně určuje velikost preference všech dvojic variant, a to
přiřazením bodů ze stupnice (1, 3, 5, 7, 9)
dílčí hodnocení i
ju variant nixi ,,1, vzhledem k j-tému kritériu jsou definována
jako složky normovaného vlastního vektoru matice Sj odpovídajícího jejímu
maximálnímu vlastnímu číslu
celkové hodnocení i-té varianty nixi ,,1, , je pak dáno váženým průměrem
m
j
i
jj
i uvu1
kde platí
mjniuvn
i
i
j
m
j
j ,,2,1,,,2,1,1,111
předností Saatyho matice je možnost využití pro hodnocení variant vzhledem
k souboru kritérií obsahujícímu kritéria kvantitativní i kvalitativní
Poznámka:
Místo vlastního vektoru lze použít geometrický průměr řádků Saatyho matice. Celková
ohodnocení variant iu je nutné normovat tak, aby jejich součet byl roven jedné.