Nejaký úvod na úvod I. ˇ Císelné množiny Matematická analýza I. (prezentácia k prednáške MANa/10) doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD. 1 1 [email protected]umv.science.upjs.sk/analyza/texty/predmety/MANa.html Prednáška 1 18. septembra 2018 Ondrej Hutník Matematická analýza I.
63
Embed
Matematická analýza I....Nejaký úvod na úvod I. Císelné množinyˇ (Jeden) pár uvodných zamyslení II: O com by malo byt’ štúdium (a výuˇ cba) matematiky?ˇ Matematika
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Matematická analýza I.(prezentácia k prednáške MANa/10)
II. Úvod do reálnych funkcií – zobrazenia, základné vlastnostireálnych funkcií (párnost’/nepárnost’, ohranicenost’,monotónnost’, ...), elementárne funkcie [cca 2 prednášky]
III. Postupnosti reálnych císel – základné vlastnosti, konvergencia[cca 4 prednášky]
IV. Rady reálnych císel – súcet nekonecného radu, kritériákonvergencie, operácie s radmi [cca 3 prednášky]
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Podmienky
nepovinná úcast’ na prednáškach (!nie na cviceniach!)
II. Úvod do reálnych funkcií – zobrazenia, základné vlastnostireálnych funkcií (párnost’/nepárnost’, ohranicenost’,monotónnost’, ...), elementárne funkcie [cca 2 prednášky]
III. Postupnosti reálnych císel – základné vlastnosti, konvergencia[cca 4 prednášky]
IV. Rady reálnych císel – súcet nekonecného radu, kritériákonvergencie, operácie s radmi [cca 3 prednášky]
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Literatúra k prednáškam
1. Mihalíková, B. – Ohriska, J.: Matematická analýza 1, el. skriptáUPJŠ, Košice, 2012. http://www.upjs.sk/public/media/
5596/Matematicka-analyza-I.pdf
2. Kluvánek, I. – Mišík, L. – Švec, M.: Matematika I., Alfa,Bratislava, 1966 (v závislosti od vydania).
3. casti elektronického textu sprístupnovaného na stránkeumv.science.upjs.sk/analyza pri predmete MANa/10
(Jeden) pár uvodných zamysleníI: Co je vlastne matematika?
Matematika môže byt’ definovaná ako jav, pri ktorom nikdy nevieme, ocom je rec, anici to, co sme povedali, je pravda.Bertrand Russell
Mathematics is not a deductive science – that’s a cliche. When you try to prove a theorem, you don’t just list thehypotheses, and then start to reason. What you do is trial and error, experimentation, guesswork.
Paul R. Halmos:I want to be a Mathematician(1985)
Boh je matematik... Matematika je prostriedok špeciálne prispôsobený na osvojenie si rôznych abstraktných pojmov, acosa toho týka, jej moc je neohranicená.
Paul Dirac
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
(Jeden) pár uvodných zamysleníII: O com by malo byt’ štúdium (a výucba) matematiky?
Matematikaby nemala byt’ o vzorcoch, úpravách výrazov,ci formálnom reprodukovaní algoritmických postupov bezvnútorného porozumenia.Mala by študentov naucit’
vyjadrovat’ sa jasnea jednoznacne
vštepovat’ im potrebuneustálesi klást’ otázku PRECO?
vyžadovat’ argumentya zároven vecne a logicky diskutovat’ a argumentovat’...
To teach effectively a teacher must develop a feeling for his subject; he cannot make his students sense its vitality if hedoes not sense it himself. He cannot share his enthusiasm when he has no enthusiasm to share. How he makes his pointmay be as important as the point he makes; he must personally feel it to be important.
Historická exkurzia do dejín matematickej analýzypredchodcovia: Archimedes, Kepler, Fermat, Descartes
oficiálny vznik v 17. storocí: Newton, Leibniz
kvantitatívny rozmach v 18. storocí: Euler, Laplace, Lagrange
upresnovanie základov v 19. storocí: Cauchy, Bolzano, Riemann,Weierstrass, Cantor
20. storocie – konglomerát teórií
MAN = disciplína zaoberajúca sa štúdiom vlastností množín a ichvzájomných zobrazení, ktoré sú ur cené topologickou štruktúrou(štruktúra polohy) a štruktúrou algebrických operácií.
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Historická exkurzia do dejín matematickej analýzypredchodcovia: Archimedes, Kepler, Fermat, Descartes
oficiálny vznik v 17. storocí: Newton, Leibniz
kvantitatívny rozmach v 18. storocí: Euler, Laplace, Lagrange
upresnovanie základov v 19. storocí: Cauchy, Bolzano, Riemann,Weierstrass, Cantor
20. storocie – konglomerát teórií
MAN = disciplína zaoberajúca sa štúdiom vlastností množín a ichvzájomných zobrazení, ktoré sú ur cené topologickou štruktúrou(štruktúra polohy) a štruktúrou algebrických operácií.
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Historická exkurzia do dejín matematickej analýzypredchodcovia: Archimedes, Kepler, Fermat, Descartes
oficiálny vznik v 17. storocí: Newton, Leibniz
kvantitatívny rozmach v 18. storocí: Euler, Laplace, Lagrange
upresnovanie základov v 19. storocí: Cauchy, Bolzano, Riemann,Weierstrass, Cantor
20. storocie – konglomerát teórií
MAN = disciplína zaoberajúca sa štúdiom vlastností množín a ichvzájomných zobrazení, ktoré sú ur cené topologickou štruktúrou(štruktúra polohy) a štruktúrou algebrických operácií.
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Historická exkurzia do dejín matematickej analýzypredchodcovia: Archimedes, Kepler, Fermat, Descartes
oficiálny vznik v 17. storocí: Newton, Leibniz
kvantitatívny rozmach v 18. storocí: Euler, Laplace, Lagrange
upresnovanie základov v 19. storocí: Cauchy, Bolzano, Riemann,Weierstrass, Cantor
20. storocie – konglomerát teórií
MAN = disciplína zaoberajúca sa štúdiom vlastností množín a ichvzájomných zobrazení, ktoré sú ur cené topologickou štruktúrou(štruktúra polohy) a štruktúrou algebrických operácií.
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Historická exkurzia do dejín matematickej analýzypredchodcovia: Archimedes, Kepler, Fermat, Descartes
oficiálny vznik v 17. storocí: Newton, Leibniz
kvantitatívny rozmach v 18. storocí: Euler, Laplace, Lagrange
upresnovanie základov v 19. storocí: Cauchy, Bolzano, Riemann,Weierstrass, Cantor
20. storocie – konglomerát teórií
MAN = disciplína zaoberajúca sa štúdiom vlastností množín a ichvzájomných zobrazení, ktoré sú ur cené topologickou štruktúrou(štruktúra polohy) a štruktúrou algebrických operácií.
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Historická exkurzia do dejín matematickej analýzypredchodcovia: Archimedes, Kepler, Fermat, Descartes
oficiálny vznik v 17. storocí: Newton, Leibniz
kvantitatívny rozmach v 18. storocí: Euler, Laplace, Lagrange
upresnovanie základov v 19. storocí: Cauchy, Bolzano, Riemann,Weierstrass, Cantor
20. storocie – konglomerát teórií
MAN = disciplína zaoberajúca sa štúdiom vlastností množín a ichvzájomných zobrazení, ktoré sú ur cené topologickou štruktúrou(štruktúra polohy) a štruktúrou algebrických operácií.
