Matematicas ud6 [modo de compatibilidad]

6 Funciones reales. Propiedades globales

1. Formas de expresar una función

2. Funciones reales de variable real. Dominio y

recorrido de una función

3. Monotonía

4. Extremos relativos

5. Funciones acotadas. Extremos absolutos5. Funciones acotadas. Extremos absolutos

6. Funciones simétricas

7. Tendencias de una función. Asíntotas. Ramas

infinitas

8. Operaciones con funciones. Composición de

funciones

9. Función inversa

6 Funciones reales. Propiedades globales1. Formas de expresar una función

Crecimiento de una planta en

función del tiempo:

6 Funciones reales. Propiedades globales1. Formas de expresar una función

6 Funciones reales. Propiedades globales1. Formas de expresar una función

6 Funciones reales. Propiedades globales1. Formas de expresar una función

• Mediante un enunciado: se nos proporciona una visióndescriptiva y cualitativa de la relación funcional.

6 Funciones reales. Propiedades globales2. Funciones reales de variable real. Dominio y recorrido de una función

Una función entre dos conjuntos numéricos, A conjunto inicial y B

conjunto final, es una correspondencia por la cual a cada elemento de

un subconjunto de A, llamado dominio de la función y denotado por

Dom f, le corresponde UN ELEMENTO Y SOLO UNO de un subconjunto

de B, llamado imagen o recorrido de f, y denotado por Im f.

Una función se puede expresar de la forma:Una función se puede expresar de la forma:

La variable independiente se denota por x y la variable dependiente

por y.

6 Funciones reales. Propiedades globales2. Funciones reales de variable real. Dominio y recorrido de una función

Los dominios de funciones elementales:

FUNCIÓN DEFINICIÓN DOMINIO

Polinómica

Racional

Irracional

Exponencial

6 Funciones reales. Propiedades globales2. Funciones reales de variable real. Dominio y recorrido de una función

Los dominios de funciones elementales:

FUNCIÓN DEFINICIÓN DOMINIO

Logarítmicas

TrigonométricasTrigonométricas

Imagen: [-1,1]

6 Funciones reales. Propiedades globales3. Monotonía

4x4x

6 Funciones reales. Propiedades globales3. Monotonía

4x4x

6 Funciones reales. Propiedades globales3. Monotonía

6 Funciones reales. Propiedades globales3. Monotonía

6 Funciones reales. Propiedades globales4. Extremos relativos

6 Funciones reales. Propiedades globales4. Extremos relativos

6 Funciones reales. Propiedades globales4. Extremos relativos

El máximo de una función se dice que es absoluto si en dicho punto la

función toma el valor mayor de todo su dominio.

El mínimo de una función se dice que es absoluto si en dicho punto la

función toma el valor menor de todo su dominio.

6 Funciones reales. Propiedades globales4. Extremos relativos

ENUNCIADO Estudiar el dominio, recorrido, la monotonía y los extremos de la

siguiente función.SOLUCIÓN

Dom[f(x)] = R – {-2}

Im[f(x)] = R

Monotonía:Monotonía:

Creciente en (-inf, -2)U(-2,2)

Decreciente en: (2,5)

Constante en: [5, +inf)

Extremos:

Máximo relativo en el punto (2,4)

6 Funciones reales. Propiedades globales4. Extremos relativos

ENUNCIADO Estudiar el dominio, recorrido, la monotonía y los extremos de la

siguiente función.SOLUCIÓN

Dom[f(x)] = [0, 8]

Im[f(x)] = [2, 4]

Monotonía:Monotonía:

Creciente en (0,2)U(3,4)U(4,8)

Decreciente en: (2,3)

Extremos:

Máximos absolutos en (2,4) y (4,4)

Mínimo absoluto en (0,2)

Mínimo relativo en (3,3)

6 Funciones reales. Propiedades globales5. Funciones acotadas. Extremos absolutos

6 Funciones reales. Propiedades globales5. Funciones acotadas. Extremos absolutos

6 Funciones reales. Propiedades globales5. Funciones acotadas. Extremos absolutos

Decimos que una función f está acotada cuando está acotada superior e

inferiormente.

Función acotada ya que está acotada superior e inferiormente.

6 Funciones reales. Propiedades globales5. Funciones acotadas. Extremos absolutos

Decimos que una función f está acotada cuando está acotada superior e

inferiormente.

Cotas superiores: no hay

Supremo: no hay (menor cota sup)

Máximo: no hayMáximo: no hay

Función no acotada ya que está acotada inferiormente pero no

superiormente.

6 Funciones reales. Propiedades globales6. Funciones simétricas

6 Funciones reales. Propiedades globales6. Funciones simétricas

NOTA: la única función

que puede ser par e impar

a la vez es f(x)=0.

El resto de funciones solo

pueden tener un tipo de

simetría.

6 Funciones reales. Propiedades globales6. Funciones simétricas

SOLUCIÓN

6 Funciones reales. Propiedades globales6. Funciones simétricas

6 Funciones reales. Propiedades globales7. Tendencias de una función. Asíntotas. Ramas infinitas

6 Funciones reales. Propiedades globales7. Tendencias de una función. Asíntotas. Ramas infinitas

6 Funciones reales. Propiedades globales7. Tendencias de una función. Asíntotas. Ramas infinitas

6 Funciones reales. Propiedades globales8. Operaciones con funciones. Composición de funciones

Dada una función f, con dominio Dom f, definimos:

• La función producto de un número real t por la función f, tf, de la

forma:

• La suma de las funciones f y g, que representamos por f + g, de la

forma:

6 Funciones reales. Propiedades globales8. Operaciones con funciones. Composición de funciones

Dada una función f, con dominio Dom f, definimos:

• El producto de las funciones f y g, que representamos por f · g, de la

forma:

• El cociente de las funciones f y g, que representamos por f/g, de la

forma:

6 Funciones reales. Propiedades globales8. Operaciones con funciones. Composición de funciones

6 Funciones reales. Propiedades globales8. Operaciones con funciones. Composición de funciones

SOLUCIÓN

6 Funciones reales. Propiedades globales8. Operaciones con funciones. Composición de funciones

6 Funciones reales. Propiedades globales9. Función inversa

Una función y su inversa verifican las siguientes propiedades:

• f ◦ f –1 = f –1 ◦ f = i.

• Las gráficas de f y de f–1, referidas al mismo sistema de

coordenadas, son simétricas respecto de la bisectriz del primer

cuadrante.

6 Funciones reales. Propiedades globales8. Operaciones con funciones. Composición de funciones