Matematická analýza II....Podmienky, obsah, literatúra V. Diferenciálny poˇcet Matematická analýza II. (prezentácia k prednáške MANb/10) doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.1

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Matematická analýza II.(prezentácia k prednáške MANb/10)

doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.1

[email protected]/analyza

Prednáška 1

11. februára 2019

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Podmienky

nepovinná úcast’ (!netýka sa cvicení!)

jedinecná možnost’ pýtat’ sa!!!

podmienky na skúšku (upresnené neskôr, v zásade rovnaké akov ZS)

Obsah

V. Diferenciálny pocet funkcie jednej premennej – limita a spojitost’funkcie, derivácia funkcie a jej použitie pri vyšetrovaní priebehufunkcie [16-17 prednášok]

VI. Integrálny pocet funkcie jednej premennej – primitívna funkcia,neurcitý integrál (metódy výpoctu) [6-7 prednášok]

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Podmienky

nepovinná úcast’ (!netýka sa cvicení!)

jedinecná možnost’ pýtat’ sa!!!

podmienky na skúšku (upresnené neskôr, v zásade rovnaké akov ZS)

Obsah

V. Diferenciálny pocet funkcie jednej premennej – limita a spojitost’funkcie, derivácia funkcie a jej použitie pri vyšetrovaní priebehufunkcie [16-17 prednášok]

VI. Integrálny pocet funkcie jednej premennej – primitívna funkcia,neurcitý integrál (metódy výpoctu) [6-7 prednášok]

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Literatúra

1. Mihalíková, B. – Ohriska, J.: Matematická analýza 1, el. skriptáUPJŠ, Košice, 2012. http://www.upjs.sk/public/media/

5596/Matematicka-analyza-I.pdf

2. Mihalíková, B. - Ohriska, J.: Matematická analýza 2, skriptáUPJŠ, Košice, 2007.

3. Kluvánek, I. - Mišík, L. - Švec, M.: Matematika I., Alfa, Bratislava,1966 (v závislosti od vydania).

4. umv.science.upjs.sk/analyza ... záložka Výucba,Predmet MANb/10

5. d’alšie dostupné texty (v prípade záujemcov na vyžiadanie)...

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Zopár elementárnych topologických pojmov na reálnej osiI find it really surprising that Mr. Weierstrass and Mr. Kronecker can attract so many students — between 15 and 20 — tolectures that are so difficult and at such a high level.

letter of Mittag-Leffler 1875

Co je topológia: Topológia je disciplína zaoberajúca sa vlastnost’amiobjektov, ktoré sa nemenia pri spojitých zobrazeniach. (???Cože???)Pôvod slova zo slov „topos logos“ = „náuka o miestach“

Poznámky:– topológia vyrástla prirodzene z Euklidovho štúdia rovinnej geometrie (algebrickátopológia, kombinatorická topológia, diferenciálna topológia, všeobecná topológia =vel’mi málo výsledkov spred roku 1950);– slávne topologické problémy: problém 4 farieb, 7 mostov mesta Král’ovec, problém3 domov a 3 studní, atd’.– vlastnost’ uzavretosti kružnice je topologická vlastnost’;– vlastnost’ kružnice rozdel’ovat’ množinu všetkých bodov roviny, ktoré na nejneležia, na dve disjunktné podmnožiny, je topologická vlastnost’;– vlastnost’ kružnice vediet’ skonštruovat’ dotycnicu v každom bode nie jetopologická, lebo existuje homeomorfné zobrazenie kružnice na trojuholník, ktorý užtúto vlastnost’ nemá;

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Zopár elementárnych topologických pojmov na reálnej osiI find it really surprising that Mr. Weierstrass and Mr. Kronecker can attract so many students — between 15 and 20 — tolectures that are so difficult and at such a high level.

letter of Mittag-Leffler 1875

Co je topológia: Topológia je disciplína zaoberajúca sa vlastnost’amiobjektov, ktoré sa nemenia pri spojitých zobrazeniach. (???Cože???)Pôvod slova zo slov „topos logos“ = „náuka o miestach“

Poznámky:– topológia vyrástla prirodzene z Euklidovho štúdia rovinnej geometrie (algebrickátopológia, kombinatorická topológia, diferenciálna topológia, všeobecná topológia =vel’mi málo výsledkov spred roku 1950);– slávne topologické problémy: problém 4 farieb, 7 mostov mesta Král’ovec, problém3 domov a 3 studní, atd’.– vlastnost’ uzavretosti kružnice je topologická vlastnost’;– vlastnost’ kružnice rozdel’ovat’ množinu všetkých bodov roviny, ktoré na nejneležia, na dve disjunktné podmnožiny, je topologická vlastnost’;– vlastnost’ kružnice vediet’ skonštruovat’ dotycnicu v každom bode nie jetopologická, lebo existuje homeomorfné zobrazenie kružnice na trojuholník, ktorý užtúto vlastnost’ nemá;

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Zopár elementárnych topologických pojmov na reálnej osiI find it really surprising that Mr. Weierstrass and Mr. Kronecker can attract so many students — between 15 and 20 — tolectures that are so difficult and at such a high level.

letter of Mittag-Leffler 1875

Co je topológia: Topológia je disciplína zaoberajúca sa vlastnost’amiobjektov, ktoré sa nemenia pri spojitých zobrazeniach. (???Cože???)Pôvod slova zo slov „topos logos“ = „náuka o miestach“

Poznámky:– topológia vyrástla prirodzene z Euklidovho štúdia rovinnej geometrie (algebrickátopológia, kombinatorická topológia, diferenciálna topológia, všeobecná topológia =vel’mi málo výsledkov spred roku 1950);– slávne topologické problémy: problém 4 farieb, 7 mostov mesta Král’ovec, problém3 domov a 3 studní, atd’.– vlastnost’ uzavretosti kružnice je topologická vlastnost’;– vlastnost’ kružnice rozdel’ovat’ množinu všetkých bodov roviny, ktoré na nejneležia, na dve disjunktné podmnožiny, je topologická vlastnost’;– vlastnost’ kružnice vediet’ skonštruovat’ dotycnicu v každom bode nie jetopologická, lebo existuje homeomorfné zobrazenie kružnice na trojuholník, ktorý užtúto vlastnost’ nemá;