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Historická exkurzia do dejín matematickej analýzy schématicky
ArchimedesNewton 1665 Cauchy 1821 Cantor 1875
Kepler 1615 ⇒Leibniz 1675
⇒Weierstrass
⇒Dedekind
Fermat 1638
limity, množiny,integrál ⇒ derivácia ⇒
spojité funkcie⇒
zobrazenia
– Co je to vlastne integrál ? Odpoved’: Limita
– Co je to vlastne derivácia ? Odpoved’: Limita
– Co je to vlastne súcet nekone cného radu ? Odpoved’: Limita
– A co je to limita ? Odpoved’: Císlo
A co vlastne to císlo je???
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Historická exkurzia do dejín matematickej analýzy schématicky
ArchimedesNewton 1665 Cauchy 1821 Cantor 1875
Kepler 1615 ⇒Leibniz 1675
⇒Weierstrass
⇒Dedekind
Fermat 1638
limity, množiny,integrál ⇒ derivácia ⇒
spojité funkcie⇒
zobrazenia
– Co je to vlastne integrál ? Odpoved’: Limita
– Co je to vlastne derivácia ? Odpoved’: Limita
– Co je to vlastne súcet nekone cného radu ? Odpoved’: Limita
– A co je to limita ? Odpoved’: Císlo
A co vlastne to císlo je???
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Historická exkurzia do dejín matematickej analýzy schématicky
ArchimedesNewton 1665 Cauchy 1821 Cantor 1875
Kepler 1615 ⇒Leibniz 1675
⇒Weierstrass
⇒Dedekind
Fermat 1638
limity, množiny,integrál ⇒ derivácia ⇒
spojité funkcie⇒
zobrazenia
– Co je to vlastne integrál ? Odpoved’: Limita
– Co je to vlastne derivácia ? Odpoved’: Limita
– Co je to vlastne súcet nekone cného radu ? Odpoved’: Limita
– A co je to limita ? Odpoved’: Císlo
A co vlastne to císlo je???
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Historická exkurzia do dejín matematickej analýzy schématicky
ArchimedesNewton 1665 Cauchy 1821 Cantor 1875
Kepler 1615 ⇒Leibniz 1675
⇒Weierstrass
⇒Dedekind
Fermat 1638
limity, množiny,integrál ⇒ derivácia ⇒
spojité funkcie⇒
zobrazenia
– Co je to vlastne integrál ? Odpoved’: Limita
– Co je to vlastne derivácia ? Odpoved’: Limita
– Co je to vlastne súcet nekone cného radu ? Odpoved’: Limita
– A co je to limita ? Odpoved’: Císlo
A co vlastne to císlo je???
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Historická exkurzia do dejín matematickej analýzy schématicky
ArchimedesNewton 1665 Cauchy 1821 Cantor 1875
Kepler 1615 ⇒Leibniz 1675
⇒Weierstrass
⇒Dedekind
Fermat 1638
limity, množiny,integrál ⇒ derivácia ⇒
spojité funkcie⇒
zobrazenia
– Co je to vlastne integrál ? Odpoved’: Limita
– Co je to vlastne derivácia ? Odpoved’: Limita
– Co je to vlastne súcet nekone cného radu ? Odpoved’: Limita
– A co je to limita ? Odpoved’: Císlo
A co vlastne to císlo je???
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Historická exkurzia do dejín matematickej analýzy schématicky
ArchimedesNewton 1665 Cauchy 1821 Cantor 1875
Kepler 1615 ⇒Leibniz 1675
⇒Weierstrass
⇒Dedekind
Fermat 1638
limity, množiny,integrál ⇒ derivácia ⇒
spojité funkcie⇒
zobrazenia
– Co je to vlastne integrál ? Odpoved’: Limita
– Co je to vlastne derivácia ? Odpoved’: Limita
– Co je to vlastne súcet nekone cného radu ? Odpoved’: Limita
– A co je to limita ? Odpoved’: Císlo
A co vlastne to císlo je???
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Historická exkurzia do dejín matematickej analýzy schématicky
ArchimedesNewton 1665 Cauchy 1821 Cantor 1875
Kepler 1615 ⇒Leibniz 1675
⇒Weierstrass
⇒Dedekind
Fermat 1638
limity, množiny,integrál ⇒ derivácia ⇒
spojité funkcie⇒
zobrazenia
– Co je to vlastne integrál ? Odpoved’: Limita
– Co je to vlastne derivácia ? Odpoved’: Limita
– Co je to vlastne súcet nekone cného radu ? Odpoved’: Limita
– A co je to limita ? Odpoved’: Císlo
A co vlastne to císlo je???
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Reálne císla
... the definition of irrational numbers, on which geometric representations have often had a confusing influence... I takein my definition a purely formal point of view,calling some given symbols numbers, so that the existence of thesenumbers is beyond doubt.
Eduard Heine:Die Elemente der Funktionenlehre(1872)
At that point, my sense of dissatisfaction was so strong that I firmly resolved to start thinking until I should find a purelyarithmetic and absolutely rigorous foundation of the principles of infinitesimal analysis... I achieved this goal onNovember 24th, 1858, ... but I could not really decide upon a proper publication, because, firstly, the subject is not easy topresent, and, secondly, the material is not very fruitful.
Dedekind:Stetigkeit und irrationale Zahlen(1872)
√3 is thus only a symbol for a number which has yet to be found, but is not its definition. This definition is, however,
satisfactorily given by my method as, say{1,7, 1,73, 1,732, ...}Georg Cantor:Bemerkung mit Bezug auf den Aufsatz: Zur Weierstraß-Cantorschen Theorie der Irrationalzahlen(1889)
Dnes vieme elegantne odpovedat’ na položenú otázku:Reálne císla sú
triedy ekvivalencií racionálnych Cauchyovských postupností;Dedekindove rezy na množine racionálnych císel;jediné najmenšie úplné komutatívne archimedovské pole;??? nejak inak (hlavne „l’udsky“) ???
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Reálne císla
... the definition of irrational numbers, on which geometric representations have often had a confusing influence... I takein my definition a purely formal point of view,calling some given symbols numbers, so that the existence of thesenumbers is beyond doubt.
Eduard Heine:Die Elemente der Funktionenlehre(1872)
At that point, my sense of dissatisfaction was so strong that I firmly resolved to start thinking until I should find a purelyarithmetic and absolutely rigorous foundation of the principles of infinitesimal analysis... I achieved this goal onNovember 24th, 1858, ... but I could not really decide upon a proper publication, because, firstly, the subject is not easy topresent, and, secondly, the material is not very fruitful.
Dedekind:Stetigkeit und irrationale Zahlen(1872)
√3 is thus only a symbol for a number which has yet to be found, but is not its definition. This definition is, however,
satisfactorily given by my method as, say{1,7, 1,73, 1,732, ...}Georg Cantor:Bemerkung mit Bezug auf den Aufsatz: Zur Weierstraß-Cantorschen Theorie der Irrationalzahlen(1889)
Dnes vieme elegantne odpovedat’ na položenú otázku:Reálne císla sú
triedy ekvivalencií racionálnych Cauchyovských postupností;Dedekindove rezy na množine racionálnych císel;jediné najmenšie úplné komutatívne archimedovské pole;??? nejak inak (hlavne „l’udsky“) ???
