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FUNDAMENTOS DEMATEMÁTICAS FINANCIERAS

Matemáticas Financieras

Diagnostico

Analisis de Alternativas

Flujo de Beneficios y Costos

MATEMATICAS FINANCIERAS, Aplicada al flujo de fondos,entrega indicadores que corresponden a criterios de decision

de inversiones.

Criterios de Decision

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Matemáticas Financieras

Temario

Valor del Dinero en el Tiempo

Valor Actual y Valor Futuro

Interés Simple e Interés Compuesto

Anualidades

Casos Especiales

Tasa de Interés y Tasa de Descuento

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Valor del Dinero en el Tiempo

Corresponde a la rentabilidad que un agente económico exigirápor no hacer uso del dinero hoy y postergarlo a un periodofuturo

Sacrificar consumo hoy debe compensarse en el futuro ya queun monto hoy puede, al menos, ser invertido en el sistemafinanciero, ganando una rentabilidad.

INVERSIÓN

HOY FUTURO

La tasa de interés (r) es la variable que determina laequivalencia de un monto de dinero en dos periodos distintos detiempo.

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Valor del Dinero en el Tiempo

Ejemplo: Un individuo obtiene hoy un ingreso (Y0) DE $1.000 por unasola vez y decide no consumir nada hoy. Luego, tiene la opción deponer el dinero en el banco.¿Cuál será el valor de ese monto dentro de un año si la tasarentabilidad o de interés (r) que puede obtener en el banco es de 10%anual ? ( r = 10 % = 0,10 )

1.000 + 1.000X(10/100)

1.000 + 100 = 1.100HOY FUTURO

PERIODO 0 PERIODO 1AÑO 0 AÑO 1

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Tasas de Interés Compuesta y Simple

Tasa de interés compuesta

El monto inicial se va capitalizando periodo a periodo, así por ejemplo,luego del primer periodo se suma el capital más los intereses ganadosy este total es el que gana intereses para un segundo periodo.

Tasa de interés simple

Concepto poco utilizado en el cálculo financiero, es de fácil obtención,pero con deficiencias por no capitalizar la inversión periodo a periodo.

El capital invertido es llevado directamente al final sin que se capitaliceperiodo a periodo con los intereses ganados

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Tasas de Interés Compuesta y Simple

r = 10 % = 0,10 SIMPLE COMPUESTA

Capital inicial 1.000 1.000

Interes al final del año 1 100 100

Capital al final del año 1 1.100 1.100

Interes al final del año 2 100 110

Capital al final del año 2 1.200 1.210

Interes al final del año 3 100 121

Capital al final del año 3 1.300 1.331

Interes al final del año 4 100 133

Capital al final del año 4 1.400 1.4648

Tasas de Interés Compuesta y Simple

Interés Simple: En este ejemplo el interes simple calcula el 10 % sobre

el capital inicial y lo aplica año a año en forma constante

El capital al final del año 4 es

101.000+1.000× ×4 100

1.000 +100 ×4 = 1.000 + 400 = 1.400

Interés compuesto: En este ejemplo el interes compuesto calcula el

10% sobre el capital inicial más los intereses que ha ganado año a año.

El capital al final del año 4 es

4

1.000 ×10

1 + = 100

1.464

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Tasas de Interés Compuesta y Simple

Tasa de interés equivalenteSi se tiene una tasa de interés anual ra , la tasa de interés

mensual equivalente rm, puede ser calculada usando lassiguientes expresiones:

112

Con interés compuesto: r

Con interés simple:

=(1+ r) − 1m a

rarm = 12

Este ejemplo se hace extensivo a cualquier unidad de tiempo.

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Valor Futuro (VF) y Valor Actual (VA)

VALOR FUTURO

Sólo 1 periodo

Año:0 1

VA VF

VF = VA*(1+ r) Donde:

r = tasa de interés

Año: 0 1 2 3

VA VFSi son 3 periodos

VF = VA*(1+r )(1+r )(1+r )= VA(1+r )3

Caso General: VF = VA*(1+r)n

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Valor Futuro (VF) y Valor Actual (VA)

VALOR ACTUAL Año:0 1

Caso 1 periodo VA

VA=VF1+ r)

VF

Donde:r = tasa de interés

Año: 0 1 2 3

VACaso 3 periodos

VA=

VF

VF VF=(1+ r )* (1+ r )* (1+ r ) (1+ r )3

Caso General: VA=VF

n(1+r)12

Valor Futuro (VF) y Valor Actual (VA)

Ejemplos VF y VA

a) Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%.¿Cuál será su valor al final del tercer año?

Año 0:Año 1:Año 2:Año 3:

Alternativamente:

1.0001.000 * (1+0,12) = 1.1201.120 * (1+0,12) = 1.2541.254 * (1+0,12) = 1.405

VF= 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405

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Valor Futuro (VF) y Valor Actual (VA)

Ejemplos VF y VA:

b) Si en cuatro años más necesito tener $ 3.300 y la tasa deinterés anual es de 15%.

¿Cuál es el monto que requiero depositar hoy para lograr la meta?