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Zopár elementárnych topologických pojmov na reálnej osiI find it really surprising that Mr. Weierstrass and Mr. Kronecker can attract so many students — between 15 and 20 — tolectures that are so difficult and at such a high level.

letter of Mittag-Leffler 1875

Co je topológia: Topológia je disciplína zaoberajúca sa vlastnost’amiobjektov, ktoré sa nemenia pri spojitých zobrazeniach. (???Cože???)Pôvod slova zo slov „topos logos“ = „náuka o miestach“

Poznámky:– topológia vyrástla prirodzene z Euklidovho štúdia rovinnej geometrie (algebrickátopológia, kombinatorická topológia, diferenciálna topológia, všeobecná topológia =vel’mi málo výsledkov spred roku 1950);– slávne topologické problémy: problém 4 farieb, 7 mostov mesta Král’ovec, problém3 domov a 3 studní, atd’.– vlastnost’ uzavretosti kružnice je topologická vlastnost’;– vlastnost’ kružnice rozdel’ovat’ množinu všetkých bodov roviny, ktoré na nejneležia, na dve disjunktné podmnožiny, je topologická vlastnost’;– vlastnost’ kružnice vediet’ skonštruovat’ dotycnicu v každom bode nie jetopologická, lebo existuje homeomorfné zobrazenie kružnice na trojuholník, ktorý užtúto vlastnost’ nemá;

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Zopár elementárnych topologických pojmov na reálnej osiI find it really surprising that Mr. Weierstrass and Mr. Kronecker can attract so many students — between 15 and 20 — tolectures that are so difficult and at such a high level.

letter of Mittag-Leffler 1875

Co je topológia: Topológia je disciplína zaoberajúca sa vlastnost’amiobjektov, ktoré sa nemenia pri spojitých zobrazeniach. (???Cože???)Pôvod slova zo slov „topos logos“ = „náuka o miestach“

Poznámky:– topológia vyrástla prirodzene z Euklidovho štúdia rovinnej geometrie (algebrickátopológia, kombinatorická topológia, diferenciálna topológia, všeobecná topológia =vel’mi málo výsledkov spred roku 1950);– slávne topologické problémy: problém 4 farieb, 7 mostov mesta Král’ovec, problém3 domov a 3 studní, atd’.– vlastnost’ uzavretosti kružnice je topologická vlastnost’;– vlastnost’ kružnice rozdel’ovat’ množinu všetkých bodov roviny, ktoré na nejneležia, na dve disjunktné podmnožiny, je topologická vlastnost’;– vlastnost’ kružnice vediet’ skonštruovat’ dotycnicu v každom bode nie jetopologická, lebo existuje homeomorfné zobrazenie kružnice na trojuholník, ktorý užtúto vlastnost’ nemá;

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Zopár elementárnych topologických pojmov na reálnej osiI find it really surprising that Mr. Weierstrass and Mr. Kronecker can attract so many students — between 15 and 20 — tolectures that are so difficult and at such a high level.

letter of Mittag-Leffler 1875

Co je topológia: Topológia je disciplína zaoberajúca sa vlastnost’amiobjektov, ktoré sa nemenia pri spojitých zobrazeniach. (???Cože???)Pôvod slova zo slov „topos logos“ = „náuka o miestach“

Poznámky:– topológia vyrástla prirodzene z Euklidovho štúdia rovinnej geometrie (algebrickátopológia, kombinatorická topológia, diferenciálna topológia, všeobecná topológia =vel’mi málo výsledkov spred roku 1950);– slávne topologické problémy: problém 4 farieb, 7 mostov mesta Král’ovec, problém3 domov a 3 studní, atd’.– vlastnost’ uzavretosti kružnice je topologická vlastnost’;– vlastnost’ kružnice rozdel’ovat’ množinu všetkých bodov roviny, ktoré na nejneležia, na dve disjunktné podmnožiny, je topologická vlastnost’;– vlastnost’ kružnice vediet’ skonštruovat’ dotycnicu v každom bode nie jetopologická, lebo existuje homeomorfné zobrazenie kružnice na trojuholník, ktorý užtúto vlastnost’ nemá;

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Zopár elementárnych topologických pojmov na reálnej osiI find it really surprising that Mr. Weierstrass and Mr. Kronecker can attract so many students — between 15 and 20 — tolectures that are so difficult and at such a high level.

letter of Mittag-Leffler 1875

Co je topológia: Topológia je disciplína zaoberajúca sa vlastnost’amiobjektov, ktoré sa nemenia pri spojitých zobrazeniach. (???Cože???)Pôvod slova zo slov „topos logos“ = „náuka o miestach“

Poznámky:– topológia vyrástla prirodzene z Euklidovho štúdia rovinnej geometrie (algebrickátopológia, kombinatorická topológia, diferenciálna topológia, všeobecná topológia =vel’mi málo výsledkov spred roku 1950);– slávne topologické problémy: problém 4 farieb, 7 mostov mesta Král’ovec, problém3 domov a 3 studní, atd’.– vlastnost’ uzavretosti kružnice je topologická vlastnost’;– vlastnost’ kružnice rozdel’ovat’ množinu všetkých bodov roviny, ktoré na nejneležia, na dve disjunktné podmnožiny, je topologická vlastnost’;– vlastnost’ kružnice vediet’ skonštruovat’ dotycnicu v každom bode nie jetopologická, lebo existuje homeomorfné zobrazenie kružnice na trojuholník, ktorý užtúto vlastnost’ nemá;