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Reálne císla
... the definition of irrational numbers, on which geometric representations have often had a confusing influence... I takein my definition a purely formal point of view,calling some given symbols numbers, so that the existence of thesenumbers is beyond doubt.
Eduard Heine:Die Elemente der Funktionenlehre(1872)
At that point, my sense of dissatisfaction was so strong that I firmly resolved to start thinking until I should find a purelyarithmetic and absolutely rigorous foundation of the principles of infinitesimal analysis... I achieved this goal onNovember 24th, 1858, ... but I could not really decide upon a proper publication, because, firstly, the subject is not easy topresent, and, secondly, the material is not very fruitful.
Dedekind:Stetigkeit und irrationale Zahlen(1872)
√3 is thus only a symbol for a number which has yet to be found, but is not its definition. This definition is, however,
satisfactorily given by my method as, say{1,7, 1,73, 1,732, ...}Georg Cantor:Bemerkung mit Bezug auf den Aufsatz: Zur Weierstraß-Cantorschen Theorie der Irrationalzahlen(1889)
Dnes vieme elegantne odpovedat’ na položenú otázku:Reálne císla sú
triedy ekvivalencií racionálnych Cauchyovských postupností;Dedekindove rezy na množine racionálnych císel;jediné najmenšie úplné komutatívne archimedovské pole;??? nejak inak (hlavne „l’udsky“) ???
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy výrokového po ctu
Štýl matematického textu je urcený jeho ciel’mi, ktorými môže byt’:
vo forme pravdivých výrokov oznámit’ fakty o nejakom objekte,predmete patriacom do matematiky (císlo, teleso, rovnica, ...),
udat’, stanovit’ dôvody pre správnost’ (pravdivost’) uvedenýchvýrokov,
ukázat’, ako tieto výroky navzájom súvisia.
Výrok je gramatická veta, o ktorej je možné rozhodnút’, ci je pravdiváalebo nie. Niektoré výroky, ktoré sú zarucene pravdivé sú osobitnezaznamenávané a nazývajú sa matematické vety (Pytagorova veta,Binomická veta, ...).Dôkaz je úvaha, ktorá zarucuje platnost’ matematickej vety.Axióma teórie je výrok, ktorý považujeme "automaticky" za pravdivý(axiómy bývajú prevzaté z inej teórie alebo zo skúseností).
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy výrokového po ctu
Štýl matematického textu je urcený jeho ciel’mi, ktorými môže byt’:
vo forme pravdivých výrokov oznámit’ fakty o nejakom objekte,predmete patriacom do matematiky (císlo, teleso, rovnica, ...),
udat’, stanovit’ dôvody pre správnost’ (pravdivost’) uvedenýchvýrokov,
ukázat’, ako tieto výroky navzájom súvisia.
Výrok je gramatická veta, o ktorej je možné rozhodnút’, ci je pravdiváalebo nie. Niektoré výroky, ktoré sú zarucene pravdivé sú osobitnezaznamenávané a nazývajú sa matematické vety (Pytagorova veta,Binomická veta, ...).Dôkaz je úvaha, ktorá zarucuje platnost’ matematickej vety.Axióma teórie je výrok, ktorý považujeme "automaticky" za pravdivý(axiómy bývajú prevzaté z inej teórie alebo zo skúseností).
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy výrokového po ctu
Štýl matematického textu je urcený jeho ciel’mi, ktorými môže byt’:
vo forme pravdivých výrokov oznámit’ fakty o nejakom objekte,predmete patriacom do matematiky (císlo, teleso, rovnica, ...),
udat’, stanovit’ dôvody pre správnost’ (pravdivost’) uvedenýchvýrokov,
ukázat’, ako tieto výroky navzájom súvisia.
Výrok je gramatická veta, o ktorej je možné rozhodnút’, ci je pravdiváalebo nie. Niektoré výroky, ktoré sú zarucene pravdivé sú osobitnezaznamenávané a nazývajú sa matematické vety (Pytagorova veta,Binomická veta, ...).Dôkaz je úvaha, ktorá zarucuje platnost’ matematickej vety.Axióma teórie je výrok, ktorý považujeme "automaticky" za pravdivý(axiómy bývajú prevzaté z inej teórie alebo zo skúseností).
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy výrokového po ctu
Štýl matematického textu je urcený jeho ciel’mi, ktorými môže byt’:
vo forme pravdivých výrokov oznámit’ fakty o nejakom objekte,predmete patriacom do matematiky (císlo, teleso, rovnica, ...),
udat’, stanovit’ dôvody pre správnost’ (pravdivost’) uvedenýchvýrokov,
ukázat’, ako tieto výroky navzájom súvisia.
Výrok je gramatická veta, o ktorej je možné rozhodnút’, ci je pravdiváalebo nie. Niektoré výroky, ktoré sú zarucene pravdivé sú osobitnezaznamenávané a nazývajú sa matematické vety (Pytagorova veta,Binomická veta, ...).Dôkaz je úvaha, ktorá zarucuje platnost’ matematickej vety.Axióma teórie je výrok, ktorý považujeme "automaticky" za pravdivý(axiómy bývajú prevzaté z inej teórie alebo zo skúseností).
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy výrokového po ctu
Štýl matematického textu je urcený jeho ciel’mi, ktorými môže byt’:
vo forme pravdivých výrokov oznámit’ fakty o nejakom objekte,predmete patriacom do matematiky (císlo, teleso, rovnica, ...),
udat’, stanovit’ dôvody pre správnost’ (pravdivost’) uvedenýchvýrokov,
ukázat’, ako tieto výroky navzájom súvisia.
Výrok je gramatická veta, o ktorej je možné rozhodnút’, ci je pravdiváalebo nie. Niektoré výroky, ktoré sú zarucene pravdivé sú osobitnezaznamenávané a nazývajú sa matematické vety (Pytagorova veta,Binomická veta, ...).Dôkaz je úvaha, ktorá zarucuje platnost’ matematickej vety.Axióma teórie je výrok, ktorý považujeme "automaticky" za pravdivý(axiómy bývajú prevzaté z inej teórie alebo zo skúseností).
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy výrokového po ctu
Štýl matematického textu je urcený jeho ciel’mi, ktorými môže byt’:
vo forme pravdivých výrokov oznámit’ fakty o nejakom objekte,predmete patriacom do matematiky (císlo, teleso, rovnica, ...),
udat’, stanovit’ dôvody pre správnost’ (pravdivost’) uvedenýchvýrokov,
ukázat’, ako tieto výroky navzájom súvisia.
Výrok je gramatická veta, o ktorej je možné rozhodnút’, ci je pravdiváalebo nie. Niektoré výroky, ktoré sú zarucene pravdivé sú osobitnezaznamenávané a nazývajú sa matematické vety (Pytagorova veta,Binomická veta, ...).Dôkaz je úvaha, ktorá zarucuje platnost’ matematickej vety.Axióma teórie je výrok, ktorý považujeme "automaticky" za pravdivý(axiómy bývajú prevzaté z inej teórie alebo zo skúseností).