Año 4:Año 3:Año 2:Año 1:Año 0:

Alternativamente:

3.3003.300 / (1+0,15) = 2.869,62.869,6 / (1+0,15) = 2.495,32.495,3 / (1+0,15) = 2.169,82.169,8 / (1+0,15) = 1.886,8

VA= 3.300 / (1+0,15)4 = 3.300 / 1,749 = 1.886,8

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Valor Futuro (VF) y Valor Actual (VA)

Ejemplos VF y VA:

Caso especial

c) Si los $1.000 de hoy equivalen a $1.643 al final delaño 3.

¿Cuál será la tasa de interés anual relevante?

VF= 1.000 * (1+r) 3 = 1.643(1+r)3 = 1,64

(1+r) = (1,64)1/3

1+r = 1,18r = 0,18 = 18%

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AnualidadesConsidere un flujo (F1) (anualidad) por montos iguales que sepaga al final de todos los años por un período de tiempo n auna tasa r

Año: 0

FlujosActualizados:

F1

(1+r)

F1

(1+r)2

F1

(1+r)3

F1

(1+r)n-1

F1

(1+r)n

1 2 3

F1 F 1 F 1

n-1 n

F1 F 1

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Anualidades

El Valor Actual de esa anualidad (F1) que implica la suma detodos esos flujos actualizados al momento 0 se define como:

VA = F1

1× +

(1+r)

1F ×1

(1+r)

1+ +F × =

2 1 n(1+r)

VA =F1

n(1+r)×

r*(1+−1

nr)

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Anualidades

Como contrapartida al valor actual de un flujo se tiene:

El Valor Futuro de una anualidad (F1) que implica la suma detodos esos flujos llevados al periodo n y se define como:

VF = F1

n×(1+r) + F ×(1+r)

1n−1+ +F =1

VF =F1(1+r)

×r

n−1

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Anualidades

Ejemplo anualidad:Suponga que usted pagó cuotas mensuales de $250.000por la compra de un auto durante 2 años (24 meses) auna tasa de 1% mensual.

¿Cuál fue el valor del préstamo?

VA=250.000×24(1+0,01) − 1

240,01×(1+0,01)=5.310.847

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Anualidades

Ejemplo anualidad:Suponga usted trabajará durante 30 años, sucotización en la AFP será de $20.000 mensuales, si laAFP le ofrece una rentabilidad mensual de 0,5%

¿ Cuál será el monto que tendrá su fondo al momentode jubilar?

VF =20.000 *(1+ 3600,005) − 1

0,005 =20.090.301

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Anualidades

Ejemplo anualidad:Suponga usted comprará una casa que vale hoy $20.000.000 ysolicita al banco un crédito por el total del valor a 15 añosplazo (180 meses). La tasa de interés es de 0,5% mensual.

¿ Cuál deberá ser el valor del dividendo mensual ?

Si: VA = F1

n(1+r) −1*

nEntonces:F1

nr* (1+r)=VA*

nr* (1+ r) (1+ r) −1

180

Así: F1 =20.000.000*0,01* (1+0,005)

=168.771180(1+0,005) −1

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Anualidades

Perpetuidad

Considérese un flujo (F1) (anualidad) por montos iguales quese paga a perpetuidad.

Perpetuidad corresponde a un periodo de tiempo losuficientemente grande para considerar los flujos finalescomo poco relevantes dado que al descontarlos al año 0 soninsignificantes.

El Valor actual de esa anualidad se define como:

VA=Fr

1

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Anualidades

Ejemplo perpetuidad:Suponga usted es de esos afortunados que decide jubilar a los 50años y recibirá una renta vitalicia de $50.000 mensuales hasta quemuera. La tasa de interés relevante es de 1% mensual y la empresaque le dará la renta supone una “larga vida” para usted (suponenpodría llegar a los 90, o tal vez 95 o porqué no 100 años).¿ Cuál es el valor actual del fondo que la empresa debe tener parapoder cubrir dicha obligación?

En rigor, usando la fórmula de

50.000VA =0,01

=5.000.000valor actual de una anualidad (noperpetua) se tendría:Si vive 90 años: VA=$ 4.957.858Si vive 95 años: VA=$ 4.976.803Si vive 100 años: VA=$ 4.987.231

Todos muy cercanos a $5 millones

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Inflación y Tasas de Interés

Inflación

• Aumento sostenido en el nivel general de precios.Normalmente medido a través del cambio en el IPC

• En presencia de inflación (π) , la capacidad de compra o poderadquisitivo de un monto de dinero es mayor hoy que en un añomás.

Periodo 0 Periodo 1(Año 0) (Año 1)

$100 $100Si π = 25%

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Inflación y Tasas de Interés

RESUMEN:2 conceptos: * Costo de oportunidad (tasa interés real)

* Poder adquisitivo (inflación)

Paso 1: Valora costo de oportunidad, tasa de interés de 10%

Si r = 10%Año 0 Año 1

$1000 $1100

Paso 2: Valora costo de oportunidad y además;Mantiene poder adquisitivo, inflación de 25%

Si π = 25%Año 1 Año 1

$1100 $1375

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Inflación y Tasas de Interés

Nota importante

La evaluación de proyectos utiliza tasas de interés reales ypor tanto flujos reales, de esta forma se evita trabajar coninflaciones que normalmente tendrían que ser estimadas afuturo con el consiguiente problema de incertidumbre.

Si se trabaja con flujos nominales se debe descontar a tasasnominales, y se llega al mismo resultado, pero con el mayortrabajo de tener que estimar la inflación.

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