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Zopár elementárnych topologických pojmov na reálnej osiI find it really surprising that Mr. Weierstrass and Mr. Kronecker can attract so many students — between 15 and 20 — tolectures that are so difficult and at such a high level.

letter of Mittag-Leffler 1875

Co je topológia: Topológia je disciplína zaoberajúca sa vlastnost’amiobjektov, ktoré sa nemenia pri spojitých zobrazeniach. (???Cože???)Pôvod slova zo slov „topos logos“ = „náuka o miestach“

Poznámky:– topológia vyrástla prirodzene z Euklidovho štúdia rovinnej geometrie (algebrickátopológia, kombinatorická topológia, diferenciálna topológia, všeobecná topológia =vel’mi málo výsledkov spred roku 1950);– slávne topologické problémy: problém 4 farieb, 7 mostov mesta Král’ovec, problém3 domov a 3 studní, atd’.– vlastnost’ uzavretosti kružnice je topologická vlastnost’;– vlastnost’ kružnice rozdel’ovat’ množinu všetkých bodov roviny, ktoré na nejneležia, na dve disjunktné podmnožiny, je topologická vlastnost’;– vlastnost’ kružnice vediet’ skonštruovat’ dotycnicu v každom bode nie jetopologická, lebo existuje homeomorfné zobrazenie kružnice na trojuholník, ktorý užtúto vlastnost’ nemá;

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Zopár elementárnych topologických pojmov na reálnej osiI find it really surprising that Mr. Weierstrass and Mr. Kronecker can attract so many students — between 15 and 20 — tolectures that are so difficult and at such a high level.

letter of Mittag-Leffler 1875

Co je topológia: Topológia je disciplína zaoberajúca sa vlastnost’amiobjektov, ktoré sa nemenia pri spojitých zobrazeniach. (???Cože???)Pôvod slova zo slov „topos logos“ = „náuka o miestach“

Poznámky:– topológia vyrástla prirodzene z Euklidovho štúdia rovinnej geometrie (algebrickátopológia, kombinatorická topológia, diferenciálna topológia, všeobecná topológia =vel’mi málo výsledkov spred roku 1950);– slávne topologické problémy: problém 4 farieb, 7 mostov mesta Král’ovec, problém3 domov a 3 studní, atd’.– vlastnost’ uzavretosti kružnice je topologická vlastnost’;– vlastnost’ kružnice rozdel’ovat’ množinu všetkých bodov roviny, ktoré na nejneležia, na dve disjunktné podmnožiny, je topologická vlastnost’;– vlastnost’ kružnice vediet’ skonštruovat’ dotycnicu v každom bode nie jetopologická, lebo existuje homeomorfné zobrazenie kružnice na trojuholník, ktorý užtúto vlastnost’ nemá;

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Zopár elementárnych topologických pojmov na reálnej osi

Co je topológia: Topológia je disciplína zaoberajúca sa vlastnost’amiobjektov, ktoré sa nemenia pri spojitých zobrazeniach.

• okolie bodu x0 ... O(x0)– je l’ubovol’ný otvorený interval obsahujúci bod x0

• δ-okolie bodu x0 ... Oδ(x0)– Oδ(x0) := {x ∈ R : |x − x0| < δ}, kde δ > 0• prstencové okolie bodu x0 ... O∗(x0)– O∗(x0) := O(x0) \ {x0}• prstencové δ-okolie bodu x0 ... O∗δ (x0)– O∗δ (x0) := Oδ(x0) \ {x0} = {x ∈ R : 0 < |x − x0| < δ}, kde δ > 0• okolie bodu +∞ ... O(+∞)– je l’ubovol’ný otvorený interval (a,+∞), kde a ∈ R• okolie bodu −∞ ... O(−∞)– je l’ubovol’ný otvorený interval (−∞, b), kde b ∈ RPoznámka : každé okolie bodov +∞ a−∞ je vlastne prstencové!

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Zopár elementárnych topologických pojmov na reálnej osi

Co je topológia: Topológia je disciplína zaoberajúca sa vlastnost’amiobjektov, ktoré sa nemenia pri spojitých zobrazeniach.

• okolie bodu x0 ... O(x0)– je l’ubovol’ný otvorený interval obsahujúci bod x0

• δ-okolie bodu x0 ... Oδ(x0)– Oδ(x0) := {x ∈ R : |x − x0| < δ}, kde δ > 0• prstencové okolie bodu x0 ... O∗(x0)– O∗(x0) := O(x0) \ {x0}• prstencové δ-okolie bodu x0 ... O∗δ (x0)– O∗δ (x0) := Oδ(x0) \ {x0} = {x ∈ R : 0 < |x − x0| < δ}, kde δ > 0• okolie bodu +∞ ... O(+∞)– je l’ubovol’ný otvorený interval (a,+∞), kde a ∈ R• okolie bodu −∞ ... O(−∞)– je l’ubovol’ný otvorený interval (−∞, b), kde b ∈ RPoznámka : každé okolie bodov +∞ a−∞ je vlastne prstencové!

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Zopár elementárnych topologických pojmov na reálnej osi

Co je topológia: Topológia je disciplína zaoberajúca sa vlastnost’amiobjektov, ktoré sa nemenia pri spojitých zobrazeniach.

• okolie bodu x0 ... O(x0)– je l’ubovol’ný otvorený interval obsahujúci bod x0

• δ-okolie bodu x0 ... Oδ(x0)– Oδ(x0) := {x ∈ R : |x − x0| < δ}, kde δ > 0• prstencové okolie bodu x0 ... O∗(x0)– O∗(x0) := O(x0) \ {x0}• prstencové δ-okolie bodu x0 ... O∗δ (x0)– O∗δ (x0) := Oδ(x0) \ {x0} = {x ∈ R : 0 < |x − x0| < δ}, kde δ > 0• okolie bodu +∞ ... O(+∞)– je l’ubovol’ný otvorený interval (a,+∞), kde a ∈ R• okolie bodu −∞ ... O(−∞)– je l’ubovol’ný otvorený interval (−∞, b), kde b ∈ RPoznámka : každé okolie bodov +∞ a−∞ je vlastne prstencové!