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy výrokového po ctu
Tvorenie nových výrokova) negácia ... nie je pravda, že platí A; ozn. non A, ¬A
– platí výrok alebo jeho negáciab) konjunkcia ... A a B, A a zároven B; ozn. A ∧ B
– je pravdivá, ak obidva výroky A, B sú pravdivéc) disjunkcia (alternatíva) ... A alebo B; ozn. A ∨ B
– je pravdivá, ak aspon jeden z výrokov A, B je pravdivýd) implikácia ... A implikuje B, z A vyplýva B; ozn. A ⇒ B
– je nepravdivá v prípade, ak A je pravdivý výrok a B jenepravdivý výrok– A je postacujúcou podmienkou pre B a výrok B je zasa nutnoupodmienkou pre A– A ⇒ B, A je predpoklad, B je záver– B ⇒ A je iný výrok ako A ⇒ B, nedá sa vo všeobecnostiobrátit’! (je to obrátená veta k vete A ⇒ B)
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy výrokového po ctu
Tvorenie nových výrokova) negácia ... nie je pravda, že platí A; ozn. non A, ¬A
– platí výrok alebo jeho negáciab) konjunkcia ... A a B, A a zároven B; ozn. A ∧ B
– je pravdivá, ak obidva výroky A, B sú pravdivéc) disjunkcia (alternatíva) ... A alebo B; ozn. A ∨ B
– je pravdivá, ak aspon jeden z výrokov A, B je pravdivýd) implikácia ... A implikuje B, z A vyplýva B; ozn. A ⇒ B
– je nepravdivá v prípade, ak A je pravdivý výrok a B jenepravdivý výrok– A je postacujúcou podmienkou pre B a výrok B je zasa nutnoupodmienkou pre A– A ⇒ B, A je predpoklad, B je záver– B ⇒ A je iný výrok ako A ⇒ B, nedá sa vo všeobecnostiobrátit’! (je to obrátená veta k vete A ⇒ B)
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy výrokového po ctu
Tvorenie nových výrokova) negácia ... nie je pravda, že platí A; ozn. non A, ¬A
– platí výrok alebo jeho negáciab) konjunkcia ... A a B, A a zároven B; ozn. A ∧ B
– je pravdivá, ak obidva výroky A, B sú pravdivéc) disjunkcia (alternatíva) ... A alebo B; ozn. A ∨ B
– je pravdivá, ak aspon jeden z výrokov A, B je pravdivýd) implikácia ... A implikuje B, z A vyplýva B; ozn. A ⇒ B
– je nepravdivá v prípade, ak A je pravdivý výrok a B jenepravdivý výrok– A je postacujúcou podmienkou pre B a výrok B je zasa nutnoupodmienkou pre A– A ⇒ B, A je predpoklad, B je záver– B ⇒ A je iný výrok ako A ⇒ B, nedá sa vo všeobecnostiobrátit’! (je to obrátená veta k vete A ⇒ B)
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy výrokového po ctu
Tvorenie nových výrokova) negácia ... nie je pravda, že platí A; ozn. non A, ¬A
– platí výrok alebo jeho negáciab) konjunkcia ... A a B, A a zároven B; ozn. A ∧ B
– je pravdivá, ak obidva výroky A, B sú pravdivéc) disjunkcia (alternatíva) ... A alebo B; ozn. A ∨ B
– je pravdivá, ak aspon jeden z výrokov A, B je pravdivýd) implikácia ... A implikuje B, z A vyplýva B; ozn. A ⇒ B
– je nepravdivá v prípade, ak A je pravdivý výrok a B jenepravdivý výrok– A je postacujúcou podmienkou pre B a výrok B je zasa nutnoupodmienkou pre A– A ⇒ B, A je predpoklad, B je záver– B ⇒ A je iný výrok ako A ⇒ B, nedá sa vo všeobecnostiobrátit’! (je to obrátená veta k vete A ⇒ B)
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy výrokového po ctu
Tvorenie nových výrokova) negácia ... nie je pravda, že platí A; ozn. non A, ¬A
– platí výrok alebo jeho negáciab) konjunkcia ... A a B, A a zároven B; ozn. A ∧ B
– je pravdivá, ak obidva výroky A, B sú pravdivéc) disjunkcia (alternatíva) ... A alebo B; ozn. A ∨ B
– je pravdivá, ak aspon jeden z výrokov A, B je pravdivýd) implikácia ... A implikuje B, z A vyplýva B; ozn. A ⇒ B
– je nepravdivá v prípade, ak A je pravdivý výrok a B jenepravdivý výrok– A je postacujúcou podmienkou pre B a výrok B je zasa nutnoupodmienkou pre A– A ⇒ B, A je predpoklad, B je záver– B ⇒ A je iný výrok ako A ⇒ B, nedá sa vo všeobecnostiobrátit’! (je to obrátená veta k vete A ⇒ B)
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy výrokového po ctu
Tvorenie nových výrokov
e) ekvivalencia ... A platí práve vtedy ked’ platí B, A platí vtedy a lenvtedy, ked’ platí B; ozn. A ⇔ B, A ≡ B– je pravdivá, ak obidva výroky sú pravdivé alebo obidva výrokysú nepravdivé– A je nutnou a zároven postacujúcou podmienkou pre B– ak A ⇒ B a B ⇒ A sú pravdivé, je pravdivý aj výrok A ⇔ B
Dôkazy viet tvaru A ⇒ Ba) priamo ... vychádzame z predpokladu A a využitím d’alších
tvrdení dôjdeme k záveru B, t.j. A ⇒ A1 ⇒ A2 ⇒ · · · ⇒ Bb) nepriamo ... je to priamy dôkaz obmenenej vety, t.j. vety
¬B ⇒ ¬Ac) sporom ... vychádzame z negácie výroku A ⇒ B
(¬(A ⇒ B) ⇔ (A ∧ ¬B)) a pokúsime sa získat’ spor s výrokom A,¬B, nejakým platným výrokom (axiómou).
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy výrokového po ctu
Tvorenie nových výrokov
e) ekvivalencia ... A platí práve vtedy ked’ platí B, A platí vtedy a lenvtedy, ked’ platí B; ozn. A ⇔ B, A ≡ B– je pravdivá, ak obidva výroky sú pravdivé alebo obidva výrokysú nepravdivé– A je nutnou a zároven postacujúcou podmienkou pre B– ak A ⇒ B a B ⇒ A sú pravdivé, je pravdivý aj výrok A ⇔ B
Dôkazy viet tvaru A ⇒ Ba) priamo ... vychádzame z predpokladu A a využitím d’alších
tvrdení dôjdeme k záveru B, t.j. A ⇒ A1 ⇒ A2 ⇒ · · · ⇒ Bb) nepriamo ... je to priamy dôkaz obmenenej vety, t.j. vety
¬B ⇒ ¬Ac) sporom ... vychádzame z negácie výroku A ⇒ B
(¬(A ⇒ B) ⇔ (A ∧ ¬B)) a pokúsime sa získat’ spor s výrokom A,¬B, nejakým platným výrokom (axiómou).
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy výrokového po ctu
Tvorenie nových výrokov
e) ekvivalencia ... A platí práve vtedy ked’ platí B, A platí vtedy a lenvtedy, ked’ platí B; ozn. A ⇔ B, A ≡ B– je pravdivá, ak obidva výroky sú pravdivé alebo obidva výrokysú nepravdivé– A je nutnou a zároven postacujúcou podmienkou pre B– ak A ⇒ B a B ⇒ A sú pravdivé, je pravdivý aj výrok A ⇔ B
Dôkazy viet tvaru A ⇒ Ba) priamo ... vychádzame z predpokladu A a využitím d’alších
tvrdení dôjdeme k záveru B, t.j. A ⇒ A1 ⇒ A2 ⇒ · · · ⇒ Bb) nepriamo ... je to priamy dôkaz obmenenej vety, t.j. vety
¬B ⇒ ¬Ac) sporom ... vychádzame z negácie výroku A ⇒ B
(¬(A ⇒ B) ⇔ (A ∧ ¬B)) a pokúsime sa získat’ spor s výrokom A,¬B, nejakým platným výrokom (axiómou).
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy výrokového po ctu
Tvorenie nových výrokov
e) ekvivalencia ... A platí práve vtedy ked’ platí B, A platí vtedy a lenvtedy, ked’ platí B; ozn. A ⇔ B, A ≡ B– je pravdivá, ak obidva výroky sú pravdivé alebo obidva výrokysú nepravdivé– A je nutnou a zároven postacujúcou podmienkou pre B– ak A ⇒ B a B ⇒ A sú pravdivé, je pravdivý aj výrok A ⇔ B
Dôkazy viet tvaru A ⇒ Ba) priamo ... vychádzame z predpokladu A a využitím d’alších
tvrdení dôjdeme k záveru B, t.j. A ⇒ A1 ⇒ A2 ⇒ · · · ⇒ Bb) nepriamo ... je to priamy dôkaz obmenenej vety, t.j. vety
¬B ⇒ ¬Ac) sporom ... vychádzame z negácie výroku A ⇒ B
(¬(A ⇒ B) ⇔ (A ∧ ¬B)) a pokúsime sa získat’ spor s výrokom A,¬B, nejakým platným výrokom (axiómou).
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy množinovej matematiky
Množinou rozumieme súbor objektov (prvkov), ktorý je popísaný tak, abysme vedeli (aspon teoreticky) rozhodnút’ o každom objekte, ci patrí alebonepatrí do súboru.– a ∈ A ... a je prvkom množiny A; a je z A– a /∈ A ... a nie je prvkom množiny A; a nie je z A– ∅ ... prázdna množina, neobsahuje žiaden prvok
Kvantifikátory:
∀ ... vel’ký, všeobecný(∀x ∈ M) V (x) ... pre každé x ∈ M platí V (x)
∃ ... malý, existencný(∃x ∈ M) V (x) ... existuje x ∈ M, pre ktoré platí V (x)
(∃!x ∈ M) V (x) existuje práve jedno x ∈ M, pre ktoré platí V (x)
Negácia kvantifikátorov:
¬{(∀x ∈ M) V (x)} ⇔ (∃x ∈ M) ¬V (x)
¬{(∃x ∈ M) V (x)} ⇔ (∀x ∈ M) ¬V (x)
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy množinovej matematiky
Množinou rozumieme súbor objektov (prvkov), ktorý je popísaný tak, abysme vedeli (aspon teoreticky) rozhodnút’ o každom objekte, ci patrí alebonepatrí do súboru.– a ∈ A ... a je prvkom množiny A; a je z A– a /∈ A ... a nie je prvkom množiny A; a nie je z A– ∅ ... prázdna množina, neobsahuje žiaden prvok
Kvantifikátory:
∀ ... vel’ký, všeobecný(∀x ∈ M) V (x) ... pre každé x ∈ M platí V (x)
∃ ... malý, existencný(∃x ∈ M) V (x) ... existuje x ∈ M, pre ktoré platí V (x)
(∃!x ∈ M) V (x) existuje práve jedno x ∈ M, pre ktoré platí V (x)
Negácia kvantifikátorov:
¬{(∀x ∈ M) V (x)} ⇔ (∃x ∈ M) ¬V (x)
¬{(∃x ∈ M) V (x)} ⇔ (∀x ∈ M) ¬V (x)
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy množinovej matematiky
Množinou rozumieme súbor objektov (prvkov), ktorý je popísaný tak, abysme vedeli (aspon teoreticky) rozhodnút’ o každom objekte, ci patrí alebonepatrí do súboru.– a ∈ A ... a je prvkom množiny A; a je z A– a /∈ A ... a nie je prvkom množiny A; a nie je z A– ∅ ... prázdna množina, neobsahuje žiaden prvok
Kvantifikátory:
∀ ... vel’ký, všeobecný(∀x ∈ M) V (x) ... pre každé x ∈ M platí V (x)
∃ ... malý, existencný(∃x ∈ M) V (x) ... existuje x ∈ M, pre ktoré platí V (x)
(∃!x ∈ M) V (x) existuje práve jedno x ∈ M, pre ktoré platí V (x)
Negácia kvantifikátorov:
¬{(∀x ∈ M) V (x)} ⇔ (∃x ∈ M) ¬V (x)
¬{(∃x ∈ M) V (x)} ⇔ (∀x ∈ M) ¬V (x)
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy množinovej matematiky
Množinou rozumieme súbor objektov (prvkov), ktorý je popísaný tak, abysme vedeli (aspon teoreticky) rozhodnút’ o každom objekte, ci patrí alebonepatrí do súboru.– a ∈ A ... a je prvkom množiny A; a je z A– a /∈ A ... a nie je prvkom množiny A; a nie je z A– ∅ ... prázdna množina, neobsahuje žiaden prvok
Kvantifikátory:
∀ ... vel’ký, všeobecný(∀x ∈ M) V (x) ... pre každé x ∈ M platí V (x)
∃ ... malý, existencný(∃x ∈ M) V (x) ... existuje x ∈ M, pre ktoré platí V (x)
(∃!x ∈ M) V (x) existuje práve jedno x ∈ M, pre ktoré platí V (x)
Negácia kvantifikátorov:
¬{(∀x ∈ M) V (x)} ⇔ (∃x ∈ M) ¬V (x)
¬{(∃x ∈ M) V (x)} ⇔ (∀x ∈ M) ¬V (x)
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy množinovej matematiky
Množinou rozumieme súbor objektov (prvkov), ktorý je popísaný tak, abysme vedeli (aspon teoreticky) rozhodnút’ o každom objekte, ci patrí alebonepatrí do súboru.– a ∈ A ... a je prvkom množiny A; a je z A– a /∈ A ... a nie je prvkom množiny A; a nie je z A– ∅ ... prázdna množina, neobsahuje žiaden prvok
Kvantifikátory:
∀ ... vel’ký, všeobecný(∀x ∈ M) V (x) ... pre každé x ∈ M platí V (x)
∃ ... malý, existencný(∃x ∈ M) V (x) ... existuje x ∈ M, pre ktoré platí V (x)
(∃!x ∈ M) V (x) existuje práve jedno x ∈ M, pre ktoré platí V (x)
Negácia kvantifikátorov:
¬{(∀x ∈ M) V (x)} ⇔ (∃x ∈ M) ¬V (x)
¬{(∃x ∈ M) V (x)} ⇔ (∀x ∈ M) ¬V (x)
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy množinovej matematiky
Množinou rozumieme súbor objektov (prvkov), ktorý je popísaný tak, abysme vedeli (aspon teoreticky) rozhodnút’ o každom objekte, ci patrí alebonepatrí do súboru.– a ∈ A ... a je prvkom množiny A; a je z A– a /∈ A ... a nie je prvkom množiny A; a nie je z A– ∅ ... prázdna množina, neobsahuje žiaden prvok
Kvantifikátory:
∀ ... vel’ký, všeobecný(∀x ∈ M) V (x) ... pre každé x ∈ M platí V (x)
∃ ... malý, existencný(∃x ∈ M) V (x) ... existuje x ∈ M, pre ktoré platí V (x)
(∃!x ∈ M) V (x) existuje práve jedno x ∈ M, pre ktoré platí V (x)
Negácia kvantifikátorov:
¬{(∀x ∈ M) V (x)} ⇔ (∃x ∈ M) ¬V (x)
¬{(∃x ∈ M) V (x)} ⇔ (∀x ∈ M) ¬V (x)
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy množinovej matematiky
Množinou rozumieme súbor objektov (prvkov), ktorý je popísaný tak, abysme vedeli (aspon teoreticky) rozhodnút’ o každom objekte, ci patrí alebonepatrí do súboru.– a ∈ A ... a je prvkom množiny A; a je z A– a /∈ A ... a nie je prvkom množiny A; a nie je z A– ∅ ... prázdna množina, neobsahuje žiaden prvok
Kvantifikátory:
∀ ... vel’ký, všeobecný(∀x ∈ M) V (x) ... pre každé x ∈ M platí V (x)
∃ ... malý, existencný(∃x ∈ M) V (x) ... existuje x ∈ M, pre ktoré platí V (x)
(∃!x ∈ M) V (x) existuje práve jedno x ∈ M, pre ktoré platí V (x)
Negácia kvantifikátorov:
¬{(∀x ∈ M) V (x)} ⇔ (∃x ∈ M) ¬V (x)
¬{(∃x ∈ M) V (x)} ⇔ (∀x ∈ M) ¬V (x)
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Elementy množinovej matematiky
Operácie s množinami: Uvažujme množiny A, B.