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Zopár elementárnych topologických pojmov na reálnej osi

Co je topológia: Topológia je disciplína zaoberajúca sa vlastnost’amiobjektov, ktoré sa nemenia pri spojitých zobrazeniach.

• okolie bodu x0 ... O(x0)– je l’ubovol’ný otvorený interval obsahujúci bod x0

• δ-okolie bodu x0 ... Oδ(x0)– Oδ(x0) := {x ∈ R : |x − x0| < δ}, kde δ > 0• prstencové okolie bodu x0 ... O∗(x0)– O∗(x0) := O(x0) \ {x0}• prstencové δ-okolie bodu x0 ... O∗δ (x0)– O∗δ (x0) := Oδ(x0) \ {x0} = {x ∈ R : 0 < |x − x0| < δ}, kde δ > 0• okolie bodu +∞ ... O(+∞)– je l’ubovol’ný otvorený interval (a,+∞), kde a ∈ R• okolie bodu −∞ ... O(−∞)– je l’ubovol’ný otvorený interval (−∞, b), kde b ∈ RPoznámka : každé okolie bodov +∞ a−∞ je vlastne prstencové!

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Zopár elementárnych topologických pojmov na reálnej osi

Co je topológia: Topológia je disciplína zaoberajúca sa vlastnost’amiobjektov, ktoré sa nemenia pri spojitých zobrazeniach.

• okolie bodu x0 ... O(x0)– je l’ubovol’ný otvorený interval obsahujúci bod x0

• δ-okolie bodu x0 ... Oδ(x0)– Oδ(x0) := {x ∈ R : |x − x0| < δ}, kde δ > 0• prstencové okolie bodu x0 ... O∗(x0)– O∗(x0) := O(x0) \ {x0}• prstencové δ-okolie bodu x0 ... O∗δ (x0)– O∗δ (x0) := Oδ(x0) \ {x0} = {x ∈ R : 0 < |x − x0| < δ}, kde δ > 0• okolie bodu +∞ ... O(+∞)– je l’ubovol’ný otvorený interval (a,+∞), kde a ∈ R• okolie bodu −∞ ... O(−∞)– je l’ubovol’ný otvorený interval (−∞, b), kde b ∈ RPoznámka : každé okolie bodov +∞ a−∞ je vlastne prstencové!

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Zopár elementárnych topologických pojmov na reálnej osi

Co je topológia: Topológia je disciplína zaoberajúca sa vlastnost’amiobjektov, ktoré sa nemenia pri spojitých zobrazeniach.

• okolie bodu x0 ... O(x0)– je l’ubovol’ný otvorený interval obsahujúci bod x0

• δ-okolie bodu x0 ... Oδ(x0)– Oδ(x0) := {x ∈ R : |x − x0| < δ}, kde δ > 0• prstencové okolie bodu x0 ... O∗(x0)– O∗(x0) := O(x0) \ {x0}• prstencové δ-okolie bodu x0 ... O∗δ (x0)– O∗δ (x0) := Oδ(x0) \ {x0} = {x ∈ R : 0 < |x − x0| < δ}, kde δ > 0• okolie bodu +∞ ... O(+∞)– je l’ubovol’ný otvorený interval (a,+∞), kde a ∈ R• okolie bodu −∞ ... O(−∞)– je l’ubovol’ný otvorený interval (−∞, b), kde b ∈ RPoznámka : každé okolie bodov +∞ a−∞ je vlastne prstencové!

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Zopár elementárnych topologických pojmov na reálnej osi

Co je topológia: Topológia je disciplína zaoberajúca sa vlastnost’amiobjektov, ktoré sa nemenia pri spojitých zobrazeniach.

• okolie bodu x0 ... O(x0)– je l’ubovol’ný otvorený interval obsahujúci bod x0

• δ-okolie bodu x0 ... Oδ(x0)– Oδ(x0) := {x ∈ R : |x − x0| < δ}, kde δ > 0• prstencové okolie bodu x0 ... O∗(x0)– O∗(x0) := O(x0) \ {x0}• prstencové δ-okolie bodu x0 ... O∗δ (x0)– O∗δ (x0) := Oδ(x0) \ {x0} = {x ∈ R : 0 < |x − x0| < δ}, kde δ > 0• okolie bodu +∞ ... O(+∞)– je l’ubovol’ný otvorený interval (a,+∞), kde a ∈ R• okolie bodu −∞ ... O(−∞)– je l’ubovol’ný otvorený interval (−∞, b), kde b ∈ RPoznámka : každé okolie bodov +∞ a−∞ je vlastne prstencové!

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Zopár elementárnych topologických pojmov na reálnej osi

Co je topológia: Topológia je disciplína zaoberajúca sa vlastnost’amiobjektov, ktoré sa nemenia pri spojitých zobrazeniach.

• okolie bodu x0 ... O(x0)– je l’ubovol’ný otvorený interval obsahujúci bod x0

• δ-okolie bodu x0 ... Oδ(x0)– Oδ(x0) := {x ∈ R : |x − x0| < δ}, kde δ > 0• prstencové okolie bodu x0 ... O∗(x0)– O∗(x0) := O(x0) \ {x0}• prstencové δ-okolie bodu x0 ... O∗δ (x0)– O∗δ (x0) := Oδ(x0) \ {x0} = {x ∈ R : 0 < |x − x0| < δ}, kde δ > 0• okolie bodu +∞ ... O(+∞)– je l’ubovol’ný otvorený interval (a,+∞), kde a ∈ R• okolie bodu −∞ ... O(−∞)– je l’ubovol’ný otvorený interval (−∞, b), kde b ∈ RPoznámka : každé okolie bodov +∞ a−∞ je vlastne prstencové!