A ⊂ B (podmnožina) ... (∀a ∈ A) a ∈ B
A ∩ B (prienik) ... A ∩ B = {a : a ∈ A ∧ a ∈ B}A ∪ B (zjednotenie) ... A ∪ B = {a : a ∈ A ∨ a ∈ B}A \ B (rozdiel) ... A \ B = {a : a ∈ A ∧ a /∈ B}A = B (rovnost’) ... A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
pre A ⊂ B definujeme Ac (doplnok, komplement) ...Ac = B \ A = {b : b ∈ B ∧ b /∈ A}
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Please forget everything you have learned in school; for you haven’t learned it... My daughters have been studying(chemistry) for several semesters already, think they have learned differential and integral calculus in school, and eventoday don’t know whyx · y = y · x is true.
Edmund Landau:Grundlagen der Analysis(1930)
Definícia – množina reálnych císel
Množinou reálnych císel R budeme nazývat’ množinu prvkov, na ktorej súdefinované operácie scítania +, násobenia · a relácia usporiadania ≤ také,že platí:• (R,+, 0) je abelovská aditívna grupa, t.j.
S1: (∀x , y ∈ R) x + y = y + x (komutativita scítania);
S2: (∀x , y , z ∈ R) (x + y) + z = x + (y + z) (asociativita scítania);
S3: (∃0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x (existencia aditívnej identity);
S4: (∀x ∈ R)(∃y ∈ R) x + y = 0 (existencia opacného prvku).
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Please forget everything you have learned in school; for you haven’t learned it... My daughters have been studying(chemistry) for several semesters already, think they have learned differential and integral calculus in school, and eventoday don’t know whyx · y = y · x is true.
Edmund Landau:Grundlagen der Analysis(1930)
Definícia – množina reálnych císel
Množinou reálnych císel R budeme nazývat’ množinu prvkov, na ktorej súdefinované operácie scítania +, násobenia · a relácia usporiadania ≤ také,že platí:• (R,+, 0) je abelovská aditívna grupa, t.j.
S1: (∀x , y ∈ R) x + y = y + x (komutativita scítania);
S2: (∀x , y , z ∈ R) (x + y) + z = x + (y + z) (asociativita scítania);
S3: (∃0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x (existencia aditívnej identity);
S4: (∀x ∈ R)(∃y ∈ R) x + y = 0 (existencia opacného prvku).
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Please forget everything you have learned in school; for you haven’t learned it... My daughters have been studying(chemistry) for several semesters already, think they have learned differential and integral calculus in school, and eventoday don’t know whyx · y = y · x is true.
Edmund Landau:Grundlagen der Analysis(1930)
Definícia – množina reálnych císel
Množinou reálnych císel R budeme nazývat’ množinu prvkov, na ktorej súdefinované operácie scítania +, násobenia · a relácia usporiadania ≤ také,že platí:• (R \ {0}, ·, 1) je abelovská multiplikatívna grupa kompatibilná s aditívnougrupou (R,+, 0), t.j.
N1: (∀x , y ∈ R) x · y = y · x (komutativita násobenia);
N2: (∀x , y , z ∈ R) (x · y) · z = x · (y · z) (asociativita násobenia);
N3: (∃1 ∈ R, 1 6= 0)(∀x ∈ R) x · 1 = x (existencia multiplikatívnej jednotky);
N4: (∀x ∈ R \ {0})(∃y ∈ R) x · y = 1 (existencia prevrátenej hodnoty);
N5: (∀x , y , z ∈ R) x · (y + z) = x · y + x · z (distributivita násobeniavzhl’adom na scítanie).
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Please forget everything you have learned in school; for you haven’t learned it... My daughters have been studying(chemistry) for several semesters already, think they have learned differential and integral calculus in school, and eventoday don’t know whyx · y = y · x is true.
Edmund Landau:Grundlagen der Analysis(1930)
Definícia – množina reálnych císel
Množinou reálnych císel R budeme nazývat’ množinu prvkov, na ktorej súdefinované operácie scítania +, násobenia · a relácia usporiadania ≤ také,že platí:• Pre každé dva prvky x , y ∈ R platí aspon jeden zo vzt’ahov x ≤ y aleboy ≤ x , pricom
U1: (∀x , y ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y (antisymetria ≤);
U2: (∀x , y , z ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z (tranzitivita ≤);
U3: (∀x , y , z ∈ R) x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z (monotónnost’ scítania vzhl’adomna ≤);
U4: (∀x , y ∈ R) 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x · y (monotónnost’ násobeniavzhl’adom na ≤).
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Please forget everything you have learned in school; for you haven’t learned it... My daughters have been studying(chemistry) for several semesters already, think they have learned differential and integral calculus in school, and eventoday don’t know whyx · y = y · x is true.
Edmund Landau:Grundlagen der Analysis(1930)
Definícia – množina reálnych císel
Množinou reálnych císel R budeme nazývat’ množinu prvkov, na ktorej súdefinované operácie scítania +, násobenia · a relácia usporiadania ≤ také,že platí:• Axióma (H) o hornej hranici: Každá neprázdna zhora ohranicenápodmnožina množiny R má najmenšie horné ohranicenie, t.j. ak M ⊂ R,M 6= ∅ a (∃z ∈ R)(∀x ∈ M) x ≤ z, tak (∃!S ∈ R)
(i) (∀x ∈ M) x ≤ S (S je horné ohranicenie M);
(ii) (∀t ∈ R, t < S)(∃x0 ∈ M) t < x0 (S je najmenšie horné ohranicenie M).
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Axiómy scítania reálnych císel
S1: (∀x, y ∈ R) x + y = y + x (komutativita scítania);S2: (∀x, y, z ∈ R) (x + y) + z = x + (y + z) (asociativita scítania);S3: (∃0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x (existencia aditívnej identity);S4: (∀x ∈ R)(∃y ∈ R) x + y = 0 (existencia opacného prvku).