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Zopakovanie

Císlo A ∈ R nazývame limitou postupnosti (an)∞1 , akk pre každé ε > 0

nerovnost’ |an − A| < ε platí pre skoro všetky prirodzené císla n, t.j.

limn→∞

an = A ⇔ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ R)(∀n ∈ N, n > n0) an ∈ Oε(A).

Preco n →∞? Cím je bod +∞ význacný v súvislosti s definicnýmoborom postupnosti (an)

∞1 , t.j. množinou N?

Bod +∞ má vlastnost’ (∀O(+∞)) N ∩ O(+∞) 6= ∅

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Zopakovanie

Císlo A ∈ R nazývame limitou postupnosti (an)∞1 , akk pre každé ε > 0

nerovnost’ |an − A| < ε platí pre skoro všetky prirodzené císla n, t.j.

limn→∞

an = A ⇔ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ R)(∀n ∈ N, n > n0) an ∈ Oε(A).

Preco n →∞? Cím je bod +∞ význacný v súvislosti s definicnýmoborom postupnosti (an)

∞1 , t.j. množinou N?

Bod +∞ má vlastnost’ (∀O(+∞)) N ∩ O(+∞) 6= ∅

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Zopakovanie

Císlo A ∈ R nazývame limitou postupnosti (an)∞1 , akk pre každé ε > 0

nerovnost’ |an − A| < ε platí pre skoro všetky prirodzené císla n, t.j.

limn→∞

an = A ⇔ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ R)(∀n ∈ N, n > n0) an ∈ Oε(A).

Preco n →∞? Cím je bod +∞ význacný v súvislosti s definicnýmoborom postupnosti (an)

∞1 , t.j. množinou N?

Bod +∞ má vlastnost’ (∀O(+∞)) N ∩ O(+∞) 6= ∅

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Definícia – hromadný bod množiny

Bod b ∈ R∗ nazývame hromadný bod množiny M ⊂ R, akkv l’ubovol’nom okolí bodu b existuje bod x ∈ M, x 6= b.

Poznámky a príklady:

kvantifikovaný výrok: bod b ∈ R∗ je hromadný bod množiny M ⊂ Rpráve vtedy, ked’ (∀O∗(b)) M ∩ O∗(b) 6= ∅;špeciálne pre vlastné císla: bod b ∈ R je hromadný bod množinyM ⊂ R práve vtedy, ked’ (∀δ > 0)(∃x ∈ M) 0 < |x − b| < δ;

hromadný bod množiny nemusí do množiny patrit’!

bod +∞ je jediný hromadný bod množiny N;

hromadnými bodmi množiny M = (0, 1) sú body 0, 1 a všetky bodymnožiny M;

množina M = {0, 1} nemá hromadné body;

izolovaný bod množiny je bod, ktorý nie je jej hromadný bod;

Pozorovanie: hromadný bod množiny = dá sa k nemu "l’ubovol’ne priblížit’"

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Definícia – hromadný bod množiny

Bod b ∈ R∗ nazývame hromadný bod množiny M ⊂ R, akkv l’ubovol’nom okolí bodu b existuje bod x ∈ M, x 6= b.

Poznámky a príklady:

kvantifikovaný výrok: bod b ∈ R∗ je hromadný bod množiny M ⊂ Rpráve vtedy, ked’ (∀O∗(b)) M ∩ O∗(b) 6= ∅;špeciálne pre vlastné císla: bod b ∈ R je hromadný bod množinyM ⊂ R práve vtedy, ked’ (∀δ > 0)(∃x ∈ M) 0 < |x − b| < δ;

hromadný bod množiny nemusí do množiny patrit’!

bod +∞ je jediný hromadný bod množiny N;

hromadnými bodmi množiny M = (0, 1) sú body 0, 1 a všetky bodymnožiny M;

množina M = {0, 1} nemá hromadné body;

izolovaný bod množiny je bod, ktorý nie je jej hromadný bod;

Pozorovanie: hromadný bod množiny = dá sa k nemu "l’ubovol’ne priblížit’"

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Definícia – hromadný bod množiny

Bod b ∈ R∗ nazývame hromadný bod množiny M ⊂ R, akkv l’ubovol’nom okolí bodu b existuje bod x ∈ M, x 6= b.

Poznámky a príklady:

kvantifikovaný výrok: bod b ∈ R∗ je hromadný bod množiny M ⊂ Rpráve vtedy, ked’ (∀O∗(b)) M ∩ O∗(b) 6= ∅;špeciálne pre vlastné císla: bod b ∈ R je hromadný bod množinyM ⊂ R práve vtedy, ked’ (∀δ > 0)(∃x ∈ M) 0 < |x − b| < δ;

hromadný bod množiny nemusí do množiny patrit’!

bod +∞ je jediný hromadný bod množiny N;

hromadnými bodmi množiny M = (0, 1) sú body 0, 1 a všetky bodymnožiny M;

množina M = {0, 1} nemá hromadné body;

izolovaný bod množiny je bod, ktorý nie je jej hromadný bod;

Pozorovanie: hromadný bod množiny = dá sa k nemu "l’ubovol’ne priblížit’"

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Definícia – hromadný bod množiny

Bod b ∈ R∗ nazývame hromadný bod množiny M ⊂ R, akkv l’ubovol’nom okolí bodu b existuje bod x ∈ M, x 6= b.

Poznámky a príklady:

kvantifikovaný výrok: bod b ∈ R∗ je hromadný bod množiny M ⊂ Rpráve vtedy, ked’ (∀O∗(b)) M ∩ O∗(b) 6= ∅;špeciálne pre vlastné císla: bod b ∈ R je hromadný bod množinyM ⊂ R práve vtedy, ked’ (∀δ > 0)(∃x ∈ M) 0 < |x − b| < δ;

hromadný bod množiny nemusí do množiny patrit’!

bod +∞ je jediný hromadný bod množiny N;

hromadnými bodmi množiny M = (0, 1) sú body 0, 1 a všetky bodymnožiny M;

množina M = {0, 1} nemá hromadné body;

izolovaný bod množiny je bod, ktorý nie je jej hromadný bod;

Pozorovanie: hromadný bod množiny = dá sa k nemu "l’ubovol’ne priblížit’"

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Definícia – hromadný bod množiny

Bod b ∈ R∗ nazývame hromadný bod množiny M ⊂ R, akkv l’ubovol’nom okolí bodu b existuje bod x ∈ M, x 6= b.

Poznámky a príklady:

kvantifikovaný výrok: bod b ∈ R∗ je hromadný bod množiny M ⊂ Rpráve vtedy, ked’ (∀O∗(b)) M ∩ O∗(b) 6= ∅;špeciálne pre vlastné císla: bod b ∈ R je hromadný bod množinyM ⊂ R práve vtedy, ked’ (∀δ > 0)(∃x ∈ M) 0 < |x − b| < δ;

hromadný bod množiny nemusí do množiny patrit’!

bod +∞ je jediný hromadný bod množiny N;

hromadnými bodmi množiny M = (0, 1) sú body 0, 1 a všetky bodymnožiny M;

množina M = {0, 1} nemá hromadné body;

izolovaný bod množiny je bod, ktorý nie je jej hromadný bod;

Pozorovanie: hromadný bod množiny = dá sa k nemu "l’ubovol’ne priblížit’"

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Definícia – hromadný bod množiny

Bod b ∈ R∗ nazývame hromadný bod množiny M ⊂ R, akkv l’ubovol’nom okolí bodu b existuje bod x ∈ M, x 6= b.

Poznámky a príklady:

kvantifikovaný výrok: bod b ∈ R∗ je hromadný bod množiny M ⊂ Rpráve vtedy, ked’ (∀O∗(b)) M ∩ O∗(b) 6= ∅;špeciálne pre vlastné císla: bod b ∈ R je hromadný bod množinyM ⊂ R práve vtedy, ked’ (∀δ > 0)(∃x ∈ M) 0 < |x − b| < δ;

hromadný bod množiny nemusí do množiny patrit’!

bod +∞ je jediný hromadný bod množiny N;

hromadnými bodmi množiny M = (0, 1) sú body 0, 1 a všetky bodymnožiny M;

množina M = {0, 1} nemá hromadné body;

izolovaný bod množiny je bod, ktorý nie je jej hromadný bod;

Pozorovanie: hromadný bod množiny = dá sa k nemu "l’ubovol’ne priblížit’"

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Definícia – hromadný bod množiny

Bod b ∈ R∗ nazývame hromadný bod množiny M ⊂ R, akkv l’ubovol’nom okolí bodu b existuje bod x ∈ M, x 6= b.

Poznámky a príklady:

kvantifikovaný výrok: bod b ∈ R∗ je hromadný bod množiny M ⊂ Rpráve vtedy, ked’ (∀O∗(b)) M ∩ O∗(b) 6= ∅;špeciálne pre vlastné císla: bod b ∈ R je hromadný bod množinyM ⊂ R práve vtedy, ked’ (∀δ > 0)(∃x ∈ M) 0 < |x − b| < δ;

hromadný bod množiny nemusí do množiny patrit’!

bod +∞ je jediný hromadný bod množiny N;

hromadnými bodmi množiny M = (0, 1) sú body 0, 1 a všetky bodymnožiny M;

množina M = {0, 1} nemá hromadné body;

izolovaný bod množiny je bod, ktorý nie je jej hromadný bod;

Pozorovanie: hromadný bod množiny = dá sa k nemu "l’ubovol’ne priblížit’"

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Definícia – hromadný bod množiny

Bod b ∈ R∗ nazývame hromadný bod množiny M ⊂ R, akkv l’ubovol’nom okolí bodu b existuje bod x ∈ M, x 6= b.

Poznámky a príklady:

kvantifikovaný výrok: bod b ∈ R∗ je hromadný bod množiny M ⊂ Rpráve vtedy, ked’ (∀O∗(b)) M ∩ O∗(b) 6= ∅;špeciálne pre vlastné císla: bod b ∈ R je hromadný bod množinyM ⊂ R práve vtedy, ked’ (∀δ > 0)(∃x ∈ M) 0 < |x − b| < δ;

hromadný bod množiny nemusí do množiny patrit’!

bod +∞ je jediný hromadný bod množiny N;

hromadnými bodmi množiny M = (0, 1) sú body 0, 1 a všetky bodymnožiny M;

množina M = {0, 1} nemá hromadné body;

izolovaný bod množiny je bod, ktorý nie je jej hromadný bod;

Pozorovanie: hromadný bod množiny = dá sa k nemu "l’ubovol’ne priblížit’"

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Definícia – hromadný bod množiny

Bod b ∈ R∗ nazývame hromadný bod množiny M ⊂ R, akkv l’ubovol’nom okolí bodu b existuje bod x ∈ M, x 6= b.