Veta I.1
(i) (∃!0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x ;(ii) (∃!1 ∈ R)(∀x ∈ R) x · 1 = x ;(iii) (∀x ∈ R)(∃!y ∈ R) x + y = 0;(iv) (∀x ∈ R, x 6= 0)(∃!y ∈ R) x · y = 1.
Prvok opacný k prvku x ∈ R oznacujeme −x . Súcet x + (−y) budeme písat’v tvare x − y a oznacovat’ ako rozdiel prvkov x a y . Získaná operácia sanazýva odcítanie.
Prvok, ktorý je prevrátenou hodnotou k x ∈ R \ {0}, oznacujeme 1x . Súcin
x · 1y budeme písat’ v tvare
xy
a oznacovat’ ako podiel prvkov x a y 6= 0.
Takto získanú operáciu nazývame delenie (okrem delenia prvkom 0).
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Axiómy scítania reálnych císel
S1: (∀x, y ∈ R) x + y = y + x (komutativita scítania);S2: (∀x, y, z ∈ R) (x + y) + z = x + (y + z) (asociativita scítania);S3: (∃0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x (existencia aditívnej identity);S4: (∀x ∈ R)(∃y ∈ R) x + y = 0 (existencia opacného prvku).
Veta I.1
(i) (∃!0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x ;(ii) (∃!1 ∈ R)(∀x ∈ R) x · 1 = x ;(iii) (∀x ∈ R)(∃!y ∈ R) x + y = 0;(iv) (∀x ∈ R, x 6= 0)(∃!y ∈ R) x · y = 1.
Prvok opacný k prvku x ∈ R oznacujeme −x . Súcet x + (−y) budeme písat’v tvare x − y a oznacovat’ ako rozdiel prvkov x a y . Získaná operácia sanazýva odcítanie.
Prvok, ktorý je prevrátenou hodnotou k x ∈ R \ {0}, oznacujeme 1x . Súcin
x · 1y budeme písat’ v tvare
xy
a oznacovat’ ako podiel prvkov x a y 6= 0.
Takto získanú operáciu nazývame delenie (okrem delenia prvkom 0).
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Axiómy scítania reálnych císel
S1: (∀x, y ∈ R) x + y = y + x (komutativita scítania);S2: (∀x, y, z ∈ R) (x + y) + z = x + (y + z) (asociativita scítania);S3: (∃0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x (existencia aditívnej identity);S4: (∀x ∈ R)(∃y ∈ R) x + y = 0 (existencia opacného prvku).
Veta I.1
(i) (∃!0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x ;(ii) (∃!1 ∈ R)(∀x ∈ R) x · 1 = x ;(iii) (∀x ∈ R)(∃!y ∈ R) x + y = 0;(iv) (∀x ∈ R, x 6= 0)(∃!y ∈ R) x · y = 1.
Prvok opacný k prvku x ∈ R oznacujeme −x . Súcet x + (−y) budeme písat’v tvare x − y a oznacovat’ ako rozdiel prvkov x a y . Získaná operácia sanazýva odcítanie.
Prvok, ktorý je prevrátenou hodnotou k x ∈ R \ {0}, oznacujeme 1x . Súcin
x · 1y budeme písat’ v tvare
xy
a oznacovat’ ako podiel prvkov x a y 6= 0.
Takto získanú operáciu nazývame delenie (okrem delenia prvkom 0).
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Axiómy scítania reálnych císel
S1: (∀x, y ∈ R) x + y = y + x (komutativita scítania);S2: (∀x, y, z ∈ R) (x + y) + z = x + (y + z) (asociativita scítania);S3: (∃0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x (existencia aditívnej identity);S4: (∀x ∈ R)(∃y ∈ R) x + y = 0 (existencia opacného prvku).
Veta I.1
(i) (∃!0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x ;(ii) (∃!1 ∈ R)(∀x ∈ R) x · 1 = x ;(iii) (∀x ∈ R)(∃!y ∈ R) x + y = 0;(iv) (∀x ∈ R, x 6= 0)(∃!y ∈ R) x · y = 1.
Prvok opacný k prvku x ∈ R oznacujeme −x . Súcet x + (−y) budeme písat’v tvare x − y a oznacovat’ ako rozdiel prvkov x a y . Získaná operácia sanazýva odcítanie.
Prvok, ktorý je prevrátenou hodnotou k x ∈ R \ {0}, oznacujeme 1x . Súcin
x · 1y budeme písat’ v tvare
xy
a oznacovat’ ako podiel prvkov x a y 6= 0.
Takto získanú operáciu nazývame delenie (okrem delenia prvkom 0).
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Axiómy scítania reálnych císel
S1: (∀x, y ∈ R) x + y = y + x (komutativita scítania);S2: (∀x, y, z ∈ R) (x + y) + z = x + (y + z) (asociativita scítania);S3: (∃0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x (existencia aditívnej identity);S4: (∀x ∈ R)(∃y ∈ R) x + y = 0 (existencia opacného prvku).
Prvok opacný k prvku x ∈ R oznacujeme −x . Súcet x + (−y) budeme písat’v tvare x − y a oznacovat’ ako rozdiel prvkov x a y .
Prvok, ktorý je prevrátenou hodnotou k x ∈ R \ {0}, oznacujeme 1x . Súcin
x · 1y budeme písat’ v tvare
xy
a oznacovat’ ako podiel prvkov x a y 6= 0.
Tvrdenie I.2
(i) (∀x , y ∈ R) − (x + y) = −x + (−y);(ii) (∀x , y ∈ R, x 6= 0, y 6= 0) 1
x·y = 1x ·
1y .
Veta I.3
(i) (∀a, b ∈ R)(∃!x ∈ R) a + x = b;(ii) (∀a, b ∈ R, a 6= 0)(∃!x ∈ R) a · x = b.
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Axiómy scítania reálnych císel
S1: (∀x, y ∈ R) x + y = y + x (komutativita scítania);S2: (∀x, y, z ∈ R) (x + y) + z = x + (y + z) (asociativita scítania);S3: (∃0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x (existencia aditívnej identity);S4: (∀x ∈ R)(∃y ∈ R) x + y = 0 (existencia opacného prvku).
Prvok opacný k prvku x ∈ R oznacujeme −x . Súcet x + (−y) budeme písat’v tvare x − y a oznacovat’ ako rozdiel prvkov x a y .
Prvok, ktorý je prevrátenou hodnotou k x ∈ R \ {0}, oznacujeme 1x . Súcin
x · 1y budeme písat’ v tvare
xy
a oznacovat’ ako podiel prvkov x a y 6= 0.
Tvrdenie I.2
(i) (∀x , y ∈ R) − (x + y) = −x + (−y);(ii) (∀x , y ∈ R, x 6= 0, y 6= 0) 1
x·y = 1x ·
1y .
Veta I.3
(i) (∀a, b ∈ R)(∃!x ∈ R) a + x = b;(ii) (∀a, b ∈ R, a 6= 0)(∃!x ∈ R) a · x = b.
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Axiómy scítania reálnych císel
S1: (∀x, y ∈ R) x + y = y + x (komutativita scítania);S2: (∀x, y, z ∈ R) (x + y) + z = x + (y + z) (asociativita scítania);S3: (∃0 ∈ R)(∀x ∈ R) x + 0 = x (existencia aditívnej identity);S4: (∀x ∈ R)(∃y ∈ R) x + y = 0 (existencia opacného prvku).