Poznámky a príklady:

kvantifikovaný výrok: bod b ∈ R∗ je hromadný bod množiny M ⊂ Rpráve vtedy, ked’ (∀O∗(b)) M ∩ O∗(b) 6= ∅;špeciálne pre vlastné císla: bod b ∈ R je hromadný bod množinyM ⊂ R práve vtedy, ked’ (∀δ > 0)(∃x ∈ M) 0 < |x − b| < δ;

hromadný bod množiny nemusí do množiny patrit’!

bod +∞ je jediný hromadný bod množiny N;

hromadnými bodmi množiny M = (0, 1) sú body 0, 1 a všetky bodymnožiny M;

množina M = {0, 1} nemá hromadné body;

izolovaný bod množiny je bod, ktorý nie je jej hromadný bod;

Pozorovanie: hromadný bod množiny = dá sa k nemu "l’ubovol’ne priblížit’"

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X vlastná hodnota vo vlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X vlastná hodnota vo vlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X vlastná hodnota vo vlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X vlastná hodnota vo vlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X vlastná hodnota vo vlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X vlastná hodnota vo vlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X vlastná hodnota vo vlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X vlastná hodnota vo vlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X vlastná hodnota vo vlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X nevlastná hodnota vo vlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X nevlastná hodnota vo vlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X nevlastná hodnota vo vlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X nevlastná hodnota vo vlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X nevlastná hodnota vo vlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X nevlastná hodnota vo vlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X nevlastná hodnota vo vlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X vlastná hodnota v nevlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X vlastná hodnota v nevlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X vlastná hodnota v nevlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X vlastná hodnota v nevlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X vlastná hodnota v nevlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X vlastná hodnota v nevlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Limita funkcie: ...nech sú veci bližšie a bližšie...The concept of the limit of a function was probably first defined with sufficient rigour by Weierstrass.

Pringsheim:Enzyclopädie der Math. Wiss.(1899)

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk (∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

Poznámka: Táto topologická (super)definícia presne vystihuje to, co intuitívne nazývame „blížit’ sa“:

X vlastná hodnota v nevlastnom bode

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk

(∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

– v závislosti od hodnôt x0 a a máme 9 možností (v dvoch skupinách):

(I) vlastná limita funkcie – vo vlastnom bode

limx→x0

f (x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ O∗δ (x0) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(a)

(I) vlastná limita funkcie – v nevlastnom bode +∞lim

x→+∞f (x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ (δ,+∞) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(a)

(I) vlastná limita funkcie – v nevlastnom bode −∞lim

x→−∞f (x) = b ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ (−∞,−δ) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(b)

(II) nevlastná limita funkcie – zvyšných 6 prípadov

limx→...

f (x) = ±∞ ⇔ ... o trošku neskôr ...

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk

(∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

– v závislosti od hodnôt x0 a a máme 9 možností (v dvoch skupinách):

(I) vlastná limita funkcie – vo vlastnom bode

limx→x0

f (x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ O∗δ (x0) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(a)

(I) vlastná limita funkcie – v nevlastnom bode +∞lim

x→+∞f (x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ (δ,+∞) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(a)

(I) vlastná limita funkcie – v nevlastnom bode −∞lim

x→−∞f (x) = b ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ (−∞,−δ) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(b)

(II) nevlastná limita funkcie – zvyšných 6 prípadov

limx→...

f (x) = ±∞ ⇔ ... o trošku neskôr ...

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk

(∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

– v závislosti od hodnôt x0 a a máme 9 možností (v dvoch skupinách):

(I) vlastná limita funkcie – vo vlastnom bode

limx→x0

f (x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ O∗δ (x0) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(a)

(I) vlastná limita funkcie – v nevlastnom bode +∞lim

x→+∞f (x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ (δ,+∞) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(a)

(I) vlastná limita funkcie – v nevlastnom bode −∞lim

x→−∞f (x) = b ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ (−∞,−δ) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(b)

(II) nevlastná limita funkcie – zvyšných 6 prípadov

limx→...

f (x) = ±∞ ⇔ ... o trošku neskôr ...

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk

(∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

– v závislosti od hodnôt x0 a a máme 9 možností (v dvoch skupinách):

(I) vlastná limita funkcie – vo vlastnom bode

limx→x0

f (x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ O∗δ (x0) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(a)

(I) vlastná limita funkcie – v nevlastnom bode +∞lim

x→+∞f (x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ (δ,+∞) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(a)

(I) vlastná limita funkcie – v nevlastnom bode −∞lim

x→−∞f (x) = b ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ (−∞,−δ) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(b)

(II) nevlastná limita funkcie – zvyšných 6 prípadov

limx→...

f (x) = ±∞ ⇔ ... o trošku neskôr ...

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk

(∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

– v závislosti od hodnôt x0 a a máme 9 možností (v dvoch skupinách):

(I) vlastná limita funkcie – vo vlastnom bode

limx→x0

f (x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ O∗δ (x0) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(a)

(I) vlastná limita funkcie – v nevlastnom bode +∞lim

x→+∞f (x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ (δ,+∞) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(a)

(I) vlastná limita funkcie – v nevlastnom bode −∞lim

x→−∞f (x) = b ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ (−∞,−δ) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(b)

(II) nevlastná limita funkcie – zvyšných 6 prípadov

limx→...

f (x) = ±∞ ⇔ ... o trošku neskôr ...

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk

(∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

– v závislosti od hodnôt x0 a a máme 9 možností (v dvoch skupinách):

(I) vlastná limita funkcie – vo vlastnom bode

limx→x0

f (x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ O∗δ (x0) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(a)

Úloha: Dokážte z definície, že pre a > 0 je limx→0

√x + a−

√a

x=

12√

a.

pohrajte sa interaktívne: https://www.geogebra.org/m/tCnmrWg2

(I) vlastná limita funkcie – v nevlastnom bode +∞lim

x→+∞f (x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ (δ,+∞) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(a)

Úloha: Dokážte z definície, že limx→∞

x − 1x + 2

= 1.

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk

(∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

– v závislosti od hodnôt x0 a a máme 9 možností (v dvoch skupinách):

(I) vlastná limita funkcie – vo vlastnom bode

limx→x0

f (x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ O∗δ (x0) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(a)

Úloha: Dokážte z definície, že pre a > 0 je limx→0

√x + a−

√a

x=

12√

a.

pohrajte sa interaktívne: https://www.geogebra.org/m/tCnmrWg2

(I) vlastná limita funkcie – v nevlastnom bode +∞lim

x→+∞f (x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ (δ,+∞) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(a)

Úloha: Dokážte z definície, že limx→∞

x − 1x + 2

= 1.

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk

(∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

– v závislosti od hodnôt x0 a a máme 9 možností (v dvoch skupinách):

(I) vlastná limita funkcie – vo vlastnom bode

limx→x0

f (x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ O∗δ (x0) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(a)

Úloha: Dokážte z definície, že pre a > 0 je limx→0

√x + a−

√a

x=

12√

a.

pohrajte sa interaktívne: https://www.geogebra.org/m/tCnmrWg2

(I) vlastná limita funkcie – v nevlastnom bode +∞lim

x→+∞f (x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ (δ,+∞) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(a)

Úloha: Dokážte z definície, že limx→∞

x − 1x + 2

= 1.

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Topologická (super)definícia limity funkcie

Nech x0 ∈ R∗ je hromadný bod Df . Hovoríme, že císlo a ∈ R∗ je limitoufunkcie f v bode x0, akk

(∀O(a))(∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩ Df ) f (x) ∈ O(a).

– v závislosti od hodnôt x0 a a máme 9 možností (v dvoch skupinách):

(I) vlastná limita funkcie – vo vlastnom bode

limx→x0

f (x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ O∗δ (x0) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(a)

Úloha: Dokážte z definície, že pre a > 0 je limx→0

√x + a−

√a

x=

12√

a.

pohrajte sa interaktívne: https://www.geogebra.org/m/tCnmrWg2

(I) vlastná limita funkcie – v nevlastnom bode +∞lim

x→+∞f (x) = a ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ (δ,+∞) ∩ Df ) f (x) ∈ Oε(a)

Úloha: Dokážte z definície, že limx→∞

x − 1x + 2

= 1.

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Niekol’ko všeobecných tvrdení o (všetkých) limitách funkcieWhen the successively attributed values of the same variable indefinitely approach a fixed value, so that finally they differfrom it by as little as desired, the last is called thelimit of all the others.

Cauchy:Cours d’Analyse(1821)

Veta V.1

Funkcia f má v bode x0 ∈ R∗ nanajvýš jednu limitu.

Tvrdenie V.2

Nech x0 je hromadný bod množiny M = Df ∩ Dg a nech (∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩M) f (x) = g(x). Potom lim

x→x0f (x) existuje práve vtedy, ked’

existuje limx→x0

g(x) a platí limx→x0

f (x) = limx→x0

g(x).

Príklad: Vypocítajte limitu limx→1

12 x2 + 1

2 x − 1x − 1

.

Veta V.3

Nech x0 je hromadný bod množiny M = Df ∩ Dg a nech (∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩M) f (x) ≤ g(x). Potom lim

x→x0f (x) ≤ lim

x→x0g(x).

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Niekol’ko všeobecných tvrdení o (všetkých) limitách funkcieWhen the successively attributed values of the same variable indefinitely approach a fixed value, so that finally they differfrom it by as little as desired, the last is called thelimit of all the others.

Cauchy:Cours d’Analyse(1821)

Veta V.1

Funkcia f má v bode x0 ∈ R∗ nanajvýš jednu limitu.

Tvrdenie V.2

Nech x0 je hromadný bod množiny M = Df ∩ Dg a nech (∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩M) f (x) = g(x). Potom lim

x→x0f (x) existuje práve vtedy, ked’

existuje limx→x0

g(x) a platí limx→x0

f (x) = limx→x0

g(x).

Príklad: Vypocítajte limitu limx→1

12 x2 + 1

2 x − 1x − 1

.

Veta V.3

Nech x0 je hromadný bod množiny M = Df ∩ Dg a nech (∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩M) f (x) ≤ g(x). Potom lim

x→x0f (x) ≤ lim

x→x0g(x).

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Niekol’ko všeobecných tvrdení o (všetkých) limitách funkcieWhen the successively attributed values of the same variable indefinitely approach a fixed value, so that finally they differfrom it by as little as desired, the last is called thelimit of all the others.

Cauchy:Cours d’Analyse(1821)

Veta V.1

Funkcia f má v bode x0 ∈ R∗ nanajvýš jednu limitu.

Tvrdenie V.2

Nech x0 je hromadný bod množiny M = Df ∩ Dg a nech (∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩M) f (x) = g(x). Potom lim

x→x0f (x) existuje práve vtedy, ked’

existuje limx→x0

g(x) a platí limx→x0

f (x) = limx→x0

g(x).

Príklad: Vypocítajte limitu limx→1

12 x2 + 1

2 x − 1x − 1

.

Veta V.3

Nech x0 je hromadný bod množiny M = Df ∩ Dg a nech (∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩M) f (x) ≤ g(x). Potom lim

x→x0f (x) ≤ lim

x→x0g(x).

Ondrej Hutník Matematická analýza II.

Podmienky, obsah, literatúraV. Diferenciálny po cet

Limita funkcie

Niekol’ko všeobecných tvrdení o (všetkých) limitách funkcieWhen the successively attributed values of the same variable indefinitely approach a fixed value, so that finally they differfrom it by as little as desired, the last is called thelimit of all the others.

Cauchy:Cours d’Analyse(1821)

Veta V.1

Funkcia f má v bode x0 ∈ R∗ nanajvýš jednu limitu.

Tvrdenie V.2

Nech x0 je hromadný bod množiny M = Df ∩ Dg a nech (∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩M) f (x) = g(x). Potom lim

x→x0f (x) existuje práve vtedy, ked’

existuje limx→x0

g(x) a platí limx→x0

f (x) = limx→x0

g(x).

Príklad: Vypocítajte limitu limx→1

12 x2 + 1

2 x − 1x − 1

.

Veta V.3

Nech x0 je hromadný bod množiny M = Df ∩ Dg a nech (∃O(x0))(∀x ∈ O∗(x0) ∩M) f (x) ≤ g(x). Potom lim

x→x0f (x) ≤ lim

x→x0g(x).

Ondrej Hutník Matematická analýza II.