Prvok opacný k prvku x ∈ R oznacujeme −x . Súcet x + (−y) budeme písat’v tvare x − y a oznacovat’ ako rozdiel prvkov x a y .
Prvok, ktorý je prevrátenou hodnotou k x ∈ R \ {0}, oznacujeme 1x . Súcin
x · 1y budeme písat’ v tvare
xy
a oznacovat’ ako podiel prvkov x a y 6= 0.
Tvrdenie I.2
(i) (∀x , y ∈ R) − (x + y) = −x + (−y);(ii) (∀x , y ∈ R, x 6= 0, y 6= 0) 1
x·y = 1x ·
1y .
Veta I.3
(i) (∀a, b ∈ R)(∃!x ∈ R) a + x = b;(ii) (∀a, b ∈ R, a 6= 0)(∃!x ∈ R) a · x = b.
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Axiómy usporiadania reálnych císel
U1: (∀x, y ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y (antisymetria≤);U2: (∀x, y, z ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z (tranzitivita≤);U3: (∀x, y, z ∈ R) x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z (monotónnost’ scítania vzhl’adom na≤);U4: (∀x, y ∈ R) 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x · y (monotónnost’ násobenia vzhl’adom na≤).
Veta I.4
(∀x , y , z ∈ R)
(i) x ≤ y ∧ y ≤ z ∧ x = z ⇒ x = y = z;
(ii) x < y ∧ y ≤ z ⇒ x < z;
(iii) x ≤ y ⇔ 0 ≤ y − x ⇔ −y ≤ −x ⇔ x − y ≤ 0;
(iv) x < y ⇒ x + z < y + z;
(v) x < y ⇔ 0 < y − x ⇔ −y < −x ⇔ x − y < 0.
Císlo x ∈ R budeme nazývat’ nezáporné (kladné), akk 0 ≤ x (0 < x) anekladné (záporné), akk x ≤ 0 (x < 0).
Veta I.5 (trichotómia relácie ≤)
(∀x , y ∈ R) (x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Axiómy usporiadania reálnych císel
U1: (∀x, y ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y (antisymetria≤);U2: (∀x, y, z ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z (tranzitivita≤);U3: (∀x, y, z ∈ R) x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z (monotónnost’ scítania vzhl’adom na≤);U4: (∀x, y ∈ R) 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x · y (monotónnost’ násobenia vzhl’adom na≤).
Veta I.4
(∀x , y , z ∈ R)
(i) x ≤ y ∧ y ≤ z ∧ x = z ⇒ x = y = z;
(ii) x < y ∧ y ≤ z ⇒ x < z;
(iii) x ≤ y ⇔ 0 ≤ y − x ⇔ −y ≤ −x ⇔ x − y ≤ 0;
(iv) x < y ⇒ x + z < y + z;
(v) x < y ⇔ 0 < y − x ⇔ −y < −x ⇔ x − y < 0.
Císlo x ∈ R budeme nazývat’ nezáporné (kladné), akk 0 ≤ x (0 < x) anekladné (záporné), akk x ≤ 0 (x < 0).
Veta I.5 (trichotómia relácie ≤)
(∀x , y ∈ R) (x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Axiómy usporiadania reálnych císel
U1: (∀x, y ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y (antisymetria≤);U2: (∀x, y, z ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z (tranzitivita≤);U3: (∀x, y, z ∈ R) x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z (monotónnost’ scítania vzhl’adom na≤);U4: (∀x, y ∈ R) 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x · y (monotónnost’ násobenia vzhl’adom na≤).
Veta I.4
(∀x , y , z ∈ R)
(i) x ≤ y ∧ y ≤ z ∧ x = z ⇒ x = y = z;
(ii) x < y ∧ y ≤ z ⇒ x < z;
(iii) x ≤ y ⇔ 0 ≤ y − x ⇔ −y ≤ −x ⇔ x − y ≤ 0;
(iv) x < y ⇒ x + z < y + z;
(v) x < y ⇔ 0 < y − x ⇔ −y < −x ⇔ x − y < 0.
Císlo x ∈ R budeme nazývat’ nezáporné (kladné), akk 0 ≤ x (0 < x) anekladné (záporné), akk x ≤ 0 (x < 0).
Veta I.5 (trichotómia relácie ≤)
(∀x , y ∈ R) (x < y) ∨ (x = y) ∨ (y < x)
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Axiómy usporiadania reálnych císel
U1: (∀x, y ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y (antisymetria≤);U2: (∀x, y, z ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z (tranzitivita≤);U3: (∀x, y, z ∈ R) x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z (monotónnost’ scítania vzhl’adom na≤);U4: (∀x, y ∈ R) 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x · y (monotónnost’ násobenia vzhl’adom na≤).
Tvrdenie I.6
(∀x , y ∈ R)
(i) 0 < x ⇒ −x < 0 ∧ 0 < 1x ;
(ii) (0 < x ∧ 0 < y) ∨ (x < 0 ∧ y < 0) ⇒ 0 < x · y ;
(iii) (0 < x ∧ y < 0) ∨ (x < 0 ∧ 0 < y) ⇒ x · y < 0;
(iv) (x 6= 0 ∧ y 6= 0 ∧ 0 < x < y) ⇒ 0 < 1y < 1
x .
Tvrdenie I.7
(∀x , y , z ∈ R)
(i) (x ≤ y ∧ 0 < z) ⇒ xz ≤ yz;
(ii) (x ≤ y ∧ z < 0) ⇒ yz ≤ xz.
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Axiómy usporiadania reálnych císel
U1: (∀x, y ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y (antisymetria≤);U2: (∀x, y, z ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z (tranzitivita≤);U3: (∀x, y, z ∈ R) x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z (monotónnost’ scítania vzhl’adom na≤);U4: (∀x, y ∈ R) 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x · y (monotónnost’ násobenia vzhl’adom na≤).
Tvrdenie I.6
(∀x , y ∈ R)
(i) 0 < x ⇒ −x < 0 ∧ 0 < 1x ;
(ii) (0 < x ∧ 0 < y) ∨ (x < 0 ∧ y < 0) ⇒ 0 < x · y ;
(iii) (0 < x ∧ y < 0) ∨ (x < 0 ∧ 0 < y) ⇒ x · y < 0;
(iv) (x 6= 0 ∧ y 6= 0 ∧ 0 < x < y) ⇒ 0 < 1y < 1
x .
Tvrdenie I.7
(∀x , y , z ∈ R)
(i) (x ≤ y ∧ 0 < z) ⇒ xz ≤ yz;
(ii) (x ≤ y ∧ z < 0) ⇒ yz ≤ xz.
Ondrej Hutník Matematická analýza I.
Nejaký úvod na úvodI. Císelné množiny
Reálne císlaDôsledky axióm s cítania a násobeniaDôsledky axióm usporiadania
Axiómy usporiadania reálnych císel
U1: (∀x, y ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y (antisymetria≤);U2: (∀x, y, z ∈ R) x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z (tranzitivita≤);U3: (∀x, y, z ∈ R) x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z (monotónnost’ scítania vzhl’adom na≤);U4: (∀x, y ∈ R) 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ⇒ 0 ≤ x · y (monotónnost’ násobenia vzhl’adom na≤).